porcentagem matemática

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Aula 05 – Conjuntos 
Numéricos 
Matemática e Raciocínio Lógico-Matemático 
p/ Institutos e Universidades Federais – 2019 
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Sumário 
RACIOCÍNIO MATEMÁTICO ................................................................................................................................ 3 
NÚMEROS NATURAIS ........................................................................................................................................ 3 
NÚMEROS INTEIROS ......................................................................................................................................... 4 
Operações com números inteiros ...................................................................................................................... 5 
NÚMEROS RACIONAIS..................................................................................................................................... 18 
Operações com números racionais .................................................................................................................. 21 
Frações e operações com frações .................................................................................................................... 26 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS .............................................................................................................................. 33 
NÚMEROS IRRACIONAIS ................................................................................................................................. 37 
NÚMEROS REAIS ............................................................................................................................................. 40 
DIVISIBILIDADE ................................................................................................................................................ 41 
NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO ................................................................................................................. 43 
MÚLTIPLOS E DIVISORES ................................................................................................................................ 45 
Mínimo múltiplo comum (MMC) ..................................................................................................................... 45 
Máximo divisor comum (MDC) ........................................................................................................................ 53 
NÚMEROS COMPLEXOS .................................................................................................................................. 59 
A unidade imaginária ..................................................................................................................................... 59 
Partes real e imaginária e a representação no Plano ........................................................................................ 60 
Igualdade, soma e subtração entre números complexos .................................................................................. 62 
Multiplicação e divisão de números complexos ................................................................................................ 63 
Módulo e representação em coordenadas polares ........................................................................................... 64 
PORCENTAGEM ............................................................................................................................................... 68 
Porcentagem de um total ............................................................................................................................... 70 
Porcentagem de porcentagem ........................................................................................................................ 72 
Percentual de variação ................................................................................................................................... 73 
Aumentos e reduções percentuais – valor final ................................................................................................ 74 
Variações percentuais sucessivas .....................................................................................................................77 
Porcentagens com regra de três...................................................................................................................... 79 
Operações de compra e venda – lucro percentual ............................................................................................ 82 
QUESTÕES COMENTADAS PELO PROFESSOR .................................................................................................84 
LISTA DE QUESTÕES DA AULA ...................................................................................................................... 162 
GABARITO ..................................................................................................................................................... 199 
RESUMO DIRECIONADO ................................................................................................................................ 201 
 
 
 
 
 
 
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Raciocínio Matemático 
 
Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima. 
É com muita alegria que inicio mais essa aula. 
Vamos tratar sobre os seguintes tópicos do seu edital neste encontro: 
 
Conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais, reais. Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum. Frações. 
Porcentagem 
 
Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo: 
 
 
NÚMEROS NATURAIS 
Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais intuitivos, de “contagem natural”. Isto é, são 
aqueles construídos com os algarismos de 0 a 9. O símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos escrever os 
seus elementos entre chaves: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22…} 
 
As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, existem infinitos números naturais. 
Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural propriamente dito (pois não é um 
número de “contagem natural”). Por isso, utiliza-se o símbolo N* para designar os números naturais positivos, 
isto é, excluindo o zero. Vejam: N* = {1, 2, 3, 4…} 
 
Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais: 
 Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor 
do número “n” é o número “n+1”. 
 
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 Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o 
antecessor do número “n” é o número “n-1”. Observe que o número natural zero não possui antecessor, 
pois é o primeiro número desse conjunto. 
 
 Números consecutivos: são números em sequência. Assim, {2,3,4} são números consecutivos, porém 
{2, 5,4} não são. E {n-1, n e n+1} são números consecutivos. 
 
 Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao ser dividido por 2, não deixa resto. 
Por isso o zero também é par. A propósito, todos os números que terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8 são pares, 
ok? Os números pares podem ser representados sempre na forma2.n, onde n é um número natural. 
Por exemplo, 10 é igual a 2.5, da mesma forma que 28 é igual a 2.14, e assim por diante. 
 
 Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam resto 1. Todos os números que 
terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9 são ímpares, ok? Os números ímpares podem ser representados na forma 
2n+1, onde n é um número natural. Por exemplo, o 15 é igual a 2.7+1, já o 29 é igual a 2.14+1. 
 
Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que: 
- a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12 + 6 = 18; 12 – 6 = 6. 
- a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 13 + 5 = 18; 13 – 5 = 8. 
- a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado ímpar. Ex.: 12 + 5 = 17; 12 – 5 = 7. 
- a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24. 
- a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15. 
- a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado par: 2 x 3 = 6. 
 
NÚMEROS INTEIROS 
Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos (negativos). Isto é, 
Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} 
Observem que todos os números Naturais são também Inteiros, mas nem todos os números inteiros são 
naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de números naturais está contido no conjunto de números 
inteiros, isto é, N Z, ou ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relação entre N 
e Z: 
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Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de números. Vejam que os nomes dos 
subconjuntos são autoexplicativos: 
a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os números naturais. 
 
b) Números Inteiros não positivos = {… -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero também faz parte deste conjunto, 
pois ele não é positivo nem negativo. 
 
c) Números inteiros negativos = { … -3, -2, -1}. O zero não faz parte. 
 
d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz parte. 
 
Operações com números inteiros 
As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números são: adição, subtração, 
multiplicação e divisão. Vejamos em detalhes cada uma delas. 
 
a) Adição: 
A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. Isto é, a adição de 15 e 6 é: 
15 + 6 = 21 
 
Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois números? Vamos exercitar efetuando a soma 
728 + 46. Primeiramente, você deve posicionar estes números um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa 
das unidades): 
728 
+46 
A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 8 + 6 obtemos 14. Com isto, devemos 
colocar o algarismo das unidades (4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a próxima 
soma: 
 
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1 
728 
+46 
4 
 
Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e adicionar também o número que veio da soma 
anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos colocar este número no resultado: 
 
728 
+46 
74 
Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. Como o segundo número (46) não possui 
casa das unidades, podemos simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo: 
728 
+46 
774 
Chegamos ao nosso resultado final. 
Vamos trabalhar uma questão de prova bem interessante? 
FCC – METRÔ/SP – 2014) O algarismo da milhar do resultado da soma 
6+66+666+6666+66666+666666+6666666+66666666+666666666 
 é igual a 
(A) 0. 
(B) 6. 
(C) 4. 
(D) 8. 
(E) 7. 
RESOLUÇÃO: 
Temos a soma: 
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Podemos começar esta soma, a partir da casa das unidades (direita). Somando as casas das unidades, temos 9 
vezes o número 6, o que nos permite fazer rapidamente 9 x 6 = 54. Deixamos o 4 no resultado, e levamos o 5 
para a próxima soma: 
 
 5 
 
 4 
 
 Somando as casas das dezenas, temos 8 x 6 = 48. Somando o 5 que veio da operação anterior, temos 48 + 5 = 
53. Deixamos o 3 no resultado e levamos o 5 para a próxima operação. 
 
 5 
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 34 
 
 Somando as casas das centenas, temos 7 x 6 = 42. Somando as 5 unidades que vieram da operação anterior, 
ficamos com 47. Deixamos o 7 no resultado e levamos o 4 para a próxima operação: 
 
 
 
 4 
 
 734 
Somando as casas da milhar, temos 6 x 6 = 36. Somando com o 4 que veio da operação anterior, temos 36 + 4 
= 40. Portanto na casa da milhar vai ficar um 0, indo o 4 para a próxima operação: 
 4 
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 0734 
Podemos parar esta soma por aqui, pois chegamos na casa da milhar. 
Resposta: A 
 
Antes de conhecermos a próxima operação, vejamos as principais propriedades da operação de adição. 
 
 propriedade comutativa: dizemos que a adição de números inteiros possui a propriedade comutativa, 
pois a ordem dos números não altera a soma. Isto é, 728 + 46 é igual a 46 + 728. 
 
 propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números, podemos primeiramente somar 2 deles, e a 
seguir somar o outro, em qualquer ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade 
está presente na adição. Ex.: 
2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14 
 
 elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer número somado a 
zero é igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 2; 45 + 0 = 45. 
 
 propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois números inteiros SEMPRE 
gera outro número inteiro. Ex: a soma dos números inteiros 2 e 5 gera o número inteiro 7 (2 + 5 = 7). 
 
b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de um deles, o valor do outro. Isto 
é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4 unidades: 
9 – 5 = 4 
 
Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a subtração de números. Vamos efetuar a 
operação 365 – 97: 
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365 
- 97 
Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do outro, alinhando as casas das unidades. 
Começamos a efetuar a subtração a partir da casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não podemos 
subtrair 5 – 7. Devemos, portanto, “emprestar” uma unidade da casa das dezenas de 365. Levando este valor 
para a casa das unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 unidades. Agora sim podemos 
subtrair 15 – 7 = 8, e anotar este resultado: 
365 
- 97 
 8 
Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair5 – 9, e não 6 – 9, pois já utilizamos uma 
unidade na primeira subtração acima. Como 5 é menor que 9, devemos novamente “pegar” uma unidade da 
casa das centenas de 365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 – 9 = 6. Vamos anotar este resultado: 
365 
- 97 
 68 
Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos mais um 3 na casa das centenas de 365, 
e sim 2, pois já usamos uma unidade na operação anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta levarmos 
este 2 para o resultado: 
365 
- 97 
268 
 
E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? Neste caso, como 97 é menor que 365, devemos: 
- subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 – 97; 
- colocar o sinal negativo (-) no resultado. 
Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais propriedades da operação de subtração. 
 
 propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números NÃO possui a propriedade comutativa, 
pois a ordem dos números ALTERA o resultado. Como vimos acima, 365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268. 
 
 propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois (A – B) – C pode ser diferente 
de (C – B) – A 
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 elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero de qualquer número, 
este número permanecerá inalterado. Ex.: 2 – 0 = 2. 
 
 propriedade do fechamento: a subtração de números inteiros possui essa propriedade, pois a subtração 
de dois números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro. 
 
 elemento oposto: para todo número A, existe também o seu oposto, com sinal contrário, isto é, -A. 
Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc. Também podemos dizer que o elemento oposto de 
A é aquele número que, somado a A, resulta em zero: A + (-A) = 0. 
 
c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de adições. Por exemplo, a multiplicação 
15 x 3 é igual à soma do número 15 três vezes (15 + 15 + 15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 3 + 3 + ... 
+ 3). Vejamos como efetuar uma multiplicação: 
57 
x 13 
Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos multiplicando os números das unidades: 3 x 
7 = 21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a 
próxima operação: 
 2 
57 
x 13 
 1 
Agora devemos multiplicar os número das unidades do segundo número (3) pelo número das dezenas do 
primeiro número: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da 
operação anterior: 15 + 2 = 17. Assim, temos: 
57 
x 13 
171 
Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das unidades 
do primeiro número (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este número para o resultado, entretanto devemos colocá-lo 
logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (1). Veja: 
57 
x 13 
171 
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 7 
A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das 
dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos: 
57 
x 13 
171 
 57 
Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 
 57 
 x 13 
 171 
+570 
741 
Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 57, transformando-o em 570. Fazemos 
isto porque este resultado (57) surgiu da multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse 
do algarismo das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 zeros, e assim por diante. 
É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de números. Você deve se lembrar que: 
SINAIS NA MULTIPLICAÇÃO 
- a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo. Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25. 
- a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo. Ex.: 5x(-5) = -25. 
Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-13), deveríamos obter -741. E se tivéssemos 
multiplicado (-57) x (-13) deveríamos obter 741. 
Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação: 
 propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A x B é igual a B x A, isto é, a 
ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15). 
 
 propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois (A x B) x C é igual a (C x B) x A, 
que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = 24. 
 
 elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao multiplicar 1 por 
qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5. 
 
 propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, pois a multiplicação de 
números inteiros SEMPRE gera um número inteiro (ex.: 5 x 7 = 35). 
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 propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa propriedade. Esta propriedade nos 
permite dizer que: 
Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) 
 
Exemplificando: 
5x(3+7) = 5x(10) = 50 
ou, usando a propriedade: 
5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50 
 
Veja comigo essa questão: 
CONSULPLAN – Pref. Cascavel/PR – 2016) Considere a operação apresentada: 
 
Qual é o valor de J para que a operação seja verdadeira? 
A) 3. 
B) 4. 
C) 5. 
D) 6. 
E) 7. 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que nossa primeira multiplicação será J x J, e o resultado obtido deve terminar com o mesmo 
número J. Isto acontece com o 5 (pois 5x5 = 25) e 6 (pois 6x6 = 36), que são os dois valores possíveis para J. Veja 
como fica com cada um deles: 
15 x 5 = 75 
16 x 6 = 96 
 Fica evidente que o correto é considerar J = 6, pois o resultado deve começar com 9. 
Resposta: D 
 
d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes de mesmo valor, 
sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No 
caso, 10 2 5  . Vamos relembrar como efetuar divisões com o caso abaixo, onde dividimos 715 por 18: 
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715 |18 
Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) e o 18 de divisor (número que está 
dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda 
do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). Já 18x3 = 54. Assim, temos: 
715 |18 
 3 
Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir efetuar a subtração: 
715 |18 
-54 3 
17 
Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5): 
 715 |18 
 -54 3 
175 
Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado, à direita, e anotar o resultado 
da multiplicação 9 x 18 abaixo do 175, para efetuarmos a subtração: 
 715 |18 
 -54 39 
175 
-162 
13 
Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto, encerramos a divisão. Obtivemos o 
quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13. Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um resto. 
Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor (18) pelo quociente (39), adicionada do 
resto (13). Isto é: 
715 = 18 x 39 + 13 
 
Como regra, podemos dizer que: 
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 
 
Use essa informação na próxima questão: 
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VUNESP – CRO/SP – 2015) Dividindo-se um determinado número por 18, obtém-se quociente n e resto 15. 
Dividindo-se o mesmo número por 17, obtém-se quociente (n + 2) e resto 1. Desse modo, é correto afirmar que 
n(n + 2) é igual a 
(A) 440. 
(B) 420. 
(C) 400. 
(D) 380. 
(E) 340. 
RESOLUÇÃO: 
 Lembrando que: 
Dividendo = divisor x quociente + resto 
 
 Temos: 
Dividendo = 18 x n + 15 
Dividendo = 17 x (n+2) + 1 
 
 Como em ambos os casos o número (dividendo) é o mesmo: 
18 x n + 15 = 17 x (n+2) + 1 
18n + 15 = 17n + 34 + 1 
18n – 17n = 35 – 15 
n = 20 
 
 Assim, n.(n+2) = 20.(20+2) = 20.22 = 440. 
Resposta: A 
 
As regras de sinais na divisão são as mesmas da multiplicação: 
SINAIS NA DIVISÃO 
- a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo. 
- a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo. 
 
Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2), deveríamos obter -5. E se tivéssemos 
dividido (-10) por (-2) deveríamos obter 5. 
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Vejamos as principais propriedades da operação de divisão: 
 propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A / B pode ser diferente de B / A. 
Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5. 
 
 propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A / B) / C pode ser diferente de 
(C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de (3/5)/2. 
 
 elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir qualquer número por 1, 
o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 1 = 5. 
 
 propriedade do fechamento: aqui está a grande diferença entre números inteiros. A divisão de números 
inteiros NÃO POSSUI essa propriedade, pois ao dividir números inteiros podemos obter resultados 
fracionários ou decimais (como no exemplo 2 / 100 = 0,02), que não pertencem ao conjunto dos 
números inteiros. 
 
Antes de prosseguirmos, veja mais essas questões: 
 
FCC – CETAM – 2014) Analise as três afirmações relativas a operações com inteiros não negativos: 
I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a 7. 
II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao divisor, o maior resto é igual a 7. 
III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três algarismos terá, no máximo, 7 algarismos. 
Está correto o que se afirma APENAS em 
(A) I e II. 
(B) I e III. 
(C) II e III. 
(D) II. 
(E) III. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos avaliar cada uma das afirmações. Vale lembrar que estamos tratando apenas de números inteiros não 
negativos, ou seja: 0, 1, 2, 3, 4, ... Note que este é simplesmente o conjunto dos números naturais. 
 
I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a 7. 
ERRADO, pois o resto sempre deve ser menor que o divisor. 
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II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao divisor, o maior resto é igual a 7. 
Lembrando que: 
Dividendo = divisor x quociente + resto, 
Como o divisor é igual ao quociente, podemos escrever: 
Dividendo = divisor x divisor + resto 
88 = divisor x divisor + resto 
Veja que o divisor por igual a 8, teríamos: 
88 = 8 x 8 + resto 
88 = 64 + resto 
resto = 22, 
O que é impossível, pois o resto deve ser menor que o divisor. 
Por outro lado, se tivermos divisor igual a 9, ficamos com: 
88 = 9 x 9 + resto 
88 = 81 + resto 
7 = resto 
Veja que, de fato, o maior resto é 7. Item CORRETO. 
 
III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três algarismos terá, no máximo, 7 algarismos. 
Para verificarmos essa afirmação, basta multiplicar o maior número de 4 algarismos (9.999) pelo maior número 
de três algarismos (999): 
9.999 x 999 = 
9.999 x (1000 - 1) = 
9999x1000 - 9999x1 = 
9.999.000 - 9.999 = 
9.999.000 - 10.000 + 1 = 
9.989.000 + 1 = 
9.989.001 
Veja que esse número tem 7 algarismos, o que confirma a afirmação deste item. CORRETO. 
Resposta: C 
 
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FCC – SABESP – 2012) Uma montadora de automóveis possui cinco unidades produtivas num mesmo país. No 
último ano, cada uma dessas unidades produziu 364.098 automóveis. Toda a produção foi igualmente 
distribuída entre os mercados consumidores de sete países. O número de automóveis que cada país recebeu 
foi 
(A) 26.007 
(B) 26.070 
(C) 206.070 
(D) 260.007 
(E) 260.070 
RESOLUÇÃO: 
Como são 5 unidades produtivas, o total de automóveis produzidos será: 5 x 364.098 = 1.820.490 automóveis. 
Toda essa produção foi distribuída para 7 países. Vamos montar a divisão que resultará no número de 
automóveis que cada país recebeu: 
 
Portanto, o total foi de 260.070 automóveis para cada país. 
Resposta: E 
 
NÚMEROS RACIONAIS 
Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma da divisão de dois números 
inteiros. Isto é, são aqueles números que podem ser escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são 
números inteiros. Exemplos: 
 
 
5
4
 é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número inteiro 4. 
 
−
15
4
 é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número inteiro 9, ou a divisão de 15 por -9. 
 
73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 pelo número 1. 
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Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer número natural é também inteiro. E agora 
vemos que todo número inteiro é também racional! Isto porque qualquer número inteiro é o resultado da 
divisão dele mesmo por 1, podendo ser representado na forma 
𝐴
1
 (A dividido por 1, onde A é um número 
inteiro qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e Racionais, faz sentido 
para você: 
 
O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito na forma , concorda?). Porém, 
quando escrevemos um número racional na forma , o denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto 
porque a divisão de um número por zero é impossível (exceto 
0
0
, cujo valor é indeterminado). 
No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de números: 
 Frações. Ex.: , , etc. 
 
 Números decimais. Ex.: 1,25 
Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um número definido de casas após a vírgula. Por 
isso, ele também poderia ser escrito na forma . Neste caso, poderíamos representá-lo como ou mesmo 
simplificá-lo para . 
 
 Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente (a barra indica que o algarismo 3 repete-se 
indefinidamente). 
 
As dízimas periódicas são consideradas racionais porque também podem ser escritas na forma . O 
número deste exemplo poderia ser escrito na forma . Existem métodos que nos permitem encontrar qual 
fração é equivalente a uma determinada dízima periódica. Outro exemplo de dízima periódica: 1,352525252... 
ou . 
Guarde isso: 
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A respeito disso, julgue as duas assertivas abaixo: 
FGV – CAERN – 2010) Julgue as afirmativas a seguir: 
I – 0,555... é um número racional 
II – Todo número inteiro tem antecessor 
RESOLUÇÃO: 
Repare que o número 0,555... é uma dízima periódica. Como vimos, as dízimas periódicas são um tipo de 
número RACIONAL. A afirmativa I está CERTA. 
Seja qual for o númerointeiro, sempre podemos subtrair 1 unidade dele, obtendo o seu antecessor. Por 
exemplo, o antecessor de 57 é o 56. O antecessor de 0 é -1. E o antecessor de -99 é o -100. A afirmativa II está 
CERTA também. 
Resposta: C C 
 
Veja comigo mais um exercício acerca dos números racionais: 
FCC – SABESP – 2018) Os canos de PVC são classificados de acordo com a medida de seu diâmetro em 
polegadas. Dentre as alternativas, aquela que indica o cano de maior diâmetro é 
 (A) 5/8. 
 (B) 1/2. 
 (C) 1 ¼. 
 (D) 3/4. 
 (E) 1 ½. 
RESOLUÇÃO: 
Quando queremos comparar números racionais, o ideal é deixar todos na forma decimal. Isto é, dividir o 
numerador pelo denominador da fração. Veja: 
5/8 = 0,4 
½ = 0,5 
Números 
racionais
Frações
Decimais (finitos)
Dízimas
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1 ¼ = 1 + 0,25 = 1,25 (repare que 1 ¼ significa 1 MAIS ¼) 
¾ = 0,75 
1 ½ = 1 + 0,5 = 1,5 
Logo, o maior diâmetro será 1 ½ polegadas, que corresponde a 1,5 polegadas. 
Resposta: E 
 
Operações com números racionais 
Além do que já vimos ao trabalhar com os números inteiros, precisamos aprender agora a trabalhar com 
os números decimais, isto é, aqueles números que possuem “casas após a vírgula”. A manipulação deles é 
essencial para a resolução de diversas questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los, subtraí-los, 
multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas 
operações em detalhes. 
a) Adição de números decimais: 
A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição comum. Isto é: 
- os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo abaixo da vírgula do outro, 
e as casas correspondentes uma embaixo da outra; 
- as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita para a esquerda; 
- à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a próxima adição (das 
casas logo à esquerda). 
 
Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os números um embaixo do outro, com a 
vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical: 
 13,47 
+ 2,9 
Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo acima da casa das unidades do segundo 
número (2). A primeira casa decimal do primeiro número (4) está logo acima da primeira casa decimal do 
segundo (1). E assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, podemos considerá-la igual a 0. Agora, 
basta começar a somar as casas correspondentes, começando pelas da direita, anotando o resultado. Quando 
houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 = 13), a dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 
2). Com isso, temos: 
 13,47 
 + 2,9 
 16,37 
Vamos fazer uma questão juntos? 
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FCC – DPE/RS – 2017) Sabendo que o número decimal F é 0,8666 . . . , que o número decimal G é 0,7111 . . . e 
que o número decimal H é 0,4222 . . . , então, o triplo da soma desses três números decimais, F, G e H, é igual a 
(A) 6,111 . . . 
(B) 5,888 . . . 
(C) 6 
(D) 3 
(E) 5,98 
RESOLUÇÃO: 
Podemos resolver de forma aproximada, somando os números com 4 casas decimais: 
0,8666 
+ 0,7111 
+ 0,4222 
Veja que eu coloquei uma vírgula embaixo da outra, de modo que as casas decimais correspondentes também 
estão uma embaixo da outra. Começamos a soma pela direita, fazendo 6+1+2 = 9. Essa mesma soma se repete 
nas duas casas à esquerda. Na casa logo antes da vírgula, temos 8+7+4 = 19, de modo que devemos deixar o 9 
e passar o 1 para a próxima casa, isto é, após a vírgula, ficando com: 
0,8666 
+ 0,7111 
+ 0,4222 
 1,9999 
Note que 1,9999 é aproximadamente 2. Se tivéssemos colocado mais casas decimais em nossos números, 
chegaríamos em algo com ainda mais casas decimais, como 1,9999999... Este número pode ser substituído por 
2, pois ele fica tão próximo de 2 quanto a gente queira, é só ir colocando mais casas decimais na soma. 
O TRIPLO da soma é 3×2 = 6, que nos dá o gabarito na alternativa C. 
Outra forma de resolver seria encontrando a fração geratriz de cada número decimal, o que me parece uma 
solução bem mais demorada e trabalhosa. 
Resposta: C 
 
b) Subtração de números decimais: 
Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, com a vírgula do primeiro na mesma 
vertical da vírgula do segundo número. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a 
esquerda. Vejamos: 
 13,47 
 - 2,9 
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 10,57 
Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 – 9 foi preciso pegar uma unidade da 
casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) e “transformá-la” em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 – 
9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, tivemos que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do “3” 
já havia sido utilizada. 
Pratique as subtrações de números decimais resolvendo esse exercício: 
FGV – CODEBA – 2016) Durante três dias, o capitão de um navio atracado em um porto anotou a altura das 
marés alta (A) e baixa (B), formando a tabela a seguir. 
 
A maior diferença entre as alturas de duas marés consecutivas foi 
(A) 1,0. 
(B) 1,1. 
(C) 1,2. 
(D) 1,3. 
(E) 1,4. 
RESOLUÇÃO: 
Podemos ir calculando as diferenças entre os valores da tabela. Basta subtrairmos valores consecutivos. Veja: 
 
0,3 – 1 = -0,7 
1,1 – 0,3 = 0,8 
0,2 – 1,1 = -0,9 
1,3 – 0,2 = 1,1 
0,4 – 1,3 = -0,9 
1,4 – 0,4 = 1 
0,5 – 1,4 = -0,9 
1,2 – 0,5 = 0,7 
0,4 – 1,2 = -0,8 
1,0 – 0,4 = 0,6 
Note que a maior diferença é 1,1. 
Resposta: B 
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c) Multiplicação de números decimais: 
Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, com duas observações: 
- devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na subtração, isto é, com a vírgula de 
um logo abaixo da vírgula do outro. 
- o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número de casas decimais dos dois 
números sendo multiplicados. Assim você saberá posicionar a vírgula. 
Vejamos o nosso exemplo: 
 13,47 
 x 2,9 
 12123 
+ 26940 
 39,063 
Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação de 13,47 por 9. Já a segunda linha 
refere-se à multiplicação de 13,47 por 2. Nesta linha há um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à frente 
do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtém-se 39063. E, lembrando que existem 3 casas decimais nos 
números sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas decimais no resultado, o que 
leva ao número 39,063. 
 
d) Divisão de números decimais: 
Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente multiplicar ambos os números (divisor 
e dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 1000, 10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais 
presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente. 
Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o número que possui mais casas decimais é o 
divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os números por 100, de modo a 
retirar ambas as casas decimais: 
3,5 x 100 = 350 
0,25 x 100 = 25 
 
Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, tendocomo resultado o número 14. 
Faça a próxima questão comigo: 
CESPE – CORREIOS – 2011) Suponha que uma pessoa compre 5 unidades de um mesmo produto, pague com 
uma nota de R$ 50,00 e receba R$ 15,50 de troco. Nessa situação, cada unidade do referido produto custa 
 a) mais de R$ 7,50. 
 b) menos de R$ 3,00. 
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 c) mais de R$ 3,00 e menos de R$ 4,50. 
 d) mais de R$ 4,50 e menos de R$ 6,00. 
 e) mais de R$ 6,00 e menos de R$ 7,50. 
RESOLUÇÃO: 
Pagando 50 e recebendo 15,50 de troco, o valor efetivamente pago foi: 
Pagamento = 50 – 15,50 = 34,50 reais 
Como foram adquiridas 5 unidades, então devemos dividir esse valor pago por 5. Para montar a divisão, vamos 
multiplicar 34,5 e 5 por 10. Fica: 
 
Portanto, cada unidade custa 6,90 reais. 
Resposta: E 
 
 
Trabalhe ainda os cálculos a seguir: 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto aqui, efetue as seguintes 
operações, cujo gabarito é fornecido em seguida. 
a) 2,25 + 1,7 
b) 2,25 – 1,7 
c) 2,25 x 1,7 
d) 2,25 / 1,5 
e) 0,898 + 1,12 
f) 0,898 – 1,12 
g) 0,898 x 1,12 
h) 0,898 / 0,01 
Respostas: 
a) 3,95 
b) 0,55 
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c) 3,825 
d) 1,5 
e) 2,018 
f) -0,222 
g) 1,00576 
h) 89,8 
 
Frações e operações com frações 
Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos lidando com frações, que nada mais 
são que operações de divisão. Escrever 
2
5
 é equivalente a escrever 2 ÷ 5. As frações estão constantemente 
presentes na resolução de exercícios, motivo pelo qual é essencial lembrar como efetuamos cada operação com 
elas: soma, subtração, multiplicação e divisão. 
 
a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo denominador, isto é, com 
um denominador comum. Este denominador é, simplesmente, um múltiplo comum entre os denominadores 
das frações originais. Falaremos sobre múltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas o básico. Vamos 
entender isto com o exemplo abaixo: 
1 3
6 8
 
Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 8x3 = 24). 
Para trocar o denominador da fração 
1
6
 para 24, é preciso multiplicar o denominador 6 por 4. Assim, 
também devemos multiplicar o numerador 1 por 4, para manter a fração. Portanto, 
1 4
6 24
 . 
Já para trocar o denominador da fração 
3
8
 para 24, é preciso multiplicar o denominador 8 por 3. Assim, 
também devemos multiplicar o numerador 3 por 3, para manter a fração. Portanto, 
3 9
8 24
 . 
Lembre-se disso: o mesmo número utilizado para multiplicar o denominador deve ser usado para multiplicar o numerador! 
 
Agora sim podemos efetuar a soma, mantendo o denominador e somando apenas os numeradores: 
1 3 4 9 4 9 13
6 8 24 24 24 24

     
 
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Antes de avançarmos, pratique a soma de frações com essa questão: 
FGV – BANESTES – 2018) Na igualdade 
3
5
 + 
3
20
 + 
3
25
 = 
x
100
 o valor de x é: 
A) 59 
B) 65 
C) 77 
D) 83 
E) 87 
RESOLUÇÃO: 
Para somar as frações devemos colocá-las sobre um mesmo denominador. Veja que 100 é múltiplo comum de 
5, 20 e 25. Logo: 
20 x 3
100
 + 
5 x 3
100
 + 
4 x 3
100
 = 
x
100
 
60
100
 + 
15
100
 + 
12
100
 = 
x
100
 
87
100
 = 
x
100
 
X = 87 
Resposta: E 
 
b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador da outra, e o 
denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo: 
1 3 1 3 3
6 8 6 8 48

  

 
Pratique a multiplicação de frações: 
Resolva mais estes dois exercícios: 
FCC – TRF/3ª – 2016) Seja A o quociente da divisão de 8 por 3. Seja B o quociente da divisão de 15 por 7. Seja C 
o quociente da divisão de 14 por 22. 
O produto A . B . C é igual a 
(A) 3,072072072 . . . 
(B) 3,636363 . . . 
(C) 3,121212 . . . 
(D) 3,252525 . . . 
(E) 3,111 . . . 
RESOLUÇÃO: 
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Vamos multiplicar as divisões 8/3, 15/7 e 14/22, que correspondem ao produto A x B x C: 
8 15 14
3 7 22
8 15 2
3 1 22
8 5 1
1 1 11
40
11
3,63...
  
  
  

 
Logo, A x B x C = 3,6363.. que corresponde à letra B. 
Resposta: B 
 
c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja isso em nosso 
exemplo: 
1
1 3 1 8 86
3 6 8 6 3 18
8
     
Exercite mais um pouco as operações com frações: 
FCC – MANAUSPREV – 2015) Considere as expressões numéricas, abaixo. 
1 1 1 1 1
2 4 8 16 32
A      e 
1 1 1 1 1
3 9 27 81 243
B      
O valor, aproximado, da soma entre A e B é 
(A) 1. 
(B) 2,5. 
(C) 1,5. 
(D) 2. 
(E) 3. 
RESOLUÇÃO: 
Para resolver essa questão você deve lembrar que só podemos somar frações que estejam escritas com o 
mesmo denominador. Assim, podemos fazer as seguintes somas: 
1 1 1 1 1
2 4 8 16 32
A      
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16 8 4 2 1 31
32 32 32 32 32 32
A       
1 1 1 1 1
3 9 27 81 243
B      
81 27 9 3 1 121
243 243 243 243 243 243
B       
Portanto, 
31 121
32 243
A B   
Observe que 31/32 é aproximadamente igual a 1 (pois o numerador é praticamente o mesmo valor do 
denominador). E observe que 121 é aproximadamente a metade de 243, de modo que 121/243 é 
aproximadamente igual a ½, ou seja, 0,5. Portanto, esta soma é aproximadamente igual a 1 + 0,5 = 1,5. Com 
este cálculo aproximado, podemos marcar rapidamente a alternativa C. 
Observe que, propositalmente, o examinador solicitou o valor aproximado da soma, afinal o cálculo exato da 
soma das duas frações seria bastante trabalhoso, a começar pelo fato que precisaríamos encontrar um 
denominador comum que fosse múltiplo de 32 e de 243. 
Resposta: C 
 
É interessante aproveitar que estamos conversando sobre frações para falar sobre simplificação. Observe 
a fração 
8
18
 logo acima. Perceba que tanto o numerador como o denominador podem ser divididos por um 
MESMO número: 2. Se dividirmos tanto o 8 como o 18 por 2, ficamos com a fração 
4
9
. Essa fração é equivalente 
à anterior, porém tem números menores, o que geralmente facilita os cálculos. Portanto, guarde isso: 
Podemos simplificar frações dividindo o numerador e o denominador pelo MESMO número 
Será que podemos simplificar ainda mais a fração 
4
9
 ? Perceba que não é possível fazer essa simplificação, 
pois não existe um número natural capaz de dividir tanto o 4 como o 9. Dizemos que isso acontece porque os 
números 4 e 9 são primos entre si (isto é, não possuem nenhum divisor em comum). Por este motivo, dizemos 
que a fração 
4
9
 é uma fração irredutível, isto é, não pode ser mais simplificada / reduzida. 
 
Resolva as próximas questões utilizando a simplificação de frações: 
FGV – IBGE – 2016) A distância da Terra ao Sol é de 150 milhões de quilômetros e esse valor é chamado de “1 
unidade astronômica” (1UA). A estrela Sírius, a mais brilhante do céu, está a 81 trilhões de quilômetros do Sol. 
A distância de Sírius ao Sol em UA é: 
(A) 5.400; 
(B) 54.000; 
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(C) 540.000; 
(D) 5.400.000; 
(E) 54.000.000. 
RESOLUÇÃO: 
Escrevendo 81 trilhões, temos 81.000.000.000.000 de quilômetros. Veja que 150 milhões dequilômetros são 
150.000.000. Assim, o número de UA que representa a distância do Sol à estrela Sirius é: 
N = 81.000.000.000.000 / 150.000.000 
Podemos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por 1.000.000 (um milhão). Basta 
“cortar” seis zeros de cada número, ficando: 
N = 81.000.000 / 150 
Podemos dividir numerador e denominador por 10, obtendo: 
N = 8.100.000 / 15 
Podemos dividir numerador e denominador por 3, obtendo: 
N = 2.700.000 / 5 
Está vendo que o denominador é 5? Neste caso, eu recomendo que você MULTIPLIQUE o numerador e o 
denominador por 2, pois assim o cálculo fica mais fácil. Veja: 
N = 5.400.000 / 10 
N = 540.000 quilômetros 
Resposta: C 
 
VUNESP - PM/SP - 2015) A representação fracionária do resultado da operação 0,21875 − 0,15625 é 
a) 1/16 
b) 3/16 
c) 9/32 
d) 7/32 
e) 5/32 
RESOLUÇÃO: 
Fazendo a subtração, temos: 
 0,21875 
- 0,15625 
 0,06250 
 
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 Como as respostas são frações, devemos escrever este número na forma de fração. Veja que: 
 
 
 Precisamos agora simplificar essa fração. Podemos começar dividindo numerador e denominador por 5, 
sucessivas vezes. Ficamos com: 
 
 Temos nosso gabarito na alternativa A. 
Resposta: A 
 
 A dica abaixo é muito útil para a interpretação do enunciado das questões, isto é, para sermos capazes de 
passar a informação escrita no enunciado em língua portuguesa para a “linguagem matemática”: 
DICA SOBRE FRAÇÕES 
Trabalhando com frações, podemos substituir a expressão “de” pela multiplicação. Veja como: 
- quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente 
1
1000
3
 ! 
- e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é 
2
25
7
 . 
- quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de mulheres (600) presentes em um evento? Simplesmente 
1
(700 600)
4
  . 
- quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a resposta é dada pela expressão 
5
( )
9
X Y  . 
 
Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao longo dos exercícios! Veja este, por 
exemplo: 
VUNESP – Câmara de São José do Rio Preto – 2015) Uma brincadeira antiga com números começava com a 
pergunta: 
“Quanto é a metade de dois mais dois?” 
E o interpelado quase sempre respondia com “2”, quando a resposta correta é “3”. Essa brincadeira usa a ordem 
de precedência dos operadores, que exige que a divisão venha antes da soma, quando não há parênteses 
envolvidos. 
Usando a ordem de precedência dos operadores, e considerando que não há parênteses envolvidos, para a 
pergunta: 
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“Quanto é a décima segunda parte de mil duzentos e doze subtraída de doze vezes nove mais doze”? 
A resposta correta é 
(A) –151. 
(B) –85. 
(C) 5. 
(D) 120. 
(E) 762 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos por partes: 
“décima segunda parte de mil duzentos e doze” = (
1
12
) x 1212 
 
“doze vezes nove” = 12x9 + 12 
 
 Juntando: 
“a décima segunda parte de mil duzentos e doze subtraída de doze vezes nove” = (
1
12
)x1212 – 12x9 
 
 Com mais o final: 
“a décima segunda parte de mil duzentos e doze subtraída de doze vezes nove mais doze” 
= (
1
12
)x1212 – 12x9 + 12 
= 101 – 108 + 12 
= 113 – 108 
= 5 
Resposta: C 
 
Agora veja como operações com frações podem aparecer em um problema de raciocínio matemático: 
FCC – DPE/RS – 2017) Carlos comeu a terça parte de uma pizza. Angelina chegou depois e comeu a metade do 
que Carlos havia deixado da pizza. Por último, Beatriz chegou e comeu o correspondente à metade do que 
Angelina havia comido. A fração que sobrou dessa pizza foi 
(A) 1/6 
(B) 3/8 
(C) 2/9 
(D) 1/5 
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(E) 1/12 
RESOLUÇÃO: 
Seja P o total da pizza. Como Carlos comeu 1/3 de P, a sobra foi: 
Sobra após Carlos = 𝑃 −
𝑃
3
=
3𝑃
3
−
𝑃
3
=
2𝑃
3
 
 
Angelina comeu metade disto, sobrando a outra metade, isto é: 
Sobra após Angelina = 
1
2
 𝑥 (
2𝑃
3
) =
2𝑃
6
=
𝑃
3
 
 
 Beatriz comeu metade do que Angelina havia comido. Isto é, 
Beatriz comeu = 
1
2
𝑥 [
1
2
𝑥 (
2𝑃
3
)] =
1
2
𝑥
𝑃
3
=
𝑃
6
 
 
Após Angelina comer, havia sobrado P/3 da pizza. Como Beatriz comeu P/6, sobrou ainda: 
Sobra após Beatriz = 
𝑃
3
−
𝑃
6
=
2𝑃
6
−
𝑃
6
=
𝑃
6
 
Portanto, da pizza de tamanho P sobrou apenas a fração P/6, ou seja, sobrou 1/6 da pizza. 
Resposta: A 
 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
Uma expressão numérica é uma sequência de números dispostos de acordo com sinais matemáticos, que 
indicam as operações a serem efetuadas. Veja um exemplo: 
 ( 25 2) (9 3) 7 4        
 
A resolução desse tipo de expressão é muito simples, desde que você se lembre das seguintes regras: 
1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está entre colchetes, e a seguir o que está entre chaves. 
2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir multiplicação ou divisão, e a seguir resolver 
operações de soma ou subtração. 
 
Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver as duas operações que encontram-
se entre parênteses. Dentro desses parênteses, veja que há uma operação de radiciação ( 25 ), que é a 
primeira a ser resolvida: 
  (5 2) (9 3) 7 4      
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A seguir, resolvemos as demais operações dentro dos parênteses, obtendo: 
  7 6 7 4    
Agora devemos resolver a multiplicação dentro dos colchetes: 
 42 7 4   
Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves: 
35 4  
Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, obtendo: 
35 4 8,75  
Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de divisão como outra qualquer, e se houver 
uma fração em sua expressão numérica, basta resolvê-la no momento que você resolveria aquela operação de 
divisão. 
Importante: se tivermos operações equivalentes (somas/subtrações, ou multiplicações/divisões) em 
sequência, devemos resolvê-las na ordem que aparecem. Por exemplo, qual é o resultado correto da expressão: 
20 ÷ 20 ÷ 5 
O certo é resolver na ordem, ou seja, primeiramente dividir 20 por 20, obtendo 1, e então dividir o 1 por 5, 
obtendo 1/5 ou simplesmente 0,2. Isto é: 
20 ÷ 20 ÷ 5 = 1 ÷ 5 = 0,2 
 
 ATENÇÃO, pois se você primeiramente quiser dividir segundo número 20 por 5, vai obter o resultado 4. 
Dividindo o primeiro 20 por 4, você obteria 5, ERRANDO o cálculo: 
20 ÷ 20 ÷ 5 = 20 ÷ 4 = 5 
 
Veja comigo as questões a seguir: 
FGV – BANESTES – 2018) O resultado da operação 5 + 3 x 7 – 4 é: 
(A) 14. 
(B) 22. 
(C) 24. 
(D) 28. 
(E) 52. 
RESOLUÇÃO: 
Devemos começar primeiro pela operação de multiplicação. Logo: 
5 + 3 x 7 – 4 = 
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5 + 21 – 4 
Agora, podemos fazer as operações na ordem que elas aparecem. Somando o 5 com o 21, e depois subtraindo 
4, temos: 
26 – 4 = 
22 
Resposta: B 
 
FCC – TRT/11 – 2017) O valor que corresponde ao resultado correto da expressão numérica 
(132 – 112) / (122 / 3) / (102 – 92 – 42) 
é 
a) 2/5 
b) 1/4 
c) 3/4 
d) 1/5 
e) 1/3 
RESOLUÇÃO: 
Devemos começar resolvendo as potências dentro de cada parênteses: 
(132 – 112) / (122 / 3) / (102 – 92 – 42) = 
(169 – 121) / (144 / 3) / (100 – 81 – 16) = 
Agora resolvemos as demais operações dentro dos parênteses 
48 / 48 / 3 = 
1 / 3 
Resposta: E 
 
FCC – CNMP– 2015) O resultado da expressão numérica 
     
1 2 1 3 11 10 3 9 4 5
. 6 13 . . 4 2 . . 1 11 . .
3 3 5 5 4 4 7 7 9 9
         
                    
         
 
é igual a 
(A) - 4. 
(B) 8. 
(C) - 6. 
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(D) 9. 
(E) - 12. 
RESOLUÇÃO: 
1 2 1 3 11 10 3 9 4 5
.( 6 13). .( 4 2). .( 1 11). .
3 3 5 5 4 4 7 7 9 9
         
                     
         
 
1 2 1 6 9
.7. .( 6). .10. .
3 5 4 7 9
         
              
         
 
 
1 2 1 6
.7. .( 6). .10. . 1
3 5 4 7
       
            
       
 
 
1 2 1 6
.7. .(6). .10. . 1
3 5 4 7
       
        
       
 
 
1 2 1 6
.1. .(2). .10. . 1
1 5 4 1
       
        
       
 
 
1 1 1 6
.1. .(1). .10. . 1
1 5 1 1
       
        
       
 
 
60
1
5
 
  
 
 
   12 . 1  
12 
Resposta: E 
 
VUNESP – PREF. GARÇA – 2018) Considere a resolução da expressão numérica 
 
por uma aluna: 
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Analisando-se a resolução, é correto afirmar que 
(A) há erro na passagem da linha 1 para a linha 2, apenas. 
(B) há erro na passagem da linha 2 para a linha 3, apenas. 
(C) há erro na passagem da linha 3 para a linha 4, apenas. 
(D) há erro nas passagens da linha 1 para a 2 e da linha 2 para a 3, apenas. 
(E) não há erro em passagem alguma. 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que o cálculo foi feito corretamente. A aluna optou por aplicar a propriedade distributiva da 
multiplicação, multiplicando por ½ cada um dos termos da equação. Repare que, ao multiplicar o termo −
8
2
 por 
1
2
, obteve-se o valor de −
8
4
, o que está correto. Feito isto, foi realizada primeiramente a operação de divisão, 
para só então serem realizadas as demais operações. 
Resposta: E 
 
NÚMEROS IRRACIONAIS 
Os Números Irracionais são aqueles que não podem ser obtidos da divisão de dois inteiros, ou seja, não 
podem ser escritos na forma (onde A e B são números inteiros), ao contrário dos números Racionais. Isto 
porque esses números são formados por uma sequência infinita de algarismos. 
Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos deparamos com um número irracional: 
 
(as reticências indicam que este número é composto por infinitos algarismos) 
A propósito, vale dizer que todas as raízes que não têm valor EXATO são números irracionais. Assim, 
outros números irracionais são: √3, √5, √7, √10, e assim por diante. 
Da mesma forma, o conhecido número (“pi”), muito utilizado na trigonometria, possui infinitas casas 
decimais que não se repetem como em uma dízima periódica, o que faz dele um número irracional: 
 
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Outro número irracional bastante conhecido é o número de Euler, representado pela letra e, cujo valor é 
aproximadamente: 
e = 2,718281828459050... 
A propósito, veja esse exercício: 
CESPE – SEDUC/AL – 2018) O número de Euler, nome dado em homenagem ao matemático suíço Leonhard 
Euler, é um número irracional denotado por e, cuja representação decimal tem seus 4 primeiros algarismos 
dados por 2,718. Esse número é a base dos logaritmos naturais, cuja função f(x) = ln x = 𝑙𝑜𝑔𝑒x tem inúmeras 
aplicações científicas. 
A respeito desse assunto, julgue os itens a seguir: 
() O número de Euler é menor que o número racional 2,72. 
() Se r = 2,718718... é uma dízima periódica, então a diferença r – e é um número racional. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos analisar cada item: 
() O número de Euler é menor que o número racional 2,72. 
 O número de Euler é irracional, com os 3 primeiros algarismos sendo por 2,71. Portanto, esse número é 
menor do que o número racional 2,72. Alternativa CORRETA. 
 
() Se r = 2,718718... é uma dízima periódica, então a diferença r – e é um número racional. 
 Toda dízima periódica é um número racional. Na subtração de um número racional por um número 
irracional, o resultado será um número irracional. Como o número irracional possui casas decimais que nunca 
se repetem, as subtrações também não vão se repetir, o que vai gerar um número no resultado cujas casas 
decimais não se repete, isto é, um número irracional. Item ERRADO. 
Resposta: C E 
 
 Guarde que: 
 a soma de números irracionais pode gerar um número racional; 
Isto ocorre quando somamos dois números irracionais opostos como, por exemplo: 
√7 + (−√7) = 0 
Veja que o resultado foi ZERO, que é um número racional. 
 
 a soma/subtração entre um número irracional e um número racional tem resultado irracional; 
Isso ocorre pois o número irracional tem infinitas casas decimais que não se repetem. Ao fazer a soma (ou 
subtração), cada uma dessas diferentes casas terá que ser somada à casa correspondente no número racional, 
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gerando somas diferentes que não terão um padrão de repetição. Portanto, a soma 2 + √2 certamente gera 
um resultado irracional. 
 
 a multiplicação entre um racional e um irracional pode ter resultado racional; 
 Lembre-se sempre que o ZERO é um número racional. Se multiplicarmos qualquer número por zero 
(inclusive um número irracional), o resultado é SEMPRE igual a zero. Portanto, 0 × √2 = 0, que é racional. 
 
Antes de avançarmos, deixo uma observação a respeito da representação dos números irracionais na reta 
numérica: 
 não é possível localizar precisamente um número irracional na reta numérica. Isto porque esses números 
têm infinitas casas decimais que não se repetem, não sendo possível escrevê-los na forma 
A
B
e usar o 
mesmo método que vimos para localizar os números racionais. 
 
Obs.: existem formas indiretas para a localização desses números na reta com boa precisão. Ex.: sabemos 
que a diagonal de um quadrado de lados iguais a 1 mede exatamente 2 , que é um número irracional. 
Portanto, basta desenhar esse quadrado, pegar a sua diagonal e utilizá-la para medir, na reta numérica, a 
distância entre a origem (zero) e a posição onde deve estar o número 2 
 
Vejamos uma questão sobre números irracionais: 
IADES – ELETROBRAS – 2015) Quanto aos números reais, assinale a alternativa correta. 
a) Os números √2 ≅ 1,4142 e √3 ≅ 1,732 são os únicos números irracionais entre 1 e 2. 
b) Entre dois números racionais distintos, existe um único número irracional. 
c) Entre dois números racionais distintos, existe apenas uma quantidade finita, maior do que 1, de números 
irracionais. 
d) Existem dois números racionais distintos, entre os quais não existe nenhum número irracional. 
e) Entre dois números racionais distintos, existem infinitos números irracionais. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos analisar cada alternativa. 
Alternativa A: existem infinitos números irracionais entre 1 e 2. Mais do que isso, entre 2 números quaisquer 
sempre teremos infinitos números irracionais. Mesmo entre 1,001 e 1,002 nós temos infinitos números 
irracionais. 
 
Alternativa B: existem infinitos números irracionais entre outros dois números irracionais, como afirmei 
anteriormente. 
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Alternativa C: existem infinitos números irracionais entre dois números racionais distintos. 
 
Alternativa D: entre todos os números racionais distintosexistem infinitos números irracionais. 
 
Alternativa E: correto, como dissemos anteriormente. 
Resposta: E 
NÚMEROS REAIS 
O conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números Racionais e Irracionais. Desta forma, 
podemos dizer que: 
 
(O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está contido no dos Racionais, que está contido no dos Reais) 
 
E, além disso, 
 
(O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais) 
 
Complementando o diagrama que desenhamos ao estudar os outros conjuntos, agora temos: 
 
No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence aos Números Racionais e Reais, e I/R 
significa que aquele subconjunto pertence aos Números Irracionais e Reais. 
Veja a próxima questão comigo: 
 
IBFC – TCM/RJ – 2016) Dentre as alternativas, a única incorreta é: 
a) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional 
b) O conjunto dos reais é a união entre os números racionais e os números irracionais 
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c) A subtração não é operação no conjunto dos naturais 
d) Toda dízima periódica pertence ao conjunto dos racionais 
RESOLUÇÃO: 
A afirmação A está ERRADA. Se somarmos um número irracional com o seu oposto, o resultado é zero. Por 
exemplo, somando o número irracional √2 com o número irracional −√2, o resultado é zero – que é um número 
RACIONAL. 
 
A afirmação B está CERTA, pois os números reais de fato são compostos pela união entre racionais e irracionais. 
Na afirmação C, ao dizer que a subtração “não é operação no conjunto dos naturais”, o examinador está dizendo 
que a subtração não tem a propriedade do fechamento no conjunto dos naturais. Isto é verdade mesmo, pois 
se subtraimos 3 – 7, por exemplo, o resultado é -4, número que não faz parte dos naturais. Afirmação CERTA. 
 
A afirmação D está CERTA, pois realmente as dízimas pertencem ao conjunto dos racionais, uma vez que 
podem ser escritas na forma de fração. 
Resposta: A 
 
Para finalizar o estudo dos números reais, deixo algumas breves observações: 
 As propriedades das operações com números reais são as mesmas já vistas para os racionais; 
Dado que os números reais são formados por 2 subconjuntos (racionais e irracionais), sabemos que alguns 
números reais podem ser posicionados precisamente na reta numérica (os racionais) e outros não podem ser 
localizados exatamente (os irracionais). 
 
DIVISIBILIDADE 
Dizemos que um número é divisível por outro quando esta divisão é exata, não deixando resto nem casas 
decimais. Para saber se um número é divisível por outro, basta efetuar a divisão e verificar se existe resto. Ex.: 
25 5 5  e o resto é ZERO, portanto 25 é divisível por 5. 
O problema surge quando queremos julgar, por exemplo, se o número 1765830275 é divisível por 5. 
Efetuar esta divisão à mão consome muito tempo. Para identificarmos rapidamente essa divisibilidade, existem 
os critérios de divisibilidade. Vamos passar por cada um deles rapidamente? 
Divisibilidade por 1 
Aqui é fácil: TODOS os números são divisíveis por 1. 
Divisibilidade por 2 
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Os números PARES são divisíveis por 2. Vale lembrar que pares são os números que terminam em 0, 2, 4, 
6 ou 8. Portanto, o número 365978 certamente é divisível por 2, afinal ele termina em 8, sendo um número par. 
Divisibilidade por 3 
Os números divisíveis por 3 são aqueles cuja SOMA DOS ALGARISMOS é divisível por 3. 
Por exemplo, 257 é divisível por 3? Podemos somar os seus algarismos, obtendo 2+5+7 = 14. Como 14 
NÃO é divisível por 3, podemos garantir que 257 também NÃO é divisível por 3. 
E 801, será que é divisível por 3? Somando os algarismos, temos 8+0+1 = 9. Como 9 É divisível por 3, 
podemos garantir que 801 também É divisível! 
 
Divisibilidade por 4 
Para checar se um número é divisível por 4, basta olhar para o número formado pelos DOIS ÚLTIMOS 
dígitos. 
Por exemplo, será que o ano de 2018 é divisível por 4? NÃO, pois o número formado pelos dois últimos 
dígitos é o 18, e sabemos que 18 não é divisível por 4. 
E será que 1980 é divisível por 4? SIM, pois os últimos dígitos são 80, e este número é divisível por 4. 
Divisibilidade por 5 
Este é bem simples: qualquer número terminado em 0 ou em 5 é divisível! Assim, certamente 930 e 935 
são divisíveis por 5, mas 934 não. 
Divisibilidade por 6 
Para saber se um número é divisível por 6, basta testar se ele é divisível por 2 e TAMBÉM é divisível por 3. 
Ou seja, os números pares divisíveis por 3 são também divisíveis por 6. Nenhum número ímpar é divisível por 6. 
Será que 801 é divisível por 6? Certamente NÃO, pois embora seja divisível por 3 (vimos acima), ele não é 
par, de modo que não é divisível por 2. 
Será que 642 é divisível por 6? Veja que este número é par, sendo divisível por 2. E é divisível por 3, afinal 
6+4+2=12, que é um número divisível por 3. Logo, 642 é divisível por 6. 
Divisibilidades por 7 e 8 
Quanto ao 7 e 8, eu recomendo que você faça o “arroz com feijão”. Isto é, caso você queira testar se 97 é 
divisível por 7, o melhor a fazer é realizar rapidamente a divisão, identificando se há resto ou não. O mesmo 
vale para o 8 (mas neste caso é bom notar que nenhum número ÍMPAR é divisível por 8, portanto podemos 
descartar o 97). 
Existem critérios de divisibilidade para 7 e 8, mas eles são muito trabalhosos, de modo que considero mais 
interessante você fazer a divisão. 
Divisibilidade por 9 
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Aqui temos uma situação parecida com a divisibilidade por 3. Basta SOMAR OS ALGARISMOS e checar 
se a soma é divisível por 9. Por exemplo, 729 é divisível por 9, afinal 7+2+9 = 18, que é um número divisível por 
9. 
Já 805 não é divisível por 9, pois 8+0+5 = 13. 
Divisibilidade por 10 
Essa é fácil! Qualquer número terminado em ZERO é divisível por 10. Assim, 790 certamente é divisível 
por 10, mas 791 não é. 
 
 
Tabelão – critérios de divisibilidade 
Veja na tabela abaixo a compilação dos critérios de divisibilidade que trabalhamos acima. 
Divisor* Critério Exemplos 
1 Todos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... 
2 Números pares (terminados em um algarismo par) 0, 2,4, 28, 490, 522 etc. 
3 Números cuja soma dos algarismos é divisível por 3 0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 (1+5 = 6), etc. 
4 
Se o número formado pelos 2 últimos dígitos for 
divisível por 4 
0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc. 
5 Números terminados em 0 ou 5 0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc. 
6 Números divisíveis por 2 e por 3 0, 6, 12, 924 (é par, e 9+2+4=15) etc. 
9 Números cuja soma dos algarismos é divisível por 9 126 (1+2+6 = 9), 7155 (7+1+5+5=18) etc. 
10 Números terminados em 0 0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc. 
*7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critérios muito difíceis, e praticamente não são cobrados. 
 
NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO 
 Dizemos que um número é primo quando ele só pode ser dividido, sem deixar resto, por 1 e por si mesmo. 
Veja, por exemplo, o número 7. Como qualquer número, ele pode ser dividido por 1, tendo como resultado 7 e 
não deixando resto algum. Entretanto, experimente dividi-lo por 2, 3, 4, 5 ou 6, e verá que sempre há um resto 
diferente de zero. Apenas ao dividi-lo por 7 é que não encontraremos resto novamente. Portanto, 7 é um 
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número primo, pois só é divisível por 1 e por ele mesmo. Diversos outros números possuem essa propriedade, 
como os listados abaixo:{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...} 
A título de curiosidade, repare que o 2 é o único número primo par. Todos os demais são ímpares. O 1 não 
é considerado número primo, ok? O menor número primo é o 2 mesmo. 
Qualquer número natural pode ser representado como uma multiplicação de números primos. Por 
exemplo, 6 pode ser representado por 2 x 3. Este processo de transformar um número qualquer em um produto 
de números primos é chamado de fatoração. 
Vamos fatorar o número 24. Devemos começar tentando dividi-lo por 2, que é o menor número primo. 
Esta divisão é exata (não possui resto), e o resultado é 12. Podemos dividir novamente por 2, tendo resultado 
6, e dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3. Agora não é mais possível dividir por 2. Assim, devemos partir 
para o próximo número primo, que é o 3. Dividindo 3 por 3 temos resultado 1. Repare que para chegar no 
resultado 1 foi preciso dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir por 3 em uma etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x 
2 x 3, ou simplesmente 24 = 23 x 3. Visualize este processo abaixo: 
Número Fator primo 
24 2 
12 2 
6 2 
3 3 
1 Logo, 24 = 23 x 3 
Para praticar, vejamos a fatoração do número 450: 
Número Fator primo 
450 2 
225 3 
75 3 
25 5 
5 5 
1 Logo, 450 = 2 x 32 x 52 
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Vejamos ainda a fatoração do número 1001. Observe que ele não é divisível (ou seja, deixa resto) por 2, 3 
ou 5. Apenas ao chegar o fator primo 7 é que conseguimos dividi-lo. Acompanhe abaixo: 
Número Fator primo 
1001 7 
143 11 
13 13 
1 Logo, 1001 = 7 x 11 x 13 
A fatoração será muito útil na obtenção do Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum entre dois 
números, como veremos a seguir. 
 
MÚLTIPLOS E DIVISORES 
Para a resolução de diversas questões que podem cair em sua prova, vale a pena você desenvolver a 
rapidez na obtenção de múltiplos e divisores de um dado número, calcular o mínimo múltiplo comum e máximo 
divisor comum entre dois números, e conhecer regras práticas para saber se um número é ou não divisível por 
outro (critérios de divisibilidade). 
Mínimo múltiplo comum (MMC) 
Os múltiplos de um número X são aqueles números que podem ser obtidos multiplicando X por outro 
número natural. Por exemplo, os múltiplos de 3 são: 3, 6, 9, 12, 15 etc. Repare que esses números podem ser 
obtidos multiplicando 3 por 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. Quando temos 2 números X e Y, e listamos os 
múltiplos de cada um deles, podemos ter múltiplos em comum entre os dois. Exemplificando, vamos listar 
alguns múltiplos de 8 e de 12: 
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc. 
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc. 
Observe que os seguintes números são múltiplos de 8 e também de 12: 24, 48, 72. Isto é, são múltiplos 
em comum desses 2 números. O menor deles, neste caso o 24, é chamado de mínimo múltiplo comum (MMC) 
entre 8 e 12. O cálculo do MMC se mostra útil na resolução de diversos exercícios, como veremos adiante. 
 
Cálculo do MMC por fatoração simultânea 
Podemos obter rapidamente o MMC entre 2 ou mais números fazendo a fatoração simultânea dos dois 
números. O primeiro passo é montar uma tabela como esta abaixo, onde temos uma coluna para cada número 
(8 e 12) e uma coluna para os Fatores Primos: 
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Fatores Primos 8 12 
2 
 
 
 
 
Veja que eu já coloquei na tabela o fator primo 2, que é o menor de todos. Podemos dividir 8 e 12 por 2, obtendo 
4 e 6. Podemos novamente dividir ambos os números por 2, obtendo 2 e 3. Veja isso na tabela: 
 
Fatores Primos 8 12 
2 4 6 
2 2 3 
 
 
 Agora temos uma situação interessante: o 2 pode ser dividido por 2, mas o 3 não pode. Como proceder? 
Como o cálculo é de MMC, devemos dividir aquele número que é possível (2) e simplesmente copiar o outro. 
Atenção, pois essa é uma diferença importante em relação ao cálculo de MDC! Veja como ficamos: 
Fatores Primos 8 12 
2 4 6 
2 2 3 
2 1 3 
 
 A coluna do 8 já chegou no nosso “objetivo”, que é o valor 1. A coluna do 12 ainda precisa de mais uma 
divisão. Agora não dá mais para dividir ninguém por 2, motivo pelo qual tentamos o próximo fator primo, que 
é o 3. Ficamos com: 
Fatores Primos 8 12 
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2 4 6 
2 2 3 
2 1 3 
3 1 1 
Logo, MMC = 23x3 
 Veja que chegamos ao objetivo, que é o valor 1 em cada coluna. Com isso, basta multiplicar os fatores 
primos para obter o MMC, como fiz acima, obtendo MMC = 23x3 = 8x3 = 24. 
 Compreendeu? Em síntese, os passos são os seguintes: 
 
PASSOS PARA CALCULAR O MMC (FATORAÇÃO SIMULTÂNEA): 
1 – Montar tabela com uma coluna para os fatores primos e colunas para cada um dos números; 
2 – Começar a divisão dos números pelo menor fator primo (2) e só ir aumentando quando NENHUM dos números puder 
ser dividido; 
LEMBRANDO QUE: 
a) Se algum dos números não puder ser dividido, basta copiá-lo para a próxima linha; 
b) O objetivo é fazer com que todos os números cheguem ao valor 1; 
c) O MMC será a multiplicação dos fatores primos utilizados. 
 
 Esse método permite calcular o MMC de quantos números você quiser. Por exemplo, que tal calcularmos 
o MMC entre 30, 40 e 50? Veja a tabela: 
Fatores Primos 30 40 50 
2 15 20 25 
 
 
 
 Note que eu já preenchi a primeira linha, dividindo todos os números por 2. Vou continuar dividindo por 
2, pois é possível dividir o 20. O 15 e 0 25 precisam ser copiados, pois não é possível fazer a divisão: 
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Fatores Primos 30 40 50 
2 15 20 25 
2 15 10 25 
 
 
 Podemos dividir por 2 mais uma vez, obtendo o 5 no lugar do 10. Então ficamos só com números ímpares 
(15, 5, 25). Precisamos partir agora para a divisão por 3, pois o 15 pode ser dividido por este número. Cuidado 
para não “pular” essa etapa e ir direto para a divisão por 5! 
 
Fatores Primos 30 40 50 
2 15 20 25 
2 15 10 25 
2 15 5 25 
3 5 5 25 
 Podemos agora continuar dividindo todos os números por 5, obtendo 1, 1 e 5. Dividindo mais uma vez por 
5, teremos o nosso objetivo, e podemos multiplicar a coluna dos fatores primos: 
Fatores Primos 30 40 50 
2 15 20 25 
2 15 10 25 
2 15 5 25 
3 5 5 25 
5 1 1 5 
5 1 1 1 
Logo, MMC = 23x3x52 
 O mínimo múltiplo comum é 23x3x52 = 8x3x25 = 600. 
 Entendeu bem agora? Se você gostou deste método, nem precisa se preocupar com o próximo. 
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Cálculo do MMC por fatoração separada 
Por via das dúvidas, vou te apresentar uma outra fórmula de calcular o MMC. São os seguintes passos: 
CÁLCULO DO MMC – FATORAÇÃO SEPARADA DE CADA NÚMERO 
1. Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos; 
2. O MMC será formado pela multiplicação dos fatores COMUNS E NÃO COMUNS dos dois números, de MAIOR expoente. 
Vamos calcular o MMC entre 8 e 12 usando este método? 
Decompondo 8 em fatores primos, temos que 8 = 2x2x2 = 23. E decompondo 12 em fatores primos, temos 
que 12 = 2x2x3 = 22x3. 
Assim, o MMC será formado pelos fatores comuns (2) e não comuns (3) de maior expoente. O 2 aparece 
com um expoente 3 na fatoração do 8, então devemos pegar o 23. Já o 3 aparece com um expoente 1 na 
fatoração do 12, portanto devemos pegar o 31. O MMC será 23 x 31 = 24. 
 
E como fica o MMC entre 30, 40 e 50? Fatorando rapidamente os números,temos: 
30 = 2x3x5 
40 = 23x5 
50 = 2x52 
 
Para montar o MMC, devemos pegar os fatores que aparecem nessas multiplicações, que são o 2, o 3 e o 
5. O 2 com maior expoente é o 23. O 3 só aparece assim. Já o 5 de maior expoente é o 52. O MMC será, portanto: 
23 x 3 x 52 = 
8 x 3 x 25 = 
600 
 
Quando e como utilizar o MMC nos exercícios 
 Uma dúvida muito comum dos alunos é: quando devo usar o MMC nas minhas questões de prova? Como 
regra, eu digo que o MMC estará presente naquelas questões que nos apresentam “fenômenos” que ocorrem 
com frequências diferentes, e queremos saber quando eles ocorrerão juntos. Por exemplo, 2 pessoas que 
dão festas com regularidades diferentes (uma a cada 9 dias e a outra a cada 15 dias), e queremos saber quando 
teremos festas simultâneas. Ou então 3 funcionários de uma empresa tais que um folga a cada 5 dias, o outro 
a cada 7 dias e o outro a cada 9 dias, e queremos saber quando eles terão folga juntos. Vejamos um exemplo: 
 
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Dois colegas de trabalho, João e José, gostam de realizar festas em suas casas periodicamente. João costuma 
realizar festas de 9 em 9 dias, enquanto José costuma realizar festas de 15 em 15 dias. Sabendo que hoje houve 
festa na casa de ambos, daqui a quanto tempo as datas das festas de ambos coincidirão novamente? 
Veja que temos 2 fenômenos (festas do João e festas do José) que ocorrem com frequências diferentes – 
a cada 9 e 15 dias, respectivamente. Queremos saber quando os fenômenos coincidem. Questão clássica de 
MMC! 
Ora, se João dá festas de 9 em 9 dias, sua próxima festa será daqui a 9 dias, a seguinte daqui a 18, a outra 
daqui a 27, e assim por diante. Já a próxima festa de José será daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 45 etc. 
Observe que os dias em que ambos darão festas devem ser um múltiplos de 9 e também de 15, isto é, múltiplos 
comuns de 9 e 15. A próxima festa ocorrerá no menor desses múltiplos, isto é, no mínimo múltiplo comum entre 
9 e 15. Calculando rapidamente este MMC: 
 
Fatores Primos 9 15 
3 3 5 
3 1 5 
5 1 1 
MMC = 32x5 = 45 
Portanto, a próxima vez em que as festas coincidirão ocorrerá daqui a 45 dias. 
Veja comigo os exercícios a seguir: 
VUNESP – CÂMARA DE DOIS CÓRREGOS – 2018) Uma caixa-forte tem 3 sistemas eletrônicos de segurança 
independentes, conectados a órgãos distintos. No momento de qualquer violação, os três sistemas enviam 
sinais codificados simultaneamente. A partir daí, um deles repete o envio da mensagem a cada 15 segundos, o 
outro a cada 25 segundos, e o terceiro, a cada 30 segundos. Caso ocorra qualquer violação, o menor intervalo 
de tempo decorrido entre dois envios simultâneos de mensagens pelos três sistemas será igual a 
(A) 3min 15s. 
(B) 2min 50s. 
(C) 2min 30s. 
(D) 2min 25s. 
(E) 1min 50s. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos 3 fenômenos que ocorrem em frequências diferentes (a cada 15, 20 e 30 segundos, 
respectivamente) e queremos saber quando ocorrerão juntos. Questão CLÁSSICA de MMC! 
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 Veja que os envios simultâneos ocorrerão nos múltiplos comuns entre 15, 25 e 30 segundos. Assim, 
podemos descobrir o menor tempo entre dois envios simultâneos calculando o MÍNIMO múltiplo comum, que 
é: 
 
 Portanto, a cada 150 segundos teremos envios simultâneos pelos três sistemas. Veja que: 
150 segundos = 
120 + 30 = 
2x60 + 30 = 
2 minutos + 30 segundos 
Resposta: C 
 
FCC – TRT/PR – 2015) Para um evento promovido por uma determinada empresa, uma equipe de funcionários 
preparou uma apresentação de slides que deveria transcorrer durante um momento de confraternização. Tal 
apresentação é composta por 63 slides e cada um será projetado num telão por exatos 10 segundos. Foi ainda 
escolhida uma música de fundo, com duração de 4min40s para acompanhar a apresentação dos slides. Eles 
planejam que a música e a apresentação dos slides comecem simultaneamente e “rodem” ciclicamente, sem 
intervalos, até que ambas finalizem juntas. A fim de estudar a viabilidade desse plano, eles calcularam que a 
quantidade de vezes que a música teria de tocar até que seu final coincidisse, pela primeira vez depois do início, 
com final da apresentação seria 
(A) 35. 
(B) 9. 
(C) 5. 
(D) 42. 
(E) 12. 
RESOLUÇÃO: 
Temos 63 slides que ficarão por 10 segundos cada, totalizando 63 x 10 = 630 segundos para a apresentação. Já 
a música tem 4 minutos e 40 segundos, ou seja, 4x60 segundos + 40 segundos = 240 + 40 = 280 segundos. 
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A apresentação finaliza nos múltiplos de 630 segundos (630, 1260 etc), e a música finaliza nos múltiplos de 280 
segundos (280, 560 etc). Para sabermos quando a música e a apresentação terminarão juntas, podemos obter 
o mínimo múltiplo comum entre 630 e 280: 
 
O mínimo múltiplo comum é 8 x 9 x 5 x 7 = 2520. Portanto, a música e a apresentação vão terminar juntas após 
2520 segundos. Até este momento, a música terá tocado 2520 / 280 = 9 vezes. 
Resposta: B 
 
IBFC – PM/SE – 2018) Um comerciante vende balas em pacotinhos, sempre com a mesma quantidade. Ao fazer 
isso, percebeu que dentre as balas que possuía poderia colocar 8, 12 ou 20 balas em cada pacote. Nessas 
condições, assinale a alternativa que apresenta o número mínimo de balas que o comerciante dispunha: 
a) 120 
b) 240 
c) 360 
d) 60 
RESOLUÇÃO: 
Observe que o número de balas que o comerciante tinha era um múltiplo de 8, pois seria possível colocar 8 balas 
por pacote. Este número de balas também é múltiplo de 12 e de 20, pois seria possível montar pacotes com 12 
e pacotes com 20 balas. Portanto, o número de balas é um MÚLTIPLO COMUM entre 8, 12 e 20. Podemos 
calcular o menor múltiplo comum entre esses números, que nos dará o MÍNIMO de balas que o comerciante 
dispunha: 
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Portanto, o comerciante tinha pelo menos 120 balas. Esse é o menor número, sendo o gabarito a alternativa A. 
Podemos aproveitar para calcular o MMC pela fatoração separada dos números. Veja: 
8 = 2³ 
12 = 2² x 3 
20 = 2² x 5 
O MMC será o produto dos fatores comuns e não comuns de maior expoente. Logo: 
MMC (8, 12, 20) = 2³ x 3 x 5 = 8 x 15 = 120 balas 
Resposta: A 
 
CESPE – BNB – 2018) Situação hipotética: Carlos possui uma quantidade de revistas que é maior que 500 e 
menor que 700. Separando as revistas em conjuntos de 8 revistas, Carlos verificou que sobrou um grupo com 3 
revistas. O mesmo acontecia quando ele separava as revistas em conjuntos de 14 ou em conjuntos de 20 
revistas: sempre sobrava um conjunto com 3 revistas. Assertiva: Nesse caso, é correto afirmar que Carlos possui 
563 revistas. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que o número de revistas NÃO é múltiplo de 8, 14 nem de 20, pois ao dividir o número de revistas por esses 
divisores, obtemos o resto 3. Assim, o número de revistas deve ser 3 unidades maior do que um múltiplo 
COMUM entre 8, 14 e 20. Calculando o MMC entre esses três números: 
 
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 Portanto, o MMC é 280. Outro múltiplo comum entre 8, 14 e 20 seria 2x280 = 560. Somando 3 unidades, 
chegamos a 563. Portanto, de fato 563 é uma possibilidade para o número de revistas. Mas será que é a única 
possibilidade? SIM, pois se somarmos mais 280 unidades, passaremos de 700 (e a questão disse que o número 
de revistas está entre500 e 700). 
 Item CERTO. Vale dizer que você poderia também resolver rapidamente dividindo 563 por 8, 14 e 20. Você 
notaria que o resto da divisão é 3 em todos os casos. 
Resposta: C 
 
Máximo divisor comum (MDC) 
Chamamos de máximo divisor comum (MDC) entre dois números A e B o maior número pelo qual tanto 
A quanto B podem ser divididos de maneira exata, isto é, sem deixar resto. 
Podemos calcular o máximo divisor comum entre 2 números listando os divisores de cada um deles. 
Exemplificando, vamos listar os divisores de 32 e 40: 
- 32 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 8, 16, 32. 
- 40 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. 
- Divisores comuns entre 32 e 40: 1, 2, 4, 8. 
Vejam que 8 é o máximo divisor comum (MDC) entre 32 e 40. 
 
Cálculo do MDC por fatoração simultânea 
O método mais interessante para calcular o MDC entre 2 ou mais números é a fatoração simultânea. Para 
você compreender, vamos calcular o MDC entre 32 e 40. Podemos montar uma tabela com uma coluna para os 
Fatores Primos, e colunas para cada número. Veja: 
Fatores 
Primos 
32 40 
 
 
 
 Agora podemos ir dividindo os números pelos fatores primos, começando pelo menor deles (2). Mas 
ATENÇÃO: no cálculo do MDC, só podemos dividir os números por fatores que sejam capazes de dividir OS 
DOIS NÚMEROS AO MESMO TEMPO! Veja isso abaixo: 
Fatores Primos 32 40 
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2 16 20 
2 8 10 
2 4 5 
 Perceba que não há nenhum número que seja capaz de dividir o 4 e o 5 ao mesmo tempo! Portanto, 
devemos parar o cálculo por aqui. O MDC será a multiplicação dos fatores primos, ou seja, 2x2x2 = 23 = 8. 
 
Vamos praticar mais um pouco, agora calculando o MDC entre 3 números: 30, 40 e 50. Montei a tabela 
abaixo e comecei a divisão pelo 2, o menor fator primo: 
Fatores Primos 30 40 50 
2 15 20 25 
 
 
 Perceba que somente o 20 pode continuar sendo dividido por 2. Não podemos fazer isso no cálculo do 
MDC! Devemos buscar um fator primo capaz de dividir todos os números. Veja que o 3 é capaz de dividir 
somente o 15. E note que o 5 é capaz de dividir TODOS! Vamos utilizá-lo: 
Fatores Primos 30 40 50 
2 15 20 25 
5 3 4 5 
 
 Perceba que não há nenhum número capaz de dividir 3, 4 e 5 ao mesmo tempo. Devemos parar o cálculo 
por aqui. O MDC será a multiplicação dos fatores primos, ou seja, 2x5 = 10. 
 Compreendeu? Vamos anotar esse procedimento: 
PASSOS PARA CALCULAR O MDC (FATORAÇÃO SIMULTÂNEA): 
1 – Montar tabela com uma coluna para os fatores primos e colunas para cada um dos números; 
2 – Começar a divisão dos números pelo menor fator primo (2) e só utilizar fatores capazes de dividir TODOS os números; 
LEMBRANDO QUE: 
a) Se algum dos números não puder ser dividido, devemos passar para o próximo fator primo; 
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b) Quando não houver um fator primo capaz de dividir todos os números, devemos parar o cálculo; 
c) O MMC será a multiplicação dos fatores primos utilizados. 
 
Cálculo do MDC por fatoração separada 
 Uma outra forma de calcular o MDC utiliza a fatoração de cada número separadamente. Os passos são os 
seguintes: 
1 - Decompor cada um dos números em fatores primos; 
2 - O MDC será formado pela multiplicação dos fatores COMUNS de MENOR expoente; 
 
Vamos utilizar este método para obter o MDC entre 32 e 40. Fatorando os números separadamente, 
temos: 
32 = 25 
40 = 23x5 
 O único fator COMUM nas duas fatorações é o 2. Ele aparece com MENOR expoente em 23. Logo, o MDC 
é igual a 23, ou seja, 8. 
 
Vamos agora calcular o MDC de 30, 40 e 50. Fatorando-os separadamente: 
30 = 21x31x51 
40 = 23x51 
50 = 21x52 
 Os fatores comuns nas 3 fatorações são o 2 e o 5. O 2 aparece com menor expoente em 21. E o 5 aparece 
com menor expoente em 51. Assim, o MDC é 21 x 51 = 2 x 5 = 10. 
 
Quando e como utilizar o MDC nos exercícios 
O máximo divisor comum é útil em situações onde temos grupos de coisas diferentes e queremos DIVIDIR 
os elementos de cada grupo usando um mesmo fator. Veja este exemplo: 
 
Temos 20 cães e 30 gatos. Queremos criar grupos de gatos e grupos de cães, sem misturá-los, porém todos os grupos 
devem ter o mesmo número de integrantes. Qual o menor número de grupos possível? 
 
