1a_Lista_Exer_CalculoIII

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<p>1a Lista de Exercícios de Cálculo III</p><p>Os Exercícios de 1 a 2 correspondem aos exercícios 1, 2, 5, 6, 7, 11, 12 e 14 da página 581 do</p><p>livro “Cálculo Vol. 2"do autor James Stewart, 7a edição.</p><p>1) Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma</p><p>seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.</p><p>a) x = 1 +</p><p>√</p><p>t, y = t2 − 4t, 0 6 t 6 5;</p><p>b) x = 2 cos t, y = t− cos t, 0 6 t 6 2π.</p><p>2) Faça o que se pede.</p><p>i) Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma</p><p>seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro t aumenta.</p><p>ii) Elimine o parâmetro t para encontrar uma equação cartesiana da curva.</p><p>a) x = 3− 4t, y = 2− 3t;</p><p>b) x = 1− 2t, y =</p><p>1</p><p>2</p><p>t− 1, −2 6 t 6 4;</p><p>c) x = 1− t2, y = t− 2, −2 6 t 6 2;</p><p>d) x = sin</p><p>(</p><p>1</p><p>2θ</p><p>)</p><p>, y = cos</p><p>(</p><p>1</p><p>2θ</p><p>)</p><p>, −π 6 θ 6 π;</p><p>e) x = 1</p><p>2 cos θ, y = 2 sin θ, 0 6 θ 6 π;</p><p>f) x = et − 1, y = e2t.</p><p>1</p><p>Os Exercícios de 3 a 8 correspondem aos exercícios 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 17, 18 e 25 da</p><p>página 589 do livro “Cálculo Vol. 2"do autor James Stewart, 7a edição.</p><p>3) Encontre</p><p>dy</p><p>dx</p><p>.</p><p>a) x = t sin t, y = t2 + t;</p><p>b) x = 1/t, y =</p><p>√</p><p>te−t.</p><p>4) Encontre uma equanção da reta tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâ-</p><p>metro dado.</p><p>a) α(t) = (t4 + 1, t3 + t), t = −1;</p><p>b) α(t) = (t− t−1, 1 + t2), t = 1;</p><p>c) β(t) = (t cos t, t sin t), t = π.</p><p>5) Encontre uma equação da reta tangente à curva num dado ponto por dois métodos: (i) sem</p><p>eliminar o parâmetro e (ii) eliminando o parâmetro primeiro.</p><p>a) α(t) = (1 + ln t, t2 + 2), (1, 3);</p><p>b) γ(t) = (1 +</p><p>√</p><p>t, et</p><p>2</p><p>), (2, e).</p><p>6) Encontre</p><p>dy</p><p>dx</p><p>e</p><p>d2y</p><p>dx2</p><p>. Para quais valores de t a curva é côncava para cima?</p><p>a) x = t2 + 1, y = t2 + t;</p><p>b) x = t3 − 12t, y = t2 − 1.</p><p>7) Encontre os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal ou vertical. Se você tiver uma</p><p>ferramenta gráfica, trace a curva.</p><p>a) α(t) = (t3 − 3t, t2 − 3);</p><p>b) α(t) = (t3 − 3t, t3 − 3t2).</p><p>2</p><p>8) Mostre que a curva x = cos t, y = sin t cos t tem duas retas tangentes em (0, 0) e encontre suas</p><p>equações. Esboce a curva.</p><p>Os Exercícios de 9 a 12 correspondem aos exercícios 29, 32, 33, 41, 42 e 43 da página 590 do</p><p>livro “Cálculo Vol. 2"do autor James Stewart, 7a edição.</p><p>9) Em quais pontos na curva x = 2t3, y = 1 + 4t− t2 a reta tangente tem inclinação 1?</p><p>10) Calcule a área delimitada pela curva α(t) = (t2 − 2t,</p><p>√</p><p>t) e pelo eixo y.</p><p>11) Encontre a área delimitada pelo eixo x e pela curva x = 1 + et, y = t− t2.</p><p>12) Calcule o comprimento da curva.</p><p>a) α(t) = (1 + 3t2, 4 + 2t3), 0 6 t 6 1;</p><p>b) x = et + e−t, y = 5− 2t, 0 6 t 6 3;</p><p>c) β(t) = (t sin t, t cos t), 0 6 t 6 1.</p><p>Os Exercícios de 13 a 15 correspondem aos exercícios 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 17, 18, 19 e 20</p><p>da página 761 do livro “Cálculo Vol. 2"do autor James Stewart, 7a edição.</p><p>13) Calcule os limites.</p><p>a) lim</p><p>t→0</p><p>(</p><p>e−3t i+</p><p>t2</p><p>sin2 t</p><p>j+ cos 2t k</p><p>)</p><p>;</p><p>b) lim</p><p>t→1</p><p>(</p><p>t2 − t</p><p>t− 1</p><p>i+</p><p>√</p><p>t+ 8 j+</p><p>sin(πt)</p><p>ln t</p><p>k</p><p>)</p><p>;</p><p>c) lim</p><p>t→∞</p><p>(</p><p>1 + t2</p><p>1− t2</p><p>, tg−1t,</p><p>1− e−2t</p><p>t</p><p>)</p><p>;</p><p>d) lim</p><p>t→∞</p><p>(</p><p>te−t,</p><p>t3 + t</p><p>2t3 − 1</p><p>, t sin 1</p><p>t</p><p>)</p><p>.