Curso_Completo_PDF_Matemática_-_Thiago_Lucena_Martins

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MUDE SUA VIDA! 
1 
 
SUMÁRIO 
CONJUNTOS NUMÉRICOS ............................................................................................................................ 10 
Conjunto dos números naturais (N) ........................................................................................................ 10 
conjunto dos números inteiros (Z) .......................................................................................................... 11 
subconjunto dos números inteiros .............................................................................................................. 11 
Conjunto dos números inteiros não negativos........................................................................................ 11 
Conjunto dos números inteiros não positivos ......................................................................................... 11 
Conjunto dos números inteiros positivos não nulos ............................................................................... 11 
Conjunto dos números inteiros negativos não nulos .............................................................................. 12 
Conjunto dos números racionais (Q) ........................................................................................................... 12 
Conjunto dos números IRRACIONAIS (IR) .................................................................................................... 13 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R) ......................................................................................................... 14 
representação dos conjuntos ...................................................................................................................... 15 
Operações com conjuntos ........................................................................................................................... 15 
União de Conjuntos ................................................................................................................................. 16 
intersecção de Conjuntos ........................................................................................................................ 16 
Diferença de Conjuntos ........................................................................................................................... 17 
conjunto complementar .......................................................................................................................... 17 
subconjuntos ........................................................................................................................................... 18 
Exercícios ......................................................................................................................................................... 19 
critérios de divisibilidade ............................................................................................................................. 21 
divisibilidade por 1................................................................................................................................... 21 
divisibilidade por 2................................................................................................................................... 21 
divisibilidade por 3................................................................................................................................... 22 
divisibilidade por 4................................................................................................................................... 22 
divisibilidade por 5................................................................................................................................... 22 
divisibilidade por 6................................................................................................................................... 22 
divisibilidade por 7................................................................................................................................... 23 
divisibilidade por 8................................................................................................................................... 23 
divisibilidade por 9................................................................................................................................... 23 
divisibilidade por 10 ................................................................................................................................ 24 
Exercícios ......................................................................................................................................................... 24 
números inteiros ......................................................................................................................................... 25 
módulo de um número inteiro ................................................................................................................ 26 
números inteiros opostos ou simétricos ................................................................................................. 26 
comparação de números inteiros ............................................................................................................ 27 
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2 
 
adição de números inteiros ..................................................................................................................... 27 
propriedades da adição ........................................................................................................................... 28 
subtração de números inteiros ............................................................................................................... 29 
adição algébrica ....................................................................................................................................... 29 
multiplicação de números inteiros .......................................................................................................... 31 
propriedades da multiplicação ................................................................................................................ 32 
divisão de números inteiros .................................................................................................................... 33 
Exercícios ......................................................................................................................................................... 33 
múltiplos de um número natural ................................................................................................................ 37 
quando um número é múltiplo de outro................................................................................................. 37 
Exercícios ......................................................................................................................................................... 38 
números primos .......................................................................................................................................... 40 
decomposição em fatores primos .......................................................................................................... 42 
Exercícios ......................................................................................................................................................... 43 
máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum ..................................................................................... 46 
máximo divisor comum ........................................................................................................................... 46 
mínimo múltiplo comum ......................................................................................................................... 46 
Exercícios .........................................................................................................................................................
47 
frações ......................................................................................................................................................... 49 
a ideia de fração ...................................................................................................................................... 49 
conhecendo as frações ............................................................................................................................ 50 
frações equivalentes ................................................................................................................................ 51 
simplificação de frações: frações irredutíveis ......................................................................................... 52 
adição e subtração de frações ................................................................................................................. 53 
multiplicação de frações .......................................................................................................................... 55 
divisão de frações .................................................................................................................................... 55 
Exercícios ......................................................................................................................................................... 56 
potenciação ................................................................................................................................................. 58 
regras básicas de potenciação ................................................................................................................. 60 
propriedades da potenciação .................................................................................................................. 60 
multiplicação de potências de mesma base ............................................................................................ 60 
divisão de potências de mesma base ...................................................................................................... 60 
potência de uma potência ....................................................................................................................... 61 
potência com expoente negativo ............................................................................................................ 61 
potência de uma multiplicação ............................................................................................................... 61 
potência de uma divisão .......................................................................................................................... 61 
potência com expoente fracionário ........................................................................................................ 62 
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3 
 
potência de uma raiz ............................................................................................................................... 62 
Potência com base negativa .................................................................................................................... 62 
Exercícios ......................................................................................................................................................... 63 
radiciação .................................................................................................................................................... 65 
definição .................................................................................................................................................. 65 
notação .................................................................................................................................................... 65 
propriedades da radiciação ..................................................................................................................... 65 
1° propriedade ......................................................................................................................................... 65 
2° propriedade ......................................................................................................................................... 66 
3° propriedade ......................................................................................................................................... 66 
4° propriedade ......................................................................................................................................... 66 
operações com radicais ........................................................................................................................... 67 
soma e subtração .................................................................................................................................... 67 
multiplicação e divisão ............................................................................................................................ 67 
Exercícios ......................................................................................................................................................... 68 
razão e proporção ....................................................................................................................................... 71 
razão ........................................................................................................................................................ 71 
razões especiais ....................................................................................................................................... 72 
velocidade média ..................................................................................................................................... 72 
escala ....................................................................................................................................................... 73 
densidade ................................................................................................................................................ 73 
Razões Inversas ........................................................................................................................................ 74 
proporção ................................................................................................................................................ 74 
Grandezas diretamente proporcionais .................................................................................................... 75 
Grandezas inversamente proporcionais .................................................................................................. 76 
Propriedade fundamental das proporções ............................................................................................. 76 
Segunda propriedade das proporções .................................................................................................... 76 
Terceira propriedade das proporções ..................................................................................................... 77 
Quarta proporcional ................................................................................................................................ 77 
Terceira proporcional .............................................................................................................................. 78 
Exercícios ......................................................................................................................................................... 78 
regra de três ............................................................................................................................................ 82 
Regra de três simples ..............................................................................................................................
82 
Regra de três composta ........................................................................................................................... 84 
Exercícios ......................................................................................................................................................... 85 
porcentagem ............................................................................................................................................... 88 
o que é porcentagem? ............................................................................................................................. 88 
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4 
 
