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<p>O Motor do Crescimento</p><p>Antonio Matheus Sá</p><p>Os Elementos Básicos do Modelo</p><p>• Modelo NeoClássico → Destaca o progresso tecnológico como motor do crescimento;</p><p>• O modelo de Romer torna endógeno o progresso tecnológico ao introduzir a busca de novas</p><p>ideias por pesquisadores interessados em lucrar a partir de suas inovações e invenções;</p><p>• O modelo visa a explicar por que e como os países avançados exibem um crescimento</p><p>sustentado;</p><p>• Nesse modelo, o progresso tecnológico é movido pela pesquisa e desenvolvimento no</p><p>mundo avançado;</p><p>• Há dois elementos principais no modelo de Romer de mudança tecnológica endógena;</p><p>- Uma equação que descreve a função de produção;</p><p>- E um conjunto de equações que descrevem a evolução dos insumos da função de produção</p><p>de longo prazo;</p><p>Função de Produção,</p><p>• A Função de Produção agregada do modelo de Romer descreve como o estoque de capital</p><p>(K) e o trabalho (LY) se combinam para gerar o produto (Y) usando o estoque de ideias (A);</p><p>- 𝐘 = 𝐊𝛂(𝐀. 𝐋𝐲)𝟏−𝛂, 0 < α < 1;</p><p>• Dado o nível de tecnologia (A), a função de produção apresenta retornos constantes à</p><p>escala;</p><p>• Quando é admitido que as ideias (A) também são um insumo da produção, a função</p><p>apresenta retornos crescentes à escala;</p><p>Acumulação de Capital e Trabalho,</p><p>• O capital se acumula na medida em que as pessoas abrem mão do consumo a uma dada</p><p>taxa sK e se deprecia à taxa exógena d:</p><p>- 𝐊</p><p>.</p><p>= 𝐬𝐊𝐘 − 𝐝. 𝐊</p><p>- 𝐬𝐊 → Taxa a qual as pessoas abrem mão do consumo;</p><p>- d → Taxa exógena de depreciação;</p><p>• A mão de obra, que é equivalente à população, cresce exponencialmente a uma taxa</p><p>exógena e constante n:</p><p>-</p><p>𝐋</p><p>.</p><p>𝐋</p><p>= 𝐧</p><p>- n → Taxa exógena de crescimento da população;</p><p>Processo Tecnológico,</p><p>• No modelo de Romer, o crescimento de A foi tornado endógeno;</p><p>• A(t) → Estoque de conhecimento ou o número de ideias que foram inventadas ao longo do</p><p>tempo da história até o momento t;</p><p>• 𝐀</p><p>.</p><p>→ Representa o número de novas ideais geradas em qualquer ponto do tempo;</p><p>- É resultado do número de pessoas que tentam descobrir novas ideias (LA) multiplicado</p><p>pela taxa a qual elas descobrem novas ideias δ̄;</p><p>- 𝐀</p><p>.</p><p>= �̄�. 𝐋𝐀</p><p>• A mão de obra dedica-se a gerar ideias ou produto, assim, a economia enfrenta a seguinte</p><p>restrição de recursos;</p><p>- 𝐋 = 𝐋𝐀 + 𝐋𝐘</p><p>• A taxa de geração de novas ideias δ̄ é uma função do conhecimento e das ideias que foram</p><p>geradas no passado, assim:</p><p>- �̄� = 𝛅. 𝐀∅</p><p>- Em que δ e ∅ são constantes nessa equação;</p><p>- ∅ → Parâmetro de transbordamento de conhecimentos;</p><p>- ∅ > 0 → A produtividade da pesquisa aumenta com o número de ideias geradas;</p><p>- ∅ < 0 → A geração de novas ideias se torna cada vez mais difícil no decorrer do tempo;</p><p>- ∅ = 0 → A produtividade da pesquisa independe do estoque de conhecimento;</p><p>• É possível que a produtividade média da pesquisa seja dependente do número de</p><p>pesquisadores, assim, a função de produção de novas ideias passa a ser modelada como:</p><p>- 𝐀</p><p>.</p><p>= �̄�. 𝐀∅. 𝐋𝐀</p><p>𝛌</p><p>- λ → Parâmetro com valor entre 0 e 1;</p><p>Crescimento no Modelo de Romer</p><p>• A questão importante é: Qual é a taxa do progresso tecnológico ao longo da trajetória do</p><p>crescimento equilibrado?