1 Cinemática da Partícula I - Conceitos

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<p>08/09/2024, 12:39 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos. UNIP UNIVERSIDADE PAULISTA Cinemática Escalar da Partícula - Conceitos I - CINEMÁTICA ESCALAR A cinemática é a parte da física, especificamente da mecânica, que estuda o movimento de um objeto. As observações e análises descreverão as diferentes posições ocupadas pelo objeto em função do tempo sem considerar o que provocou esse movimento. As causas que colocam o objeto em movimento, como sua massa e as forças que atuam sobre ele serão estudadas em dinâmica. a) Partícula ou Ponto material As expressões partícula ou ponto material são usadas fisicamente quando um objeto tem suas dimensões desprezíveis comparadas às dimensões de um dado referencial. Exemplo: Um trem com 500 m de comprimento se deslocando entre as cidades de São Paulo e Belo Horizonte com distância em torno de 650 km (referencial). Por maior que o trem seja, o seu comprimento é muito pequeno quando comparado à distância entre as duas Nesse caso, o trem pode ser considerado uma partícula ou ponto material. II CONCEITOS Alguns conceitos são necessários para a descrição do movimento como: trajetória, posição, percurso ou deslocamento escalar, velocidade e aceleração. a) Trajetória Trajetória é a linha formada pela união de todos os pontos que podem ser ocupados por um móvel durante o seu movimento. Essa trajetória depende do referencial adotado, ou seja, são definidas arbitrariamente uma origem sobre a trajetória e sua orientação. De uma forma simples, trajetória é o caminho descrito pelo móvel. Figura 1: Trajetória percorrida por um móvel. b) Posição https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 1/13</p><p>08/09/2024, 12:39 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline Sistemas de conteúdo online para Alunos. A posição ou espaço é o ponto que o móvel ocupa na trajetória em um certo instante, medida com relação a uma origem previamente escolhida. Na FIG.1 observa-se que o móvel ocupa a posição (origem) no instante to e a posição S1 no instante A unidade de posição é qualquer unidade de distância. Nas rodovias, é o quilômetro (km) e, no Sistema Internacional (SI) a unidade é o metro (m). ** Observações importantes: A posição não indica o quanto o móvel andou. Posição positiva não significa que o movimento seja necessariamente a favor da orientação da trajetória. Da mesma forma, posição negativa também não significa que o movimento seja obrigatoriamente contra a trajetória. Posição nula não significa que o móvel esteja obrigatoriamente em repouso. c) Percurso ou Deslocamento Escalar percurso (ou deslocamento escalar) é a variação da posição do móvel em um certo intervalo de tempo. Na FIG.1 o percurso é dado por: AS = A distância total percorrida (d) corresponde à soma dos módulos de cada deslocamento + AS 2 + + in Importante: Para a determinação da distância total percorrida, interessa por onde o móvel passou no meio do caminho. ** Observações importantes: fato do percurso ser positivo não significa que o movimento tenha sido sempre a favor da trajetória. percurso não é obrigatoriamente a distância percorrida. Isso só acontecerá quando o movimento for sempre no mesmo sentido e a favor da orientação da trajetória. Quando o percurso for nulo não significará que necessariamente o móvel tenha ficado em repouso. móvel pode ter se movido e retornado à posição inicial. d) Velocidade média A velocidade média é definida pela relação entre o percurso e o correspondente intervalo de tempo: https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 2/13</p><p>08/09/2024, 12:39 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos. No Sistema Internacional de Unidades (S.I.) a unidade de velocidade é metros por segundo (m/s). É também muito comum o emprego da unidade quilômetros por hora km 1000 m = 1 kml h h 3600 S 3,6 s Método prático de transformação de unidades: De m/s para km/h: multiplica-se por 3,6 De km/h para m/s: divide-se por 3,6 ** Observações importantes: A velocidade média não é a simples média aritmética das velocidades. Se o móvel retornar à posição inicial através da mesma trajetória, a velocidade escalar média será nula. A velocidade média é uma grandeza algébrica, ou