encontrar a Porcentagem de algum valor ............................................................................................... 89 
a representação de um valor em porcentagem ...................................................................................... 90 
Porcentagem e suas representações ....................................................................................................... 90 
Porcentagens úteis .................................................................................................................................. 90 
Dica prática: calculando 1% ..................................................................................................................... 91 
Exercícios ......................................................................................................................................................... 91 
juros simples e juros composto ................................................................................................................... 94 
Juro .......................................................................................................................................................... 94 
Capital (ou principal) ............................................................................................................................... 94 
Montante ................................................................................................................................................. 94 
Taxa de juros ............................................................................................................................................ 94 
Período .................................................................................................................................................... 94 
Objetivo dos juros .................................................................................................................................... 95 
Diferença entre juros simples e compostos ............................................................................................ 95 
juro simples ............................................................................................................................................. 95 
juro composto ......................................................................................................................................... 97 
Exercícios ......................................................................................................................................................... 98 
medidas de tendência central ................................................................................................................... 100 
média ..................................................................................................................................................... 101 
média aritmética simples ..................................................................................................................... 101 
média aritmética ponderada ................................................................................................................ 101 
média geométrica .................................................................................................................................. 102 
média harmônica ................................................................................................................................... 103 
moda ...................................................................................................................................................... 104 
Mediana ................................................................................................................................................. 104 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 105 
equações do 1° grau com uma incógnita .................................................................................................. 108 
história ................................................................................................................................................... 108 
Incógnitas e coeficientes ....................................................................................................................... 108 
A equação de 1° grau ............................................................................................................................. 109 
Os princípios da balança, da adição e da multiplicação ........................................................................ 110 
Princípio aditivo ..................................................................................................................................... 110 
Princípio multiplicativo .......................................................................................................................... 110 
Regra prática .......................................................................................................................................... 110 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 111 
equações do 2° grau .................................................................................................................................. 113 
equações incompletas ........................................................................................................................... 114 
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5 
 
equação na forma ax² + bx = 0 .............................................................................................................. 114 
equação na forma ax² + c = 0................................................................................................................. 114 
equações completas .............................................................................................................................. 115 
MÉTODO DE BHASKARA ........................................................................................................................ 115 
MÉTODO DA SOMA E PRODUTO ........................................................................................................... 116 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 117 
equações biquadradas ............................................................................................................................... 121 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 122 
Equações irracionais .................................................................................................................................. 127 
equações irracionais com um raíz .........................................................................................................
127 
equações irracionais com duas raízes possíveis .................................................................................... 128 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 129 
sistema de equações do 1° grau ................................................................................................................ 134 
métodos de resolução de sistemas de equações do 1° grau ................................................................ 134 
método da substituição ......................................................................................................................... 135 
Método da adição .................................................................................................................................. 136 
Método da comparação ........................................................................................................................ 137 
conclusão ............................................................................................................................................... 138 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 139 
sistema de equações do 2° grau ................................................................................................................ 142 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 144 
matrizes ..................................................................................................................................................... 149 
Conceito de matriz................................................................................................................................. 149 
Tipos de matrizes ................................................................................................................................... 151 
Matriz quadrada .................................................................................................................................... 151 
Matriz identidade .................................................................................................................................. 152 
Matriz unitária ....................................................................................................................................... 152 
Matriz nula ............................................................................................................................................. 152 
Matriz oposta......................................................................................................................................... 153 
Matriz transposta .................................................................................................................................. 153 
Operações com matrizes ....................................................................................................................... 153 
Adição .................................................................................................................................................... 153 
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL por uma matriz ..................................................................... 154 
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES.............................................................................................................. 154 
matriz inversa (a-1 ) ................................................................................................................................ 155 
Propriedades da Matriz Inversa............................................................................................................. 155 
Cálculo de uma matriz inversa .............................................................................................................. 156 
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6 
 
Determinante ........................................................................................................................................ 157 
matriz de ordem 1 ou 1° ordem ............................................................................................................ 158 
matriz de ordem 2 ou 2° ordem ............................................................................................................ 158 
matriz de ordem 3 ou 3° ordem ............................................................................................................ 158 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 159 
Análise Combinatória ................................................................................................................................ 162 
Fatorial (!) .............................................................................................................................................. 162 
Princípio fundamental da contagem (PFC) ............................................................................................ 162 
Arranjo ................................................................................................................................................... 163 
Combinação ........................................................................................................................................... 163 
Permutação Simples .............................................................................................................................. 164 
Permutação com elementos repetidos ................................................................................................. 164 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 165 
Probabilidade............................................................................................................................................. 167 
Probabilidade complementar ................................................................................................................ 168 
Casos especiais de probabilidade .......................................................................................................... 168 
Probabilidade Sucessivas ou Independentes ........................................................................................ 168 
Probabilidade Condicional ..................................................................................................................... 168 
Probabilidade da União de Eventos ...................................................................................................... 169 
Probabilidade Binomial ......................................................................................................................... 169 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 169 
sequências numéricas ............................................................................................................................... 172 
classificação ........................................................................................................................................... 172 
progressão ............................................................................................................................................. 173 
progressão aritmética ............................................................................................................................ 173 
Classificação
de uma P.A. ...................................................................................................................... 173 
Propriedades da P.A. ............................................................................................................................. 173 
1ª propriedade: ..................................................................................................................................... 173 
2ª propriedade: ..................................................................................................................................... 174 
3ª propriedade: ..................................................................................................................................... 174 
termo geral de uma p.a ......................................................................................................................... 174 
soma dos n primeiros termos de uma p.a ............................................................................................. 175 
progressão geométrica .......................................................................................................................... 175 
termo geral de uma p.g ......................................................................................................................... 175 
soma dos n primeiros termos de uma p.g ............................................................................................. 176 
Propriedades da P.g. .............................................................................................................................. 176 
1ª propriedade: ..................................................................................................................................... 176 
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7 
 
2ª propriedade: ..................................................................................................................................... 176 
3ª propriedade: ..................................................................................................................................... 177 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 177 
geometria plana......................................................................................................................................... 179 
Conceitos de Geometria Plana .............................................................................................................. 180 
Ponto ..................................................................................................................................................... 180 
Reta ........................................................................................................................................................ 180 
Segmento de Reta ................................................................................................................................. 180 
Plano ...................................................................................................................................................... 180 
Ângulos .................................................................................................................................................. 180 
Área ....................................................................................................................................................... 181 
Perímetro ............................................................................................................................................... 181 
nomenclatura de polígonos ................................................................................................................... 181 
figuras geométricas ............................................................................................................................... 182 
Polígonos côncavo e convexo. ............................................................................................................... 182 
triângulos ................................................................................................................................................... 183 
Elementos de um triângulo ................................................................................................................... 183 
Classificações de triângulos ................................................................................................................... 183 
Classificação quanto aos lados .............................................................................................................. 183 
Triângulo equilátero .............................................................................................................................. 184 
Triângulo isósceles ................................................................................................................................. 184 
Triângulo escaleno ................................................................................................................................. 184 
Classificação dos triângulos quanto aos ângulos .................................................................................. 184 
Triângulo acutângulo ............................................................................................................................. 185 
Triângulo retângulo ............................................................................................................................... 185 
Triângulo obtusângulo ........................................................................................................................... 185 
Propriedade dos triângulos ................................................................................................................... 185 
Propriedade 1: ....................................................................................................................................... 186 
Propriedade 2: ....................................................................................................................................... 186 
Propriedade 3: ....................................................................................................................................... 186 
Propriedade 4: ....................................................................................................................................... 186 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 187 
quadriláteros ............................................................................................................................................. 190 
Elementos de um quadrilátero .............................................................................................................. 190 
Paralelogramos ...................................................................................................................................... 191 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 192 
circunferência ............................................................................................................................................ 195 
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8 
 
