mc2_oscila1

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<p>Mecânica Clássica II</p><p>Oscilações / 1</p><p>José Pinto da Cunha</p><p>Notas Lectivas</p><p>Universidade de Coimbra</p><p>2012</p><p>2</p><p>Conteúdo</p><p>1 Oscilações /parte 1 5</p><p>1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</p><p>1.2 Equações diferenciais lineares de coeficientes constantes . . . . 8</p><p>1.2.1 Equações diferenciais homogéneas . . . . . . . . . . . . 8</p><p>1.2.2 Equações diferenciais completas . . . . . . . . . . . . . 9</p><p>1.2.3 Análise das soluções da equação diferencial ẍ + aẋ +</p><p>bx = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10</p><p>1.3 O oscilador livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14</p><p>1.4 Energia do oscilador linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>1.5 O oscilador linear amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20</p><p>1.6 O oscilador forçado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21</p><p>1.6.1 Ressonância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27</p><p>1.7 Osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30</p><p>1.7.1 Análise da energia do sistema de osciladores . . . . . . 37</p><p>1.7.2 Análise das oscilações da molécula de CO2 . . . . . . . 39</p><p>1.7.3 Modos de oscilação molecular . . . . . . . . . . . . . . 42</p><p>1.8 Osciladores acoplados e forçados . . . . . . . . . . . . . . . . . 45</p><p>1.9 Sistema de N osciladores acoplados − transição para o cont́ınuo 47</p><p>3</p><p>4 CONTEÚDO</p><p>Caṕıtulo 1</p><p>Oscilações /parte 1</p><p>1.1 Introdução</p><p>As leis de Newton da F́ısica Clássica são suficientes para descrever o movi-</p><p>mento da matéria, desde corpos simples até aos sistemas mais complexos</p><p>(se as velocidades forem muito menores que a velocidade da luz no vazio e</p><p>excluirmos sistemas quânticos). Isso é assim porque essas leis (três) sistem-</p><p>atizam a experiência concreta mais elementar.</p><p>i) A 1a lei diz que o movimento não pode ser definido só por si, em</p><p>absoluto, mas sim sempre em relação ao movimento do observador.</p><p>Que a velocidade de um corpo livre se mantém, pois que haverá um</p><p>observador para o qual esse corpo está em repouso e assim permanecerá.</p><p>ii) A 2a lei traduz formalmente a relação causal causa-efeito: - se agirmos</p><p>com uma força sobre um corpo alteramos a sua velocidade. É uma</p><p>relação entre as causas (as forças) e o efeito (a aceleração) em cada</p><p>part́ıcula de matéria, i.e.,</p><p>efeito =</p><p>∑</p><p>causas ; ~a =</p><p>∑ ~F</p><p>m</p><p>A equação assim escrita, serve ela própria como definição de uma força:</p><p>1N = 1m/s2 × 1kg. Esta eq. de Newton é uma lei consequente:</p><p>uma força origina uma aceleração; se houver força há necessariamente</p><p>aceleração; se há aceleração então é porque há força ou forças a actuar</p><p>nesse corpo.</p><p>5</p><p>6 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>����������������������������������������������������������</p><p>Figura 1.1: Forças de interacção entre dois corpos.</p><p>iii) A 3a lei é mais subtil; representa a nossa experiência concreta de que um</p><p>corpo não age sobre si próprio, interage com a sua vizinhança. Traduz</p><p>a constatação de que não há auto-acções, apenas interacções. Ora, esta</p><p>contracção do termo inter-acção pressupõe a existência de uma acção</p><p>repartida entre dois entes. Um ente não age sobre o outro, interage com</p><p>ele. Se a acção se traduzir numa força, ~F , isso significa que, no acto da</p><p>inter-acção, se fará sentir essa acção (ou força) em cada um dos inter-</p><p>venientes. Porém, a acção será simétrica num e no outro. Se resultar</p><p>da interacção uma força ~F sobre o ente A, então resultará certamente</p><p>uma força −~F sobre o ente B (ver fig.1.1). Costuma-se dizer que as</p><p>forças existem sempre em pares acção-reacção. Porém, tal designação é</p><p>infeliz, pois faz supor uma relação consequente: acção ; reacção. Mas</p><p>esta não pode ser estabelecida porque não parece posśıvel distinguir a</p><p>acção da reacção, pois que uma não existe sem a outra, nem ocorre</p><p>depois da outra, ao invés existindo total simetria entre ambas.</p><p>Toda a mecânica clássica pode pois ser constrúıda sobre as leis f́ısicas</p><p>básicas sistematizadas por Newton. As interacções traduzem-se por forças,</p><p>que saberemos ou não escrever consoante o conhecimento que tenhamos das</p><p>interacções subjacentes e que, em geral, dependem das posições dos corpos.</p><p>A aceleração é como sabemos a derivada temporal da velocidade. Assim, a</p><p>lei de Newton traduz-se numa equação diferencial de 2a ordem no tempo (ou</p><p>1.1. INTRODUÇÃO 7</p><p>a sistemas de equações diferenciais se houver mais do que um corpo) do tipo1</p><p>m~̈r =</p><p>∑</p><p>i</p><p>~Fi(~r) (1.1)</p><p>A descrição da posição do corpo em cada instante, ~r(t), e da sua veloci-</p><p>dade, ~̇r(t), dependem da resolução desta equação. Todavia, essa tarefa pode</p><p>revelar-se complicada, dependendo das forças em presença2. Em muitos ca-</p><p>sos práticos, a eq. 1.1 pode ser resolvida analiticamente. Como é sabido</p><p>da teoria das equações diferenciais, a solução vai depender sempre de duas</p><p>constantes de integração, que é necessário adequar à situação f́ısica conc-</p><p>reta, e que são geralmente a posição e a velocidade iniciais. Estes conceitos</p><p>tornar-se-ão mais claros quando aplicados a casos concretos, mais adiante.</p><p>Paradoxalmente a dificuldade primeira que se nos depara ao analisar uma</p><p>situação f́ısica concreta é a de escrever correctamente a equação causal de</p><p>Newton, eq.1.1. Há que identificar quais as interacções que estão presentes</p><p>e ter em mente que qualquer força é sempre parte de uma interacção; que</p><p>haverá sempre uma força simétrica a agir sobre o outro elemento envolvido</p><p>na interacção. Devemos também ser capazes de identificar inequivocamente</p><p>quem são os agentes causadores de cada uma das forças que julgamos estarem</p><p>a ser exercidas num corpo, i.e. que elementos da sua vizinhança estão a</p><p>interagir com ele. Se não os pudermos identificar então possivelmente nem</p><p>sequer existem, contrariamente ao que pensávamos. Para além disso, tem</p><p>que se convir que as interacções são sempre locais, i.e. um corpo só interage</p><p>com a sua vizinhança imediata. Mesmo quando há um campo envolvido, a</p><p>interacção dá-se entre o corpo e o campo que existe nesse local (p.ex. o peso</p><p>de um corpo é o resultado da interacção entre o corpo e o campo grav́ıtico</p><p>da Terra que existe na posição em que está esse corpo). Não há acções à</p><p>distância.</p><p>1Usa-se a notação compacta habitual que consiste em representar a derivada temporal</p><p>com uma pinta. Ou seja, por ḟ refere-se a derivada temporal de f , enquanto f ′ representa</p><p>a derivada espacial:</p><p>df</p><p>dt</p><p>≡ ḟ ;</p><p>d2f</p><p>dt2</p><p>≡ f̈e</p><p>df</p><p>dt</p><p>≡ f ′ ;</p><p>d2f</p><p>dx2</p><p>≡ f ′′</p><p>2Pode pois ser mais conveniente em muitas situações formular o problema recorrendo</p><p>à chamada mecânica anaĺıtica, nomeadamente a mecânica de Lagrange. Nesses casos, as</p><p>equações de movimento obtêm-se a partir das equações de Euler-Lagrange, uma por cada</p><p>grau de liberdade do sistema f́ısico.</p><p>8 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>1.2 Equações diferenciais lineares de coefi-</p><p>cientes constantes</p><p>Vamos aqui rever brevemente alguns conceitos fundamentais acerca das</p><p>equações diferenciais mais simples, i.e. as equações diferenciais ordinárias,</p><p>lineares e de coeficientes constantes. Visto que as equações de Newton são</p><p>equações de 2a ordem no tempo, abordaremos apenas equações diferenciais</p><p>desse tipo.</p><p>1.2.1 Equações diferenciais homogéneas</p><p>Seja a equação diferencial</p><p>ẍ + aẋ + bx = 0 (1.2)</p><p>com a e b constantes. Esta equação diz-se homogénea pois o 2o membro é</p><p>nulo. Definindo o operador derivada, δ ≡ d</p><p>dt</p><p>e, a partir deste, o operador</p><p>polinomial Ω = δ2 + aδ + b, podemos escrever a equação diferencial na forma</p><p>simbólica,</p><p>Ω x = 0</p><p>onde Ω é o operador que representa todas as operações a efectuar sobre x.</p><p>O polinómio que representa Ω tem duas ráızes, r1 e r2, e pode ser factor-</p><p>izado na forma,</p><p>Ω = (δ − r2)(δ − r1)</p><p>Portanto,</p><p>(δ − r2) {(δ − r1)x} = 0</p><p>donde {</p><p>ou</p><p>(δ − r1)x = 0</p><p>(δ − r2)x = 0</p><p>qualquer das duas equações dá dx</p><p>x</p><p>= r dt e tem solução do tipo x = Aert,</p><p>com A constante.</p><p>Por conseguinte, a solução geral da eq. 1.2 é</p><p>x(t) = Aer1t + Ber2t (1.3)</p><p>onde A e B são duas constantes de integração. Como se vê pois, o número</p><p>de constantes de integração é igual à ordem da equação diferencial.