Problemas de Matemática

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<p>Matemática Básica I</p><p>Matemática Elementar</p><p>Prof. Clodomir Neto</p><p>Função Modular</p><p>1. (EsPCEx 1996) Sejam o conjunto</p><p>A = {x ∈ Z∗ | |x| ≤ 5} e a função</p><p>f : A → Z, definida por f(x) = x2. Se B é o</p><p>conjunto imagem da função f(x), o número</p><p>de elementos do conjunto B ∪ A é:</p><p>[A] 16.</p><p>[B] 15.</p><p>[C] 14.</p><p>[D] 13.</p><p>[E] 12.</p><p>2. (EsPCEx 1996) O conjunto solução da ine-</p><p>quação |x2 + x+ 1| ≤ |x2 + 2x− 3| é:</p><p>[A]</p><p>{</p><p>x ∈ R</p><p>∣∣∣∣−1</p><p>2</p><p>≤ x ≤ 2 oux ≥ 4</p><p>}</p><p>.</p><p>[B]</p><p>{</p><p>x ∈ R</p><p>∣∣∣∣− 2 ≤ x ≤ 1</p><p>2</p><p>oux ≥ 4</p><p>}</p><p>.</p><p>[C]</p><p>{</p><p>x ∈ R</p><p>∣∣∣∣x ≤ −1</p><p>2</p><p>ou 2 ≤ x ≤ 4</p><p>}</p><p>.</p><p>[D]</p><p>{</p><p>x ∈ R</p><p>∣∣∣∣x ≤ −2 ou</p><p>1</p><p>2</p><p>≤ x ≤ 4</p><p>}</p><p>.</p><p>[E]</p><p>{</p><p>x ∈ R</p><p>∣∣∣∣−1</p><p>2</p><p>≤ x ≤ 4</p><p>}</p><p>.</p><p>3. (EsPCEx 1997) O domı́nio e a imagem da</p><p>função f(x) = |2x2 − 2x| + 4 são, respectiva-</p><p>mente:</p><p>[A]R e [4, 5;+∞[.</p><p>[B]R e [4;+∞[.</p><p>[C]R+ e ]−∞; 4].</p><p>[D]R e ]−∞; 4, 5].</p><p>[E]R+ e [4;+∞[.</p><p>4. (UFC 1998) Classifique as afirmativas abaixo</p><p>como verdadeiras (V) ou falsas (F).</p><p>1. ( )|6− 4| = 6− 4.</p><p>2. ( )|3(1− 2)| = 3(2− 1).</p><p>3. ( )|2− 5| = |2|+ | − 5|.</p><p>Assinale a opção que apresenta a seqüência</p><p>correta.</p><p>[A]V, V, V .</p><p>[B]V, F, V .</p><p>[C]V, V, F .</p><p>[D]V, F, F .</p><p>[E]F, F, F .</p><p>5. (UFC 1998) Seja a função f : R − {0} → R</p><p>definida por f(x) =</p><p>|x|</p><p>x</p><p>. Coloque V se verda-</p><p>deiras e F se falsas nas afirmativas abaixo.</p><p>1. ( )f(x) = 1, ∀x > 0.</p><p>2. ( )f(x) > 0, ∀x ∈ R− {0}.</p><p>3. ( )f(x) = f(y) ⇔ x = y, ∀x, y ∈ R− {0}.</p><p>4. ( )f(x · y) = f(x) · f(y), ∀x, y ∈ R− {0}.</p><p>Assinale a opção que contém a sequência</p><p>correta.</p><p>[A]V, F, V, V .</p><p>[B]F, V, V, F .</p><p>[C]F, V, F, V .</p><p>[D]V, F, F, V .</p><p>[E]V, V, F, F .</p><p>1</p><p>6. (EsPCEx 1998) O conjunto solução da</p><p>equação |x− 3| = |x− 3|2, em R:</p><p>[A] possui somente 4 elementos.</p><p>[B] possui somente 3 elementos.</p><p>[C] possui somente 2 elementos.</p><p>[D] possui somente 1 elemento.</p><p>[E] é vazio.</p><p>7. (EsPCEx 1999) Dos gráficos abaixo, o que me-</p><p>lhor representa a função f(x) = |4x2−16x+7|</p><p>é</p><p>8. (EsPCEx 2000) O valor da soma entre o me-</p><p>nor e o maior valor assumido pela expressão</p><p>x</p><p>|x|</p><p>+</p><p>y</p><p>|y|</p><p>+</p><p>2xy</p><p>|xy|</p><p>, quando x e y variam no</p><p>conjunto de todos os números reais não nulos, é</p><p>[A] − 6.</p><p>[B] − 2.</p><p>[C] 2.</p><p>[D] 4.</p><p>[E] 6.