246057332-Constante-Elastica-Metodos-Experimentaois-de-Engenharia

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<p>Universidade Federal do ABC</p><p>BC 1707 - Métodos Experimentais em Engenharia</p><p>EXPERIMENTO 02</p><p>Medidas de Constante Elástica e Força</p><p>GRUPO 03</p><p>Caio Celestrino Mendonça</p><p>Danilo Paschon</p><p>Eduardo Dourado Moreira Marques</p><p>Felipe Ramon Silva Minerva</p><p>Vitor Paulino Motta</p><p>Santo André – SP</p><p>2014</p><p>RESUMO</p><p>Medidas de força são frequentes na rotina das engenharias. Muitas vezes deseja-se</p><p>saber a força atuando sobre um corpo para, a partir daí, obter outros parâmetros do mesmo. É</p><p>também comum aplicar pressão, que fisicamente é força aplicada sobre uma área, sobre corpos,</p><p>superfícies etc. A determinação das forças se faz necessária nessas e em outras muitas</p><p>aplicações.</p><p>No estudo descrito, realizaram-se diferentes procedimentos para se medir a constante</p><p>elástica de uma mola, observando concomitantemente as grandezas que influenciaram</p><p>diretamente nos resultados obtidos. O primeiro procedimento pelo qual foram coletados dados,</p><p>foi uma mola de compressão, colocada em um tubo guia sob a força peso de diferentes</p><p>materiais. O segundo procedimento consistiu de duas molas de tração, cuja força foi observada</p><p>com auxílio de um dinamômetro. O terceiro método empregado para a obtenção da constante</p><p>em questão foi o da oscilação a partir de um movimento harmônico simples, com arranjo</p><p>inicialmente semelhante ao do procedimento anterior e a utilização de um cronômetro.</p><p>Nesse procedimento, além das oscilações, foram observados os efeitos dos arranjos</p><p>de molas, em série e paralelo, permitindo calcular os coeficientes de associação dos diferentes</p><p>arranjos, tanto empírica quanto teoricamente. Os resultados obtidos foram bastante satisfatórios</p><p>com a literatura já consolidada.</p><p>SUMÁRIO</p><p>1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 3</p><p>2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................................................... 4</p><p>2.1. Lei de Hooke .......................................................................................................................... 4</p><p>2.2. Associação de molas .............................................................................................................. 5</p><p>2.3. Movimento Harmônico Simples (HMS) .................................................................................. 6</p><p>3. DESCRIÇÃO EXPERIMENTAL / METODOLOGIA ............................................................. 8</p><p>3.1. MATERIAIS UTILIZADOS .................................................................................................. 8</p><p>3.2. METODOLOGIA ................................................................................................................... 8</p><p>4. RESULTADOS E DISCUSSÕES .............................................................................................. 11</p><p>4.1. Parte 1: Determinação da constante elástica da mola de compressão ............................ 11</p><p>4.2. Parte 2: Determinação da constante elástica da mola de tração ..................................... 13</p><p>4.3. Parte 3: Determinação da constante elástica da mola utilizando o MHS ...................... 14</p><p>4.4. Parte 4: Determinação experimental da aceleração da gravidade ................................. 16</p><p>5. CONCLUSÃO ............................................................................................................................. 18</p><p>6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................................... 19</p><p>7. APÊNDICE .................................................................................................................................. 20</p><p>7.1. Apêndice A: Construção de uma balança ............................................................................. 20</p><p>7.2. Apêndice B: Questões do roteiro ............................................................................................ 22</p><p>7.3. Apêndice C: Deduções matemáticas ...................................................................................... 