Papiro IME ITA - M07 Sequencias e Series - Matematica

Prévia do material em texto

<p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>1</p><p>Coletânea de questões classificadas por tópicos</p><p>Vestibulares IME e ITA - 1990 a 2020</p><p>Matemática</p><p>M07 – Sequências e Séries</p><p>Versão 2.0 da lista (janeiro de 2022)</p><p>Olá a todos!</p><p>Meu nome é Eurico Dias, sou professor de Turmas IME ITA há quase 20 anos e estou disponibilizando esse</p><p>material inédito e gratuito com questões selecionadas de 30 anos de provas do ITA e IME (1990 a 2020),</p><p>proporcionando para alunos e professores interessados uma forma de testar e treinar seus estudos.</p><p>Logo abaixo coloquei um pequeno guia de estudo sobre os principais tópicos teóricos que considero necessário</p><p>para facilitar a resolução das questões a seguir. Utilize como uma espécie de checklist durante sua preparação:</p><p>marcando quando você estudou o material (sozinho ou em aula), fechou a parte teórica, fez exercícios e, se necessário,</p><p>revisou próximo da data do concurso.</p><p>Ah! Gostaria muito de saber das suas futuras conquistas e aprovações! Cada vitória dos meus alunos é a força</p><p>que motiva todo meu trabalho como professor e educador. Aguardo sua mensagem!</p><p>Só o gagá salva!!!</p><p>(Gagá = gíria iteana para estudo sem noção de tempo e espaço)</p><p>Eurico Dias</p><p>eurico@gmail.com</p><p>http://www.instagram.com/euricodias/</p><p>Tópicos AULA TEORIA EXERCÍCIOS REVISÃO</p><p>Sequências</p><p>– Progressão Aritmética. Propriedades, Termo Geral e Soma dos Termos</p><p>– PA de ordem n</p><p>– Soma das potências de inteiros</p><p>– Progressão Geométrica. Propriedades, Termo Geral, Soma e Produto dos termos</p><p>– Progressão Aritmo-Geométrica</p><p>Somatórios. Séries Telescópicas.</p><p>Produtórios</p><p>Noções de Convergência e Divergência de Séries</p><p>GUIA DE ESTUDO - MATEMÁTICA - IME/ITA</p><p>Autor: Eurico Dias</p><p>PAPIRO IME ITA - M07 - SEQUÊNCIAS E SÉRIES</p><p>mailto:eurico@gmail.com</p><p>http://www.instagram.com/euricodias/</p><p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>2</p><p>I - Questões Objetivas</p><p>M07-E01 (ITA 1999/2000) O valor de n que torna a sequência</p><p>2 + 3n, –5n, 1 – 4n</p><p>uma progressão aritmética pertence ao intervalo:</p><p>A) [-2, -1]</p><p>B) [-1, 0]</p><p>C) [0. 1]</p><p>D) [1, 2]</p><p>E) [2, 3]</p><p>M07-E02 (ITA 1992/1993) Numa progressão aritmética com 2n + 1 termos, a soma dos n primeiros é igual</p><p>a 50 e a soma dos n últimos é 140. Sabendo-se que a razão desta progressão é um inteiro entre 2 e 13,</p><p>então seu último termo será igual a:</p><p>A) 34</p><p>B) 40</p><p>C) 42</p><p>D) 48</p><p>E) 56</p><p>M07-E03 (IME 2008/2009) É dada uma PA de razão r. Sabe-se que o quadrado de qualquer número par x,</p><p>x > 2, pode ser expresso como a soma dos n primeiros termos desta PA, onde n é igual à metade de x. O</p><p>valor de r é:</p><p>A) 2</p><p>B) 4</p><p>C) 8</p><p>D) 10</p><p>E) 16</p><p>M07-E04 (ITA 2009/2010) Considere a progressão aritmética (a1, a2, ..., a50) de razão d. Se</p><p>10</p><p>n</p><p>n 1</p><p>a</p><p>=</p><p> = 10 + 25d e</p><p>50</p><p>n</p><p>n 1</p><p>a</p><p>=</p><p> = 4550,</p><p>então d – a1 é igual a</p><p>A) 3</p><p>B) 6</p><p>C) 9</p><p>D) 11</p><p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>3</p><p>E) 14</p><p>M07-E05 (ITA 2011/2012) Sabe-se que (x + 2y, 3x - 5y, 8x - 2y, 11x - 7y + 2z) é uma progressão aritmética</p><p>com o último termo igual a -127. Então, o produto xyz é igual a</p><p>A) - 60</p><p>B) - 30</p><p>C) 0</p><p>D) 30</p><p>E) 60</p><p>M07-E06 (IME 2006/2007) Um quadrado de lado igual a um metro é dividido em quatro quadrados idênticos.