MATERIAL_PILARES_UNIARA_AULA_QUARESMA_2014

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<p>USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças</p><p>11.27</p><p>Tabela 8 – Peso específico dos materiais de construção</p><p>Materiais</p><p>Peso específico</p><p>aparente kN/m3</p><p>Rochas</p><p>Arenito</p><p>Basalto</p><p>Gnaisse</p><p>Granito</p><p>Mármore e calcáreo</p><p>26</p><p>30</p><p>30</p><p>28</p><p>28</p><p>Blocos artificiais</p><p>Blocos de argamassa</p><p>Cimento amianto</p><p>Lajotas cerâmicas</p><p>Tijolos furados</p><p>Tijolos maciços</p><p>Tijolos sílico-calcáreos</p><p>22</p><p>20</p><p>18</p><p>13</p><p>18</p><p>20</p><p>Revestimentos e</p><p>concretos</p><p>Argamassa de cal, cimento e areia</p><p>Argamassa de cimento e areia</p><p>Argamassa de gesso</p><p>Concreto simples</p><p>Concreto armado</p><p>19</p><p>21</p><p>12,5</p><p>24</p><p>25</p><p>Madeiras</p><p>Pinho, cedro</p><p>Louro, imbuia, pau óleo</p><p>Guajuvirá, guatambu, grápia</p><p>Angico, cabriúva, ipê róseo</p><p>5</p><p>6,5</p><p>8</p><p>10</p><p>Metais</p><p>Aço</p><p>Alumínio e ligas</p><p>Bronze</p><p>Chumbo</p><p>Cobre</p><p>Ferro fundido</p><p>Estanho</p><p>Latão</p><p>Zinco</p><p>78,5</p><p>28</p><p>85</p><p>114</p><p>89</p><p>72,5</p><p>74</p><p>85</p><p>75</p><p>Materiais diversos</p><p>Alcatrão</p><p>Asfalto</p><p>Borracha</p><p>Papel</p><p>Plástico</p><p>Vidro plano</p><p>12</p><p>13</p><p>17</p><p>15</p><p>21</p><p>26</p><p>USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças</p><p>11.28</p><p>Tabela 9 – Valores mínimos de cargas de uso</p><p>Local kN/m</p><p>2</p><p>Arquibancadas 4</p><p>Bancos</p><p>Escritórios e banheiro</p><p>Salas de diretoria e de gerência</p><p>2</p><p>1,5</p><p>Bibliotecas</p><p>Sala de leitura</p><p>Sala para depósito de livros</p><p>Sala com estantes de livros, a ser determinada, ou 2,5 kN/m2 por</p><p>metro de altura, porém com mínimo de</p><p>2,5</p><p>4</p><p>6</p><p>Casas de máquinas (incluindo máquinas) a ser determinada, porém com o mínimo de 7,5</p><p>Cinemas</p><p>Platéia com assentos fixos</p><p>Estúdios e platéia com assentos móveis</p><p>Banheiro</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>Clubes</p><p>Sala de refeições e de assembléia com assentos fixos</p><p>Sala de assembléia com assentos móveis</p><p>Salão de danças e salão de esportes</p><p>Sala de bilhar e banheiro</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>2</p><p>Corredores</p><p>Com acesso ao público</p><p>Sem acesso ao público</p><p>3</p><p>2</p><p>Cozinhas não</p><p>residenciais</p><p>A ser determinada em cada caso, porém com mínimo de 3</p><p>Edifícios residenciais</p><p>Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro</p><p>Despensa, área de serviço e lavanderia</p><p>1,5</p><p>2</p><p>Escadas</p><p>Com acesso ao público</p><p>Sem acesso ao público</p><p>3</p><p>2,5</p><p>Escolas</p><p>Corredor e sala de aula</p><p>Outras salas</p><p>3</p><p>2</p><p>Escritórios Sala de uso geral e banheiro 2</p><p>Forros Sem acesso ao público 0,5</p><p>Galerias de arte A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3</p><p>Galerias de lojas A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3</p><p>Garagens e</p><p>estacionamentos</p><p>Para veículos de passageiros ou semelhantes com carga máxima</p><p>de 25 kN por veículo</p><p>3</p><p>Ginásios de esportes 5</p><p>Hospitais</p><p>Dormitórios, enfermarias, salas de recuperação, de cirurgia, de raio</p><p>X e banheiro</p><p>Corredor</p><p>2</p><p>3</p><p>Laboratórios Incluindo equipamentos, a ser determinada, porém com mínimo de 3</p><p>Lavanderias Incluindo equipamentos 3</p><p>Lojas 4</p><p>Restaurantes 3</p><p>Teatros</p><p>Palco</p><p>Demais dependências: iguais às especificadas para cinemas</p><p>5</p><p>*</p><p>Terraços</p><p>Com acesso ao público</p><p>Sem acesso ao público</p><p>Inacessível a pessoas</p><p>3</p><p>2</p><p>0,5</p><p>Vestíbulo</p><p>Com acesso ao público</p><p>Sem acesso ao público</p><p>3</p><p>1,5</p><p>MASSA</p><p>NOMINALAPROX. NOMINAL</p><p>(mm) (POL) (kg/m)</p><p>0,20 0,39 0,59 0,79 0,98 1,18 1,37 1,57 1,77 1,96</p><p>Br.1 - 10 12 15 18 21 23 26 29 32</p><p>Br.2 - 10 14 17 21 24 28 31 35 38</p><p>0,31 0,62 0,94 1,25 1,56 1,87 2,18 2,49 2,81 3,12</p><p>Br.1 - 10 13 16 19 21 24 27 30 33</p><p>Br.2 - 11 14 18 21 25 29 32 36 40</p><p>0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03</p><p>Br.1 - 10 13 16 19 22 26 29 32 35</p><p>Br.2 - 11 15 18 22 26 30 34 37 41</p><p>0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85</p><p>Br.1 - 11 14 17 20 24 27 30 34 37</p><p>Br.2 - 11 15 19 23 27 31 35 39 43</p><p>1,23 2,45 3,68 4,91 6,14 7,36 8,59 9,82 11,04 12,27</p><p>Br.1 - 11 15 18 22 25 29 32 36 39</p><p>Br.2 - 12 16 20 25 29 33 37 42 46</p><p>2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11</p><p>Br.1 - 12 16 20 23 27 31 35 39 43</p><p>Br.2 - 12 17 22 26 31 35 40 45 49</p><p>3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42</p><p>Br.1 - 13 17 21 25 30 34 38 43 47</p><p>Br.2 - 13 18 23 28 33 38 43 48 53</p><p>3,80 7,60 11,40 15,21 19,01 22,81 26,61 30,41 34,21 38,01</p><p>Br.1 - 13 17 22 26 31 35 40 44 49</p><p>Br.2 - 14 19 24 29 34 40 45 50 55</p><p>4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09</p><p>Br.1 - 14 19 24 29 34 39 44 49 54</p><p>Br.2 - 14 20 25 31 36 42 47 53 58</p><p>8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42</p><p>Br.1 - 16 22 29 35 41 48 54 61 67</p><p>Br.2 - 16 22 29 35 41 48 54 61 67</p><p>12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,5 113,1 125,7</p><p>Br.1 - 18 26 34 42 50 58 66 74 82</p><p>Br.2 - 18 26 34 42 50 58 66 74 82</p><p>Elaborada por Alessandro L. Nascimento e Libânio M. Pinheiro.</p><p>As</p><p>As</p><p>bw</p><p>As</p><p>bw</p><p>bw</p><p>As</p><p>As</p><p>bw</p><p>As</p><p>bw</p><p>bw</p><p>As</p><p>As</p><p>3,853</p><p>6,313</p><p>9,865</p><p>As (cm2)</p><p>e</p><p>bw (cm)</p><p>As</p><p>bw</p><p>0,963</p><p>0,154</p><p>25</p><p>32</p><p>40</p><p>16</p><p>0,395</p><p>bw</p><p>20</p><p>22</p><p>1,578</p><p>2,466</p><p>2,984</p><p>bw</p><p>bw</p><p>As</p><p>8</p><p>6 7</p><p>5</p><p>6,3 0,245</p><p>As</p><p>2 3 4 5 8 9</p><p>Tabela 1.3a</p><p>ÁREA DA SEÇÃO DE BARRAS AS (cm2)</p><p>LARGURA MÍNIMA PARA UMA CAMADA bw (cm)</p><p>10</p><p>DIÂMETRO NÚMERO DE BARRAS</p><p>1</p><p>(maiores valores)</p><p>Para c = 3,0 (3,5) cm, somar 1 (2) cm aos valores de bw.</p><p>bw</p><p>De acordo com a NBR 7480:1996; bw conforme item 18.3.2.2 da NBR 6118:2003.</p><p>Br.1 = Brita 1 (ømax = 19 mm) Br.2 = Brita 2 (ømax = 25 mm)</p><p>Valores adotados: øt = 6,3 mm e c = 2,5 cm.</p><p>10 0,617</p><p>12,5</p><p>16</p><p>3</p><p>16</p><p>5</p><p>4</p><p>1</p><p>8</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>8</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>8</p><p>7</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>ø</p><p>ehøt c</p><p>bw maxvmaxh 5,0;;cm2:e;2,1;;cm2:e φφφφ ��</p><p>UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO</p><p>ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS</p><p>DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS</p><p>SET 410 Estruturas de concreto armado II</p><p>Turma 1 - 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares de acordo com a NBR 6118:2003</p><p>Gerson Moacyr Sisniegas Alva</p><p>Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs</p><p>José Samuel Giongo</p><p>São Carlos, 13 de Fevereiro de 2008.</p><p>Gerson Moacyr S. Alva, Ana Lúcia H. de Cresce El Debs e José Samuel Giongo – USP – EESC – SET - Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>1</p><p>1. Introdução (13 de Fevereiro de 2008)</p><p>Em estruturas de edifícios, os pilares são elementos verticais que têm a função</p><p>primária de transmitir as ações verticais gravitacionais e de serviço e as horizontais</p><p>(vento) às fundações, além de conferirem estabilidade global ao edifício. Os pilares</p><p>usuais dos edifícios apresentam um comportamento de flexo-compressão, sendo as</p><p>forças normais de compressão preponderantes.</p><p>Em edifícios correntes de concreto armado, as seções dos pilares são geralmente</p><p>retangulares Pilares de seções quadradas ou circulares também podem ser</p><p>considerados em projetos estruturais de edifícios para atender o indicado no projeto</p><p>arquitetônico.</p><p>Em virtude do tipo de material (concreto) e da solicitação preponderantemente de</p><p>força de compressão, os pilares apresentam rupturas frágeis. A ruína de uma seção</p><p>transversal de um único pilar pode ocasionar o colapso progressivo dos demais</p><p>pavimentos subseqüentes provocando, assim, a ruína de toda a estrutura. As</p><p>disposições dos pilares na planta de forma de um edifício são importantes, pois o</p><p>posicionamento destes, juntamente com as vigas, formam pórticos que proporcionam</p><p>rigidez e conferem estabilidade global ao edifício.</p><p>Por conseqüência, os pilares são peças estruturais do edifício que precisam ser</p><p>projetados cuidadosamente, englobando os dimensionamentos e os detalhamentos</p><p>corretos.</p><p>Projetos adequados de elementos de concreto estrutural, em termos de</p><p>resistência, estabilidade e durabilidade, precisam ser feitos de acordo com as</p><p>diretrizes e recomendações de normas técnicas.</p><p>Este texto foi escrito considerando os critérios da NBR 6118:2003 – Projeto de</p><p>estruturas de concreto, edição de 2004.</p><p>2. Classificação dos pilares em edifícios</p><p>2.1 Quanto à posição</p><p>Os pilares podem ser classificados de acordo com a sua posição na planta de</p><p>forma de um pavimento tipo de edifício em: pilares intermediários, pilares de</p><p>extremidade e pilares de canto, conforme a figura</p><p>indica que só a falta de retilinidade pode ser considerada na seção intermediária</p><p>e nas duas direções x e y.</p><p>O ângulo é o indicado pela expressão 3.7, portanto:</p><p>2</p><p>θe 1a</p><p>l</p><p>⋅=</p><p>Na direção do eixo x tem-se:</p><p>rad,</p><p>,ex</p><p>x 004860</p><p>234100</p><p>1</p><p>100</p><p>1</p><p>1 =</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=θ</p><p>l</p><p>que precisa ser maior do que:</p><p>rad00333,0</p><p>300</p><p>1θ min,1 ==</p><p>A excentricidade acidental na direção do eixo x é:</p><p>cm03,1</p><p>2</p><p>42300486,0eax =⋅=</p><p>Analogamente na direção do eixo y tem-se:</p><p>rad00466,0</p><p>60,4100</p><p>1</p><p>100</p><p>1θ</p><p>ey</p><p>y1 =</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>l</p><p>que é maior do que:</p><p>rad00333,0</p><p>300</p><p>1θ min,1 ==</p><p>Portanto a excentricidade acidental na direção do eixo y resulta:</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 42</p><p>cm07,1</p><p>2</p><p>46000466,0eay =⋅=</p><p>5.2.5 Excentricidades mínimas (de primeira ordem) no pilar P4</p><p>A NBR 6118:2003 indica que nos pilares é preciso considerar um momento</p><p>mínimo de módulo maior que o momento gerado pela excentricidade acidental, nas</p><p>duas direções, cuja excentricidade mínima é calculada pela expressão 3.8, a seguir</p><p>copiada.</p><p>h03,0015,0</p><p>N</p><p>M</p><p>e</p><p>d</p><p>min,1d</p><p>min,1 ⋅+== (expressão 3.8)</p><p>Assim, neste caso do pilar P4, na direção do eixo x, a excentricidade mínima vale:</p><p>( ) cm25,2m0225,025,003,0015,0h03,0015,0e xxmin,1 ==⋅+=⋅+=</p><p>Na direção do eixo y tem-se:</p><p>( ) cm60,3m0360,070,003,0015,0h03,0015,0e yymin,1 ==⋅+=⋅+=</p><p>Comparando-se os valores das excentricidades mínimas com as acidentais</p><p>calculadas no item 5.2.4 observa-se que, nas seções de topo e base e intermediárias,</p><p>estas são maiores que aquelas.</p><p>Ou sejam:</p><p>a.- seções de extremidade – topo e base:</p><p>84,0ee iAx1 == cm < ( ) cm25,2e xmin,1 = ⇒ 25,2e x1 = cm</p><p>0e y1 = cm < ( ) cm60,3e ymin,1 = ⇒ 60,3e y1 = cm</p><p>b.- seção intermediária:</p><p>37,103,134,0eee axiCx1 =+=+= cm < 2,25cm ⇒ 25,2e x1 = cm</p><p>07,1ee ayy1 == cm < 3,60cm ⇒ 60,3e y1 = cm</p><p>5.2.6 Excentricidades de segunda ordem no pilar P4</p><p>5.2.6.1 Cálculo dos índices de esbeltez</p><p>Os índices de esbeltez do pilar P4 nas direções x e y são calculados com a</p><p>expressão 2.6. Os comprimentos equivalentes são os calculados para cada direção do</p><p>pilar.</p><p>a.- Direção do eixo x:</p><p>6,58</p><p>25</p><p>12423</p><p>h</p><p>12λ</p><p>x</p><p>ex</p><p>x =</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>l</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>43</p><p>O valor de bxα é igual a 1,0, pois os momentos são menores que o momento</p><p>mínimo, conforme indicado na NBR 6118:2003 e neste texto no item 2.3.</p><p>Na direção do eixo x o índice de esbeltez a considerar no projeto do pilar P4 é:</p><p>( ) 4,25</p><p>0,1</p><p>25</p><p>84,05,1225</p><p>α</p><p>h</p><p>e5,1225</p><p>λ</p><p>bx</p><p>x</p><p>ix</p><p>x1 =</p><p>⋅+</p><p>=</p><p>⋅+</p><p>=</p><p>A NBR 6118:2003 indica a seguinte restrição a esse valor calculado:</p><p>90λ35 1 ≤≤</p><p>e, portanto, tem-se que:</p><p>( ) 35λ x1 =</p><p>Como:</p><p>( ) 906,58λ35λ xx1 <=<=</p><p>o pilar P04 na direção do eixo x pode ser considerado medianamente esbelto, ou</p><p>seja, é necessário considerar-se a excentricidade de segunda ordem, segundo os</p><p>critérios do Método do pilar padrão com curvatura aproximada.</p><p>b.- Direção do eixo y:</p><p>Analogamente ao que se fez para o eixo x tem-se neste caso de eixo y:</p><p>8,22</p><p>70</p><p>12460</p><p>h</p><p>12</p><p>λ</p><p>y</p><p>ey</p><p>y =</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>l</p><p>O coeficiente byα é igual a 1,0, pois os momentos nas extremidades do tramo são</p><p>iguais a zero e, portanto menores que o momento mínimo.</p><p>O cálculo do índice de esbeltez na direção do eixo y é:</p><p>( ) 3525</p><p>0,1</p><p>05,1225</p><p>α</p><p>h</p><p>e</p><p>5,1225</p><p>λ</p><p>by</p><p>y</p><p>iy</p><p>y1 >=</p><p>⋅+</p><p>=</p><p>⋅+</p><p>=</p><p>Portanto, considera-se ( ) 35y1 =λ e como λy = 22,8 é menor do que o limite 35,</p><p>tem-se caso de pilar curto na direção do eixo y do pilar P4 não sendo necessário,</p><p>portanto, considerar-se os efeitos de segunda ordem</p><p>5.2.6.2 Excentricidade de segunda ordem na seção intermediária no pilar P4</p><p>Conforme já dito considera-se o Método do pilar padrão com curvatura</p><p>aproximada, cujo valor da excentricidade de segunda ordem (e2) é calculada por:</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 44</p><p>r</p><p>1</p><p>10</p><p>e</p><p>2</p><p>ex</p><p>x2 ⋅=</p><p>l</p><p>O valor da força normal reduzida é igual a:</p><p>( ) 620</p><p>1427025</p><p>3382 ,</p><p>,</p><p>.</p><p>fA</p><p>N</p><p>cdc</p><p>d =</p><p>⋅⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=ν</p><p>e, portanto, o valor do inverso da curvatura é:</p><p>( ) ( )</p><p>44 1002</p><p>25</p><p>0050005010791</p><p>5062025</p><p>0050</p><p>50</p><p>00501 −− ⋅==<⋅=</p><p>+⋅</p><p>=</p><p>+ν⋅</p><p>= ,,</p><p>h</p><p>,,</p><p>,,</p><p>,</p><p>,h</p><p>,</p><p>r xx</p><p>A excentricidade de segunda ordem na direção do eixo x é igual a:</p><p>cm,,e x 20310791</p><p>10</p><p>423 4</p><p>2</p><p>2 =⋅⋅= −</p><p>5.2.7 Determinação da área da armadura longitudinal do pilar P4</p><p>Para se determinar a área das barras da armadura longitudinal é preciso verificar</p><p>quais são as situações de cálculo mais desfavoráveis em relação às situações de</p><p>projeto (excentricidades iniciais) e levando em conta as excentricidades acidentais e as</p><p>mínimas nas duas direções (a maior entre as duas) e a de segunda ordem (na direção</p><p>do eixo x).</p><p>Esse trabalho fica facilitado com a montagem da figura 5.9. Analisando-a</p><p>percebe-se que se têm os seguintes casos:</p><p>Seção intermediária:</p><p>Caso a – flexão normal composta com excentricidade ex igual a 5,11cm;</p><p>Caso b – flexão composta oblíqua com ex igual a 0,34cm e ey igual a 3,60cm.</p><p>Seções de topo e base:</p><p>Caso a – flexão normal composta com excentricidade ex igual a 2,25cm;</p><p>Caso b – flexão composta oblíqua com ex igual a 0,84cm e ey igual a 3,60cm.</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>45</p><p>x</p><p>x</p><p>N d</p><p>eiC = 0,34cm</p><p>dN</p><p>y</p><p>e = 0,84cmiA</p><p>x</p><p>y</p><p>Situações de projeto Situações de cálculo</p><p>x</p><p>emin,y</p><p>= 0,34cmiCe</p><p>= 3,60cm</p><p>y</p><p>b)</p><p>x</p><p>dN</p><p>x</p><p>emin,y = 3,60cm</p><p>iA = 0,84cme</p><p>y</p><p>b)</p><p>y</p><p>ee</p><p>2,25cm</p><p>min,x</p><p>a)</p><p>dN</p><p>y</p><p>2,25cm</p><p>a)</p><p>min,xe</p><p>3,20cm</p><p>Seção intermediária</p><p>Seções das extremidades</p><p>2x</p><p>Figura 5.9 - Situações das excentricidades de projeto e para o cálculo da armadura</p><p>no pilar P4</p><p>A seção intermediária é a mais crítica e a que é considerada para o cálculo da</p><p>área da armadura longitudinal.</p><p>5.2.7.1 Determinação da área da armadura para a situação de cálculo a:</p><p>a.- Relação entre a distância do centro das barras da armadura posicionadas nas</p><p>quinas e a medida do lado da seção na direção x</p><p>15,016,0</p><p>25</p><p>0,4</p><p>h</p><p>d'</p><p>≅==</p><p>b.- excentricidade total na direção do eixo x e situação a seção intermediária</p><p>cm45,520,325,2e =+=</p><p>c.- força normal reduzida</p><p>620,d =ν</p><p>d.- momento fletor reduzido</p><p>14,0</p><p>25</p><p>45,562,0</p><p>h</p><p>eνμ dd =⋅=⋅=</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 46</p><p>e.- Ábacos de Venturini (1987) para a flexão normal composta:</p><p>Adota-se o Ábaco A-3 com as barras da armadura distribuídas paralelamente ao</p><p>maior lado do pilar, resultando:</p><p>25,0ω =</p><p>f.- Área das barras da armadura</p><p>( ) 25221</p><p>543</p><p>1427025250 cm,</p><p>,</p><p>,,</p><p>f</p><p>fAA</p><p>yd</p><p>cdc</p><p>s =</p><p>⋅⋅⋅</p><p>=</p><p>⋅⋅ω</p><p>=</p><p>g.- Área efetiva de barras da armadura</p><p>21224 cm,Asefe =</p><p>Essa área é representada por 12φ 16,0mm.</p><p>5.2.7.2 Determinação da área da armadura para a situação de cálculo b:</p><p>Como já observado para esta situação tem-se caso de flexão composta oblíqua.</p><p>a.- Relações entre as distâncias dos centros das barras da armadura</p><p>posicionadas nas quinas e as medidas dos lados da seção nas direções x e y</p><p>05,006,0</p><p>70</p><p>0,4</p><p>h</p><p>d</p><p>y</p><p>y</p><p>'</p><p>≅==</p><p>15,016,0</p><p>25</p><p>0,4</p><p>h</p><p>d</p><p>x</p><p>x</p><p>'</p><p>≅==</p><p>b.- Excentricidades</p><p>cm34,0ex =</p><p>cm60,3ey =</p><p>c.- força normal reduzida</p><p>620,d =ν</p><p>d.- Momentos reduzidos</p><p>03,0</p><p>70</p><p>60,362,0</p><p>h</p><p>e</p><p>νμ</p><p>y</p><p>y</p><p>ddy =⋅=⋅=</p><p>01,0</p><p>25</p><p>34,062,0</p><p>h</p><p>eνμ</p><p>x</p><p>x</p><p>ddx =⋅=⋅=</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>47</p><p>Consultando os ábacos A-16 e A-17 de Pinheiro et al. (1994) para a flexão</p><p>oblíqua resulta:</p><p>zero=ω</p><p>Que é uma taxa mecânica menor que a calculada para a situação de cálculo da</p><p>armadura (flexão normal composta) da</p><p>seção intermediária.</p><p>5.2.7.3 Taxa geométrica de armadura</p><p>A área efetiva de armadura longitudinal do pilar P4 é:</p><p>21224 cm,As = (12φ16,0mm)</p><p>A taxa geométrica da armadura é calculada por:</p><p>%0,4</p><p>2</p><p>%0,8%38,10138,0</p><p>7025</p><p>12,24</p><p>A</p><p>Aρ</p><p>c</p><p>s =<≡=</p><p>⋅</p><p>==</p><p>Que é menor do que o limite indicado na NBR 6118:2003 considerando a região</p><p>de emenda por traspasse (4%).</p><p>A área da armadura mínima é calculada por:</p><p>2</p><p>c</p><p>2</p><p>yd</p><p>cd</p><p>min,s cm00,77025004,0A004,0cm07,8</p><p>48,43</p><p>338.215,0</p><p>f</p><p>N15,0A =⋅⋅=⋅≥=⋅=⋅=</p><p>Portanto, á área de armadura efetiva do pilar P4 é maior que a área mínima.</p><p>5.2.7.4 Arranjo das barras na seção transversal do pilar P4</p><p>A disposição das barras da armadura longitudinal do pilar P4 tem que seguir a</p><p>disposição adotada por ocasião do dimensionamento, e é preciso calcular os</p><p>espaçamentos entre os estribos inclusive os estribos suplementares necessários para</p><p>evitar a flambagem localizada das barras longitudinais. A figura 5.10 mostra o arranjo</p><p>das barras na seção transversal do pilar P4 e os cálculos dos espaçamentos dos</p><p>estribos.</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 48</p><p>12 φ 16,0 mm</p><p>Seção transversal do pilar P4</p><p>t20φ</p><p>20φ t</p><p>12,5 cm</p><p>Estribos</p><p>Diâmetro:</p><p>⎩</p><p>⎨</p><p>⎧</p><p>==φ</p><p>≥φ</p><p>4,0mm/41/4</p><p>mm,</p><p>t 6</p><p>05</p><p>Adota-se 5,0 tφ</p><p>Espaçamento:</p><p>⎪</p><p>⎩</p><p>⎪</p><p>⎨</p><p>⎧</p><p>=⋅=φ</p><p>=≤</p><p>cm,,</p><p>25cmb</p><p>cm</p><p>s</p><p>219611212</p><p>20</p><p>cms 19≤∴</p><p>Proteção contra a flambagem das</p><p>barras:</p><p>cm,t 10502020 =⋅=φ⋅</p><p>Portanto, são necessários estribos</p><p>suplementares nas oito barras</p><p>longitudinais centrais.</p><p>Figura 5.10 - Arranjo das barras das armaduras longitudinal e transversal do pilar P4</p><p>A figura 5.11 apresenta o detalhamento completo de um tramo do pilar P4 que é</p><p>enviado à obra.