Método de Reconstrução de Alta Ordem Unidimensional

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<p>XXIV ENMC e XII ECTM</p><p>13 a 15 de Outubro de 2021</p><p>DESENVOLVIMENTO DE UM MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS DE</p><p>ALTA ORDEM PARA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS</p><p>PARCIAIS UNIDIMENSIONAIS</p><p>Rafael Yuri Medeiros Barbosa1 - rafayuri@ufu.br</p><p>Rubens Gedraite1 - rgedraite@ufu.br</p><p>1Universidade Federal de Uberlândia - Uberlândia, MG, Brasil</p><p>Resumo. Problemas físicos de engenharia, bem como de outras áreas do campo de</p><p>exatas, normalmente são modelados como equações diferenciais. Em se tratando de</p><p>equações diferenciais, existem equações diferenciais que são funções de mais de uma</p><p>variável, sendo denominadas equações diferenciais parciais, sendo que pelo menos uma</p><p>dessas dependências funcionais é relativa a uma variável espacial. Diversos métodos</p><p>estão disponíveis na literatura, ou implementados em programas gratuitos ou comerciais,</p><p>no intuito de resolver equações diferenciais no domínio espacial, porém a grande maioria</p><p>desses métodos apresenta ordem de precisão de até dois, o que é suficiente para atender</p><p>a demanda de diversos problemas, porém, alguns problemas que envolvem substâncias de</p><p>alto valor agregado ou envolvam a saúde humana requerem ordens maiores de precisão,</p><p>isso porque os erros de fonte numérica, quando não tratados, podem acarretar em</p><p>prejuízos financeiros ou ainda riscos a saúde humana. Visando esses problemas que</p><p>demandam uma ordem mais elevada de precisão, esse trabalho tem por objetivo apresentar</p><p>o desenvolvimento de um método baseado em volumes finitos de alta ordem de precisão e</p><p>apresentar a validação do mesmo.</p><p>Palavras-chave: Equações diferenciais parciais, Método dos volumes finitos, Métodos</p><p>de alta ordem</p><p>1. INTRODUÇÃO</p><p>Problemas físicos de engenharia, bem como de outras áreas do campo de exatas,</p><p>normalmente são modelados como equações diferenciais. Para o caso de equações</p><p>diferenciais que são funções do espaço, há três grandes famílias de métodos que são</p><p>geralmente utilizadas para a resolução desse tipo de equação, são eles: os métodos de</p><p>diferenças finitas, os métodos dos elementos finitos e método dos volumes finitos, sendo</p><p>que cada um apresenta suas vantagens e desvantagens.</p><p>Entretanto, a grande maioria dos programas, sejam eles comerciais ou gratuitos,</p><p>utilizam métodos de resolução no domínio espacial com ordem de precisão de no máximo</p><p>dois (Vincent e Jameson, 2011). Isso principalmente devido a velocidade de execução e</p><p>facilidade de compreensão e implementação de métodos dessa ordem, além de que a teoria</p><p>que envolve esses métodos é relativamente simples e amplamente difundida.</p><p>Anais do XXIV ENMC – Encontro Nacional de Modelagem Computacional e XII ECTM – Encontro de Ciências e</p><p>Tecnologia de Materiais, 13 a 15 Outubro 2021</p><p>XXIV ENMC e XII ECTM</p><p>13 a 15 de Outubro de 2021</p><p>Para a grande maioria dos problemas, uma ordem de precisão dois atende bem ao</p><p>objetivo de resolução do problema. Porém em alguns casos, como, por exemplo, equações</p><p>diferenciais que modelam processos com produtos de alto valor agregado ou que são</p><p>destinados ao consumo humano, erros de fonte numérica, quando não tratados podem</p><p>acarretar em perdas de material de alto valor agregado ou oferecer riscos a saúde do</p><p>homem.