MÓDULO 1

Prévia do material em texto

<p>– 12 –</p><p>1- Como utilizamos a propriedade de produtos da</p><p>mesma base?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>2- Como utilizamos a propriedade de potência?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>3- Como utilizamos a propriedade do quociente de</p><p>mesma base?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>– 14 –</p><p>1- O que é área?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>– 15 –</p><p>1- Qual é o numero definido como sendo o núme-</p><p>ro PI?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>– 16 –</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1- Os polígonos são classificados de acordo</p><p>com o número de lados, cite estes nomes:</p><p>3 lados= ________________________________</p><p>4 lados=_________________________________</p><p>5 lados=_________________________________</p><p>6 lados=_________________________________</p><p>7 lados= _________________________________</p><p>8 lados=_________________________________</p><p>9 lados= _________________________________</p><p>10 lados= ________________________________</p><p>11 lados= ________________________________</p><p>12 lados= ________________________________</p><p>2- Quanto maior o número de lados mais ele se</p><p>assemelha a uma circunferência, como é chama-</p><p>do o polígono com 20 lados?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>Técnico em Transações Imobiliárias – Organização Empresarial – módulo I</p><p>– 17 –</p><p>11. CÁLCULO DE VOLUME</p><p>O volume de um corpo pode ser calculado pelo</p><p>produto da área da base pela medida da altura.</p><p>De uma forma geral, podemos aplicar a seguinte</p><p>fórmula:</p><p>V = Ab x h</p><p>Ab = área da base</p><p>h = altura</p><p>RESUMINDO:</p><p>Cálculo de volume: O volume de um corpo pode</p><p>ser calculado pelo produto da área da base pela</p><p>medida de altura.</p><p>EXERCÍCIO</p><p>1- Qual a forma utilizada para o calculo do Volu-</p><p>me?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>12. LITROS</p><p>Origem: 1 litro igual a 1 decímetro cúbico.</p><p>1 decímetro vale 10 cm.</p><p>10 x 10 x 10 = 1000 cm3</p><p>Um metro cúbico equivale a 1000 litros, ou seja</p><p>1000 dm3</p><p>10 dm x 10 dm x 10 dm = 1000 dm3</p><p>RESUMINDO:</p><p>Litros: 1 litro= 1 decímetro cúbico, 1 decímetro</p><p>vale 10 cm.</p><p>EXERCÍCIO</p><p>1- Um metro cúbico equivale a quantos litros?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>13. REPRESENTAÇÃO DECIMAL DE UMA</p><p>FRAÇÃO</p><p>As frações que tem 10, 100, 1000 no denomi-</p><p>nador podem ser representadas utilizando-se vír-</p><p>gula.</p><p>Exemplos:</p><p>3/10 , 5/100, 8/1000, 15/10, 27/100</p><p>Se o denominador é 10, lemos décimos</p><p>Se o denominador é 100, lemos centésimos</p><p>Se o denominador é 1000, lemos milésimos</p><p>1/10 = 0,1</p><p>1/100 = 0,01</p><p>1/1000 = 0,001</p><p>25/10 = 2,5</p><p>40/100 = 0,4</p><p>70/1000 = 0,007</p><p>Os algarismos escritos à esquerda da vírgula</p><p>são a parte inteira e os escritos a direita são a</p><p>parte decimal.</p><p>1,63 = 1 é a parte inteira e 63 é a parte decimal</p><p>Unidades inteiras</p><p>Centenas</p><p>Dezenas</p><p>Unidades</p><p>Unidades decimais</p><p>Décimos</p><p>Centésimos</p><p>Milésimos</p><p>RESUMINDO:</p><p>Representação decimal de uma fração: se o</p><p>denominador é 10, lemos décimos, se é 100, le-</p><p>mos centésimos e se é 1000 lemos milésimos. Os</p><p>algarismos escritos a esquerda da vírgula são a</p><p>parte inteira e os escritos a direita são a parte de-</p><p>cimal.</p><p>EXERCÍCIO</p><p>1- Faça a representação decimal das frações a-</p><p>baixo:</p><p>3/10= _________________________________</p><p>30/100=________________________________</p><p>30/1000=_______________________________</p><p>Técnico em Transações Imobiliárias – Organização Empresarial – módulo I</p><p>– 18 –</p><p>14. MÉDIA E VARIÂNCIA</p><p>Um dos conceitos mais básicos e cotidianos da</p><p>estatística, a média nada mais é que um valor que</p><p>"representa" vários outros. Com os exemplos a</p><p>seguir, você vai ver que é fácil.</p><p>Imagine que, no bimestre, João fez cinco ativi-</p><p>dades que valiam nota nas aulas de matemática.</p><p>Ele começou bem, mas terminou o bimestre mal.</p><p>Tirou as seguintes notas: 9, 7, 5, 3, 2.</p><p>Qual será a sua média no fim do bimestre?</p><p>Para facilitar os cálculos, vamos adotar o se-</p><p>guinte padrão: S é a soma das notas, e n é o nú-</p><p>mero de notas que</p><p>ele teve.</p><p>A média (M) será:</p><p>Note que a sua média não é igual a nenhuma</p><p>das notas que ele tirou. É um número que mostra,</p><p>mais ou menos, como João foi no bimestre.</p><p>14.1. Medidas de dispersão</p><p>Muitas vezes, a média não é suficiente para</p><p>avaliar um conjunto de dados. Por exemplo,</p><p>quando se fala em um grupo de mulheres com</p><p>idade média de 18 anos. Esse dado, sozinho, não</p><p>significa muito: pode ser que no grupo, muitas</p><p>mulheres tenham 38 anos, e outras tantas sejam</p><p>menininhas de dois!</p><p>É importante, então, conhecer outra medida, a</p><p>de que diferença (dispersão) existe entre a média</p><p>e os valores do conjunto.</p><p>Voltando ao exemplo das notas de João, po-</p><p>demos calcular o desvio, que é a diferença de</p><p>cada nota em relação à média:</p><p>Notas Média Desvio</p><p>9 5,2 3,8</p><p>7 5,2 1,8</p><p>5 5,2 - 0,2</p><p>3 5,2 - 2,2</p><p>2 5,2 - 3,2</p><p>Outro dado importante em estatística é obtido</p><p>pela soma dos desvios ao quadrado. Cada desvio</p><p>é elevado ao quadrado e, em seguida, somados:</p><p>Valores Média Desvio</p><p>Quadrado dos</p><p>desvios</p><p>9 5,2 3,8 14,44</p><p>7 5,2 1,8 3,24</p><p>5 5,2 - 0,2 0,04</p><p>3 5,2 - 2,2 4,84</p><p>2 5,2 - 3,2 10,24</p><p>Soma dos quadrados dos</p><p>desvios</p><p>32,8</p><p>A soma dos quadrados dos desvios dividida</p><p>pelo número de ocorrências é chamada de vari-</p><p>ância.