Exercícios de Estática: Vetores

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<p>Lista de Exercícios de Estática: Vetores</p><p>Professor: Data:</p><p>Aluno:</p><p>1 – Suponha que seu cabelo cresça á taxa de</p><p>1/32 polegadas por dia. Encontre a taxa à</p><p>qual ele cresce em nanômetros por segundo.</p><p>Como a distância entre os átomos de uma</p><p>molécula é da ordem de 0,10 nm, a resposta</p><p>sugere qu��o rapidamente as camadas de áto-</p><p>mos estão reunidas nessa síntese proteica.</p><p>(R.: 9,2 nm/s)</p><p>2 – Sabendo que o ângulo entre os vetores �⃗�</p><p>e 𝑣 é de 60,0°, determinar o ângulo formado</p><p>pelos vetores:</p><p>a) �⃗� e 𝑣 ,</p><p>b) −�⃗� e 𝑣 ,</p><p>c) −�⃗� e −𝑣 ,</p><p>d) 2�⃗� e 3𝑣 .</p><p>(R.: a) 120°, b) 120°, c) 60° e d) 60°)</p><p>3 – Dados os pontos A(-1; 3), B(2; 5) e C(3; -</p><p>1), calcule:</p><p>a) 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗,</p><p>b) 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗,</p><p>c) 3𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 4𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗.</p><p>(R.: (-4; 1), (2; 5) e (-5; -30))</p><p>4 – Dados os vetores �⃗� = (2; -4), 𝑣 = (-5; 1) e</p><p>�⃗⃗� = (-12; 6), determine k1 e k2 tal que �⃗⃗� = k1�⃗�</p><p>+ k2𝑣 .</p><p>(R.: k1 = -1; k2 = 2)</p><p>5 – Uma mosca pousa na parede de um</p><p>quarto. O canto inferior esquerdo da parede é</p><p>selecionado como origem de um sistema de</p><p>coordenadas cartesianas bidimensional. Se a</p><p>mosca estiver localizada no ponto com coor-</p><p>denadas (2,00; 1,00) m,</p><p>a) a que distância ela está da origem?</p><p>b) Qual é a localização em coordenadas</p><p>polares?</p><p>(R.: a)2,24 m, b)2,24 m; 26,6º)</p><p>6 – Um carrinho de montanha-russa move-se</p><p>a 200 pés horizontalmente e sobe 135 pés em</p><p>um ângulo de 30,0º acima da horizontal. De-</p><p>pois, viaja 135 pés em um ângulo de 40,0º</p><p>para baixo. Qual é o seu deslocamento desde</p><p>o ponto de partida?</p><p>(R.: 421 pés e  = -2,63º)</p><p>7 – Ache a medida em radianos do ângulo en-</p><p>tre �⃗� e 𝑣 nos casos a seguir:</p><p>a) �⃗� = (1; 0; 1); 𝑣 = (-2; 10; 2). R.: /2</p><p>b) �⃗� = (3; 3; 0); 𝑣 = (2; 1; -2). R.: /4</p><p>c) �⃗� = (-1; 1; 1); 𝑣 = (1; 1; 1). R.: 1,23</p><p>d) �⃗� = (√3</p><p>2</p><p>⁄ ; 1 2⁄ ; 0); 𝑣 = (√3</p><p>2</p><p>⁄ ; 1 2⁄ ;√3). R.: /3</p><p>e) �⃗� = (300; 300; 0); 𝑣 = (-2000; -1000; 2000).</p><p>R.: 3/4</p><p>8 – O vetor B tem componentes x, y e z de</p><p>4,00, 6,00 e 3,00 unidades, respectivamente.</p><p>Calcule:</p><p>a) o módulo de B e;</p><p>b) o ângulo que B forma com cada eixo</p><p>de coordenadas.</p><p>(R.: 7,81; 59,2º; 39,8º; 67,4º)</p><p>9 – Dados os pontos A(1; 2; 3); B(-6;-2; 3) e</p><p>C(1; 2; 1), determinar o versor do vetor 3𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ −</p><p>2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗.</p><p>(R.: (7/9; 4/9; 4/9))</p><p>10 – Em um piso, um homem passa o esfre-</p><p>gão que, por causa do movimento, sofre dois</p><p>deslocamentos. O primeiro tem módulo de</p><p>150 cm e forma um ângulo de 120º com o eixo</p><p>x positivo. O deslocamento resultante tem</p><p>módulo de 140 cm e direção de um ângulo de</p><p>35,0° em relação ao eixo positivo. Encontre o</p><p>módulo e a direção do segundo desloca-</p><p>mento.</p><p>(R.: 196 cm; -14,7°)</p><p>11 – Encontre as componentes horizontais e</p><p>verticais do deslocamento de 100 m de um</p><p>super-herói que voa do topo de um edifício</p><p>seguindo o caminho mostrado na figura.</p><p>(R.: x = 86,6 m; y = -50,0 m)</p><p>12 – Dados os vetores A = 2,00i + 6,00j e B</p><p>= 3,00i + 2,00j,</p><p>a) desenhe a soma vetorial C = A + B e a</p><p>diferença vetorial D = A – B.</p><p>b) Calcule C e D nos termos de vetores</p><p>unitários.</p><p>c) Calcule C e D nos termos de coorde-</p><p>nadas polares, com ângulos medidos</p><p>com relação ao eixo x positivo.</p><p>(R.: b) 5,00i + 8,00j; -1,00i + 4,00j, c) C = 9,43</p><p>a 58,0°; D = 4,12 a 104°)</p><p>13 – O vetor A tem componentes x, y e z de</p><p>8,00, 12,0 e -4,00 unidades, respectivamente.</p><p>a) Escreva uma expressão de vetor para</p><p>A em notação de vetor unitário.</p><p>b) Obtenha uma expressão de vetor uni-</p><p>tário para um vetor B que tem um</p><p>quarto do comprimento de A e aponta</p><p>na mesma direção que A.</p><p>c) Obtenha uma expressão de vetor uni-</p><p>tário para um vetor C que tem três ve-</p><p>zes o comprimento de A e aponta na</p><p>direção oposta à de A.</p><p>(R.: a) A = 8,00i + 12,0j – 4,00k; b) B = 2,00i</p><p>+ 3,00j – 1,00k; c) C = -24,0i -36,0j + 12,0k)</p><p>14 – Três vetores deslocamento de uma bola</p><p>de croquet são mostrados na figura, em que</p><p>|A| = 20,0 unidades, |B| = 40,0 unidades e |C|</p><p>= 30,0 unidades.</p><p>Encontre:</p><p>a) a resultante em notação de vetor uni-</p><p>tário e;</p><p>b) o módulo e a direção do deslocamento</p><p>resultante.</p><p>(R.: a) R = 49,5i + 27,1j; b) |R| = 56,4;  =</p><p>28,7°)</p><p>15 – O vetor A tem as componentes x e y de</p><p>-8,70 cm e 15,0 cm, respectivamente; o vetor</p><p>B tem componentes x e y de 13,2 cm e -6,60</p><p>cm, respectivamente. Se A – B + 3C = 0,</p><p>quais são as componentes de C?</p><p>(R.: Cx = 7,30 cm e Cy = -7,20 cm)</p><p>16 – Considere os dois vetores A = 3i – 2j e</p><p>B = -i – 4j. Calcule</p><p>a) A + B</p><p>b) A – B</p><p>c) |A + B|</p><p>d) |A – B|</p><p>e) as direções de A + B e A - B.</p><p>(R.: 2i – 6j; 4i + 2j; 6,32; 4,47; A + B = 288°;</p><p>A - B = 26,6°)</p><p>17 – Em uma operação de montagem ilus-</p><p>trada na figura, um robô move, primeiro, um</p><p>objeto em linha reta para cima e, depois, tam-</p><p>bém para o leste, em torno de um arco for-</p><p>mando um quarto de um círculo de raio 4,80</p><p>cm, que se situa em um plano vertical Leste-</p><p>Oeste. O robô então move o objeto para cima</p><p>e para o norte, através de um quarto de cír-</p><p>culo de raio 3,70 cm, que se situa no plano</p><p>vertical norte-sul.</p><p>Encontre</p><p>a) o módulo do deslocamento total do ob-</p><p>jeto e</p><p>b) o ângulo que o deslocamento total</p><p>forma com a vertical.