24</p><p>3</p><p>1. INTRODUÇÃO</p><p>Na Lei de Hooke, existe grande variedade de forças interagindo, e tal caracterização é</p><p>um trabalho de caráter experimental. Entre essas forças que se interagem as forças mais notáveis</p><p>são as forças elásticas, ou seja, forças que são exercidas por sistemas elásticos quando sofrem</p><p>deformação. Devido a tal motivo, é interessante ter uma ideia do comportamento mecânico</p><p>presente nos sistemas elásticos. Os corpos perfeitamente rígidos são desconhecidos, visto que</p><p>em todos os experimentos realizados até hoje sofrem deformação quando submetidos à ação de</p><p>forças, entendendo-se por deformação de um corpo (alteração na forma e/ou dimensões do</p><p>corpo). Essas deformações podem ser de diversos tipos [1]:</p><p> Compressão</p><p> Distensão</p><p> Flexão</p><p> Torção, dentre outros.</p><p>E elas podem ser elásticas ou plásticas:</p><p> Deformação plástica: persiste mesmo após a retirada das forças que a originaram.</p><p> Deformação elástica: desaparece com a retirada das forças que a originaram</p><p>Este relatório aborda a determinação da constante elástica de uma mola. O experimento</p><p>fez uso da Lei de Hooke, na qual se afirma que uma força pode causar uma deformação em um</p><p>corpo elástico, e essa intensidade é proporcional ao alongamento. A constante elástica depende</p><p>também do material em que a mola foi confeccionada. Quanto maior o alongamento numa</p><p>mesma mola, maior é a intensidade da força exercida pela mola.</p><p>4</p><p>2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA</p><p>2.1. Lei de Hooke</p><p>Qualquer material quando submetido a uma força sofre deformação visível ou não, em</p><p>certas situações a deformação sofrida pelo material pode ser parcialmente ou totalmente</p><p>recuperada. A força restauradora das deformações tem origem nas ligações intermoleculares.</p><p>Tal fenômeno pode ser facilmente observado ao tracionar ou comprimir uma mola. [2,3]</p><p>Em 1678 Robert Hooke, físico britânico observou que a força aplicada em uma mola é</p><p>diretamente proporcional ao deslocamento, quando este não é muito grande. A lei de Hooke é</p><p>dada pela equação:</p><p>𝐹𝑥 = −𝑘. 𝑥</p><p>Onde 𝐹𝑥 é a força necessária para tracionar ou contrair uma mola, k é uma constante</p><p>denominada constante da força elástica e x é a deformação sofrida pela mola [4]. O sinal</p><p>negativo representa o sentido da força elástica que é contrário ao sentido de deformação da</p><p>mola. A Figura 1 abaixo ilustra a lei:</p><p>Figura 1 - Representação da Lei de Hooke.</p><p>As molas reais não obedecem a lei de Hooke de modo exato, contudo é um modelo útil.</p><p>[4]</p><p>Em um sistema onde a deformação ocorre devido à força peso de um objeto podemos</p><p>associar estas forças quando o sistema atinge o equilíbrio.</p><p>𝐹𝑝 = 𝑚 . 𝑔 = −𝑘 . 𝑥</p><p>5</p><p>2.2. Associação de molas</p><p>Quando necessário pode-se fazer a associação de molas, esta associação proporcionará</p><p>uma nova resistência ao sistema. No caso da associação em paralelo a deformação sofrida pelas</p><p>molas é a mesma [5], como se pode observar na Figura 2.</p><p>Figura 2 - Sistema massa molas associadas em paralelo.</p><p>Pode-se deduzir a constante elástica resultante da mola da seguinte maneira:</p><p>𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2</p><p>𝐹1 = −𝑘1. 𝑥</p><p>𝐹2 = −𝑘2. 𝑥</p><p>−𝑘𝑒𝑞. 𝑥 = −𝑥(𝑘1 + 𝑘2)</p><p>𝑘𝑒𝑞 = 𝑘1 + 𝑘2</p><p>Para uma associação em paralelo as molas estão sob a ação de uma mesma força F [5].</p><p>Na Figura 3 podemos observar o esquema.</p><p>6</p><p>Figura 3 - Sistema massa molas associadas em série.</p><p>Pode-se determinar a resistência equivalente da mola conforme segue:</p><p>𝐹 = −𝑘𝑒𝑞 . 𝑥</p><p>𝐹 = − 𝑘1. 𝑥1</p><p>𝐹 = − 𝑘2. 𝑥2</p><p>𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2</p><p>−</p><p>𝐹</p><p>𝑘𝑒𝑞</p><p>= − (</p><p>𝐹</p><p>𝑘1</p><p>+</p><p>𝐹</p><p>𝑘2</p><p>)</p><p>1</p><p>𝑘𝑒𝑞</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑘1</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑘2</p><p>2.3. Movimento Harmônico Simples (HMS)</p><p>Um sistema massa mola, quando está em uma trajetória retilínea oscila</p><p>periodicamente</p><p>em torno da posição de equilíbrio. Denomina-se a amplitude como a distância do ponto máximo</p><p>e do ponto mínimo em que o sistema oscila. [6]</p><p>Utilizando as equações do movimento harmônico simples chega-se à expressão</p><p>seguinte, a partir da qual é possível determinar a constante elástica de uma mola.</p><p>7</p><p>𝑘 =</p><p>4. 𝜋2. 𝑚. 𝑁2</p><p>𝑡𝑛2</p><p>Onde m é a massa do corpo que aplica a força peso na mola, N é o número de oscilações</p><p>em um período de tempo tn.