</p><p>P4 (25 x 70)</p><p>20</p><p>25</p><p>N3 - 4x25 Ø 5,0 C/20 C=30</p><p>25</p><p>N</p><p>2</p><p>C</p><p>/2</p><p>0</p><p>i</p><p>N</p><p>1</p><p>- 1</p><p>2</p><p>Ø</p><p>1</p><p>6,</p><p>0</p><p>C</p><p>=5</p><p>21</p><p>70</p><p>i + 460</p><p>N2 - 25 Ø 5,0 C/20 C=185</p><p>20</p><p>65</p><p>Figura 5.11 - Detalhamento do pilar P4</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>49</p><p>Ábaco A - 3 - Venturini (1987) - EESC - USP</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 50</p><p>Ábaco A - 16 - Pinheiro et al. (1994) - EESC - USP</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>51</p><p>Ábaco A - 16 - Pinheiro et al. (1994) - EESC - USP</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 52</p><p>5.3 Exemplo 3: Pilar de canto – P1</p><p>O pilar de canto P1 indicado no desenho da forma do pavimento tipo da figura</p><p>5.1, com a distância de piso a piso igual a 4,60 metros, é projetado neste item. A figura</p><p>5.12 mostra as medidas da seção transversal do pilar P1 e as dimensões das vigas V1</p><p>e V4 inclusive as distâncias entre pisos.</p><p>Os módulos das forças normal característica e de cálculo atuante no pilar P1 são:</p><p>kN.Nk 2301=</p><p>kN..,Nd 7221230141 =⋅=</p><p>5.3.1 Comprimentos equivalentes do tramo do pilar nas direções x e y</p><p>Os comprimentos equivalentes do pilar nas direções x e y são calculados</p><p>considerando as expressões 2.7, indicadas na NBR 6118:2003, e observando o</p><p>desenho da figura 2.3.</p><p>5.3.1.1 Eixo x:</p><p>Analisando a figura 5.12 determina-se a distância entre as faces das vigas V1, da</p><p>face superior do andar i até a face inferior do andar i + 1, resultando:</p><p>39862460ox =−=l cm</p><p>O comprimento equivalente é o menor valor entre o comprimento livre do pilar</p><p>acrescido da dimensão do pilar na direção considerada, neste caso x, e a distância</p><p>entre os centros das vigas do andar i e i +1, indicado a seguir:</p><p>cm 42325398hxoxex =+=+= ll</p><p>cm460ex =l</p><p>Portanto, tem-se para valor de ℓex:</p><p>423ex =l cm</p><p>5.3.1.2 Eixo y:</p><p>Analogamente, observando a figura 5.12, vem:</p><p>A distância livre entre as vigas na direção y do pilar é igual a:</p><p>40852460oy =−=l cm</p><p>O comprimento equivalente é o menor valor entre as seguintes medidas:</p><p>cm 46860408hyoyey =+=+= ll</p><p>cm 460ey =l</p><p>Portanto, ℓey resulta:</p><p>460ey =l cm</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>53</p><p>V1</p><p>460</p><p>V4</p><p>25</p><p>62</p><p>medidas em cm</p><p>P1</p><p>CORTE: EIXO X</p><p>SEÇÃO TRANSVERSAL</p><p>60</p><p>25</p><p>x</p><p>y</p><p>V1</p><p>(g+q)=20 kN/m</p><p>o,V1</p><p>60</p><p>P2</p><p>P4</p><p>V4</p><p>V4 (g+q)=16 kN/m</p><p>P1</p><p>o,V4</p><p>6070</p><p>CORTE: EIXO Y</p><p>460</p><p>V1</p><p>52</p><p>a - Seção transversal e cortes paralelos aos eixos x e y do pilar P1</p><p>V4</p><p>V4</p><p>12</p><p>56</p><p>0</p><p>52</p><p>V1</p><p>60</p><p>P1</p><p>V1</p><p>62</p><p>20</p><p>25</p><p>b - Perspectiva do pilar P1 e respectivas vigas - tipo</p><p>Figura 5.12 - Pilar P1 e vigas V1 e V4 com as dimensões necessárias para o projeto</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 54</p><p>5.3.1.3 Vãos efetivos das vigas V1 e V4</p><p>Para cálculo dos vãos efetivos dos tramos extremos das vigas V1 e V4 usam-se</p><p>as expressões 3.6.a com as indicações da figura 3.2.a</p><p>a.- Viga V1:</p><p>Conforme já visto os vão efetivos dos tramos de vigas são calculados por:</p><p>211V,o1V,ef aa ++= ll</p><p>A distância livre da viga V1, isto é, a distância entre as faces internas dos pilares</p><p>de apoio e igual a:</p><p>cm 5,557</p><p>2</p><p>60</p><p>2</p><p>256001V,o =−−=l</p><p>Sendo a1 igual a menor medida entre:</p><p>cm 5,12</p><p>2</p><p>25</p><p>2</p><p>h</p><p>a 1P,x</p><p>1 ===</p><p>cm 6,18623,0h3,0a 1V1 =⋅=⋅=</p><p>Com a2 igual a menor medida entre:</p><p>cm 30</p><p>2</p><p>60</p><p>2</p><p>h</p><p>a 2P,x</p><p>2 ===</p><p>cm 6,18623,0h3,0a 1V2 =⋅=⋅=</p><p>resultando, cm 6,18a2 =</p><p>Portanto o vão efetivo do primeiro tramo da viga V1 é:</p><p>cm 6,5886,185,125,5571V,ef =++=l</p><p>b.- Viga V4:</p><p>Analogamente para a viga V4 tem-se:</p><p>214V,o4V,ef aa ++= ll</p><p>sendo o vão livre, conforme o desenho da forma do pavimento tipo, dado por:</p><p>cm315</p><p>2</p><p>7060</p><p>2</p><p>204004V,o =−−+=l</p><p>A medida a1 é igual ao menor valor entre:</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>55</p><p>cm0,30</p><p>2</p><p>60</p><p>2</p><p>h</p><p>a 1P,y</p><p>1 ===</p><p>cm6,15523,0h3,0a 4V1 =⋅=⋅=</p><p>resultando cm6,15a1 =</p><p>A medida a2 é igual ao menor valor entre:</p><p>cm0,35</p><p>2</p><p>70</p><p>2</p><p>h</p><p>a 4P,y</p><p>2 ===</p><p>cm6,15523,0h3,0a 4V2 =⋅=⋅=</p><p>e, portanto, cm6,15a2 =</p><p>o vão efetivo da viga V4 é igual a:</p><p>cm2,3466,156,153154V,ef =++=l</p><p>5.3.2 Cálculo dos momentos fletores atuantes nos pilares</p><p>Se os esforços solicitantes são determinados considerando pórtico plano ou</p><p>espacial, com auxílio de programa computacional, os cálculos deste item não precisam</p><p>ser feitos, basta analisar os resultados com relação aos momentos fletores e forças</p><p>normais, para cada tramo, e com estes valores dimensionar o tramo em questão.</p><p>Alguns programas fornecem inclusive os desenhos dos diagramas de esforços</p><p>solicitantes e existem programas que resolvem e apresentam os resultados</p><p>considerando toda a estrutura do edifício constituída por barras horizontais e verticais</p><p>tratando-a como pórtico espacial.</p><p>Neste exemplo os momentos fletores atuantes no pilar P1 nas direções dos eixos</p><p>x e y são calculados pelo processo simplificado da NBR 6118:2003, cujos modelos,</p><p>para ambas as vigas estão mostrados na figura 5.13.</p><p>As expressões para cálculo dos momentos fletores, por processo simplificado,</p><p>são 3.3 e 3.4 com as fórmulas para cálculo da rigidez indicadas em 3.5.</p><p>e f , V 1 = 5 8 8 , 6 c m</p><p>in</p><p>f</p><p>1/</p><p>2</p><p>=</p><p>21</p><p>1,</p><p>5</p><p>cm</p><p>1/</p><p>2</p><p>=</p><p>21</p><p>1,</p><p>5</p><p>cmsu</p><p>p</p><p>= 2 0 k N / m( g + q ) k</p><p>V 1</p><p>P 1</p><p>in</p><p>f</p><p>1/</p><p>2</p><p>=</p><p>23</p><p>0</p><p>cm</p><p>1/</p><p>2</p><p>=</p><p>23</p><p>0</p><p>cm</p><p>su</p><p>p</p><p>P 1</p><p>e f , V 4 = 3 4 6 , 2 c m</p><p>V 4</p><p>( g + q ) = 1 6 k N / m</p><p>E ix o X E i x o Y</p><p>k</p><p>Figura 5.13 - Modelos para a determinação dos momentos fletores atuantes no pilar</p><p>P1 relativos às vigas V1 e V4</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo</p><p>a NBR 6118:2003 56</p><p>5.3.2.1 Momentos fletores relativos a viga V1 - Eixo x:</p><p>O momento fletor atuante nos tramos do pilar na direção x é calculado como a</p><p>rotina seguinte.</p><p>Calculam-se os índices de rigidez dos tramos superior e inferior do pilar e do</p><p>tramo da viga vinculada ao pilar, calcula-se o momento de engastamento perfeito e, por</p><p>fim, os momentos atuantes nas barras superior e inferior do pilar.</p><p>As rigidezes dos tramos superior e inferior do pilar resultam:</p><p>3</p><p>3</p><p>sup</p><p>pilar</p><p>infsup cm1108</p><p>5,211</p><p>1</p><p>12</p><p>25603</p><p>2</p><p>1</p><p>I3</p><p>rr =⋅</p><p>⋅⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>==</p><p>l</p><p>A rigidez da viga é dada por:</p><p>3</p><p>3</p><p>6992</p><p>6588</p><p>1</p><p>12</p><p>622044</p><p>cm.</p><p>,</p><p>I</p><p>r</p><p>viga</p><p>viga</p><p>viga =⋅</p><p>⋅⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>l</p><p>O momento de engastamento perfeito do primeiro tramo da viga é igual a:</p><p>( )</p><p>cm.kN.kNm,,qg</p><p>M viga</p><p>eng 77457457</p><p>12</p><p>886520</p><p>12</p><p>22</p><p>==</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅+</p><p>=</p><p>l</p><p>Os momentos fletores atuantes nos tramos superior e inferior em relação a viga</p><p>V1 resultam iguais a:</p><p>kNcm302.1</p><p>108.1108.1699.2</p><p>108.1774.5</p><p>rrr</p><p>r</p><p>MMM</p><p>infsupviga</p><p>sup</p><p>enginfsup =⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>++</p><p>⋅=⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>++</p><p>⋅==</p><p>5.3.2.2 Momentos fletores relativos a viga V4 - Eixo y:</p><p>Segue-se o mesmo procedimento com relação ao pilar P1 e viga V4.</p><p>As rigidezes dos tramos do pilar P1 resultam:</p><p>3</p><p>3</p><p>sup</p><p>pilar</p><p>infsup cm870.5</p><p>230</p><p>1</p><p>12</p><p>60253</p><p>2</p><p>1</p><p>I3</p><p>rr =⋅</p><p>⋅⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>==</p><p>l</p><p>A rigidez da viga V4 é igual a:</p><p>3</p><p>3</p><p>6251</p><p>2346</p><p>1</p><p>12</p><p>521244</p><p>cm.</p><p>,</p><p>I</p><p>r</p><p>viga</p><p>viga</p><p>viga =⋅</p><p>⋅⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>l</p><p>O momento de engastamento perfeito do primeiro tramo da viga V4 junto ao pilar</p><p>P1 é:</p><p>( )</p><p>cm.kN.m.kN,,qg</p><p>M viga</p><p>eng 59819815</p><p>12</p><p>462316</p><p>12</p><p>22</p><p>==</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅+</p><p>=</p><p>l</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>57</p><p>Os momentos fletores nos tramos do pilar resultam:</p><p>kNcm702</p><p>870.5870.5625.1</p><p>870.5598.1</p><p>rrr</p><p>r</p><p>MMM</p><p>infsupviga</p><p>sup</p><p>enginfsup =⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>++</p><p>⋅=⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>++</p><p>⋅==</p><p>A figura 5.14 mostra os diagramas de momentos fletores característicos nos</p><p>tramos do pilar P1.</p><p>Viga V1</p><p>Msup = 1302 kN.cm</p><p>Eixo X</p><p>211,5 cm</p><p>211,5 cm Minf = 1302 kN.cm</p><p>211,5 cm</p><p>211,5 cm</p><p>Eixo Y</p><p>Minf = 702 kN.cm</p><p>230 cm</p><p>230 cm</p><p>Viga V4</p><p>Msup = 702 kN.cm 230 cm</p><p>230 cm</p><p>702 kN.cm</p><p>702 kN.cm</p><p>1302 kN.cm</p><p>1302 kN.cm</p><p>Figura 5.14 - Diagramas de momentos fletores no pilar P1 relativos as vigas V1 e V4</p><p>5.3.3 Cálculo das excentricidades relativas aos momentos atuantes nas seções de topo</p><p>e base do pilar P1</p><p>As excentricidades nas direções x e y relativas aos momentos no pilar (de</p><p>primeira ordem), nas seções de topo e base, resultam:</p><p>kNcm.,MM B,dixA,dix 8231130241 =⋅== 06,1</p><p>1722</p><p>1823ee B,ixA,ix === cm</p><p>kNcm,MM B,diyA,diy 98370241 =⋅== 57,0</p><p>1722</p><p>983ee B,iyA,iy === cm</p><p>5.3.4 Cálculos dos momentos mínimos</p><p>A NBR 6118:2003 indica que é preciso dimensionar o pilar considerando, em</p><p>ambas as direções momento fletor mínimo calculado pela expressão 3.8.</p><p>Os módulos dos momentos mínimos nas direções x e y resultam iguais a:</p><p>( ) ( ) kNcm.kNm,,,,h,,NM xdmin,xd 875375382500300150172203001501 ==⋅+⋅=⋅+⋅=</p><p>( ) ( ) kNcm.kNm,,,,h,,NM ydmin,yd 683583566000300150172203001501 ==⋅+⋅=⋅+⋅=</p><p>Os módulos dos momentos mínimos são maiores que os momentos fletores</p><p>atuantes nas seções de topo e base oriundos da ligação com as vigas V1 e V4.</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 58</p><p>5.3.5 Verificação da necessidade da consideração dos momentos de segunda ordem</p><p>A verificação da necessidade da consideração dos momentos de segunda ordem</p><p>é feita calculando-se os índices de esbeltez, para as duas direções x e y, e com as</p><p>expressões indicadas no item 2.3.</p><p>5.3.5.1 Cálculo dos índices de esbeltez</p><p>a.- Direção do eixo x:</p><p>O índice de esbeltez é calculado com a expressão 2.8, considerando-se a medida</p><p>do lado do pilar na direção x, resultando:</p><p>658</p><p>25</p><p>1242312 ,</p><p>hx</p><p>ex</p><p>x =</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=λ</p><p>l</p><p>O cálculo do índice de esbeltez de referência é feito com a expressão 2.1:</p><p>( ) 35525</p><p>01</p><p>25</p><p>0615122551225</p><p>1 >=</p><p>⋅+</p><p>=</p><p>α</p><p>⋅+</p><p>=λ ,</p><p>,</p><p>,,h</p><p>e,</p><p>bx</p><p>x</p><p>ix</p><p>x</p><p>com 0,1bx =α , pois os momentos são menores que o momento mínimo (expressão</p><p>2.5).</p><p>Portanto tem-se que ( ) 35x1 =λ</p><p>E como, visto no item 2.3 e na NBR 6118:2003,</p><p>( ) 906,5835 xx1 <=λ<=λ</p><p>tem-se pilar medianamente esbelto na direção x, havendo necessidade de</p><p>considera-se os efeitos de segunda ordem nesta direção.</p><p>b.- Direção do eixo y:</p><p>Analogamente:</p><p>o índice de esbeltez na direção do eixo y resulta:</p><p>35626</p><p>60</p><p>1246012</p><p><=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=λ ,</p><p>hy</p><p>ey</p><p>y</p><p>l</p><p>O índice de esbeltez de referência é:</p><p>( ) 35125</p><p>01</p><p>60</p><p>5705122551225</p><p>1 >=</p><p>⋅+</p><p>=</p><p>α</p><p>⋅+</p><p>=λ ,</p><p>,</p><p>,,h</p><p>e</p><p>,</p><p>by</p><p>y</p><p>iy</p><p>y</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>59</p><p>sendo 0,1by =α , pois os momentos são menores que o momento mínimo.</p><p>Portanto, ( ) 35y1 =λ</p><p>e, como</p><p>( ) 356,26 y1y =λ<=λ</p><p>não há a necessidade de se considerar o efeito de segunda ordem na direção y.</p><p>5.3.6 Cálculo dos momentos totais nas duas direções x e y</p><p>5.3.6.1 Cálculo dos momentos totais nas duas direções x e y usando as equações do</p><p>momento total (Md, tot) e da rigidez aproximada ( κ )</p><p>Na flexão composta oblíqua, aplica-se o método do pilar padrão com rigidez</p><p>aproximada, processo indicado pela NBR 6118:2003 4 neste texto estudado no item</p><p>3.2.4 alínea b, cujo procedimento consiste na amplificação dos momentos de 1.a</p><p>ordem, em cada direção simultaneamente. Dessa amplificação resulta o momento total</p><p>máximo, para determinação da área da armadura longitudinal, expresso por:</p><p>⎭</p><p>⎬</p><p>⎫</p><p>⎩</p><p>⎨</p><p>⎧</p><p>≥</p><p>ν</p><p>κ</p><p>⋅</p><p>λ</p><p>−</p><p>⋅α</p><p>=</p><p>min,d</p><p>A,dA,db</p><p>tot,d M</p><p>MM</p><p>M</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>120</p><p>1</p><p>com ν⋅⎟⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>⋅</p><p>⋅+⋅=κ</p><p>d</p><p>tot,d</p><p>Nh</p><p>M</p><p>5132</p><p>Neste projeto do pilar foram feitas iterações para a determinação dos momentos</p><p>totais que consideram os momentos de primeira ordem (com valor mínimo) e o de</p><p>segunda ordem. Neste exemplo, são realizadas 3 iterações, empregando o método da</p><p>bisseção para obter os valores iniciais de cada iteração.</p><p>As expressões usadas a seguir são as indicadas neste texto e, portanto, a rotina</p><p>de cálculo seguida, pode ser observada no item 3.2.4 alínea a, ou na NBR 6118:2003.</p><p>5.3.6.1.1 Momento total na direção do eixo x:</p><p>Com os dados indicados a seguir inicia-se o processo iterativo com a finalidade de</p><p>se calcular o momento total na direção do eixo x do pilar P1.</p><p>0,1bx =α 54014260257221 ,),/(.d =⋅⋅=ν</p><p>kNcm823.1M A,x1d =</p><p>kNcm875.3M min,x1d =</p><p>6,58x =λ</p><p>1a Iteração: kNcm823.1M tot,dx =</p><p>9420540</p><p>722125</p><p>82315132 ,,</p><p>.</p><p>.</p><p>=⋅⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>⋅</p><p>⋅+⋅=κ</p><p>kNcm.</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>.,M tot,dx 9556</p><p>540</p><p>9420120</p><p>6581</p><p>823101</p><p>2 =</p><p>⋅</p><p>−</p><p>⋅</p><p>=</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 60</p><p>2a Iteração: kNcm...M tot,dx 3904</p><p>2</p><p>82319576</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>126540</p><p>172225</p><p>39045132 ,,.</p><p>=⋅⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>⋅</p><p>⋅+⋅=κ</p><p>kNcm.</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>.,M tot,dx 4694</p><p>540</p><p>126120</p><p>6581</p><p>823101</p><p>2 =</p><p>⋅</p><p>−</p><p>⋅</p><p>=</p><p>3a Iteração: kNcm...M tot,dx 4304</p><p>2</p><p>46943904</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>1726540</p><p>722125</p><p>43045132 ,,</p><p>.</p><p>.</p><p>=⋅⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>⋅</p><p>⋅+⋅=κ</p><p>kNcm.</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>.,M tot,dx 4514</p><p>540</p><p>1726120</p><p>6581</p><p>823101</p><p>2 =</p><p>⋅</p><p>−</p><p>⋅</p><p>=</p><p>Portanto, após 3 iterações tem-se:</p><p>kNcm.M tot,dx 4514= > kNcm.M min,xd 87531 =</p><p>E, portanto, o momento solicitante de cálculo Mdx,tot = 4.451kN.cm será o</p><p>considerado com plano de ação paralelo ao eixo x para cálculo da armadura do pilar.</p><p>A excentricidade total na direção do eixo x, considerando as excentricidades de</p><p>primeira e segunda ordem, é dada por:</p><p>cm,</p><p>.</p><p>.</p><p>N</p><p>M</p><p>e</p><p>d</p><p>tot,dx</p><p>total,x 582</p><p>7221</p><p>4514</p><p>===</p><p>5.3.6.1.2 Momento total na direção do eixo y</p><p>Com os dados a seguir inicia-se o processo iterativo com a finalidade de se</p><p>calcular o momento total na direção do eixo y do pilar P1.</p><p>0,1by =α 54014260257221 ,),/(.d =⋅⋅=ν</p><p>kNcmM A,yd 9831 = kNcm.M min,yd 68351</p><p>=</p><p>6,26y =λ</p><p>1a Iteração: kNcmM tot,dy 983=</p><p>1018540</p><p>172260</p><p>9835132 ,, =⋅⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>⋅</p><p>⋅+⋅=κ</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>61</p><p>kNcm.</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,M tot,dy 1931</p><p>540</p><p>1018120</p><p>6261</p><p>98301</p><p>2 =</p><p>⋅</p><p>−</p><p>⋅</p><p>=</p><p>2a Iteração: kNcm..M tot,dy 0881</p><p>2</p><p>9831931</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>1918540</p><p>172260</p><p>08815132 ,,.</p><p>=⋅⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>⋅</p><p>⋅+⋅=κ</p><p>kNcm.</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,M tot,dy 1921</p><p>540</p><p>1918120</p><p>6261</p><p>98301</p><p>2 =</p><p>⋅</p><p>−</p><p>⋅</p><p>=</p><p>Em virtude da convergência alcançada, uma 3° iteração não é necessária, pois o</p><p>momento para a terceira iteração é menor que o momento mínimo de primeira ordem</p><p>de cálculo.</p><p>Portanto, após 2 iterações tem-se:</p><p>kNcm.M tot,dy 1921= < kNcm.M min,yd 68351 =</p><p>Como a NBR 6118:2003 indica que a seção transversal precisa resistir um</p><p>momento igual ao momento mínimo o momento na direção y é igual a:</p><p>kNcm.M tot,dy 6835=</p><p>Cálculo da excentricidade total na direção do eixo y:</p><p>cm,</p><p>.</p><p>.</p><p>N</p><p>M</p><p>e</p><p>d</p><p>tot,dy</p><p>total,y 303</p><p>7221</p><p>6835</p><p>===</p><p>5.3.6.2 Cálculo dos momentos totais nas duas direções x e y usando a equação da</p><p>solução única</p><p>A título de comparação calculam-se, nesta sessão, os momentos totais com a</p><p>equação deduzida para solução única do processo do pilar-padrão com rigidez κ</p><p>aproximada. O leitor pode observar que os resultados são praticamente iguais, com o</p><p>era esperado, nas direções x e y, em virtude de aproximações numéricas.</p><p>5.3.6.2.1 Momento total na direção do eixo x</p><p>Com a equação 3.16 se calcula o valor do momento total na direção do eixo x.</p><p>zerocMbMa tot,dxtot,dx =+⋅+⋅ 2 (equação 3.16)</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 62</p><p>Com os seguintes dados relativos à direção x:</p><p>0,1bx =α kN.Nd 7221=</p><p>kNm,kNcm.M A,xd 231882311 == kNm,kNcm.M min,xd 753887531 ==</p><p>m,cmex 234423 ==l cmhx 25= =0,25m</p><p>vem:</p><p>25125055 ,,ha =⋅=⋅= ;</p><p>=⋅⋅⋅−</p><p>⋅</p><p>−⋅=⋅α⋅⋅−</p><p>⋅</p><p>−⋅= 2318012505</p><p>320</p><p>722123472212505</p><p>320</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2 ,,,.,.,MhNNhb A,db</p><p>dex</p><p>d</p><p>l ;</p><p>=⋅⋅⋅−=⋅α⋅⋅−= 2318017221250 2</p><p>1</p><p>2 ,,.,MNhc A,dbd ;</p><p>Substituindo a, b e c na equação 3.16 tem-se:</p><p>zero,.M,M, tot,dxtot,dx =−⋅−⋅ 0096214511251 2</p><p>Resolvendo a equação do segundo grau, resulta:</p><p>kNcm.kNm,M tot,dx 44644644 ==</p><p>sendo que o momento total na direção do eixo x tem que ser maior do que o</p><p>momento mínimo, assim tem-se:</p><p>>kNcm.M tot,dx 4464= > kNcm.M min,xd 87531 =</p><p>5.3.6.2.2 Momento total na direção do eixo y</p><p>Com a equação 3.16 se calcula o valor do momento total na direção do eixo y.</p><p>zerocMbMa tot,dtot,d =+⋅+⋅ 2 (equação 3.16)</p><p>Com os seguintes dados relativos à direção y:</p><p>0,1by =α kN.Nd 7221=</p><p>kNcmM A,yd 9831 = =9,83kNm kNcm.M min,yd 68351 = =56,83kNm</p><p>m,cmey 604460 ==l cmhy 60= =0,60m</p><p>vem:</p><p>00360055 ,,ha =⋅=⋅= ;</p><p>56476839016005</p><p>320</p><p>722160472216005</p><p>320</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2 ,,,,.,.,MhNNhb A,db</p><p>dex</p><p>d =⋅⋅⋅−</p><p>⋅</p><p>−⋅=⋅α⋅⋅−</p><p>⋅</p><p>−⋅=</p><p>l ;</p><p>810936839017221600 2</p><p>1</p><p>2 ,.,,.,MNhc A,dbd −=⋅⋅⋅−=⋅α⋅⋅−= ;</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>63</p><p>Substituindo a, b e c na equação 3.16 tem-se:</p><p>zero,.M,M, tot,dytot,dy =−⋅+⋅ 81093656476003 2</p><p>Resolvendo a equação do segundo grau, resulta:</p><p>kNcm.kNm,M tot,dx 18418411 ==</p><p>sendo que o momento total na direção do eixo x tem que ser maior do que o</p><p>momento mínimo, assim tem-se:</p><p>kNcm.M tot,dy 1841= < kNcm.M min,yd 68351 =</p><p>5.3.7 Cálculo da área da armadura longitudinal</p><p>Para o cálculo da área das barras da armadura longitudinal se segue a rotina</p><p>conhecida por ocasião do estudo de determinação da área de barras da armadura</p><p>longitudinal de seções transversais de elementos lineares em concreto armado</p><p>submetidos a flexão composta. Usam-se neste exemplo os ábacos elaborados por</p><p>Pinheiro et al. (1994). Para facilitar o entendimento cópias dos ábacos utilizados são</p><p>apresentadas anexas.</p><p>Para cálculo das áreas das armaduras relativas aos momentos totais nas direções</p><p>x e y consideraram-se os momentos calculados pelo processo iterativo.