</p><p>Esse trabalho tem por objetivo apresentar o desenvolvimento e validação de um método</p><p>baseado no princípio de volumes finitos com alta ordem de precisão destinado à resolução</p><p>de equações diferenciais parciais unidimensionais. Para a parte transiente da equação foi</p><p>proposta a utilização de um método explícito da família Runge-Kutta, entretanto outras</p><p>classes de métodos podem ser combinadas com a metodologia de volumes finitos sem</p><p>muita dificuldade.</p><p>2. DESENVOLVIMENTO DO MÉTODO DE RESOLUÇÃO DE</p><p>EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS UNIDIMENSIONAL</p><p>2.1 Método dos volumes finitos baseado em reconstrução de alta ordem</p><p>A metodologia apresentada nessa subseção, a qual é o tema principal do presente</p><p>trabalho, é baseada nos trabalhos propostos pelo grupo de pesquisa do professor Carl</p><p>Ollivier-Gooch da Universidade da Colúmbia Britânica (UBC, sigla em inglês) (van</p><p>Altena, 1999; Ollivier-Gooch e van Altena, 2002; Michalak, 2009).</p><p>Para fins de generalização, o desenvolvimento do método utilizará a letra grega ψ para</p><p>designação da função incógnita.</p><p>Um método baseado em reconstrução de alta ordem consiste em representar a função</p><p>incógnita ψ por uma série de Taylor, série que também recebe o nome de polinômio de</p><p>reconstrução, em um volume de controle i em cada instante de tempo. Assim para um</p><p>instante de tempo qualquer, o polinômio de reconstrução que expressa a variação de ψ no</p><p>espaço para o i-ésimo volume de controle é representado pela Eq. (1).</p><p>ψRi (x) = ψ|i + ∂ψ</p><p>∂x</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>i</p><p>(x− xi) + 1</p><p>2!</p><p>∂2ψ</p><p>∂x2</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>i</p><p>(x− xi)2 + . . . (1)</p><p>em que ∂</p><p>kψ</p><p>∂xk</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>i</p><p>são as derivadas parciais de ψ avaliadas no centroide do volume de controle</p><p>i.</p><p>Para o caso de uma reconstrução unidimensional, a ordem do método desejada é</p><p>equivalente ao número de coeficientes do polinômio de reconstrução. É intuitivo perceber</p><p>que quanto maior for o número de termos do polinômio de reconstrução, mais próximo</p><p>ψRi estará de ψi.</p><p>Segundo Ollivier-Gooch e van Altena (2002), o polinômio de reconstrução (ψRi ) deve</p><p>satisfazer dois princípios, são eles:</p><p>• a conservação da média no próprio volume de controle i e;</p><p>• a conservação da média nos volumes de controle j vizinhos pertencentes ao estêncil</p><p>do volume de controle i.</p><p>Anais do XXIV ENMC – Encontro Nacional de Modelagem Computacional e XII ECTM – Encontro de Ciências e</p><p>Tecnologia de Materiais, 13 a 15 Outubro 2021</p><p>XXIV ENMC e XII ECTM</p><p>13 a 15 de Outubro de 2021</p><p>A conservação da média no próprio volume de controle i é expressa conforme a</p><p>Equação 2 (Barth e Frederickson, 1990).</p><p>ψi = 1</p><p>∆xi</p><p>∫</p><p>∆xi</p><p>ψRi dx. (2)</p><p>Substituindo a Eq. (1) na Eq. (2) e realizando alguns algebrismos, obtém-se a Eq. (3).