Ebook Resistência dos materiais

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Resistência dos Materiais
Unidade 2
Práticas com tensão, deformação e carga axial
Diretor Executivo 
DAVID LIRA STEPHEN BARROS
Gerente Editorial 
CRISTIANE SILVEIRA CESAR DE OLIVEIRA
Projeto Gráfico 
TIAGO DA ROCHA
Autoria
ANDREW SCHAEDLER 
DAYANNA COSTA
AUTORIA
Andrew Schaedler 
Sou formado em Engenharia Mecânica, com uma experiência 
técnico-profissional na área de Engenharia de Processos e Usinagem 
de Precisão de mais de 8 anos. Passei por empresas como a TDK 
multinacional japonesa, produtora de componentes eletrônicos; John 
Deere, multinacional americana produtora de equipamentos agrícolas e 
hoje sou sócio proprietário de uma metalúrgica especializada em usinagem 
de precisão, atendendo empresas de grande porte do ramo automotivo. 
Dayanna Costa
Sou graduada em Administração pela Universidade Federal de 
Campina Grande (2010). Sou mestre em Administração pelo Programa de 
Pós-graduação em Administração da UFPB (2019), área de Concentração 
Administração e Sociedade e mestre em Recursos Naturais pelo 
Programa de Pós-graduação em Recursos Naturais da UFCG (2014), 
com ênfase na linha de pesquisa Sustentabilidade e Competitividade. 
Atuo como pesquisadora no Grupo de Estudos em Gestão da Inovação 
Tecnológica- GEGIT (UFCG, cadastrado no diretório de grupos de 
pesquisa do CNPq), na linha de pesquisa Inovação e Desenvolvimento 
Regional l, com foco nos seguintes temas: administração geral, gestão da 
inovação, desenvolvimento regional. Atuou como pesquisadora do Grupo 
de Estratégia Empresarial e Meio Ambiente - GEEMA (cadastrado no 
diretório de grupos de pesquisa do CNPq), na linha de pesquisa Estratégia 
Ambiental e Competitividade, com ênfase em Modelos e Ferramentas de 
Gestão Ambiental com foco nos seguintes temas: administração geral e 
gestão ambiental. Sou professora no curso de Administração da Unidade 
Acadêmica de Administração de Contabilidade (UAAC), na Universidade 
Federal de Campina Grande (UFCG) como professor substituto. 
Somos apaixonados pelo que fazemos e adoramos transmitir nossas 
experiências de vida àqueles que estão iniciando em suas profissões. Por 
isso, fomos convidados pela Editora Telesapiens a integrar seu elenco 
de autores independentes. Estamos muito felizes em poder ajudar você 
nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte conosco!
ICONOGRÁFICOS
Olá. Esses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez 
que:
OBJETIVO:
para o início do 
desenvolvimento de 
uma nova compe-
tência;
DEFINIÇÃO:
houver necessidade 
de se apresentar um 
novo conceito;
NOTA:
quando forem 
necessários obser-
vações ou comple-
mentações para o 
seu conhecimento;
IMPORTANTE:
as observações 
escritas tiveram que 
ser priorizadas para 
você;
EXPLICANDO 
MELHOR: 
algo precisa ser 
melhor explicado ou 
detalhado;
VOCÊ SABIA?
curiosidades e 
indagações lúdicas 
sobre o tema em 
estudo, se forem 
necessárias;
SAIBA MAIS: 
textos, referências 
bibliográficas e links 
para aprofundamen-
to do seu conheci-
mento;
REFLITA:
se houver a neces-
sidade de chamar a 
atenção sobre algo 
a ser refletido ou dis-
cutido sobre;
ACESSE: 
se for preciso aces-
sar um ou mais sites 
para fazer download, 
assistir vídeos, ler 
textos, ouvir podcast;
RESUMINDO:
quando for preciso 
se fazer um resumo 
acumulativo das últi-
mas abordagens;
ATIVIDADES: 
quando alguma 
atividade de au-
toaprendizagem for 
aplicada;
TESTANDO:
quando o desen-
volvimento de uma 
competência for 
concluído e questões 
forem explicadas;
SUMÁRIO
Conceito de Tensão e problemas resolvidos ................................. 10
Conceitos importantes ................................................................................................................10
Cargas externas .............................................................................................................10
Reações de apoio .........................................................................................................11
Corpos tendem ao equilíbrio ............................................................................... 12
Cargas resultantes internas .................................................................................. 13
Introdução à tensão ....................................................................................................................... 15
Conceito de deformação e problemas resolvidos ........................ 19
Estado geral de tensão ............................................................................................................... 19
Tensão normal média .................................................................................................................. 20
Distribuição da tensão normal média e o equilíbrio ..............................................22
Tensão de cisalhamento ............................................................................................................24
Deformação .........................................................................................................................................25
Deformação elástica ..................................................................................................27
Deformação plástica ..................................................................................................27
Nomenclatura das deformações ......................................................................27
Conceito de carga axial e problemas resolvidos...........................29
Deformação elástica de um elemento sujeito à carga axial ...........................32
Carga constante ............................................................................................................33
Convenção de sinais ..................................................................................................34
Cargas combinadas e problemas resolvidos ..................................38
Vasos de pressão com paredes finas .............................................................................. 38
Vasos cilíndricos .......................................................................................................... 39
Vasos esféricos .............................................................................................................. 41
Tensão causada por cargas combinadas ......................................................................42
7
UNIDADE
02
Resistência dos Materiais
8
INTRODUÇÃO
Neste capítulo iremos ampliar nossos conhecimentos na área de 
resistência dos materiais.
Iniciaremos aprendendo sobre a tensão e seu conceito, vendo 
seus efeitos práticos sobre os materiais e situações reais onde ela atua.
Em seguida, continuaremos nosso estudo conceituando o que é 
deformação dos materiais e entenderemos como e onde ela atua na 
prática.
Também veremos a definição e o conceito de carga axial, 
entenderemos o que é ela e como está presente em diferentes 
situações. Também entenderemos como é seu efeito sob um material 
exposto a ela.
Para finalizar, iremos compreender o conceito de cargas 
combinadas, como elas atuam sobre os materiais e quais os seus 
efeitos, onde podemos encontra-las e como mensura-la!
Bastante informação, não é mesmo? Vamos em frente ampliando 
nossos conhecimentos!
Resistência dos Materiais
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OBJETIVOS
Olá. Seja muito bem-vindo à Unidade 02. Nosso objetivo é auxiliar 
você no desenvolvimento das seguintes competências profissionais até o 
término desta etapa de estudos:
1. Definir o conceito de tensão, entendendo e seus efeitos práticos 
nos materiais.
2. Compreender o conceito e os efeitos práticos da deformação nos 
materiais.
3. Discernir sobre os efeitos da carga axial nos materiais, definindo 
seu conceito.
4. Entender a combinação das cargas em materiais, definindo o 
conceito de cargas combinadas e mensurando seus efeitos sobre 
os diversos tipos de materiais.
Ficou curioso? Está pronto para entrar no aprendizado dessa área 
de conhecimento?Gosto de pensar que cada área de conhecimento que 
dominamos muda a forma como vemos o mundo! Vamos em frente.
Resistência dos Materiais
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Conceito de Tensão e problemas resolvidos 
OBJETIVO:
Neste capítulo iremos aprender conceitos importantes 
sobre a área da estática da física. Assim, estaremos prontos 
para entender o que é a tensão estudada em resistência 
dos materiais. Bastante interessante não é mesmo? Então 
vamos em frente.
Conceitos importantes
Antes de iniciarmos o estudo do conceito de tensão, vamos ver 
alguns outros conceitos pertencentes ao ramo da estática na física que 
irão servir de base para estudarmos o conceito de tensão.