Algumas definições ................................................................................................................................ 195 
Perímetro de uma circunferência .......................................................................................................... 196 
Exercícios
....................................................................................................................................................... 196 
área e perímetro de figuras geométricas .................................................................................................. 199 
área de uma figura ................................................................................................................................ 199 
perímetro de uma figura ....................................................................................................................... 199 
Áreas e perímetros de figuras planas .................................................................................................... 200 
Triângulo ................................................................................................................................................ 200 
Retângulo ............................................................................................................................................... 200 
Quadrado ............................................................................................................................................... 201 
Círculo .................................................................................................................................................... 201 
Trapézio ................................................................................................................................................. 201 
Losango .................................................................................................................................................. 202 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 202 
volume de figuras geométricas ................................................................................................................. 204 
cubo ....................................................................................................................................................... 205 
paralelepípedo ....................................................................................................................................... 205 
prisma .................................................................................................................................................... 205 
Pirâmide ................................................................................................................................................. 206 
cone ....................................................................................................................................................... 206 
cilindro ................................................................................................................................................... 206 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 207 
polígonos inscritos e circunscritos na circunferência ................................................................................ 211 
Elementos do polígono regular inscrito ................................................................................................ 211 
Centro do polígono regular ................................................................................................................... 211 
Raio do polígono regular ....................................................................................................................... 212 
Apótema ................................................................................................................................................ 212 
Propriedades ......................................................................................................................................... 212 
cálculo de medidas de polígonos regulares .......................................................................................... 213 
Quadrado inscrito na circunferência ..................................................................................................... 213 
hexágono inscrito na circunferência ..................................................................................................... 214 
triângulo equilátero inscrito na circunferência ..................................................................................... 214 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 214 
semelhança de triângulos .......................................................................................................................... 217 
Razão de semelhança ............................................................................................................................ 218 
PROPRIEDADES ...................................................................................................................................... 219 
Teorema fundamental ........................................................................................................................... 219 
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9 
 
Casos de semelhança ............................................................................................................................. 219 
Caso AA (Ângulo, Ângulo) ...................................................................................................................... 220 
Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado) ............................................................................................................... 220 
Caso LLL (Lado, Lado, Lado) ................................................................................................................... 220 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 221 
teorema de tales........................................................................................................................................ 224 
Teorema de Tales na prática ................................................................................................................. 225 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 226 
teorema de pitágoras ................................................................................................................................ 229 
Demonstração ....................................................................................................................................... 229 
Considerando que o triângulo ABC é congruente ao triângulo DAC, temos a seguinte relação: ... 230 
Terno Pitagórico .................................................................................................................................... 230 
Números Irracionais no Teorema de Pitágoras ..................................................................................... 231 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 232 
relações métricas no triângulo retângulo ................................................................................................. 234 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 236 
relações trigonométricas no triângulo retângulo ......................................................................................
238 
seno ....................................................................................................................................................... 238 
cosseno .................................................................................................................................................. 239 
tangente ................................................................................................................................................ 239 
círculo trigonométrico ........................................................................................................................... 240 
secante .................................................................................................................................................. 240 
cossecante ............................................................................................................................................. 240 
cotangente ............................................................................................................................................. 240 
Exercícios ....................................................................................................................................................... 241 
 
 
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10 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
A noção de conjunto numérico é bastante simples porém fundamental na matemática. A 
partir dos conceitos sobre conjuntos podemos expressar todos os conceitos matemáticos. 
O que vem a ser conjuntos? 
Nada mais é que um agrupamento de elementos que partilham de mesmas 
características. 
 Conjunto das estações do ano: E = {Primavera, Verão, Outono, Inverno} 
 Conjunto dos números primos: B = {2,3,5,7,11,13,... } 
Cada item dentro de um conjunto é um elemento desse conjunto, a ideia dos conjuntos 
numéricos segue uma ordem de acordo com a história da matemática. Ou seja, à medida que a 
matemática avançou, foi necessário a criação de novos conceitos e, com isso, foram surgindo 
vários conjuntos de números. 
Quando esses elementos são números, essa união passa a ser conhecida como conjunto 
numérico. Dentro da matemática, pode-se agrupar os números de diversas formas, gerando 
assim inúmeros conjuntos numéricos. 
Porém, alguns desses conjuntos são mais notórios por conta da frequência que 
aparecem nas soluções e demonstrações matemáticas. Sendo eles: Conjunto dos números 
naturais, conjunto dos números inteiros, conjunto dos números racionais, conjuntos dos 
números irracionais e conjunto dos números reais. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N) 
 
Também conhecido como conjunto dos inteiros não negativos, representado pelo 
símbolo N, é a nosso principal ferramenta de contagem. Eles são basicamente “os números 
que usamos para contar”. 
O homem primitivo precisava de uma representação simbólica para contabilizar seus 
elementos, objetos e tudo o que lhes pertenciam ou tinham a necessidade de administrar. 
Neste caso, o número zero ainda não era descrito como numeral, afinal, demorou milhares de 
anos até que por volta de 450 d.c, os hindus introduziram uma coluna vazia em seus ábacos 
donde veio o conceito de uma representação do vazio numericamente. 
O zero também um elemento de contagem, por isso ele faz parte dos números naturais. 
Porém em matemática podemos trabalhar com os números naturais sem o zero, onde 
simbolicamente representamos por: 
 
N* = {1,2,3,4,5,6,...} 
Ou também por: 
N - {0} = {1,2,3,4,5,6,...} 
 
Os números naturais também ocorrem como resultado de uma operação de contagem, 
então, o conjunto N é infinito. 
Representação dos conjuntos naturais: 
 
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11 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z) 
 
O sistema de numeração foi desenvolvido para quantificar. Ao longo do tempo, houve a 
necessidade de representar números que fossem menores que o zero. Situações como: medir 
a temperatura de regiões que nevam, estar em andares abaixo do solo, ou seja, subsolo e saldo 
de gols são situações em que utilizamos os números negativos. 
O conjunto dos inteiros é formado por números positivos e negativos, esse conjunto é 
infinito nos dois sentidos da reta numérica 
 
 
Z = {-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4} 
 
Observe que os números naturais N = {+ 1, + 2, + 3, + 4, + 5} pertencem ao conjunto dos 
números inteiros Z = {- 5, - 4, - 3, - 2, -1, +1, +2, +3, +4, +5}, isso porque N⊂Z. 
Relação da inclusão: 
 
 
SUBCONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS NÃO NEGATIVOS 
Z+={x∈Z/x≥0} 
 
Exemplo: Z+ = {0, +1, +2, +3, +4, +5 ...} 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS NÃO POSITIVOS 
Z−={x∈Z/x≤0} 
 
