Probleme de geometrie

Prévia do material em texto

<p>CULEGERI DE PROBLEME DE MATEMATICA SI FIZICA SERIE G. TITEICA PROBLEME DE GEOMETRIE</p><p>G. TITEICA PROBLEME DE GEOMETRIE Editia a VI-a Seria culegeri de probleme de matematica si fizica EDITURA Bucuresti</p><p>Cartea contine circa de probleme, cu indicatii si grupate in categorii. Prima categorie cuprinde probleme din geometria in scoala medie, iar a doua - probleme cu un nivel mai ridicat, din capitolele "Transversale", "Ra- poarte anarmonice si armonice", "Pol si "In- versiune", "Omografie si involutie" si "Conice". Lucrarea este elevilor, candidatilor la admitere in superior, studentilor din primul an si ca- drelor didactice din de si din tehnic.</p><p>LA EDITIA A VI-a era de mult Ea nu schimbari importante de editia Nu s-a si nu s-a scos nici in schimb acolo unde s-a nevoia s-au mai bine enunturile si La unele probleme s-a introdus o a doua solutie pentru a un punct de vedere. in acest fel se deschide un orizont mai larg in studierea unei probleme, ceea ce poate duce uneori la descoperirea de noi ale unei figuri. GH. D. SIMIONESCU LA EDITIA A IV-a dorinta de a cit mai mult gustul pentru matematici, Gazeta si-a propus, intre altele, si publicarea de culegeri de probleme. Prima culegere a in 1901 si cuprinde probleme de geometrie, si trigonometrie, fiind de Ionescu, G. A. G. Ioa- chimescu si V. Cristescu. Mai tirziu s-a este mai bine ca cele patru se separe si astfel au in biblioteca Gazetei Matematice patru cu- legeri de probleme, revizuite si cu un material mai bogat. Culegerea de probleme de geometrie (separatà) de G. cuprinzind 111 probleme, s-a tipärit in de culegerea din 1901 partea de geometrie - s-au adäugat 319 probleme noi. Considerind partea de geometrie a din 1901 ca cartea in 1929 o ca a doua edifie a cule- gerii de probleme de geometrie. Desi lucrul este cunoscut, subliniez o datà aici aparitia acestor culegeri se datoreste numai dragostei celor de la Gazeta Matematica pentru tineret si dorintei lor de a-l ajuta, tipärind in limba Drepturile de autor erau cedate "Gazeta in mod special "Culegerea de probleme de geometrie" ilustreaza conceptia inaltà a lui G. Titeica despre datoriile omului de fatà de societate. Marele geometru cu renume mondial nu a considerat ca o pentru el unei culegeri de probleme de geometrie dealtfel a dat si culegere de probleme pentru geometria caracteristica a culegerii de de geometrie este ea cuprinde foarte mult material adunat din revistele noastre (mai ales in a doua de regretatul N. Botea). A treia editie a culegerii unele importante de pri- mele Astfel, numärul problemelor a fost sporit de la 1111 la 1414, deci s-au adäugat 303 probleme noi. Aproape materialul nou adäugat a fost adunat din revistele noastre mai vechi sau mai Matematica (G.M.), Revista Mate- matica din Timisoara (R.M.T.), Gazeta Matematica si Fizica (G.M.F. Seria A sau B), Revista Matematica si Fizica (R.M.F.), precum si din subiectele date la 3</p><p>concursurile Gazelei Matematice (C.G.M.), matematice etc. Mentionez faptul multe probleme au fost luate din "Suplimentul cu exercifii" al Gazetei Matematice, dar nu s-a indicat modificare s-a fäcut si in impärtirea materialului. in primul rind culegerea a fost in partea intii cuprinde aproximativ capitolele de geometrie ce se predau in mediu, iar partea a doua, cu un nivel mai ridicat, cuprinde capitolele "Rapoarte anarmonice si armonice", "Pol si polara", "Inversiune", "Omografie si involutie" si "Conice". S-au introdus capitole "Cercul" (lungimea si aria lui, arcul de cerc, sectorul de cerc) (XIV), "Constructii de expresii algebrice" (XV), (XVII) si "Probleme diverse" (XXII); fiecare din acestea are un numär mic de probleme. Alte capitole au fost divizate precum vechiul capitol "Un- ghiuri si triunghiuri" in capitole, capitolul metrice" in capitole si capitolul "Rapoarte anarmonice, pol si inversiune" in trei capitole. felul acesta a treia are 28 de capitole, de 20 cit cuprindea edifia a doua. La unele capitole s-au introdus probleme mai simple pentru ca tinerii ince- material mai accesibil, care incurajeze la rezolvarca problemelor mai dificile. Sint totusi capitole care mai mari si este bine ca citi- torii fie de la inceput asupra acestui lucru. Ne referim la capitolele V, VI, IX, X, XI. Ceea ce deosebeste net a treia de cele precedente este introducerea figuri- lor (in numär de 397) la si indicatii". Acest lucru a fost util de Societatea de Stiinte Matematice si Fizice din care a re- vizuirea si retipärirea culegerii. Trebuie uneori enunjul unei probleme posibilitatea mai multor cazuri de figuri. Acolo unde a fost absolutà nevoie s-au considerat toate cazurile, dar la cea mai mare parte din rationa- mentul s-a pe anumità figurà, urmind ca cititorul reia rationamentul pentru alt caz de figurà, ceea ce nu mai constituie greutate. La unele probleme s-au inlocuit cu totul din vechea editie, ca de exemplu la problemele 135 158, 342, 427 din partea intii, 155 din partea a doua etc. La alle probleme s-au adäugat, pe solutia solutii noi, ca de exemplu la problemele 170, 232, 320, 327, 349, 351, 397, 453, 502, 505 etc. La prezentarea edifiei a treia, am avut colaborarea a lui D. Flondor, lector la Institutul Politehnic Bucuresti, care s-a ocupat cu redac- tarea capitolelor, I, II, III, X, XI, XII, XIII, XVIII, XIX, XX, XXI, XXVI, XXVII si XXVIII. a patra - a culegerii de pro- bleme de geometrie a fost deoarece cartea stäruitor din toate colturile Din punct de vedere al nu s-a introdus material nou fatà de edi- a treia, s-a numai se remedieze unele lipsuri. Astfel, in de corec- tarea unor erori a fost necesar ca la unele probleme se pre- fie in fie in solutie, pentru a le face mai clare. Tot in acest au fost citeva figuri. Acum, cind edifia a patra a fost datà la tipar, s-au implinit 60 de ani de la aparitia primei edifii a culegerii de probleme de in care s-a veri- ficat continuu utilitatea ideii marelui nostru geometru G. de a veni in aju- torul tineretului prin acestei culegeri. grija pentru tineret este si constituie una dintre importante ale forurilor toare ale partidului si ale statului nostru. Una dintre dovezi constituie si multi- mea de originale sau traduse in limba editate pentru a usura acelora care vor se si sa-si Chiar si culegere este märturie in acest de de au 4</p><p>ca primele trei se la intervale de 28-27 ani. La primele editii solutiile nu au putut fi insotite de figuri, cum ar fi fost normal intr-o culegere de probleme de geometrie, din cauza costului mult prea mare. Acum, pentru ca tine- retul la care ii sint necesare, noua editie la numai trei ani cea Este datorie de onoare pentru cei tineri printr-o pregatire te- acum si printr-o mai in folosul patriei noastre socialiste. 15. XII. 1961 GH. D. SIMIONESCU Conf. Institutul Bucuresti</p><p>CUPRINS ENUNTURI PARTEA Cap. I. Unghiuri 7 Cap. II. Triunghiuri 9 Cap. III. Drepte paralele, paralelograme, patrulatere 11 Cap. IV. Cercul: arce, coarde, tangente 15 Cap. V. unghiurilor 19 Cap. VI. ale triunghiului in cu cercul cir- cumscris 29 Cap. VII. Translatie, simetrie, rotatie 37 Cap. VIII. Constructii grafice 40 Cap. IX. Segmente proportionale, figuri 46 Cap. X. Relatii metrice 57 Cap. XI. metrice in cere 64 Cap. XII. Poligoane regulate 76 Cap. XIII. Arii 78 Cap. XIV. Cercul: lungimea si aria arc de cerc, sector Cap. XV. Constructii de expresii algebrice 89 Cap. XVI. Plane, drepte, unghiuri 90 Cap. XVII. Proiectii 96 Cap. XVIII. Poliedre: 97 Cap. XIX. Poliedre: arii, volume 101 Cap. XX. Corpuri rotunde: proprietati 105 Cap. XXI. Corpuri rotunde: arii, volume 108 Cap. XXII. Probleme diverse 111 PARTEA A DOUA Cap. XXIII. Transversale 113 Cap. XXIV. Rapoarte anarmonice si armonice, fascicule 120 Cap. XXV. Pol si polara 126 Cap. XXVI. Inversiune 130 Cap. XXVII. Omografie, involutie 134 Cap. XXVIII. Sectiuni conice 138 RASPUNSURI SI PARTEA 150 PARTEA A DOUA 320 Bibliografie 380 6</p><p>PARTEA Capitolul I UNGHIURI 1. Trei semidrepte OA, OB, OC formeaza in unghiuri egale BOC, COA, Sa se valoarea comuna a acestor unghiuri, printr-o fractie de unghi drept. Sa se arate ca prelungirea OA' a semidreptei OA imparte unghiul BOC in parti egale. 2. Sa se demonstreze ca bisectoarele a unghiuri adiacente suplimentare perpendiculare. 3. Sa se calculeze unghiul format de bisectoarele a unghiuri adiacente oarecare. Ce se cind unghiurile adia- cente sint complementare sau suplimentare ? 4. Sa se demonstreze ca bisectoarele a unghiuri opuse la virf in prelungire. 5. Sa se demonstreze ca bisectoarele celor patru unghiuri for- mate de drepte concurente drepte perpendiculare. 6. Fie OA', OB' perpendiculare pe OA, Sa se arate ca unghiurile AOB si A'OB' egale sau suplimentare. 7. Fie OC bisectoarea unghiului AOB si OM o oare- care. Sa se arate ca unghiul COM este semisuma sau semidiferenta unghiurilor AOM si BOM. 8. Doua unghiuri egale AOB si COD cu acelasi virf au o parte unghiul COB. Sa se arate ca: a) AOC BOD b) bisectoarea unghiului BOC este si bisectoarea unghiului AOD c) reciproc, unghiul BOC este interior unghiului AOD si AOB = COD, ele au aceeasi bisectoare. 9. Sa se demonstreze ca unghiuri egale AOB, A'OB' au laturile OA si OA' in prelungire iar OB si OB' de o parte si de alta a dreptei AA', atunci cele unghiuri sint opuse la virf. 7</p><p>10. Se considerà un unghi drept XOY; este bisectoarea unui unghi AOB, iar OY bisectoarea unui unghi COD. Sa se arate ca unghiurile AOC si BOD suplimentare BOD < 180°). Ce se OA si OC se ? -11. Din punctul se duc semidreptele OA, OB, OC, OD in ordinea indicata aici, astfel ca AOB COD = a. Sa se afle unghiul format de bisectoarele unghiurilor AOC si BOD. 12. Se dau unghiuri adiacente AOB = a si BOC = si se duc trisectoarele lor (dreptele care impart fiecare unghi in trei parti legale). Sa se calculeze unghiurile de fiecare trisec- toare a unghiului AOB cu fiecare trisectoare a unghiului BOC. Caz particular cind unghiurile adiacente suplimentare. 13. Se un unghi xOy si o (D), unghiului, trecind prin virful lui. Sa se demonstreze ca sime- tricele dreptei (D) fatà de cele laturi Ox, Oy in prelun- gire, unghiul xOy este drept. 14. de lumina este de o oglinda plana dupa directia Se roteste apoi oglinda cu un unghi a si fie OS" raza Sa sa unghiul razelor reflectate este (Proprietate folosità la construirea sextantului si a altor apa- rate de fizica.) 15. Sa se arate cu n° valoarea unui unghi in grade sexagesimale si cu valoarea aceluiasi unghi in grade cen- tesimale, formulele care permit trecerea de la un fel de unitati la altul 10 9 9 10 16. Citi radiani are unghiul de Dar unghiul de 34°22'38"? Dar unghiul de ? 17. Cite grade sexagesimale au unghiurile de 0,6 rad; 3 24 se afle unghiul a in grade centesimale este mai mare cu 8 decit sa in grade sexagesimale. 19. Care unghiurile suplimentare a este un unghi 20. Care este unghiul al supliment este de n ori comple- mentul sau ? n = 4; n = 5. 8</p><p>Capitolul II TRIUNGHIURI 21 Sa se demonstreze ca intr-un triunghi isoscel bisectoarele, inältimile, corespunzatoare laturilor egale, egale. 22. Pe latura Ox a unui unghi xOy se iau segmente OA, pe Oy se iau segmentele OB, OB' egale respectiv cu Dreptele AB', BA' se in I. Sa se arate ca este bisectoarea unghiului xOy. 23 Fie A', B' simetricele punctelor A, Bin raport cu un punct adica este mijlocul segmentelor AA', BB'. Sa se demonstreze ca AB, A'B' egale. se demonstreze ca A', B', C' simetricele furilor triunghiului ABC fatà de punctul triunghiul este cu triunghiul ABC. 25 Sa se demonstreze ca daca A', B' simetricele puncte- lor A, B de dreapta xy, adica daca aceasta dreaptà este per- pe segmentele AA', BB', in mijloacele lor, atunci AB A'B'. 