Argumentos e regras de Inferência

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<p>Argumentos e regras de Inferência</p><p>Apresentação</p><p>Muitas vezes, é necessário reduzir conclusões a partir de premissas. Esse processo é chamado de</p><p>argumento. Diz-se que um argumento é válido se, e somente se, é impossível que as suas premissas</p><p>sejam todas verdadeiras e a sua conclusão seja falsa. Um argumento é correto se, e somente se, ele</p><p>é válido e, além disso, as suas premissas são todas verdadeiras. Os erros comuns em argumentação</p><p>são chamados de falácias.</p><p>Você verá que, para deduzir novas sentenças a partir de uma sentença, a solução é utilizar a regra</p><p>da inferência. As sentenças são moldes para construção de argumentos válidos, ou seja, são as</p><p>ferramentas básicas que você utilizará para estabelecer o valor-verdade.</p><p>Nesta Unidade de Aprendizagem, você estudará as regras de inferência que permitem derivar</p><p>argumentos válidos. Para verificar sua validade, serão utilizadas tabelas-verdade ou regras de</p><p>inferência.</p><p>Bons estudos.</p><p>Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:</p><p>Definir argumento.•</p><p>Verificar a validade de um argumento utilizando tabelas-verdade ou regras de inferência.•</p><p>Utilizar os conceitos estudados na resolução de exercícios.•</p><p>Desafio</p><p>Em lógica, se utilizam regras de inferência para avaliar os argumentos e chegar a conclusões. Entre</p><p>essas regras, está o silogismo disjuntivo, também conhecido como modus tollendo ponens. Trata-se</p><p>de uma forma de argumento simples do tipo p ou q, não p, logo q. A razão para esse argumento ser</p><p>chamado de silogismo disjuntivo é por ser um silogismo de um argumento com três passos e por</p><p>conter uma disjunção. O silogismo hipotético é um argumento da seguinte forma: premissa p então</p><p>q, premissa q então r, conclusão p então r. Isso significa que, se o primeiro implica o outro e o outro</p><p>implica o terceiro, então o primeiro implica o terceiro, conforme a propriedade da transitividade da</p><p>implicação.</p><p>A validade das regras de inferência pode ser comprovada por meio das tabelas-verdade. Com o</p><p>auxílio dessas formas elementares de argumentos, é possível construir estruturas argumentativas</p><p>muito complexas. A regra do silogismo hipotético diz que a implicação possui a propriedade</p><p>transitiva, ou seja, se A implica B e B implica C, então A implica C através de B. No silogismo</p><p>disjuntivo, tem-se que se uma disjunção é verdadeira e uma das proposições componentes se</p><p>revela falsa, então a outra proposição é necessariamente verdadeira.</p><p>Sendo assim, o seu desafio é o seguinte:</p><p>1. Organizar as variáveis proposicionais.</p><p>2. Apresentar uma tradução utilizando a lógica proposicional, evidenciando e explicando a</p><p>conclusão.</p><p>Infográfico</p><p>Inferência é um processo pelo qual, a partir de determinados dados, chega-se a alguma conclusão.</p><p>Para mostrar se um argumento é válido ou não válido, pode-se utilizar uma tabela-verdade. Sempre</p><p>que as premissas forem verdadeiras e a conclusão também for, tem-se o caso de um argumento</p><p>válido.</p><p>Entretanto, se o argumento envolver muitas variáveis proposicionais, construir uma tabela-verdade</p><p>pode ser inconveniente. Para contornar esse problema, é possível verificar a validade de</p><p>argumentos relativamente simples, chamados de regras de inferência, e utilizar estas regras para</p><p>construir argumentos mais complexos de maneira consistente.</p><p>Confira, no Infográfico, como se apresentam os argumentos e como se demonstra a sua validade.</p><p>Aponte a câmera para o</p><p>código e acesse o link do</p><p>conteúdo ou clique no</p><p>código para acessar.</p><p>https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/ee7edb71-c244-485e-9450-44fb442e3717/d0ebf9eb-cc4d-4c13-8e59-da36e645725b.png</p><p>Conteúdo do Livro</p><p>Argumentos são entendidos como raciocínios lógicos, que podem ser corretos ou incorretos. Todo</p><p>raciocínio dedutivo envolve pelo menos uma premissa e uma conclusão. A inferência é um processo</p><p>pelo qual, por meio de determinados dados, chega-se a alguma conclusão. É importante saber que é</p><p>possível deparar-se com sinônimos de inferência como: conclusão, implicação, ilação e</p><p>consequência.