Perceba que nós temos grupos de “coisas” (animais) diferentes: cães e gatos. Queremos dividir os cães 
em grupo, e dividir os gatos em grupos. O nosso objetivo é que todos os grupos tenham o mesmo número de 
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integrantes. Para isso, precisaremos encontrar um número “n” de integrantes para cada grupo que seja capaz 
de dividir tanto o 20 como o 30. Ou seja, o número de integrantes do grupo deve ser um Divisor Comum entre 
20 e 30. Se queremos o MENOR número de grupos possível, precisamos de grupos com a MAIOR quantidade 
de elementos cada. Ou seja, precisamos do MAIOR Divisor Comum que pudermos utilizar – o MDC! 
Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 22x5. Temos também que 30 = 2x3x5. Portanto, 
MDC(20,30) = 2x5 = 10. Portanto, devemos formar grupos de 10 elementos. 
Repare que, formando grupos de 10 elementos, ficaremos com 2 grupos de cães e 3 grupos de gatos. 
Assim, o menor número de grupos possível é 5. 
Veja essas questões comigo: 
VUNESP – CÂMARA SJC– 2018) Dois grupos, um contendo 126 técnicos legislativos e outro contendo 72 
analistas legislativos, todos recém-contratados, serão divididos em grupos menores para participarem de 
cursos de formação, cada grupo contendo o mesmo número x de técnicos legislativos e y de analistas 
legislativos, sendo x e y os menores números possíveis. Sabendo que nenhum desses recém-contratados 
poderá ficar fora dos grupos menores, o valor de y corresponderá, do número total de recém-contratados em 
cada grupo menor, aproximadamente, a 
(A) 32% 
(B) 34% 
(C) 36% 
(D) 38% 
(E) 40% 
Resolução: 
 Perceba que temos 2 grupos (126 técnicos e 72 analistas) e queremos dividi-los de modo a ter x técnicos 
e y analistas em cada subgrupo, isto é, cada subgrupo terá número de grupos de técnicos e de analistas. Ou 
seja, o número de grupos que vamos dividir deve ser um DIVISOR COMUM entre 126 e 72. 
 Queremos que cada grupo seja composto pelo menor número possível de integrantes, de modo que 
precisamos ter o MAIOR número de grupos possível. Para isso, o número de grupos deve ser o MAIOR divisor 
comum entre 126 e 72. 
 Podemos obter o MDC por meio da fatoração simultânea: 
 
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 Serão 18 grupos de técnicos e analistas. Como temos 126 técnicos, teremos x = 126 / 18 = 7 técnicos em 
cada um dos 18 grupos. Como temos 72 analistas, teremos y = 72 / 18 = 4 analistas em cada um dos 18 grupos. 
 Cada grupo terá um total de 7 + 4 = 11 recém-contratados. Logo, o valor de y corresponde a, 
aproximadamente, 
4/11 = 0,36 = 36% 
Resposta: C 
 
VUNESP – Pref. Cotia/SP – 2017) Em um congresso, estão presentes 56 pessoas da região Norte, 84 pessoas 
da região Sul e 98 pessoas da região Centro-Oeste. A organização do congresso deseja dividir essas pessoas 
em grupos contendo representantes das três regiões, de modo que o número de representantes de cada região, 
por grupo, seja igual. Dessa maneira, o menor número de grupos que podem ser formados é 
(A) 13. 
(B) 14. 
(C) 15. 
(D) 16. 
(E) 17. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que devemos dividir 56, 84 e 98 pelo mesmo número, ou seja, devemos buscar um divisor COMUM. 
A ideia é pegar o MAIOR divisor comum,para formar o menor número de grupos possível. Calculando o MDC: 
 
Cada grupo terá 14 elementos. O total de grupos é 4+6+7 = 17 (veja que basta somar a linha em negrito na 
tabela. 
Resposta: E 
 
FCC – TRT/20 – 2016) Uma entidade assistencial pretende montar kits com vestimentas de inverno para 
distribuir em creches da cidade. Para a montagem dos kits, a entidade dispõe de 60 cobertores idênticos, 72 
casacos idênticos e 108 calças idênticas. Se todos os kits são iguais e se todas as 240 vestimentas são utilizadas 
nos kits, o número máximo de kits que a entidade conseguirá montar é igual a 
(A) 24. 
 (B) 180. 
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(C) 60. 
(D) 12. 
(E) 6. 
RESOLUÇÃO: 
Precisamos achar um mesmo número que seja capaz de dividir os 60 cobertores, os 72 casacos e as 108 calças 
sem deixar resto. Estamos falando de um divisor comum desses números. Como queremos o maior número 
possível de kits, devemos buscar o MÁXIMO divisor comum entre eles. Fazemos isso assim: 
 
Como não há mais nenhum fator primo que divide 5, 6 e 9 simultaneamente, podemos parar por aqui. O MDC 
é 2x2x3 = 12. Este é o total de kits. 
Resposta: D 
 
NÚMEROS COMPLEXOS 
A unidade imaginária 
Utilizando o conjunto dos números Reais é possível representar tudo o que lidamos no dia-a-dia. 
Entretanto, como já vimos, não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais. Esse 
“problema matemático” tem diversas implicações que não estamos tão acostumados a ver, como o 
modelamento matemático do eletromagnetismo. 
Para “solucionar” este problema, foi criado o conjunto dos números complexos, através da definição da 
unidade imaginária, simbolizada pela letra i, sendo que: 
 1i   
Partindo dessa definição, podemos calcular algumas potências da unidade imaginária i. Veja: 
 
2
2 1 1i     
 
2
3 2 1 1i i i i i i          
4 2 2 ( 1) ( 1) 1i i i       
 
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Repare que a sequência i, i2, i3 e i4 é igual a i, -1, -i e 1, respectivamente. Veja o que temos para i5: 
5 4 1i i i i i     
Observe que a partir de i5 voltamos a repetir o ciclo. Veja que i6 = -1, i7 = -i, i8 = 1, e assim por diante. Temos 
uma sequência de 4 valores que vai se repetindo. 
Veja como essa sequência já foi exigida em prova: 
FCC – TCE/SP – 2010) Sabe-se que se i é unidade imaginária do conjunto dos números complexos, então, para 
cada número natural n, a potência in é igual a 1, i, -1 ou –i. Usando essa informação, é correto afirmar que a 
soma 
50
1
n
n
i

 é igual a: 
a) 0 
b) -1 – i 
c) 1 + i 
d) 1 – i 
e) i – 1 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que i1 = i; i2 = -1; i3 = -i e i4 = 1. A partir de i5 a sequência se repete novamente. 
Repare que i1 + i2 + i3 + i4 = i – 1 – i + 1 = 0. Isto é, a soma de quatro potências de i consecutivas é igual a zero. 
Veja, por exemplo, que: 
i5 + i6 + i7 + i8 = i – 1 – i + 1 = 0 
Assim, ao efetuar o somatório de in, para n = 1 a 50, teremos 12 conjuntos de 4 potências consecutivas de i 
(totalizando 48 números) e mais i49 e i50. Portanto, 
50
49 50
1
n
n
i i i

  
Para saber o valor de i49, você deve calcular o resto da divisão de 49 por 4. Neste caso, o resto é igual a 1. Assim, 
i49 = i1 = i. 
Da mesma forma, o resto de 50 dividido por 4 é igual a 2. Portanto: 
i50 = i2 = -1 
Assim, 
50
49 50 1 2
1
1n
n
i i i i i i

      
Resposta: E 
 
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Partes real e imaginária e a representação no Plano 
Um número complexo é formado por duas partes: uma parte real e uma parte imaginária. Costumamos 
designar um número complexo pela letra z, e os escrevemos na forma z a b i   , ou simplesmente z = a + 
bi. Neste caso, “a” representa a parte real do número complexo e “b” representa a parte imaginária. 
Exemplificando, veja os números complexos abaixo: 
z = 3 + 5i  3 é a parte real e 5 é a parte imaginária 
w = 2 – 3i  2 é a parte real e -3 é a parte imaginária 
 
Assim como representamos os números reais na reta numérica, os números complexos são representados 
no Plano de Argand-Gauss, que nada mais é que um plano com um eixo real e um eixo imaginário, como vemos 
abaixo: 
 
A título de exemplo, vamos representar os números z e w definidos acima no plano de Argand-Gauss: 
1º quadrante 2º quadrante 
3º quadrante 4º quadrante 
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Nessa representação, chamamos de “afixo” o par que representa as coordenadas real e imaginária do 
número complexo, nessa ordem. Por exemplo, o afixo do número z é (3, 5). Já o afixo do número w é (2, -3). 
 
Repare que: 
- o número z ficou no 1º quadrante, pois tanto a parte real como a parte imaginária são positivas; 
- o número w ficou no 4º quadrante, pois a parte real é positiva e a parte imaginária é negativa. 
 
Da mesma forma, saiba que: 
- se a parte real for negativa e a parte imaginária positiva, o número estará no 2º quadrante; 
- se a parte real for negativa e a parte imaginária também, o número estará no 3º quadrante. 
Tudo isto está resumido na tabela a seguir: 
Parte real (a) Parte imaginária (b) Quadrante Exemplo 
Positiva Positiva 1º 3 + 5i 
Negativa Positiva 2º -3 + 5i 
Negativa Negativa 3º -3 -5i 
Positiva Negativa 4º 3 -5i 
Nula (a = 0) Positiva ou negativa Número sobre o eixo imaginário -5i ou 5i 
Positiva ou negativa Nula (b = 0) Número sobre o eixo real -3 ou 3 
Eixo real 
Eixo imaginá rio 
z = 3 + 5i 
w = 2 - 3i 
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Igualdade, soma e subtração entre números complexos 
Podemos dizer que dois números complexos são IGUAIS se, e somente se, a parte real do primeiro é igual 
à parte real do segundo, e a parte imaginária do primeiro é igual à parte imaginária do segundo. Veja esses 
números: 
z = a + bi 
w = c + di 
 Para que esses números complexos z e w sejam iguais, precisamos ter a = c e também b = d. 
 
Para somar dois números complexos, basta somar a parte real de um com a parte real do outro, e a parte 
imaginária de um com a parte imaginária do outro. O mesmo vale para a subtração. Ex.: 
(3 + 5i) + (2 – 4i) = (3 + 2) + (5 – 4)i = 5 + i 
 
Trabalhe comigo esse exercício: 
CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) Sejam w = 3 - 2i e y = m +pi dois números complexos, tais que m e p são 
números reais e i, a unidade imaginária. Se w + y = -1 + 3i, conclui-se que m e p são, respectivamente, iguais a 
a) -4 e +1 
b) -4 e +5 
c) +2 e +1 
d) +2 e +5 
e) +4 e -1 
RESOLUÇÃO: 
Veja que: 
w + y = 3 – 2i + m + pi 
Ao efetuar a soma de números complexos, devemos somar a parte real de um com a parte real do outro, e a 
parte imaginária de um com a parte imaginária do outro. Isto é, 
w + y = (3 + m) + (-2 + p)i 
Como o enunciado disse que w + y = -1 + 3i, então: 
w + y = (3 + m) + (-2 + p)i = -1 + 3i 
Se dois números complexos são iguais, isso significa que suas partes reais são iguais, e suas partes imaginárias 
também são iguais. Ou seja: 
3 + m = -1  m = -4 
-2 + p = 3  p = 5 
Resposta: B 
 
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Multiplicação e divisão de números complexos 
Para multiplicar dois números complexos, basta lembrar da propriedade distributivada multiplicação: 
(3 + 5i) x (2 – 4i) = 
3x2 + 3x(-4i) + 5i x 2 + 5i x (-4i) = 
6 – 12i + 10i -20i2 = 
6 – 2i – 20x(-1) = 
26 – 2i 
Antes de ver a divisão de números complexos, precisamos lembrar de um famoso Produto Notável. 
Dados dois números A e B, então: 
(A + B) x (A – B) = A2 – AB + BA – B2 = A2 – B2 
Ou seja, se temos um número do tipo A + B, se o multiplicarmos por A – B teremos como resultado A2 – 
B2 . Essa propriedade é muito útil para a divisão de números complexos. Vamos efetuar a seguinte divisão: 
3 5
2 4
i
i


 
 
Ao invés de efetuar uma operação de divisão propriamente dita, vamos utilizar a propriedade que 
acabamos de ver acima e multiplicar tanto o numerador como o denominador da fração 
3 5
2 4
i
i


 por 2 – 4i. 
Dizemos que o 2–4i é o conjugado do número complexo 2+4i, pois a diferença entre ambos é somente o sinal 
da parte imaginária. Veja o que acontece: 



 
 
 
        

       
  

  
 



2
2
2
3 5
2 4
3 5 2 4
2 4 2 4
3 2 3 ( 4 ) 5 2 5 ( 4 )
2 2 ( 4 ) 4 2 4 ( 4 )
6 12 10 20
4 8 8 16
6 2 20
4 16
26 2
20
i
i
i i
i i
i i i i
i i i i
i i i
i i i
i
i
 
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Veja que a unidade imaginária “desapareceu” do denominador. Portanto, sempre que precisarmos dividir 
um número por um número complexo do tipo z = a + bi, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo 
conjugado a – bi. 
 Pratique a divisão de números complexos com essa questão: 
CESPE – SEDUC/AM – 2011 - adaptada) Com relação a números complexos, julgue os itens subsequentes. 
 ( ) A parte real do número complexo 
1
1
i
i


 é positiva. 
RESOLUÇÃO: 
 Precisamos realizar a operação de divisão entre esses dois números complexos. Para isso, vamos 
multiplicar o numerador e o denominador por 1+i, que é o conjugado do denominador 1-i: 
2
2
1 1 1 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 ( 1) 2
i i i i i i i
i
i i i i
      
     
     
 
 A parte real do número complexo i é zero, que não é positivo (nem negativo). Proposição errada. 
Resposta: E 
 
Módulo e representação em coordenadas polares 
O módulo de um número complexo z = a + bi é a distância entre esse número (no plano de Argand-Gauss) 
e a origem do gráfico. Para obter o módulo de z, que é representado por |z|, devemos calcular: 
2 2| | | |z a bi a b    
Exemplificando, sendo z = 2 + 3i, então o seu módulo é: 
2 2| | | 2 3 | 2 3 13 3,60z i      
Pratique o cálculo do módulo com a próxima questão: 
FCC – TRF/2ª – 2012) Considere a igualdade x + (4 + y) . i = (6 − x) + 2yi , em que x e y são números reais e i é a 
unidade imaginária. O módulo do número complexo z = x + yi, é um número 
(A) maior que 10. 
(B) quadrado perfeito. 
(C) irracional. 
(D) racional não inteiro. 
(E) primo. 
RESOLUÇÃO: 
 Dois números complexos são iguais quando as suas partes são iguais entre si, e suas partes imaginárias 
são também iguais entre si. Desta forma, se: 
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x + (4 + y) . i = (6 − x) + 2yi 
Podemos dizer que: 
x = 6 – x 
e 
4 + y = 2y 
Assim, na primeira equação temos: 
2x = 6 
x = 3 
Na segunda equação, temos: 
4 + y = 2y 
y = 4 
 
Assim, z = x + yi = 3 + 4i. O módulo de z é: 
2 2| | | 3 4 | 3 4 25 5z i      
 
 Como 5 é um número primo, a alternativa correta é a letra E. 
Resposta: E 
 
Repare que o conjunto dos números complexos engloba todos os que estudamos anteriormente. Isto 
porque os números reais são os números complexos nos quais a parte imaginária (“b”) é nula, isto é, b = 0. 
Observe na figura abaixo o ângulo 𝛼 formado entre o eixo horizontal (parte real) e o segmento que liga o 
número complexo à origem do gráfico: 
 
Esse ângulo é chamado de ARGUMENTO do número complexo Z. 
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O número complexo Z = 2 + 2i pode ser reescrito em função do seu módulo 𝜌 e do seu argumento 𝛼. Esta 
é chamada representação em coordenadas polares: 
𝑧 = 𝜌 . (𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛𝛼) 
Para exemplificar, vamos transformar o número z = 2 + 2i em coordenadas polares. Note que o módulo 
deste número é: 
𝜌 = √22 + 22 = √8 = 2√2 
O seno do ângulo 𝛼 é simplesmente a divisão entre o cateto oposto (que é a altura 2) e a hipotenusa do 
triângulo retângulo na figura (que é o próprio módulo do número complexo). Isto é, 
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
2
2√2
= 
2
2√2
.
√2
√2
=
√2
2
 
Note que 
√2
2
 é o seno de 45 graus. Logo, neste caso temos 𝛼 = 45 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠. Podemos reescrever nosso 
número complexo como: 
𝑧 = 2√2 . (𝑐𝑜𝑠45 + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛45) 
O número z pode ser escrito de forma ainda mais simplificada. Veja como: 
𝑧 = 2√2 ∠ 45𝑜 
O símbolo ∠ separa o módulo do número complexo do seu argumento. Veja abaixo uma questão na qual 
é preciso representar o número complexo em coordenadas polares: 
 
ESPP – BANPARÁ – 2013) O conjugado da razão entre o número complexo z = 4 - 8i e o número complexo de 
argumento igual a 180° e módulo igual a 4 é igual a: 
 a) -1 + 2i 
 b) 1 - 2i 
 c) -1 + 4i 
 d) -1 - 2i 
 e) -1 - 4i 
RESOLUÇÃO: 
Um número complexo com argumento igual a 180o e módulo igual a 4 pode ser representado em coordenadas 
polares assim: 
W = 4 . (cos180 + i.sen180) 
Como cos180 = -1 e sen180 = 0, temos: 
W = 4 . (-1 + i.0) 
W = 4 . (-1) 
W = -4 
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Veja que este número tem apenas parte real, afinal ele está sobre o eixo real. 
A razão entre z e w é: 
z / w = (4 – 8i) / (-4) = -1 + 2i 
O conjugado deste número encontrado é -1 - 2i (basta trocar o sinal da parte imaginária). 
Resposta: D 
 
A representação em coordenadas polares é muito útil quando queremos elevar um número complexo a 
uma determinada potência. Se temos: 
𝑧 = 𝜌 . (𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛𝛼) 
 
Podemos elevar o número complexo z à potência “n” de uma forma bem simples: 
𝑧𝑛 = 𝜌𝑛 . (cos (𝑛. 𝛼) + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(𝑛. 𝛼)) 
 
Usando 𝑧 = 2√2 . (𝑐𝑜𝑠45 + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛45), podemos elevar este número ao quadrado fazendo: 
𝑧2 = (2√2)
2
 . (cos (2.45) + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(2.45)) 
 
𝑧2 = 8 . (cos (90) + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(90)) 
 
Lembrando que cos90 = 0 e sen90 = 1, temos: 
𝑧2 = 8 . (0 + 𝑖. 1) 
𝑧2 = 8𝑖 
PORCENTAGEM 
 A porcentagem nada mais é do que uma divisão onde o denominador é o número 100. Isto é, 5% é o 
mesmo que 5 dividido por 100, ou seja, 5% =
5
100
= 0,05. 
 Você certamente deve estar bem habituado a ver porcentagens nas notícias da imprensa. Dizer que 12% 
(leia “doze por cento”) dos brasileiros são desempregados é igual a dizer que 12 a cada grupo de 100 brasileiros 
não tem emprego. Veja outros exemplos: 
 
- “11% do seu salário deve ser pago a título de contribuição previdenciária”: de cada 100 reais que você 
recebe como salário, 11 devem ser pagos para a previdência. 
 
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- “a taxa de analfabetismo de adultos no Brasil é de 20%”: de cada 100 adultos no Brasil, 20 são 
analfabetos. 
 
- “o número de adolescentes grávidas cresceu 10% em 2011, em relação ao ano anterior”: para cada 100 
adolescentes grávidas que existiam em 2010, passaram a existir 10 a mais em 2011, isto é, 110 adolescentes 
grávidas. 
 
- “o número de fumantes hoje é 5% menor que aquele do início da década”: para cada 100 fumantes 
existentes no início da década, hoje temos 100 – 5,isto é, 95 fumantes. 
 
Para calcular a porcentagem que um valor representa de um total, basta efetuar a seguinte divisão: 
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 =
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑥100% 
 
Por exemplo, se queremos saber o percentual que 3 crianças representam em um total de 4 crianças, 
temos: 
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 =
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑥100% =
3
4
𝑥100% = 0,75𝑥100% = 75% 
 
Veja isso em uma questão introdutória: 
CESPE – PREFEITURA DE SÃO PAULO – 2016) A tabela a seguir, relativa ao ano de 2010, mostra as 
populações dos quatro distritos que formam certa região administrativa do município de São Paulo. 
 
Considerando-se a tabela apresentada, é correto afirmar que, se, em 2010, um habitante dessa região 
administrativa tivesse sido selecionado ao acaso, a chance de esse habitante ser morador do distrito Jardim 
Paulista seria 
A) inferior a 21%. 
B) superior a 21% e inferior a 25%. 
C) superior a 25% e inferior a 29%. 
D) superior a 29% e inferior a 33%. 
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E) superior a 33%. 
RESOLUÇÃO: 
Temos 290 mil moradores ao todo, sendo que 89 mil são do Jardim Paulista. A porcentagem de pessoas que 
moram no Jardim Paulista pode ser obtida assim: 
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 =
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑥100% 
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 =
89
290
𝑥100% 
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 = 0,3068𝑥100% 
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 = 30,68% 
Como 30,68% das pessoas moram no Jd. Paulista, podemos dizer que a chance de selecionar um deles é de 
30,68%. 
Resposta: D 
 
Podemos transformar um número percentual (ex.: 75%) em um número decimal (ex.: 0,75), e vice-versa, 
lembrando que o símbolo % significa “dividido por 100”. Isto é, 75% é igual a 75 dividido por 100, que é igual a 
0,75: 
75
75% 0,75
100
  
 
Da mesma forma, se temos um número decimal (ex.: 0,025) e queremos saber o valor percentual 
correspondente, basta multiplicá-lo por 100%: 
0,025 = 0,025 x 100% = 2,5% 
 
Veja mais uma questão: 
VUNESP – TJM/SP – 2017) Em um município, sabe-se que 1 em cada 16 habitantes vive em área de risco. Desse 
modo, é correto afirmar que, do número total de habitantes, o correspondente àqueles que não vivem em área 
de risco é: 
(A) 93,25% 
(B) 93,50% 
(C) 93,75% 
(D) 94,00% 
(E) 94,25% 
RESOLUÇÃO: 
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 Se 1 em cada 16 habitantes vive em área de risco, podemos dizer que 15 em cada 16 habitantes não vive 
em área de risco. Podemos calcular o percentual solicitado pelo enunciado dividindo o valor que nos interessa 
(os 15 habitantes que não vive em área de risco) pelo total (16 habitantes): 
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 =
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑥100% 
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 =
15
16
𝑥100% 
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 = 0,9375𝑥100% 
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 = 93,75% 
Resposta: C 
 
Porcentagem de um total 
 Da mesma forma que dissemos que 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 =
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑥100%, também podemos dizer que: 
Valor = Porcentagem x Total 
 (Obs.: veja que omiti o 100% desta última fórmula, afinal 100100% 1
100
  ) 
 
Esta fórmula acima nos diz que, se queremos saber quanto é 20% de 300, basta multiplicar 20% por 300: 
20% de 300 = 20% x 300 = 0,2 x 300 = 60 
 
Isto é, 60 pessoas correspondem a 20% de um total de 300 pessoas. Portanto, grave isso: em matemática, 
o “de” equivale à multiplicação. Portanto, 20% de 300 é igual a 20% x 300, e assim por diante. 
Veja a questão a seguir: 
FCC – CLDF – 2018) Em uma empresa, 16% dos funcionários são estrangeiros e os outros são brasileiros. Dentre 
os brasileiros, 2/3 nasceram no Distrito Federal, 1/12 veio de São Paulo e o restante é originário de estados da 
região Nordeste do Brasil. Em relação ao total de funcionários da empresa, aqueles que vieram de estados 
nordestinos representam 
a) 28% 
b) 21% 
c) 20% 
d) 24% 
e) 25% 
RESOLUÇÃO: 
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Repare que a questão NÃO forneceu o total de funcionários. Tanto no enunciado como nas opções de resposta 
são mencionados apenas percentuais e frações. Quando isso acontece, podemos resolver a questão atribuindo 
um valor para o nosso TOTAL. Por exemplo, imagine que a empresa tem 100 funcionários. 
Sabemos que 16% dos funcionários são estrangeiros, ou seja, 
Estrangeiros = 16% de 100 = 16% x 100 = 0,16 x 100 = 16 
Se temos 16 funcionários estrangeiros, os brasileiros são o restante: 100 – 16 = 84. 
Dos 84 brasileiros, sabemos que 2/3 são do DF, ou seja: 
Funcionários brasileiros do DF = 
2
3
. 84 = 56 
Os paulistas são 1/12 dos funcionários brasileiros: 
Funcionários brasileiros de SP = 
1
12
. 84 = 7 
 
Logo, os nordestinos são o restante dos brasileiros: 
Funcionários nordestinos = 84 – 56 – 7 = 21 
Em relação ao total (100 funcionários), os 21 nordestinos representam: 
𝑃 =
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
=
21
100
= 21% 
Resposta: B 
 
Porcentagem de porcentagem 
Imagine que você investiu R$1.000,00 em uma aplicação bancária. Após certo período, você observa que 
o ganho foi de 10% do valor aplicado. E o gerente do banco te explica que você precisará pagar um imposto que 
corresponde a 20% do seu ganho. Qual é o valor do imposto a ser pago? 
Inicialmente, vamos fazer o cálculo em etapas. Sabemos que você ganhou 10% do valor aplicado (1000 
reais), ou seja, 
Ganho = 10% x 1000 = 0,10 x 1000 = 100 reais 
 Sabemos também que o imposto corresponde a 20% do ganho, isto é, 
Imposto = 20% x ganho = 20% x 100 = 0,20 x 100 = 20 reais 
 Perceba que, para calcular o imposto, nós precisamos calcular 20% de 10% de 1000 reais. Fizemos dois 
cálculos de porcentagem em sequência. É possível fazer isso em uma única operação! Veja como: 
Imposto = 20% de 10% de 1000 
Ou seja 
Imposto = 0,20 x 0,10 x 1000 
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Imposto = 0,02 x 1000 
Imposto = 20 reais 
 
 De maneira genérica: se eu preciso calcular p% de q% de um valor V, basta fazer: 
p% . q% . V 
 Compreendeu? Espero que sim! Basta sair multiplicando as porcentagens entre si. Rapidamente: quanto 
é 10% de 10% de 10%? Basta fazermos: 
10% x 10% x 10% = 
0,1 x 0,1 x 0,1 = 
0,01 x 0,1 = 
0,001 = 
0,1
100
 = 
0,1% 
 Rápido, não? Veja essa questão: 
FCC – SABESP – 2018) A prefeitura de uma cidade anuncia que, no ano de 2017, recapeou 60% das avenidas 
da cidade e se compromete a recapear, em 2018, 80% das avenidas restantes. De 2017 para 2018, a quantidade 
de avenidas dessa cidade não se alterou. Sendo assim, em 2018, do total de avenidas da cidade, a prefeitura 
deverá recapear 
(A) 20%. 
(B) 80%. 
(C) 32%. 
(D) 56%. 
(E) 42%. 
RESOLUÇÃO: 
O total de avenidas da cidade corresponde a 100%. Se 60% das avenidas foram recapeadas em 2017, restaram 
100% - 60% = 40% para serem recapeadas. 
Em 2018, foi prometido o recapeamento de 80% das avenidas restantes. Ou seja, foi prometido recapear 80% 
das 40% restantes. Podemos calcular: 
Recapear em 2018 = 80% x 40% 
Recapear em 2018 = 0,8 x 0,4 
Recapear em 2018 = 0,32 
Recapear em 2018 = 32/100 = 32% 
Resposta: C 
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Percentual de variação 
 Em muitas situações nós precisaremos calcular qual foi o percentual que determinada “coisa” aumentou 
ou diminuiu. Por exemplo, imagine que um tênis custava 300 reais. No mês seguinte, ele passou a custar 345 
reais. Qual foi o aumento percentual? 
 Podemos fazer este cálculode forma bastante simples, em 2 etapas: 
1 – calcular o valor absoluto do aumento: 345 – 300 = 45 reais de aumento; 
2 – calcular o percentual que este aumento (45 reais) representa em relação ao valor inicial (300): 
𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =
𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
=
45
300
=
15
100
= 15% 
 
 Da mesma forma, se o tênis custava 300 reais e passou a custar 240 reais, qual foi o percentual de redução, 
isto é, qual foi o desconto dado? Podemos fazer as mesmas duas etapas: 
1 – calcular o valor absoluto da redução: 300 – 240 = 60 reais de redução; 
2 – calcular percentual que esta redução (60) representa em relação ao valor inicial (300): 
𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢çã𝑜 =
𝑅𝑒𝑑𝑢çã𝑜
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
=
60
300
=
20
100
= 20% 
 Veja essa questão: 
FCC – SABESP – 2018) O preço de um automóvel, à vista, é de R$ 36.000,00 e um certo financiamento permite 
que esse mesmo automóvel seja pago em 18 parcelas mensais idênticas de R$ 2.200,00. Sendo assim, optando 
por financiar a compra do automóvel, o valor total a ser pago pelo automóvel, em relação ao preço à vista, 
aumentará em 
 (A) 22%. 
(B) 20%. 
(C) 12%. 
(D) 10%. 
(E) 15%. 
RESOLUÇÃO: 
O preço total parcelado será de 18 x 2200 = 39.600 reais. O preço à vista é de 36.000 reais. Logo, temos um 
aumento de: 
Aumento = 39.600 – 36.000 = 3.600 reais 
O aumento percentual pode ser obtido dividindo-se o aumento (3.600) pelo preço inicial (36.000): 
𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 =
𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
=
3600
36000
=
36
360
=
1
10
=
10
100
= 10% 
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Resposta: D 
Aumentos e reduções percentuais – valor final 
Quando trabalhamos com porcentagens, é essencial saber realizar rapidamente o valor final obtido após 
um AUMENTO ou uma REDUÇÃO percentual. 
Suponha que você tem um produto na sua loja com preço de R$500,00. Caso a inflação do último ano 
tenha sido de 10%, e você queira reajustar o preço do seu produto de acordo com este índice, qual deve ser o 
novo preço? 
Uma primeira forma de resolver consiste em calcular o valor do aumento (10% de 500, ou seja, 50 reais) e 
somar este valor ao inicial, ficando com 550 reais. 
Uma outra forma, que é muito útil em algumas situações, é: para aumentar um valor em p%, basta 
multiplicar este valor por (1+p%). Isto é, 
Preço final = Preço inicial x (1+p%) 
Preço final = 500 x (1 + 10%) 
Preço final = 500 x (1 + 10/100) 
Preço final = 500 x (1 + 0,10) 
Preço final = 500 x (1,10) 
Preço final = 5 x 100 x 1,10 
(veja que eu “desdobrei” o 500 em 5 x 100) 
Preço final = 5 x 110 
Preço final = 550 reais 
 
Note que eu fiz o cálculo em várias linhas, para te mostrar o passo-a-passo detalhado. O ideal é que você 
faça a maior parte destes cálculos mentalmente, ok? Procure treinar isso. 
 
Voltando ao nosso exemplo (produto de R$500,00), suponha que você quer fazer uma promoção, dando 
um desconto de 15% para compras à vista. Por qual preço você vai vender o produto? 
Podemos simplesmente calcular o valor do desconto (15% x 500 = 75 reais) e então retirá-lo do preço 
inicial, ficando com 425 reais. 
Outra forma de resolver, que é muito útil em algumas situações, é: para reduzir um valor em p%, basta 
multiplicar este valor por (1 – p%). Isto é, 
Preço final = Preço inicial x (1 – p%) 
Preço final = 500 x (1 – 15%) 
Preço final = 500 x (1 – 15/100) 
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Preço final = 500 x (1 – 0,15) 
Preço final = 500 x (0,85) 
Preço final = 5 x 100 x 0,85 
(veja que eu “desdobrei” o 500 em 5 x 100) 
Preço final = 5 x 85 
Preço final = 425 reais 
 
Mais um ponto interessante. Se eu tiver um produto que custa R$500,00, aplicar um aumento de 20%, e 
em seguida “voltar atrás” dando um desconto de 20% sobre o preço obtido após o aumento, qual é o preço 
final? R$500? Mais? Menos? Vamos verificar? Aplicando o aumento de 20%, basta eu multiplicar o preço 
original por 1+20%, isto é, 
Preço após aumento = 500 x (1+20%) = 500 x 1,20 = 600 reais 
 
Se eu reduzir este preço em 20%, chegamos a: 
Preço após desconto = 600 x (1 – 20%) = 600 x 0,80 = 480 reais 
 
 
Veja que chegamos a um valor INFERIOR ao inicial (500 reais)! Por quê isto acontece, se os percentuais 
de aumento e redução são o mesmo (20%)? Porque as bases sobre as quais eles são aplicados são diferentes. 
No aumento, nós adicionamos 20% de 500 reais, que são 100 reais, chegando a 600. Já na redução, nós 
subtraímos 20% de 600 reais (e não de 500), que são 120 reais, motivo pelo qual chegamos a 480. 
Você já ouviu falar das fraudes que acontecem durante a Black Friday, aquele dia onde temos vários 
descontos nos produtos? Elas se baseiam no que acabamos de ver. Alguns vendedores mal-intencionados 
elevam o preço de seus produtos alguns dias ou semanas antes da Black Friday (por exemplo, de 500 para 600 
reais), e na sexta-feira de promoção eles aplicam o desconto (indo parar em 480 reais, em nosso exemplo). 
Neste caso o vendedor anuncia um “mega desconto” de 20% em seus produtos quando, na verdade, o desconto 
dado é bem menor. Afinal, o preço normal do produto era 500 reais, e o preço com desconto está em 480 reais, 
o que representa um desconto de 20 em 500 reais, ou seja, de 20/500 = 4/100 = 4% apenas!!! Esta é a famosa 
“Black Fraude” ... 
Sobre este tema, observe esta questão: 
CESPE - STM - 2018) Ao passar com seu veículo por um radar eletrônico de medição de velocidade, o condutor 
percebeu que o velocímetro do seu carro indicava a velocidade de 99km/h. Sabe-se que a velocidade mostrada no 
velocímetro do veículo é 10% maior que a velocidade real, que o radar mede a velocidade real do veículo, mas o 
órgão fiscalizador de trânsito considera, para efeito de infração, valores de velocidade 10% inferiores à velocidade 
real. 
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Nessa situação, considerando que a velocidade máxima permitida para a via onde se localiza o referido radar é 
de 80km/h, julgue o próximo item. 
( ) O condutor não cometeu infração, pois, descontando-se 20% da velocidade mostrada no velocímetro de seu 
veículo, o valor da velocidade considerada pelo órgão fiscalizador será de 79km/h. 
RESOLUÇÃO: 
O velocímetro marcava 99km/h. Esta velocidade é 10% maior do que a velocidade real. Ou seja, 99 é igual à 
velocidade real acrescida de 10%, isto é, multiplicada por (1+10%): 
Velocidade real x (1+10%) = 99 
Velocidade real x 1,1 = 99 
Velocidade real = 99/1,1 = 90 km/h 
 
 A velocidade considerada, para efeito de infração, é 10% inferior à velocidade real. Ou seja, a velocidade para 
efeito de infração é obtida reduzindo-se a velocidade real em 10%, o que fazemos multiplicando a velocidade 
real por (1-10%): 
Velocidade para infração = 90 x (1 - 10%) = 90 x 0,9 = 81km/h 
 Note que esta velocidade é superior a 80km/h, logo o motorista COMETEU infração. Item ERRADO. 
Veja que o examinador tentou induzir o candidato a retirar, de uma vez, 20% de 99km/h, somando 
indevidamente os dois percentuais de 10%. Este cálculo é incorreto, e realmente resultaria em 79km/h. 
Resposta: E 
 
Veja mais uma: 
VUNESP – PM/SP – 2018) Um determinado produto, se for comprado a prazo, terá 10% de acréscimo sobre o 
valor da etiqueta, e passará a custar R$ 93,50. Se esse produto for comprado à vista, terá 20% de desconto 
sobre o valor da etiqueta. O preço desse produto à vista é 
(A) R$ 75,80. 
(B) R$ 68,00. 
(C) R$ 72,50. 
(D) R$ 81,40. 
(E) R$ 79,00. 
RESOLUÇÃO: 
Seja E o valor de etiqueta desse produto. Se for comprado a prazo, teráum acréscimo de 10% e passará a custar 
93,50 reais. Logo: 
E x (1+10%) = 93,5 
E x 1,1 = 93,5 
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E = 93,5 / 1,1 
E = 85 reais 
 
O enunciado diz, ainda, que o produto à vista tem 20% de desconto sobre o preço de etiqueta. Para aplicar este 
desconto, basta multiplicar o preço de etiqueta (85) por (1-20%): 
À vista = 85 x (1-20%) 
À vista = 85 x (1 – 0,2) 
À vista = 85 x 0,8 
À vista = 68 reais 
Resposta: B 
 
Variações percentuais sucessivas 
Mais um aspecto sobre porcentagens: suponha que você queira fazer várias operações de aumentos ou 
reduções percentuais em seguida. Exemplificando: um grama de ouro custava 1000 reais no mercado. Após um 
ano, o preço subiu 10%. No ano seguinte o preço caiu 5%, e no outro ano subiu 20%. Qual o preço final do grama 
de ouro? Quando temos sucessivos aumentos ou reduções percentuais, basta sairmos multiplicando por (1+p%) 
ou (1-p%), conforme o caso. Neste exemplo, temos: 
Preço final = 500 x (1+10%) x (1-5%) x (1+20%) 
Preço final = 500 x 1,10 x 0,95 x 1,20 
Preço final = 550 x 0,95 x 1,20 
Preço final = 55 x 0,95 x 12 
Preço final = 660 x 0,95 
Preço final = 66 x 9,5 
Preço final = 33 x 2 x 9,5 
Preço final = 33 x 19 
Preço final = 627 reais 
 
Note que eu fiz o cálculo em várias etapas, mas você não precisa fazer exatamente igual. Veja que eu 
gosto de ir “desdobrando” os números: eu desdobrei o 550 em 55 x 10, para multiplicar o 10 pelo 1,2; também 
desdobrei o 660 em 66 x 10, para multiplicar o 10 por 0,95; e também desdobrei o 66 em 2 x 33, para multiplicar 
o 2 pelo 9,5. É interessante que você conheça esses recursos matemáticos, que podem facilitar o seu trabalho... 
Mas, se preferir, fique à vontade para fazer os cálculos de forma mais “tradicional”, ok? 
A próxima questão ilustra bem um caso de aumentos percentuais sucessivos: 
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FCC – SABESP – 2018) O preço da gasolina em um posto sofreu três aumentos consecutivos: o primeiro, de 
20%; o segundo, de 10%; e o terceiro, de 5%. Comparando o preço após o terceiro aumento com o preço antes 
do primeiro aumento, temos que o aumento percentual total foi de, aproximadamente, 
(A) 55%. 
(B) 35%. 
(C) 39%. 
(D) 43%. 
(E) 30%. 
RESOLUÇÃO: 
Seja P o preço inicial da gasolina. Devemos aplicar um aumento de 20%, multiplicando P por (1+20%). Na 
sequência, devemos aplicar um aumento de 10%, multiplicando o que tivermos por (1+10%). Por fim, devemos 
aplicar um aumento de 5%, multiplicando o que tivermos por (1+5%). É possível fazer os aumentos sucessivos 
de uma só vez: 
Valor final = P x (1+20%) x (1+10%) x (1+5%) 
Valor final = P x 1,20 x 1,10 x 1,05 
Valor final = P x 1,386 
Valor final = P x (1 + 0,386) 
A expressão acima nos mostra que o valor final corresponde ao valor inicial P aumentado em 38,6%, concorda? 
Em relação ao preço antes do aumento, há um acréscimo de aproximadamente 39%, o que permite marcar a 
alternativa C. 
Resposta: C 
 
 Veja mais uma: 
CESGRANRIO - PETROBRÁS - 2018) O preço de um determinado produto sofreu exatamente três reajustes 
sucessivos, um em cada mês do último trimestre de 2017. O Quadro a seguir mostra a variação percentual do 
preço em cada mês, na comparação com o mês imediatamente anterior. 
Outubro Novembro Dezembro 
4% 5% 10% 
Assim, o aumento percentual acumulado do preço desse produto nesse último trimestre de 2017 pertence ao 
intervalo: 
(A) 19,00% a 19,49% 
(B) 19,50% a 19,99% 
(C) 20,00% a 20,49% 
(D) 20,50% a 20,99% 
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(E) 21,00% a 21,49% 
RESOLUÇÃO: 
Suponha que o preço inicial era 100. Fazendo o cálculo de aumentos percentuais sucessivos: 
Preço final = 100 x (1+4%) x (1+5%) x (1+10%) 
Preço final = 100 x 1,04 x 1,05 x 1,1 
Preço final = 120,12 reais 
O aumento foi de 120,12 - 100 = 20,12 reais sobre um valor inicial de 100 reais. Percentualmente, temos um 
aumento de: 
Aumento percentual = 20,12 / 100 = 20,12% 
Resposta: C 
 
Porcentagens com regra de três 
Você também pode trabalhar exercícios de porcentagem utilizando regras de três simples. É só imaginar 
que o “total” corresponde a 100%. Por exemplo, imagine que uma escola possui 400 alunos, sendo que 100 são 
estrangeiros. Qual a porcentagem de estrangeiros? Você pode montar a regra de três abaixo para resolver: 
 Total de alunos ---------------- 100% 
Alunos estrangeiros ------------- Percentual de estrangeiros 
 
Substituindo os valores que conhecemos: 
400 ---------------- 100% 
100 -------------- P 
 
400xP = 100 x 100% 
4xP = 100% 
P = 100% / 4 
P = 25% 
 
Veja outra forma de utilizar regras de três neste exemplo: 
Em uma escola, os 100 alunos estrangeiros correspondem a 25% do total de matriculados. Os alunos bolsistas 
correspondem a 30% do total. Quantos alunos bolsistas existem na escola? 
 