</p><p>ψi = ψ|i + ∂ψ</p><p>∂x</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>i</p><p>xi + 1</p><p>2!</p><p>∂2ψ</p><p>∂x2</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>i</p><p>x2</p><p>i + . . . (3)</p><p>em que</p><p>xni = 1</p><p>∆xi</p><p>∫</p><p>∆xi</p><p>(x− xi)ndx = 1</p><p>(n+ 1)∆xi</p><p>(</p><p>(xi+ 1</p><p>2</p><p>− xi)n+1 − (xi− 1</p><p>2</p><p>− xi)n+1</p><p>)</p><p>(4)</p><p>O segundo princípio que deve ser satisfeito pelo polinômio de reconstrução é a</p><p>conservação da média nos volumes de controle j vizinhos pertencentes ao estêncil do</p><p>volume de controle i.</p><p>A conservação da média nos volumes de controle vizinhos é expressa pela Eq. (5).</p><p>ψj = 1</p><p>∆xj</p><p>∫</p><p>∆xj</p><p>ψRi dx. (5)</p><p>De maneira análoga ao procedimento realizado na obtenção da Eq. (3), substitui-se o</p><p>polinômio de reconstrução (Eq. (1)) na Eq. (5) e após um simples procedimento algébrico</p><p>obtém-se a equação dos termos geométricos (Eq. (6)).</p><p>ψj = ψ|i + ∂ψ</p><p>∂x</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>i</p><p>x̂ij + 1</p><p>2!</p><p>∂2ψ</p><p>∂x2</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>i</p><p>x̂2</p><p>ij + . . . (6)</p><p>em que</p><p>x̂nij = 1</p><p>∆xj</p><p>∫</p><p>∆xj</p><p>(x− xi)ndx = 1</p><p>(n+ 1)∆xj</p><p>(</p><p>(xj+ 1</p><p>2</p><p>− xi)n+1 − (xj− 1</p><p>2</p><p>− xi)n+1</p><p>)</p><p>(7)</p><p>O número de elementos do estêncil de um volume de controle i é relacionado com a</p><p>ordem da reconstrução desejada. Para uma reconstrução de ordem 2, utiliza-se os volumes</p><p>de controle adjacentes ao volume de controle i, ou seja, i−1 e i+1, para uma reconstrução</p><p>de ordem 3, utiliza-se, além dos volumes adjacentes ao volume de controle i, os volumes</p><p>adjacentes aos volumes vizinhos utilizados para a reconstrução de ordem 2, ou seja, o</p><p>estêncil de terceira ordem é composto por i− 1, i+ 1, i− 2 e i+ 2.</p><p>A partir da equação dos momentos (Eq. (3)) e das equações dos termos geométricos</p><p>(Eq. (6)), para os volumes de controle que estão no interior do domínio, ou seja, para</p><p>1 < i < N , é montado um sistema de equações sobredeterminado (Eq. (8)), cuja solução</p><p>fornece os coeficientes do polinômio de reconstrução (Eq. (1)).</p><p>Anais do XXIV ENMC – Encontro Nacional de Modelagem Computacional e XII ECTM – Encontro de Ciências e</p><p>Tecnologia de Materiais, 13 a 15 Outubro 2021</p><p>XXIV ENMC e XII ECTM</p><p>13 a 15 de Outubro de 2021</p><p></p><p>1 xi x2</p><p>i . . .</p><p>wi1 wi1x̂i1 wi1x̂2</p><p>i1 . . .</p><p>wi2 wi2x̂i2 wi2x̂2</p><p>i2 . . .</p><p>wi3 wi3x̂i3 wi3x̂2</p><p>i2 . . .</p><p>... ... ... . . .</p><p>wiN wiN x̂iN wiN x̂2</p><p>iN . . .</p><p></p><p></p><p>ψ</p><p>ψx</p><p>1</p><p>2!ψxx...</p><p></p><p>i</p><p>=</p><p></p><p>ψ̄i</p><p>wi1ψ̄i1</p><p>wi2ψ̄i2</p><p>wi3ψ̄i3</p><p>...</p><p>wiN ψ̄iN</p><p></p><p>(8)</p><p>em que wij são os pesos geométricos,</p><p>que, segundo Ollivier-Gooch e van Altena (2002), são</p><p>usados para especificar a importância relativa de um volume de controle no estêncil para</p><p>uma boa predição, esses pesos se baseiam na distância relativa entre o centroide do volume</p><p>de controle i e do volume de controle j vizinho de seu estêncil ponderado por um fator</p><p>β, esse fator β deve ser escolhido empiricamente, alguns testes realizados por Ollivier-</p><p>Gooch e van Altena (2002) mostraram que para escoamentos de fluidos invíscidos, β = 1</p><p>apresentou melhores resultados. Matematicamente os pesos geométricos são definidos</p><p>pela Eq. (9).