</p><p>Regras de inferência são regras de transformação sintática que podem ser usadas para inferir uma</p><p>conclusão a partir de uma premissa para criar um argumento. Portanto, quando se deseja deduzir</p><p>novas sentenças de sentenças que já se tem, regras de inferência são utilizadas, pois elas são</p><p>moldes para a construção de argumentos válidos. As regras de inferência são as ferramentas</p><p>básicas para o estabelecimento do valor-verdade das sentenças.</p><p>No capítulo Regras de inferência, base teórica desta Unidade de Aprendizagem, você vai conhecer</p><p>mais detalhes sobre argumentos e regras de inferência, vai descobrir como reconhecer um</p><p>argumento válido, como usar as regras de inferência para construir argumentos e vai acompanhar</p><p>diversos exemplos resolvidos detalhadamente para consolidar os conhecimentos.</p><p>Boa leitura.</p><p>Matemática Discreta</p><p>e Suas Aplicações</p><p>SEXTA EDIÇÃO</p><p>Kenneth H. Rosen</p><p>Matemática Discreta e Suas Aplicações</p><p>Sexta edição</p><p>ISBN: 978-85-7726-036-2</p><p>A reprodução total ou parcial deste volume por quaisquer formas ou meios, sem o consentimento, por escrito, da editora,</p><p>é ilegal e configura apropriação indevida dos direitos intelectuais e patrimoniais dos autores.</p><p>©2009 McGraw-Hill Interamericana do Brasil Ltda.</p><p>Todos os direitos reservados.</p><p>Av. Brigadeiro Faria Lima, 201, 17o andar.</p><p>São Paulo – SP – ceP 05426-100</p><p>©2009 McGraw-Hill Interamericana editores, S.A. de c.V.</p><p>Todos os direitos reservados.</p><p>Prol. Paseo de la Reforma 1015 Torre A</p><p>Piso 17, col. Desarrollo Santa Fé,</p><p>Delegación Alvaro Obregón</p><p>c.P. 01376, México, D.F</p><p>Tradução da sexta edição em inglês de Discrete Mathematics and Its Applications.</p><p>Publicada pela McGraw-Hill, uma unidade de negócios da McGraw-Hill companies, Inc., 1221 Avenue of the Americas, New York, NY 10020.</p><p>©2007 by Kenneth H. Rosen</p><p>ISBN da obra original: 978-0-07-288008-3</p><p>Coordenadora Editorial: Guacira Simonelli</p><p>Editora de Desenvolvimento: Marileide Gomes</p><p>Produção editorial: RevisArt</p><p>Supervisora de Pré-impressão: Natália Toshiyuki</p><p>Preparação de Texto: Patrícia Travanca/Marise Goulart</p><p>Design de capa: Rebidas Design & Associates</p><p>Imagem de capa: cover art ©Jasper Johns (b. 1930)/Autorizado por VAGA, New York, NY. Dancers on a Plane.</p><p>Diagramação: crontec Ltda.</p><p>Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)</p><p>(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)</p><p>Índices para catálogo sistemático:</p><p>1. Matemática 510</p><p>A McGraw-Hill tem forte compromisso com a qualidade e procura manter laços estreitos com seus leitores.</p><p>Nosso principal objetivo é oferecer obras de qualidade a preços justos e um dos caminhos para atingir</p><p>essa meta é ouvir o que os leitores têm a dizer. Portanto, se você tem dúvidas, críticas ou sugestões, entre</p><p>em contato conosco – preferencialmente por correio eletrônico (mh_brasil@mcgraw-hill.com) – e nos</p><p>ajude a aprimorar nosso trabalho. Teremos prazer em conversar com você. em Portugal, use o</p><p>endereço servico_clientes@mcgraw-hill.com.</p><p>Rosen, Kenneth H.</p><p>Matemática discreta e suas aplicações [recurso eletrônico] / Kenneth H. Rosen ;</p><p>tradução técnica: Helena Castro, João Guilherme Giudice. – 6. ed. – Dados eletrônicos. – Porto</p><p>Alegre : AMGH, 2010.</p><p>Editado também como livro impresso em 2009.</p><p>ISBN 978-85-63308-39-9</p><p>1. Matemática. I. Título.</p><p>Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB-10/Prov-009/10</p><p>CDU 501</p><p>1.5 Regras de Inferência</p><p>Introdução</p><p>Mais	adiante,	neste	capítulo,	vamos	estudar	demonstrações.	Demonstrações	em	matemática	são</p><p>argumentos válidos que estabelecem a veracidade das sentenças matemáticas. Por um argumen-</p><p>to,	entendemos	uma	seqüência	de	sentenças	que	terminam	com	uma	conclusão	e,	por	válido,	que</p><p>uma	conclusão,	ou	a	 sentença	final	do	argumento,	deve	 seguir	o	valor-verdade	das	 sentenças</p><p>precedentes,	ou	premissas,	do	argumento.	