</p><p>• O modelo atribui ao progresso tecnológico todo o crescimento per capita, se não houver</p><p>progresso tecnológico no modelo, então não há crescimento;</p><p>• O produto per capita (y), a razão capital-trabalho (</p><p>𝐊</p><p>𝐋</p><p>) e o estoque de ideias (A) crescerão</p><p>à mesma taxa ao longo da trajetória de crescimento equilibrado;</p><p>- 𝐠𝒚 = 𝐠𝒌 = 𝐠𝐀</p><p>- gx → A taxa de crescimento de qualquer variável per capita x ao longo da trajetória de</p><p>crescimento equilibrado;</p><p>• Para responder à questão, a função de produção de novas ideias é reescrita, dividindo</p><p>ambos os membros por A:</p><p>- 𝐀</p><p>.</p><p>= �̄� . 𝐀∅ . 𝐋𝐀</p><p>𝛌 →</p><p>𝐀</p><p>.</p><p>𝐀</p><p>=</p><p>�̄� . 𝐀∅ . 𝐋𝐀</p><p>𝛌</p><p>𝐀</p><p>• Ao longo de uma trajetória de crescimento equilibrado,</p><p>𝐀</p><p>.</p><p>𝐀</p><p>≡ 𝐠𝐀 é constante;</p><p>- Mas essa taxa de crescimento será constante apenas se o numerador e o denominador do</p><p>lado direito da equação</p><p>𝐀</p><p>.</p><p>𝐀</p><p>=</p><p>𝛅 ̄ . 𝐀∅ . 𝐋𝐀</p><p>𝛌</p><p>𝐀</p><p>crescerem à mesma taxa;</p><p>- Tirando o logaritmo e derivando ambos os membros da equação: 𝟎 = 𝛌</p><p>𝐋</p><p>.</p><p>𝐀</p><p>𝐋𝐀</p><p>− (𝟏 − ∅)</p><p>𝐀</p><p>.</p><p>𝐀</p><p>;</p><p>• Ao longo de uma trajetória de crescimento equilibrado, a taxa de crescimento do número</p><p>de pesquisadores deve ser igual à taxa de crescimento da população:</p><p>𝐋</p><p>.</p><p>𝐀</p><p>𝐋𝐀</p><p>= 𝐧</p><p>- Se for maior, o número de pesquisadores acabará por superar o número de habitantes, o</p><p>que é impossível;</p><p>- Em 𝟎 = 𝛌</p><p>𝐋</p><p>.</p><p>𝐀</p><p>𝐋𝐀</p><p>− (𝟏 − ∅)</p><p>𝐀</p><p>.</p><p>𝐀</p><p>→ 𝟎 = 𝛌 𝐧 − (𝟏 − ∅)</p><p>𝐀</p><p>.</p><p>𝐀</p><p>→ (𝟏 − ∅)</p><p>𝐀</p><p>.</p><p>𝐀</p><p>= 𝛌𝐧 →</p><p>𝐀</p><p>.</p><p>𝐀</p><p>=</p><p>𝛌 𝐧</p><p>(𝟏−∅)</p><p>→ 𝐠𝐀 =</p><p>𝛌 𝐧</p><p>(𝟏−∅)</p><p>• Considerando λ = 1 e ∅ = 0, de modo que a produtividade dos pesquisadores seja a constante</p><p>δ;</p><p>- A função de produção ficará como: 𝐀</p><p>.</p><p>= 𝛅. 𝐋𝐀</p><p>- Neste caso a produtividade de um pesquisador hoje será independente do estoque de</p><p>ideias;</p><p>• Imaginando o número de pessoas envolvidas na pesquisa constante:</p><p>- Como δ também é constante, esta economia gera um número constante de novas ideias</p><p>(δLA) a cada período;</p><p>- A taxa de crescimento do estoque de ideias cai ao longo do tempo, acabando por se</p><p>aproximar de zero. Contudo, o progresso nunca pára. A economia está sempre criando novas</p><p>ideias.</p><p>- O que ocorre é que as novas ideias originais parecem cada vez menores em comparação</p><p>com o estoque de ideias que se acumula;</p><p>• Para gerar crescimento, o número de novas ideias deve crescer ao longo do tempo;</p><p>- Isso ocorre se o número de pesquisadores aumentar (por exemplo, com o crescimento da</p><p>população mundial);</p><p>• No modelo de Romer, as pessoas são o insumo-chave para o processo criativo, uma</p><p>população maior gera mais ideias, e como as ideias são não-rivais, todos na economia se</p><p>beneficiam;</p><p>• Se a população parar de crescer, o crescimento de longo prazo se interrompe;</p><p>• Se o esforço de pesquisa mundial fosse constante ao longo do tempo, o crescimento</p><p>econômico pararia?