Cargas externas
Aqui vamos chamar de corpos as peças ou objetos que iremos 
analisar. Quando analisamos sujeito a cargas externas, o mesmo pode ser 
submetido a diversos tipos dessas cargas. Elas podem ser classificadas 
como uma força superficial ou força de corpo.
 • Forças de superfície - De acordo com o nome, as forças de 
superfície ocorrem pelo contato direto de um corpo com a superfície 
de outro corpo, essas forças se distribuem pela área de contato entre 
os corpos. Quando a comparação da área em relação à superfície 
total do corpo for pequena, podemos considerar força de superfície 
como uma única força concentrada, aplicada a um ponto do corpo. 
Podemos citar como exemplo, a força do solo sobre as rodas de 
uma bicicleta que é considerada uma força concentrada quando 
analisamos a carga que age sobre a bicicleta. Quando aplicamos 
uma carga de superfície ao longo de uma área estreita, a mesma 
pode ser idealizada como uma carga distribuída linear, w(s). Nesse 
caso, a carga é medida como se tivesse uma intensidade de força em 
um comprimento ao longo da área e é representada graficamente 
por uma série de setas ao longo da linha s. A força resultante FR de 
Resistência dos Materiais
11
w(s) é equivalente à área sobre a carga distribuída e essa resultante 
age no centro geométrico dessa área C. Como exemplo desse tipo 
de força aplicada ao longo de uma linha, podemos citar a carga ao 
longo do comprimento de uma viga. Analise a figura para identificar a 
força em ponto e em linha.
Figura 1- Exemplo de representação de forças em um corpo
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 02).
 • Força de corpo - A força de corpo é encontrada quando um corpo 
exerce força sobre outro, sem contato físico direto entre eles. 
Temos como exemplo desse tipo de força os efeitos causados 
pela força gravitacional da Terra ou seu campo eletromagnético. 
Mesmo que as forças de corpo afetem cada uma das partículas 
que compõem o corpo em análise, elas normalmente são 
representadas por uma única força concentrada que age sobre 
ele. No estudo da gravidade, essa força é chamada de peso do 
corpo e atua no centro de gravidade do corpo em análise.
Reações de apoio
Normalmente, as forças de superfície que atuam nos apoios entre 
corpos são chamadas de reações. Quando estamos analisando corpos 
sujeitos a forças em um mesmo plano, isso chama-se análise em duas 
dimensões. Os tipos mais comuns de apoio podem ser visualizados na 
figura 2:
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Figura 2 - Exemplo de tipos de apoios entre corpos
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 03).
Observe os símbolos usados para representar os tipos de apoio 
das reações que cada corpo exerce sobre o elemento de contato. Em 
geral, podemos determinar o tipo de reação do apoio imaginando que 
o elemento a ele acoplado está em movimento ou está girando em 
uma determinada direção. Se o apoio impedir o movimento em uma 
determinada direção, uma força deve ser representada no elemento 
naquela direção. Da mesma forma, se o apoio impedir a rotação, um 
momento deve ser exercido no elemento. 
Por exemplo, um apoio de rolete só pode impedir o movimento 
na direção do contato, perpendicular à superfície. Por consequência, o 
rolete exerce uma força F sobre o elemento no ponto de contato. Como 
o elemento pode girar livremente ao redor do rolete, não se desenvolve 
um momento sobre ele.
Corpos tendem ao equilíbrio
O equilíbrio de um corpo exige o equilíbrio de forças, para impedir 
a translação ou um movimento acelerado do corpo ao longo de uma 
trajetória reta ou curva e um equilíbrio de momentos, para impedir que 
o corpo gire. Essas condições podem ser expressas matematicamente 
pelas duas equações vetoriais a seguir:
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∑F = 0   Somatório das forças igual a zero.
∑Mo = 0   Somatório dos momentos igual a zero.
Nessas fórmulas, ∑F representa a soma de todas as forças que agem 
sobre o corpo e ∑Mo é a soma dos momentos de todas as forças em torno de 
qualquer ponto O dentro ou fora do corpo. Na prática da engenharia, muitas 
vezes a carga sobre um corpo pode ser representada como um sistema de 
forças coplanares. Se for esse o caso e se as forças se encontrarem no plano 
x – y, então as condições de equilíbrio do corpo podem ser especificadas 
apenas por três equações de equilíbrio escalares, sendo elas:
∑Fx = 0〗
∑Fy = 0〗
∑Mo = 0〗
Nesse caso, se o ponto O for a origem das coordenadas, então os 
momentos estarão sempre dirigidos ao longo do eixo z, perpendicular 
ao plano que contém as forças. A aplicação correta das equações de 
equilíbrio exige a especificação completa de todas as forças conhecidas 
ou desconhecidas que agem sobre o corpo. 
Cargas resultantes internas
Uma aplicação da estática na análise de situações em resistência 
dos materiais é determinar a força e o momento resultantes que atuam 
no interior de um corpo e que são necessários para manter a integridade 
dele quando submetido a cargas externas. 
Figura 3 - Exemplo de forças atuando em um corpo
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 04).
Resistência dos Materiais
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Podemos ver na figura um corpo mantido em equilíbrio pelas quatro 
forças externas (1). Para obtenção das cargas internas que agem sobre uma 
região específica no interior de um corpo, é necessário usar o método das 
seções. Nesse método é feita uma seção ou “corte” imaginário passando 
pela região onde as cargas internas deverão ser determinadas. Então, 
as duas partes do corpo são separadas e o diagrama de corpo livre de 
uma das partes é desenhado (2). Podemos ver que há, na verdade, uma 
distribuição de força interna agindo sobre a área “exposta” da seção. Essas 
forças representam os efeitos do material que está na parte superior do 
corpo agindo no material na parte inferior.
Embora a distribuição exata da carga interna seja desconhecida, 
podemos usar as equações de equilíbrio para relacionar as forças externas 
sobre o corpo com a força e o momento resultantes da distribuição, FR 
e MRO, em qualquer ponto específico O na área secionada. Essas forças 
são desenhadas e representas pelos vetores MRO, FR, F1 e F2, (3). Observe 
que FR age no ponto O, embora seu valor calculado não dependa da 
localização desse ponto. Por outro lado, MRO depende dessa localização, 
pois os braços do momento devem se estender de O até a linha de ação 
de cada força externa no diagrama de corpo livre. Além disso, se um 
elemento for longo e delgado, como no caso de uma haste ou viga, a 
seção considerada será perpendicular ao eixo longitudinal do elemento. 
Essa seção é denominada seção transversal.
 • Força de cisalhamento, V - A força de cisalhamento encontra-
se no plano da área e é desenvolvida quando as cargas externas 
tendem a provocar o deslizamento de um dos segmentos do 
corpo sobre o outro.
 • Momento de torção ou torque, T - Esse efeito é desenvolvido 
quando as cargas externas tendem a torcer um segmento do 
corpo com relação ao outro.
 • Momento fletor, M - O momento fletor é causado pelas cargas 
externas que tendem a fletir o corpo em torno de um eixo que se 
encontra no plano da área. 
 • Cargas coplanares. Se o corpo for submetido a um sistema de 
forças coplanares, então haverá na seção apenas componentes 
da forçanormal, força de cisalhamento e momento fletor. 
Resistência dos Materiais
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Figura 4 - Exemplo de forças coplanares atuando em um corpo
 Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 04).
Se usarmos os eixos coordenados x, y, z com origem no ponto O, 
como mostrado no segmento à esquerda, então a solução direta para Força 
N pode ser obtida aplicando-se ∑Fx = 0, e V pode ser obtida diretamente de 
∑Fy = 0. Por fim, o momento fletor MO pode ser determinado diretamente 
pela soma dos momentos em torno do ponto O, o eixo z), ∑Mo = 0 de modo 
a eliminar os momentos causados pelas forças desconhecidas N e V. 