Ou	seja,	um	argumento	é	válido	se	e	somente	se	for</p><p>impossível que todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão seja falsa. Para deduzir novas</p><p>sentenças	de	sentenças</p><p>que	já	temos,	usamos	regras	de	inferência,	as	quais	são	moldes	para	cons-</p><p>trução de argumentos válidos. Regras de inferência são nossas ferramentas básicas para o estabe-</p><p>lecimento do valor-verdade das sentenças.</p><p>Antes	de	estudarmos	demonstrações	matemáticas,	vamos	olhar	para	argumentos	que	envol-</p><p>vem	apenas	proposições	compostas.	Vamos	definir	o	que	significa	um	argumento	ser	válido	quan-</p><p>do	envolve	proposições	compostas.	Então,	vamos	introduzir	um	conjunto	de	regras	de	inferência</p><p>de lógica proposicional. Essas regras de inferência são o mais importante ingrediente na produ-</p><p>ção de argumentos válidos. Depois de ilustrar como as regras de inferência são utilizadas para</p><p>produzir	argumentos	válidos,	vamos	descrever	algumas	formas	comuns	de	raciocínio	incorreto,</p><p>chamadas de falácias,	que	nos	levam	a	argumentos	inválidos.</p><p>Depois	de	estudar	as	regras	de	inferência	em	lógica	proposicional,	vamos	introduzir	regras</p><p>de	 inferência	 para	 sentenças	 quantificadas.	Vamos	 descrever	 como	 essas	 regras	 de	 inferência</p><p>podem ser utilizadas para produzir argumentos válidos. Essas regras de inferência para sentenças</p><p>que	envolvem	quantificadores	universal	e	existencial	representam	importante	papel	em	demons-</p><p>trações	em	ciência	da	computação	e	matemática,	embora	elas	sejam	sempre	utilizadas	sem	serem</p><p>explicitamente mencionadas.</p><p>Finalmente,	vamos	mostrar	como	regras	de	inferência	para	sentenças	proposicionais	e	quan-</p><p>tificacionais	podem	ser	combinadas.	Essas	combinações	são	freqüentemente	utilizadas	em	argu-</p><p>mentos complicados.</p><p>Argumentos Válidos em Lógica Proposicional</p><p>Considere	o	seguinte	argumento	que	envolve	proposições	(o	qual,	por	definição,	é	uma	seqüência</p><p>de	proposições):</p><p>“Se você tem uma	senha	atualizada,	então	você	pode	entrar	na	rede.”</p><p>“Você tem uma senha atualizada.”</p><p>Portanto,</p><p>“Você pode entrar na rede.”</p><p>Gostaríamos	de	determinar	quando	este	argumento	é	válido.	Ou	seja,	gostaríamos	de	deter-</p><p>minar se a conclusão “Você pode entrar na rede” deve ser verdadeira quando as premissas “Se</p><p>você	tem	uma	senha	atualizada,	então	você	pode	entrar	na	rede”	e	“Você	tem	uma	senha	atuali-</p><p>zada” também forem ambas verdadeiras.</p><p>Antes	de	discutir	a	validade	deste	argumento	particular,	vamos	olhar	para	sua	forma.	Use	p</p><p>para representar “Você tem uma senha atualizada” e q para representar “Você pode entrar na</p><p>rede”.	Então,	o	argumento tem a forma</p><p>p	→	q</p><p>p</p><p>∴ q</p><p>em que ∴ é o símbolo para indicar “portanto”.</p><p>1-63 1.5 Regras de Inferência 63</p><p>64	 	1	/	Os	Fundamentos:	Lógica	e	Demonstrações	 1-64</p><p>Sabemos que se p e q	são	variáveis	proposicionais,	a	sentença	((p	→	q)	∧ p) →	q é uma tau-</p><p>tologia	(veja	o	Exercício	10(c)	na	Seção	1.2).	Em	particular,	quando	ambos	p	→	q e p são verda-</p><p>deiras,	sabemos	que	q também deve ser. Dizemos que essa é uma forma válida de argumento</p><p>porque	sempre	que	todas	as	suas	premissas	(todas	as	sentenças	do	argumento,	a	não	ser	a	última,</p><p>a	conclusão)	são	verdadeiras,	a	conclusão	também	deve	ser.	Agora	suponha	que	ambas	“Se	você</p><p>tem	uma	senha	atualizada,	então	você	pode	entrar	na	rede”	e	“Você	tem	uma	senha	atualizada”</p><p>são sentenças verdadeiras. Quando trocamos p por “Você tem uma senha atualizada” e q por</p><p>“Você	pode	entrar	na	rede”,	segue	necessariamente	que	a	conclusão	“Você	pode	entrar	na	rede”	é</p><p>verdadeira. Esse argumento é válido porque está na forma válida. Note que sempre que substituir-</p><p>mos p e q por proposições em que p	→	q e p	são	verdadeiras,	então	q deve ser verdadeira.</p><p>O que acontece quando substituímos p e q nessa forma de argumento por proposições tal que</p><p>p e p	→	q	não	são	ambas	verdadeiras?	Por	exemplo,	suponha	que	p represente “Você tem acesso</p><p>à rede” e q represente “Você pode mudar suas notas” e p	seja	verdadeira,	mas	p	→	q seja falsa. O</p><p>argumento que obtemos substituindo esses valores de p e q na forma do argumento anterior é:</p><p>“Se	você	tem	acesso	à	rede,	então	você	pode	mudar	suas	notas.”</p><p>“Você tem acesso à rede.”</p><p>∴ “Você pode mudar suas notas.”