Exemplo: Z− = {... -5, -4, -3, -2, 0} 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS NÃO NULOS 
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12 
 
Z+*={x∈Z/x>0} 
 
Exemplo: Z+* = {+1, +2, +3, +4, +5 ...} 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS NÃO NULOS 
Z−*={x∈Z/x<0} 
 
Exemplo: Z−* = {... -5, -4, -3, -2, -1} 
 
Obs. Utilizar o (*) significa que o número zero não pertence ao conjunto. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
 
O conjunto dos números racionais é constituído por números: inteiro (positivo e 
negativo), decimais, dizima periódica composta/ simples e frações. Utilizamos esses números 
para representar quantidades e medidas. Os conjuntos dos números naturais e inteiros fazem 
parte do conjunto dos números racionais. Na reta numérica podemos representar esse 
conjunto da seguinte forma: 
 
 
 
 
O conjunto dos números racionais é representado pelo símbolo Q. A relação de inclusão 
é estabelecida com os conjuntos dos números naturais (N) e inteiros (Z). 
 
 
 
SUBCONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS 
 
Os números racionais também possuem subconjuntos, os mesmos estão listados a 
seguir: 
 
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13 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS NÃO NULOS 
 
Q*={x∈Q/x≠0} 
 
Exemplo: Q* = {...+2,5; -2; -1,5; -1; +12, +1; +1,5; +2; + 2,5...} 
Obs. O (*) significa que o zero não pertence ao conjunto por ser o elemento nulo. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS NÃO NEGATIVOS 
 
Q+={x∈Q/x≥0} 
 
Exemplo: Q+ = {0; +12, +1; +1,5; +2; +2,5 ...} 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS POSITIVOS E NÃO NULO 
 
Q+*={x∈Q/x>0} 
 
Exemplo: Q+* = {+12, +1; +1,5; +2; +2,5 ...} 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS NÃO POSITIVOS 
 
Q−={x∈Q/x≤0} 
 
Exemplo: Q− = {-2; -1,5; -1; 0} 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS NEGATIVOS E NÃO NULO 
 
Q−*={x∈Q/x<0} 
 
Exemplo: Q−* = {-2; -1,5; -1} 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (IR) 
 
O conjunto dos números irracionais é composto por todos os números que não são 
possíveis de se descrever como uma fração. É o caso das raízes não exatas, como 2–√, 3–√, 5–
√, e do número π, do logaritmo neperiano, o número de ouro ϕ (fi), por exemplo. 
Este conjunto não está contido em nenhum dos outros três, ou seja, nenhum número 
irracional é racional, inteiro ou natural e nenhum número natural, inteiro ou racional é 
irracional. 
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https://www.infoescola.com/matematica/logaritmo-natural/
https://www.infoescola.com/matematica/numero-de-ouro/
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14 
 
 
 
Para uma melhor compreensão da definição de número irracional, é necessário que 
sejam apresentadas algumas propriedades dos números racionais. Definimos um número 
racional como qualquer número que possa ser escrito da forma pq, com p sendo um número 
inteiro e q um número inteiro diferente de zero. 
Então, podemos dizer que qualquer fração (ou razão) que possa ser obtida pela divisão 
de dois números inteiros nessas condições é chamado de número racional. A questão agora é: 
Como sabemos se um número é racional? 
Abaixo temos alguns casos possíveis para a sua representação:
 Frações (redutíveis ou não): 14, 75, 12135, ... 
 
 Números decimais finitos: 4,5 ; 7,32 ; 2,31 ; .... 
 
 Números mistos: 275, 934, ... 
 
 Dízimas periódicas: 0,7777... ou 0,7 ; 0,393939... ou 0,39; 13,147147147... ou 
13,147 
 
Há ainda alguns números que possuem representação decimal, porém não sabe-se, de 
pronto, se ele pode ou não ser um racional. Vamos analisar o número √2, que possui o 
seguinte valor aproximado. 
√2 ≈ 1,414213562... 
Ora, não podemos afirmar que o número possui uma dízima periódica, pois não sabemos 
se a representação decimal irá repetir um padrão (isso pode ocorrer na 20ª casa decimal ou 
na 100.000ª). 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R) 
 
Da reunião do conjunto dos números racionais com os números irracionais obtemos o 
conjunto dos números reais. Podemos dizer que o conjunto dos números reais é formado por 
todos os números que podem ser localizados em uma reta numérica. 
Assim, todo número que é irracional é real, assim como os naturais, inteiros e racionais. 
Relação da inclusão: 
 
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https://www.infoescola.com/matematica/numeros-inteiros/
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-inteiros/
https://www.infoescola.com/matematica/fracoes/
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15 
 
 
 
REPRESENTAÇÃO DOS CONJUNTOS 
 
A representação das operações com conjuntos geralmente é dada por nomeação dos 
elementos, mas além dessa outras duas são utilizadas com frequência: 
 Por compreensão - nesse modo de representação é expressa uma propriedade 
característica comum aos elementos. 
Exemplo: Cores 
 
C = {verde, azul, amarelo, preto, rosa} 
 
 Por diagrama - o diagrama de Venn, um dos mais famosos, é traçado a partir de 
coleções de curvas fechadas dentro de um plano e no interior das curvas 
encontram-se os elementos. 
Exemplo: Conjunto dos números naturais 
 
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
 
 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
A Teoria dos Conjuntos estabelece alguns símbolos que são utilizados para indicar 
relações entre elementos e utilizados em operações com conjuntos, sendo os principais 
símbolos: 
 
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16 
 
 
 
UNIÃO DE CONJUNTOS 
A união de conjuntos corresponde a junção dos elementos dos conjuntos dados, ou seja, 
é o conjunto formado pelos elementos de um conjunto mais os elementos dos outros 
conjuntos. 
Se existirem elementos que se repetem nos conjuntos, ele aparecerá uma única vez no 
conjunto união. 
Para representar a união usamos o símbolo U. 
 
 
Exemplo: 
Dados os conjuntos A = {a,b,c,d,e} e B = {a, e, i, o, u}, represente o conjunto união (AUB). 
 
Para encontrar o conjunto união basta juntar os elementos dos dois conjuntos dados. 
Temos de ter o cuidado de incluir os elementos que se repetem nos dois conjuntos uma única 
vez. 
Assim, o conjunto união será: 
 
A U B = {a,b,c,d,e,i,o,u} 
 
INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS 
 
Quando queremos a intersecção de dois conjuntos é o mesmo que dizer que queremos 
os elementos que eles têm em comum. 
 
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17 
 
Exemplo: 
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}, a intersecção é representada pelo 
símbolo ∩. 
Assim, o conjunto intersecção será: 
 
A ∩ B = {5, 6}, pois 5 e 6 são os elementos que pertencem aos dois conjuntos. 
 