</p><p>wij = 1</p><p>|xj − xi|β</p><p>(9)</p><p>Para os volumes de controle que estão na fronteira (i = 1 e i = N), além das equações</p><p>da conservação da média no volume de controle e nos volumes de controle pertencentes ao</p><p>estêncil, também faz-se necessária a adição de linhas de restrição referentes às condições</p><p>de contorno.</p><p>Com relação ao contorno do problema físico, tem-se contornos sob condição de</p><p>Dirichlet, condição de Neumann ou condição de Robin. Esses casos são representados,</p><p>respectivamente, pelas Eqs. (10) a (12).</p><p>ψ(x) = Di(x∗) (10)</p><p>∂ψ</p><p>∂x</p><p>= Ne(x∗) (11)</p><p>r1ψ(x) + r2</p><p>∂ψ</p><p>∂x</p><p>= Ro(x∗) (12)</p><p>Para o caso de contornos sob a condição de Dirichlet, o valor de ψ é conhecido no</p><p>contorno, e a equação para restrição é obtida ao igualar-se ψi do volume i no contorno ao</p><p>valor do polinômio de reconstrução ψRi (Eq. (1)) avaliado no valor de x = x∗ que se refere</p><p>ao valor de x no contorno à esquerda ou à direita, dessa forma, obtém-se a Eq. (13).</p><p>ψ|i + ∂ψ</p><p>∂x</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>i</p><p>(x∗ − xi) + 1</p><p>2!</p><p>∂2ψ</p><p>∂x2</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>i</p><p>(x∗ − xi)2 + · · · = Di(x∗) (13)</p><p>Anais do XXIV ENMC – Encontro Nacional de Modelagem Computacional e XII ECTM – Encontro de Ciências e</p><p>Tecnologia de Materiais, 13 a 15 Outubro 2021</p><p>XXIV ENMC e XII ECTM</p><p>13 a 15 de Outubro de 2021</p><p>Para o caso dos volumes de controle que estão sob a condição de Neumann, o valor</p><p>da derivada de ψ é conhecido no contorno e para o caso dos volumes de controle sob a</p><p>condição de Robin, conhece-se uma combinação linear do valor da função e sua derivada</p><p>avaliados no contorno, sendo os coeficientes da combinação linear as constantes r1 e r2.</p><p>O processo de determinação das equações de restrição para ambos os casos é análogo ao</p><p>realizado para obtenção da Eq. (13).</p><p>Determinadas as equações de restrições de contorno para as três condições (Dirichlet,</p><p>Neumann e Robin), monta-se um sistema sobredeterminado semelhante ao da Eq. (8),</p><p>mas com a equação de restrição adicionada imediatamente abaixo da equação relativa à</p><p>conservação da média no volume de controle, ou equação de momentos (Eq. (3)). Esse</p><p>sistema sobredeterminado é apresentado pela Eq. (14).</p><p></p><p>1 xi x2</p><p>i . . .</p><p>w∗i w∗i∆x∗ w∗i∆2x∗ . . .</p><p>0 w∗i 2w∗i∆x∗ . . .</p><p>w∗i r1 w∗i (r1∆x∗ + r2) w∗i (r1∆2x∗ + 2r2∆x∗) . . .</p><p>wi1 wi1x̂i1 wi1x̂2</p><p>i1 . . .</p><p>wi2 wi2x̂i2 wi2x̂2</p><p>i2 . . .</p><p>wi3 wi3x̂i3 wi3x̂2</p><p>i2 . . .</p><p>... ... ... . . .</p><p>wiN wiN x̂iN wiN x̂2</p><p>iN . . .</p><p></p><p></p><p>ψ</p><p>ψx</p><p>1</p><p>2!ψxx...</p><p></p><p>i</p><p>=</p><p></p><p>ψ̄i</p><p>w∗Di</p><p>w∗Ne</p><p>w∗Ro</p><p>wi1ψ̄i1</p><p>wi2ψ̄i2</p><p>wi3ψ̄i3</p><p>...