</p><p>1.2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE COEFICIENTES CONSTANTES9</p><p>O argumento anterior falha no caso em que r1 = r2 = r. Nesse caso, pelo</p><p>argumento anterior, (δ2 − r)2x = 0 ; x = Aert + Bert = Cert. Todavia,</p><p>esta solução só depende de uma constante de integração pelo que está pois</p><p>certamente incompleta. No caso vertente, a solução geral é do tipo</p><p>x = (A + Bt)ert (1.4)</p><p>já que a equação 1.2 fica (δ − r)(δ − r)(A + Bt)ert = (δ − r)Bert = 0.</p><p>As ráızes r1 e r2 podem ser reais ou complexas. Em qualquer caso, a</p><p>solução f́ısica de um problema real será obviamente sempre real, sendo em</p><p>geral dada pela parte real da solução matemática.</p><p>As constantes de integração obtêm-se num problema concreto particu-</p><p>lar obrigando a solução geral da equação a satisfazer certas condições do</p><p>problema em causa − são as chamadas condições fronteira.</p><p>1.2.2 Equações diferenciais completas</p><p>A equação diferencial diz-se completa se o 2o membro for não nulo. No caso</p><p>mais geral o 2o membro da equação é uma função do tempo, i.e.,</p><p>Ωx = f(t) (1.5)</p><p>A solução geral desta equação é dada por</p><p>x(t) = xG(t) + xP (t) (1.6)</p><p>onde xG é a solução geral da equação homogénea correspondente, ΩxG = 0,</p><p>acima discutida, e xP é a solução particular da equação completa, ΩxP =</p><p>f(t). É fácil de perceber que x = xG + xP é de facto a solução da eq.1.5, já</p><p>que</p><p>Ω(xG + xP ) = ΩxG︸ ︷︷ ︸</p><p>=0</p><p>+ ΩxP = f(t)︸ ︷︷ ︸</p><p>por def.</p><p>A solução particular pode ser formalmente escrita como</p><p>xP = Ω−1f(t) (1.7)</p><p>onde Ω−1 é o operador inverso de Ω, tal que Ω Ω−1 = 1 (i.e. Ω−1 representa</p><p>a operação inversa de Ω, sendo por isso uma espécie de integração3).</p><p>3Assumimos sem discussão que o operador inverso existe em todo o domı́nio de Ω.</p><p>10 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>Conclúımos assim que a solução mais geral da eq. completa deve incluir</p><p>também a solução da eq. homogénea. Neste caso há também obviamente</p><p>duas constantes de integração que devem ser determinadas pelas condições</p><p>fronteira do problema, p.ex. pelas condições iniciais de posição e de veloci-</p><p>dade.</p><p>1.2.3 Análise das soluções da equação diferencial ẍ +</p><p>aẋ + bx = 0</p><p>Aalisemos as soluções da equação diferencial,</p><p>ẍ + aẋ + bx = 0 , ou seja, (δ2 + aδ + b)x = 0 (1.8)</p><p>com a e b constantes. As ráızes do polinómio simbólico (caracteŕıstico) são</p><p>δ = −a</p><p>2</p><p>± 1</p><p>2</p><p>√</p><p>a2 − 4b</p><p>sendo a solução da equação diferencial dada pelas expressões 1.3 ou 1.4,</p><p>consoante o caso, como vimos.</p><p>É conveniente discutir separadamente os casos, em função do argumento</p><p>da raiz quadrada, c2 = a2 − 4b : ou seja, consoante i) c2 > 0; ii) c2 = 0; ou</p><p>iii) c2 < 0.</p><p>i) c2 > 0 No caso em que c2 > 0, a solução de 1.8 é do tipo</p><p>x(t) = e−</p><p>a</p><p>2</p><p>t</p><p>{</p><p>Ae</p><p>c</p><p>2</p><p>t + Be−</p><p>c</p><p>2</p><p>t</p><p>}</p><p>A forma genérica desta solução está representada na fig.1.2a.</p><p>ii) c2 = 0 No caso de c2 = 0, as duas ráızes são iguais pelo que a solução</p><p>tem a forma</p><p>x(t) = (A + Bt)e−</p><p>a</p><p>2</p><p>t</p><p>Esta solução está representada na fig.1.2b.</p><p>iii) c2 < 0 Se c2 < 0 as duas ráızes são complexas. Por conveniência faze-</p><p>mos c2 = −4ω2 = 4i2ω2, com ω2 = b− (a/2)2 > 0, e i =</p><p>√</p><p>−1. Deste</p><p>modo, ±1</p><p>2</p><p>√</p><p>a2 − 4b = ±iω. Assim,</p><p>x(t) = e−</p><p>a</p><p>2</p><p>t</p><p>{</p><p>Aeiωt + Be−iωt</p><p>}</p><p>(1.9)</p><p>1.2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE COEFICIENTES CONSTANTES11</p><p>Esta é a solução matemática e é uma solução complexa. Todavia, se</p><p>esta solução representar uma solução f́ısica deve ser real. Portanto,</p><p>impondo essa condição à solução, ficamos com4</p><p>A + B = C = no real</p><p>A−B = −iD = no imaginário puro</p><p>com C e D constantes arbitrárias. Fica então</p><p>x(t) = e−</p><p>a</p><p>2</p><p>t (C cos ωt + D sin ωt)</p><p>Esta expressão sugere que se faça a transformação5</p><p>{</p><p>C = x0 cos ϕ</p><p>D = x0 sin ϕ</p><p>com x0 e ϕ constantes arbitrárias. Obtemos assim6,</p><p>x(t) = x0e</p><p>−</p><p>a</p><p>2</p><p>t cos(ωt + ϕ)</p><p>Esta solução é claramente oscilatória, de frequência angular ω, e am-</p><p>plitude que tende exponencialmente para zero. Podemos vê-la na (ver</p><p>fig.1.2c).</p><p>Exemplo: queda de um corpo</p><p>Com vista a concretizar o que se acabou de dizer analisemos o movimento</p><p>de um corpo de massa m que cai no ar com atrito viscoso (laminar), pro-</p><p>porcional à velocidade. A aceleração da gravidade é g, sendo a posição do</p><p>4Usamos aqui a relação de Euler eiθ = cos θ + i sin θ.</p><p>5É sempre posśıvel fazer esta transformação, trata-se apenas de redefinir constantes</p><p>arbitrárias.</p><p>6De um ponto de vista mais geral, veja-se que podemos sempre escrever a solução</p><p>complexa (eq. 1.9) na forma</p><p>x(t) = e−</p><p>a</p><p>2</p><p>t|x0|ei(ωt+ϕ)</p><p>com x0 =</p><p>√</p><p>(A + B)2 + (A−B)2 e ϕ = atanA−B</p><p>A+B</p><p>, sendo esta uma fase. A solução f́ısica</p><p>é a parte real deste no complexo,</p><p>x(t)|fis = ℜe {x(t)} = e−</p><p>a</p><p>2</p><p>t|x0| cos(ωt + ϕ)</p><p>12 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>t</p><p>x(t)</p><p>t</p><p>x(t)</p><p>t</p><p>x(t)</p><p>a) b) c)</p><p>Figura 1.2: Soluções da equação diferencial de movimento. a) c2 > 0; b)</p><p>c2 = 0; c) c2 < 0.</p><p>corpo descrita em cada instante pelo vector ~x = xî (ver fig.1.3). Supõem-se</p><p>as seguintes condições iniciais:</p><p>em t = 0,</p><p>{</p><p>x = 0</p><p>ẋ = 0</p><p>As forças que actuam no corpo são o peso, ~P = mg î, e a força de atrito,</p><p>que é por hipótese do tipo ~Fa = −γẋ î, com γ uma constante (a força de</p><p>atrito tem direcção contrária à velocidade, ~v ≡ ~̇x = ẋî).</p><p>A eq. de Newton é</p><p>mg î− γẋ î = mẍ î (1.10)</p><p>ou seja,</p><p>ẍ +</p><p>γ</p><p>m</p><p>ẋ = g</p><p>A solução da equação homogénea obtém-se das ráızes do polinómio, δ2+ γ</p><p>m</p><p>δ =</p><p>0,</p><p>δ = − γ</p><p>2m</p><p>± γ</p><p>2m</p><p>A solução particular é xP =</p><p>(</p><p>δ2 + γ</p><p>m</p><p>δ</p><p>)</p><p>−1</p><p>g, ou seja, procedendo por tentativa</p><p>e erro à operação de derivação (à semelhança do que se faz na divisão), faz-se</p><p>g</p><p>∣∣∣∣δ</p><p>2 +</p><p>γ</p><p>m</p><p>δ</p><p>0</p><p>gm</p><p>γ</p><p>t</p><p>1.2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE COEFICIENTES CONSTANTES13</p><p>v</p><p>P</p><p>F</p><p>î</p><p>x</p><p>Figura 1.3: O movimento de um corpo em queda livre, com atrito viscoso,</p><p>~Fa = −γ~v.</p><p>e obtém-se (verifique)</p><p>xP =</p><p>gm</p><p>γ</p><p>t</p><p>Portanto, a solução geral da eq. 1.10 é então</p><p>x(t) = Ae−</p><p>γ</p><p>m</p><p>t + B +</p><p>gm</p><p>γ</p><p>t</p><p>com A e B constantes, concluindo-se ainda que</p><p>ẋ(t) = −A</p><p>γ</p><p>m</p><p>e−</p><p>γ</p><p>m</p><p>t +</p><p>gm</p><p>γ</p><p>As constantes de integração, A e B, são determinadas pelas condições iniciais</p><p>do problema,</p><p>t = 0 :</p><p>{</p><p>A + B = 0 ; A = −B</p><p>−Aγ</p><p>m</p><p>+ gm</p><p>γ</p><p>= 0 ; A = m2g</p><p>γ2</p><p>A posição, velocidade e aceleração do corpo em causa são pois dados em</p><p>cada instante por (ver fig.1.4),</p><p>x(t) =</p><p>mg</p><p>γ</p><p>{</p><p>m</p><p>γ</p><p>(</p><p>e−</p><p>γ</p><p>m</p><p>t − 1</p><p>)</p><p>+ t</p><p>}</p><p>(1.11)</p><p>ẋ(t) =</p><p>mg</p><p>γ</p><p>(</p><p>1− e−</p><p>γ</p><p>m</p><p>t</p><p>)</p><p>(1.12)</p><p>ẍ(t) = ge−</p><p>γ</p><p>m</p><p>t (1.13)</p><p>14 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>t</p><p>x(t)</p><p>t</p><p>x(t)</p><p>a) b) c)</p><p>t</p><p>x(t)</p><p>.. .</p><p>Figura 1.4: Posição, velocidade e aceleração do corpo em queda livre com</p><p>atrito viscoso.</p><p>A aceleração tende para zero com o decorrer do tempo, pois a força de atrito</p><p>vai crescendo durante a queda proporcionalmente ao aumento da velocidade</p><p>até ser equivalente ao peso que o faz cair. Por isso a velocidade tende para</p><p>um valor constante − a velocidade terminal7.</p><p>1.3 O oscilador livre</p><p>Analisemos agora o caso em que uma mola de massa desprezável e constante</p><p>elástica K é pendurada num ponto fixo e suporta um corpo de massa m (ver</p><p>fig. 1.5). A mola representa aqui um sistema elástico linear, caracterizado por</p><p>ter uma força de interacção directamente proporcional à perturbação a que o</p><p>sistema for sujeito. Supõe-se por hipótese que a mola tem um comprimento</p><p>natural ℓ0. Qualquer variação desse comprimento traduz uma perturbação</p><p>da mola, sendo x = ℓ − ℓ0 a medida da perturbação. Tratando-se de um</p><p>sistema linear, a força elástica é por conseguinte ~F = −K~x, onde ~x é o</p><p>vector posicional da extremidade da mola em cada instante, com origem na</p><p>posição natural, não perturbada8.