 
Obs: se dois conjuntos não possuem nenhum elemento comum, a intersecção deles será 
sempre um conjunto vazio, nesse caso esses conjuntos são chamados de disjuntos. 
 
 
DIFERENÇA DE CONJUNTOS 
 
A diferença de conjuntos é representada pelos elementos de um conjunto que não 
aparecem no outro conjunto. 
Dados dois conjuntos A e B, o conjunto diferença é indicado por A - B (lê-se A menos B). 
 
 
Exemplo: 
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}, a intersecção é representada pelo 
símbolo -. 
Assim, o conjunto diferença será: 
 
A - B = {1,2,3,4}, pois esses valores pertencem apenas ao conjunto A. 
 
CONJUNTO COMPLEMENTAR 
 
Dado um conjunto A, podemos encontrar o conjunto complementar de A que é 
determinado pelos elementos de um conjunto universo que não pertençam a A. 
Este conjunto pode ser representado por AC ou CA 
Quando temos um conjunto B, tal que B está contido em A (B ⊂ A), a diferença A - B é 
igual ao complemento de B. 
 
Exemplo: 
Dados os conjuntos A= {a, b, c, d, e, f} e B = {d, e, f, g, h}, indique o conjunto diferença 
entre eles. 
Para encontrar a diferença, primeiro devemos identificar quais elementos pertencem ao 
conjunto A e que também aparecem ao conjunto B. No exemplo, identificamos que os 
elementos d, e, f pertencem a ambos os conjuntos. Assim, vamos retirar esses elementos do 
resultado. Logo, o conjunto diferença de A menos B será dado por: 
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18 
 
 
A – B = {a, b, c} 
 
SUBCONJUNTOS 
 
Enquanto um conjunto é uma reunião de elementos que possuem características e 
propriedades em comum, um subconjunto é a reunião de alguns dos elementos de um 
conjunto. Dados os conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de A se todos os elementos 
de B também forem elementos de A. 
 
Exemplo: 
Dados os conjuntos A= {a, b, c, d, e, } e B = {d, e} 
 
Nesta situação podemos dizer que o conjunto B é um subconjunto de A, pois todos os 
elementos de B pertencem a A. 
 
Para determinar a quantidade de subconjuntos que irão surgir através de um conjunto 
basta utilizarmos: 
2n, onde o n é igual ao número de elementos do conjunto. 
 
Exemplo: 
Em um colégio, de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de chocolate, 70 gostam de sorvete 
de creme e 60 gostam dos dois sabores. Quantos alunos não gostam de nenhum dos dois 
sabores? 
 
Neste tipo de questão sempre devemos buscar a intersecção entre os conjuntos, caso 
tenha, e a partir dela ir abrindo os conjuntos levando em conta a subtração quando necessária, 
para não contabilizar algo mais de uma vez, vejamos: 
 
 
Como existe 60 alunos que gostam de ambos os sabores, agora temos que leva em conta 
esses 60 na hora de contabilizar o restante sendo: 
 
 
 
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19 
 
Portanto temos que efetuar a subtração para não contabilizar mais de uma vez. 
 
 
Como a escola possui 100 alunos quando somamos todos ainda faltam 10, ou seja os que 
não gostam de nenhum dos dois sabores. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Sejam x e y números tais que os conjuntos {0,7,1} e {x,y,1} são iguais. Então podemos 
afirmar que: 
a) A=0 e y=5 
b) x + y = 7 
c) x=0 e y=1 
d) x + 2y = 7 
e) x=y 
Gabarito letra b. 
Como o exercício citou que os conjuntos são iguais, então na mesma ordem 
que estão escritos os elementos são iguais, portanto basta verificar que x=0 e y=7. 
 
 
2. Dados os conjuntos A = {0, 1}, B = {0, 1, 2} e C = {2, 3}, determine (A U B) ∩ (B U C) 
Resolução: 
A= {0,1} ; B= {0,1,2} ; C= {2,3} 
A U B= {0,1,2} 
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20 
 
B U C= {0,1,2,3} 
(A U B) ∩ (B U C)= {0,1,2} 
 
 
3. Em uma academia de artes marciais que tem 288 alunos, 172 alunos praticam judô, 93 
alunos praticam caratê e 72 alunos praticam ambas as modalidades. Com base nessa 
situação hipotética, é correto afirmar que 96 alunos não praticam nenhuma das duas 
modalidades: 
Certo ( ) Errado ( ) 
 
Gabarito: Errado 
 
Como o exercício deu a intersecção entre os conjuntos, sempre iniciaremos 
pela mesma, lembrando que a quantidade de alunos de ambas as modalidades não 
foi citada que faziam APENAS ou SOMENTE aquela modalidade, sendo assim temos 
que descontar da intersecção para não contarmos 2 vezes 
O enunciado citou que existem 288 alunos, portando quando somamos a 
quantidade de alunos nas duas modalidades temos:
100 + 72 + 21 = 193 
Subtraindo do total de alunos encontraremos os alunos que fazem parte do 
conjunto academia mas não praticam nenhuma das duas modalidades. 
288 – 193 = 95 
A pergunta era que 96 alunos não praticavam nenhuma das duas modalidades 
portanto questão errada. 
 
4. Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam pelo menos um dos 
produtos A ou B. Sabendo que 10 dessas pessoas não usam o produto B e que 2 dessas 
pessoas não usam o produto A, qual é o número de pessoas que utilizam os produtos A 
e B? 
a) 0 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
Gabarito: letra c 
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21 
 
Como a questão falou q a pesquisa foi entre dois produtos, então já 
descartamos a ideia que exista alguém que não usa nenhum dos produtos. 
Foi falado que 10 pessoas não usam o produto A, portanto elas usam 
exclusivamente o produto A e que 2 não usam o produto A, então elas usam 
exclusivamente o produto B ficando da seguinte maneira: 
 
 
 
Como a questão falou que foram 15 pessoas que fizeram a pesquisa basta 
subtrairmos 15 – 12 = 3 que usam os dois produtos ao mesmo tempo. 
 
 
 
 
 
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
 
Critérios de divisibilidade são ferramentas utilizadas a fim de facilitar os problemas que 
envolvem a divisão, já que, quando vamos realizar essa operação, temos duas opções em 
relação ao resultado, ou a resposta é exata ou não. 
Quando a resposta é exata, dizemos que os números são divisíveis e o resto da divisão é 
zero. Agora, quando a divisão não é exata, dizemos que os números não são divisíveis e o resto 
da divisão é diferente de zero. Assim, para evitar a realização de uma imensidade de contas de 
divisão, estabeleceremos alguns critérios de divisibilidade dos números (de 1 a 10). 
 
DIVISIBILIDADE POR 1 
 
O critério de divisibilidade pro 1 é o mais trivial, visto que todo número inteiro é 
divisível por 1. 
 