</p><p>(R.: d = 10,4 cm;  = 35,5°)</p><p>18 – Expresse em notação de vetor unitário</p><p>os seguintes vetores, cada um com um mó-</p><p>dulo de 17,0 cm.</p><p>a) O vetor E é direcionado 27,0° no sen-</p><p>tido anti-horário do eixo x positivo.</p><p>b) O vetor F é direcionado 27,0° no sen-</p><p>tido anti-horário do eixo y positivo.</p><p>c) O vetor G é direcionado 27,0° no sen-</p><p>tido horário do eixo y negativo.</p><p>(R.: E = (15,1i + 7,72j) cm; F = (-7,72i + 15,1j)</p><p>cm; G = (-7,72i - 15,1j) cm)</p><p>19 – Considere os três vetores de desloca-</p><p>mento A = (3i – 3j) m, B = (i – 4j) m e C = (2i</p><p>+ 5j) m. Use o método das componentes para</p><p>determinar</p><p>a) o módulo e a direção do vetor D = A +</p><p>B + C e</p><p>b) o módulo e a direção de E = - A - B +</p><p>C.</p><p>(R.: 6,32 m a  = 342°; b) 12,2 m a  = 99,5°)</p><p>20 – Uma topógrafa mede a largura de um rio</p><p>em linha reta pelo método a seguir. Come-</p><p>çando diretamente em frente a uma árvore na</p><p>margem oposta, ela anda d = 100 m ao longo</p><p>da margem para estabelecer uma referência.</p><p>Então, avista a ár-</p><p>vore. O ângulo de re-</p><p>ferência até a árvore</p><p>é  = 35,0°. Qual a</p><p>largura do rio?</p><p>(R.: 70,0 m)</p><p>21 – A vista a partir do helicóptero, na figura,</p><p>mostra duas pessoas puxando uma mula tei-</p><p>mosa. A pessoa à direita puxa com uma força</p><p>F1 de módulo 120 N e direção 1 = 60,0°. A</p><p>pessoa à esquerda puxa com força F2 de mó-</p><p>dulo 80,0 N e direção 2 = 75,0°.</p><p>Encontre</p><p>a) a força resultante que é equivalente às</p><p>duas forças mostradas e</p><p>b) a força que uma terceira pessoa teria</p><p>de exercer na mula para tornar a força</p><p>resultante igual à zero.</p><p>As forças são medidas em unidades de new-</p><p>tons (símbolo N).</p><p>(R.: a) 185 N; 77,8°; b) F3 = (- 39,3î - 181j) N)</p><p>22 – Você está em um pasto plano e observa</p><p>duas vacas. A vaca A está ao norte de você e</p><p>a 15,0 m de sua posição. A vaca B está a 25,0</p><p>m de sua posição. De seu ponto de vista, o</p><p>ângulo entre a vaca A e a vaca B é de 20,0°,</p><p>com a B aparecendo à direita de A.</p><p>a) Qual a distância separa a vaca A da B?</p><p>b) Considere a vista da vaca A. De</p><p>acordo com esta vaca, qual é o ângulo</p><p>entre você e a B?</p><p>c) Considere a vista da vaca B. De</p><p>acordo com esta vaca, qual é o ângulo</p><p>entre você e a A? Dica: O que a situa-</p><p>ção parece para um beija-flor pairando</p><p>acima do pasto?</p><p>(R.: a) 12,1 m; b) 135°; c) 25,2°)</p><p>23 – Se �⃗� = 3𝑖̂ − 𝑗̂ − 2�̂�, 𝑣 = 2𝑖̂ + 4𝑗̂ − �̂� e �̂� =</p><p>−𝑖̂ + �̂�, determine:</p><p>a) |�⃗� × �⃗� |. (R.: 0)</p><p>b) (2𝑣 ) × (3𝑣 ). R.:0⃗ .</p><p>c) (�⃗� × �⃗⃗� ) × (�⃗⃗� × �⃗� ). R.: 0⃗ .</p><p>d) (�⃗� × 𝑣 ) × (𝑣 × �⃗� ). R.: 0⃗ .</p><p>e) (�⃗� − 𝑣 ) × �⃗⃗� . R.: (-5; 0; -5).</p><p>f) (�⃗� × 𝑣 ) × �⃗⃗� . R.: (-1; -23; -1).</p><p>g) �⃗� × (𝑣 × �⃗⃗� ). R.: (-6; -20; 1).</p><p>h) �⃗� × (𝑣 + �⃗⃗� ). R.: (8; -2;</p><p>13).</p><p>i) �⃗� × 𝑣 + �⃗� × �⃗⃗� . R.: (8; -2; 13).</p><p>j) (�⃗� × 𝑣 ) ∙ 𝑣 . R.: 0.</p><p>k) (�⃗� × 𝑣 ) ∙ �⃗⃗� . R.: 5.</p><p>l) �⃗� ∙ (𝑣 × �⃗⃗� ). R.: 5.</p>