1 2 Conjuntos numéricos

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Conjuntos numéricos
Apresentação
Em situações aplicadas envolvendo classificação, frequentemente é necessário lidar com categorias 
(ou características em comum), como, por exemplo, marca de um produto, nacionalidade de um 
indivíduo, porte de uma empresa, tipos de meios de transporte utilizados para se deslocar até o 
serviço, entre outras. Para cada categoria podem-se listar elementos pertencentes ou não a ela. 
Esta é a ideia intuitiva de conjunto.
É possível afirmar que, ao estudar conjuntos, considera-se uma “coleção” de objetos, chamados de 
"elementos", que estão reunidos por um motivo comum. Por exemplo, podem-se reunir uma 
caneta, uma meia e uma bola que têm em comum a característica “cor azul”, mas também é possível 
formar um conjunto de vogais ou estabelecer conjuntos formados por números. Estes recebem o 
nome de "conjuntos numéricos", e alguns deles são muito utilizados na resolução de problemas; por 
isso, recebem nomes especiais: naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar a noção de conjuntos, a sua definição, as suas 
representações e as principais relações entre eles.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir o que é conjunto numérico em matemática.•
Listar os tipos de representação de conjuntos e os conjuntos numéricos.•
Relacionar os conjuntos de acordo com as suas propriedades.•
Desafio
A noção de conjunto é fundamental na estruturação do pensamento matemático, pois a partir dela 
pode-se expressar de forma organizada muitos conceitos matemáticos e tomar decisões.
Considerando que um conjunto é uma coleção de qualquer tipo de objeto — por exemplo, o 
conjunto das regiões brasileiras é formado pelos elementos Norte, Nordeste, Centro-Oeste, 
Sudeste e Sul; o conjunto das vogais é formado pelos elementos a, e, i, o, u; o conjunto dos 
números ímpares é formado por 1, 3, 5, 7, ... —, podemos afirmar que esse conceito tem aplicações 
nas mais diversas áreas.
Pensando nisso, confira, a seguir, como utilizar a noção de conjunto para identificar quais 
categorias de livros são mais lidos por alunos de uma escola de ensino fundamental.
A partir de todos os resultados e afirmações apresentados com a pesquisa realizada entre os 
alunos, responda:
Identifique o perfil de leitura deles e, assim, proponha que gênero(s) de livro a escola deve comprar 
para eliminar a fila de espera e possibilitar que os alunos leiam mais.
Infográfico
Intuitivamente, pode-se compreender conjunto como um agrupamento, coleção, lista ou classe de 
objetos bem definidos. Os objetos que constituem os conjuntos podem ser de qualquer tipo: 
números, pessoas, letras, estados, etc., e são chamados de "elementos".
Quando os elementos de um conjunto são números, estamos diante de um conjunto numérico. 
Alguns são mais utilizados e recebem nomes específicos: naturais, inteiros, racionais, irracionais, 
reais e complexos.
Acompanhe, neste Infográfico, um diagrama representativo dos conjuntos numéricos, que ajuda a 
identificar qual conjunto está contido em outro, ou seja, mostra a relação de subconjunto entre 
eles. Além disso, você vai conferir exemplos de números pertencentes aos respectivos conjuntos, 
facilitando, assim, seu entendimento.
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Conteúdo do livro
Um conjunto pode ser entendido como qualquer coleção bem definida de objetos. Os conjuntos 
numéricos são aqueles cujos elementos são números com determinada característica comum. O 
ramo da matemática que estuda esses conjuntos é chamado de "teoria dos conjuntos".
Os conjuntos numéricos evoluíram de acordo com as demandas matemáticas. Inicialmente, tinha-se 
a apenas o conjunto dos números naturais. A partir da necessidade dos números negativos, surgiu, 
então, o conjunto dos inteiros. Logo em seguida, foram necessários os números decimais. 
Posteriormente, foi criado o conjunto dos racionais, e assim por diante. Assim, obtemos os 
conjuntos numéricos, tema desta Unidade.
No capítulo Conjuntos numéricos, base teórica desta Unidade de Aprendizagem, confira as 
representações dos conjuntos, sua definição e as operações realizadas.
Boa leitura.
FUNDAMENTOS 
DE MATEMÁTICA 
Mariana Sacrini Ayres Ferraz
Rute Henrique da Silva Ferreira
Conjuntos numéricos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir o que são conjuntos numéricos em matemática.
 � Representar conjuntos por meio dos diagramas de Venn.
 � Realizar operações com conjuntos.
