Distribuio_normal

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<p>05/08/2024</p><p>1</p><p>UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA</p><p>CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS</p><p>AGR 011 – Estatística Básica</p><p>Professor:</p><p>Paulo Roberto Ribeiro Rocha</p><p>email: paulo.rocha@ufrr.br</p><p>Boa Vista – RR</p><p>1</p><p>Distribuição de Variáveis Aleatórias</p><p>2</p><p>Capítulo 4. Distribuição normal ou de</p><p>Gauss</p><p>Distribuição normal ou de Gauss</p><p>3</p><p>É uma das mais importantes distribuições de probabilidades, sendo aplicada em</p><p>inúmeros fenômenos e constantemente utilizada para o desenvolvimento teórico da</p><p>inferência estatística.</p><p>Conhecida como distribuição de Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss.</p><p>2</p><p>2)(</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>)( </p><p></p><p>ux</p><p>exf</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>Notação: X~N(μ;σ2): X tem distribuição normal com média μ e variância σ2.</p><p>4</p><p>5</p><p>Características da curva normal</p><p>- Forma de um sino, com caudas assintóticas ao</p><p>eixo x. Teoricamente os valores podem variar de</p><p>desde -∞ até + ∞. Na prática, no entanto, utiliza-</p><p>se a curva normal com limites finitos.</p><p>- A curva é simétrica em relação à perpendicular</p><p>que passa pela média (μ) .</p><p>- A media, mediana, moda são coincidentes.</p><p>- A curva tem dois pontos de inflexão, que</p><p>correspondem a valores de x situados,</p><p>respectivamente, à distância de um desvio</p><p>padrão (σ) acima e abaixo da média.</p><p>- A área sob a curva totaliza 1 ou 100%.</p><p>- Aproximadamente 68% dos valores de x situam-</p><p>se entre os pontos (μ - σ) e (μ + σ).</p><p>- Aproximadamente 95% dos valores de x estão</p><p>entre (μ - 2σ) e (μ + 2σ).</p><p>- Aproximadamente 99,7% dos valores de x estão</p><p>entre (μ - 3σ) e (μ + 3σ)</p><p>6</p><p>Curva normal padronizada ou curva normal reduzida</p><p>- μ = 0 desvio padrão σ = 1</p><p>- As áreas abaixo da curva estão tabeladas;</p><p>- Variável tabelada é denominada z, a letra x é utilizada para a variáveis do</p><p>mundo real.</p><p>05/08/2024</p><p>2</p><p>7 8</p><p>Transformação de variaríeis descontinuas ou assimétricas</p><p>- x’ = log x</p><p>- x’ = ln x</p><p>- x’ = √ x</p><p>- x’ = 1/x</p><p>- x’ = x2</p><p>9</p><p>Exemplo 1.</p><p>1. Qual a área que corresponde a</p><p>valores de z acima de 2,3?</p><p>- A área abaixo da curva = 1, portanto</p><p>a área à direita é 0,5.</p><p>- Na tabela, a área entre z = 0 e z=2,3</p><p>é 0,4893.</p><p>- A área à direita de 2,3 é 0,5 - 0,4893</p><p>= 0,0107.</p><p>10</p><p>Exemplo 2.</p><p>2. Qual a área compreendida entre z =</p><p>-1,5 e z = 1?</p><p>- Na tabela, a área entre z = 0 e z= -1,5</p><p>é 0,4332</p><p>- Na tabela, a área entre z = 0 e z= 1 é</p><p>0,3413</p><p>- A área compreendida entre z = -1,5</p><p>e z = 1</p><p>- = 0,4332 + 0,3413 = 0,7745.</p><p>11</p><p>Exemplo 3.</p><p>Considere a área B localizada na</p><p>extremidade direita de uma curva normal</p><p>compreendendo 20% da área total. Que</p><p>valores de z limitam essa região?</p><p>- Como curva apresenta informação</p><p>sobre áreas adjacentes a 0.</p><p>A = 0,50 – B (0,20) = 0,30.