DIVISIBILIDADE POR 2 
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https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/divisao.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/operacao-com-numeros-inteiros.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/resto-divisao.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/resto-divisao.htm
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22 
 
 
A divisibilidade por 2 é feita em qualquer número par, ou seja quaisquer números 
terminados em 0, 2, 4, 6 ou 8 são, com certeza, números divisíveis por 2. 
Exemplos: 
64 : 2 = 32 
 
32 : 2 = 16 
 
DIVISIBILIDADE POR 3 
 
Segundo esse critério, para encontrarmos os números que são divisíveis por 3, basta 
somarmos os algarismos dos números e se o resultado for divisível por 3, certamente, o 
número é divisível por 3. 
Exemplos: 
O número 14.321 é divisível por 3? 
1 + 4 + 3 + 2 + 1 = 11 
Nesse caso 11 não é um número divisível por 3, portanto 14.321 não é divisível por 3. 
 
O número 1.233 é divisível por 3? 
1 + 2 + 3 + 3 = 9 
Nesse caso 9 é um número divisível pro 3, portanto 1233 é divisível por 3. 
DIVISIBILIDADE POR 4 
 
Para saber se um número é divisível por 4, temos duas opções: todo número terminado 
em 00 é divisível pro 4; a segunda é que quando o número formado pelos dois últimos 
algarismos dor divisível por 4, esse número também será divisível por 4. 
Exemplos: 
1.800 é divisível por 4, pois termina em 00. 
 
6.432 é divisível por 4, porque o final 32 é um número divisível por 4. 
 
DIVISIBILIDADE POR 5 
 
Qualquer número natural que tenha final 0 ou 5 é divisível por 5. 
Exemplos: 
935 é divisível por 5, pois termina em 5 
 
12.400 é divisível por 5, porque é terminado em 0. 
 
DIVISIBILIDADE POR 6 
 
O critério de divisibilidade por 6 são todos os números que são divisíveis por 2 e por 3 
ao mesmo tempo. Lembrando que os números que são divisíveis por 2 são todos números 
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23 
 
pares, isso já exclui os números ímpares da divisibilidade pro 6, e a soma os algarismos desses 
números precisam ser divisíveis por 3. 
Exemplos: 
15.420 é divisível por 6? 
É um número par (divisível por 2) 
A soma dos algarismos 1 + 5 + 4 + 2 + 0 = 12 (é divisível por 3) 
 
Portanto 15.420 é um número divisível por 6. 
 
DIVISIBILIDADE POR 7 
 
Esse critério é diferente dos demais, mas é bem simples. Para verificarmos se um 
número é divisível por 7, basta multiplicar o último algarismo por 2 e com o resultado 
subtrair dos números que sobraram (não incluir o último), se esse resultado for divisível por 
7, o número é divisível por 7. Se o número foi grande, repetir o processo até conseguir 
verificar se o número é divisível por 7. 
Exemplo: 
574 é divisível por 7? 
 
Separa o último número e multiplica por 2. 
 
4 . 2 = 8 
 
Desse resultado subtrair do número que sobrou. 
57 – 8 = 49 
Como o resultado 49 é divisível por 7 então 574 é divisível por 7. 
 
DIVISIBILIDADE POR 8 
 
Os números que são divisíveis por 8 são todos aqueles que possuem final 000 ou que os 
três últimos algarismos sejam divisíveis por 8. 
Exemplos: 
14.000 é divisível por 8, pois termina em 000. 
 
226.168 é divisível por 8, pois 168 é divisível por 8. 
 
DIVISIBILIDADE POR 9 
 
O critério de divisibilidade por 9 segue a mesma linha de raciocínio do critério de 
divisibilidade por 3, ou seja, vamos somar os algarismos e se o resultado for divisível pro 9, o 
número será divisível por 9. 
Exemplos: 
1.575 é divisível por 9? 
 
1 + 5 + 7 + 5 = 18 
Como 18 é um número divisível por 9 então 1.575 também é um número divisível por 9. 
 
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DIVISIBILIDADE POR 10 
 
É o critério mais simples de divisibilidade, os números divisíveis por 10 terminam 
sempre em 0. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Determine o valor de X abaixo de forma que o número seja divisível por 3 e por 5. 
16X 
 
Gabarito: 165 
A regra para que um número seja divisível por 3 é que a soma dos algarismos 
seja divisível por 3 e a regra da divisibilidade por 5 é que o número seja final 0 e 5. 
Então se utilizarmos o 0 teremos 160: 
1 + 6 + 0 = 7 (não é um valor divisível por 3) 
Então só nos resta utilizarmos o 5 e teremos 165: 
1 + 6 + 5 = 12 (valor divisível por 3 e por 5) 
 
2. Um número é composto por 3 algarismos. O algarismo da centena é o 7 e o da unidade é 
o 4. A soma dos possíveis algarismos da dezena desse número de modo que ele seja 
divisível por 3 é: 
a) 15 
b) 18 
c) 12 
d) 9 
 
Gabarito: letra C 
A regra para que o número seja divisível por 3 é que a soma dos algarismos 
seja divisível pro 3. Nesse caso chamaremos de X, então, temos a seguinte 
situação: 
7X4 
Nesse caso, as possibilidades para que a soma seja divisível por 3 seriam: 
7 + 1 + 4 = 12 
7 + 4 + 4 = 15 
7 + 7 + 4 = 18 
Como o exercício pede a soma dos possíveis algarismos, temos: 
1 + 4 + 7 = 12 
 
 
3. Verifique se o número 123.411.571.200 é divisível por 6. 
 
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25 
 
Gabarito: Sim 
Para que o número seja divisível por 6, é necessário que ele simultaneamente 
divisível por 2 e por 3, ou seja precisa ser par (divisível por 2) e a soma dos 
algarismos precisam ser divisíveis por 3. 
É par. 
1+2+3+4+1+1+5+7+1+2+0+0 = 27. Como 27 é divisível por 3, então o 
número é divisível por 6. 
 
4. Chamamos de ano bissexto os anos que são divisíveis por 4 e, terminando em dois 
zeros, também devem ´ ser divisíveis por 400. Por, exemplo, 2000 e 2016 são bissextos, ˜ 
mas 2017 e 2100, não são. Quantos serão os anos bissextos no terceiro milênio? 
 
Gabarito: 
O terceiro milênio começou em 2001 e terminará em 2999. Neste intervalo, 
temos: 
o primeiro múltiplo de 4 é 2004 
 
4 . 501 = 2004 
 
e o último é 2996, que é 4 · 749 
 
4 . 749 = 2996 
 
Portanto temos: 
 
4 . 501 + 1 = 249 
 
 Ou seja existem 249 múltiplos de 4. 
Mas destes, os que terminam em dois zeros e não são múltiplos de 400 não
são bissextos, que são: 
 2100, 2200, 2300, 2500, 2600, 2700 e 2900. 
Portanto, no terceiro milênio teremos 249 − 7 = 242 anos bissextos. 
 
