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<p>Fisiologia</p><p>1</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>Paulo César Oliveira Carvalho</p><p>2ª</p><p>e</p><p>di</p><p>çã</p><p>o</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>DIREÇÃO SUPERIOR</p><p>Chanceler Joaquim de Oliveira</p><p>Reitora Marlene Salgado de Oliveira</p><p>Presidente da Mantenedora Wellington Salgado de Oliveira</p><p>Pró-Reitor de Planejamento e Finanças Wellington Salgado de Oliveira</p><p>Pró-Reitor de Organização e Desenvolvimento Jefferson Salgado de Oliveira</p><p>Pró-Reitor Administrativo Wallace Salgado de Oliveira</p><p>Pró-Reitora Acadêmica Jaina dos Santos Mello Ferreira</p><p>Pró-Reitor de Extensão Manuel de Souza Esteves</p><p>DEPARTAMENTO DE ENSINO A DISTÂNCIA</p><p>Gerência Nacional do EAD Bruno Mello Ferreira</p><p>Gestor Acadêmico Diogo Pereira da Silva</p><p>FICHA TÉCNICA</p><p>Direção Editorial: Diogo Pereira da Silva e Patrícia Figueiredo Pereira Salgado</p><p>Texto: Paulo César Oliveira Carvalho</p><p>Revisão Ortográfica: Rafael Dias de Carvalho Moraes & Christina Corrêa da Fonseca</p><p>Projeto Gráfico e Editoração: Antonia Machado, Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos</p><p>Supervisão de Materiais Instrucionais: Antonia Machado</p><p>Ilustração: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos</p><p>Capa: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos</p><p>COORDENAÇÃO GERAL:</p><p>Departamento de Ensino a Distância</p><p>Rua Marechal Deodoro 217, Centro, Niterói, RJ, CEP 24020-420 www.universo.edu.br</p><p>Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universo – Campus Niterói</p><p>Bibliotecária responsável: Elizabeth Franco Martins – CRB 7/4990</p><p>Informamos que é de única e exclusiva responsabilidade do autor a originalidade desta obra, não se r esponsabilizando a ASOEC</p><p>pelo conteúdo do texto formulado.</p><p>© Departamento de Ensi no a Dist ância - Universidade Salgado de Oliveira</p><p>Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida, arquivada ou transmitida de nenhuma forma</p><p>ou por nenhum meio sem permissão expressa e por escrito da Associação Salgado de Oliveira de Educação e Cultura, mantenedor a</p><p>da Univer sidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO).</p><p>C331r Carvalho, Paulo César Oliveira.</p><p>Resistência dos materiais / Paulo César Oliveira Carvalho; revisão de</p><p>Rafael Dias de Carvalho Moraes e Christina Corrêa da Fonseca. 2. ed. –</p><p>Niterói, RJ: UNIVERSO: Departamento de Ensino a Distância, 2018.</p><p>161 p. : il.</p><p>1. Resistência dos materiais. 2. Tenacidade dos materiais. 3. Peças</p><p>de máquinas. 4. Dimensionamento de estruturas. 5. Fadiga dos</p><p>materiais. 6. Segurança estrutural. 7. Cisalhamento. 8. Ensino à</p><p>distância. I. Moraes, Rafael Dias de Carvalho. II. Fonseca, Christina</p><p>Corrêa da. III. Título.</p><p>CDD 620.1123</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>Palavra da Reitora</p><p>Acompanhando as necessidades de um mundo cada vez mais complexo,</p><p>exigente e necessitado de aprendizagem contínua, a Universidade Salgado de</p><p>Oliveira (UNIVERSO) apresenta a UNIVERSO EAD, que reúne os diferentes</p><p>segmentos do ensino a distância na universidade. Nosso programa foi</p><p>desenvolvido segundo as diretrizes do MEC e baseado em experiências do gênero</p><p>bem-sucedidas mundialmente.</p><p>São inúmeras as vantagens de se estudar a distância e somente por meio</p><p>dessa modalidade de ensino são sanadas as dificuldades de tempo e espaço</p><p>presentes nos dias de hoje. O aluno tem a possibilidade de administrar seu próprio</p><p>tempo e gerenciar seu estudo de acordo com sua disponibilidade, tornando-se</p><p>responsável pela própria aprendizagem.</p><p>O ensino a distância complementa os estudos presenciais à medida que</p><p>permite que alunos e professores, fisicamente distanciados, possam estar a todo</p><p>momento ligados por ferramentas de interação presentes na Internet através de</p><p>nossa plataforma.</p><p>Além disso, nosso material didático foi desenvolvido por professores</p><p>especializados nessa modalidade de ensino, em que a clareza e objetividade são</p><p>fundamentais para a perfeita compreensão dos conteúdos.</p><p>A UNIVERSO tem uma história de sucesso no que diz respeito à educação a</p><p>distância. Nossa experiência nos remete ao final da década de 80, com o bem-</p><p>sucedido projeto Novo Saber. Hoje, oferece uma estrutura em constante processo</p><p>de atualização, ampliando as possibilidades de acesso a cursos de atualização,</p><p>graduação ou pós-graduação.</p><p>Reafirmando seu compromisso com a excelência no ensino e compartilhando</p><p>as novas tendências em educação, a UNIVERSO convida seu alunado a conhecer o</p><p>programa e usufruir das vantagens que o estudar a distância proporciona.</p><p>Seja bem-vindo à UNIVERSO EAD!</p><p>Professora Marlene Salgado de Oliveira</p><p>Reitora.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>4</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>5</p><p>Sumário</p><p>Apresentação da disciplina ................................................................................................ 07</p><p>Plano da disciplina .............................................................................................................. 08</p><p>Unidade 1 – Determinação dos Esforços......................................................................... 11</p><p>Unidade 2 – Tensão x Deformação .................................................................................. 29</p><p>Unidade 3 – Verificação da Segurança ............................................................................ 59</p><p>Unidade 4 – Dimensionamento de Peças ....................................................................... 71</p><p>Unidade 5 – Cisalhamento Puro........................................................................................ 87</p><p>Unidade 6 – Flexão Normal nas Vigas Isostáticas (Diagrama de Momentos Fletor e</p><p>Forças Cortantes)................................................................................................................. 119</p><p>Considerações finais ........................................................................................................... 135</p><p>Conhecendo as autoras ...................................................................................................... 136</p><p>Referências ........................................................................................................................... 137</p><p>Anexos .................................................................................................................................. 139</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>6</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>7</p><p>Apresentação da disciplina</p><p>Caros alunos,</p><p>Preparem-se para uma jornada interessante no mundo dos materiais e suas</p><p>aplicações no campo da Engenharia. A Resistência dos Materiais é uma disciplina</p><p>do ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um</p><p>corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do corpo.</p><p>Serão abordados também o cálculo da deformação do corpo e o estudo da sua</p><p>estabilidade quando este está submetido a forças externas. No projeto de qualquer</p><p>estrutura ou máquina é fundamental que sejam estudadas não somente as forças</p><p>atuantes, mas também o comportamento do material diante das situações de</p><p>carregamento. Essa conjuntura é essencial para a escolha do material mais</p><p>adequado para uma determinada situação de projeto. As dimensões dos</p><p>elementos, sua deflexão e sua estabilidade dependem não só das cargas internas</p><p>como também do tipo de material do qual esses elementos são feitos.</p><p>Este livro foi preparado com intuito de ser um importante aliado para o</p><p>enriquecimento do seu conhecimento, contribuindo para sua formação e atuação</p><p>profissional!</p><p>Ao final, seguem as principais referências bibliográficas, que você, nobre</p><p>estudante, deverá consultar caso queira ampliar seus conhecimentos na disciplina.</p><p>Sucesso na sua jornada!</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>8</p><p>Plano da disciplina</p><p>Uma nova etapa se inicia e com ela vamos conquistar novos horizontes. Nesta</p><p>disciplina você terá a oportunidade de conhecer um pouco mais sobre as relações</p><p>entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável</p><p>transversal do material [Pa].</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>92</p><p>Tensão Normal () e Tensão de Cisalhamento ()</p><p>A tensão normal atua na direção do eixo longitudinal da peça, ou seja,</p><p>perpendicular à seção transversal, enquanto que a tensão de cisalhamento é</p><p>tangencial à seção transversal da peça.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Pressão de Contato d</p><p>No dimensionamento das juntas rebitadas, parafusadas, pinos, chavetas etc.,</p><p>torna-se necessária a verificação da pressão de contato entre o elemento e a</p><p>parede do furo na chapa (nas juntas).</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>A carga Q atuando na junta tende a cisalhar a secção AA (ver figura acima).</p><p>Ao mesmo tempo, cria um esforço de compressão entre o elemento (parafuso</p><p>ou rebite) e a parede do furo (região AB ou AC). A pressão de contato, que pode</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>93</p><p>acarretar esmagamento do elemento e da parede do furo, é definida através da</p><p>relação entre a carga de compressão atuante e a área da seção longitudinal do</p><p>elemento, que é projetada na parede do furo.</p><p>Tem-se então que: Região de contato AB e AC.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Pressão de Contato (Esmagamento).</p><p>Quando houver mais de um elemento (parafuso ou rebite) utiliza-se:</p><p>.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>94</p><p>Onde:</p><p>(d) - pressão de contato [Pa]</p><p>Q - carga cortante aplicada na junta [N]</p><p>n - número de elementos [adimensional]</p><p>d - diâmetro dos elementos [m]</p><p>t - espessura da chapa [m]</p><p>Distribuição ABNT NB14 (Norma).</p><p>As distâncias mínimas estabelecidas pela norma e que deverão ser observadas</p><p>no projeto de juntas são:</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>a) Na região intermediária, a distância mínima entre centros dos rebites deverá</p><p>ser três vezes o diâmetro do rebite.</p><p>b) Da lateral da chapa até o centro do primeiro furo, a distância deverá ter</p><p>duas vezes o diâmetro do rebite na direção da carga.</p><p>c) Da lateral da chapa até o centro do primeiro furo, no sentido transversal da</p><p>carga, a distância deverá ter 1,5 (uma vez e meia) o diâmetro do rebite.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>95</p><p>Para o caso de bordas laminadas, permite-se reduzir as distâncias d + 6mm</p><p>para rebites com d < 26mm; d + 10mm para rebites com d > 26mm.</p><p>Tensão Admissível e Pressão Média de Contato ABNT NB14- Material Aço</p><p>ABNT 1020.</p><p>Rebites</p><p>Tração: = 140 MPa</p><p>Corte: ̅ = 105 MPa</p><p>Pressão média de contato (cisalhamento duplo):</p><p>d = 280 MPa</p><p>Pressão média de contato (cisalhamento simples):</p><p>d = 105 MPa</p><p>Parafusos</p><p>Tração:  =140 MPa</p><p>Corte: parafusos não ajustados ̅= 80 MPa</p><p>Parafusos ajustados ̅= 105 MPa</p><p>Pressão de contato média (cisalhamento simples):</p><p>d = 225 MPa</p><p>Pressão de contato média (cisalhamento duplo):</p><p>d = 280 Mpa</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>96</p><p>Pinos</p><p>Flexão: = 210 MPa</p><p>Corte: ̅ = 105 MPa</p><p>Pressão média de contato (cisalhamento simples):</p><p>d = 225MPa</p><p>Pressão média de contato (cisalhamento duplo):</p><p>d = 280 MPa</p><p>Em geral, a tensão admissível de cisalhamento é recomendável em torno de</p><p>0,6 a 0,8 da tensão admissível normal.</p><p>, 	 	 ,</p><p>Exemplos</p><p>1) Determinar a tensão de cisalhamento que atua no plano A da figura.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Solução:</p><p>A tensão de cisalhamento atuante no plano A, é definida através da</p><p>componente horizontal da carga de 300 kN, e área da seção A.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>97</p><p>Tem-se então que:</p><p>.</p><p>2) O conjunto representado na figura é formado por:</p><p>a) Parafuso sextavado M12.</p><p>b) Garfo com haste de espessura 6 mm.</p><p>c) Arruela de pressão.</p><p>d) Chapa de aço ABNT 1020 espessura 8 mm.</p><p>e) Porca M12.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Supor que não haja rosca no parafuso, nas regiões de cisalhamento e</p><p>esmagamento.</p><p>A carga Q que atuará no conjunto é de 6 kN. Determinar:</p><p>a) a tensão de cisalhamento atuante.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>98</p><p>b) a pressão de contato na chapa intermediária.</p><p>c) a pressão de contato nas hastes do garfo.</p><p>Solução:</p><p>a) Tensão de cisalhamento atuante.</p><p>O parafuso tende a ser cisalhado nas seções AA e BB, portanto a tensão de</p><p>cisalhamento será determinada por:</p><p>,</p><p>b) Pressão de contato na chapa intermediária.</p><p>A carga de compressão que causa a pressão de contato entre a chapa</p><p>intermediária e o parafuso é de 6kN, portanto, a pressão de contato é determinada</p><p>por:</p><p>.</p><p>,</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>99</p><p>c) Pressão de contato nas hastes do garfo</p><p>A carga de compressão que causa a pressão de contato entre o furo da haste</p><p>do garfo e o parafuso é de 3 kN, pois a carga de 6kN divide-se na mesma</p><p>intensidade para cada haste, portanto a pressão de contato será:</p><p>.</p><p>,</p><p>3) Projetar a junta rebitada para que suporte uma carga de 125 kN aplicada</p><p>conforme a figura. Ajunta deverá contar com 5 rebites. : = 105 MPa; d = 225 MPa;</p><p>tch = 8mm (espessura das chapas).</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>100</p><p>Solução:</p><p>a) Cisalhamento nos Rebites</p><p>Observa-se na figura, que a junta é simplesmente cisalhada, ou seja, cada</p><p>rebite sofre cisalhamento na sua respectiva seção M. Tem-se então que:</p><p>.</p><p>Como os rebites possuem seção transversal circular e a área do círculo é dada</p><p>por:</p><p>A fórmula da tensão do cisalhamento passa a ser:</p><p>donde:</p><p>,</p><p>,</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>101</p><p>b) Pressão de contato (esmagamento)</p><p>O rebite é dimensionado através da pressão de contato, para que não sofra</p><p>esmagamento.