</p><p>Logo:</p><p>Outro valor que pode ser obtido a partir da mé-</p><p>dia e da variância é o desvio padrão. Como os</p><p>desvios foram elevados ao quadrado, deve-se tirar</p><p>a raiz quadrada da variância e achar o desvio pa-</p><p>drão:</p><p>Só para se ter uma ideia melhor do que signifi-</p><p>ca o desvio padrão. veja o seguinte exemplo:</p><p>Notas: (9, 9, 9, 1, 1, 1)</p><p>A média será:</p><p>E o desvio padrão será Dp = 4 (tente calculá-lo</p><p>por conta própria).</p><p>Note que, apesar de esse aluno ter tido média</p><p>5, seu desempenho foi muito irregular (variou de 4</p><p>pontos! 5+4 =9 e 5-4 = 1), o que não é tão bom</p><p>assim.</p><p>Técnico em Transações Imobiliárias – Organização Empresarial – módulo I</p><p>– 19 –</p><p>No exemplo anterior pode-se interpretar que as</p><p>notas, no geral, variaram entre (5,2 + 2,56) = 7,76</p><p>e (5,2 - 2,56) = 2,64 , ou seja, Joãozinho teve de-</p><p>sempenho mais regular que esse outro aluno.</p><p>Nota: As fórmulas utilizadas pressupõem os dados</p><p>como população, sendo portanto:</p><p>No caso de amostras, seria:</p><p>RESUMINDO:</p><p>Média e variância: A média é um dos conceitos</p><p>mais básicos da estatística, e nada mais é do que</p><p>um valor que representa vários outros. Variância:</p><p>é a soma dos quadrados dos desvios dividida pe-</p><p>los números de ocorrências.</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1- Qual outro valor que pode ser obtido a partir da</p><p>media e da variância?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>2- Calcule a média das notas obtidas abaixo:</p><p>Janeiro= 9,5 Fevereiro= 8,0 Março= 5,5 Abril= 7,0</p><p>Maio= 6,5 e Junho= 4,5</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>15. ESTATÍSTICA</p><p>Estatística é a ciência das probabilidades, o</p><p>conjunto de regras matemáticas que permite fazer</p><p>previsões sobre determinado universo estudado, a</p><p>partir de uma amostragem, uma pesquisa, signifi-</p><p>cativa. Uma apresentação como essa tende a</p><p>reforçar a ideia de que estatística é uma espécie</p><p>de álgebra burocrática, cujas fórmulas incompre-</p><p>ensíveis são utilizadas para defender conclusões</p><p>suspeitas. Esse preconceito contra a estatística</p><p>não vem de agora. Benjamin Disraeli, político bri-</p><p>tânico do século 19, dizia que há: "mentiras, men-</p><p>tiras deslavadas e estatísticas". Uma piada diz</p><p>que se uma pessoa come dois frangos e outra</p><p>nenhum, não há qualquer problema, pois, estatis-</p><p>ticamente, elas comem um frango cada.</p><p>Essa é uma conclusão fácil para quem resume</p><p>a estatística ao cálculo da média aritmética. Se</p><p>nos aprofundarmos, porém, em alguns de seus</p><p>conceitos e ferramentas básicas, que utilizam cál-</p><p>culos aritméticos simples, verificaremos que os</p><p>cenários projetados pela estatística são mais con-</p><p>fiáveis do que sugerem as ironias divertidas, mas</p><p>um tanto rasas, que lhe são dirigidas.</p><p>Às vésperas das eleições, os jornais trazem a</p><p>manchete: "31,6% devem votar no candidato A". E</p><p>o que isso quer dizer? Que o candidato será elei-</p><p>to? Para entender esse tipo de enunciado, é ne-</p><p>cessário compreender alguns conceitos de esta-</p><p>tística, a área da matemática que cuida da proba-</p><p>bilidade. Para entender uma pesquisa eleitoral,</p><p>por exemplo, é necessário conhecer alguns con-</p><p>ceitos: População é o universo que vai ser tema</p><p>da pesquisa. No caso das pesquisas eleitorais, os</p><p>eleitores brasileiros.</p><p>Técnico em Transações Imobiliárias – Organização Empresarial – módulo I</p><p>– 20 –</p><p>R</p><p>Representação gráfica com porcentagens.</p><p>Nota-se que o total das partes dá 100%</p><p>Como seria quase impossível consultar mais de</p><p>125 milhões de eleitores, delimita-se o número de</p><p>entrevistados, o grupo que vai servir de amostra-</p><p>gem.</p><p>Amostragem é um número reduzido de pes-</p><p>soas que representa a população total. Escolher</p><p>quais pessoas serão entrevistadas é um problema</p><p>complexo.</p><p>Se metade dos eleitores são mulheres e ser</p><p>mulher é um fator que interfere no voto, então</p><p>metade da amostragem deve ser de mulheres. Se</p><p>a classe social a que pertence o eleitor interfere</p><p>no voto, a amostragem deve se aproximar ao má-</p><p>ximo das diversas classes sociais que formam a</p><p>população.</p><p>Desse modo, se cada pessoa entrevistada re-</p><p>presenta o voto de 100.000 pessoas da popula-</p><p>ção, cada entrevistado deve ser uma amostra, a</p><p>mais fiel possível, dessas 100.000 pessoas.</p><p>Apesar de todo cuidado para escolher o públi-</p><p>co, e para calcular as previsões, os resultados não</p><p>são exatos. Tanto que toda reportagem, de jornal</p><p>ou televisão, deve exibir uma margem de erro da</p><p>pesquisa.</p><p>Normalmente 3 ou 4 pontos percentuais para</p><p>mais ou para menos.</p><p>15.1. Levantamento de Dados</p><p>A coleta de dados em estatística pode ser</p><p>feita de forma Direta ou Indireta. São chamados</p><p>então de dados brutos (fora de ordem), quando</p><p>os colocamos em ordem eles estão em rol.</p><p>15.2. Amplitude</p><p>Existe a Amplitude Total e a Amplitude Clas-</p><p>se.