26 Sa se demonstreze ca simetricele a trei puncte in linie fatà de un punct sau de o dreaptà xy, trei puncte in linie 27 Sa se demonstreze ca mediatoarele laturilor unui triunghi (perpendicularele ridicate pe laturile triunghiului in mijloacele lor) concurente. 28 Sa se demonstreze ca bisectoarele unghiurilor unui tri- unghi concurente. 29 Sa se demonstreze ca bisectoarele suplimentelor a ungmuri ale unui triunghi si bisectoarea unghiului al treilea concurente. pe laturile unui triunghi echilateral ABC se iau, in acelasi sens, lungimile AA' = BB' = CC', sa se demonstreze ca triunghiul este echilateral. 31. Daca pe laturile unui poligon regulat adica laturile si unghiurile egale, se iau in acelasi sens lungimile = = = sa se demonstreze ca poligonul este si el regulat. 32. In triunghiuri ABC, avem AB = A'B', A = A', Sa se arate ca B < B'. 9</p><p>33 Fie AD cea mai BC cea mai a patru- laterului A BCD. Sa se arate ca ABC > ADC, BCD > BAD. 34 Daca este interior triunghiului ABC, sa se demonstreze ca BC + CA + AB + OB + OC < BC + CA + AB. 2 35 Sa se demonstreze ca M, N, se afla pe laturilé BC, CA, AB ale triunghiului ABC iar nu pe prelungiri, avem 1 3 (BC + CA + AB) < AM + BN + CP (BC + CA + AB). 2 2 36. inältime a unui triunghi este mai mica decit semisuma laturilor care pleaca din acelasi virf. suma inältimilor unui triunghi este mai mica decit perimetrul triunghiului. 37 Sa se demonstreze ca o mediana a unui triunghi este mai mica decit semisuma laturilor care pleaca din acelasi virf. 38 Sa se demonstreze ca suma medianelor unui triunghi este mai mica decit perimetrul triunghiului, dar este mai mare decit lui. 39 In triunghiul ABC, A este legal cu B + C. Sa se arate ca BC este indoitul medianei care pleaca din A. 40. Se unghiul xOy si o dreaptà (D). Sa se gaseasca pe (D) un punct legal depärtat de laturile unghiului. Se unghiul xOy si un punct P. Sa se duca prin care sa intersecteze pe Ox si Oy in A si B, astfel incit OA OB. 42.) Se dau trei puncte A, B, C. Sa se duca prin C o legal de A si B. 43) Sa se pe o dreaptà xy un punct M asa ca suma sale la puncte date A, B sa fie cea mai mica. (44.) Sa se pc xy un punct M asa ca diferenta depär- la puncte A, B sa fie cea mai mare. 45. Se un unghi xOy si in interiorul lui doua puncte oare- care A, B. Sa se un punct M pe Ox si alt punct N pe ca drumul AMNB sa fie cel mai scurt posibil. 46 Sa se bisectoarea unui unghi al virf este inaccesibil. 47 Intr-un triunghi ABC avind toate unghiurile ascutite, iar AD cu baza BC, se construieste pe CD ca laturà 10</p><p>patratul CDEF si pe BD ca patratul BDGH. Sa se demon- streze ca drepturile BF si CH inältimile (prelungite) triun- ghiului ABC. Capitolul III DREPTE PARALELE. PATRULATERE 48 Sa se demonstreze ca o la baza unui triunghi isos- cel cu celelalte laturi un triunghi isoscel. 49 Sa se demonstreze ca o paralela la una din laturile unui triunghi echilateral formeaza cu celelalte laturi un triunghi echilateral. 50 Prin mijlocul M al unui segment AB, de drepte paralele, se duce un alt segment CD, de aceleasi Sa se arate ca M este si mijlocul lui Sa se demonstreze ca inältimile unui triunghi se intersec- teaza intr-un punct 52 Unghiurile opuse A si C patrulaterului ABCD drepte. Dreptele AD, CB si AB, CD se respectiv in E si Sa se arate ca dreptele BD si EF perpendiculare. 53 Sa se demonstreze ca dreapta care uneste mijloacele B', C' ale laturilor AC, AB ale unui triunghi ABC este paralela cu latura BC si cu ei. 54 Sa se demonstreze ca in triunghiul ABC paralela prin- mijlocul C' al lui AB trece prin mijlocul B' al laturii AC. 55 Pe prelungirile laturilor BC si CA ale triunghiului echi- lateral ABC punctele D si E astfel incit CD = AE = AB. 1 Dreapta DE pe AB in F. Sa se arate ca AF = AB. 3 36 Se ia un unghi xOy = a, iar pe latura Ox un punct A. Se descrie un arc de cerc cu centrul in A astfel incit sa intersecteze dreapta Oy in puncte B, C. Fie B', C' proiectiile punctelor B, C pe Ox. Sa se determine valoarea unghiului a astfel ca sa avem BB' = si = AB'. 57 Se prelungesc medianele BB', CC' ale triunghiului ABC cu BB', C'C" = CC'. Punctele A, C" in linie (aliniate coliniare). Sa se determine segmentului OM, cind este fix, iar M descrie o dreaptà data xy. 11</p><p>59 Sa se demonstreze ca mijloacele laturilor unui patrulater virfurile unui paralelogram. Sa se demonstreze ca intr-un patrulater segmentele care unesc mijloacele laturilor opuse si mijloacele diagonalelor se inter- secteaza in parti egale. In ce caz paralelogramul din problema 59 este dreptunghi, romb patrat? 62 Sa se demonstreze ca intr-un trapez dreapta care uneste mijloacele laturilor neparalele este paralela cu bazele, trece prin mijloacele diagonalelor, este cu semisuma bazelor si partea intre diagonale este cu semidiferenta bazelor. Sa se demonstreze ca mijlocul ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este de cele trei ale triunghiului. 64 Sa se demonstreze ca daca in triunghiul ABC avem 2 A unghi drept, B = unghi drept, atunci BC 2AB. 3 65. Sa se numai cu rigla si compasul unghiurile de 15°, 75°, 105°. 66 Sa se demonstreze ca sint picioarele inältimi- lor BB1, in triunghiul ABC si A' mijlocul laturii triunghiul este isoscel. 67 Sa se demonstreze medianele unui triunghi se intersec- taeza intr-un punct (centru de greutate). 68 Doua echere dreptunghice egale ABC si se asaza in pozitiile din fig. 16 de la si indicatii". Sa se demon- streze a) este inältimea in triunghiul MA' este mediana in triunghiul CC'A'; LB' este bisectoare in triunghiul CB'C'. 69. Se dau trei drepte Ox, Oy, Oz. Pe Ox se da un punct A. Sa se arate ca a) un triunghi cu un virf in A avind dreptele date ca b) un triunghi cu un virf in A avind dreptele date ca mediane c) un triunghi cu un virf in A avind dreptele date ca bisectoare- ale unghiurilor interioare sau d) un triunghi avind mijlocul unei laturi in A si dreptele ca perpendiculare pe mijloacele laturilor. Pe laturile AB si AC ale triunghiului ABC se construiesc.. in patratele ABDE si ACFG, virfurile D si F opuse lui A. Sa se arate a EG este pe mediana care din este indoitul ei; 12</p><p>b al patrulea virf I al paralelogramului, care are virfuri opuse in E si G si al treilea in A, este asezat pe inältimea care pleaca din A; CD si BF, perpendiculare pe BI, CI si egale cu ele, se inter- secteaza tot pe inältimea din A. 71. se demonstreze ca suma distantelor unui punct oare- care de pe baza unui triunghi isoscel la cele laturi este con- Se va considera si cazul cind punctul este situat pe pre- lungirea bazei. (72. se demonstreze ca suma distantelor unui punct mobil in interiorul unui triunghi echilateral la laturile acestui triunghi 73. se demonstreze ca picioarele perpendicularelor duse din virful A al triunghiului ABC pe bisectoarele unghiurilor B si C patru puncte coliniare. 74. Se un segment de fix AB si un segment de constantà MN l care aluneca pe o (D). Sa se determine pozitia segmentului MN de pe dreapta (D) astfel ca dreptele AM BN sa fie paralele. Discutie. 75. Sa se demonstreze ca daca un patrulater convex are opuse egale, bisectoarele celorlalte unghiuri paralele si reciproc, daca bisectoarele a unghiuri opuse paralele, celelalte unghiuri opuse egale. 76. Se linia ABCD si se noteaza cu B', C' mijloacele segmentelor AC, BD. Fie (Aa), (Ac) paralelele duse prin A si C la BB', iar (Ab), (Ad) paralelele duse prin B si D la CC'. Sa se arate ca M N (BB', CC') coliniare. 77. Se un triunghi dreptunghic ABC si fie Bx si Cy pre- lungirile catetelor AB, AC. a) Sa se arate ca ducind trisectoarele unghiurilor xBC si yCB din ele perpendiculare si paralele. b) Trisectoarele paralele celelalte trisec- toare in D si E. Sa se arate ca BCDE este un romb. 78 Pe laturile opuse AB, CD ale unui paralelogram se con struiesc in triunghiuri echilaterale ABM, CDP, iar pe laturile opuse BC, DA se construiesc inäuntru triunghiurile echi- laterale BCN, DAQ. Sa se arate ca figura MNPQ este un lelogram ale laturi egale cu diagonalele paralelogra- mului ABCD. 13</p><p>79. B', C' mijloacele laturilor AC, AB in triunghiul ABC, de la B' spre C, B'D = AC'. Sa se arate ca perpendiculara coborità din D pe bisectoarea a unghiului A trece prin laturii BC. 80 Sa se demonstreze ca bisectoarele interioare ale unghiu- rilor unui paralelogram formeaza un dreptunghi; diagonalele aces- tuia sint paralele la laturile paralelogramului. 81. Se un punct M in planul paralelogramului ABCD. Fie N simetricul lui M de A, P simetricul lui N de B si Q simetricul lui fatà de C. a) Sa se arate ca dreapta MQ trece prin punctul D si ca D este mijlocul segmentului MQ. b) Unde trebuie sa se afle punctul M pentru ca MNQP sa fie trapez? 82, Fie AC diagonala mare a rombului ABCD si C1, C2 punctelor A si C pe laturile opuse. a) Sa se demonstreze ca dreptele A1C1, A2C2, AC si BD concurente. b) Sa se determine unghiului A al rombului astfel ca dreptele si sa fie perpendiculare pe AD si AB. 83. Perpendicularele duse pe bisectoarele interioare AI,BI, CI ale unui triunghi ABC, in punctul lor comun I, laturile triunghiului: perpendiculara pe C1), perpendicu- lara pe B1 in (C2, perpendiculara pe CI in P1, P2, P3 punctele comune dreptelor CC2), (CC1, AA3), atunci dreptele AP1, BP2, CP3 concurente. 84. In triunghiul ABC simetricele A1, C1 ale unui fatà de mijloacele A', B', C' ale laturilor. Sa se arate- ca dreptele AA1, CC1 concurente intr-un punct O2 si G este centrul de greutate al triunghiului, avem 85. Un patrulater convex ABCD are laturile AB = BC CD si BAD = Se noteaza ABC = a. a) Sa se arate ca daca patrulaterul indeplineste aceste con- ditii, atunci 60° < a 90°. b) cazul a = 75° sa se patrulaterul numai cu compasul. 86. Se o (D) si puncte A, B de o parte si de a ei. Se cere drumul cel mai scurt de la A la B, tind de-a lungul lui (D) o lungime data d. 87 ce caz linia care uneste mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez trece prin punctul comun diagonalelor? 14</p><p>88. Se roteste triunghiul dreptunghic ABC in jurul virfului unghiului drept A pina ce ipotenuza, in noua ei pozitie B'C', trece prin extremitatea catetei AB < AC. Sa se demonstreze ca, AC' pe BC in D, avem ADB = 3 C. 89. In triunghiul ABC, AA1 este inältime, AA' bisectoare. Sa se arate ca daca AB < AC, avem A'AA, = B C)/2. 90. Daca in triunghiul ABC avem BC = 2.1C, atunci mediana AA este bisectoarea unghiului format de latura AB si de mediana AA a triunghiului A'AC. 91 Laturile opuse AB, CD ale patrulaterului ABCD se intil- nesc in E; AD, BC in F. Se iau pe prelungirile dreptelor ABE, DCE, BCF, ADF, segmentele EH = AB, EK = CD, FL = BC, FM = DA. Sa se demonstreze ca figura HKLM este paralelogram. 92. Fie un punct fix si (A) o data. Dintr-un punct A situat pe (A) se duce AM legal cu AO si perpendicular pe OA. Se cere lui M cind A variaza pe dreapta data. 93. In patrulaterul ABCD virfurile A, B, C fixe, iar ful D descrie o Sa se gaseasca locul mijlocului segmen- tului MN care uneste mijlocul lui AB cu mijlocul lui CD. 94. Fie AA' o ceviana (adica o care uneste un virf cu un punct al laturii opuse) in triunghiul ABC, mijlocul ei. Dreptele BI, CI laturile opuse in M si N, iar drep- tele paralele duse din A' la AC si AB pe BM si CN in PsiQ. Sa se demonstreze ca figura MNPQ este un paralelogram. 