</p><p>Não havendo atrito, a eq. de Newton escreve-se</p><p>~P + ~F = m~a</p><p>ou mais explicitamente,</p><p>mgî−Kxî = m~̈x = mẍî , ou seja, ẍ +</p><p>K</p><p>m</p><p>x = g (1.14)</p><p>7Não fora isso e as gotas de chuva na</p><p>cabeça PIM! (ai!).</p><p>8Esta é no essencial a lei de Hook.</p><p>1.4. ENERGIA DO OSCILADOR LINEAR 15</p><p>F</p><p>P</p><p>î</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>x</p><p>O</p><p>l</p><p>x</p><p>o</p><p>Figura 1.5: O movimento de um corpo suspenso de uma mola vertical sem</p><p>massa.</p><p>Esta equação toma a forma (δ2 + ω2) x = g, com ω =</p><p>√</p><p>K/m, e tem por</p><p>solução x = xG+xP , com xG a solução da eq. homogénea e xP = (δ2+ω2)−1g,</p><p>a solução particular9. A solução da equação é então</p><p>x =</p><p>mg</p><p>K</p><p>+ x0 cos(ωt + ϕ) (1.15)</p><p>Conclúımos assim que a oscilação se dá em torno do ponto mg</p><p>K</p><p>, que é a posição</p><p>de equiĺıbrio estático do sistema corpo-mola (ver fig.1.6).</p><p>1.4 Energia do oscilador linear</p><p>Seja um oscilador livre e sem atrito (ver fig. 1.7). A força, ~F , exercida pela</p><p>mola no corpo de massa m faz variar a sua energia cinética, de</p><p>dT = ~F · d~ℓ</p><p>fazendo-a aumentar se a força for na direcção do movimento. Visto que</p><p>~F = d~p</p><p>dt</p><p>, e d~ℓ = ~vdt, então</p><p>dT = m</p><p>d~v</p><p>dt</p><p>· d~ℓ = m~v · d~v</p><p>9Neste caso a operação de integração/derivação dá (”armou-se a conta” como faz com</p><p>a divisão)</p><p>g</p><p>∣∣δ2 + ω2</p><p>0</p><p>g</p><p>ω2</p><p>16 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>mg</p><p>K</p><p>x(t)</p><p>t</p><p>Figura 1.6: Oscilação do corpo suspenso da mola vertical.</p><p>F</p><p>xx O xoo</p><p>E</p><p>E</p><p>k</p><p>p</p><p>E</p><p>E</p><p>mec</p><p>î</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>x xxo O o</p><p>a) b)</p><p>Figura 1.7: a) Oscilador simples sem atrito. b) A energia cinética e potencial</p><p>do oscilador em função amplitude de oscilação.</p><p>donde10</p><p>T =</p><p>∫ v</p><p>0</p><p>mv dv =</p><p>mv2</p><p>2</p><p>Pode-se também definir uma energia potencial elástica para o sistema11.</p><p>A energia potencial é uma ”energia em potência” que está armazenada no</p><p>sistema, que se libertará em resultado da interacção com ele (neste caso</p><p>através da força elástica). Isto é, a força elástica há-de ser sempre de molde</p><p>a fazer baixar a energia potencial do sistema, transferindo-a neste caso para</p><p>10N.B. ~v = vv̂, e d~v = dvv̂ + vdv̂, sendo dv</p><p>dt</p><p>v̂ a aceleração tangencial e v dv̂</p><p>dt</p><p>a aceleração</p><p>normal (pois dv̂ ⊥ v̂). Logo ~v · d~v = v dv + 0.</p><p>11Como é sabido, a energia potencial só tem significado se a força for conservativa</p><p>(rotacional nulo). É esse o caso de ~F = −K~x, pois</p><p>∮</p><p>C</p><p>~F · d~ℓ = 0, num movimento de</p><p>vai-vem.</p><p>1.4. ENERGIA DO OSCILADOR LINEAR 17</p><p>o movimento do corpo,</p><p>−dV = ~F · d~ℓ</p><p>Por conseguinte, d(T + V ) = 0 ou Emec = T + V = constante, se não houver</p><p>atrito. No caso presente, ~F = −K~x, pelo que a variação de energia potencial</p><p>é dV = K~x · d~x, quando d~x é a perturbação do sistema em relação à sua</p><p>posição de equiĺıbrio. Assim,</p><p>V (x)− V (0) =</p><p>∫ x</p><p>0</p><p>K~x · d~x =</p><p>Kx2</p><p>2</p><p>É frequente referir a energia potencial elástica relativamente à posição de</p><p>equiĺıbrio, fazendo V (0) = 0. Fica então simplesmente V (x) = Kx2</p><p>2</p><p>.</p><p>Vemos que a energia potencial é mı́nima na posição de equiĺıbrio,</p><p>crescendo parabolicamente com o afastamento em relação a essa posição. As</p><p>posições de equiĺıbrio do oscilador não perturbado podem pois ser definidas</p><p>como os pontos que correspondem a mı́nimos da energia potencial. Este con-</p><p>ceito é sobremaneira importante para a análise de sistemas complexos. De</p><p>facto, um sistema se for perturbado oscilará em geral em torno do mı́nimo</p><p>de energia em que se encontre e a que corresponde uma certa posição de</p><p>equiĺıbrio estável. Tal não faz desse sistema necessariamente um oscilador</p><p>linear, com energia potencial parabólica (ver fig. 1.8). Porém, para oscilações</p><p>pequenas em torno do mı́nimo a energia potencial é quasi parabólica, sendo</p><p>as oscilações aproximadamente harmónicas. Este argumento é válido para</p><p>qualquer sistema, mecânico ou não. No regime de pequenas oscilações o sis-</p><p>tema (qualquer que ele seja) constitui um oscilador harmónico. Porém, se a</p><p>amplitude de oscilação for aumentada, o oscilador é em geral anarmónico e</p><p>as oscilações podem ser assimétricas.</p><p>Na fig. 1.8 representa-se a energia potencial de um sistema em função da</p><p>distância interatómica, r. Esta função é caracteŕıstica p.ex. de uma molécula</p><p>diatómica. Neste caso, mesmo não se tratando de um oscilador harmónico,</p><p>a energia potencial é aproximadamente parabólica em torno do mı́nimo, e</p><p>portanto o sistema tem um comportamento de oscilador harmónico para</p><p>pequenas oscilações. De facto, expandindo V (x) em série de Taylor à volta</p><p>do mı́nimo, com x = r − r0, temos</p><p>V (x, . . .) = V (0) +</p><p>∂V</p><p>∂x</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>0</p><p>x +</p><p>∂2V</p><p>∂x2</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>0</p><p>x2</p><p>2</p><p>+ · · · (1.16)</p><p>18 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>ro</p><p>E</p><p>ro</p><p>p</p><p>rO</p><p>Figura 1.8: Energia potencial t́ıpica de um sistema ligado. Se for perturbado,</p><p>o sistema oscila em torno do mı́nimo de energia, em r = r0.</p><p>U</p><p>(eV)</p><p>0</p><p>−2</p><p>−4</p><p>−6</p><p>6</p><p>2</p><p>4</p><p>r.5 1 1.5</p><p>ro</p><p>(nm)</p><p>Figura 1.9: Energia potencial da molécula de NaCl (a energia do infinito é</p><p>necessária para ionizar o Na e o Cl).</p><p>Ou seja,</p><p>V (x) ≈ V (0) +</p><p>Kx2</p><p>2</p><p>; com K =</p><p>∂2V</p><p>∂x2</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>x=0</p><p>(1.17)</p><p>já que em x = 0 há um mı́nimo e portanto ∂V</p><p>∂x</p><p>= 0. Esta conclusão é muito</p><p>importante: − a análise da curva de energia do sistema permite-nos extrair</p><p>informação acerca das suas caracteŕısticas elásticas, e portanto da frequência</p><p>de oscilação (podendo falar-se de uma constante elástica equivalente ainda</p><p>que esta não tenha nada a ver com molas).</p><p>Exemplo:</p><p>Seja a molécula diatómica de NaCl (que forma uma ligação iónica do</p><p>tipo Na+ Cl−). O mı́nimo de energia desta molécula ocorre para a distância</p><p>1.4. ENERGIA DO OSCILADOR LINEAR 19</p><p>interatómica r0 = 0.193 nm (ver 1.9)12. Em primeira aproximação a energia</p><p>potencial para r</p><p>∼</p><p>> r0 segue de perto a energia electrostática entre as 2 cargas</p><p>efectivas Na+ e Cl−,</p><p>V =</p><p>1</p><p>4πǫ0</p><p>e2</p><p>r</p><p>sendo V (r0) = 1</p><p>4πǫ0</p><p>e2</p><p>r0</p><p>≈ −7.45 eV. Então</p><p>(</p><p>d2V</p><p>dx2</p><p>)</p><p>r0</p><p>=</p><p>1</p><p>2πǫ0</p><p>e2</p><p>r3</p><p>0</p><p>= K</p><p>i.e. K ≈ 564.78 N/m. Assim, no limite das pequenas oscilações, a molécula</p><p>tem oscilações harmónicas de frequência</p><p>ω =</p><p>√</p><p>K</p><p>µ</p><p>(1.18)</p><p>onde µ é a massa efectiva13. Substituindo valores obtém-se f = ω/2π ∼</p><p>1013 Hz. Esta frequência é caracteŕıstica da radiação do infravermelho. Pelo</p><p>facto destas frequências serem próximas ocorre, por um processo de res-</p><p>sonância, elevada transferência de energia da radiação da banda do infraver-</p><p>melho para as moléculas, aumentando a sua energia vibracional, e por essa</p><p>via a temperatura. Esta é a razão por que nos aquecemos usando o fogo e</p><p>não p.ex. uma lâmpada fluorescente (cuja luz até é mais energética).</p><p>12A curva de energia potencial resulta essencialmente da atracção coulombiana entre os</p><p>iões (dominante a distâncias r > r0) e da repulsão entre os dois núcleos atómicos, que</p><p>domina quando eles ficam próximos, para r < r0 (e se veem um ao outro despidos da</p><p>respectiva nuvem de e−). Se for perturbado, este sistema oscilará em torno de r0.</p><p>13A interacção entre dois corpos, 1 e 2, pode ser descrita em função do movimento</p><p>relativo entre eles. As forças de interacção que actuam em cada um deles são simétricas</p><p>uma da outra, ~F = ~F2 = −~F1. A posição relativa é ~r = ~r2 − ~r1, e portanto ~̈r = ~̈r2 − ~̈r1.</p><p>Os movimentos dos dois corpos são então equivalentes ao de uma massa reduzida, µ, que</p><p>tenha essa aceleração ~̈r, isto é,</p><p>~F</p><p>µ</p><p>=</p><p>~F2</p><p>m2</p><p>−</p><p>~F1</p><p>m1</p><p>; donde,</p><p>1</p><p>µ</p><p>=</p><p>1</p><p>m2</p><p>+</p><p>1</p><p>m1</p><p>e portanto essa massa reduzida é</p><p>µ =</p><p>m1m2</p><p>m1 + m2</p><p>20 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>î</p><p>FF</p><p>O</p><p>x</p><p>a</p><p>l</p><p>o</p><p>x</p><p>Figura 1.10: O oscilador amortecido.