</p><p>8</p><p>3. DESCRIÇÃO EXPERIMENTAL / METODOLOGIA</p><p>3.1. MATERIAIS UTILIZADOS</p><p>Para a realização desse experimento, utilizou-se diversos materiais e equipamentos, a</p><p>fim de coletar dados para as análises posteriores. Estão listados abaixo:</p><p> Paquímetro</p><p> Balança Digital</p><p> Cronômetro</p><p> Dinamômetro com célula de força (incerteza de 0,5% + 2 unidades, resolução de</p><p>0,2 N)</p><p> Tubo guia de plástico com uma escala milimetrada (incerteza de 0,5 mm, menor</p><p>medida de 1 mm)</p><p> 2 molas de tração</p><p> 1 mola de compressão</p><p> 1 peça cilíndrica de cobre</p><p> 2 peças cilíndricas de alumínio</p><p> 2 conjuntos compostos por 2 peças de aço unidas por fita adesiva</p><p> 1 sargento de fixação</p><p> 1 pêndulo fixado ao teto do laboratório.</p><p>3.2. METODOLOGIA</p><p>A parte experimental consistia basicamente em quatro etapas. Na Parte 1:</p><p>Determinação da constante elástica da mola de compressão utilizou-se o tubo guia de</p><p>plástico com escala milimetrada, a mola de compressão e as 3 peças cilíndricas disponíveis (1</p><p>de cobre e 2 de alumínio).</p><p>A partir desses materiais, foi construído um sistema de compressão da mola, montado</p><p>dentro do tubo guia. Na base do tubo (que estava apoiado verticalmente na bancada),</p><p>posicionou-se a mola, e em seguida, tomou-se nota do posicionamento da mesma na escala</p><p>milimetrada (estado inicial, sem compressão). A partir disso, adicionou-se as peças cilíndricas</p><p>em conjuntos: uma de alumínio, duas de alumínio, uma de cobre, uma de cobre e uma de</p><p>9</p><p>alumínio e finalmente todas as peças cilíndricas. Em cada um dos conjuntos, tomou-se nota da</p><p>compressão realizada na mola, sempre utilizando a escala milimetrada do tubo como referência.</p><p>Um cuidado importante a ser tomado é de não soltar as peças cilíndricas dentro do tubo</p><p>no estado vertical, já que isso exerceria uma força repentina na mola, podendo deformá-la.</p><p>Assim, as peças deviam ser posicionadas dentro do tubo na posição horizontal, e aos poucos,</p><p>devia ser transferido para a posição vertical.</p><p>A Parte 2: Determinação da constante elástica da mola de tração foi realizada</p><p>utilizando-se as 2 molas de tração, os 2 conjuntos de 2 peças de aço unidas por fita adesiva, a</p><p>balança, o dinamômetro, o paquímetro e o sargento para a fixação do sistema a ser construído</p><p>na bancada.</p><p>O sistema deveria ser construído a fim de utilizar-se da altura da bancada para pendurar</p><p>a mola de tração com o uso do sargento. Além disso, foi utilizado o dinamômetro para realizar</p><p>as medidas de força que as peças penduradas exerceriam na mola. Primeiro, adicionou-se um</p><p>dos conjuntos de peças ao sistema, proporcionando uma tração à mola suficiente para fazê-la</p><p>entrar na região de funcionamento da Lei de Hooke. A partir disso, mediu-se com o paquímetro</p><p>o comprimento inicial da mola (estado inicial). Também, zerou-se o dinamômetro,</p><p>considerando aquele estado como o inicial da força.</p><p>Em seguida, foi adicionado o segundo conjunto de peças de aço, o que gerou outro</p><p>comprimento na mola de tração. Com o paquímetro, tomou-se nota do novo comprimento.</p><p>Utilizando o dinamômetro, marcou-se a força dessa nova situação. A partir dos dados obtidos,</p><p>utilizou-se da expressão adaptada ao experimento para o cálculo da constante elástica 𝑘 da mola</p><p>𝐹 = −𝑘. ∆𝑥</p><p>onde 𝐹 é a força registrada no dinamômetro, ∆𝑥 a diferença entre o comprimento inicial</p><p>e o comprimento ao adicionar o segundo conjunto de peças de aço.</p><p>Para efeitos de comparação, o mesmo procedimento foi repetido, substituindo a mola</p><p>inicial por outra mola disponível.</p><p>Na Parte 3: Determinação da constante elástica da mola utilizando o MHS foi</p><p>montado um sistema semelhante ao da etapa anterior. Além disso, os conjuntos de peças de aço</p><p>tiveram suas massas medidas com o auxílio da balança digital.</p><p>10</p><p>Depois montar o sistema já partindo com uma das molas e ambos os conjuntos de duas</p><p>peças cada, iniciou-se um movimento oscilatório vertical, elevando a massa até uma posição de</p><p>compressão máxima e soltando-a em direção ao solo. Em seguida, foram contadas entre 30 e</p><p>50 oscilações, sempre tendo o cuidado de que o conjunto não tocasse no chão ou oscilasse na</p><p>horizontal. O tempo para que se desse as oscilações foi cronometrado com a ajuda do</p><p>cronômetro.