</p><p>É necessário calcular as distâncias entre os centros das barras junto às quinas da</p><p>seção transversal do pilar em relação às medidas dos lados da seção, resultando:</p><p>07,0</p><p>60</p><p>0,4</p><p>h</p><p>d</p><p>y</p><p>y</p><p>'</p><p>==</p><p>15,016,0</p><p>25</p><p>0,4</p><p>h</p><p>d</p><p>x</p><p>x</p><p>'</p><p>≅==</p><p>As excentricidades no pilar P1 são iguais a:</p><p>30,3ey = cm</p><p>58,2ex = cm</p><p>O valor da força normal reduzida é igual a:</p><p>540,d =ν</p><p>Os momentos fletores reduzidos são iguais a:</p><p>030</p><p>60</p><p>303540 ,,,</p><p>h</p><p>e</p><p>y</p><p>y</p><p>ddy =⋅=ν=μ</p><p>060</p><p>25</p><p>582540 ,,,</p><p>h</p><p>e</p><p>x</p><p>x</p><p>ddx =⋅=ν=μ</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 64</p><p>Escolhendo-se o Ábaco A-17 elaborado por Pinheiro et al. (1994) para a flexão</p><p>oblíqua com 40,d =ν e 60,d =ν resulta taxa mecânica das barras da armadura igual a</p><p>zero, ou seja:</p><p>zero=ω</p><p>indicando que a seção transversal precisa ser armada com a taxa mínima de</p><p>armadura longitudinal.</p><p>5.3.8 Cálculo da taxa geométrica mínima de armadura</p><p>A área mínima de armadura é calculada pela expressão indicada pela NBR</p><p>6118:2003, resultando:</p><p>22 006602500400040945</p><p>543</p><p>7221150150 cm,,A,cm,</p><p>,</p><p>.,</p><p>f</p><p>N,A c</p><p>yd</p><p>cd</p><p>min,s =⋅⋅=⋅≥=⋅=⋅=</p><p>A maior medida do lado do pilar é igual a 60cm, portanto a NBR 6118:2203 indica</p><p>que a maior distância entre barras longitudinais é igual a 40cm, então a seção</p><p>transversal será armada com 6φ16,0mm, totalizando uma área de barras longitudinais</p><p>efetiva de 12,06cm2.</p><p>A taxa geométrica das barras longitudinais é igual a:</p><p>%0,4</p><p>2</p><p>%0,8%80,00080,0</p><p>6025</p><p>06,12</p><p>A</p><p>Aρ</p><p>c</p><p>s =<≡=</p><p>⋅</p><p>==</p><p>que é menor do que o valor máximo da taxa geométrica de 4,0% levando-se em</p><p>conta a região de emendas por traspasse.</p><p>5.3.9 Arranjo das barras das armaduras longitudinal e transversal</p><p>A figura 5.15 mostra o arranjo das barras na seção transversal do pilar P1 e o</p><p>dimensionamento das barras da armadura transversal (estribos) e os respectivos</p><p>espaçamentos.</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>65</p><p>Seção transversal do pilar P1</p><p>6 φ 16,0 mm</p><p>20φ t</p><p>20φ t</p><p>26,2 cm</p><p>Estribos</p><p>Diâmetro:</p><p>⎩</p><p>⎨</p><p>⎧</p><p>==φ</p><p>≥φ</p><p>4,0mm/41/4</p><p>mm ,</p><p>t 6</p><p>05</p><p>Adota-se 5,0mm tφ</p><p>Espaçamento:</p><p>⎪</p><p>⎩</p><p>⎪</p><p>⎨</p><p>⎧</p><p>=⋅=φ</p><p>=≤</p><p>cm ,,</p><p>25cmb</p><p>cm</p><p>s</p><p>219611212</p><p>20</p><p>cm 19s ≤∴</p><p>Proteção contra a flambagem das</p><p>barras:</p><p>cm,t 10502020 =⋅=φ⋅</p><p>Portanto, é necessário estribo</p><p>suplementar nas barras longitudinais</p><p>centrais.</p><p>Figura 5.15 - Arranjo das barras das armaduras longitudinal e transversal do pilar P1</p><p>P1 (25 x 60)</p><p>20</p><p>25</p><p>N3 - 25 Ø 5,0 C/20 C=30</p><p>25</p><p>N</p><p>2</p><p>C</p><p>/2</p><p>0</p><p>i</p><p>N</p><p>1</p><p>- 6</p><p>Ø</p><p>1</p><p>6,</p><p>0</p><p>C</p><p>=5</p><p>21</p><p>60</p><p>i + 460</p><p>N2 - 25 Ø 5,0 C/20 C=185</p><p>20</p><p>50</p><p>Figura 5.16 - Detalhamento do pilar P1</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 66</p><p>Ábaco A - 17 - Pinheiro et al. (1994) - EESC - USP</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>67</p><p>Ábaco A - 17 - Pinheiro et al. (1994) - EESC - USP</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 68</p><p>Bibliografia</p><p>AGUIAR, E.A.B. (2000). Projeto de pilares de concreto de alto desempenho. São</p><p>Carlos, Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade</p><p>de São Paulo.</p><p>ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1978). NBR 6118:1978.</p><p>Projeto e execução de estruturas de concreto armado. Rio de Janeiro.</p><p>ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS: NBR 6118:2003. Projeto de</p><p>estruturas de concreto. Rio de Janeiro, ABNT.</p><p>CARVALHO, R.C.; FIGUEIREDO FILHO, J.R. (2002). Pilares de concreto armado. p.9-</p><p>25. Notas de aula – Universidade Federal de São</p><p>Carlos.</p><p>FUSCO, P. B. (1981) Estruturas de concreto: solicitações normais. Editora Guanabara</p><p>Dois, Rio de Janeiro.</p><p>GIONGO, J.S.; FIORIN, E. (1999). Arranjos de armadura para vigas e pilares de</p><p>edifícios em concreto armado. In: FILHO, E.S.S. Nova normalização brasileira para o</p><p>concreto estrutural. Rio de Janeiro, Interciência. Cap.10, p.209-43.</p><p>PINHEIRO, L.M.; BARALDI; L.T.; POREM, M.E. (1994). Concreto armado: Ábacos para</p><p>flexão oblíqua. São Carlos, EESC-USP.</p><p>VENTURINI, W.S. (1987). Dimensionamento de peças retangulares de concreto</p><p>armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, EESC-USP.</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>1</p><p>ESTABILIDADE GLOBAL DAS ESTRUTURAS</p><p>1. INTRODUÇÃO</p><p>As considerações que se seguem estão baseadas nos capítulos 14 e 15 da NB1/2000.</p><p>1.1. Tipos de análise estrutural</p><p>O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de</p><p>efetuar verificações dos es6ados limites últimos e de serviço. Dessa maneira é possível estabelecer as distribuições</p><p>de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos, em elementos, partes ou em toda a estrutura.</p><p>O paradigma da análise estrutural é a análise não linear. Pode-se, entretanto, efetuar a análise por um dos</p><p>métodos apresentados a seguir, que se diferenciam pelo comportamento admitido para os materiais constituintes da</p><p>estrutura, não perdendo de vista em cada caso as limitações correspondentes.</p><p>1.1.1. Análise linear</p><p>Admite-se comportamento elástico-linear para os materiais. É aplicável quando se tem um nível de</p><p>solicitação que produz tensões de compressão que não superem 50% do fck .</p><p>Nestas análises as características geométricas poderão ser determinadas pela seções brutas de concreto dos</p><p>elementos estruturais. Módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson devem ser adotados de acordo com o</p><p>apresentado em 7.1.8.</p><p>Os resultados de uma análise linear são usualmente emp regados para a verificação de Estados Limites de</p><p>Serviço. É possível estender os resultados para verificações de Estado Limite Último, mesmo com altas tensões,</p><p>desde que se garanta a dutilidade.</p><p>1.1.2. Análise linear com redistribuição</p><p>Na análise linear com redistribuição os efeitos das ações, determinados em uma análise linear, são</p><p>redistribuídos na estrutura. Nesses casos condições de equilíbrio e de dutilidade devem ser obrigatoriamente</p><p>satisfeitos.</p><p>Todos os esforços internos deverão ser recalculados de modo a garantir o equilíbrio de cada um dos</p><p>elementos estruturais e da estrutura como um todo.</p><p>Cuidados especiais devem ser tomados com relação a carregamentos de grande variabilidade.</p><p>1.1.3. Análise plástica</p><p>A análise estrutural é denominada plástica quando as não linearidades puderem ser consideradas,</p><p>admitindo-se materiais de comportamento rígido-plástico perfeito ou elasto-plástico perfeito.</p><p>A análise plástica de estruturas reticuladas não pode ser adotada quando:</p><p>a) se consideram os efeitos de segunda ordem global</p><p>b) não houver suficiente dutilidade para que as configurações adotadas sejam atingidas.</p><p>No caso de carregamento cíclico, com possibilidade de fadiga, deve-se observar as prescrições contidas no</p><p>capítulo 23.</p><p>1.1.4. Análise não linear</p><p>Na análise não linear se considera o comportamento não-linear dos materiais. Efeitos de segunda ordem</p><p>podem ou não ser incluídos na análise. Condições de equilíbrio, de compatibilidade e de dutilidade devem ser</p><p>necessariamente satisfeitas.</p><p>1.1.5. Análise através de modelos físicos</p><p>Na análise através de modelos físicos, o comportamento estrutural é determinado a partir de ensaios</p><p>realizados com modelos físicos de concreto, levando em conta os critérios de semelhança mecânica. Cuidados</p><p>especiais devem ser tomados quanto à metodologia empregada nos experimentos com vistas à possibilidade de</p><p>interpretação dos resultados.</p><p>Nessa interpretação dos resultados, são importantes a justificação do equilíbrio nas seções críticas e uma</p><p>análise estatística dos resultados.</p><p>Se for possível uma avaliação adequada da variabilidade dos resultados, pode-se adotar as margens de</p><p>segurança prescritas nesta norma, caps. 11 e 12.</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>2</p><p>Em caso contrário, quando só foi possível avaliar o valor médio dos resultados, deve ser aumentada a</p><p>margem de segurança acima referida.</p><p>Obrigatoriamente devem ser obtidos resultados para todos os Estados Limites Últimos e de Serviço a serem</p><p>empregados na análise da estrutura. Todas as ações, condições e possíveis influências que possam ocorrer durante a</p><p>vida da estrutura devem ser convenientemente reproduzidas nos ensaios.</p><p>Este tipo de análise é apropriado quando os modelos de cálculo são insuficientes ou estejam fora do escopo</p><p>da presente norma.</p><p>A simulação das condições de trabalho da estrutura nos ensaios deverá ser a mais completa possível. As</p><p>limitações físicas, práticas e de tempo poderão ser superadas via modelos teóricos pertinentes e previstos nas</p><p>normas vigentes. A título de exemplo, esse é o caso da consideração dos efeitos diferidos numa peça protendida,</p><p>quando através de modelos teóricos são extrapolados os resultados obtidos nos ensaios, que consideram, portanto,</p><p>apenas uma parte desses efeitos.</p><p>2. ESTABILIDADE DE UMA ESTRUTURA</p><p>Segundo a norma NB1/2000 as estruturas de concreto devem ser projetadas, construídas e utilizadas de</p><p>modo que sob as condições ambientais previstas e respeitadas as condições de manutenção preventiva</p><p>especificadas no projeto, conservem suas segurança, estabilidade, aptidão em serviço e aparência aceitável, durante</p><p>um período pré-fixado de tempo, sem exigir medidas extras de manutenção e reparo.</p><p>Os esforços calculados a partir da geometria inicial da estrutura, sem deformação, são chamados efeitos de</p><p>primeira ordem. Aqueles advindos da deformação da estrutura são chamados de efeito de segunda ordem. A</p><p>consideração dos efeitos de segunda ordem conduzem a não linearidade entre a ações e deformações, esta não</p><p>linearidade, devido sua origem, é chamada de não linearidade geométrica. A consideração da fissuração e fluência do</p><p>concreto conduzem também a uma não linearidade (entre ações e deformações) chamada neste caso de não</p><p>linearidade física.</p><p>As deformações existentes na estruturas permitem calcular os efeitos de Segunda ordem que de acordo com</p><p>o item 15.3.1 podem ser divididos em Efeitos Globais e Locais e Localizadas de Segunda Ordem.</p><p>Sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura deslocam-se horizontalmente. Os esforços</p><p>de segunda ordem decorrentes desses deslocamentos são chamados efeitos globais de 2ª ordem. Nas barras da</p><p>estrutura, os respectivos eixos não se mantêm retilíneos, surgindo aí efeitos locais de 2ª ordem que, em princípio,</p><p>afetam principalmente os esforços solicitantes ao longo delas. Em pilares parede (simples ou compostos) pode-se ter</p><p>uma região que apresenta não retilineidade maior do que a do pilar como um todo. Nestas regiões surgem efeitos de</p><p>2ª ordem maiores, chamados de efeito de 2ª ordem localizados. O efeito de 2ª ordem localizado além de aumentar nesta</p><p>região a flexão longitudinal, aumenta também a flexão transversal, havendo a necessidade de aumentar os estribos</p><p>nestas regiões.</p><p>Na figura 1 estão representadas as possibilidades de instabilidade que podem ser causadas por cada uma</p><p>das duas primeiras situações.</p><p>h</p><p>b</p><p>h</p><p>b b</p><p>h</p><p>1 2 3 4</p><p>Figura 1. Esquema estrutural de prédio alto:</p><p>1) perspectiva esquemática; 2) estrutura vertical indeformada; 3) edificação sujeita a instabilidade global; 4)</p><p>instabilidade local de pilares centrais inferiores</p><p>Teoricamente todas as três situações descritas anteriormente devem ser verificadas e, preferencialmente,</p><p>considerando a não linearidade geométrica e física do material e considerando o comportamento tridimensional da</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO</p><p>/ JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>3</p><p>estrutura. É fácil perceber a dificuldade na realização de um cálculo deste, e assim é comum separar os problemas e</p><p>verificar inicialmente a estabilidade global, a local e finalmente a localizada. Na sequência será estudada apenas a</p><p>estabilidade global, ficando a local para quando forem abordados os pilares de edifícios.</p><p>3. ESTABILIDADE GLOBAL</p><p>Para criar condições mais simples de cálculo costuma-se definir estruturas de nós fixos e nós moveis. No</p><p>item 15.3.2 da NB1/2000, define-se estruturas de nós fixos como aquelas em que os deslocamentos horizontais dos</p><p>nós são pequenos, e, por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos</p><p>respectivos esforços de 1ª ordem), são chamadas estruturas de nós fixos. Nessas estruturas, basta considerar os</p><p>efeitos locais de 2ª ordem.</p><p>Os efeitos de primeiro ordem são aqueles obtidos com o cálculo feito com a estrutura considerada</p><p>indeformada.</p><p>Define-se como estruturas nós móveis como aquelas em que os deslocamentos horizontais não são</p><p>pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores a 10% dos respectivos</p><p>esforços de 1ª ordem), são chamadas estruturas de nós moveis. Nessas estruturas, devem ser obrigatoriamente</p><p>considerados tanto os esforços de 2ª ordem globais como os locais.</p><p>Há estruturas em que os deslocamentos horizontais são grandes e que, não obstante, dispensam a</p><p>consideração dos efeitos de 2ª ordem por serem pequenos, ainda assim, os acréscimos dos deslocamentos</p><p>produzidos pelas cargas verticais. Isso pode acontecer, por exemplo, em postes e em certos pilares de pontes e de</p><p>galpões industriais.</p><p>Na composição estrutural muitas vezes é interessante fazer arranjos de elementos estruturais para</p><p>caracterizarem aumento de rigidez em direções críticas a estes conjunto. A norma define em seu item 15.3.3</p><p>contraventamento, com a seguinte redação: “Por conveniência de análise, é possível identificar, dentro da estrutura,</p><p>sub-estruturas que, devido à sua grande rigidez a ações horizontais, resistem à maior parte dos esforços decorrentes</p><p>dessas ações. Essas sub-estruturas são chamadas sub-estruturas de contraventamento.</p><p>As caixas de elevadores e escadas, bem como os pilares-parede de concreto armado, constituem exemplos</p><p>de sub-estruturas de contraventamento. Por outro lado, mesmo elementos de pequena rigidez podem, em seu</p><p>conjunto, contribuir de maneira significativa na rigidez a ações horizontais, devendo então ser incluídos na sub-</p><p>estrutura de contraventamento.</p><p>Os elementos que não participam da sub-estrutura de contraventamento são chamados elementos</p><p>contraventados.”</p><p>O conceito de nós fixos ou de nós moveis, pode ser também aplicado às subestruturas de</p><p>contraventamento.</p><p>Define ainda a norma como elementos isolados:</p><p>• as peças isostáticas;</p><p>• os elementos contraventados;</p><p>• os elementos das estruturas de contraventamento de nós fixos;</p><p>• os elementos das sub-estruturas de contraventamento de nós moveis desde que, aos esforços nas extremidades,</p><p>obtidos numa análise de 1ª ordem, sejam acrescentados os determinados por análise global de 2ª ordem.</p><p>Finalmente no item 15.4 o texto da norma apresenta as condições para a dispensa da consideração dos</p><p>esforços globais de 2ª ordem. Define dois processos aproximados (apresentados em 15.4.1 e 15.4.2 respectivamente):</p><p>o do parâmetro α e o do coeficiente γ z.</p><p>3.1. Parâmetro de instabilidade α</p><p>Uma estrutura reticulada poderá ser considerada como sendo de nós fixos se seu parâmetro de</p><p>instabilidade α for menor que o valor α1 definido a seguir:</p><p>)I/(ENH ccktot=α</p><p>α1 0 2 0 1= +, , . n se n ≤ 3</p><p>α1 0 6= , se n ≥ 4</p><p>onde:</p><p>n - número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do</p><p>subsolo;</p><p>Htot - altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo;</p><p>N k - somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado para o cálculo de</p><p>Htot ), com seu valor característico;</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>4</p><p>Ec I c - somatória das rigidezes de todos os pilares na direção considerada. No caso de estruturas de pórticos, de</p><p>treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez variável ao longo da altura, permite-se considerar produto de</p><p>rigidez Ec I c de um pilar equivalente de seção constante. O valor de Ec é dado em 7.1.8. O valor de I c é</p><p>calculado considerando as seções brutas dos pilares.</p><p>Para determinar a rigidez equivalente a que se refere o item 15.4.1., procede-se da seguinte forma:</p><p>• calcula-se o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do carregamento horizontal</p><p>característico;</p><p>• calcula-se a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no topo, de mesma</p><p>altura H tot , tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo.</p><p>O valor limite α1 = 0,6 prescrito para n ≥ 4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais de edifícios. Vale para</p><p>associações de pilares-parede, e para pórticos associados a pilares-parede. Ele pode ser aumentado para 0,7 no caso</p><p>de contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede, e deve ser reduzido para 0,5 quando só houver</p><p>pórticos.</p><p>Enquanto a norma NB1-80 previa que as ações laterais (e provavelmente os efeitos globais de Segunda</p><p>ordem) só deviam ser calculados quando uma edificação apresentasse altura superior a quatro vezes a menor</p><p>dimensão em planta, ou quando os pórticos em uma direção tivessem menos que quatro pilares em linha, na nova</p><p>versão o critério se baseia em valores de deformação da estrutura em sí.</p><p>EXEMPLO NUMÉRICO</p><p>Seja a edificação de um pavimento e cobertura cujas plantas de formas do primeiro piso e forro estão nas</p><p>figuras 2 e 3. Verificar se o esquema estrutural pode ser admitido de nós fixos.</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>5</p><p>PÓRTICO 1</p><p>PÓRTICO 2</p><p>PÓRTICO 3</p><p>PÓRTICO 4</p><p>y</p><p>x</p><p>P1, P2, P3, P4, P6, P7, P9, P10, P11 e P12 (22X22)</p><p>P5 e P8 (12X35)</p><p>Figura 2. Planta do pavimento da estrutura a ser analisada</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>6</p><p>PÓRTICO 1</p><p>PÓRTICO 2</p><p>P1, P2, P3, P4, P6, P7, P9, P10, P11 e P12 (22X22)</p><p>P5 e P8 (12X35)</p><p>y</p><p>x</p><p>PÓRTICO 3</p><p>PÓRTICO 4</p><p>Figura 3. Planta de forma da cobertura da estrutura a ser analisada</p><p>3.2. Coeficiente γ z</p><p>É possível determinar de forma aproximada o coeficiente γ z de majoração dos esforços globais finais com</p><p>relação aos de primeira ordem (item 15.4.2). Essa avaliação é efetuada a partir dos resultados de uma análise linear de</p><p>primeira ordem, adotando-se os valores de rigidez dados em 15.6.2. O valor de γ z é:</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>7</p><p>a</p><p>a a</p><p>.</p><p>M</p><p>M</p><p>1</p><p>1</p><p>h</p><p>vh</p><p>av,1</p><p>d,tot</p><p>z +∆</p><p>−</p><p>=γ</p><p>sendo:</p><p>M tot1, ,d - momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais, com seus</p><p>valores de cálculo, em relação à base da estrutura;</p><p>∆M tot,d - soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, com seus valores de cálculo, pelos</p><p>deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem.</p><p>ah, av - são os deslocamentos horizontais no nível do centro de gravidade das cargas verticais da estrutura. O</p><p>deslocamento horizontal av é o decorrente somente das ações verticais e o deslocamento horizontal ah é</p><p>decorrente somente das ações horizontais.</p><p>Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição: γz ≤ 1,1.</p><p>4. ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS</p><p>Nas estruturas de nós fixos, de acordo com o item 15.5 da NB1/2000, permite-se considerar cada elemento</p><p>comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali</p><p>concorrem, onde</p><p>se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria de 1ª ordem.</p><p>A análise dos efeitos locais de 2ª ordem será feita de acordo com o que se prescreve no item 15.7 da norma,</p><p>e que se verá no estudo de pilares.</p><p>Sob a ação de forças horizontais, a estrutura é sempre calculada como deslocável. O fato de a estrutura ser</p><p>classificada como sendo de nós fixos dispensa apenas a consideração dos esforços globais de 2ª ordem, mas não sua</p><p>análise como estrutura deslocável.