Introdução
Os conjuntos são bastante importantes em matemática. Talvez os mais 
famosos sejam os conjuntos numéricos, como os reais, os inteiros e os 
naturais. Embora eles tenham muitas aplicações puramente matemáticas, 
muitas áreas se beneficiam de suas teorias, como quando temos que di-
vidir grupos que tenham características similares ou não, ou parcialmente 
similares, e problemas de reconhecimento de padrões.
Neste capítulo, você aprenderá a definição de conjuntos, como 
representá-los e suas propriedades.
1. Conjuntos numéricos
Um conjunto pode ser definido como uma coleção de entidades, as quais são 
seus elementos. Ou seja, é uma coleção de elementos que estão relacionados 
segundo alguma regra. Por exemplo, os elementos poderiam ser números, 
frutas, pessoas, carros, etc. Já a regra à qual os elementos obedecem deve 
ser bem-definida — por exemplo, poderíamos ter um conjunto de palavras 
pertencentes à língua portuguesa.
Geralmente, são utilizadas letras maiúsculas para se especificar os conjun-
tos, como A, B, W, …, e letras minúsculas para os elementos de um conjunto, 
como a, b, c ,z,... Por exemplo:
g, h ∈ A,
que significa que os elementos g e h pertencem ao conjunto A. O símbolo ∈ pode 
ser interpretado como “é um elemento de”. Para a negativa dessa afirmação, 
usa-se ∉, o que significa “não é um elemento de”.
Notação
Para se descrever os elementos de um conjunto, geralmente são utilizadas 
chaves {} e vírgulas para separar os elementos. Por exemplo:
{–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Para conjuntos com número de elementos muito grandes, a notação 
acima não seria a mais indicada, pois geraria imensas listas. Assim, uma 
maneira de se descrever os conjuntos é utilizar uma letra, como x. Por 
exemplo:
B = {x│x é um inteiro e |x|“subconjunto contido em”, ou ainda ⊃ , com a seguinte leitura 
“subconjunto contém”.
Neste momento é importante deixar claro dois tipos de relações, a de 
pertinência e a de inclusão. 
 Para a relação de pertinência utiliza-se os símbolos de ∈,∉ , onde lemos 
pertence e não pertence respectivamente, e com isso queremos dizer que 
aquele elemento faz parte ou não de um determinado conjunto. Esses 
símbolos só podem ser usados entre um elemento e um conjunto, ou seja, 
não pode ser usado entre dois conjuntos. Como exemplo, temos o conjunto 
A={2,6,1,8,4,9}, podemos escrever por exemplo que 2∈A, ou que 8∈A, ou 
ainda que -1∉A e assim por diante.
 Já para a relação de inclusão, utilizamos os símbolos de ⊂,⊃ , que lemos 
contido e contém respectivamente. Essa relação quer representar que um 
conjunto “está dentro de outro”, ou ainda que um conjunto é subconjunto de 
outro. Esses símbolos só podem ser usados entre dois conjuntos ou 
subconjuntos, como por exemplo, conhecendo o conjunto 
A={-3,-1,0,6,9,11} e o conjunto B={-3,0,11}, podemos escrever que B⊂A 
ou ainda que A⊃B. Aqui é importante lembrar que para um conjunto estar 
contido em outro, todos os elementos devem estar.
4Conjuntos numéricos
1.2 Conjuntos numéricos especiais
Alguns conjuntos são muito usados e, assim, acabaram recebendo tratamento 
especial. Veja a seguir.
� N: conjunto dos números naturais, ou inteiros positivos, com o zero
— N = {0, 1, 2, 3, 4, …}.
� Z: conjunto dos números inteiros, ou seja, todos os números inteiros
positivos, negativos e o zero — Z ={…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.
� Q: conjunto dos números racionais, números reais com dígitos decimais
finitos. Números que podem ser escritos em forma de fração de números
inteiros, resultando assim em decimais com dígitos finitos – 𝑄 = , 
p, q ϵ Z e q ≠ 0 .
� I: Conjunto dos números irracionais, números que não podem ser
escritos em forma de fração de números inteiros, resultando assim
em decimais com dígitos infinitos — por exemplo, raízes não exatas 
, o número 𝜋 e o número de Euler 𝑒.
� R: conjunto dos números reais, o qual inclui os racionais e os irracio-
nais — R = Q ∪ I.
� C: conjunto dos números complexos, pares (a, b) de números reais, ou
seja, números da forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i2 = –1.
Em teoria de conjuntos, a notação * é utilizada quando desejamos excluir o número 
zero do conjunto. Por exemplo:
 � N* = {1, 2, 3, 4, ...};
 � Z* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}.