</p><p>A partir dos dados coletados e da seguinte expressão, calculou-se a constante elástica 𝑘</p><p>da mola</p><p>𝑘 =</p><p>4. 𝜋2. 𝑚. 𝑁2</p><p>𝑡𝑛2</p><p>onde 𝑚 é a massa total dos dosi conjuntos de peças de aço, 𝑁 o número de oscilações</p><p>contadas e 𝑡𝑛 o tempo cronometrado das oscilações.</p><p>O procedimento foi repetido para um sistema com as duas molas em série, e em seguida,</p><p>para duas molas em paralelo, a fim de calcular as constantes elásticas 𝑘𝑒𝑞𝑠é𝑟𝑖𝑒 e 𝑘𝑒𝑞𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜.</p><p>Por fim, na Parte 4: Determinação experimental da aceleração da gravidade</p><p>utilizou-se do pêndulo composto por uma esfera e um fio fino, fixado ao teto do laboratório, e</p><p>do cronômetro para auxiliar na medição do tempo para dez períodos de oscilações do pêndulo.</p><p>Um cuidado importante foi de realizar oscilações com pequenas amplitudes, onde 𝑠𝑒𝑛𝜃 ≈ 𝜃.</p><p>A partir dos dados coletados de tempo, utilizou-se da seguinte expressão para o cálculo</p><p>experimental da aceleração da gravidade 𝑔</p><p>𝑇 = 2. 𝜋. √</p><p>𝐿</p><p>𝑔</p><p>onde 𝑇 é o tempo para um período de oscilação e 𝐿 o comprimento do pêndulo (a ser</p><p>medido desde a ponta superior do fio até o centro da esfera na outra ponta do pêndulo).</p><p>11</p><p>4. RESULTADOS E DISCUSSÕES</p><p>4.1. Parte 1: Determinação da constante elástica da mola de compressão</p><p>Utilizando a balança digital, foi possível aferir as massas dos conjuntos de peças</p><p>necessários para esta Parte 1. Com o auxílio da folha de escala milimetrada, foi medido o</p><p>deslocamento da mola em relação à posição de referência. A partir dessas informações, foi</p><p>calculada a força peso exercida na mola. A Tabela 1 abaixo reúne essas informações.</p><p>Tabela 1 - Dados referentes à mola de compressão.</p><p>CONJUNTO</p><p>DE PEÇAS</p><p>MASSA</p><p>(± 0,03) g</p><p>FORÇA (N)</p><p>DESLOCAMENTO</p><p>(± 0,5) mm</p><p>Referência - - -</p><p>Cilindro de alumínio 259,25 2,54 5,0</p><p>Ambos de alumínio 479,13 4,69 8,0</p><p>Cilindro de cobre 715,01 7,01 13,0</p><p>Alumínio 1 e cobre 974,26 9,55 16,0</p><p>Todas as peças 1.194,14 11,70 19,0</p><p>Para a determinação da constante elástica, as seguintes fontes de incerteza devem ser</p><p>levadas em consideração:</p><p>- incerteza da balança digital: ± 0,03 g;</p><p>- incerteza da gravidade: ± 0,1 m/s²</p><p>- incerteza do deslocamento: ± 0,5 mm (incerteza da régua milimetrada).</p><p>Assim, foi calculada a constante elástica k para cada um dos pontos experimentais. A</p><p>constante k foi calculada por meio da fórmula abaixo, em que F é a força peso exercida na mola</p><p>e x é o deslocamento causado pela força peso:</p><p>𝑘 =</p><p>𝐹</p><p>𝑥</p><p>A incerteza associada a cada uma das constantes elásticas (uk) foi definida como:</p><p>𝑢𝑘% = √(𝑢𝑚%)2 + (𝑢𝑔%)</p><p>2</p><p>+ (𝑢𝑥%)2</p><p>onde os termos da raiz referem-se às incertezas da massa, da gravidade e do deslocamento,</p><p>respectivamente.</p><p>12</p><p>Levando em consideração os dados e as informações acima, a Tabela 2 abaixo mostra</p><p>cada um dos valores calculados:</p><p>Tabela 2 - Dados da constante elástica e sua incerteza em cada ponto.</p><p>Combinação</p><p>Desloc.</p><p>(mm)</p><p>ux</p><p>(mm)</p><p>Massa</p><p>(g)</p><p>um</p><p>(g)</p><p>g</p><p>(m/s²)</p><p>ug</p><p>(m/s²)</p><p>Força</p><p>(N)</p><p>uF</p><p>(N)</p><p>k</p><p>(N/m)</p><p>uk</p><p>(N/m)</p><p>Referência - - - - - - - - - -</p><p>Cilindro de</p><p>alumínio</p><p>5,0 0,5 259,25 0,03 9,8 0,1</p><p>2,54 0,03 508,13 51,08</p><p>Ambos de</p><p>alumínio</p><p>8,0 0,5 479,13 0,03 9,8 0,1 4,70 0,05 586,93 37,17</p><p>Cilindro de</p><p>cobre</p><p>13,0 0,5 715,01 0,03 9,8 0,1 7,01 0,07 539,01 21,45</p><p>Alumínio 1 e</p><p>cobre</p><p>16,0 0,5 974,26 0,03 9,8 0,1 9,55 0,10 596,73 19,62</p><p>Todas as</p><p>peças</p><p>19,0 0,5 1194,14 0,03 9,8 0,1 11,70 0,12 615,92 17,38</p><p>Com os pontos experimentais acima, pode-se criar o Gráfico abaixo (Força versus</p><p>Deslocamento).</p><p>Figura 4 - Gráfico Força vs. Deslocamento.