Cinemática corpos rígidos

Prévia do material em texto

<p>CINEMÁTICA</p><p>DOS CORPOS</p><p>RÍGIDOS</p><p>Elaine Aparecida de Oliveira</p><p>Análise bidimensional do</p><p>equilíbrio de corpo rígido</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:</p><p>� Descrever os conceitos de força reativa e diagrama de corpo livre</p><p>aplicados a corpos rígidos em duas dimensões.</p><p>� Apresentar as equações de equilíbrio em duas dimensões para corpos</p><p>rígidos.</p><p>� Aplicar as equações de equilíbrio para corpos rígidos em duas dimen-</p><p>sões na resolução de problemas.</p><p>Introdução</p><p>O estudo do movimento é bem extenso, pois corpos podem se movi-</p><p>mentar de diversas formas; um dos motivos para isso é a aplicação de</p><p>alguma força externa. Em alguns casos, o importante é que o corpo esteja</p><p>em equilíbrio — nesse caso, as forças aplicadas têm resultante igual a</p><p>zero, portanto, não há aceleração nos componentes ortogonais, bem</p><p>como não pode haver rotação.</p><p>O equilíbrio de um corpo pode ser estático, quando não há movi-</p><p>mento ou quando o corpo se encontra em movimento retilíneo uniforme,</p><p>em velocidade constante. A aplicação de equilíbrio é bem presente no</p><p>nosso dia a dia, como em pontes, construções e estruturas de telhados.</p><p>Neste capítulo, você vai estudar os conceitos de força reativa e dia-</p><p>grama de corpo livre aplicados a corpos rígidos em duas dimensões. Você</p><p>também vai estudar as equações de equilíbrio em duas dimensões para</p><p>corpos rígidos e vai verificar como aplicá-las na resolução de problemas.</p><p>1 Força reativa</p><p>Forças que atuam sobre corpos rígidos podem ser externas ou internas (BEER</p><p>et al., 2011). As forças internas são as forças que mantêm o corpo unido</p><p>— por exemplo, um corpo composto por várias partes está sujeito a forças</p><p>internas sobre seus componentes. As forças externas são as forças aplicadas</p><p>ao corpo por um agente externo a este; tais forças são responsáveis por causar</p><p>movimento ou garantir que o corpo permaneça em repouso.</p><p>A força resultante que age sobre um corpo é igual ao produto da massa</p><p>do corpo pela aceleração (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). A força</p><p>resultante é a soma vetorial de todas as forças aplicadas a um corpo (KNIGHT,</p><p>2009). Devemos nos atentar para o fato de que, para analisar as forças em um</p><p>corpo, somente as forças que atuam sobre este devem ser consideradas. Por</p><p>exemplo, em um jogo de basquete, quando vários jogadores disputam uma</p><p>bola, a força resultante sobre um jogador é a soma vetorial de todas as forças</p><p>que o jogador recebe, não incluindo as forças que o mesmo exerce sobre os</p><p>outros jogadores.</p><p>A terceira lei de Newton nos traz uma importante propriedade das forças:</p><p>elas sempre ocorrem aos pares (TIPLER; MOSCA, 2009). Um exemplo disso</p><p>é a força normal. Um corpo está sujeito à aceleração gravitacional; portanto,</p><p>quando em contato com uma superfície, esse corpo exerce uma força, chamada</p><p>peso (P), que é igual à sua massa multiplicada pela aceleração da gravidade.</p><p>Esse corpo se mantém sobre a superfície, pois esta reage com uma força de</p><p>mesma intensidade no sentido oposto, chamada de força normal (Figura 1),</p><p>que é um exemplo de força reativa.</p><p>Figura 1. Força normal.</p><p>Análise bidimensional do equilíbrio de corpo rígido2</p><p>Diagrama de corpo livre</p><p>Conhecendo as forças reativas e as forças aplicadas sobre um corpo, podemos</p><p>desenhar o diagrama de corpo livre, que consiste em uma ilustração simpli-</p><p>ficada de um corpo e de todas as forças que agem sobre ele, sejam elas forças</p><p>aplicadas por outros corpos ou forças reativas. Um diagrama de corpo livre</p><p>(Figura 2) é utilizado com o intuito de definir as forças reativas em um corpo.