</p><p>A Amplitude Total é a diferença entre o maior</p><p>e o menor valor do rol.</p><p>15.3. Intervalos</p><p>São as classes. Eles podem ser abertos, fe-</p><p>chados e semi-fechados.</p><p>Representação e Significado</p><p>Abertos – Intervalos Abertos excluem os elemen-</p><p>tos da extremidade.</p><p>Fechados – Intervalos Fechados incluem os ele-</p><p>mentos da extremidade.</p><p>Semi-fechados – Intervalos Semi-fechados inclu-</p><p>em à direita ou à esquerda.</p><p>15.4. Classe</p><p>É um subconjunto pertencente ao conjunto dos</p><p>dados que foram levantados.</p><p>Amplitude de Classe</p><p>A diferença entre o maior e o menor valor de</p><p>intervalo. Estes valores recebem por sua vez, o</p><p>nome de limite superior (maior) e limite inferior</p><p>(menor). Representam-se da seguinte forma: h =</p><p>Amplitude Classe; l s = Limite Superior e l i = Limi-</p><p>te Inferior.</p><p>Portanto: h = l s - l i</p><p>Ponto Médio</p><p>É a média entre l s e l i. Representa-se como</p><p>Pm.</p><p>15.5. Tabulação</p><p>Representação figurada dos dados coletados.</p><p>Esta representação pode ser feita em gráficos ou</p><p>em tabelas.</p><p>Exemplos de Representações</p><p>Tabela</p><p>Técnico em Transações Imobiliárias – Organização Empresarial – módulo I</p><p>– 21 –</p><p>Gráfico Cartesiano</p><p>Mês</p><p>Tabela de Simples Entrada</p><p>Quando temos valores</p><p>diferentes associados a</p><p>uma só variável.</p><p>Altura Pessoas</p><p>1,50 – 1,60 3</p><p>1,61 – 1,70 4</p><p>1,71 – 1,80 2</p><p>Tabela de Dupla Classificação</p><p>Quando temos os valores diferentes associa-</p><p>dos a duas variáveis.</p><p>1,50 - 1,60 1,61 – 1,70 1,71 – 1,80</p><p>40 – 60 kg 10 3 1</p><p>61 – 80 kg 5 5 10</p><p>81 – 100 kg 1 2 4</p><p>Total 16 10 15</p><p>15.6. Distribuição de Frequência</p><p>É o agrupamento dos dados observados se-</p><p>gundo classes ou valores, e as frequências asso-</p><p>ciadas a esses valores (Ex.: fichas de análise de</p><p>acidentes: tipo de acidentes – lesão – data - n° de</p><p>acidentes).</p><p>Frequência Absoluta (fi)</p><p>É o número de vezes que determinado elemen-</p><p>to aparece na distribuição levantada.</p><p>Frequência Total (ft)</p><p>É a somatória da Frequência Absoluta.</p><p>ft = Σ fi</p><p>Frequência Relativa (fr)</p><p>É a Frequência Absoluta dividida pela Fre-</p><p>quência Total.</p><p>Frequência Acumulada (fa)</p><p>É a soma das frequências (absolutas ou relati-</p><p>vas) dos valores anteriores ao ocorrido, com a</p><p>frequência (absoluta ou relativa) do ocorrido.</p><p>RESUMINDO:</p><p>Estatística: é a ciência das probabilidades, o con-</p><p>junto de regras matemáticas que permite fazer</p><p>previsões sobre determinado universo estudado, a</p><p>partir de uma amostragem, uma pesquisa, signifi-</p><p>cativa. Levantamento de dados (pode ser feito de</p><p>forma direta ou indireta); Amplitude (total e clas-</p><p>se); Intervalos (abertos, fechados, semi-fechados);</p><p>Classe (amplitude de classe e ponto mé-</p><p>dio);Tabulação (tabela, gráfico cartesiano, tabela</p><p>de simples entrada, tabela de dupla classificação);</p><p>Distribuição de frequência (absoluta, total, relativa,</p><p>acumulada).</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1- O que é uma amostragem?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>2- Fale sobre os intervalos?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>Técnico em Transações Imobiliárias – Organização Empresarial – módulo I</p><p>– 22 –</p><p>16. PREÇO DE CUSTO E PREÇO DE VENDA</p><p>Todos os produtos que compramos durante</p><p>nossa vida têm um preço. Será este preço justo?</p><p>Todas as empresas, ao produzirem algo, sem-</p><p>pre querem alcançar uma determinada taxa de</p><p>lucro.</p><p>Uma empresa é um conjunto organizado de</p><p>meios com vista a exercer uma atividade particu-</p><p>lar, pública, ou de economia mista, que produz e</p><p>oferece bens ou serviços com o objetivo de aten-</p><p>der alguma necessidade humana. O lucro, na</p><p>visão moderna das empresas privadas, é conse-</p><p>quência do processo produtivo e o retorno espe-</p><p>rado pelos investidores. A partir daí, podemos</p><p>entender do que se trata o preço de custo e de</p><p>venda.</p><p>Na produção de um determinado produto, o</p><p>gasto real que a empresa tem para essa obtenção</p><p>pode ser entendido como preço de custo. Nesse</p><p>gasto real, podemos incluir a matéria-prima utili-</p><p>zada, o pagamento da mão de obra e até mesmo</p><p>a energia e água utilizada para o processo de fa-</p><p>bricação.</p><p>Quando essa empresa vende o produto, ela</p><p>não vai fazê-lo pelo mesmo valor gasto em sua</p><p>produção e sim acrescerá o seu lucro.</p><p>Da mesma forma, um comerciante que revende</p><p>este produto, comprará do fabricante pelo valor de</p><p>custo da fábrica acrescido de seu lucro. Portanto,</p><p>o preço de custo do comerciante é diferente do</p><p>preço de custo do fabricante.</p><p>Sendo assim, podemos concluir que:</p><p>PV = PC + L</p><p>Preço de Venda é igual ao Preço de Custo</p><p>mais o Lucro.</p><p>Exemplo:</p><p>Uma fábrica produz um determinado produto</p><p>com um Preço de Custo de R$ 150,00. Ela tem</p><p>um lucro de 30%. O revendedor, por sua vez, ob-</p><p>tém um lucro de 50% sobre a revenda. Qual o</p><p>preço pago pelo consumidor final?</p><p>Solução:</p><p>Preço Final = 1,5 x [150,00 + (30% x 150,00)]</p><p>RESUMINDO:</p><p>Preço de custo: é o gasto real que a empresa</p><p>tem para a obtenção de determinado produto.</p><p>Quando uma empresa vende o produto, ela não</p><p>vai fazê-lo pelo mesmo valor gasto em sua produ-</p><p>ção e sim, acrescentará o seu lucro, daí surgirá o</p><p>preço de venda.