</p><p>Repete-se esta divisão com os quadrados obtidos e assim sucessivamente por n vezes. A figura abaixo</p><p>ilustra as quatro primeiras etapas desse processo. Quanto →n , a soma em metros dos perímetros dos</p><p>quadrados hachurados em todas as etapas é:</p><p>A) 4</p><p>B) 6</p><p>C) 8</p><p>D) 10</p><p>E) 12</p><p>M07-E07 (ITA 1997/1998) Seja (a1 , a2 , a3 ,...) uma progressão geométrica infinita de razão a1, 0 < a1 < 1, e</p><p>soma igual a 3a1. A soma dos três primeiros termos desta progressão geométrica é:</p><p>A)</p><p>8</p><p>27</p><p>B)</p><p>20</p><p>27</p><p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>4</p><p>C)</p><p>26</p><p>27</p><p>D)</p><p>30</p><p>27</p><p>E)</p><p>38</p><p>27</p><p>M07-E08 (ITA 1994/1995) Se a soma dos termos da progressão geométrica dada por 0,3 : 0,03 : 0,003 : ...</p><p>é igual ao termo médio de uma progressão aritmética de três termos, então a soma dos termos da</p><p>progressão aritmética vale:</p><p>A) 1/3</p><p>B) 2/3</p><p>C) 1</p><p>D) 2</p><p>E) 1/2</p><p>M07-E09 (ITA 1989/1990) Numa progressão geométrica de três termos a razão é e – 2a, a soma dos termos</p><p>é 7 enquanto que a diferença do último termo com o primeiro é 3. Nestas condições o valor de a é:</p><p>A) ln 2</p><p>B) – ln</p><p>2</p><p>5</p><p>C) ln 3</p><p>D) – ln 2</p><p>E) não existe número real a nestas condições</p><p>M07-E10 (ITA 1993/1994) Seja (a1, a2, ...., an) uma progressão geométrica com um número ímpar de</p><p>termos e razão q > 0. O produto de seus termos é igual a 225 e o termo do meio é 25. Se a soma dos (n - 1)</p><p>primeiros termos é igual a 2(1 + q)(1 + q2), então:</p><p>A) a1 + q = 16</p><p>B) a1 + q = 12</p><p>C) a1 + q = 10</p><p>D) a1 + q + n = 20</p><p>E) a1 + q + n = 11</p><p>M07-E11 (IME 2019/2020) Considere a progressão geométrica 𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑛,⋯ e a progressão</p><p>aritmética 𝑏1,𝑏2,⋯,𝑏𝑛,⋯ com as condições:</p><p>𝑎1 > 0;</p><p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>5</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>a</p><p>a</p><p> ; e</p><p>𝑏2 − 𝑏1 > 0</p><p>Para que [log(𝑎𝑛)− 𝑏𝑛] não dependa de n, o valor de  deverá ser:</p><p>A)</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>ba</p><p>a</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>B)</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>ba</p><p>a</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>C)</p><p>2 1</p><p>1</p><p>( )</p><p>2</p><p>1</p><p>b ba</p><p>a</p><p>− </p><p> </p><p> </p><p>D)</p><p>1 2</p><p>1</p><p>( )</p><p>2</p><p>1</p><p>b ba</p><p>a</p><p>− </p><p> </p><p> </p><p>E)</p><p>1 2</p><p>1</p><p>( )</p><p>2</p><p>1</p><p>b ba</p><p>a</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>M07-E12 (ITA 2002/2003) O valor de y2 – xz para o qual os números</p><p>12</p><p>sen</p><p></p><p>, x, y, z e sen75°, nesta ordem,</p><p>formam uma progressão aritmética, é:</p><p>A) 3−4</p><p>B) 2−6</p><p>C) 6−2</p><p>D) 2−5</p><p>E)</p><p>4</p><p>32 −</p><p>M07-E13 (ITA 1996/1997) Os números reais x, y e z formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de</p><p>razão r. Seja a um número real com a > 0 e a  1 satisfazendo 3ax + 2ay - az = 0. Então r é igual a</p><p>A) a2</p><p>B) (1/2)a</p><p>C) log2a 4</p><p>D) loga (3/2)</p><p>E) loga 3</p><p>M07-E14 (IME 2013/2014) Em uma progressão aritmética crescente, a soma de três termos consecutivos</p><p>é S1 e a soma de seus quadrados é S2. Sabe-se que os dois maiores desses três termos são raízes da</p><p>equação</p><p> </p><p>− + − = </p><p> </p><p>2</p><p>1 2</p><p>1</p><p>x S S   0 .