</p><p>Figura 2. Diagrama de corpo livre de um automóvel sendo puxado por um motor.</p><p>2 Equações do equilíbrio</p><p>As forças externas que agem sobre um corpo rígido podem ser reduzidas a</p><p>um sistema de força e momento em um ponto qualquer (BEER et al., 2011).</p><p>Utilizando a segunda lei de Newton, somando todas as forças e definindo</p><p>como condição que a resultante seja nula, obtemos a chamada condição de</p><p>equilíbrio (YOUNG; FREEDMAN, 2016). As equações para condição de</p><p>equilíbrio bidimensional são:</p><p>∑Fx = 0 (1)</p><p>∑Fy = 0 (2)</p><p>∑M = 0 (3)</p><p>3Análise bidimensional do equilíbrio de corpo rígido</p><p>Para realizar a soma dos componentes das forças, precisamos nos atentar</p><p>às referências adotadas. Consideramos um valor positivo no eixo x para forças</p><p>orientadas para a direita. Para o eixo y, consideramos que a orientação para</p><p>cima é a positiva e que a referência positiva para o momento é a tendência de</p><p>giro do corpo no sentido anti-horário.</p><p>Na Figura 3, é apresentado um corpo — no caso, uma viga sujeita a uma</p><p>força F orientada para baixo e duas forças com intensidade igual à metade</p><p>de F. Na primeira condição, em que a força F está deslocada do centro geo-</p><p>métrico, a condição de equilíbrio do somatório das forças é atendida; porém,</p><p>o momento nesse corpo não é zero — logo, esse corpo vai rotacionar. Na se-</p><p>gunda condição, a força F está localizada no centro geométrico — nesse caso,</p><p>as condições para força e momento são atendidas, e o corpo está em equilíbrio.</p><p>Figura 3. Corpo em duas condições de carregamento.</p><p>3 Aplicação das equações de equilíbrio</p><p>na resolução de problemas</p><p>Como vimos, as forças reativas são provenientes da terceira lei de Newton,</p><p>que estabelece que a força exercida sobre um corpo gera, no agente, uma</p><p>força de mesma intensidade em sentido oposto. As forças reativas são muito</p><p>importantes no equilíbrio, pois o resultado da soma vetorial de todas as forças</p><p>Análise bidimensional do equilíbrio de corpo rígido4</p><p>deve ter resultado nulo para que o equilíbrio seja garantido. O equilíbrio em</p><p>duas dimensões depende de três equações que possuem resultado nulo. Nesse</p><p>caso, a soma de todas as forças em cada um dos eixos deve ser nula, assim</p><p>como a somatória do momento em qualquer ponto deve ser. Aplicando essas</p><p>equações, é possível resolver a maioria dos problemas de estática em duas</p><p>dimensões. Existem problemas em que a aplicação dessas equações é insufi-</p><p>ciente para encontrar as reações, mas se trata de aplicações mais avançadas</p><p>na mecânica dos materiais. A seguir, serão apresentados três exemplos de</p><p>aplicação do conteúdo deste capítulo.</p><p>Exemplo 1</p><p>Vigas são elementos muito utilizados em estruturas na construção civil e em</p><p>equipamentos industriais como pontes rolantes. Na Figura 4, é apresentada</p><p>uma viga com seus apoios e carregamento. No ponto A, a viga está apenas</p><p>apoiada e, no ponto B, está presa por um pino. Determine as forças de reação</p><p>nos pontos A e B.</p><p>Solução:</p><p>Na imagem, já está representado o diagrama de corpo livre. Com isso, pode-</p><p>mos aplicar as equações de equilíbrio e determinar as forças nos pontos A e</p><p>B, considerando como referências positivas a orientação para cima no eixo y,</p><p>a orientação para a direita no eixo x, e o sentido anti-horário, para rotação.