</p><p>EXERCÍCIO</p><p>1- O que é preço de venda?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>Técnico em Transações Imobiliárias – Organização Empresarial – módulo I</p><p>– 23 –</p><p>17. LUCROS E PREJUÍZOS</p><p>Lucro é o retorno positivo de um investimento</p><p>feito em uma determinada aplicação financeira.</p><p>Matematicamente, podemos escrever o seguin-</p><p>te:</p><p>Lucro (L) = Preço de venda (V) – Preço de custo</p><p>(C)</p><p>Prejuízo é o retorno negativo de um investi-</p><p>mento feito em uma determinada aplicação finan-</p><p>ceira.</p><p>Portanto: Prejuízo (P) = Preço de custo (C) – Preço</p><p>de venda (V)</p><p>Mas o que muda?</p><p>Bem! Temos lucro se ele, o lucro, for positivo,</p><p>maior que zero. E prejuízo se o lucro for negativo,</p><p>menor que zero.</p><p>Quando nosso PV (Preço de Venda) for maior</p><p>que o PC (Preço de Custo) temos lucro!</p><p>Quando nosso PV (Preço de Venda) for menor</p><p>que o PC (Preço de Custo) temos prejuízo!</p><p>PV > PC = Lucro</p><p>PV < PC = Prejuízo</p><p>RESUMINDO:</p><p>Lucros e Prejuízos: Lucro é o retorno positivo de</p><p>um investimento feito em uma determinada apli-</p><p>cação financeira enquanto que prejuízo é exata-</p><p>mente o contrário.</p><p>EXERCÍCIO</p><p>1- Quando podemos dizer que tivemos prejuízo</p><p>em determinada aplicação financeira?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>18. TAXA DE JUROS</p><p>18.1. Conceitos Básicos de Matemática Finan-</p><p>ceira</p><p>Basicamente a Matemática Financeira consiste</p><p>no emprego de determinados procedimentos que</p><p>acabam por simplificar a operação financeira do</p><p>Fluxo de Caixa.</p><p>Capital – O Capital é o valor aplicado através de</p><p>alguma operação financeira. Também podemos</p><p>chamá-lo de Principal, Valor Atual, Valor Nominal,</p><p>Valor Presente ou Valor Aplicado.</p><p>Juros – O Juro apresenta a remuneração do Ca-</p><p>pital empregado em alguma atividade produtiva.</p><p>Os Juros apresentam-se de duas formas: Simples</p><p>e Composto.</p><p>Juros Simples – O Juro de cada intervalo de</p><p>tempo sempre é calculado sobre o Capital Inicial</p><p>emprestado ou aplicado.</p><p>Juros Compostos – O Juro de cada intervalo de</p><p>tempo é calculado a partir do saldo no início do</p><p>intervalo correspondente. Ou seja: o Juro de cada</p><p>intervalo de tempo é incorporado ao Capital inicial</p><p>e passa a render juros também.</p><p>O Juro é a remuneração pelo empréstimo do</p><p>dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas</p><p>prefere o consumo imediato e está disposta a pa-</p><p>gar por isso.</p><p>Por outro lado, quem for capaz de esperar até</p><p>possuir a quantia suficiente para adquirir o seu</p><p>desejo, e nesse período estiver disposto a em-</p><p>prestar esta quantia a alguém, menos paciente,</p><p>deve ser recompensado por esta abstinência na</p><p>proporção do tempo e do risco, que a operação</p><p>envolver.</p><p>O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro</p><p>disponível no mercado para empréstimos definem</p><p>qual deverá ser a remuneração, mais conhecida</p><p>como Taxa de Juros.</p><p>Taxa de Juros – A Taxa de Juros indica qual re-</p><p>muneração será paga pelo dinheiro emprestado,</p><p>em um determinado período. Ela vem normalmen-</p><p>te expressa de forma percentual, em seguida da</p><p>especificação do período tempo a que se refere:</p><p>8% a.a. (a.a. = ao ano)</p><p>10% a.t. (a.t. = ao trimestre)</p><p>Técnico em Transações Imobiliárias – Organização Empresarial – módulo I</p><p>– 24 –</p><p>Outra forma de apresentação da taxa de juros</p><p>é a unitária, ou seja, a taxa é representada com</p><p>um número decimal. Para isto, basta dividir a taxa</p><p>por 100. Assim, ela será representada sem o sím-</p><p>bolo %:</p><p>0,15 a.m. (ao mês)</p><p>0,10 a.q. (ao quadrimestre)</p><p>Taxas Equivalentes – Duas taxas i1 e i2 são equi-</p><p>valentes, se aplicadas ao mesmo Capital P duran-</p><p>te o mesmo período de tempo, e através de dife-</p><p>rentes sistemas de capitalização, produzem o</p><p>mesmo montante final.</p><p>Seja o Capital P aplicado por um ano a uma</p><p>taxa anual ia. O montante M ao final do período de</p><p>um ano será igual a M = P (1 + ia).</p><p>Consideremos, agora, o mesmo capital P apli-</p><p>cado por 12 meses a uma taxa mensal im. O mon-</p><p>tante M’ ao final do período de 12 meses será</p><p>igual a M’ = P (1 + im)12.</p><p>Pela definição de taxas equivalentes, temos</p><p>que M = M’.</p><p>Portanto, temos que: P(1 + ia) = P(1 + im)12.</p><p>Então concluímos que: 1 + ia = (1 + im)12</p><p>Com esta fórmula, podemos calcular a taxa</p><p>anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.</p><p>Veja o exemplo a seguir:</p><p>Qual a taxa anual de juros equivalente a 0,5% ao</p><p>mês?</p><p>1 + ia = (1 + im)12</p><p>1 + ia = (1 + 0,005)12</p><p>Note, que para facilitar, já transformamos a por-</p><p>centagem em número decimal.</p><p>1 + ia = (1,005)12 - Na calculadora: = 1,0617</p><p>ia = 1,0617 – 1</p><p>ia = 0,0617 ou</p><p>ia = 6,17%</p><p>Taxas Nominais - A taxa nominal de juros é usa-</p><p>da para demonstrar os efeitos da inflação no perí-</p><p>odo analisado, tendo por base os fundos financei-</p><p>ros (empréstimos).</p><p>Vamos supor que um empréstimo no valor de</p><p>R$ 5.000,00 seja pago ao final de seis meses com</p><p>o valor monetário de R$ 7.000,00.</p><p>O cálculo da taxa nominal de juros será feita da</p><p>seguinte forma juros pagos dividido pelo valor</p><p>nominal do empréstimo.