</p><p>- Sim, um esforço de pesquisa constante não permite o aumento proporcional do estoque</p><p>de ideias que se faz necessário para gerar crescimento de longo prazo;</p><p>• Há um caso especial em que um esforço de pesquisa constante pode sustentar o</p><p>crescimento de longo prazo;</p><p>- Considerando λ = 1 e ∅ = 1 → 𝐀</p><p>.</p><p>= 𝛅. 𝐋𝐀. 𝐀</p><p>- Reescrevendo a equação, podemos ver que esta versão gerará crescimento sustentado na</p><p>presença de um esforço de pesquisa constante →</p><p>𝐀</p><p>.</p><p>𝐀</p><p>= 𝛅. 𝐋𝐀</p><p>- Neste caso a produtividade da pesquisa é proporcional ao estoque existente de ideias</p><p>�̄� = 𝛅𝐀. Com essa hipótese a produtividade dos pesquisadores cresce com o correr do tempo,</p><p>mesmo se o número de pesquisadores for constante;</p><p>• No presente modelo, com progresso tecnológico endógeno, chegamos ao resultado de que</p><p>a taxa de crescimento de longo prazo não é afetada por alterações na taxa de investimento, e</p><p>nem mesmo por mudanças na participação da população envolvida na pesquisa;</p><p>- Isto se vê já que a equação 𝐠𝐀 =</p><p>𝛌 𝐧</p><p>(𝟏−∅)</p><p>não é afetada quando a taxa de investimento ou</p><p>participação de mão-de-obra em pesquisa e desenvolvimento (P&D) muda;</p><p>- Ao invés disso estas políticas afetam a taxa de crescimento ao longo da trajetória de</p><p>transição para o novo estado estacionário ao alterar o nível da renda;</p><p>- Mesmo depois que tornamos endógena a tecnologia, a taxa de crescimento de longo prazo</p><p>não pode ser manipulada por formuladores de políticas públicas (clássicos ou neoclássicos);</p><p>Estática Comparativa</p><p>• Aumento na participação de pesquisa e desenvolvimento (𝐬𝐑);</p><p>- O que acontece nas economias avançadas se a parcela da população envolvida na busca</p><p>de novas ideias aumenta permanentemente?</p><p>• Vamos supor que λ = 1 e ∅ = 0;</p><p>- Assim 𝐀</p><p>.</p><p>= 𝛅 . 𝐋𝐀</p><p>𝐀 . 𝐀∅ → 𝐀∅ = 𝟏 →</p><p>𝐀</p><p>.</p><p>𝐀</p><p>=</p><p>𝛅 . 𝐋𝐀</p><p>𝐀</p><p>- Sendo 𝐬𝐑 a parcela da população dedicada à pesquisa e desenvolvimento (P&D), ou seja,</p><p>𝐋𝐀 = 𝐬𝐑 . 𝐋;</p><p>• Então, dividindo os 2 lados por A, temos:</p><p>-</p><p>𝐀</p><p>.</p><p>𝐀</p><p>=</p><p>𝛅 . 𝐋𝐀</p><p>𝐀</p><p>=</p><p>𝛅 . 𝐬𝐑 . 𝐋</p><p>𝐀</p><p>• Vejamos graficamente o caso em que 𝐬𝐑 aumenta permanentemente para 𝐬′𝐑, supondo</p><p>que no início a economia se encontra no estado estacionário;</p><p>- Estado Estacionário → A economia cresce ao longo de uma trajetória de crescimento</p><p>equilibrado (TCE) 𝐠𝐘 = 𝐠𝐀;</p><p>- Que é igual, nesse caso, à n;</p><p>• Com ↑ 𝐬𝐑, ↑ LA, de modo que</p><p>𝐋𝐀</p><p>𝐀</p><p>aumenta;</p><p>- Os pesquisadores adicionais geram aumento ao número de novas ideias, e assim, a taxa</p><p>de crescimento da tecnologia (𝐠𝐀) cresce;</p><p>- No gráfico esta situação é mostrada no ponto X;</p><p>• Em X, o progresso tecnológico (</p><p>𝐀</p><p>.</p><p>𝐀</p><p>) supera o crescimento populacional (n), de modo que</p><p>com o tempo, a razão</p><p>𝐋𝐀</p><p>𝐀</p><p>diminui, pois A está aumentando;</p><p>• À medida que a razão declina, a taxa de mudança tecnológica (𝐠𝐀) cai gradualmente, até</p><p>que a economia retorna a sua trajetória de crescimento equilibrado (TCE), onde 𝐠𝐀 = 𝐧;</p><p>- Assim, um aumento permanente na proporção da população dedicada à pesquisa (𝐬𝐑)</p><p>aumenta temporariamente a taxa de progresso tecnológico (𝐠𝐀), mas não o faz no longo prazo;</p><p>• O próximo gráfico responde o que acontece nessa economia com o nível de