95. Se un triunghi ABC si triunghiul ortic. Sa se demonstreze ca triunghiul format de paralelele duse prin mij- loacele laturilor B1C1, C1A1 respectiv la AB, BC, CA este cu complementarul lui ABC (triunghiul format de mijloacele laturilor lui ABC). Capitolul IV CERCUL: ARCE, COARDE, TANGENTE 96. Sa se demonstreze ca daca coarde egale ale unui cerc se in M, atunci AM = CM, BM = DM, punctele A si C de o parte si de alta a diametrului dus prin M. 97. Pe prelungirea unei coarde AB, in cercul (0) se ia BC cu raza cercului si se duce diametrul COE, E punctul pe cel mai departat de C. Sa se arate ca AOE = 3 ACO. 15</p><p>98. Sa se demonstreze ca cea mai mica care trece prin punctul M, interior cercului (0), este pe MO. 99 Coarda CD, paralela cu diametrul AB al cercului (0), se in EF pe acest diametru. Sa se arate ca BF. 100. Sa se demonstreze tangentele duse la un din doua puncte legal departate de centru, 101. Sa se demonstreze ca centrul unui cerc tangent la laturile se pe una din bisectoarele unghiului. 102. Sa se demonstreze ca un trapez isoscel se poate inscrie intr-un cerc. 103. Sa se demonstreze ca intr-un patrulater convex, circum- scris unui cerc, suma a laturi opuse este cu suma celor- lalte 104. se demonstreze ca intre laturile triunghiului ABC avem relatia AB + AC 3BC, dreapta care uneste mijloacele latu- rilor AB si AC este cercului inscris in triunghiul ABC. 105. Sa se afle locul mijloacelor coardelor paralele cu o direc- tie data, intr-un cerc dat. 106. Sa se afle locul mijloacelor coardelor egale cu o coarda data, intr-un cerc dat. 107. Sa se afle locul centrelor cercurilor care trec prin puncte date. 108. Sa se afle locul centrelor cercurilor tar gente la un cerc punct dat al acelui cerc. 109. A este un punct fix, P un punct mobil pe_cercul (0). se affe locul mijlocului M al segmentului AP. Triunghiul isoscel OAB are virful in centrul unui cerc dat, baza AB cercul in C si D. Sa se arate ca AC BD. 111. Doua cercuri (01) si se in A. Pe primul cerc punctul B, pe al doilea punctul C, ca unghiul BAC sa fie drept. Sa se afle locul mijlocului ipotenuzei BC 112. In triunghiul ABC, A', B', C' sint mijloacele AH, BH, CH cuprinse intre virfuri si ortocentru, iar B1, C1 punctele diametral opuse virfurilor in cercul circumscris. se arate ca se intilnesc in centrul de greutate- 113. Cercul inscris in triunghiul ABC atinge laturile in A', B', C', iar cercurile exinscrise relative la unghiurile A, B, C le atinge 16</p><p>in C1; A2, C2; A3, C3. se arate ca = = = BC; = A'A2 = CA; = = AB. 114. Aceleasi date ca in problema Sa se exprime segmentele AC', BA', CB' si C3C' in functie de laturi. 115. Un romb are A = Se pe din B a rombului, de latura AB, un segment BE = AB. Sa se arate a) AE = BD ; b) C, D, E c) fie B' piciorul timii cercul BCE trece prin centrul cercului inscris in triun- ghiul 116. Dintr-un punct luat pe ipotenuza BC a unui triunghi dreptunghic isoscel ABC, ca centru, se descrie un care inter- secteaza laturile BA, CA prelungite, dincolo de A, in M si N, iar dincolo de B si C in M' N'. Sa se arate ca MB + NA = = M'B + N'A si MA + NC = M'A + N'C. Sa se demonstreze ca in cercuri concentrice coardele cercului exterior, tangente cercului interior, sint egale. 118. Intr-un cerc se duc diametre perpendiculare AB si CD. O ce trece prin C diametrul AB (sau prelungirea lui) in M si cercul in N. se afle locul geome- tric al intersectiei paralelei la CD, prin M, cu tangenta la cerc in N. 119. Prin unul din punctele comune a doua cercuri se duce o dreapta paralela cu linia centrelor. Sa se arate ca segmentul de pe aceasta de cele cercuri, este de ori mai mare decit distanta centrelor. 120. Prin punctele comune A si B a cercuri (0) si (0') se due drepte paralele CAC', DBD', C si D pe cercul (0), iar C' si D' pe cercul (0'). Sa se arate ca lungimile CAC' si DBD' egale. 121. Prin unul din punctele comune A a cercuri (0), (0'), se duc drepte legal inclinate (dar nu paralele intre ele) pe care cercurile in B, B' si C, C'. Sa se arate ca BB' CC'. 122. Se dau cercuri. Prin punctele lor de intersectie se duc secante paralele, care formeaza un paralelogram cu virfurile pe cele cercuri. Se cere locul geometric al mijloa- celor laturilor acestui paralelogram si al punctului de intersectie a diagonalelor lui, cind secantele, paralele, trec necon- tenit prin punctele de intersectie a cercurilor date. 123. Se descriu cercuri pe laturile unui patrulater ABCD, ca diametre. Sa se demonstreze ca coarda comuna cercurilor descrise 2 - Probleme de geometrie - 538 17</p><p>pe AB si BC este paralela cu coarda comuna cercurilor descrise pe si DA. 124. Intr-un triunghi ABC pe latura BC, de la B spre C, lungimea BA1 = BA si de la C spre B lungimea CA2 = CA. Sa se arate ca cercul circumscris triunghiului este concentric celui inscris triunghiului ABC. Cum trebuie luate lungimile BA1 = BA, CA2 = CA, pentru ca cercul circumscris triunghiului sa fie concentric celui exinscris unghiului A? 125 se afle locul virfurilor unghiurilor drepte ale laturi tangente la un cerc. 126. Sa se afle locul virfurilor unghiurilor de constantà ale laturi tangente la un cerc. 127 Se considerà punctele M asa ca tangenta MT dusa la un cerc fix sa o lungime Prin M se duce o MP inclinata pe MT cu un unghi dat. Sa se arate ca MP tan- genta la un cerc. 128. Se dau drepte paralele (D), (D') si un punct fix A pe (D). Prin A se duce o dreaptà care pe (D') in A'. In acest punct se ridica perpendiculara pe AA', care pe (D) in B. Se uneste B cu simetricul A1 al lui A fatà de A'. Sa se gaseasca locul proiectiei M a punctului A pe BA cind AA' se roteste in jurul lui A. 129 Un segment de lungime constantà se misca rezemindu-si extremitatile pe drepte perpendiculare Ox si Oy. Sa se afle locul mijlocului M al segmentului. 130. Pe o dreaptà (D) se da un punct fix A si altul mobil M. Fie B un alt punct fix exterior lui (D). Se ia simetrica dreaptei MB de (D) si simetrica aceleiasi MB fatà de AB. Se cere locul punctului P comun acestor simetrice. 131. se ca bisectoarele interioare ale unui patrulater convex concurente, patrulaterul poate fi circum- scris unui cerc. 132. Printr-un punct sa se duca o care sa determine intr-un cerc dat o de lungime data l. Discutie. 133. Prin virfurile B, C ale unui triunghi ABC se duce un cerc, care laturile AB, AC in D si E, asa ca cercul ADE sa fie legal cu cercul BCDE. Presupunind ca B si C fixe, iar A mobil pe cercul ABC care trece prin B si C, se cere: a) locul punctelor D si E; b) locul centrului cercului ADE; c) sa se arate ca DE la un cerc. 134. Se dau cercuri (0) si (C), al doilea trecind prin M este un punct mobil pe (C) iar A, B punctele comune cercuri- 18</p><p>lor. Dreptele MA, MB cercul (0) in A' si se arate ca AA' = BB' si sa se locul punctului P comun dreptelor si MO, cind M descrie cercul (C). 135. In puncte A, A' diametral opuse intr-un cerc se duc tangentele At, A't'. Pe diametrul paralel la aceste tangente se ia un punct B. Dreapta AB intersecteaza cercul a douá in C. Tangenta in C la cerc pe A't' in D. se arate a) figura ABDO este paralelogram b) patrulaterul OBCD este inscriptibil. Capitolul V UNGHIURILOR 136 Sa se demonstreze ca proiectiile unui punct M al unui cerc, pe laturile unui dreptunghi inscris in acel cerc, astfel incit una din ele este ortocentrul triunghiului format de celelalte trei. 137 Intr-un cerc se duc coarde perpendiculare AB si CD. Fie M un punct al cercului, situat pe arcul BD sau AC. Sa se arate ca unghiurile AMD si BMC complementare. Care este legatura dintre aceleasi unghiuri, M se afla pe arcul AD sau 138. Se un cerc (0) si o AD. Sa se prin punc- tul D o DC care sa diametrul OA in B, iar cercul in C, astfel ca triunghiul ABC sa fie isoscel (AB = AC). 139 Se un cerc (0) si un triunghi inscris ABC. Se duce diametrul OA si AD si se punctele B si C pe acest diametru, in E si F. Dreptele DE si DF prelungite intil- nesc pe AC si AB respectiv in G si H. Sa se demonstreze ca punc- tele 4 D, G, H conciclice (se afla pe acelasi cerc). 140 Sa se afle locul virfului unghiului drept ale laturi trec prin puncte date A si B. 141 Sa se afle locurile geometrice descrise de ortocentrul H al triunghiului ABC si de punctul I de intilnire al bisectoarelor, cind latura BC este iar A descrie un cerc ce trece prin punc- tele B si C. 142 Sa se afle locurile descrise de punctele de intilnire ale bisectoarelor exterioare, luate cind triunghiul ABC variaza in conditiile problemei precedente. 19</p><p>143 Sa se afle locul mijlocului M al unei coarde variabile intr-un cerc (0) si care trece printr-un punct fix A. Se un cerc (0), un punct fix A si un unghi constant MAN inscris. Sa se afle locul geometric al intersectiei dreptei AN cu perpendiculara ridicata in punctul M pe dreapta AM. 145 Sa se afle locul simetricului M al unui punct fix A, de pe dat (0), fatà de un punct mobil P al acestui cerc. 146 Se un cerc (0) si un diametru AB. Dintr-un punct M de pe cercul (0), ca centru, se descrie un alt cerc tangent la AB in punctul T. Sa se arate ca tangentele duse din A si B la cercul (M) paralele. 147 se demonstreze ca o care trece prin punctul de contact a cercuri tangente determina pe cele cercuri arce opuse egale in grade. 148 Prin punctul de contact a cercuri tangente (0') se duc secante care pe (0) in B, C si pe in B', C'. se arate ca BC si B'C' paralele. 149. Doua cercuri (0) si (0') fiind tangente interior in A si find oarecare in plan, care cele cercuri respectiv in punctele B, C si D, E, dreptele AD si AE sint inclinate pe bisectoarea unghiului BAC. Sa se demonstreze ca AA' si dreapta AO, care uneste virful A al triunghiului ABC cu centrul cercului circum- scris, legal inclinate pe bisectearea A ceviene 151 Fie ABC un triunghi oarecare si AE, AF drepte izogonale. Se virful B al triunghiului pe una din izogo- nale, de exemplu pe AE, in fie apoi D1 proiectia F al celeilalte izogonale pe AC, iar A1 proiectia lui A pe BC. Sa se arate ca punctele A1, B1, D1 coliniare. 152 Se da un patrulater inscriptibil ABCD si se' noteaza cu E punctul comun laturilor AD si BC. Perpendicularele in C si D respectiv pe CB si DA se in I. se arate ca dreapta este pe AB. 153. Fie ABCD un patrulater inscriptibil, A', C' proiectiile A si C pe diagonala BD; B', D' proiectiile virfurilor B si D pe diagonala AC. Sa se demonstreze ca patrulaterul are laturile sale paralele cu laturile lui ABCD. Prin punctele A si B comune cercurilor (0) si (0') se duc secantele CAC', DBD', care cercul (0) in C, D, iar cercul (0') in C', D'. Sa se arate ca CD si C'D' paralele. 20</p><p>155. Fie A, B punctele comune a cercuri. Prin A se duce secantà care cercurile in C, D. Sa se demon- streze ca arcele AC si AD, din cele douà cercuri, asezate de aceeasi parte a secantei, au, in grade, suma Sa se deduca de aici ca unghiul CBD este constant si legal cu suplimentul unghiu- lui format de tangentele duse in A la cele cercuri. 