</p><p>Juros:</p><p>R$ 7.000,00 – R$ 5.000,00 = R$ 2.000,00</p><p>Taxa Nominal de Juros:</p><p>2.000,00 =0,4 = 40%</p><p>5.000,00</p><p>Taxas Efetivas – Na hora de contratar um finan-</p><p>ciamento ou pagar alguma dívida o consumidor</p><p>deve ficar atento se a taxa estipulada em contrato</p><p>é nominal ou efetiva. Muitas vezes, sem saber a</p><p>diferença, ele acaba pagando mais do que espe-</p><p>rava.</p><p>Os contratos de financiamento, em geral, in-</p><p>formam a taxa de juros nominal. Entretanto, a que</p><p>realmente vigora para o cálculo das prestações e</p><p>do saldo devedor é a taxa efetiva, que é sempre</p><p>maior do que a primeira.</p><p>Uma taxa de juros nominal de 12% ao ano,</p><p>capitalizados mensalmente, corresponderá, na</p><p>prática, a uma taxa efetiva de 12,6825%.</p><p>A taxa efetiva é aquela que realmente incide</p><p>em determinada operação. Já a nominal é a taxa</p><p>que é divulgada para um período. Mas a que</p><p>sempre nos é cobrada é a efetiva. Quem pega um</p><p>financiamento de 1 ano, com taxa nominal de 12%</p><p>ao ano capitalizada mensalmente, estará pagando</p><p>juros efetivos de 12,6825% por um motivo sim-</p><p>ples: no primeiro mês, será cobrado 1% de juro.</p><p>No segundo, o juro também será de 1%, mas inci-</p><p>dirá sobre o saldo do mês anterior (já somado ao</p><p>juro do mês anterior), e assim sucessivamente. É</p><p>que esses financiamentos são calculados no re-</p><p>gime de juros compostos (juro sobre juro).</p><p>Acompanhe o exemplo:</p><p>Financiamento de R$ 1.000, em 12 meses, com</p><p>taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada men-</p><p>salmente. A taxa mensal será de 1%:</p><p>Dívida no 1º mês:</p><p>R$ 1.000 + 1% = R$ 1.010,00</p><p>Técnico em Transações Imobiliárias – Organização Empresarial – módulo I</p><p>– 25 –</p><p>Dívida no 2º mês:</p><p>R$ 1.010,00 + 1% = R$ 1.020,10</p><p>Dívida no 3º mês:</p><p>R$ 1.020,10 + 1% = R$ 1.030,30</p><p>Dívida no 4º mês:</p><p>R$ 1.030,30 + 1% = R$ 1.040,60</p><p>Dívida no 5º mês</p><p>R$ 1.040,60 + 1% = R$ 1.051,01</p><p>Dívida no 6º mês</p><p>R$ 1.051,01 + 1% = R$ 1.061,52</p><p>Dívida no 7º mês</p><p>R$ 1.061,52 + 1% = R$ 1.072,13</p><p>Dívida no 8º mês</p><p>R$ 1.061,52 + 1% = R$ 1.082,85</p><p>Dívida no 9º mês</p><p>R$ 1.082,85 + 1% = R$ 1.093,68</p><p>Dívida no 10º mês</p><p>R$ 1.093,68 + 1% = R$ 1.104,62</p><p>Dívida no 11º mês</p><p>R$ 1.104,62 + 1% = R$ 1.115,67</p><p>Dívida no 12º mês</p><p>R$ 1.115,67 + 1% = R$ 1.126,82</p><p>Agora, basta fazer o cálculo: quem pegou um</p><p>financiamento de R$ 1.000 e desembolsou, no fim</p><p>do prazo R$ 1.126,82, pagou 12,68% de juros, e</p><p>não 12% como informado.</p><p>Se a taxa efetivamente cobrada tivesse sido de</p><p>12%, a dívida final seria de R$ 1.120,00. É impor-</p><p>tante que o tomador de empréstimo peça sempre</p><p>o cálculo da taxa efetiva.</p><p>Se for um financiamento de um imóvel, por</p><p>exemplo, que tem prazo longo, a diferença final é</p><p>realmente muito grande.</p><p>No caso de um financiamento em 25 anos, com</p><p>juros nominal de 12% ao ano pagará, de taxa efe-</p><p>tiva, um total de 1.878,84%.</p><p>Se a taxa nominal anunciada estivesse mesmo</p><p>valendo, o juro seria bem menor: 300%.</p><p>Diferença prática entre a taxa nominal e a efetiva:</p><p>TAXA NOMINAL TAXA EFETIVA</p><p>12% ao ano, capitalizados</p><p>mensalmente</p><p>12,6825% ao ano</p><p>6% ao ano, capitalizados</p><p>mensalmente</p><p>6,1678% ao ano</p><p>12% ao semestre, capitali-</p><p>zados mensalmente</p><p>12,6162% ao semes-</p><p>tre</p><p>9% ao trimestre, capitali-</p><p>zados mensalmente</p><p>9,2727% ao trimestre</p><p>4% ao mês, capitalizados</p><p>diariamente (dias úteis)</p><p>4,0773% ao mês</p><p>Veja a diferença conceitual de cada uma das</p><p>taxas:</p><p>Taxa efetiva – É aquela em que a unidade de</p><p>referência de seu tempo coincide com a unidade</p><p>de tempo dos períodos de capitalização. Assim,</p><p>são taxas efetivas: 3% ao mês, capitalizados</p><p>mensalmente; 4% ao mês, capitalizados mensal-</p><p>mente, e assim por diante.</p><p>Taxa nominal – É aquela em que a unidade de</p><p>referência de seu tempo não coincide com a uni-</p><p>dade de tempo dos períodos de capitalização. A</p><p>taxa nominal é quase</p><p>sempre fornecida em termos</p><p>anuais e os períodos de capitalização podem ser</p><p>semestrais trimestrais ou mensais. Exemplos de</p><p>taxas nominais: 12% ao ano, capitalizados men-</p><p>salmente; 24% ao ano, capitalizados mensalmen-</p><p>te.</p><p>Cálculo da Taxa Efetiva</p><p>if = i</p><p>1 – i.t</p><p>Onde:</p><p>if = Taxa Efetiva</p><p>i = Taxa de Desconto</p><p>t = Tempo de Desconto da Aplicação</p><p>Vamos calcular a taxa efetiva de juros descon-</p><p>tados três meses antes do vencimento, sendo que</p><p>havia sido contratada a uma taxa de 40% ao ano.</p><p>Taxa Efetiva = ?</p><p>Tempo = 3 meses</p><p>Taxa de Desconto = 40% a.a. = 0,4/12 = 0,033</p><p>a.m.</p><p>Técnico em Transações Imobiliárias – Organização Empresarial – módulo I</p><p>– 26 –</p><p>RESUMINDO:</p><p>Taxa de juros: Capital, Juros, Juros Simples, Ju-</p><p>ros Compostos, Taxa de Juros, Taxas Equivalen-</p><p>tes, Taxas Nominais e Efetivas.</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1- Relacione:</p><p>(a) Taxa nominal</p><p>(b) Juros compostos</p><p>(c) Juros simples</p><p>(d) Taxa efetiva</p><p>( ) o juro é sempre calculado sobre o capital ini-</p><p>cial emprestado ou aplicado.</p><p>( ) é aquela em que a unidade de referencia de</p><p>seu tempo coincide com a unidade dos períodos</p><p>de capitalização.