</p><p>2</p><p>x A razão desta PA é</p><p>A)</p><p>1</p><p>6</p><p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>6</p><p>B)</p><p>6</p><p>6</p><p>C) 6</p><p>D)</p><p>6</p><p>3</p><p>E) 1</p><p>M07-E15 (IME 2014/2015) A soma dos termos de uma progressão aritmética é 244. O primeiro termo, a</p><p>razão e o número de termos formam, nessa ordem, outra progressão aritmética de razão 1. Determine a</p><p>razão da primeira progressão aritmética.</p><p>A) 7</p><p>B) 8</p><p>C) 9</p><p>D) 10</p><p>E) 11</p><p>M07-E16 (IME 2018/2019) Os ângulos 1, 2, 3, ..., 100 são os termos de uma progressão aritmética na qual</p><p>11 + 26 + 75 + 90 =</p><p>4</p><p></p><p>. O valor de</p><p>100</p><p>i</p><p>i 1</p><p>sen</p><p>=</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> é:</p><p>A) -1</p><p>B)</p><p>2</p><p>2</p><p>−</p><p>C) 0</p><p>D)</p><p>2</p><p>2</p><p>E) 1</p><p>M07-E17 (ITA 2005/2006) Considere as seguintes afirmações sobre a expressão</p><p>S = ( ) =</p><p>101</p><p>0k</p><p>k</p><p>8 24log :</p><p>I – S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita.</p><p>II – S é a soma dos termos de uma progressão aritmética finita de razão 2/3.</p><p>III – S = 3451.</p><p>IV – S  3434 + log8 2 .</p><p>Então, pode-se afirmar que é(são) verdadeira(s) apenas</p><p>A) I e III</p><p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>7</p><p>B) II e III</p><p>C) II e IV</p><p>D) II</p><p>E) III</p><p>M07-E18 (IME 2012/2013) Entre os números 3 e 192 insere-se igual número de termos de uma progressão</p><p>aritmética e de uma progressão geométrica com razão r e q, respectivamente, onde r e q são números</p><p>inteiros. O número 3 e o número 192 participam destas duas progressões. Sabe-se que o terceiro termo de</p><p>8</p><p>1</p><p>1 ,</p><p>q</p><p> </p><p>+ </p><p> </p><p>em potências crescentes de</p><p>1</p><p>,</p><p>q</p><p>é</p><p>r</p><p>.</p><p>9q</p><p>O segundo termo da progressão aritmética é</p><p>A) 12</p><p>B) 48</p><p>C) 66</p><p>D) 99</p><p>E) 129</p><p>M07-E19 (ITA 1998/1999) O conjunto de todos os números reais q > 1, para os quais a1, a2 e a3, formam,</p><p>nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q e representam as medidas dos lados de um triângulo,</p><p>é:</p><p>A) ]1,</p><p>2</p><p>51+ [</p><p>B) 1,</p><p>2</p><p>51+ ]</p><p>C) ]1,</p><p>5</p><p>51+ ]</p><p>D) ]1,</p><p>4</p><p>51+ [</p><p>E) ]1, 1+ 5 [</p><p>M07-E20 (ITA 2016/2017) Sejam a, b, c, d .</p><p>Suponha que a, b, c, d formem, nesta ordem, uma</p><p>progressão geométrica e que b ca, , , d 140</p><p>2 4</p><p>− formem, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então, o</p><p>valor de d b− é</p><p>A) -140</p><p>B) -120</p><p>C) 0</p><p>D) 120</p><p>E) 140</p><p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>8</p><p>M07-E21 (IME 2016/2017) Sejam uma progressão aritmética</p><p>1 2 3 4a ,a ,a ,a( ,...) e uma progressão</p><p>geométrica</p><p>1 2 3 4,b ,b ,b(b ,...) de termos inteiros, de razão r e razão q, respectivamente, onde r e q são inteiros</p><p>positivos, com q > 2 e b1 > 0. Sabe-se, também, que</p><p>1 2a b 3+ = ,</p><p>4 3a b 26+ = . O valor de b1 é:</p><p>A) 1</p><p>B) 2</p><p>C) 3</p><p>D) 4</p><p>E) 5</p><p>M07-E22 (ITA 2000/2001) Um triângulo tem lados medindo 3, 4 e 5 centímetros. A partir dele, constrói-se</p><p>uma sequência de triângulos do seguinte modo: os pontos médios dos lados de um triângulo são os vértices</p><p>do seguinte. Dentre as alternativas abaixo, o valor em centímetros quadrados que está mais próximo da</p><p>soma das áreas dos 78 primeiros