</p><p>O comprimento equivalente l e do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as</p><p>extremidades, é o menor dos seguintes valores:</p><p>l le o h= +</p><p>1 85,0 com e ≤η≤η= ll</p><p>onde (figura 4):</p><p>lo - distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar;</p><p>h - altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura;</p><p>l - distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado;</p><p>η - coeficiente dado pelo menor dos valores:</p><p>η = 0,7 + 0,05 (αA + αB)</p><p>η = 0,85 + 0,05 αmin</p><p>sendo</p><p>αA - a relação entre a soma das rigidezes dos pilares que concorrem à extremidade A do elemento e a soma das</p><p>rigidezes das vigas que ali concorrem;</p><p>α B - a relação análoga na outra extremidade B;</p><p>αmin - é o valor mínimo entre αA e α B;</p><p>α= 10 - quando a rigidez que vincula a extremidade considerada é baixa;</p><p>α=1 - quando a rigidez que vincula a extremidade considerada é alta.</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>8</p><p>Figura 4. Distâncias para o cálculo do comprimento equivalente l e (figura 15.3, NB1/2000)</p><p>5. ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE NÓS MÓVEIS</p><p>Nas estruturas de nós moveis (item 15.6 da NB1/2000), a análise deve levar obrigatoriamente em conta os</p><p>efeitos da não-linearidade geométrica e da não-linearidade física. No dimensionamento, consideram-se</p><p>obrigatoriamente os efeitos globais e locais de 2ª ordem.</p><p>5.1. Análise não-linear com 2ª ordem (item 15.6.1, NB1/2000)</p><p>A análise não-linear com 2ª ordem deve considerar a não-linearidade geométrica da estrutura e, através de</p><p>modificações apropriadas da matriz de rigidez da estrutura, a não-linearidade física do material, como se prescreve em</p><p>15.2.</p><p>Em estruturas de edifícios, permite-se, para a consideração da não-linearidade geométrica, o emprego do</p><p>processo P − ∆ (também conhecido como N - a), tomando-se, para levar em conta a não-linearidade física, os</p><p>valores estabelecidos em 15.6.2.</p><p>Solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem, válida para estruturas</p><p>regulares, consiste no cálculo do coeficiente γ z do item 15.4.2., permitindo-se a avaliação dos esforços finais (1ª</p><p>ordem + 2ª ordem) pela multiplicação por 0,95γ z dos momentos de 1ª ordem, desde que: γ z ≤ 1 3, .</p><p>5.2. Consideração aproximada da não-linearidade física (15.6.2, NB1/2000)</p><p>Para a análise dos esforços globais de 2ª ordem, permite-se considerar a não-linearidade física de maneira</p><p>aproximada, tomando-se como rigidez das peças os valores a seguir:</p><p>lajes: ( ) ,secEI E Ic c= 0 3</p><p>vigas: ccsec IE4,0)EI( = para A's ≠ As e (EI)sec = 0,5 Ec Ic para A's = As</p><p>pilares: ( ) ,secEI E Ic c= 0 8</p><p>sendo E c o módulo de elasticidade do concreto dado em 7.1.8 e IC o momento de inércia da seção bruta de concreto.</p><p>Alternativamente, permite-se, quando a estrutura de contraventamento é composta exclusivamente por</p><p>vigas e pilares, considerar para ambos:</p><p>(EI)sec = 0,7 EcIc</p><p>Os valores acima dados para ( ) secEI são aproximados e não poderão ser usados para avaliar esforços</p><p>locais de 2ª ordem, mesmo com uma discretização maior da modelagem.</p><p>6. OUTRAS CONSIDERAÇÕES</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>9</p><p>6.1. Grelhas</p><p>Segundo o item 14.5.7.2, NB1/2000, os pavimentos dos edifícios poderão ser modelados como grelhas,</p><p>levando-se em conta a rigidez à flexão dos pilares, de maneira análoga a que foi prescrita para as vigas contínuas.</p><p>De maneira aproximada pode-se reduzir a rigidez a torção das vigas utilizando-se 15% da rigidez elástica,</p><p>exceto para as peças com protensão limitada ou completa (níveis II ou III).</p><p>Perfis abertos de parede fina, podem ser modelizados levando em conta o disposto no item 17.3.</p><p>6.2. Estrutura de contraventamento lateral</p><p>A laje de um pavimento poderá ser considerada, segundo o item 14.5.7.5 na NB1/2000, como uma chapa</p><p>totalmente rígida em seu plano, desde que não apresente grandes aberturas e cujo lado maior do retângulo</p><p>circunscrito ao pavimento em planta não supere em três vezes o lado menor.</p><p>A rigidez de torção de vigas e pilares, em geral pode ser desprezada ao se analisar a estrutura de</p><p>contraventamento submetida a ações horizontais.</p><p>Existem nas estruturas três tipos de instabilidade (item 15.1, NB1/200):</p><p>a) Nas estruturas sem imperfeições geométricas iniciais, pode haver (para casos especiais de carregamento) perda de</p><p>estabilidade por bifurcação do equilíbrio (flambagem).</p><p>b) Em situações particulares (estruturas abatidas), pode haver perda de estabilidade sem bifurcação do equilíbrio por</p><p>passagem brusca de uma configuração para outra reversa da anterior (ponto limite com reversão).</p><p>Os casos a) e b) podem ocorrer para estruturas de material de comportamento linear ou não-linear.</p><p>c) Em estruturas de material de comportamento não-linear, com imperfeições geométricas iniciais, não há perda de</p><p>estabilidade por bifurcação do equilíbrio. Pode, no entanto, haver perda de estabilidade quando, ao crescer a</p><p>intensidade do carregamento, o aumento da capacidade resistente da estrutura passa a ser menor do que o</p><p>aumento da solicitação (ponto limite sem reversão).</p><p>Efeitos de 2ª ordem são aqueles que se somam aos obtidos numa análise de primeira ordem (em que o</p><p>equilíbrio da estrutura é estudado na configuração geométrica inicial), quando a análise do equilíbrio passa a ser</p><p>efetuada considerando a configuração deformada.</p><p>Os efeitos de 2ª ordem, em cuja determinação deve ser levado em conta o comportamento não-linear dos</p><p>materiais, podem ser desprezados sempre que não representem acréscimo superior a 10% nas reações e nas</p><p>solicitações relevantes da estrutura.</p><p>BIBLIOGRAFIA</p><p>AMERICAN CONCRETE INSTITUTE (1995). ACI 318-95. Building code requirements for structural</p><p>concrete. Farmington Hills. Detroit, 1995.</p><p>ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1984). NBR-8681 (NB/862). Ações e segurança nas</p><p>estruturas. Rio de Janeiro, 1984.</p><p>ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1988). NBR-6123 (NB/599). Forças devidas ao vento em</p><p>edificações. Rio de Janeiro, 1988.</p><p>ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (1989). NBR-7197 (NB/116). Projeto de estruturas de</p><p>concreto protendido. Rio de Janeiro, 1989.</p><p>ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1980). NBR-6118 (NB/1). Projeto e execução de estruturas</p><p>de concreto armado. Rio de Janeiro, 1980.</p><p>ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1985). NBR-9062 (NB/949). Projeto e execução de</p><p>estruturas de concreto pré-moldado. Rio de Janeiro, 1985.</p><p>CEB-FIP Model Code 1990 – final draft (1991). Bulletin D’Information no 203, 204 e 205. Lausanne, 1991.</p><p>EUROCODE 2 (1992). Design of concrete structures. Part 1: General rules and rules for buildings. Brussels, CEN</p><p>(ENV 1992-1-1). 1992.</p><p>FUSCO, P. B. (1976). Introdução ao projeto estrutural. McGraw-Hill do Brasil. São Paulo, 1976.</p><p>MONTOYA, P. J.; MESEGUER, A.G.; CABRÉ, F.M. (1978). Hormigón armado. Editorial Gustavo Gili. 9a ed. Barcelona,</p><p>Espana, 1978.</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>Imaginando um pilar, engastado na base e solto na sua outra extremidade, submetido a uma</p><p>carga normal com excentricidade inicial ei (ver figura 1), pode-se considerar que o pilar apresentará,</p><p>como efeito de segunda ordem uma elástica com a forma de uma senoíde como a indicada na figura 1</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>10</p><p>fig.1 – pilar engastado na</p><p>base e solto na extremidade superior solicitado a uma carga vertical</p><p>excêntrica, equivalente a um pilar bi-rotulado com o dobro do comprimento</p><p>Considerando as seguintes hipóteses:</p><p>• a flecha máxima (a) é função linear da curvatura da barra;</p><p>• a linha elástica da barra deformada é dada por uma função senoidal;</p><p>• a curvatura é dada pela derivada segunda da equação da linha elástica;</p><p>• será desconsiderada a não linearidade física do material.</p><p>Admite-se que a linha elástica (deformada) y(x) do eixo da barra seja expressa pela função</p><p>contínua</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>×= xsenaxy</p><p>l2</p><p>)(</p><p>π</p><p>que atende as condições geométricas de contorno, ou seja, y(0) = 0 e y( l ) = a é a excentricidade</p><p>para uma determinada ordenada x.</p><p>Considerando que os deslocamentos y sejam pequenos, a curvatura (1/r) pode ser expressa</p><p>por</p><p>2</p><p>2 )(</p><p>r</p><p>1</p><p>dx</p><p>xyd</p><p>≅</p><p>e derivando duas vezes a expressão y (x) chega-se a</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>××= xa</p><p>dx</p><p>xdy</p><p>ll 2</p><p>cos</p><p>2</p><p>)(</p><p>ππ</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>××</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−= xsena</p><p>dx</p><p>xyd</p><p>ll 22</p><p>)(</p><p>2</p><p>2</p><p>2 ππ</p><p>e, portanto</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>11</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>××−== xsene</p><p>dx</p><p>xyd</p><p>r ll 24</p><p>)(1</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>2 ππ</p><p>Considerando l e = 2 l tem-se para x= l o valor da curvatura dado por</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>××−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>a</p><p>r ex ll</p><p>π</p><p>ou então</p><p>a</p><p>r ex</p><p>×−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>2</p><p>21</p><p>ll</p><p>π</p><p>e, eliminando o sinal negativo, o valor de a fica:</p><p>2</p><p>21</p><p>π</p><p>e</p><p>xr</p><p>a</p><p>l</p><p>l</p><p>×</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>℘=</p><p>Finalmente, fazendo π 2 = 10, obtém-se a expressão indicada pela norma (a partir deste ponto,</p><p>chamar-se-á a apenas de e2):</p><p>10</p><p>1 2</p><p>2</p><p>e</p><p>xr</p><p>e</p><p>l</p><p>l</p><p>×</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>Assim o valor da excentricidade de segunda ordem é diretamente proporcional à curvatura na</p><p>base do pilar que com as características descritas passa a ser chamado de pilar padrão. Desta forma ao</p><p>se fazer um</p><p>Fig. 2 – Representação do Momento externo total composto pelo momento de primeira e</p><p>segunda ordem (M2)</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>12</p><p>Variando-se o valor da curvatura de zero até um valor máximo que representaria a ruína do material</p><p>(Momento último) obtêm-se uma curva do tipo representada na figura 3.</p><p>fig. 3- Momento interno resistente obtido a partir de um valor de As e P fixados variando-se a</p><p>curvatura (1/r)</p><p>Existirá equilíbrio, se para um valor de momento externo Mexterno=P(ei+e2) for igual ou inferior</p><p>ao valor do momento resistido. Na figura 4 são mostradas 3 situações a) equilíbrio estável com o</p><p>momento externo (a partir de 1/r1) menor que o momento resistente; b) equilíbrio estável na situação</p><p>em que o momento externo é igual ao interno (no valor 1/r2) e c) quando não há possibilidade do</p><p>momento externo ser igual ou inferior ao interno.</p><p>fig. 4 – Situações possíveis na análise de equilíbrio: a) Momento externo inferior ao internos a</p><p>partir de 1/r1; b)Momento externo igual ao momento interno no valor de 1/r2; c)Momento</p><p>externo sempre maior que o interno equilíbrio impossível</p><p>A partir da análise feita na figura 4 percebe-se qe é possível montar um procedimento em que</p><p>se obtêm o maior momento interno possível que corresponde ao caso b da figura 4. A partir de um</p><p>valor de força axial, de uma taxa de armadura e geometria conhecida monta-se a curva de momento</p><p>resistido. A variação do momento de segunda ordem é dada pela reta OK ou seja,</p><p>M2= P .</p><p>10</p><p>1</p><p>.</p><p>2</p><p>2</p><p>e</p><p>xr</p><p>Pe</p><p>l</p><p>l</p><p>×</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>Bastando para tanto a partir de um valor de 1/r calcular o valor de M2 pela expressão anterior.</p><p>Trançando-se uma paralela a OK obtêm-se o ponto L que corresponde a situação em que</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>13</p><p>Mexterno=Mresitente. Conhecido Mexternoe M2 obtêm-se o máximo momento de primeira ordem que pode</p><p>servir para efetuar o dimensionamento da armadura do pilar.</p><p>fig. 5-Determinação do ponto L que permite calcular o máximo momento de primeira ordem</p><p>resistido pela seção em que haverá equilíbrio</p><p>O procedimento descrito permitirá apenas calcular um ponto do gráfico do tipo da figura 6 que</p><p>são encontrados nos manuais do CEB ou em FUSCO [ ].</p><p>fig. 6- Gráfico que permite a partir do momento M1 determinar a armadura As considerando o</p><p>efeito de segunda ordem. O ponto P foi obtido a partir do procedimento mostrado na figura 5</p><p>A curvatura (1/r) pode ser encontrada a partir de uma barra de concreto armado deformada,</p><p>conforme a figura 19.</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>14</p><p>FIGURA 19. Relação entre deformações e curvatura em uma barra de concreto armado</p><p>Considerando que os ângulos são pequenos, e lembrando que a variação de comprimento entre</p><p>a fibra mais comprimida de concreto e a fibra tracionada de aço é dada por ( )ε εc s ds+ , por</p><p>semelhança de triângulos resulta</p><p>( )</p><p>r</p><p>ds</p><p>d</p><p>dsc s</p><p>=</p><p>+ε ε</p><p>→</p><p>1</p><p>r</p><p>=</p><p>+ε εc s</p><p>d</p><p>A expressão de 1/r obtida é devida apenas à flexão; para levar em conta o efeito da</p><p>compressão ela passa a ser (retira-se a partir de agora o módulo nos valores das deformações):</p><p>( )</p><p>( )</p><p>1</p><p>0 5r h</p><p>c s=</p><p>+</p><p>+ ×</p><p>ε ε</p><p>υ ,</p><p>sendo υ =</p><p>×</p><p>=</p><p>× ×</p><p>F</p><p>A f</p><p>F</p><p>b h f</p><p>d</p><p>c cd</p><p>d</p><p>cd</p><p>o valor adimensional da força normal.</p><p>Para se ter o maior valor da curvatura, as deformações deverão ser as maiores, ou seja:</p><p>ε εc s</p><p>yd</p><p>s</p><p>f</p><p>E</p><p>= =0 0035, e</p><p>resultando finalmente na expressão da curvatura dada pela NBR-6118 no item 4.1.1.3-C</p><p>( )</p><p>1</p><p>0 0035</p><p>0 5r</p><p>f</p><p>E</p><p>h</p><p>yd</p><p>s=</p><p>+</p><p>+ ×</p><p>,</p><p>,υ</p><p>com ( )υ + ≥0 5 1,</p><p>5.2.1. Conceitos básicos</p><p>Teoria de 1a ordem: no estudo, admite-se que as deformações na estrutura não causam efeitos nos</p><p>esforços internos; as relações entre tensões e deformações são lineares, geométrica e fisicamente.</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>15</p><p>Teoria de 2a ordem: o estudo leva em conta que as relações entre tensões e deformações não são</p><p>lineares, ou seja, as tensões são influenciadas pelas deformações; no estágio atual, será estudada</p><p>apenas a não linearidade geométrica.</p><p>Não linearidade física: as tensões (σ) não são proporcionais às deformações (ε) devido às</p><p>características físicas do material; o concreto, por exemplo, não é um material homogêneo e sofre o</p><p>fenômeno da fissuração.</p><p>Não linearidade geométrica: os esforços, e consequentemente as tensões, são afetados pelo estado</p><p>de deformação da estrutura; não há uma relação linear entre essas duas grandezas (é o que ocorre em</p><p>barras sujeitas à flambagem).</p><p>A NB1/80 estabelece, em 4.1.1.3, que o cálculo das deformações deverá obrigatoriamente ser</p><p>feito por processo exato (considera a relação momento-curvatura baseada nos diagramas σ×ε do</p><p>concreto e do aço) quando λ > 140, ou por processos aproximados devidamente justificados em</p><p>outras situações. Permite ainda um processo simplificado quando 40 < λ ≤ 80.</p><p>Na NB1/00 (item 15.7.3), conforme já adiantado em itens 2.2.2.3 e 2.2.2.4, a análise dos</p><p>efeitos locais de 2a ordem pode ser efetuada pelo métodos do pilar padrão com curvatura aproximada</p><p>e método do pilar padrão com rigidez κ (kapa) aproximada, inclusive para pilares retangulares</p><p>submetidos à flexão composta oblíqua, quando λ ≤ 90; pelo método do pilar padrão acoplado a</p><p>diagramas M, N, 1/r quando λ ≤ 140; também obrigatoriamente pelo método geral quando</p><p>140 < λ < 200.</p><p>5.2.2. Cálculo segundo o processo simplificado da NBR-6118, item 4.1.1.3-C</p><p>Quando 40 < λ ≤ 80, no caso de barras retas com seção transversal simétrica constante</p><p>(inclusive a armadura), e força normal também constante ao longo do comprimento (só aplicada nas</p><p>extremidades), permite-se um cálculo simplificado, que consiste em acrescentar a cada momento fletor</p><p>de 1a ordem M1d (calculado da mesma maneira que para pilares curtos, com excentricidade acidental)</p><p>um momento fletor complementar de 2a ordem M2d calculado com a excentricidade de</p><p>2a ordem e2</p><p>(M2d = Fd × e2), agindo em plano paralelo à excentricidade acidental com que se calculou M1d.</p><p>O cálculo da seção será então feito com a solicitação constituída por:</p><p>dd FN = ( )2ad2dadd2d1d eeFeFeFMMM +=⋅+⋅=+=</p><p>M2d será desprezado quando λ ≤ 40 no plano em que ele atua.</p><p>EXEMPLO 4</p><p>Resolver o exemplo 2 (le = 3,0 m, d’ = 1 cm, N = 188 kN) de modo que o pilar seja</p><p>medianamente esbelto, segundo a NB1/80 (d’=1,0cm).</p><p>5.2.3. Método do pilar padrão com curvatura aproximada – NB1/00</p><p>Nos métodos do pilar padrão, aplicável a pilares de seção transversal constante, a situação</p><p>real é estudada através de um modelo (pilar engastado na base com a outra extremidade livre)</p><p>que possibilita uma abordagem mais simples do problema.</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>16</p><p>Este primeiro método está apresentado no item 15.7.3.3.1 da NB1/00, e é o mesmo método</p><p>aproximado da NB1/80, com algumas pequenas modificações. É permitido para λ ≤ 90, em pilares de</p><p>seção constante e de armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo.</p><p>A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a</p><p>deformada da barra seja senoidal.</p><p>A não-linearidade física é levada em conta através de uma expressão aproximada da curvatura</p><p>na seção crítica.</p><p>O momento total máximo na coluna é dado por:</p><p>A,d1</p><p>2</p><p>e</p><p>dA,d1btot,d M</p><p>r</p><p>1</p><p>10</p><p>NMM ≥⋅⋅+α=</p><p>l</p><p>sendo 1/r a curvatura, que na seção crítica pode ser avaliada pela expressão aproximada:</p><p>h</p><p>0,005</p><p>0,5) (h</p><p>0,005</p><p>r</p><p>1</p><p>≤</p><p>+ν</p><p>=</p><p>onde:</p><p>h é a altura da seção na direção considerada</p><p>cdcSd fAN ⋅=ν é a força normal adimensional ou reduzida</p><p>M1d,A ≥ M1d,min</p><p>Os momentos M1d,A, e M1d,min e o coeficiente αb têm as mesmas definições do item 15.7.2</p><p>(aqui, na seção 2.2.2.2 e 3.3). M1d,A é o valor de cálculo de 1ª ordem do momento MA.</p><p>5.2.4. Método do pilar padrão com rigidez κ (kapa) aproximada – NB1/00</p><p>Esse método, apresentado no item 15.7.3.3.2 da NB1/00, é permitido para λ ≤ 90 nos pilares</p><p>de seção retangular constante, armadura simétrica e constante ao longo do eixo.</p><p>A não linearidade geométrica é levada em conta de forma aproximada, supondo-se que a</p><p>deformada da barra seja senoidal.</p><p>A não linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da rigidez.</p><p>O momento total máximo no pilar é dado pela expressão:</p><p>min,d1A,d12</p><p>A,d1b</p><p>tot,d MM</p><p>/120</p><p>1</p><p>M</p><p>M ≥≥</p><p>νκ</p><p>λ</p><p>−</p><p>α</p><p>=</p><p>sendo o valor da rigidez adimensional κ (kapa) dado aproximadamente por:</p><p>ν</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>⋅+=κ</p><p>d</p><p>tot,d</p><p>N.h</p><p>M</p><p>5132</p><p>As variáveis h, ν , M1d,A e α b são as mesmas definidas no item anterior, bem como o momento</p><p>M1d,min, e o processo é iterativo. Usualmente 2 ou 3, iterações são suficientes.</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>17</p><p>5.2.5. Método do pilar padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r – NB1/00</p><p>A determinação dos esforços locais de 2ª ordem em pilares com λ ≤ 140 (NB1/00, item</p><p>15.7.3.3.3) pode ser feita pelo método do pilar padrão ou pilar padrão melhorado, utilizando-se para a</p><p>curvatura da seção crítica valores obtidos de diagramas M, N, 1/r específicos para o caso.</p><p>Se λ > 90, é obrigatória a consideração dos efeitos da fluência, que pode ser levada em conta</p><p>através da formulação dada em 15.7.4 e já vista aqui na seção 3.5.</p><p>O principal efeito da não-linearidade pode, em geral, ser considerado através da construção da</p><p>relação momento-curvatura para cada seção, com armadura suposta conhecida, e para o valor da</p><p>força normal atuante, conforme consta do item 15.2.1 da NB1/00.</p><p>Deve ser utilizada a curva tensão-deformação do concreto dada no capítulo 7 da NB1/00.</p><p>Pode ser considerada também a formulação de segurança em que se calculam os efeitos de 2ª</p><p>ordem das cargas majoradas de γ f/γ f3 que posteriormente são majorados de γ f3 , com γ f3 = 1,1. Isto</p><p>é:</p><p>)F(S10,1S dtot,d ⋅⋅=</p><p>sendo</p><p>F F</p><p>10,1</p><p>F</p><p>1,10</p><p>F qjkoj</p><p>n</p><p>2</p><p>q1k</p><p>f</p><p>gk</p><p>f</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ψ+</p><p>γ</p><p>+</p><p>γ</p><p>= ∑</p><p>Para escolha da combinação de ações e dos coeficientes γf e ψo, ver os itens 12.7 e 12.8.2.3</p><p>da NB1/00.