tecnologia;</p><p>- O nível de tecnologia cresce ao longo da trajetória de crescimento equilibrado à taxa gA até</p><p>o momento t = 0;</p><p>- Neste ponto a taxa de crescimento aumenta e o nível de tecnologia se eleva mais rápido</p><p>do que anteriormente;</p><p>- Contudo, no decorrer do tempo, a taxa de crescimento cai até voltar para gA;</p><p>- O nível de tecnologia se situará em um patamar permanentemente mais elevado em</p><p>consequência do aumento permanente da P&D;</p><p>• Um aumento permanente em sR no modela de Romer gera uma dinâmica de transição</p><p>qualitativamente semelhante àquela gerada pela elevação da taxa de investimento no modelo</p><p>de Solow;</p><p>• A taxa de crescimento do modelo no longo prazo é constante, de modo que muito da</p><p>álgebra utilizada ao analisar o modelo de Solow pode ser empregado agora;</p><p>• Por exemplo, a razão</p><p>𝐲</p><p>𝐀</p><p>é constante ao longo da trajetória de crescimento equilibrado e é</p><p>dada por uma equação semelhante à equação:</p><p>- (</p><p>𝐲</p><p>𝐀</p><p>)∗ = (</p><p>𝐬𝐊</p><p>𝐧+ 𝐠𝐀 +𝐝</p><p>)</p><p>𝛂</p><p>𝟏− 𝛂</p><p>. (𝟏 − 𝐬𝐑)</p><p>- A única diferença é a presença do termo (𝟏 − 𝐬𝐑), que dá conta da diferença entre o produto</p><p>por trabalhador (LY) e o produto per capita (L);</p><p>• Ao longo da trajetória de crescimento equilibrado, a equação</p><p>𝐀</p><p>.</p><p>𝐀</p><p>=</p><p>𝛅 . 𝐬𝐑 . 𝐋</p><p>𝐀</p><p>pode ser</p><p>resolvida para o nível de A em termos de força de trabalho:</p><p>- 𝐀 = 𝛅 . 𝐬𝐑 . 𝐋</p><p>𝐠𝐀</p><p>• Combinando 𝐀 = 𝛅 . 𝐬𝐑 . 𝐋</p><p>𝐠𝐀</p><p>com (</p><p>𝐲</p><p>𝐀</p><p>)∗ = (</p><p>𝐬𝐊</p><p>𝐧+ 𝐠𝐀 +𝐝</p><p>)</p><p>𝛂</p><p>𝟏− 𝛂</p><p>. (𝟏 − 𝐬𝐑):</p><p>- 𝐲∗(𝐭) = (</p><p>𝐬𝐊</p><p>𝐧 + 𝐠𝐀 + 𝐝</p><p>)</p><p>𝛂</p><p>𝟏− 𝛂</p><p>. (𝟏 − 𝐬𝐑) .</p><p>𝛅 . 𝐬𝐑 . 𝐋</p><p>𝐠𝐀</p><p>- 𝐬𝐊 → Taxa a qual as pessoas abrem mão do consumo;</p><p>- d → Taxa exógena de depreciação;</p><p>- n → Taxa exógena de crescimento da população;</p><p>- 𝛅 → Taxa a qual se descobrem novas ideias;</p><p>- gA → Taxa de crescimento do estoque de ideias ao longo da trajetória de crescimento</p><p>equilibrado;</p><p>- 𝐬𝐑 → Parcela da população dedicada à pesquisa e desenvolvimento (P&D);</p><p>• Nessa versão simples do modelo, o produto per capita é proporcional à população da</p><p>economia (mundial) ao longo da trajetória de crescimento equilibrado;</p><p>- Em outras palavras, o modelo apresenta um efeito de escala em níveis: uma economia</p><p>mundial maior será mais rica;</p><p>- Esse efeito de escala decorre da não-rivalidade das ideias: um economia maior oferece um</p><p>mercado maior para uma ideia, aumentando o retorno à pesquisa (um efeito demanda);</p><p>- Além disso, uma economia mundial mais populosa tem mais criadores de ideias em</p><p>potencial (um efeito oferta);</p><p>• Sobre a equação 𝐲∗(𝐭) = (</p><p>𝐬𝐊</p><p>𝐧 + 𝐠𝐀 + 𝐝</p><p>)</p><p>𝛂</p><p>𝟏− 𝛂</p><p>. (𝟏 − 𝐬𝐑) .</p><p>𝛅 . 𝐬𝐑 . 𝐋</p><p>𝐠𝐀</p><p>:</p><p>- O primeiro termo já é conhecido do modelo original de Solow, economias que investem</p><p>mais em capital serão mais ricas;</p><p>- Dois termos envolvem a parcela de mão de obra dedicada à pesquisa (𝐬𝐑). Na primeira vez</p><p>em que aparece, este entra com um sinal negativo (𝟏 − 𝐬𝐑) refletindo o fato de que mais</p><p>pesquisadores implicam um número menor de trabalhadores na produção. A segunda vez ele</p><p>apresenta um sinal positivo (</p><p>𝛅 . 𝐬𝐑 . 