</p><p>Para encontrar a constante elástica k da mola de compressão, foi utilizada a seguinte</p><p>fórmula:</p><p>y = 638x - 0,6849</p><p>0,00</p><p>2,00</p><p>4,00</p><p>6,00</p><p>8,00</p><p>10,00</p><p>12,00</p><p>14,00</p><p>0 0,005 0,01 0,015 0,02</p><p>FO</p><p>R</p><p>Ç</p><p>A</p><p>(</p><p>N</p><p>)</p><p>DESLOCAMENTO (M)</p><p>FORÇA VS. DESLOCAMENTO</p><p>13</p><p>Já a sua incerteza foi calculada de acordo com a equação seguinte:</p><p>O resultado obtido para a constante elástica k da mola de compressão foi:</p><p>𝒌 = 𝟓𝟖𝟓, 𝟓𝟐 ± 𝟏𝟎, 𝟒𝟒 𝑵/𝒎</p><p>4.2. Parte 2: Determinação da constante elástica da mola de tração</p><p>Para esta parte do experimento, foi necessária a utilização de um dinamômetro, cujas</p><p>características estão descritas na Tabela 3.</p><p>Tabela 3 - Dados do dinamômetro.</p><p>Marca HOMIS</p><p>Modelo 2100</p><p>Resolução 0,2 N</p><p>Incerteza 0,5% + 2 unidades</p><p>Utilizando dois conjuntos diferentes de peças, um servindo como referência e o outro</p><p>para calcular o deslocamento da mola de tração, foi possível obter o conjunto de dados descritos</p><p>na Tabela 4.</p><p>14</p><p>Tabela 4 - Dados referentes aos testes com as molas de tração.</p><p>Mola</p><p>Conjunto de</p><p>peças</p><p>Comprimento</p><p>(± 0,5) mm</p><p>Força</p><p>(N)</p><p>k</p><p>(N/m)</p><p>uk</p><p>(N/m)</p><p>Mola 1</p><p>Referência 130,80 - - -</p><p>Conj. 1 162,53 8,8 277,34 6,36</p><p>Mola 2</p><p>Referência 108,12 - - -</p><p>Conj. 1 145,39 8,8 236,11 5,43</p><p>Para o cálculo da incerteza do coeficiente, utilizou-se a seguinte fórmula:</p><p>𝑢𝑘 = 𝑘√(</p><p>𝑢𝐹</p><p>𝐹</p><p>) ² + (</p><p>𝑢𝑥</p><p>𝑥</p><p>) ²,</p><p>onde 𝑢𝐹 é a incerteza do dinamômetro, que é de 0,2N e 𝑢𝑥 é a incerteza do deslocamento, que</p><p>é de 0,5mm.</p><p>Assim, foi notado que, como as duas fontes de incertezas são iguais, o fato de as</p><p>incertezas resultantes serem diferentes significa que os coeficientes das molas não podem ser</p><p>iguais.</p><p>4.3. Parte 3: Determinação da constante elástica da mola utilizando o MHS</p><p>Após as medições das massas, foram obtidos os seguintes dados da Tabela 5:</p><p>Tabela 5 - Dados das massas dos conjuntos.</p><p>Conjunto Massa (g)</p><p>1 (cobre) 909,06</p><p>2 (cobre) 916,97</p><p>TOTAL 1.826,03</p><p>Realizadas as oscilações e as devidas cronometragens do movimento oscilatório, foi</p><p>possível encontrar as informações contidas na Tabela 6:</p><p>15</p><p>Tabela 6 - Quantidade de oscilações e cronometragens para os arranjos de molas.</p><p>Arranjo Oscilações</p><p>Tempo</p><p>Cronometrado (s)</p><p>k</p><p>(N/m)</p><p>𝒖𝒌</p><p>(N/m)</p><p>1 mola 40 21,22 256,15 13,03</p><p>2 molas em série 40 30,28 125,80 6,34</p><p>2 molas em paralelo 40 14,94 516,75 26,75</p><p>A constante elástica foi calculada segundo a fórmula:</p><p>𝑘 =</p><p>4 × 𝜋2 × 𝑚 × 𝑁2</p><p>𝑡2</p><p>Para a propagação de incerteza do coeficiente nesta parte, usou-se a seguinte fórmula:</p><p>𝑢𝑘 = 𝑘√(</p><p>𝑢𝑚</p><p>𝑚</p><p>) ² + (</p><p>2𝑢𝑁</p><p>𝑁</p><p>) ² + (</p><p>2𝑢𝑡𝑛</p><p>𝑡𝑛</p><p>) ²</p><p>onde 𝑢𝑚 é a incerteza da massa, que é de 0,0001 kg, 𝑢𝑁 é a incerteza do número de oscilações,</p><p>que adotou-se como valor 1 e 𝑢𝑡𝑛 é a incerteza do tempo de oscilações, que foi de 0,10</p><p>segundos.</p><p>No experimento, as fontes de incerteza não justificaram as diferenças nos coeficientes</p><p>das molas, pois os valores para os coeficientes das molas ficaram bastante dispersos, o que faria</p><p>com que o erro normalizado ficasse maior do que 1.</p><p>Com base nos valores obtidos para os coeficientes das molas, notou-se que há uma</p><p>relação bem direta, pois tem-se as relações:</p><p> Em paralelo: 𝑘𝑒𝑞 = 𝑘1 + 𝑘2,</p><p>Assim, como 𝑘1 = 256,15 N/m, tem que:</p><p>516,75 = 256,15 + 𝑘2.</p><p>Logo, 𝑘2 = 260,60 N/m.</p><p> Em série, tem que:</p><p>1</p><p>𝑘𝑒𝑞</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑘1</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑘2</p><p>,</p><p>Assim, vem que</p><p>1</p><p>𝑘𝑒𝑞</p><p>=</p><p>1</p><p>256,15</p><p>+</p><p>1</p><p>260,60</p><p>.</p><p>Logo, o cálculo teórico de 𝑘𝑒𝑞 = 129,18 N/m, resultando num valor que fica dentro da</p><p>incerteza dos valores experimentais.</p><p>16</p><p>Assim, notou-se a coerência dos dados experimentais com as inferências teóricas.</p><p>4.4. Parte 4: Determinação experimental da aceleração da gravidade</p><p>Nesta parte do experimento, o grupo fez uma medição equivocada no primeiro dia do</p><p>experimento. Conforme a Tabela 7, os dados que foram coletados de forma errada foram os</p><p>seguintes:</p><p>Tabela 7 - Dados equivocados realizados no dia do experimento.