</p><p>Assim, a relação momento-curvatura apresenta o aspecto da figura 20.</p><p>FIGURA 20. Relação momento-curvatura (figura 25, NB1/00)</p><p>A curva cheia AB, que, a favor da segurança, pode ser linearizada pela reta AB, é utilizada no</p><p>cálculo das deformações.</p><p>A curva tracejada, obtida com os valores de cálculo das resistências do concreto e do aço, é</p><p>utilizada somente para definir os esforços resistentes MRd eNRd (ponto de máximo).</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>18</p><p>A reta AB é caracterizada pela rigidez secante (EI)sec, que pode ser utilizada em processos</p><p>aproximados para flexão composta normal ou oblíqua.</p><p>Define-se como rigidez secante adimensional κ (kapa) o valor dado por:</p><p>)fhA/()El( cd</p><p>2</p><p>csecsec ⋅⋅=κ</p><p>Esse valor da rigidez secante adimensional pode ser colocado, em conjunto com os valores</p><p>últimos de NRd e MRd, em ábacos de interação força normal-momento fletor.</p><p>5.2.6. Método do pilar padrão para pilares sob flexão composta oblíqua – NB1/00</p><p>Quando a esbeltez de um pilar, de seção retangular, submetido à flexão composta oblíqua, for</p><p>menor que 90 nas duas direções principais, permite-se (item 15.7.3.3.4, NB1/00) aplicar o método do</p><p>pilar padrão com rigidez κ (kapa) aproximada simultaneamente em cada direção.</p><p>A amplificação dos momentos de 1ª ordem em cada direção é diferente pois depende de</p><p>valores distintos de rigidez e esbeltez.</p><p>Obtida a distribuição de momentos totais, de primeira e segunda ordem, em cada direção,</p><p>deve-se verificar para cada seção ao longo do eixo se a composição desses momentos solicitantes fica</p><p>dentro da envoltória de momentos resistentes para a armadura escolhida.</p><p>Permite-se verificar essa resistência apenas para três seções: nas extremidades A e B e num</p><p>ponto intermediário onde se admite atuar concomitantemente os momentos Md,tot nas duas direções (x</p><p>e y).</p><p>5.2.7. Método geral</p><p>O método geral para a determinação da carga crítica de flambagem, segundo o item 15.7.3.2</p><p>da NB1/00, consiste na análise não-linear de 2ª ordem efetuada com discretização adequada da barra,</p><p>com a consideração da relação momento-curvatura real em cada seção, e consideração da não-</p><p>linearidade geométrica de maneira não aproximada.</p><p>O método geral deve ser empregado obrigatoriamente para pilares esbeltos (λ > 140), mas por</p><p>ser geral também pode ser usado nos demais casos em que o índice de esbeltez seja menor. É indicado</p><p>também para pilares de seção transversal variável.</p><p>A curvatura da peça é determinada em função do estado de esforços resistido pela seção, onde</p><p>em cada ponto se relaciona o momento atuante com a curvatura, diferentemente do processo</p><p>simplificado onde se considera apenas a máxima curvatura.</p><p>O problema envolve equações diferenciais que geralmente não têm solução direta conhecida, e</p><p>portanto é necessário empregar soluções aproximadas para o cálculo, como os métodos iterativo</p><p>(carregamento incremental) e o que se apropria do conceito de pilar padrão.</p><p>5.2.7.1. Processo iterativo - carregamento incremental</p><p>O processo iterativo consiste em aplicar o carregamento em parcelas - carregamento</p><p>incremental - de modo que em cada etapa é possível considerar o deslocamento da etapa anterior e se</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>19</p><p>for o caso a variação da rigidez ao longo da peça. Em cada etapa o procedimento é linear. A carga</p><p>crítica é alcançada quado a curva carga x deslocamento atinge seu máximo (figura 21).</p><p>FIGURA 21. Diagrama carga x deslocamento com carregamento incremental</p><p>5.2.7.2. Método do pilar padrão</p><p>Neste método, aplicável a pilares de seção transversal constante, a situação real é estudada</p><p>através de um modelo (pilar padrão - pilar engastado na base</p><p>com a outra extremidade livre,</p><p>figura 22) que possibilita uma abordagem mais simples do problema.</p><p>Admite-se que a excentricidade de segunda ordem seja diretamente proporcional à curvatura</p><p>da seção mais solicitada do pilar padrão, e que o deslocamento do topo depende apenas do seu</p><p>comprimento e curvatura da base.</p><p>Desta forma, chamando de a a flecha na extremidade livre, e sendo (1/r) a curvatura da base,</p><p>tem-se o momento de segunda ordem M2:</p><p>M a N Ne</p><p>2</p><p>2</p><p>10</p><p>= × = ×</p><p></p><p></p><p></p><p> ×</p><p>l 1</p><p>r</p><p>essa expressão é exata se a linha elástica for senoidal, e é uma boa aproximação da flecha em vários</p><p>casos práticos.</p><p>O objetivo do método é obter o máximo momento de 1a ordem (M1 - devido à excentricidade</p><p>acidental) que o pilar pode suportar. Ele pode ser obtido subtraindo M2 do momento total M:</p><p>M1 = Mtotal - M2</p><p>De uma forma esquemática têm-se (figura 22):</p><p>FIGURA 22. Método do pilar padrão: determ. do momento crítico de 1a ordem</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>20</p><p>No método a capacidade de carga de uma barra reta esbelta (pilar) pode ser obtida por meio</p><p>de diagramas de interação entre o esforço normal, o momento fletor de primeira ordem, a taxa de</p><p>armadura e a esbeltez da peça.</p><p>Procedimento para obtenção dos ábacos que serão empregados no cálculo</p><p>Para a construção dos ábacos, são utilizados os valores adimensionais da força normal e dos</p><p>momentos de primeira e segunda ordem. Resumidamente tem-se (figura 23):</p><p>• traça-se o gráfico do momento total em função da curvatura - M×(1/r) ou µ×(1/r);</p><p>• traça-se o gráfico do momento de 2a ordem em função da curvatura - M2×(1/r) ou µ2×(1/r); é um</p><p>gráfico linear, pois</p><p>( )</p><p>µ</p><p>υ υ</p><p>2</p><p>2</p><p>10</p><p>= × = × ×</p><p></p><p></p><p></p><p>h</p><p>a</p><p>h</p><p>el 1</p><p>r</p><p>• determina-se µ1 (µ1 = µ - µ2) no ponto em que µ1 tem o máximo valor.</p><p>µ</p><p>µ</p><p>µ</p><p>F: ponto correspondente ao estado</p><p>limite último de ruptura da seção</p><p>(εc ou εs máximos).</p><p>A: ponto correspondente a µ1,crit –</p><p>estado limite de perda de</p><p>estabilidade - a partir de A o</p><p>equilíbrio é instável; ponto A</p><p>corresponde à carga crítica.</p><p>FIGURA 23. Gráfico momento × curvatura</p><p>Podem assim ser traçados gráficos de interação entre µ1,crit e υ para cada valor do</p><p>comprimento de flambagem le e uma dada taxa de armadura ω (figura 24 a).</p><p>No caso de seções transversais que difiram entre si apenas pela taxa de armadura ω, podem</p><p>ser traçados diagramas adimensionais de interação µ1,crit × υ para um dado valor de le e diversos</p><p>valores de ω, conforme esquematizado na figura 24 b.</p><p>νν</p><p>µµ</p><p>ω</p><p>ω</p><p>ω</p><p>a) le e ω conhecidos b) le conhecido e variação da taxa de armadura ω</p><p>FIGURA 24. Gráfico de interação µ1,crit × ν</p><p>EXEMPLO 6</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>21</p><p>Resolver o exemplo 5 considerando o processo geral com o pilar padrão (pilar de seção 15 cm</p><p>×20 cm, d´ = 1,5 cm, N = 188 kN).</p><p>5.2.8. Excentricidades em seções de topo e intermediárias de pilares não centrais</p><p>Em uma estrutura de nós indeslocáveis (praticamente rígida às ações laterais), os nós extremos</p><p>de um pilar não sofrem deslocamentos de segunda ordem, pois os mesmos estão fixos na laje, que se</p><p>comporta como um diafragma, impedindo deslocamentos no seu plano. Entretanto, em uma seção</p><p>intermediária do pilar, existe deslocamento de segunda ordem, que deve ser levado em conta; por outro</p><p>lado, nessa seção o efeito do momento (agindo na extremidade do pilar), na excentricidade inicial e i é</p><p>menor (o momento é menor).</p><p>5.2.8.1. Determinação das excentricidades</p><p>Em razão do discutido no parágrafo anterior, mesmo no cálculo com a consideração das</p><p>deformações (efeito de segunda ordem), duas situações devem ser abordadas (figura 25): a primeira</p><p>em que se analisa uma seção próxima às extremidades do pilar (existe e i mas não e2), junto à ligação</p><p>com a viga; a segunda em que é analisada uma seção intermediária, aproximadamente no meio da altura</p><p>do pilar entre dois pavimentos (existe e2 e a excentricidade inicial tem uma valor menor, e passará a ser</p><p>chamada de ei</p><p>* ). Em todos os casos a excentricidade acidental ea está presente. Dessas situações,</p><p>formalizadas a seguir, deve ser escolhida a mais crítica.</p><p>FIGURA 25. Excentricidades no pilar na ligação com as vigas e no meio da altura</p><p>a) Seções na extremidade do pilar (junto à ligação com a viga e a laje)</p><p>Nesta situação não existe efeito de segunda ordem (e2 = 0), e a excentricidade inicial, sem</p><p>redução, é ddi FMe = .</p><p>b) Seções intermediárias (no meio da altura do pilar entre dois pavimentos)</p><p>Agora existe o efeito de segunda ordem (e2 ≠ 0) e a excentricidade inicial passa a ter um valor</p><p>reduzido ei</p><p>* (válido para estruturas de nós indeslocáveis sem ação transversal aplicada ao longo do</p><p>pilar). De acordo com o item 4.1.1.3-C da NB1/80, sendo e ia e e ib as excentricidades nas</p><p>extremidades A e B do pilar (figura 26 a), de modo que e ia seja sempre positiva e maior que eib , e</p><p>que eib é negativa se elas forem de sentidos opostos (figura 26 b), a excentricidade ei</p><p>* a considerar no</p><p>cálculo será:</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>22</p><p>e</p><p>e e</p><p>ei</p><p>ia ib</p><p>ia</p><p>* , ,</p><p>,≥</p><p>× + ×</p><p>×</p><p></p><p></p><p></p><p>0 6 0 4</p><p>0 4</p><p>a) extremidades A e B e excentricidades b) sentidos positivo e negativo</p><p>FIGURA 26. Excentricidades nas extremidades A e B de um pilar</p><p>Se as cargas forem iguais, os momentos nos nós A e B serão iguais, com sentidos opostos, e a</p><p>excentricidade e ib terá o mesmo valor e sentido contrário de e ia , resultando</p><p>0 6 0 4 0 6 0 4 0 2. , , , ,× + × = × − × = ×e e e e eia ib ia ia ia</p><p>sendo então a condição e ei ia</p><p>* ,= ×0 4 a mais crítica.</p><p>5.2.8.2. Excentricidades para dimensionamento de pilares laterais</p><p>As excentricidades para o cálculo de pilares laterais com deformações (a situação sem</p><p>deformação, ou no caso, na seção do topo, já foi abordada, aqui, em 5.1.2) serão:</p><p>• direção x − momento normal (figura 27 a):</p><p>M F ed d x1 = ×</p><p>com e e e e e ex i ax ia ax= + + ≥ +*</p><p>2</p><p>• direções x e y − momento oblíquo (figura 27 b)</p><p>( )M F e e ed d i ay= × + +*</p><p>2</p><p>2 2</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>23</p><p>a) excentricidades na direção x b) excentricidades nas direções x e y</p><p>FIGURA 27. Excentricidades (situações de cálculo) para o dimensionamento</p><p>de pilares laterais com deformação − seção intermediária</p><p>5.2.8.3. Excentricidades para dimensionamento de pilares de canto</p><p>Nos pilares de canto, que têm excentricidades iniciais em duas direções, também devem ser</p><p>analisadas seções no topo e intermediárias, e para o cálculo de ei</p><p>* valem as mesmas considerações já</p><p>vistas para pilares laterais.</p><p>As situações de cálculo, resultantes das indicações da NB1/80, para as seções no topo e</p><p>intermediária, estão indicadas nas figuras 28 e 29.</p><p>a) Seções extremas (topo, figura28)</p><p>FIGURA 28. Situações de cálculo (excentricidades a considerar) para</p><p>seções no topo de pilares de canto</p><p>b) seções intermediárias (meio do pilar, figura 29)</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>24</p><p>α</p><p>FIGURA 29. Situações de cálculo (excentricidades a considerar) para</p><p>seções intermediárias de pilares de canto</p><p>EXEMPLO 7</p><p>Dimensionar o pilar lateral P1, de seção constante e ações somente verticais, de um edifício de</p><p>múltiplos andares, indicado no trecho da planta de formas abaixo de um pavimento. Desconsiderar a</p><p>contribuição da laje na seção da viga (viga de seção retangular, não T).</p><p>Dados: NP1 = 111 tf; fck = 15 MPa (1500 tf/m2); le = 4,6 m (pé-direito); p = 1,9 tf/m (carga na viga</p><p>V200); d’ = 1,5 cm; CA-50 B (Es = 2,1×106 kgf/cm2).</p><p>EXEMPLO 8</p><p>Dimensionar o pilar de canto P1, de seção constante e ações somente verticais, de um edifício</p><p>de múltiplos andares, indicado no trecho abaixo da planta de formas de um pavimento. Desconsiderar a</p><p>excentricidade</p><p>2.1. Essa classificação permite</p><p>considerar as diferentes situações de projeto e de cálculo, em relação aos esforços</p><p>solicitantes, em que cada um desses pilares se enquadra.</p><p>2.1.1 Pilares Intermediários:</p><p>Considera-se que os pilares intermediários estejam submetidos</p><p>preponderantemente às forças axiais de compressão, pois os módulos dos momentos</p><p>fletores são de pequena intensidade, em relação às ações verticais apenas (as</p><p>permanentes e as variáveis normais). A menos que os vãos das vigas contínuas que se</p><p>apóiam nesses pilares sejam consideravelmente diferentes, desprezam-se os</p><p>momentos fletores finais transmitidos aos pilares. Portanto, na situação de projeto,</p><p>admite-se o pilar intermediário submetido a uma compressão centrada, isto é a</p><p>excentricidade inicial é considerada igual a zero para o dimensionamento das áreas</p><p>das armaduras longitudinal e transversal.</p><p>2.1.2 Pilares de extremidade</p><p>Os pilares de extremidade, além de estarem submetidos às forças normais de</p><p>compressão, também estão sujeitos à ação de momentos transmitidos pelas vigas que</p><p>têm suas extremidades externas nesses pilares. Não considerados os momentos</p><p>transmitidos por vigas transversais ao eixo da viga interrompida. Portanto, na situação</p><p>de projeto, admite-se o pilar de extremidade submetido à flexão normal composta,</p><p>USP - EESC - SET - Disciplina SET 410 - Estruturas de Concreto Armado II - Turma 1 - 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>2</p><p>considerando-se, portanto, excentricidade inicial segundo uma das ordenadas locais da</p><p>seção transversal do pilar.</p><p>2.1.3 Pilares de canto</p><p>Além da força normal de compressão atuante consideram-se os momentos</p><p>transmitidos pelas vigas, cujos planos médios são perpendiculares às faces dos pilares,</p><p>e são interrompidas nas bordas do pilar. Na situação de projeto, portanto, considera-se</p><p>o pilar de canto submetido à flexão oblíqua composta, com excentricidades inicias</p><p>segundo os eixos coordenados locais.</p><p>PILAR INTERMEDIÁRIO</p><p>PILAR DE CANTO PILAR DE</p><p>EXTREMIDADE</p><p>Figura 2.1 - Posição dos pilares em edifícios [Fusco, 1981]</p><p>2.2 Quanto ao tipo de solicitação</p><p>Embora a classificação quanto à posição na estrutura ainda seja bastante usual,</p><p>a tendência é substituí-la por outra que considere simplesmente o tipo de solicitação a</p><p>que o pilar está submetido. Ou seja, pilares sob compressão centrada, pilares sob</p><p>flexão composta normal e pilares sob flexão composta oblíqua.</p><p>Assim, poderiam ser enquadrados casos especiais em que a classificação</p><p>quanto à posição não conduz à real forma de solicitação do pilar. É o que ocorre, por</p><p>exemplo, quando uma viga é interrompida em um pilar interno, deixando este de estar</p><p>sob compressão centrada na situação de projeto.</p><p>Na análise estrutural, que tem por finalidade determinarem-se os esforços</p><p>solicitantes nas barras da estrutura, feita por processo aproximado, sem assistência de</p><p>programa computacional, pode ser útil a classificação indicada.</p><p>Quando se determinam os esforços solicitantes considerando o efeito de pórtico</p><p>espacial, como atualmente é feito nos projetos de estruturas de edifícios, os pilares são</p><p>todos submetidos a ações de flexão composta oblíqua, ou seja, força normal e</p><p>momentos fletores com planos de ações em duas direções.</p><p>2.3 Quanto à esbeltez</p><p>2.3.1 Definição de índice de esbeltez</p><p>O índice de esbeltez dos pilares de concreto armado que fazem parte de</p><p>estruturas de edifícios é a razão entre o comprimento equivalente ( el ) do pilar e o raio</p><p>de giração (i) da seção, conforme expressão 2.6:</p><p>Gerson Moacyr S. Alva, Ana Lúcia H. de Cresce El Debs e José Samuel Giongo – USP – EESC – SET - Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>3</p><p>i</p><p>el=λ com</p><p>c</p><p>c</p><p>A</p><p>Ii = (2.6)</p><p>sendo que,</p><p>Ic é o momento de inércia da seção de concreto na direção analisada;</p><p>Ac é a área da seção transversal de concreto.</p><p>O comprimento equivalente el do pilar, suposto vinculado em ambas as</p><p>extremidades, assume o menor dos seguintes valores:</p><p>ll</p><p>ll</p><p>=</p><p>+=</p><p>e</p><p>oe h</p><p>(2.7)</p><p>sendo que:</p><p>ol a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos</p><p>horizontais, que vinculam o pilar;</p><p>h é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura;</p><p>l é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está</p><p>vinculado.</p><p>Essas definições são ilustradas na figura 2.3:</p><p>Viga</p><p>Viga</p><p>Pilar</p><p>h</p><p>Figura 2.3 - Determinação do comprimento equivalente el ( ol e l )</p><p>Conhecendo-se o comprimento equivalente em cada direção, o índice de</p><p>esbeltez em seções retangulares pode ser calculado por:</p><p>h</p><p>e 12⋅</p><p>=λ</p><p>l (2.8)</p><p>sendo que h é a medida da seção transversal paralela ao plano de ação do</p><p>momento atuante no pilar, oriundo do ligação com a viga.</p><p>USP - EESC - SET - Disciplina SET 410 - Estruturas de Concreto Armado II - Turma 1 - 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>4</p><p>2.3.2 Critérios da NBR 6118:2003 para cálculo do valor de referência λ1</p><p>Com os critérios de projeto de pilares indicados na NBR 6118:2003, os limites de</p><p>esbeltez que definem a classificação dos pilares, dependem de fatores adicionais, tais</p><p>como a excentricidade relativa, as condições de vinculação das extremidades e da</p><p>forma do diagrama de momentos fletores. Esses fatores são considerados por meio do</p><p>coeficiente λ1, o qual é calculado por:</p><p>b</p><p>h</p><p>e,</p><p>α</p><p>⋅+</p><p>=λ</p><p>1</p><p>1</p><p>51225</p><p>(2.1)</p><p>com a restrição para o coeficiente λ1 dado por:</p><p>90λ35 1 ≤≤</p><p>sendo:</p><p>h/e1 a excentricidade relativa de primeira (1.a) ordem, não incluindo a</p><p>excentricidade acidental;</p><p>αb um coeficiente que depende da distribuição de momentos no pilar.</p><p>O valor de αb pode ser obtido de acordo com as seguintes situações:</p><p>a.- Para pilares biapoiados sem cargas transversais (figura 2.2):</p><p>40,0</p><p>M</p><p>M40,060,0</p><p>A</p><p>B</p><p>b ≥⋅+=α (2.2)</p><p>sendo MA e MB os momentos solicitantes de 1° ordem nas extremidades do pilar.</p><p>Adota-se para MA o maior valor absoluto entre os dois momentos de extremidade.</p><p>Adota-se o sinal positivo para MB, se este tracionar a mesma face que MA (curvatura</p><p>simples), e negativo em caso contrário (curvatura dupla).</p><p>MA</p><p>MB</p><p>MB</p><p>MA</p><p>= positivo</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>A</p><p>negativo</p><p>A</p><p>=B</p><p>BM</p><p>Figura 2.2 - Curvaturas simples e dupla dos pilares – cálculo de αb</p><p>b.- Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura:</p><p>0,1b =α (2.3)</p><p>c.- Para pilares em balanço:</p><p>85,0</p><p>M</p><p>M20,080,0</p><p>A</p><p>C</p><p>b ≥⋅+=α (2.4)</p><p>Gerson Moacyr S. Alva, Ana Lúcia H. de Cresce El Debs e José Samuel Giongo – USP – EESC – SET - Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>5</p><p>sendo:</p><p>MA o momento de 1° ordem no engaste e MC é o momento de 1° ordem no meio</p><p>do pilar em balanço;</p><p>0,185,0 b ≤α≤</p><p>d.- Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento</p><p>mínimo, estabelecido pela expressão (3.8):</p><p>0,1b =α (2.5)</p><p>2.3.3 Critérios da NBR 6118:2003 para consideração dos efeitos de segunda ordem</p><p>Quanto à esbeltez, os pilares podem ser classificados como:</p><p>Pilares curtos (λ ≤ λ1) em que os índices de esbeltez são menores que os de</p><p>referência e, portanto, os efeitos de segunda ordem não precisam ser considerados.</p><p>Pilares medianamente esbeltos (λ1 < λ ≤ 90) que são aqueles para os quais</p><p>podem ser considerados os efeitos de segunda ordem por processo aproximado como</p><p>o método do pilar-padrão com curvatura aproximada.</p><p>Pilares esbeltos (90 < λ ≤ 140) são aqueles para os quais é possível considerar-se</p><p>nos projetos o método do pilar-padrão acoplado a diagramas de M – N – 1/r.</p><p>Pilares muito esbeltos (140 < λ ≤ 200) que exigem a consideração de processos</p><p>exatos para a verificação do estado limite de instabilidade.</p><p>A NBR 6118:2003 não permite que se projete e construa pilar com índice de</p><p>esbeltez (λ) maior</p><p>das vigas em relação ao centro de gravidade do pilar e a contribuição da laje na seção</p><p>da viga (viga de seção retangular, não seção T).</p><p>PILARES DE CONCRETO ARMADO</p><p>ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO</p><p>25</p><p>Dados: NP1 = 82 tf; fck = 15 MPa (1500 tf/m2); le = 4,6 m (pé-direito); pV1 = 2,0 tf/m (carga na</p><p>viga V1); pV2 = 1,6 tf/m (carga na viga V2); d’ = 1,5 cm; CA-50 B (Es = 2,1×106 kgf/cm2).