𝐋</p><p>𝐠𝐀</p><p>) para refletir o fato de que mais pesquisadores implicam</p><p>mais ideias, o que aumenta a produtividade da economia;</p><p>Economia do Modelo</p><p>• A economia de Romer é composta por três setores: bens finais, bens intermediários e</p><p>pesquisa;</p><p>- A razão de dois dos setores são claras: algumas empresas geram produtos e outras, ideias;</p><p>- A razão do setor de bens intermediários está relacionada à presença de retornos</p><p>crescentes;</p><p>• O setor de pesquisa gera novas ideias, que tomam a forma de novos bens de capital;</p><p>- E depois, e setor de pesquisa vende o direito exclusivo de produzir um bem de capital</p><p>específico para uma empresa produtora de bens intermediários;</p><p>- Esta, por sua vez, como monopolista, fabrica o bem de capital e o vende ao setor produtor</p><p>de bens finais, que gera o produto da economia;</p><p>Setor de Bens Finais</p><p>• Muito semelhante ao setor de Bens Finais do modelo de Solow;</p><p>• Compõem-se de um grande número de empresas competitivas que combinam capital e</p><p>trabalho para gerar um bem homogêneo, o produto (Y);</p><p>- Para refletir que há mais de um bem de capital do modelo, a função de produção fica:</p><p>- 𝐘 = 𝐋𝐘</p><p>𝟏− 𝛂 . ∑ 𝐱𝐣</p><p>𝛂𝐀</p><p>𝐣=𝟏</p><p>• O produto (Y) é obtido empregando-se mão de obra (LY) e vários bens de capital distintos</p><p>(xj) que chamaremos também de “bens intermediários”;</p><p>- Em qualquer ponto de tempo, A mede a quantidade de bens de capital disponíveis para</p><p>serem usados pelo setor de bens finais e as empresas desse setor tomarão essa quantidade</p><p>como um dado;</p><p>- No modelo, as invenções ou ideias correspondem à criação de novos bens de capital que</p><p>poderão ser utilizados pelo setor de bens finais para gerar produto;</p><p>• Podemos reescrever a função de produção como:</p><p>- 𝐘 = 𝐋𝐘</p><p>𝟏− 𝛂 𝐱𝟏</p><p>𝛂 + 𝐋𝐘</p><p>𝟏− 𝛂 𝐱𝟐</p><p>𝛂 + … + 𝐋𝐘</p><p>𝟏− 𝛂 𝐱𝑨</p><p>𝛂</p><p>- Sendo fácil verificar que, para dado A, a função apresenta retornos constantes à escala;</p><p>• Será mais fácil analisar o modelo substituindo o somatório por uma integral:</p><p>- 𝐘 = 𝐋𝐘</p><p>𝟏− 𝛂 . ∫ 𝐱𝐣</p><p>𝛂𝐀</p><p>𝟎</p><p>𝐝𝐣</p><p>- Então, A mede a gama de bens de capital disponíveis para o setor de bens finais e essa</p><p>gama é representada como o intervalo da linha real [0 , A];</p><p>• Com retornos constantes à escala, o número de empresas não pode ser determinado com</p><p>exatidão, de modo que imaginaremos que há um grande número de empresas idênticas que</p><p>geram o produto final e que a concorrência perfeita prevalece nesse setor;</p><p>- Também normalizaremos o preço do produto final (Y), fazendo-o igual à unidade;</p><p>• As empresas do setor de bens finais precisam decidir quanta mão de obra e quanto de</p><p>cada bem de capital usarão para gerar o produto;</p><p>- Elas o fazem resolvendo o problema da maximização do lucro:</p><p>- 𝐦𝐚𝐱𝐋𝐘 ,𝐱𝐣</p><p>𝐋𝐘</p><p>𝟏− 𝛂 . ∫ 𝐱𝐣</p><p>𝛂𝐀</p><p>𝟎</p><p>𝐝𝐣 − 𝐰 𝐋𝐘 − ∫ 𝐩𝐣 𝐱𝐣</p><p>𝐀</p><p>𝟎</p><p>𝐝𝐣</p><p>- 𝐩𝐣 → Preço de arrendamento do bem de capital j;</p><p>- w → Salário pago à mão de obra;</p><p>• As condições de primeira ordem que caracterizam a solução deste problema são:</p><p>- 𝐰 = (𝟏 − 𝛂) .</p><p>𝐘</p><p>𝐋𝐘</p><p>- 𝐩𝐣 = 𝛂 . 𝐋𝐘</p><p>𝟏− 𝛂 . 