triângulos assim construídos, incluindo o triângulo inicial, é:</p><p>A) 8</p><p>B) 9</p><p>C) 10</p><p>D) 11</p><p>E) 12</p><p>M07-E23 (ITA 1992/1993) A soma dos 5 primeiros termos de uma progressão aritmética de razão r é 50 e</p><p>a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita de razão q é 12. Se ambas as progressões tiverem</p><p>o mesmo termo inicial menor do que 10 e sabendo-se que q = r2, podemos afirmar que a soma dos 4</p><p>primeiros termos da progressão geométrica será:</p><p>A) 623/11</p><p>B) 129/32</p><p>C) 25/2</p><p>D) 765/64</p><p>E) 13</p><p>M07-E24 (ITA 1991/1992) Numa progressão geométrica de razão inteira q > 1. Sabe-se que a1an = 243,</p><p>nq alog e logq nP = 6, onde an é o enésimo termo de progressão geométrica e Pn é o produto dos n primeiros</p><p>termos. Então a soma dos n primeiros termos é igual a:</p><p>A)</p><p>6</p><p>139 −</p><p>B)</p><p>6</p><p>1310 −</p><p>C)</p><p>6</p><p>138 −</p><p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>9</p><p>D)</p><p>3</p><p>139 −</p><p>E) n.d.a.</p><p>M07-E25 (ITA 1993/1994) Seja (a, b, c, d, e) uma progressão geométrica de razão a, com a  0 e a  1. Se</p><p>a soma de seus termos é igual a (13a + 12) e x é um número real positivo diferente de 1 tal que:</p><p>+</p><p>xlog</p><p>1</p><p>a</p><p>+</p><p>xlog</p><p>1</p><p>b</p><p>+</p><p>xlog</p><p>1</p><p>c</p><p>+</p><p>xlog</p><p>1</p><p>d</p><p>=</p><p>xlog</p><p>1</p><p>e 2</p><p>5</p><p>então x é igual a:</p><p>A) 33</p><p>B) 23</p><p>C) (5/2)2</p><p>D) (5/2)3/2</p><p>E) (2/5)2</p><p>M07-E26 (ITA 1996/1997) Seja  um valor fixado no intervalo ]0, /2[. Sabe-se que a1 = cotg é o primeiro</p><p>termo de uma progressão geométrica infinita de razão q = sen2. A soma de todos os termos dessa</p><p>progressão é:</p><p>A) cosec . tg </p><p>B) sec . tg </p><p>C) sec . cosec </p><p>D) sec2</p><p>E) cosec2</p><p>M07-E27 (IME 2007/2008) A soma dos números inteiros positivos de quatro algarismos que admitem 3, 5</p><p>e 7 como fatores primos é:</p><p>A) 11025</p><p>B) 90300</p><p>C) 470005</p><p>D) 474075</p><p>E) 475105</p><p>M07-E28 (ITA 2012/2013) Considere a equação</p><p>5</p><p>n</p><p>n</p><p>n 0</p><p>a x 0</p><p>=</p><p>= em que a soma das raízes é igual a -2 e</p><p>os coeficientes 0 1 2 3 4 5a ,a ,a , ,a ea a formam, nesta ordem, uma progressão geométrica com a0 = 1.</p><p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>1</p><p>0</p><p>Então</p><p>5</p><p>n</p><p>n 0</p><p>a</p><p>=</p><p> é igual a</p><p>A) 21−</p><p>B)</p><p>2</p><p>3</p><p>−</p><p>C)</p><p>21</p><p>32</p><p>D)</p><p>63</p><p>32</p><p>E) 63</p><p>M07-E29 (IME 2011/2012) São dados os pontos</p><p>0P e</p><p>1P distantes 1cm entre si. A partir destes dois pontos</p><p>são obtidos os demais pontos</p><p>nP para todo n inteiro maior do que um, de forma que:</p><p>• o segmento ( )n n 1</p><p>P P</p><p>− é 1 cm maior do que o segmento ( ) ( )n 1 n 2</p><p>P P</p><p>− − ; e</p><p>• o segmento ( )n n 1</p><p>P P</p><p>− é perpendicular a ( )0 n 1</p><p>P P</p><p>−</p><p>Determine o comprimento do segmento 0 24P P .</p><p>A) 48</p><p>B) 60</p><p>C) 70</p><p>D) 80</p><p>E) 90</p><p>M07-E30 (IME 2007/2008) Seja ai um dos termos da progressão geométrica com oito elementos</p><p>1 1</p><p>2,1, , ,...</p><p>2 4</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>, e S = log2 a1 + log2 a2 + ... + log2 a8.</p><p>Se</p><p>5</p><p>S</p><p>b =</p><p>−</p><p>e ( ) 2 2f x x b x b= + + − , o valor de f(1) será:</p><p>A) -7</p><p>B) 7</p><p>C) 11</p><p>D) -11</p><p>E) 1</p><p>M07-E31 (IME 2009/2010) Seja S 1² 3² 5² 7² ... 