</p><p>Medição Tempo Cronometrado (s)</p><p>1 10,85</p><p>2 10,81</p><p>3 10,68</p><p>4 10,90</p><p>5 10,75</p><p>Porém, ao realizar a construção da balança, o grupo percebeu que o conceito de período</p><p>que até então havia usado estava errado. Para corrigir o erro, o experimento foi realizado</p><p>novamente e, desta vez, com sucesso. Seguem os dados corretos na Tabela 8, que serão</p><p>utilizados para os cálculos futuros.</p><p>Tabela 8 - Dados de cronometragem corretos.</p><p>Medição Tempo Cronometrado (s)</p><p>1 30,25</p><p>2 30,31</p><p>3 30,31</p><p>4 30,28</p><p>5 30,30</p><p>Para calcular a aceleração da gravidade, também seria importante conhecer o</p><p>comprimento do barbante e o raio da esfera utilizados nesta parte do experimento. Assim, foi</p><p>possível obter os seguintes dados da Tabela 9:</p><p>17</p><p>Tabela 9 - Dados do comprimento total L.</p><p>Comprimento do pêndulo (mm)</p><p>Barbante 2.270,00</p><p>Raio Esfera 26,50</p><p>TOTAL 2.296,50</p><p>A aceleração da gravidade pôde ser calculada a partir da expressão:</p><p>que fornece o período de oscilação de um pêndulo simples de comprimento L, em condição de</p><p>oscilação de pequena amplitude (isto é, tal que sen θ ≈ θ).</p><p>A partir destas informações, foi possível obter os seguintes valores para a aceleração</p><p>da gravidade g:</p><p>Tabela 10 - Valores experimentais para a aceleração da gravidade.</p><p>Medição Gravidade</p><p>1 9,9077</p><p>2 9,8686</p><p>3 9,8686</p><p>4 9,8881</p><p>5 9,8751</p><p>MÉDIA 9,8816</p><p>18</p><p>5. CONCLUSÃO</p><p>Com a realização da primeira parte do experimento, nota-se que apesar de a constante</p><p>elástica da mola ter variado entre as medições, os valores obtidos possuem um comportamento</p><p>linear e se aproximam da reta ideal.</p><p>Após a parte 2 do experimento, foi possível notar que as constantes elásticas das molas</p><p>são diferentes, uma vez que as medições foram realizadas com a mesma metodologia e as fontes</p><p>de incerteza foram as mesmas.</p><p>Na parte 3, notou-se que, considerando o erro experimental, os valores obtidos se</p><p>aproximam dos valores teóricos para o caso da associação de molas em série e em paralelo.</p><p>Por fim, a parte 4 do experimento possibilitou encontrar valores experimentais para a</p><p>aceleração da gravidade que se aproximam bastante dos valores teóricos encontrados na</p><p>bibliografia consultada.</p><p>Os resultados obtidos revelam que a metodologia e os processos utilizados foram muito</p><p>satisfatórios e auxiliaram na verificação de diversos temas teóricos, utilizando-se de itens</p><p>comuns em laboratórios.</p><p>19</p><p>6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS</p><p>[1] http://www.fem.unicamp.br/~instmed/Deformacao_Torque.htm <Acesso em 28/07/14></p><p>[2] http://www.fisica.ufjf.br/~takakura/lab-fis1/aula6.pdf <Acesso em 28/07/14></p><p>[3] Callister, W. D. Ciência e Engenharia de Materiais: Uma Introdução. 5ed.</p><p>[4] Sears, Francis W.; Zemansky, Mark W.; Freedman, Roger A.; Young, Hugh D. Física I -</p><p>Mecânica, 12ª Ed.</p><p>[5] http://www.fisicaevestibular.com.br/mhs5.htm < Acessado em 28/07/14></p><p>[6] http://www.fisicaevestibular.com.br/mhs3.htm < Acessado em 29/07/14></p><p>[1] Roteiro: “Experimento 02 – Medidas de Constante Elástica e Força”. Disponível em:</p><p>https://sites.google.com/site/bc1707metodos2q2014/</p><p>http://www.fisica.ufjf.br/~takakura/lab-fis1/aula6.pdf</p><p>http://www.fisicaevestibular.com.br/mhs5.htm</p><p>http://www.fisicaevestibular.com.br/mhs3.htm</p><p>https://sites.google.com/site/bc1707metodos2q2014/</p><p>20</p><p>7. APÊNDICE</p><p>7.1. Apêndice A: Construção de uma balança</p><p>O objetivo dessa atividade é construir uma balança a partir de uma mola, a fim de determinar</p><p>as massas de objetos desconhecidos. Há a necessidade de um breve estudo entre os conceitos</p><p>de massa e peso, visto que costumam ser facilmente confundidos.</p><p>Massa: grandeza escalar; ela dá a medida da inércia ou da resistência de um corpo em</p><p>ter seu movimento acelerado.</p><p>Peso: grandeza vetorial; é a força gravitacional sofrida por um corpo na vizinhança de</p><p>um planeta ou de outro corpo celeste de massa significativa. A força peso é determinada a partir</p><p>da expressão</p><p>𝑝 = 𝑚𝑔</p><p>sendo 𝑚 a massa do corpo em questão e 𝑔 a aceleração da gravidade.</p><p>Para a construção de uma balança, foram seguidos os procedimentos abaixo:</p><p>1. Determinação das constante elástica da mola a ser utilizada na balança</p><p>Nessa etapa, utilizou-se a mola de tração e combinações entre as peças</p><p>disponíveis para encontrar a constante elástica da mola, através da medida dos</p><p>deslocamento da mesma, tendo os dados de massa dos objetos a serem utilizados.