</p><p>wiN ψ̄iN</p><p></p><p>(14)</p><p>Na Equação 14, ∆nx∗ = (x∗ − xi) e w∗i de maneira semelhante aos pesos geométricos é</p><p>a distância entre a posição do centroide do volume de controle no contorno com a posição</p><p>do contorno (x∗), segundo Michalak (2009), esse valor é expresso pela Eq. (15), em que o</p><p>parâmetro β é o mesmo apresentado para os pesos geométricos.</p><p>w∗i = 6</p><p>|x∗ − xi|β</p><p>(15)</p><p>A obtenção dos parâmetros do polinômio de reconstrução através dos sistemas lineares</p><p>apresentados constitui um problema de mínimos quadrados. Os coeficientes do polinômio</p><p>de reconstrução (Equação 1) são obtidos a partir dos seguintes passos:</p><p>1. na primeira linha, referente à conservação da média no volume de controle (Eq. (3)),</p><p>encontra-se o maior elemento e divide-se toda a linha pelo valor desse elemento,</p><p>incluindo o lado direito (vetor dos termos independentes), em seguida, pivoteia-se a</p><p>coluna do maior elemento com a primeira coluna, se necessário, lembrando que está</p><p>troca de colunas causa a mudança na ordem do vetor das soluções;</p><p>2. realizado o item anterior, o elemento pivô da primeira linha será 1, em seguida,</p><p>aplica-se o processo de eliminação gaussiana em todos os elementos abaixo desse</p><p>pivô;</p><p>3. no sistema sobredeterminado resultante, aplica-se a transformação QR com</p><p>transformada de Householder, que, por trabalhar com transformações ortogonais,</p><p>Anais do XXIV ENMC – Encontro Nacional de Modelagem Computacional e XII ECTM – Encontro de Ciências e</p><p>Tecnologia de Materiais, 13 a 15 Outubro 2021</p><p>XXIV ENMC e XII ECTM</p><p>13 a 15 de Outubro de 2021</p><p>é inerentemente estável (Leon, 2010), gerando uma matriz triangularizada, então a</p><p>solução do sistema linear resultante, e consequentemente obtenção dos coeficientes,</p><p>é realizada pelo método das substituições regressivas.</p><p>Uma vez realizados os passos descritos anteriormente, obtém-se os coeficientes do</p><p>polinômio de reconstrução para cada volume de controle, sendo assim possível representar</p><p>a função original ψ no domínio espacial por uma representação polinomial dessa função</p><p>em cada volume de controle.</p><p>Uma das essências do método dos volumes finitos é a utilização da formulação integral</p><p>das equações diferenciais associadas ao problema a ser resolvido, tomando como exemplo</p><p>a equação de advecção difusão (Eq. (16)) e integrando-a no volume de controle i, tem-se</p><p>a Eq. (17)</p><p>∂ψ</p><p>∂t</p><p>= S(t, x)− ∂(v ψ)</p><p>∂x</p><p>+ ∂</p><p>∂x</p><p>(</p><p>Γ∂ψ</p><p>∂x</p><p>)</p><p>(16)</p><p>∫</p><p>∆xi</p><p>∂ψ</p><p>∂t</p><p>dx =</p><p>∫</p><p>∆xi</p><p>S(t, x)dx−</p><p>∫</p><p>∆xi</p><p>∂(v ψ)</p><p>∂x</p><p>dx+</p><p>∫</p><p>∆xi</p><p>∂</p><p>∂x</p><p>(</p><p>Γ∂ψ</p><p>∂x</p><p>)</p><p>dx (17)</p><p>Nas Eqs. (16) e (17), a velocidade v e coeficiente de difusão Γ podem apresentar</p><p>dependência funcional de x, por isso permanecem contidos no operador diferencial, S(t, x)</p><p>é um termo fonte, que representa a geração ou consumo no volume de controle.</p><p>Reescrevendo a Eq. (17) em termos da média de ψ (ψ̄), obtém-se a Eq. (18).</p><p>dψi</p><p>dt</p><p>= 1</p><p>∆xi</p><p>∫</p><p>∆xi</p><p>S(t, x)dx− 1</p><p>∆xi</p><p>(v ψ)</p><p>∣∣∣∣xi+ 1</p><p>2</p><p>x</p><p>i− 1</p><p>2</p><p>+ 1</p><p>∆xi</p><p>(</p><p>Γ∂ψ</p><p>∂x</p><p>)∣∣∣∣∣</p><p>x</p><p>i+ 1</p><p>2</p><p>x</p><p>i− 1</p><p>2</p><p>(18)</p><p>A Eq. (18), pode ser reescrita de forma simplificada como a Equação 19.