seja, pode ser positiva, negativa ou nula. e) Velocidade Instantânea: Velocidade instantânea (v) é a rapidez com que o móvel se desloca em um determinado instante de tempo. Essa velocidade instantânea é o valor para o qual a velocidade média se aproxima à medida que o intervalo de tempo torna-se progressivamente menor, ou seja: At A equação acima pode ser escrita em termos da derivada do deslocamento S em relação ao tempo t. Sendo assim, pode-se escrever: dt ** Observações importantes: Quando a velocidade instantânea á positiva, nesse instante, o móvel se desloca a favor da orientação da trajetória. o movimento é dito progressivo. Quando a velocidade instantânea é negativa, significa que, no instante analisado, o móvel desloca-se contra a orientação da trajetória. movimento é dito retrógrado. https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 3/13</p><p>08/09/2024, 12:39 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline Sistemas de conteúdo online para Alunos. f) Aceleração média São poucos os movimentos em que o móvel se desloca sempre com a mesma velocidade. A aceleração mede com que rapidez acontecem as mudanças na velocidade. Sendo assim, aceleração média é a relação entre a variação da velocidade instantânea e o correspondente intervalo de tempo: Como decorrência da definição, a unidade de aceleração no S.I. é m/s2 metros por segundo ao quadrado) Assim, quando a aceleração de um carro é 5 isso significa que a velocidade varia de cinco metros por segundo a cada segundo. ** Observações importantes: Quando a aceleração e a velocidade tem o mesmo sentido, ou seja, em termos algébricos, quando a aceleração e a velocidade são positivas (a favor da trajetória), ou ambas são negativas (contra a trajetória), o movimento é dito acelerado e a velocidade é crescente. No momento em que a aceleração e a velocidade tem sentidos contrários, sendo algebricamente, quando a velocidade é positiva (a favor da trajetória) e a aceleração é negativa; ou, quando a velocidade é negativa (contra a trajetória) e a aceleração é positiva, o movimento é dito retardado e a velocidade é decrescente. g) Aceleração instantânea (a) Da mesma forma em que foi definida a velocidade instantânea, a aceleração instantânea é a taxa de variação da velocidade em um intervalo de tempo infinitesimal: At Em Cálculo a equação acima é definida como a derivada da velocidade V em relação ao tempo t. Sendo assim, pode-se escrever: dt III - Exercícios Resolvidos Exemplo 1: Uma partícula desloca-se de acordo com a seguinte equação de velocidade em função do tempo: v(t) = 12.t 6.t2 (em S.I). Sabe-se que no instante t = 0 o móvel passa pela posição = 8 m. Determine: 4/13</p><p>08/09/2024, 12:39 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos. a) a equação horária do movimento, b) os intantes em que o móvel para: c) as posições de parada do móvel: d) os gráficos cartesianos (t,a), (t,v) e Resolução a) Para a determinação da equação horária, é necessário integrar a equação da velocidade v(t): Em razão de ser um integral indefinica, aparece uma constante C, denominada de constante de integração. Para encontar a equação horária do movimento, o valor da constante C deve ser conhecido. Como o problema forneceu uma condição de contorno, onde para o instante t = 0 S a posição S(0) = 8 m, tem-se: C=8 Portanto, a equação horário do movimento é: b) Os instante de tempo t em que o móvel se encontra parado (v = 0). Como a equação da velocidade é conhecida, temos que igualar a zero: Portanto, os instantes em que o móvel encontra-se parado são: t = 2s. c) As posições de parada do móvel corresponde as posições do móvel nos intantes t = e 5/13</p><p>08/09/2024, 12:39 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos. Portanto, as posições de parada do móvel são: = 16 m. d) A equação da horária da aceleração é obtida por meio da derivada da velocidade V em relação ao tempo t: Exemplo 2: movimento de um ponto material é dado pela equação horária: = - + 8.t - 2 (em S.I.). Determine: a) a posição da partícula nos instantes 1 e 4 s; b) o percurso da partícula no intervalo de tempo de 1 a 4 c) a velocidade escalar média da partícula no interbalo de tempo de 1 a 4 s; d) a equação da velocidade em função do tempo; e) a aceleração média no intervalo de tempo de 1 a 4 e f) a equação