</p><p>O	argumento	obtido	é	um	argumento	válido,	mas,	como	uma	das	premissas,	chamada	de	primei-</p><p>ra	premissa,	 é	 falsa,	não	podemos	decidir	 se	 a	 conclusão	é	verdadeira.	 (Mas	parece	que	essa</p><p>conclusão	é	falsa.)</p><p>Em	nossa	discussão,	para	analisar	um	argumento,	substituímos	as	proposições	por	variáveis</p><p>proposicionais. Isso transforma um argumento em uma forma de argumento. Dizemos que a vali-</p><p>dade de um argumento segue a validade da forma do argumento. Resumimos a terminologia utili-</p><p>zada	para	discutir	a	validade	de	argumentos	com	nossa	definição	dessas	noções	importantes.</p><p>DEFINIÇÃO 1 Um argumento	 em	 lógica	proposicional	é	uma	seqüência	de	proposições.	Todas,	menos	a</p><p>última	das	proposições,	são	chamadas	de	premissas, e a última é chamada de conclusão. Um</p><p>argumento é válido se a veracidade das premissas implica que a conclusão seja verdadeira.</p><p>Uma forma de argumento em lógica proposicional é a seqüência de proposições compostas</p><p>que envolvem variáveis proposicionais. Uma forma de argumento é válida quaisquer que</p><p>sejam	as	proposições	substituídas	nas	variáveis	proposicionais	em	suas	sentenças;	a	conclu-</p><p>são é verdadeira se as premissas forem todas verdadeiras.</p><p>Da	definição	de	forma	de	argumento	válida,	vemos	que	uma	forma	de	argumento	com	premis-</p><p>sas p1,	p2,	p3,	...	,	pn e conclusão q	é	válida,	quando	(p1 ∧ p2 ∧ ... ∧ pn)	→	q é uma tautologia.</p><p>A	chave	para	mostrar	que	um	argumento	na	lógica	proposicional	é	válido	é	mostrar	que</p><p>sua	forma	de	argumento	é	válida.	Conseqüentemente,	gostaríamos	de	ter	técnicas	para	mos-</p><p>trar que formas de argumentos são válidas. Vamos agora desenvolver métodos para alcançar</p><p>esse objetivo.</p><p>Regras de Inferência para Lógica Proposicional</p><p>Podemos sempre usar uma tabela-verdade para mostrar que uma forma de argumento é válida.</p><p>Fazemos	 isso	mostrando	que	 sempre	que	 as	 premissas	 são	verdadeiras,	 a	 conclusão	deve	 ser</p><p>verdadeira	também.	No	entanto,	esse	pode	ser	um	modo	um	pouco	tedioso.	Por	exemplo,	quando</p><p>uma	forma	de	argumento	envolve	10	variáveis	proposicionais	diferentes,	usar	uma	tabela-verda-</p><p>de para mostrar que esse argumento é válido requer 210 =	1.024	linhas	diferentes.	Felizmente,	não</p><p>precisamos	sempre	recorrer	às	tabelas-verdade.	Em	vez	disso,	podemos	estabelecer	a	validade	de</p><p>algumas	formas	de	argumento	relativamente	simples,	chamadas	de	regras de inferência. Essas</p><p>regras de inferência podem ser utilizadas como tijolos para construir formas de argumento váli-</p><p>das mais complicadas. Vamos agora introduzir a mais importante das regras de inferência na ló-</p><p>gica proposicional.</p><p>A	tautologia	(p ∧	(p	→	q)) →	q é a base da regra de inferência chamada de modus ponens,</p><p>ou propriedade de destacamento.	(Modus ponens,	em	latim,	significa	modo que afirma.)	Essa</p><p>tautologia	nos	 leva	à	seguinte	forma	de	argumento	válida,	que	já	foi	vista	na	nossa	discussão</p><p>sobre	argumentos	(em	que,	como	antes,	o	∴ é o símbolo	para	indicar	“portanto”):</p><p>p</p><p>p	→	q</p><p>∴ q</p><p>Usando	essa	notação,	as	hipóteses	são	escritas	em	colunas,	seguidas	por	uma	barra	horizontal,</p><p>seguida por uma linha que começa com o símbolo “portanto” e termina com a conclusão. Em</p><p>particular,	modus ponens nos diz que se uma sentença condicional e a hipótese dessa sentença</p><p>condicional	são	verdadeiras,	então	a	conclusão	também	deve	ser	verdadeira.	O	Exemplo	1	ilustra</p><p>o uso do modus ponens.</p><p>EXEMPLO 1 Suponha que a sentença condicional	“Se	nevar	hoje,	então	eu	vou	esquiar”	e	sua	hipótese	“Está</p><p>nevando	hoje”	são	verdadeiras.	Então,	por	modus ponens,	segue	que	a	conclusão	do	condicional</p><p>“Vou esquiar” é verdadeira. ◄</p><p>Como	mencionado	anteriormente,	um	argumento	válido	pode	nos	levar	a	uma	conclusão	incor-</p><p>reta	se	uma	ou	mais	de	suas	premissas	são	falsas.	Ilustramos	isso,	novamente,	no	Exemplo	2.</p><p>EXEMPLO 2 Determine se o argumento dado aqui é válido e se sua conclusão deve ser verdadeira apenas pela</p><p>validade do argumento.</p><p>“Se 2 3</p><p>2> , então 2</p><p>2 3</p><p>2</p><p>2</p><p>( ) > ( ) . Sabemos que 2 3</p><p>2> . 	