A partir dessa descrição, podemos pensar N como uma parte de Z, Z como 
uma parte de Q e Q como uma parte de R. Em Q, equações do tipo x2 – 3 = 0 
ou o cálculo da área do círculo, por exemplo, não podem ser resolvidas. Temos 
então um novo conjunto, os irracionais e esse conjunto I pode ser entendido 
como uma parte de R.
No entanto, alguns problemas não podem ser resolvidos apenas em R, o que 
motivou o desenvolvimento dos números complexos. Por exemplo, a equação 
x2 + 1 = 0 não tem solução em R, mas, em C, veremos que ela tem solução. 
Na teoria de conjuntos um número complexo é um par ordenado de nú-
meros reais (a, b) em que estão definidas igualdade, adição e multiplicação 
(DANTE, 2002):
(a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) ∙ (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
Os números reais pertencem a C e são aqueles pares em que temos b = 0, 
ou seja, o número real 5 pode ser escrito como o par (5, 0). Também é dado 
um nome especial para o par (0, 1), unidade imaginária. Ele é indicado por i, 
e, usando a definição de multiplicação de complexos, temos:
(a,b) ∙ (c,d) = (ac - bd, ad + bc)
i2 = (0,1) ∙ (0,1) = (0 ∙ 0 ‒ 1 ∙ 1, 0 ∙ 1 + 1 ∙ 0) = ( ‒ 1, 0) = ‒ 1
Essa definição nos permite calcular, em C, raízes quadradas de números 
negativos. Por exemplo:
Conjuntos numéricos5
Os números complexos podem ser representados na forma algébrica ou na 
forma trigonométrica. Veja a seguir algumas definições e exemplos envolvendo 
números complexos.
Forma algébrica de um número complexo: z = a + bi
(‒2, 3) = ‒2 + 3i
(0, ‒1) = 0 ‒ 1i = –i
Conjugado de um número complexo: z = a – bi
z = 2 + 3i → z = 2 – 3i
z = 5 – 2i → z = 5 + 2i
Interpretação geométrica de um número complexo
Como cada número complexo está associado a um par (𝑎,𝑏), que por sua vez 
está associado a um único ponto no plano, podemos representá-los como um 
ponto P no sistema de coordenadas cartesianas. O ângulo θ formado pelo 
segmento Oz e o eixo x é chamado de argumento, e ρ é o módulo de z, que 
definimos na Figura 1.
Figura 1. Gráfico do módulo de z.
Fonte: Adaptada de Dante (2002).
6Conjuntos numéricos
Módulo de um número complexo
O módulo de um número complexo é a distância da origem do sistema de 
coordenadas até o ponto z. Aplicando o teorema de Pitágoras, . 
Vejamos um exemplo:
Forma trigonométrica de um número complexo
A partir da representação geométrica de um número complexo, considerando-
-se seu módulo, o ângulo formado pelo segmento Oz e o eixo x e as noções
de seno e cosseno, temos:
z = a = bi → |z| (cos θ + isen θ)
Vejamos um exemplo:
Resolução de equações com raiz complexa
x2 – 2x + 10 = 0
∆ = b2 – 4ac = 4 – 4 ∙ 1 ∙ 10 = –36 → não possui raiz real
Usando números complexos, temos: 
Assim, as raízes da equação são 1 + 3i e 1 – 3i.
Conjuntos numéricos7
A equação x2 + 1 = 0, mencionada anteriormente no capítulo, pode ser 
resolvida da seguinte forma:
Sua solução, então, é:
x = ±i
1.3 Conjunto universo e conjunto vazio
O conjunto universo normalmente é denotado pela letra U. Ele seria composto 
por todos os elementos e conjuntos em um dado contexto. Já o conjunto vazio 
não contém qualquer elemento e é representado por chaves vazias {}, ou pelo 
símbolo ∅. Por exemplo:
Se U = Z, então {x│x2 = 10} = ∅.
1.4 Conjuntos disjuntos
Conjuntos disjuntos são aqueles que não têm elementos em comum. Por 
exemplo, suponha os três conjuntos a seguir:
A = {1, 4, 5},
B = {5, 6, 8, 10} e
C = {10, 14}.
Os conjuntos A e C são considerados disjuntos, mas A e B não, pois eles 
têm elementos em comum. Os conjuntos B e C também não são disjuntos.