156. Sa se demonstreze ca diametrele AOC si AO'D a cercuri (0') care se in A si B intilnesc aceste cercuri in C si D, care coliniare cu B. 157 Se trei puncte A, B, C coliniare si un alt punct exterior M. Sa se demonstreze ca punctul M apartine cercului care trece prin centrele cercurilor BMC, CMA, AMB. 158 Trei cercuri (01), (O2), se cîte in trei puncte A, B, C situate pe o Fie CD coarda comuna cercurilor si Prin D se duc una trece prin intersectia M a cercurilor (01), si cercul (01) in A', iar cealaltà trece prin punctul N comun cercurilor (01), si cercul (01) in B'. Sa se demonstreze ca coardele AA' BB', CD paralele. Se trapezul isoscel avind baza mica DC egala cu laturile neparalele DA, CB. Fie E intersectia bazei mari AB cu diametrul cercului circumscris, corespunzator virfului D. Sa se arate ca: a) triunghiul ADE este isoscel; b) daca se ia pe baza mare EF = AE, dreapta CF intersec- cercul circumscris in punctul diametral opus lui A. 160. Se un triunghi dreptunghic ABC si fie Bx si Cy pre- catetelor AB, AC. Fie D punctul de intersectie al tri- sectoarelor unghiurilor xBC si yCB care perpendiculare 1) Tangenta in D la cercul ABC dreptele Ax si Ay in E si F. se arate ca D este mijlocul segmentului EF. Se un cerc tangent interior unui cerc (0), in punc- tul A. Prin I se duce un diametru perpendicular pe diametrul comun, care cercul (I) in B, C, iar cercul (0) in D, E (C si E de aceeasi parte a lui OA). Dreapta AE cercul (I) in F, iar dreapta AC cercul (0) in FI si PO se intilnesc in G. Sa se arate ca IG = OA si ca GD este paralela cu OA. 162. se arate ca laturile AB si AD ale unui paralelo- gram invariabil trec prin puncte fixe P, Q, atunci diagonala AC trece si ea printr-un punct fix. 1) Vezi problema 77. 21</p><p>163 Un cerc (0) este tangent laturilor unghiului xAy. Se duce o BC asa ca cercul (0) sa exinscris triunghiului ABC. se arate ca perimetrul triunghiului ABC este constant si ca BOC = const. In triunghiul ABC, A = 90°. Se iau pe BC si AB puncte M, N asa ca BAM = BCN. Sa se arate ca triunghiul BMN este dreptunghic. Prin virful A al ABCD se duce o care laturile BC si CD in E si F, dia- gonala BD in G. Sa se arate ca CG este in C cercului CEF. Tangenta in B la cercul (0) circumscris triunghiului ABC pe AC in D. Cercul (01) circumscris lui BCD inter- secteaza pe AB in E. Sa se arate a) triunghiul BDE este b) cercul circumscris lui ACE este tangent dreptei c) dreapta AO este pe DE. 167. Fie AB si AC respectiv o coarda si un diametru al ace- luiasi (0), M un punct pe AB, D piciorul perpendicularei din M pe AC si E una din intersectiile dreptei MD cu cercul (0). Sa se demonstreze ca cercurile DCE si BEM tangente. 168 BB' si inältimi in triunghiul ABC, iar H punctul lor comun, sa se arate ca AHA' es a treia 169. Fie triunghiul format de picioarele triunghiului ABC (triunghiul ortic) si H punctul lor comun. Sa se arate ca H, A, B, C centrele cercului inscris si al cercurilor exinscrise triunghiului 170. Fie centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Sa se arate ca dreptele AO, BO, CO respectiv perpendiculare pe laturile B'C', C'A', A'B' ale triunghiului ortic (teorema lui Nagel). 171. Fie P un punct arbitrar pe latura BC a triunghiului ABC, b si C proiectiile lui pe AC si AB. Fie AA', BB', CC' cele inältimi care se intilnesc in H. Din B' si C' se duc perpendicu- lare pe AP, care pe AA' in 3 si Y. Sa se demonstreze ca dreapta este pe AB, iar pe AC. 172. Pe AA' a unui triunghi oarecare ABC se ia un punct M, care se pe laturile AC si- AB respectiv in N si P. a) Sa se arate ca BMC = PA'N + A. 22</p><p>b) Sa se determine pozitia punctului M astfel ca PA'N = A. c) Daca E si F mijloacele segmente lor MB si MC, sa se afle locul geometric al punctului K de intersectie al perpendicu- larelor duse din E si F respectiv pe AB si AC, cind M se misca pe AA'. d) Sa se arate ca distanta de la punctul K la latura este segmentului MH (H ortocentrul). 173. Se un cerc fix (0) si un cerc variabil (0') care inter- secteaza cercul in puncte C si D, fixe sau mobile. In cercul (0') se ia o coarda AB paralela cu o directie data. Se duc coardele ACE, ADF, BCE', BDF', punctele E, F, E', F' find pe (0). Sa se gaseasca locul punctului comun dreptelor EF, E'F' si al punctului comun dreptelor EE', FF'. 174 Se dau drepte Ax, Ay si un punct Un cerc tre- cind prin A si laturile Ax, Ay in C si D. Prin se duc cercuri, unul tangent in C la Ax, altul tangent in D la Ay. Aceste cercuri se mai in E. Sa se arate ca punctele C, D, E coliniare. + 175. Intr-un triunghi ABC (AB < AC) se descrie din A ca centru, cu AB ca raza, un cerc care pe BC in D si pe AC in E. Cercul ADE din nou pe BC in F. Sa se arate ca AF este bisectoarea unghiului A. 176. Intr-un cerc (0) avem un diametru fix AB si un punct P mobil pe cerc. Coarda PQ perpendicular pe AB, sa se arate ca bisectoarele unghiului OPQ trec prin doua puncte fixe. 177. In triunghiul ABC latura BC este iar A este mobil pe cercul (0), ce trece prin B si C. Bisectoarele unghiului A cercul in D si E, iar latura BC respectiv in G si F. Se cere locul intersectiei dreptelor DF si EG. 178. Fie ABCD un patrulater cu M si N picioarele perpendicularelor din D si C pe dreptele para- lele (A1) si (A2) ce trec respectiv prin punctele A si B. Sa se ga- seasca locul geometric al mijlocului P al segmentului MN, cind dreptele (A1) si (A2) se rotesc in jurul punctelor A si B. 179. Un triunghi ABC are punctele fixe si C1, picioarele inältimilor care pleaca din B si C, iar segmentul BC este de lun- gime Sa se afle locul geometric al virfurilor A, B si C. 23</p><p>180. Fie ABC un triunghi oarecare, centrul cercului circumscris, P un punct oarecare din plan si M mijlocul lui OP. Transversalele unghiulare AP, BP, CP a doua oarà cercul (0) respectiv in punctele C1, iar paralela prin la AP cercul AOP in Analog punctele si C2. Sa se arate ca: a) triunghiurile si simetrice fatà de punc- tul M; b) perechile de cercuri (BPC, (CPA, C2OA2) (APB, concentrice. 181. Se coarda AB in. cercul (0) fie M un punct oarecare pe cerc si C extremitatea diametrului perpendicular pe AB, de aceeasi parte cu M. Pe AM AM' = BM. Sa se arate ca triunghiul este isoscel. In ce caz este echilateral? 182. Pe coarda AB a unui cerc se in N un punct M al cercului, iar pe tangenta in M la cerc se in a, b, punctele A, B. Sa se arate ca cercul Nab este tangent la coarda AB. 183. Fie A si B punctele de intersectie a doua cercuri. Prin punctul A se duce o secanta care cercurile in C si D. Sa se arate ca dreapta PQ, care uneste proiectiile punc- tului B pe tangentele in C si D la cercurile date, tan- genta la cercul descris pe AB ca diametru. 184. Sa se demonstreze ca trei cercuri trec fiecare prin cite un al triunghiului ABC si se pe laturile acestui triunghi, ele trec toate trei prin acelasi punct. 185. Dintr-un punct fix P se duc tangentele PM, PN la un cerc variabil care trece prin puncte date A si B. Sa se arate ca cercul PMN, M si N fiind punctele de contact ale tangente- lor, trece printr-un punct fix, diferit de P. 186. Pe cercul (0) se ia un punct A. dreaptà fixa ce trece prin A din nou cercul in S. P un punct fix in plan, se Cere locul punctului M de intilnire a dreptei PS cercul (0), cind centrul acestuia descrie o dreaptà trecind prin A 187. Se un cerc (0), pe el un punct fix A si un alt punct fix P in planul cercului. Fie (A) o ce trece prir P. Perpendiculara dusa din A pe (A) cercul (0) doua in M. Se cere locul simetricului punctului M de dreapta (A). 188. Din virful D al patratului ABCD, cu DA ca S descrie in interiorul patratului arcul AC. Tot in interior se de scrie, pe AD ca diametru, un semicerc. Se ia pe arcul AC 24</p><p>punct arbitrar P care se in Q pe AB, iar PD intersec- teaza semicercul in R. Sa se arate PQ = PR. 189. Pe laturile unui triunghi ABC se construiesc, in triunghiuri echilaterale. Sa se demonstreze centrele acestor tri- unghiuri formeaza un triunghi echilateral. 190. triunghiurile echilaterale din problema A'BC, B'CA, C'AB, sa se arate ca AA', BB', 'CC' con- curente. 191. Fie A un punct fix luat pe latura Ox a unghiului xOy. Se duce un cerc oarecare (C) tangent la Ox si Oy; fie D punctul de contact cu Oy. Din A se duce la acest cerc a doua care il atinge in E. Sa se arate ca oricare ar fi cercul (C) dreapta DE trece printr-un punct fix. 192. Pe cercul avem un punct fix A si un punct mobil P. Se cere locul punctului M unde bisectoarea unghiului POA inter- secteaza cercul POA. 193. Acelasi enunt ca in problema dar A nu este pe cercul (0). 194. Unui cerc (0) i se duce o AB de alte tangente paralele. Sa se arate ca unghiul AOB este drept. 195. Prin virfurile B, C ale triunghiului ABC se duc drepte paralele care cercul ABC in D si E. Sa se gaseasca locul punctului M de intilnire a dreptelor BD si AE. 196. Sa se locul geometric al punctelor de intilnire ale laturilor neparalele ale trapezelor isoscele inscrise intr-un cerc dat care au ca o coarda data a cercului. 197. Trei cercuri egale, care au un punct comun H, se mai cîte in punctele A, B, C. Sa se demon- streze ca si cercul circumscris triunghiului ABC este legal cu cercurile date 1) 198. Se da un cerc (0), coarde concurente BC si B'C' si P intersectia lor, Q al doilea punct de intersectie al cercurilor si PBB', (01) si centrele lor. Sa se demonstreze ca unghiul OQP este drept si ca 001 199. Se o OD pe care avem un punct fix si un punct A in plan. Se duce prin A o secantà care intil- 1) "Problema piesei de 5 lei" de G. Titeica intii experimental, la un concurs al Gazetei Matematice pe cind desena cercuri pe o fcaie de hirtie cu o piesa de 5 lei. 25</p><p>neste pe OD in B. Cercul tangent in B dreptei OD si avind cen- trul O' pe OA secanta in alt punct C. Sa se demon- streze ca tangenta in C la cercul precedent trece printr-un punct fix. 200. Se considerà un punct M mobil pe latura Ox a unghiului fix xOy si un alt punct fix N in acelasi plan. Fie P proiectia punctului M pe Oy si Q proiectia punctului pe dreapta MN. se arate ca dreapta PQ trece printr-un punct fix. 201. Fie A', B', C' simetricele virfurilor A, B, C ale unui tri- unghi ABC in raport cu mijloacele laturilor BC, CA, AB. Sa se arate ca cercurile A'BC, B'CA, C'AB trec prin acelasi punct si sa se demonstreze apoi ca acest punct este ortocentrul triunghiu- lui ABC. 202. Sa se afle locul proiectiei punctului de intilnire al milor unui triunghi ABC, in care latura BC este si A con- stant, pe mediana ce pleaca din A. 203. Intr-un triunghi ABC se duce bisectoarea AA'. Cercurile circumscrise triunghiurilor ABA', ACA' laturile AC, AB in M si N. Sa se demonstreze ca BN = CM. 204. Se dau patru puncte A, B, C, D nesituate pe un cerc, din care trei nu in linie Un cerc care trece prin trei din aceste puncte contine in interior pe al patrulea, sau il in Din cele patru cercuri care se pot duce prin trei din punctele A, B, C, D, pe al patrulea in si cîte 205.) Intr-un patrulater convex circumscris unui dat, cele doua coarde de contact ale laturilor opuse perpendiculare. Sa se arate ca acest patrulater este inscriptibil. 206. Intr-un cerc (0) se duc diametre AB si CD. Se iau de la A spre D si de la C spre B, respectiv arcele egale AM si CN. Sa se arate ca tangentele in punctele A, D, M, N se intersec- teaza in patru puncte situate pe acelasi cerc. 207 Se patrulaterul inscriptibil ABCD. Fie A1, D1 virfurilor A, D pe dreapta BC si B1, C1 proiectiile B, C pe dreapta AD. Sa se arate ca: a) patrulaterul este inscriptibil; b) centrele cercurilor ABC, si un paralelogram. Fie, acum, C1 proiectiile A, C pe diagonala BD si B1, proiectiile B, D pe diagonala AC. Sa se arate ca cele se cu aceeasi enuntare. 26</p><p>208. Fie un patrulater inscriptibil, E intersectia perpendicu- larei in A pe AD cu BC si F intersectia perpendicularei in A pe AB cu CD. Sa se arate ca EF trece prin centrul cercului circum- scris patrulaterului. 