Aula 1 A - Conjuntos Numéricos e Teoria dos Conjuntos (1)

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<p>CONJUNTOS</p><p>NUMÉRICOS</p><p>Introdução</p><p> Podemos caracterizar um conjunto como sendo uma reunião de</p><p>elementos que possuem características semelhantes.</p><p> Caso esses elementos sejam números, temos então a</p><p>representação dos conjuntos numéricos.</p><p>Introdução</p><p> Os conjuntos numéricos incluem os seguintes conjuntos: Naturais</p><p>(N), Inteiros (Z), Racionais (Q), Irracionais (I) e Reais (R).</p><p>Números Naturais - N</p><p> Esse conjunto é representado pela letra maiúscula N, sendo</p><p>formado por todos os números inteiros positivos incluindo o zero.</p><p> Representação simbólica: N = {x є N ∣ x > 0}.</p><p> Exemplo: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}.</p><p>Números Naturais - N</p><p> Caso esse conjunto não possua o elemento zero, será chamado de</p><p>conjunto dos números naturais não nulos, sendo representado por N*.</p><p> Representação simbólica: N* = {x є N ∣ x ≠ 0}.</p><p> Exemplo: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}.</p><p>Números Inteiros - Z</p><p> Representamos esse conjunto com a letra maiúscula Z, ele é</p><p>formado pelos números inteiros negativos, positivos e o zero. Sendo</p><p>assim, ele reúne os números naturais e seus opostos.</p><p> O conjunto dos números inteiros é representado por:</p><p>Z = {..., - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}</p><p>Números Inteiros - Z</p><p> Na representação dos elementos do conjunto, os inteiros negativos</p><p>são escritos com o sinal (–) e os inteiros positivos apresentam o sinal</p><p>(+).</p><p> Esses números são utilizados, por exemplo, para indicar grandezas,</p><p>como a temperatura.</p><p>Números Racionais - Q</p><p> Esse conjunto apresenta os números que podem ser escritos na</p><p>forma de fração. Sendo a/b, com b ≠ 0, temos os seguintes elementos</p><p>desse conjunto:</p><p> Observe que, todos os números são inteiros, mas b representa os</p><p>inteiros não nulos.</p><p>Números Racionais - Q</p><p> São exemplos de números racionais:</p><p>Q = {0, ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ±2, ± 2/3, ± 2/5, ± 3, ± 3/2}</p><p> Os termos numéricos que compõem o conjunto dos números</p><p>racionais são: os números inteiros positivos e negativos, números</p><p>decimais, números fracionários e dízima periódica.</p><p>Números Irracionais - I</p><p> Esse conjunto é representado pela letra maiúscula I, é formado</p><p>pelos números decimais infinitos não periódicos, ou seja, números</p><p>que possuem muitas casas decimais, mas que não têm um período.</p><p> Entenda período como sendo a repetição de uma mesma sequência</p><p>de números infinitamente.</p><p>Números Irracionais - I</p><p> Portanto, esses números não podem ser representados por frações</p><p>irredutíveis.</p><p> Exemplos:</p><p>O número PI que é igual a 3,14159265…</p><p>Raízes não exatas como 1,4142135…</p><p>Números Irracionais - I</p><p> Mais alguns exemplos de números irracionais:</p><p>√2 = 1,414213562373...</p><p>√3 = 1,732050807568...</p><p>√5 = 2,236067977499...</p><p>√7 = 2,645751311064...</p><p>Números Reais - R</p><p> Os números reais correspondem a união dos conjuntos de números:</p><p>naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I).</p><p>CONJUNTOS</p><p>Conjuntos</p><p> A compreensão de conjuntos é a principal base para o estudo da</p><p>álgebra e de conceitos de grande importância na Matemática, como</p><p>funções e inequações.</p><p> A notação que usamos para conjuntos é sempre uma letra</p><p>maiúscula do nosso alfabeto (por exemplo, conjunto A ou conjunto B).</p><p>Conjuntos</p><p> Em se tratando da representação dos conjuntos, ela pode ser</p><p>feita pelo diagrama de Venn, pela simples descrição das</p><p>características dos seus elementos, pela enumeração dos elementos</p><p>ou pela descrição das suas propriedades.</p><p>Representação de Conjuntos</p><p> Para representação de um conjunto, utilizamos sempre uma letra</p><p>maiúscula do alfabeto, e os elementos estão sempre entre chaves e</p><p>separados por vírgula.</p><p> Para representar o conjunto dos números pares maiores que 1 e</p><p>menores que 20, por exemplo, usamos a seguinte notação: P = {2, 4,</p><p>6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}.