</p><p>Aplica-se a fórmula</p><p>. 	.</p><p>→</p><p>. 	.</p><p>,</p><p>,</p><p>Prevalece sempre o diâmetro maior para que as duas condições estejam</p><p>satisfeitas. Portanto, os rebites a serem utilizados na junta terão d = 18 mm (DIN</p><p>123 e 124).</p><p>Para que possa ser mantida e reforçada a segurança da construção, o diâmetro</p><p>normalizado do rebite deverá ser igual ou maior ao valor obtido nos cálculos.</p><p>a)Distribuição</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>102</p><p>Os espaços entre os rebites desta distribuição são os mínimos que poderão ser</p><p>utilizados.</p><p>As cotas de 38 mm representadas na junta são determinadas da seguinte</p><p>forma:</p><p>Tem-se então que:</p><p>Supõe-se que as cotas sejam iguais no sentido longitudinal e transversal.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>4.Projetar a junta rebitada para que suporte a carga de 100 kN aplicada</p><p>conforme a figura.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>103</p><p>Solução:</p><p>O dimensionamento deste tipo de junta efetua-se através da análise de sua</p><p>metade, pois a sua outra metade estará dimensionada por analogia. Tem-se,</p><p>portanto que:</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>a) Cisalhamento</p><p>Cada rebite possui duas áreas cisalhadas, portanto o dimensionamento ao</p><p>cisalhamento será efetuado através de:</p><p>.</p><p>→</p><p>,</p><p>b) Pressão de contato (esmagamento)</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>104</p><p>A possibilidade maior de esmagamento ocorre no contato entre a chapa</p><p>intermediária e os rebites, pois nos cobre-juntas a carga atuante é inferior à carga</p><p>da chapa intermediária.</p><p>Tem-se então que:</p><p>. 	. 	. 	.</p><p>,</p><p>Os rebites a serem utilizados devem satisfazer as duas condições ao mesmo</p><p>tempo, portanto o diâmetro será d = 14 mm (DIN 123 e 124) valor normalizado</p><p>imediatamente superior, adotado para reforçar a segurança.</p><p>c) Distribuição</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>b) Verificação da resistência à tração na chapa</p><p>A chapa intermediária é a que sofre a maior carga, portanto, se esta suportar a</p><p>tração, automaticamente os cobre-juntas suportarão.</p><p>Chapa intermediária</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>105</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Supondo furos de 15 mm, ou seja, 1 mm de folga, tem-se que:</p><p>A = (84 - 2 x 15)x10</p><p>A = 540 mm2 ou 540 x 10-6 m2</p><p>Tensão normal atuante na chapa</p><p> = 100.000/540x10-6</p><p> = 185 MPa</p><p>Como a  atuante > , conclui-se que a seção transversal deverá ser reforçada.</p><p>c)Dimensionamento</p><p>da secção transversal da chapa</p><p>→</p><p>→</p><p>≅</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>106</p><p>Para que suporte a tração com segurança, a largura mínima da chapa será e =</p><p>102 mm.</p><p>Distribuição final da chapa</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Ligações Soldadas</p><p>a) Solda de Topo</p><p>Indicada somente para esforços de tração ou compressão.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Área do cordão de solda submetida à ação da carga axial (F), A = l x t.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>107</p><p>Tensão normal do cordão:</p><p>Para dimensionar o cordão, utiliza-se a tensão admissível especificada para o</p><p>caso.</p><p>A SAS (Sociedade Americana de Solda) especifica para estruturas</p><p> tração (solda de topo) = 90 MPa</p><p> cisalhamento (solda lateral) = 70 MPa</p><p> compressão = 130 MPa</p><p> Portanto, Q é definido por:</p><p>Onde:</p><p>comprimento do cordão [m ...]</p><p>F- carga axial aplicada [N ]</p><p>t - espessura da chapa [m ]</p><p>- tensão admissível da solda [Pa... ]</p><p>Exemplos</p><p>1)A junta de topo representada na figura é composta por duas chapas com</p><p>largura, = 200 mm e espessura t = 6 mm. A tensão admissível indicada pela SAS</p><p>(Sociedade Americana de Solda) para solda de topo é = 90 MPa. Determinar a</p><p>carga máxima que poderá ser suportada pela junta.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>108</p><p>Solução:</p><p>Na solda de topo, considera-se para efeito de dimensionamento, somente a</p><p>seção transversal da chapa, admitindo-se como desprezível o acabamento do</p><p>cordão.</p><p>Tem-se então que:</p><p>.</p><p>Lembrando que o prefixo k = 103 = 1000</p><p>Solda Lateral</p><p>Duas chapas unidas através de solda lateral têm os cordões dimensionados</p><p>através de o estudo a seguir.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>109</p><p>Na seção transversal do cordão, tem-se:</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>No dimensionamento do cordão, despreza-se o acabamento da solda,</p><p>considerando-se somente o  AOB.</p><p>Observa-se na figura, que a área mínima de cisalhamento ocorre a 45°, sendo</p><p>expressa por:</p><p>Amin = a x</p><p>Como a = t cos 45° tem-se:</p><p>Amin = a x t cos 45°</p><p>A tensão de cisalhamento no cordão é dada por:</p><p>. 	.</p><p>Onde:</p><p>= comprimento do cordão [m]</p><p>Q = carga de cisalhamento [N]</p><p>= espessura da chapa [m]</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>110</p><p>s = tensão admissível da solda no cisalhamento [Pa]</p><p>Se a carga aplicada na junta for excêntrica, o comprimento dos cordões será</p><p>proporcional, conforme é demonstrado a seguir:</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Onde e é o afastamento da carga em relação à linha de Centro</p><p>Dimensionado o cordão total , distribui-se conforme segue:</p><p>. .</p><p>Onde:</p><p>comprimento total da solda [m]</p><p>- comprimento do cordão da lateral próximo da carga [m]</p><p>- comprimento do cordão da lateral afastado da carga [m]</p><p>e1 - afastamento maior da carga em relação à lateral da chapa [m]</p><p>e2 - afastamento menor da carga em relação à lateral da chapa [m]</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>111</p><p>Exemplo</p><p>1) Dimensionar os cordões de solda da junta representada na fig. A carga</p><p>de tração que atuará na junta é 40kN, sendo que a espessura das chapas t = 6 mm.</p><p>Para este caso, a SAS (Sociedade Americana de Solda) indica: = 70MPa.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Solução:</p><p>Comprimento total da solda</p><p>. 	.</p><p>Obs.: utiliza-se Q, pois a carga de tração na junta transforma-se em cortante no</p><p>cordão.</p><p>≅ , ou</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>112</p><p>2)Dimensionar os cordões (l1 e l2) da junta excêntrica representada na figura.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Condições do projeto:</p><p>Intensidade da carga 60 kn</p><p>Espessura das chapas t = 10 mm</p><p>Afastamento maior t1 = 200 mm</p><p>Afastamento menor t2 = 80mm</p><p>Para este caso a SAS (Sociedade Americana de Solda) indica =70 MPa.</p><p>Comprimento total da solda</p><p>. 	. ,</p><p>≅ , ou</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>113</p><p>Comprimento dos cordões e .</p><p>. 	 .</p><p>Como , conclui-se que:</p><p>Estamos encerrando a unidade. Sempre que tiver uma dúvida entre em</p><p>contato com seu tutor virtual através do ambiente virtual de aprendizagem e</p><p>consulte sempre a biblioteca do seu polo.</p><p>É hora de se avaliar</p><p>Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão</p><p>ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de</p><p>ensino-aprendizagem.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>114</p><p>Exercícios – unidade 5</p><p>1.Calcule a tensão de cisalhamento média que ocorre na cola.</p><p>Fonte: adaptado</p><p>2.Calcule a tensão de cisalhamento nos parafusos da ligação abaixo. Dados: F</p><p>=35.000 N; d = 19,05 mm.</p><p>Fonte: adaptado</p><p>3.Calcule a tensão de cisalhamento nos parafusos da ligação abaixo e a tensão</p><p>normal nas chapas. Dado: d = 12 mm.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>115</p><p>Fonte: adaptado</p><p>4.Considere o parafuso de 12,5 mm de diâmetro da junta da figura. A força P é</p><p>igual a 15kN. Admitida a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento, qual é</p><p>o valor dessas tensões, em qualquer uma das seções transversais mn ou pq?</p><p>MELCONIAN, S. 1999. Adaptado</p><p>Observe que a força P é distribuída uniformemente nas seções mn e pq.</p><p>5.Uma prensa usada para fazer para fazer furos em placas de aço é mostrada na</p><p>Figura 6.a. Assuma que uma prensa com diâmetro de 0,75 in. É usada para fazer um</p><p>furo em uma placa de ¼ in., como mostrado na vista transversal (Figura 6.b). Se</p><p>uma força P=28000 lb é necessária para criar o furo, qual é a tensão de</p><p>cisalhamento média na placa e a tensão de compressão média na prensa?</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>116</p><p>Fonte: HIBBELER, R. C. 2010. Adaptado</p><p>6.Um suporte para televisão é sustentado por um pino de 8 mm de diâmetro.</p><p>Calcule a tensão de cisalhamento média no pino, sabendo que a massa da</p><p>televisão é igual a 25kg.</p><p>Fonte: autor, adaptado.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>117</p><p>7.Um bloco está solicitado por uma força F = 112 kN. Calcule:</p><p>a) A tensão cisalhante média;</p><p>b) O deslocamento do ponto d considerando-se que a face inferior não se</p><p>desloca. Dados: E = 87,5 GPa; n = 0,25</p><p>8.Calcule a tensão de cisalhamento média no pino e a tensão normal de tração</p><p>média no cabo da estrutura abaixo.</p><p>Fonte: autor, adaptado.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>118</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>119</p><p>Flexão Normal nas Vigas</p><p>Isostáticas (Diagrama de</p><p>Momentos Fletor e Forças</p><p>Cortantes). 6</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>120</p><p>Além dos esforços de flexão, uma viga de concreto armado estará, praticamente</p><p>sempre, sujeita à ação de esforços cortantes. Com menos frequência, pode ainda</p><p>atuar sobre as vigas momentos torçores e forças normais, de tração ou</p><p>compressão, caracterizando estados de flexo-tração ou flexo-compressão, com ou</p><p>sem torção. Contudo, será objeto de estudo desse capítulo somente a ação dos</p><p>esforços de corte atuantes nas vigas.</p><p>Objetivos da unidade:</p><p>Ao final desta unidade o (a) estudante deverá prever os esforços que ocorrem</p><p>quando uma viga está submetida um carregamento, além de identificar este tipo</p><p>de carregamento.</p><p>Plano da unidade:</p><p> Diagramas de esforços cortantes e Momento fletor.</p><p> Convenção de Sinais</p><p> Força Cortante Q</p><p> Momento Fletor.</p><p>Bons estudos!</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>121</p><p>Diagramas de Esforço Cortante e Momento Fletor</p><p>Iniciaremos esta unidade resolvendo várias vigas isostáticas, traçando-se seus</p><p>diagramas de momentos fletores (MF), forças tangenciais (Q) e forças Normais (N),</p><p>determinando assim os esforços internos solicitantes ponto a ponto. O traçado de</p><p>diagramas como mostrado a seguir pode ser feito também para estruturas</p><p>hiperestáticas após determinação das reações de apoio. O acompanhamento dos</p><p>exemplos a seguir será muito importante para o seu aprendizado.</p><p>Para começar, analise o seguinte exemplo:</p><p>Determine as reações de apoio e os respectivos diagramas da viga na</p><p>figura</p><p>abaixo.</p><p>Fonte: BOTELHO, M. H. C. 2013.</p><p>FH = 0, não aplicável, pois não existem forças horizontais aplicadas.</p><p>Obs.: Não ocorrem momentos fletores externos.</p><p>FV = 0</p><p>RA + RB – 380 = 0</p><p>RA + RB = 380 kgf</p><p>MB = 0</p><p>RA x 8,40 – 380 x 2,10 = 0</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>122</p><p>RA = 95 kgf</p><p>RB = 380 -95</p><p>RB = 285 kgf</p><p>Logo:</p><p>MC = RA X 6,30 = 598,50 kgfm (momento fletor interno).</p><p>Obs.: O momento fletor interno em C pode ser calculado vindo pela direita. O</p><p>valor será o mesmo, mas de sinal contrário.</p><p>MC = - RB X 2,10 = - 598,50 kgfm</p><p>Diagramas de Q e MF (esforços internos).</p><p>Fonte: BOTELHO, M. H. C. 2013.</p><p>Considerações:</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>123</p><p>A maior força cortante na viga é de 285 kgf e não 380 kgf, que é a carga</p><p>externa.</p><p>No ponto C há duas forças cortantes, à esquerda (95 kgf) e à direita (285 kgf).</p><p>Se a força cortante for usada no dimensionamento em C, o valor será o maior (285</p><p>kgf em módulo).</p><p>No ponto C a força cortante passa de valores positivos para negativos.</p><p>Nesse ponto (C) ocorre o maior momento fletor.</p><p>Retornando a discussão do exemplo acima, temos:</p><p>Fonte: BOTELHO, M. H. C. 2013.</p><p>A carga F está aplicada normal ao eixo longitudinal. As reações FA e FB, para dar</p><p>equilíbrio, estão no mesmo plano de F; portanto, toda a estrutura pode ser</p><p>representada em um plano que contém o eixo xy da viga.</p><p>Fonte: BOTELHO, M. H. C. 2013.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>124</p><p>Observa-se que, se a força F estivesse aplicada fora do eixo de simetria da viga,</p><p>haveria torção e a estrutura não seria contida em um plano, como é mostrado a</p><p>seguir.</p><p>Fonte: BOTELHO, M. H. C. 2013.</p><p>A viga com a força não centrada em relação ao eixo x torna-se uma estrutura</p><p>espacial e haverá torção na viga na viga causada pelo momento fletor MT = F x e.</p><p>Como toda a estrutura está contida em um plano, vamos resolver isto a partir</p><p>do seguinte esquema:</p><p>Fonte: BOTELHO, M. H. C. 2013.</p><p>Onde:</p><p>F – força ativa em C.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>125</p><p>RA e RB – forças reativas em A e B.</p><p>Seja uma seção em D, indicada na figura acima. Essa estará em equilíbrio. Para</p><p>que esta seção em D esteja em equilíbrio é necessário:</p><p>Haver uma força interna RD, oposta em sentido a RA e com módulo de</p><p>intensidade igual a RA.</p><p>RD é tangencial à seção em D (força cortante).</p><p>Fonte: BOTELHO, M. H. C. 2013.</p><p>Logo, à esquerda de D temos RA e à direita, RD.</p><p>Para que não haja giro em D, temos que vencer o momento RA x 2,40 = 95 x</p><p>2,40 = 228 kgfm.</p><p>Observa-se que, à esquerda e à direita de D:</p><p>Fonte: BOTELHO, M. H. C. 2013.