</p><p>( ) o juro de cada intervalo de tempo é sempre</p><p>calculado a partir do saldo no inicio do intervalo</p><p>correspondente.</p><p>( ) é aquela em que a unidade de referencia de</p><p>seu tempo não coincide com a unidade de tempo</p><p>dos períodos de capitalização.</p><p>2- O que é Capital?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>3- O que indica a Taxa de Juros?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>19. A INFLAÇÃO</p><p>O processo inflacionário é quando há um</p><p>aumento constante de preços. Não quando há um</p><p>reajuste, mas quando este aumento é generaliza-</p><p>do e constante.</p><p>Através de dados estatísticos e índices que</p><p>demonstram a variação dos preços, tais como o</p><p>IGPM, por exemplo, podemos medir em porcenta-</p><p>gem esta variação de preços e por assim dizer,</p><p>medirmos a inflação.</p><p>Vejamos o exemplo:</p><p>Vamos supor que o produto represente em média</p><p>60% dos gastos das pessoas e o produto B 40%.</p><p>Meses Produto A ($) Produto B ($)</p><p>1 R$ 90,00 R$ 30,00</p><p>2 R$ 105,00 R$ 70,00</p><p>O primeiro passo é analisarmos o mês 1. Con-</p><p>sideramos os preços de A e B como sendo 100%.</p><p>Regra de Três</p><p>Produto A</p><p>R$ %</p><p>90 100</p><p>105 x</p><p>90 = 100 90 . x = 105 . 100</p><p>x = 10.500 x = 116,67%</p><p>105 x 90</p><p>RESUMINDO:</p><p>A Inflação: O processo inflacionário é quando há</p><p>um aumento constante de preços. Não quando há</p><p>um reajuste, mas quando este aumento é genera-</p><p>lizado e constante.</p><p>EXERCÍCIO</p><p>1- Como podemos medir a inflação?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>Técnico em Transações Imobiliárias – Organização Empresarial – módulo I</p><p>– 27 –</p><p>20. CAPITALIZAÇÃO</p><p>Capitalização é a formação ou acumulação de</p><p>bens de capital ou bens econômicos. Onde, a</p><p>pessoa aplica uma determinada quantia por certo</p><p>período de tempo, e ao final dele, recebe o capital</p><p>investido junto com os juros relativos ao período.</p><p>A soma dos juros obtidos com esse capital é o</p><p>que se chama de capitalização.</p><p>20.1. Juros Simples</p><p>J = C . i . t</p><p>Onde:</p><p>J = Juros Simples</p><p>C = Capital</p><p>i = Taxa de Juros</p><p>t = Tempo de Aplicação</p><p>Outras formas diretas e derivadas da primeira são:</p><p>C = J i = J t = J</p><p>i.t C.t C.i</p><p>Exemplo:</p><p>Calcular os juros de R$ 140,00 em 4 anos, a uma</p><p>taxa de 6% a.a.</p><p>J = ?</p><p>C = R$ 140,00</p><p>i = 6% a.a.</p><p>t = 4 anos</p><p>J = C.i.t → J = 140,00.6%.4 → J = 140,00 . 6 : 100</p><p>. 4 → J = 33,60</p><p>Portanto os juros são de R$ 33,60.</p><p>20.2. Montante Simples</p><p>Montante Simples é o resultado da soma do</p><p>capital aplicado mais os juros simples produzidos</p><p>pelo capital, a uma determinada taxa, num tempo</p><p>considerado.</p><p>M = C + J</p><p>Exemplo:</p><p>Qual o montante simples de um capital de R$</p><p>20,00 aplicado à taxa de 2% a.a. pelo prazo de 4</p><p>anos?</p><p>J = ?</p><p>C = R$ 20,00</p><p>i = 2% a.a.</p><p>t = 4 anos</p><p>M = C + J = 20 + 20.4.2% = 20 + 20.4.2/100 = 20</p><p>+ 80 = 1000 + 80 = 21,60</p><p>50 50</p><p>O montante simples é de R$ 21,60</p><p>20.3. Períodos Não Inteiros</p><p>Para o cálculo de períodos não inteiros, de-</p><p>vemos primeiro fazer a transformação da taxa</p><p>proporcional ao período desejado. Nos exercícios</p><p>anteriores, consideramos o tempo apenas em</p><p>anos, isso fez com que esse dado só aparecesse</p><p>como número inteiro. Vamos mencionar agora</p><p>períodos variados, ou seja, fazendo surgir perío-</p><p>dos não inteiros. Iremos em seguida, apresentar</p><p>situações em que a taxa pode ser ao dia (a.d.), ao</p><p>mês (a.m.), ao trimestre (a.t.) etc...</p><p>Exemplo:</p><p>Determine os juros simples referentes a um capital</p><p>de R$ 1.000,00 aplicados nos seguintes casos:</p><p>a) a uma taxa de juros de 15% a.a. durante três</p><p>meses.</p><p>Solução:</p><p>Quando a taxa de juros é dada em anos e o perí-</p><p>odo em meses, devemos dividir a taxa por 12,</p><p>para sabermos a taxa por um mês.</p><p>Meses Taxa (%)</p><p>12 15</p><p>1 x</p><p>Sabendo o valor de um único mês, é fácil cal-</p><p>cularmos o valor referente a três meses.</p><p>Calcule:</p><p>b) a uma taxa de juros de 6% a.a. durante 15 dias;</p><p>c) a uma taxa de juros de 0,4 a.d. durante 4 me-</p><p>ses;</p><p>d) a uma taxa de juros de 5% a.b. durante 2 anos.</p><p>RESUMINDO:</p><p>Capitalização (formação ou acumulação de bens</p><p>de capital ou bens econômicos); Juros simples,</p><p>montante simples, períodos não inteiros.</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1- O que é capitalização?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>Técnico em Transações Imobiliárias – Organização Empresarial – módulo I</p><p>– 28 –</p><p>2- Qual é a forma para calcularmos os juros sim-</p><p>ples?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>3- E para calcularmos o montante simples?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>21. JURO EXATO E JURO COMERCIAL</p><p>Nas aplicações financeiras em que a taxa de</p><p>juros é expressa em anos e o período em dias,</p><p>é necessário calcular a taxa de juros equivalente a</p><p>um dia. Para isso, é importante saber que o ano</p><p>pode ser conceituado de duas formas: ano civil e</p><p>ano comercial. Eles são classificados da seguinte</p><p>forma:</p><p>Ano Civil = 365 dias</p><p>Ano Comercial = 360 dias</p><p>Juro Exato é obtido através do ano civil. Juro</p><p>exato é representado por Jx e se expressa pela</p><p>fórmula:</p><p>Jx = C.i.t</p><p>365</p><p>Juro Comercial é obtido pelo ano comercial.