</p><p>A frequência acima calculada, ainda que obtida no estrito domı́nio da</p><p>f́ısica clássica (i.e. apesar de não se usar a mecânica quântica), dá, apesar</p><p>disso, a ordem de grandeza correcta das frequências vibracionais moleculares.</p><p>1.5 O oscilador linear amortecido</p><p>Trata-se aqui de considerar um oscilador linear, com atrito. Analisaremos</p><p>somente o caso em que a força de atrito é proporcional à velocidade, Fa ∝ v.</p><p>Um oscilador é linear se uma perturbação, x, em relação à posição</p><p>de</p><p>equiĺıbrio der como resposta uma força de retorno a essa posição directamente</p><p>proporcional à perturbação, i.e. se ~F = −K~x. Esta força é a força elástica,</p><p>sendo K a constante elástica do sistema. Esta é no essencial a lei de Hooke.</p><p>O caso mais simples de entender é o de uma mola de massa desprezável.</p><p>Porém, como vamos ver, as mais das vezes o sistema oscilante não é con-</p><p>stitúıdo por qualquer mola. Ainda assim, é costume, mesmo nesses casos,</p><p>representar pictoricamente um sistema elástico como uma mola. Neste caso</p><p>vamos considerar que a posição de equiĺıbrio é no ponto Q, tendo a mola</p><p>o seu comprimento natural, ℓ0. A perturbação x mede o afastamento em</p><p>relação a essa posição.</p><p>Seja um oscilador linear constitúıdo por uma mola de constante elástica</p><p>K e massa desprezável, a que está ligado um corpo de massa m. O movi-</p><p>mento faz-se no plano horizontal com atrito viscoso, sendo ~Fa = −γ~v, γ uma</p><p>constante e ~v a velocidade em cada instante. A posição de equiĺıbrio (posição</p><p>natural) é dada por ℓ0. A perturbação x mede o afastamento em relação a</p><p>essa posição (ver fig.1.10). Pretende-se estudar o movimento do corpo. As</p><p>1.6. O OSCILADOR FORÇADO 21</p><p>forças relevantes estão representadas na figura. A lei de Newton escreve-se</p><p>m~̈x = ~Fa + ~F = −γ~̇x−K~x</p><p>com ~x = x î, ~̇x = ẋ î e ~̈x = ẍ î. Isto é,</p><p>ẍ +</p><p>γ</p><p>m</p><p>ẋ +</p><p>K</p><p>m</p><p>x = 0 (1.19)</p><p>Fazendo ζ = γ/m e ω2</p><p>0 = K/m, a eq. diferencial fica</p><p>(δ2 + ζδ + ω2</p><p>0)x = 0</p><p>Dado que as ráızes do polinómio caracteŕıstico são δ = − ζ</p><p>2</p><p>± 1</p><p>2</p><p>√</p><p>ζ2 − 4ω2</p><p>0,</p><p>então as soluções da eq. diferencial são (com η2 = (ζ2 − 4ω2</p><p>0))</p><p>i) x(t) = e−</p><p>ζ</p><p>2</p><p>t</p><p>(</p><p>Ae</p><p>η</p><p>2</p><p>t + Be−</p><p>η</p><p>2</p><p>t</p><p>)</p><p>; se η2 > 0 (1.20)</p><p>ii) x = (A + Bt)e−</p><p>ζ</p><p>2</p><p>t ; se η2 = 0 (1.21)</p><p>iii) x = e−</p><p>ζ</p><p>2</p><p>t</p><p>(</p><p>A1e</p><p>iωt + A2e</p><p>−iωt</p><p>)</p><p>= Ae−</p><p>ζ</p><p>2</p><p>t cos(ωt + ϕ) ; se η2 < 0(1.22)</p><p>onde ω =</p><p>√</p><p>ω2</p><p>0 − ζ2/4. As soluções da equação estão representadas na</p><p>fig.1.11a−c. Todas as soluções decrescem exponencialmente para zero de-</p><p>vido ao atrito. No caso ii) o amortecimento é muito rápido e designa-se por</p><p>amortecimento cŕıtico. Há casos práticos em que se pretende esse comporta-</p><p>mento, p.ex. nos amortecedores de automóveis. Porém, a solução mais inter-</p><p>essante que nos interessa aqui considerar é a solução iii), porque é essa que</p><p>corresponde a oscilações (amortecidas) do objecto preso à mola. A frequência</p><p>de oscilação é ω =</p><p>√</p><p>ω2</p><p>0 − ζ2/4. Esta frequência é ligeiramente menor do que</p><p>a frequência do oscilador livre correspondente, pois com ζ = 0, ω = ω0 =</p><p>√</p><p>K</p><p>m</p><p>.</p><p>Na fig.1.12 representa-se o caso de um sistema harmónico amortecido.</p><p>1.6 O oscilador forçado</p><p>Consideremos um oscilador harmónico forçado por uma acção exterior</p><p>periódica de frequência ω. Para concretizar, supomos que o oscilador é con-</p><p>stitúıdo por uma mola de massa desprezável, a que se encontra preso um</p><p>corpo de massa m, que se move com atrito Fa ∝ −v. O corpo é solicitado em</p><p>22 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>t</p><p>x(t)</p><p>t</p><p>x(t)</p><p>t</p><p>x(t)</p><p>a) b) c)</p><p>Figura 1.11: Soluções de um oscilador amortecido. a) amortecimento rápido;</p><p>b) amortecimento cŕıtico; c) solução oscilatória.</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>����������</p><p>������</p><p>mg</p><p>K</p><p>a) b)</p><p>x(t)</p><p>t</p><p>Figura 1.12: Exemplo de um oscilador amortecido sujeito a uma força de</p><p>atrito visoso. b) A oscilação em função do tempo.</p><p>î</p><p>FF</p><p>F</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>O</p><p>a</p><p>l</p><p>o</p><p>x</p><p>e</p><p>Figura 1.13: O oscilador forçado.</p><p>1.6. O OSCILADOR FORÇADO 23</p><p>cada instante por uma força periódica do tipo F (t) = F0 cos ωt, sendo ω a</p><p>frequência da acção exterior, que pode ser qualquer (ver fig.1.13). As forças</p><p>que actuam no corpo são a força elástica, ~Fe = −K~x, a força de atrito,</p><p>~Fa = −γ~̇x e ~F = F0 cos ωt î, com K, γ e ω constantes. A lei de Newton</p><p>escreve-se</p><p>ẍ +</p><p>γ</p><p>m</p><p>ẋ +</p><p>K</p><p>m</p><p>x =</p><p>F0</p><p>m</p><p>cos ωt</p><p>Fazendo ζ = γ</p><p>m</p><p>e ω2</p><p>0 = K</p><p>m</p><p>(ω0 é a frequência natural do sistema sem atrito),</p><p>tem-se (</p><p>δ2 + ζδ + ω2</p><p>0</p><p>)</p><p>x =</p><p>F0</p><p>m</p><p>cos ωt</p><p>Ora,</p><p>δ = −ζ</p><p>2</p><p>± 1</p><p>2</p><p>η , com η =</p><p>√</p><p>ζ2 − 4ω2</p><p>0</p><p>com η real ou imaginário. A solução desta equação é pois x = xG + xP , com</p><p>xG(t) = e−</p><p>ζ</p><p>2</p><p>t</p><p>(</p><p>Ae</p><p>η</p><p>2</p><p>t + Be</p><p>−η</p><p>2</p><p>t</p><p>)</p><p>xP (t) = ℜe</p><p>{(</p><p>δ2 + ζδ + ω2</p><p>0</p><p>)</p><p>−1 F0</p><p>m</p><p>eiωt</p><p>}</p><p>isto é14</p><p>xP = ℜe</p><p>{</p><p>F0</p><p>m</p><p>eiωt</p><p>−ω2 + iζω + ω2</p><p>0</p><p>}</p><p>=</p><p>F0</p><p>m</p><p>ℜe</p><p>{</p><p>eiωt [(ω2</p><p>0 − ω2)− iζω]</p><p>(ω2</p><p>0 − ω2)</p><p>2</p><p>+ ζ2ω2</p><p>}</p><p>=</p><p>F0/m</p><p>(ω2</p><p>0 − ω2)</p><p>2</p><p>+ ζ2ω2</p><p>ℜe</p><p>{</p><p>|Z|ei(ωt−ϕ)</p><p>}</p><p>14Note que a operação inversa da derivação é a primitivação e que</p><p>∫</p><p>eαxdx = 1</p><p>α</p><p>eαx.</p><p>Aplicando por tentativa e erro a derivação-primitivação:</p><p>eiωt</p><p>∣∣δ2 + ζδ + ω2</p><p>0</p><p>0</p><p>eiωt</p><p>−ω2 + iωζ + ω2</p><p>0</p><p>24 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>t</p><p>x(t)</p><p>t</p><p>x(t)</p><p>t</p><p>x(t)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>a)</p><p>Figura 1.14: A oscilação de um oscilador forçado em função do tempo.</p><p>onde se fez Z = (ω2</p><p>0 − ω2)− iζω = |Z|e−iϕ. Ou seja, (ver fig. 1.15),</p><p>xP (t) = A cos(ωt− ϕ) (1.23)</p><p>com</p><p>A = A(ω) =</p><p>F0/m√</p><p>(ω2</p><p>0 − ω2)</p><p>2</p><p>+ ζ2ω2</p><p>(1.24)</p><p>e</p><p>tan ϕ =</p><p>ζω</p><p>ω2</p><p>0 − ω2</p><p>(1.25)</p><p>onde ζ = γ/m é o coeficiente de atrito.</p><p>Resulta assim, finalmente, que</p><p>x(t) = e−</p><p>ζ</p><p>2</p><p>t</p><p>(</p><p>Aeηt + Be−ηt</p><p>)</p><p>+ A cos(ωt− ϕ) (1.26)</p><p>A solução do oscilador forçado é assim constitúıda por duas partes. A 1a</p><p>parcela representa o comportamento transitório, que tende exponencialmente</p><p>para zero e rapidamente se extingue. A 2a parcela representa o regime esta-</p><p>cionário. Decorrido tempo suficiente, o sistema oscila com a frequência do</p><p>oscilador exterior de modo permanente, enquanto essa acção persistir15 (ver</p><p>fig. 1.14). A amplitude de oscilação (1.24) é fortemente dependente da</p><p>frequência com que o sistema é excitado do exterior. Quando ω ∼ ω0, a</p><p>amplitude atinge o valor máximo. Nesse caso, a diferença de fase entre a</p><p>acção externa e a oscilação é π/2 (ver fig. 1.16)16.</p><p>15Isto é, o sistema protesta inicialmente mas depois cala-se e faz o que lhe mandam.</p><p>16O leitor deve pensar um pouco na questão até perceber porque é que quando o oscilador</p><p>1.6. O OSCILADOR FORÇADO 25</p><p>o</p><p>A( )</p><p>A</p><p>ω</p><p>18</p><p>14</p><p>10</p><p>8</p><p>6</p><p>4</p><p>2</p><p>Q=30</p><p>Q=10</p><p>Q=3</p><p>ω</p><p>oω</p><p>0 0.2 0.4 0.6 1.0 1.4 1.8</p><p>Figura 1.15: A amplitude de oscilação de um oscilador forçado em função da</p><p>frequência da acção externa, para diferentes valores do parâmetro de atrito,</p><p>Q = ω0</p><p>γ</p><p>. Se o atrito for muito baixo e ω ∼ ω0, o sistema pode entrar em</p><p>rotura e ser destruido.</p><p>ω</p><p>oω</p><p>0 0.2 0.4 0.6 1.0 1.4 1.8</p><p>Q=3</p><p>Q=10</p><p>Q=30ϕ(ω)</p><p>π</p><p>2</p><p>Figura 1.16: A diferença de fase entre a acção externa e a oscilação para</p><p>vários valores do parâmetro de atrito Q = ω0</p><p>γ</p><p>, em função da frequência dessa</p><p>acção externa.