</p><p>dψi</p><p>dt</p><p>= 1</p><p>∆xi</p><p>R(ψ, t, x), (19)</p><p>em que R(ψ, t, x) =</p><p>∫</p><p>∆xi</p><p>S(t, x)dx− (v ψ)</p><p>∣∣∣∣xi+ 1</p><p>2</p><p>x</p><p>i− 1</p><p>2</p><p>+</p><p>(</p><p>Γ∂ψ</p><p>∂x</p><p>)∣∣∣∣∣</p><p>x</p><p>i+ 1</p><p>2</p><p>x</p><p>i− 1</p><p>2</p><p>.</p><p>No resíduo (R(ψ, t, x) a integral do termo fonte é realizada por técnicas de quadratura</p><p>gaussiana (Abramowitz e Stegun, 1965 ).</p><p>A Equação 19 quando aplicada a todos os volumes de controle do domínio do problema,</p><p>forma um sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) que é resolvido utilizando</p><p>qualquer metodologia disponível para a resolução dessa classe de problemas.</p><p>2.2 Método Runge-Kutta de Spiteri e Ruuth</p><p>Como metodologia de integração no tempo, utilizou-se o método de Spiteri e Ruuth</p><p>(Spiteri e Ruuth, 2002), que é um método da família Runge-Kutta, explícito, de terceira</p><p>Anais do XXIV ENMC – Encontro Nacional de Modelagem Computacional e XII ECTM – Encontro de Ciências e</p><p>Tecnologia de Materiais, 13 a 15 Outubro 2021</p><p>XXIV ENMC e XII ECTM</p><p>13 a 15 de Outubro de 2021</p><p>ordem de precisão e quatro passos. A principal vantagem desse método é que este possui</p><p>uma região de estabilidade duas vezes maior se comparado a outros métodos de custo</p><p>computacional semelhante, como o Runge-Kutta clássico de quarta ordem.</p><p>O método de Spiteri e Ruuth é definido pela Eq. (20).</p><p></p><p>ψ(1) = ψ</p><p>n</p><p>i + ∆t</p><p>2 ∆xi</p><p>R</p><p>(</p><p>ψ</p><p>n</p><p>i , t</p><p>)</p><p>,</p><p>ψ(2) = ψ(1) + ∆t</p><p>2 ∆xi</p><p>R</p><p>(</p><p>ψ(1), t+ 0.5∆t</p><p>)</p><p>,</p><p>ψ(3) = 2</p><p>3 ψ</p><p>n</p><p>i + 1</p><p>3 ψ</p><p>(2) + ∆t</p><p>6 ∆xi</p><p>R</p><p>(</p><p>ψ(2), t+ ∆t</p><p>)</p><p>,</p><p>ψ</p><p>n+1</p><p>i = ψ(3) + ∆t</p><p>2 ∆xi</p><p>R</p><p>(</p><p>ψ(3), t+ 0.5∆t</p><p>)</p><p>.</p><p>(20)</p><p>Por se tratar de uma metodologia explícita de integração no tempo, o método de</p><p>Spiteri e Ruuth está sujeito a restrições para o tamanho do passo no tempo (∆t). Para</p><p>a equação de advecção difusão essa restrição é definida pelo menor valor de ∆t entre as</p><p>Eqs. (21) e (22).</p><p>max</p><p>i</p><p>{</p><p>4 |vi|∆t</p><p>∆xi</p><p>}</p><p>≤ 2 (21)</p><p>max</p><p>i</p><p>{</p><p>4 Γi ∆t</p><p>∆x2</p><p>}</p><p>≤ 2 (22)</p><p>3. Resultados</p><p>Para verificação do método dos volumes finitos proposto, utilizou-se o problema de</p><p>teste expresso pela Eq.</p><p>(23).</p><p></p><p>∂ψ</p><p>∂t</p><p>= S(t, x) + Γ∂</p><p>2ψ</p><p>∂x2</p><p>ψ(0, x) = x4(x− L)</p><p>ψ(t, 0) = ψ(t, L) = 0</p><p>(23)</p><p>Com relação ao domínio, tem-se que x ∈ [0, L] sendo L o comprimento total do domínio</p><p>e para realização da verificação L = 1, em relação ao tempo, tem-se que t ∈ [0, 1]. O</p><p>coeficiente de difusão utilizado foi Γ = 1 · 10−8. Todas as unidades adotadas no problema</p><p>de teste seguem o sistema internacional de unidades (SI), assume-se ψ como adimensional.</p><p>Por se tratar de um problema de teste de verificação, a solução de ψ foi manufaturada,</p><p>ou seja, a solução foi proposta e os demais parâmetros e condições foram deduzidos a partir</p><p>da solução proposta (Eq. (24)). O termo fonte S(t, x) foi obtido substituindo-se a função</p><p>conhecida de ψ (Eq. (24)) na equação diferencial proposta.