Conseqüentemente,</p><p>2 2</p><p>2 3</p><p>2</p><p>2 9</p><p>4( ) = > ( ) = . ”</p><p>Solução: Seja p a proposição “ 2 3</p><p>2> ” e q a proposição</p><p>“ 2 3</p><p>2</p><p>2</p><p>> ( ) ”.	As	premissas	do	argumen-</p><p>to são p	→	q e p,	e	q	é	a	conclusão.	Esse	argumento	é	válido,	pois	é	construído	de	acordo	com</p><p>modus ponens,	uma	forma	válida	de	argumento.	No	entanto,	uma	de	suas	premissas,	 2 3</p><p>2> , é</p><p>falsa.	Conseqüentemente,	não	podemos	deduzir	que	 a	 conclusão	 seja	verdadeira.	Nesse	 caso,</p><p>notamos	que	a	conclusão	é	falsa,	pois 2 9</p><p>4< . ◄</p><p>A	Tabela 1 lista as mais importantes regras de inferência para a lógica proposicional. Os</p><p>exercícios	9,	10,	15	e	30	na	Seção	1.2	pedem	verificações	de	que	essas	regras	de	inferência	são</p><p>formas	válidas	de	argumento.	Agora	daremos	exemplos	de	argumentos	que	usam	essas	regras	de</p><p>inferência.	Em	cada	argumento,	primeiro	usaremos	variáveis	proposicionais	para	expressar	as</p><p>proposições	no	argumento.	Depois,	mostraremos	que	a	forma	resultante	de	argumento	é	uma	re-</p><p>gra da Tabela 1.</p><p>EXEMPLO 3 Diga qual regra de	inferência	é	a	base	do	seguinte	argumento:	“Está	esfriando	agora.	Portanto,</p><p>está esfriando ou chovendo agora”.</p><p>1-65 1.5 Regras de Inferência 65</p><p>66	 	1	/	Os	Fundamentos:	Lógica	e	Demonstrações	 1-66</p><p>TABELA 1 Regras de Inferência.</p><p>Regra de Inferência Tautologia Nome</p><p>p</p><p>p	→	q</p><p>∴ q</p><p>[p ∧	(p →	q)] →	q Modus ponens</p><p>ÿ q</p><p>p	→	q</p><p>∴ ÿ p</p><p>[ÿ q ∧	(p →	q)] →	ÿ p Modus tollens</p><p>p →	q</p><p>q	→	r</p><p>∴ p	→	r</p><p>[(p	→	q)	∧	(q →	r)] →	(p →	r) Silogismo hipotético</p><p>p ∨ q</p><p>ÿ p</p><p>∴ q</p><p>[(p ∨ q)	∧ ÿ p] →	q Silogismo disjuntivo</p><p>p</p><p>∴ p ∨ q</p><p>p	→	(p ∨ q) Adição</p><p>p ∧ q</p><p>∴ p</p><p>(p ∧ q)	→	p Simplificação</p><p>p</p><p>q</p><p>∴ p ∧ q</p><p>[(p)	∧	(q)]	→	(p ∧ q) Conjunção</p><p>p ∨ q</p><p>ÿ p ∨ r</p><p>∴ q ∨ r</p><p>[(p ∨ q)	∧	(ÿ p ∨ r)]	→	(q ∨ r) Resolução</p><p>Solução: Seja p a proposição “Está esfriando agora” e q a proposição “Está chovendo agora”.</p><p>Então esse argumento é da forma</p><p>p</p><p>∴ p ∨ q</p><p>Esse é um argumento que usa a regra da adição. ◄</p><p>EXEMPLO 4 Diga qual regra de inferência é a base do seguinte argumento: “Está esfriando e chovendo agora.</p><p>Portanto,	está	esfriando	agora”.</p><p>Solução: Seja p a proposição “Está esfriando agora” e q a proposição “Está chovendo agora”.</p><p>Então,	esse	argumento	é	da	forma</p><p>p ∧ q</p><p>∴ p</p><p>Esse	é	um	argumento	que	usa	a	regra	da	simplificação.	 ◄</p><p>EXEMPLO 5 Diga qual regra de inferência é a base do seguinte argumento:</p><p>“Se	chover,	então	não	haverá	churrasco	hoje.	Se	não	houver	churrasco	hoje,	haverá	amanhã.</p><p>Portanto,	se	chover	hoje,	então	haverá	churrasco	amanhã.”</p><p>Solução: Seja p a proposição	“Está	chovendo	hoje”,	q a proposição “Não terá churrasco hoje” e</p><p>r a proposição “Terá churrasco amanhã”. Então esse argumento é da forma</p><p>p	→	q</p><p>q	→	r</p><p>∴ p	→	r</p><p>Logo,	esse	argumento	é	um	silogismo	hipotético.	 ◄</p><p>Usando Regras de Inferência para Construir Argumentos</p><p>Quando existem muitas	premissas,	muitas	regras	de	inferência	são	freqüentemente	necessárias</p><p>para	mostrar	que	um	argumento	é	válido.	Isso	é	ilustrado	nos	exemplos	6	e	7,	onde	os	passos	do</p><p>argumento	são	dispostos	em	linhas	separadas,	com	a	razão	para	cada	passo	explicitamente	colo-</p><p>cada ao lado. Esses exemplos também mostram como argumentos em português podem ser ana-</p><p>lisados por meio de regras de inferência.</p><p>EXEMPLO 6 Mostre que as hipóteses	“Não	está	ensolarada	esta	tarde	e	está	mais	frio	que	ontem”,	“Vamos</p><p>nadar	se	estiver	ensolarado”,	“Se	não	formos	nadar,	então	vamos	fazer	um	passeio	de	barco”	e</p><p>“Se	fizermos	um	passeio	de	barco,	então	estaremos	em	casa	ao	anoitecer”	nos	levam	à	conclusão</p><p>“Estaremos em casa ao anoitecer”.</p><p>Solução: Seja p a proposição	“Está	ensolarada	esta	tarde”,	q a proposição “Está mais frio que on-</p><p>tem”,	r	a	proposição	“Vamos	nadar”,	s a proposição “Vamos fazer um passeio de barco” e t a pro-</p><p>posição	“Estaremos	em	casa	ao	anoitecer”.	Então,	as	hipóteses	se	tornam	ÿ p ∧ q,	r	→	p,	ÿ r →	s,</p><p>e s	→	t e a conclusão é simplesmente t.</p><p>Construímos um argumento para mostrar que nossas hipóteses nos levam à conclusão como</p><p>se segue.