79²= + + + + + . O valor de S satisfaz:</p><p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>1</p><p>1</p><p>A)</p><p>4S 7 10 </p><p>B)</p><p>4 47 10 S 8 10   </p><p>C)</p><p>4 48 10 S 9 10   </p><p>D)</p><p>4 59 10 S 10  </p><p>E)</p><p>5S³ 10</p><p>M07-E32 (ITA 2018/2019) Considere as seguintes afirmações:</p><p>I. se n é um número natural, então</p><p>II. se x é um número real e x³ + x + 1 = 0, então</p><p>III. se a, b e c são números reais positivos que formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então</p><p>formam, nessa ordem, uma progressão aritmética.</p><p>É(são) VERDADEIRA(S)</p><p>A) apenas I.</p><p>B) apenas I e II.</p><p>C) apenas I e III.</p><p>D) apenas II e III.</p><p>E) todas.</p><p>M07-E33 (ITA 2019/2020) Sejam a, b e c números reais, a ≠ 0, tais que a2 + b2 = c2. Se a, b e c formam,</p><p>nessa ordem, uma progressão geométrica de razão k, então o produto P e a soma S de todos os possíveis</p><p>valores para k são iguais a</p><p>A) P = 1 e S = 0</p><p>B) P = -1 e S = 1</p><p>C) P = -1 e S = -1</p><p>D)</p><p>(1 5)</p><p>0</p><p>2</p><p>P e S</p><p>− +</p><p>= =</p><p>E)</p><p>(1 5)²</p><p>0</p><p>4</p><p>P e S</p><p>+</p><p>= =</p><p>M07-E34 (IME 2010/2011) Uma progressão aritmética  na , onde n * , tem 1a 0 e 8 133a 5a= . Se</p><p>nS é a soma dos n primeiros termos desta progressão, o valor de n para que Sn seja máxima é:</p><p>A) 10</p><p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>1</p><p>2</p><p>B) 11</p><p>C) 19</p><p>D) 20</p><p>E) 21</p><p>M07-E35 (ITA 2019/2020) A cada aniversário, seu bolo tem uma quantidade de velas igual à sua idade. As</p><p>velas são vendidas em pacotes com 12 unidades e todo ano é comprado apenas um novo pacote. As velas</p><p>remanescentes são guardadas para os anos seguintes, desde o seu primeiro aniversário.</p><p>Qual a sua idade, em anos, no primeiro ano em que as velas serão insuficientes?</p><p>A) 12.</p><p>B) 23.</p><p>C) 24.</p><p>D) 36.</p><p>E) 38.</p><p>M07-E36 (ITA 2006/2007) Se as medidas dos lados de um triângulo obtusângulo estão em progressão</p><p>geométrica de razão r; então r pertence ao intervalo:</p><p>A) ( )( )0, 1 2 / 2+</p><p>B) ( ) ( )( )1 2 / 2, 1 5 / 2+ +</p><p>C) ( ) ( )1 5 / 2 , 1 5 / 2 + + </p><p> </p><p>D) ( )( )1 5 / 2, 2 2 / 2+ +</p><p>E) ( )( )2 2 / 2, 2 3 / 2+ +</p><p>M07-E37 (ITA 2005/2006) Numa circunferência C1 de raio r1 = 3 cm está inscrito um hexágono regular H1,</p><p>em H1 está inscrita uma circunferência C2, em C2 está inscrito um hexágono regular H2 e, assim,</p><p>sucessivamente. Se An (em cm2) é a área do hexágono Hn, então </p><p>= 1n An (em cm2) é igual a</p><p>A) 54 2</p><p>B) 54 3</p><p>C) 36 (1+ 3 )</p><p>D) 27 / (2+ 3 )</p><p>E) 30(2 + 3 )</p><p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>1</p><p>3</p><p>M07-E38 (IME 2015/2016) Sabendo- se que os números reais positivos a, b e c formam uma progressão</p><p>geométrica e log</p><p>5c</p><p>a</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>,</p><p>3b</p><p>log</p><p>5c</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>e log</p><p>a</p><p>3b</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>formam uma progressão aritmética, ambas nessa ordem, então</p><p>pode-se afirmar que a, b e c</p><p>A) formam os lados de um triângulo obtusângulo.</p><p>B) formam os lados de um triângulo acutângulo não equilátero.</p><p>C) formam os lados de um triângulo equilátero.</p><p>D) formam os lados de um triângulo retângulo.</p><p>E) não podem formar os lados de um triângulo.</p><p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>1</p><p>4</p><p>II - Questões Discursivas</p><p>M07-E39 (IME 1989/1990) Seja f uma função definida nos inteiros positivos satisfazendo:</p><p>f(1) = 1</p><p>f(2n) = 2.f(n) + 1</p><p>f(f(n)) = 4n - 3</p><p>Calcule f(1990).