</p><p>Assim, podemos utilizar a expressão</p><p>𝐹 = −𝑘. ∆𝑥</p><p>para determinar a constante elástica 𝑘 da mola, sendo ∆𝑥 o deslocamento proporcionado</p><p>à mola quando submetida à força.</p><p>Tabela 11: Dados sobre a balança e medidas de massa das peças.</p><p>Incerteza</p><p>Massa 1 0,7139 kg</p><p>Massa 2 0,9091 kg</p><p>Massa 3 0,7213 kg</p><p>21</p><p>Tabela 12: Massas, forças e deslocamentos das combinações de peças.</p><p>Combinação Massa (kg) Força (N) Deslocamento (m)</p><p>k (N/m)</p><p>𝑭 = −𝒌. ∆𝒙</p><p>Referência (peça</p><p>1)</p><p>0 (0,71386) 6,9913 0,1170 -</p><p>Peças 1 e 2 0,9091 8,9092 0,1511 261,2669</p><p>Peças 1 e 3 0,7213 7,0687 0,1432 269,7977</p><p>Peças 1, 2 e 3 1,6304 15,9779 0,1780 261,9327</p><p>Média 264,3324</p><p>2. Determinação da aceleração da gravidade</p><p>Nessa etapa, utilizando os mesmos pêndulo e cronômetro do experimento 2,</p><p>foram aferidos, por cada integrante do grupo, 10 oscilações do pêndulo. A partir da</p><p>cronometragem dessas oscilações, pode-se utilizar a expressão</p><p>𝑇 = 2𝜋√</p><p>𝐿</p><p>𝑔</p><p>para determinar experimentalmente a aceleração da gravidade, sendo 𝐿 o comprimento</p><p>do pêndulo e 𝑔 a aceleração da gravidade.</p><p>Tabela 13: Cronometragens das oscilações por integrante do grupo.</p><p>Integrante Tempo cronometrado (s) Ac. Gravidade (m/s²)</p><p>1 30,25 9,9077</p><p>2 30,31 9,8686</p><p>3 30,31 9,8686</p><p>4 30,28 9,8881</p><p>5 30,30 9,8751</p><p>Média 9,8816</p><p>3. Medição das massas dos 5 objetos escolhidos pelo grupo a partir da construção da</p><p>balança</p><p>A partir dos valores obtidos de constante elástica da mola e aceleração da</p><p>gravidade obtidas nas etapas anteriores, pode-se partir para a montagem da balança.</p><p>Para isso, foi utilizado o mesmo sargento do experimento 2 para fixar a mola na</p><p>bancada. Além disso, por meio do paquímetro é possível medir o deslocamento que o</p><p>objeto em questão proporcionou à mola. A princípio, utilizou-se uma das peças do</p><p>22</p><p>laboratório para encontrar o ponto de referência, para a partir daí, adicionar as peças</p><p>trazidas de casa, uma a uma. No final, foi adicionado um objeto de massa conhecida a</p><p>fim de comparar a precisão das massas determinadas com essa balança e o valor real de</p><p>massa.</p><p>Tabela 14: Deslocamentos das peças trazidas de casa, bem como do teste de massa</p><p>conhecida.</p><p>Combinação</p><p>Deslocamento</p><p>∆𝑥 (m)</p><p>𝑘 (N/m)</p><p>Ac. Gravidade 𝑔</p><p>(m/s²)</p><p>Massa (kg)</p><p>𝑚 =</p><p>−𝑘. ∆𝑥</p><p>𝑔</p><p>Referência 0 (0,1091) - - -</p><p>Peça 1 0,1434</p><p>264,3324 9,8816</p><p>0,9170</p><p>Objeto A 0,1274 0,4893</p><p>Objeto B 0,1267 0,4700</p><p>Objeto C 0,1237 0,3905</p><p>Tabela 15: Medições das massas dos 5 objetos com a balança do laboratório para</p><p>comparação.</p><p>Objeto Massa (kg)</p><p>Peça 1 0,9091</p><p>Objeto A 0,5000</p><p>Objeto B 0,4500</p><p>Objeto C 0,4000</p><p>7.2. Apêndice B: Questões do roteiro</p><p>Serão abordadas questões referentes à teoria e interpretação que não estão intimamente</p><p>ligadas às contas já apresentadas no relatório</p><p>7- A incerteza resultante permite concluir que os "k" das duas molas usadas são</p><p>diferentes?</p><p>Sim, para o mesmo arranjo físico no qual são considerados também a incerteza do dinamômetro</p><p>e a incerteza da medição da deformação da mola, a diferença no cálculo da incerteza associada</p><p>aos valores obtidos experimentalmente nos permite inferir que as constantes elásticas das molas</p><p>não são as mesmas.</p><p>23</p><p>10- Compare os valores obtidos experimentalmente para keqsérie e keqparalelo, com os</p><p>valores teóricos indicados na Figura 2, com base no valor de k medido para uma das</p><p>molas. Comente eventuais diferenças.</p><p>Sabendo-se que a constante elástica em série é dada pela soma das constantes elásticas</p><p>individuais, e que a constante elástica para a associação em paralelo é dado pela fórmula contida</p><p>na figura 2, temos que os valores obtidos experimentalmente ficaram muito próximos da</p><p>realidade, sendo a pequena diferença possivelmente decorrente de erros de medição,</p><p>principalmente quanto à deformação da mola.</p><p>11. Explique em termos de ligações químicas, qual a origem das deformações elásticas dos</p><p>corpos.