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>126</p><p>RA + RD = 0</p><p>MA + MD = 0</p><p>RD = - 95 kgf</p><p>MD = - 228 kgf</p><p>MA, RD e MD são esforços internos que equilibram o ponto D. Apesar de o ponto</p><p>D estar em equilíbrio, ocorrem nele esses esforços.</p><p>Analisando agora uma seção em E.</p><p>Fonte: BOTELHO, M. H. C. 2013.</p><p>Para o equilíbrio do trecho AE temos:</p><p>ME = 0</p><p>95 x (6,30 + 0,40) – 3,80 x 0,40 - ME = 0</p><p>ME = 484,5 kgfm</p><p>Fonte: BOTELHO, M. H. C. 2013.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>127</p><p>Logo, para o trecho AE estar em equilíbrio é necessário haver as reações</p><p>internas RE e ME. Os diagramas de Q e M representam os esforços à esquerda da</p><p>seção E.</p><p>Convenção de Sinais</p><p>Força Cortante Q</p><p>A força cortante será positiva, quando provocar na peça momento fletor</p><p>positivo.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Vigas Horizontais</p><p>Convenciona-se a cortante como positiva aquela que atua à esquerda da</p><p>seção transversal estudada, de baixo para cima.</p><p>Vigas Verticais</p><p>Convenciona-se cortante positiva aquela que atua à esquerda da seção</p><p>estudada, com o sentido dirigido da esquerda para direita.</p><p>Momento Fletor M</p><p>Momento Positivo</p><p>O momento fletor é considerado positivo, quando as cargas cortantes</p><p>atuantes na peça tracionam as suas fibras inferiores.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>128</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Momento Negativo</p><p>O momento fletor é considerado negativo quando as forças cortantes atuantes</p><p>na peça comprimirem as suas fibras inferiores.</p><p>MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Para facilitar a orientação, convenciona-se o momento horário à esquerda da</p><p>seção transversal estudada, como positivo.</p><p>MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>129</p><p>Força Cortante Q</p><p>Obtém-se a força cortante atuante em uma determinada seção transversal da</p><p>peça, através da resultante das forças cortantes atuantes à esquerda da seção</p><p>transversal estudada.</p><p>Exemplo:</p><p>MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Momento Fletor M</p><p>O momento fletor atuante em uma determinada seção transversal da peça</p><p>obtém-se através da resultante dos momentos atuantes à esquerda da seção</p><p>estudada.</p><p>MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>130</p><p>Secção AA M = RA . X</p><p>Seção BB M = RA . X – P1 (X – a)</p><p>Seção CC M = RA . X – P1(X – a) – P2 [X – (a+b)]</p><p>Observação: O símbolo</p><p>o</p><p>x</p><p> significa origem da variável “x”.</p><p>Finalizamos mais uma unidade. Sempre que tiver uma dúvida entre em</p><p>contato com seu tutor virtual através do ambiente virtual de aprendizagem e</p><p>consulte sempre a biblioteca do seu polo.</p><p>É hora de se avaliar</p><p>Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão</p><p>ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de</p><p>ensino-aprendizagem.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>131</p><p>Exercícios – unidade 6</p><p>1) Conhecida a tensão de cisalhamento de ruptura de uma placa de aço ( =</p><p>330 MPa), determinar:</p><p>a. A força P necessária para perfurar, por meio de um pino de 3 cm de</p><p>diâmetro, uma placa de 1 cm de espessura;</p><p>b.A correspondente tensão normal no pino.</p><p>2) Determine as reações na viga abaixo.</p><p>Fonte: BOTELHO, M. H. C. 2013.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>132</p><p>3) Determinar as reações da viga a seguir:</p><p>Fonte: BOTELHO, M. H. C. 2013.</p><p>4) Calcule as reações na viga:</p><p>Fonte: BOTELHO, M. H. C. 2013.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>133</p><p>5) Calcule a força de tração nos dois cabos da figura.</p><p>Fonte: adaptado.</p><p>6) Calcule as reações de apoio da viga de aço abaixo.</p><p>Dado: aço = 77 kN/m3 (peso específico do aço).</p><p>Fonte: adaptado.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>134</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>135</p><p>Considerações finais</p><p>Caro (a) aluno (a).</p><p>Espera-se que, com este livro, você consiga se envolver na disciplina, entenda</p><p>como definir os conceitos básicos da resistência dos materiais, saiba as grandezas</p><p>envolvidas no estudo da resistência dos materiais, bem como desenvolver o</p><p>raciocínio lógico e saiba utilizar e aplicar as equações pertinentes aos vários</p><p>assuntos abordados e estudados nesta presente obra, no âmbito profissional e,</p><p>consequentemente, na sociedade em que se encontra inserido (a).</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>136</p><p>Conhecendo o autor</p><p>Paulo César Oliveira Carvalho</p><p>Graduado em Engenharia de Operações (Modalidade Mecânica) pelo CENTRO</p><p>FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA (CEFET-RJ); Bacharel e Licenciado em</p><p>Química pelas Faculdades de Humanidades Pedro II (FAHUPE); pós-graduado em</p><p>Química, tendo obtido o título de Especialista em Ensino de Química pela</p><p>Universidade Federal Fluminense – Niterói; Mestre em Ciências dos Materiais pela</p><p>UERJ. Professor Docente I com duas matrículas obtidas através de concurso público</p><p>pela SEEDUC (Secretaria Estadual de Educação do Rio de Janeiro); Professor da</p><p>Universidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO); foi professor do Colégio de</p><p>Aplicação Dom Hélder Câmara – São Gonçalo/RJ; atua como responsável técnico</p><p>na Elegance Elevadores e Equipamentos – RJ, desde 2010.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>137</p><p>Referências</p><p>BEER, F.P. e JOHNSTON Jr., E.R. Resistência dos Materiais. Editora McGraw-Hill</p><p>Ltda, São Paulo: 1982.</p><p>BOTELHO, M. H. C. Resistência dos Materiais – para entender e gostar.</p><p>Editora Edgard Bluncher</p><p>Ltda, 2013.</p><p>HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. Editora Pearson Prentice Hall, 7.ed,</p><p>São Paulo: 2010.</p><p>MELCONIAN, S. Mecânica técnica e resistência dos materiais. Editora Érica</p><p>Ltda, 10 ed. São Paulo: 2008.</p><p>POPOV, E.P. Introdução à Mecânica dos Sólidos. Editora Edgard Blücher. São</p><p>Paulo: 1974.</p><p>SCHIEL, F. Introdução à Resistência dos Materiais. Editora Harper & Row do</p><p>Brasil, São Paulo: 1984.</p><p>TIMOSHENKO, S.P. e GERE, J.E. Mecânica dos Sólidos. Volume 1 e 2. Livros</p><p>Técnicos e Científicos Editora, São Paulo: 1983.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>138</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>139</p><p>A nexos</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>140</p><p>Gabaritos</p><p>Exercícios – Unidade 1</p><p>1. A carga q (N/m) é obtida multiplicando-se o peso específico pela área da</p><p>seção transversal:</p><p>A = 6x100x 2 + 6x300 = 3.000mm2</p><p>Ou: A = 3.000 (10-6)m2 = 3,0x10-3 m2</p><p>q = γ x A = 77000(N/m3 ) x 3,0x10-3 (m2 ) = 231 N/m</p><p>ΣFx = 0 ��HA = 0</p><p>ΣFy = 0 � VA + VB = q x L</p><p>Então: VA + VB = 231x 9,0 = 2079 N</p><p>ΣMB = 0 � VA x L - q x L x L / 2 = 0</p><p>VA = q x L / 2 ��VB = q x L / 2</p><p>2. Solução detalhada</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>141</p><p>3. Resposta</p><p>4. a</p><p>5. a</p><p>6. c</p><p>7. d</p><p>8.a) Viga biapoiada Isostática com apoios de 2ª e 1ª ordem, respectivamente.</p><p>b) Viga engastada Isostática com o apoio de 3ª ordem.</p><p>9.b</p><p>10. b</p><p>Exercícios – Unidade 2</p><p>1.  = P/A0 Isolando a carga P e sendo  = 30 kgf/mm2</p><p>Temos:  = P/A0  P = .A0</p><p>Substituindo os valores, obtemos a expressão dada por:</p><p> = P/A0  P = 30 kgf/mm2.A0</p><p>A área final após a estricção de 77% é dada pela relação:</p><p>Afinal = (1 – 0,77).A0</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>142</p><p>A tensão verdadeira de ruptura é expressa por:</p><p>verdadeira = P/A0 = 30 . A0/(1 – 0,77).A0</p><p>verdadeira = P/A0 = 30/(0,23)</p><p>verdadeira = 130,43 kgf/mm2</p><p>b)Agora, vamos calcular a deformação verdadeira εv na ruptura. Lembre-</p><p>se de que a deformação instantânea e dada pela derivada dε; portanto,</p><p>temos:</p><p>dε = dl / l</p><p>A elongação verdadeira é dada pela integral:</p><p>Vamos resolver a integral. Lembre-se de que se trata de uma imediata em</p><p>ambos os membros.</p><p>A solução é:</p><p>Mas temos: A0.l0 = Af.lf e A0/Af = lf/l0 Portanto:</p><p>A área final será dada por: Af = (1-0,77).A0 = 0,23 . A0</p><p>Agora, vamos substituir o valor final obtido na deformação verdadeira:</p><p>0,23.</p><p>1</p><p>0,23</p><p>Em porcentagem, correspondem a:</p><p>verdadeira = 147%</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>143</p><p>2. A variação do comprimento e dada por:</p><p>∆</p><p>A deformação e dada pela equação:</p><p>∆</p><p>Agora, vamos substituir os valores dados:</p><p>∆ 56,7 50,0</p><p>50,0</p><p>0,135</p><p>3.a</p><p>4 B = 0,781 mm e D = 5,71 mm</p><p>5. Alumínio.</p><p>6.  = 10 MPa e l = 114µm.</p><p>7. a 15,3 MPa e 0,0764%</p><p>8. b</p><p>9.d</p><p>10. a</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>144</p><p>Exercícios – Unidade 3</p><p>,</p><p>.</p><p>Portanto:</p><p>.</p><p>. ,</p><p>,</p><p>,</p><p>A área seccionada é dada por:</p><p>. 	. 	.</p><p>Portanto:</p><p>.		 	.</p><p>,</p><p>. 	.</p><p>,</p><p>2. O primeiro passo é analisar o tipo de material, neste caso, o aço comum</p><p>apresenta o fator 2. Logo após, o tipo de carga, constante, ou seja, 1.</p><p>Então: k = x . y . z  k = 2 . 1 . 1  k = 2</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>145</p><p>3.Solução:</p><p>Área da seção transversal:</p><p>,</p><p>Resposta: A tensão normal média que atua sobre a seção a-a é de 1,82Mpa</p><p>(tensão de compressão mostrada na cor vermelha atuando uniformemente sobre</p><p>toda a seção transversal).</p><p>4.méd = 79,6 Mpa</p><p>Exercícios – Unidade 4</p><p>1. Tensão normal atuante.</p><p>→ ≅ ,</p><p>Alongamento da barra (l).</p><p>∆</p><p>ç</p><p>, ,</p><p>∆</p><p>, ,</p><p>∆ ,</p><p>∆ ,</p><p>∆</p><p>A deformação longitudinal ().</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>146</p><p>∆</p><p>,</p><p>≅</p><p>Deformação transversal ( t).</p><p>ç 	.</p><p>, ≅</p><p>2.Carga axial na barra 1</p><p>MA =O</p><p>0,8F1= 0,8 x 10 sen 53°+1,6 x 4</p><p>F1 = 16kN</p><p>2.Dimensionamento da barra.</p><p>2.1 - Tensão admissível (),</p><p>= e / k = -220/2 = 110MPa</p><p>2.2 - Diâmetro da barra.</p><p>, → ,</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>147</p><p>A barra terá um diâmetro de aproximadamente 14 mm.</p><p>2. a) Tensão normal (1 e 2).</p><p>Secção 1 da barra tem-se:</p><p>≅ ,</p><p>Secção 2, da barra tem-se:</p><p>A carga F2 é a própria carga de 4.5kN, portanto, tem-se:</p><p>≅ ,</p><p>a) Alongamento da barra (l 1 e l 2).</p><p>Secção 1</p><p>∆</p><p>ç</p><p>, , , . , .</p><p>∆ ≅ ,</p><p>∆ ≅ ,</p><p>∆ ≅</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>148</p><p>Secção dois</p><p>∆</p><p>ç</p><p>, , , . , .</p><p>∆ ≅ ,</p><p>∆ ≅ ,</p><p>∆ ≅</p><p>a) Deformação longitudinal (1 e 2).</p><p>Secção 1</p><p>∆</p><p>,</p><p>≅</p><p>Secção 2</p><p>∆</p><p>,</p><p>≅</p><p>a) Deformação transversal ( t1 e t2)</p><p>Secção 1</p><p>ç 	.</p><p>, ≅ ,</p><p>Secção 2:</p><p>ç 	.</p><p>, ≅</p><p>b) Alongamento total da peça.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>149</p><p>∆ ∆ ∆</p><p>∆ ∆</p><p>1) Tensão normal na barra.</p><p>Módulo de elasticidade do material.</p><p>Pela lei de Hooke, tem-se:</p><p>∆</p><p>Portanto, o módulo de elasticidade será:</p><p>∆</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>Através da tabela de módulo de elasticidade dos materiais (página 58), conclui-</p><p>se que o material da barra é o alumínio, pois EAl = 70GPa.</p><p>1) Solução:</p><p>Dimensionamento do arame.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>150</p><p>Tensão admissível</p><p>≅</p><p>Diâmetro do arame.</p><p>Como o elo não está soldado, conclui-se que a carga está sendo suportada por</p><p>uma única área de secção transversal. Portanto, o dimensionamento será</p><p>desenvolvido como se a corrente fosse um fio reto.</p><p>≅</p><p>A corrente possuirá diâmetro do arame d = 2 mm.</p><p>6)a. Tensão atuante na barra.</p><p>Para calcular a tensão atuante na barra, devemos transformar a carga axial</p><p>atuante para Newton, tendo então F = 36000N.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>151</p><p>Como pode se observar, a unidade do lado da secção foi transformada para m</p><p>(60 mm = 60 x 10-3 m) para que pudéssemos obter a unidade de tensão no SI N/m2.</p><p>Lembrando: N/m2 (Pascal).</p><p>c) Alongamento na barra.</p><p>∆</p><p>∆</p><p>,</p><p>,</p><p>∆</p><p>,</p><p>,</p><p>∆</p><p>∆</p><p>7) Solução:</p><p>a) Tensão na secção AA.</p><p>,</p><p>b) Tensão na secção BB.</p><p>A carga que atua na secção BB é de 240 KN mais o peso próprio do bloco 1.</p><p>a) Tensão na secção CC.</p><p>A tensão na secção CC será obtida através do somatório das cargas aplicadas</p><p>na referida secção transversal.</p><p>Pp2 = c.A2.h2</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>152</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>, / ,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>, / ,</p><p>8)Resolução:</p><p>A carga concentrada do carregamento é ql. A viga permanece na horizontal</p><p>após a aplicação das cargas. Conclui-se que:</p><p>(por simetria), e que,</p><p>∆ ∆</p><p>.</p><p>ç</p><p>.</p><p>ç</p><p>9) Os dados fornecidos pelo problema são:</p><p>ƒƒL = 4 m;</p><p>ƒƒA = 0,5 cm2;</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>153</p><p>ƒƒΔL = 1m;</p><p>m = 225 kg.</p><p>Efetuando as conversões de unidades para o SI, temos:</p><p>∆</p><p>, , . .</p><p>A deformação é dada por:</p><p>∆</p><p>, 	.</p><p>A força resultante interna corresponde ao peso pendurado, ou seja:</p><p>. 	. ,</p><p>A tensão aplicada é dada por:</p><p>.</p><p>.</p><p>, 	.</p><p>10) Este é um problema de dimensionamento à compressão.</p><p>Logo: c = 1.000 kgf/cm2  Tensão admissível do aço (já com o coeficiente de</p><p>segurança).</p><p>Fórmula Geral: c = F/K e S (área) = F/c  123.000/1.000  123 cm2</p><p>Como são quatro peças de apoio, logo:</p><p>4 x (a x 5a2) = 123 cm2 a = 2,5 cm  os apoios têm dimensões 2,5 x 12,5 cm.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>154</p><p>Exercícios – Unidade 5</p><p>1)</p><p>.</p><p>, ,</p><p>→ , / ,</p><p>ou:</p><p>.</p><p>→ , / ,</p><p>2)</p><p>Neste caso n = 4 e nA= 1 (corte simples)</p><p>é</p><p>.</p><p>, ,</p><p>→ é , /</p><p>3)</p><p>1ª opção: F=15.000N; n=6; nA= 1</p><p>é</p><p>.