 
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Podemos resolver montando a seguinte regra de três: 
100 alunos estrangeiros ----------------- 25% 
Alunos bolsistas------------------ 30% 
 
100 x 30% = Alunos bolsistas x 25% 
100 x 30% / 25% = Alunos bolsistas 
100 x 30 / 25 = Alunos bolsistas 
4 x 30 = Alunos bolsistas 
120 = Alunos bolsistas 
 
Repare que nós resolvemos esta questão sem sequer calcular o total de alunos da escola. Comparamos 
diretamente a informação que tínhamos (dos alunos estrangeiros) com a informação que queríamos obter (os 
alunos bolsistas). 
Vamos resolver algumas questões utilizando regras de três: 
CESPE – PREFEITURA DE SÃO PAULO – 2016) Em uma pesquisa relacionada às ações de fiscalização que 
resultaram em multas aplicadas de acordo com os critérios mencionados no texto, 750 pessoas foram 
entrevistadas, e 60% delas responderam que concordam com essas ações. Nessa hipótese, a quantidade de 
pessoas que discordaram, são indiferentes ou que não responderam foi igual a 
A) 60. 
B) 300. 
C) 450. 
D) 600. 
E) 750. 
RESOLUÇÃO: 
Como 60% concordam, então as pessoas que discordam são as restantes: 100% - 60% = 40%. Isto é, 
750 pessoas --- 100% 
N pessoas --- 40% 
 
40 x 750 = N x 100 
N = 300 pessoas 
Resposta: B 
 
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VUNESP – CÂMARA SJC– 2018) Um produto que era vendido a R$ 15,00 passou a ser vendido a R$ 12,50. Logo, 
das alternativas a seguir, a que mais se aproxima do desconto dado sobre os R$ 15,00 é: 
(A) 9% 
(B) 11% 
(C) 13% 
(D) 15% 
(E) 17% 
RESOLUÇÃO: 
 O desconto, em reais, é de 15 – 12,5 = 2,5. Vamos montar uma regra de três para achar o valor 
correspondente em porcentagem: 
15 reais --- 100% 
2,5 reais --- P % 
 
P% x 15 = 2,5 x 100% 
P x 15 = 2,5 x 100 
P x 15 = 250 
P = 250 / 15 
P = 50 / 3 
P = 16,67 
(aproximadamente) 
 Logo, o valor que mais se aproxima desse desconto é 17%. 
Resposta: E 
 
Operações de compra e venda – lucro percentual 
É importante que você se lembre de uma noção básica. O que é LUCRO? De forma muito simples, o lucro 
em uma venda é simplesmente a DIFERENÇA entre o preço de venda e o custo daquele produto. Isto é, se 
compramos um produto por 80 reais e o vendemos por 100, qual é o nosso lucro? 
Lucro = Preço de Venda – Custo 
Lucro = 100 – 80 
Lucro = 20 reais 
 
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 Se uma questão perguntar qual foi o percentual de lucro em relação ao preço de VENDA, qual seria a 
nossa resposta? Veja: 
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 =
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎
=
20
100
= 20% 
 
 E se a questão nos pedir o percentual de lucro em relação ao preço de CUSTO, a resposta seria: 
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 =
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜
=
20
80
=
2
8
=
1
4
= 0,25 = 25% 
 
 Perceba que a resposta da questão MUDA! Fique muito atento ao que for solicitado pela questão, ok? 
Vamos exercitar isso um pouco: 
CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2018) O dono de uma loja deu um desconto de 20% sobre o preço de 
venda (preço original) de um de seus produtos e, ainda assim, obteve um lucro de 4% sobre o preço de custo 
desse produto. Se vendesse pelo preço original, qual seria o lucro obtido sobre o preço de custo? 
(A) 40% 
(B) 30% 
(C) 10% 
(D) 20% 
(E) 25% 
RESOLUÇÃO: 
Como a questão fala somente em percentuais, vamos imaginar que o preço original fosse de 100 reais. 
Com o desconto de 20%, este preço caiu para 100x(1-0,20) = 80 reais. Ainda assim houve 4% de lucro sobre o 
preço de custo, ou seja, 
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜
= 4% 
Lucro = Preço de custo x 4% 
Chamando de L o lucro e de C o custo, podemos escrever a equação acima assim: 
L = C x 0,04 
Lembrando a noção básica sobre Lucro, Venda e Custo: 
Lucro = Venda – Custo 
ou 
L = V – C 
Sabemos que o preço de venda foi V = 80 reais. Sendo C o custo, vimos acima que o lucro foi de 0,04C. Assim: 
0,04C = 80 – C 
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0,04C + C = 80 
1,04C = 80 
C = 80 / 1,04 
C = 76,92 
Logo, se fosse vendido pelo preço original, o lucro seria de: 
Lucro = 100 – 76,92 
Lucro = 23,08 
O percentual de lucro, em relação ao preço de custo (76,92), seria de: 
𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜 =
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜
=
23,08
76,92
= 0,30 = 30% 
Resposta: B 
 
Chega de teoria! Vamos praticar tudo o que vimos até aqui? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questões comentadas pelo professor 
1. FCC – SABESP – 2018) 
Os canos de PVC são classificados de acordo com a medida de seu diâmetro em polegadas. Dentre as 
alternativas, aquela que indica o cano de maior diâmetro é 
 (A) 5/8. 
 (B) 1/2. 
 (C) 1 ¼. 
 (D) 3/4. 
 (E) 1 ½. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos colocar todas as alternativas em valores decimais para compará-los. Assim: 
5/8 = 0,4 
½ = 0,5 
1 ¼ = 1 + 0,25 = 1,25 
¾ = 0,75 
1 ½ = 1 + 0,5 = 1,5 
Logo, o maior diâmetro será 1 ½ polegadas. 
Resposta: E 
 
2. FCC – SABESP – 2018) 
Dez amigos decidiram viajar por 5 dias e se reuniram para fazer o planejamento das despesas. Após pesquisar, 
optaram por alugar um chalé grande o suficiente para comportá-los, por um total de R$ 12.370,00 pelos 5 dias 
de estadia. Dois dias antes da viagem, porém, um dos amigos teve um imprevisto e comunicou que não poderia 
viajar. Como o chalé já estava alugado, os outros amigos tiveram de arcar com um custo adicional. A expressão 
numérica que melhor representa o custo adicional de estadia é 
(A) 
12370
9
 - 
12370
10
 
(B) 
12370
10
 - 
12370
9
 
(C) 
12370
10
 ÷ 5 
(D) 
12370
10
 
(E) 
12370
9
 
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RESOLUÇÃO: 
O valor que cada um dos amigos pagaria pelos 5 dias de viagem era de: 
12370
10
 reais. Porém, um dos amigos 
desistiu de viajar, e o aluguel passou a ser dividido por 9 amigos. Logo, cada um passou a pagar 
12370
9
 reais. 
O custo adicional é a diferença entre o que cada um passou a pagar e o que cada um pagaria antes do amigo 
desistir. Logo: 
Passou a pagar – Pagaria = 
12370
9
 - 
12370
10
 
Resposta: A 
 
3. FCC – ALESE – 2018) 
Cinco amigos disputaram um jogo composto de várias rodadas, cada uma com um único vencedor. Em todas 
as rodadas, com exceção da última, apenas o vencedor pontuava, recebendo 5 pontos. Na última rodada, o 
vencedor ganhava 8 pontos, o segundo colocado recebia 3 pontos e os demais jogadores não pontuavam. Ao 
final, cada jogador somou as pontuações recebidas por ele e anotou o resultado na tabela a seguir. 
 
Um único desses cinco jogadores errou a soma das pontuações que recebeu. Esse jogador foi 
(A) o Beto. 
(B) a Gabi. 
(C) a Flávia. 
(D) o Lucas. 
(E) a Manuela. 
RESOLUÇÃO: 
Perceba que a cada rodada o vencedor faz 5 pontos e os demais não pontuam. Assim, a quantidade de pontos 
deve ser sempre um múltiplo de 5 (números terminados em 0 ou 5). É o caso de Beto (10) e Gabi (15). Uma 
exceção ocorre para o vencedor da última rodada, que ganha mais 8 pontos, ficando com uma pontuação que 
seja um múltiplo de cinco adicionado de 8 unidades. É o caso da Manuela, que tem 28 = 20 + 8 pontos. Também 
é exceção o segundo colocado da última rodada, que ganha mais 3 pontos, ficando com uma pontuação que 
seja um múltiplo de cinco adicionado de 3 unidades. É o caso da Flávia, pois 18 = 15 + 3. 
Portanto, quem anotou incorretamente sua pontuação foi Lucas, pois 26 = 25 + 1 é uma pontuação que não 
poderia ser obtida neste jogo. 
Resposta: D 
 
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4. FCC – TRT/PE – 2018) 
O maior valor monetário, em reais, de três notas de valores diferentes e três moedas de valores diferentes é 
igual a 
(A) 81,75. 
(B) 171,75 
(C) 110,50. 
(D) 171,25. 
(E) 171,60. 
RESOLUÇÃO: 
As maiores notas são de 100 + 50 + 20 = 170 reais. Já as maiores moedas são 1,00 + 0,50 + 0,25 = 1,75 real. 
Somando tudo, temos 171,75 reais. 
Resposta: B 
 
5. FCC – TRT/PE – 2018) 
Exatamente ¼ das vagas de uma faculdade são destinadas aos cursos de humanas, e exatamente 1/8 das vagas 
destinadas aos cursos de humanas são do período noturno. Sabendo-se que o total de vagas dessa faculdade é 
um número inteiro positivo entre 420 e 470, então o número de vagas dessa faculdade destinadas aos cursos 
de humanas é igual a 
(A) 108. 
(B) 124. 
(C) 112 
(D) 120. 
(E) 104. 
RESOLUÇÃO: 
Sendo V vagas ao todo, sabemos que V/4 são de humanas. 1/8 disto são vagas noturnas, ou seja, 
Vagas noturnas de humanas = (1/8) x (V/4) = V/32 
O número de vagas deve ser um número inteiro. Logo, V deve ser divisível por 32, e estar entre 420 e 470. Se 
dividirmos 470 por 32, teremos resto 22. Isto significa que o 470 é 22 unidades maior do que um múltiplo de 32. 
Ou seja, 470 – 22 = 448 é múltiplo de 32. Este é o número de vagas. O número de vagas de humanas é V/4 = 
448/4 = 112. 
Resposta: C 
 
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6. FCC – TRT/PE – 2018) 
Um Analista Judiciário precisa distribuir certo número de tarefas por 17 funcionários. Distribuindo-se 13 tarefas 
por funcionário irão sobrar 4 tarefas sem serem distribuídas entre os funcionários. Se a mesma quantidade de 
tarefas fosse distribuída igualmente por 24 funcionários, cada funcionário receberia 9 tarefas e sobrariam, sem 
serem distribuídas entre os funcionários, um total de tarefas igual a 
(A) 3. 
(B) 7. 
(C) 9 
(D) 6. 
(E) 8. 
RESOLUÇÃO: 
Devemos lembrar que Dividendo = Divisor x Quociente + Resto. Se dividirmos as tarefas pelo divisor 17 
funcionários, temos resultado 13 e resto 4, ou seja, 
Tarefas = 17 x 13 + 4 = 225 
 Se dividirmos essas 225 tarefas por 24 funcionários,teremos resultado 9 tarefas por funcionário, e resto igual 
a 9 tarefas. Este é o gabarito. 
Resposta: C 
 
7. FCC – TRT/PE – 2018) 
O número natural x possui, ao todo, três divisores positivos distintos. O número natural y possui, ao todo, três 
divisores positivos distintos. O produto x . y é um número natural maior que 30 e menor que 40. A soma x + y é 
igual a 
(A) 12. 
(B) 14. 
(C) 13 
(D) 16. 
(E) 19. 
RESOLUÇÃO: 
Números cuja fatoração resulta em algo como n2, em que n é um fator primo, possuem exatamente 3 divisores 
positivos distintos (o número de divisores é obtido somando 1 unidade ao expoente). Assim, números como 22, 
32, 52 etc. possuem exatamente 3 divisores positivos distintos. Como devemos escolher 2 números cuja 
multiplicação fica entre 30 e 40, podemos pensar em 22 . 32 = 4 . 9 = 36. Ou seja, x = 4 e y = 9, de modo que a 
soma dos dois é 13. 
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Resposta: C 
 
8. FCC – DETRAN/MA – 2018) 
Em cada ciclo, um semáforo permanece verde por 70 segundos, depois amarelo por 5 segundos e, finalmente, 
vermelho por 35 segundos. Enquanto o semáforo está vermelho, um orientador de trânsito deve posicionar 
uma bandeira com a indicação “Pare” em frente à faixa de pedestres, voltada aos motoristas. Exatamente um 
segundo antes das 17 horas, o semáforo iniciou um novo ciclo, ficando verde. Dessa forma, o número de vezes 
que o orientador teve de posicionar sua bandeira em frente à faixa de pedestres no período das 17 às 17h30 foi 
igual a 
(A) 17. 
(B) 18. 
(C) 14. 
(D) 15. 
(E) 16. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos achar o tempo gasto para um ciclo, ou seja, do momento em que o semáforo ficou verde até ficar verde 
novamente. Temos: 
70s (verde) + 5s (amarelo) + 35s (vermelho) = 110s 
A questão pede quantas vezes a bandeira foi posicionada antes do semáforo ficar verde, no período de 17h às 
17h30. Ou seja, o número de ciclos num intervalo de 30 minutos. 
Sabemos que 30 minutos correspondem a 60 x 30 = 1800 segundos. Para achar o número de ciclos nesse 
intervalo, basta efetuar a divisão: 
1.800
110
 = 16,3636.. 
Portanto, foram 16 ciclos completos, das 17h às 17h30, em que a bandeira foi colocada em frente à faixa de 
pedestres. 
Resposta: E 
 
9. FCC – DPE/RS – 2017) 
Sabendo que o número decimal F é 0,8666 . . . , que o número decimal G é 0,7111 . . . e que o número decimal H 
é 0,4222 . . . , então, o triplo da soma desses três números decimais, F, G e H, é igual a 
(A) 6,111 . . . 
(B) 5,888 . . . 
(C) 6 
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(D) 3 
(E) 5,98 
RESOLUÇÃO: 
Podemos resolver de forma aproximada, somando: 
0,8666 + 0,7111 + 0,4222 = 1,9999 (aproximadamente 2) 
A soma é aproximadamente 3×2 = 6, que nos dá o gabarito na alternativa C. 
Outra forma de resolver seria encontrando a fração geratriz de cada número decimal, o que me parece uma 
solução bem mais demorada e trabalhosa. 
Resposta: C 
 
10. FCC – PM/AP – 2017) 
Ao pagar a conta em uma padaria, Teodoro deu uma nota de 10 reais. O atendente do caixa pegou a nota e 
perguntou se ele teria 50 centavos para facilitar o troco, ao que Teodoro deu a ele os 50 centavos solicitados. 
Depois disso, Teodoro recebeu de troco uma nota de 2 reais. O valor da conta paga por Teodoro nessa padaria 
foi de 
(A) R$ 9,00. 
(B) R$ 8,50. 
(C) R$ 9,50. 
(D) R$ 7,00. 
(E) R$ 7,50. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que, ao todo, Teodoro deu 10 reais e mais 50 centavos para o atendente, ou seja, ele pagou 10,50 reais. 
Como o troco foi de 2 reais, isto significa que o preço da conta foi de 10,50 – 2,00 = 8,50 reais. 
Resposta: B 
 
11.FCC – FUNAPE – 2017) 
Em um programa de ampliação do acervo das bibliotecas públicas de um município, foram comprados R$ 
960,00 de livros ao custo unitário de R$ 24,00 e, com o dobro desse dinheiro, foram comprados livros ao custo 
unitário de R$ 16,00. O custo médio unitário dos livros comprados nesse programa foi igual a 
(A) R$ 18,00. 
(B) R$ 20,00. 
(C) R$ 22,00. 
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(D) R$ 21,00. 
(E) R$ 17,00. 
RESOLUÇÃO: 
As quantidades de livros compradas podem ser obtidas dividindo-se o custo total pelo custo unitário: 
Livros do primeiro grupo = 960 / 24 = 40 
Livros do segundo grupo = 2×960 / 16 = 120 
Portanto, foram comprados 120 + 40 = 160 livros ao custo total de 960 + 2×960 = 2880 reais. O custo unitário 
médio é: 
Custo unitário médio = custo total / quantidade = 2880/160 = 18 reais 
Resposta: A 
 
12. FCC – FUNAPE – 2017) 
Em um caminho há 21 caixas dispostas em uma linha reta. Cada caixa está a 10 metros de distância da caixa 
seguinte. Partindo de uma caixa em um dos extremos dessa linha reta, Roberto tem a tarefa de levar todas as 
caixas até a posição em que está a caixa do meio. Se Roberto transportar apenas uma caixa de cada vez, e evitar 
percursos desnecessários, a distância percorrida por ele ao concluir a tarefa, em metros, será igual a 
(A) 2.200. 
(B) 1.900. 
(C) 1.800. 
(D) 2.000. 
(E) 2.100. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que Roberto dele levar a 1ª caixa até a posição da 11ª caixa (que fica no meio das 21), caminhando com ela 
10×10 = 100 metros. Em seguida ele deve retornar 90 metros até a 2ª caixa, levá-la 90 metros até a 11ª, retornar 
80 metros até a 3ª caixa, levá-la 80 metros até a 11ª, e assim por diante. Temos a soma de distâncias: 
100 + 90×2 + 80×2 + 70×2 + 60×2 + 50×2 + 40×2 + 30×2 + 20×2 + 10×2 = 1000 m 
Feito isso, será preciso andar 100 metros para chegar até a 21ª caixa. Até aqui temos 1000 + 100 = 1100 m. 
A partir daqui recomeça um processo similar ao anterior, em que Roberto percorrerá 1000 metros. Ao todo, 
teremos 1000 + 1100 = 2100 m. 
Resposta: E 
 
13. FCC – TRT/20 – 2016) 
Manoel e Dolores precisavam classificar um grande número de processos. Manoel começou antes do que 
Dolores e ao final do dia havia classificado 3/8 do total de processos. Dolores trabalhou mais rápido do que 
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Manoel e ao final do dia havia classificado 1/3 de processos a mais do que aqueles que Manoel havia classificado. 
Após esse dia de trabalho de Manoel e Dolores, é correto afirmar que 
(A) ainda faltam 1/4 dos processos para serem classificados. 
(B) eles terminaram a tarefa. 
(C) ainda faltam 1/8 dos processos para serem classificados. 
(D) eles classificaram 17/24 dos processos. 
(E) eles classificaram apenas metade dos processos. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que 1/3 do que Manoel fez é: 
1/3 de 3/8 = 
1/3 x 3/8 = 
1/8 
Portanto, Dolores fez 3/8 + 1/8 = 4/8. Somando isso com o que foi feito por Manoel, ficamos com 4/8 + 3/8 = 7/8. 
Deste modo, ficou faltando apenas 1/8 dos processos. 
Resposta: C 
 
14. FCC – TRF/3ª – 2016) 
A diferença entre o menor número natural ímpar com cinco divisores positivos distintos e o menor número 
natural par, também com cinco divisores positivos distintos, é igual a 
(A) 39. 
(B) 27. 
(C) 83. 
(D) 65. 
(E) 41. 
RESOLUÇÃO: 
O menor número natural ímpar com cinco divisores positivos distintos é 34 = 3x3x3x3 = 81. Os divisores são 1, 3, 
9, 27, 81. 
Vale lembrar que a quantidade de divisores pode ser obtida a partir da forma fatorada, que é 34, somando uma 
unidade ao expoente: (4+1) = 5. 
Já o menor número natural par com 5 divisores positivos distintos é 24 = 16, cujos divisores são 1, 2, 4, 8 e 16. 
A diferença entre eles é 81 – 16 = 65. 
Resposta: D 
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15. FCC – TRF/3ª – 2016) 
Em uma empresa, um funcionário deve cumprir exatas 8 horas de trabalho em um dia. Certo dia, um funcionário 
trabalhou 2 horas e 14 minutos; em seguida trabalhou outras 3 horas e 38 minutos. A fração da carga diária de 
tempo de trabalho que esse funcionário ainda deve cumprir nesse dia é igual a 
(A) 
4
15
 
(B) 
1
4
 
(C) 
3
5
 
(D) 
3
8
 
(E) 
7
20
 
RESOLUÇÃO: 
Somando 2 horas e 14 min. com 3 horas e 38 min., temos 5 horas e 52 minutos. Para chegar a 8 horas, faltam 8 
minutos (para chegar a 6h) e mais 2 horas, ou seja, faltam 2h e 8 min. 
Portanto, note que a carga horária total era de 8 x 60 = 480 minutos, e a carga restante é de 2x60 + 8 = 128 
minutos. A fração que ainda deve ser cumprida é de: 
F = 128 / 480 = 64 / 240 = 32 / 120 = 16 / 60 = 8 / 30 = 4 / 15 
Resposta: A 
 
16. FCC – MANAUSPREV – 2015) 
Considere as expressões numéricas, abaixo. 
1 1 1 1 1
2 4 8 16 32
A      e 
1 1 1 1 1
3 9 27 81 243
B      
O valor, aproximado, da soma entre A e B é 
(A) 1. 
(B) 2,5. 
(C) 1,5. 
(D) 2. 
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(E) 3. 
RESOLUÇÃO: 
Para resolver essa questão você deve lembrar que só podemos somar frações que estejam escritas com o 
mesmo denominador. Assim, podemos fazer as seguintes somas: 
1 1 1 1 1
2 4 8 16 32
A      
16 8 4 2 1 31
32 32 32 32 32 32
A       
 
1 1 1 1 1
3 9 27 81 243
B      
81 27 9 3 1 121
243 243 243 243 243 243
B       
Portanto, 
31 121
32 243
A B   
Observe que 31/32 é aproximadamente igual a 1. E observe que 121 é aproximadamente a metade de 243, de 
modo que 121/243 é aproximadamente igual a ½, ou seja, 0,5. Portanto, esta soma é aproximadamente igual a 
1 + 0,5 = 1,5. 
Observe que, propositalmente, o examinador solicitou o valor aproximado da soma, afinal o cálculo exato da 
soma das duas frações seria bastante trabalhoso, a começar pelo fato que precisaríamos encontrar um 
denominador comum que fosse múltiplo de 32 e de 243. 
Resposta: C 
 
17. FCC – MANAUSPREV – 2015) 
Excetuando-se o 1, sabe-se que o menor divisor positivo de cada um de três números naturais diferentes são, 
respectivamente, 7; 3 e 11. Excetuando-se o próprio número, sabe-se que o maior divisor de cada um dos três 
números naturais já citados são, respectivamente, 11; 17 e 13. A soma desses três números naturais é igual a 
(A) 271. 
(B) 159. 
(C) 62. 
(D) 303. 
(E) 417. 
RESOLUÇÃO: 
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Para você entender bem essa questão, vamos listar os divisores de um determinado número. Por exemplo, 
vamos trabalhar com o número 24. Os seus divisores são: 
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 
 Observe que a multiplicação do menor divisor com o maior divisor é igual ao próprio número 24: 1 x 24 = 24. 
Da mesma forma, se excluirmos o menor divisor (1) e também o maior divisor (que é o próprio número 24), 
podemos fazer novamente a multiplicação entre o maior divisor restante e o menor divisor restante, ficando 
com 2x12 = 24. Chegamos de novo no próprio número. Portanto, repare o seguinte: a multiplicação entre o 
menor divisor (já excluído o 1) e o maior divisor (já excluído o próprio número) tem como resultado o próprio 
número originário. Utilizando essa lógica nessa questão, podemos rapidamente obter 3 números: 
Primeiro número = 7 x 11 = 77 
Segundo número = 3 x 17 = 51 
Terceiro número = 11 x 13 = 143 
A soma desses três números é igual a 271. 
Resposta: A 
 
18. FCC – CNMP – 2015) 
Renato recebeu um lote de 6.325 peças idênticas que devem ser organizadas em grupos de 73 peças. O menor 
número de peças que ele terá que descartar do lote para que consiga fazer o maior número possível de grupos 
é igual a 
(A) 47. 
(B) 38. 
(C) 33. 
(D) 26. 
(E) 13. 
RESOLUÇÃO: 
Dividindo 6.325 por 73, você encontrará o resultado 86 e o resto 47. Isto significa que, se descartarmos este 
resto (47), será possível dividir o restante em 86 grupos de 73 peças. 
Resposta: A 
 
19. FCC – CNMP – 2015) 
Sendo F = 1 - {2 - [3 - (4 - 5) - 6] - 7} - 8 e G = 8 - {7 - [6 - (5 - 4) - 3] - 2} - 1, a diferença entre F e G, nessa ordem, é 
igual a 
(A) 8. 
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(B) - 8. 
(C) - 4. 
(D) 0. 
(E) 4. 
RESOLUÇÃO: 
F = 1 - {2 - [3 - (4 - 5) - 6] - 7} - 8 
F = 1 - {2 - [3 - (-1) - 6] - 7} - 8 
F = 1 - {2 - [3 + 1 - 6] - 7} - 8 
F = 1 - {2 - [-2] - 7} - 8 
F = 1 - {2 + 2 - 7} - 8 
F = 1 - {-3} - 8 
F = 1 + 3 - 8 
F = -4 
G = 8 - {7 - [6 - (5 - 4) - 3] - 2} - 1 
G = 8 - {7 - [6 - (1) - 3] - 2} - 1 
G = 8 - {7 - [6 - 1 - 3] - 2} - 1 
G = 8 - {7 - [2] - 2} - 1 
G = 8 - {7 - 2 - 2} - 1 
G = 8 - {3} - 1 
G = 8 - 3 - 1 
G = 4 
Logo, a diferença entre F e G, nesta ordem, é: 
F - G = 
(-4) - 4 = 
-4 - 4 = 
-8 
Resposta: B 
 
20. FCC – CNMP – 2015) 
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Um livro foi impresso de modo que seu texto ocupou 420 páginas. Cada página foi impressa com 30 linhas. Para 
uma versão mais compacta foi planejado que em cada página seriam impressas 35 linhas. Desta maneira, a 
diferença entre o número de páginas da primeira versão e o número de páginas da versão compacta é igual a 
(A) 60. 
(B) 80. 
(C) 50. 
(D) 90. 
(E) 30. 
RESOLUÇÃO: 
O total de linhas do livro é: 
Total de linhas = 420 páginas x 30 linhas por página 
Total de linhas = 420 x 30 = 12.600 linhas 
Caso cada página tenha 35 linhas, o total de páginas para acomodar as 12.600 linhas será igual a: 
Novo total de páginas = 12.600 / 35 = 360 páginas 
A diferença entre o número de páginas da primeira versão (420) e da versão compacta (360) é igual a 420 - 360 
= 60 páginas. 
Resposta: A 
 
21. FGV – BANESTES – 2018) 
Na igualdade 
3
5
 + 
3
20
 + 
3
25
 = 
x
100
 o valor de x é: 
A) 59 
B) 65 
C) 77 
D) 83 
E) 87 
RESOLUÇÃO: 
Para somar as frações devemos colocá-las sobre um mesmo denominador. Veja que 100 é múltiplo comum de 
5, 20 e 25. Logo: 
20 x 3
100
 + 
5 x 3
100
 + 
4 x 3
100
 = 
x
100
 
60
100
 + 
15
100
 + 
12
100
 = 
x
100
 
87
100
 = 
x
100
 
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X = 87 
Resposta: E 
 
22. FGV – BANESTES – 2018) 
O resultado da operação 5 + 3 x 7 – 4 é: 
(A) 14. 
(B) 22. 
(C) 24. 
(D) 28. 
(E) 52. 
RESOLUÇÃO: 
Devemos começar primeiro pela operação de multiplicação. Logo: 
5 + 3 x 7 – 4 = 5 + 21 – 4 = 26 – 4 = 22 
Resposta: B 
 
23. FGV – IBGE – 2017) 
Uma corda de 7 metros e 20 centímetros de comprimento foi dividida em três partes iguais. O comprimento de 
cada parte é: 
(A) 2 metros e 40 centímetros; 
(B) 2 metros e 50 centímetros; 
(C) 2 metros e 60 centímetros; 
(D) 2 metros e 70 centímetros; 
(E) 2 metros e 80 centímetros. 
RESOLUÇÃO: 
Para fazer a divisão de 7,2 metros por 3, vamos multiplicar ambos por 10 e montar a divisão: 
 
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O resultado, portanto, é 2,4 metros. Ou seja, 2 metros e 40 centímetros. 
Resposta: A 
 
24. FGV – IBGE – 2017) 
O valor da expressão 2.(1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7– ... + 2015 – 2016 + 2017) é: 
(A) 2014; 
(B) 2016; 
(C) 2018; 
(D) 2020; 
(E) 2022. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que 1 –2 é igual a -1. Da mesma forma, 3 – 4 também é igual a -1. Do número 1 até o 2016, temos 2016/2 
= 1008 pares de números cuja soma é -1, o que totaliza -1008. Assim, ficamos com a expressão: 
2.(1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7– ... + 2015 – 2016 + 2017) = 
= 2.(-1008 + 2017) = 
= 2.1009 = 
= 2018 
Resposta: C 
 
25. FGV – IBGE – 2017) 
Suponha que a#b signifique a - 2b. 
Se 2#(1#N) =12, então N é igual a: 
(A) 1; 
(B) 2; 
(C) 3; 
(D) 4; 
(E) 6. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que a#b significa o primeiro número (a) menos o dobro do segundo (2b). Assim, 
1#N = 1 – 2N 
Logo, 
2#(1#N) = 12 
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2#(1 – 2N) = 12 
2 – 2.(1 – 2N) = 12 
2 – 2 + 4N = 12 
4N = 12 
N = 12/4 
N = 3 
Resposta: C 
 
26. FGV – IBGE – 2017) 
Em certo concurso inscreveram-se 192 pessoas, sendo a terça parte, homens. Desses, apenas a quarta parte 
passou. O número de homens que passaram no concurso foi: 
(A) 12; 
(B) 15; 
(C) 16; 
(D) 18; 
(E) 20. 
RESOLUÇÃO: 
Os homens são a terça parte de 192, ou seja, 192/3 = 64 homens. Destes, apenas 1/4 passou, ou seja, 64/4 = 16 
homens foram aprovados. 
Resposta: C 
 
27. FGV – SEPOG/RO – 2017) 
Altair tem uma barraca de peixes no mercado e, certo dia, começou sua venda com 24 tambaquis, todos de 
mesmo peso. De manhã vendeu a terça parte por 13 reais cada um e, de tarde, reduziu o preço para 9 reais cada 
peixe e acabou vendendo todos. Nesse dia, Altair arrecadou a quantia de 
(A) 232 reais. 
(B) 236 reais. 
(C) 240 reais. 
(D) 244 reais. 
(E) 248 reais. 
RESOLUÇÃO: 
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Veja que Altair vendeu 1/3 de 24, ou seja, 8 tambaquis por 13 reais cada, e os outros 16 tambaquis foram 
vendidos por 9 reais cada, totalizando: 
Vendas = 8×13,00 + 16×9,00 = 104 + 144 = 248 reais 
Resposta: E 
 
28. FGV – MP/BA – 2017) 
Gastão comprou quatro latas de refrigerante. Cada lata custou R$ 2,60 e Gastão pagou com uma nota de R$ 
20,00. Gastão tem que receber um troco de: 
(A) R$ 8,40; 
(B) R$ 8,60; 
(C) R$ 8,80; 
(D) R$ 9,40; 
(E) R$ 9,60. 
RESOLUÇÃO: 
Como cada uma das 4 latas custa 2,60 reais, o custo total é de 4×2,60 = 10,40 reais. Pagando com 20 reais, o 
troco é de 20 – 10,40 = 9,60 reais. 
Resposta: E 
 
29. FGV – SEE/PE – 2016) 
Dados os números: a = 0,34; b = 0,4; c = 0,19 e d = 0,312, a diferença entre o maior desses números e o menor 
deles é 
(A) 0,15. 
(B) 0,21. 
(C) 0,293. 
(D) 0,308. 
(E) 0,31. 
RESOLUÇÃO: 
O maior número é o 0,4. O menor é o 0,19. Assim, temos: 
0,4 – 0,19 = 0,21 
Resposta: B 
 
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30. FGV – SEE/PE – 2016) 
O número de três algarismos: n = 68D é primo. O algarismo D, das unidades, é 
(A) 1. 
(B) 3. 
(C) 5. 
(D) 7. 
(E) 9 
RESOLUÇÃO: 
Se D = 1 teremos 681, que é divisível por 3, afinal a soma dos seus algarismos é 15. Também serão divisíveis por 
3 os números 684 e 687. D também não pode ser par, pois neste caso o número seria divisível por 2. 
Descartamos assim o 682, 686 e 688. D também não pode ser nem 0 e nem 5, pois estes números serão 
divisíveis por 5. Descartamos assim o 680 e o 685. 
Sobram o 683 e o 689 apenas. Testando alguns divisores, veja que 689 é divisível por 13 (o quociente é igual a 
53). Assim, se algum dos números é primo, este só pode ser o 683. Logo, D = 3. 
Resposta: B 
 
31. FGV – CODEBA – 2016) 
Durante três dias, o capitão de um navio atracado em um porto anotou a altura das marés alta (A) e baixa (B), 
formando a tabela a seguir. 
 