</p><p>9. (EsPCEx 2000) Dada a equação</p><p>|2x − 3| + |x| − 5 = 0, a soma de todas</p><p>as suas soluções é igual a</p><p>[A] 3.</p><p>[B]</p><p>8</p><p>3</p><p>.</p><p>[C] 2.</p><p>[D]</p><p>4</p><p>3</p><p>.</p><p>[E]</p><p>2</p><p>3</p><p>.</p><p>10. (EsPCEx 2002) O número de ráızes reais</p><p>distintas da equação x|x| − 3x+ 2 = 0 é</p><p>[A] 0.</p><p>[B] 1.</p><p>[C] 2.</p><p>[D] 3.</p><p>[E] 4.</p><p>11. (UFC 2003) Seja f uma função real de variável</p><p>real cujo gráfico está representado ao lado.</p><p>2</p><p>Se g(x) = 2f(x)−1, assinale a alternativa cujo</p><p>gráfico melhor representa |g(x)|.</p><p>12. (EsPCEx 2003) A soma dos quadra-</p><p>dos de todas as ráızes da equação</p><p>x2 + 4x − 2 · |x + 2| + 4 = 0 é igual</p><p>a</p><p>[A] 16.</p><p>[B] 20.</p><p>[C] 24.</p><p>[D] 28.</p><p>[E] 36.</p><p>13. (UFC 2004) A soma dos inteiros que satis-</p><p>fazem a desigualdade |x−7| > |x+2|+|x−2| é:</p><p>[A] 14.</p><p>[B] 0.</p><p>[C] − 2.</p><p>[D] − 15.</p><p>[E] − 18.</p><p>14. (EsPCEx 2004) Analise os itens abaixo para</p><p>a função f : R → R:</p><p>I - Se f(x)+f(−x) = 0, então f é uma função</p><p>par.</p><p>II - Se f(x) é uma função constante, então f</p><p>é uma função par.</p><p>III - Se |f(x)| = f(x), então Im(f) ⊂ R+.</p><p>IV - |f(x)| = f(x), então f é função bijetora.</p><p>São corretas as afirmativas</p><p>[A] I e II.</p><p>[B] II e III.</p><p>[C] II e III.</p><p>[D] I e III.</p><p>[E] III e IV.</p><p>15. (EsPCEx 2007) Sejam x e y números reais</p><p>não nulos. Das seguintes afirmações:</p><p>I - Se |x| = |y| então x = y;</p><p>II - |x+ y| ⩾ |x|+ |y|;</p><p>III - Se 0 < x < 1 então x2 < x;</p><p>IV - Se x < 0 então x =</p><p>√</p><p>x2.</p><p>Pode-se concluir que</p><p>[A] todas são verdadeiras.</p><p>[B] somente a IV é falsa.</p><p>[C] somente I e III são verdadeiras.</p><p>[D] somente II e IV são falsas.</p><p>[E] somente a III é verdadeira.</p><p>16. (UFC 2008) Dadas as funções f : R → R e</p><p>g : R → R definidas por f(x) = |1 − x2| e</p><p>g(x) = |x|, o número de pontos na interseção</p><p>do gráfico de f com o gráfico de g é igual a:</p><p>3</p><p>[A] 5.</p><p>[B] 4.</p><p>[C] 3.</p><p>[D] 2.</p><p>[E] 1.</p><p>17. (EsPCEx 2008) Observando o gráfico abaixo,</p><p>que representa a função real f(x) = |x−k|−p,</p><p>pode-se concluir que os valores de k e p são,</p><p>respectivamente</p><p>[A] 2 e 3.</p><p>[B] − 3 e −1.</p><p>[C] − 1 e 1.</p><p>[D] 1 e −2.</p><p>[E] − 2 e 1.</p><p>18. (EsPCEx 2009) Dada a função real modular</p><p>f(x) = 8 + (|4k − 3| − 7)x, em que k é real.</p><p>Todos os valores de k para que a função dada</p><p>seja decrescente pertencem ao conjunto</p><p>[A] k > 2, 5.</p><p>[B] k < −1.</p><p>[C] − 2, 5 < k < −1.</p><p>[D] − 1 < k < 2, 5.</p><p>[E] k < −1 ou k > 2, 5.