</p><p>,</p><p>→ é , /</p><p>.</p><p>→ /</p><p>2ª opção: F=30.000N; n=6; nA= 2</p><p>é</p><p>.</p><p>,</p><p>→ é , /</p><p>.</p><p>→ /</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>155</p><p>4)</p><p>Observe que a força P é distribuída uniformemente nas seções mn e pq.</p><p>Portanto, a força de cisalhamento corresponde a:</p><p>,</p><p>,</p><p>A área do parafuso é:</p><p>.</p><p>, 	. , .</p><p>, 	.</p><p>A tensão de cisalhamento</p><p> é:</p><p>, 	.</p><p>,</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>156</p><p>5) Resposta: é . 	 	 .</p><p>Observações: Resolver os exercícios resolvidos da seção de tensão</p><p>cisalhamento e tensão admissível do livro do Hibbeler.</p><p>6)</p><p>Observação: a força cisalhante no pino é provocada pelo binário exigido para o</p><p>equilíbrio de momentos fletores.</p><p>→</p><p>, → .</p><p>Cálculo da tensão cisalhante média no pino:</p><p>.</p><p>,</p><p>→ , /</p><p>7)</p><p>a)</p><p>.</p><p>→ /</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>157</p><p>b)</p><p>≅</p><p>∆</p><p>→ ∆</p><p>Lei de Hooke no cisalhamento:</p><p>,</p><p>,</p><p>→</p><p>/</p><p>/</p><p>→</p><p>∆ → ∆ ,</p><p>8)</p><p>é</p><p>.</p><p>,</p><p>→ é , /</p><p>é</p><p>.</p><p>,</p><p>→ é , /</p><p>Exercícios – Unidade 6</p><p>1)</p><p>a) P = 311 kN</p><p>b)  = -440 MPa</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>158</p><p>2)</p><p>Primeira condição:</p><p>FH = 0</p><p>F1 - HC = 0</p><p>3 - HC = 0 HC = 3tf</p><p>Segunda condição:</p><p>FV = 0</p><p>4tf + 4,2 x 3,6 - RB - RC = 0</p><p>RB + RC = 19,12tf</p><p>Terceira condição:</p><p>MF = 0</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>159</p><p>Vamos aplicar esta condição para o ponto C. Substituindo a carga distribuída</p><p>pela sua resultante de intensidade 4,2 x 3,6 situada no ponto médio entre B e C.</p><p>Logo, para o ponto C:</p><p>- 0,4 x (0,8 + 3,6) + RB x 3,6 – 4,2 x 3,6 x 3,6/2 = 0</p><p>RB = 12,5 tf</p><p>RB + RC = 19,12 tf</p><p>RC = 19,2 – 12,5  RC 6,62 tf</p><p>3)</p><p>FH = 0</p><p>FV = 0</p><p>M = 0</p><p>(momento fletor)</p><p>RD = 830 kgf + 1.200 kgf x 1,4</p><p>RD = 2.510 kgf</p><p>O ponto D estará em equilíbrio se o momento fletor causado pelas forças</p><p>externas for igual ao momento fletor reativo MD, logo:</p><p>MD = 830(1,2+1,4+0,8)+1.200(1,4)</p><p>1,4</p><p>2+0,8</p><p>MD = 2.822+2.520 = 5.342kgfm</p><p>MD = 5.342kgfm</p><p>As forças externas causaram no encaixe um momento fletor externo de 5.342</p><p>kgfm, e o encaixe reage com um momento fletor contrário.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>160</p><p>4)</p><p>As três famosas condições da estática: FH = 0; FV = 0; MF = 0</p><p>Convenções:</p><p>FH = 0 cos 45º = 0,7</p><p>16 x cos45º - HA = 0</p><p>HA = 16 x 0,7 = 11,2tf</p><p>FV = 0</p><p>16 x cos45º + 8,0 + RA - RB = 0</p><p>RA + RB = 19,2tf</p><p>MF = 0 Seja o ponto B</p><p>RA x (0,6 + 0,4 + 0,4) – 16 cos 45º (0,4 + 0,4) – 8 x 0,4 = 0</p><p>RA = 8,7tf RB = 10,5tf</p><p>5)</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>161</p><p>FV = 0 : F1 – 1.000 – 5.000 + F2 = 0 → F1 + F2 = 6.000</p><p>M1 = 0 : 1.000 x 0,7 + 5.000 x 1,8 - F2 x 2,6 = 0 → F2 = 3.730,8 N</p><p>M2 = 0 : F1 x 2,6 – 1.000 x 1,9 – 5.000 x 0,8 = 0 → F1 = 2.269,2 N</p><p>6)</p><p>A carga q (N/m) é obtida multiplicando-se o peso específico pela área da seção</p><p>transversal:</p><p>A = 6 x 100 x 2 + 6 x 300 = 3.000mm2</p><p>Ou: A = 3.000(10-6)m2 = 3,0 x 10-3m2</p><p>q = . A = 77000(N/m3) x 3,0 x 10-3(m2) = 231 N/m</p><p>FX = 0 → HA = 0</p><p>FY = 0 → VA + VB = q . L</p><p>Então: VA + VB = 231 x 9,0 = 2079N</p><p>MB = 0 → VA . L – q . L .</p><p>L</p><p>2</p><p>= 0</p><p>VA =</p><p>qL</p><p>2</p><p>→ VB =</p><p>qL</p><p>2</p><p>VA = VB = 231 x 9,0</p><p>2</p><p>= 1039,5N</p><p>e a intensidade das forças</p><p>internas que atuam dentro do corpo, abrangendo também o cálculo das</p><p>deformações do corpo e o estudo da sua estabilidade, quando submetido a</p><p>solicitações externas.</p><p>Em resumo, a Resistência dos Materiais é a divisão da Mecânica dos Corpos</p><p>Sólidos no qual se estuda o equilíbrio dos referidos corpos, considerando os efeitos</p><p>internos, produzidos pela ação das forças externas.</p><p>A origem da resistência dos materiais remonta ao início do século XVII, época</p><p>em que Galileu realizou experiências para estudar os efeitos de cargas em hastes e</p><p>vigas feitas de vários materiais.</p><p>Os métodos para tais descrições foram consideravelmente melhorados no</p><p>início do século XVIII. Na época, estudos foram realizados, principalmente na</p><p>França, baseados em aplicações da mecânica a corpos materiais, denominando-se</p><p>o estudo de Resistência dos Materiais. Atualmente, no entanto, refere-se a esses</p><p>estudos como mecânica dos corpos deformáveis ou simplesmente mecânica dos</p><p>materiais.</p><p>O conteúdo será abordado na seguinte ordem:</p><p> Unidade 1: Determinação dos esforços;</p><p> Unidade 2: Determinação das tensões e das deformações a que estão</p><p>sujeitos os corpos sólidos devido à ação dos esforços atuantes;</p><p> Unidade 3: Verificação da segurança;</p><p> Unidade 4: Dimensionamento;</p><p> Unidade 5: Cisalhamento Puro;</p><p> Unidade 6: Força Cortante e momento Fletor.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>9</p><p>Os objetivos deste estudo são:</p><p>Determinação dos esforços, das tensões e das deformações a que estão</p><p>sujeitos os corpos sólidos (barras, vigas, chapas, etc.) devido à ação dos</p><p>carregamentos atuantes. Esta disciplina visa proporcionar o desenvolvimento da</p><p>habilidade do acadêmico na análise crítica e resolução de problemas concretos,</p><p>integrando conhecimentos multidisciplinares e viabilizando o estudo de modelos</p><p>abstratos e sua extensão genérica a novos padrões e técnicas de solução.</p><p>Objetivos fundamentais da Resistência dos Materiais:</p><p> Hipóteses fundamentais.</p><p> Sistema real e esquema de análise.</p><p> Forças Internas.</p><p> Conceito de Tensão e de Deformação.</p><p> Tração-Compressão.</p><p> Critérios de Resistência e Rigidez.</p><p> Sistemas Isostáticos. Sistemas Estaticamente Indeterminados.</p><p> Teoria do Cisalhamento Puro.</p><p> Critérios de Cálculo.</p><p> Rebites e Juntas Soldadas.</p><p> Torção.</p><p> Critérios de Rigidez.</p><p> Flexão.</p><p>Portanto, esperamos que, ao final desta disciplina, você esteja habilitado a</p><p>identificar os conceitos básicos de Resistências dos Materiais, suas aplicações</p><p>cotidianas e a solução de exercícios que envolvam este assunto.</p><p>Para que os objetivos sejam alcançados você terá condições de, numa carga de</p><p>trabalho de 60 horas, desenvolver todo o conteúdo teórico da disciplina e</p><p>aplicarem os conhecimentos adquiridos na solução de exercícios.</p><p>Então, dedique tempo para fazer a leitura, as atividades e retirar suas dúvidas.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>10</p><p>Sempre que considerar necessário, volte ao texto e refaça as atividades. Não se</p><p>limite a este material, procurando sempre complementar os estudos com a</p><p>bibliografia indicada ao final do material.</p><p>Bons estudos!</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>11</p><p>Determinação dos</p><p>Esforços 1</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>12</p><p>O projeto da estrutura de qualquer edificação, máquina ou outro elemento</p><p>qualquer é um estudo através do qual a estrutura em si e suas partes componentes</p><p>são dimensionadas de forma que tenham resistência suficiente para suportar os</p><p>esforços para as condições de uso a que serão submetidas.</p><p>Este processo envolve a análise de tensões das partes componentes da</p><p>estrutura e considerações a respeito das propriedades mecânicas dos materiais. A</p><p>análise de tensões, esforços e as propriedades mecânicas dos materiais são os</p><p>principais aspectos da resistência dos materiais.</p><p>A determinação dos esforços e as deformações da estrutura quando as</p><p>mesmas são solicitadas por agentes externos (cargas, variações térmicas,</p><p>movimentos de seus apoios, etc.) são os principais aspectos da análise estrutural.</p><p>Objetivos da unidade:</p><p>Nesta unidade, faremos uma revisão dos princípios importantes da estática e</p><p>mostraremos como eles são usados para determinar as cargas resultantes internas</p><p>em um corpo.</p><p>Plano da unidade:</p><p> Cargas externas.</p><p> Reações do apoio.</p><p> Equações de equilíbrio.</p><p> Cargas resultantes internas.</p><p>Vamos começar!</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>13</p><p>Tipos de Ações</p><p>Cargas externas. Um corpo pode ser submetido a vários tipos de cargas</p><p>externas; todavia, qualquer uma delas pode ser classificada como uma força de</p><p>superfície ou uma força de corpo (Figura 1).</p><p>Forças de superfície são causadas pelo contato direto de um corpo com a</p><p>superfície de outro. Em todos os casos, tais forças estão distribuídas pela área de</p><p>contato entre os corpos, logo a força de superfície pode ser idealizada como sendo</p><p>uma única força concentrada, aplicada a um ponto do corpo.</p><p>Figura 1 – Equilíbrio de um corpo deformável.</p><p>Fonte: HIBBELER, R. C. 2010.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>14</p><p>Por exemplo, a força do solo sobre as rodas de uma bicicleta pode ser</p><p>considerada uma força concentrada quando estudamos a carga que age sobre a</p><p>bicicleta. Se a carga de superfície for aplicada ao longo de uma área estreita, ela</p><p>pode ser idealizada como uma carga distribuída linear, w(s). Neste caso, a carga é</p><p>medida como se tivesse uma intensidade de força/comprimento ao longo da área,</p><p>e é representada graficamente por uma série de setas ao longo da linha s.</p><p>A força resultante FR de w(s) é equivalente à área sob a curva da carga</p><p>distribuída, e essa resultante age no centroide C ou centro geométrico dessa área.</p><p>A carga ao longo do comprimento de uma viga é um exemplo típico de aplicação</p><p>frequente dessa idealização.</p><p>Figura 2</p><p>Fonte: Autor</p><p>Reações do apoio. As forças de superfície que se desenvolvem nos apoios ou</p><p>pontos de contato entre corpos são denominadas reações. Para problemas</p><p>bidimensionais, isto é, corpos sujeitos a sistemas de forças coplanares, os apoios</p><p>mais comuns são mostrados na Tabela 1. Observe cuidadosamente o símbolo</p><p>usado para representar cada apoio e o tipo de reações que cada um exerce sobre o</p><p>elemento de contato. Em geral, sempre podemos determinar o tipo de reação do</p><p>apoio imaginando que o elemento a ele acoplado está sendo transladado ou está</p><p>girando em uma determinada direção. Se o apoio impedir a translação em uma</p><p>determinada direção, então uma força deve ser desenvolvida no elemento naquela</p><p>direção. Da mesma forma, se o apoio impedir a rotação, um momento deve ser</p><p>exercido no elemento. Por exemplo, um apoio de rolete só pode impedir</p><p>translação na direção do contato, perpendicular ou normal à superfície. Por</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>15</p><p>consequência, o rolete exerce uma força normal F sobre o elemento no ponto de</p><p>contato. Como o elemento pode girar livremente ao redor do rolete, não é possível</p><p>desenvolver um momento sobre ele.</p><p>Tabela 1</p><p>Fonte: HIBBELER, R. C. 2010.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>16</p><p>Equações de equilíbrio. O equilíbrio de um corpo exige um equilíbrio de</p><p>forças, para impedir a translação ou um movimento acelerado do corpo ao longo</p><p>de uma trajetória reta ou curva, e um equilíbrio de momentos, para impedir que o</p><p>corpo gire. Essas condições podem ser expressas matematicamente pelas duas</p><p>equações vetoriais.</p><p>∑</p><p>∑</p><p>Nessas fórmulas, ΣF representa a soma de todas as forças que agem sobre o corpo,</p><p>e ΣM0 é a soma dos momentos de todas as forças em torno de qualquer ponto O</p><p>dentro ou fora do corpo.</p><p>Na prática da engenharia, muitas vezes a carga sobre um corpo pode ser</p><p>representada como um sistema de forças coplanares. Se for esse o caso, e se as</p><p>forças encontrarem-se no plano x-y, então as condições de equilíbrio do corpo</p><p>podem ser especificadas por apenas três equações de equilíbrio escalares, isto</p><p>é,</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>A aplicação correta das equações de equilíbrio exige a especificação completa</p><p>de todas as forças conhecidas ou desconhecidas que agem sobre o corpo. A</p><p>melhor maneira de levar em conta essas forças é desenhar o diagrama de corpo</p><p>livre do corpo. Certamente, se o diagrama de corpo livre for desenhado de maneira</p><p>correta, os efeitos de todas as forças e momentos binários aplicados poderão ser</p><p>levados em conta quando as equações de equilíbrio forem escritas.</p><p>Cargas resultantes internas. Uma das mais importantes aplicações da estática na</p><p>análise de problemas de resistência dos materiais é poder determinar a força e o</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>17</p><p>momento resultantes que agem no interior de um corpo e que são necessários</p><p>para manter a integridade do corpo quando submetido a cargas externas.</p><p>Podemos ver que há, na verdade, uma distribuição de força interna agindo</p><p>sobre a área "exposta" da seção. Essas forças representam os efeitos do material</p><p>que está na parte superior do corpo agindo no material adjacente na parte inferior.</p><p>Reações em Vigas</p><p>As vigas são estruturas que podem ser classificadas como:</p><p>Vigas Hipostáticas: são aquelas que não possuem equilíbrio estático (não são</p><p>estáveis), tendo por isso algum movimento (grau de liberdade) não restringido.</p><p>Fonte: autor</p><p>Obs :Caso o carregamento exterior seja apenas vertical a estrutura pode estar em</p><p>equilíbrio.</p><p>Vigas Isostáticas: são aquelas que têm o número de reações estritamente</p><p>necessário para impedir qualquer movimento.</p><p>Fonte: autor</p><p>Na primeira figura acima (à esquerda), temos o caso de uma estrutura</p><p>isostática com o número de reações de apoio igual ao número de equações de</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>18</p><p>equilíbrio estático. Já na segunda figura, a estrutura tem um número de reações de</p><p>apoio superior ao número de equações de equilíbrio estático e com uma libertação</p><p>interna garantida pela rótula. A introdução desta rótula garante a isostaticidade</p><p>desta estrutura.