</p><p>Passo Razão</p><p>1. ÿ p ∧ q Hipótese</p><p>2. ÿ p Simplificação	usando	(1)</p><p>3. r	→	p Hipótese</p><p>4. ÿ r Modus tollens	usando	(2)	e	(3)</p><p>5. ÿ r →	s Hipótese</p><p>6. s Modus ponens	usando	(4)	e	(5)</p><p>7. s	→	t Hipótese</p><p>8. t Modus ponens	usando	(6)	e	(7)</p><p>Note que poderíamos ter empregado uma tabela-verdade para	mostrar	que,	sempre	que	as	hipó-</p><p>teses	 são	verdadeiras,	 a	 conclusão	 também	será.	No	entanto,	 como	estamos	 trabalhando	com</p><p>cinco	variáveis	proposicionais	(p,	q,	r,	s e t ),	essa	tabela	teria	32	linhas. ◄</p><p>EXEMPLO 7 Mostre que as hipóteses “Se	você	me	mandar	um	e-mail,	então	eu	terminarei	o	programa”,</p><p>“Se você não me mandar um e-mail,	então	vou	dormir	cedo”	e	“Se	eu	dormir	cedo,	então</p><p>Exemplos</p><p>Extras</p><p>1-67 1.5 Regras de Inferência 67</p><p>68	 	1	/	Os	Fundamentos:	Lógica	e	Demonstrações	 1-68</p><p>acordarei	 sentindo-me	bem”	nos	 levam	à	conclusão	“Se	eu	não	 terminar	o	programa,	então	eu</p><p>acordarei sentindo-me bem”.</p><p>Solução: Seja p	a	proposição	“Você	me	manda	um	e-mail”,	q a proposição “Eu terminarei o pro-</p><p>grama”,	r a proposição “Eu vou dormir cedo” e s a proposição “Eu acordarei sentindo-me bem”.</p><p>Então as hipóteses são p	→	q,	ÿ p	→	r e r	→	s.	A	conclusão	desejada	é	ÿ q	→	s. Temos de dar</p><p>um argumento válido com as hipóteses p	→	q,	ÿ p	→	r e r	→	s e a conclusão ÿ q	→	s.</p><p>Essa forma de argumento mostra que as hipóteses nos levam à conclusão desejada.</p><p>Passo Razão</p><p>1. p	→	q Hipótese</p><p>2. ÿ q	→	ÿ p Contrapositiva	de	(1)</p><p>3. ÿ p	→	r Hipótese</p><p>4. ÿ q	→	r Silogismo	hipotético	usando	(2)	e	(3)</p><p>5. r	→	s Hipótese</p><p>6. ÿ q	→	s Silogismo	hipotético	usando	(4)	e	(5)	 ◄</p><p>Resolução</p><p>Programas de computador têm sido desenvolvidos para automatizar a tarefa de raciocinar e for-</p><p>necer teoremas. Muitos desses programas fazem uso da regra de inferência conhecida como re-</p><p>solução. Essa regra de inferência baseia-se na tautologia</p><p>((	p ∨ q)	∧	(ÿ p ∨ r))	→	(q ∨ r).</p><p>(A	verificação	de	que	essa	sentença	é	uma	tautologia	foi	pedida	no	Exercício	30	na	Seção	1.2.)	A</p><p>disjunção	final	da	regra,	q ∨ r,	é	chamada	de	resolvente. Quando q = r	na	tautologia,	obtemos</p><p>(p ∨ q)	∧	(ÿ p ∨ q)	→	q.	Além	disso,	quando	r = F,	obtemos	(	p ∨ q)	∧	(ÿ p)	→	q	(porque	q ∨ F ≡ q),</p><p>que é a tautologia na qual está fundamentada a regra do silogismo disjuntivo.</p><p>EXEMPLO 8 Use	a	resolução	para	mostrar	que	as	hipóteses	“Jasmim	está	esquiando	ou	não	está	nevando”	e</p><p>“Está	nevando	ou	José	está	jogando	futebol”	implica	que	“Jasmim	está	esquiando	ou	José	está</p><p>jogando futebol”.</p><p>Solução: Seja p a	proposição	“Está	nevando”,	q a	proposição	“Jasmim	está	esquiando”,	e	r a</p><p>proposição	“José	está	jogando	futebol”.	Podemos	representar	as	hipóteses	por	ÿ p ∨ q e p ∨ r,</p><p>respectivamente.	Usando	resolução,	a	proposição	q ∨ r,	“Jasmim	está	esquiando	ou	José	está</p><p>jogando	futebol”,	pode	ser	concluída.	 ◄</p><p>A	resolução	 tem	um	importante	papel	em	 linguagens	de	programação	 fundamentadas	nas</p><p>regras	da	lógica,	como	Prolog	(onde	as	regras	de	resolução	para	sentenças	quantificadas	são	apli-</p><p>cadas).	Além	disso,	pode	ser	utilizada	para	construir	sistemas	que	provêm	teoremas	automatica-</p><p>mente. Para construir demonstrações em lógica proposicional usando resolução como a única</p><p>regra	de	inferência,	as	hipóteses	e	a	conclusão	devem	ser	expressas	como	cláusulas,	em	que	uma</p><p>cláusula é uma disjunção de variáveis ou das negações dessas variáveis. Podemos substituir uma</p><p>sentença em lógica proposicional que não é uma cláusula por uma ou mais sentenças equivalen-</p><p>tes	que	são	cláusulas.	Por	exemplo,	suponha	que	tenhamos	uma	sentença	da	forma	p ∨	(q ∧ r).</p><p>Como p ∨	(q ∧ r)	≡	(p ∨ q)	∧	(p ∨ r),	podemos	substituir	a	sentença	p ∨	(q ∧ r)	por	duas	sentenças</p><p>Exemplos</p><p>Extras</p><p>Links</p><p>Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para</p><p>esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual</p><p>da Instituição, você encontra a obra na íntegra.</p><p>Dica do Professor</p><p>As regras da lógica especificam o significado de sentenças matemáticas. Para entender matemática,</p><p>é preciso compreender o que torna um argumento matemático correto, ou seja, uma</p><p>demonstração. Essa construção do raciocínio auxilia nas mais diversas áreas do conhecimento e é</p><p>extremamente relevante para a ciência da computação com numerosas aplicações.