</p><p>6. DETALHAMENTO DA ARMADURA</p><p>No item 1.3 foram apresentados os tipos de armadura em pilares e as recomendações da</p><p>NB1/80 quanto às quantidades máximas e mínimas em pilares e os diâmetros mínimos das barras. Serão</p><p>agora relacionadas outras recomendações da NB1/80, as da NB1/00 e de diversos autores, bem como</p><p>detalhes da armadura que devem ser atendidos.</p><p>O detalhamento da armadura de um pilar deve contemplar a quantidade e o posicionamento</p><p>correto da armadura longitudinal e da transversal, além de indicar claramente as distâncias entre as</p><p>barras, os traspasses e as barras de espera.</p><p>6.1. Armadura longitudinal</p><p>As barras da armadura longitudinal devem estar distribuídas ao longo da periferia da seção ou,</p><p>em caso de pilares retangulares, nas situações de flexão composta e oblíqua, devem ser dispostas</p><p>conforme especificado no processo de cálculo; geralmente são colocadas simetricamente em faces</p><p>opostas e, no mínimo, quatro barras.</p><p>Não devem ser colocados ganchos nas extremidades das barras longitudinais comprimidas</p><p>(NB1/80, item 6.3.4.1), pois estes podem forçar a camada de concreto que serve de proteção à</p><p>armadura.</p><p>Os cobrimentos das armaduras em pilares, para as várias situações, é o mesmo que nos demais</p><p>elementos estruturais; na NB1/80 as recomendações estão no item 6.3.3.1, e na NB1/99 em 10.4,</p><p>mais especificamente nos itens 10.4.5, 10.4.6 e 10.4.7.</p><p>MATERIAL_PILARES_UNIARA_AULA_QUARESMA_2014</p><p>Peso e acao variavel</p><p>Tabela_Area_da_Secao_de_Barras</p><p>Projeto de pilares segundo a NBR 61182003 - Alva; El Debs; Giongo - Fev2008</p><p>Pilarnovissimo-estabilidade global</p><p>publicacoes_recomendacoes</p><p>do que 200. Esse pode ser ultrapassado nos casos de postes com</p><p>força normal menor do que ccd Af, ⋅⋅100 .</p><p>Neste texto só são estudados pilares com índice de esbeltez menor do que 90, ou</p><p>seja, (λ ≤ 90). Na EESC – USP os projetos de pilares com índices de esbeltez entre 90</p><p>e 200 são estudados na disciplina optativa Estruturas de Concreto C, ministrada no</p><p>segundo semestre do ano letivo.</p><p>3. Dimensionamento de pilares de concreto armado</p><p>3.1 Considerações iniciais</p><p>Os princípios do equilíbrio de forças e momentos, da compatibilidade de</p><p>deformações e os domínios de deformações utilizados na análise de vigas são</p><p>igualmente aplicados aos pilares. No caso de pilares, a força normal é introduzida às</p><p>equações, tornando o problema como um caso de flexão composta normal ou de flexão</p><p>composta oblíqua.</p><p>No caso de flexão composta oblíqua, a obtenção de uma solução geral por meio</p><p>das equações de equilíbrio e compatibilidade é praticamente impossível, uma vez que</p><p>é desconhecida a distância e a inclinação da linha neutra. Do ponto de vista prático,</p><p>tanto no caso de flexão composta reta e principalmente no caso de flexão composta</p><p>oblíqua, podem ser utilizados ábacos, que são de fácil utilização e boa precisão, ou</p><p>programa computacionais de dimensionamento da área de armadura.</p><p>Com relação à utilização dos ábacos, nestes normalmente são preestabelecidas</p><p>a forma da seção e a disposição das barras da armadura, necessitando conhecer, além</p><p>das propriedades mecânicas dos materiais aço e concreto, as excentricidades</p><p>calculadas nos procedimentos de dimensionamento.</p><p>USP - EESC - SET - Disciplina SET 410 - Estruturas de Concreto Armado II - Turma 1 - 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>6</p><p>As excentricidades nos pilares ocorrem não só por conta das solicitações iniciais</p><p>atuantes nos pilares, mas também por causa de fatores adicionais como os efeitos de</p><p>2.a ordem, as imperfeições geométricas e a fluência do concreto.</p><p>3.2 Excentricidades consideradas no dimensionamento</p><p>Para o dimensionamento dos pilares, é necessário obter as excentricidades</p><p>pertinentes ao tipo de pilar analisado. Apresentam-se neste item os critérios para a</p><p>obtenção dessas excentricidades em pilares isolados, de acordo com as</p><p>recomendações da norma NBR 6118:2003.</p><p>3.2.1 Excentricidade inicial de 1.a ordem</p><p>Como é sabido as vigas e os pilares formam os pórticos tridimensionais, de tal</p><p>modo que os pilares ficam submetidos a flexão oblíqua composta e, portanto,</p><p>apresentam excentricidades iniciais em duas direções principais medidas a partir do</p><p>centro geométrico do pilar, e numericamente iguais aos valores dos momentos com</p><p>plano de ação contendo cada eixo principal divididos pelo módulo da força normal de</p><p>compressão, conforme expressões 3.1.</p><p>Nos casos de projetos em que se consideram processos simplificados para a</p><p>determinação dos esforços solicitantes (força normal, momento fletor e força cortante),</p><p>por exemplo, o processo de viga contínua indicado na NBR 61228:2003, admite-se que</p><p>as excentricidades iniciais surgem nos pilares de extremidade e nos pilares de canto.</p><p>Lembra-se que para os pilares intermediários as excentricidades não são</p><p>consideradas.</p><p>As excentricidades iniciais são calculadas com a expressão 3.1:</p><p>d</p><p>A,di</p><p>A,i N</p><p>M</p><p>e =</p><p>d</p><p>B,di</p><p>B,i N</p><p>M</p><p>e = (3.1)</p><p>sendo:</p><p>Nd a força normal solicitante de cálculo;</p><p>Md,A e Md,B os momentos solicitantes de cálculo nas extremidades do pilar.</p><p>Neste texto adota-se, de acordo com a NBR 6118:2003, para ei,A a maior</p><p>excentricidade em valor absoluto.</p><p>Além das excentricidades iniciais nas extremidades do pilar, precisa ser</p><p>realizada uma análise dos efeitos locais de 2.a ordem ao longo do eixo. Normalmente,</p><p>em pilares de edifícios, os máximos momentos iniciais ocorrem em suas extremidades</p><p>e os máximos momentos de 2.a ordem ocorrem em suas seções intermediárias. Por</p><p>esse motivo, a NBR 6118:1978 especificava que se considerasse uma excentricidade</p><p>inicial na seção intermediária (meio do vão) do pilar dada por:</p><p>A,iB,iA,iiC e4,0e4,0e6,0e ⋅≥⋅+⋅= (3.2)</p><p>sendo que o sinal de ei,B é obtido com o mesmo raciocínio aplicado à determinação do</p><p>coeficiente αb: positivo se MB tracionar a mesma face que MA e negativo em caso</p><p>contrário, conforme figura 3.1.</p><p>Gerson Moacyr S. Alva, Ana Lúcia H. de Cresce El Debs e José Samuel Giongo – USP – EESC – SET - Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>7</p><p>MB</p><p>MA</p><p>= positivo</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>A</p><p>negativo</p><p>A</p><p>=B</p><p>BM</p><p>i,Ae</p><p>i,Be</p><p>i,Ce</p><p>dN</p><p>di,BM</p><p>di,AM</p><p>N d</p><p>di,A</p><p>dN</p><p>M</p><p>di,BM</p><p>N d</p><p>i,C</p><p>i,B</p><p>ei,A</p><p>e</p><p>e</p><p>AM</p><p>BM</p><p>Figura 3.1 - Excentricidades iniciais nas seções de extremidade e na seção</p><p>intermediária</p><p>A NBR 6118:2003, embora não mencione explicitamente a excentricidade inicial a</p><p>ser adotada para a seção intermediária, adota o mesmo procedimento anterior.</p><p>A NBR 6118:2003 indica processo simplificado para a obtenção dos esforços</p><p>solicitantes iniciais, conceito que já foi estudado por ocasião da análise dos esforços</p><p>solicitantes em vigas contínuas e é aqui recordado.</p><p>Quando não for realizado o cálculo exato dos esforços solicitantes na estrutura,</p><p>permite-se, como simplificação, adotar o modelo estático indicado na figura 3.2 para a</p><p>obtenção dos momentos fletores nos apoios extremos.</p><p>Pilar</p><p>1/2 inf</p><p>1/2 sup</p><p>ef,viga</p><p>Viga</p><p>Figura 3.2 - Modelo considerado nos casos de apoios extremos de vigas contínuas</p><p>[NBR 6118:2003]</p><p>Os momentos solicitantes nos tramos superior e inferior do pilar são obtidos por:</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>++</p><p>⋅=</p><p>vigainfsup</p><p>sup</p><p>engsup rrr</p><p>r</p><p>MM (3.3)</p><p>USP - EESC - SET - Disciplina SET 410 - Estruturas de Concreto Armado II - Turma 1 - 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>8</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>++</p><p>⋅=</p><p>vigainfsup</p><p>inf</p><p>enginf rrr</p><p>rMM (3.4)</p><p>sendo que Meng é o momento de engastamento perfeito no tramo considerado</p><p>(tramo de extremidade) da viga.</p><p>Os coeficientes de rigidez dos tramos superior e inferior do pilar e no tramo da</p><p>viga, são definidos pelas relações entre momentos de inércia e vãos, conforme</p><p>expressões 3.5:</p><p>sup,e</p><p>sup</p><p>sup</p><p>2</p><p>1</p><p>I3</p><p>r</p><p>l⋅</p><p>⋅</p><p>= ;</p><p>infe</p><p>inf</p><p>inf</p><p>,</p><p>2</p><p>1</p><p>I3r</p><p>l⋅</p><p>⋅</p><p>= ;</p><p>viga,ef</p><p>viga</p><p>viga</p><p>I4</p><p>r</p><p>l</p><p>⋅</p><p>= (3.5)</p><p>Considerando o equilíbrio do nó, o momento fletor na viga é determinado por:</p><p>infsupviga MMM += (3.6)</p><p>O comprimento equivalente el do pilar pode ser determinado pela expressão</p><p>2.7.</p><p>Os vãos efetivos das vigas podem ser calculados pela expressão:</p><p>210viga,ef aa ++= ll (3.6a)</p><p>Os valores de a1 e a2, em cada extremidade do vão, podem ser determinados</p><p>pelos valores apropriados de ai, indicado na figura 3.2A, sendo:</p><p>a1 igual ao menor valor entre (t1/2 e 0,3 . h), e,</p><p>a2 igual ao menor valor entre (t2/2 e 0,3 . h).</p><p>l l l</p><p>a) Apoio de vão extremo b) Apoio de vão intermediário</p><p>Figura 3.2A - Vão efetivo de vigas [NBR 6118:2003]</p><p>Gerson Moacyr S. Alva, Ana Lúcia H. de Cresce El Debs e José Samuel Giongo – USP – EESC – SET - Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>9</p><p>3.2.2 Excentricidade de forma</p><p>Muitas vezes, para adequar a posição dos elementos estruturais em função do</p><p>projeto arquitetônico, os projetistas estruturais precisam fazer coincidir as faces</p><p>internas ou externas das vigas com as faces dos pilares que as apóiam. Quando tal</p><p>procedimento é adotado, os eixos das vigas não passam pelo centro de gravidade da</p><p>seção do pilar (figura 3.3), surgindo assim excentricidades denominadas</p><p>excentricidades de forma.</p><p>VIGA</p><p>VIGA</p><p>y</p><p>PILAR</p><p>x</p><p>e</p><p>efx</p><p>VIGA</p><p>fy</p><p>VIGA</p><p>PILAR</p><p>x</p><p>y</p><p>e</p><p>VIGA</p><p>fy</p><p>Figura 3.3 - Excentricidades de forma em pilares [Aguiar (2000)].</p><p>As excentricidades de forma, de maneira geral quando se fazem os projetos e</p><p>estruturas de edifícios sem assistência de programas computacionais elaborados para</p><p>este fim,</p><p>não são consideradas no dimensionamento dos pilares. O momento fletor</p><p>produzido pelas excentricidades no nível de cada andar é equilibrado por um binário,</p><p>produzindo, em cada piso, pares de forças de sentidos contrários e de mesma ordem</p><p>de grandeza, que tendem a se anular. No nível da fundação, a não consideração da</p><p>excentricidade de forma se justifica pelas elevadas forças normais atuantes, cujos</p><p>acréscimos de excentricidades são pequenos, não alterando os resultados do</p><p>dimensionamento. No nível da cobertura, os pilares são poucos solicitados e dispõem</p><p>de uma armadura mínima capaz de absorver o acréscimo de esforços causados pelas</p><p>excentricidades de forma, não sendo necessário, portanto, considerá-la.</p><p>Programas computacionais elaborados para análise estrutural e dimensionamento</p><p>com os critérios dos estados limites últimos e verificações de aberturas de fissuras e</p><p>deslocamentos com os critérios dos estados limites de serviço, consideram as</p><p>excentricidades de forma.</p><p>3.2.3 Excentricidade acidental</p><p>A NBR 6118:2003 prevê a consideração de uma excentricidade acidental (ea)</p><p>para levar em conta as imperfeições locais por ocasião da construção dos pilares. As</p><p>imperfeições podem ser a falta de retilinidade do eixo do pilar ou o desaprumo (figura</p><p>3.4). Admite-se que, nos casos usuais, a consideração apenas da falta de retilinidade</p><p>do pilar é suficiente com relação a verificação da segurança estrutural.</p><p>USP - EESC - SET - Disciplina SET 410 - Estruturas de Concreto Armado II - Turma 1 - 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>10</p><p>Falta de retilinidade do pilar</p><p>θ</p><p>1 /2</p><p>b) Desaprumo do pilar</p><p>θ</p><p>1</p><p>Figura 3.4 - Consideração das imperfeições locais do pilar</p><p>[NBR 6118:2003]</p><p>sendo</p><p>min,</p><p>e</p><p>11 100</p><p>1</p><p>θ≥</p><p>⋅</p><p>=θ</p><p>l</p><p>com el em metros;</p><p>de tal modo que 1θ não seja menor do que o ângulo min,1θ , cujo valor é;</p><p>300</p><p>1</p><p>1 =θ min, no caso de imperfeições locais como as dos tramos de pilares.</p><p>A NBR 6118:2003 estabelece ainda que para o dimensionamento o momento</p><p>total de primeira ordem, isto é, a soma dos momentos iniciais com os momentos</p><p>produzidos pelas imperfeições geométricas locais, precisa respeitar o valor mínimo,</p><p>dado por:</p><p>( ) min,iddmin,d eNh,,NM ⋅=⋅+⋅= 03001501 (3.8)</p><p>sendo:</p><p>Nd é força normal de cálculo;</p><p>h é a altura da seção transversal na direção considerada, em metros;</p><p>ei,min a excentricidade mínima igual a h,, ⋅+ 0300150 , em metros.</p><p>De acordo com a NBR 6118:2003, nas estruturas reticuladas usuais, admite-se</p><p>que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado o valor do</p><p>momento total mínimo. No caso de flexão composta oblíqua, o valor do momento</p><p>mínimo precisa ser respeitado em cada uma das direções principais, separadamente.</p><p>Gerson Moacyr S. Alva, Ana Lúcia H. de Cresce El Debs e José Samuel Giongo – USP – EESC – SET - Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>11</p><p>3.2.4 Excentricidade de segunda ordem</p><p>A determinação dos efeitos locais de segunda ordem pode ser feita pelo método</p><p>geral ou por métodos aproximados. Neste texto, somente é abordada a consideração</p><p>dos efeitos de 2.a ordem para os pilares medianamente esbeltos, empregando-se o</p><p>método do pilar padrão com curvatura aproximada e o método do pilar padrão com</p><p>rigidez aproximada.</p><p>Os pilares medianamente esbeltos correspondem a maioria das ocorrências em</p><p>estruturas correntes de edifícios, sendo mais raros os casos de pilares com índices de</p><p>esbeltez maiores do que 90.</p><p>a.- Método do pilar padrão com curvatura aproximada</p><p>Pode ser empregado no dimensionamento de pilares com λ ≤ 90, com seção</p><p>constante e armadura simétrica e constante ao longo do seu eixo. Este método aplica-</p><p>se somente ao caso de flexão composta normal.</p><p>A não-linearidade geométrica é considerada de modo aproximado, supondo-se</p><p>que a deformada da barra possa ser representada por uma curva senoidal. A não-</p><p>linearidade física é considerada por uma expressão aproximada da curvatura na seção</p><p>transversal que apresenta maior valor de momento fletor levando em conta os</p><p>momentos de primeira e segunda ordens.</p><p>O momento total máximo no pilar, ou seja, a soma dos momentos de 1.a ordem</p><p>com os momentos de 2.a ordem, é calculado pela expressão:</p><p>A,d1</p><p>2</p><p>e</p><p>dA,d1btot,d M</p><p>r</p><p>1</p><p>10</p><p>NMM ≥⋅⋅+⋅α=</p><p>l (3.9)</p><p>sendo,</p><p>( ) h</p><p>005,0</p><p>5,0h</p><p>005,0</p><p>r</p><p>1</p><p>≤</p><p>+ν⋅</p><p>= com</p><p>cdc</p><p>d</p><p>fA</p><p>N</p><p>⋅</p><p>=ν e min,d1A,d1 MM ≥</p><p>sendo,</p><p>αb é o mesmo coeficiente definido no item 2.3;</p><p>A,d1M é o valor de cálculo do momento de 1° ordem MA, definido no item 2.3;</p><p>h é a altura da seção do pilar na direção analisada;</p><p>ν é a força normal adimensional;</p><p>fcd é a resistência a compressão de cálculo do concreto;</p><p>min,d1M tem o mesmo significado da expressão (3.8).</p><p>Portanto, partindo da segunda parcela da expressão (3.9), conclui-se que a</p><p>excentricidade de 2.a ordem e2 assume o seguinte valor:</p><p>USP - EESC - SET - Disciplina SET 410 - Estruturas de Concreto Armado II - Turma 1 - 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>12</p><p>r</p><p>1</p><p>10</p><p>e</p><p>2</p><p>e</p><p>2 ⋅=</p><p>l (3.10)</p><p>b.- Método do pilar padrão com rigidez aproximada</p><p>O método pode ser empregado no dimensionamento de pilares com λ ≤ 90, com</p><p>seção constante e armadura simétrica e constante ao longo do seu eixo. Este método</p><p>pode ser aplicado em pilares submetidos à flexão composta oblíqua, analisando-se</p><p>cada uma das duas direções principais, simultaneamente.</p><p>A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se</p><p>que a deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física é considerada por</p><p>uma expressão aproximada da rigidez.</p><p>O valor de cálculo do momento total máximo no pilar (soma do momento de 1°</p><p>ordem com o momento de 2° ordem) pode ser calculado pela expressão:</p><p>⎭</p><p>⎬</p><p>⎫</p><p>⎩</p><p>⎨</p><p>⎧</p><p>≥</p><p>ν</p><p>κ</p><p>⋅</p><p>λ</p><p>−</p><p>⋅α</p><p>=</p><p>min,d1</p><p>A,1d</p><p>2</p><p>A,1db</p><p>tot,d M</p><p>M</p><p>120</p><p>1</p><p>M</p><p>M (3.11)</p><p>sendo κ a rigidez adimensional, calculada aproximadamente por:</p><p>ν⋅⎟⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>⋅</p><p>⋅+⋅=κ</p><p>d</p><p>tot,d</p><p>Nh</p><p>M</p><p>5132 (3.12)</p><p>As demais variáveis possuem o mesmo significado do método anterior.</p><p>Usualmente, 2 ou 3 iterações são suficientes quando se optar por um processo</p><p>iterativo.</p><p>É possível considerar uma solução única para cálculo do Md,tot, portanto sem a</p><p>necessidade de iterações, usando a expressão 3.13, resultante da substituição da</p><p>expressão 3.12 em 3.11.</p><p>0384019200384019200 11</p><p>22 =⋅⋅⋅α⋅−⋅⋅α⋅−⋅⋅λ−⋅⋅+⋅ A,ddbtot,dA,dbddtot,d MNhM]MNhNh[M</p><p>(3.13)</p><p>Considerando a expressão 2.8, pode-se escrever:</p><p>2</p><p>2</p><p>2 12</p><p>h</p><p>e ⋅</p><p>=λ</p><p>l (3.14)</p><p>Substituindo a 3.14 em 3.13 obtem-se a equação de segundo grau 3.15 cuja</p><p>incógnita é o valor do momento fletor total, que considera os momentos fletores de</p><p>primeira e segunda ordens.</p><p>05</p><p>320</p><p>15 1</p><p>2</p><p>1</p><p>222 =⋅α⋅⋅−⋅⋅α⋅⋅−⋅⋅−⋅+⋅⋅ A,dbdtot,dA,dbddtot,d MNhM]MhNNh[Mh l (3.15)</p><p>Fazendo:</p><p>h5a ⋅= ;</p><p>Gerson Moacyr S. Alva, Ana Lúcia H. de Cresce El Debs e José Samuel Giongo – USP – EESC – SET - Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>13</p><p>A,db</p><p>d</p><p>d MhNNhb 1</p><p>2</p><p>2 5</p><p>320</p><p>⋅α⋅⋅−</p><p>⋅</p><p>−⋅=</p><p>l ;</p><p>A,dbd MNhc 1</p><p>2 ⋅α⋅⋅−= ;</p><p>resulta a equação de segundo grau 3.16</p><p>zerocMbMa tot,dtot,d =+⋅+⋅ 2 (3.16)</p><p>que permite calcular o valor de Md,tot quando se adota o método do pilar padrão</p><p>com rigidez κ aproximada.</p><p>c.- Método do pilar padrão para pilares da seção retangular submetidos à flexão</p><p>oblíqua composta</p><p>Quando a esbeltez de um pilar de seção retangular submetido à flexão composta</p><p>oblíqua for menor que 90 (λ < 90) nas duas direções principais, precisa ser aplicado o</p><p>processo aproximado do pilar padrão com rigidez κ aproximada em cada uma das duas</p><p>direções.</p><p>A amplificação dos momentos de 1ª ordem em cada direção é diferente, pois</p><p>depende de valores distintos de rigidez e esbeltez.</p><p>Uma vez obtida a distribuição de momentos totais, de primeira</p><p>e segunda ordem,</p><p>em cada direção, deve ser verificada, para cada seção ao longo do eixo, se a</p><p>composição desses momentos solicitantes fica dentro da envoltória de momentos</p><p>resistentes para a armadura escolhida. Essa verificação pode ser realizada em apenas</p><p>três seções: nas extremidades A e B e num ponto intermediário onde se admite atuar</p><p>concomitantemente os momentos Md,tot nas duas direções (x e y).</p><p>3.2.5 Excentricidade causada pela fluência</p><p>A excentricidade causada pela fluência do concreto ec deve ser considerada em</p><p>pilares com λ > 90, ou seja, nos pilares esbeltos e muitos esbeltos. Os efeitos da</p><p>fluência podem ser desprezados em pilares com índices de esbeltez menores que 90.</p><p>Embora a avaliação precisa dos efeitos da fluência seja uma tarefa complexa, a</p><p>NBR 6118:2003 apresenta uma expressão simplificada para o cálculo da</p><p>excentricidade ec, dada a seguir:</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>−⋅⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>+= −</p><p>⋅</p><p>1718,2e</p><p>N</p><p>M</p><p>e Sge</p><p>Sg</p><p>NN</p><p>Nφ</p><p>a</p><p>Sg</p><p>Sg</p><p>c (3.13)</p><p>sendo</p><p>MSg e Nsg os esforços solicitantes no pilar obtidos com combinação quase-</p><p>permanente;</p><p>ea é a excentricidade acidental;</p><p>φ é o coeficiente de fluência;</p><p>USP - EESC - SET - Disciplina SET 410 - Estruturas de Concreto Armado II - Turma 1 - 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>14</p><p>2</p><p>e</p><p>cci</p><p>e</p><p>IE10N</p><p>l</p><p>⋅⋅</p><p>= ;</p><p>5,0</p><p>ckci f600.5E ⋅= é o módulo de elasticidade inicial do concreto;</p><p>Ic é o momento de inércia da seção do pilar;</p><p>el é o comprimento equivalente do tramo de pilar.</p><p>A excentricidade ec calculada na expressão (3.13) precisa ser somada à</p><p>excentricidade de 1.a ordem.