</p><p>Juro comercial é representado por Jm e se expres-</p><p>sa pela fórmula:</p><p>Jm = C.i.t</p><p>360</p><p>Calcule:</p><p>a) determine o juro exato de um capital de R$</p><p>50.000,00, aplicado por um período de 20 dias a</p><p>uma taxa de 12% a.a.</p><p>b) calcule, agora o juro comercial na mesma situ-</p><p>ação.</p><p>RESUMINDO:</p><p>Juro exato e Juro comercial: Nas aplicações</p><p>financeiras em que a taxa de juros é expressa em</p><p>anos e o período em dias é necessário calcular a</p><p>taxa de juros equivalente há um dia. Para isso</p><p>precisamos saber que o ano pode ser conceituado</p><p>em 2 formas: ano civil e ano comercial.</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1- Qual a diferença entre ano civil e ano comerci-</p><p>al?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>2- Qual a diferença entre juro exato e juro comer-</p><p>cial?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>Técnico em Transações Imobiliárias – Organização Empresarial – módulo I</p><p>– 29 –</p><p>22. DESCONTOS</p><p>Imaginemos uma situação em que uma pessoa</p><p>contraia uma dívida a ser paga futuramente. Esta</p><p>operação, normalmente, é registrada por docu-</p><p>mentos denominados: títulos.</p><p>Títulos são documentos pelos quais compro-</p><p>vamos a execução de empréstimos que serão</p><p>pagos no futuro. Na operação de empréstimo, o</p><p>devedor oferece ao credor um título para compro-</p><p>var a operação.</p><p>Os três tipos de títulos mais comuns são:</p><p>- Nota Promissória;</p><p>- Duplicata e</p><p>- Letra de Câmbio.</p><p>O título é uma promessa de pagamento em</p><p>espécie, de mercadorias, serviços prestados ou</p><p>mesmo de empréstimo em dinheiro. Neles ficam</p><p>especificados o Valor Nominal.</p><p>Valor Nominal de um título é o resultado da</p><p>soma da dívida inicialmente contraída, com os</p><p>juros sobre este valor.</p><p>22.1. Desconto por Fora (Comercial)</p><p>Suponhamos que o devedor queira quitar sua</p><p>dívida assumida antes do prazo de vencimento.</p><p>Neste caso, o devedor terá de fornecer um des-</p><p>conto, um abatimento dos juros. Esse abatimento</p><p>é chamado de desconto e é calculado através de</p><p>uma taxa de desconto.</p><p>Define-se como Desconto Por Fora, ou co-</p><p>mercial, aquele em que calculamos os juros sim-</p><p>ples sobre o valor nominal, por um período deter-</p><p>minado.</p><p>Calculamos da seguinte forma:</p><p>Df = Desconto por fora ou comercial;</p><p>N = Valor Nominal;</p><p>i = Taxa de desconto e</p><p>t = período de tempo.</p><p>Df = N . i . t</p><p>Lembrando que N é o valor nominal, ou seja, o</p><p>valor da dívida acrescido dos juros. Então vamos</p><p>simbolizar como L o valor líquido a ser recebido</p><p>após o desconto e estabelecer a seguinte relação:</p><p>N = L + D</p><p>L = N – D</p><p>L = N – (N.i.t)</p><p>L = N .(1 – i.t)</p><p>Temos então: L = N (1- i.t)</p><p>22.2. Desconto por Dentro (Racional)</p><p>Define-se como desconto por dentro, ou ra-</p><p>cional, aquele em que calculamos os juros simples</p><p>sobre o valor líquido.</p><p>Cálculo:</p><p>Dd = L . i . t</p><p>Dd = Desconto por Dentro</p><p>L = Valor Líquido</p><p>i = Taxa de Desconto</p><p>t = Período de Tempo</p><p>Admitamos a seguinte relação N = L + Dd e, a</p><p>partir dela podemos encontrar o valor líquido por</p><p>outra fórmula, veja:</p><p>N = L + Dd → N = L + L . i . t → N = L. (1+i.t) → L = N</p><p>1+i.t</p><p>Podemos ainda encontrar outra relação para o</p><p>desconto por dentro, considerando o seguinte</p><p>raciocínio. Se na expressão Dd=L.i.t substituímos</p><p>“L” por N temos:</p><p>1+i.t</p><p>Dd = L.i.t → Dd = N .i.t → N.i.t</p><p>1+i.t 1+i.t</p><p>Na realidade todas as fórmulas são equivalen-</p><p>tes, ficando a seu critério a escolha do uso.</p><p>RESUMINDO:</p><p>Descontos: Desconto por fora (comercial) é a-</p><p>quele que calculamos os juros simples sobre o</p><p>valor nominal, por um período determinado e Des-</p><p>conto por dentro (racional) é aquele que calcula-</p><p>mos os juros simples sobre o valor liquido.</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1- O que são títulos?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>2- O que é valor nominal de um titulo?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>3- Qual a diferença entre desconto comercial e</p><p>desconto racional?</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>________________________________________</p><p>Técnico em Transações Imobiliárias – Organização Empresarial – módulo I</p><p>– 30 –</p><p>TEXTO ADICIONAL</p><p>OS JUROS E OS IMPOSTOS</p><p>Prof. Jean Piton-Gonçalves</p><p>Os juros e os impostos existem desde a época</p><p>dos primeiros registros de civilizações existentes</p><p>na Terra. Um dos primeiros indícios apareceu na</p><p>já na Babilônia no ano de 2000 aC. Nas citações</p><p>mais antigas, os juros eram pagos pelo uso de</p><p>sementes ou de outras conveniências empresta-</p><p>das; os juros eram pagos sob a forma de semen-</p><p>tes ou de outros bens. Muitas das práticas exis-</p><p>tentes originaram-se dos antigos costumes de</p><p>empréstimo e devolução de sementes e de outros</p><p>produtos agrícolas.</p><p>A História também revela que a ideia se tinha</p><p>tornado tão bem estabelecida que já existia uma</p><p>firma de banqueiros internacionais em 575 aC,</p><p>com os escritórios centrais na Babilônia. Sua ren-</p><p>da era proveniente das altas taxas de juros cobra-</p><p>das pelo uso de seu dinheiro para o financiamento</p><p>do comércio internacional. O juro não é apenas</p><p>uma das nossas mais antigas aplicações da Ma-</p><p>temática Financeira e Economia, mas também</p><p>seus usos sofreram poucas mudanças através</p><p>dos tempos.