</p><p>M07-E40 (IME 2011/2012) O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de uma Progressão Aritmética</p><p>(PA) de números inteiros, de razão r, formam, nesta ordem, uma Progressão Geométrica (PG), de razão q,</p><p>com q e r * (natural diferente de zero). Determine:</p><p>a) o menor valor possível para a razão r;</p><p>b) o valor do décimo oitavo termo da PA, para a condição do item a.</p><p>M07-E41 (IME 2015/2016) Os inteiros 1, 2 3,..., 25a a a a estão em PA com razão não nula. Os termos</p><p>1 2 10a , a e a estão em PG, assim como 6 j 25a , a e a .Determine j.</p><p>M07-E42 (IME 1995/1996) Calcule a soma abaixo:</p><p>1 1 1 1</p><p>...</p><p>1x 4 4 x 7 7 x10 2998 x 3001</p><p>+ + + +</p><p>M07-E43 (IME 1996/1997) Considere os números ímpares escritos sucessivamente, como mostra a figura</p><p>abaixo, onde a enésima linha compreende n números. Encontre em função de n, nesta linha, a soma</p><p>de</p><p>todos os números escritos, bem como o primeiro e o último.</p><p>M07-E44 (IME 2001/2002) Calcule a soma dos números entre 200 e 500 que são múltiplos de 6 ou de 14,</p><p>mas não simultaneamente múltiplos de ambos.</p><p>M07-E45 (IME 1997/1998) Uma soma finita de números inteiros consecutivos, ímpares, positivos ou</p><p>negativos, é igual a 7³. Determine os termos desta soma.</p><p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>1</p><p>5</p><p>M07-E46 (IME 1998/1999) Determine as possíveis progressões aritméticas para as quais o resultado da</p><p>divisão da soma dos seus n primeiros termos pela soma dos seus 2n primeiros termos seja independente</p><p>do valor de n.</p><p>M07-E47 (ITA 2004/2005) Seja a1, a2,... uma progressão aritmética infinita tal que</p><p>2</p><p>n</p><p>1k</p><p>k3 n2na +=</p><p>=</p><p>,</p><p>para n  ℕ*.</p><p>Determine o primeiro termo e a razão da progressão.</p><p>M07-E48 (ITA 2009/2010) Sejam A, B e C conjuntos tais que:</p><p>C  B,</p><p>n(B\C) = 3n(B  C) = 6n(A  B),</p><p>n(A  B) = 22,</p><p>e (n(C), n(A), n(B)) é uma progressão geométrica de razão r > 0.</p><p>a) Determine n(C)</p><p>b) Determine n(P(B\C)).</p><p>M07-E49 (ITA 2014/2015) Sabe-se que 1, B, C, D e E são cinco números reais que satisfazem às</p><p>propriedades</p><p>(i) B, C, D, E são dois a dois distintos;</p><p>(ii) os números 1, B, C, e os números 1, C, E, estão, nesta ordem, em progressão aritmética;</p><p>(iii) os números B, C, D, E, estão, nesta ordem, em progressão geométrica.</p><p>Determine B, C, D, E.</p><p>M07-E50 (ITA 2005/2006) Seja (a1,a2,a3,...,an,...) uma progressão geométrica infinita de razão positiva r, em</p><p>que a1 = a é um número real não nulo. Sabendo que a soma de todos os termos de índices pares desta</p><p>progressão geométrica é igual a 4 e que a soma de todos os termos de índices múltiplos de 3 é 16/13,</p><p>determine o valor de a + r.</p><p>M07-E51 (ITA 2009/2010) A progressão geométrica infinita (a1, a2, ..., an, ...) tem razão r < 0. Sabe-se que</p><p>a progressão infinita (a1, a6, ..., a5n+1, ...) tem soma 8 e a progressão infinita (a5, a10, ..., a5n, ...) tem soma 2.</p><p>Determine a soma da progressão infinita (a1, a2, ..., an, ...).</p><p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>1</p><p>6</p><p>M07-E52 (IME 2017/2018) Sejam a, b, c, e d números reais positivos diferentes de 1. Temos que alog d ,</p><p>blog d e clog d são termos consecutivos de uma progressão geométrica e que a, b e c formam uma</p><p>progressão aritmética em que a b c  .