𝐱𝐣</p><p>𝛂−𝟏</p><p>- Onde essa segunda condição se aplica a cada bem de capital j;</p><p>- A primeira condição diz que as empresas contratam mão de obra até que o seu produto</p><p>marginal seja igual ao salário (PMg = w);</p><p>- A segunda condição diz a mesma coisa, mas para os bens de capital: As empresas</p><p>arrendam capital até que o produto marginal de cada tipo de bem de capital seja igual a seu</p><p>preço de arrendamento (PMg = 𝐩𝐣);</p><p>• Se o produto marginal de um bem de capital for maior que seu preço de arrendamento</p><p>(PMg ></p><p>Pj), a empresa deveria alugar outra unidade, o produto gerado mais do que pagaria o</p><p>preço do arrendamento;</p><p>• Se o produto marginal fosse inferior ao preço de arrendamento (PMg < Pj), então a empresa</p><p>aumentaria seus lucros reduzindo a quantidade de capital utilizado;</p><p>Setor de Bens Intermediários</p><p>• Constituído por monopolistas que produzem bens de capital que são vendidos ao setor de</p><p>produtos finais;</p><p>- Essas empresas adquirem seu poder de monopólio comprando o projeto de um bem de</p><p>capital específico no setor de pesquisa;</p><p>• Uma vez que o projeto de determinado bem de capital foi adquirido (um custo fixo), a</p><p>empresa do setor de bens intermediários produz o bem de capital com uma função de produção</p><p>muito simples:</p><p>- Uma unidade de capital bruto pode ser imediatamente traduzida em uma unidade do bem</p><p>de capital;</p><p>• O problema da maximização para a empresa de bens intermediários será então:</p><p>- 𝐦𝐚𝐱𝐱𝐣</p><p>𝛑𝐣 = 𝐩𝐣 (𝐱𝐣) . 𝐱𝐣 − 𝐫 . 𝐱𝐣</p><p>- 𝐩𝐣(𝐱) → Função de demanda para o bem de capital dada na equação 𝐩𝐣 = 𝛂 . 𝐋𝐘</p><p>𝟏− 𝛂 . 𝐱𝐣</p><p>𝛂−𝟏 ;</p><p>• A função de primeira ordem para este problema será, deixando de lado os subscritos j:</p><p>- 𝐩′(𝐱) 𝐱 + 𝐩 (𝐱) − 𝐫 = 𝟎</p><p>- Reescrevendo a equação: 𝐩′(𝐱)</p><p>𝐱</p><p>𝐩</p><p>+ 𝟏 =</p><p>𝐫</p><p>𝐩′</p><p>- O que implica que: 𝒑 =</p><p>𝟏</p><p>𝟏=</p><p>𝒑′(𝒙) . 𝒙</p><p>𝒑</p><p>𝒓</p><p>• Finalmente, a elasticidade</p><p>𝐩′(𝐱) 𝐱</p><p>𝐩</p><p>pode ser calculada a partir da curva de demanda da</p><p>equação 𝐩𝐣 = 𝛂 . 𝐋𝐘</p><p>𝟏− 𝛂 . 𝐱𝐣</p><p>𝛂−𝟏 ;</p><p>- Ela será igual a 𝛂 − 𝟏, de modo que a empresa de bens intermediários cobra um preço que</p><p>é simplesmente uma margem acima do custo marginal (r):</p><p>- 𝐩 =</p><p>𝟏</p><p>𝛂</p><p>𝐫</p><p>• Esta é a solução para cada monopolista, de modo que todos os bens de capital são vendidos</p><p>ao mesmo preço;</p><p>- Cada empresa fabricante de bens de capital obtém o mesmo lucro que as demais, que é</p><p>dado por:</p><p>- 𝛑 = 𝐩 (𝐱) . 𝐱 − 𝐫 . 𝐱</p><p>• Como:</p><p>- 𝐩𝐱 = 𝛂 . 𝐋𝐘</p><p>𝟏− 𝛂 . 𝐱𝐣</p><p>𝛂−𝟏</p><p>- 𝐫 = 𝛂 . 𝐩</p><p>• Então:</p><p>- 𝛑 = 𝐩 (𝐱) . 𝐱 − 𝐫 . 𝐱</p><p>- 𝛑 = (𝛂 . 𝐋𝐘</p><p>𝟏− 𝛂 . 𝐱𝐣</p><p>𝛂−𝟏) . 𝐱 − (𝛂 . 𝐩) . 𝐱</p><p>- 𝛑 = 𝛂 . 𝐋𝐘</p><p>𝟏− 𝛂 . 𝐱𝐣</p><p>𝛂 − 𝛂 . (𝛂 . 𝐋𝐘</p><p>𝟏− 𝛂 . 𝐱𝐣</p><p>𝛂−𝟏) . 𝐱</p><p>- 𝛑 = 𝛂 . 𝐋𝐘</p><p>𝟏− 𝛂 . 𝐱𝐣</p><p>𝛂 − 𝛂 . 𝛂 . 𝐋𝐘</p><p>𝟏− 𝛂 . 𝐱𝐣</p><p>𝛂</p><p>- 𝛑 = 𝛂 . (𝟏 − 𝛂) . 𝐋𝐘</p><p>𝟏− 𝛂 . 𝐱𝐣</p><p>𝛂</p><p>- 𝛑 = 𝛂 . (𝟏 − 𝛂) .</p><p>𝐘</p><p>𝐀</p><p>• A demanda total de capital por parte das empresas de bens intermediários deve ser igual</p><p>ao estoque total da economia:</p><p>- ∫ 𝐱𝐣</p><p>𝐀</p><p>𝟎</p><p>𝐝𝐣 = 𝐊</p><p>• Resolvendo, e considerando que os bens de capital são usados, cada um deles, na mesma</p><p>quantidade (x), temos:</p><p>- 𝐣 . 𝐱𝐣 |𝟎</p><p>𝐀 = 𝐊 → 𝐀 . 𝐱 = 𝐊 → 𝐱 =</p><p>𝐊</p><p>𝐀</p><p>• Portanto, a função de produção dos bens finais pode ser reescrita, usando-se o fato de que</p><p>𝐱𝐣 = 𝐱, como:</p><p>- 𝐘 = 𝐀 . 𝐋𝐘</p><p>𝟏− 𝛂 . 𝐱𝐣</p><p>𝛂</p><p>• Então, substituindo a partir de 𝐱 =</p><p>𝐊</p><p>𝐀</p><p>:</p><p>- 𝐘 = 𝐀 . 