</p><p>Além disso, é escolhido o ponto B como referência para a rotação.</p><p>5Análise bidimensional do equilíbrio de corpo rígido</p><p>Podemos determinar a reação em A resolvendo a equação de momento:</p><p>Podemos substituir o valor encontrado para a reação em A e encontrar a</p><p>reação na direção y de B.</p><p>As reações nos pontos A e B são:</p><p>RBx = 0</p><p>RBy = 7,5kN</p><p>RAy =17,5 kN</p><p>Análise bidimensional do equilíbrio de corpo rígido6</p><p>Figura 4. Viga sobre carregamento.</p><p>Exemplo 2</p><p>Empilhadeiras são equipamentos utilizados para movimentar cargas em in-</p><p>dústrias ou depósitos. Seu centro de gravidade é bem afastado da lança onde</p><p>as cargas são suspensas, com o intuito de garantir o equilíbrio e para que a</p><p>empilhadeira não gire e acabe tombando. Determine as reações nas rodas de</p><p>uma empilhadeira de massa de 4 toneladas que sustenta uma caixa de 300 kg,</p><p>conforme mostra a Figura 5.</p><p>Solução:</p><p>No diagrama de corpo livre, não são representadas as forças de reação das</p><p>rodas na horizontal, apenas na vertical, pois a roda não oferece resistência</p><p>no sentido horizontal e não há força na horizontal. Podemos perceber que</p><p>a caixa não é representada no diagrama de corpo livre, pois este é somente</p><p>para a empilhadeira.</p><p>7Análise bidimensional do equilíbrio de corpo rígido</p><p>Determinaremos as forças peso da empilhadeira e da caixa:</p><p>Aplicando as condições de equilíbrio, obtemos:</p><p>Determinamos a reação por meio da equação do momento:</p><p>–31,38kN · m = R2 · 1m</p><p>R2 = 31,38kN</p><p>Com a equação de equilíbrio de forças no eixo vertical, y, podemos calcular</p><p>a reação R1:</p><p>–42,18kN + R1 + 31,38kN = 0</p><p>R1 = 10,8 kN</p><p>Análise bidimensional do equilíbrio de corpo rígido8</p><p>Figura 5. Empilhadeira e seu diagrama de corpo livre.</p><p>Exemplo 3</p><p>A Figura 6 representa um elemento de um aparelho de musculação que está</p><p>sujeito apenas ao seu peso. No ponto A, esse elemento é preso por um pino</p><p>e, no ponto B, está apenas apoiado sobre um rolete. Determine as forças de</p><p>reação nos pontos A e B.</p><p>Solução:</p><p>Neste problema, não teremos apenas força no sentido vertical — agora, para</p><p>manter o equilíbrio, forças no sentido horizontal são necessárias. As nossas</p><p>referências serão as mesmas adotadas anteriormente: no eixo horizontal,</p><p>a orientação à direta é a positiva; para o eixo vertical, a orientação para cima</p><p>é a positiva; para o momento, o sentido anti-horário é o positivo.</p><p>9Análise bidimensional do equilíbrio de corpo rígido</p><p>Definidas as referências, podemos aplicar as equações de equilíbrio.</p><p>Foi escolhido o ponto A para a referência de momentos porque possui</p><p>mais quantidade de esforços — assim, simplificamos a solução do problema.</p><p>Figura 6. Barra sujeita a uma força e seu diagrama de corpo livre.</p><p>Análise bidimensional do equilíbrio de corpo rígido10</p><p>BEER, F. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. 9. ed. Porto Alegre: McGraw-</p><p>-Hill Education, 2011.</p><p>HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 10. ed. Rio de Janeiro:</p><p>LTC, 2016. v. 1.</p><p>KNIGHT, R. Física 1: uma abordagem estratégica. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009.</p><p>TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC,</p><p>2009. v. 1.</p><p>YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física I: mecânica. 14. ed. São Paulo: Pearson, 2016.</p><p>11Análise bidimensional do equilíbrio de corpo rígido</p>