</p><p>Nesse contexto,</p><p>o uso de uma tabela-verdade é extremamente relevante para mostrar a validade de uma forma de</p><p>argumento e tornar isso evidente.</p><p>As regras de inferência são regras de transformação sintáticas que podem ser usadas para inferir</p><p>uma conclusão a partir de uma premissa para criar um argumento. Um conjunto de regras pode ser</p><p>utilizado para inferir qualquer conclusão válida, se esta conclusão for completa.</p><p>Nesta Dica do Professor, você vai aprofundar a definição de argumentos e regras de inferência.</p><p>Você vai ver como os argumentos podem ser representados e como demonstrar a sua validade por</p><p>meio de uma tabela-verdade. Os exemplos apresentados vão ajudá-lo a desenvolver o raciocínio</p><p>lógico e a encontrar soluções.</p><p>Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.</p><p>https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/5a3fa3e341b829fe1b40db9fd065b74c</p><p>Exercícios</p><p>1) A lógica proposicional é um formalismo matemático por meio do qual podemos abstrair a</p><p>estrutura de um argumento, eliminando a ambiguidade existente na linguagem natural. Esse</p><p>formalismo é composto por uma linguagem formal e por um conjunto de regras de inferência</p><p>que nos permite analisar um argumento de forma precisa e decidir a sua validade.</p><p>Nesse contexto, assinale a alternativa que contém a resposta correta no que diz respeito aos</p><p>argumentos:</p><p>A) A validade de um argumento pode ser demonstrada apenas com o uso de tabela-verdade.</p><p>B) Um argumento é formado por premissas e conclusão.</p><p>C) Um argumento válido também é conhecido como falácia.</p><p>D) Um argumento é válido quando a conjunção das premissas é equivalente à conclusão.</p><p>E) A última proposição de um argumento é chamada de premissa.</p><p>2) Em lógica, premissa é um conjunto de uma ou mais de uma sentença declarativa,</p><p>acompanhada de outra frase declarativa, a conclusão. A verdade da conclusão é uma</p><p>consequência lógica das premissas que a antecederam. Portanto, as premissas são as</p><p>proposições que justificam a conclusão obtida. Nesse contexto, considere as premissas a</p><p>seguir:</p><p>“Eu sou esperto ou sortudo.”</p><p>“Eu não tenho sorte.”</p><p>“Se eu tivesse sorte, então eu ganharia na loteria.”</p><p>Assinale a alternativa que contém a conclusão que se pode obter a partir dessas premissas:</p><p>A) Eu ganhei na loteria.</p><p>B) Eu tenho sorte.</p><p>C) Eu sou esperto.</p><p>D) Eu não sou esperto.</p><p>E) Eu sou esperto e ganhei na loteria.</p><p>3) Dizemos que um argumento é válido quando as premissas são consideradas provas</p><p>evidentes da verdade da conclusão, caso contrário não é válido. Quando é válido, podemos</p><p>dizer que a conclusão é uma consequência lógica das premissas, ou ainda que a conclusão é</p><p>uma inferência decorrente das premissas. Considere o argumento: Se você tem uma senha</p><p>atualizada, então você pode entrar na rede. Você tem uma senha atualizada. Portanto, você</p><p>pode entrar na rede.</p><p>Se você fosse demonstrar a validade desse argumento em uma tabela-verdade, assinale a</p><p>alternativa que contém a última coluna da tabela-verdade. Para tanto, considere:</p><p>p: você tem uma senha atualizada</p><p>q: você pode entrar na rede</p><p>A) p → q.</p><p>B) p.</p><p>C) (p → q) ∧ p.</p><p>D) [(p → q) ∧ p] → q.</p><p>E) [(p → q) ∧ p] ↔ q.</p><p>4) Embora a tabela-verdade seja um mecanismo bastante simples para verificar a validade de</p><p>um argumento, não é a única forma de validação. Existem outros métodos para a validação</p><p>de argumentos que são mais eficientes que tabelas-verdade: prova e refutação. A regra de</p><p>inferência é um padrão que estabelece como uma nova fórmula pode ser gerada a partir de</p><p>outras duas. As regras de inferência clássicas são: modus ponens, modus tollens e silogismo</p><p>hipotético.</p><p>Nesse contexto, assinale a alternativa que contém um argumento cuja validade pode ser</p><p>demonstrada utilizando silogismo hipotético:</p><p>A) Alice é graduada em matemática. Por isso, Alice é graduada em matemática ou em ciência da</p><p>computação.