</p><p>Vigas Hiperestáticas: são aquelas que têm um número de reações superior ao</p><p>estritamente necessário para impedir qualquer movimento.</p><p>Fonte: autor</p><p>Observações importantes:</p><p>Resistência dos Materiais é um estudo da relação entre as cargas externas que</p><p>agem sobre um corpo e a intensidade das cargas internas no interior do corpo.</p><p>Forças externas podem ser aplicadas a um corpo como cargas de superfície</p><p>distribuídas ou concentradas ou como forças de corpo que agem em todo o</p><p>volume do corpo.</p><p>Ao aplicarmos as equações de equilíbrio, é importante desenhar o diagrama de</p><p>corpo livre antes, de modo a considerar todos Os termos presentes nas equações.</p><p>Um apoio produz uma força em uma determinada direção sobre o elemento a ele</p><p>apoiado se ele impedir a translação do elemento naquela direção e produz um</p><p>momento sobre o elemento se ele impedir a rotação.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>19</p><p>Exemplos para reforçar a aprendizagem.</p><p>1) Determinar as reações nos apoios das vigas a, b, c, d, carregadas conforme</p><p>mostram as figuras a seguir.</p><p>a) Viga solicitada por carga perpendicular.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Obs.: O símbolo à esquerda da figura representa a convenção de sinal adotada</p><p>para calcular o Momento (torque).</p><p>∑</p><p>.</p><p>∑</p><p>.</p><p>b)Viga solicitada por carga inclinada.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>20</p><p>A primeira providência a ser tomada, para solucionar este exemplo, é</p><p>decompor a carga de 10kN, visando obter as componentes vertical e horizontal. A</p><p>componente horizontal será obtida através de 10 cos. 53° = 6kN, e a componente</p><p>vertical é obtida através de 10 sen. 53° = 8kN.</p><p>Agora, já temos condição de utilizar as equações do equilíbrio para</p><p>solucionar o exemplo.</p><p>∑</p><p>≅ ,</p><p>∑</p><p>,</p><p>,</p><p>∑</p><p>Resultante no apoio A</p><p>,</p><p>≅ ,</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Viga solicitada por carga paralela ao suporte principal.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>21</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>Resultante no apoio A</p><p>,</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>b) Viga solicitada por torque.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>22</p><p>O binário da figura A pode ser representado conforme a figura acima.</p><p>∑</p><p>∑</p><p>Ao finalizar está unidade, esperamos que você estudante tenha compreendido os</p><p>tópicos dos assuntos abordados, lembrando que o referencial bibliográfico é um</p><p>forte aliado para complementação dos seus estudos.</p><p>É hora de se avaliar</p><p>Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão ajudá-lo</p><p>a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-</p><p>aprendizagem.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>23</p><p>Exercícios – unidade 1</p><p>1.Calcule as reações de apoio da viga de aço abaixo.</p><p>Dado: gs = 77 kN/m3</p><p>2.Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em</p><p>C da viga mostrada na Figura abaixo.</p><p>Fonte: HIBBELER, R. C. 2010.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>24</p><p>3.Calcule V e M nos pontos B e D da viga abaixo.</p><p>4.Determine a força normal, o esforço cortante interno e o momento fletor nos</p><p>pontos C e D na viga. Assuma que o apoio em B seja um rolete. O ponto C está</p><p>localizado logo à direita da carga de 40 kN.</p><p>Fonte: HIBBELER, R. C. 2010.</p><p>a)NC=0N; ND = 0N;VC=-3,333kN;VD=-3,333kN; MC=73,33kN.m; MD=66,67kN.m</p><p>b) NC=10N; ND = 0N;VC=-6,666kN;VD=-3,333kN; MC=73,33kN.m; MD=66,67kN.m</p><p>c) NC=0N; ND = 10N;VC=-3,333kN;VD=-3,333kN; MC=78,33kN.m; MD=66,67kN.m</p><p>d) NC=10N; ND = 0N;VC=-3,333kN;VD=-3,333kN; MC=13,33kN.m; MD=66,67kN.m</p><p>e) NC=0N; ND = 10N;VC=-3,333kN;VD=-13,333kN; MC=13,33kN.m; MD=66,67kN.m</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>25</p><p>5. Calcule a força de tração nos dois cabos da figura.</p><p>a)T1 = 2269,2N; T2 = 3730,8N</p><p>b) T1 = 1.000 N; T2 = 5.000 N</p><p>c)T1 = 5.000 N; T2 = 1.000 N</p><p>d) T1 = 3269,2N; T2 = 2730,8N</p><p>6.Calcule as reações no apoio da viga em balanço (ou viga cantilever).</p><p>a) Hb = 10N ; Vb = 3.000 N; Mb = 1.000N.m</p><p>b) Hb = 0; Vb = 0 N; Mb = 3.000N.m</p><p>c) Hb = 0; Vb = 1000 N; Mb = 3.000N.m</p><p>d) Hb = 0; Vb = 4.000 N; Mb = 3.000N.m</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>26</p><p>7.etermine as reações de apoio da viga abaixo.</p><p>Fonte: HIBBELER, R. C. 2010.</p><p>a) RB = 3,3 kN; RA = 16,7 kN</p><p>b) RA = 6,6 kN; RB =13,4 kN</p><p>c) RB = 13,3 kN; RA = 6,7 kN</p><p>d) RA = 36,7 kN; RB = 3,3 kN</p><p>8.classifique corretamente as vigas abaixo, quanto ao seu tipo de apoio e a</p><p>estaticidade.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>27</p><p>9.Dada a viga abaixo submetida ao carregamento mostrado, determine as</p><p>reações de apoio.</p><p>A B</p><p>a) RAH = 1,6 kN; RAV = 1,6 kN; RBV = 1,9 kN</p><p>b) RAH = 2,6 kN; RAV = 0,6 kN; RBV = 0,9 kN</p><p>c) RAH = 0,6 kN; RAV = 1,6 kN; RBV = 1,9 kN</p><p>d) RAH = 2,6 kN; RAV = 3,6 kN; RBV = 0,9 kN</p><p>10.Qual das vigas abaixo é hiperestática?</p><p>a) c)</p><p>b) d)</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>28</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>29</p><p>2Tensão x Deformação</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>30</p><p>Sempre que uma força é aplicada a um corpo, esta tende a mudar a forma e o</p><p>tamanho dele. Essas mudanças são denominadas deformações e podem ser</p><p>altamente visíveis ou praticamente imperceptíveis se não forem utilizados</p><p>equipamentos que façam medições precisas. Por exemplo, uma tira de borracha</p><p>sofrerá uma grande deformação quando esticada. Por outro lado, os elementos</p><p>estruturais de um edifício sofrem apenas leves deformações quando há muitas</p><p>pessoas anelando dentro dele. Também pode ocorrer deformação em um corpo</p><p>quando há mudança de temperatura. Um exemplo típico é a expansão ou</p><p>contração térmica de um telhado causada pelas condições atmosféricas.</p><p>Objetivos da unidade:</p><p>Capacitar o estudante a resolver problemas específicos de dimensionamento</p><p>de peças estruturais, tanto relativamente aos esforços quanto às deformações,</p><p>obedecendo às hipóteses e teorias apresentadas para os tópicos estudados no</p><p>período. Introduzir no estudante o entendimento do funcionamento físico das</p><p>estruturas de engenharia, levando em consideração as condições de carga</p><p>aplicadas. Em engenharia, a deformação de um corpo é especificada pelo conceito</p><p>da deformação normal e por cisalhamento.</p><p>Nesta unidade, definiremos essas quantidades e mostraremos como elas</p><p>podem ser determinadas para vários tipos de problemas.</p><p>Plano da unidade:</p><p> Estudo das Tensões.</p><p> Tipos de Tensão.</p><p> Unidade de Tensão.</p><p> Deformação.</p><p>Bons estudos!</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>31</p><p>Estudo das Tensões</p><p>Na primeira unidade, dissemos que a força e o momento que agem em um</p><p>ponto específico da área secionada de um corpo (Figura 3a) representam os efeitos</p><p>resultantes da distribuição de forças que agem sobre a área secionada (Figura 3b).</p><p>Obter essa distribuição da carga interna é de suma importância na resistência</p><p>dos materiais.</p><p>Para resolver esse problema, é necessário estabelecer o conceito de tensão.</p><p>Figura 3a Figura 3b</p><p>Fonte: HIBBELER, R. C. 2010.</p><p>Tipos de tensão</p><p>Tensão normal. A intensidade da força ou força por unidade de área, que age</p><p>perpendicularmente à ΔA, é definida como tensão normal, a σ (sigma). Visto</p><p>que ΔFz é normal à área, então:</p><p>∆ →</p><p>∆</p><p>∆</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>32</p><p>Se a força normal ou tensão tracionar o elemento de área ΔA, como mostra a</p><p>Figura 3a, ela será denominada tensão de tração, ao passo que, se comprimir o</p><p>elemento ΔA, ela será denominada tensão de compressão. Simplificando-se esta</p><p>ideia através das figuras 4 e 5, abaixo representadas.</p><p>Figura 4 – Tensão de Tração Figura 5 – Tensão de Compressão</p><p>Fonte: HIBBELER, R. C. 2010.</p><p>Unidades de Tensão.</p><p>No Sistema Internacional de Unidades de Medidas, ou Sistema SI, os valores</p><p>da tensão normal e da tensão de cisalhamento são especificadas nas unidades</p><p>básicas de newtons por metro quadrado (N/m2).</p><p>Essa unidade, denominada 1 pascal (1 Pa = 1N/m2), é muito pequena, e, em</p><p>trabalhos de engenharia, são usados prefixos como quilo (103), simbolizado por k,</p><p>mega (106), simbolizado por M, ou giga (109), simbolizado por G, para representar</p><p>valores de tensão maiores, mais realistas. Às vezes, a tensão é expressa em</p><p>unidades de N/mm2, em que 1 mm = 10-3 m. Todavia, o SI não permite prefixos no</p><p>denominador de uma fração, portanto é melhor usar a unidade equivalente 1</p><p>N/mm2 = 1 MN/m' = 1 MPa.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>33</p><p>Tensão Normal Média em uma barra com carga axial.</p><p>Geralmente, elementos estruturais ou mecânicos são compridos e delgados.</p><p>Além disso, estão sujeitos a cargas axiais (cargas que passam pelo eixo da peça)</p><p>que normalmente são aplicadas às extremidades do elemento. Pendurais,</p><p>parafusos e elementos de treliças são exemplos típicos. Nesta seção,</p><p>determinaremos a distribuição de tensão média que age na seção transversal de</p><p>uma barra com carga axial, como aquela cuja forma geral é mostrada na Figura 6a.</p><p>Esta seção define a área da seção transversal da barra e, como todas as outras</p><p>seções transversais são iguais, a barra é denominada prismática. Se desprezarmos o</p><p>peso da barra e da seção conforme é indicado, então, para o equilíbrio do</p><p>segmento inferior (Figura 6b), a força resultante interna que age na área da seção</p><p>transversal deve ter valor igual, direção oposta e ser colinear à força externa que</p><p>age na parte inferior da barra.</p><p>Figura 6 – Tensão Normal Média em Barra com Carga Axial.</p><p>Fonte: HIBBELER, R. C. 2010.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>34</p><p>Antes de determinarmos a distribuição da tensão média que age sobre a área</p><p>da seção transversal da barra, é necessário adotar duas premissas simplificadoras</p><p>em relação à descrição do material e à aplicação específica da carga.</p><p> Primeira. É necessário que a barra permaneça reta antes e depois da</p><p>aplicação da carga; além disso, a seção transversal deve permanecer achatada</p><p>ou plana durante a deformação, isto é, durante o tempo em que ocorrer a</p><p>mudança no volume e na forma da barra. Se isso acontecer, as linhas</p><p>horizontais e verticais da grade aplicada à barra se deformarão uniformemente</p><p>quando a barra for submetida à carga (Figura 6c). Não consideraremos aqui as</p><p>regiões da barra próximas às suas extremidades, onde a aplicação das cargas</p><p>externas pode provocar distorções localizadas. Em vez disso, focalizaremos</p><p>somente a distribuição de tensão no interior da seção média da barra.</p><p> Segunda. Para que a barra sofra deformação uniforme é necessário que P</p><p>seja aplicada ao longo do eixo do centroide da seção transversal e que o</p><p>material seja homogêneo e isotrópico. Materiais homogêneos têm as mesmas</p><p>propriedades físicas e mecânicas em todo o seu volume e materiais isotrópicos</p><p>têm as mesmas propriedades em todas as direções.</p><p> Muitos materiais de engenharia podem ser considerados homogêneos e</p><p>isotrópicos por aproximação, como fazemos neste livro. O aço, por exemplo,</p><p>contém milhares de cristais orientados aleatoriamente em cada milímetro</p><p>cúbico de seu volume, e, visto que a maioria dos problemas que envolvem esse</p><p>material tem um tamanho físico muito maior do que um único cristal, a</p><p>premissa adotada em relação à composição desse material é bem realista.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>35</p><p>Entretanto, devemos mencionar que o aço pode ser transformado em</p><p>anisotrópico por laminação a frio (isto é, se for laminado ou forjado em</p><p>temperaturas subcríticas). Materiais anisotrópicos têm propriedades diferentes em</p><p>direções diferentes e, ainda que seja esse o caso, se a anisotropia for orientada ao</p><p>longo do eixo da barra, então a barra também se deformará uniformemente</p><p>quando sujeita a uma carga axial. Por exemplo, a madeira, por causa de seus grãos</p><p>ou fibras, é um material de engenharia homogêneo e anisotrópico e, como possui</p><p>uma orientação padronizada de suas fibras, ela se presta perfeitamente à análise</p><p>que faremos a seguir. Distribuição da tensão normal média. Contanto que a barra</p><p>esteja submetida a uma deformação uniforme e constante como já observamos,</p><p>essa deformação é o resultado d e uma tensão normal constante σ Figura 6d. O</p><p>resultado é que cada área ΔA na seção transversal está submetida a uma força ΔF =</p><p>σ.ΔA, e a soma dessas forças que agem em toda a área da seção transversal deve</p><p>ser equivalente à força resultante interna P na seção. Se fizermos ΔA dA e,</p><p>portanto, ΔF dF, então, reconhecendo que σ é constante, tem-se:</p><p>↑ ∑ ;</p><p>Logo: σ = P/A</p><p>Onde:</p><p>σ = tensão normal média em qualquer ponto na área da seção transversal.</p><p>P = força normal interna resultante, que é aplicada no centroide da área da seção</p><p>transversal. P é determinada pelo método das seções e pelas equações de</p><p>equilíbrio.</p><p>A = área da seção transversal da barra.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>36</p><p>A equação σ = P/A dá a tensão normal média na área da seção transversal de</p><p>um elemento quando a seção é submetida a uma força normal resultante interna</p><p>P. Para elementos com carga axial, a aplicação dessa equação exige as etapas</p><p>descritas a seguir:</p><p>Carga interna</p><p> Secione o elemento perpendicularmente a seu eixo longitudinal no ponto</p><p>onde a tensão normal deve ser determinada e use o diagrama de corpo livre</p><p>e as equações de equilíbrio de forças necessárias para obter a força axial</p><p>interna P na seção.</p><p>Tensão normal média</p><p> Determine a área da seção transversal do elemento na seção analisada e</p><p>calcule a tensão normal média σ = P/A.