NÚMEROS INTEIROS 
 
Passaram-se mais 1000 anos entre a aparição e a aceitação da ideia de número negativo. 
Os hindus contribuíram bastante para que essa ideia fosse concebida ao desenvolverem um 
novo tipo de símbolo para representar dívidas. 
Antes da aceitação dos números negativos, quando se obtinham raízes negativas para 
uma equação, esses valores eram “negados”. Acredita-se que esse fato tenha contribuído para 
os valores negados serem posteriormente chamados de números negativos. 
Alguns historiadores acreditam que problemas relacionados com dinheiro é que 
acabaram contribuindo para que um número negativo fosse associado a ideia de perda. 
Foi em 628 d.C., em uma obra do matemático hindu Brahmagupta, que as regras 
utilizadas para operar com números negativos apareceram pela primeira vez. Brahmagupta 
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26 
 
não só usou os negativos em seus cálculos, mas sistematizou a aritmética dos números 
negativos. Depois disso. Muitos séculos se passaram para que o interesse por esse assunto 
fosse retomado. 
O conjunto dos números inteiros é representado pela letra maiúscula (Z). Em relação aos 
números que compõem esse conjunto é importantes saber que: 
Números inteiros positivos: são números naturais que podem ou não estarem 
acompanhados com o sinal positivo (+). Na reta numérica os números positivos sempre 
estarão à direita do zero quando a reta possuir o sentido horizontal. Caso a reta apresente o 
sentido vertical, os números inteiros positivos estão representados na parte superior da reta 
estando antes do número zero. 
Números inteiros negativos: os números inteiros negativos sempre estão acompanhados 
do sinal negativo (-). Na reta numérica com sentido horizontal, os números negativos sempre 
estão à esquerda do número zero. Já na reta com sentido vertical, os números negativos 
estarão localizados na parte inferior da reta, estando depois do zero 
Número zero: o zero é um número neutro, então ele não é positivo nem é negativo. 
 
MÓDULO DE UM NÚMERO INTEIRO 
Chama-se módulo (ou valor absoluto) de um número inteiro a distância ou o 
afastamento desse número até o zero, na reta numérica, sendo representado por: | | 
Portanto módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo. 
 
 
 
 O módulo de -3 é 3, e indica-se: | -3 |= 3 
 
NÚMEROS INTEIROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS 
 
Observe a reta numérica: 
 
 
 
Note que os números +3 e – 3 estão associados a pontos que se encontram a mesma 
distância do zero (eles possuem módulos iguais), mas situados em lados opostos na reta. Dois 
números inteiros que estão nessa condição são chamados números inteiros opostos ou 
simétricos. 
 
Exemplos: 
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MUDE SUA VIDA! 
27 
 
 
 +9 e – 9 são números opostos ou simétricos 
+ 9 é o oposto ou simétrico de – 9 e vice-versa. 
 
 +100 e -100 são números opostos ou simétricos 
+100 é o oposto ou simétrico de -100 e vice-versa. 
 
COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS 
 
Qual temperatura é mais baixa: -5°C, -2°C ou +2°C? 
Comparar os números inteiros situando-os sobre a reta numérica: 
 
 
 
 
 
Os números inteiros estão representados de forma crescente sobre a reta numérica. 
Portanto, -5 é menor que -2; este, por sua vez, é menor que 2. Escreve-se: -5 < – 2 < 2. 
O maior de dois ou mais números inteiros é o que está situado mais à direita na reta numérica. 
 
 Dentre os inteiros positivos, o maior é o de maior valor absoluto. Assim, 3 < 5, já 
que |3| = 3< N = 5. 
 
 Dentre os inteiros negativos, o maior é o de menor valor absoluto. Assim, -6 < -4, já 
que |-6| = 6 > |-4| = 4. 
 
O zero é maior do que qualquer número negativo e menor do que qualquer positivo. 
 
ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS 
 
Quando adicionamos números inteiros com o mesmo sinal, a soma é obtida adicionando 
seus módulos e mantendo o sinal. 
 
Exemplo: 
Ao disputar um torneio de handebol, a equipe da Escola do Bairro perdeu 2 pontos no 
primeiro turno e 4 pontos no segundo turno. Quantos pontos a equipe perdeu? 
 
(-2) + (-4)= - 6 
 
A equipe perdeu 6 pontos 
 
Quando adicionamos dois números inteiros de sinais diferentes, a soma é obtida 
efetuando-se a diferença entre seus módulos e mantendo o sinal do número que está mais 
distante da origem. 
 
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MUDE SUA VIDA! 
28 
 
Exemplo: 
Sidinelson entrou no elevador no andar térreo. Desceu, inicialmente, 2 andares e, em 
seguida subiu 6 andares. Em qual andar o elevador parou? 
 
(-2) + (+6)= + 4 
 
O elevador parou no 4° andar. 
 
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO 
 
 1° propriedade: 
A soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro. 
 
Exemplos: 
 
(+3) + (+5) = +8, e 8 ∊ Z (dizemos que 8 pertence ao conjunto do inteiros) 
 
(- 7) + (-3) = - 10, e -10 ∊ Z 
 
(+11) + (-8) = +3, e +3 ∊ Z 
 
(+7) + (-13) = -6, e -6 ∊ Z 
 
 2° propriedade: 
A ordem das parcelas em uma adição não altera a soma. 
 
Exemplos: 
 
(+11) + (-9) = +2 
 
(-9) + (+11) = +2 
 
 3° propriedade: 
Associando-se as parcelas de maneiras diferentes, obtém-se a mesma soma. 
 
Exemplos: 
 
(-8) + (-2) + (+7) = (-10) + (+7) = -3 
 
 
 
(-8) + (-2) + (+7) = (-8) + (+5) = -3 
 
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
29 
 
 4° propriedade: 
O número 0 é o elemento neutro da adição em Z. 
 
Exemplos: 
 
(+8) + 0 = 0 + (8) = 8 
 
(-7) + 0 = 0 + (-7) = -7 
 
Observação: 
Além dessas propriedades da adição, que também são válidas para o conjunto N, o 
conjunto Z apresenta uma nova propriedade: existência do elemento oposto. 
 
Exemplos: 
 
(-8) + (+8) = 0 
 
(+13) + (-13) = 0 
 
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS 
 
Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do 
segundo. 
 
Exemplos: 
 
(+13) – (+2) = (+13) + (-2) = + 11 
 
(+7) – (+15) = (+7) + (-15) = -8 
 
ADIÇÃO ALGÉBRICA 
 
Vamos considerar: 
 A adição em Z: (-7) + (+4)= - 3 
 A subtração em z: (-7) – (+4) = (-7) + (-4) = - 11 
Como toda subtração em Z pode ser transformada em adição, dizemos que a adição e a 
subtração de números inteiros podem ser consideradas uma única operação, chamada adição 
algébrica, cujo resultado é denominado soma algébrica. 
 