A maior diferença entre as alturas de duas marés consecutivas foi 
(A) 1,0. 
(B) 1,1. 
(C) 1,2. 
(D) 1,3. 
(E) 1,4. 
RESOLUÇÃO: 
Podemos ir calculando as diferenças entre os valores da tabela. Veja: 
0,3 – 1 = -0,7 
1,1 – 0,3 = 0,8 
0,2 – 1,1 = -0,9 
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1,3 – 0,2 = 1,1 
0,4 – 1,3 = -0,9 
1,4 – 0,4 = 1 
0,5 – 1,4 = -0,9 
1,2 – 0,5 = 0,7 
0,4 – 1,2 = -0,8 
1,0 – 0,4 = 0,6 
Note que a maior diferença é 1,1. 
Resposta: B 
 
32. FGV – SME/SP – 2016) 
Em algumas expressões numéricas, é possível economizar parênteses, colchetes ou chaves sem alterar o 
resultado. 
7² – {[3 x (100 – 4)] + 10}. 
Assinale a opção que indica a expressão numérica com mesmo resultado da expressão acima. 
 a) 7² – 3 x 100 – 4 + 10 
 b) 7² – 3 x 100 – 4 – 10 
 c) 7² – 3 x 100 – 3 x 4 + 10 
 d) 7² – 3 x 100 + 3 x 4 – 10 
 e) 7² – 3 x 100 + 3 x 4 + 10 
RESOLUÇÃO: 
Vamos resolver passo-a-passo a expressão dada: 
7² – {[3 x (100 – 4)] + 10} = 
= 49 – {[3 x (96)] + 10} = 
= 49 – {[288] + 10} = 
= 49 – {288 + 10} = 
= 49 – {298} = 
= - 249 
Agora, vamos analisar cada alternativa: 
a) 7² – 3 x 100 – 4 + 10 
49 – 300 – 4 + 100 = 45 – 200 = -155 
b) 7² – 3 x 100 – 4 – 10 
49 – 300 – 4 – 10 = 49 – 300 – 14 = 35 – 300 = -255 
c) 7² – 3 x 100 – 3 x 4 + 10 
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49 – 300 – 12 + 10 = 49 – 300 – 2 = 47 – 300 = - 253 
d) 7² – 3 x 100 + 3 x 4 – 10 
49 – 300 + 12 – 10 = 49 – 300 + 2 = 51 – 300 = - 249 
Esse é o nosso gabarito. 
e) 7² – 3 x 100 + 3 x 4 + 10 
49 – 300 + 12 + 10 = 49 – 300 + 22 = 71 – 300 = 229 
Resposta: D 
 
33. FGV – SEE/PE – 2016) 
Consultando os dados do último censo demográfico, Ana, ao anotar a população de sua cidade, trocou o 
algarismo das dezenas com o algarismo das unidades. Sabe-se que a diferença entre a população correta e a 
população anotada por Ana é um número compreendido entre 50 e 60. A diferença citada é 
(A) 52. 
(B) 54. 
(C) 55. 
(D) 56. 
(E) 57. 
RESOLUÇÃO: 
Sejam A e B os algarismos corretos das dezenas e das unidades. Ou seja, temos um número do tipo AB. 
Trocando-os, ficamos com BA. A diferença entre eles é: 
AB – BA = 
10A + B – (10B + A) = 
9A – 9B = 
9(A – B) 
 
Veja que a diferença deve ser um número múltiplo de 9. Entre 50 e 60, o único múltiplo de 9 é o 54. 
Resposta: B 
 
34. FGV – SEE/PE – 2016) 
Paula escreveu um número inteiro três vezes e um outro número inteiro quatro vezes. A soma dos sete números 
é 200 e um dos números é 36. O outro número é 
(A) 56. 
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(B) 42. 
(C) 32. 
(D) 26. 
(E) 23. 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que o 36 é um dos números, mas não sabemos se ele foi escrito 3 ou 4 vezes. Vamos testar as duas 
possibilidades e ver em qual delas o outro número será inteiro também, como disse o enunciado. 
Suponha que o 36 é o número que foi escrito três vezes. Assim, teríamos a soma 3x36 = 108, faltando 200 – 108 
= 92, afinal a soma de todos os números é 200. Assim, o número escrito quatro vezes seria o 92/4 = 23. Veja que 
foi possível obter um valor inteiro. Logo, nossa resposta é o 23 (letra E). 
Se você assumisse que o 36 é o número que foi escrito quatro vezes, teria a soma 36x4 = 144, restando 200 – 
144 = 56 para o outro número. Assim, o número escrito três vezes seria o 56/3 = 18,66 (veja que este NÃO é um 
número inteiro). 
Resposta: E 
 
35. FGV – CODEBA – 2016) 
Fernanda tem cinco filhas. Algumas das filhas de Fernanda também têm cinco filhas e as outras não têm filha 
alguma. No total, Fernanda tem 20 filhas e netas e nenhuma bisneta. O número de filhas e netas de Fernanda 
que não têm filhas é 
(A) 10. 
(B) 12. 
(C) 15. 
(D) 17. 
(E) 18.RESOLUÇÃO: 
Fernanda tem 5 filhas, portanto as netas somam 20 – 5 = 15. Como as filhas de Fernanda que também são mães 
possuem 5 filhas cada uma, fica claro que 3 filhas de Fernanda tem 5 filhas cada uma, totalizando as 3x5 = 15 
netas de Fernanda. 
Assim, das 5 filhas de Fernanda, 3 também são mães e 2 não tem filhas. Ao todo, as mulheres que NÃO tem 
filhas são as 2 filhas de Fernanda e as 15 netas de Fernanda, totalizando 17. 
Resposta: D 
 
36. FGV – CODEBA – 2016) 
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Hércules recebe R$ 65,00 por dia normal de trabalho e mais R$ 13,00 por hora extra. Após 12 dias de trabalho, 
Hércules recebeu um total de R$ 845,00. Sabendo que Hércules pode fazer apenas uma hora extra por dia, o 
número de dias em que Hércules fez hora extra foi 
(A) 1. 
(B) 3. 
(C) 5. 
(D) 7. 
(E) 9. 
RESOLUÇÃO: 
Como trabalhou 12 dias, Hércules recebeu 12 x 65 = 780 reais. O restante foram as horas extras, que somaram 
845 – 780 = 65 reais. Como ele recebe 13 reais por hora extra, o total de horas extras é de 65 / 13 = 5. E, como ele 
faz apenas uma hora extra por dia, o total de dias com horas extras é igual a 5. 
Resposta: C 
 
37. FGV – CODEBA – 2016) 
Para quaisquer números reais diferentes x e y, representemos por M(x, y) o maior entre x e y e por m(x, y) o 
menor entre x e y. Sejam a, b, c, d, e números reais tais que a  b c d  e . O valor de M(m(b,d),m(M(a,e),c)) é 
(A) a. 
(B) b. 
(C) c. 
(D) d. 
(E) e. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos por partes. Veja que m(b,d) é o menor número entre b e d, que neste caso é b. Ou seja, m(b,d) = b. 
Veja ainda que M(a,e) é o maior número entre a e e, que é o número e. Ou seja, M(a,e) = e. Assim, 
m(M(a,e), c) = m(e, c) = c 
(pois c é menor que e) 
Assim, 
M(m(b,d),m(M(a,e),c)) = 
M( b, c) = 
c 
Resposta: C 
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38. FGV – CODEBA – 2016) 
Certo dia, por causa do engarrafamento, João demorou 4 horas para fazer um percurso que, normalmente, leva 
um quinto desse tempo. Normalmente, João faz esse percurso em 
(A) 45 minutos. 
(B) 48 minutos. 
(C) 1 hora e 05 minutos. 
(D) 1 hora e 12 minutos. 
(E) 1 hora e 20 minutos. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que 1/5 de 4 horas corresponde a 1/5 x 4 = 4/5 = 0,8 horas. Passando para minutos, temos 0,8 x 60 minutos 
= 48 minutos. 
Resposta: B 
 
39. FGV – CODEBA – 2016) 
Uma sequência de números inteiros positivos é formada seguindo três regras. A partir de um número inteiro 
positivo, aplica-se a regra adequada a ele para se obter o segundo termo da sequência. Para cada novo termo 
obtido, aplica-se a regra adequada a ele para se obter o termo seguinte. As três regras são: 
Regra 1: se o inteiro é menor ou igual a 9, multiplique-o por 7; 
Regra 2: se o inteiro é maior do que 9 e par, divida-o por 2; 
Regra 3: se o inteiro é maior do que 9 e ímpar, subtraia 5 dele. 
Na sequência cujo primeiro termo é 16, tem-se que 
(A) o quinto termo é 7. 
(B) o sexto termo é 14. 
(C) o sétimo termo é 49. 
(D) o oitavo termo é 22. 
(E) o nono termo é 44 
RESOLUÇÃO: 
Se o primeiro é 16 (maior que 9 e par), aplica-se a regra 2, dividindo-o por 2 e obtendo o 2º termo, que é 8. Este 
é menor ou igual a 9, aplicando-se a regra 1, chegando a 8x7 = 56, que é o 3º termo. Agora aplicamos a regra 2, 
obtendo o 4º termo, que é 56 / 2 = 28. Novamente aplicamos a regra 2, obtendo o 5º termo, que é 28/2 = 14. 
Novamente aplicamos a regra 2, obtendo o 6º termo, que é 14/2 = 7. Agora aplicamos a regra 1, obtendo o 7º 
termo, que é 7x7 = 49. Temos isso na letra C. 
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Resposta: C 
 
40. FGV – CODEBA – 2016) 
Quatro máquinas mantêm uma indústria em operação, sem interrupções, 24 horas por dia, 7 dias na semana. 
Das quatro máquinas, há sempre três em operação e uma em manutenção. Nos últimos 30 dias, a manutenção 
foi feita de tal maneira que as quatro máquinas ficaram em operação o mesmo número de horas. Nos últimos 
30 dias, o número de horas que cada máquina ficou em operação foi 
(A) 180. 
(B) 240. 
(C) 360. 
(D) 480. 
(E) 540. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que a cada dia 1 máquina está em manutenção e 3 trabalhando, ou seja, temos ¾ das máquinas 
funcionando. Isto indica que cada máquina funcionou durante ¾ do período de 30 dias, ou seja, durante ¾ x 30 
= 22,5 dias de 24 horas cada, totalizando 22,5 x 24 = 45 x 12 = 540 horas. 
Resposta: E 
 
41. FGV – CODEBA – 2016) 
João e Maria estão em uma fila e Maria está à frente de João. Há 8 pessoas à frente de Maria, e 14 pessoas atrás 
dela. Há 7 pessoas atrás de João. O número de pessoas que está à frente de João é 
(A) 13. 
(B) 14. 
(C) 15. 
(D) 16. 
(E) 17. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que a fila possui 8 pessoas à frente de Maria, 14 atrás dela, e mais a própria Maria, totalizando 8 + 14 + 1 = 
23 pessoas. Se há 7 pessoas atrás de João, à frente dele teremos 23 – 7 – 1 = 15 pessoas (veja que subtraí mais 1 
unidade, afinal João não está à frente dele mesmo). 
Resposta: C 
 
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42. CESPE – SEDUC/AL – 2018) 
A respeito de história da matemática, julgue o item subsequente. 
Em virtude de necessidades contábeis da época, os egípcios tinham a preferência pela utilização das frações 
unitárias, isto é, aquelas em que o número 1 é o numerador. Parte do Papiro de Rhind, um importante registro 
matemático dos egípcios, trata da decomposição de frações a partir de frações unitárias. As frações unitárias 
na forma 1/n sempre podem ser decompostas em exatamente duas frações unitárias, por exemplo, 
1
2
 = 
1
4
 + 
1
4
 . 
Nesse contexto, é correto afirmar que as únicas decomposições da fração unitária 1/4 são 
1
4
 = 
1
8
 + 
1
8
 e 
1
4
 = 
1
6
 + 
1
12
. 
RESOLUÇÃO: 
Temos ainda outra possibilidade de decompor ¼. Veja: 
1
4
 = 
1
5
 + 
1
20
 
1
4
 = 
4
20
 + 
1
20
 
1
4
 = 
5
20
 
1
4
 = 
1
4
 
Item errado. 
Resposta: E 
 
43. CESPE – Prefeitura de São Luís/MA – 2017) 
As figuras I e II a seguir ilustram recipientes cilíndricos retos, idênticos, que contêm suco. Em cada recipiente 
foram feitas marcações igualmente espaçadas, mas diferentes nos recipientes I e II. Há mais suco no recipiente 
I que no II. 
 
Nessa situação, a fração do volume que o recipiente I tem a mais que o II é igual a 
a) 8/15 . 
b) 8/13 . 
c) 3/10 . 
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d) 4/3 . 
e) 7/20 . 
RESOLUÇÃO: 
Veja que na figura 1 temos 8 partes, sendo que só há suco em 6 partes. Logo, o recipiente 1 possui 6/8 de suco. 
Na figura 2, o recipiente é dividido em 5 partes, sendo que só há suco até a segunda parte. Logo, o recipiente 2 
possui 2/5 de suco. 
A diferença de volume do recipiente 1 para 2 é dada por: 
6
8
 – 
2
5 
 = 
3
4
 – 
2
5
 
O múltiplo comum de 4 e 5 é 20. Logo: 
5 x 3
20
 - 
4 x 2
20
 = 
15
20
 - 
8
20
 = 
7
20
 
Resposta: E 
 
44. CESPE – MPOG – 2015 – adaptada) 
Determinado órgão público é composto por uma diretoria geral e quatro secretarias; cada secretaria é formada 
por três diretorias; cada diretoria tem quatro coordenações; cada coordenação é constituída por cinco divisões, 
com um chefe e sete funcionários subalternos em cada divisão. A respeito desse órgão público, julgue o item 
seguinte, sabendo que cada executivo e cada funcionário subalterno só podeocupar um cargo nesse órgão. 
( ) O referido órgão possui mais de 2.000 servidores em suas divisões. 
RESOLUÇÃO: 
Como temos 4 secretarias, cada uma com 3 diretorias, temos 4 x 3 = 12 diretorias ao todo. 
Como cada uma das 12 diretorias tem 4 coordenações, temos 12 x 4 = 48 coordenações ao todo. 
Cada uma dessas coordenações tem 5 divisões, totalizando 48 x 5 = 240 divisões. 
E cada divisão tem 8 servidores (1 chefe + 7 funcionários), totalizando 240 x 8 = 1920 funcionários nas divisões. 
Item ERRADO. 
Resposta: E 
 
45. CESPE – SEDF – 2014) 
Acerca das propriedades dos conjuntos numéricos, julgue o item a seguir. 
Existem exatamente quatro números inteiros r para os quais a fração 
14
2r+1
 é um número inteiro. 
RESOLUÇÃO: 
Para a fração resultar em um número inteiro, o denominador “2r + 1” deve ser divisor de 14. Podemos, então, 
ter os divisores 1, 2, 7, 14 e ainda os negativos -1, -2, -7, -14. Vejamos quais resultam em números inteiros: 
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2r + 1 = 1  2r = 0  r = 0 
2r + 1 = -1  2r = -2  r = -1 
2r + 1 = 2  2r = 1  r = 1/2 
2r + 1 = -2  2r = -3  r = -3/2 
2r + 1 = 7  2r = 6  r = 3 
2r + 1 = -7  2r = -8  r = -4 
2r + 1 = 14  2r = 13  r = 13/2 
2r + 1 = -14  2r = -15  r = -15/2 
Realmente temos 4 valores inteiros para r para os quais a fração será um número inteiro. Item CORRETO. 
Resposta: C 
 
46. CESPE – IBAMA – 2013) 
Julgue os itens subsequentes, relacionados a problemas aritméticos, geométricos e matriciais. 
( ) Considere que, nos primeiros dez dias desse mês, um atleta tenha intensificado seu treinamento físico, 
executando a seguinte rotina de corrida: nos dias pares, ele percorria o dobro da distância percorrida no dia 
anterior; nos dias ímpares, ele percorria a mesma distância percorrida no dia anterior. Se no décimo dia o atleta 
percorreu 32 km, então no primeiro dia ele percorreu 2 km. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos avaliar “de trás para frente”: 
10º dia (par): 32km 
9º dia (ímpar): mesma distância do dia anterior (8º) 
8º dia (par): metade do 10º dia, ou seja, 16km 
7º dia (ímpar): mesma distância do dia anterior (6º) 
6º dia (par): metade do 8º dia, ou seja, 8km 
5º dia (ímpar): mesma distância do dia anterior (4º) 
4º dia (par): metade do 6º dia, ou seja, 4km 
3º dia (ímpar): mesma distância do dia anterior (2º) 
2º dia (par): metade do 4º dia, ou seja, 2km 
1º dia (ímpar): mesma distância que seria percorrida no dia “0”, ou seja, metade da distância percorrida no 2º 
dia, totalizando 1km. 
Item ERRADO. 
Resposta: E 
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47. CESPE – CORREIOS – 2011) 
Suponha que uma pessoa compre 5 unidades de um mesmo produto, pague com uma nota de R$ 50,00 e receba 
R$ 15,50 de troco. Nessa situação, cada unidade do referido produto custa 
 a) mais de R$ 7,50. 
 b) menos de R$ 3,00. 
 c) mais de R$ 3,00 e menos de R$ 4,50. 
 d) mais de R$ 4,50 e menos de R$ 6,00. 
 e) mais de R$ 6,00 e menos de R$ 7,50. 
RESOLUÇÃO: 
Pagando 50 e recebendo 15,50 de troco, o valor efetivamente pago foi: 
Pagamento = 50 – 15,50 = 34,50 reais 
Como foram adquiridas 5 unidades, então devemos dividir esse valor pago por 5. Para montar a divisão, vamos 
multiplicar 34,5 e 5 por 10. Fica: 
 
Portanto, cada unidade custa 6,90 reais. 
Resposta: E 
 
48. CESPE – CORREIOS – 2011) 
O cálculo do preço para o envio de encomendas por SEDEX depende das localidades de origem e destino e da 
massa da encomenda. Fixados a origem e o destino, o valor é calculado somando-se uma parcela fixa a uma 
quantia proporcional à massa da encomenda, medida em quilogramas. 
Suponha que, no envio, por SEDEX, de encomendas entre as cidades de São Paulo – SP e Rio Branco – AC, a 
parcela fixa seja de R$ 35,10 e a constante de proporcionalidade, R$ 13,20. Com base nessa situação, considere 
o envio, por SEDEX, de duas encomendas de 3 kg cada uma e quatro encomendas de 2 kg cada uma, todas para 
pessoas diferentes, de São Paulo para Rio Branco. Assinale a opção correspondente à expressão numérica que 
representa o valor a ser pago pelo envio dessas encomendas. 
 a) [35,10 + 13,20 × 3] × 2 + [35,10 + 13,20 × 2] × 4 
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 b) [35,10 + 13,20] × 3 × 2 + [35,10 + 13,20] × 2 × 4 
 c) [35,10 + 13,20 × 3] + [35,10 + 13,20 × 2] 
 d) [35,10 + 13,20] × [3 × 2 + 2 × 4] 
 e) 35,10 × 3 × 2 + 13,20 × 2 × 4 
RESOLUÇÃO: 
O valor é calculado somando-se uma parcela fixa a uma quantia proporcional à massa da encomenda. Foi dito 
que a parcela fixa é de R$ 35,10 e a constante de proporcionalidade, R$ 13,20. Esta constante de 
proporcionalidade é que será multiplicada pela massa (em kg) da encomenda. Assim, para 1 encomenda de 3kg 
o valor será: 
35,10 + 13,20 x 3 
E para 1 encomenda de 2kg será: 
35,10 + 13,20 x 2 
Para 2 encomendas de 3kg e 4 de 2kg, temos: 
Total = 2 x (35,10 + 13,20 x 3) + 4 x (35,10 + 13,20 x 2) 
Esta expressão é reproduzida na alternativa A: 
a) [35,10 + 13,20 × 3] × 2 + [35,10 + 13,20 × 2] × 4 
Resposta: A 
 
49. CESPE – MEC – 2009) 
Considerando que, na compra de material escolar, uma pessoa gastou entre R$ 125,00 e R$ 135,00 comprando 
cadernos e frascos de corretor líquido, em um total de 10 unidades dos 2 produtos, que cada caderno custou R$ 
15,00 e que cada frasco de corretor líquido custou R$ 5,00, julgue os itens seguintes. 
( ) O gasto na compra dos frascos de corretor líquido foi superior a R$ 11,00. 
( ) Com o que foi gasto com os cadernos seria possível comprar determinada quantidade de frascos de corretor 
líquido, e essa quantidade é inferior a 25. 
RESOLUÇÃO: 
Observe que se a pessoa tivesse comprado 10 unidades apenas de cadernos, teria gasto 10 x 15 = 150 reais. Já 
se tivesse comprado 10 unidades apenas de corretor líquido, teria gasto 10 x 5 = 50 reais. Como o gasto total foi 
entre 125 e 135 reais, podemos ver que a pessoa comprou dos 2 produtos. 
Se ela tiver comprado 9 cadernos e 1 corretor, o gasto seria superior a 135: 
9 x 15 + 1 x 5 = 140 reais 
Já se ela tiver comprado 8 cadernos e 2 corretores, o gasto encontra-se na faixa indicada: 
8 x 15 + 2 x 5 = 130 reais 
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Note ainda que se ela tiver comprado 7 cadernos e 3 corretores, o gasto já fica abaixo da faixa indicada: 
7 x 15 + 3 x 5 = 120 reais 
Logo, podemos concluir que foram comprados 8 cadernos e 2 corretores, gastando um total de 130 reais. 
Assim, vamos analisar os itens. 
( ) O gasto na compra dos frascos de corretor líquido foi superior a R$ 11,00. 
ERRADO. Foram comprados 2 corretores, totalizando 2 x 5 = 10 reais. 
 
( ) Com o que foi gasto com os cadernos seria possível comprar determinada quantidade de frascos de corretor 
líquido, e essa quantidade é inferior a 25. 
Foi gasto com cadernos um total de 8 x 15 = 120 reais. Como cada corretor custa 5 reais, se este mesmo valor 
fosse empregado para comprar corretores teríamos 120 / 5 = 24 corretores. Item CORRETO. 
Resposta: E C 
 
50. ESAF – Mtur – 2014) 
Um valor em reais foi distribuído para Sandra e Beto. Sandra ficou com 1/4 do valor e Beto ficou com o restante, 
que corresponde a R$ 4.950,00. Então, o valor que foi distribuído para Sandra e Beto é igual a 
a) R$ 6.500,00 
b) R$ 6.900,00 
c) R$ 6.700,00 
d) R$ 6.800,00 
e) R$ 6.600,00 
RESOLUÇÃO: 
Como Sandra ficou com ¼ do valor, restaram ¾, que correspondem a 4.950 reais. Isto é: 
(3/4) x Valor = 4.950 
Valor = 4.950 x 4/3 
Valor = 6.600 reais 
Resposta:E 
 
51. ESAF – FISCAL DO TRABALHO – 2003) 
Um professor de Lógica percorre uma estrada que liga, em linha reta, as vilas Alfa, Beta e Gama. Em Alfa, ele 
avista dois sinais com as seguintes indicações: “Beta a 5 km” e “Gama a 7 km”. Depois, já em Beta, encontra 
dois sinais com as indicações: “Alfa a 4 km” e “Gama a 6 km”. Ao chegar a Gama, encontra mais dois sinais: 
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“Alfa a 7 km” e “Beta a 3 km”. Soube, então, que, em uma das três vilas, todos os sinais têm indicações erradas; 
em outra, todos os sinais têm indicações corretas; e na outra um sinal tem indicação correta e outro sinal tem 
indicação errada (não necessariamente nesta ordem). O professor de Lógica pode concluir, portanto, que as 
verdadeiras distâncias, em quilômetros, entre Alfa e Beta, e entre Beta e Gama, são, respectivamente: 
a) 5 e 3 
b) 5 e 6 
c) 4 e 6 
d) 4 e 3 
e) 5 e 2 
RESOLUÇÃO: 
Veja no desenho abaixo um esquema com as indicações das placas: 
 
 
Sabemos que em uma vila as placas só tem verdades, em outra apenas mentiras, e na outra há uma verdade e 
uma mentira. 
Repare nas duas informações marcadas abaixo, pois ambas dizem que a distância entre Alfa e Gama é de 7km: 
 
Se essas informações forem falsas, então tudo o que está na placa da Vila Beta precisa ser verdade (esta seria 
a única placa com apenas verdades). Mas caso seja verdade o que está na placa de Beta, então as demais 
informações presentes na placa de Alfa (“Beta: 5km”) e de Gama (“Beta: 3km”) são falsas. Isso contraria o 
enunciado, pois uma das placas precisa ter uma verdade E uma mentira. 
Já se as informações destacadas acima forem verdadeiras, então a distância Alfa-Gama é realmente de 7km. 
Além disso, a placa da Vila Beta só tem mentiras, ou seja, é falso que a distância Alfa-Beta é 4km, e também é 
falso que a distância Beta-Gama é 6km. 
Se a placa de Gama for totalmente verdadeira, então Beta-Gama é 3km. Como já vimos que Alfa-Gama é 7km, 
então sobrariam 4km para Alfa-Beta. Isto não pode ocorrer, pois tornaria VERDADEIRA a informação de que 
Alfa-Beta distam 4km, como temos na placa da Vila Beta. 
Já se a placa de Alfa for totalmente verdadeira, então Alfa-Beta distam 5km e Beta-Gama distam 2km, 
totalizando 7km entre Alfa-Gama. Desta forma atendemos as condições do enunciado, pois a placa de Alfa é 
 
 
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totalmente verdadeira, a placa de Beta é totalmente falsa, e a placa de Gama contém apenas uma informação 
verdadeira, sendo a outra falsa. 
Logo, as verdadeiras distâncias entre Alfa e Beta, e entre Beta e Gama, são, respectivamente, 5km e 2km. 
Resposta: E 
 
52. ESAF – FISCAL DO TRABALHO – 2003) 
Três pessoas, Ana, Bia e Carla, têm idades (em número de anos) tais que a soma de quaisquer duas delas é igual 
ao número obtido invertendo-se os algarismos que formam a terceira. Sabe-se, ainda, que a idade de cada uma 
delas é inferior a 100 anos (cada idade, portanto, sendo indicada por um algarismo da dezena e um da unidade). 
Indicando o algarismo da unidade das idades de Ana, Bia e Carla, respectivamente, por A1, B1 e C1; e indicando 
o algarismo da dezena das idades de Ana, Bia e Carla, respectivamente, por A2, B2 e C2, a soma das idades 
destas três pessoas é igual a: 
a) 3 (A2+B2+C2) 
b) 10 (A2+B2+C2) 
c) 99 – (A1+B1+C1) 
d) 11 (B2+B1) 
e) 3 (A1+B1+C1) 
RESOLUÇÃO: 
Para começar a resolver essa questão, observe o seguinte: se uma garota tem a idade de 32 anos, podemos 
escrever essa idade como 3 x 10 + 2 anos, ou seja, multiplicar por 10 o algarismo das dezenas e depois somar 
com o algarismo das unidades. 
O enunciado disse que a soma das idades de duas garotas é igual ao número obtido invertendo os algarismos 
da idade da terceira. Isto é: 
 
 a soma das idades de Ana e Bia é igual ao número obtido invertendo os algarismos da idade de Carla: 
10A2 + A1 + 10B2 + B1 = 10C1 + C2 
 
 a soma das idades de Ana e Carla é igual ao número obtido invertendo os algarismos da idade de Bia: 
10A2 + A1 + 10C2 + C1 = 10B1 + B2 
 
 a soma das idades de Bia e Carla é igual ao número obtido invertendo os algarismos da idade de Ana: 
10C2 + C1 + 10B2 + B1 = 10A1 + A2 
 
A soma das idades é dada por: 
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Soma = 10A2 + A1 + 10B2 + B1 + 10C2 + C1 
 
Veja na segunda equação que obtivemos que 10A2 + A1 + 10C2 + C1 é igual a 10B1 + B2, portanto podemos 
substituir essa parcela na soma acima: 
Soma = 10B2 + B1 + (10B1 + B2) 
Soma = 11B2 + 11B1 = 11 x (B1 + B2) 
Resposta: D 
 
53. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2009) 
Sejam X, Y e Z três pontos distintos de uma reta. O segmento XY é igual ao triplo do segmento YZ. O segmento 
XZ mede 32 centímetros. Desse modo, uma das possíveis medidas do segmento XY, em centímetros, é igual a: 
a) 27 
b) 72 
c) 35 
d) 63 
e) 48 
RESOLUÇÃO: 
Observe que os pontos X, Y e Z não precisam estar necessariamente nessa ordem na reta. Assim, podemos ter, 
por exemplo: 
 
Ou 
 
Ou 
 
 
Sabemos que XY = 3 YZ, e XZ = 32cm. No primeiro desenho acima, repare que: 
XZ = XY + YZ 
Assim, como XZ = 32, 
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32 = XY + YZ 
E como XY = 3 YZ, 
32 = 3 YZ + YZ 
YZ = 8 
XY = 3 x 8 = 24 
Assim, uma das possíveis medidas de XY é 24cm, porém esta não é uma alternativa de resposta. Vejamos as 
demais. 
Na segunda figura, repare que XY é menor que YZ. Logo, é impossível atender a condição XY = 3 YZ. Podemos 
descartá-la. 
Na terceira figura, 
YZ + XZ = XY 
YZ + 32 = XY 
YZ + 32 = 3 YZ 
YZ = 16 
Logo, 
XY = 3 x 16 = 48 
Temos esta resposta na letra E. 
Resposta: E 
 
54. ESAF – ISS/RJ – 2010) 
Em um conjunto de números inteiros não nulos, há 150 números pares, 160 números ímpares e 120 números 
negativos. Se 80 números pares são negativos, quantos números ímpares são positivos? 
a) 80 
b) 120 
c) 50 
d) 40 
e) 110 
RESOLUÇÃO: 
Dos 120 números negativos, 80 são pares negativos; portanto os ímpares negativos são 120 – 80 = 40 números. 
Assim, dos 160 números ímpares, 40 são negativos, de modo que os ímpares positivos são 160 – 40 = 120. 
Resposta: B 
 
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55. ESAF – ISS/RJ – 2010) 
A seguir estão representados pelo sistema binário, formado apenas pelos algarismos 0 e 1, os números naturais 
de 0 a 16 em ordem crescente: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 
10000. Qual é o número que corresponde ao binário 111011? 
a) 59 
b) 60 
c) 58 
d) 61 
e) 62 
RESOLUÇÃO: 
Observe que, para transformar um número binário em um número decimal, devemos multiplicar o algarismo 
da casa das unidades por 20, o da casa das dezenas por 21, das centenas por 22, e assim por diante. 
Exemplificando, o número binário 1101 pode ser transformado para número decimal assim: 
1101 (binário) = 1 x 20 + 0 x 21 + 1 x 22 + 1 x 23 
1101 (binário) = 1 + 0 + 4 + 8 = 13 
De maneira análoga, podemos transformar o número binário 111011 para decimal assim: 
111011 (binário) = 1 x 20 + 1 x 21 + 0 x 22 + 1 x 23 + 1 x 24 +1 x 25 
111011 (binário) = 1 + 2 + 0 + 8 + 16 + 32 
111011 (binário) = 59 
Resposta: A 
 
56. ESAF – ISS/RJ – 2010) 
O denominado Índice de Massa Corporal - IMC de uma pessoa é determinado pelo quociente entre o peso P da 
pessoa, medido em kilogramas, e a altura H da pessoa, medidaem metros, ao quadrado, isto é IMC = P/H2. 
Determine o valor mais próximo do IMC de uma pessoa com 1,75 m de altura e 70 Kg de peso. 
a) 21,7 
b) 25,2 
c) 26,1 
d) 22,9 
e) 23,8 
RESOLUÇÃO: 
Calculando o IMC conforme descrito no enunciado, temos: 
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IMC = P/H2 
IMC = 70/1,752 
IMC = 70 / 3,0625 
IMC = 22,8 
(obs.: você poderia ter feito a divisão por apenas 3,1 para obter um resultado aproximado) 
Resposta: D 
 
57. FUMARC - SEE/MG – 2018) 
Os números complexos apareceram no século XVI motivados pelas resoluções de equações de terceiro e quarto 
graus. Nesse conjunto, qualquer número complexo z, não nulo, admite n raízes enésimas distintas. Os 
argumentos das raízes quartas do número complexo z = 1 + i formam 
(A) uma progressão geométrica de primeiro termo 
𝜋
16
 e razão 
𝜋
2
 
(B) uma progressão geométrica de primeiro termo 
𝜋
4
 e razão 
3𝜋
4
 
(C) uma progressão aritmética de primeiro termo 
𝜋
16
 e razão 
𝜋
2
 
(D) uma progressão aritmética de primeiro termo 
𝜋 
4
 e razão 
3𝜋
4
 
(E) uma progressão aritmética de primeiro termo 
3𝜋
16
 e razão 
7𝜋
16
 
RESOLUÇÃO: 
O módulo desse número z = 1 + i, onde a = 1 e b =1, será: 
l z l = √12 + 1² = √2 
cos 
a
ǀ z ǀ
 = cos 
1
√2
 = cos 
√2
2
 
cos 
b
ǀ z ǀ
 = cos 
1
√2
 = cos 
√2
2
 
θ = 45º = 
𝜋 
4
 
Qualquer número complexo não-nulo, admite n raízes enésimas distintas. Todas elas têm módulo igual a √ǀzǀ
n
 e 
seus argumentos formam uma progressão aritmética de primeiro termo 
θ 
n
 e razão 
2π 
n
. 
Portanto, o primeiro termo dessa PA será 
𝜋/4 
4
 = 
𝜋 
16
 e a razão será 
2π 
4
 = 
π 
2
. 
Resposta: C 
 
 
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58. CESPE – BOMBEIROS/DF – 2011) 
Acerca da função 
2 5
( )
2
z
f z
z



, da variável complexa z = x + yi, em que i é a unidade imaginária, isto é, i é tal 
que i2 = –1, julgue 
os itens que se seguem. 
( ) A parte real de f(2 + 2i) é um número inteiro positivo. 
( ) Existe um único valor de z para o qual f(z) = z. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A parte real de f(2 + 2i) é um número inteiro positivo. 
Podemos calcular o valor da função de 2+2i simplesmente substituindo z por este valor: 
2 5
( )
2
z
f z
z



 
 
2.(2 2 ) 5
(2 2 )
2 2 2
i
f i
i
 
 
 
 
 
4 4 5
(2 2 )
2
i
f i
i
 
  
 
4 1
(2 2 )
2
i
f i
i

  
 
Podemos multiplicar o numerador e o denominador por 2i, para eliminar a unidade imaginária do denominador. 
Veja o que acontece: 
(4 1).2
(2 2 )
2 .2
i i
f i
i i

  
 
2
2
8 2
(2 2 )
4
i i
f i
i

  
Lembrando que i2 = -1, ficamos com: 
8.( 1) 2
(2 2 )
4.( 1)
i
f i
 
 

 
 
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8 2
(2 2 )
4
i
f i
 
 

 
 
8 2
(2 2 )
4
i
f i

  
 
8 2
(2 2 )
4 4
i
f i   
 
1
(2 2 ) 2
2
f i i   
 
Portanto, veja que a parte real do número que encontramos é 2, e a parte imaginária é ½. Fica claro que a parte 
real realmente é um número inteiro positivo. Gabarito CERTO. 
 
( ) Existe um único valor de z para o qual f(z) = z. 
Para verificar esta alternativa, podemos partir da igualdade fornecida: 
f(z) = z 
2 5
2
z
z
z



 
 
2 5 .( 2)z z z   
 
22 5 2z z z   
 
20 2 2 5z z z    
 
20 4 5z z   
 
Veja que temos uma função de segundo grau com a variável z. Podemos resolvê-la usando a fórmula de 
Báskara. Calculando o delta primeiramente, temos: 
2( 4) 4.1.5    
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16 20   
 
4   
 
Veja que o delta é negativo. Se estivéssemos trabalhando no conjunto dos números reais, diríamos 
simplesmente que não existe raiz real. Como estamos no conjunto dos números complexos, podemos 
continuar a resolver usando a fórmula de Báskara: 
( 4) 4
2.1
z
   
 
 
4 ( 1).4
2
z
 
 
 
4 2 1
2
z
 
 
 
4 2
2
i
z

 
 
2z i  
 
Portanto, temos dois números complexos que atendem a nossa igualdade f(z)=z: 
z1 = 2+i 
z2 = 2-i 
Resposta: C E 
 
59. CESPE – SEDUC/AM – 2011 - adaptada) 
Com relação a números complexos, julgue os itens subsequentes. 
 ( ) A parte real do número complexo 
1
1
i
i


 é positiva. 
RESOLUÇÃO: 
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Precisamos “eliminar” o i do denominador de forma a facilitar a identificação da parte real e da parte imaginária 
deste número complexo. Para isso, faremos assim: 
2
2
1 1 1 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 ( 1) 2
i i i i i i i
i
i i i i
      
     
     
 
 
A parte real do número complexo i é zero, que não é positivo (nem negativo). Proposição errada. 
Resposta: E 
 
60. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2011) 
Sendo i a unidade imaginária e escrevendo o complexo 
2(3 )
1
i
z
i



 na forma z = a + bi tem-se que a + b é igual 
a: 
a) -1 
b) 1 
c) 2 
d) 6 
e) 8 
RESOLUÇÃO: 
Para “tirar” o 1 + i do denominador, basta multiplicar, tanto o numerador como o denominador, por (1 – i): 
2 2
2 2
2
2
(3 ) (3 ) (1 ) (3 )(3 )(1 )
1 (1 )(1 ) 1
(9 6 )(1 ) (9 6 1)(1 )
1 ( 1) 2
(8 6 )(1 ) 8 8 6 6 8 2 6 ( 1)
2 2 2
8 2 6
7
2
i i i i i i
z
i i i i
i i i i i
z
i i i i i i
z
i
z i
     
  
   
     
 
 
        
  
 
  
 
Se z = a + bi = 7 – i, então a = 7 e b = -1. Portanto, a + b = 6. 
Resposta: D 
 
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61. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2011) 
Seja A a imagem, no plano de Argand-Gauss, do número complexo z = 2 + 3i. Fazendo-se uma rotação desta 
imagem, em torno da origem, de 60o no sentido trigonométrico, obtém-se a imagem A’ do número complexo 
 a) – 2 + 3i 
 b) 
3 3 3
1 3
2 2
i
   
         
 
 c) 
3 3 3
1 3
2 2
i
   
           
 
 d) 
2 3 2
1 3
3 3
i
   
         
 
 e) 
3 3 3
3
2 2
i
   
       
   
 
RESOLUÇÃO: 
Veja que o número complexo z tem módulo: 
2 2| | 2 3 13z    
 
Podemos representar no plano de Argand Gauss: 
 
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O seu argumento  é tal que: 
3
( )
13
sen   
2
cos( )
13
  
 
Girando 60º no sentido trigonométrico, o módulo continua sendo o mesmo ( 13 ), mas o argumento passa a 
ser  +60º, cujos seno e cosseno são: 
( 60) ( ).cos(60) (60).cos( )sen sen sen     
 
3 1 3 2 3 2 3
( 60) . .
2 213 13 2 13
sen 

    
 
cos( 60) cos( ).cos(60) ( ). (60)sen sen     
 
2 1 3 3 2 3 3
cos( 60) . .
2 213 13 2 13


    
 
Portanto, o número complexo com módulo 13 e argumento  +60º é: 
2 3 3 3 2 3
13. .
2 13 2 13
z i
  
   
 
 
 
2 3 3 3 2 3
.
2 2
z i
  
   
 
 
 
3 3 3
1 . 3
2 2
z i
   
          
 
Resposta: B 
 
 
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62. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) 
Dentre os números complexos abaixo, aquele cujo módulo é igual ao dobro do módulo de z= 4 + 6i é 
 a) i + 3 
 b) 8 - 6i 
 c) 4√3 + 2i 
 d) 6√3 - 10i 
 e) 20 - 4√3i 
RESOLUÇÃO: 
O módulo de z é: 
2 2| | 4 6 16 36 52z      
 
Calculando o módulo dos demais números, vemos que na alternativa D temos: 
2 2| | (6 3) ( 10) 36.3 100 208 4.52 2. 52z         
 
Repare que este é o dobro do módulo do número z. 
Resposta: D 
 
63. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) 
Sejam w = 3 - 2i e y = m +pi dois números complexos, tais que m e p são números reais e i, a unidade imaginária. 
Se w + y = -1 + 3i, conclui-se que m e p são, respectivamente, iguais a 
a) -4 e +1 
b) -4 e +5 
c) +2 e +1 
d) +2 e +5 
e) +4 e -1 
RESOLUÇÃO: 
Veja que: 
w + y = 3 – 2i + m + pi 
Ao efetuar a soma de números complexos, devemos somar a parte real de um com a parte real do outro, e a 
parte imaginária de um com a parte imaginária do outro. Isto é, 
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w + y = (3 + m) + (-2 + p)i 
Como o enunciado disse que w + y = -1 + 3i, então: 
w + y = (3 + m) + (-2 + p)i = -1 + 3i 
Se dois números complexos são iguais, isso significa que suas partes reais são iguais, e suas partes imaginárias 
também são iguais. Ou seja: 
3 + m = -1  m = -4 
-2 + p = 3  p = 5 
Resposta: B 
 
64. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2008) 
Sejam z1=a+b.i e z2 =b+a.i dois números complexos, com * a E IR e * b E IR . Pode-se afirmar que o produto z1.z2 
é um número cujo afixo é um ponto situado no 
 a) eixo imaginário. 
 b) eixo real. 
 c) 1o quadrante. 
 d) 3o quadrante. 
 e) 4o quadrante. 
RESOLUÇÃO: 
Fazendo a multiplicação entre os dois números, temos: 
(a+bi).(b+ai) = ab + a2i + b2i + abi2 
(a+bi).(b+ai) = ab + (a2 + b2)i + ab.(-1) 
(a+bi).(b+ai) = ab + (a2 + b2)i – ab 
(a+bi).(b+ai) = (a2 + b2)i 
 
Veja que o número obtido só tem parte imaginária, não tendo parte real. Portanto, ele se encontra sobre o eixo 
imaginário. 
Resposta: A 
 
 
 
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65. FCC – TRF/2ª – 2012) 
Considere a igualdade x + (4 + y) . i = (6 − x) + 2yi , em que x e y são números reais e i é a unidade imaginária. O 
módulo do número complexo z = x + yi, é um número 
(A) maior que 10. 
(B) quadrado perfeito. 
(C) irracional. 
(D) racional não inteiro. 
(E) primo. 
RESOLUÇÃO: 
Dois números complexos são iguais quando as suas partes são iguais entre si, e suas partes imaginárias são 
também iguais entre si. Desta forma, se: 
x + (4 + y) . i = (6 − x) + 2yi 
Podemos dizer que: 
x = 6 – x 
e 
4 + y = 2y 
Assim, na primeira equação temos: 
2x = 6 
x = 3 
Na segunda equação, temos: 
4 + y = 2y 
y = 4 
 
Assim, z = x + yi = 3 + 4i. O módulo de z é: 
2 2| | | 3 4 | 3 4 25 5z i      
 
Como 5 é um número primo, a alternativa correta é a letra E. 
Resposta: E 
 
 
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66. FCC – BAHIAGÁS – 2010) 
Considere: 
 
O resultado da operação P + Q é 
 a) 10 + (5 + 5√3)i 
 b) 10 – (15 + 5√3)i 
 c) 15 - 5√3i 
 d) 15 + (10 + 5√3)i 
 e) 15 + 15√3i 
RESOLUÇÃO: 
O número Q foi dado na forma de módulo (10) e argumento (60º). Podemos reescrevê-lo assim: 
Q = 10.(cos60 + i.sen60) 
1 3
10. .
2 2
Q i
 
   
 
 
5 5 3Q i  
 
Assim, P + Q é: 
10 10 5 5 3P Q i i     
15 (10 5 3)P Q i    
Resposta: D 
 
67. FCC – TCE/SP – 2010) 
Sabe-se que se i é unidade imaginária do conjunto dos números complexos, então, para cada número natural 
n, a potência in é igual a 1, i, -1 ou –i. Usando essa informação, é correto afirmar que a soma 
50
1
n
n
i

 é igual a: 
a) 0 
b) -1 – i 
c) 1 + i 
d) 1 – i 
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e) i – 1 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que i1 = i; i2 = -1; i3 = -i e i4 = 1. A partir de i5 a sequência se repete novamente. 
Repare que i1 + i2 + i3 + i4 = i – 1 – i + 1 = 0. Isto é, a soma de quatro potências de i consecutivas é igual a zero. 
Veja, por exemplo, que: 
i5 + i6 + i7 + i8 = i – 1 – i + 1 = 0 
Assim, ao efetuar o somatório de in, para n = 1 a 50, teremos 12 conjuntos de 4 potências consecutivas de i 
(totalizando 48 números) e mais i49 e i50. Portanto, 
50
49 50
1
n
n
i i i

  
Para saber o valor de i49, você deve calcular o resto da divisão de 49 por 4. Neste caso, o resto é igual a 1. Assim, 
i49 = i1 = i. 
Da mesma forma, o resto de 50 dividido por 4 é igual a 2. Portanto: 
i50 = i2 = -1 
Assim, 
50
49 50 1 2
1
1n
n
i i i i i i

      
Resposta: E 
 
68. CONESUL – CMR/RQ – 2008) 
Assinale a alternativa que corresponde ao inverso do número complexo z = 3 + 2i: 
a) (3 + 2i) / 13 
b) (2 – 3i) / 13 
c) (2 + 3i) / 13 
d) (-2 + 3i) / 13 
e) (3 – 2i) / 13 
RESOLUÇÃO: 
O inverso de 3 + 2i é: 
1 1
3 2z i


 
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Entretanto, para obter uma das respostas do enunciado, devemos “tirar” a unidade imaginária i do 
denominador. Para isto, basta multiplicar tanto numerador quanto denominador por 3 – 2i: 
 
22
1 1 3 2
3 2 3 2
1 3 2 3 2
9 ( 4)3 2
1 3 2
13
i
z i i
i i
z i
i
z

 
 
 
 
 


 
Resposta: E 
 
69. FEPESE – SEA/SC – 2013) 
Seja i = 1 . Analise as afirmativas abaixo: 
1. Se (a+bi)(c+di) é um número real, então ou a = c = 0 ou b = d = 0. 
2. Se z = 2 + i e w é tal que zw = 1, então w = 
2 1
5 5
i . 
3. O número cuja expansão decimal infinita é dada por 0,33333333… é um número racional. 
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas corretas. 
a) É correta apenas a afirmativa 3. 
b) São corretas apenas as afirmativas 1 e 2. 
c) São corretas apenas as afirmativas 1 e 3. 
d) São corretas apenas as afirmativas 2 e 3. 
e) São corretas as afirmativas 1, 2 e 3. 
RESOLUÇÃO: 
Vejamos cada afirmativa: 
 
1. Se (a+bi)(c+di) é um número real, então ou a = c = 0 ou b = d = 0. 
Veja que: 
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac – bd + (ad + bc)i 
 
Assim, para este número ser real, é preciso que a parte imaginária seja nula, ou seja, ad + bc = 0. Não é preciso 
que a, c, b ou d sejam iguais a zero. FALSO. 
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2. Se z = 2 + i e w é tal que zw = 1, então w = 
2 1
5 5
i . 
Vamos usar a simbologia a + bi para representar o número w. Assim, 
z.w = 1 
(2 + i).(a + bi) = 1 
2a + 2bi + ai + bi2 = 1 
2a – b + (2b + a)i = 1 
 
Para que esta igualdade seja verdadeira, é preciso que a parte real do número da esquerda da igualdade seja 
igual à parte real do número da direita, e que a parte imaginária do número da esquerda seja igual à parte 
imaginária do número da direita. Isto é, 
2a – b = 1 
2b + a = 0 
 
Na primeira equação acima, podemos escrever que: 
b = 2a – 1 
 
Substituindo na segunda equação, temos: 
2.(2a – 1) + a = 0 
4a – 2 + a = 0 
5a = 2 
a = 2/5 
 
b = 2a – 1 
b = 2.(2/5) – 1 
b = -1/5 
 
Logo, w = 2/5 – (1/5)i. VERDADEIRO. 
 