8Conjuntos numéricos
Podemos afirmar que
N⊂Z⊂Q⊂Z
Sim podemos, pois neste caso estamos afirmando que o conjunto dos naturais 
está contido no conjunto dos inteiros, que por sua vez está contido dentro do 
conjunto dos racionais e por fim, o conjunto dos racionais está contido no 
conjunto dos inteiros. A seguir quando aprendermos o conceito diagrama de 
Venn e observarmos a Figura 3, este conceito fica bem claro.
2. Diagramas de Venn
Uma maneira de representar conjuntos é usando os diagramas de Venn. Nesses 
diagramas, os conjuntos são representados por áreas delimitadas no 
espaço, geralmente círculos e elipses. Assim, o conjunto universo U é 
representado por um retângulo, em que estão os outros conjuntos. A Figura 
2 mostra três exemplos de diagramas de Venn. Em (a), há um exemplo em 
que o conjunto A está contido no conjunto B; em (b), os conjuntos A e B são 
disjuntos; em (c), os conjuntos A e B sobrepõem-se parcialmente.
Figura 2. Exemplos de diagramas de Venn.
Fonte: Adaptada de Lipschutz e Lipson (2013).
Os diagramas de Venn também servem para ilustrar os conjuntos numéricos 
descritos na seção anterior, como mostra a Figura 3.
Figura 3. Representação dos conjuntos numéricos.
N
Números Naturais
Z
Números Inteiros
Q
Números Racionais
I
R = Q ∪ I
Números
Irracionais
C
Números Complexos
Conjuntos numéricos9
A figura a seguir representa um diagrama de Venn de dois conjuntos A e B.
O conjunto universo U foi dividido em quatro regiões chamadas de i, ii, iii e iv. O 
que pode ser dito sobre os conjuntos A e B:
a) se a região ii for vazia?
b) se a região iii for vazia?
Se a região ii for vazia, então A não contém elementos que não estão em B. Assim, 
A é um subconjunto de B, e o diagrama deveria ser redesenhado como na Figura 2a.
Agora, se a região iii for vazia, então A e B não têm elementos em comum, sendo
disjuntos. Assim, o diagrama deveria ser redesenhado como na Figura2b.
Para desenhar um diagrama de Venn, pode-se usar uma técnica que contém 
dois passos, descrita a seguir. Primeiramente, supomos os seguintes conjuntos:
U = {1, 2, 3, …, 12}
A = {2, 3, 7, 8, 9}
B = {2,8}
C = {4, 6, 7, 10}
Para desenhar o diagrama desses conjuntos, você deve seguir os passos:
a) desenhe um diagrama genérico com os conjuntos.
b) insira os elementos em suas devidas regiões.
c) redesenhe o diagrama, eliminando regiões vazias.
10Conjuntos numéricos
Assim, o primeiro passo geraria um diagrama como mostrado na Figura 4a. 
A partir daí, preencheremos as regiões com os elementos dos conjuntos. Analise 
elemento a elemento, checando se ele pertence a mais de um conjunto. Assim, 
o resultado ficaria como o mostrado na Figura 4b.
Figura 4. Passos para desenhar um diagrama de Venn. (a) Diagrama genérico. (b) Diagrama 
genérico preenchido. (c) Diagrama redesenhado, eliminando os espaços vazios.
3. Operações com conjuntos
Algumas operações podem ser feitas com conjuntos, como união, interseção 
e complementar. 
A união de dois conjuntos A e B representa um conjunto com todos os 
elementos de A ou B, ou seja: 
A ∪ B = {x|x ∈ A ou x ∈ B}
A Figura 5a mostra um diagrama de Venn, em que o conjunto A ∪ B (lê-
se: A união com B) está sombreado.
Conjuntos numéricos11
A interseção de dois conjuntos A e B representa um conjunto que pertence 
a ambos, A e B, ou seja: 
A ∩ B = {x|x ∈ A e x ∈ B}
A Figura 5b mostra um diagrama de Venn, em que o conjunto A ∩ B (lê-
se: A interseção com B) está sombreado.
Figura 5. Diagramas de Venn representando as operações de união e interseção entre 
conjuntos.
Fonte: Adaptada de Lipschutz e Lipson (2013).
Suponha os conjuntos:
A = {1, 2, 3},
B = {3, 4, 5} e
C = {6, 7}.
Temos que:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
A ∩ B = {3}
B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7}
B ∩ C = ∅
A ∪ C = {1, 2, 3, 6, 7}
A ∩ C = ∅
12Conjuntos numéricos
O complementar de um conjunto A é o conjunto de elementos que 
pertencem a U, mas que não pertencem a A, ou seja, A^C (lê-se: A 
complementar):
AC = {x|x ∈ U, x ∉ A} 
 Conseguimos verificar a representação desta operação na Figura 6b por 
meio do diagrama de Venn.