</p><p>- A área tabelada mais próxima de 0,30</p><p>é 0, 2996.</p><p>- Z = 0,84 limita as áreas A e B.</p><p>- Os valores de Z que limite da área de</p><p>B são z = 0,84 e Z = + ∞</p><p>12</p><p>Transformação de uma variável x em z</p><p>As variáveis observadas na prática (x) apresentam valores cujas áreas não estão</p><p>tabeladas.</p><p>- μ e σ são a média e o desvio padrão da população.</p><p></p><p>−</p><p>=</p><p>x</p><p>z</p><p>05/08/2024</p><p>3</p><p>Exemplo</p><p>13</p><p>Um treinador deseja selecionar, dentre os jovens que estão prestando o serviço militar</p><p>em determinado quartel aqueles com estatura mínima de 180cm par forma um time</p><p>de basquete. Que percentagem é esperada de jogadores em potencial, sabendo-se</p><p>que a estatura tem distribuição normal e nesses jovens, a média é 175 cm e o desvio</p><p>padrão de 6 cm?</p><p>83,0</p><p>6</p><p>175180</p><p>180 x</p><p>0</p><p>6</p><p>175175</p><p>175 x</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>==</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>==</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>x</p><p>zPara</p><p>x</p><p>zPara</p><p>14</p><p>A área entre z = 0 e z= 0,83 é 0,2967.</p><p>A área além de 0,83 é:</p><p>0,5 – 0,2967 = 0,2033</p><p>Portanto 20,33% dessa população é</p><p>constituído por indivíduos com estatura</p><p>igual ou superior a 180 cm.</p><p>15</p><p>4,247</p><p>6,25273</p><p>2736,25</p><p>20</p><p>273</p><p>28,1</p><p>=</p><p>−=</p><p>−=−</p><p>−</p><p>=−</p><p>−</p><p>=</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>z</p><p></p><p></p><p>Exemplo</p><p>Em um estudo de genética do desenvolvimento da mosca-das-frutas visa selecionar</p><p>indivíduos precoces, aqueles que emergem antes dos demais. O tempo decorrido</p><p>entre a ovoposição e a emergência do adulto, é de 273 horas em média, com desvio</p><p>padrão de 20 horas. Suponha que o geneticistas deseje selecionar 10% da população,</p><p>correspondendo aos indivíduos que emergem primeiro, para desenvolver a população</p><p>precoce. Qual o tempo limite a partir do qual os indivíduos que nascem não interessa</p><p>mais o pesquisador?</p><p>0,50 - 0,10 = 0,40</p><p>z = - 1,28</p><p>Os indivíduos que levarem</p><p>mais de 247 horas para se</p><p>tornarem adultos serão</p><p>descartados.</p><p>16</p><p>Exercícios:</p><p>1. Calcule:</p><p>a) P (Z<1,82)</p><p>b) P (Z<-2,03)</p><p>c) P (-2,55<Z<1,20)</p><p>d) P (Z>1,93)</p><p>Respostas: a) 0,9656 b) 0,0212 c) 0,8795 d) 0,0268</p><p>2. Se X~N (100, 25), calcule:</p><p>a) P (X>110)</p><p>b) P(95<X<105)</p><p>Respostas: a) 0,0228 b) 0,6826</p><p>17</p><p>3. O diâmetro de um cabo elétrico apresenta média 0,8 mm e variância 0,0004</p><p>mm2. Dentre de uma amostra de 1000 cabos, quantos esperamos que tenha</p><p>diâmetro:</p><p>a) Maior que 0,81 mm.</p><p>b) Entre 0,73 e 0,86 mm.</p><p>c) Menor que 0,78 mm.</p><p>Respostas: a) 308,5 b) 998,7 c) 158,7</p><p>Slide 1</p><p>Slide 2: Distribuição de Variáveis Aleatórias</p><p>Slide 3: Distribuição normal ou de Gauss</p><p>Slide 4</p><p>Slide 5</p><p>Slide 6</p><p>Slide 7</p><p>Slide 8</p><p>Slide 9</p><p>Slide 10</p><p>Slide 11</p><p>Slide 12</p><p>Slide 13: Exemplo</p><p>Slide 14</p><p>Slide 15: Exemplo</p><p>Slide 16</p><p>Slide 17</p>