𝐋𝐘</p><p>𝟏− 𝛂 . 𝐀−𝛂 . 𝐊𝛂</p><p>- 𝐘 = 𝐊𝛂 (𝐀 𝐋𝐘)𝟏− 𝛂</p><p>- Esta é a função de produção agregada do modelo de Romer: 𝐘 = 𝐊𝛂(𝐀. 𝐋𝐲)𝟏−𝛂;</p><p>• Vemos que a tecnologia de produção para o setor de bens finais gera a mesma função de</p><p>produção agregada usada até aqui;</p><p>Setor de Pesquisas</p><p>• Questão central: Qual é o preço da patente de um projeto?</p><p>- Por sua vez: Quanto o possível adquirente está disposto a pagar?</p><p>• A resposta é: O valor presente descontado dos lucros que seriam auferidos pela empresa</p><p>de bens intermediários;</p><p>- Se o preço for menor, alguém fará um lance mais alto;</p><p>- Se o preço for maior, ninguém estará disposto a fazer um lance;</p><p>• O preço do novo projeto (PA) varia ao longo do tempo por arbitragem;</p><p>• Arbitragem: Imagine que um indivíduo quer investir, ele tem duas opções;</p><p>- Ou pode pôr o dinheiro no “banco” (neste modelo seria o equivalente a adquirir uma</p><p>unidade de capital) e auferir a taxa de juros (r);</p><p>- Ou pode adquirir uma patente, auferir os lucros desse período e vender a patente;</p><p>• No equilíbrio, a taxa de retorno das duas opções deve ser a mesma. Se não for, todos</p><p>escolheriam a alternativa mais rentável, levando seu retorno para baixo;</p><p>- 𝐫 . 𝐏𝐀 = 𝛑 + 𝐏�̇̇�</p><p>- 𝐏𝐀 → Preço do novo projeto, seu valor presente descontado;</p><p>- O lado esquerdo da equação é a taxa de juros resultante da aplicação de PA no banco;</p><p>- O lado direito representa os lucros mais o ganho, ou perda, de capital que resulta da</p><p>variação do preço da patente;</p><p>- No equilíbrio, ambos os lados devem ser iguais;</p><p>• Reescrevendo obtemos: 𝐫 =</p><p>𝛑</p><p>𝐏𝐀</p><p>+</p><p>𝐏�̇�</p><p>𝐏𝐀</p><p>• Ao longo de uma trajetória de crescimento equilibrado (TCE), a taxa de juros (r) é</p><p>constante. Portanto</p><p>𝛑</p><p>𝐏𝐀</p><p>também deve ser constante, o que significa que o lucro (𝛑) e o preço do</p><p>novo projeto (𝐏𝐀) têm de crescer à mesma taxa, que será a taxa de crescimento populacional</p><p>(n);</p><p>- 𝐫 . 𝐏𝐀 = 𝛑 + 𝐏�̇̇� → 𝐫 =</p><p>𝛑+ 𝐏�̇�</p><p>̇</p><p>𝐏𝐀</p><p>-</p><p>𝐏�̇�</p><p>𝐏𝐀</p><p>= 𝐧 → 𝐫 =</p><p>𝛑</p><p>𝐏𝐀</p><p>+ 𝐧 → 𝐫 − 𝐧 =</p><p>𝛑</p><p>𝐏𝐀</p><p>→ 𝐏𝐀 =</p><p>𝛑</p><p>𝐫−𝐧</p><p>- Esta equação é implicação da equação de arbitragem, e nos dá o preço de uma patente ao</p><p>longo da trajetória de crescimento equilibrado (TCE);</p><p>Solução do Modelo</p><p>• Aspectos sobre o modelo que merecem ser comentados:</p><p>- A função de produção agregada apresenta retornos crescentes. Há retornos constantes</p><p>para capital (K) e trabalho (L), mas quando consideramos que as ideias (A) também são insumos</p><p>de produção, aparecem os retornos crescentes;</p><p>- Retornos crescentes exigem concorrência imperfeita. Isto aparece no modelo do setor de</p><p>bens intermediários, as empresas neste setor são monopolistas e os bens de capital são vendidos</p><p>a um preço superior ao custo marginal;</p><p>- Os lucros auferidos pelas empresas monopolizadoras são captados pelos inventores e</p><p>simplesmente os compensam pelo tempo despendido para “explorar” em busca de novos</p><p>projetos;</p><p>- Não há lucros no modelo, todas as rendas compensam algum insumo de fator;</p><p>• O modelo para encontrar a taxa de crescimento da economia no estado estacionário já foi</p><p>resolvido, agora faremos a busca pela solução para a alocação do