</p><p>Formas de Representação</p><p> Representação por enumeração.</p><p> Descrevendo as características ou propriedades.</p><p> Diagrama de Venn.</p><p>Enumeração</p><p> Podemos enumerar seus elementos, ou seja, fazer uma lista,</p><p>sempre entre chaves.</p><p> Exemplo: A = {1, 5, 9, 12, 14, 20}.</p><p>Características</p><p> Podemos simplesmente descrever as características ou</p><p>propriedades do conjunto.</p><p> Exemplos: X = {x é um número positivo múltiplo de 5};</p><p>Y = {conjunto dos meses do ano}.</p><p>Diagrama de Venn</p><p> Os conjuntos também podem ser representados na forma de um</p><p>diagrama, conhecido como diagrama de Venn, que é uma</p><p>representação mais eficiente para a realização das operações.</p><p>Diagrama de Venn</p><p> Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, podemos representá-lo no</p><p>diagrama de Venn a seguir:</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>A</p><p>Pertinência</p><p> Dado um elemento qualquer, podemos dizer que o elemento</p><p>pertence ao conjunto ou não pertence a esse conjunto.</p><p> Para representar essa relação de pertinência de forma mais rápida,</p><p>utilizamos os símbolos ∈ "(lê-se pertence) e ∉ (lê-se não pertence).</p><p>Pertinência</p><p> Exemplo: seja P o conjunto dos números pares, podemos dizer que</p><p>o 7 ∉ P e que 12 ∈ P.</p><p>Igualdade de Conjuntos</p><p> É inevitável a comparação entre os conjuntos, sendo assim,</p><p>podemos afirmar que dois conjuntos são iguais ou não, verificando</p><p>cada um dos seus elementos.</p><p> Seja A = {0, 1, 3, 4, 8} e B = {8, 4, 3, 1, 0}, ainda que os elementos</p><p>estejam em ordem diferente, podemos afirmar que os conjuntos A e B</p><p>são iguais: A = B.</p><p>Relação de Inclusão</p><p> Ao comparar dois conjuntos, podemos nos deparar com diversas</p><p>relações, e uma delas é a relação de inclusão. Para essa relação,</p><p>precisamos conhecer alguns símbolos:</p><p>⊃ → contém</p><p>⊂ → está contido</p><p>⊅ → não contém</p><p>⊄ → não está contido</p><p>Relação de Inclusão</p><p> Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem também a</p><p>um conjunto B, dizemos que A ⊂ B ou que A está contido em B.</p><p> Exemplo: A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. É possível também</p><p>fazer a representação pelo diagrama de Venn.</p><p>Relação de Inclusão</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>A</p><p>B</p><p>Subconjuntos</p><p> Quando acontece uma relação de inclusão, ou seja, o conjunto A</p><p>está contido no conjunto B, podemos dizemos que A é subconjunto</p><p>de B.</p><p>Subconjuntos</p><p> O subconjunto continua sendo um conjunto, e um conjunto pode ter</p><p>vários subconjuntos, construídos a partir dos elementos pertencentes</p><p>a ele.</p><p>Subconjuntos</p><p> Exemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} tem como subconjuntos os</p><p>conjuntos B = {1, 2, 3}, C = {1, 3, 5, 7} e D = {1} e, até mesmo, o</p><p>conjunto A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, ou seja, A é subconjunto dele</p><p>mesmo.</p><p>Conjunto Unitário</p><p> Como o nome já sugere, é aquele conjunto que possui somente um</p><p>elemento, como o conjunto D = {1} mostrado anteriormente.</p><p> Dado o conjunto B = {1, 2, 3}, temos os subconjuntos {1}, {2} e {3},</p><p>que são todos conjuntos unitários.</p><p>Conjunto Vazio</p><p> Com um nome mais sugestivo ainda, o conjunto vazio não possui</p><p>nenhum elemento e é subconjunto de qualquer conjunto.</p><p> Para representar o conjunto vazio, há duas representações</p><p>possíveis, sendo elas V = { } ou o símbolo Ø.</p><p>Conjuntos das Partes</p><p> Conhecemos como conjuntos das partes todos os subconjuntos</p><p>possíveis de um determinado conjunto.</p><p>Conjuntos das Partes</p><p> Seja A = {1, 2, 3, 4}, podemos listar todos os subconjuntos desse</p><p>conjunto A começando com o conjunto que possui nenhum elemento</p><p>(vazio) e, depois, os que possuem um, dois, três e quatro elementos,</p><p>respectivamente.</p><p>Conjuntos das Partes</p><p> Seja A = {1, 2, 3, 4}, segue todos os subconjuntos desse conjunto:</p><p> Conjunto vazio: { }.</p><p> Conjuntos unitários: {1}; {2}; {3}; {4}.</p><p> Conjuntos com dois elementos: {1, 2}; {1, 3}; {1, 4}; {2, 3}; {2, 4}; {3, 4}.</p><p> Conjuntos com três elementos: {1, 2, 3}; {1, 3, 4}; {1, 2, 4}; {2, 3, 4}.