</p><p>3.3 Situações de projeto e de cálculo</p><p>As situações de projeto dos pilares dependem apenas de sua posição em relação</p><p>à estrutura e dos esforços iniciais nos mesmos. Portanto, conforme mencionado no</p><p>item 2.1, a situação de projeto dos pilares intermediários é de compressão centrada,</p><p>dos pilares de extremidade é de flexão normal composta e dos pilares de canto é de</p><p>flexão oblíqua composta.</p><p>Nas situações de cálculo, ou seja, as admitidas para o dimensionamento, além</p><p>das excentricidades iniciais da situação de projeto, devem estar consideradas as</p><p>excentricidades que levam em conta efeitos adicionais, tais como as imperfeições</p><p>geométricas, os efeitos de 2.a ordem e os efeitos da fluência do concreto.</p><p>3.3.1 Seção de extremidade e seções intermediárias de pilares</p><p>No dimensionamento, além das seções das extremidades, também precisam ser</p><p>analisadas as seções intermediárias do pilar.</p><p>Para compreender as diferentes situações em que se encontram essas duas</p><p>seções, pode-se partir de uma estrutura de nós indeslocáveis, onde os nós extremos</p><p>de um pilar não têm deslocamentos horizontais, pois os mesmos podem ser</p><p>considerados fixos nas vigas dos pavimentos. Os pavimentos constituídos por lajes e</p><p>vigas funcionam como um diafragma horizontal impedindo, assim, os deslocamentos</p><p>no seu plano.</p><p>Entretanto, em uma seção intermediária do pilar, existem deslocamentos de 2.a</p><p>ordem, que precisam ser considerados no projeto (figura 3.6). Por outro lado, as</p><p>excentricidades iniciais nas seções intermediárias são menores que as das seções</p><p>extremas (pois os momentos solicitantes são menores).</p><p>As situações de cálculo nas seções de extremidade e na seção intermediária</p><p>precisam ser consideradas separadamente, as resistências destas seções precisam</p><p>ser verificadas separadamente e a áreas de armadura das seções transversais são as</p><p>maiores entre as verificações das várias seções.</p><p>Pilares curtos: λ ≤ λ1</p><p>Quando λ < λ1, os efeitos locais de 2° ordem podem ser desprezados na direção</p><p>em questão. Somando-se a excentricidade inicial e a relativa à falta de retilinidade,</p><p>geram-se as situações de cálculo indicadas na figura 3.6.</p><p>Gerson Moacyr S. Alva, Ana Lúcia H. de Cresce El Debs e José Samuel Giongo – USP – EESC – SET - Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>15</p><p>Pilares medianamente esbeltos: λ1 < λ ≤ 90</p><p>Nos casos de projetos de pilares em λ > λ1, os efeitos locais de segunda ordem</p><p>precisam ser obrigatoriamente considerados. A determinação dos efeitos de 2.a ordem</p><p>pode ser feita por métodos aproximados, como o método do pilar padrão. Os efeitos da</p><p>fluência do concreto podem ser desprezados nos pilares medianamente esbeltos</p><p>(λ1<λ≤90). A excentricidade de segunda ordem pode ser vista na figura 3.5.</p><p>Ponto indeslocável</p><p>Ponto indeslocável</p><p>VIGA</p><p>VIGA</p><p>i A</p><p>PILAR</p><p>e</p><p>A</p><p>e2</p><p>i Be</p><p>B</p><p>Figura 3.5 - Excentricidades iniciais e de segunda ordem em pilares</p><p>[Carvalho & Figueiredo Filho, 2002]</p><p>Lembra-se, novamente, que nas seções de extremidade não se incluem os</p><p>efeitos de 2° ordem, devendo considerá-los apenas na seção intermediária.</p><p>Somando as excentricidades, geram-se as situações de cálculo da figura 3.7.</p><p>Pilares esbeltos: 90 < λ ≤ 140</p><p>Para λ ≥ 90 é obrigatória a consideração dos efeitos da fluência do concreto,</p><p>efetuada por meio de uma excentricidade ec. A determinação dos efeitos locais de 2°</p><p>ordem pode ser feita pelo método do pilar padrão ou pilar padrão melhorado, utilizando-</p><p>se para a curvatura da seção crítica valores obtidos dos diagramas de momento fletor,</p><p>força normal e curvatura específica para o caso.</p><p>Pilares muito esbeltos: 140 < λ ≤ 200</p><p>Uma classificação adicional pode ser feita para pilares que apresentam índices de</p><p>esbeltez compreendidos entre 140 < λ ≤ 200, denominados muito esbeltos. Neste caso,</p><p>para a consideração dos efeitos de 2.a ordem, deve-se recorrer ao Método Geral, que</p><p>consiste na análise não-linear de 2.a ordem efetuada com discretização adequada da</p><p>barra, considerando a relação momento-curvatura real em cada seção e a não-</p><p>linearidade geométrica de maneira não aproximada.</p><p>USP - EESC - SET - Disciplina SET 410 - Estruturas de Concreto Armado II - Turma 1 - 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>16</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>SITUAÇÃO DE PROJETO</p><p>Nd dN</p><p>eax</p><p>y</p><p>Nd</p><p>x</p><p>eay</p><p>Compressão centrada Flexão normal composta Flexão normal composta</p><p>P</p><p>ila</p><p>re</p><p>s</p><p>in</p><p>te</p><p>rm</p><p>ed</p><p>iá</p><p>rio</p><p>s</p><p>Flexão normal composta</p><p>P</p><p>ila</p><p>re</p><p>s</p><p>de</p><p>e</p><p>xt</p><p>re</p><p>m</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>Flexão normal composta</p><p>Nd x</p><p>y</p><p>eax</p><p>Flexão oblíqua composta</p><p>y</p><p>Nd x aye</p><p>y</p><p>d</p><p>x</p><p>N</p><p>ixe ixe eix</p><p>Flexão oblíqua composta</p><p>P</p><p>ila</p><p>re</p><p>s</p><p>de</p><p>c</p><p>an</p><p>to</p><p>Flexão oblíqua composta</p><p>ixe</p><p>Nd</p><p>y</p><p>x</p><p>Flexão oblíqua composta</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>xiye e</p><p>ixe</p><p>iy</p><p>Nd</p><p>axe</p><p>e</p><p>ixe</p><p>iy</p><p>Nd</p><p>eay</p><p>SITUAÇÕES DE CÁLCULO - Seções intermediárias</p><p>Figura 3.6: Situação de projeto e de cálculo em pilares curtos – seções intermediárias</p><p>Gerson Moacyr S. Alva, Ana Lúcia H. de Cresce El Debs e José Samuel Giongo – USP – EESC – SET - Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>17</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>SITUAÇÃO DE PROJETO</p><p>N d dN</p><p>eax</p><p>y</p><p>N d</p><p>x</p><p>eay</p><p>Compressão centrada Flexão normal composta Flexão normal composta</p><p>P</p><p>ila</p><p>re</p><p>s</p><p>in</p><p>te</p><p>rm</p><p>ed</p><p>iá</p><p>rio</p><p>s</p><p>P</p><p>ila</p><p>re</p><p>s</p><p>de</p><p>e</p><p>xt</p><p>re</p><p>m</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>Flexão normal composta</p><p>N d x</p><p>y</p><p>eax</p><p>Flexão oblíqua composta</p><p>y</p><p>N d x aye</p><p>y</p><p>d</p><p>x</p><p>N</p><p>ixe ixe eix</p><p>Flexão oblíqua composta</p><p>P</p><p>ila</p><p>re</p><p>s</p><p>de</p><p>c</p><p>an</p><p>to</p><p>Flexão oblíqua composta</p><p>ixe</p><p>N d</p><p>y</p><p>x</p><p>Flexão oblíqua composta</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>xiye e</p><p>ixe</p><p>iy</p><p>N d</p><p>axe</p><p>e</p><p>ixe</p><p>iy</p><p>N d</p><p>eay</p><p>SITUAÇÕES DE CÁLCULO - Seções intermediárias</p><p>2xe</p><p>e2y</p><p>2xe</p><p>e2y</p><p>2xe</p><p>2ye</p><p>Flexão normal composta</p><p>Figura 3.7: Situação de projeto e de cálculo em pilares medianamente esbeltos –</p><p>seções intermediárias</p><p>USP - EESC - SET - Disciplina SET 410 - Estruturas de Concreto Armado II - Turma 1 - 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>18</p><p>4. Detalhamento de pilares de concreto armado</p><p>4.1 Dimensões mínimas dos pilares</p><p>A NBR 6118:2003 estabelece que a menor dimensão da seção transversal do</p><p>pilar não deve ser inferior a 19cm. Esta recomendação visa evitar um comportamento</p><p>inaceitável para os elementos estruturais e propiciar condições adequadas</p><p>de</p><p>construção.</p><p>Em casos especiais, permite-se que a menor dimensão do pilar esteja</p><p>compreendida entre 19cm e 12cm. Nestes casos, é preciso multiplicar os esforços</p><p>finais de cálculo empregados no dimensionamento dos pilares por um coeficiente</p><p>adicional γn, de acordo com a tabela 4.1:</p><p>Tabela 4.1 - Valores do coeficiente adicional γn</p><p>Menor dimensão da seção do pilar (cm)</p><p>Menor dimensão ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12</p><p>Valor de γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35</p><p>4.2 Armaduras longitudinais</p><p>4.2.1 Taxa geométrica mínima e máxima</p><p>Inicialmente, define-se taxa geométrica de armadura longitudinal do pilar pela</p><p>seguinte relação:</p><p>c</p><p>s</p><p>A</p><p>A</p><p>=ρ (4.1)</p><p>sendo As a soma das áreas das seções transversais das barras longitudinais e</p><p>Ac é a área da seção transversal do pilar.</p><p>De acordo com as recomendações da NBR 6118:2003, a área mínima de</p><p>armadura longitudinal, que depende da resistência do aço e da intensidade da</p><p>solicitação em virtude da força normal, é determinada pela seguinte expressão:</p><p>cc</p><p>yd</p><p>d</p><p>min,s A%4,0A004,0</p><p>f</p><p>N15,0A ⋅=⋅≥⋅= (4.2)</p><p>Portanto, a taxa geométrica mínima de armadura é igual a 0,4%.</p><p>A maior área de armadura possível em pilares, considerando-se inclusive a</p><p>sobreposição de armadura em regiões de emenda, deve ser de 8% da área da seção</p><p>transversal, ou seja:</p><p>cmax,s A%8A ⋅=</p><p>Nas regiões fora das emendas por traspasse a taxa de armadura longitudinal fica</p><p>igual a 4%, pois, nas regiões de emendas têm-se o dobro do número de barras.</p><p>A taxa geométrica de armadura máxima em pilares de concreto armado é de 4%,</p><p>nas regiões fora das emendas por traspasse.</p><p>Gerson Moacyr S. Alva, Ana Lúcia H. de Cresce El Debs e José Samuel Giongo – USP – EESC – SET - Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>19</p><p>4.2.2 Diâmetro mínimo das barras</p><p>O diâmetro mínimo das barras longitudinais não pode ser inferior a 10 mm e</p><p>também não pode ser superior a 1/8 da menor dimensão da seção do pilar.</p><p>4.2.3 Distribuição das armaduras longitudinais na seção do pilar</p><p>A NBR 6118:2203 prescreve que as barras longitudinais devem ser posicionadas</p><p>ao redor da periferia da seção, de forma a garantir a adequada resistência do elemento</p><p>estrutural.</p><p>Em seções poligonais, dentre as quais estão incluídas as seções retangulares,</p><p>precisa existir pelo menos uma barra em cada canto ou vértice do polígono. Em seções</p><p>circulares, deve existir pelo menos seis barras, distribuídas ao longo do perímetro.</p><p>4.2.4 Espaçamento livre entre as barras das armaduras</p><p>Para garantir adequada concretagem é necessário que o concreto tenha um</p><p>mínimo de espaço para passar entre as armaduras longitudinais. Por esse motivo</p><p>impõem-se limitações ao espaçamento livre entre as barras da armadura longitudinal</p><p>(aL), o qual precisa ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:</p><p>- 20 mm;</p><p>- a medida do diâmetro da barra, do feixe ou da luva adotada na emenda;</p><p>- 1,2 vez o diâmetro máximo do agregado.</p><p>4.2.5 Espaçamento máximo entre eixos das armaduras</p><p>O espaçamento máximo entre os eixos das barras da armadura também é</p><p>limitado, precisando ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão do pilar, sem</p><p>exceder a 400mm.</p><p>4.3 Armaduras transversais</p><p>4.3.1 Diâmetro dos estribos</p><p>O diâmetro dos estribos (φt) em pilares não pode ser inferior a 5 mm ou 1/4 do</p><p>diâmetro da barra longitudinal.</p><p>4.3.2 Espaçamento longitudinal entre os estribos</p><p>A fim de garantir o posicionamento das barras da armadura longitudinal e,</p><p>também, impedir a flambagem das barras longitudinais e servir de armadura de costura</p><p>nas regiões de emendas, são recomendados espaçamentos máximos entre os estribos</p><p>(medido na direção do eixo do pilar), devendo ser igual ou inferior ao menor dos</p><p>seguintes valores:</p><p>- 200 mm;</p><p>- menor dimensão da seção;</p><p>USP - EESC - SET - Disciplina SET 410 - Estruturas de Concreto Armado II - Turma 1 - 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>20</p><p>- 24 φ para aço CA-25 e 12φ para aço CA-50, onde φ é o diâmetro da barra</p><p>longitudinal.</p><p>Os estribos podem apresentar diâmetro φt menor do que φlon/4 desde que as</p><p>armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento longitudinal</p><p>respeite também a seguinte limitação:</p><p>yk</p><p>t</p><p>máx f</p><p>s 19000</p><p>2</p><p>⋅⎟⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>φ</p><p>φ</p><p>⋅= (4.3)</p><p>A figura 4.1 indica, resumidamente, os valores dos espaçamentos máximos e</p><p>mínimos das armaduras transversais e longitudinais recomendados pela NBR</p><p>6118:2003.</p><p>Seção transversal do pilarEstribos ao longo do eixo do pilar</p><p>tφ φ</p><p>400 mm</p><p>2b</p><p>12φ (CA-50)</p><p>200 mm</p><p>24φ (CA-25)</p><p>1,2 d</p><p>40 mm</p><p>max</p><p>L</p><p>a</p><p>a 4φ</p><p>s b</p><p>h</p><p>max agreg.</p><p>b < h</p><p>5 mmφ</p><p>φ/4</p><p>φLa</p><p>t</p><p>maxa</p><p>b</p><p>Figura 4.1 - Resumo das principais recomendações da revisão da norma brasileira a</p><p>respeito do espaçamento das armaduras em pilares</p><p>4.3.3 Proteção contra a flambagem das barras longitudinais</p><p>Sempre que houver possibilidade de flambagem das barras junto à superfície,</p><p>devem precisam ser tomadas precauções para evitá-la.</p><p>Segundo a NBR 6118:2003, os estribos poligonais impedem a flambagem das</p><p>barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no</p><p>máximo à distância de 20φt do canto, desde que nesse trecho de comprimento 20φt não</p><p>existam mais de duas barras, não contando a do canto. Quando houver mais de duas</p><p>barras no trecho de comprimento 20φt ou barras fora dele, deve haver estribos</p><p>suplementares.</p><p>Gerson Moacyr S. Alva, Ana Lúcia H. de Cresce El Debs e José Samuel Giongo – USP – EESC – SET - Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>21</p><p>estribos</p><p>suplementares</p><p>20φ t 20φ t</p><p>Figura 4.2 - Proteção contra a flambagem das barras longitudinais</p><p>Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta, terminada em</p><p>ganchos, ele deve atravessar a seção do elemento estrutural e os seus ganchos devem</p><p>envolver a barra longitudinal. Se houver mais de uma barra longitudinal a ser protegida</p><p>junto à extremidade do estribo suplementar, seu gancho deve envolver um estribo</p><p>principal em ponto junto a uma das barras, o que deverá ser indicado no projeto de</p><p>modo bem destacado (figura 4.3).</p><p>20φ t 20φ tt20φ</p><p>tφ φtφttφ</p><p>Gancho envolvendo a</p><p>barra longitudinal</p><p>Gancho envolvendo um</p><p>estribo principal</p><p>Figura 4.3: Forma de posicionar os ganchos dos estribos suplementares</p><p>4.4 Emenda das barras longitudinais do pilar</p><p>Em função do processo construtivo empregado para execução dos pilares, as</p><p>barras longitudinais desses elementos precisam ser emendadas ao longo de seu</p><p>comprimento. As emendas das barras podem ser: por traspasse; por luvas com</p><p>preenchimento metálico ou rosqueadas; por solda.</p><p>A emenda por traspasse é empregada por seu menor custo, além da facilidade na</p><p>montagem das barras da armadura na construção.</p><p>A NBR 6118:2003 recomenda que a emenda por traspasse seja evitada para</p><p>diâmetros de barras maiores que 32mm.</p><p>O comprimento de traspasse nas barras longitudinais comprimidas é determinado</p><p>pela seguinte expressão:</p><p>min,cnec,bc 00 lll ≥= (4.4)</p><p>sendo que:</p><p>nec,bl é o comprimento de ancoragem necessário;</p><p>USP - EESC - SET - Disciplina SET 410 - Estruturas de Concreto Armado II - Turma 1 - 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>22</p><p>min,c0l é o maior valor entre b, l⋅60 , 15φ e 200mm;</p><p>bl é o comprimento de ancoragem básico.</p><p>A figura 4.4 contém um exemplo de emenda por traspasse em pilares de seção</p><p>constante, onde as barras longitudinais do pilar inferior são interrompidas a uma altura</p><p>acima da face superior da viga ou laje igual ao comprimento de traspasse.</p><p>oc</p><p>tra</p><p>sp</p><p>as</p><p>se</p><p>AA</p><p>Seção A-A</p><p>Figura 4.4: Emendas por traspasse das barras longitudinais dos pilares</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>23</p><p>5. Exemplos de projeto de pilares (14 de fevereiro de 2008)</p><p>Neste item apresentam-se exemplos de dimensionamento de pilares de concreto</p><p>armado seguindo as recomendações da NBR 6118:2003. Desenvolveu-se um exemplo</p><p>para cada tipo de pilar quanto à sua posição geométrica na forma do pavimento-tipo:</p><p>pilar interno, pilar de extremidade e pilar de canto.</p><p>O projeto de edifício considerado é o analisado por Fusco (1981), porém</p><p>atualizado com os critérios da NBR 6118:2003 [ABNT, 2004].</p><p>A figura 5.1 ilustra a planta de forma do pavimento tipo e a tabela 1 fornece os</p><p>dados necessários para os cálculos e detalhamentos das áreas das armaduras.</p><p>Os pilares a serem projetados são: o P5 que é um pilar que pode ser considerado</p><p>submetido à força normal, não sendo considerados os momentos fletores atuantes em</p><p>função da ligação do pilar com as vigas V2 e V5; o pilar P4 submetido à ação de força</p><p>normal calculada considerando-se as reações de apoio das vigas V2 e V4; e, o pilar P1</p><p>submetido à flexão composta oblíqua, por ser um pilar de canto e, portanto, submetido</p><p>à força centrada e momentos fletores em duas direções principais em virtude da</p><p>ligação deste com as vigas V1 e V4.</p><p>L1</p><p>L3</p><p>L2</p><p>L4</p><p>P1</p><p>25/60</p><p>25/70</p><p>P4 P5</p><p>35/60</p><p>25/60</p><p>P2</p><p>V1 (20x62)</p><p>V2 (20x62)</p><p>V3 (20x62)</p><p>V</p><p>4</p><p>(1</p><p>2x</p><p>52</p><p>)</p><p>V5</p><p>(2</p><p>0x</p><p>52</p><p>)</p><p>V</p><p>6</p><p>P7</p><p>P3</p><p>P6</p><p>P8</p><p>4,</p><p>00</p><p>m</p><p>4,</p><p>00</p><p>m</p><p>5,00 m6,00 m</p><p>Figura 5.1: Forma do pavimento tipo [Fusco (1981)]</p><p>Tabela 01 - Dados para os projetos dos pilares do exemplo de edifício</p><p>Materiais Cobrimento Força normal Ações nas vigas</p><p>Concreto C30</p><p>Aço CA-50</p><p>2,5 cm</p><p>P5: 7202.Nk = kN</p><p>P4: 6701.Nk = kN</p><p>P1: 2301.Nk = kN</p><p>V2: ( ) 19qg k =+ kN/m</p><p>V1: ( ) 20qg k =+ kN/m</p><p>V4: ( ) 16qg k =+ kN/m</p><p>Nestes exemplos, para a determinação dos efeitos de 2.a ordem, emprega-se o</p><p>método do pilar padrão com curvatura aproximada no projeto do pilar P4 submetido a</p><p>ações relativas à flexão normal composta. No caso do pilar P1 com ações atuantes que</p><p>geram flexão oblíqua composta considera-se o método do pilar padrão com rigidez</p><p>aproximada. No projeto do pilar P5, submetido a força centrada na situação de projeto,</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 24</p><p>por se tratar de pilar interno, também se considera o método do pilar padrão com</p><p>curvatura aproximada.</p><p>5.1 Exemplo 1: pilar interno – P5</p><p>Para o pilar interno P5, indicado na figura 5.1, considera-se que a distância</p><p>vertical entre os níveis dos pavimentos seja de 5,60 metros, conforme Fusco (1981). A</p><p>figura 5.2 indica essa medida.</p><p>CORTE: EIXO X</p><p>35</p><p>SEÇÃO TRANSVERSAL</p><p>35</p><p>V2</p><p>y</p><p>60 x 560</p><p>62</p><p>V2</p><p>60</p><p>CORTE: EIXO Y</p><p>P5</p><p>V5</p><p>P5</p><p>V5</p><p>560</p><p>52</p><p>medidas em cm</p><p>V5</p><p>V2</p><p>a - Seção transversal e cortes paralelos aos eixos x e y do pilar P5</p><p>60</p><p>V2</p><p>V2</p><p>V5</p><p>V5</p><p>52</p><p>62</p><p>20</p><p>56</p><p>0</p><p>P5</p><p>35</p><p>20</p><p>b - Perspectiva do pilar P5 e respectivas vigas - tipo</p><p>Figura 5.2 - Condições geométricas do pilar P5</p><p>As forças normais característica e de cálculo atuantes no pilar P5, de acordo com</p><p>o projeto, são iguais a:</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>25</p><p>kN.Nk 7202=</p><p>kN..,Nd 8083720241 =×=</p><p>5.1.1 Excentricidades iniciais</p><p>Nas seções de extremidade - topo e base do pilar - e intermediária, nas duas</p><p>direções x e y, as excentricidades são iguais a zero, pois se trata de um pilar interno,</p><p>assim têm-se:</p><p>0eee iCiBiA ===</p><p>5.1.2 Cálculo dos comprimentos equivalentes do pilar P5</p><p>Para os cálculos dos comprimentos equivalentes do pilar P5, nas direções x e y,</p><p>consideram-se as expressões 2.7, indicadas pela NBR 6118:2003, e o que é mostrado</p><p>na figura 2.3 e na planta de forma da figura 5.1 e na figura 5.2.</p><p>Na direção do eixo x a distância entre as faces das vigas V2 em dois andares</p><p>seqüentes é igual a:</p><p>cmox 49862560 =−=l</p><p>O comprimento equivalente na direção do eixo x é a menor das medidas entre a</p><p>distância livre acrescida da medida do lado do pilar na direção x e a distância entre os</p><p>centros das vigas-tipo V2 entre dois andares, resultando:</p><p>cm53335498hxoxex =+=+= ll</p><p>cm560x =l</p><p>ou seja:</p><p>cmex 533=l</p><p>Analogamente para o comprimento equivalente do pilar P5 na direção do eixo y,</p><p>tem-se:</p><p>cm56860508hyoyey =+=+= ll</p><p>cm560y =l</p><p>portanto:</p><p>cm560ey =l</p><p>5.1.3 Cálculo dos índices de esbeltez</p><p>O cálculo dos índices de esbeltez nas direções x e y são calculados com as</p><p>expressões indicadas em 2.6 e com ℓex e ℓey calculados em 5.1.2.</p><p>Considerando o eixo x obtem-se:</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 26</p><p>852</p><p>35</p><p>1253312 ,</p><p>hi x</p><p>ex</p><p>x</p><p>ex</p><p>x =</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>==λ</p><p>ll</p><p>É preciso comparar esse valor de λx com o índice de esbeltez de referência (λ1) x.</p><p>Para cálculo do índice de esbeltez de referência usa-se a expressão 2.1 com αb</p><p>avaliado para cada direção.