trabalho entre os setores de</p><p>pesquisa e de bens finais, ou seja, que fração da população trabalha aonde;</p><p>• Recorreremos ao conceito de arbitragem;</p><p>- Na margem, as pessoas são indiferentes quanto a trabalhar no setor de bens finais ou no</p><p>setor de pesquisa;</p><p>• No setor de bens finais:</p><p>- A mão de obra empregada ganha um salário igual ao seu produto marginal;</p><p>- 𝐰𝐘 = (𝟏 − 𝛂)</p><p>𝐘</p><p>𝐋𝐘</p><p>• No setor de pesquisa:</p><p>- Os pesquisadores recebem um salário com base no valor do projeto que desenvolveram;</p><p>- Supondo que [1] os pesquisadores consideram sua produtividade no setor de pesquisa (�̅�)</p><p>como dada, [2] eles não reconhecem o fato de que a sua produtividade cai na medida que mais</p><p>mão de obra entra devido à duplicação, e [3] não internalizam o transbordamento de</p><p>conhecimento associado a ∅;</p><p>- Portanto, o salário auferido pela mão de obra no setor de pesquisa é igual ao seu produto</p><p>marginal (�̅�) multiplicado pelo valor das novas ideias (PA);</p><p>- �̇� = 𝛅 . 𝐋𝐀</p><p>𝛌 . 𝐀∅ → 𝛌 = 𝟏 𝐞 ∅ = 𝟎 → 𝐏𝐌𝐠 = 𝛅 → 𝐰𝐑 = �̅� . 𝐏𝐀</p><p>- 𝐰𝐑 → Salário auferido pela mão de obra;</p><p>- �̅� → Produtividade no setor de pesquisa;</p><p>- PA → Valor das novas ideias;</p><p>• Como a entrada é livre tanto nos dois setores, seus salários devem ser iguais:</p><p>- 𝐰𝐘 = 𝐰𝐑 → (𝟏 − 𝛂)</p><p>𝐘</p><p>𝐋𝐘</p><p>= �̅� . 𝐏𝐀</p><p>- Como 𝐏𝐀 =</p><p>𝛑</p><p>𝐫−𝐧</p><p>→ (𝟏 − 𝛂)</p><p>𝐘</p><p>𝐋𝐘</p><p>= �̅� .</p><p>𝛑</p><p>𝐫−𝐧</p><p>- Como 𝛑 = 𝛂 . (𝟏 − 𝛂) .</p><p>𝐘</p><p>𝐀</p><p>→ (𝟏 − 𝛂)</p><p>𝐘</p><p>𝐋𝐘</p><p>=</p><p>�̅�</p><p>𝐫−𝐧</p><p>. 𝛂 . (𝟏 − 𝛂) .</p><p>𝐘</p><p>𝐀</p><p>→</p><p>𝛂</p><p>𝐫−𝐧</p><p>.</p><p>�̅�</p><p>𝑨</p><p>=</p><p>𝟏</p><p>𝐋𝐘</p><p>- Ao longo da TCE:</p><p>�̇�</p><p>𝐀</p><p>= 𝛅 .</p><p>𝐋𝐀</p><p>𝐀</p><p>→ 𝒈𝑨 = 𝛅 .</p><p>𝐋𝐀</p><p>𝐀</p><p>→</p><p>�̅�</p><p>𝑨</p><p>=</p><p>𝒈𝑨</p><p>𝐋𝐀</p><p>- Substituindo em:</p><p>𝛂</p><p>𝐫−𝐧</p><p>.</p><p>�̅�</p><p>𝑨</p><p>=</p><p>𝟏</p><p>𝐋𝐘</p><p>→</p><p>𝛂</p><p>𝐫−𝐧</p><p>.</p><p>𝒈𝑨</p><p>𝐋𝐀</p><p>=</p><p>𝟏</p><p>𝐋𝐘</p><p>→</p><p>𝛂 . 𝒈𝑨</p><p>𝐫−𝐧</p><p>=</p><p>𝐋𝐀</p><p>𝐋𝐘</p><p>→</p><p>𝛂 . 𝒈𝑨</p><p>𝐫−𝐧</p><p>=</p><p>𝒔𝑹</p><p>𝟏−𝒔𝑹</p><p>- Resolvendo para 𝐬𝐑:</p><p>- 𝛂 . 𝒈𝑨 − 𝒔𝑹 . 𝛂 . 𝒈𝑨 = 𝒔𝑹 . 𝐫 − 𝒔𝑹 . 𝐧 → 𝛂 . 𝒈𝑨 = 𝒔𝑹 (𝐫 − 𝐧 + 𝛂 . 𝒈𝑨) → 𝒔𝑹 =</p><p>𝛂 . 𝒈𝑨</p><p>(𝐫 − 𝐧 − 𝛂 . 𝒈𝑨)</p><p>- 𝒔𝑹 =</p><p>𝟏</p><p>𝟏+</p><p>𝐫 − 𝐧</p><p>𝛂 . 𝒈𝑨</p><p>- 𝒔𝑹 → Parcela da população que trabalha no setor de pesquisa;</p><p>- n → Taxa exógena de crescimento da população;</p><p>- r → Taxa de juros;</p><p>- 𝒈𝑨 → Taxa de mudança tecnológica;</p><p>• Com esta equação observa-se que quanto mais rápido a economia crescer (↑ 𝒈𝑨), maior a</p><p>fração da população que trabalhará na pesquisa (↑ 𝒔𝑹);</p><p>- Quanto mais alta for a taxa de desconto aplicada aos lucros correntes para calcular o valor</p><p>presente descontado (r - n), tanto menor a parcela da população envolvida com pesquisa;</p><p>- 𝒔𝑹 = 𝒇 (</p><p>−</p><p>𝒓 ,</p><p>+</p><p>𝒏</p><p>,</p><p>+</p><p>𝒈𝑨</p><p>)</p><p>• No modelo de Solow com concorrência perfeita e retornos constantes à escala, todos os</p><p>fatores são pagos em conformidade com seus produtos marginais: 𝐫 =</p><p>𝛂 𝐘</p><p>𝐊</p><p>, 𝐰 =</p><p>(𝟏− 𝛂) 𝐘</p><p>𝐋</p><p>e,</p><p>portanto, 𝐫 𝐊 + 𝐰 𝐋 = 𝐘;</p><p>• No modelo de Romer, a produção da economia se caracteriza pelos retornos crescentes e</p><p>nem todos os fatores podem ser pagos de acordo com seus produtos marginais;</p>