</p><p>26 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>0.6 0.8</p><p>0</p><p>90</p><p>180</p><p>0.4 1.21.0</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>(Hz)</p><p>A(w)</p><p>(cm)</p><p>ω</p><p>ϕ</p><p>Figura 1.17: Curvas de ressonância observadas em sistema f́ısicos. Ampli-</p><p>tude de oscilação e diferença de fase medidas para um oscilador mecânico</p><p>semelhante ao da fig. 1.12</p><p>Quando ω ≈ ω0 dizemos que há ressonância. A importância do atrito está</p><p>exemplificada na fig.1.15, em função de Q = ω0/γ. Este factor Q designa-se</p><p>por figura de mérito ou ”Quality factor”. Sendo adimensional caracteriza</p><p>convenientemente o sistema. O coeficiente Q é infinito se não houver atrito</p><p>e tende para zero se ele for muito elevado. Não havendo atrito, ζ = 0, e</p><p>A(ω = ω0) = ∞. Nesse caso, ou se ζ for muito pequeno, dá-se a disrupção</p><p>do oscilador.</p><p>Como se pode observar, o valor máximo de A(ω) não ocorre exacta-</p><p>mente em ω0, mas essa diferença é muito pequena e em geral ignora-se17.</p><p>Na fig. 1.17 representam-se medidas experimentais efectuadas com um os-</p><p>cilador forçado18.</p><p>O fenómeno de ressonância é seguramente dos conceitos mais importantes</p><p>da F́ısica, estando presente nos mais diversos domı́nios quer da F́ısica Clássica</p><p>quer da Mecânica Quântica. Com efeito, a capacidade de interacção com um</p><p>sistema e a resposta que resulta dessa interacção dependem fortemente da</p><p>frequência com que excitarmos esse sistema.</p><p>tem máxima oscilação a</p><p>diferença de fase é π/2. Note que quer a oscilação quer a força</p><p>são sinusoidais, ambas com a mesma frequência. Em condições óptimas, no instante em</p><p>que o oscilador está na posição de máxima amplitude e inicia o movimento de retorno, a</p><p>força externa deve ser nula, crescendo a partir dáı até atingir o seu valor máximo quando</p><p>x = 0.</p><p>17O máximo está de facto em ω′</p><p>0 = κω0, onde κ = (1− ζ2/4ω2</p><p>0) é em geral κ ≈ 1.</p><p>18Vide French; Vibration and Waves.</p><p>1.6. O OSCILADOR FORÇADO 27</p><p>1.6.1 Ressonância</p><p>Analisemos agora como é que varia a potência que é transferida para um</p><p>oscilador forçado. Da definição de potência19,</p><p>P =</p><p>dw</p><p>dt</p><p>=</p><p>~F · d~ℓ</p><p>dt</p><p>= ~F · ~̇x = F0ẋ cos ωt</p><p>No regime estacionário,</p><p>x = A cos(ωt− ϕ)</p><p>ẋ = −Aω sin(ωt− ϕ)</p><p>Então, a potência média (média temporal) no regime estacionário é</p><p>< P > = −F0Aω 〈cos(ωt) sin(ωt− ϕ)〉</p><p>= −F0Aω 〈cos(ωt) (sin(ωt) cos ϕ− cos(ωt) sin ϕ)〉</p><p>= F0Aω</p><p>〈</p><p>cos2(ωt) sin ϕ</p><p>〉</p><p>+ 0</p><p>pois cos ωt sin ωt é uma função ı́mpar.20 Visto que ϕ não depende do tempo</p><p>e que < cos2 ωt >= 1</p><p>2</p><p>, fica</p><p>< P > =</p><p>F0Aω</p><p>2</p><p>sin ϕ</p><p>=</p><p>F 2</p><p>0 ω</p><p>2m</p><p>1√</p><p>(ω2</p><p>0 − ω2)</p><p>2</p><p>+ ζ2ω2</p><p>ζω√</p><p>(ω2</p><p>0 − ω2)</p><p>2</p><p>+ ζ2ω2</p><p>Como se vê da expressão anterior, < P > é dominado por frequências na</p><p>vizinhança de ω0, ω ∼ ω0, sendo muito pequeno fora dessa região. Mas, na</p><p>zona em que < P > é significativo, ω2</p><p>0−ω2 = (ω0+ω)(ω0−ω) ≈ 2ω0(ω0−ω),</p><p>e portanto</p><p>< P >≈ F 2</p><p>0 ζ</p><p>8m</p><p>1</p><p>(ω0 − ω)2 + ζ2</p><p>4</p><p>(1.27)</p><p>19Como vimos, a oscilação dá-se na direcção da força e com a mesma frequência desta,</p><p>~F = F î e ~x = xî.</p><p>20O valor médio de uma função f(t) sobre o peŕıodo T = 2π/ω é < f >= 1</p><p>T</p><p>∫ T</p><p>0</p><p>dt f(t).</p><p>28 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>f</p><p>max</p><p>f</p><p>max</p><p>x</p><p>f(x)</p><p>µ</p><p>Γ 1</p><p>2</p><p>Figura 1.18: Curva Lorentziana ou curva de Cauchy, com média µ e largura</p><p>Γ.</p><p>Esta curva de potência é máxima para ω = ω0. A essa frequência é máxima</p><p>a transferência de energia por unidade de tempo para o oscilador, vinda</p><p>do exterior. Em regime estacionário, a amplitude de oscilação mantém-se</p><p>constante se ω for constante (cf. eq.1.24), o que significa que a energia</p><p>dissipada é compensada pela energia injectada no sistema por unidade de</p><p>tempo.</p><p>A curva de potência da eq. 1.27 é caracteŕıstica de qualquer res-</p><p>sonância: − é uma Lorentziana. De facto, independentemente da natureza</p><p>do fenómeno subjacente, a ressonância tem geralmente a forma de uma</p><p>curva Lorentziana21. A forma Lorentziana da curva de transferência de en-</p><p>ergia observa-se em qualquer ressonância, quer em sistemas mecânicos, quer</p><p>em fenómenos electromagnéticos, quânticos, etc., apesar de ser diferente a</p><p>fenomenologia. Em quaisquer dos casos, as ressonâncias evidenciam-se pela</p><p>sua forma t́ıpica. A secção eficaz de interacção com um sistema apresenta</p><p>picos de ressonância caracteŕısticos da interacção em causa. Por exemplo,</p><p>os espectros moleculares, os espectros de absorção, a produção de part́ıculas</p><p>sub-atómicas, etc., todos evidenciam o mesmo padrão de ressonância (ver</p><p>figs. 1.19 e 1.20) e têm uma largura intŕınseca que é descrita por uma curva</p><p>Lorentziana.</p><p>21Uma Lorentziana ou curva de Cauchy é uma curva semelhante a uma Gaussiana. A</p><p>sua forma geral é</p><p>f(x) =</p><p>1</p><p>π</p><p>Γ/2</p><p>(x− µ)2 + Γ2</p><p>4</p><p>onde µ é a média e Γ a largura a meia altura. O factor 1/π apenas normaliza a área da</p><p>curva à unidade.</p><p>1.6. O OSCILADOR FORÇADO 29</p><p>N</p><p>H NH3</p><p>CO</p><p>2</p><p>−</p><p>+</p><p>3000 2000 1000 k</p><p>(1/cm)</p><p>N−H</p><p>C−HCO</p><p>2</p><p>Figura 1.19: Curvas de ressonância observadas em sistema f́ısicos. Espectro</p><p>de absorção de uma substância no infravermelho; os picos de absorção corre-</p><p>spondem a curvas de ressonância e são caracteŕısticos de oscilações molecu-</p><p>lares bem definidas.</p><p>0</p><p>E (GeV)</p><p>Ω</p><p>σ</p><p>d</p><p>d</p><p>cm</p><p>88 90 92 94</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>e e + − Z ν ν</p><p>o</p><p>Figura 1.20: Curvas de ressonância observadas em sistema f́ısicos. Secção</p><p>eficaz da reacção de aniquilação e+e− → Z0 → νν̄ (colisão electrão-positrão,</p><p>com criação de um estado intermédio, e posterior decaimento num neutrino</p><p>e num antineutrino), em função da energia do centro de massa. A interacção</p><p>dá-se à escala sub-atómica, a ∼ 10−15 m.</p><p>30 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>1.7 Osciladores acoplados</p><p>Em geral os osciladores não existem isolados, interagem com outros os-</p><p>ciladores, nomeadamente se eles fizerem parte de um sistema que contenha</p><p>vários deles. O acoplamento de osciladores é por isso um conceito muito</p><p>importante.</p><p>Cada oscilador tem a sua equação de movimento, que não há-de ser inde-</p><p>pendente das equações dos restantes osciladores seus vizinhos, com os quais</p><p>interactua. Essas equações serão por hipótese todas lineares. Assim, em</p><p>prinćıpio deve ser posśıvel combinar as equações de movimento e construir</p><p>novas coordenadas que sejam combinação linear das coordenadas originais, e</p><p>satisfaçam equações diferenciais desacopladas. Tais coordenadas designam-</p><p>se por coordenadas normais. Associado a cada uma dessas coordenadas deve</p><p>existir um modo de vibração que há-de ser independente dos restantes, pois</p><p>que nessas coordenadas as equações são independentes umas das outras (estão</p><p>desacopladas). Ou seja, deve haver um modo de vibração por cada uma das</p><p>coordenadas normais. Esses modos, designam-se por modos normais de vi-</p><p>bração ou também modos próprios de vibração. Não sabemos ainda como</p><p>serão esses modos, pois ainda não analisámos a questão, mas podemos ante-</p><p>cipar que em qualquer deles todas as partes do sistema oscilam com a mesma</p><p>frequência e em fase, visto que as coordenadas normais já não descrevem o</p><p>movimento de qualquer das suas partes, mas o sistema propriamente dito,</p><p>globalmente. Na fig. 1.21 ilustram-se os modos normais de três sistemas</p><p>diferentes com osciladores acoplados. O problema que aqui se coloca é então</p><p>como obter esses modos a partir das equações de movimento.</p><p>Um sistema constitúıdo por N osciladores acoplados, haverá um por cada</p><p>grau de liberdade do sistema, é descrito por N equações diferenciais e terá</p><p>portanto N modos normais. A oscilação desse sistema pode pois ser de-</p><p>scrita na forma de uma sobreposição dos seus modos próprios, já que as</p><p>coordenadas originais de cada oscilador se podem escrever como uma com-</p><p>binação linear das coordenadas normais22, descrevendo estas últimas movi-</p><p>mentos de frequência bem definida. Esta conclusão foi tirada primeiramente</p><p>por Bernoulli em 1753.</p><p>Se o sistema for iniciado num dos modos normais assim continuará, não</p><p>interagindo com os outros modos (pois eles são independentes). Todavia, se</p><p>22Visto que as coordenadas normais já são uma combinação linear das coordenadas</p><p>originais, estão serão uma espécie de combinação linear inversa daquela.