Agora que vimos os conceitos da estática que explicam e 
representam como as forças atuam internamente em um corpo, vamos 
seguir nossos estudos e entender o conceito de tensão.
Introdução à tensão
Determinar a distribuição das cargas internas de um material que 
está sobre a atuação de uma força é muito importante para o estudo de 
resistência dos materiais. Para entendermos essa distribuição, vamos ver 
agora o conceito de tensão.
A unidade, utilizada no Sistema Internacional de medidas (SI) para 
tensão é o pascal (Pa), que representa a medida de força por unidade 
de área. Lembrem-se de não confundir tensão com pressão, já que são 
expressas com a mesma unidade de medida.
Na Engenharia, geralmente, mede-se tensão em megapascals 
(Mpa) ou gigapascals (GPa). No Sistema Internacional de Unidades, um 
pascal (1 Pa) equivale à aplicação de um newton por metro quadrado 
(1 N/m²).
A tensão é classificada em três tipos, dependendo da direção e dos 
efeitos provenientes da aplicação da força, são eles: 
Resistência dos Materiais
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 • De tração. 
 • De compressão.
 • De cisalhamento.
Considere que a área secionada da figura 5, está subdividida em 
pequenas áreas, como a área A, demonstrada em tom mais escuro em 1). 
À medida que reduzimos A a um tamanho cada vez menor, precisamos 
adotar duas premissas em relação às propriedades do material. 
Consideraremos que o material é contínuo, possui continuidade ou 
distribuição uniforme de matéria sem vazios, em vez de ser composto por 
um número finito de moléculas ou átomos distintos. Além disso, o material 
deve ser coeso, isso significa que todas as suas porções estão muito bem 
interligadas, sem trincas ou separações. Uma força típica ∆F, porém muito 
pequena, agindo sobre a área ∆A à ela associada está representada em 2). 
Figura 5 - Exemplo de forças coplanares atuando em um corpo
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 14).
Essa força, como todas as outras, terá uma direção única, mas, 
em nossa discussão, nós a substituiremos por suas três componentes, a 
saber, ∆Fx, ∆Fy, ∆Fz, tangentes e normais à área, respectivamente.
À medida que a área ∆A tende a zero, o mesmo ocorre com a força 
∆F e suas componentes. Normalmente, o quociente entre a força e a área 
tenderá a um limite finito. Esse quociente é denominado tensão e ele 
descreve a intensidade da força interna sobre um plano específico (área) 
que passa por um ponto.
Resistência dos Materiais
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 • Tensão normal. A intensidade da força ou força por unidade de 
área, que age perpendicularmente à ∆A é definida como tensão 
normal, σ (sigma). Se a força normal ou tensão tracionar o elemento 
de área ∆A, como mostra a figura 5 (2), ela será denominada 
tensão de tração, ao passo que, se comprimir o elemento ∆A, será 
chamada de tensão de compressão.
 • Tensão de cisalhamento. A intensidade da força, ou força por 
unidade de área, que age tangente a ∆A, é denominada tensão de 
cisalhamento, T (tau).
Figura 6 - Exemplo de forças coplanares atuando em um corpo
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 15).
Observe que a notação do índice z em σ 〗z é usada para indicar a 
direção da reta normal dirigida para fora, que especifica a orientação da 
área ∆A. São usados dois índices para as componentes da tensão de 
cisalhamento, Tzx e Tzy. O eixo z especifica a orientação da área x e y que 
referem-se às retas que indicam a direção das tensões de cisalhamento.
Resistência dos Materiais
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RESUMINDO:
E então? Aprendeu tudo o que lhe ensinamos até aqui? 
Nesse capítulo iniciamos introduzindo conceitos da estática 
para criarmos uma base e entrarmos no conceito de tensão 
estudada em resistência dos materiais. Nos conceitos de 
estática, vimos as cargas internas onde estudamos as 
forças de superfície e a força de corpo. Seguimos com a 
aprendizagem das reações de apoio, equilíbrio dos corpos 
e as cargas resultantes internas.Nas cargas resultantes 
internas falamos sobre a força de cisalhamento, o momento 
de torção ou torque, momento fletor e as cargas coplanares. 
Após o estudo sobre os conceitos da estática, partimos 
para a tensão. Vimos que a tensão é um quociente entre 
área e força, que descreve a intensidade da força interna 
sobre um plano específico (área) que passa por um ponto. 
Bastante coisa não é mesmo? A área de resistência dos 
materiais realmente possuiu bastante conteúdo e muita 
física. Vamos em frente ampliando nossos conhecimentos!
Resistência dos Materiais
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Conceito de deformação e problemas 
resolvidos
OBJETIVO:
Nesse capítulo continuaremos estudando a tensão, 
entenderemos o que é o estado geral da tensão e um caso 
de estudo de tensão em uma barra com carga axial (no 
sentido do maior eixo da peça).
Em seguida, entraremos no conceito de deformação, fenômeno 
bastante comum aos corpos sujeitos a esforços que comprometem sua 
integridade física. Vamos em frente!
Mas, antes de entrarmos no conceito de deformação vamos finalizar 
o estudo na área de tensão.
Estado geral de tensão
Continuando nossa análise da tensão no corpo, vamos seccionar 
ainda mais o corpo por planos paralelos ao plano x – z e pelo plano y – z, 
assim poderemos “cortar” um cubo de volume de material que representa 
o estado de tensão que age em torno do ponto escolhido no corpo. 
Figura 7 - Exemplo de cubo cortado do corpo em análise 
e representação das forças exercidas em suas faces
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 15).
Resistência dos Materiais
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Assim, esse estado de tensão é caracterizado por três componentes 
que agem em cada face do elemento. Essas componentes da tensão 
descrevem o estado de tensão no ponto somente para o elemento 
orientado ao longo dos eixos x, y, z. Se o corpo fosse secionado em um 
cubo que tivesse alguma outra orientação, o estado de tensão seria 
definido por um conjunto diferente de componentes de tensão. 
No Sistema Internacional de Unidades de Medidas, ou Sistema SI, os 
valores da tensão normal e da tensão de cisalhamento são especificadas 
nas unidades básicas de newtons por metro quadrado (N/m2). Essa 
unidade, denominada 1 pascal (1 Pa = 1 N/m2), é muito pequena e, em 
trabalhos de engenharia, são usados prefixos como quilo (10³), simbolizado 
por k, mega (106), simbolizado por M ou giga (109), simbolizado por G, para 
representar valores de tensão maiores, mais realistas (HIBBELER, 2014).
Tensão normal média
Vamos analisar a tensão normal média em uma barra com carga 
axial. Em várias situações elementos estruturais ou mecânicos são 
compridos e delgados, podemos citar como exemplo os eixos. Esses 
elementos estão sujeitos a cargas axiais que normalmente são aplicadas 
às extremidades do elemento. Eixos, parafusos e elementos de treliças 
são alguns exemplos. Agora vamos determinar a distribuição de tensão 
média que age na seção transversal de uma barra com carga axial. Essa 
seção define a área da seção transversal da barra e, como todas as outras 
seções transversais são iguais, a barra é denominada prismática. Então, 
se desprezarmos o peso da barra e da seção conforme indicado, para o 
equilíbrio do segmento inferior, a força resultante interna que age na área 
da seção transversal deve ter valor igual, direção oposta e ser colinear à 
força externa que age na parte inferior da barra.
Resistência dos Materiais
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Figura 8 - Exemplo de tensões emuma seção transversal em uma barra com carga axial
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 16).
Antes de entendermos como funciona a distribuição da tensão 
média que age sobre a área da seção transversal da barra, é necessário 
adotar duas premissas que irão simplificar a descrição do material e a 
aplicação específica da carga. 