209. In patrulaterul inscriptibil ABCD, virful A este fix, furile B si C descriu respectiv drepte trecind prin A, iar diagonala BD trece printr-un punct fix E. Sa se demonstreze ca unghiul ABC este constant, dreapta CD trece printr-un punct fix. ABCD un patrulater inscriptibil, se duce un cerc care trece prin A si B, un al doilea prin B si C, un al treilea prin C si D si un al patrulea prin D si A. Aceste patru cercuri se succesiv in patru puncte L, M, N, P, de A, B, C, D. Sa se demonstreze ca patrulaterul LMNP este in- scriptibil. 211. Cercurile (BC) si (CB) care trec prin virfurile B si C ale triunghiului ABC tangente respectiv la laturile AC si AB (cercuri Ele intilnesc din nou laturile AB, AC in si Sa se arate ca: a) tangentele in si M2 la cercurile (BC) si (CB) se inter- secteaza intr-un punct M al cercului b) tangentele in B si C la cercurile (BC) si (CB) se intersec- teaza in Q pe cercul circumscris lui ABC. 212. Se un triunghi echilateral ABC. se gaseasca locul punctelor M pentru care MA MB + MC. 213. Se patrulaterul ABCD si prin D se duce o ce pe AB in P si pe BC in Q. Se cere locul geome- tric al lui M, al doilea punct de intersectie al cercurilor APD si DCQ. 214. Se da un cerc (0) si o (D) si se considerà toate cercurile tangente la cercul (0) si la dreapta (D). Sa se arate ca dreapta care uneste punctele de contact cu (0) si cu (D) trece prin- tr-un punct fix. 215. Sa se duca un cerc depärtat 1) de trei puncte date. 216. Sa se duca un cerc depärtat de patru puncte date. 217. Se dau puncte fixe A si B si pe dreapta AB un punct variabil C. Un cerc de centru trece prin A si C, iar altul cu centrul trece prin B si C. Cercurile (0) si (01) se a doua in punctul M. Stiind ca centrele si descriu res- pectiv drepte fixe (A) si (A1), se cere: a) locul punctului 1) A este un punct, (0) un cerc si AO cercul in B, AB este distanta de la A la cerc. 27</p><p>b) sa se arate cà secanta comuna cercurilor (0) si (01) trece printr-un punct fix. 218. Se un unghi xAy si dintr-un punct luat pe Ax, cu OA ca se descrie un cerc care pe Ay in B, iar tangenta in B la acest cerc pe Ax in C. Se cere locul centrului cercului circumscris triunghiului ABC, cind variaza pe Ax. 219. Sa se demonstreze ca intr-un patrulater complet ABCDEF, cercurile circumscrise celor patru triunghiuri formate de laturile patrulaterului lui Miquel) se intilnesc punct (punctul lui Miquel). 220. se demonstreze ca punctul lui Miquel si centrele cercu- rilor lui Miquel sint cinci puncte conciclice. 221. Sa se demonstreze ca punctul lui Miquel M, din proble- mele precedente, se gaseste pe diagonala EF, daca patrulaterul ABCD este inscriptibil. 222. Se o (D) si un punct A nesituat pe Prin A si printr-un punct M al dreptei (D) se duce un cerc tan- gent in M la (D). Se mai duce un alt cerc tangent in A la AM si avind centrul C pe (D). Se cere locul punctului al doilea de intersectie al celor cercuri, cind M descrie dreapta (D). 223. Prin virfurile A si C ale unui triunghi ABC se duc tan- gentele AS si CS la cercul circumscris. Din S, intersectia acestor tangente, se duc secante paralele respectiv cu laturile AB si BC, care cercul si laturile si AB respectiv in M, N, P si M', N', P'. Sa se demonstreze ca P si P' mijloacele coardelor MN si M'N' si sa se locul punctelor P si P' cind virfurile A si C sint fixe, iar B descrie cercul cir- cumscris. 224. Fie ABC un triunghi inscris in cercul (0) si A', A" punc- bisectoarele unghiului A intilnesc cercul (0). Se noteaza cu P' si Q' proiectiile lui A' pe AB si AC si cu P" si Q" pro- lui A pe AB si Prin P' si Q' se duc paralele la AA', care intilnesc pe BC in si C1, iar prin P" si Q" se duc para- lele la AA", care pe BC in si C2. Sa se arate ca BC = = 225. Se cele patru triunghiuri formate de patru drepte dintr-un plan. se arate ca fiecare triunghi are egale cu unghiurile triunghiului format de centrele cercurilor circumscrise celorlalte trei. 226. Se considerà un patrulater complet ABCDEF. Fie K, L, M, N, P, Q mijloacele laturilor AB, BC, CD, DA si ale diagona- 28</p><p>lelor AC, BD al caror punct de intilnire este G. Sa se demonstreze ca cercurile circumscrise triunghiurilor EKM, FLN si GPQ au un punct comun (E este punctul comun laturilor AB, CD iar F al laturilor AD, BC). 227. Se patru drepte si cele patru cercuri circum- scrise triunghiurilor formate de aceste patru drepte. Prin fiecare punct de intilnire al acestor drepte se duc diametrele cercurilor care trec prin acel punct. Sa se arate ca cele doisprezece diametre astfel obtinute se intilnesc trei cite trei in opt puncte situate pe un cerc care trece si prin punctul comun celor patru cercuri considerate. 228. Se patrulaterul ABCD ortodiagonal (avind dia- gonalele perpendiculare) si inscriptibil. Fie K, L, M, N proiec- tiile punctului P in care se intilnesc diagonalele, pe laturile AB, BC, CD si DA K', L', M', N' mijloacele acestor laturi, iar centrul cercului ABCD. Sa se demonstreze a) dreptele PK, PL, PM, PN sint bisectoarele unghiurilor patrulaterului KLMN; b) patrulaterul KLMN este inscriptibil si circumscris unui cerc cu centrul P; c) dreptele KM', MK', LN', trec prin punctul d) cercul KLMN trece si prin' punctele K', L', M', N' (cercul celor opt puncte ale patrulaterului ortodiagonal inscriptibil) e) centrul al cercului celor opt puncte se afla la mijlocul segmentului OP. 229. Sa se demonstreze ca trei antiparalele cu laturile unui triunghi, egale, inscrise in unghiurile acestui triunghi, determina pe laturi sase puncte conciclice (cercul lui Tucker). 230. Sa se demonstreze ca daca se circumscriu cercuri triun- ghiurilor formate de fiecare a unui pentagon si prelungirile laturilor adiacente, cele cinci puncte de intilnire ale cercurilor conciclice (pentagrama lui Miquel). Capitolul VI ALE TRIUNGHIULUI IN CU CERCUL CIRCUMSCRIS 231. Fie B1, C1 intersectiile inältimilor AA', BB', CC' ale triunghiului ABC cu cercul circumscris (0). Sa se arate ca A1, simetricele ortocentrului H in raport cu laturile BC, 29</p><p>CA, AB. se deduca apoi ca dreptele OA, OB, OC sint perpen- diculare pe laturile B'C', C'A', A'B' ale triunghiului ortic. 232. Sa se demonstreze ca triunghi ABC, punctul H de intilnire al inältimilor, mijlocul M al laturii BC si punctul diametral opus lui A, in cercul circumscris, coliniare. / 233. centrul cercului circumscris triunghiului ABC si pastrind aceleasi notatii ca problema sa se arate ca distanta OM este distantei AH. 234. Cu ajutorul proprietatii precedente sa se arate ca media- nele unui triunghi concurente (dreapta OH se numeste dreapta lui Euler). 235. Fie ABC un triunghi, A', B', C' picioarele inältimilor, care se intilnesc in H; A", B", C" mijloacele laturilor; B1, C1 mijloacele segmentelor AH, BH, CH. Sa se demonstreze ca cele puncte precedente conciclice (cercul lui Euler sau cercul celor puncte). (236. se demonstreze ca cercul lui Euler al triunghiului ABC trece prin simetricele centrului cercului circumscris (0), de laturile triunghiului A'B'C', format de mijloacele laturilor lui ABC (triunghi median sau 237. Fie unde simediana AK a unui triunghi oare- care ABC intilneste cercul circumscris triunghiului si A3 picioarele bisectoarelor interioarà si ale unghiului A. Sa se demonstreze ca dreptele si dreptunghiulare. (Simediana este simetrica medianei de bisectoare, adica izo- gonala medianei). 238. Fie B' si C' mijloacele laturilor AC si AB ale unui tri- unghi ABC. Prin aceste puncte se duc drepte B'P, C'Q para- lele intre ele. Fie M punctul de intersectie a cercului ce trece prin A si B', tangent la B'P, cu cercul care trece prin A si C', tangent la C'Q. Sa se arate ca punctul M se gaseste pe cercul A' mijlocul lui BC. 239. Sa se demonstreze reciproca teoremei precedente, adica: M un punct al cercului tangentele in B' si C' la cercurile si AMC' paralele. 240. AA' a triunghiului ABC intilneste din nou cercul circumscris in D. Sa se arate ca este centrul cercului circumscris triunghiului, simetricele dreptelor OB, OC, OD res- pectiv in raport cu AB, AC, BC sint trei drepte paralele. 241. Fie a mijlocul segmentului ce uneste virful A al triunghiu- lui ABC cu ortocentrul A', B', C' mijloacele laturilor triun- ghiului. Fie de asemenea D si E centrele cercurilor si 30</p><p>se arate ca este paralelogram si ca B'D este parale] cu aA' si cu lui. 242. Fie A', B', C' mijloacele laturilor triunghiului ABC. Se virfurile B, C in C1 pe o (D) care trece prin A. Sa se demonstreze locul punctului de intilnire al drep- telor si cind dreapta (D) se roteste in jurul lui A, este cercul celor puncte al lui ABC. 243, Sa se demonstreze ca H ortocentrul triunghiului ABC, cercul BHC intilneste pe AB in punctul M simetric cu A fatà de virfului C. 244. Fie H ortocentrul triunghiului ABC, iar Oa, cen- trele cercurilor lui Carnot BHC, CHA, Sa se arate ca triun- ghiurile ABC, egale, au acelasi cerc al celor puncte si aceeasi a lui Euler. 245. Sa se demonstreze cercul circumscris triunghiului anti- complementar (triunghi format ducind prin fiecare virf al triun- ghiului o paralela la latura opusa) al triunghiului ABC este tan- gent la cercurile BHC, CHA, AHB din problema 246. Fie I centrul cercului inscris in triunghiul ABC si triunghiul complementar. se demonstreze cen- trele cercurilor lui Euler ale triunghiurilor BIC, CIA, AIB sint situate pe bisectoarele triunghiului complementar 247. Fie A' B', C' punctele in care triunghiului ABC intilnesc a doua cercul circumscris, A1, C1 punctele dia- metral opuse punctelor A', B', C', iar C2 respectiv inter- sectiile perechilor de drepte (CC1, AA1), (AA1, se arate ca este centrul cercului lui Euler al triunghiului A2B2C2. 248. Fie A' mijlocul distantei AH dintre virful A al triunghiu- lui ABC si punctul H de intilnire al inältimilor, A" mijlocul lui BC si centrul cercului circumscris. Sa se demonstreze ca A'A" trece prin mijlocul segmentului HO, adica este un diametru al cercului celor puncte. 249. In triunghiul ABC, A = 90° AC > AB. Un cerc de centru A si de AC pe BC in C'. Sa se arate ca in triunghiul ABC' centrul cercului celor puncte se afla pe BC'. 250. In virfurile B, C ale unui triunghi dat ABC se ridica per- pendiculare pe BC, care cercul circumscris in D si E. Fie P un punct mobil pe cercul ABC, H si H' ortocentrele 31</p><p>triunghiurilor ABC si PDE. Se cere locul mijlocului segmentu- lui HH'. 251. Sa se demonstreze ca simetricele unui triunghi ABC, in raport cu trei drepte trecind prin virfurile respective si avind aceeasi directie, se intilnesc intr-un punct al cercului cir- cumscris triunghiului ABC. 252. Sa se demonstreze reciproca teoremei precedente, adica: D un punct al cercului circumscris triunghiului ABC si A', B', C' sa se arate ca bisectoarele unghiu- rilor DAA', DBB' si DCC' paralele. 253. Fie ABC un triunghi inscris intr-un cerc (0), triun- ghiul format ducind prin A, B, C tangente la cercul (0). Prin B' si C' se duc paralele la BC; prima pe AB in Y, a doua pe AC in Sa se arate ca punctele si se gasesc pe dia- metrul cercului (0), perpendicular pe BC. 254. Fie (BC), (CB) cercurile ce trec prin virfurile B si C ale triunghiuiui ABC si tangente respectiv la laturile AC, AB, iar (CA), (AC) si (AB), (BA) cercurile analoge (cercurile ad- juncte). Sa se arate ca cercurile (AB), (BC), (CA) trec prin acelasi punct (primul punct sau punctul retrograd al lui Brocard), iar cercurile (BA), (CB), (AC) au de asemenea un punct comun (al doilea punct sau punctul direct al lui Brocard). 