</p><p>Sabendo-se que</p><p>log b</p><p>ab b – a= , determine:</p><p>a) Os valores de a, b e c;</p><p>b) As razões das progressões aritmética e geométrica, r e q, respectivamente.</p><p>M07-E53 (ITA 2016/2017) Sejam A {1, 2, , 29, 30}= o conjunto dos números inteiros de 1 a 30 e</p><p>( )1 2 3a ,a ,a uma progressão geométrica crescente com elementos de A e razão q > 1.</p><p>a) Determine todas as progressões geométricas ( )1 2 3a ,a ,a de razão</p><p>3</p><p>q</p><p>2</p><p>= .</p><p>b) Escreva</p><p>m</p><p>q</p><p>n</p><p>= , com m, n e mdc(m, n) 1.= Determine o maior valor possível para n.</p><p>M07-E54 (IME 1990/1991) No plano, considere um disco de raio R chame este conjunto de A0. Divida um</p><p>raio de A0 em três segmentos congruentes e retire de A0 a coroa circular de raios</p><p>3</p><p>1</p><p>R e</p><p>3</p><p>2</p><p>R, chame este</p><p>conjunto de A1. O conjunto A1 contém um disco de raio R1 =</p><p>3</p><p>1</p><p>R, divida um raio deste disco em três</p><p>segmentos congruentes e, mais uma vez, retire de A1 a coroa circular de raios</p><p>3</p><p>1</p><p>R1 e</p><p>3</p><p>2</p><p>R1, chame este</p><p>conjunto de A2. Continue esse processo indefinidamente e seja A o conjunto resultante.</p><p>a) Calcule a área do conjunto An obtido após a n-ésima etapa do processo descrito acima.</p><p>b) Calcule a área do conjunto resultante A.</p><p>M07-E55 (IME 2002/2003) Dada numa circunferência de raio R, inscreve-se nela um quadrado. A seguir,</p><p>inscreve-se uma circunferência neste quadrado. Este processo se repete indefinidamente para o interior da</p><p>figura de maneira que cada quadrado estará sempre inscrito em uma circunferência e simultaneamente</p><p>circunscrito por outra.</p><p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>1</p><p>7</p><p>Calcule, em função de R, a soma das áreas delimitadas pelos lados dos quadrados e pelas</p><p>circunferências que os circunscrevem, conforme mostra a figura.</p><p>M07-E56 (ITA 2002/2003) Considere a seguinte situação baseada num dos paradoxos de Zenão de Eléia,</p><p>filósofo grego do século V A.C. Suponha que o atleta Aquiles e uma tartaruga apostam uma corrida em linha</p><p>reta, correndo com velocidades constantes vA e vT, com 0 < vT < vA. Como a tartaruga é mais lenta, é-lhe</p><p>dada uma vantagem inicial, de modo a começar a corrida no instante t = 0 a uma distância d1 > 0 na frente</p><p>de Aquiles. Calcule os tempos t1, t2, t3,... que Aquiles precisa para percorrer as distâncias d1, d2, d3,...,</p><p>respectivamente, sendo que, para todo n > 2, dn denota a distância entre a tartaruga e Aquiles no instante</p><p></p><p>−</p><p>=</p><p>1</p><p>1</p><p>n</p><p>k</p><p>kt da corrida. Verifique que os termos tk, k = 1, 2, 3,..., formam uma progressão geométrica infinita,</p><p>determine sua soma e dê o significado desta soma.</p><p>M07-E57 (IME 2006/2007) Considere um sequência de triângulos retângulos cuja lei de formação é dada</p><p>por kk aa</p><p>3</p><p>2</p><p>1 =+ e kk bb</p><p>5</p><p>4</p><p>1 =+ , onde ka e kb , para 1k , são os comprimentos dos catetos do k-ésimo</p><p>triângulo retângulo. Se cm301 =a e cm421 =b , determine o valor da soma das áreas de todos os</p><p>triângulos quando →k .</p><p>M07-E58 (IME 2018/2019) Mostre que os números 16, 24 e 81 podem pertencer a uma PG e obtenha a</p><p>quantidade de termos dessa PG, sabendo que seus elementos são números naturais.</p><p>M07-E59 (IME 1999/2000) Determine o polinômio em n, com no máximo 4 termos, que representa o</p><p>somatório dos quadrados dos n primeiros números naturais </p><p>=</p><p>n</p><p>1k</p><p>2k .