1. A barra deve permanecer reta, antes e depois da aplicação da 
carga. É necessário que a seção transversal permaneça achatada 
ou plana durante a deformação (durante o tempo em que ocorrer 
a mudança no volume e na forma da barra). Mantendo essas 
premissas, as linhas horizontais e verticais da grade aplicada à 
barra irão deformar uniformemente quando a barra for submetida 
à carga. Podemos ver esse exemplo na figura 8. 
As regiões da barra próximas às suas extremidades não são 
consideradas pois nessas regiões, a aplicação das cargas externas pode 
provocar distorções localizadas. Em vez disso, iremos analisar somente a 
distribuição de tensão no interior da seção média da barra.
2. Para que a barra sofra uma deformação uniforme é preciso que a força 
P seja aplicada ao longo do eixo e no centro da seção transversal. 
Também é necessário que o material seja homogêneo e isotrópico. 
Os materiais homogêneos têm as mesmas propriedades físicas e 
mecânicas em todo o seu volume já os materiais isotrópicos têm 
as mesmas propriedades em todas as direções. Diversos materiais 
Resistência dos Materiais
22
de engenharia podem ser considerados homogêneos e isotrópicos 
por aproximação. Podemos citar como exemplo o aço, que contém 
milhares de cristais orientados aleatoriamente em cada milímetro 
cúbico de seu volume e na maioria dos problemas que utilizam esse 
material há um tamanho físico muito maior do que um único cristal. 
Quando adotamos a pressa de matéria homogênea e isotrópica em 
relação à composição desse material ela é bem realista. Entretanto, 
devemos citar que o aço pode ser transformado em anisotrópico 
quando executada uma laminação a frio (se for laminado ou forjado 
em temperaturas subcríticas). Os materiais anisotrópicos têm 
propriedades diferentes em direções diferentes e, mesmo nesses 
materiais, se a anisotropia for orientada ao longo do eixo da barra, 
também podemos considerar que barra se deformará uniformemente 
quando sujeita a uma carga axial. Podemos citar como exemplo, a 
madeira, devido a seus grãos ou fibras. É um material de engenharia 
homogêneo e anisotrópico. Possui uma orientação padronizada de 
suas fibras, podendo ser orientadas ao longo do eixo e para efeitos 
de cálculos e análises a madeira é tida como isotrópico.
Distribuição da tensão normal média e o 
equilíbrio
Considerando que a barra esteja sujeita a uma deformação 
uniforme e constante, tal deformação é o resultado de uma tensão normal 
constante σ (sigma). 
Figura 9 - Exemplo de tensão média que age na área da seção transversal da barra
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 16).
Resistência dos Materiais
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O resultado é que cada área ∆A na seção transversal está submetida 
a uma força ∆F = σ∆A e a soma dessas forças que agem em toda a área 
da seção transversal deve ser equivalente à força resultante interna P na 
seção. Assim temos:
σ = P/A
σ = tensão normal média em qualquer ponto na área da seção 
transversal.
P = força normal interna resultante, que é aplicada no centro da área 
da seção transversal. 
A = área da seção transversal da barra.
Para a análise do equilíbrio, é preciso que exista somente uma 
tensão normal nos elementos de volume de material localizado em cada 
ponto da seção transversal de uma barra com carga axial.
Isso significa que as duas componentes da tensão normal no 
elemento devem ter valores iguais, mas direções opostas, o que é 
denominado tensão uniaxial. A análise anterior aplica-se a elementos 
sujeitos à tensão ou compressão. Temos o exemplo na figura 10. 
Figura 10 - Exemplo de elementos sujeitos à tensão ou compressão
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 17).
Pela análise e interpretação gráfica, a amplitude da força resultante 
e interna P é equivalente ao volume no diagrama de tensão, essa condição 
nos da: P = 〗σA (volume = altura × base). Como consequência do equilíbrio de 
Resistência dos Materiais
24
momentos, essa resultante irá pelo centro desse volume. Na análise que 
estamos fazendo, a força interna P e a área da seção transversal A eram 
constantes ao longo de todo o eixo longitudinal da barra e, sendo assim, 
a tensão normal σ = P/A também é constante em todo o comprimento 
da barra. Porém, pode acontecer da barra estar sujeita a várias cargas 
externas ao longo de seu eixo ou pode ter uma mudança em sua área da 
seção transversal. O resultado é que a tensão normal no interior da barra 
poderia ser diferente de uma seção para outra e, se quisermos determinar 
a tensão normal média máxima, torna-se importante determinar o lugar 
onde a razão P/A terá seu valor máximo. Assim, é necessário acharmos a 
força interna P em várias seções ao longo da barra. Nessa situação seria 
interessante mostrar essa variação utilizando um diagrama de força axial 
ou normal. Esse diagrama é uma representação gráfica da força normal 
P em relação à posição x em todo o comprimento da barra. Devido à 
convenção de sinais, P será positiva se causar tração no corpo e negativa 
se causar compressão. Após determinarmos a carga interna em toda a 
barra, a razão P/A máxima pode ser encontrada.
Tensão de cisalhamento
A tensão de cisalhamento é a componente da tensão que atua 
no plano da área secionada. Para entendermos como essa tensão pode 
atuar, vamos analisar o efeito de uma força F aplicada a uma barra. Em 
uma condição com apoios rígidos e F grande o bastante, o material da 
barra irá sofrer deformação e romper ao longo dos planos identificados 
por AB e CD. Um diagrama de corpo livre do segmento central, parte não 
apoiada, da barra mostra que a força de cisalhamento V = F/2 deve ser 
aplicada a cada seção para manter o segmento em equilíbrio. 
Figura 11 - Exemplo de aplicação de força em barra e 
diagrama de corpo livre em segmento central não apoiado
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 21).
Resistência dos Materiais
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A tensão de cisalhamento média distribuída sobre cada área 
secionada que desenvolve essa força de cisalhamento é expressa por:
τméd = V/A
τméd = tensão de cisalhamento média na seção, que consideramos 
ser a mesma em cada ponto localizado na seção.
V = força de cisalhamento interna resultante na seção determinada 
pelas equações de equilíbrio.
A = área na seção.
Podemos observar a ação da distribuição da tensão de cisalhamento 
média sobre as seções na figura 11. Observe que τméd está na mesma direção 
de V, uma vez que a tensão de cisalhamento deve criar forças associadas 
e que todas elas contribuem para a força resultante interna V na seção 
analisada. A situação de aplicação de carga que estamos analisando, é um 
exemplo de cisalhamento simples ou direto. O cisalhamento é causado 
pela ação direta da carga aplicada F. Esse tipo de cisalhamento ocorre 
com frequência em diversos tipos de acoplamentos simples que utilizam 
parafusos, pinos, material de solda entre outros (HIBBELER, 2014).
Deformação
Quando uma força é aplicada a um corpo, ela tende a mudar 
a forma e o tamanho do corpo. Essas mudanças são chamadas de 
deformações e podem ser visíveis ou praticamente imperceptíveis se 
não forem utilizados equipamentos capazes de realizar medidas precisas. 
Por exemplo, uma tira de borracha sofrerá uma grande deformação 
quando esticada. Por outro lado, os elementos estruturais de um edifício 
sofrem apenas leves deformações quando há muitas pessoas andando 
dentro dele. Também pode ocorrer deformação em um corpo quando há 
mudança de temperatura. Um exemplo típico é a expansão ou contração 
térmica de um telhado causada pelas condições atmosféricas. 
A deformação de um corpo não será uniformeem todo o seu 
volume, sendo assim, a mudança na geometria de cada segmento de 
reta no interior do corpo pode variar ao longo de seu comprimento. Por 
Resistência dos Materiais
26
exemplo, uma parte da reta pode se alongar, ao passo que outra porção 
pode se contrair. Se considerarmos segmentos de reta cada vez mais 
curtos, eles ficarão aproximadamente mais retos após a deformação. 