255. Sa se demonstreze ca cercurile adjuncte (BA), (CA) si cercul BOC au un punct comun, cent ul cercului circum- scris lui ABC. 256. O laturile unui triunghi ABC in punctele A', B', C'. Paralelele duse din triunghiului la secantà cercul circumscris in A", B", C". Sa se demon- streze ca dreptele A'A", C'C" se intilnesc punct M al cercului circumscris. 257. Dintr-un punct M al cercului circumscris unui triunghi ABC se perpendicularele MD, ME, MF pe BC, CA, AB. Sa se arate ca punctele D, E, F coliniare (dreapta lui Simson a punctului M in raport cu triunghiul ABC). 258. Fie M un punct pe cercul circumscris triunghiului ABC. Sa se demonstreze ca proiectiile D, E, F ale punctului M, in acelasi sens si sub acelasi unghi pe laturile triunhghiului A BC, se gasesc pe o (Dreapta lui Simson de unghi a punctului M in raport cu ABC). 259. Perpendiculara coborità din M, situat pe cercul circum- scris triunghiului ABC, pe latura BC, intilneste din nou cercul 32</p><p>in se demonstreze ci dreapta lui Simson DEF a punctului M in raport cu ABC este paralela cu 260. Intr-un cerc (0) se dau coarde AB si CD. Se proiec- teaza un punct M al cercului pe dreptele AB, AD, CB, CD respectiv in punctele A', B', C', D'. Sa se demonstreze ca drep- tele A'B' si C'D' se intilnesc pe dreapta iar A'C' si B'D' pe dreapta AC. 261. Prin virfurile triunghiului ABC se trei drepte para- lele AA', BB', CC'. se demonstreze ca simetricele acestor drepte, respectiv de bisectoarele unghiurilor A, B. C (izogo- nalele celor trei ceviene paralele) se intilnesc intr-un punct al cercului circumscris lui ABC punctului de la infinit al directiei cevienelor paralele). 262. se demonstreze reciproca precedentei, adica sa se arate ca M fiind un punct al cercului circumscris triunghiului ABC, izogonalele cevienelor AM, BM, CM trei drepte paralele. 263. Dreapta lui Simson DEF a unui punct M in raport cu triunghiul ABC trece prin mijlocul N al segmentului ce uneste pe M cu ortocentrul H al triunghiului. Sa se demonstreze ca laturile si inältimile determina pe trei segmente cu mijlocul in N. 264. Sa se arate ca proiectiile D, E, F ale unui punct M laturile BC, CA, AB ale unui triunghi ABC coliniare, atunci M se afla pe cercul circumscris triunghiului. 265. Sa se demonstreze ca dreptele lui Simson in raport cu triunghiul a puncte M si N, fac intre ele un unghi legal cu acela a pe cercul circumscris lui ABC este arcului MN. 266. Dreptele lui Simson ale extremitatilor unui diametru al cercului circumscris triunghiului ABC se intilnesc intr-un punct al cercului lui Euler. Sa se demonstreze ca dreapta lui Simson a acestui punct in raport cu triunghiul median al lui ABC este cu diametrul considerat. 267. triunghiuri inscrise in acelasi cerc (0) si un punct P mobil pe cercul (0). Sa se demonstreze dreptele lui Simson ale punctului P in raport cu cele triunghiuri fac intre ele un unghi constant. 268. Pe un cerc se iau patru puncte A, B, C, M. se cercurile descrise pe coardele AM, BM, CM ca diametre se in trei puncte coliniare (teo- rema lui Salmon). - Probleme de 538 33</p><p>269. Pe coardele MA, MB, MC ale cercului (0) se descriu seg- mente de cerc capabile de acelasi unghi Cele sase cercuri astfel formate se intilnesc in sase puncte care se gasesc trei trei pe drepte. 270. Fie centrul cercului circumscris triunghiului ABC si H ortocentrul lui, MN o a cercului circumscris, perpendi- pe BC in D; M', N' mijloacele lui HM si HN; si intersectiile lui DM' si DN' cu AC. Se cere sa se arate ca si NN1 paralele. 271. Trei drepte paralele cu o directie data si prin furile A, B, C ale triunghiului ABC cercul circum- scris in A', B', C'. Sa se arate ca perpendicularele duse din A', B' si C' pe BC, CA si AB concurente si ca proiectiile A1, B1, C1 ale punctelor A', B', C' pe aceleasi laturi coliniare. 272. Trei drepte paralele, duse prin virfurile unui triunghi ABC, intilnesc cercul circumscris in A", B", C". Sa se demonstreze ca dreptele ce unesc un punct M al cercului circumscris cu punctele A", B", C" intilnesc laturile BC, CA, AB in punctele A', B', C', care se gasesc pe o dreaptà paralela cu directia paralelelor duse (teorema lui Aubert). 273. Sa se dreptele lui Simson in raport cu triunghiul ABC ale puncte: a) virfurile triunghiului; b) punctele diametral opuse virfurilor; c) punctele de intersectie ale inältimilor cu circumscris; d) picioarele bisectoarelor interioare pe cercul ABC; e) picioarele bisectoarelor exterioare pe cercul ABC. 274. Se considerà un triunghi ABC inscris intr-un cerc de centru O. Fie M un punct pe cercul (0) si DEF dreapta lui Simson a punctului M in raport cu ABC. Sa se arate ca unghiurile de baza ale triunghiurilor isoscele OAM, OBM, OCM egale cu unghiurile pe care dreapta DEF le face cu laturile triunghiului ABC. 275. se demonstreze ca dreapta lui Simson xy a unui punct M de pe cercul circumscris triunghiului in raport cu un triunghi este dreapta lui Simson a punctului M in raport cu o infinitate de triunghiuri inscrise in acelasi cerc. 276. se pe cercul circumscris unui triunghi ABC un punct I asa ca dreapta lui Simson a lui in raport cu triun- ghiul ABC sa o directie data (D). 277. Pe cercul (0) circumscris triunghiului ABC, se iau puncte B', C' si punctul A' a dreaptà Simson in 34</p><p>raport cu ABC este pe Sa se arate tri- unghiurile ABC si (numite triunghiuri S) se de proprietati: a) avem, in si semn, relatia arc AA' + arc BB' + arc CC" = 0; b) dreapta lui Simson a virf al triunghiului A'B'C' in raport cu ABC, este pe latura c) dreptele lui Simson ale virfurilor lui A'B'C' in raport cu ABC si ale virfurilor lui ABC in raport cu A'B'C' trec prin ace- lasi punct care se afla la mijlocul distantei NN' dintre ortocentrele celor doua triunghiuri. 278. Fie (ABC, si (ABC, perechi de triun- ghiuri S inscrise in acelasi cerc. se demonstreze ca triunghiurile si triunghiuri S unul de 279. Sa se demonstreze dreapta lui Simson a unui punct M, in raport cu triunghiurile inscrise in acelasi cerc cu triunghiul ABC, fatà de care sint triunghiuri S, o directie 280. Fie M si N punctele in care dreapta (D) intilneste cercul (0) circumscris triunghiului ABC. Se virfurile triun- ghiului ABC in A', B', C' pe (D). se demonstreze ca perpendicu- larele din A', B', C' respectiv pe laturile BC, CA, AB trec prin acelasi punct [ortopolul dreptei (D) in raport cu triun- ghiul ABC], care se gaseste la intilnirea dreptelor lui Simson ale punctelor M si N. 281. Fie M si N punctele in care o dreaptà (D) cercul circumscris triunghiului ABC, iar A', B', C' proiectiile de unghi Q ale virfurilor lui ABC pe (D). Sa se demonstreze ca proiec- tantele de unghi ale punctelor A', B', C' facute in acelasi sens, respectiv pe laturile BC, CA, AB, trec prin acelasi punct [izopolul de unghi Q al dreptei (D) de ABC care apartine dreptelor lui Simson de unghi ale punctelor M si N in raport cu ABC. 282. Se intr-un plan un cerc (0), un punct H si o (D), fixe. Se cere locul ortopolului dreptei (D) de triunghiul ABC, variabil, care este inscris in cercul si are punc- tul H drept ortocentru. 283. Sa se determine locul ortopolului unei drepte fixe (D) fatà de triunghiul ABC, cind latura BC este iar unghiul A constant. 284. O dreaptà (D) cercul circumscris triunghiu- lui ABC in M si N. Se punctele B, C pe (D) in B', C' iar M, N pe BC in M', N'. Ortopolul dreptei (D) de triun- 35</p><p>ghiul ABC se pe cercul circumscris patrulaterului se enunte si se demonstreze o proprietate pentru izopol. 285. Se triunghiuri A2B2C2 inscrise in acelasi cerc (0). se demonstreze ca dreptele lui Simson de unghi ale virfurilor primului triunghi fatà de trec printr-un punct, atunci dreptele Tui Simson de unghi ale celui de-al doilea triunghi fatà de primul trec prin acelasi punct. 286. Fie ABCDEF un patrulater complet. Sa se arate ca orto- centrele triunghiurilor formate de cite trei din laturile patrulate- rului se pe o (dreapta lui Aubert). 287. I centrul cercului inscris in ABC, A' mij- locul arcului BC din cercul circumscris triunghiului, sa se arate ca A'B = A'C = A'l. 288. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Sa se demonstreze ca centrele cercurilor inscrise in triunghiurile ABC, BCD, CDA, DBA sint virfurile unui dreptunghi. 289. Sa se demonstreze ca intr-un patrulater inscriptibil per- pendicularele din mijlocul laturi (sau a unei dia- gonale) pe latura opusa (sau pe trec prin ace- lasi punct (anticentrul patrulaterului inscriptibil). 290. Sa se demonstreze anticentrul unui patrulater inscrip- tibil apartine: a) dreptelor lui Simson ale virfurilor in raport cu triunghiurile formate prin unirea virfurilor ale terului; b) cercurilor celor puncte ale celor patru triunghiuri for- mate de trei virfuri ale patrulaterului. 291. Se un triunghi ABC si se duce prin ortocen- trul H o care intilneste laturile AB si in punctele M si N. Fie punctul de intilnire al perpendicularelor ridicate in M si N respectiv pe laturile AB si AC, iar P punctul de intil- nire al dreptei AO cu cercul circumscris triunghiului ABC. Sa se arate ca este centrul cercului inscris in triunghiul MNP si MN se roteste in jurul lui H, dreptele PM si PN trec prin cîte un punct fix. 292. Sa se demonstreze ca paralelele duse din centrul I al cercului inscris unui triunghi ABC la dreptele care unesc un punct M al cercului circumsoris cu punctele A1, C1, unde bisectoarele interioare sau cercul circumscris, intilnesc laturile triunghiului in trei puncle coliniare 293. Sa se demonstreze ca cele drepte, determinate in problema de bisectoarele interioare si exterioare cores- punzatoare aceluiasi punct de pe cercul circumscris, paralele. 36</p><p>291. Virfurile unui triunghi dreptunghic ABC impart cercul circumscris in trei arce. Se duc tangente la fiecare din aceste arce astfel ca lungimile acestora, cuprinse prelungirile laturilor sa mijloacele in punctele de contact. arate ca punctele de contact virfurile unui triunghi echilateral (teorema lui Pollock). 295. O dreaptà oarecare, care trece prin ortocentrul H al tri- unghiului ABC, laturile BC, CA, AB respectiv in B, se demonstreze ca Ha, sint simetricele lui H in raport cu aceleasi laturi, dreptele sint con- curente intr-un punct M al cercului circumscris ABC. 296. Si se demonstreze ca simetricele unui diametru (d) al cercului (0) circumscris triunghiului ABC, in raport cu laturile triunghiului complementar concurente in w, ortopo- lul dreptei (d). 297. Fie a, b, C proiectiile virfurilor triunghiului ABC (A), iar a, 3, Y simetricele punctelor b, c, in raport cu latu- rile triunghiului complementar al lui ABC. Sa se demonstreze ca centrul cercului circumscris triunghiului apartine cercului celor puncte. 298. Sa se demonstreze ca ortopolul ? al unei drepte (A) in raport cu triunghiul ABC apartine unuia din cercurile tritangente triunghiului format de simetricele lui (A) in raport cu laturile tri- unghiului complementar. Capitolul VII TRANSLATIE. SIMETRIE. ROTATIE 299. Sa se demonstreze ca daca prin fiecare punct M al unui cerc (0) se duce cîte un segment MN de lungime intr-o directie si totdeauna in acelasi sens, locul lui N este un alt cerc (0'). 300. Aceeasi problema ca mai sus in care se inlocuieste cercul (0) cu o curba oarecare (C). se arate ca locul geometric este curba (C'), de aceeasi forma cu (C). 301. se demonstreze ca prin virfurile A, B, C ale unui triunghi se duc segmente paralele AA' = BB' = CC' in acelasi sens si H si H' sint punctele de intilnire ale triun- ghiurilor ABC, A'B'C', atunci HH' este legal si paralel cu AA'. 