Exercícios de Cálculo Vetorial

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<p>Exerćıcios Sugeridos da 3ª Semana</p><p>Lembramos que o vetores i, j,k são dados, em R3, por i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). Em R2 os</p><p>vetores i e j são dados por i = (1, 0), j = (0, 1).</p><p>Exerćıcio 1 Desenhe os campos vetoriais</p><p>1. V(x, y) = yi + (1/2)j</p><p>2. V(x, y) = (x− y)i + xj</p><p>3. V(x, y, z) = −zi− zj + (x+ y)k</p><p>Exerćıcio 2 I. Encontre os campos gradientes ∇f das seguintes funções:</p><p>1. f(x, y) = xexy</p><p>2. f(x, y) =</p><p>√</p><p>x2 + y2 + z2</p><p>3. f(x, y, z) = x cos(y/z)</p><p>II. Encontre o gradiente ∇f das seguintes funções. O desenhe junto com as curvas de ńıvel das funções.</p><p>1. f(x, y) = x2 − y</p><p>2. f(x, y) = sin(x2 + y2)</p><p>Exerćıcio 3 Avalie os seguintes integrais de linha.</p><p>1.</p><p>∫</p><p>C</p><p>xyds, onde C é o segmento entre os pontos (3, 2) e (6, 6)</p><p>2.</p><p>∫</p><p>C</p><p>(x2 + y2)ds, onde C é a poligonal que une os pontos, em ordem, (−2, 1), (−1,−1), (1, 1) e (2,−1).</p><p>3.</p><p>∫</p><p>C</p><p>y2dx− x2dy</p><p>x2 + y2</p><p>onde C é o ćırculo plano de raio R centrado na origem.</p><p>4.</p><p>∫</p><p>C</p><p>ydx− xdy</p><p>x2 + y2</p><p>onde C é a curva σ(t) = (R cos t, R sin t), 0 ≤ t ≤ a, com a e R constantes positivas.</p><p>5.</p><p>∫</p><p>C</p><p>xdx+ydy+(x+y−1)dz onde C é a curva em R3 dada por σ(t) = (R cos t, R sin t, at/2π), 0 ≤ t ≤ 2π,</p><p>onde R e a são constantes.</p><p>6.</p><p>∫</p><p>C</p><p>F · ds, onde F(x, y, z) = sinxi + cos yj + xzk, e onde C é a curva parametrizada por σ(t) =</p><p>t3i− t2j + tk, 0 ≤ t ≤ 1.</p><p>7.</p><p>∫</p><p>C</p><p>F ·ds, onde F(x, y, z) = zi+yj−xk, e onde C é a curva parametrizada por σ(t) = ti+sin tj+cos tk,</p><p>0 ≤ t ≤ π.</p><p>Exerćıcio 4 Por cada um dos seguintes campos vetoriais F, determine se F é conservativo. Se sim, calcule</p><p>um potencial de F.</p><p>1. F(x, y) = (3y2, 6xy) sobre o plano R2;</p><p>2. F(x, y) = ex cos yi− ex sin yk sobre o plano R2;</p><p>1</p><p>3. F(x, y) = (− y</p><p>x2 + y2</p><p>,</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>) sobre o R2 \ {(0, 0)} (dica: use o ponto 4 do exercicio precedente);</p><p>4. F(x, y, z) = ezi + 2yj + xezk em R3.</p><p>5. F(x, y, z) = (ey+2z, xey+2z + z, 2xey+2z + y + z2) em R3.</p><p>6. F(x, y, z) = (y sin z, x sin z + 2yz2ey</p><p>2</p><p>, xy cos z + 2zey</p><p>2</p><p>+</p><p>2z</p><p>z2 + 1</p><p>) em R3.</p><p>Exerćıcio 5 Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os se-</p><p>guintes integrais.</p><p>1.</p><p>∫</p><p>C</p><p>yexydx+ xexydy onde C é a curva plana dada por σ(t) = (2t, 3t2), 0 ≤ t ≤ 1.</p><p>2.</p><p>∫</p><p>C</p><p>(</p><p>ex ln y − ey</p><p>x</p><p>)</p><p>dx+</p><p>(</p><p>ex</p><p>y</p><p>− ey lnx</p><p>)</p><p>dy, onde x > 0, y > 0 e C é uma curva qualquer entre (1, 1) e</p><p>(3, 3);</p><p>3.</p><p>∫</p><p>C</p><p>F · ds, onde F é o campo vetorial em R2 dado por F(x, y) = (1 + cosh y, x sinh y) e a curva C é</p><p>dada por σ(t) = (sin t, 2t/π), 0 ≤ t ≤ π/2.</p><p>4.</p><p>∫</p><p>C</p><p>F ·ds, onde F é o campo vetorial em R3 dado por F(x, y, z) = (ey, xey +sin z, y cos z) e C é a curva</p><p>σ(t) = (−2 sin t+ 1, sin t− 1, t), π/2 ≤ t ≤ 7π/6.</p><p>5.</p><p>∫</p><p>C</p><p>F · ds, onde F é o campo vetorial em R3 dado por F(x, y, z) = (yz, z(x+2y), xy+ y2 +2z) e C é a</p><p>curva σ(t) = (t3 + 1, cos3(πt), t4 − t3), −1 ≤ t ≤ 2.</p><p>6.</p><p>∫</p><p>C</p><p>F · ds, onde F é o campo vetorial em R3 dado por F(x, y, z) = y2 cos z i + 2xy cos z j− xy2 sin z k e</p><p>onde C é a curva σ(t) = t2i + sin tj + tk, 0 ≤ t ≤ 3π/4.</p><p>Exerćıcio 6 Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em</p><p>caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral.</p><p>1.</p><p>∫</p><p>C</p><p>F · ds, onde F é o campo vetorial em R2 \ {(0, 0)} dado por F(x, y) =</p><p>y2</p><p>x2 + y2</p><p>i− x2</p><p>x2 + y2</p><p>j e C é é</p><p>qualquer caminho diferenciável entre os pontos (−1,−1) e (1, 1). (Dica: integre primeiro ao longo da</p><p>poligonal (−1,−1)→ (−1, 1)→ (1, 1); depois ao longo do arco de ćırculo com raio</p><p>√</p><p>2 de (−1,−1) até</p><p>(1,−1), seguido por o segmento de (1,−1) até (1, 1). )</p><p>2.</p><p>∫</p><p>C</p><p>tan y dx+ x sec2 y dy, onde C é qualquer caminho diferenciável entre os pontos (1, 0) e (2, π/4).</p><p>3.</p><p>∫</p><p>C</p><p>(1− ye−x)dx+ e−xdy onde C é qualquer caminho diferenciável entre os pontos (0, 1) e (1, 2)</p><p>4.</p><p>∫</p><p>C</p><p>F · ds, onde F é o campo vetorial em R2 \ {(0, 0)} dado por F(x, y) =</p><p>y2 − x2</p><p>x2 + y2</p><p>i− 2xy</p><p>x2 + y2</p><p>j e C é é</p><p>qualquer caminho diferenciável entre os pontos (−1,−1) e (1, 1). (Dica: integre no semićırculo de raio√</p><p>2 e sobre a poligonal que une os vértices (−1,−1), (1,−1), (1, 1).)</p><p>5.</p><p>∫</p><p>C</p><p>F · ds, onde F é o campo vetorial em R2 \ {(0, 0)} dado por F(x, y) =</p><p>−yi + xj</p><p>x2 + y2</p><p>e C é qualquer</p><p>caminho diferenciável entre os pontos (−1, 0) e (0, 1). (Dica: integre sobre o circulo unitário.)</p><p>2</p>