</p><p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>1</p><p>8</p><p>M07-E60 (IME 2007/2008) Determine a expressão da soma a seguir, onde n é um inteiro múltiplo de 4.</p><p>( )21 2 3 ... 1 ni i n i+ + + + +</p><p>M07-E61 (IME 2007/2008) Uma sequência de quatro termos forma uma PG. Subtraindo-se 2 do primeiro</p><p>termo e k do quarto termo, transforma-se a sequência original em uma PA. Uma terceira sequência é obtida</p><p>somando-se os termos correspondentes da PG e da PA. Finalmente, uma quarta sequência, uma nova PA,</p><p>é obtida a partir da terceira sequência, subtraindo-se 2 do terceiro termo e sete do quarto. Determine os</p><p>termos da PG original.</p><p>M07-E62 (ITA 2001/2002) Sejam n  2 números reais positivos a1, a2,…an que formam uma progressão</p><p>aritmética de razão positiva. Considere An = a1 + a2 + … + an e responda, justificando: Para todo n  2, qual</p><p>é o maior entre os números ?a</p><p>n</p><p>A</p><p>ea</p><p>n</p><p>A 2</p><p>n</p><p>2</p><p>n</p><p>2</p><p>n</p><p>n −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>M07-E63 (ITA 2001/2002) Considere n pontos distintos A1, A2, …, An sobre uma circunferência de raio</p><p>unitário, de forma que os comprimentos dos arcos A1A2, A2A3, …, An-1An formam uma progressão geométrica</p><p>de termo inicial  e razão .</p><p>2</p><p>1</p><p>Para que valores de n  N teremos o comprimento do arco AnA1 menor que</p><p>512</p><p>1</p><p>do comprimento da circunferência?</p><p>Obs.: Para todo arco AkAl, o comprimento considerado é o do arco que une o ponto Ak ao ponto Al no sentido</p><p>anti-horário.</p><p>M07-E64 (IME 2010/2011) Os números m, 22680 e n fazem parte, nessa ordem, de uma progressão</p><p>geométrica crescente com razão dada por q. Sabe-se que:</p><p>- existem, pelo menos, dois elementos entre m e 22680;</p><p>- n é o sexto termo dessa progressão geométrica;</p><p>- n 180.000 .</p><p>Determine os possíveis valores de m e n, sabendo que m, n e q são números naturais positivos</p><p>M07-E65 (IME 2008/2009) Dada a função 2F : → , com as seguintes características:</p><p>( )F 0,0 1= ;</p><p>( ) ( )F n,m 1 q.F n,m+ = , onde q é um número real diferente de zero;</p><p>( ) ( )F n 1, 0 r F n,0+ = + , onde r é um número real diferente de zero.</p><p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>1</p><p>9</p><p>Determine o valor de</p><p>2009</p><p>i 0</p><p>F(i, i)</p><p>=</p><p> , i  IN.</p><p>P</p><p>ág</p><p>in</p><p>a</p><p>2</p><p>0</p><p>III - Gabarito</p><p>01 – B</p><p>02 – A</p><p>03 – C</p><p>04 – D</p><p>05 – A</p><p>06 – C</p><p>07 – E</p><p>08 – C</p><p>09 – D</p><p>10 – E</p><p>11 – C</p><p>12 – D</p><p>13 – E</p><p>14 – B</p><p>15 – A</p><p>16 – D</p><p>17 – B</p><p>18 – C</p><p>19 – A</p><p>20 – D</p><p>21 – A</p><p>22 – A</p><p>23 – D</p><p>24 – C</p><p>25 – A</p><p>26 – C</p><p>27 – D</p><p>28 – D</p><p>29 – C</p><p>30 – C</p><p>31 – C</p><p>32 – C</p><p>33 – D</p><p>34 – D</p><p>35 – C</p><p>36 – Sem resposta</p><p>37 – B</p><p>38 – E</p><p>Para acessar novas versões da lista (com mais gabaritos, adição de resoluções das discursivas,</p><p>correções de enunciados etc.) acesse o site do Papiro IME ITA e preencha o formulário para também ser</p><p>avisado por email/mensagens sobre os novos materiais.</p><p>Caso for imprimir a lista sugiro a impressão no formato “2 páginas por folha” para economizar papel</p><p>e tinta.</p><p>Qualquer sugestão de melhoria peço que envie por email para eurico@gmail.com.</p><p>Bom estudo!</p><p>Organização:</p><p>Eurico Dias</p><p>Só o gagá salva!!!</p><p>(Gagá = gíria iteana para estudo sem noção de tempo e espaço)</p><p>mailto:eurico@gmail.com</p>