302. Doua segmente egale AB, A'B' paralele, sensul de la A la B este contrar sensului de la A' la B'. se centrul de rotatie care aduce pe A in A' si pe B in 37</p><p>303. segmente egale AB, A'B' astfel situate ca AA si BB' sint paralele. Sa se centrul de rotatie care aduce pe A in A' si pe B in B'. 301. Doua segmente egale AB, A'B' asezate oricum in plan. Sa se centrul de rotatie care aduce pe A in A' si pe B in B'. Sa se arate ca patrulaterul ABB'A' este convex, centrul de rotatie nu se poate gasi in interiorul patrulaterului. 305. Sa se demonstreze ca coarde egale AB, CD ale unui cerc se in M, atunci AM = CM si BM = DM, segmentele AM si CM fiind cele mai mici pe fiecare 306. se demonstreze ca figuri simetrice in raport cu un punct se pot suprapune printr-o rotatie. 307. Sa se demonstreze ca figuri simetrice ale unei figuri date in raport cu centre de simetrie se pot suprapune prin- tr-o translatie. 308. Sa se demonstreze ca simetrii succesive in raport cu drepte paralele se pot inlocui printr-o translatie. 309. Sa se demonstreze ca simetrii succesive in raport cu drepte concurente se pot inlocui printr-o rotatie. 310. In general trecerea de la o figura (F) la (F") prin simetrii succesive nu este o operatie comutativa. Sa se afle pentru ce unghi al axelor de simetrie operatia devine comu- 311. triunghiuri egale, dar orientate in sens Contrar, pot fi aduse sa coincida printr-o translatie, urmatà de o simetrie? In cîte moduri? 312. In ce caz simetricele unui punct M, in raport cu laturile triunghiului ABG, trei puncte coliniare ? 313. Fie ABC un triunghi echilateral. Se roteste o suc- cesiv imprejurul lui A, B, C, in acelasi sens, cu 60°. Sa se centrul rotatiei care aduce figura initialà sa coincida cu cea 314. Se un punct fix A si o dreaptà xy. Se uneste A cu un punct B al dreptei xy si se construieste triunghiul echilateral ABC. se afle locul lui C cind B se misca pe xy. Sa se studieze si cazul cind dreapta xy se inlocuieste cu un cerc. 315. Se roteste un patrat ABCD in jurul punctului A si fie noua pozitie, iar a unghiul de rotatie. Se cere: a) locul geometric al intersectiei dreptelor BB', DD' cind a b) sa se arate ca dreptele BB', CC' si DD' concurente. 38</p><p>316. Triunghiul ABC, de se misca in planul dreptele AB, AC trecind respectiv prin punctele fixe P si Q. se demonstreze ca latura BC la un cerc. 317. Se dau trei drepte Ox, Oy si (D). Sa se pe Ox un punct A si pe Oy un punct B astfel ca dreapta (D) sa fie media- toarea segmentului AB. 318. se un triunghi isoscel cunoscind virful A si stiind ca virfurile B, C se respectiv pe dreptele (D1) si (D2), iar baza BC este paralela cu directia (A). 319. Intr-un cerc se duc coarde AB si CD. Sa se pe cerc un punct M astfel ca, MA si MB intersectind pe CD, in F si G, segmentul FG sa o lungime data. 320. Se un punct fix P, drepte paralele (D1) si (D2) si o oarecare (D). Sa se duca prin P o dreaptà care sa intersecteze pe (D1), (D2) si (D) in A, B si C, astfel ca AB = PC. 321. Sa se un triunghi echilateral ABC care are virful A dat, iar virfurile B si C sa fie asezate: a) pe drepte paralele date (D), (D') b) pe o dreaptà (D) si un cerc (w) date. 322. Sa se un triunghi echilateral care sa virfurile sale pe trei drept paralele date sau pe trei cercuri con- centrice. 323. Intr-un cerc dat sa se inscrie un triunghi ABC cunoscind mijloacele a, r ale arcelor BC, CA, 324 Se dau cercuri si puncte A si B pe unul din cercuri. se pe cercul ce trece prin A si B un punct P astfel ca, M si N intersectiile lui PA si PB cu cerc, MN sa o lungime data. 325. Pe o dreaptà data (D), sa se gaseasca un punct P astfel ca distanta PA la o altà (D') sa fie cu distanta lui P la un punct fix al dreptei (D). 326. Aceeasi inlocuindu-se dreapta (D') printr-un cerc de centru C si raza R. 327. Se da o PQ si puncte A si B de aceeasi parte a acestei drepte. Sa se pe PQ un punct astfel ca AIP. 328. Intr-un triunghi ABC, AC este in segmentele AD si DC. Sa se pe AB un punct P asa ca segmentele AD si DC sa fie vazute din P sub unghiuri egale. 329. Fie ABCD un trapez dreptunghic, in care AB este latura pe baze. Paralela la prin intersectia I a 39</p><p>diagonalelor trapezului intilneste latura AB in E. Sa se demon- streze ca dreapta EI este bisectoarea unghiului CED. 330. Se dau cercuri (C) si si o (A). Sa se duca o secantà paralela cu (A), care sa determine in cele cercuri coarde egale. 331. Fie AB un segment de invariabil, A'B' o pozitie a acestui segment. Sa se arate ca printr-o translatie de-a lungul directiei AB si prin rotatii efectuate respectiv in jurul punctelor A si B, se poate duce segmentul AB in pozitia A'B'. 332. Pe laturile Ox si Oy ale unui unghi se iau segmentele OA si OB. Sa se determine doua drepte perpendiculare (D1) si (D2), trecind prin astfel ca proiectiile lui OA pe (D1) si ale lui OB pe (D2) sa fie egale. 333. Doua puncte P si Q insemnate pe un biliard poli- gonal XYZU.. T de n laturi, se cere sa se determine punctul M al laturii XY catre care trebuie o bila ce se afla in punctul P, pentru ca sa treaca prin Q, dupa ce se va reflecta pe laturile succesive XY, YZ, ZU... 334. Sa se demonstreze ca daca in planul unui triunghi echi- lateral ABC se ia un punct I oarecare, cu cele trei segmente IA, IB; IC se poate totdeauna forma un triunghi (D. Pompei). Capitolul VIII GRAFICE 335. Sa se la un cerc o paralela cu o 336. Sa se duca o paralela cu o dreaptà data, care sa determine intr-un cerc dat o de lungime 337. Se da un cerc si drepte paralele. Sa se construiasca tangentele la cerc care intre cele paralele un seg- ment de lungime l. Cite solutii 338. Sa se duca o la un cerc (C), astfel incit coarda pe ea de un alt cerc sa fie cu o lungime data. 339. Sa se un cerc de centru dat si intersectind un cerc (0') la extremitatile unui diametru. 340. Sa se un cerc de raza data R, tangent la un cerc (0), intr-un punct dat A. 40</p><p>7 341. Sa se construiasca un cerc de raza data R, tangent unei drepte date si trecind printr-un punct dat A. 342. Sa se construiasca un cerc de R, tangent la un cerc (0), de raza r si la o data (D). 343. Sa se un cerc de data tangent la cercuri date si (0'). Sa se un cerc de razã R, tangent la drepte date Ox, Oy. 345. Sa se un cerc de raza data R care sa deter- mine pe drepte date coarde de lungimi date. 346. Sa se un punct din care sa se vada cercuri date sub unghiuri drepte. 347. Sa se un cerc care sa printr-un punct dat A si sa fie tangent la o dreaptà data (D), intr-un punct B. 348. Sa se un cerc care sa printr-un punct A si sa fie tangent la un cerc (0), intr-un punct B. 349. Intr-un cerc (0) se o coarda AB si un punct C pe cerc. se duca prin C o care sa fie in parti egale de AB. 350. date trei puncte A, B, C, care nu in linie sa se gaseasca cu compasul un punct D, asa ca AD sa fie legal si paralel cu BC. 351. Sa se un cerc tangent la o dreaptà (D), intr-un punct dat A si la un cerc (0). 352. Sa se un cerc tangent la o (D) si la un cerc (0) intr-un punct A. 353. Sa se un cerc, la un cerc dat (0), avind centrul pe o dreaptà data (D) si trecind printr-un punct A al acestei drepte. 354. Sa se un cerc tangent la o data (D), avind centrul pe o dreaptà data (D') si trecind printr-un punct A al acestei drepte. 355. Pe prelungirea diametrului AB al unui cerc (0), sa se un punct asa ca tangentele duse de la el la cerc sa o lungime data. 356. Se o (A) si puncte A, B. Sa se deter- mine pe dreapta (A) un punct C astfel ca bisectoarea unghiului format de dreapta (A) si CA sa prin B. Discutie. 357. Din virfurile unui triunghi ABC ca centre se descrie cercuri tangente intre ele cîte 41</p><p>358. Sa se trei cercuri egale, tangente intre ele si tangente interior la un cerc dat (0). 359. Sa se un triunghi dreptunghic cind se cunoaste raza cercului inscris si inältimea coborità din virful unghiului drept. Discutie. 360. Sa se un triunghi ABC, cunoscind picioarele A', B', C' ale 361. Sa se un triunghi ABC in care cunoastem baza BC, unghiul A si AB + AC. 362. Sa se un triunghi ABC in care cunoastem latura BC, unghiul B si AB + AC. 363. Sa se un triunghi ABC, cunoscind unghiu- rile si perimetrul. 364. Se o dreaptà (D) si puncte fixe A, B. Sa se aseze pe dreapta (D) un segment MN de lungime data, astfel ca dreptele AM si BN sa fie paralele. 365. date trei puncte A, B, C care nu in linie dreaptà si o dreaptà AD prin A, sa se gaseasca pe AD un punct E, asa ca CE sa fie tangenta cercului ABE. 366. Sa se un segment, de lungime care sa pe drepte date (D1) si (D2) si sa fie paralel cu o altà (A). 367. Se dau intr-un plan drepte (D) si (D'). Sa se aseze un cerc (C) de raza data R, cu centrul pe dreapta (D) si un al doilea cerc (C'), de raza R', cu centrul pe dreapta (D') astfel ele sa fie tangente (interior sau exterior), iar tangenta lor comuna sa o directie data (A). 368. Sa se un triunghi ABC, avind un A dat, celelalte virfuri pe cercuri (0), (0') date si cunos- cind punctul G de intersectie al medianelor. 369. Sa se un triunghi ABC, cunoscind punc- tul G de intersectie al medianelor si stiind ca virful A si picio- rul M al medianei AG se pe un cerc (0), iar virfurile B, C se gasesc pe cercuri date. 370. Printr-un punct A sa se duca o tangenta AT si o secanta AMN la un cerc (0), astfel ca arc TM = arc MN. 371. Sa se un paralelogram, cunoscind lungimea unei laturi si unghiul diagonalelor. Se mai stie ca latura de lun- gime data se gaseste pe o data (A) si ca celelalte virfuri ale paralelogramului sint situate pe cercuri (0), (0'). 372. Se da un unghi drept xOy si pe latura Ox se ia un fix A. Fie C centrul unui cerc tangent in la Oy, asezat in partea 42</p><p>opusa cu A fatà de Sa se determine pozitia unui punct N pe Oy astfel ca perpendiculara din N pe NA sa fie tangenta la cercul (C). 373. Sa se inscrie cerc (0) un triunghi, asa ca din laturile sale sa fie tangente la un al doilea cerc (0'), a treia avind o directie 374. Sa se inscrie in cercul un triunghi ABC, astfel ca latu- rile AB, AC sa prin puncte date M iar unghiul B o 375. se un triunghi ABC, stiind ca laturile sale trec prin trei puncte date L, M, N, ca virfurile B, C se gasesc pe un cerc trecind prin M si N si cunoscind unghiu- lui A. 376. Se dau doua cercuri concentrice si se cere sa se constru- insca un triunghi, ale unghiuri cunoscute si care sa unul din virfuri pe un cerc, iar celelalte pe al doilea cerc. 377. Dintre toate triunghiurile echilaterale, ale laturi trec prin puncte date A, B, C, se cel de perime- tru maxim. 378. Se da cercul (0) si dreapta (A). Sa se numai cu echerul triunghiul echilateral ABC, care are virful A pe (A) si cu virfurile B, C pe cercul (0) tangent laturilor AB si AC. 379. se inscrie intr-un cerc un patrulater, cind se cunoaste punctul de intersectie al diagonalelor si cele unghiuri pe care le laturile opuse ale patrulaterului. 380. se intr-un patrulater o pe care laturile patrulaterului sa determine trei egale. 381. Sa se un triunghi dreptunghic ABC cunos- cind ipotenuza BC si segmentul B'C determinat pe AC de bisec- toarea unghiului B. 382. Sa se un triunghi dreptunghic, cind pe hirtie sint insemnate picioarele inältimii, bisectoarei si medianei duse din virful unghiului drept. 383. se un trapez ABCD, cunoscindu-i la- turile. 384. Sa se un trapez i se cunosc bazele si diagonalele. 385. se un triunghi, cind se cunosc doua laturi si mediana care din virful lor comun. 