Portanto, para um estudo mais uniforme das mudanças provocadas pela 
deformação, consideraremos que as retas são muito curtas e localizadas na 
vizinhança de um ponto. Assim, percebemos que o tamanho da mudança 
em qualquer segmento de reta localizado em um ponto distinto do corpo 
será diferente da deformação observada em qualquer outro ponto. Além 
disso, essas mudanças também dependem da orientação do segmento 
de reta no ponto em questão. Por exemplo, um segmento de reta pode se 
alongar se estiver orientado em uma direção, ao passo que pode contrair-
se, caso esteja orientado em outra direção (HIBBELER, 2014).
A deformação consiste na Modificação da forma de um corpo. Essa 
variação pode simplesmente alterar a forma do corpo em questão ou atingir 
o ponto de desfiguração da forma inicial. Na deformação do corpo tem-
se apenas a modificação de sua forma. Logo, na deformação não ocorre 
o rompimento do material, somente a sua transformação. A deformação 
pode ser um problema, quando essa é indesejada em um corpo. 
Exemplo: Quando se encontra numa porta de metal e a folha de 
aço se amassa com a força aplicada ou a batida de um automóvel, entre 
outros.
No entanto, existem casos que a deformação de um material é 
desejada e/ou provocada. Por exemplo, os contornos e os vincos criados 
na lataria de um automóvel por uma prensa, a dobra de materiais para a 
criação de um perfil, entre outros. 
Analisando dessa forma, a deformação pode assumir papéis 
distintos em um corpo: destrutivo ou construtivo (conformação) (BUENO; 
VENTAVOLI, 2016).
A Deformação, também, pode ser classificada como sendo: 
 • Deformação Elástica. 
 • Deformação Plástica.
Resistência dos Materiais
27
Deformação elástica
Na deformação elástica, o componente sofre a ação de uma ou 
várias forças e se expandem, ou contraem dependendo do sentido da 
força, mas ele retorna à sua forma original, quando deixa de existir a força 
ou conjunto de forças aplicadas. Deste modo, a deformação é transitória.
Deformação plástica
Com a deformação plástica, o componente sofre a ação de uma 
ou várias forças e se expande (ou contrai). Contudo ele permanece nessa 
condição mesmo após a retirada da força deformadora. Desse modo, a 
deformação é permanente.
O excesso na deformação plástica pode fragilizar o material. Nesse 
processo, ocorre o deslocamento excessivo das moléculas, pois o corpo 
não suportou tamanha solicitação, tornando-se frágil, ou seja, mole ou 
quebradiço. (BUENO; VENTAVOLI, 2016)
Nomenclatura das deformações
A deformação de um corpo pode ser representada através de 03 
(três) métodos: 
 • Alongamento Total - Analisa toda a variação do componente. 
Nesse caso, se mede o corpo no início e no término do teste.
Figura 12 - Exemplo de alongamento total
Fonte: Adaptado de Bueno e Ventavoli (2016, p. 1271).
 • Alongamento Unitário - Analisa a variação de comprimento numa 
parte do corpo. Nesse caso, se avalia o alongamento de uma 
região determinada do corpo.
Resistência dos Materiais
28
 • Alongamento Percentual - É a variação de cada unidade transcrita 
em porcentagem.
RESUMINDO:
Conseguiu aprender todo conteúdo? Bastante informação 
não é mesmo? Aposto que você nem se dava conta de 
como a tensão e a deformação estão tão presentes em 
nosso dia a dia. Nesse capítulo você aprendeu sobre tensão 
normal média e como ela se comporta em um corpo. Foi 
possível definir a tensão em: 
σ = P/A 
〗σ = tensão normal média em qualquer ponto na área da 
seção transversal.
P = força normal interna resultante, que é aplicada no centro 
da área da seção transversal. 
A = área da seção transversal da barra.
Essa fórmula nos permite expressar a tensão em números 
ao longo de um corpo. Depois entramos no conceito de 
deformação, onde vimos a deformação plástica que 
modifica o tamanho de um corpo que não retorna ao seu 
tamanho inicial. Também aprendemos sobre a deformação 
elástica, onde o corpo que sofreu uma variação em seu 
tamanho retorna ao tamanho inicial assim que a força 
atuante cessar. Muito interessante não é mesmo? Vamos 
em frente!
Resistência dos Materiais
29
Conceito de carga axial e problemas 
resolvidos
OBJETIVO:
Neste capítulo iremos entender e aprender sobre a carga 
axial, como ela atua sobre os corpos e como os corpos se 
comportam quando estão sujeitos a esse tipo de carga. 
Também veremos como calcular a deformação sofrida por 
um corpo sujeito a uma carga axial. Pronto para entender 
mais essa parte da área de conhecimento de resistência 
dos materiais? Então vamos em frente!
O conceito de tensão é apresentado como um meio para medir a 
distribuição de força no interior de um corpo e o conceito de deformação 
como um meio para medir a deformação geométrica de um corpo. 
A relação matemática entre tensão e deformação depende do tipo de 
material do qual o corpo é feito. Em particular, se o material se comportar 
de maneira linear elástica, a lei de Hooke será aplicável e haverá uma 
relação proporcional entre tensão e deformação. Com essa ideia em 
mente, considere o modo como uma barra retangular se deforma 
elasticamente quando submetida a uma força P aplicada ao longo do eixo 
em seu centro. 
Figura 13 - Exemplo de alongamento total
 Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 86).
Resistência dos Materiais
30
Na figura 13, a barra está presa a um apoio em uma de suas 
extremidades, e a força é aplicada em um furo na outra extremidade. 
Devido ao carregamento, a barra deforma-se como indicam as distorções 
das linhas da grade desenhada sobre a barra, que antes eram horizontais 
e verticais.
Observe a deformação localizada que ocorre em cada extremidade. 
Esse efeito tende a diminuir conforme as medições são feitas cada vez 
mais distante das extremidades. Além disso, as deformações vão se 
nivelando e tornam-se uniformes em toda a seção média da barra. Visto 
que a deformação está relacionada com a tensão no interior da barra, 
podemos afirmar que a tensão será distribuída mais uniformemente 
por toda a área da seção transversal se um corte for feito em uma 
seção distante do ponto onde a carga externa é aplicada. Por exemplo, 
considere um perfil da variação da distribuição de tensão que age nas 
seções a–a, b–b e c–c. Comparando as curvas, a tensão quase alcança 
um valor uniforme na seção c–c, que está suficientemente afastada da 
extremidade. Em outras palavras, a seção c–c está longe o suficiente 
do ponto de aplicação de P, de tal modo que a deformação localizada 
provocada por P seja desprezível. 
A distância mínima em relação à extremidade da barra onde isso 
ocorre, pode ser determinada por meio de uma análise matemática 
baseada na teoria da elasticidade. Como regra geral, que também se 
aplica a muitos outros casos de carregamento e geometria de elementos 
estruturais, podemos considerar que essa distância é, no mínimo, igual à 
maior dimensão da seção transversal carregada. 
Em consequência, no caso da barra que estamos analisando, a seção 
c–c deve estar localizada a uma distância no mínimo igual à largura e não 
à espessura da barra. Essa regra se baseia na observação experimental do 
comportamento do material e somente em casos especiais, como o que 
acabamos de discutir, ela foi validada matematicamente. 
Também devemos observar que essa regra não se aplica a todos 
os tipos de elementos e casos de carregamento. Por exemplo, elementos 
estruturais de paredes finas submetidos a carregamentos que provocam 
grandes deflexões podem criar tensões e deformações localizadas que 
Resistência dos Materiais31
têm influência a uma distância considerável do ponto de aplicação da 
carga. Observe, na figura 10 no corte da seção a-a, como o apoio impede a 
redução da largura da barra, o que deveria ocorrer devido ao alongamento 
lateral da barra. Isso é uma consequência do “efeito de Poisson”. Contudo, 
por esse mesmo argumento, poderíamos demonstrar que a distribuição 
de tensão no apoio também se nivelará e se tornará uniforme em toda a 
seção transversal a uma curta distância do apoio e mais, a amplitude da 
força resultante criada por essa distribuição de tensão deve ser igual a P 
também. 