3. O número cuja expansão decimal infinita é dada por 0,33333333… é um número racional. 
VERDADEIRO, pois sabemos que dízimas periódicas são números racionais. Neste caso, a fração geratriz é 1/3. 
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Resposta: D 
 
70. ESPP – BANPARÁ– 2013) 
O conjugado da razão entre o número complexo z = 4 - 8i e o número complexo de argumento igual a 180° e 
módulo igual a 4 é igual a: 
 a) -1 + 2i 
 b) 1 - 2i 
 c) -1 + 4i 
 d) -1 - 2i 
 e) -1 - 4i 
RESOLUÇÃO: 
Um número complexo com argumento igual a 180o fica sobre o eixo horizontal negativo. Como seu módulo é 
4, estamos diante do número w = -4. Veja que este número tem apenas parte real, afinal ele está sobre o eixo 
real. 
A razão entre z e w é: 
z / w = (4 – 8i) / (-4) = -1 + 2i 
 
O conjugado deste número encontrado é -1 - 2i. 
Resposta: D 
 
71. ESPP – COBRA – 2013) 
O conjugado da divisão entre os números complexos z1 cujo afixo é (-3,4) e z2 = 
7 7
2. cos .
4 4
i sen
     
    
    
, nessa ordem, é igual a: 
 a) (-7+i) / 2 
 b) (-7- i) / 2 
 c) (7+i) / 2 
 d) (7- i)/2 
RESOLUÇÃO: 
O número z1 é -3 + 4i, de acordo com os dados fornecidos no enunciado. Para o número z2, precisamos começar 
observando que o ângulo 
7
4

 é igual a: 
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7.180
7.45 315
4
o
o o  
Notando que 315 = 360 – 45, podemos dizer que: 
cos(315º) = cos(360º – 45º) 
cos (315º) = cos(360º).cos(45º) + sen(360º).sen(45º) 
cos(315º) = 1. 
2
2
+0. 
2
2
 
cos(315º) = 
2
2
 
 
De forma análoga, 
sen(315º) = -
2
2
 
(negativo, pois estamos no 4º quadrante) 
 
Portanto, 
z2 = 
7 7
2. cos .
4 4
i sen
     
    
    
 
z2 = 
2 2
2. .
2 2
i
 
 
 
 
z2 = 
2 2
.
2 2
i
 
 
 
 
z2 = 1 – i 
 
Sendo z1 = -3 + 4i, temos a divisão: 
z1 / z2 = (-3 + 4i) / (1 – i) 
 
Multiplicando numerador e denominador por 1 + i, ficamos com: 
1
2
( 3 4 ).(1 )
(1 ).(1 )
z i i
z i i
  

 
 
 
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2
1
2
2
3 3 4 4
1
z i i i
z i i i
   

  
 
 
1
2
3 4( 1)
1 ( 1)
z i
z
   

 
 
 
1
2
7
2
z i
z
 
 
 
O conjugado deste número complexo obtido é: 
7
2
i 
 
Resposta: B 
 
72. IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) 
Considerando o conjunto numérico que contém as raízes da equação x²+1=0. Os elementos desse conjunto 
numérico tem a forma a+bi, onde a e b são números reais e a unidade imaginária i tem a propriedade i²=−1. As 
informações referem-se ao conjunto dos números: 
a) Racionais 
b) Inteiros 
c) Irracionais 
d) Complexos 
e) Naturais 
RESOLUÇÃO: 
Ao solucionarmos a equação x²+1=0, encontramos a raiz igual a x = , pois x2 = -1, sendo que devemos 
perceber que não há número real em que o produto por ele mesmo resulta -1. Em uma multiplicação de dois 
números reais cujo resultado é negativo, os fatores desse produto devem ter sinais contrários e não iguais. 
Portanto, não há solução no campo dos números reais em que x2 = -1. Assim, precisamos de uma ferramenta 
que busque uma unidade imaginária para representar o conjunto que soluciona e equação dada. Mas esse 
problema foi resolvido no século XVIII, quando o matemático alemão Leonard Euler utilizou pela 1ª vez a letra 
i para simbolizar , ou seja, i2 = -1. Esse foi um passo decisivo para a ciência, surgindo então um novo modelo 
algébrico e uma nova espécie de conjuntos, o qual nomeou-se por conjuntos dos números complexos. 
Resposta: D 
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73. IDECAN - Colégio Pedro II – 2015) 
Considere os números complexos que satisfazem a equação z³ = ‒ 64. As imagens do complexo z que 
satisfazem essa equação são vértices de um triângulo equilátero 
A) de apótema 4. 
B) de altura 4√3. 
C) de lado 8√3. 
D) de área 12√3. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos achar as raízes dessa equação: 
z³ = - 64 
z³ = (-4)³ 
z = -4 
Pela regra dos polinômios, podemos escrever o polinômio dado como produto de outros dois: 
z³ = (z + 4).Q(x) 
Q(x) = z³ ÷ (z + 4) = z² - 4z + 16 
Vamos achar as outras raízes: 
z² - 4z + 16 = 0 
z =
−(−4) ± √16 − 4.16
2
 
z =
4 ± √−48
2
 
z =
4 ± 4√−3
2
 
z = 2 ± 2√3√−1 
z = 2 ± 2√3𝑖 
Para desenhar números complexos num plano, devemos achar o eixo imaginário. Um número complexo z = a 
+ bi pode ser representado como P(a, b). Assim, sejam P1 e P2 os pontos correspondentes às raízes, temos: 
z’ = 2 + 2√3𝑖  P1(2, 2√3) 
z” = 2 - 2√3𝑖  P1(2, −2√3) 
Considerando z = -4 o ponto P3, podemos representar os pontos da seguinte forma: 
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Veja que os vértices formam um triângulo equilátero de lado = 2 x 2√3 = 4√3. A área de um triângulo equilátero 
é dada pela seguinte fórmula: 
A = 
lado²√3
4
 
A = 
16.3.√3
4
 
A = 4.3√3 
A = 12√3 
Resposta: D 
74. FCC – CLDF – 2018) 
Em uma empresa, 16% dos funcionários são estrangeiros e os outros são brasileiros. Dentre os brasileiros, 2/3 
nasceram no Distrito Federal, 1/12 veio de São Paulo e o restante é originário de estados da região Nordeste do 
Brasil. Em relação ao total de funcionários da empresa, aqueles que vieram de estados nordestinos 
representam 
a) 28% 
b) 21% 
c) 20% 
d) 24% 
e) 25% 
RESOLUÇÃO: 
Imagine que a empresa tem 100 funcionários. Deles, 16 são estrangeiros e 84 são brasileiros. Dos 84 brasileiros, 
sabemos que 2/3 são do DF, ou seja, 
2
3
. 84 = 56 são do DF. Os paulistas são 
1
12
. 84 = 7. Logo, os nordestinos 
são o restante: 
84 – 56 – 7 = 21 nordestinos 
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Em relação ao total (100 funcionários), os 21 nordestinos representam: 
P = 21/100 = 21% 
Resposta: B 
 
75. FCC – CLDF – 2018) 
Sabe-se que 55% dos empregados de uma empresa são do sexo masculino e 45% são do sexo feminino. 
Verificou-se que 71% do total dos empregados são a favor da implantação de um projeto e que 40% dos 
empregados do sexo feminino são contra. A porcentagem dos empregados do sexo masculino que são a favor 
do projeto é igual a 
a) 66% 
b) 88% 
c) 44% 
d) 80% 
e) 72,5% 
RESOLUÇÃO: 
Imagine que temos 1.000 pessoas na empresa. Delas, 550 são do sexo masculino e 450 do sexo feminino. O 
total de pessoas a favor do projeto é de 71%, ou seja, 710 pessoas são a favor e 290 pessoas são contra. 
Dentre as 450 mulheres, sabemos que 40% são contra, ou seja, 40% x 450 = 180 mulheres são contra e as outras 
450 – 180 = 270 mulheres são a favor. 
Assim, das 710 pessoas a favor, sabemos que 270 são mulheres, de modo que os homens favoráveis ao projeto 
são 710 – 270 = 440. A porcentagem de homens favoráveis é 440 / 550 = 44/55 = 4/5 = 80%. 
Resposta: D 
 
76. FCC – SABESP – 2018) 
João é proprietário de um veículo movido a diesel. Ao parar em um posto para abastecer, esqueceu-se de avisar 
o atendente sobre o combustível, sendo que esse completou o tanque do carro com gasolina, em vez de diesel. 
Constatado o erro, João verificou o manual do veículo e descobriu que não haverá danos ao motor se o veículo 
rodar com uma quantidade de gasolina no tanque inferior a 5% do volume total de combustível, considerando 
diesel e gasolina, os quais se misturam completamente. João sabe que o tanque continha cerca de 5 L de diesel 
puro antes do erro de abastecimento, que 45 L de gasolina pura foram adicionados no abastecimento e que, ao 
esgotar o tanque, sempre sobram 5 L de combustível, os quais não é possível eliminar. 
João decide esgotar o tanque e, em seguida, completá-lo com diesel puro, de modo a diluir a quantidade de 
gasolina presente.Para que o veículo não tenha danos ao motor, João terá que fazer esse procedimento, no mínimo, 
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(A) cinco vezes. 
(B) quatro vezes. 
(C) duas vezes. 
(D) três vezes. 
(E) uma vez. 
RESOLUÇÃO: 
Note que inicialmente, João tinha em seu tanque 5 litros de diesel puro, entre gasolina e diesel, e 
complementou com mais 45 litros de gasolina, o que perfaz um total de (5 + 45) litros. Desta maneira, o volume 
máximo do tanque do carro corresponde a 50 litros. 
Além disso, para não haver danos ao motor, o veículo deve rodar com uma quantidade de gasolina no tanque 
inferior a 5% do volume total de combustível, ou seja, 5% x 50 litros = 2,5 litros. Isto é, com uma quantidade 
inferior a 2,5 litros de gasolina, não causa qualquer dano ao motor do carro. 
Repare que “João sabe que o tanque continha cerca de 5 L de diesel puro antes do erro de abastecimento, que 
45 L de gasolina pura foram adicionados no abastecimento e que, ao esgotar o tanque, sempre sobram 5 L de 
combustível, os quais não é possível eliminar”. Ou seja, eliminam-se 45 Litros de combustível, entre gasolina e 
diesel, e sempre sobram 5 litros, melhor dizendo, primeiro é adicionado 45 litros de diesel puro aos 5 litros de 
combustível misto, perfazendo 50 litros, que é a capacidade máxima do tanque, e, após a eliminação de 45 litros 
de combustível, entre gasolina e diesel, sempre sobram 5 litros de combustível, ou seja, para cada 
procedimento de eliminação sempre sobra 5/50 = 10% do volume anterior. 
Assim, teremos o seguinte: 
1o procedimento: 
Temos 45 litros de gasolina + 5 litros de diesel, sendo que após a retirada de 45 litros de combustível, ainda 
temos 10% dos 45 litros de gasolina com 10% dos 5 litros de diesel, ou seja, 4,5 litros de gasolina e 0,5 litros de 
diesel. 
2o procedimento: 
Agora é adicionado 45 litros de diesel puro, portanto teremos 45,5 litros de diesel + 4,5 litros de gasolina. Note 
que ainda temos um total de gasolina superior a 2,5 litros, sendo que ainda devemos acrescentar e fazer 
retiradas sucessivas. Após a retirada de 45 litros de combustível, ainda resta 10% dos 45,5 litros de diesel com 
10% dos 4,5 litros de gasolina, ou seja, 4,55 litros de diesel e 0,45 litros de gasolina. Veja que agora temos 0,45 
litros de gasolina, quantidade esta inferior a 2,5 litros, o que não causa danos ao motor do carro. 
Portanto, para não causar danos ao motor, João terá que fazer esse procedimento, no mínimo, duas vezes. 
Resposta: C 
 
 
 
 
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77. FCC – SABESP – 2018) 
A prefeitura de uma cidade anuncia que, no ano de 2017, recapeou 60% das avenidas da cidade e se 
compromete a recapear, em 2018, 80% das avenidas restantes. De 2017 para 2018, a quantidade de avenidas 
dessa cidade não se alterou. Sendo assim, em 2018, do total de avenidas da cidade, a prefeitura deverá recapear 
(A) 20%. 
(B) 80%. 
(C) 32%. 
(D) 56%. 
(E) 42%. 
RESOLUÇÃO: 
Se 60% das avenidas foram recapeadas em 2017, restaram 40% para serem recapeadas. Em 2018, foi prometido 
o recapeamento de 80% das avenidas restantes. Logo: 80% de 40% = 0,8 x 0,4 = 0,32 = 32%. 
Resposta: C 
78. FCC – SABESP – 2018) 
Um erro comum no cotidiano ocorre quando uma pessoa acha que, para que um produto que sofreu um 
aumento de 10% volte ao seu valor antes do aumento, ele deve sofrer um desconto de 10%. Para que um 
produto que sofreu um aumento de 20% passe a custar o que custava antes do aumento, o desconto deve ser, 
aproximadamente, 
(A) 83,3%. 
(B) 22,0%. 
(C) 18,5%. 
(D) 13,4%. 
(E) 16,7%. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos supor que um produto custe 100 reais inicialmente. Se ele sofre um aumento de 20%, passa a valer 1,2 
x 100 = 120 reais. Para voltar ao seu valor inicial, ele deve receber um desconto de 20 reais, o que equivale, em 
porcentagem, a: 
120 --- 100% 
20 --- X % 
120.X = 100.20 
X = 2000/120 
X = 16,7% (aproximadamente) 
Resposta: E 
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79. FCC – SABESP – 2018) 
O preço da gasolina em um posto sofreu três aumentos consecutivos: o primeiro, de 20%; o segundo, de 10%; 
e o terceiro, de 5%. Comparando o preço após o terceiro aumento com o preço antes do primeiro aumento, 
temos que o aumento percentual total foi de, aproximadamente, 
(A) 55%. 
(B) 35%. 
(C) 39%. 
(D) 43%. 
(E) 30%. 
RESOLUÇÃO: 
Seja P o preço inicial da gasolina. Com o primeiro aumento passa a ser 1,2P. Com o segundo aumento, de 10%, 
fica: 1,1 x 1,2P = 1,32P. Com o terceiro aumento, de 5%, o preço passa a ser: 1,05 x 1,32P = 1,386P. 
Em relação ao preço antes do aumento, há um acréscimo de 0,386 = 38,6% = 39% (aproximadamente). 
Resposta: C 
 
 
80. FCC – SABESP – 2018) 
O preço de um automóvel, à vista, é de R$ 36.000,00 e um certo financiamento permite que esse mesmo 
automóvel seja pago em 18 parcelas mensais idênticas de R$ 2.200,00. Sendo assim, optando por financiar a 
compra do automóvel, o valor total a ser pago pelo automóvel, em relação ao preço à vista, aumentará em 
 (A) 22%. 
(B) 20%. 
(C) 12%. 
(D) 10%. 
(E) 15%. 
RESOLUÇÃO: 
O preço total parcelado será de 18 x 2200 = 39.600 reais. O preço à vista é de 36.000 reais. Logo: 
39600/36000 = 1,1 
Portanto, o preço parcelado aumentará 10% em relação ao preço à vista. 
Resposta: D 
 
 
 
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81. FCC – TRT/PE – 2018) 
Em um determinado departamento, todos os funcionários são ou advogados, ou economistas, ou advogados 
e economistas. Sabe-se que 5 funcionários são apenas economistas, e que 15 funcionários são advogados, 
sendo que parte destes também são economistas. Se 45% dos funcionários desse departamento são 
advogados e economistas, então o número de funcionários do departamento que são apenas advogados é igual 
a 
(A) 7. 
(B) 8. 
(C) 4. 
(D) 5. 
(E) 6 
RESOLUÇÃO: 
Veja que temos 15 funcionários que são advogados (sendo que parte deles é também economista). Somando-
os com aquelas pessoas que são SOMENTE economistas (5), temos o total 15+5 = 20 pessoas. Sabemos que 
45% deste total tem ambas as profissões, ou seja, 45% x 20 = 0,45 x 20 = 9 pessoas têm ambas as profissões. 
Logo, são SOMENTE advogados 15 – 9 = 6 pessoas. 
Resposta: E 
 
 
82. FCC – TRT/PE – 2018) 
Uma mercadoria comprada por R$ 1.400,00 será vendida com lucro de 20% sobre o preço de compra acrescido 
com 15% de imposto. Nessas condições, o preço de venda dessa mercadoria, deve ser igual a 
(A) R$ 1.540,00. 
(B) R$ 1.442,00. 
(C) R$ 1.932,00 
(D) R$ 1.890,00. 
(E) R$ 1.952,00. 
RESOLUÇÃO: 
Dando um aumento de 20%, chegamos em 1400 x 1,20 = 1680 reais. Com um aumento de 15%, chegamos em 
1680 x 1,15 = 1932 reais. Este é o valor final. 
Resposta: C 
 
 
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83. FCC – TRT/PE – 2018) 
Quatro quintos dos processos de uma comarca são da área civil e três oitavos desses processos são da regional 
sul da comarca. A porcentagem de processos da comarca que são da área civil e da regional sul é igual a 
(A) 42%. 
(B) 20%. 
(C) 45%. 
(D) 12%. 
(E) 30% 
RESOLUÇÃO: 
Sendo P processos, sabemos que 4/5 são da área civil, ou seja, 4P/5 são dessa área. Destes, 3/8 são da regional 
sul, ou seja, 
área civil e regional sul = (3/8) x 4P/5 = 12P/40 = 3P/10 = 0,3P = 30%.P 
Ou seja, 30% dos processos são da área civil e regionalsul. 
Resposta: E 
 
84. FCC – TRT/PE – 2018) 
Ao comprar um produto de R$ 100,00, foram oferecidos para Clóvis dois planos de pagamento. No primeiro 
plano, ele pagaria no momento da compra, à vista, e receberia um desconto de 4%. No segundo plano, ele 
pagaria os R$ 100,00 em duas parcelas de R$ 50,00, sendo a primeira após 30 dias da compra, e a segunda após 
60 dias da compra. Clóvis tem ao seu dispor um investimento que rende 3% a cada 30 dias. Clóvis escolheu o 
plano que mais o favorecia e realizou a compra. Comparando-se os dois planos, é correto concluir que a escolha 
de Clóvis o favoreceu em, aproximadamente, 
(A) R$ 0,35 
(B) R$ 1,32. 
(C) R$ 0,63. 
(D) R$ 1,15. 
(E) R$ 0,84. 
RESOLUÇÃO: 
Pagando a vista, Clóvis tem 4% de desconto, pagando 100 x (1-4%) = 100 x (1 – 0,04) = 100 x 0,96 = 96 reais. 
Assim, sobram 4 reais. Aplicando este valor, ele ganha 3% no primeiro mês, ficando com 4 x (1+3%) = 4 x 1,03 = 
4,12. No segundo mês, ele ganha 3% em relação ao que tinha, ficando com 4,12×1,03 = 4,24 reais. 
Se for pagar a prazo, durante o primeiro mês 0s 100 reais vão render 3%, chegando ao montante de 100 x 1,03 
= 103 reais. Pagando 50 reais, sobram 103 – 50 = 53 reais. Este valor rende 3% no mês seguinte, chegando a 
53×1,03 = 54,59 reais. Pagando 50 reais, sobram 4,59 reais. 
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A diferença entre o valor economizado em cada caso é de 4,59 – 4,24 = 0,35 reais. Veja que vale a pena pagar a 
prazo. 
Resposta: A 
 
85. FCC – ALESE – 2018) 
Em relação a uma campanha de vacinação, a secretaria de saúde de um município informou que 90% das 
crianças do município já foram vacinadas e que todos os matriculados na rede municipal de ensino são 
moradores do município e receberam a vacina. A partir dessas informações, é correto concluir que, 
necessariamente, 
(A) as crianças que não estão matriculadas na rede municipal de ensino representam 10% do total. 
(B) 10% das crianças matriculadas na rede municipal de ensino ainda precisam ser vacinadas. 
(C) ainda falta vacinar 10% das crianças que não estão matriculadas na rede municipal de ensino. 
(D) nem todas as crianças do município estão matriculadas na rede municipal de ensino. 
(E) nem todas as crianças matriculadas na rede municipal de ensino foram vacinadas. 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que 90% das crianças foram vacinadas, de modo que 10% NÃO foram vacinadas. Esses 10% de 
crianças não vacinadas certamente NÃO estudam na rede municipal, pois todo mundo que estuda na rede 
municipal recebeu vacina. Ou seja, nem todas as crianças estão matriculadas na rede municipal. 
Resposta: D 
 
86. FCC – ARTESP – 2017) 
Uma sala possui área de 50 m2. Se um tapete ocupa 2.000 cm2 da sua área, então, a porcentagem de área da 
sala não ocupada por esse tapete é igual a 
(A) 96%. 
(B) 97,5%. 
(C) 60%. 
(D) 99,6%. 
(E) 4%. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que 50m2 = 50 x 100 dm2 = 50 x 100 x 100 cm2 = 500.000 cm2. 
 Assim, a porcentagem da sala ocupada pelo tapete é: 
P = 2000 / 500.000 = 2 / 500 = 4 / 1000 = 0,4 / 100 = 0,4% 
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 A área não ocupada pelo tapete é 100% – 0,4% = 99,6% 
Resposta: D 
 
87. FCC – TST – 2017) 
A equipe de segurança de um Tribunal conseguia resolver mensalmente cerca de 35% das ocorrências de dano 
ao patrimônio nas cercanias desse prédio, identificando os criminosos e os encaminhando às autoridades 
competentes. Após uma reestruturação dos procedimentos de segurança, a mesma equipe conseguiu 
aumentar o percentual de resolução mensal de ocorrências desse tipo de crime para cerca de 63%. De acordo 
com esses dados, com tal reestruturação, a equipe de segurança aumentou sua eficácia no combate ao dano 
ao patrimônio em 
(A) 35%. 
(B) 28%. 
(C) 63%. 
(D) 41%. 
(E) 80%. 
RESOLUÇÃO: 
Imagine que haviam 100 ocorrências mensais. Antes eram resolvidas 35, agora são 63. O aumento foi de 63 – 
35 = 28 casos. Portanto, o aumento percentual na eficácia foi de: 
Aumento percentual = aumento / inicial 
Aumento percentual = 28 / 35 
Aumento percentual = 4 / 5 
Aumento percentual = 0,80 = 80% 
Resposta: E 
 
88. FCC – FUNAPE – 2017) 
Uma motocicleta foi vendida por R$18.500,00, com lucro de 8% sobre a venda. O custo desta motocicleta foi 
de 
(A) R$ 16.480,00. 
(B) R$ 17.340,00. 
(C) R$ 18.010,00. 
(D) R$ 16.760,00. 
(E) R$ 17.020,00. 
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RESOLUÇÃO: 
O lucro foi de 8% do preço de venda. Ou seja, 
Lucro = 8% x 18500 = 0,08 x 18500 = 8 x 185 = 1480 reais 
O custo é, portanto: 
Custo = preço de venda – lucro 
Custo = 18500 – 1480 = 17020 reais 
Resposta: E 
 
89. FCC – DPE/RS – 2017) 
Sabe-se que em uma empresa, 19% dos funcionários se deslocam para o trabalho utilizando automóvel. Os 
demais funcionários, em número de 1053, utilizam transporte público, bicicleta ou se deslocam para o trabalho 
caminhando. O número de funcionários que utilizam automóvel para se deslocar para o trabalho é 
(A) 263 
(B) 247 
(C) 195 
(D) 321 
(E) 401 
RESOLUÇÃO: 
Se 19% se deslocam de automóvel, sabemos que 100% – 19% = 81% se deslocam de outras formas, e eles 
totalizam 1053 pessoas. Ou seja, 
81% ———— 1053 
19% ————- N 
81 x N = 19 x 1053 
N = 19 x 1053 / 81 = 247 pessoas 
Essas são as pessoas que vão de automóvel. 
Resposta: B 
 
90. FCC – DPE/RS – 2017) 
Joaquim investiu em um fundo de investimento. Após um mês esse fundo havia se desvalorizado 10%. Joaquim 
quer retirar seu dinheiro do fundo quando houver uma valorização de 8% em relação ao que ele havia aplicado 
inicialmente. Para que isso aconteça é necessário que esse fundo valorize-se o equivalente a 
(A) 28%. 
(B) 20%. 
(C) 25%. 
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(D) 22%. 
(E) 18%. 
RESOLUÇÃO: 
Suponha que o valor de uma “cota” no fundo de investimentos custava, inicialmente, 100 reais. Com a 
desvalorização de 10%, a cota passou a valor 90 reais. Joaquim quer que o valor da cota chegue a 108 reais, ou 
seja, 8% a mais do que o valor inicial da aplicação. Partindo de 90 reais, para chegar em 108 reais é preciso haver 
um crescimento de 18 reais. 
Percentualmente, o crescimento necessário é de: 
P = 18/90 = 2/10 = 20% 
Resposta: B 
 
91. FCC – TRT/11 – 2017) 
Para um concurso foram entrevistados 970 candidatos, dos quais 527 falam inglês, 251 falam francês, 321 não 
falam inglês nem francês. Dos candidatos entrevistados, falam inglês e francês, aproximadamente, 
(A) 11%. 
(B) 6%. 
(C) 13%. 
(D) 18%. 
(E) 9%. 
RESOLUÇÃO: 
Somando as pessoas que falam inglês (572), as que falam francês (251) e as que não falam nenhum dos idiomas 
(321) temos 527 + 251 + 321 = 1099 pessoas. Veja que este número é superior ao total (970). A diferença é de 
1099 – 970 = 129 pessoas. 
Esta diferença é justamente a intersecção (que é contada duas vezes), ou seja, temos 174 pessoas falando 
ambas as línguas. Em relação ao total, essas pessoas representam: 
P = 129 / 970 
P = 0,132 
P = 13,2% 
Resposta: C 
 
 
 
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92. FCC – TRT/11 – 2017) 
O preço de um sapato, após um aumento de 15%, é R$ 109,25. Se o preço do sapato não tivesse sofrido esse 
aumento de 15%, mas um aumento de 8%, a diferença, em reais, entre os preços do sapato com cada aumento 
seria de 
(A) R$ 7,60. 
(B) R$ 6,65. 
(C) R$ 7,65. 
(D) R$ 5,80.(E) R$ 14,25. 
RESOLUÇÃO: 
Seja P o preço inicial do sapato. Com o aumento de 15% ele foi para 109,25 reais, ou seja, 
P x (1 + 15%) = 109,25 
P x (1 ,15) = 109,25 
P = 109,25 / 1,15 
P = 10925 / 115 
P = 95 reais 
 Com o aumento de 8%, ele iria para: 
95 x (1 + 8%) = 
95 x (1,08) = 
102,6 reais 
 A diferença entre os dois preços é 109,25 – 102,6 = 6,65 reais. 
Resposta: B 
 
93. FCC – TRT/11 – 2017) 
Em 2015 as vendas de uma empresa foram 60% superiores as de 2014. Em 2016 as vendas foram 40% inferiores 
as de 2015. A expectativa para 2017 é de que as vendas sejam 10% inferiores as de 2014. Se for confirmada essa 
expectativa, de 2016 para 2017 as vendas da empresa vão 
(A) diminuir em 5,5%. 
(B) diminuir em 6,25%. 
(C) aumentar em 4%. 
(D) diminuir em 4%. 
(E) diminuir em 4,75%. 
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RESOLUÇÃO: 
Suponha que em 2014 foram vendidos 100 reais. Em 2015 foram vendidos 100 x (1+60%) = 100 x 1,60 = 160 
reais, afinal houve um crescimento de 60%. Em 2016 foram vendidos 160 x (1 – 40%) = 160 x 0,60 = 16 x 6 = 96 
reais, afinal houve uma redução de 40%. Em 2017 a previsão é de vender 10% a menos que em 2014, ou seja, 
vender 100 x (1 – 10%) = 100 x 0,90 = 90 reais. 
Comparando 2016 (96 reais) com 2017 (90 reais), nota-se uma redução de 6 reais. Em relação ao valor inicial 
(96 reais em 2016), a queda percentual é de: 
P = 6 / 96 = 1 / 16 = 0,5 / 8 = 0,25 / 4 = 0,125 / 2 = 0,0625 = 6,25% 
Resposta: B 
 
94. FCC – SEDU/ES – 2016) 
Uma escola possui 250 estudantes homens, 270 estudantes mulheres, 8 professores homens e 12 professoras 
mulheres. 
Sorteando-se ao acaso 5% do total das pessoas citadas, é correto afirmar que o grupo de pessoas sorteadas 
contará com 
(A) no mínimo 24 mulheres. 
(B) no mínimo 12 homens. 
(C) no mínimo 10 estudantes. 
(D) pelo menos 7 estudantes. 
(E) pelo menos 2 professores. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos calcular a quantidade de pessoas dessa escola: 
Total= 250 + 270 + 8 + 12 = 540. 
Dessas, 250+8=258 são homens e 270+12=282 são mulheres. 
Se forem sorteadas 5% das pessoas ao acaso, serão 0,05 x 540 = 27 pessoas. 
Agora, vamos analisar as possibilidades de sorteio: 
Quanto a sair homens e mulheres, podemos ter os dois extremos: sair apenas 27 mulheres e nenhum homem 
ou o contrário. Portanto, nada se pode afirmar e descartamos A e B. 
Quanto a sair estudantes e professores, devemos ficar atentos ao número máximo de professores: 8 homens + 
12 mulheres=20. Dessa forma, pelo menos 7 estudantes serão sorteados para um total de 27 pessoas. 
Resposta: D 
 
 
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95. FCC – SEDU/ES – 2016) 
Em um gráfico de “pizza” composto por três setores, dois deles representam 45% e 36%. O ângulo central do 
terceiro setor desse gráfico mede: 
(A) 29°16’. 
(B) 68°40’. 
(C) 68°24’. 
(D) 18°94’ 
(E) 19°00’. 
RESOLUÇÃO: 
A porcentagem que representa o 3º setor será o que falta para chegar a 100%: 
3º setor= 100 – 45 – 36 = 19% 
Agora, vamos aplicar uma simples Regra de Três: 
Ângulo(Graus) Porcentagem 
360º 100% 
x 19% 
360.19 = 100x 
100x = 6840 
x=68,4º 
Vamos transformar 0,4 graus em minutos: 
Graus Minutos 
1 60 
0,4 y 
y=60.0,4 
y=24 minutos 
Portanto o 3º setor tem um ângulo de 68º24’. 
Resposta: C 
 
96. FCC – TRT/20 – 2016) 
Em um dia de atendimento externo, João atendeu 56 pessoas. No dia seguinte, João atendeu 25% a mais do 
número de pessoas que havia atendido no dia anterior. No terceiro dia, João novamente aumentou o número 
de atendimentos em 30% do número de atendimentos do dia anterior. O número de atendimentos realizados 
por João, nesses três dias, foi igual a 
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(A) 195. 
(B) 217. 
(C) 161. 
(D) 184. 
(E) 111. 
RESOLUÇÃO: 
No segundo dia João atendeu 25% a mais, ou seja: 
Segundo dia = 56 x (1 + 25%) = 56×1 + 56x(1/4) = 56 + 14 = 70 pessoas 
No terceiro dia João atendeu 30% a mais que no segundo dia: 
Terceiro dia = 70 x (1 + 30%) = 70×1 + 70×0,3 = 70 + 21 = 91 pessoas 
Deste modo, nos três dias temos 56 + 70 + 91 = 217 pessoas. 
Resposta: B 
 
97. FCC – TRT/20 – 2016) 
Um comerciante resolveu incrementar as vendas em sua loja e anunciou liquidação de todos os produtos com 
desconto de 30% sobre o preço das etiquetas. Ocorre que, no dia anterior à liquidação, o comerciante havia 
remarcado os preços das etiquetas para cima de forma que o desconto verdadeiro, durante a liquidação, fosse 
de 16% sobre o preço anterior ao aumento com a remarcação. Sendo assim, o aumento do preço feito na 
remarcação das etiquetas no dia anterior à liquidação foi de 
(A) 24%. 
(B) 20%. 
(C) 21%. 
(D) 32%. 
(E) 34% 
RESOLUÇÃO: 
Suponha que um produto custava 100 reais. Ele foi aumentado em p%, passando a custar 100 x (1+p%). Em 
seguida ele sofreu um desconto de 30%, passando a custar 100 x (1+p%) x (1 – 30%). Este preço final 
correspondeu a um desconto de 16% em relação ao preço inicial de 100 reais, ou seja, 84 reais. Isto é: 
84 = 100 x (1+p%) x (1 – 30%) 
84 = 100 x (1+p%) x 0,70 
0,84 = (1+p%) x 0,70 
0,84 / 0,70 = (1+p%) 
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84 / 70 = (1+p%) 
12 / 10 = 1 + p% 
1,2 = 1 + p% 
p% = 0,2 = 20% 
Resposta: B 
 
98. FCC – TRF/3ª – 2016) 
Cristiano e Rodolfo resolveram fazer investimentos ao mesmo tempo. Cristiano investiu um determinado valor 
em reais e Rodolfo investiu 40% a mais do que Cristiano havia investido. Após algum tempo verificou-se que o 
investimento de Cristiano havia valorizado 75% e que o investimento de Rodolfo havia valorizado 60%. Desta 
forma, e neste momento, o montante total desse investimento de Rodolfo é maior que o montante total desse 
investimento de Cristiano em 
(A) 45%. 
(B) 35%. 
(C) 21%. 
(D) 28%. 
(E) 14%. 
RESOLUÇÃO: 
Essa questão pode ser facilmente resolvida atribuindo-se valores. Suponha que Cristiano investiu 100 reais. 
Rodolfo investiu 40% a mais, ou seja, 140 reais. O investimento de Cristiano valorizou 75%, chegando a 175 
reais. O investimento de Rodolfo valorizou 60%, chegando a: 
140 x (1 + 60%) = 140 x 1,60 = 14 x 16 = 224 reais 
Note que o valor final de Rodolfo é 224 – 175 = 49 reais maior que o de Cristiano. Percentualmente, em relação 
ao montante de Cristiano, o de Rodolfo é maior: 
P = 49 / 175 = 7 / 25 = 28 / 100 = 28% 
Resposta: D 
 
99. FCC – TRF/3ª – 2016) 
Uma empresa investiu 3,42 bilhões de reais na construção de uma rodovia. Perto do final da construção a 
empresa solicitou uma verba adicional de 7% do valor investido para terminar a obra. Sabe-se que três oitavos 
desse valor adicional estavam destinados ao pagamento de fornecedores e equivalem, em reais, a 
(A) 89.775,00. 
(B) 897.750.000,00. 
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(C) 8.977.500,00. 
(D) 897.750,00. 
(E) 89.775.000,00. 
RESOLUÇÃO: 
A verba adicional é de 7% de 3,42 bilhões de reais, ou seja: 
Verba adicional = 7% de 3,42 bilhões 
Verba adicional = 7% x 3,42 bilhões 
Três oitavos desta verba adicional correspondem a: 
3/8 da verba adicional = 7% x 3,42 x 3/8 
3/8 da verba adicional = 7% x 0,4275 x 3 
3/8 da verba adicional = 7/100 x 1,2825 
3/8 da verba adicional = 8,9775 / 100 
3/8 da verba adicional = 0,089775 bilhões 
3/8 da verba adicional = 89,775 milhões 
3/8 daverba adicional = 89.775.000 reais 
Resposta: E 
 
100.FCC – TRF/3ª – 2016) 
O senhor A investiu a quantia de x em um produto financeiro que apresentou queda constante e sucessiva de 
10% ao ano por, pelo menos, 10 anos. Simultaneamente, o senhor B investiu a quantia de 27x (27 vezes a 
quantia x) em um produto financeiro que apresentou queda constante e sucessiva de 70% ao ano por, pelo 
menos, 10 anos. A partir do início desses dois investimentos, o número de anos completos necessários para que 
o montante investido pelo senhor A se tornasse maior que o montante investido pelo senhor B é igual a 
(A) 2. 
(B) 4. 
(C) 6. 
(D) 3. 
(E) 5. 
RESOLUÇÃO: 
Após 1 ano, temos: 
Montante A = x . (1 – 10%) = x . 0,9 = 0,9x 
Montante B = 27x . (1 – 70%) = 27x . 0,30 = 8,1x 
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Passado mais um ano, temos: 
Montante A = 0,9x . 0,9 = 0,81x 
Montante B = 8,1x . 0,30 = 2,43x 
Passado mais um ano: 
Montante A = 0,81x . 0,9 = 0,729x 
Montante B = 2,43x . 0,30 = 0,729x 
Veja que o montante B cai mais rapidamente que o montante A, de modo que no terceiro ano eles se igualam. 
Portanto, no 4º ano, o montante B fica menor que o montante A. 
Resposta: B 
 