</p><p>3</p><p>14) Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual</p><p>o parâmetro t cresce.</p><p>a) α(t) = (sin t, t);</p><p>b) α(t) = (t, 2− t, 2t);</p><p>c) α(t) = (1, cos t, 2 sin t);</p><p>d) α(t) =</p><p>(</p><p>t3, t2</p><p>)</p><p>;</p><p>e) α(t) = (sinπt, t, cosπt);</p><p>f) α(t) = t2i+ tj+ 2k.</p><p>15) Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga P</p><p>e Q.</p><p>a) P = (0, 0, 0), Q = (1, 2, 3);</p><p>b) P = (1, 0, 1), Q = (2, 3, 1);</p><p>c) P = (0,−1, 1), Q =</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>,</p><p>1</p><p>3</p><p>,</p><p>1</p><p>4</p><p>)</p><p>;</p><p>d) P = (a, b, c), Q = (u, v, w).</p><p>Os Exercícios de 16 e 17 correspondem aos exercícios 30 e 39 da página 762 do livro “Cálculo</p><p>Vol. 2"do autor James Stewart, 7a edição.</p><p>16) Em quais pontos a hélice α(t) = (sin t, cos t, t) intercepta a esfera x2 + y2 + z2 = 5?</p><p>17) Mostre que a curva com equações paramétricas x = t2, y = 1 − 3t, z = 1 + t3 passa pelos</p><p>pontos (1, 4, 0) e (9,−8, 28) mas não passa pelo ponto (4, 7,−6).</p><p>Os Exercícios de 18 a 22 correspondem aos exercícios 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 24,</p><p>25, 26, 28, 35, 36, 37 e 38 da página 767 do livro “Cálculo Vol. 2"do autor James Stewart, 7a</p><p>edição.</p><p>18) Faça o que se pede.</p><p>i) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.</p><p>ii) Encontre α′(t).</p><p>iii) Esboce o vetor posição α(t) e o vetor tangente α′(t) para o valor dado de t.</p><p>4</p><p>a) α(t) =</p><p>(</p><p>t− 2, t2 + 1</p><p>)</p><p>, t = −1;</p><p>b) α(t) =</p><p>(</p><p>t2, t3</p><p>)</p><p>, t = 1;</p><p>c) α(t) = sin t i+ 2 cos t j, t = π/4;</p><p>d) α(t) = et i+ e−t j, t = 0.</p><p>19) Determine a derivada da função vetorial.</p><p>a) α(t) =</p><p>(</p><p>t sin t, t2, t cos 2t</p><p>)</p><p>;</p><p>b) α(t) =</p><p>(</p><p>tg t, sec t, 1/t2</p><p>)</p><p>;</p><p>c) α(t) = i− j+ e4t k;</p><p>d) α(t) =</p><p>1</p><p>1 + t</p><p>i+</p><p>t</p><p>1 + t</p><p>j+</p><p>t2</p><p>1 + t</p><p>k;</p><p>e) α(t) = et</p><p>2</p><p>i− j+ ln(1 + 3t) k;</p><p>f) α(t) = at cos 3t i+ b sin3 t j+ c cos3 t k.</p><p>20) Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações para-</p><p>métricas, no ponto especificado.</p><p>a) x = 1 + 2</p><p>√</p><p>t, y = t3 − t, z = t3 + t; (3, 0, 2);</p><p>b) x = et, y = tet, z = tet</p><p>2</p><p>; (1, 0, 0);</p><p>c) x = e−t cos t, y = e−t sin t, z = e−t; (1, 0, 1);</p><p>d) x =</p><p>√</p><p>t2 + 3; y = ln(t2 + 3); z = t; (2, ln 4, 1).</p><p>21) Encontre o ponto na curva de α(t) =</p><p>(</p><p>2 cos t, 2 sin t, et</p><p>)</p><p>, 0 6 t 6 π, em que a reta tangente é</p><p>paralela ao plano</p><p>√</p><p>3x+ y = 1.</p><p>22) Calcule a integral.</p><p>a)</p><p>∫ 2</p><p>0 (t i− t</p><p>3 j+ 3t5 k)dt;</p><p>b)</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(</p><p>0,</p><p>4</p><p>1 + t2</p><p>,</p><p>2t</p><p>1 + t2</p><p>)</p><p>dt;</p><p>c)</p><p>∫ π/2</p><p>0 (3 sin2 t cos t i+ 3 sin t cos2 t j+ 2 sin t cos t k)dt;</p><p>5</p><p>d)</p><p>∫ 2</p><p>1 (t</p><p>2, t</p><p>√</p><p>t− 1, t sinπt)dt.</p><p>O Exercício de 23 correspondem aos exercício 1 a 6 da página 774 do livro “Cálculo Vol. 2"do</p><p>autor James Stewart, 7a edição.</p><p>23) Determine o comprimento da curva dada.</p><p>a) α(t) = (t, cos t, 3 sin t) , −5 6 t 6 5;</p><p>b) α(t) =</p><p>(</p><p>2t, t2,</p><p>1</p><p>3</p><p>t3</p><p>)</p><p>, 0 6 t 6 1;</p><p>c) α(t) =</p><p>√</p><p>2t i+ et j+ e−t k, 0 6 t 6 1;</p><p>d) α(t) = cos t i+ sin t j+ ln cos t k, 0 6 t 6 π/4;</p><p>e) α(t) = i+ t2 j+ t3 k, 0 6 t 6 1;</p><p>f) α(t) = 12t i+ 8t3/2 j+ 3t2 k, 0 6 t 6 1.</p><p>6</p>