O fato da tensão e a deformação comportarem-se dessa maneira 
é denominado princípio de Saint-Venant, visto que foi observado pela 
primeira vez pelo cientista francês Barré de Saint-Venant, em 1855. Em 
essência, esse princípio afirma que a tensão e a deformação produzidas 
em pontos de um corpo suficientemente distante da região da aplicação 
da carga serão iguais à tensão e à deformação produzidas por quaisquer 
carregamentos aplicados que tenham a mesma resultante estaticamente 
equivalente e sejam aplicados ao corpo dentro da mesma região. Por 
exemplo, se duas forças P/2 aplicadas simetricamente agirem sobre a 
barra, a distribuição de tensão na seção c–c, que é suficientemente 
afastada dos efeitos localizados dessas cargas, será uniforme e, portanto, 
equivalente a σméd = P/A como antes. 
Resumindo, não precisamos mais considerar as distribuições de 
tensão que podem se desenvolver nos pontos de aplicação de carga ou 
em apoios quando estudarmos a distribuição de tensão em um corpo com 
seções bastante afastadas dos pontos de aplicação de carga. O princípio 
de Saint-Venant mostra que os efeitos localizados, causados por uma 
carga que atua sobre um corpo serão dissipados em regiões bastante 
afastadas do ponto de aplicação da carga. Sendo assim, a distribuição de 
tensão resultante nessas regiões será a mesma que a causada por outra 
carga estaticamente equivalente aplicada ao corpo dentro da mesma 
área localizada (HIBELER, 2014).
Resistência dos Materiais
32
Deformação elástica de um elemento 
sujeito à carga axial
Usando a lei de Hooke e as definições de tensão e deformação, 
vamos analisar a deformação elástica de um elemento submetido a 
cargas axiais. 
Figura 14 - Exemplo de barra sujeita a forças e diagrama de corpo livre da mesma
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 87).
Para generalizar o desenvolvimento, considere a barra mostrada 
na figura 14 (a), cuja área de seção transversal varia gradativamente ao 
longo de seu comprimento L. A barra está sujeita a cargas concentradas 
em suas extremidades e a uma carga externa variável distribuída ao 
longo de seu comprimento. Essa carga distribuída poderia, por exemplo, 
representar o peso de uma barra vertical ou forças de atrito que agem 
sobre a superfície da barra. Aqui, queremos determinar o deslocamento 
relativo d (delta) de uma das extremidades da barra em relação à outra 
extremidade, causada por esse carregamento. Na análise a seguir, 
desprezaremos as deformações localizadas que ocorrem em pontos de 
carregamento concentrado e nos locais em que a seção transversal muda 
repentinamente. Esses efeitos ocorrem no interior de pequenas regiões do 
comprimento da barra e, portanto, terão somente um leve efeito sobre o 
resultado final. Na maioria dos casos, a barra se deformará uniformemente, 
de modo que a tensão normal será uniformemente distribuída na seção 
transversal. Usando o método das seções, isolamos um elemento 
diferencial da barra de comprimento dx e a área de seção transversal A(x) 
em uma posição arbitrária x. O diagrama de corpo livre desse elemento 
é mostrado na figura 14 (b). A força axial interna resultante é representada 
por P(x), já que o carregamento externo fará com que ela varie ao longo 
do comprimento da barra. Essa carga, P(x), deformará o elemento até a 
Resistência dos Materiais
33
forma indicada pela linha tracejada e, portanto, o deslocamento de uma 
das extremidades do elemento em relação à outra extremidade será d 
(HIBELER, 2014).
Carga constante
Em muitos casos, a barra terá uma área de seção transversal 
constante A e o material será homogêneo, de modo que o módulo de 
elasticidade do material é constante. Além do mais, se uma força externa 
constante for aplicada a cada extremidade, conforme a figura 15, então a 
força interna P também será constante em todo o comprimento da barra.
Figura 15: Exemplo de força constante aplicada a uma barra
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 87).
Podemos expressar essa situação através da equação:
δ = PL/AE
δ = deslocamento de um ponto na barra relativo a um outro ponto.
L = distância original entre os pontos.
P = força axial interna na seção, localizada à distância x de uma 
extremidade.
A = área da seção transversal da barra, expressa em função de x.
E = módulo de elasticidade para o material.
Se a barra for submetida a várias forças axiais diferentes, ou se a área 
da seção transversal ou o módulo de elasticidade mudar repentinamente 
de uma região da barra para outra, a equação acima poderá ser aplicada a 
cada segmento da barra. Então, o deslocamento de uma extremidade da 
barra em relação à outra é determinado pela adição dos deslocamentos 
das extremidades de cada segmento. Assim podemos representar a 
fórmula como: 
Resistência dos Materiais
34
δ = ∑ PL/AE
Onde a somatório (HIBELER, 2014).
Convenção de sinais
Para utilizarmos a equação que vimos sobre carga constante, temos 
que criar uma convenção de sinal para a força axial interna e o deslocamento 
de uma extremidade da barra em relação à outra extremidade. Para tanto, 
consideraremos que ambos, força e deslocamento, são positivos se 
provocarem tração e alongamento ao contrário. Força e deslocamento 
negativos causarão compressão e contração. 
Figura 16 - Exemplo de convenção de forças
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 87).
Para entendermos melhor, vamos analisar a barra mostrada na 
figura 17 (a). As forças axiais internas “P”, são determinadas pelo método 
das seções para cada segmento, figura 17 (b). Elas são PAB = +5 kN, 
PBC = -3 kN, PCD = -7 kN. 
Resistência dos Materiais
35
Figura 17 - Exemplo de barra sujeita à ação de forças
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 88).
Essa variação na carga axial é mostrada no diagrama de força 
normal para a barra, figura 18. 
Figura 18 - Exemplo de barra sujeito a ação de forças
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 88).
Aplicando a equação para obter o deslocamento da extremidade A 
em relação à extremidade D, temos:
δA/D = ∑ PL/AE = (5kN)LAB/AE + (-3kN)LBC)/AE + (-7kN)LCD/AE
Se substituirmos os outros dados e a resposta calculada for positiva, 
significará que a extremidade A se afasta da extremidade D. A barra irá se 
alongar, ao passo que um resultado negativo indicaria que a extremidade 
A se aproxima da extremidade D e a barra irá encurtar. A notação de índice 
duplo é usada para indicar esse deslocamento relativo, 〗δA/D. Entretanto, se 
o deslocamento tiver que ser determinado em relação a um ponto fixo, 
então será usado um índice único. Por exemplo, se D estiver localizado em 
um apoio fixo, o deslocamento calculado será denotado simplesmente 
como δA (HIBELER, 2014).
Resistência dos Materiais
36
EXEMPLO: A barra de aço A-36, encontrada na figura 19 (a), é 
composta por dois segmentos, AB e BD, com áreas de seção transversal 
AAB = 600 mm2 e ABD = 1.200 mm2, respectivamente. Determine o 
deslocamento vertical da extremidade A.
Figura 19 - Exemplo de barra para exercício resolvido
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 89).
SOLUÇÃO: Força interna. Devido à aplicação das cargas externas, 
as forças axiais internas nas regiões AB, BC e CD serão todas diferentes. 
Essas forças são obtidas pela aplicação do método das seções e da 
equação do equilíbrio da força vertical, como mostra a Figura 19 (b). A 
Figura 19(c) mostra a representação gráfica dessa variação. Deslocamento. 