</p><p>Os defeitos existentes em metais podem ser classificados como sendo defeitos pontuais,</p><p>planares ou lineares. Os defeitos dão características físicas e mecânicas para os metais. As</p><p>discordâncias, relacionadas aos defeitos lineares, são as arestas de superfícies onde existe um</p><p>deslocamento relativo dos planos atômicos do metal.</p><p>A movimentação das discordâncias é feita a um nível de energia muito menor do que àquela</p><p>necessária à ruptura dos metais. Além disso, cada discordância que se move, produz uma</p><p>pequena deformação irreversível no metal, chamada de deformação plástica.</p><p>Com a intensa movimentação de discordâncias, maior a deformação plástica experimentada</p><p>pelo metal. Assim sendo, a capacidade de um metal se deformar plasticamente depende</p><p>diretamente da mobilidade das suas discordâncias.</p><p>Metais puros, que apresentam tamanhos de grão grandes e que contenham apenas algumas</p><p>discordâncias deverão possuir um limite elástico muito baixo. Nestes casos, as discordâncias</p><p>presentes movimentam-se facilmente pelo material, já que não encontram obstáculos em seu</p><p>percurso, dotando o material de grande capacidade de deformação plástica.</p><p>12. Cite duas aplicações em engenharia onde devem ser feitas medidas de força.</p><p>Em Engenharia, medida de força é uma ferramenta fundamental. Por exemplo, um engenheiro</p><p>mecatrônico pode utilizar medidas de força na indústria para medir uma determinada força de</p><p>usinagem em algum processo e fazer alguma otimização no sistema. Já um engenheiro</p><p>24</p><p>mecânico, pode realizar medidas de em seu dia a dia em uma indústria de peças industriais e</p><p>molas, e elaborar relatórios técnicos a partir dos resultados obtidos.</p><p>14- Qual é o objetivo prático de se medir dez oscilações do pêndulo, ao invés de apenas</p><p>um período de oscilação?</p><p>A medição para uma oscilação pode acarretar em erros gritantes, uma vez que existem vários</p><p>fatores que influenciam nesta etapa do experimento, como o erro humano ao manusear o</p><p>cronômetro, a eventual força aplicada no pêndulo ao iniciar o movimento ou a impossibilidade</p><p>de determinar um ponto exato para o início e final do período de oscilação. Sendo assim, a</p><p>medida de dez oscilações nos permite calcular valores mais próximos da realidade.</p><p>7.3. Apêndice C: Deduções matemáticas</p><p>- Incerteza da constante elástica:</p><p>Utilizando o método dos Mínimos Quadrados temos:</p><p>𝛿𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑎𝑗 = 𝑦𝑖 − (𝑎 ∙ 𝑥𝑖 + 𝑏)</p><p>Em que 𝛿𝑖 indica a diferença entre o valor do ponto experimental ao dá reta ajustada.</p><p>Sabendo que esta distância deve tender a zero temos:</p><p>𝑦𝑖 − (𝑎 ∙ 𝑥𝑖 + 𝑏) = 0</p><p>∑[𝑦𝑖 − (𝑎 ∙ 𝑥𝑖 + 𝑏)]</p><p>𝑁</p><p>𝑖=1</p><p>= 0</p><p>Se 𝑄𝑖𝑔</p><p>2 = ∑ 𝛿𝑖</p><p>2𝑁</p><p>𝑖=1 , ou seja, a somatória do quadrado das diferenças, então se 𝛿𝑖 tende</p><p>a zero, então 𝑄𝑖𝑔</p><p>2</p><p>também deverá tender a zero, para o melhor ajuste da curva.</p><p>Contudo é necessário minimizar</p><p>não só os desvios de cada ponto, mas como da função</p><p>também, para isso temos o seguinte método:</p><p>𝑄𝑖𝑔</p><p>2 = ∑ (</p><p>𝛿𝑖</p><p>𝑠𝑖</p><p>)</p><p>2𝑁</p><p>𝑖=1</p><p>= ∑ [</p><p>𝑦𝑖 − (𝑎 ∙ 𝑥𝑖 + 𝑏)</p><p>𝑠𝑖</p><p>]</p><p>2𝑁</p><p>𝑖=1</p><p>= 0</p><p>25</p><p>Em que 𝑠𝑖 indica a incerteza final de y. Sabendo que para calcular o mínimo de uma</p><p>função basta derivá-la e igualar a zero, apliquemos isto à equação obtida. Lembrando que a</p><p>derivada deve ser em relação à variável a qual quer-se encontrar a incerteza final, neste caso</p><p>necessita-se obter a incerteza final com relação ao coeficiente angular, portanto:</p><p>𝜕𝑄𝑖</p><p>2</p><p>𝜕𝑎</p><p>= 0</p><p>A solução da equação é dada por:</p><p>𝑠𝑎 = √</p><p>1</p><p>∆</p><p>∙ (∑</p><p>1</p><p>𝑠𝑖</p><p>2</p><p>𝑁</p><p>𝑖=1</p><p>)</p><p>Em que 𝑠𝑖</p><p>2 indica a incerteza em cada ponto e:</p><p>∆=</p><p>1</p><p>∆</p><p>∙ [(∑</p><p>1</p><p>𝑠𝑖</p><p>2</p><p>𝑁</p><p>𝑖=1</p><p>) ∙ (∑</p><p>𝑥𝑖</p><p>2</p><p>𝑠𝑖</p><p>2</p><p>𝑁</p><p>𝑖=1</p><p>) − (∑</p><p>𝑥𝑖</p><p>𝑠𝑖</p><p>1</p><p>𝑁</p><p>𝑖=1</p><p>)</p><p>2</p><p>]</p><p>Aplicando agora as variáveis envolvidas, temos:</p><p>𝑠𝑘 = √</p><p>1</p><p>∆</p><p>∙ (∑</p><p>1</p><p>𝑠𝑖</p><p>2</p><p>4</p><p>𝑖=1</p><p>)</p><p>∆=</p><p>1</p><p>∆</p><p>∙ [(∑</p><p>1</p><p>𝑠𝑖</p><p>2</p><p>4</p><p>𝑖=1</p><p>) ∙ (∑</p><p>𝑥𝑖</p><p>2</p><p>𝑠𝑖</p><p>2</p><p>4</p><p>𝑖=1</p><p>) − (∑</p><p>𝑥𝑖</p><p>𝑠𝑖</p><p>2</p><p>4</p><p>𝑖=1</p><p>)</p><p>2</p><p>]</p>