</p><p>Como em todas as instruções que têm existido</p><p>por milhares de anos, algumas das práticas relati-</p><p>vas a juros têm sido modificadas para satisfaze-</p><p>rem às exigências atuais, mas alguns dos antigos</p><p>costumes ainda</p><p>persistem de tal modo que o seu</p><p>uso nos dias atuais ainda envolve alguns proce-</p><p>dimentos incômodos.</p><p>Entretanto, devemos lembrar que todas as an-</p><p>tigas práticas que ainda persistem foram inteira-</p><p>mente lógicas no tempo de sua origem. Por e-</p><p>xemplo, quando as sementes eram emprestadas</p><p>para a semeadura de uma certa área, era lógico</p><p>esperar o pagamento na próxima colheita - no</p><p>prazo de um ano.</p><p>Assim, o cálculo de juros numa base anual era</p><p>mais razoável; tão quanto o estabelecimento de</p><p>juros compostos para o financiamento das antigas</p><p>viagens comerciais, que não poderiam ser conclu-</p><p>ídas em um ano.</p><p>Conforme a necessidade de cada época, foi se</p><p>criando novas formas de se trabalhar com a rela-</p><p>ção tempo-juros (juros semestral, bimestral, diário,</p><p>etc.).</p><p>Há tábuas nas coleções de Berlirn, de Yale e</p><p>do Louvre que contêm problemas sobre juros</p><p>compostos e há algumas tábuas em Istambul que</p><p>parecem ter sido originalmente tábuas de a' para n</p><p>de 1 a 10 e para a = 9, 16, 100 e 225.</p><p>Com essas tábuas podem-se resolver equa-</p><p>ções exponenciais do tipo a' = b. Em uma tábua</p><p>do Louvre, de cerca de 1700 a.C., há o seguinte</p><p>problema: Por quanto tempo deve-se aplicar uma</p><p>certa soma de dinheiro a juros compostos anuais</p><p>de 20% para que ela dobre?</p><p>Extraído do site -</p><p>http://matematicauneb.blogspot.com/2009/06/historia-da-</p><p>matematica-comercial-e_08.html</p><p>SAIBA MAIS</p><p>IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Ele-</p><p>mentar. Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos</p><p>Murakami. São Paulo, Atual Editora Ltda, edição</p><p>1977.</p><p>NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e</p><p>suas Aplicações - 8ª Edição São Paulo. Ed. Atlas.</p><p>SPINELLI, Walter Queiroz, Maria Helena. Mate-</p><p>mática Comercial e Financeira – 4 ª Edição, Ática</p><p>– 1989.</p><p>GIOVANNI, José Ruy, CASTRUCCI, Benedito. A</p><p>Conquista da Matemática; Teoria e Aplicação –</p><p>São Paulo – FTD, 1985.</p><p>Material de apoio:</p><p>http://www.brasilescola.com/matematica/adicao-subtracao-</p><p>fracao.htm</p><p>http://www.matematicadidatica.com.br/Proporcao.aspx</p><p>http://www.exatas.mat.br/regra3.htm</p><p>http://www.exatas.mat.br/porcentagem.htm</p><p>http://www.infoescola.com/matematica/potenciacao-</p><p>exponenciacao/</p><p>http://educacao.uol.com.br/matematica/radiciacao-regras-</p><p>potenciacao.jhtm</p><p>http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/propriedades-</p><p>das-potencias.htm</p><p>http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoArea</p><p>FigurasPlanas.aspx</p><p>http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/pi.htm</p><p>http://www.brasilescola.com/matematica/poligonos.htm</p><p>http://www.webestudante.com.br/we/index.php?option=com_c</p><p>ontent&view=article&id=437:representacao-</p><p>decimal&catid=89:met-de-mat-e-ciencias-&Itemid=120</p><p>http://educacao.uol.com.br/matematica/media-desvio-padrao-</p><p>e-variancia-nocoes-de-estatistica.jhtm</p><p>http://www.passeiweb.com/na_ponta_lingua/sala_de_aula/ma</p><p>tematica/algebra/probabilidade/estatistica_o_que_e</p><p>http://www.brasilescola.com/matematica/adicao-subtracao-fracao.htm</p><p>http://www.brasilescola.com/matematica/adicao-subtracao-fracao.htm</p><p>http://www.matematicadidatica.com.br/Proporcao.aspx</p><p>http://www.exatas.mat.br/regra3.htm</p><p>http://www.exatas.mat.br/porcentagem.htm</p><p>http://www.infoescola.com/matematica/potenciacao-exponenciacao/</p><p>http://www.infoescola.com/matematica/potenciacao-exponenciacao/</p><p>http://educacao.uol.com.br/matematica/radiciacao-regras-potenciacao.jhtm</p><p>http://educacao.uol.com.br/matematica/radiciacao-regras-potenciacao.jhtm</p><p>http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/propriedades-das-potencias.htm</p><p>http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/propriedades-das-potencias.htm</p><p>http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx</p><p>http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx</p><p>http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/pi.htm</p><p>http://www.brasilescola.com/matematica/poligonos.htm</p><p>http://www.webestudante.com.br/we/index.php?option=com_content&view=article&id=437:representacao-decimal&catid=89:met-de-mat-e-ciencias-&Itemid=120</p><p>http://www.webestudante.com.br/we/index.php?option=com_content&view=article&id=437:representacao-decimal&catid=89:met-de-mat-e-ciencias-&Itemid=120</p><p>http://www.webestudante.com.br/we/index.php?option=com_content&view=article&id=437:representacao-decimal&catid=89:met-de-mat-e-ciencias-&Itemid=120</p><p>http://educacao.uol.com.br/matematica/media-desvio-padrao-e-variancia-nocoes-de-estatistica.jhtm</p><p>http://educacao.uol.com.br/matematica/media-desvio-padrao-e-variancia-nocoes-de-estatistica.jhtm</p><p>http://www.passeiweb.com/na_ponta_lingua/sala_de_aula/matematica/algebra/probabilidade/estatistica_o_que_e</p><p>http://www.passeiweb.com/na_ponta_lingua/sala_de_aula/matematica/algebra/probabilidade/estatistica_o_que_e</p>