Eaço = 210(10
3) MPa. Pela convenção de sinais, as forças de tração internas 
são positivas e as forças de compressão são negativas. Portanto, o 
deslocamento vertical de A em relação ao apoio fixo D é:
+ 0,61mm - Resposta
Uma vez que o resultado é positivo, a barra alonga-se, portanto o 
deslocamento em A é para cima (HIBELER, 2014).
Resistência dos Materiais
37
RESUMINDO:
Gostou do conteúdo aprendido até aqui? Nesse capítulo 
aprendemos sobre a carga axial, como ela atua nos corpos 
e como podemos calcular a deformação dos mesmos. O 
princípio de Saint-Venant afirma que ambas, deformação 
e tensão localizadas que ocorrem no interior das regiões 
de aplicação de carga ou nos apoios, tendem a “nivelar-se” 
a uma distância suficientemente afastada dessas regiões. 
O deslocamento de um elemento carregado axialmente 
é determinado pela relação entre a carga aplicada e a 
tensão por meio da fórmula σ = P/A e pela relação entre 
o deslocamento e a deformação por meio da expressão 
∈ = dδ/dx. 
Foi possível entendermos como é calculado o alongamento 
ou encurtamento de uma barra sujeita à carga axial, através 
da fórmula:
δA = ∑ PL/AE
Muito interessante não é mesmo? É muito bacana vermos 
os acontecimentos do dia a dia expressos em números e 
entender como eles funcionam. Vamos em frente!
Resistência dos Materiais
38
Cargas combinadas e problemas resolvidos
OBJETIVO:
Neste capítulo iremos entender e aprender sobre as cargas 
combinadas, como elas atuam sobre os corpos e como os 
corpos se comportam quando estão sujeitos a esse tipo 
de carga. Usaremos como exemplo a análise em vasos de 
pressão de parede fina e vasos de pressão esféricos. Pronto 
para entender mais essa parte da área de conhecimento de 
resistência dos materiais? Então vamos em frente!
Para iniciarmos o estudo das cargas combinadas, vamos avaliar 
um caso onde elas ocorrem, assim ficará mais fácil o entendimento de 
como elas atuam. Vamos iniciar nosso aprendizado analisando os vasos 
de pressão com paredes finas.
Vasos de pressão com paredes finas
Vasos cilíndricos ou esféricos são muito usados na indústria como 
caldeiras, tanques, reservatórios ou para condução de fluidos em sistemas 
pressurizados. Quando estão sujeitos a pressão, o material de que são 
feitos é submetido a cargas em todas as direções. 
Porém, o vaso de pressão pode ser analisado de uma maneira mais 
simples, contanto que tenha paredes finas. Em geral, utiliza-se o termo 
paredes finas para um vaso que possua a relação entre o raio interno (r) e 
a espessura (t) da parede com valor igual ou superior a 10 (r/t ≥ 10). 
Especificamente, quando r/t = 10, os resultados de uma análise de 
parede fina preverão uma tensão aproximadamente 4% menor que a tensão 
máxima real no vaso. Para relações maiores esse erro será até menor. 
Quando a parede do vaso é “fina,” a variação da distribuição de tensão 
pela sua espessura não será significativa, sendo assim, consideraremos 
que ela é uniforme ou constante. 
Resistência dos Materiais
39
Entendendo essa característica, analisaremos, agora, o estado 
de tensão em vasos de pressão de paredes finas cilíndricos e esféricos. 
Em ambos os casos, entende-se que a pressão no vaso é a pressão 
manométrica, visto que ela mede a pressão acima da pressão atmosférica 
que consideramos existir dentro e fora da parede do vaso (HIBELER, 2014).
Vasos cilíndricos
Considere o vaso cilíndrico com parede de espessura t e raio interno r. 
Figura 20 - Exemplo de vaso de pressão com paredes finas
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 300).
A pressão manométrica p é desenvolvida no interior do vaso por 
um gás ou fluido nele contido, cujo peso consideramos insignificante. 
Devido à uniformidade dessa carga, um elemento do vaso que esteja 
afastado o suficiente das extremidades e orientado como mostra a figura 
é submetido a tensões normais σ1 na direção circunferencial ou do aro e 
σ2 no sentido longitudinal ou axial. Ambas essas componentes da tensão 
exercem tração sobre o material. Queremos determinar o valor de cada 
uma dessas componentes em termos da geometria do vaso e de sua 
pressão interna. Para isto, temos que usar o método das seções e aplicar 
as equações de equilíbrio de força. Para a tensão circunferencial (ou de 
aro), considere que o vaso é secionado pelos planos a, b e c, conforme 
vemos na figura 20. Um diagrama de corpo livre do segmento posterior 
juntamente com o gás ou fluido contido no vaso é mostrado na Figura 21. 
Resistência dos Materiais
40
Figura 21 - Exemplo de vaso de pressão com paredes finas, seção
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 300).
Aqui são mostradas apenas as cargas na direção x. Elas são 
desenvolvidas pela tensão circunferencial uniforme σ1 que age em toda a 
parede do vaso e pela pressão que age na face vertical do gás ou fluido 
secionado. Para equilíbrio na direção x, podemos utilizar a fórmula:
σ = pr/t
Para obter a tensão longitudinal σ2, consideraremos a porção 
esquerda da seção b do cilindro. Como mostra a Figura 21 (c), σ2 age 
uniformemente em toda a parede, e p age na seção do gás ou fluido. 
Visto que o raio médio é aproximadamente igual ao raio interno do vaso, o 
equilíbrio na direção y seria expresso como:
σ 〗2 = pr/2t
Para as equações temos,
σ 〗1, σ 〗2 = tensão normal nas direções circunferencial e longitudinal, 
respectivamente. Consideramos que cada uma delas é constante em 
toda a parede do cilindro e que cada uma submete o material à tração.
p = pressão manométrica interna desenvolvida pelo gás ou fluido.
r = raio interno do cilindro.
t = espessura da parede (r/t = 10).
Resistência dos Materiais
41
Comparando as equações que acabamos de ver, devemos observar 
que a tensão circunferencial ou de aro é duas vezes maior do que a 
tensão longitudinal ou axial. Por consequência, quando vasos de pressão 
cilíndricos são fabricados com chapas laminadas, as juntas longitudinais 
devem ser projetadas para suportar duas vezes mais tensão do que as 
juntas circunferenciais (HIBELER, 2014).
Vasos esféricos
Podemos analisar um vaso de pressão esférico de maneira 
semelhante aos vasos de paredes finas. Por exemplo, considere que o 
vaso tem espessura de parede t e raio interno r e que está sujeito a uma 
pressão manométrica interna p. 
Figura 22 - Exemplo de vaso de pressão esféricos
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2014, p. 301).
Se o vaso for secionado pela metade usando a seção a, o diagrama 
de corpo livre ficaria conforme o apresentado na figura 22. Como no vaso 
cilíndrico, o equilíbrio na direção y seria expresso como:
σ2 = pr/2t
Por comparação, essa é a mesma fórmula utilizada para a tensão 
longitudinal no vaso de pressão cilíndrico. Além do mais, pela análise, essa 
tensão será a mesma independentemente da orientação do diagrama de 
corpo livre hemisférico. Por consequência, um elemento do material está 
sujeito ao estado de tensão mostrado na Figura 22. Essa análise indica 
que um elemento de material tomado de um vaso de pressão cilíndrico 
Resistência dos Materiais
42
ou esférico está sujeito à tensão biaxial, isto é, tensão normal existente em 
duas direções apenas. 