</p><p> Sugerimos que a ação de σ seja mostrada sobre um pequeno elemento de</p><p>volume do material localizado em um ponto na seção onde a</p><p>tensão é</p><p>calculada. Para isso, em primeiro lugar, desenhe-a na face do elemento</p><p>coincidente com a área secionada A. Aqui, σ age na mesma direção que a</p><p>força interna P, uma vez que todas as tensões normais na seção transversal</p><p>agem nessa direção para desenvolverem essa resultante. A tensão normal σ</p><p>que age na face oposta do elemento pode ser desenhada em sua direção</p><p>adequada.</p><p>Tensão de cisalhamento</p><p>A intensidade da força, ou força por unidade de área, que age tangente a ΔA, é</p><p>denominada tensão de cisalhamento, τ (tau). Aqui estão as componentes da</p><p>tensão de cisalhamento:</p><p>Observe que a notação do índice z em σz é usada para indicar a direção da</p><p>reta normal dirigida para fora, que especifica a orientação da área ΔA (Figura 7).</p><p>São usados dois índices para as componentes da tensão de cisalhamento, τzx e τzy</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>37</p><p>O eixo z especifica a orientação da área e x e y referem-se às retas que indicam a</p><p>direção das tensões de cisalhamento.</p><p>Figura 7 – Índices de tensões de cisalhamento.</p><p>Tensão de cisalhamento média</p><p>A tensão de cisalhamento foi definida anteriormente como a componente da</p><p>tensão que age no plano da área secionada. Para mostrar como essa tensão pode</p><p>desenvolver-se, consideraremos o efeito da aplicação de uma força F à barra na</p><p>Figura 8. Se considerarmos apoios rígidos e F suficientemente grande, o material</p><p>da barra irá deformar-se e falhar ao longo dos planos identificados por AB e CD. Um</p><p>diagrama de corpo livre do segmento central não apoiado da barra (Figura 9)</p><p>indica que a força de cisalhamento V = F/2 deve ser aplicada a cada seção para</p><p>manter o segmento em equilíbrio. A tensão de cisalhamento média distribuída</p><p>sobre cada área secionada que desenvolve essa força de cisalhamento é definida</p><p>por:</p><p>é</p><p>Onde, τmédia = tensão de cisalhamento média na seção, que consideramos ser a</p><p>mesma em cada ponto localizado na seção.</p><p>V = força de cisalhamento interna resultante na seção determinada pelas equações</p><p>de equilíbrio.</p><p>A = área na seção.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>38</p><p>Figura 8 – Barra submetida à tensão de cisalhamento.</p><p>Fonte: HIBBELER, R. C. 2010.</p><p>Figura 9 – Diagrama de Corpo Livre do segmento central da barra.</p><p>Fonte: HIBBELER, R. C. 2010.</p><p>A ação da distribuição da tensão de cisalhamento média sobre as seções é</p><p>mostrada na Figura 10. Observe que τmédia está na mesma direção de V, uma vez</p><p>que a tensão de cisalhamento deve criar forças associadas e que todas elas</p><p>contribuem para a força resultante interna V na seção analisada.</p><p>O caso de carregamento discutido nas Figuras 8, 9 e 10 é um exemplo de</p><p>cisalhamento simples ou direto, visto que o cisalhamento é causado pela ação</p><p>direta da carga aplicada F. Esse tipo de cisalhamento ocorre frequentemente em</p><p>vários tipos de acoplamentos simples que utilizam parafusos, pinos, material de</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>39</p><p>solda etc. Os acoplamentos mostrados na Figura 11 abaixo ilustram perfeitamente</p><p>isto.</p><p>Figura 10 - Diversos tipos de acoplamento que sofrem cisalhamento</p><p>Fonte: HIBBELER, R. C. 2010.</p><p>.</p><p>Figura 11 – Diversos tipos de acoplamento que sofrem cisalhamento.</p><p>Fonte: HIBBELER, R. C. 2010.</p><p>Quando a junta é construída como mostra a Figura 12.a ou 12.c, duas superfícies de</p><p>cisalhamento devem ser consideradas. Esses tipos de acoplamentos são</p><p>normalmente denominados juntas de dupla superposição. Se fizermos um corte</p><p>entre cada um dos elementos, os diagramas de corpo livre do elemento central</p><p>serão como os mostrados na Figura 12.b e 12.d. Temos, neste caso, uma condição</p><p>de cisalhamento duplo. Por consequência, V = F/2 age sobre cada área secionada,</p><p>e esse cisalhamento deve ser considerado quando aplicarmos τmédia = V/A.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>40</p><p>Fonte: HIBBELER, R. C. 2010.</p><p>Deformação</p><p>Em física e engenharia, a deformação de um corpo contínuo (ou de uma</p><p>estrutura) é qualquer mudança da configuração geométrica do corpo que leve a</p><p>uma variação da sua forma ou das suas dimensões após a aplicação de uma ação</p><p>externa (solicitação), a exemplo de uma tensão ou variação térmica que altere a</p><p>forma de um corpo.</p><p>Sempre que uma força é aplicada a um corpo, esta tende a mudar a forma e o</p><p>tamanho dele. Essas mudanças são denominadas deformações e podem ser</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>41</p><p>altamente visíveis ou praticamente imperceptíveis se não forem utilizados</p><p>equipamentos que façam medições precisas. Por exemplo, uma tira de borracha</p><p>sofrerá uma grande deformação quando esticada. Por outro lado, os elementos</p><p>estruturais de um edifício sofrem apenas leves deformações quando há muitas</p><p>pessoas anelando dentro dele. Também pode ocorrer deformação em um corpo</p><p>quando há mudança de temperatura. Um exemplo típico é a expansão ou</p><p>contração térmica de um telhado causada pelas condições atmosféricas.</p><p>As deformações por tensão podem ser classificadas basicamente em três</p><p>tipos:</p><p> Deformação transitória ou elástica.</p><p> Deformação permanente ou plástica.</p><p> Ruptura.</p><p>Na deformação elástica, o corpo retorna ao seu estado original após cessar o</p><p>efeito da tensão. Isso acontece quando o corpo é submetido a uma força que não</p><p>supere a sua tensão de elasticidade (Lei de Hooke).</p><p>Lei de Hooke</p><p>Após uma série de experiências, o cientista inglês, Robert Hooke, no ano de</p><p>1678, constatou que uma série de materiais, quando submetidos à ação de carga</p><p>normal, sofre variação na sua dimensão linear inicial, bem como na área da seção</p><p>transversal inicial.</p><p>Ao fenômeno da variação linear, Hooke denominou alongamento,</p><p>constatando que:</p><p>Quanto maior a carga normal aplicada, e o comprimento inicial da peça, maior</p><p>o alongamento, e que, quanto maior a área da seção transversal e a rigidez do</p><p>material, medido através do seu módulo de elasticidade, menor o alongamento,</p><p>resultando daí a equação:</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>42</p><p>∆</p><p>.</p><p>.</p><p>Como σ = F/A podemos escrever a Lei de Hooke:</p><p>∆</p><p>.</p><p>Na deformação permanente, o corpo não retorna ao seu estado original,</p><p>permanece deformado permanentemente. Isso acontece quando o corpo é</p><p>submetido à tensão de plasticidade, que é maior daquela que produz a deformação</p><p>elástica.</p><p>Onde:</p><p>Δl - alongamento da peça [m];</p><p>σ - tensão normal [Pa];</p><p>F - carga normal aplicada [N];</p><p>A - área da seção transversal [m2];</p><p>E - módulo de elasticidade do material [Pa];</p><p>L - comprimento inicial da peça [m];</p><p>O alongamento será positivo, quando a carga aplicada tracionar a peça, e será</p><p>negativo quando a carga aplicada comprimir a peça.</p><p>É importante observar que a carga se distribui por toda área da seção</p><p>transversal da peça.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>43</p><p>Figura 13 – Alongamento.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Onde:</p><p>lf - comprimento final da peça [m; mm...]</p><p>l - comprimento inicial da peça [m; mm...]</p><p>Δl - alongamento [m; mm...]</p><p>A lei de Hooke, em toda a sua amplitude, abrange a deformação longitudinal () e</p><p>a deformação transversal (t).</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>44</p><p>Deformação longitudinal ()</p><p>Consiste na deformação que ocorre em uma unidade de comprimento (u.c)</p><p>de uma peça submetida à ação de carga axial.</p><p>Sendo definida através das relações:</p><p>Figura 14 – Deformação longitudinal.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Deformação transversal ( t)</p><p>Determina-se através do produto entre a deformação unitária () e o</p><p>coeficiente de Poisson ( ).</p><p>Figura 15 – Deformação transversal.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>45</p><p>Como  = Δl/l = σ / E, podemos escrever:</p><p>ou</p><p>∆</p><p>Onde:</p><p> t - deformação transversal adimensional</p><p>σ - tensão normal atuante [Pa; MPa , GPa ]</p><p>E - módulo de elasticidade do material [P a;...]</p><p>t - deformação longitudinal adimensional (sem dimensão).</p><p>- coeficiente de Poisson adimensional</p><p>Δl - alongamento [m; cm;</p><p>mm]</p><p>l - comprimento inicial [m; cm;...]</p><p>Na deformação por ruptura o corpo rompe-se em duas ou mais partes. A</p><p>ruptura acontece quando um corpo recebe uma tensão inicialmente maior</p><p>daquela que produz a deformação plástica; essa tensão tende a diminuir após o</p><p>início do processo.</p><p>A forma de aplicação das tensões varia em relação à reação de apoio ou inércia</p><p>do corpo; elas podem ocorrer por tração, compressão, cisalhamento, flexão e</p><p>torção:</p><p>Tração: Solicitação que tende a alongar o corpo e ocorre no sentido inverso ao</p><p>apoio ou inércia resultante do sistema de forças (semelhante aos cabos de aço de</p><p>um guindaste);</p><p>Compressão: Solicitação que tende a encurtar o corpo e ocorre no mesmo sentido</p><p>da reação de apoio ou inércia resultante do sistema de forças (semelhante às</p><p>colunas de uma construção);</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>46</p><p>Cisalhamento ou corte: Solicitação que tende a cortar o corpo e ocorre com o</p><p>deslocamento paralelo em sentido oposto de duas seções contíguas (semelhante</p><p>ao corte de uma tesoura ou guilhotina);</p><p>Flexão: Solicitação que tende a girar um corpo e ocorre quando a tensão tende a</p><p>uma rotação angular no eixo geométrico do corpo e tangencial ao apoio ou inércia</p><p>(semelhante a um trampolim de piscina);</p><p>Torção: Solicitação que tende a torcer o corpo; ocorre quando a tensão tende a</p><p>uma rotação angular sobre o eixo geométrico do corpo e axial ao apoio ou inércia</p><p>(semelhante ao eixo cardã dos caminhões).</p><p>Diagrama Tensão X Deformação</p><p>A resistência de um material depende da sua capacidade de suportar carga</p><p>sem deformações excessivas ou ruptura. Essa propriedade é própria do material e</p><p>deve ser determinada experimentalmente. O teste mais importante para a</p><p>obtenção de propriedades mecânicas do material é o teste de tração ou</p><p>compressão axial.</p><p>Esse teste é utilizado principalmente para a obtenção da relação entre a</p><p>tensão média e a deformação normal média. O teste é realizado através da</p><p>conformação do material selecionado em corpos de prova de dimensões</p><p>padronizadas por normas. Uma máquina de teste, especialmente projetada para</p><p>tal função, é utilizada para aplicar-se uma carga de compressão ou tração no corpo</p><p>de prova em teste. Essa carga é aplicada a uma taxa muito lenta e constante até</p><p>que o material atinja o ponto de ruptura.</p><p>Os dados da carga aplicada são registrados sem intervalos frequentes assim</p><p>como o alongamento ou encurtamento do corpo de prova. O valor desse</p><p>alongamento é utilizando então para calcular a deformação do corpo de prova e a</p><p>carga aplicada, juntamente com propriedades da seção transversal do corpo de</p><p>prova, para calcular a tensão, obtendo-se assim, ao final do teste, o diagrama</p><p>tensão-deformação para o material ensaiado.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>47</p><p>O diagrama tensão-deformação é um gráfico bidimensional no qual se relacionam</p><p>a tensão σ, ordenada, com a deformação , abscissa, obtidos pelo ensaio. Cada</p><p>ponto do gráfico identifica uma leitura de tensão-deformação feita pela máquina</p><p>de testes durante o ensaio. O último ponto caracteriza a ruptura do material.</p><p>Exemplo:</p><p>Seja o Diagrama Tensão deformação do aço ABNT 1020, mostrado abaixo,</p><p>ensaiado conforme normas específicas.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Onde:</p><p>Ponto O- Início de ensaio carga nula;</p><p>Ponto A - Limite de proporcionalidade;</p><p>Ponto B - Limite superior de escoamento;</p><p>Ponto C - Limite inferior de escoamento;</p><p>Ponto D - Final de escoamento início da recuperação do material;</p><p>Ponto E - Limite máximo de resistência;</p><p>Ponto F - Limite de ruptura do material.</p><p>A partir do diagrama tensão-deformação é possível se obter diversas</p><p>propriedades do material ensaiado.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>48</p><p>Os materiais são classificados como dúcteis e frágeis, dependendo das suas</p><p>características de tensão e deformação.</p><p>Materiais dúcteis são aqueles que apresentam grandes deformações antes de</p><p>se romperem como, por exemplo, o aço, borracha, alumínio. A madeira pode ser</p><p>considerada como um material moderadamente dúctil, pois suas características</p><p>variam muito de uma espécie para outra.</p><p>Materiais frágeis são aqueles que se rompem bruscamente apresentando</p><p>pequenas deformações como, por exemplo, o concreto. Outra característica é que</p><p>não possuem tensão de ruptura à tração bem definida e sua resistência a esse</p><p>esforço normalmente é baixa. Essa indefinição é causada pela existência de</p><p>imperfeições e microtrincas no material. A consequência é que o aparecimento de</p><p>trincas iniciais seja bem aleatório. Essas imperfeições ou microtrincas são próprias</p><p>da natureza do material.</p><p>O material é classificado como frágil, quando submetido a ensaio de tração não</p><p>apresenta deformação plástica, passando da deformação elástica para o</p><p>rompimento.</p><p>Ex.: concreto, vidro, porcelana, cerâmica, gesso, cristal, acrílico, baquelite etc.</p><p>Diagrama tensão deformação do material frágil</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>49</p><p>Onde:</p><p>Ponto O - Início de ensaio carga nula;</p><p>Ponto A - limite máximo de resistência, ponto de ruptura do material.</p><p>Figura 16 – Tensão X Deformação para vários tipos de materiais.</p><p>Fonte: adaptado.