</p><p> Conjunto com quatro elementos: {1, 2, 3, 4}.</p><p>Conjuntos Finito e Infinito</p><p> Ao trabalhar com conjuntos, encontramos conjuntos que são</p><p>limitados (finitos) e aqueles que são ilimitados (infinitos).</p><p>Conjunto Infinito</p><p> Os conjuntos dos números pares ou ímpares, por exemplo, é infinito</p><p>e, para representá-los, descrevemos alguns dos seus elementos em</p><p>sequência, de forma que seja possível prever quais serão os</p><p>próximos elementos,</p><p>e colocamos reticências no final.</p><p>I = {1, 3, 5, 7, 9, 11...}</p><p>P = {2, 4, 6, 8, 10, ...}</p><p>Conjunto Finito</p><p> Já em um conjunto finito, não colocamos as reticências no final, pois</p><p>ele possui começo e final definidos.</p><p>A = {1, 2, 3, 4}</p><p>Conjunto Universo</p><p> O conjunto universo, denotado por U, é definido como o conjunto</p><p>formado por todos os elementos que devem ser considerados dentro</p><p>de um problema.</p><p> Todo elemento pertence ao conjunto universo e todo conjunto está</p><p>contido no conjunto universo.</p><p>Operações com Conjuntos</p><p> Ao trabalhar com problemas que envolvem conjuntos, existem</p><p>situações que exigem a realização de operações entre os conjuntos,</p><p>sendo elas a união, a intersecção e a diferença.</p><p>Intersecção de Conjuntos</p><p> Ocorre uma intersecção quando os elementos pertencem</p><p>simultaneamente a um ou mais conjuntos.</p><p> Ao escrever A∩B, estamos procurando os elementos que</p><p>pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B.</p><p>Intersecção de Conjuntos</p><p> Ao escrever A∩B, estamos procurando os elementos que</p><p>pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B.</p><p>Intersecção de Conjuntos</p><p> Exemplo: Considere A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {2, 4, 6, 7, 8}, os</p><p>elementos que pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B</p><p>são: A∩B = {2, 4, 6}.</p><p>Intersecção de Conjuntos</p><p> A representação dessa operação é feita da seguinte forma:</p><p>Intersecção de Conjuntos</p><p> Quando os conjuntos não possuem nenhum elemento em comum,</p><p>são conhecidos como conjuntos disjuntos: A∩B = { }.</p><p>Diferença entre Conjuntos</p><p> Calcular a diferença entre dois conjuntos é procurar os elementos</p><p>que pertencem a somente um dos dois conjuntos. Por exemplo, A – B</p><p>tem como resposta um conjunto composto por elementos que</p><p>pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.</p><p>Diferença entre Conjuntos</p><p> Calcular a diferença entre dois conjuntos é procurar os elementos</p><p>que pertencem a somente um dos dois conjuntos.</p><p>Diferença entre Conjuntos</p><p> Exemplo: A – B tem como resposta um conjunto composto por</p><p>elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto</p><p>B.</p><p>Diferença entre Conjuntos</p><p> Exemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {2, 4, 6, 7, 8}. Note que A∩B =</p><p>{2, 4, 6}, então temos que:</p><p>A – B = {1, 3, 5}</p><p>B – A = {7, 8}</p><p>União entre Conjuntos</p><p> A união de dois ou mais conjuntos é a junção dos seus termos.</p><p>Caso haja elementos que se repitam nos dois conjuntos, eles são</p><p>escritos uma única vez.</p><p>União entre Conjuntos</p><p> Exemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7, 10, 14}. Para</p><p>representar a união, usamos o símbolo U (lê-se: A união com B).</p><p>A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 14}</p><p>Exercício</p><p> Em um colégio, de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de chocolate,</p><p>70 gostam de sorvete de creme e 60 gostam dos dois sabores.</p><p>Quantos alunos não gostam de nenhum dos dois sabores?</p><p>Exercício</p><p>CHOCOLATE CREME</p><p>60</p><p>20 10</p><p>10</p><p>Bibliografia</p><p> Brasil Escola. Matemática. Conjunto. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjunto.htm</p><p> Infoescola Navegando e Aprendendo. Matemática. Conjuntos Numéricos. https://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-numericos/</p><p>https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjunto.htm</p><p>https://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-numericos/</p><p>escolaprofissional.com.br</p><p>Rua Eng. Rebouças, 2213</p><p>Curitiba | PR | Brasil</p><p>adm.etpescola@gmail.com</p><p>41 3332-7025</p><p>mailto:adm.etpescola@gmail.com</p>