</p><p>ψ(t, x) = e−tx4(x− L) (24)</p><p>Anais do XXIV ENMC – Encontro Nacional de Modelagem Computacional e XII ECTM – Encontro de Ciências e</p><p>Tecnologia de Materiais, 13 a 15 Outubro 2021</p><p>XXIV ENMC e XII ECTM</p><p>13 a 15 de Outubro de 2021</p><p>Toda a metodologia apresentada na seção anterior foi implementada em linguagem</p><p>de programação C++. Para a realização dos testes foram consideradas as malhas</p><p>apresentadas na Tabela 1.</p><p>Tabela 1- Número de volumes de controle (NVC) em cada malha de teste unidimensional.</p><p>malha 1 malha 2 malha 3 malha 4</p><p>NVC 10 20 30 40</p><p>A partir da regressão linear dos dados dos erros e da quantidade de volumes de controle</p><p>em cada malha, obtém-se a Tabela 2. As expressões para o cálculo das normas podem</p><p>ser encontradas em Silva (2016).</p><p>Tabela 2- Ordem nominal e ordem observada para o problema apresentado na Equação 23.</p><p>Ordem nominal Ordem observada</p><p>L1 L2 L∞</p><p>2 2, 13 2, 17 2, 08</p><p>3 4, 04 3, 65 3, 17</p><p>4 3, 99 4, 06 4, 01</p><p>Como observado na Tabela 2, o método implementado para o caso unidimensional</p><p>forneceu a ordem coerente com a ordem nominal para todas as normas analisadas.</p><p>4. Conclusões</p><p>A metodologia baseada em volumes finitos apresentada mostra-se como opção viável</p><p>para a resolução de equações diferenciais parciais unidimensionais que requerem uma</p><p>alta ordem de precisão. Geralmente equações diferenciais que modelam fenômenos ou</p><p>processos que envolvam materiais de alto valor agregado ou produtos destinados ao</p><p>consumo humano requerem alta ordem, isso devido ao fato que incertezas numéricas,</p><p>quando não tratadas, podem gerar prejuízos ou riscos à saúde do homem.</p><p>Diversas adaptações não discutidas no problema de teste expresso na seção anterior</p><p>podem ser realizadas, dentre elas, o acréscimo de uma parcela advectiva, obtendo-se</p><p>a equação de advecção difusão, que foi apresentada na subseção de desenvolvimento</p><p>do método, pode-se também optar por utilizar parâmetros físicos variáveis, sendo estes</p><p>inclusive funções de ψ, tornando o problema uma equação diferencial não linear, dentre</p><p>outras possibilidades.</p><p>Cabe ainda ressaltar a possibilidade de redução do custo computacional, em alguns</p><p>casos, aplicando métodos de alta ordem no intuito de reduzir a quantidade de elementos</p><p>que discretizam o domínio, dessa forma compensando o erro de uma malha com menos</p><p>elementos computacionais com o aumento da ordem de precisão do método.</p><p>Anais do XXIV ENMC – Encontro Nacional de Modelagem Computacional e XII ECTM – Encontro de Ciências e</p><p>Tecnologia de Materiais, 13 a 15 Outubro 2021</p><p>XXIV ENMC e XII ECTM</p><p>13 a 15 de Outubro de 2021</p><p>Agradecimentos</p><p>Agradeço à CAPES pela concessão de bolsa de mestrado que subsidiou o presente</p><p>trabalho.</p><p>Referências</p><p>Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (1965), Handbook of mathematical function: with formulas, graphs</p><p>and mathematical tables, Dover Publications, 887-888.</p><p>van Altena, M. (1999), “High-Order Finite Volume Discretisations for Solving a Modified</p><p>Advection-Diffusion Problem on Unstructured Triangular Meshes”, Dissertação de Mestrado,</p><p>University of British Columbia, Canadá.