</p><p>1.7. OSCILADORES ACOPLADOS 31</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>����</p><p>����</p><p>����</p><p>����</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>���</p><p>����</p><p>����</p><p>����</p><p>����</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>Figura 1.21: Modos normais de oscilação de dois osciladores acoplados. a)</p><p>e b) modos longitudinais; c) e d) modos transversais; modos de oscilação de</p><p>dois pêndulos acoplados.</p><p>32 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>xa</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>F FF F</p><p>xb</p><p>c a cbK K Kc</p><p>Figura 1.22: Acoplamento de dois osciladores.</p><p>assim não for, se o movimento de oscilação se iniciar numa outra configuração</p><p>qualquer, então a energia dispońıvel será distribúıda entre os diferentes modos</p><p>normais do sistema.</p><p>Por ser de mais fácil apreensão, analisemos primeiramente um caso do</p><p>domı́nio do concreto. Consideremos 2 massas iguais ligadas entre si como se</p><p>mostra na fig.1.22. Ignoramos o atrito e o peso das massas.</p><p>A figura pode interpretar-se como representando dois osciladores iguais,</p><p>acoplados através de uma mola de constante elástica, Kc. Trata-se aqui de</p><p>analisar o comportamento de osciladores que estão</p><p>acerca</p><p>energia do sistema. Admitimos a priori que a energia de um sistema deixado</p><p>a si próprio é constante, se não houver atrito, e que, se este existir, a ener-</p><p>gia tende para zero, ao ser dissipada (por atrito) ao longo do tempo. Estas</p><p>condições são válidas quaisquer que sejam os movimentos das partes do sis-</p><p>tema. Portanto, a sua aplicação deve conduzir-nos às respectivas equações</p><p>de movimento.</p><p>24N.B. cos(α + β) + cos(α− β) = 2 cos α cos β.</p><p>38 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>Seja por hipótese um oscilador a 1 dimensão, amortecido por uma força</p><p>de atrito ~Fa = −γ~̇x (ver fig.1.13). A energia do oscilador em cada instante</p><p>escreve-se como</p><p>E =</p><p>Kx2</p><p>2</p><p>+</p><p>mẋ2</p><p>2</p><p>(1.44)</p><p>ainda que não saibamos a priori qual é a perturbação x(t) e a velocidade</p><p>ẋ(t). A variação de energia é dada pelo trabalho da força de atrito,</p><p>dE = ~Fa · d~ℓ (1.45)</p><p>Logo, diferenciando a eq. 1.44 em ordem a x vem25,</p><p>Kxdx + mẋẍdt = −γẋdx ou seja, Kxẋ + mẋẍ = −γẋẋ (1.46)</p><p>Obtém-se assim como resultado da equação de energia a equação diferencial</p><p>de movimento,</p><p>mẍ + γẋ + Kx = 0 (1.47)</p><p>que coincide com a lei de Newton do movimento.</p><p>Refira-se contudo que em geral é mais conveniente estudar a evolução do</p><p>Lagrangiano do sistema, L = T − V , aplicando para o efeito a equação de</p><p>Euler-Lagrange,</p><p>d</p><p>dt</p><p>(</p><p>∂L</p><p>∂q̇</p><p>)</p><p>− ∂L</p><p>∂q</p><p>= Q</p><p>a cada uma das variáveis dinâmicas do sistema, {q, q̇}, (que são em número</p><p>igual ao número de graus de liberdade do sistema). Neste caso Q representa</p><p>as forças de atrito.</p><p>A condição de conservação de energia permite também obter as equações</p><p>de movimento do sistema da fig.1.22. Neste caso não há atrito e a energia</p><p>deve manter-se constante. A energia do sistema é dada em cada instante por</p><p>E(xa, xb, t) =</p><p>Kx2</p><p>a</p><p>2</p><p>+</p><p>Kx2</p><p>b</p><p>2</p><p>+</p><p>Kc</p><p>2</p><p>(xa − xb)</p><p>2 +</p><p>mẋ2</p><p>a</p><p>2</p><p>+</p><p>mẋ2</p><p>b</p><p>2</p><p>(1.48)</p><p>Não há dissipação de energia, pelo que dE = 0, i.e.,</p><p>dE = 0 ⇒</p><p></p><p></p><p></p><p>∂E</p><p>∂xa</p><p>= 0</p><p>∂E</p><p>∂xb</p><p>= 0</p><p>;</p><p></p><p></p><p></p><p>Kxa + Kc(xa − xb) + mẋaẍa</p><p>1</p><p>ẋa</p><p>= 0</p><p>Kxb −Kc(xa − xb) + mẋbẍb</p><p>1</p><p>ẋb</p><p>= 0</p><p>(1.49)</p><p>25Note que se f = f(x, t), df = ∂xf dx + ∂tf dt. No caso concreto acima, d(ẋ2) =</p><p>∂ẋ2</p><p>∂x</p><p>dx + ∂ẋ2</p><p>∂t</p><p>, dt = 2ẋẍ dt, pois a velocidade não depende explicitamente da posição.</p><p>1.7. OSCILADORES ACOPLADOS 39</p><p>Mm mK K</p><p>ξ 1 ξ ξ 32</p><p>Figura 1.24: A molécula de CO2.</p><p>onde se usou a regra de derivação composta ∂f</p><p>∂x</p><p>= ∂f</p><p>∂t</p><p>∂t</p><p>∂x</p><p>. Obtém-se então</p><p></p><p></p><p></p><p>Kxa + Kc(xa − xb) + mẍa = 0</p><p>Kxb −Kc(xa − xb) + mẍb = 0</p><p>(1.50)</p><p>Ora, estas são exactamente as equações diferenciais de movimento que se</p><p>obtiveram anteriormente a partir das leis de Newton (ver eqs. 1.29). Deixa-</p><p>se a si obter estas equações pelo formalismo de Lagrange.</p><p>1.7.2 Análise das oscilações da molécula de CO2</p><p>Para ilustrar os conceitos e as técnicas acima discutidas vamos analisar as</p><p>oscilações de uma molécula triatómica, linear, simétrica, como é a molécula</p><p>de CO2. O facto de ser um sistema linear simplifica muito o problema, pois</p><p>são mais fáceis de obter as equações de movimento. Na configuração de</p><p>equiĺıbrio, a molécula tem 2 átomos simetricamente dispostos em relação ao</p><p>átomo central (ver fig.1.24). As distâncias de equiĺıbrio são r0. As massas</p><p>são m1 = m3 = m = mO e m2 = M = mC . As variáveis de posição</p><p>óbvias são as coordenadas de cada massa, x1, x2 e x3, respectivamente. Para</p><p>simplificar consideramos apenas as vibrações longitudinais ao longo do eixo</p><p>da molécula26. Como vimos antes, para pequenas amplitudes as oscilações</p><p>são aproximadamente harmónicas; associamos-lhes uma constante elástica,</p><p>K, ainda que o potencial interatómico seja complicado.</p><p>Os desvios em relação às posições de equiĺıbrio são ξ1, ξ2 e ξ3, respectiva-</p><p>mente (ver fig.1.24). A energia da molécula em cada instante é</p><p>E(ξ1, ξ2, ξ3) = T +V =</p><p>m</p><p>2</p><p>(ξ̇2</p><p>1 + ξ̇2</p><p>3)+</p><p>M</p><p>2</p><p>ξ̇2</p><p>2 +</p><p>K</p><p>2</p><p>(ξ2−ξ1)</p><p>2+</p><p>K</p><p>2</p><p>(ξ2−ξ3)</p><p>2 (1.51)</p><p>26Há também os modos de vibração transversais que são mais dif́ıceis de calcular, mas</p><p>que se obtêm pela mesma técnica. Na análise espectral de substâncias que contenham o</p><p>grupo molecular CO2 observam-se ambos os modos de oscilação.</p><p>40 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>A conservação de energia impõe que27</p><p>dE = 0 ;</p><p></p><p></p><p></p><p>∂ξ1E = 0</p><p>∂ξ2E = 0</p><p>∂ξ3E = 0</p><p>(1.52)</p><p>donde28</p><p></p><p></p><p></p><p>mξ̈1 −K(ξ2 − ξ1) = 0</p><p>Mξ̈2 + K(ξ2 − ξ1) + K(ξ2 − ξ3) = 0</p><p>mξ̈3 −K(ξ2 − ξ3) = 0</p><p>(1.53)</p><p>Pondo o sistema a oscilar num modo próprio,</p><p></p><p></p><p></p><p>ξ1 = aei(ωt+ϕ)</p><p>ξ2 = bei(ωt+ϕ)</p><p>ξ3 = cei(ωt+ϕ)</p><p>(1.54)</p><p>obtém-se a equação matricial, Aξ = 0,</p><p></p><p></p><p>K − ω2m −K 0</p><p>−K 2K − ω2M −K</p><p>0 −K K − ω2m</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ξ1</p><p>ξ2</p><p>ξ3</p><p></p><p> = 0 (1.55)</p><p>cuja equação secular é |A| = 0. O cálculo do determinante dá a equação</p><p>cúbica em ω2,</p><p>ω2(K − ω2m)</p><p>[</p><p>K(M + 2m)− ω2Mm</p><p>]</p><p>= 0</p><p>cujas ráızes são</p><p>ω1 = 0 ; ω2 =</p><p>√</p><p>K</p><p>m</p><p>; ω3 =</p><p>√</p><p>K</p><p>m</p><p>(</p><p>1 +</p><p>2m</p><p>M</p><p>)</p><p>(1.56)</p><p>27sendo ∂ξ ≡ ∂</p><p>∂ξ</p><p>.</p><p>28Conclui-se o mesmo a partir do lagrangeano do sistema:</p><p>L = T − V =</p><p>m</p><p>2</p><p>(ξ̇2</p><p>1 + ξ̇2</p><p>3)−</p><p>[</p><p>M</p><p>2</p><p>ξ̇2</p><p>2 +</p><p>K</p><p>2</p><p>(ξ2 − ξ1)</p><p>2 +</p><p>K</p><p>2</p><p>(ξ2 − ξ3)</p><p>2</p><p>]</p><p>As equações de Euler-Lagrange, (d</p><p>dt)∂</p><p>ξ̇k</p><p>L−∂ξk</p><p>L=0 , k = 1, 2, 3, dão-nos directamente as mes-</p><p>mas equações diferenciais.</p><p>1.7. OSCILADORES ACOPLADOS 41</p><p>ω</p><p>ω</p><p>ω</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>Figura 1.25: Modos de oscilação longitudinal da molécula de CO2.</p><p>A 1a solução, com ω1 = 0, é aparentemente surpreendente, mas corresponde</p><p>ao movimento de translação ŕıgida da molécula, como um todo. As outras</p><p>duas soluções correspondem a diferentes modos de oscilação.</p><p>Os estados próprios dão-nos a configuração dos modos de oscilação e são</p><p>dados pelo sistema de equações</p><p></p><p></p><p>K − ω2</p><p>j m −K 0</p><p>−K 2K − ω2</p><p>j M −K</p><p>0 −K K − ω2</p><p>j m</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p></p><p> = 0 (1.57)</p><p>Assim, se:</p><p>i) ω1 = 0, obtém-se neste caso, obviamente, a = b = c. Ora, isto é</p><p>precisamente o que se espera num movimento de translação da molécula</p><p>(ver fig.1.25a).</p><p>ii) ω2 =</p><p>√</p><p>K/m, neste caso os factores K − ω2</p><p>2m anulam-se e fica b = 0</p><p>e a = −c. Neste modo, o átomo central está parado e outros vibram</p><p>simetricamente, como na fig.1.25b.</p><p>ii) ω3 =</p><p>√</p><p>K/m(1 + 2m/M), neste caso a 1a e 3a eqs. dão a = c. As</p><p>contas dão</p><p>a = c =</p><p>1√</p><p>2m(1 + 2m/M)</p><p>; b =</p><p>1√</p><p>2M(2 + M/m)</p><p>(1.58)</p><p>Este modo de oscilação está representado na fig. 1.25c.