Ainda sobre a operação diferença, temos a diferença simétrica ⊕ de dois 
conjuntos A e B. São elementos que pertencem a um ou a outro conjunto, 
mas não a ambos, podendo ser escrito como:
A ⊕ B = {(A ∪ B) - (A ∩ B)}
ou ainda podemos escrever como:
A ⊕ B = {(A - B) ∪ (B - A)}
A Figura 6c representa A ⊕ B por meio de um diagrama de Venn.
Figura 6. Diagramas de Venn representando complementar, complementar relativo e 
diferença simétrica.
Fonte: Lipschutz e Lipson (2013, p. 6).
Conjuntos numéricos13
A Figura 6 mostra um diagrama de Venn do complementar de um 
conjunto A. 
Também temos a diferença entre conjuntos, A-B, lemos A menos B ou 
A diferença B. É o conjunto de elementos que pertencem a A, mas não 
pertencem a B, ou seja:
Dados os conjuntos A={x∈Z /-4os conjuntos {1, 2, 3} e {4, 5, 6, 7, 8}.
D) A tem três elementos: os conjuntos {1, 2, 3}, {4, 5} e {6, 7, 8}.
E) A tem oito elementos: os conjuntos {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, { 8}.
4) A ideia de conjuntos pode ser utilizada em problemas aplicados em que desejamos analisar 
as preferências de consumidores em relação a determinados produtos, visando à tomada de 
decisão. Considere que, em uma pesquisa com 120 pessoas, foi descoberto que: 65 leem a 
revista Newsweek, 42 leem Fortune, 45 leem Time, 20 leem Newsweek e Time, 25 leem 
Newsweek e Fortune, 15 leem Time e Fortune, 8 leem as três revistas, e 20 pessoas não leem 
nenhuma das três revistas.
Com base nesses dados, o número de pessoas que leem apenas uma revista é:
A) 28.
B) 56.
C) 18.
D) 10.
E) 20.
5) No estudo da teoria dos conjuntos, algumas operações podem ser definidas, como, por 
exemplo, a união, a interseção, o complementar e a diferença. A união de dois conjuntos A e 
B representa um conjunto com todos os elementos de A ou B. A interseção de dois 
conjuntos A e B representa um conjunto formado por elementos que pertencem a ambos. O 
complementar de um conjunto A é o conjunto de elementos que pertencem ao universo U, 
mas que não pertencem a A. A diferença A – B entre os conjuntos A e B é o conjunto de 
elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B.
Diante dessas definições, e conhecendo os conjuntos A ={x, y, z, w, t}, B = {w, o, u, t, x} e C = 
{o, t, z}, o conjunto {y, z} é resultado de qual operação?
A) (A ∪ B) ∩ C.
B) C – (A ∪ B).
C) (A ∩ B) ∪ C.
D) (B – C) ∪ A.
E) (A ∪ C) – B.
Na prática
Muitas vezes, associamos o estudo de conjuntos numéricos a problemas algébricos envolvendo a 
resolução de equações ou o domínio de funções. No entanto, essa ideia pode estar presente em 
problemas aplicados, auxiliando na interpretação de dados e na tomada de decisões.
Confira, Na Prática, um exemplo de como reunir os clientes de um estabelecimento comercial em 
conjuntos, ou seja, agrupá-los, observando as características em comum, o que pode facilitar a 
tomada de decisão do proprietário do estabelecimento.
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Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Pré-cálculo
No Capítulo 1, "Matemática básica", é realizada uma breve revisão de conceitos da matemática 
elementar, incluindo o estudo de conjuntos, na seção 1.1. Os autores apresentam a definição e as 
propriedades dos principais conjuntos numéricos, seguidas de exemplos e exercícios para praticar 
os conceitos estudados.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Matemática aplicada à informática
No Capítulo 2, "Teoria dos conjuntos", os autores apresentam a definição, as propriedades e as 
operações dos principais conjuntos numéricos. São abordados os conceitos, seguidos de exemplos 
e exercícios para praticar os conceitos estudados.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Operações com conjuntos: união, interseção, diferença e 
complementar
Este vídeo ressalta a representação de um conjunto por meio de seus elementos entre chaves e 
separados por vírgula para, em seguida, apresentar, por meio de um exemplo, como realizar as 
operações de união, interseção, diferença e complementar entre dois conjuntos.
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