</p><p>B) Jorge é um graduado em matemática e em ciência da computação. Por isso, Jorge é um</p><p>graduado em matemática.</p><p>C) Se o dia estiver chuvoso, então a piscina estará fechada. O dia está chuvoso. Por isso, a</p><p>piscina está fechada.</p><p>D) Se chover, o trânsito ficará complicado. O trânsito não ficou complicado. Logo, não choveu.</p><p>E) Se eu for nadar, então eu ficarei no sol por muito tempo. Se eu ficar no sol por muito tempo,</p><p>então eu me queimarei. Por isso, se eu for nadar, eu me queimarei.</p><p>5) O cálculo proposicional fornece um sistema de regras de inferência capaz de gerar todas as</p><p>formas de argumento válidas expressáveis na linguagem e somente as formas válidas. Regras</p><p>de inferências são formas válidas de argumento, apresentadas como postulados, utilizadas</p><p>para derivar uma prova de um argumento válido qualquer em uma série de etapas simples e</p><p>precisas de raciocínio.</p><p>Sabendo disso, assinale a alternativa que contém a demonstração correta para a validade do</p><p>argumento p→q, q→~s, p→~s →r, t├ t ˄ r:</p><p>A)</p><p>B)</p><p>C)</p><p>D)</p><p>E)</p><p>Na prática</p><p>Em diversas áreas e situações, precisa-se reduzir conclusões a partir de premissas. Pense, por</p><p>exemplo, na matemática, em que é necessário estabelecer verdades absolutas, os chamados</p><p>teoremas, ou na ciência da computação, em que os profissionais precisam verificar que</p><p>propriedades de um sistema são satisfeitas dada sua especificação. Também pode-se refletir sobre</p><p>política ou filosofia, em que é necessário demonstrar que certas ideias são bem fundamentadas.</p><p>Um argumento é uma sequência finita de sentenças, em que uma é considerada como conclusão e</p><p>as demais são consideradas como premissas. As premissas de um argumento são consideradas</p><p>como justificativas para a sua conclusão.</p><p>Neste Na Prática, você vai acompanhar uma situação aplicada envolvendo conceitos econômicos</p><p>como câmbio, inflação, exportações e déficit, em que o uso da lógica será fundamental para analisar</p><p>a validade de um argumento.</p><p>Aponte a câmera para o</p><p>código e acesse o link do</p><p>conteúdo ou clique no</p><p>código para acessar.</p><p>https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/3a964b2b-aa22-4a5d-9939-fd5f4c1ac2fc/f4c29f26-21d2-4909-bdf9-b97212fc7da8.png</p><p>Saiba mais</p><p>Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:</p><p>Regras de inferência</p><p>Neste vídeo, o professor Douglas Maioli aborda as regras de inferência, explicando o que elas</p><p>significam e como compreendê-las em linguagem da lógica. Você vai retomar o entendimento dos</p><p>argumentos, vai verificar a sua validade, e, na sequência, diversas resoluções detalhadas são</p><p>apresentadas para que você possa compreender como esses problemas podem ser resolvidos na</p><p>prática. As regras de inferência modus polens e modus tollens também são apresentadas bem como</p><p>as tabelas-verdade.</p><p>Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.</p><p>Teste a validade de argumentos com tabelas-verdade</p><p>Neste vídeo, o professor Marcelo Fishborn retoma alguns conceitos introdutórios sobre</p><p>argumentos e operações lógicas. Em seguida, ele explica como a noção de consequência lógica</p><p>permite que se realize o teste da validade de argumentos. Para tanto, inicia explicando o que é um</p><p>argumento e como ele é estruturado. Aborda, na sequência, o conceito de validade de um</p><p>argumento e os passos que devem ser seguidos para realizar o teste de validade. Além disso,</p><p>diversos exemplos detalhados são resolvidos para auxiliar no entendimento dos conceitos</p><p>abordados.</p><p>Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.</p><p>Matemática discreta</p><p>Você pode saber mais sobre conceitos de lógica e do cálculo proposicional consultando o Capítulo</p><p>4 (página 69) deste livro. Você vai entender o que são argumentos, verificar a validade de um</p><p>https://www.youtube.com/embed/U02g0_xvwgM</p><p>https://www.youtube.com/embed/Pmg5fJLydPI</p><p>argumento utilizando tabelas-verdade ou regras de inferência, além de utilizar os conceitos</p><p>estudados na resolução de exercícios.</p><p>Conteúdo interativo disponível</p><p>na plataforma de ensino!</p>