da aceleração em função do tempo Resolução a) Como foi fornecido pelo problema a equação horário do movimento, temos para t = 1 S(1), e para t = 4 S(4) S(4) = 286 m b) percurso da partícula é obtido pela diferença entre a posição inicial S(1) e a posição final : c) https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 6/13</p><p>12:39 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos. A velocidade escalar média do ponto material é calcula pela definição de velocidade média (a razão entre o deslocamento e o intervalor de : S(4)-S(1) = 279 3 d) Para obter a equação horária da velocidade em função do tempo, tem que derivar a equação horária do deslocamento: dt e) A aceleração média é obtida pela razão entre a variação de velocidade e a variação do tempo. Assim, precisa-se calcular o valor da velocidade para o instante t = 1 v(1), e intante t = 4 v(4) : v(4) = Assim: 4-1 3 am =67 f) A equação horária da aceleração é obtida pela derivada da velocidade, v(t), em relação ao tempo, t: dt Exercício 1: A equação do espaço S (em m) em função do tempo t (em s) para uma partícula móvel é: S(t) = - 2.t. A velocidade média da partícula entre os instantes 2 S e 5 S vale, em m/s: A) 54 B) 7/13</p><p>08/09/2024, 12:39 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos. 100 C) 64 D) 76 E) 28 Exercício 2: Um móvel executa trajetória retilínea cuja equação do espaço S metros) em função do tempo t (em segundos) é dada por : s(t) = + 12. distância (d) percorrida pelo referido móvel entre os instantes 1 S e 4 S vale, em metros : A) 0 B) -3 C) 3 D) 7 E) -7 Exercício 3: 8/13</p><p>08/09/2024, 12:39 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos. A equação do espaço S (em m) em função do tempo t (em s) para uma partícula móvel é: - 4.t. A distância percorrida (d) pela partícula entre os instantes 1 S e 3 S é, em A) 0 B) 2 C) 3 D) 6 E) 10 Exercício 4: A equação do espaço S m) para uma partícula móvel em função do tempo t (em s) é: S(t) = - 4.t. deslocamento da partícula entre os instantes 1 S e 3 S é, em m: A) 3 B) -3 C) 6 D) 4 https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 9/13</p><p>08/09/2024, 12:39 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos E) 0 Exercício 5: Um móvel executa dois percursos consecutivos. o primeiro tem extensão de 40 km e é percorrido em 0,5 h. o segundo tem extensão de 100 km e é percorrido em 2 h. As velocidades médias (vm) do móvel no primeiro trecho e no segundo trecho são, respectivamente, em km/h: A) 40 e 100 B) 80 e 50 C) 20 e 100 D) 50 e 50 E) 80 e 100 Exercício 6: Um móvel percorre dois trechos consecutivos. o primeiro tem extensão de 40 km e é percorrido em 0,5 h. o segundo trecho tem extensão de 100 km e é percorrido em 2 h. A velocidade média do móvel no percurso total vale, em km/h: A) 56 B) 10/13</p><p>08/09/2024, 12:39 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos. 65 C) 75 D) 100 E) 2,5 Exercício 7: A equação do espaço S (em m) em função do tempo t (em s) para uma partícula móvel é: s(t) = - A distância percorrida (d) pela partícula entre os instantes 1 S e 5 S é, em A) 0 B) 4 C) 8 D) 16 E) 24 Exercício 8: https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 11/13</p><p>08/09/2024, 12:39 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para A equação espaço S (em metros) em função do tempo t (em segundos) para um móvel que descreve trajetória retilínea é dada por : = -5.t3 + 7.t2 + 15. A equação da velocidade V (em m/s) em função do tempo t (em para o referido móvel é dada por: A) v(t) = 15.t2 + 14.t + 15 B) v(t) = 15.t3 C) v(t) = 7.t D) v(t) = - 15.t2 + 14.t E) v(t) = 14.t = Exercício 9: Um objeto realiza um movimento unidimensional ao longo do eixo X. A sua função horária no SI é dada por: X (t) = 10 + 8,6t - 2t2 (m) Determine: I) a velocidade instantânea do objeto; e II) velocidade do objeto passados dois segundos do início do movimento. A) I - v(t) = 8,6t - 2 m/s II - v(2) = 15,2 m/s B) I - v(t) = 8,6t m/s https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 12/13</p><p>08/09/2024, 12:39 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos. II - v(2) = 17,2 m/s C) I v(t) = 8,6 - 4t m/s II - v(2) = 0,6 m/s D) = -4t m/s II - v(2) = -8 m/s E) = 10 - 2t m/s II - v(2) = 6 m/s https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 13/13</p>