101.FCC – TRT/14ª – 2016) 
Um comerciante compra certa mercadoria por R$ 149,50 e estabelece o preço de venda levando em 
consideração que ele quer obter um lucro de 20% sobre o preço de venda, e que ele deverá pagar um imposto 
de 15% sobre o mesmo preço de venda. Nas condições dadas, o preço de venda da mercadoria deverá ser, em 
R$, de 
(A) 235,00. 
(B) 202,00. 
(C) 210,00. 
(D) 242,00. 
(E) 230,00. 
RESOLUÇÃO: 
Seja V o preço de venda. O lucro deve ser 20% do preço de venda, ou seja, deve ser 20% x V = 0,20V. O imposto 
é de 15% do preço de venda, ou seja, de 15%xV = 0,15V. Como o preço de custo é de 149,50 reais, podemos 
escrever que: 
Preço de venda = Preço de custo + imposto + lucro 
V = 149,50 + 0,15V + 0,20V 
V – 0,35V = 149,50 
0,65V = 149,50 
V = 149,50 / 0,65 
V = 230 reais 
Resposta: E 
 
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102.FCC – TRT/14ª – 2016) 
Alberto fez uma dieta com nutricionista e perdeu 20% do seu peso nos seis primeiros meses. Nos seis meses 
seguintes Alberto abandonou o acompanhamento do nutricionista e, com isso, engordou 20% em relação ao 
peso que havia atingido. Comparando o peso de Alberto quando ele iniciou a dieta com seu peso ao final dos 
doze meses mencionados, o peso de Alberto 
(A) reduziu 4%. 
(B) aumentou 2%. 
(C) manteve-se igual. 
(D) reduziu 5%. 
(E) aumentou 5%. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos imaginar que, inicialmente, Alberto tinha 100 quilogramas. Perdendo 20% disto, ele ficou com 100 x (1 
– 20%) = 100 x (1 – 0,20) = 100 x 0,80 = 80kg. Ganhando 20% deste novo peso, ele chega a 80x(1 + 20%) = 
80x(1+0,20) = 80x1,20 = 96kg. 
Portanto, repare que no final das contas Alberto ficou com 4kg a menos do que no início (100 – 96 = 4), o que 
significa uma redução percentual de 4/100 = 4%. 
Resposta: A 
 
103.FCC - TRT/PR – 2015) 
Em 2014, para proceder à fusão de suas empresas, os proprietários Antonio, Beto e Carlos decidiram que as 
partes de cada um, na nova sociedade, deveriam ser proporcionais ao faturamentos de suas empresas no ano 
de 2013, que foram, respectivamente, de R$ 150.000,00; R$ 150.000,00 e R$200.000,00. No final do ano de 
2015, entretanto, o sócio Beto estimou que as operações baseadas na estrutura trazida por sua antiga empresa 
estariam sendo responsáveis por cerca de 65% do faturamento da nova empresa. Assim, pleiteou que sua parte 
no negócio passasse a 65% e que os 35% restantes fossem divididos proporcionalmente entre os outros dois, 
de acordo com o faturamento das empresas de Antonio e Carlos em 2013 (ou seja, de acordo com a fração que 
Antonio e Carlos tinham do faturamento total de suas duas empresas em 2013). A aceitação da proposta de 
Beto implicaria que a participação percentual de Carlos no negócio diminuísse de 
(A) 30% para 20% 
(B) 35% para 15%. 
(C) 40% para 20%. 
(D) 40% para 15%. 
(E) 30% para 10%. 
RESOLUÇÃO: 
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Somando as três empresas, tínhamos um faturamento total de 500 mil reais, dos quais 200 mil eram da 
empresa de Carlos. Assim, com a fusão, a participação de Carlos era de P = 200 / 500 = 2/5 = 4/10 = 40%. 
Se Carlos e Antônio precisarem dividir entre si os 35% restantes, podemos dizer que: 
Total a ser dividido -------------------- Faturamento Carlos + Antônio 
Parcela de Carlos ---------------------- Faturamento Carlos 
35% ---------------------- 150.000 + 200.000 
Parcela de Carlos ------ 200.000 
Parcela de Carlos = 35% x 200.000 / (350.000) 
Parcela de Carlos = 35% x 20 / (35) 
Parcela de Carlos = 1% x 20 
Parcela de Carlos = 20% 
Resposta: C 
104.FGV – BANESTES – 2018) 
Mário recebeu certa quantia por um trabalho realizado e fez três despesas: gastou 20% da quantia recebida, 
depois gastou 30% do restante e, em seguida, gastou 40% do restante. 
Em relação à quantia recebida, o gasto total de Mário foi: 
a) 50%; 
b) 58,6%; 
c) 66,4%; 
d) 75,2%; 
e) 90%. 
RESOLUÇÃO: 
Supondo que seja 100 reais a quantia que Mário recebeu inicialmente. Primeiro ele gastou 20%, ou seja, 20 
reais, restando 80 reais. Em seguida, gastou 30% do que restou: 30% de 80 = 0,3 x 80 = 24 reais. Restam 80 – 24 
= 56 reais e ele gasta mais 40% disso: 0,4 x 56 = 22,40 reais. 
No total, portanto, Mário gastou 20 + 24 + 22,40 = 66,4 
Isso representa 66,4% do total. 
Resposta: C 
 
105.FGV – BANESTES – 2018) 
Uma carteira é formada exclusivamente por ações da VALE3 e da PETR4. Da quantidade total de ações dessa 
carteira, 75% correspondem a PETR4. 
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Novas ações da VALE3 foram adquiridas e incorporadas a essa carteira. Com isso, a quantidade de ações da 
VALE3 na carteira aumentou 50%. 
Com relação à nova quantidade total de ações na carteira, as da PETR4 passaram a representar, 
aproximadamente: 
 a) 50%; 
 b) 57%; 
 c) 60%; 
 d) 63%; 
 e) 67%. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos supor que existam 100 ações divididas entre VALE3 e PETR4. 75% correspondem Às ações da PETR4, 
logo 75 ações. Portanto, 25 ações são da VALE3. 
Foram compradas mais 50% das ações da VALE3, logo: 50% x 25 = 12,5 ações. O total de ações passa a ser, 
portanto 100 + 12,5 = 112,5 ações. 
As ações da PETR4 passam a representar, em porcentagem, um total de: 
P = 75/112,5 = 0,67 % 
Note que você não precisava imaginar que eram 100 ações iniciais. Eu faço isso para tornar o cálculo mais 
agradável, e você compreender melhor. Mas suponha que eram N ações. A VALE3 tinha, então 0,25N e a 
PETR4, 0,75N. Com o aumento de 50%, a VALE3 passou a ter 1,5 x 0,25 = 0,375N. Logo, o total de ações passa 
a ser 0,375N + 0,75N = 1,125N. Portanto, e, porcentagem, a PETR4 passa a ter 0,75N/1,125N = 0,67. Você pode 
resolver atribuindo valores ou trabalhando com variáveis (“letras”), ok? 
Resposta: E 
 
106.FGV – ICMS/RO – 2018) 
Para obter tonalidades diferentes de tintas de cor cinza misturam-se quantidades arbitrárias de tintas de cores 
branca e preta. José possui 150 ml de uma tinta cinza que contém apenas 10% de tinta branca. Assinale a opção 
que indica a quantidade de tinta branca que José deve acrescentar à tinta que possui, de forma que a nova 
mistura contenha 40% de tinta branca. 
(A) 45 ml. 
(B) 60 ml. 
(C) 75 ml. 
(D) 90 ml. 
(E) 105 ml. 
RESOLUÇÃO: 
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 A quantidade de tinta branca inicial é 10% de 150ml = 15ml. Pede-se para acrescentar mais uma quantidade “x” 
de tinta branca, de modo que ela passe a representar 40% da mistura cinza. 
Atenção, que agora o volume de tinta cinza será (150 + x)ml. Vamos aplicar uma regra de três: 
150 + x ml ---- 100% 
15 + x ---- 40% 
 
40(150 + x) = 100(15 + x) 
4(150 + x)=10(15 + x) 
600+4x=150+10x 
10x-4x=600-150 
6x=450 
x=75 ml 
Resposta: C 
107.FGV – CGM NITERÓI – 2018) 
Sérgio tem 50% mais figurinhas das seleções da Copa do Mundo do que Alice. Sheila tem 25% menos figurinhas 
do que Alice. Conclui-se que 
 (A) Sérgio tem 20% mais figurinhas do que Sheila. 
(B) Sérgio tem 25% mais figurinhas do que Sheila. 
(C) Sérgio tem 50% mais figurinhas do que Sheila. 
(D) Sérgio tem 75% mais figurinhas do que Sheila. 
(E) Sérgio tem 100% mais figurinhas do que Sheila. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos supor que a quantidade de figurinhas de Alice seja 100. As quantidades de Sérgio e Sheila serão: 
Sérgio = 100 + 50% x 100 = 150 
Sheila = 100 – 25% x 100 = 75 
Logo, Sérgio possui 75 figurinhas a mais do que Sheila. Em porcentagem, fica: 
Figurinhas a mais/Figurinhas de Sheila = 75/75 = 1 = 100% 
Resposta: E 
108.FGV – SEPOG/RO – 2017) 
Uma máquina copiadora A faz 20% mais cópias do que uma outra máquina B, no mesmo tempo. 
A máquina B faz 100 cópias em uma hora. 
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A máquina A faz 100 cópias em 
(A) 44 minutos. 
(B) 46 minutos. 
(C) 48 minutos. 
(D) 50 minutos. 
(E) 52 minutos. 
RESOLUÇÃO: 
A máquina A faz 20% cópias a mais do que a máquina B, em um mesmo intervalo de tempo. Portanto, se B faz 
100 cópias em 1 hora, A faz: 
100 +20%100= 120 cópias 
A questão pede em quantos minutos a máquina A faz 100 cópias. Basta fazer uma regra de três: 
120 cópias ---- 60 minutos 
100 cópias ---- x minutos 
120x=60.100 
120x=6000 
X= 50 minutos 
Resposta: D 
109.FGV – IBGE – 2017) 
Moacir entrevistou os funcionários de uma empresa que foram admitidos nos últimos cinco anos e anotou o 
ano em que cada um ingressou na empresa. O quadro abaixo mostra a marcação que Moacir fez para obter as 
quantidades de funcionários admitidos em cada ano a partir de 2012. 
 
Desse grupo de funcionários, a porcentagem dos que foram admitidos depois de 2014 é: 
(A) 30%; 
(B) 32%; 
(C) 36%; 
(D) 40%; 
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(E) 45%. 
RESOLUÇÃO: 
O total de funcionários admitidos a cada ano é de 12, 16, 20, 24 e 8, totalizando 80. Destes, os admitidos 
após 2014 são 24+8 = 32. Percentualmente, eles representam: 
P = Admitidos após 2014/Total 
P = 32/80 = 4/10 = 40% 
Resposta: D 
 
110.FGV – IBGE – 2017) 
Em certo município foi feita uma pesquisa para determinar, em cada residência, quantas crianças havia até 10 
anos de idade. O resultado está na tabela a seguir: 
 
Em relação ao total de residências pesquisadas, as que possuem somente uma ou duas crianças representam: 
(A) 55,0%; 
(B) 57,5%; 
(C) 60,0%; 
(D) 62,5%; 
(E) 64,0%. 
RESOLUÇÃO: 
Veja na tabela que as residências com somente 1 criança são 44, e as residências com 2 crianças são 56. Logo, 
as residências com uma ou duas crianças são 44 + 56 = 100. 
O total de residências é 25 + 44 + 56 + 20 + 12 + 3 = 160. Logo, o percentual de residências com uma ou duas 
crianças é: 
P = 100 / 160 = 10 / 16 = 5 / 8 = 2,5 / 4 = 1,25 / 2 = 0,625 = 62,5% 
Resposta: D 
 
 
 
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111.FGV – IBGE – 2017) 
Ana e Beto correm em uma pista oval. Eles partiram ao mesmo tempo e no mesmo sentido da pista, mas Ana 
corre na frente, pois é 20% mais rápida do que Beto. Quando Ana ultrapassar Beto pela primeira vez, o número 
de voltas na pista que ela terá completado é: 
(A) 5; 
(B) 6; 
(C) 8; 
(D) 9; 
(E) 10. 
RESOLUÇÃO: 
Como Ana corre 20% a mais que Beto, isto significa que quando Beto tiver dado 1 volta, Ana terá dado 1,2 volta. 
Após Beto dar 2 voltas, Ana terá dado 2,4 voltas. Após 3 voltas de Beto, Ana terá dado 3,6 voltas. Após 4 voltas 
de Beto, Ana terá dado 4,8. E após 5 voltas de Beto, Ana terá dado 6 voltas. Veja que, neste momento, eles se 
encontraram. 
Assim, quando Ana ultrapassa Beto, ela já deu 6 voltas (e ele 5). 
Resposta: B 
 
Fim de aula. Até o próximo encontro! 
Saudações, 
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Lista de questões da aula 
1. FCC – SABESP – 2018) 
Os canos de PVC são classificados de acordo com a medida de seu diâmetro em polegadas. Dentre as 
alternativas, aquela que indica o cano de maior diâmetro é 
 (A) 5/8. 
 (B) 1/2. 
 (C) 1 ¼. 
 (D) 3/4. 
 (E) 1 ½. 
 
2. FCC – SABESP – 2018) 
Dez amigos decidiram viajar por 5 dias e se reuniram para fazer o planejamento das despesas. Após pesquisar, 
optaram por alugar um chalé grande o suficiente para comportá-los, por um total de R$ 12.370,00 pelos 5 dias 
de estadia. Dois dias antes da viagem, porém, um dos amigos teve um imprevisto e comunicou que não poderia 
viajar. Como o chalé já estava alugado, os outros amigos tiveram de arcar com um custo adicional. A expressão 
numérica que melhor representa o custo adicional de estadia é 
(A) 
12370
9
 - 
12370
10
 
(B) 
12370
10
 - 
12370
9
 
(C) 
12370
10
 ÷ 5 
(D) 
12370
10
 
(E) 
12370
9
 
 
3. FCC – ALESE – 2018) 
Cinco amigos disputaram um jogo composto de várias rodadas, cada uma com um único vencedor. Em todas 
as rodadas, com exceção da última, apenas o vencedor pontuava, recebendo 5 pontos. Na última rodada, o 
vencedor ganhava 8 pontos, o segundo colocado recebia 3 pontos e os demais jogadores não pontuavam. Ao 
final, cada jogador somou as pontuações recebidas por ele e anotou o resultado na tabela a seguir. 
 
Um único desses cinco jogadores errou a soma das pontuações que recebeu. Esse jogador foi 
(A) o Beto. 
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(B) a Gabi. 
(C) a Flávia. 
(D) o Lucas. 
(E) a Manuela. 
 
4. FCC – TRT/PE – 2018) 
O maior valor monetário, em reais, de três notas de valores diferentes e três moedas de valores diferentes é 
igual a 
(A) 81,75. 
(B) 171,75 
(C) 110,50. 
(D) 171,25. 
(E) 171,60. 
 
5. FCC – TRT/PE – 2018) 
Exatamente ¼ das vagas de uma faculdade são destinadas aos cursos de humanas, e exatamente 1/8 das vagas 
destinadas aos cursos de humanas são do período noturno. Sabendo-se que o total de vagas dessa faculdade é 
um número inteiro positivo entre 420 e 470, então o número de vagas dessa faculdade destinadas aos cursos 
de humanas é igual a 
(A) 108. 
(B) 124. 
(C) 112 
(D) 120. 
(E) 104. 
 
6. FCC – TRT/PE – 2018) 
Um Analista Judiciário precisa distribuir certo número de tarefas por 17 funcionários. Distribuindo-se 13 tarefas 
por funcionário irão sobrar 4 tarefas sem serem distribuídas entre os funcionários. Se a mesma quantidade de 
tarefas fosse distribuída igualmente por 24 funcionários, cada funcionário receberia 9 tarefas e sobrariam, sem 
serem distribuídas entre os funcionários, um total de tarefas igual a 
(A) 3. 
(B) 7. 
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(C) 9(D) 6. 
(E) 8. 
 
7. FCC – TRT/PE – 2018) 
O número natural x possui, ao todo, três divisores positivos distintos. O número natural y possui, ao todo, três 
divisores positivos distintos. O produto x . y é um número natural maior que 30 e menor que 40. A soma x + y é 
igual a 
(A) 12. 
(B) 14. 
(C) 13 
(D) 16. 
(E) 19. 
 
8. FCC – DETRAN/MA – 2018) 
Em cada ciclo, um semáforo permanece verde por 70 segundos, depois amarelo por 5 segundos e, finalmente, 
vermelho por 35 segundos. Enquanto o semáforo está vermelho, um orientador de trânsito deve posicionar 
uma bandeira com a indicação “Pare” em frente à faixa de pedestres, voltada aos motoristas. Exatamente um 
segundo antes das 17 horas, o semáforo iniciou um novo ciclo, ficando verde. Dessa forma, o número de vezes 
que o orientador teve de posicionar sua bandeira em frente à faixa de pedestres no período das 17 às 17h30 foi 
igual a 
(A) 17. 
(B) 18. 
(C) 14. 
(D) 15. 
(E) 16. 
 
9. FCC – DPE/RS – 2017) 
Sabendo que o número decimal F é 0,8666 . . . , que o número decimal G é 0,7111 . . . e que o número decimal H 
é 0,4222 . . . , então, o triplo da soma desses três números decimais, F, G e H, é igual a 
(A) 6,111 . . . 
(B) 5,888 . . . 
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(C) 6 
(D) 3 
(E) 5,98 
 
10. FCC – PM/AP – 2017) 
Ao pagar a conta em uma padaria, Teodoro deu uma nota de 10 reais. O atendente do caixa pegou a nota e 
perguntou se ele teria 50 centavos para facilitar o troco, ao que Teodoro deu a ele os 50 centavos solicitados. 
Depois disso, Teodoro recebeu de troco uma nota de 2 reais. O valor da conta paga por Teodoro nessa padaria 
foi de 
(A) R$ 9,00. 
(B) R$ 8,50. 
(C) R$ 9,50. 
(D) R$ 7,00. 
(E) R$ 7,50. 
 
11.FCC – FUNAPE – 2017) 
Em um programa de ampliação do acervo das bibliotecas públicas de um município, foram comprados R$ 
960,00 de livros ao custo unitário de R$ 24,00 e, com o dobro desse dinheiro, foram comprados livros ao custo 
unitário de R$ 16,00. O custo médio unitário dos livros comprados nesse programa foi igual a 
(A) R$ 18,00. 
(B) R$ 20,00. 
(C) R$ 22,00. 
(D) R$ 21,00. 
(E) R$ 17,00. 
 
12. FCC – FUNAPE – 2017) 
Em um caminho há 21 caixas dispostas em uma linha reta. Cada caixa está a 10 metros de distância da caixa 
seguinte. Partindo de uma caixa em um dos extremos dessa linha reta, Roberto tem a tarefa de levar todas as 
caixas até a posição em que está a caixa do meio. Se Roberto transportar apenas uma caixa de cada vez, e evitar 
percursos desnecessários, a distância percorrida por ele ao concluir a tarefa, em metros, será igual a 
(A) 2.200. 
(B) 1.900. 
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(C) 1.800. 
(D) 2.000. 
(E) 2.100. 
 
13. FCC – TRT/20 – 2016) 
Manoel e Dolores precisavam classificar um grande número de processos. Manoel começou antes do que 
Dolores e ao final do dia havia classificado 3/8 do total de processos. Dolores trabalhou mais rápido do que 
Manoel e ao final do dia havia classificado 1/3 de processos a mais do que aqueles que Manoel havia classificado. 
Após esse dia de trabalho de Manoel e Dolores, é correto afirmar que 
(A) ainda faltam 1/4 dos processos para serem classificados. 
(B) eles terminaram a tarefa. 
(C) ainda faltam 1/8 dos processos para serem classificados. 
(D) eles classificaram 17/24 dos processos. 
(E) eles classificaram apenas metade dos processos. 
 
14. FCC – TRF/3ª – 2016) 
A diferença entre o menor número natural ímpar com cinco divisores positivos distintos e o menor número 
natural par, também com cinco divisores positivos distintos, é igual a 
(A) 39. 
(B) 27. 
(C) 83. 
(D) 65. 
(E) 41. 
 
15. FCC – TRF/3ª – 2016) 
Em uma empresa, um funcionário deve cumprir exatas 8 horas de trabalho em um dia. Certo dia, um funcionário 
trabalhou 2 horas e 14 minutos; em seguida trabalhou outras 3 horas e 38 minutos. A fração da carga diária de 
tempo de trabalho que esse funcionário ainda deve cumprir nesse dia é igual a 
(A) 
4
15
 
(B) 
1
4
 
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(C) 
3
5
 
(D) 
3
8
 
(E) 
7
20
 
 
16. FCC – MANAUSPREV – 2015) 
Considere as expressões numéricas, abaixo. 
1 1 1 1 1
2 4 8 16 32
A      e 
1 1 1 1 1
3 9 27 81 243
B      
O valor, aproximado, da soma entre A e B é 
(A) 1. 
(B) 2,5. 
(C) 1,5. 
(D) 2. 
(E) 3. 
 
17. FCC – MANAUSPREV – 2015) 
Excetuando-se o 1, sabe-se que o menor divisor positivo de cada um de três números naturais diferentes são, 
respectivamente, 7; 3 e 11. Excetuando-se o próprio número, sabe-se que o maior divisor de cada um dos três 
números naturais já citados são, respectivamente, 11; 17 e 13. A soma desses três números naturais é igual a 
(A) 271. 
(B) 159. 
(C) 62. 
(D) 303. 
(E) 417. 
 
18. FCC – CNMP – 2015) 
Renato recebeu um lote de 6.325 peças idênticas que devem ser organizadas em grupos de 73 peças. O menor 
número de peças que ele terá que descartar do lote para que consiga fazer o maior número possível de grupos 
é igual a 
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(A) 47. 
(B) 38. 
(C) 33. 
(D) 26. 
(E) 13. 
 
19. FCC – CNMP – 2015) 
Sendo F = 1 - {2 - [3 - (4 - 5) - 6] - 7} - 8 e G = 8 - {7 - [6 - (5 - 4) - 3] - 2} - 1, a diferença entre F e G, nessa ordem, é 
igual a 
(A) 8. 
(B) - 8. 
(C) - 4. 
(D) 0. 
(E) 4. 
20. FCC – CNMP – 2015) 
Um livro foi impresso de modo que seu texto ocupou 420 páginas. Cada página foi impressa com 30 linhas. Para 
uma versão mais compacta foi planejado que em cada página seriam impressas 35 linhas. Desta maneira, a 
diferença entre o número de páginas da primeira versão e o número de páginas da versão compacta é igual a 
(A) 60. 
(B) 80. 
(C) 50. 
(D) 90. 
(E) 30. 
21. FGV – BANESTES – 2018) 
Na igualdade 
3
5
 + 
3
20
 + 
3
25
 = 
x
100
 o valor de x é: 
A) 59 
B) 65 
C) 77 
D) 83 
E) 87 
 
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22. FGV – BANESTES – 2018) 
O resultado da operação 5 + 3 x 7 – 4 é: 
(A) 14. 
(B) 22. 
(C) 24. 
(D) 28. 
(E) 52. 
 
23. FGV – IBGE – 2017) 
Uma corda de 7 metros e 20 centímetros de comprimento foi dividida em três partes iguais. O comprimento de 
cada parte é: 
(A) 2 metros e 40 centímetros; 
(B) 2 metros e 50 centímetros; 
(C) 2 metros e 60 centímetros; 
(D) 2 metros e 70 centímetros; 
(E) 2 metros e 80 centímetros. 
 
24. FGV – IBGE – 2017) 
O valor da expressão 2.(1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7– ... + 2015 – 2016 + 2017) é: 
(A) 2014; 
(B) 2016; 
(C) 2018; 
(D) 2020; 
(E) 2022. 
 
25. FGV – IBGE – 2017) 
Suponha que a#b signifique a - 2b. 
Se 2#(1#N) =12, então N é igual a: 
(A) 1; 
(B) 2; 
(C) 3; 
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(D) 4; 
(E) 6. 
 
26. FGV – IBGE – 2017) 
Em certo concurso inscreveram-se 192 pessoas, sendo a terça parte, homens. Desses, apenas a quarta parte 
passou. O número de homens que passaram no concurso foi: 
(A) 12; 
(B) 15; 
(C) 16; 
(D) 18; 
(E) 20. 
 
27. FGV – SEPOG/RO – 2017) 
Altair tem uma barraca de peixes no mercado e, certo dia, começou sua venda com 24 tambaquis, todos de 
mesmo peso. De manhã vendeu a terça parte por 13 reais cada um e, de tarde, reduziu o preço para 9 reais cada 
peixe e acabou vendendotodos. Nesse dia, Altair arrecadou a quantia de 
(A) 232 reais. 
(B) 236 reais. 
(C) 240 reais. 
(D) 244 reais. 
(E) 248 reais. 
 
28. FGV – MP/BA – 2017) 
Gastão comprou quatro latas de refrigerante. Cada lata custou R$ 2,60 e Gastão pagou com uma nota de R$ 
20,00. Gastão tem que receber um troco de: 
(A) R$ 8,40; 
(B) R$ 8,60; 
(C) R$ 8,80; 
(D) R$ 9,40; 
(E) R$ 9,60. 
 
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29. FGV – SEE/PE – 2016) 
Dados os números: a = 0,34; b = 0,4; c = 0,19 e d = 0,312, a diferença entre o maior desses números e o menor 
deles é 
(A) 0,15. 
(B) 0,21. 
(C) 0,293. 
(D) 0,308. 
(E) 0,31. 
 
30. FGV – SEE/PE – 2016) 
O número de três algarismos: n = 68D é primo. O algarismo D, das unidades, é 
(A) 1. 
(B) 3. 
(C) 5. 
(D) 7. 
(E) 9 
 
31. FGV – CODEBA – 2016) 
Durante três dias, o capitão de um navio atracado em um porto anotou a altura das marés alta (A) e baixa (B), 
formando a tabela a seguir. 
 
A maior diferença entre as alturas de duas marés consecutivas foi 
(A) 1,0. 
(B) 1,1. 
(C) 1,2. 
(D) 1,3. 
(E) 1,4. 
 
 
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32. FGV – SME/SP – 2016) 
Em algumas expressões numéricas, é possível economizar parênteses, colchetes ou chaves sem alterar o 
resultado. 
7² – {[3 x (100 – 4)] + 10}. 
Assinale a opção que indica a expressão numérica com mesmo resultado da expressão acima. 
 a) 7² – 3 x 100 – 4 + 10 
 b) 7² – 3 x 100 – 4 – 10 
 c) 7² – 3 x 100 – 3 x 4 + 10 
 d) 7² – 3 x 100 + 3 x 4 – 10 
 e) 7² – 3 x 100 + 3 x 4 + 10 
 
33. FGV – SEE/PE – 2016) 
Consultando os dados do último censo demográfico, Ana, ao anotar a população de sua cidade, trocou o 
algarismo das dezenas com o algarismo das unidades. Sabe-se que a diferença entre a população correta e a 
população anotada por Ana é um número compreendido entre 50 e 60. A diferença citada é 
(A) 52. 
(B) 54. 
(C) 55. 
(D) 56. 
(E) 57. 
 
34. FGV – SEE/PE – 2016) 
Paula escreveu um número inteiro três vezes e um outro número inteiro quatro vezes. A soma dos sete números 
é 200 e um dos números é 36. O outro número é 
(A) 56. 
(B) 42. 
(C) 32. 
(D) 26. 
(E) 23. 
 
 
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35. FGV – CODEBA – 2016) 
Fernanda tem cinco filhas. Algumas das filhas de Fernanda também têm cinco filhas e as outras não têm filha 
alguma. No total, Fernanda tem 20 filhas e netas e nenhuma bisneta. O número de filhas e netas de Fernanda 
que não têm filhas é 
(A) 10. 
(B) 12. 
(C) 15. 
(D) 17. 
(E) 18. 
 
36. FGV – CODEBA – 2016) 
Hércules recebe R$ 65,00 por dia normal de trabalho e mais R$ 13,00 por hora extra. Após 12 dias de trabalho, 
Hércules recebeu um total de R$ 845,00. Sabendo que Hércules pode fazer apenas uma hora extra por dia, o 
número de dias em que Hércules fez hora extra foi 
(A) 1. 
(B) 3. 
(C) 5. 
(D) 7. 
 
37. FGV – CODEBA – 2016) 
Para quaisquer números reais diferentes x e y, representemos por M(x, y) o maior entre x e y e por m(x, y) o 
menor entre x e y. Sejam a, b, c, d, e números reais tais que a  b c d  e . O valor de M(m(b,d),m(M(a,e),c)) é 
(A) a. 
(B) b. 
(C) c. 
(D) d. 
(E) e. 
 
38. FGV – CODEBA – 2016) 
Certo dia, por causa do engarrafamento, João demorou 4 horas para fazer um percurso que, normalmente, leva 
um quinto desse tempo. Normalmente, João faz esse percurso em 
(A) 45 minutos. 
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(B) 48 minutos. 
(C) 1 hora e 05 minutos. 
(D) 1 hora e 12 minutos. 
(E) 1 hora e 20 minutos. 
 
39. FGV – CODEBA – 2016) 
Uma sequência de números inteiros positivos é formada seguindo três regras. A partir de um número inteiro 
positivo, aplica-se a regra adequada a ele para se obter o segundo termo da sequência. Para cada novo termo 
obtido, aplica-se a regra adequada a ele para se obter o termo seguinte. As três regras são: 
Regra 1: se o inteiro é menor ou igual a 9, multiplique-o por 7; 
Regra 2: se o inteiro é maior do que 9 e par, divida-o por 2; 
Regra 3: se o inteiro é maior do que 9 e ímpar, subtraia 5 dele. 
Na sequência cujo primeiro termo é 16, tem-se que 
(A) o quinto termo é 7. 
(B) o sexto termo é 14. 
(C) o sétimo termo é 49. 
(D) o oitavo termo é 22. 
(E) o nono termo é 44 
 
40. FGV – CODEBA – 2016) 
Quatro máquinas mantêm uma indústria em operação, sem interrupções, 24 horas por dia, 7 dias na semana. 
Das quatro máquinas, há sempre três em operação e uma em manutenção. Nos últimos 30 dias, a manutenção 
foi feita de tal maneira que as quatro máquinas ficaram em operação o mesmo número de horas. Nos últimos 
30 dias, o número de horas que cada máquina ficou em operação foi 
(A) 180. 
(B) 240. 
(C) 360. 
(D) 480. 
(E) 540. 
 
 
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41. FGV – CODEBA – 2016) 
João e Maria estão em uma fila e Maria está à frente de João. Há 8 pessoas à frente de Maria, e 14 pessoas atrás 
dela. Há 7 pessoas atrás de João. O número de pessoas que está à frente de João é 
(A) 13. 
(B) 14. 
(C) 15. 
(D) 16. 
(E) 17. 
 
42. CESPE – SEDUC/AL – 2018) 
A respeito de história da matemática, julgue o item subsequente. 
Em virtude de necessidades contábeis da época, os egípcios tinham a preferência pela utilização das frações 
unitárias, isto é, aquelas em que o número 1 é o numerador. Parte do Papiro de Rhind, um importante registro 
matemático dos egípcios, trata da decomposição de frações a partir de frações unitárias. As frações unitárias 
na forma 1/n sempre podem ser decompostas em exatamente duas frações unitárias, por exemplo, 
1
2
 = 
1
4
 + 
1
4
 . 
Nesse contexto, é correto afirmar que as únicas decomposições da fração unitária 1/4 são 
1
4
 = 
1
8
 + 
1
8
 e 
1
4
 = 
1
6
 + 
1
12
. 
 
43. CESPE – Prefeitura de São Luís/MA – 2017) 
As figuras I e II a seguir ilustram recipientes cilíndricos retos, idênticos, que contêm suco. Em cada recipiente 
foram feitas marcações igualmente espaçadas, mas diferentes nos recipientes I e II. Há mais suco no recipiente 
I que no II. 
 
Nessa situação, a fração do volume que o recipiente I tem a mais que o II é igual a 
a) 8/15 . 
b) 8/13 . 
c) 3/10 . 
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d) 4/3 . 
e) 7/20 . 
 
44. CESPE – MPOG – 2015 – adaptada) 
Determinado órgão público é composto por uma diretoria geral e quatro secretarias; cada secretaria é formada 
por três diretorias; cada diretoria tem quatro coordenações; cada coordenação é constituída por cinco divisões, 
com um chefe e sete funcionários subalternos em cada divisão. A respeito desse órgão público, julgue o item 
seguinte, sabendo que cada executivo e cada funcionário subalterno só pode ocupar um cargo nesse órgão. 
( ) O referido órgão possui mais de 2.000 servidores em suas divisões. 
 
45. CESPE – SEDF – 2014) 
Acerca das propriedades dos conjuntos numéricos, julgue o item a seguir. 
Existem exatamente quatro números inteiros r para os quais a fração 
14
2r+1
 é um número inteiro. 
 
46. CESPE – IBAMA – 2013) 
Julgue os itens subsequentes, relacionados a problemas aritméticos, geométricos e matriciais. 
( ) Considere que, nos primeiros dez dias desse mês, um atleta tenha intensificadoseu treinamento físico, 
executando a seguinte rotina de corrida: nos dias pares, ele percorria o dobro da distância percorrida no dia 
anterior; nos dias ímpares, ele percorria a mesma distância percorrida no dia anterior. Se no décimo dia o atleta 
percorreu 32 km, então no primeiro dia ele percorreu 2 km. 
 
47. CESPE – CORREIOS – 2011) 
Suponha que uma pessoa compre 5 unidades de um mesmo produto, pague com uma nota de R$ 50,00 e receba 
R$ 15,50 de troco. Nessa situação, cada unidade do referido produto custa 
 a) mais de R$ 7,50. 
 b) menos de R$ 3,00. 
 c) mais de R$ 3,00 e menos de R$ 4,50. 
 d) mais de R$ 4,50 e menos de R$ 6,00. 
 e) mais de R$ 6,00 e menos de R$ 7,50. 
 
 
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48. CESPE – CORREIOS – 2011) 
O cálculo do preço para o envio de encomendas por SEDEX depende das localidades de origem e destino e da 
massa da encomenda. Fixados a origem e o destino, o valor é calculado somando-se uma parcela fixa a uma 
quantia proporcional à massa da encomenda, medida em quilogramas. 
Suponha que, no envio, por SEDEX, de encomendas entre as cidades de São Paulo – SP e Rio Branco – AC, a 
parcela fixa seja de R$ 35,10 e a constante de proporcionalidade, R$ 13,20. Com base nessa situação, considere 
o envio, por SEDEX, de duas encomendas de 3 kg cada uma e quatro encomendas de 2 kg cada uma, todas para 
pessoas diferentes, de São Paulo para Rio Branco. Assinale a opção correspondente à expressão numérica que 
representa o valor a ser pago pelo envio dessas encomendas. 
 a) [35,10 + 13,20 × 3] × 2 + [35,10 + 13,20 × 2] × 4 
 b) [35,10 + 13,20] × 3 × 2 + [35,10 + 13,20] × 2 × 4 
 c) [35,10 + 13,20 × 3] + [35,10 + 13,20 × 2] 
 d) [35,10 + 13,20] × [3 × 2 + 2 × 4] 
 e) 35,10 × 3 × 2 + 13,20 × 2 × 4 
 
49. CESPE – MEC – 2009) 
Considerando que, na compra de material escolar, uma pessoa gastou entre R$ 125,00 e R$ 135,00 comprando 
cadernos e frascos de corretor líquido, em um total de 10 unidades dos 2 produtos, que cada caderno custou R$ 
15,00 e que cada frasco de corretor líquido custou R$ 5,00, julgue os itens seguintes. 
( ) O gasto na compra dos frascos de corretor líquido foi superior a R$ 11,00. 
( ) Com o que foi gasto com os cadernos seria possível comprar determinada quantidade de frascos de corretor 
líquido, e essa quantidade é inferior a 25. 
 
50. ESAF – Mtur – 2014) 
Um valor em reais foi distribuído para Sandra e Beto. Sandra ficou com 1/4 do valor e Beto ficou com o restante, 
que corresponde a R$ 4.950,00. Então, o valor que foi distribuído para Sandra e Beto é igual a 
a) R$ 6.500,00 
b) R$ 6.900,00 
c) R$ 6.700,00 
d) R$ 6.800,00 
e) R$ 6.600,00 
 
 
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51. ESAF – FISCAL DO TRABALHO – 2003) 
Um professor de Lógica percorre uma estrada que liga, em linha reta, as vilas Alfa, Beta e Gama. Em Alfa, ele 
avista dois sinais com as seguintes indicações: “Beta a 5 km” e “Gama a 7 km”. Depois, já em Beta, encontra 
dois sinais com as indicações: “Alfa a 4 km” e “Gama a 6 km”. Ao chegar a Gama, encontra mais dois sinais: 
“Alfa a 7 km” e “Beta a 3 km”. Soube, então, que, em uma das três vilas, todos os sinais têm indicações erradas; 
em outra, todos os sinais têm indicações corretas; e na outra um sinal tem indicação correta e outro sinal tem 
indicação errada (não necessariamente nesta ordem). O professor de Lógica pode concluir, portanto, que as 
verdadeiras distâncias, em quilômetros, entre Alfa e Beta, e entre Beta e Gama, são, respectivamente: 
a) 5 e 3 
b) 5 e 6 
c) 4 e 6 
d) 4 e 3 
e) 5 e 2 
52. ESAF – FISCAL DO TRABALHO – 2003) 
Três pessoas, Ana, Bia e Carla, têm idades (em número de anos) tais que a soma de quaisquer duas delas é igual 
ao número obtido invertendo-se os algarismos que formam a terceira. Sabe-se, ainda, que a idade de cada uma 
delas é inferior a 100 anos (cada idade, portanto, sendo indicada por um algarismo da dezena e um da unidade). 
Indicando o algarismo da unidade das idades de Ana, Bia e Carla, respectivamente, por A1, B1 e C1; e indicando 
o algarismo da dezena das idades de Ana, Bia e Carla, respectivamente, por A2, B2 e C2, a soma das idades 
destas três pessoas é igual a: 
a) 3 (A2+B2+C2) 
b) 10 (A2+B2+C2) 
c) 99 – (A1+B1+C1) 
d) 11 (B2+B1) 
e) 3 (A1+B1+C1) 
53. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2009) 
Sejam X, Y e Z três pontos distintos de uma reta. O segmento XY é igual ao triplo do segmento YZ. O segmento 
XZ mede 32 centímetros. Desse modo, uma das possíveis medidas do segmento XY, em centímetros, é igual a: 
a) 27 
b) 72 
c) 35 
d) 63 
e) 48 
 
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54. ESAF – ISS/RJ – 2010) 
Em um conjunto de números inteiros não nulos, há 150 números pares, 160 números ímpares e 120 números 
negativos. Se 80 números pares são negativos, quantos números ímpares são positivos? 
a) 80 
b) 120 
c) 50 
d) 40 
e) 110 
 
55. ESAF – ISS/RJ – 2010) 
A seguir estão representados pelo sistema binário, formado apenas pelos algarismos 0 e 1, os números naturais 
de 0 a 16 em ordem crescente: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 
10000. Qual é o número que corresponde ao binário 111011? 
a) 59 
b) 60 
c) 58 
d) 61 
e) 62 
 
56. ESAF – ISS/RJ – 2010) 
O denominado Índice de Massa Corporal - IMC de uma pessoa é determinado pelo quociente entre o peso P da 
pessoa, medido em kilogramas, e a altura H da pessoa, medida em metros, ao quadrado, isto é IMC = P/H2. 
Determine o valor mais próximo do IMC de uma pessoa com 1,75 m de altura e 70 Kg de peso. 
a) 21,7 
b) 25,2 
c) 26,1 
d) 22,9 
e) 23,8 
 
 
 
 
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57. FUMARC - SEE/MG – 2018) 
Os números complexos apareceram no século XVI motivados pelas resoluções de equações de terceiro e quarto 
graus. Nesse conjunto, qualquer número complexo z, não nulo, admite n raízes enésimas distintas. Os 
argumentos das raízes quartas do número complexo z = 1 + i formam 
(A) uma progressão geométrica de primeiro termo 
𝜋
16
 e razão 
𝜋
2
 
(B) uma progressão geométrica de primeiro termo 
𝜋
4
 e razão 
3𝜋
4
 
(C) uma progressão aritmética de primeiro termo 
𝜋
16
 e razão 
𝜋
2
 
(D) uma progressão aritmética de primeiro termo 
𝜋 
4
 e razão 
3𝜋
4
 
(E) uma progressão aritmética de primeiro termo 
3𝜋
16
 e razão 
7𝜋
16
 
 
58. CESPE – BOMBEIROS/DF – 2011) 
Acerca da função 
2 5
( )
2
z
f z
z



, da variável complexa z = x + yi, em que i é a unidade imaginária, isto é, i é tal 
que i2 = –1, julgue 
os itens que se seguem. 
( ) A parte real de f(2 + 2i) é um número inteiro positivo. 
( ) Existe um único valor de z para o qual f(z) = z. 
 