</p><p>42 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>p+1pp−1</p><p>l</p><p>ξ ξ ξ</p><p>Figura 1.26: Acoplamento de N osciladores a 1 dimensão</p><p>Os estados próprios são pois da forma</p><p>u1 =</p><p></p><p></p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p></p><p> ; u2 =</p><p></p><p></p><p>a</p><p>0</p><p>−a</p><p></p><p> ; u3 =</p><p></p><p></p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p></p><p> ; com</p><p>b</p><p>a</p><p>= −2m/M</p><p>O movimento geral dos átomos desta molécula em torno das posições de</p><p>equiĺıbrio é pois descrito por uma combinação linear dos estados próprios</p><p>anteriores,</p><p></p><p></p><p></p><p>ξ1 = A1e</p><p>i(ω1t+ϕ1) + A2e</p><p>i(ω2t+ϕ2) + A3e</p><p>i(ω3t+ϕ3)</p><p>ξ2 = B1e</p><p>i(ω1t+ϕ1) + B2e</p><p>i(ω2t+ϕ2) + B3e</p><p>i(ω3t+ϕ3)</p><p>ξ3 = C1e</p><p>i(ω1t+ϕ1) + C2e</p><p>i(ω2t+ϕ2) + C3e</p><p>i(ω3t+ϕ3)</p><p>(1.59)</p><p>com A1 = B1 = C1, A2 = −C2, B2 = 0, A3 = C3 e B3 = −2 m</p><p>M</p><p>A3. A solução</p><p>f́ısica é obviamente ξ = ℜe{ξ}. Depois disto restam ainda 6 constantes de</p><p>integração por determinar, que são as posições e velocidades iniciais de cada</p><p>massa, a uma dimensão. Isto é, se nos disserem as posições e velocidades</p><p>iniciais de cada átomo, saberemos descrever (do ponto de vista clássico!) os</p><p>seus movimentos em qualquer instante posterior.</p><p>1.7.3 Modos de oscilação molecular</p><p>Num sistema com N osciladores a 1 dimensão cada massa pode ter 3 desloca-</p><p>mentos independentes, segundo x, y e z. Num tal sistema há pois 3N graus</p><p>de liberdade, e possui 3N modos independentes de vibração, que são os seus</p><p>modos próprios (ver fig. 1.28).</p><p>Suponha-se uma molécula constitúıda por um conjunto de N átomos,</p><p>ligados entre si por forças que mantêm o sistema em equiĺıbrio. Cada átomo</p><p>1.7. OSCILADORES ACOPLADOS 43</p><p>é uma massa pontual que possui 3 graus de liberdade, pois pode deslocar-se</p><p>em x, y e z. A molécula tem pois 3N graus de liberdade. Todavia, estes graus</p><p>de liberdade não correspondem</p><p>todos eles a oscilações internas da molécula,</p><p>já que a molécula pode efectuar como um todo 3 movimentos de translação</p><p>e 3 rotações independentes, nos quais as distâncias interatómicas se mantêm</p><p>constantes. O número de modos de oscilação de uma tal molécula é então</p><p>efectivamente 3N−6 modos próprios (i.e. há seis movimentos com frequência</p><p>nula). Todavia, se a molécula for linear o número total de modos de oscilação</p><p>(longitudinais e transversais) é de apenas 3N − 5, pois essa molécula tem</p><p>simetria axial e apenas 2 movimentos de rotação em torno seu centro de</p><p>massa. A rotação axial, em torno do eixo da molécula, não é distingúıvel,</p><p>pelo que não constitui uma rotação f́ısica.</p><p>Se os N átomos da molécula estiverem todos num mesmo plano, há 2N</p><p>graus de liberdade, incluindo 2 translações no plano e uma rotação. Esta</p><p>molécula terá então 2N − 3 modos em que a oscilação é no plano e (3N −</p><p>6)−(2N−3) = N−3 modos que vibram fora do plano. Mas, se a molécula for</p><p>linear há N graus de liberdade sobre o eixo, incluindo uma translação. Esta</p><p>molécula tem pois N −1 modos longitudinais e (3N −5)− (N −1) = 2N −4</p><p>modos transversais. Contudo, os modos transversais são todos degenerados</p><p>e há apenas N − 2 frequências transversais diferentes (por simetria, cada</p><p>modo transversal tem outro exactamente igual no plano perpendicular, com</p><p>a mesma frequência).</p><p>A molécula de CO2 é um bom exemplo de uma molécula linear:- tem 4</p><p>modos de oscilação, sendo 2 longitudinais e 2 transversais (ver fig. 1.27),</p><p>com frequências angulares ω1 = 4.4278 × 1014 Hz; ω2 = 2.616 × 1014 Hz e</p><p>ω3 = ω4 = 1.2573× 1014 Hz.29.</p><p>A molécula da água é outro exemplo; tem 3 modos próprios de oscilação,</p><p>todos no plano da molécula, a que correspondem as 3 frequências carac-</p><p>teŕısticas distintas(fig. 1.28),</p><p>ω1 = 3.001× 1014 Hz ; ω2 = 6.714× 1014 Hz ; ω3 = 7.080× 1014 Hz</p><p>O cálculo destes modos faz-se do mesmo modo que atrás fizemos. Desta vez</p><p>porém é mais complicado escrever as equações de movimento e resolvê-las</p><p>analiticamente.</p><p>Ao interagir com o espectro de radiação da banda do infravermelho, a</p><p>molécula da água deixa bem viśıvel a sua assinatura no espectro de ab-</p><p>29(vide Landau; Mechanics, 1960, e A. Finn; F́ısica, vol. 1, 2.ed.; 1967).</p><p>44 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>CO O</p><p>CO O</p><p>CO O</p><p>CO O</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>Figura 1.27: Modos de vibração das moléculas de CO2. O modo d) está</p><p>representado em perspectiva; a molécula oscila perpendicularmente ao modo</p><p>c), com igual frequência.</p><p>H</p><p>O</p><p>H H</p><p>O</p><p>H H</p><p>O</p><p>H</p><p>a) b) c)</p><p>Figura 1.28: Modos de vibração das moléculas de H2O. As frequências são</p><p>a) ω2 = 6.714× 1014, b) ω1 = 3.001× 1014, e ω3 = 7.080× 1014.</p><p>1.8. OSCILADORES ACOPLADOS E FORÇADOS 45</p><p>sorção, na forma de picos de absorção, naquelas frequências próprias, ω1, ω2</p><p>e ω3 (também chamadas frequências ressonantes). Esta é de resto a base das</p><p>técnicas de análise instrumental. Por exemplo a molécula de naftaleno, C10H8</p><p>tem 48 frequências ressonantes. Uma base de dados contendo a informação</p><p>de todas estas frequências permite depois identificar traços da presença dessa</p><p>substância numa amostra de composição desconhecida Trata-se afinal de lo-</p><p>calizar os picos de ressonância caracteŕısticos.</p><p>1.8 Osciladores acoplados e forçados</p><p>Referiu-se anteriormente a interacção da radiação electromagnética com a</p><p>molécula da água e o aparecimento de espectros de absorção caracteŕısticos.</p><p>Trata-se de facto da observação das oscilações forçadas de um sistema com</p><p>várias frequências próprias, i.e. da ressonância num sistema de osciladores</p><p>acoplados sujeitos a uma acção externa periódica (no caso a força é ~F = e ~E,</p><p>onde ~E = ~E0 cos(ωt) é o campo eléctrico da onda electromagnética).</p><p>Consideremos o sistema da fig. 1.22 (ainda, novamente). Suponhamos</p><p>por hipótese que uma das bolas, p.ex. a bola a, é solicitada externamente</p><p>com uma força periódica, ~Fe = F0 cos ωt î. As equações de Newton são agora</p><p>{</p><p>−Kxa −Kc(xa − xb) + F0 cos ωt = mẍa</p><p>−Kxb + Kc(xa − xb) = mẍb</p><p>(1.60)</p><p>Fazendo a transformação de variáveis, para as coordenadas normais do sis-</p><p>tema, u1 = xa +xb e u2 = xa−xb (ver eqs. ??), as equações anteriores ficam,</p><p>como vimos, desacopladas, i.e.,</p><p>{</p><p>−Ku1 + F0 cos ωt = mü1</p><p>−Ku2 − 2Kcu2 + F0 cos ωt = mü2</p><p>(1.61)</p><p>ou seja, {</p><p>ü1 + ω2</p><p>1u1 = F0</p><p>m</p><p>cos ωt</p><p>ü2 + ω2</p><p>2u2 = F0</p><p>m</p><p>cos ωt</p><p>(1.62)</p><p>Chegamos assim a uma conclusão muito interessante, que é a seguinte: as</p><p>equações dos modos próprios estão desacopladas, mas ambos os modos são</p><p>igualmente sujeitos à acção da força exterior, apesar de a força só estar a</p><p>ser aplicada num dos osciladores (na bola a).</p><p>46 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>As equações 1.62 são equações de oscilador forçado - qualquer delas. Logo,</p><p>no regime estacionário (após a fase transitória inicial) o sistema há-de oscilar</p><p>como um todo, com a frequência da acção externa, ω. Isto é, escrevemos a</p><p>priori que</p><p>{</p><p>u1 = A1 cos ωt</p><p>u2 = A2 cos ωt</p><p>(1.63)</p><p>donde {</p><p>−ω2A1 cos ωt + ω2</p><p>1A1 cos ωt = F0</p><p>m</p><p>cos ωt</p><p>−ω2A2 cos ωt + ω2</p><p>2A2 cos ωt = F0</p><p>m</p><p>cos ωt</p><p>(1.64)</p><p>Resulta destas equações condições para A1 e A2,</p><p>A1 =</p><p>F0/m</p><p>ω2</p><p>1 − ω2</p><p>; e A2 =</p><p>F0/m</p><p>ω2</p><p>2 − ω2</p><p>(1.65)</p><p>Por conseguinte, xa e xb oscilam ambos com a frequência da força externa,</p><p>ω,</p><p>{</p><p>xa = A cos ωt = A1+A2</p><p>2</p><p>cos ωt</p><p>xb = B cos ωt = A1−A2</p><p>2</p><p>cos ωt</p><p>(1.66)</p><p>com amplitudes dadas por,</p><p></p><p></p><p></p><p>A = F0</p><p>2m</p><p>ω2</p><p>1</p><p>+ω2</p><p>2</p><p>(ω2</p><p>1</p><p>−ω2)(ω2</p><p>2</p><p>−ω2)</p><p>B = F0</p><p>2m</p><p>ω2</p><p>2</p><p>−ω2</p><p>1</p><p>(ω2</p><p>1</p><p>−ω2)(ω2</p><p>2</p><p>−ω2)</p><p>(1.67)</p><p>A moral desta história é que há um fenómeno de ressonância sempre que a</p><p>frequência de excitação se aproximar de qualquer das frequências próprias do</p><p>sistema. Por isso essas frequências também são designadas como frequências</p><p>ressonantes. Isto é, podemos excitar os modos normais do sistema do mesmo</p><p>modo como se excita um oscilador simples − o processo de ressonância é</p><p>o mesmo. Neste caso, como não considerámos o atrito, as amplitudes de</p><p>ressonância divergem quando ω = ω1 ou ω = ω2. Em tais condições, sem</p><p>atrito ou com atrito reduzido, o sistema pode entar de facto em ruptura, e</p><p>ser destrúıdo devido à acção externa.