</p><p>Conforme os gráficos da figura 16 observam-se em: a vê-se um material dúctil</p><p>típico, como um aço de baixo carbono recozido. Entre os materiais dúcteis existem</p><p>aqueles que não mostram claramente o patamar de escoamento, como em b. As</p><p>figuras c e d mostram possíveis curvas de comportamento para materiais frágeis.</p><p>No caso c aparece um comportamento não linear em baixos níveis de tensão, que é</p><p>característica dos ferros fundidos. Já em d o comportamento é elástico e linear até</p><p>próximo da ruptura, característica de materiais cerâmicos e ligas fundidas de</p><p>elevada dureza.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>50</p><p>Figura 17.a – Fratura de material frágil. Figura 17.b – Fratura de material dúctil</p><p>Fonte: adaptado.</p><p>Importante!</p><p>Observação: a classificação de materiais dúcteis e frágeis não é rígida, pois um</p><p>material pode mudar suas características de comportamento, por influência de</p><p>vários fatores como, por exemplo, a temperatura de trabalho. Altas temperaturas</p><p>tendem a promover o comportamento dúctil. Baixas temperaturas tendem a</p><p>promover o comportamento frágil. Então um material de comportamento frágil em</p><p>temperatura ambiente poderá se tornar dúctil em altas temperaturas, ou um</p><p>material dúctil se tornar frágil em baixas temperaturas.</p><p>No ensaio de tração, à medida que aumentamos a intensidade de carga normal</p><p>aplicada, observamos que a peça apresenta alongamento na sua direção</p><p>longitudinal e uma redução na seção transversal.</p><p>Na fase de deformação plástica do material, essa redução da seção transversal</p><p>começa a se acentuar, apresentando estrangulamento da seção na região de</p><p>ruptura. Essa propriedade mecânica é denominada estricção, sendo determinada</p><p>através da expressão:</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>51</p><p>. %</p><p>Onde: φ - estricção [%]</p><p>Ao - área da seção transversal inicial [mm2; cm2; ]</p><p>Af - área da secção transversal final [mm2; cm2; ]</p><p>Estamos encerrando a unidade. Sempre que tiver uma dúvida entre em contato</p><p>com seu tutor virtual através do ambiente virtual de aprendizagem e consulte</p><p>sempre a biblioteca do seu polo.</p><p>É hora de se avaliar</p><p>Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão</p><p>ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de</p><p>ensino-aprendizagem.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>52</p><p>Exercícios – unidade 2</p><p>1.Um fio de cobre possui uma tensão de ruptura de 30 kgf/mm2 e apresenta uma</p><p>estricção de 77%. Calcule:</p><p>a) a tensão verdadeira de ruptura;</p><p>b) a deformação verdadeira εv na ruptura.</p><p>2.Em uma haste de latão, são marcados dois traços, que distam entre si 50,0</p><p>mm. A haste e tensionada, de forma que a distancia entre os traços</p><p>passa a ser 56,7</p><p>mm. Calcule a deformação sofrida pela haste de latão.</p><p>3.Uma barra de ferro de 4 m de comprimento e 0,5 cm2 de seção transversal e</p><p>esticada 1 mm quando uma massa de 225 kg e pendurada em sua extremidade</p><p>inferior. Considerando g = 9,8 m/s2, calcule o modulo de Young para a barra.</p><p>a) 1,76 x 1011 N/m2</p><p>b) 176 x 1013 N/mm2</p><p>c) 0,176 x 1011 N/mm2</p><p>d) 1,76 x 106 N/m2</p><p>e) 3,76 x 1011 N/m2</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>53</p><p>4. A haste ABCD, mostrada na figura abaixo, é feita de alumínio, com E = 70 GPa.</p><p>Determinar, para as cargas indicadas, desprezando o peso próprio:</p><p>a) O deslocamento do ponto B.</p><p>b) O deslocamento do ponto D.</p><p>Fone: HIBBELER, R. C. 2010.</p><p>a) B = 5,71mm e D = 0,781mm</p><p>b) B = 0,781mm e D = 5,71mm</p><p>c) B = 1,781mm e B = 5,71mm</p><p>d) B = 0,57mm e B 0,781mm</p><p>e) B = 0,781mm e B = 3,81mm.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>54</p><p>5. Uma barra circular possui d = 32 mm, e o seu comprimento l = 1,6 m. Ao ser</p><p>tracionada por uma carga axial de 4kN, apresenta um alongamento l = 114 µm.</p><p>Qual o material da barra? Consulte o quadro abaixo para dar a resposta.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Material</p><p>Módulo de</p><p>elasticidade</p><p>E [GPa]</p><p>Material</p><p>Módulo de</p><p>elasticidade</p><p>E [GPa]</p><p>Aço 210 Latão 117</p><p>Alumínio 70 Ligas de alumínio 73</p><p>Bronze 112 Ligas de chumbo 17</p><p>Cobre 112 Ligas de estanho 41</p><p>Chumbo 17 Ligas de magnésio 45</p><p>Estanho 40 Ligas de titânio 114</p><p>Fofo 100 Magnésio 43</p><p>Fofo Modular 137 Monel (liga níquel) 179</p><p>Ferro 200 Zinco 96</p><p>a)Bronze</p><p>b) aço</p><p>c) Alumínio</p><p>d) Cobre</p><p>e) Ferro.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>55</p><p>6.Uma barra de AI possui seção transversal quadrada com 60 mm de lado e, o</p><p>seu comprimento é de 0,8 m. A carga axial aplicada na barra é de 36 kN. Determinar</p><p>a tensão normal atuante na barra e o seu alongamento.</p><p>a) 5 MPa e 114 mm</p><p>b) 10 MPa e 11,4 mm</p><p>c) 10 MPa e 114μm</p><p>d) 10 GPa</p><p>e)1,14 mm.</p><p>7.Determinar a tensão de tração e a deformação específica de uma barra</p><p>prismática de comprimento L= 5,0m, seção transversal circular com diâmetro φ=5</p><p>cm e Módulo de Elasticidade E=20.000 kN/cm2 , submetida a uma força axial de</p><p>tração P=30 kN.</p><p>a) 15,3 MPa e 0,0764 %</p><p>b) 7,15 MPa e 7,64 %</p><p>c) 30,6 MPa e 0,00764%</p><p>d) 5,30 MPa e 1,0764%</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>56</p><p>8. No diagrama de ensaio de tração (tensão x deformação) para materiais dúcteis, o</p><p>limite superior de escoamento, representa o ponto de:</p><p>a) Ruptura</p><p>b) O início da deformação plástica</p><p>c) Limite máximo de resistência</p><p>d) Limite de proporcionalidade</p><p>e) O início da estricção</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>57</p><p>9.Dado o gráfico Tensão x Deformação abaixo, indicar o que significa a etapa 1</p><p>do mesmo, definindo-a corretamente conforme a teoria estudada.</p><p>Tensão</p><p>Deformação</p><p>a)Ruptura</p><p>b) Estricção</p><p>c) Início da região plástica</p><p>d) Tensão máxima.</p><p>10. Determine a deformação da barra de aço sob a ação das cargas indicadas.</p><p>Dado: E=210 GPa.</p><p>a) δ=2,75×10-3m = 2,75 mm</p><p>b) δ=5,50 ×10-3m = 4,75 mm</p><p>c) δ=27,5×10-3m = 275 mm</p><p>d) δ=2,75×106m = 27,5 mm</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>58</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>59</p><p>Verificação da Segurança 3</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>60</p><p>O engenheiro responsável pelo projeto de elementos estruturais ou</p><p>mecânicos deve restringir a tensão do material a um nível seguro, portanto, deve</p><p>usar uma tensão segura ou admissível.</p><p>Em Engenharia, uma estrutura ou máquina em uso contínuo deve ser</p><p>analisada periodicamente para que se verifiquem quais ·cargas adicionais seus</p><p>elementos ou partes podem suportar. Portanto, vale ressaltar, é necessário fazer os</p><p>cálculos usando-se uma tensão segura ou admissível.</p><p>Objetivos da unidade:</p><p>Ao final desta unidade, o aluno (a) conhecerá a utilização do coeficiente de</p><p>segurança e sua aplicação no dimensionamento dos elementos de construção,</p><p>visando assegurar o equilíbrio entre a qualidade da construção e seu custo.</p><p>Plano da unidade:</p><p> Coeficiente de Segurança</p><p> Carga Estática</p><p> Carga Intermitente</p><p> Carga Alternada</p><p> Tensão Admissível</p><p>Bons estudos!</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>61</p><p>Coeficiente de Segurança.</p><p>Para se garantir a segurança, é preciso escolher uma tensão admissível que</p><p>restrinja a carga aplicada a um valor menor do que a carga que o elemento pode</p><p>suportar totalmente. Há várias razões para isso. Por exemplo, a carga para a qual o</p><p>elemento é projetado pode ser diferente das cargas realmente aplicadas. As</p><p>dimensões estipuladas no projeto de uma estrutura ou máquina podem não ser</p><p>exatos por causa de erros de fabricação ou cometidos na montagem de seus</p><p>componentes. É possível ocorrer problemas com vibrações, impactos ou cargas</p><p>acidentais desconhecidas, que não tenham sido contemplados no projeto.</p><p>Corrosão atmosférica, deterioração ou desgaste provocado por exposição a</p><p>intempéries tendem a deteriorar os materiais em serviço.</p><p>Coeficiente de Segurança k</p><p>O coeficiente de segurança é utilizado no dimensionamento dos elementos de</p><p>construção, visando assegurar o equilíbrio entre a qualidade da construção e seu</p><p>custo.</p><p>O projetista poderá obter o coeficiente em normas ou calcular em função das</p><p>circunstâncias apresentadas.</p><p>Os esforços são classificados em 3 tipos:</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>62</p><p>Carga Estática</p><p>A carga é aplicada na peça e permanece constante; como exemplos, podemos</p><p>citar:</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Um parafuso prendendo uma luminária.</p><p>Uma corrente suportando um lustre.</p><p>Carga Intermitente</p><p>Neste caso, a carga é aplicada gradativamente na peça, fazendo com que o seu</p><p>esforço atinja o máximo, utilizando para isso um determinado intervalo de tempo.</p><p>Ao atingir o ponto máximo, a carga é retirada gradativamente no mesmo intervalo</p><p>de tempo utilizado para se atingir o máximo, fazendo com que a tensão atuante</p><p>volte à zero. E assim sucessivamente.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>63</p><p>Ex.: o dente de uma engrenagem.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Carga Alternada</p><p>Neste tipo de solicitação, a carga aplicada na peça (f(tensão) varia de máximo</p><p>positivo para máximo negativo ou vice-versa, constituindo-se na pior situação para</p><p>o material).</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Ex.: eixos, molas, amortecedores etc.</p><p>Obs.: para cisalhamento substituir σ por τ.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>64</p><p>Para determinar o coeficiente de segurança em função das circunstâncias</p><p>apresentadas, deverá ser utilizada a expressão a seguir:</p><p>.		 	.		 	.</p><p>Onde:</p><p>x é o fator do tipo de material.</p><p>Ex. x = 2; para materiais comuns.</p><p>x = 1,5; para aços de qualidade e aços liga.</p><p>y é o fator do tipo de solicitação.</p><p>y = 1 para carga constante</p><p>y = 2 para carga intermitente</p><p>y = 3 para carga alternada.</p><p>.z é o fator do tipo de carga.</p><p>z = 1 para carga gradual</p><p>z = 1,5 para cargas leves</p><p>z = 2,0 para cargas bruscas.</p><p>.w é o fator que prevê possíveis falhas de fabricação.</p><p>w = 1,0 a 1,5 para aços.</p><p>w = 1,5 a 2,0 para ferro fundido.</p><p>OBS: Para carga estática, normalmente utiliza-se 2 ≤ k ≤ 3 aplicado a σe (tensão de</p><p>escoamento do material), para o material dúctil e ou aplicado a σr para o material</p><p>frágil.</p><p>Onde σr é a tensão de ruptura do material.</p><p>A tensão admissível é a ideal de trabalho para o material nas circunstâncias</p><p>apresentadas. Geralmente, essa tensão deverá ser mantida na região de</p><p>deformação elástica do material.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>65</p><p>A tensão admissível é determinada através da relação σe (tensão de</p><p>escoamento) coeficiente de segurança para os materiais dúcteis, σr (tensão de</p><p>ruptura) coeficiente de segurança para os materiais frágeis.</p><p>Para materiais dúcteis.</p><p>Para materiais dúcteis.</p><p>Para materiais frágeis.</p><p>Para materiais frágeis.</p><p>Em projetos de porte, é necessário levar em conta, no dimensionamento dos</p><p>elementos de construção, o peso próprio do material, que será determinado</p><p>através do produto entre o peso específico do material e o volume da peça,</p><p>conforme nos mostra o estudo a seguir.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>0 ≤ y ≤ ℓ</p><p>Pp = γAy</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>66</p><p>Na secção AA</p><p>Y = 0  Pp = 0</p><p>Na secção BB</p><p>Y = ℓ  Pp = Máx.</p><p>á 	 	.		 	.</p><p>Ao final desta unidade, lembramos a você, querido aluno(a), de revisar os</p><p>conteúdos aqui abordados, resolvendo outros exercícios do referencial</p><p>bibliográfico recomendados.</p><p>É hora de se avaliar</p><p>Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão</p><p>ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de</p><p>ensino-aprendizagem.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>67</p><p>Exercícios – unidade 3</p><p>1.O tirante está apoiado em sua extremidade por um disco circular fixo como</p><p>mostrado na figura. Se a haste passa por um furo de 40 mm de diâmetro,</p><p>determinar o diâmetro mínimo requerido da haste e a espessura mínima do</p><p>disco necessários para suportar uma carga de 20 kN. A tensão normal</p><p>admissível da haste é σadm = 60 MPa, e a tensão de cisalhamento admissível</p><p>do disco é τadm = 35 MPa.</p><p>Fonte: HIBBELER, R. C. 2010 adaptado.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>68</p><p>2.Determine o coeficiente de segurança para uma situação em que se</p><p>Pretende fabricar um tirante de aço que irá suportar uma carga constante de</p><p>tração, aplicada gradualmente quando ao final da montagem.</p><p>Nota: O tirante é uma peça estrutural composta por um ou mais elementos, e que tem por</p><p>função resistir a esforços, forças ou tensões, de tração. Geralmente são feitos com aço</p><p>comum.</p><p>3.A coluna está submetida a uma força axial de 8 kN no seu topo. Supondo</p><p>que a seção transversal tenha as dimensões mostradas na figura, determinar a</p><p>tensão normal média que atua sobre a seção a-a. Mostrar essa distribuição de</p><p>tensão atuando sobre a área da seção transversal.</p><p>Fonte: HIBBELER, R. C. 2010 adaptado.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>69</p><p>4.O punção circular B exerce uma força de 2 kN no topo da chapa A</p><p>Determinar a tensão de cisalhamento média na chapa devida a esse carregamento.</p><p>Fonte: HIBBELER, R. C. 2010 adaptado.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>70</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>71</p><p>4Dimensionamento de Peças</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>72</p><p>Durante aplicações práticas, em engenharia, a determinação de tensões é um</p><p>importante passo para o desenvolvimento de dois estudos relacionados a:</p><p>Análise de estruturas e máquinas existentes, com o objetivo de prever o seu</p><p>comportamento sob condições de cargas especificadas.