386. Sa se un triunghi cunoscind lungimea media- nei si a inältimii ce pornesc din A, cum si raza cercului circum- scris. Discutie. 43</p><p>387. Sa se un triunghi cunoscindu-i medianele. 388. Sa se construiasca un triunghi ABC cunoscind unghiul A, mediana AA' si diferenta AB-AC. 389. se construiasca un triunghi ABC cunoscind latura BC, piciorul A' al AA' si stiind ca BAC = 2 ABC. 390. Sa se un triunghi ABC cunoscind latura AB, unghiul ABC si unghiul A'AC, A' fiind mijlocul lui BC. 391. Sa se un triunghi ABC cunoscind picioarele A1, A3 ale inältimii, bisectoarei si medianei duse din A al triunghiului, cum si distanta d de la virful A la orotcentrul H al triunghiului. 392. Se dau cercuri (0), (0') situate de aceeasi parte a unei drepte xy. Sa se determine pe xy un punct A asa ca AB fiind o la (0), AB' la (0'), sa avem xAB = 393. Sa se un triunghi ABC cunoscind virfurile B, C si centrul al cercului celor noua puncte. 394. se un triunghi ABC cunoscind centrul al cercului circumscris, mijlocul uneia din laturi si mijlocul lui AH, H fiind ortocentrul triunghiului. 395. Sa se un patrat ABCD cunoscind un virf A si stiind ca diagonalei BD se gasesc pe drepte paralele date. 396. Sa se un triunghi ABC cunoscind diferenta BD-DC a proiectiilor laturilor AB, pe BC, inältimea rela- la latura si B. 397. Se un cerc (0) si un punct exterior. A. Sa se duca prin A o dreaptà care sa intersecteze cercul in puncte M si N asa ca AM=MN. 398. Se dau cercuri concentrice si un punct A pe cercul exterior. Sa se duca prin A o care sa determine in cercul exterior o de trei ori mai mare decit coarda in cercul interior. 399. Se dau cercuri si (O2) si o (D). Sa se pe (01) un punct A si pe (O2) un punct B, astfel ca dreapta (D) sa fie mediatoarea segmentului AB. 400. Sa se un triunghi ABC cunoscind A, punctul G de intilnire al medianelor si centrul al cercului celor puncte. 44</p><p>401. Sa se un triunghi ABC cunoscind latura a, raza R a cercului circumscris si unghiul pe care tangenta in A, la cercul circumscris, il face cu dreapta lui Euler a tri- unghiului. -402. se un triunghi ABC cunoscind distanta d dintre centrul al cercului circumscris si orlocentrul H, raza R a cercului circumscris si unul din unghiurile triunghiului. 403. Sa se un triunghi cunoscind mijlocul M al laturii BC, mijlocul N al segmentului AH, segmentu- lui AH si unghiul C al triunghiului ABC. 404. Sa se un triunghi ABC, cunoscind mijloa- cele a laturi si piciorul unei 405. se un triunghi ABC cunoscind virful A, punctul de intilnire H a inältimilor si dreapta lui Simson (A) a mijlocului M al arcului BC. 406. se inscrie intr-un dreptunghi dat ABCD un alt drept- unghi care sa un virf in punctul M dat pe latura AB. 407. Sa se un patrulater ABCD fiind date seg- mentele care unesc mijloacele laturilor opuse, unghiul a pe fac aceste segmente si laturi consecutive CB, CD. 408. Sa se un patrulater cunoscind mijloacele a trei laturi si un segment paralel si legal cu cea de a patra 409. Sa se construiasca un patrulater cunoscind laturile si segmentul care uneste mijloacele a laturi opuse. 410. Sa se un patrulater A BCD cunoscind unghiu- rile si diagonalele. 411. Sa se circumscrie un patrat unui patrulater dat. 412. Sa se duca prin puncte A, B un cerc tangent la dreaptà xy. 413. Sa se un paralelogram ABCD cunoscind virfuri opuse A, C si stiind ca celelalte virfuri se gasesc pe un cerc dat (0). 414. Sa se un triunghi ABC cunoscind unghiul A si lungimile medianelor care pleaca din laturii BC. 415. Sa se construiasca un triunghi ABC cunoscind laturile AB, AC si stiind ca C = 2 B. 416. Sa se un triunghi ABC cunoscind laturile AB, AC si stiind ca C = 3 B. 417. Sa se construiasca un triunghi cunoscind inältimea, bisec- toarea si mediana care pleaca din A. 45</p><p>418. Sa se pentagon cunoscind mij loacele laturilor. 419. Sa se un poligon avind desenate in plan perpendicularele (a1), (a2), (an) ridicate pe mijloacele laturilor. IX SEGMENTE PROPORTIONALE. FIGURI ASEMENEA 420. Dintr-un punct se duc secantele OAA', OBB', care drepte paralele in A, A'; B, B'; C, se arate ca = = OC:OC' = = BC:B'C' = 421. Se uneste un punct variabil M al unei drepte (D) cu un punct fix si se ia pe OM un punct asa ca ON:NM = Se cere locul descris de punctul N. 422. Sa se demonstreze ca in triunghiuri ABC, laturile BC, CA, AB paralele cu laturile B'C', C'A', A'B', atunci dreptele AA', BB', CC" se intr-un punct. 423. Pe dreapta care uneste un punct fix A cu un punct P, mobil pe un cerc (0), se ia un punct M asa ca AM:MP se determine locul lui M. 424. Un triunghi ABC este inscris intr-un cerc; virfurile B, C fixe, iar A mobil. Sa se determine locul punctului de intilnire al medianelor. 425. In triunghiul ABC se duce o paralela B'C' la latura BC. Sa se arate ca cercurile ABC si AB'C' tangente. 426. date puncte A. B pe o se stie ca puncte C, D care impart AB in raportul dat m:n. In ce raport este AB de mijlocul al lui CD? Punctul se intre A si B sau in 427. Se dau drepte paralele si un punct P ele. se duca prin P dreaptà care sa intersecteze paralelele in M si N, asa ca PM-PN sa fie cu o lungime data 428. Doua triunghiuri ABC, ABD au aceeasi Dintr-un punct E al bazei AB se duc paralele la AC si AD care laturile BC si BD respectiv in F si G. Sa se demonstreze ca FG este paralela cu CD. 429. Fie D mijlocul laturii BC a triunghiului ABC. Bisec- toarea unghiului ABD intersecteaza pe AB in E, iar aceea a unghiului ADC pe AC in F. Sa se arate ca EF este cu BC. 46</p><p>430. date trei puncte necoliniare A, B, C si o dreaptà (D), se duca prin punctele date trei drepte paralele, care sa deter- mine pe (D) segmente egale. Cite solutii 431. Fie M si N puncte izotomice pe latura BC a triun- ghiului ABC (puncte simetrice in raport cu mijlocul laturii BC). Paralelele duse prin M si N la latura AC latura AB in M' si N', iar paralelele duse prin M si N la latura AB in- latura AC in M" si Se cere locul geometric al intersectiei dreptelor si cind punctele M si N, nind izotomice, pozitia lor se pe BC. 432. Fie CD o coarda pe diametrul AB al unui Se uneste un punct E al coardei CD cu A si B. Dreptele AE si BE cercul in F si G. Sa se arate ca in patrula- terul CGDF produsele laturilor opuse egale. 433. Prin A si B ale segmentului AB se duc dreptele paralele Ax, By. oarecare, ce trece printr-un punct M al segmentului AB, pe Ax si By in P si Q. Fie Q' simetricul lui Q de punctul B, iar N punc- tul unde dreapta PQ' intilneste dreapta AB. Sa se arate ca punc- tele M si N conjugate de A si B. 434. Se impart laturile CA, AB ale unui triunghi ABC, in acelasi sens, in acelasi raport k, prin punctele M, N. P este un punct fix al planului, care este locul centrului de greutate al triunghiului MNP cind k 435. Fie C si D proiectiile pe o data a puncte variabile A si B, E proiectia intersectiei a dreptelor AD si BC. AC si BD constante sa se demonstreze ca si OE este 436. Sa se determine pe diagonala AC a patrulaterului ABCD un punct P astfel ca ducind paralelele PM si PN respectiv la BC AD (M fiind pe AB si N pe CD), sa avem PM X AD = PN X BC. 437. Se un romb ABCD, avind lungimea laturii a. Prin virful A se duce o secantà oarecare, care prelungi- rile laturilor CB, CD respectiv in E si F. Sa se demonstreze ca 1 1 CE CF a Ce trebuie aduse acestei relatii a) E se chiar pe latura BC; b) F se afla pe CD? 47</p><p>438. Se o retea plana de patrate, de a. Se daca drepte din plan, care trecind prin virful unui patrat sa nu mai nici un alt virf al vreunui patrat din retea. De asemenea, reteaua este din triunghiuri echilaterale. 439. Printr-un punct D al bazei BC a unui triunghi ABC se duc dreptele DE, DF paralele la AB, AC. Prin A se duce o se- care pe DE si DF in G si H. Sa se arate ca BH si CG sint paralele. 440. Fie centrul cercului circumscris, H punctul de intilnire al G punctul de intilnire al medianelor unui triunghi ABC. Sa se arate ca H, G coliniare (dreapta lui Euler) si ca GH = 20G. 441. Aceleasi notatii ca in problema O' este cen- trul cercului celor noua puncte. Sa se arate ca punctele H formeaza o diviziune armonica. 442. Se considerà un punct M in planul triunghiului Dintr-un punct oarecare N de pe un cerc situat in acelasi plan cu triunghiul, se duc drepte paralele cu laturile BC, CA, AB si cu transversalele unghiulare AM, BM, CM, intersectind cercul in punctele A1, C1; C2. Sa se arate ca dreptele C1C2 au un punct comun. 443 Trei triunghiuri ABC, CDE, EFG au laturile AC, CE, EG in prelungire, laturile AB, CD, EF paralele si BC, DE, EG de asemenea paralele. Sa se arate ca pentru ca punctele B, D, F sa fie coliniare, conditia si suficientà este de CD sa fie media geometrica a laturilor si EF. 444. Fie M un punct pe AA' a triunghiu- lui ABC, iar H ortocentrul. Sa se demonstreze ca proiectiile seg- mentului HM pe laturile AB, AC invers proportionale cu acele laturi. 445 Fie H ortocentrul unui triunghi, A', B', C' picioarele si a, b, proiectiile lui H pe B'C', C'A', A'B'. Sa se arate triunghiurile abc si ABC asemenea. Fie A' proiectia virfului A pe ipotenuza triunghiului dreptunghic ABC, B' si C' centrele cercurilor inscrise in triun- ghiurile ABA' si ACA'. Sa se arate triunghiurile si ABC asemenea. 447. Se un punct D in planul triunghiului ABC. Sa se demonstreze ca triunghiul metaarmonic (format prin intilnirea cevienelor AD, BD, CD cu cercul ABC) si triunghiul 48</p><p>podar (format de proiectiile lui D pe laturile lui ABC) ale punctului D in raport cu ABC asemenea, 448. Fie A', B', C' punctele ce impart laturile triunghiului ABC in acelasi raport k si in acelasi sens. Fie a, b, mijloacele laturilor triunghiului ABC si a', b', c' mijloacele laturilor triun- ghiului Sa se arate ca punctele b, c, ; a, b, si sa se deduca de aici ca triunghiurile ABC au acelasi punct de intilnire a medianelor. 449. Punctele A', B', C' impart laturile AB, BC, CA ale unui triunghi in acelasi raport a. Punctele A1, B1, C1 impart seg- mentele AA', BB', in acelasi raport Sa se arate ca triun- ghiurile ABC, au acelasi centru de greutate. 450. Pe laturile triunghiului ABC se construiesc trei triun- ghiuri asemenea si cu aceeasi orientare in plan: BCa, CAb, se demonstreze ca triunghiurile A BC, abc au acelasi centru de greutate. 451. Fie si M2 puncte reciproce in triunghiul ABC; A1B1C1 triunghiul format de punctele in care AM1, CM1 laturile triunghiului dat; A2B2C2 triunghiul format de punctele in care BM2, CM2 intilnesc laturile triunghiului median. se arate ca triunghiurile si A2B2C2 omo- tetice, centrul de omotetie centrul de greutate al triunghiu- lui ABC. puncte si M2 se numesc reciproce, unin- du-le cu fiecare virf, dreptele obtinute latura opusa in puncte simetrice fata de mijlocul ei). 452. Sa se determine locul punctelor astfel ca raportul distan- telor la puncte fixe sa fie constant. 453. Sa se un triunghi cunoscind baza, unghiul de la virf si raportul celorlalte laturi. 454. Sa se un triunghi cunoscind baza, bisectoarea unghiului opus si raportul celorlalte laturi. 455. Sa se un triunghi ABC cunoscind unghiul A, raportul AC:AB = si lungimea bisectoarei 456. Sa se un triunghi ABC cunoscind virful A, punctul G de intilnire a medianelor si ortocentrul H. 457. Sa se construiasca un triunghi ABC cunoscind AB, AC si raportul AM:BC = k, M mijlocul lui BC. 458. Sa se construiasca un triunghi ABC cunoscind unghiul A, raportul AB:AC = k si lungimea medianei AM. 459. Sa se un triunghi ABC latura BC = a, raportul AB:AC = si una din inältimi. Discutie. 4 - Probleme de geometrie - c. 538 49</p>