</p><p>1.9. SISTEMA DE N OSCILADORES ACOPLADOS− TRANSIÇÃO PARA O CONTÍNUO47</p><p>1.9 Sistema de N osciladores acoplados −</p><p>transição para o cont́ınuo</p><p>Seja o sistema representado na fig.1.26. Por hipótese, o sistema é constitúıdo</p><p>por N massas, com N ≫ 1, igualmente espaçadas, sendo as molas todas</p><p>iguais, com constante elástica K. Consideramos por hipótese desprezáveis as</p><p>massas das molas e o atrito. Este sistema é portanto uma generalização do</p><p>sistema da fig. 1.22.</p><p>As leis de Newton dão um sistema de N equações diferenciais acopladas,</p><p>mξ̈p = −K(ξp − ξp−1)−K(ξp − ξp+1) , com p = 1, 2, . . . , N (1.68)</p><p>Em prinćıpio o problema resolve-se da mesma maneira que antes: é necessário</p><p>resolver a equação de valores próprios de uma matriz N × N , da qual se</p><p>obterão N valores próprios de frequência. Porém, o nosso interesse está agora</p><p>focado em analisar o sistema cont́ınuo que corresponde a fazer-se N → ∞,</p><p>mantendo constante a massa total do sistema (i.e. distribuindo a massa</p><p>mais e mais até ao limite do cont́ınuo). Nesse limite, o sistema pode ser</p><p>visto como uma única mola de comprimento L, cuja massa está distribúıda</p><p>uniformemente por todo o comprimento e uma constante elástica equivalente</p><p>a N + 1 pequenas molas em série.</p><p>Se N → ∞, então ℓ ; δx ≪ 1; m ; δm; e ξp(t) ; ξ(x, t), com x = pℓ.</p><p>A eq. 1.68 transforma-se em</p><p>δm</p><p>K</p><p>ξ̈(x, t) = − (ξ(x)− ξ(x− δx))− (ξ(x)− ξ(x + δx)) (1.69)</p><p>Podemos desenvolver ξ(x, t) em série de Taylor,</p><p>ξ(x± δx, t) = ξ(x, t)± ∂ξ</p><p>∂x</p><p>δx +</p><p>1</p><p>2</p><p>∂2ξ</p><p>∂x2</p><p>δx2 ± · · ·</p><p>donde</p><p>∂2ξ</p><p>∂t2</p><p>=</p><p>(</p><p>K δx2</p><p>dm</p><p>)</p><p>∂2ξ</p><p>∂x2</p><p>(1.70)</p><p>Esta equação é, como veremos adiante, a equação de D’Alembert de uma</p><p>onda a uma dimensão,</p><p>∂2</p><p>t ξ = v2∂2</p><p>xξ (1.71)</p><p>48 CAPÍTULO 1. OSCILAÇÕES /PARTE 1</p><p>onde v é a velocidade de propagação. Ou seja, quando se passa</p><p>para o</p><p>cont́ınuo, a equação dinâmica que descreve as oscilações do sistema expressa-</p><p>se como uma onda que se propaga através desse meio − uma onda é afinal</p><p>uma perturbação a propagar-se. Este resultado é de facto muito interes-</p><p>sante, diz-nos que: as oscilações (ou perturbações) de um sistema cont́ınuo</p><p>constituem e propagam-se como uma onda.</p><p>O factor (K δx2/dm) é a velocidade de propagação das ondas nesse meio.</p><p>Porém, δx ≪ 1, pelo que a equação parece não estar ainda numa forma</p><p>satisfatória. Contudo, se repararmos, a constante elástica da mola, vista</p><p>agora como um todo, aquela que nós medimos e que associamos à mola, não</p><p>é K, mas sim a que corresponde à associação das N + 1 pequenas molas em</p><p>série da figura, i.e.</p><p>1</p><p>Ke</p><p>=</p><p>N+1∑</p><p>p=1</p><p>1</p><p>K</p><p>=</p><p>N + 1</p><p>K</p><p>=</p><p>L</p><p>Kℓ</p><p>onde Ke é a constante elástica da mola (vista como um todo cont́ınuo) e L é</p><p>o seu comprimento. Substituindo Ke na equação acima fica (com ℓ ∼ δx)</p><p>∂2ξ</p><p>∂t2</p><p>=</p><p>KeL</p><p>µ</p><p>∂2ξ</p><p>∂x2</p><p>(1.72)</p><p>onde µ = dm/dx é a massa por unidade de comprimento e L é o comprimento</p><p>total dessa mola.</p><p>Como se verá mais à frente (§??) a eq. 1.72 descreve a propagação de</p><p>uma perturbação do sistema que é a mola, com velocidade</p><p>v =</p><p>√</p><p>KeL</p><p>µ</p><p>(1.73)</p><p>Ora, um sistema a uma dimensão, com N osciladores acoplados, tem</p><p>como sabemos N modos próprios de oscilação (ver fig. 1.29). Mas quando</p><p>N → ∞, e esse sistema tende para o cont́ınuo, as oscilações do sistema dão</p><p>origem a ondas.</p><p>O que é feito então desses modos próprios, com frequência e configuração</p><p>bem definidas? De facto, as ondas que se formam não são quaisquer, são</p><p>ondas estacionárias30. O que a seu tempo verificaremos é que os estados</p><p>próprios correspondem justamente às ondas estacionárias do sistema cont́ınuo</p><p>30Formam-se ondas estacionárias porque o sistema tem uma extensão limitada no espaço,</p><p>com fronteiras bem definidas.</p><p>1.9. SISTEMA DE N OSCILADORES ACOPLADOS− TRANSIÇÃO PARA O CONTÍNUO49</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>Figura 1.29: Modos de oscilação de um sistema de N osciladores acoplados.</p><p>No limite em que N →∞ as configurações dos modos próprios correspondem</p><p>às ondas estacionárias que se podem formar nesse sistema.</p><p>(ver §??). Esses estados estão representados na fig. 1.29. Tal como antes,</p><p>em qualquer modo próprio de oscilação todas as partes do sistema oscilam</p><p>em fase, com a mesma frequência. Os estados próprios, i.e. as ondas esta-</p><p>cionárias, são pois movimentos colectivos do sistema. Apesar de o sistema ser</p><p>cont́ınuo os seus estados próprios são enumeráveis e têm frequências e con-</p><p>figurações discretas e caracteŕısticas. Mas o número desses estados próprios é</p><p>neste caso infinito, obviamente. Também neste caso, porém, o sistema pode</p><p>ser descrito como uma combinação dos seus estados próprios.</p><p>Estas conclusões têm aplicação em qualquer sistema, e não somente numa</p><p>mola com massas. Com efeito, os conceitos que aqui estão subjacentes</p><p>são também extensivamente usados por exemplo na Mecânica Quântica. A</p><p>interacção com um sistema quântico é descrita pela interação com a so-</p><p>breposição dos seus estados próprios; a evolução dos sistemas é a evolução</p><p>dessa combinação de estados próprios. A Mecânica Quântica é pois, simplis-</p><p>ticamente, uma análise de estados próprios e respectivas frequências.</p>para o
cont́ınuo, a equação dinâmica que descreve as oscilações do sistema expressa-
se como uma onda que se propaga através desse meio − uma onda é afinal
uma perturbação a propagar-se. Este resultado é de facto muito interes-
sante, diz-nos que: as oscilações (ou perturbações) de um sistema cont́ınuo
constituem e propagam-se como uma onda.
O factor (K δx2/dm) é a velocidade de propagação das ondas nesse meio.
Porém, δx ≪ 1, pelo que a equação parece não estar ainda numa forma
satisfatória. Contudo, se repararmos, a constante elástica da mola, vista
agora como um todo, aquela que nós medimos e que associamos à mola, não
é K, mas sim a que corresponde à associação das N + 1 pequenas molas em
série da figura, i.e.
1
Ke
=
N+1∑
p=1
1
K
=
N + 1
K
=
L
Kℓ
onde Ke é a constante elástica da mola (vista como um todo cont́ınuo) e L é
o seu comprimento. Substituindo Ke na equação acima fica (com ℓ ∼ δx)
∂2ξ
∂t2
=
KeL
µ
∂2ξ
∂x2
(1.72)
onde µ = dm/dx é a massa por unidade de comprimento e L é o comprimento
total dessa mola.
Como se verá mais à frente (§??) a eq. 1.72 descreve a propagação de
uma perturbação do sistema que é a mola, com velocidade
v =
√
KeL
µ
(1.73)
Ora, um sistema a uma dimensão, com N osciladores acoplados, tem
como sabemos N modos próprios de oscilação (ver fig. 1.29). Mas quando
N → ∞, e esse sistema tende para o cont́ınuo, as oscilações do sistema dão
origem a ondas.
O que é feito então desses modos próprios, com frequência e configuração
bem definidas? De facto, as ondas que se formam não são quaisquer, são
ondas estacionárias30. O que a seu tempo verificaremos é que os estados
próprios correspondem justamente às ondas estacionárias do sistema cont́ınuo
30Formam-se ondas estacionárias porque o sistema tem uma extensão limitada no espaço,
com fronteiras bem definidas.
1.9. SISTEMA DE N OSCILADORES ACOPLADOS− TRANSIÇÃO PARA O CONTÍNUO49
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Figura 1.29: Modos de oscilação de um sistema de N osciladores acoplados.
No limite em que N →∞ as configurações dos modos próprios correspondem
às ondas estacionárias que se podem formar nesse sistema.
(ver §??). Esses estados estão representados na fig. 1.29. Tal como antes,
em qualquer modo próprio de oscilação todas as partes do sistema oscilam
em fase, com a mesma frequência. Os estados próprios, i.e. as ondas esta-
cionárias, são pois movimentos colectivos do sistema. Apesar de o sistema ser
cont́ınuo os seus estados próprios são enumeráveis e têm frequências e con-
figurações discretas e caracteŕısticas. Mas o número desses estados próprios é
neste caso infinito, obviamente. Também neste caso, porém, o sistema pode
ser descrito como uma combinação dos seus estados próprios.
Estas conclusões têm aplicação em qualquer sistema, e não somente numa
mola com massas. Com efeito, os conceitos que aqui estão subjacentes
são também extensivamente usados por exemplo na Mecânica Quântica. A
interacção com um sistema quântico é descrita pela interação com a so-
breposição dos seus estados próprios; a evolução dos sistemas é a evolução
dessa combinação de estados próprios. A Mecânica Quântica é pois, simplis-
ticamente, uma análise de estados próprios e respectivas frequências.