Resolucao_Exercicios_Capitulo_4_Algebra

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<p>Solução:</p><p>Como M3 = M1+M2, então [M1, M2, M3, M4]=[M 1, M2, M4] 1 −5−4 2</p><p>+ 1 1−1 5</p><p>+ 1 −7−5 1</p><p>= 0 0</p><p>0 0</p><p>+ + = 0−5 + − 7 = 0</p><p>−4 − − 5 = 0</p><p>2 + 5 + = 0</p><p>+</p><p>4</p><p>3</p><p>= 0 → = −4</p><p>3</p><p>− 1</p><p>3</p><p>= 0 → =</p><p>1</p><p>3</p><p>SPI=> 1, 2 , 4 , é . −4</p><p>3</p><p>. 1 +</p><p>1</p><p>3</p><p>. 2 + . 4 = 0 → ∀ ∈ �.</p><p>Como 4 =</p><p>4</p><p>3 1 − 1</p><p>3 2 => 1, 2, 4 = 1, 2</p><p>Como 1 , 2 , não são múltiplos, então são L.I. Logo, 1, 2 é a base de W.</p><p>Assim: dim W = 2.</p><p>Solução:</p><p>a) e b)</p><p>1 ∩ 2 = ; = , = , = = → ; = = =</p><p>1 ∩ 2 = ; ∈ � → 1 1</p><p>1 1</p><p>, 1 1</p><p>1 1</p><p>. � � 1 ∩ 2,</p><p>Então é base de 1 ∩ 2. dim 1 ∩ 2 = 1</p><p>Então: 1 = ; , ∈ � → 1 0</p><p>0 1</p><p>+ 0 1</p><p>1 0</p><p>; , ∈ � → 1 0</p><p>0 1</p><p>, 0 1</p><p>1 0</p><p>.</p><p>Então a base será: 1 0</p><p>0 1</p><p>, 0 1</p><p>1 0</p><p>= �</p><p>1</p><p>, ã . �, � ã é � .</p><p>1 0</p><p>1 0</p><p>, 0 1</p><p>0 1</p><p>= �</p><p>2</p><p>, ã . �, � ã é � .</p><p>dim 1 = 2; dim 2 = 2 → dim 1 + 2 = 2 + 2 − 1 = 3.</p><p>1 + 2 ≠ (2,2) então, 1 + 2 = 1 0</p><p>0 1</p><p>, 0 1</p><p>1 0</p><p>, 1 0</p><p>1 0</p><p>, 0 1</p><p>0 1</p><p>.</p><p>Solução:</p><p>a) ∝ =? → ∝ = −1</p><p>2</p><p>3</p><p>→ ∝ = � ∝∝´. ∝` → 1 1 0</p><p>0 −1 1</p><p>1 0 1</p><p>. −1</p><p>2</p><p>3</p><p>=> 1</p><p>1−4</p><p>.</p><p>b) ∝ = −1</p><p>2</p><p>3</p><p>, ∝` =? → ∝` = � ∝`</p><p>∝ . ∝ → � ∝`</p><p>∝ = � ∝`</p><p>∝ −1 =></p><p>−1</p><p>2</p><p>3</p><p>= 1 1 0</p><p>0 −1 1</p><p>1 0 −1</p><p>. → + = −1− + = 2− = 3</p><p>→ 2 = 4 → = 2 → = −3 → = −1</p><p>∝` = 2−3−1</p><p>.</p><p>Solução: � = 1,0 , (0,1)</p><p>�` = �1 ,�2 →</p><p>600 = 1</p><p>1</p><p>→ 1 = 600 → 3</p><p>2</p><p>600 = 1</p><p>1</p><p>→ 1 = 600 →</p><p>1</p><p>2</p><p>�1 = 1</p><p>2</p><p>,− 3</p><p>2</p><p>300 = 2</p><p>1</p><p>→ 2 = 300 →</p><p>1</p><p>2</p><p>300 = 2</p><p>1</p><p>→ 2 = 300 → 3</p><p>2</p><p>→ �2 = − 3</p><p>2</p><p>,</p><p>1</p><p>2</p><p>� = 1,0 , (0,1) → �´ = 1</p><p>2</p><p>,− 3</p><p>2</p><p>, 3</p><p>2</p><p>,</p><p>1</p><p>2</p><p>a) � ��`</p><p>=?</p><p>1</p><p>2</p><p>,− 3</p><p>2</p><p>= 1,0 + (0,1)</p><p>3</p><p>2</p><p>,</p><p>1</p><p>2</p><p>= 1,0 + (0,1)</p><p>� ��`</p><p>= →</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>= − 3</p><p>2</p><p>→</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>→</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2− 3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>b) � �`</p><p>�</p><p>= � ��` −1</p><p> 1,0 = 1</p><p>2</p><p>,− 3</p><p>2</p><p>+ 3</p><p>2</p><p>,</p><p>1</p><p>2</p><p> 0,1 = 1</p><p>2</p><p>,− 3</p><p>2</p><p>+ 3</p><p>2</p><p>,</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>3</p><p>2</p><p>= 1 3</p><p>− 3</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>= 0</p><p>→ 2 = 3 → =</p><p>3</p><p>2</p><p>− 3</p><p>2</p><p>= − 1</p><p>2</p><p>→ =</p><p>1</p><p>2</p><p>2 3</p><p>→ =</p><p>1 3</p><p>3</p><p>2</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>3</p><p>2</p><p>= 0 3</p><p>− 3</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>= 1</p><p>→ 2 = 1 → =</p><p>1</p><p>2</p><p>→ 1</p><p>2</p><p>= − 3</p><p>2</p><p>C=− 3</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>→ − 3</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>→ = − 3</p><p>2</p><p>.</p><p>� �`</p><p>�</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>− 3</p><p>2 3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>→ � �`</p><p>�</p><p>= � ��` −1</p>