59. CESPE – SEDUC/AM – 2011 - adaptada) 
Com relação a números complexos, julgue os itens subsequentes. 
 ( ) A parte real do número complexo 
1
1
i
i


 é positiva. 
60. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2011) 
Sendo i a unidade imaginária e escrevendo o complexo 
2(3 )
1
i
z
i



 na forma z = a + bi tem-se que a + b é igual 
a: 
a) -1 
b) 1 
c) 2 
d) 6 
e) 8 
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61. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2011) 
Seja A a imagem, no plano de Argand-Gauss, do número complexo z = 2 + 3i. Fazendo-se uma rotação desta 
imagem, em torno da origem, de 60o no sentido trigonométrico,obtém-se a imagem A’ do número complexo 
 a) – 2 + 3i 
 b) 
3 3 3
1 3
2 2
i
   
         
 
 c) 
3 3 3
1 3
2 2
i
   
           
 
 d) 
2 3 2
1 3
3 3
i
   
         
 
 e) 
3 3 3
3
2 2
i
   
       
   
 
 
62. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) 
Dentre os números complexos abaixo, aquele cujo módulo é igual ao dobro do módulo de z = 4 + 6i é 
 a) i + 3 
 b) 8 - 6i 
 c) 4√3 + 2i 
 d) 6√3 - 10i 
 e) 20 - 4√3i 
 
63. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) 
Sejam w = 3 - 2i e y = m +pi dois números complexos, tais que m e p são números reais e i, a unidade imaginária. 
Se w + y = -1 + 3i, conclui-se que m e p são, respectivamente, iguais a 
a) -4 e +1 
b) -4 e +5 
c) +2 e +1 
d) +2 e +5 
e) +4 e -1 
 
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64. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2008) 
Sejam z1=a+b.i e z2 =b+a.i dois números complexos, com * a E IR e * b E IR . Pode-se afirmar que o produto z1.z2 
é um número cujo afixo é um ponto situado no 
 a) eixo imaginário. 
 b) eixo real. 
 c) 1o quadrante. 
 d) 3o quadrante. 
 e) 4o quadrante. 
 
65. FCC – TRF/2ª – 2012) 
Considere a igualdade x + (4 + y) . i = (6 − x) + 2yi , em que x e y são números reais e i é a unidade imaginária. O 
módulo do número complexo z = x + yi, é um número 
(A) maior que 10. 
(B) quadrado perfeito. 
(C) irracional. 
(D) racional não inteiro. 
(E) primo. 
 
66. FCC – BAHIAGÁS – 2010) 
Considere: 
 
O resultado da operação P + Q é 
 a) 10 + (5 + 5√3)i 
 b) 10 – (15 + 5√3)i 
 c) 15 - 5√3i 
 d) 15 + (10 + 5√3)i 
 e) 15 + 15√3i 
 
 
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67. FCC – TCE/SP – 2010) 
Sabe-se que se i é unidade imaginária do conjunto dos números complexos, então, para cada número natural 
n, a potência in é igual a 1, i, -1 ou –i. Usando essa informação, é correto afirmar que a soma 
50
1
n
n
i

 é igual a: 
a) 0 
b) -1 – i 
c) 1 + i 
d) 1 – i 
e) i – 1 
 
68. CONESUL – CMR/RQ – 2008) 
Assinale a alternativa que corresponde ao inverso do número complexo z = 3 + 2i: 
a) (3 + 2i) / 13 
b) (2 – 3i) / 13 
c) (2 + 3i) / 13 
d) (-2 + 3i) / 13 
e) (3 – 2i) / 13 
 
69. FEPESE – SEA/SC – 2013) 
Seja i = 1 . Analise as afirmativas abaixo: 
1. Se (a+bi)(c+di) é um número real, então ou a = c = 0 ou b = d = 0. 
2. Se z = 2 + i e w é tal que zw = 1, então w = 
2 1
5 5
i . 
3. O número cuja expansão decimal infinita é dada por 0,33333333… é um número racional. 
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas corretas. 
a) É correta apenas a afirmativa 3. 
b) São corretas apenas as afirmativas 1 e 2. 
c) São corretas apenas as afirmativas 1 e 3. 
d) São corretas apenas as afirmativas 2 e 3. 
e) São corretas as afirmativas 1, 2 e 3. 
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70. ESPP – BANPARÁ – 2013) 
O conjugado da razão entre o número complexo z = 4 - 8i e o número complexo de argumento igual a 180° e 
módulo igual a 4 é igual a: 
 a) -1 + 2i 
 b) 1 - 2i 
 c) -1 + 4i 
 d) -1 - 2i 
 e) -1 - 4i 
 
71. ESPP – COBRA – 2013) 
O conjugado da divisão entre os números complexos z1 cujo afixo é (-3,4) e z2 = 
7 7
2. cos .
4 4
i sen
     
    
    
, nessa ordem, é igual a: 
 a) (-7+i) / 2 
 b) (-7- i) / 2 
 c) (7+i) / 2 
 d) (7- i)/2 
 
72. IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) 
Considerando o conjunto numérico que contém as raízes da equação x²+1=0. Os elementos desse conjunto 
numérico tem a forma a+bi, onde a e b são números reais e a unidade imaginária i tem a propriedade i²=−1. As 
informações referem-se ao conjunto dos números: 
a) Racionais 
b) Inteiros 
c) Irracionais 
d) Complexos 
e) Naturais 
 
 
 
 
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73. IDECAN - Colégio Pedro II – 2015) 
Considere os números complexos que satisfazem a equação z³ = ‒ 64. As imagens do complexo z que 
satisfazem essa equação são vértices de um triângulo equilátero 
A) de apótema 4. 
B) de altura 4√3. 
C) de lado 8√3. 
D) de área 12√3. 
74.FCC – CLDF – 2018) 
Em uma empresa, 16% dos funcionários são estrangeiros e os outros são brasileiros. Dentre os brasileiros, 2/3 
nasceram no Distrito Federal, 1/12 veio de São Paulo e o restante é originário de estados da região Nordeste do 
Brasil. Em relação ao total de funcionários da empresa, aqueles que vieram de estados nordestinos 
representam 
a) 28% 
b) 21% 
c) 20% 
d) 24% 
e) 25% 
 
75. FCC – CLDF – 2018) 
Sabe-se que 55% dos empregados de uma empresa são do sexo masculino e 45% são do sexo feminino. 
Verificou-se que 71% do total dos empregados são a favor da implantação de um projeto e que 40% dos 
empregados do sexo feminino são contra. A porcentagem dos empregados do sexo masculino que são a favor 
do projeto é igual a 
a) 66% 
b) 88% 
c) 44% 
d) 80% 
e) 72,5% 
 
76. FCC – SABESP – 2018) 
João é proprietário de um veículo movido a diesel. Ao parar em um posto para abastecer, esqueceu-se de avisar o atendente sobre o 
combustível, sendo que esse completou o tanque do carro com gasolina, em vez de diesel. Constatado o erro, João verificou o manual do 
veículo e descobriu que não haverá danos ao motor se o veículo rodar com uma quantidade de gasolina no tanque inferior a 5% do volume 
total de combustível, considerando diesel e gasolina, os quais se misturam completamente. João sabe que o tanque continha cerca de 5 L 
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de diesel puro antes do erro de abastecimento, que 45 L de gasolina pura foram adicionados no abastecimento e que, ao esgotar o tanque, 
sempre sobram 5 L de combustível, os quais não é possível eliminar. 
João decide esgotar o tanque e, em seguida, completá-lo com diesel puro, de modo a diluir a quantidade de gasolina presente. 
Para que o veículo não tenha danos ao motor, João terá que fazer esse procedimento, no mínimo, 
(A) cinco vezes. 
(B) quatro vezes. 
(C) duas vezes. 
(D) três vezes. 
(E) uma vez. 
 
77. FCC – SABESP – 2018) 
A prefeitura de uma cidade anuncia que, no ano de 2017, recapeou 60% das avenidas da cidade e se 
compromete a recapear, em 2018, 80% das avenidas restantes. De 2017 para 2018, a quantidade de avenidas 
dessa cidade não se alterou. Sendo assim, em 2018, do total de avenidas da cidade, a prefeitura deverá recapear 
(A) 20%. 
(B) 80%. 
(C) 32%. 
(D) 56%. 
(E) 42%. 
 
78. FCC – SABESP – 2018) 
Um erro comum no cotidiano ocorre quando uma pessoa acha que, para que um produto que sofreu um 
aumento de 10% volte ao seu valor antes do aumento, ele deve sofrer um desconto de 10%. Para que um 
produto que sofreu um aumento de 20% passe a custar o que custava antes do aumento, o desconto deve ser, 
aproximadamente, 
(A) 83,3%. 
(B) 22,0%. 
(C) 18,5%. 
(D) 13,4%. 
(E) 16,7%. 
 
79. FCC – SABESP – 2018) 
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O preço da gasolina em um posto sofreu três aumentos consecutivos: o primeiro, de 20%; o segundo, de 10%; 
e o terceiro, de 5%. Comparando o preço após o terceiro aumento com o preço antes do primeiro aumento, 
temos que o aumento percentual total foi de, aproximadamente, 
(A) 55%. 
(B)35%. 
(C) 39%. 
(D) 43%. 
(E) 30%. 
 
80. FCC – SABESP – 2018) 
O preço de um automóvel, à vista, é de R$ 36.000,00 e um certo financiamento permite que esse mesmo 
automóvel seja pago em 18 parcelas mensais idênticas de R$ 2.200,00. Sendo assim, optando por financiar a 
compra do automóvel, o valor total a ser pago pelo automóvel, em relação ao preço à vista, aumentará em 
 (A) 22%. 
(B) 20%. 
(C) 12%. 
(D) 10%. 
(E) 15%. 
 
81. FCC – TRT/PE – 2018) 
Em um determinado departamento, todos os funcionários são ou advogados, ou economistas, ou advogados 
e economistas. Sabe-se que 5 funcionários são apenas economistas, e que 15 funcionários são advogados, 
sendo que parte destes também são economistas. Se 45% dos funcionários desse departamento são 
advogados e economistas, então o número de funcionários do departamento que são apenas advogados é igual 
a 
(A) 7. 
(B) 8. 
(C) 4. 
(D) 5. 
(E) 6 
 
82. FCC – TRT/PE – 2018) 
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Uma mercadoria comprada por R$ 1.400,00 será vendida com lucro de 20% sobre o preço de compra acrescido 
com 15% de imposto. Nessas condições, o preço de venda dessa mercadoria, deve ser igual a 
(A) R$ 1.540,00. 
(B) R$ 1.442,00. 
(C) R$ 1.932,00 
(D) R$ 1.890,00. 
(E) R$ 1.952,00. 
 
83. FCC – TRT/PE – 2018) 
Quatro quintos dos processos de uma comarca são da área civil e três oitavos desses processos são da regional 
sul da comarca. A porcentagem de processos da comarca que são da área civil e da regional sul é igual a 
(A) 42%. 
(B) 20%. 
(C) 45%. 
(D) 12%. 
(E) 30% 
 
84. FCC – TRT/PE – 2018) 
Ao comprar um produto de R$ 100,00, foram oferecidos para Clóvis dois planos de pagamento. No primeiro 
plano, ele pagaria no momento da compra, à vista, e receberia um desconto de 4%. No segundo plano, ele 
pagaria os R$ 100,00 em duas parcelas de R$ 50,00, sendo a primeira após 30 dias da compra, e a segunda após 
60 dias da compra. Clóvis tem ao seu dispor um investimento que rende 3% a cada 30 dias. Clóvis escolheu o 
plano que mais o favorecia e realizou a compra. Comparando-se os dois planos, é correto concluir que a escolha 
de Clóvis o favoreceu em, aproximadamente, 
(A) R$ 0,35 
(B) R$ 1,32. 
(C) R$ 0,63. 
(D) R$ 1,15. 
(E) R$ 0,84. 
 
85. FCC – ALESE – 2018) 
Em relação a uma campanha de vacinação, a secretaria de saúde de um município informou que 90% das 
crianças do município já foram vacinadas e que todos os matriculados na rede municipal de ensino são 
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moradores do município e receberam a vacina. A partir dessas informações, é correto concluir que, 
necessariamente, 
(A) as crianças que não estão matriculadas na rede municipal de ensino representam 10% do total. 
(B) 10% das crianças matriculadas na rede municipal de ensino ainda precisam ser vacinadas. 
(C) ainda falta vacinar 10% das crianças que não estão matriculadas na rede municipal de ensino. 
(D) nem todas as crianças do município estão matriculadas na rede municipal de ensino. 
(E) nem todas as crianças matriculadas na rede municipal de ensino foram vacinadas. 
 
86. FCC – ARTESP – 2017) 
Uma sala possui área de 50 m2. Se um tapete ocupa 2.000 cm2 da sua área, então, a porcentagem de área da 
sala não ocupada por esse tapete é igual a 
(A) 96%. 
(B) 97,5%. 
(C) 60%. 
(D) 99,6%. 
(E) 4%. 
 
87. FCC – TST – 2017) 
A equipe de segurança de um Tribunal conseguia resolver mensalmente cerca de 35% das ocorrências de dano 
ao patrimônio nas cercanias desse prédio, identificando os criminosos e os encaminhando às autoridades 
competentes. Após uma reestruturação dos procedimentos de segurança, a mesma equipe conseguiu 
aumentar o percentual de resolução mensal de ocorrências desse tipo de crime para cerca de 63%. De acordo 
com esses dados, com tal reestruturação, a equipe de segurança aumentou sua eficácia no combate ao dano 
ao patrimônio em 
(A) 35%. 
(B) 28%. 
(C) 63%. 
(D) 41%. 
(E) 80%. 
 
88. FCC – FUNAPE – 2017) 
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Uma motocicleta foi vendida por R$18.500,00, com lucro de 8% sobre a venda. O custo desta motocicleta foi 
de 
(A) R$ 16.480,00. 
(B) R$ 17.340,00. 
(C) R$ 18.010,00. 
(D) R$ 16.760,00. 
(E) R$ 17.020,00. 
 
89. FCC – DPE/RS – 2017) 
Sabe-se que em uma empresa, 19% dos funcionários se deslocam para o trabalho utilizando automóvel. Os 
demais funcionários, em número de 1053, utilizam transporte público, bicicleta ou se deslocam para o trabalho 
caminhando. O número de funcionários que utilizam automóvel para se deslocar para o trabalho é 
(A) 263 
(B) 247 
(C) 195 
(D) 321 
(E) 401 
 
90. FCC – DPE/RS – 2017) 
Joaquim investiu em um fundo de investimento. Após um mês esse fundo havia se desvalorizado 10%. Joaquim 
quer retirar seu dinheiro do fundo quando houver uma valorização de 8% em relação ao que ele havia aplicado 
inicialmente. Para que isso aconteça é necessário que esse fundo valorize-se o equivalente a 
(A) 28%. 
(B) 20%. 
(C) 25%. 
(D) 22%. 
(E) 18%. 
 
91. FCC – TRT/11 – 2017) 
Para um concurso foram entrevistados 970 candidatos, dos quais 527 falam inglês, 251 falam francês, 321 não 
falam inglês nem francês. Dos candidatos entrevistados, falam inglês e francês, aproximadamente, 
(A) 11%. 
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(B) 6%. 
(C) 13%. 
(D) 18%. 
(E) 9%. 
 
92. FCC – TRT/11 – 2017) 
O preço de um sapato, após um aumento de 15%, é R$ 109,25. Se o preço do sapato não tivesse sofrido esse 
aumento de 15%, mas um aumento de 8%, a diferença, em reais, entre os preços do sapato com cada aumento 
seria de 
(A) R$ 7,60. 
(B) R$ 6,65. 
(C) R$ 7,65. 
(D) R$ 5,80. 
(E) R$ 14,25. 
 
93. FCC – TRT/11 – 2017) 
Em 2015 as vendas de uma empresa foram 60% superiores as de 2014. Em 2016 as vendas foram 40% inferiores 
as de 2015. A expectativa para 2017 é de que as vendas sejam 10% inferiores as de 2014. Se for confirmada essa 
expectativa, de 2016 para 2017 as vendas da empresa vão 
(A) diminuir em 5,5%. 
(B) diminuir em 6,25%. 
(C) aumentar em 4%. 
(D) diminuir em 4%. 
(E) diminuir em 4,75%. 
 
94. FCC – SEDU/ES – 2016) 
Uma escola possui 250 estudantes homens, 270 estudantes mulheres, 8 professores homens e 12 professoras 
mulheres. 
Sorteando-se ao acaso 5% do total das pessoas citadas, é correto afirmar que o grupo de pessoas sorteadas 
contará com 
(A) no mínimo 24 mulheres. 
(B) no mínimo 12 homens. 
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(C) no mínimo 10 estudantes. 
(D) pelo menos 7 estudantes. 
(E) pelo menos 2 professores. 
 
95. FCC – SEDU/ES – 2016) 
Em um gráfico de “pizza” composto por três setores, dois deles representam 45% e 36%. O ângulo central do 
terceiro setor desse gráfico mede: 
(A) 29°16’. 
(B) 68°40’. 
(C) 68°24’. 
(D) 18°94’ 
(E) 19°00’. 
 
96. FCC – TRT/20 – 2016) 
Em um dia de atendimento externo, João atendeu 56 pessoas. No dia seguinte, João atendeu 25% a mais do 
número de pessoas que havia atendido no dia anterior. No terceiro dia, João novamente aumentou o número 
de atendimentos em 30% do número de atendimentos do dia anterior. O número de atendimentos realizados 
por João, nesses três dias, foi igual a 
(A) 195. 
(B) 217. 
(C) 161. 
(D) 184. 
(E) 111. 
 
97. FCC – TRT/20 – 2016) 
Um comerciante resolveuincrementar as vendas em sua loja e anunciou liquidação de todos os produtos com 
desconto de 30% sobre o preço das etiquetas. Ocorre que, no dia anterior à liquidação, o comerciante havia 
remarcado os preços das etiquetas para cima de forma que o desconto verdadeiro, durante a liquidação, fosse 
de 16% sobre o preço anterior ao aumento com a remarcação. Sendo assim, o aumento do preço feito na 
remarcação das etiquetas no dia anterior à liquidação foi de 
(A) 24%. 
(B) 20%. 
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(C) 21%. 
(D) 32%. 
(E) 34% 
 
98. FCC – TRF/3ª – 2016) 
Cristiano e Rodolfo resolveram fazer investimentos ao mesmo tempo. Cristiano investiu um determinado valor 
em reais e Rodolfo investiu 40% a mais do que Cristiano havia investido. Após algum tempo verificou-se que o 
investimento de Cristiano havia valorizado 75% e que o investimento de Rodolfo havia valorizado 60%. Desta 
forma, e neste momento, o montante total desse investimento de Rodolfo é maior que o montante total desse 
investimento de Cristiano em 
(A) 45%. 
(B) 35%. 
(C) 21%. 
(D) 28%. 
(E) 14%. 
 
99. FCC – TRF/3ª – 2016) 
Uma empresa investiu 3,42 bilhões de reais na construção de uma rodovia. Perto do final da construção a 
empresa solicitou uma verba adicional de 7% do valor investido para terminar a obra. Sabe-se que três oitavos 
desse valor adicional estavam destinados ao pagamento de fornecedores e equivalem, em reais, a 
(A) 89.775,00. 
(B) 897.750.000,00. 
(C) 8.977.500,00. 
(D) 897.750,00. 
(E) 89.775.000,00. 
 
100.FCC – TRF/3ª – 2016) 
O senhor A investiu a quantia de x em um produto financeiro que apresentou queda constante e sucessiva de 
10% ao ano por, pelo menos, 10 anos. Simultaneamente, o senhor B investiu a quantia de 27x (27 vezes a 
quantia x) em um produto financeiro que apresentou queda constante e sucessiva de 70% ao ano por, pelo 
menos, 10 anos. A partir do início desses dois investimentos, o número de anos completos necessários para que 
o montante investido pelo senhor A se tornasse maior que o montante investido pelo senhor B é igual a 
(A) 2. 
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(B) 4. 
(C) 6. 
(D) 3. 
(E) 5. 
 
101.FCC – TRT/14ª – 2016) 
Um comerciante compra certa mercadoria por R$ 149,50 e estabelece o preço de venda levando em 
consideração que ele quer obter um lucro de 20% sobre o preço de venda, e que ele deverá pagar um imposto 
de 15% sobre o mesmo preço de venda. Nas condições dadas, o preço de venda da mercadoria deverá ser, em 
R$, de 
(A) 235,00. 
(B) 202,00. 
(C) 210,00. 
(D) 242,00. 
(E) 230,00. 
 
102.FCC – TRT/14ª – 2016) 
Alberto fez uma dieta com nutricionista e perdeu 20% do seu peso nos seis primeiros meses. Nos seis meses 
seguintes Alberto abandonou o acompanhamento do nutricionista e, com isso, engordou 20% em relação ao 
peso que havia atingido. Comparando o peso de Alberto quando ele iniciou a dieta com seu peso ao final dos 
doze meses mencionados, o peso de Alberto 
(A) reduziu 4%. 
(B) aumentou 2%. 
(C) manteve-se igual. 
(D) reduziu 5%. 
(E) aumentou 5%. 
 
103.FCC - TRT/PR – 2015) 
Em 2014, para proceder à fusão de suas empresas, os proprietários Antonio, Beto e Carlos decidiram que as 
partes de cada um, na nova sociedade, deveriam ser proporcionais ao faturamentos de suas empresas no ano 
de 2013, que foram, respectivamente, de R$ 150.000,00; R$ 150.000,00 e R$200.000,00. No final do ano de 
2015, entretanto, o sócio Beto estimou que as operações baseadas na estrutura trazida por sua antiga empresa 
estariam sendo responsáveis por cerca de 65% do faturamento da nova empresa. Assim, pleiteou que sua parte 
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no negócio passasse a 65% e que os 35% restantes fossem divididos proporcionalmente entre os outros dois, 
de acordo com o faturamento das empresas de Antonio e Carlos em 2013 (ou seja, de acordo com a fração que 
Antonio e Carlos tinham do faturamento total de suas duas empresas em 2013). A aceitação da proposta de 
Beto implicaria que a participação percentual de Carlos no negócio diminuísse de 
(A) 30% para 20% 
(B) 35% para 15%. 
(C) 40% para 20%. 
(D) 40% para 15%. 
(E) 30% para 10%. 
104.FGV – BANESTES – 2018) 
Mário recebeu certa quantia por um trabalho realizado e fez três despesas: gastou 20% da quantia recebida, 
depois gastou 30% do restante e, em seguida, gastou 40% do restante. 
Em relação à quantia recebida, o gasto total de Mário foi: 
a) 50%; 
b) 58,6%; 
c) 66,4%; 
d) 75,2%; 
e) 90%. 
 
105.FGV – BANESTES – 2018) 
Uma carteira é formada exclusivamente por ações da VALE3 e da PETR4. Da quantidade total de ações dessa 
carteira, 75% correspondem a PETR4. 
Novas ações da VALE3 foram adquiridas e incorporadas a essa carteira. Com isso, a quantidade de ações da 
VALE3 na carteira aumentou 50%. 
Com relação à nova quantidade total de ações na carteira, as da PETR4 passaram a representar, 
aproximadamente: 
 a) 50%; 
 b) 57%; 
 c) 60%; 
 d) 63%; 
 e) 67%. 
 
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106.FGV – ICMS/RO – 2018) 
Para obter tonalidades diferentes de tintas de cor cinza misturam-se quantidades arbitrárias de tintas de cores 
branca e preta. José possui 150 ml de uma tinta cinza que contém apenas 10% de tinta branca. Assinale a opção 
que indica a quantidade de tinta branca que José deve acrescentar à tinta que possui, de forma que a nova 
mistura contenha 40% de tinta branca. 
(A) 45 ml. 
(B) 60 ml. 
(C) 75 ml. 
(D) 90 ml. 
(E) 105 ml. 
 
107.FGV – CGM NITERÓI – 2018) 
Sérgio tem 50% mais figurinhas das seleções da Copa do Mundo do que Alice. Sheila tem 25% menos figurinhas 
do que Alice. Conclui-se que 
 (A) Sérgio tem 20% mais figurinhas do que Sheila. 
(B) Sérgio tem 25% mais figurinhas do que Sheila. 
(C) Sérgio tem 50% mais figurinhas do que Sheila. 
(D) Sérgio tem 75% mais figurinhas do que Sheila. 
(E) Sérgio tem 100% mais figurinhas do que Sheila. 
 
108.FGV – SEPOG/RO – 2017) 
Uma máquina copiadora A faz 20% mais cópias do que uma outra máquina B, no mesmo tempo. 
A máquina B faz 100 cópias em uma hora. 
A máquina A faz 100 cópias em 
(A) 44 minutos. 
(B) 46 minutos. 
(C) 48 minutos. 
(D) 50 minutos. 
(E) 52 minutos. 
 
 
 
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109.FGV – IBGE – 2017) 
Moacir entrevistou os funcionários de uma empresa que foram admitidos nos últimos cinco anos e anotou o 
ano em que cada um ingressou na empresa. O quadro abaixo mostra a marcação que Moacir fez para obter as 
quantidades de funcionários admitidos em cada ano a partir de 2012. 
 
Desse grupo de funcionários, a porcentagem dos que foram admitidos depois de 2014 é: 
(A) 30%; 
(B) 32%; 
(C) 36%; 
(D) 40%; 
(E) 45%. 
 
110.FGV – IBGE – 2017) 
Em certo município foi feita uma pesquisa para determinar, em cada residência, quantas crianças havia até 10 
anos de idade. O resultado está na tabela a seguir: 
 
Em relação ao total de residências pesquisadas, as que possuem somente uma ou duas crianças representam: 
(A) 55,0%; 
(B) 57,5%; 
(C) 60,0%; 
(D) 62,5%; 
(E) 64,0%. 
 
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111.FGV – IBGE – 2017) 
Ana e Beto correm em uma pista oval. Elespartiram ao mesmo tempo e no mesmo sentido da pista, mas Ana 
corre na frente, pois é 20% mais rápida do que Beto. Quando Ana ultrapassar Beto pela primeira vez, o número 
de voltas na pista que ela terá completado é: 
(A) 5; 
(B) 6; 
(C) 8; 
(D) 9; 
(E) 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gabarito 
1. E 
2. A 
3. D 
4. B 
5. C 
6. C 
7. C 
8. E 
9. C 
10. B 
11. A 
12. E 
13. C 
14. D 
15. A 
16. C 
17. A 
18. A 
19. B 
20. A 
21. E 
22. B 
23. A 
24. C 
25. C 
26. C 
27. E 
28. E 
29. B 
30. B 
31. B 
32. D 
33. B 
34. E 
35. D 
36. C 
37. C 
38. B 
39. C 
40. E 
41. C 
42. E 
43. E 
44. E 
45. C 
46. E 
47. E 
48. A 
49. EC 
50. E 
51. E 
52. D 
53. E 
54. B 
55. A 
56. D 
57. C 
58. CE 
59. E 
60. D 
61. B 
62. D 
63. B 
64. A 
65. E 
66. D 
67. E 
68. E 
69. D 
70. D 
71. B 
72. D 
73. D 
74. B 
75. D 
76. C 
77. C 
78. E 
79. C 
80. D 
81. E 
82. C 
83. E 
84. A 
85. D 
86. D 
87. E 
88. E 
89. B 
90. B 
91. C 
92. B 
93. B 
94. D 
95. C 
96. B 
97. B 
98. D 
99. E 
100.B 
101.E 
102.A 
103.C 
104.C 
105.E 
106.C 
107.E 
108.D 
109.D 
110.D 
111.B 
112.B 
113.C 
 
 
 
 
 
 
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Resumo direcionado 
CONJUNTO DEFINIÇÃO EXEMPLOS OBSERVAÇÕES 
Números Naturais 
(N) 
Números positivos 
construídos com os 
algarismos de 0 a 9, 
sem casas decimais 
N = {0, 1, 2, 3 …} 
Lembrar que o zero não é 
positivo nem negativo, mas está 
incluído aqui. 
Números Inteiros 
(Z) 
Números naturais 
positivos e negativos 
Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...} 
Subconjuntos: 
Não negativos: {0, 1, 2...} 
Não positivos: {..., -2, -1, 0} 
Positivos: {1, 2, 3...} 
Negativos: { …-3, -2, -1} 
Números 
Racionais (Q) 
Podem ser 
representados pela 
divisão de 2 números 
inteiros 
Frações: , ; 
Números decimais de 
representação finita. Ex.: 
1,25 (igual a ) 
As dízimas periódicas são 
números racionais. Ex.: 
0,333333... ou ou 
 
Números Naturais: 
 Sucessor: é o próximo número natural. 
 Antecessor: é o número natural anterior. 
 Números consecutivos: são números em sequência, como {n-1, n e n+1} 
 Números naturais pares: podem ser representados sempre na forma 2.n 
 Números naturais ímpares: podem ser representados na forma 2n+1 
Números Inteiros: 
 todos os números Naturais são também Inteiros; 
 zero não é positivo e nem negativo, e sim nulo; 
SINAIS NA MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
- números de mesmo sinal: resultado positivo 
- números de sinais diferentes: resultado negativo 
 
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 
 
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Números Racionais: 
 
 Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo denominador, isto é, 
com um denominador comum. Para mudar o denominador, lembre que o mesmo número 
utilizado para multiplicar o denominador deve ser usado para multiplicar o numerador. Igualados 
os denominadores, devemos somar os numeradores e manter o denominador. 
 Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador da outra, e o 
denominador de uma pelo denominador da outra. 
 Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. 
Podemos simplificar frações dividindo o numerador e o denominador pelo MESMO número 
 Se o numerador e o denominador são primos entre si, a fração é irredutível 
 
Trabalhando com frações, podemos substituir a expressão “de” pela multiplicação 
 
Expressões Numéricas: 
1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está entre colchetes, e a seguir o que está entre chaves. 
2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir multiplicação ou divisão, e a seguir resolver 
operações de soma ou subtração. 
 se tivermos operações equivalentes (somas/subtrações, ou multiplicações/divisões) em 
sequência, devemos resolvê-las na ordem que aparecem. 
CONJUNTO DEFINIÇÃO EXEMPLOS OBSERVAÇÕES 
Números 
Irracionais (I) 
Não podem ser 
representados pela 
divisão de 2 números 
inteiros. Infinitas 
casas decimais sem 
repetição. 
Número “pi”: 
Número de Euler: 
e = 2,71828... 
 
Fazem parte dos Números Reais 
Números 
racionais
Frações
Decimais (finitos)
Dízimas
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Números Reais (R) 
Números Racionais e 
Irracionais juntos 
Todos os anteriores 
 
R Q Z N 
e 
R I 
 todas as raízes que não têm valor EXATO são números irracionais; 
 a soma de números irracionais pode gerar um número racional (ex.: somar números irracionais opostos); 
 a soma/subtração entre um número irracional e um número racional tem resultado irracional; 
 a multiplicação entre um racional e um irracional pode ter resultado racional (ex.: se o racional for ZERO); 
 não é possível localizar exatamente a posição de um número irracional na reta numérica; 
 
 um número é divisível por outro quando esta divisão é exata, não deixando resto nem casas decimais. 
Divisor* Critério Exemplos 
1 Todos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... 
2 Números pares (terminados em um algarismo par) 0, 2,4, 28, 490, 522 etc. 
3 Números cuja soma dos algarismos é divisível por 3 0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 (1+5 = 6), etc. 
4 
Se o número formado pelos 2 últimos dígitos for 
divisível por 4 
0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc. 
5 Números terminados em 0 ou 5 0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc. 
6 Números divisíveis por 2 e por 3 0, 6, 12, 924 (é par, e 9+2+4=15) etc. 
9 Números cuja soma dos algarismos é divisível por 9 126 (1+2+6 = 9), 7155 (7+1+5+5=18) etc. 
10 Números terminados em 0 0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc. 
*7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critérios muito difíceis, e praticamente não são cobrados. 
 um número é primo quando ele só pode ser dividido, sem deixar resto, por 1 e por si mesmo; 
 o 2 é o menor número primo, e é o único número primo par; 
 primeiros números primos: 
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...} 
 fatoração é o processo utilizado para escrever qualquer número natural como sendo a multiplicação entre 
números primos; 
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PASSOS PARA CALCULAR O MMC (FATORAÇÃO SIMULTÂNEA): 
1 – Montar tabela com uma coluna para os fatores primos e colunas para cada um dos números; 
2 – Começar a divisão dos números pelo menor fator primo (2) e aumentar quando NENHUM dos números puder ser 
dividido; 
LEMBRANDO QUE: 
a) Se algum dos números não puder ser dividido, basta copiá-lo para a próxima linha; 
b) O objetivo é fazer com que todos os números cheguem ao valor 1; 
c) O MMC será a multiplicação dos fatores primos utilizados. 
 
CÁLCULO DO MMC – FATORAÇÃO SEPARADA DE CADA NÚMERO 
1. Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos; 
2. O MMC será formado pela multiplicação dos fatores COMUNS E NÃO COMUNS dos dois números, de MAIOR expoente. 
 o MMC estará presente naquelas questões que nos apresentam “fenômenos” que ocorrem com 
frequências diferentes, e queremos saber quando eles ocorrerão juntos 
PASSOS PARA CALCULAR O MDC (FATORAÇÃO SIMULTÂNEA): 
1 – Montar tabela com uma coluna para os fatores primos e colunas para cada um dos números; 
2 – Começar a divisão dos números pelo menor fator primo (2) esó utilizar fatores capazes de dividir TODOS os números; 
LEMBRANDO QUE: 
a) Se algum dos números não puder ser dividido, devemos passar para o próximo fator primo; 
b) Quando não houver um fator primo capaz de dividir todos os números, devemos parar o cálculo; 
c) O MMC será a multiplicação dos fatores primos utilizados. 
 
CÁLCULO DO MDC (FATORAÇÃO SEPARADA): 
1 - Decompor cada um dos números em fatores primos; 
2 - O MDC será formado pela multiplicação dos fatores COMUNS de MENOR expoente; 
 o máximo divisor comum é útil em situações onde temos grupos de coisas diferentes e queremos DIVIDIR 
os elementos de cada grupo usando um mesmo fator. 
 
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 no conjunto dos números complexos foi criada a unidade imaginária 1i   
 a sequência i, i2, i3 e i4 é igual a i, -1, -i e 1, respectivamente 
 um número complexo do tipo z a b i   é formado por duas partes: uma parte real (a) e uma 
parte imaginária (b) 
Parte real (a) Parte imaginária (b) Quadrante Exemplo 
Positiva Positiva 1º 3 + 5i 
Negativa Positiva 2º -3 + 5i 
Negativa Negativa 3º -3 -5i 
Positiva Negativa 4º 3 -5i 
Nula (a = 0) Positiva ou negativa Número sobre o eixo imaginário -5i ou 5i 
Positiva ou negativa Nula (b = 0) Número sobre o eixo real -3 ou 3 
 o conjugado do número complexo z = a + bi é o número complexo z’ = a – bi, onde apenas 
trocamos o sinal da parte imaginária 
 chamamos de afixo o par que representa as coordenadas real e imaginária do número complexo. 
Se z = a + bi, o seu afixo é (a, b) 
 soma, subtração e multiplicação de números complexos: 
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i 
(a + bi) x (c + di) = ac – bd + (ad + bc)i 
 sempre que precisarmos dividir um número por um número complexo do tipo z = a + bi, basta 
multiplicar o numerador e o denominador por a – bi 
 o módulo de um número complexo z = a + bi é a distância entre esse número e a origem do gráfico: 
2 2| | | |z a bi a b    
 coordenadas polares (sendo 𝜌 o módulo do número complexo e 𝛼 o seu argumento): 
𝑧 = 𝜌 . (𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛𝛼) 
 podemos elevar um número complexo à potência “n” da seguinte forma: 
𝑧𝑛 = 𝜌𝑛 . (cos (𝑛. 𝛼) + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(𝑛. 𝛼)) 
 dois números complexos são IGUAIS se, e somente se, a parte real do primeiro é igual à parte real 
do segundo, e a parte imaginária do primeiro é igual à parte imaginária do segundo. 
 o conjunto dos números complexos engloba todos os que estudamos anteriormente. 
 
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𝑷𝒐𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒂𝒈𝒆𝒎 =
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓
𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍
 𝒙 𝟏𝟎𝟎%, OU SEJA, Valor = Porcentagem x Total 
número percentual  fração  número decimal 
20%  20/100  0,20 
 
“De” equivale à multiplicação: portanto, 20% de 300 é igual a 20% x 300; 
 
Percentual de aumento e percentual de redução: 
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =
𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
 
 
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢çã𝑜 =
𝑅𝑒𝑑𝑢çã𝑜
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
 
 
Aumentar um valor em x% é igual a multiplicá-lo por (1 + x%); 
 
Reduzir um valor em x% é igual a multiplicá-lo por (1 – x%); 
 
Aumentos e reduções sucessivas: basta ir fazendo os aumentos e reduções com os fatores (1+x%) ou 
(1-x%). Ex.: para aumentar um produto de 500 reais em 10% e em seguida reduzir em 20%, basta fazer 
500x(1+10%)x(1 – 20%). 
 
Porcentagem de porcentagem: x% de y% de P é igual a x%.y%.P (ex.: 10% de 20% de 100 é igual a 
0,10x0,20x100). 
 
Porcentagem com regra de três: basta montar a regra de três associando o TOTAL a 100%. 
 
Operações comerciais: lembre-se que Lucro = Venda – Custo. Para calcular o lucro percentual, é 
importante saber qual a base a ser utilizada (venda ou custo).