</p><p>Projeto de novas máquinas e estruturas, que deverão cumprir determinadas</p><p>funções de maneira segura e econômica.</p><p>Objetivos da unidade:</p><p>Ao final desta unidade, o aluno (a) deverá prever o comportamento de uma</p><p>estrutura ou equipamentos, quando estes estiverem sob condições de</p><p>carregamento ou tensões repentinas, de modo a projetá-los corretamente.</p><p>Plano da unidade:</p><p> Peças de Secção Transversal</p><p> Peças de Secção Transversal Qualquer</p><p> Peças de Secção Transversal Circular.</p><p> Dimensão de correntes.</p><p>Bons estudos!</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>73</p><p>Peças de Seção Transversal</p><p>Peças de Seção Transversal Qualquer</p><p>Área Mínima.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Onde:</p><p>Amin - Área mínima da secção transversal [m2: ... ].</p><p>F - Carga axial aplicada [N].</p><p>- Tensão admissível do material [Pa].</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>74</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Peças de Seção Transversal Circular</p><p>Diâmetro da Peça</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>= F/A como a área do círculo é A =  d2/4, temos que:</p><p>= 4 F/ d2, portanto,</p><p>Onde:</p><p>D - Diâmetro da peça [m].</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>75</p><p>F - Carga axial aplicada [N].</p><p>- Tensão admissível do material [Pa].</p><p> - Constante trigonométrica 3,141516...</p><p>Dimensionamento de Correntes.</p><p>A carga axial em uma corrente se divide na metade para cada seção</p><p>transversal do elo, conforme demonstrado na figura abaixo:</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Tem-se então que:</p><p>Como a área do círculo é A =  d2/4, temos que:</p><p>portanto,</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>76</p><p>Onde:</p><p>d - diâmetro da barra do elo [m).</p><p>Fc - Força na corrente [N).</p><p> - Constante trigonométrica 3, 1415....</p><p>0= - Tensão admissível [Pa).</p><p>Tabelas de algumas propriedades mecânicas.</p><p>Tabela 1 - Coeficiente de Poisson (v)</p><p>Material v Material v</p><p>Aço 0,25 - 0,33 Latão 0,32 - 0,42</p><p>Alumínio 0,32 - 0,36 Madeira compensada 0,07</p><p>Bronze 0,32 - 0,35 Pedra 0,16 - 0,34</p><p>Cobre 0,31 - 0,34 Vidro 0,25</p><p>Fofo -0,23 - 0,27 Zinco 0,21</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Obs: A sigla “fofo” significa ferro fundido.</p><p>Tabela 2 - Características elásticas dos materiais.</p><p>Material</p><p>Módulo de</p><p>elasticidade</p><p>E [GPa]</p><p>Material</p><p>Módulo de</p><p>elasticidade</p><p>E [GPa]</p><p>Aço 210 Latão 117</p><p>Alumínio 70 Ligas de alumínio 73</p><p>Bronze 112 Ligas de chumbo 17</p><p>Cobre 112 Ligas de estanho 41</p><p>Chumbo 17 Ligas de magnésio 45</p><p>Estanho 40 Ligas de titânio 114</p><p>Fofo 100 Magnésio 43</p><p>Fofo Modular 137 Monel (liga níquel) 179</p><p>Ferro 200 Zinco 96</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>77</p><p>Obs.: É comum encontrar-se o módulo de elasticidade em MPa (megapascal)</p><p>Exemplos:</p><p>Eaço 5 = 2,1 x 10 MPa</p><p>EAl= 7,0 X 104 MPa</p><p>ECu= 1,12 x 105 MPa</p><p>Tabela 3 - Peso especí fico dos materiais.</p><p>Material Peso Específico</p><p>[ N / m3 ] Material Peso Específico</p><p>[ N / m3 ]</p><p>Aço 7,70 x 104 Gasolina 15ºC 8,3 x 103</p><p>Água destilada 4ºC 9,8 x 103 Gelo 8,8 x 103</p><p>Alvenaria tijolo 1,47 x 104 Graxa 9,0 x 103</p><p>Alumínio 2,55 x 104 Latão 8,63 x 104</p><p>Bronze 8,63 x 104 Leite (15ºC) 1,02 x 104</p><p>Borracha 9,3 x 103 Magnésio 1,72 x 104</p><p>Cal hidratado 1,18 x 104 Níquel 8,50 x 104</p><p>Cerveja 1,00 x 104 Ouro 1,895 x 105</p><p>Cimento em pó 1,47 x 104 Papel 9,8 x 103</p><p>Concreto 2,00 x 104 Peroba 7,8 x 103</p><p>Cobre 8,63 x 104 Pinho 5,9 x 103</p><p>Cortiça 2,4 x 103 Platina 2,08 x 105</p><p>Chumbo 1,1 x 105 Porcelana 2,35 x 104</p><p>Diamante 3,43 x 104 Prata 9,80 x 104</p><p>Estanho 7,10 x 104 Talco 2,65 x 104</p><p>Ferro 7,70 x 104 Zinco 6,90 x 104</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>78</p><p>Tabela 4 - Coeficiente de dilatação linear dos materiais.</p><p>Material Coeficiente de</p><p>dilatação linear Material Coeficiente de</p><p>dilatação linear</p><p>[ºC]-1 	[ºC]-1</p><p>Aço 1,2 x 10-5 Latão 1,87 x 10-5</p><p>Alumínio 2,3 x 10-5 Magnésio 2,6 x 10-5</p><p>Baquelite 2,9 x 10-5 Níquel 1,3 x 10-5</p><p>Bronze 1,87 x 10-5 Ouro 1,4 x 10-5</p><p>Borracha [20ºC] 7,7 x 10-5 Platina 9 x 10-6</p><p>Chumbo 2,9 x 10-5 Prata 2 x 10-5</p><p>Constantan 1,5 x 10-5 Tijolo 6 x 10-6</p><p>Cobre 1,67 x 10-5 Porcelana 3 x 10-6</p><p>Estanho 2,6 x 10-5 Vidro 8 x 10-6</p><p>Ferro 1,2 x 10-5 Zinco 1,7 x 10-5</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Tabela 5 - Módulo de Elasticidade Transversal.</p><p>Material Módulo de Elasticidade</p><p>Transversal G [GPa]</p><p>Aço 80</p><p>Alumínio 26</p><p>Bronze 50</p><p>Cobre 45</p><p>Duralumínio 14 28</p><p>Fofo 88</p><p>Magnésio 17</p><p>Nylon 10</p><p>Titânio 45</p><p>Zinco 32</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>79</p><p>Tabela 6 – Tensões.</p><p>Materiais</p><p>Tensão de</p><p>escoamento</p><p>de [Mpa]</p><p>Tensão de</p><p>ruptura</p><p>[Mpa]</p><p>Aço Carbono</p><p>ABNT 1010 - L 220</p><p>- T 380</p><p>ABNT 1020 - L 280</p><p>- T 480</p><p>ABNT 1030 - L 300</p><p>- T 500</p><p>ABNT 1040 - L 360</p><p>- T 600</p><p>ABNT 1050 - L 400</p><p>Aço Liga</p><p>ABNT 4140 - L 650</p><p>- T 700</p><p>ABNT 8620 - L 440</p><p>- T 700</p><p>Ferro Fundido</p><p>Cinzento -</p><p>Branco -</p><p>Preto - F -</p><p>- P -</p><p>Modular -</p><p>Materiais</p><p>Tensão de</p><p>escoament</p><p>o de [Mpa]</p><p>Tensão de</p><p>ruptura</p><p>[Mpa]</p><p>Materiais</p><p>não ferrosos</p><p>Alumínio 30 – 120 70 – 230</p><p>Duralumínio 14 100 – 420 200 – 500</p><p>Cobre Telúrio 60 – 320 230 – 350</p><p>Bronze de níquel 120 – 650 300 – 750</p><p>Magnésio 140 – 200 210 – 300</p><p>Titãnio 520 600</p><p>Zinco - 290</p><p>Materiais</p><p>não metálicos</p><p>Borracha - 20 – 80</p><p>Concreto - 0,8 – 7</p><p>Madeiras</p><p>Peroba - 100 – 200</p><p>Pinho - 100 – 120</p><p>Eucalipto - 100 – 150</p><p>Plásticos</p><p>Nylon - 80</p><p>Vidro</p><p>Vidro plano - 5 – 10</p><p>L - laminado T - trefilado F - ferrítico P - perlítico</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Finalizamos mais uma unidade, novamente não se esqueça de refazer os</p><p>exercícios do referencial recomendado.</p><p>É hora de se avaliar</p><p>Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão</p><p>ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de</p><p>ensino-aprendizagem.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>80</p><p>Exercícios – unidade 4</p><p>1.A barra circular representada na figura é de aço, possui d = 20 mm e</p><p>comprimento l =0,8m. Encontra-se submetida à ação de uma carga axial de 7,2 kN.</p><p>Pede-se determinar para a barra:</p><p>a) Tensão normal atuante ().</p><p>b) O alongamento (l).</p><p>c) A deformação longitudinal ().</p><p>d) A deformação transversal ( t).</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>81</p><p>2.Determinar o diâmetro da barra 1 da construção representada na figura. O</p><p>material da barra é o ABNT 1010L com e = 220 MPa, e o coeficiente de segurança</p><p>indicado para o caso é k=2.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>3.A figura dada representa duas barras de aço soldadas na seção BB. A carga</p><p>de tração que atua na peça é 4,5 kN. A seção 1 da peça possui d1 = 15 mm e</p><p>comprimento. l 1 = 0,6 m, sendo que a seção 2 possui d2 = 25 mm e l 2 = 0,9 m.</p><p>Desprezando o efeito do peso próprio do material, pede-se determinar para as</p><p>seções 1 e 2.</p><p>a) A tensão normal (1 e 2)</p><p>b) O alongamento (l 1 e l 2)</p><p>c) A deformação longitudinal (1 e 2)</p><p>d) A deformação transversal (t1 e t2)</p><p>e) O alongamento total da peça (l)</p><p>Dados: Eaço = 210 GPa aço = 0,3</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>82</p><p>4.Uma barra circular possui d = 32 mm, e o seu comprimento l = 1,6 m. Ao ser</p><p>tracionada por uma carga axial de 4kN, apresenta um alongamento l = 114μm.</p><p>Qual o material da barra?</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>5.O lustre da figura pesa 120N, estará preso ao teto através do ponto A, por</p><p>uma corrente de aço. Determinar o diâmetro do arame da corrente, para que</p><p>suporte com segurança K = 5, o peso do lustre. O material do arame é o ABNT</p><p>1010L com e = 220 MPa.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>83</p><p>6.Uma barra de AI possui secção transversal quadrada com 60mm de lado e, o</p><p>seu comprimento é de 0,8 m. A carga axial aplicada na barra é de 36 kN. Determinar</p><p>a tensão normal atuante na barra e o seu alongamento.</p><p>EAl = 0,7 X 105 MPa</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>7.A coluna da figura dada suporta uma carga de 240 kN. Considerando o peso</p><p>próprio do material, determinar as tensões atuantes nas seções AA; SS; CC. A</p><p>coluna é de concreto, sendo que o bloco 1 tem h1 = 2m e área da seção transversal</p><p>A1 = 0,24 m2, o bloco 2 tem h2 = 2m e área da seção transversal A2 = 0,36 m2.</p><p>Dados:  concreto = 2 x 104 N/ m3</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>84</p><p>8.A viga AB absolutamente rígida suporta o carregamento da figura, suspensa</p><p>através dos pontos AB, pelas barras 1 e 2 respectivamente. A barra 1 é de aço,</p><p>possui comprimento l e área de seção transversal A1. A barra 2 é de Al, possui</p><p>também comprimento l e área de seção transversal A2. Determinar a relação entre</p><p>as áreas das secções transversais das barras, sabendo-se que a viga AB permanece</p><p>na horizontal após a aplicação das cargas. Dados: Eaço = 210 GPa ; EAl = 70 GPa.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>9.Uma barra de ferro de 4 m de comprimento e 0,5 cm2 de seção transversal e</p><p>esticada 1 mm quando uma massa de 225 kg e pendurada em sua extremidade</p><p>inferior. Considerando g = 9,8m/s2, calcule o modulo de Young para a barra.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>85</p><p>10.Uma peça que pesa 123.000 kgf apoia-se sobre quatro peças de aço de baixa</p><p>estatura, como indicado no desenho abaixo. Identifique as dimensões que a peça</p><p>deve ter. As peças de apoio têm as seguintes medidas a x 5a.</p><p>Fone: BOTELHO, M. H. C. 2013.</p><p>Obs.: O peso próprio da estrutura só deve ser considerado nos cálculos</p><p>quando o seu valor for significativo. No caso deste problema não será considerado.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>86</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>87</p><p>5 Cisalhamento Puro</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>88</p><p>Um elemento de construção submete-se a esforço de cisalhamento, quando</p><p>sofre a ação de uma força cortante. Além de provocar cisalhamento, a força</p><p>cortante dá origem a um momento fletor, que por ser de baixíssima intensidade,</p><p>será desconsiderado neste capítulo.</p><p>O cisalhamento está mais presente em nossas vidas do que se imaginamos: ao</p><p>cortar uma folha, um pedaço de queijo ou aparas do papel com guilhotina, entre</p><p>muitos outros exemplos. No caso de metais, podemos praticar o cisalhamento com</p><p>tesouras, prensas de corte, dispositivos especiais ou simplesmente aplicando</p><p>esforços que resultem em forças cortantes. Ao ocorrer o corte, as partes se</p><p>movimentam paralelamente, por escorregamento, uma sobre a outra, separando-</p><p>se. A esse fenômeno damos o nome de cisalhamento.</p><p>Objetivos da unidade:</p><p>Ao final desta unidade, o aluno (a) deverá compreender os esforços de</p><p>cisalhamento em um elemento de junta (rebite, parafusos, solda ou pinos), quando</p><p>esta junta estiver sob tração ou compressão.</p><p>Plano da unidade:</p><p> Força Cortante Q</p><p> Tensão de Cisalhamento ()</p><p> Deformação do Cisalhamento</p><p>Bons estudos!</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>89</p><p>Tensão de cisalhamento</p><p>Tensão de cisalhamento ou tensão tangencial, ou ainda tensão de corte ou</p><p>tensão cortante é um tipo de tensão gerado por forças aplicadas em sentidos</p><p>iguais ou opostos, em direções semelhantes, mas com intensidades diferentes no</p><p>material analisado. Um exemplo disso é a aplicação de forças paralelas, mas em</p><p>sentidos opostos, ou a típica tensão que gera o corte em tesouras.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Força Cortante Q.</p><p>Denomina-se força cortante, a carga que atua tangencialmente sobre a área</p><p>de seção transversal da peça.</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>90</p><p>Tensão de Cisalhamento ().</p><p>A ação da carga cortante sobre a área da seção transversal da peça causa nesta</p><p>uma tensão de cisalhamento, que é definida através da relação entre a intensidade</p><p>da carga aplicada e a área da secção transversal da peça sujeita a cisalhamento.</p><p>Para o caso de mais de um elemento estar submetido a cisalhamento, utiliza-</p><p>se o somatório das áreas das seções transversais para o dimensionamento. Se os</p><p>elementos possuírem a mesma área de seção transversal, basta multiplicar a área</p><p>de seção transversal pelo número de elementos(n).</p><p>Tem-se então:</p><p>.</p><p>onde:</p><p> = tensão de cisalhamento [Pa, ...]</p><p>Q = carga cortante [N]</p><p>Acis = área da seção transversal da peça [m2]</p><p>n - número de elementos submetidos a cisalhamento [adimensional].</p><p>Se as áreas das seções transversais forem desiguais, o esforço atuante em</p><p>cada elemento será proporcional a sua área de seção transversal.</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>91</p><p>Deformação do Cisalhamento</p><p>Supondo-se o caso da seção transversal retangular da figura, observa-se o</p><p>seguinte:</p><p>Ao receber a ação da carga cortante, o ponto C desloca-se para a posição C', e</p><p>o ponto D para a posição D', gerando o ângulo denominado distorção. A distorção</p><p>é medida em radianos (portanto adimensional), através da relação entre a tensão</p><p>de cisalhamento atuante e o módulo de elasticidade.</p><p>A distorção é medida em radianos (portanto adimensional), através da relação</p><p>entre a tensão de cisalhamento atuante () e o módulo de elasticidade transversal</p><p>do material (G).</p><p>Fonte: MELCONIAN, S. 1999.</p><p>Onde:</p><p> - distorção [rad.];</p><p> - tensão de cisalhamento atuante [Pa];</p><p>G - módulo de elasticidade</p>