Para determinar a função de transferência do sistema \( H(z) \), precisamos analisar a relação entre os sinais de entrada \( x[n] \) e saída \( y[n] \). Dado: - \( y[n] = 0,25^{(n-1)} u[n-1] \) - \( x[n] = 0,5^n u[n] \) A função de transferência \( H(z) \) é dada pela razão entre a transformada Z da saída e a transformada Z da entrada: \[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} \] Primeiro, vamos encontrar as transformadas Z de \( x[n] \) e \( y[n] \). 1. Transformada Z de \( x[n] \): \[ X(z) = \mathcal{Z}\{0,5^n u[n]\} = \frac{1}{1 - 0,5z^{-1}} \quad \text{(para } |z| > 0,5\text{)} \] 2. Transformada Z de \( y[n] \): \[ Y(z) = \mathcal{Z}\{0,25^{(n-1)} u[n-1]\} = z^{-1} \cdot \mathcal{Z}\{0,25^n u[n]\} = z^{-1} \cdot \frac{1}{1 - 0,25z^{-1}} \quad \text{(para } |z| > 0,25\text{)} \] Agora, substituindo as transformadas na função de transferência: \[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{z^{-1} \cdot \frac{1}{1 - 0,25z^{-1}}}{\frac{1}{1 - 0,5z^{-1}}} \] Simplificando: \[ H(z) = \frac{z^{-1}(1 - 0,5z^{-1})}{1 - 0,25z^{-1}} = \frac{z^{-1} - 0,5z^{-2}}{1 - 0,25z^{-1}} \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( H(z) = \frac{\pi^{-2} - 0,5z^{-3}}{1 - 0,25z^{-1}} \) B) \( H(z) = \frac{z^{-1} - 0,5z^{-1}}{1 - 0,25z^{-1}} \) C) \( H(z) = \frac{1 - 0,25\pi^{-1}}{\pi^{-2} - 0,5z^{-2}} \) D) \( H(z) = \frac{z^{-1} + 0,5z^{-1}}{1 + 0,25z^{-1}} \) E) \( H(z) = \frac{1 + 0,25z^{-1}}{z^{-1} + 0,5z^{-2}} \) A alternativa que mais se aproxima da nossa simplificação é a B, que representa a função de transferência corretamente. Portanto, a resposta correta é: B) H(z) = (z^{-1} - 0,5z^{-1})/(1 - 0,25z^{-1}).