</p><p>Barth, T.; Frederickson, T. (1990), “Higher order solution of the euler equations on unstructured</p><p>grids using quadratic reconstruction”, In: 28th aerospace sciences meeting.</p><p>Leon, S. J. (2010), Linear algebra with applications, Person, 8, 418–439.</p><p>Michalak, C. (2009), “Efficient High-Order Accurate Unstructured Finite-Volume Algorithms for</p><p>Viscous and Inviscid Compressible Flows”, Tese de Doutorado, University of British Columbia,</p><p>Canadá.</p><p>Ollivier-Gooch, C.; van Altena, M. (2002), A high-order-accurate unstructured mesh finite-volume</p><p>scheme for the advection–diffusion equation, Journal of Computational Physics, 181, 729–752.</p><p>Silva, J. E. C. (2016), “p-Multigrid explícito para um método de volumes finitos de alta-ordem não</p><p>estruturado”, Tese de Doutorado, Instituto de Matemática e Estatística, USP, São Paulo.</p><p>Spiteri, R. J.; Ruuth, S. J. (2002), A new class of optimal high-order strong-stability-preserving</p><p>time discretization methods, SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol. 40, 2, 469-491.</p><p>Vincent, P. E.; Jameson, A. (2011), Facilitating the adoption of unstructured high-order</p><p>methods amongst a wider community of fluid dynamicists, Mathematical Modelling of Natural</p><p>Phenomena 6, 97–140.</p><p>DEVELOPMENT OF A HIGH-ORDER FINITE VOLUMES METHOD FOR THE</p><p>RESOLUTION OF ONE-DIMENSIONAL PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS</p><p>Abstract. Physical engineering problems, as well as those from other areas of the</p><p>exact field, are usually modeled as differential equations. When it comes to differential</p><p>equations, there are differential equations that are functions of more than one variable,</p><p>called partial differential equations, and at least one of these functional dependencies is</p><p>related to a spatial variable. Several methods are available in the literature, or implemented</p><p>in free or commercial programs, in order to solve differential equations in the spatial</p><p>domain, but the vast majority of these methods have a precision order of up to two, which</p><p>is enough to meet the demand of several problems , however, some problems involving</p><p>substances with high added value or involving human health require higher orders of</p><p>precision, because numerical source errors, when not treated, can result in financial losses</p><p>or even risks to human health. Aiming at these problems that demand a higher order of</p><p>precision, this work aims to present the development of a method based on finite volumes</p><p>of high order of precision and to present its validation.</p><p>Keywords: Partial differential equations, Finite volumes method, High-order methods</p><p>Anais do XXIV ENMC – Encontro Nacional de Modelagem Computacional e XII ECTM – Encontro de Ciências e</p><p>Tecnologia de Materiais, 13 a 15 Outubro 2021</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>DESENVOLVIMENTO DO MÉTODO DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS UNIDIMENSIONAL</p><p>Método dos volumes finitos baseado em reconstrução de alta ordem</p><p>Método Runge-Kutta de Spiteri e Ruuth</p><p>Resultados</p><p>Conclusões</p>