</p><p>Na direção do eixo x tem-se 0,1bx =α , pois os momentos atuantes nas</p><p>extremidades - topo e base – do tramo do pilar P5 são iguais a zero e menores que o</p><p>momento mínimo.</p><p>Portanto, (λ1) x resulta:</p><p>( ) 25</p><p>01</p><p>35</p><p>05122551225</p><p>1 =</p><p>⋅+</p><p>=</p><p>α</p><p>⋅+</p><p>=λ</p><p>,</p><p>,h</p><p>e,</p><p>bx</p><p>x</p><p>ix</p><p>x</p><p>É preciso considerar que a NBR 6118:2003 indica que 9035 1 ≤λ≤ . Portanto</p><p>( ) 35λ x1 = .</p><p>Como ( ) 35λ8,52λ x1x =>= entende-se que se trata de um pilar medianamente</p><p>esbelto na direção x, sendo necessário considerar-se na direção do eixo x o efeito do</p><p>momento de segunda ordem causado pelas deformações das seções transversais.</p><p>Na direção do eixo y o índice de esbeltez, com ℓey igual a 560cm e hy igual a 60cm</p><p>resulta:</p><p>332</p><p>60</p><p>1256012</p><p>,</p><p>hi y</p><p>ey</p><p>y</p><p>ey</p><p>y =</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>==λ</p><p>ll</p><p>O valor de byα é igual a 0,1 , pois os momentos nas extremidades do tramo de</p><p>pilar são iguais a zero e menores que o momento mínimo a ser considerado em todos</p><p>os projetos de pilares segundo a NBR 6118:2003.</p><p>( ) 25</p><p>01</p><p>60</p><p>05122551225</p><p>1 =</p><p>⋅+</p><p>=</p><p>α</p><p>⋅+</p><p>=λ</p><p>,</p><p>,h</p><p>e</p><p>,</p><p>by</p><p>y</p><p>iy</p><p>y</p><p>Portanto, resulta ( ) 35y1 =λ posto que seja maior do que o valor calculado de 25.</p><p>Considerando que ( ) 35λ3,32λ y1y =<= vê-se que o pilar é considerado curto na</p><p>direção y, não havendo necessidade de se considerar o efeito de segunda ordem nesta</p><p>direção y.</p><p>5.1.4 Cálculo das excentricidades acidentais</p><p>Como já estudado a NBR 6118:2003 indica a consideração de uma excentricidade</p><p>acidental por falta de retilinidade do pilar durante a sua construção, na seção</p><p>intermediária, calculada com as expressões 3.7, de acordo com a figura 3.4, resultando</p><p>para a direção do eixo x:</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>27</p><p>rad00433,0</p><p>33,5100</p><p>1</p><p>100</p><p>1θ</p><p>ex</p><p>x1 =</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>l</p><p>que é maior do que</p><p>rad00333,0</p><p>300</p><p>1θ min,1 ==</p><p>Portanto a excentricidade acidental na direção do eixo x resulta igual a:</p><p>cm,,eax 151</p><p>2</p><p>533004330 =⋅=</p><p>Analogamente, na direção do eixo y a excentricidade acidental resulta:</p><p>00333,0</p><p>300</p><p>1θrad00423,0</p><p>60,5100</p><p>1</p><p>100</p><p>1θ min,1</p><p>ey</p><p>y1 ==>=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>l</p><p>cm18,1</p><p>2</p><p>56000423,0eay =⋅=</p><p>5.1.5 Cálculo das excentricidades mínimas</p><p>A NBR 6118:3003 indica, como já estudado no item 3.2.3, a consideração de um</p><p>valor de Md1,min calculado com a expressão 3.8, resultando na direção do eixo x:</p><p>( ) cm55,2m0255,035,003,0015,0h03,0015,0e xxmin,1 ==⋅+=⋅+=</p><p>Analogamente, na direção do eixo y, resulta:</p><p>( ) cm30,3m0330,060,003,0015,0h03,0015,0e yymin,1 ==⋅+=⋅+=</p><p>Como devem prevalecer os maiores valores das excentricidades mínimas e</p><p>acidentais por causa da falta de retilinidade, nas seções de extremidade - topo e base -</p><p>e na seção intermediária, têm-se as excentricidades de primeira ordem:</p><p>cm15,1ecm55,2e axx1 =>=</p><p>cm18,1ecm30,3e ayy1 =>=</p><p>5.1.6 Cálculo das excentricidades de segunda ordem</p><p>O cálculo</p><p>da excentricidade de segunda ordem, relativa à seção intermediária na</p><p>direção do eixo x, é feito com as expressões do item 3.2.4a, deduzidas com base no</p><p>Método do pilar padrão com curvatura aproximada, como indicado na NBR 6118:2003.</p><p>A excentricidade de segunda ordem é calculada por:</p><p>r</p><p>1</p><p>10</p><p>e</p><p>2</p><p>ex</p><p>x2 ⋅=</p><p>l</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 28</p><p>Seguindo a rotina indicada no item 3.2.4a calculam-se:</p><p>a.- resistência de cálculo à compressão do concreto</p><p>2</p><p>cd cm/kN14,2</p><p>4,1</p><p>0,3f ==</p><p>b.- força normal reduzida</p><p>( ) 850</p><p>1426035</p><p>8083 ,</p><p>,</p><p>.</p><p>fA</p><p>N</p><p>cdc</p><p>d =</p><p>⋅⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=ν</p><p>c.- curvatura da deformada em virtude das deformações de segunda ordem</p><p>( ) ( )</p><p>55 103140050105810</p><p>5085035</p><p>0050</p><p>50</p><p>00501 −− ⋅=<⋅=</p><p>+⋅</p><p>=</p><p>+ν⋅</p><p>= ,</p><p>h</p><p>,,</p><p>,,</p><p>,</p><p>,h</p><p>,</p><p>r xx</p><p>d.- excentricidade de segunda ordem na direção do eixo x</p><p>cm,,e x 003105810</p><p>10</p><p>533 5</p><p>2</p><p>2 =⋅⋅= −</p><p>5.1.7 Situações de projeto e de cálculo</p><p>Para que as situações de cálculo fiquem definidas para permitir os cálculos das</p><p>áreas das armaduras é preciso desenhar as situações de projeto, relativas às posições</p><p>do pilar em relação à forma do pavimento tipo. A figura 5.3 mostra as situações de</p><p>projeto e de cálculo do pilar P5.</p><p>S ituações de pro je to S ituações de cá lcu lo</p><p>dN</p><p>y</p><p>x</p><p>N</p><p>y</p><p>x</p><p>d</p><p>e 3,30cmm in,y</p><p>m in ,xe</p><p>x</p><p>3,30cm</p><p>y</p><p>e</p><p>b)</p><p>d</p><p>x</p><p>m in ,y</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>b)</p><p>y</p><p>ee</p><p>2,55cm</p><p>m in,x 2x</p><p>a)</p><p>y</p><p>dN</p><p>2,55cm</p><p>a)</p><p>N</p><p>3,00cm</p><p>S eção in te rm ediária</p><p>S eções das extrem idades</p><p>Figura 5.3 - Situações de projeto e de cálculo do pilar P5</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>29</p><p>O arranjo final da armadura longitudinal é adotado para a situação mais</p><p>desfavorável.</p><p>Para os cálculos das áreas das armaduras utilizam-se os ábacos de Venturini</p><p>(1987) para a flexão normal composta.</p><p>5.1.8 Cálculo das áreas das armaduras</p><p>É preciso considerar-se as situações a – direção do eixo x e situação b – direção</p><p>do eixo y das seções de extremidades, topo e base, e intermediária indicadas na Figura</p><p>5.3.</p><p>5.1.8.1 Situação a – direção x</p><p>Analisando as medidas das excentricidades nas seções intermediária e de topo e</p><p>base percebe-se que o valor maior é o que ocorre na seção intermediária, onde se tem</p><p>as excentricidades mínima e de segunda ordem, sendo que na seção de topo e base</p><p>tem-se apenas a excentricidade mínima, que leva em conta a excentricidade acidental.</p><p>Para o cálculo da área das barras longitudinais é preciso determinar:</p><p>a.- Relação entre a distância do centro das barras da armadura e a medida do</p><p>lado da seção transversal na direção considerada - x</p><p>100110</p><p>35</p><p>04 ,,,</p><p>h</p><p>d</p><p>x</p><p>x</p><p>'</p><p>≅==</p><p>b.- Excentricidade total na direção x</p><p>De acordo com a figura 5.3 tem-se</p><p>cm,,,ex 555003552 =+=</p><p>c.- Valor da força normal reduzida</p><p>850,d =ν</p><p>d.- Cálculo do momento fletor reduzido na direção do eixo x</p><p>130</p><p>35</p><p>555850 ,,,</p><p>h</p><p>e</p><p>x</p><p>x</p><p>ddx =⋅=⋅ν=μ</p><p>e.- Cálculo da área das barras da armadura longitudinal para a situação a – seção</p><p>intermediária</p><p>Para o cálculo da área das barras da armadura para a situação a, neste caso de</p><p>flexão composta normal escolhe-se um arranjo de barras distribuídas</p><p>preponderantemente nos lados paralelos a hy da seção transversal, pois está sendo</p><p>considerado momento fletor com plano de ação paralelo ao lado hx.</p><p>Assim, escolhe-se, inicialmente, o ábaco A-2 [Venturini, 1987], para 100,h/d xx</p><p>' = ,</p><p>que, como pode ser observado, resultou a taxa geométrica de armadura igual a:</p><p>360,=ω</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 30</p><p>A área das barras é igual a:</p><p>( ) 21937</p><p>543</p><p>1426035360 cm,</p><p>,</p><p>,,</p><p>f</p><p>fAA</p><p>yd</p><p>cdc</p><p>s =</p><p>⋅⋅⋅</p><p>=</p><p>⋅⋅ω</p><p>=</p><p>Escolhendo-se barras de diâmetro de 20,0mm, cuja área é igual a 3,14cm2,</p><p>resulta como área efetiva, para esta primeira avaliação da área das barras longitudinais</p><p>do pilar P5, o valor:</p><p>As,efe = 37,68cm2</p><p>que é representada por 12 φ 20,0mm distribuídas paralelamente ao lado y,</p><p>segundo o considerado no ábaco A-2 [Venturini, 1987].</p><p>5.1.8.2 Situação b – direção y</p><p>Analisando, agora, as medidas das excentricidades nas seções intermediária e de</p><p>topo e base na direção y percebe-se a excentricidade é igual a 3,30cm para as três</p><p>seções – topo e base e intermediária, conforme figura 5.3.</p><p>Para o cálculo da área das barras longitudinais é preciso calcular:</p><p>a.- Relação entre a distância do centro das barras da armadura e a medida do</p><p>lado da seção transversal na direção considerada - y</p><p>07,0</p><p>60</p><p>0,4</p><p>h</p><p>d</p><p>y</p><p>y</p><p>'</p><p>==</p><p>b.- Excentricidade total na direção y</p><p>cm,ey 303=</p><p>c.- Valor da força normal reduzida</p><p>850,d =ν</p><p>d.- Cálculo do momento fletor reduzido na direção do eixo y</p><p>050</p><p>60</p><p>303850 ,,,</p><p>h</p><p>e</p><p>y</p><p>y</p><p>ddy =⋅=⋅ν=μ</p><p>e.- Cálculo da área das barras da armadura longitudinal para a situação b – todas</p><p>as seções transversais ao longo da altura do pilar</p><p>Escolhem os ábacos A-17 (d’/h = 0,05) e A-18 (d’/h = 0,10), elaborados por</p><p>Venturini (1987), pois eles apresentam o mesmo arranjo das barras da armadura</p><p>longitudinal adotado para a direção x. Esses ábacos consideram o plano de ação do</p><p>momento atuando na direção do eixo y. Assim, resulta para valor da taxa geométrica</p><p>de armadura:</p><p>130,=ω</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>31</p><p>Como este valor de taxa mecânica é menor do que a calculada na situação a para</p><p>a qual resultou ω = 0,36, entende-se que esta taxa atende as duas situações de cálculo</p><p>da armadura a e b.</p><p>5.1.9 Arranjo final da barras na seção transversal do pilar P5</p><p>O arranjo escolhido foi o do Ábaco A-2 que resultou As,efe igual a 37,68cm2 cuja</p><p>taxa geométrica é igual a:</p><p>%,,,</p><p>A</p><p>A</p><p>c</p><p>s 791017940</p><p>6035</p><p>6837</p><p>==</p><p>⋅</p><p>==ρ</p><p>A NBR 6118:2003 indica que a área das barras da armadura longitudinal em</p><p>pilares precisa resultar menor do que:</p><p>%0,4</p><p>2</p><p>%0,8ρmax ==</p><p>lembrando-se que é preciso considerar apenas a metade das barras para levar</p><p>em conta as regiões de emendas por traspasse.</p><p>A área de armadura mínima, que também precisa ser verificada, resulta igual a:</p><p>2</p><p>c</p><p>2</p><p>yd</p><p>cd</p><p>min,s cm40,86035004,0A004,0cm14,13</p><p>48,43</p><p>808.315,0</p><p>f</p><p>N15,0A =⋅⋅=⋅≥=⋅=⋅=</p><p>5.1.10 Arranjo na seção transversal e cálculo dos espaçamentos entre os estribos</p><p>Conforme estudados em itens anteriores deste texto e mediante consulta a NBR</p><p>6118:2003 é preciso calcular os espaçamentos entre os estribos inclusive os estribos</p><p>suplementares necessários para evitar a flambagem localizada das barras</p><p>longitudinais. A figura 5.4 mostra o arranjo das barras na seção transversal do pilar P5</p><p>e a rotina com os cálculos dos espaçamentos dos estribos.</p><p>5.1.7 Detalhamento do pilar P5</p><p>A figura 5.5 apresenta o detalhamento completo de um tramo do pilar P4,</p><p>mostrando as barras longitudinais em verdadeira grandeza, inclusive com o segmento</p><p>de espera, ou seja, o comprimento de traspasse para promover as emendas das barras</p><p>do tramo i com as barras do tramo i + 1. A seção transversal mostrada na figura 5.4 é</p><p>desenhada na figura 5.5, deslocando-se os desenhos em verdadeira grandeza dos</p><p>estribos principais e suplementares. Essa figura 5.5 é enviada para a obra para que os</p><p>técnicos possam montar as barras do tramo do pilar P5</p><p>jequaresma</p><p>Highlight</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 32</p><p>Seção transversal do pilar P5</p><p>12 φ 20,0 mm</p><p>20φ t</p><p>20φ t</p><p>10,5 cm</p><p>Estribos</p><p>Diâmetro:</p><p>⎩</p><p>⎨</p><p>⎧</p><p>==φ</p><p>≥φ</p><p>5,0mm20,0/4/4</p><p>mm,</p><p>t</p><p>05</p><p>Adota-se 5,0mm tφ</p><p>Espaçamento:</p><p>⎪</p><p>⎩</p><p>⎪</p><p>⎨</p><p>⎧</p><p>=×=φ</p><p>=≤</p><p>cm,,</p><p>35cmb</p><p>cm</p><p>s</p><p>024021212</p><p>20</p><p>cm 20s =∴</p><p>Proteção contra a flambagem das</p><p>barras:</p><p>cm,,t 010502020 =⋅=φ</p><p>Portanto, são necessários estribos</p><p>suplementares nas oito barras</p><p>longitudinais centrais.</p><p>Figura 5.4 - Arranjo</p><p>das barras da armadura longitudinal do pilar P5</p><p>P5 (35 x 60)</p><p>N3 - 2x29 Ø 5,0 C/20 C=40</p><p>29</p><p>N</p><p>2</p><p>C</p><p>/2</p><p>0</p><p>i</p><p>N</p><p>1</p><p>- 1</p><p>2</p><p>Ø</p><p>2</p><p>0,</p><p>0</p><p>C</p><p>=6</p><p>45</p><p>30</p><p>60</p><p>35</p><p>i + 560</p><p>N2 - 29 Ø 5,0 C/20 C=180</p><p>55</p><p>30</p><p>Figura 5.5 - Detalhamento de um tramo do pilar P5</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>33</p><p>Ábaco A - 2 - Venturini (1987) - EESC - USP</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 34</p><p>Ábaco A - 17 - Venturini (1987) - EESC - USP</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>35</p><p>Ábaco A - 18 - Venturini (1987) - EESC – USP</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 36</p><p>5.2 Exemplo 2: Pilar de extremidade – P4</p><p>Para este exemplo, considera-se o pilar de extremidade P4 da planta do</p><p>pavimento tipo da figura 5.1, admitindo que a distância vertical entre os níveis dos</p><p>pavimentos seja de 4,60 metros, conforme figura 5.6.</p><p>V2</p><p>CORTE: EIXO X</p><p>V2</p><p>P4</p><p>25</p><p>SEÇÃO TRANSVERSAL</p><p>V4</p><p>25</p><p>70</p><p>y</p><p>x</p><p>V4</p><p>460</p><p>P5</p><p>35</p><p>medidas em cm</p><p>V5</p><p>o,viga</p><p>62</p><p>(g+q)=19 kN/m</p><p>V5</p><p>a - Seção transversal e cortes paralelos aos eixos x e y do pilar P4</p><p>56</p><p>0</p><p>V2</p><p>V4</p><p>V4</p><p>P4</p><p>V2</p><p>V4</p><p>V4</p><p>52</p><p>12</p><p>62</p><p>70</p><p>25</p><p>20</p><p>b - Perspectiva do pilar P4 e respectivas vigas - tipo</p><p>Figura 5.6 - Condições geométricas do pilar P4</p><p>As forças normais característica e de cálculo atuantes no pilar P4 são iguais a:</p><p>kN.Nk 6701=</p><p>kN.,Nd 3382167041 =⋅=</p><p>Por se tratar de um pilar de extremidade com os esforços solicitantes</p><p>determinados pelo processo de viga contínua, indicado na NBR 6118:2003, o pilar P4</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>37</p><p>será considerado submetido a uma força normal e um momento fletor em virtude da</p><p>sua ligação com a viga V2 definindo, portanto, situação de projeto de flexão normal</p><p>composta. Com relação às ações da viga V4 só se considera a força normal por causa</p><p>da reação de apoio, sendo que o momento fletor não é considerado.</p><p>5.2.1 Determinação do momento fletor atuante no tramo do pilar P4</p><p>5.2.1.1 Cálculo dos comprimentos equivalentes do tramo do pilar</p><p>a.- Direção do eixo x:</p><p>Observando a figura 5.6, nota-se que na direção do eixo x a distância livre entre</p><p>as vigas V2 posicionadas em dois andares seqüentes é igual a:</p><p>cmox 39862460 =−=l</p><p>O comprimento equivalente é calculado pelas expressões 2.7 com as indicações</p><p>da figura 2.3, lembrando que h é a medida da seção transversal do pilar na direção do</p><p>eixo considerado, resultando:</p><p>cm42325398hxoxex =+=+= ll</p><p>cm460xex == ll</p><p>Portanto, o comprimento equivalente do pilar na direção do eixo x é:</p><p>423ex =l cm</p><p>b.- Direção do eixo y:</p><p>Analogamente, na direção y tem-se:</p><p>distância livre entre as vigas V4 entre dois andares consecutivos,</p><p>cmoy 40852460 =−=l</p><p>sendo que o comprimento equivalente é a menor medida entre,</p><p>cm47870408hyoyey =+=+= ll</p><p>cm460yey == ll</p><p>ou seja, na direção do eixo y resulta:</p><p>cmey 460=l</p><p>5.2.2.2 Cálculo do vão efeito da viga V2</p><p>A expressão a considerar é a 3.6.a, com as indicações da figura 3.2a.</p><p>21viga,oviga,ef aa ++= ll (expressão 3.6a)</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 38</p><p>Analisando a forma estrutural do pavimento tipo, figura 5.1, determina-se a</p><p>distância livre da viga V2 entre os pilares P4 e P5, resultando:</p><p>cmviga,o 570</p><p>2</p><p>35</p><p>2</p><p>25600 =−−=l</p><p>A medida a1 relativa ao pilar P4 é calculada por:</p><p>cm5,12</p><p>2</p><p>25</p><p>2</p><p>h</p><p>a 4P,x</p><p>1 ===</p><p>cm6,18623,0,h3,0a 2V21 =⋅=⋅=</p><p>resultando, portanto, a medida de menor valor:</p><p>cm 5,12a1 =</p><p>Analogamente a medida a2 relativa ao pilar P5 é calculada por:</p><p>cm5,17</p><p>2</p><p>35</p><p>2</p><p>h</p><p>a 5P,x</p><p>2 ===</p><p>cm6,18623,0h3,0a 2V,22 =⋅=⋅=</p><p>resultando:</p><p>cm,a2 517=</p><p>Substituindo os valores das medidas ℓoV2, a1 e a2 resulta como medida do vão</p><p>efetivo do primeiro tramo da viga V2:</p><p>cm6005,175,125702V,ef =++=l</p><p>5.2.3 Momento fletor atuante inicial no pilar P4</p><p>Os momentos fletores atuantes nos tramos do pilar P4, conforme estudado,</p><p>podem ser determinados considerando o modelo simplificado da NBR 6118:2003 e</p><p>neste texto indicado no item 3.2.1.</p><p>A figura 5.7 apresenta o desenho do modelo do pilar P4 com a V2 e com as</p><p>medidas calculadas nesta memória de cálculo.</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>39</p><p>P4</p><p>in</p><p>f</p><p>1/</p><p>2</p><p>=</p><p>2 1</p><p>1,</p><p>5</p><p>cm</p><p>=</p><p>2 1</p><p>1,</p><p>5</p><p>cmsu</p><p>p</p><p>1/</p><p>2</p><p>= 600 cmef,viga</p><p>V2</p><p>= 19 kN/m(g+q)k</p><p>Figura 5.7 - Modelo para cálculo do momento fletor solicitante no pilar P4</p><p>Seguindo a rotina mostrada na NBR 6118:2003 é preciso calcular as rigidezes dos</p><p>tramos superior e inferior do pilar e do primeiro tramo da viga V2 que está vinculado ao</p><p>pilar.</p><p>A rigidez do tramo superior do pilar é igual a:</p><p>3</p><p>3</p><p>1293</p><p>5211</p><p>1</p><p>12</p><p>25703</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>cm</p><p>,</p><p>I</p><p>r</p><p>sup</p><p>pilar</p><p>sup =⋅</p><p>⋅⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>=</p><p>l</p><p>Como as seções transversais dos tramos inferior e superior são iguais tem-se:</p><p>3</p><p>supinf cm293.1rr ==</p><p>A rigidez da viga resulta:</p><p>3</p><p>3</p><p>6482</p><p>600</p><p>1</p><p>12</p><p>622044</p><p>cm.</p><p>I</p><p>r</p><p>viga</p><p>viga</p><p>viga =⋅</p><p>⋅⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>l</p><p>O momento de engastamento perfeito para o primeiro tramo da viga V2 resulta</p><p>igual a:</p><p>( )</p><p>kNcm.kNm,qg</p><p>M viga</p><p>eng 700557</p><p>12</p><p>0619</p><p>12</p><p>22</p><p>==</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅+</p><p>=</p><p>l</p><p>Portanto, os momentos fletores solicitantes nos tramos resultam:</p><p>kNcm.</p><p>...</p><p>..</p><p>rrr</p><p>r</p><p>MM</p><p>infsupviga</p><p>sup</p><p>engsup 4081</p><p>293129316482</p><p>29317005 =⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>++</p><p>⋅=⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>++</p><p>⋅=</p><p>Como não há mudança de seção transversal entre os pavimentos tem-se:</p><p>kNcm.MM supinf 4081==</p><p>USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 40</p><p>A figura 5.8 mostra os diagramas de momentos fletores característicos iniciais no</p><p>pilar P4.</p><p>211,5 cm</p><p>211,5 cm</p><p>211,5 cm</p><p>211,5 cm</p><p>Mviga</p><p>Equilíbrio do nó</p><p>1408 kN.cm</p><p>Minf = 1408 kN.cm</p><p>Viga</p><p>Minf</p><p>Msup = 1408 kN.cm</p><p>1408 kN.cm</p><p>Msup</p><p>Figura 5.8 - Diagramas de momentos fletores característicos no pilar P4</p><p>5.2.3.1 Excentricidades iniciais no pilar P4 – direção x</p><p>A excentricidade inicial na seção de topo na direção do eixo x é igual a:</p><p>cm,</p><p>.</p><p>.</p><p>N</p><p>M</p><p>e</p><p>d</p><p>A,di</p><p>iAx 840</p><p>3382</p><p>9711</p><p>===</p><p>pois, o momento fletor de cálculo é o momento fletor característico, indicado no</p><p>diagrama da figura 5.8, multiplicado por 41,f =λ , ou seja:</p><p>kNcm..,MM B,diA,di 9711408141 =⋅==</p><p>e a força normal de cálculo é:</p><p>kN.Nd 3382=</p><p>Na seção da base a excentricidade inicial é dada por:</p><p>cm,ee iAxiBx 840==</p><p>Como já estudado no item 3.2.1 e expressão 3.2 a excentricidade na seção</p><p>intermediária na direção do eixo x do pilar é igual a:</p><p>iAxiBxiAxiCx e4,0e4,0e6,0e ≥+=</p><p>José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Fevereiro de 2008</p><p>Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003</p><p>41</p><p>Como a curvatura da deformada é dupla, em virtude dos momentos no topo e na</p><p>base do pilar tracionarem faces opostas, o sinal de iBxe é negativo na expressão acima</p><p>e, portanto, tem-se:</p><p>( ) cm,,,e,cm,,,,,e iAxiCx 34084040401708404084060 =⋅=⋅≥=−⋅+⋅=</p><p>Assim a excentricidade na seção intermediária na direção do eixo x resulta:</p><p>cm34,0eiCx =</p><p>5.2.4 Excentricidades acidentais no pilar P4</p><p>Nos pilares as excentricidades acidentais ocorrem por falta de retilinidade ou por</p><p>desaprumo do pilar por falha de construção, assim a NBR 6118:2003 indica que na</p><p>fase de projeto as ações geradas por estas situações precisam ser consideradas. A</p><p>norma</p>