Na verdade, o material do vaso também está sujeito a uma tensão 
radial σ3, que age ao longo de uma linha radial. Essa tensão tem um 
valor máximo igual à pressão p na parede interna e diminui até zero à 
medida que atravessa a parede e alcança a superfície externa do vaso, 
visto que a pressão manométrica nesse lugar é nula. Entretanto, para 
vasos de paredes finas, ignoraremos a componente da tensão radial, 
uma vez que a premissa limitadora que adotamos, r/t = 10, resulta em 
σ2 e σ1 como sendo, respectivamente, 5 e 10 vezes mais altas do que a 
tensão radial máxima, (σ3)máx = p. Por último, entenda que as fórmulas 
que acabamos de ver só devem ser usadas para vasos sujeitos a uma 
pressão manométrica interna. Se o vaso estiver sujeitoa uma pressão 
externa, a tensão de compressão desenvolvida no interior da parede fina 
pode tornar o vaso instável e sujeito a falhas.
Tensão causada por cargas combinadas
Nos capítulos anteriores, desenvolvemos métodos para determinar 
as distribuições de tensão em um elemento submetido a uma força axial 
interna, a uma força de cisalhamento, a um momento fletor ou a um 
momento de torção. Porém, na maioria das vezes, a seção transversal de 
um elemento está sujeita a vários desses tipos de cargas simultaneamente 
e o resultado é que o método da superposição, pode ser usado para 
determinar a distribuição da tensão resultante provocada pelas cargas. 
Para aplicar a superposição, em primeiro lugar, é preciso determinar a 
distribuição de tensão devido à cada carga. Então, essas distribuições são 
superpostas para determinar a distribuição de tensão resultante. 
O princípio da superposição pode ser usado para essa finalidade 
contanto que exista uma relação linear entre a tensão e as cargas. Além 
disso, a geometria do elemento não deve sofrer mudança significativa 
quando as cargas são aplicadas. Isso é necessário para assegurar que 
a tensão produzida por uma carga não esteja relacionada com a tensão 
produzida por qualquer outra carga. 
Resistência dos Materiais
43
Vamos manter nossa análise restrita ao cumprimento desses dois 
critérios. Os problemas nessa seção, que envolvem cargas combinadas, 
servem como uma revisão básica da aplicação de muitas das equações 
de tensão as quais vimos anteriormente. É necessário compreender 
muito bem como essas equações são aplicadas. Agora, vamos expor um 
procedimento passo a passo para a análise e solução de problemas que 
contenham cargas combinadas.
O seguinte procedimento nos dá um modo geral para definir as 
componentes da tensão normal e da tensão de cisalhamento em um 
ponto de um elemento quando ele é submetido a vários tipos diferentes 
de cargas simultaneamente.
Consideramos que o material é homogêneo e se comporta de um 
modo linear elástico. Além disso, o princípio de Saint-Venant exige que 
o ponto onde a tensão deve ser determinada esteja bem distante de 
quaisquer descontinuidades na seção transversal ou de pontos de carga 
aplicada.
1. Carga interna.
 • Secione o elemento perpendicularmente a seu eixo no ponto 
onde a tensão deve ser determinada e obtenha as componentes 
internas da força normal e da força de cisalhamento resultantes, 
bem como as componentes dos momentos fletor e de torção.
 • As componentes da força devem agir passando pelo centroide 
da seção transversal e as componentes do momento devem ser 
calculadas em torno dos eixos do centroide, os quais representam 
os eixos principais de inércia para a seção transversal.
2. Tensão normal média.
 • Calcule a componente da tensão associada à cada carga interna. 
Para cada caso, represente o efeito como uma distribuição de 
tensão que age sobre toda a área da seção transversal ou mostre 
a tensão sobre um elemento do material localizado em um ponto 
específico na seção transversal.
Resistência dos Materiais
44
3. Força normal.
 • A força normal interna é desenvolvida por uma distribuição de 
tensão normal uniforme determinada por σ = P/A.
4. Força de cisalhamento.
 • A força de cisalhamento interna em um elemento submetido a flexão 
é desenvolvida por uma distribuição da tensão de cisalhamento 
determinada pela fórmula do cisalhamento, t = VQ/It. 
5. Momento fletor.
 • Para elementos retos, o momento fletor interno é desenvolvido 
por uma distribuição de tensão normal que varia linearmente de 
zero no eixo neutro à máxima no contorno externo do elemento. 
A distribuição de tensão é determinada pela fórmula da flexão, 
σ = -My /I. Se o elemento for curvo, a distribuição de tensão é não 
linear e é determinada por σ = My /Ae(R - y).
6. Momento de torção.
 • Para eixos e tubos circulares, o momento de torção interno é 
desenvolvido por uma distribuição da tensão de cisalhamento 
que varia linearmente da linha central do eixo até um máximo 
no contorno externo do mesmo. A distribuição da tensão de 
cisalhamento é determinada pela fórmula da torção, t = Tr/J. Se 
o elemento for um tubo fechado de parede fina, use σ = T/2Amt.
7. Vasos de pressão de parede fina.
 • Se o vaso de pressão for cilíndrico de parede fina, a pressão 
interna p provocará um estado de tensão biaxial no material de 
modo que a componente da tensão de aro ou circunferencial é 
σ1 = pr/t e a componente da tensão longitudinal é σ2 = pr/2t. Se 
o vaso de pressão for esférico de parede fina, então o estado de 
tensão biaxial é representado por duas componentes equivalentes, 
cada uma com valor σ2 = pr/2t.
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8. Superposição.
 • Uma vez calculadas as componentes da tensão normal e da tensão 
de cisalhamento para cada carga, use o princípio da superposição 
e determine as componentes da tensão normal e da tensão de 
cisalhamento resultantes.
 • Represente os resultados em um elemento de material localizado 
no ponto ou mostre os resultados como uma distribuição de 
tensão que age sobre a área da seção transversal do elemento 
(HIBBELER, 2014).
RESUMINDO:
Aprendeu tudo o que foi mostrado? Bastante conteúdo 
não é mesmo? Dá para entender melhor como as coisas 
funcionam, certo? Nesse capítulo nos focamos em 
entender como a ação das cargas combinadas atuam e 
como podemos expressa-las em números. Utilizamos 
como exemplo, para entendermos melhor a atuação desse 
tipo de carga o estudo de vasos de pressão. Vimos que 
nos vasos de pressão de parede fina (r/t ≥ 10), a variação 
da distribuição da tensão pela a espessura não será 
significativa, assim consideramos que ela é constante. 
Para nosso estudo, vimos o comportamento das cargas 
combinadas em vasos cilíndricos e vasos esféricos. Para os 
vasos cilíndricos determinamos as tensões normais σ1 na 
direção circunferencial e σ2 no sentido longitudinal ou axial. 
Ambas essas componentes da tensão exercem tração 
sobre o material. Para os vasos esféricos vimos que, por 
comparação, a tensão longitudinal é calculada da mesma 
forma que no vaso de pressão cilíndrico. Além do mais, pela 
análise, essa tensão será a mesma independentemente da 
orientação do diagrama de corpo livre hemisférico.
Resistência dos Materiais
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REFERÊNCIAS
ALLEN III, J. H. Mechanics of Materials for Dummies. Indianapolis: 
Editora For Dummies, 2011.
ALVES, C. C. Mecânica: projetos e ensaios mecânicos. São Paulo: 
Editora Fundação Anchieta, 2011.
BEER, F. P.; JOHNSTON Jr. R. Resistência dos materiais. São Paulo: 
Makron Books, 1996.
BUENO, C.; VENTAVOLI, F. Princípios de Resistência dos Materiais. 
Publicação digital: livro eletrônico, edição kindle, 2016.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. São Paulo: Pearson, 2014.
MARK, J.; WAQAR, A. Surface Engineered Surgical Tools and 
Medical Devices. São Paulo: Springer, 2007. 
MELCONIAN, S. Mecânica técnica e resistência dos materiais. São 
Paulo: Editora Érica, 2002.
NASH, W.; POTTER, M. C. Resistência dos Materiais. São Paulo: 
Bookman, 2014.
PINHEIRO, A. C. F. B.; CRIVELARO, M. Fundamentos de resistência 
dos Materiais. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
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	_Hlk61592932
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