</p><p>19. (UFC 2010) Seja f : (−∞,−1]∪ [1,+∞) → R</p><p>a função definida por f(x) = |x+</p><p>√</p><p>x2 − 1|. É</p><p>correto afirmar que:</p><p>[A] f(1) = 2.</p><p>[B] f(x) = −x−</p><p>√</p><p>x2 − 1 se x ≥ 1.</p><p>[C] f(x) = −x−</p><p>√</p><p>x2 − 1 se x ≤ −1.</p><p>[D] f(x) = −x+</p><p>√</p><p>x2 − 1 se x ≤ −1.</p><p>[E] f(x) = 0 para todo real x no domı́nio de f .</p><p>20. (IME 2010) Sejam x e y números reais.</p><p>Assinale a alternativa correta:</p><p>[A] Todo x e y satisfaz |x|+ |y| ≤</p><p>√</p><p>2|x2 + y2|.</p><p>[B] Existe x e y que não satisfaz</p><p>|x+ y| ≤ ||x|+ |y||.</p><p>[C] Todo x e y satisfaz |x| + |y| ≤√</p><p>2</p><p>√</p><p>|x2|+ |y2|.</p><p>[D] Todo x e y satisfaz |x− y| ≤ |x+ y|.</p><p>[E] Não existe x e y que não satisfaz</p><p>|x|+ |y| ≤</p><p>√</p><p>3|x2 + y2|.</p><p>21. (EsPCEx 2010) Considerando a função real</p><p>f(x) = (x− 1) · |x− 2|, o intervalo real para o</p><p>qual f(x) ≥ 2 é</p><p>[A] {x ∈ R | x ≥ 3}.</p><p>[B] {x ∈ R | x ≤ 0 oux ≥ 3}.</p><p>[C] {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2}.</p><p>[D] {x ∈ R | x ≥ 2}.</p><p>[E] {x ∈ R | x ≤ 1}.</p><p>22. (UECE 2011) Dada a função f : R → R,</p><p>definida por f(x) = |x2 − 6x + 5|, existe um</p><p>único número y0 tal que para exatamente</p><p>três números x1, x2, x3 verifica-se a relação</p><p>f(x1) = f(x2) = f(x3) = y0. Nestas condições</p><p>o valor da soma x1 + x2 + x3 é</p><p>[A] 6.</p><p>[B] 7.</p><p>[C] 8.</p><p>[D] 9.</p><p>4</p><p>23. (EsPCEx 2013) Se Y = {y ∈ R; |6y − 1| ⩾</p><p>5y − 10}, então</p><p>[A]Y =</p><p>]</p><p>−∞,</p><p>1</p><p>6</p><p>]</p><p>.</p><p>[B]Y = {−1}.</p><p>[C]Y = R.</p><p>[D]Y = ∅.</p><p>[E]Y =</p><p>]</p><p>1</p><p>6</p><p>,+∞</p><p>[</p><p>.</p><p>24. (EsPCEx 2014) O número de soluções da</p><p>equação</p><p>1</p><p>2</p><p>|x| · |x−3| = 2 ·</p><p>∣∣∣∣x− 3</p><p>2</p><p>∣∣∣∣, no conjunto</p><p>R, é</p><p>[A] 1.</p><p>[B] 2.</p><p>[C] 3.</p><p>[D] 4.</p><p>[E] 5.</p><p>25. (EsPCEx 2015) Considerando a função real</p><p>definida por</p><p>{</p><p>2− |x− 3|, sex > 2</p><p>−x2 + 2x+ 1, sex ⩽ 2</p><p>, o</p><p>valor de f(0) + f(4) é</p><p>[A] − 8.</p><p>[B] 0.</p><p>[C] 1.</p><p>[D] 2.</p><p>[E] 4.</p><p>26. (EsPCEx 2015) O gráfico que melhor</p><p>representa a função real definida por{</p><p>4− |x− 4|, se 2 < x ⩽ 7</p><p>x2 − 2x+ 2, sex ⩽ 2</p><p>é</p><p>27. (IME 2016) Seja f(x) =√</p><p>|x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3|+ . . .+ |x− 2017|.</p><p>O valor mı́nimo de f(x) está no intervalo:</p><p>[A] (−∞, 1008].</p><p>[B] (1008, 1009].</p><p>[C] (1009, 1010].</p><p>[D] (1010, 1011].</p><p>[E] (1011,+∞).</p><p>28. (EsPCEx 2016) Os gráficos de f(x) = 2 e</p><p>g(x) = x2 − |x| têm dois pontos em comum.</p><p>O valor da soma das abscissas dos pontos em</p><p>comum é igual a</p><p>5</p><p>[A] 0.</p><p>[B] 4.</p><p>[C] 8.</p><p>[D] 10.</p><p>[E] 15.</p><p>29. (EsPCEx 2017) O conjunto solução da ine-</p><p>quação ||x− 4|+1| ⩽ 2 é um intervalo do tipo</p><p>[a, b]. O valor de a+ b é igual a</p><p>[A] − 8.</p><p>[B] − 2.</p><p>[C] 0.</p><p>[D] 2.</p><p>[E] 8.</p><p>30. (EsPCEx 2018) Sabendo que o gráfico a seguir</p><p>representa a função real f(x) = |x−2|+|x+3|,</p><p>então o valor de a+ b+ c é igual a</p><p>[A] − 7.</p><p>[B] − 6.</p><p>[C] 4.</p><p>[D] 6.</p><p>[E] 10.</p><p>31. (EsPCEx 2019) A área da região com-</p><p>preendida entre o gráfico da função</p><p>f(x) = ||x − 4| − 2|, o eixo das abscissas</p><p>e as retas x = 0 e x = 6 é igual a (em unidades</p><p>de área)</p><p>[A] 2.</p><p>[B] 4.</p><p>[C] 6.</p><p>[D] 10.</p><p>[E] 12.</p><p>32. (ESA 2019) Observe a inequação modular</p><p>|3x − 2| = 8 + 2x e identifique a alternativa</p><p>que apresenta uma das posśıveis ráızes.</p><p>[A] 4.</p><p>[B] 0.</p><p>[C] − 10.</p><p>[D] − 4.</p><p>[E] 10.</p><p>33. (ESA 2020) A solução da inequação</p><p>|3x− 10| ⩽ 2x é dada por:</p><p>[A]S = {x ∈ R | x ⩽ 10}.</p><p>[B]S = ∅.</p><p>[C]S = {x ∈ R | 2 ⩽ x ⩽ 10}.</p><p>[D]S = {x ∈ R | x ⩾ 2}.</p><p>[E]S = {x ∈ R | x ⩽ 2 oux ⩾ 10}.</p><p>34. (EsPCEx 2021) O número de soluções, em</p><p>R, da equação |x+2|+ |x−1| = x+1, é igual a</p><p>[A] 0.</p><p>[B] 1.</p><p>[C] 2.</p><p>[D] 3.</p><p>[E] 4.</p><p>6</p><p>35. (EsPCEx 2021) Abaixo temos 3 proposições:</p><p>I)</p><p>√</p><p>x2 = x, para todo x real;</p><p>II) | − x| = x, para todo x real;</p><p>III)</p><p>(x− a)(x− b)</p><p>(x− a)</p><p>= x − b, para todo x</p><p>real.</p><p>Analisando as proposições acima, pode-</p><p>mos afirmar que</p><p>[A] I é a única proposição verdadeira.</p><p>[B] I e III são as únicas proposições ver-</p><p>dadeiras.</p><p>[C] todas as proposições são verdadeiras.</p><p>[D] nenhuma proposição é verdadeira.</p><p>[E] II e III são as únicas proposições ver-</p><p>dadeiras.</p><p>36. (ESA 2021) O produto de todos os números</p><p>reais que satisfazem a equação modular</p><p>|3x− 12| = 18 é um número P . Então, o valor</p><p>de P é igual a:</p><p>[A] − 100.</p><p>[B] − 20.</p><p>[C] − 2.</p><p>[D] 10.</p><p>[E] 20.</p><p>37. (ESA 2021) Observe o gráfico da função modu-</p><p>lar f : R → R definida pela lei f(x) = |x|. Nes-</p><p>sas condições, assinale a alternativa que ilustra</p><p>o gráfico da função g : R → R definida pela lei</p><p>g(x) = |x+ 1|.</p><p>38. (EsPCEx 2022) O domı́nio A ⊂ R da função</p><p>real f , dada por f(x) =</p><p>√</p><p>1− ||x+ 2| − 3|, é</p><p>[A]A = [−6; 2].</p><p>[B]A = [−6; 0].</p><p>[C]A = [0; 2].</p><p>[D]A = [−6;−4] ∪ [0; +∞[.</p><p>[E]A = [−6;−4] ∪ [0; 2].</p><p>39. (ESA 2022) O valor da soma dos elementos do</p><p>conjunto solução da equação |4x−5| = 2x−1,</p><p>é igual a:</p><p>[A] 6.</p><p>[B] 5.</p><p>[C] 4.</p><p>[D] 3.</p><p>[E] 2.</p><p>7</p>