Exemplos: 
 
 8 – 10 
 
 -1 – 11 
 
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30 
 
 2 + 7 – 6 
 
 -13 + 2 + 6 
 
 -8 + 7 + 22 – 20 
 
Toda expressão numérica que contenha somente as operações de adição, ou 
subtração, ou ambas, representam uma adição algébrica. 
 
 Adição algébrica com parênteses precedidos do sinal + 
Exemplos: 
10 + (-6) 
= 10 – 6 
= 4 
 
-7 + (-5 + 4) 
= -7 – 5 + 4 
= -12 + 4 
= - 8 
 
Quando uma adição algébrica contém parênteses precedidos do sinal +, 
podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que os precede, escrevendo 
cada número que está no interior dos parênteses com o seu próprio sinal. 
 
 Adição algébrica com parênteses precedidos do sinal – 
 
10 – (-6) 
= 10 + 6 
= 16 
 
-7 – (-5 + 4) 
= -7 + (+5 – 4) 
= - 7 + 5 – 4 
= 5 – 11 
= - 6 
 
Quando uma adição algébrica contém parênteses precedidos do sinal -, 
podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que os precede, escrevendo 
cada número que está no interior dos parênteses com o sinal trocado. 
 
 
 
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31 
 
Observação: 
As mesmas regras valem para as adições algébricas em que aparecem colchetes e 
chaves, além dos parênteses. 
 
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS 
 
Apesar da ideia de número negativo ser largamente utilizada desde o século XVII, ela so 
foi plenamente aceita
a partir do século XIX. 
A multiplicação com números negativos foi mais difícil de ser aceita e compreendida 
naquela época. Passou-se um longo tempo para que os matemáticos pudessem dar um 
resultado para a multiplicação de dois números negativos. 
 
 1° caso: 
Os dois fatores são números inteiros positivos. 
 
(+6) . (+4) 
= 6 . 4 
= 24 
 
(+8) . (+15) 
= 8 . 15 
= 120 
 
A multiplicação de dois números inteiros positivos dá um número inteiro 
positivo. 
 
 2° caso: 
Um fator é número inteiro positivo e o outro é número inteiro negativo. 
 
(+6) . (-4) 
= - 24 
 
(-6) . (+4) 
= - 24 
 
A multiplicação de um número inteiro positivo por um número inteiro 
negativo, em qualquer ordem, resulta em um número inteiro negativo. 
 
 3° caso: 
Os dois fatores são números inteiros negativos. 
 
(-2) . (-3) 
= + 6 
 
 
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32 
 
(-5) . (-3) 
= + 15 
 
A multiplicação de dois números inteiros negativos resulta em um número 
inteiro positivo. 
 
Resumo: 
Na multiplicação de números inteiros temos o chamado “jogo de sinal” sendo: 
Sinais iguais: resposta será sempre positiva (+) 
Sinais diferentes: resposta será sempre negativa (-) 
 
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO 
 
 1° propriedade: 
O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro. 
 
(+7) . (+9) = +63, e +63 ∊ Z 
 
(-2) . (+14) = - 28, e – 28 ∊ Z 
 
 2° propriedade: 
A ordem dos fatores não altera o produto. 
 
(-9) . (+10) = - 90 
ou 
(+10) . (-9) = - 90 
 
 3° propriedade: 
Associando-se os fatores de maneiras diferentes, obtém-se o mesmo produto. 
 
(-10) . (+8) . (+5) = (-80) . (+5) = - 400 
 
 
 
(-10) . (+8) . (+5) = (-10) . (+40) = - 400 
 
 
 4° propriedade: 
O número +1 é o elemento neutro da multiplicação de números inteiros. 
 
(+8) . (+1) = +8 
 
(-10) . (+1) = - 10 
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33 
 
 
 5° propriedade: 
Para multiplicar um número inteiro por uma soma algébrica, podemos multiplicar cada 
parcela pelo número e adicionar, a seguir, os resultados obtidos. 
 
(+6) . [(+3) + (-5)] = (+18) + (-30) = 18 – 30 = -12 
 
 
Essa é a propriedade distributiva em relação à adição algébrica. 
 
DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS 
 
A divisão de números inteiros segue o mesmo critério da multiplicação, realizando o 
mesmo “jogo de sinal”. Lembrando apenas que a divisão nem sempre pode ser realizada no 
conjunto Z. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Pedro tirou menos de uma centena de fotos da festa de comemoração ao seu aniversário 
e quer colocá-las todas num álbum de 20 páginas. Em cada página desse álbum cabem, no 
máximo, 10 fotos. Inicialmente, Pedro tentou colocar 6 fotos em cada página. Ao final, 
depois de preenchidas algumas páginas do álbum, ficou sobrando uma foto. Em nova 
tentativa, dispôs 7 fotos por página e ainda assim sobrou uma foto. Finalmente, Pedro 
conseguiu colocar todas as fotos, de modo que cada página contivesse o mesmo número de 
fotos. Quantas páginas do álbum Pedro preencheu? 
 
a) 9 
b) 17 
c) 18 
d) 19 
e) 20 
 
Gabarito: letra b 
Primeiramente devemos descobrir as duas equações que estão subentendidas 
na pergunta, adotando as seguintes incógnitas: 
 
X= números de páginas 
Y= total de fotos 
Z= números de páginas na nova tentativa 
 
Equação da primeira tentativa: 6 . 𝑥 + 1 = 𝑦 
Equação da segunda tentativa: 7 . 𝑧 + 1 = 𝑦 
 
Como o total de fotos é igual em ambas as tentativas temos: 
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34 
 
6 . 𝑥 + 1 = 7 . 𝑧 + 1 
 
Usando o método da tentativa, deve-se pensar nos valores numéricos que 
podem ser a solução para a equação, posteriormente iremos ver que esse tipo de 
exercício pode se resolvido por sistema de equações. 
Pelo método da tentativa temos que as equações são iguais quando: 
 
𝑥 = (7,14) 𝑒 𝑧 = (6,12) 
 
Para verificar a validade dos valores encontrados para x e z basta tirarmos 
prova real: 
 
Para x= 7 e z =6 
6 . 𝑥 + 1 = 7 . 𝑧 + 1 
 
6 . 7 + 1 = 7 . 6 + 1 
 
42 + 1 = 42 + 1 
 
43 = 43 
 
Para x= 14 e z =12 
6 . 𝑥 + 1 = 7 . 𝑧 + 1 
 
6 . 14 + 1 = 7 . 12 + 1 
 
84 + 1 = 84 + 1 
 
85 = 85 
 
Considerando os valores que encontramos 43 ou 85, adotamos 85 pois 43 é 
um número primo. Portanto devemos fatorar o 85 com a finalidade de encontrar a 
quantidade de fotos que teríamos por página. 
 
85 5 
17 17 
1 
 
 
85 = 5 . 17 . 1 
 
Portanto é possível ter: 5 fotos por páginas, 17 fotos por página ou 1 foto por 
página e de todas as alternativas a única que é a resposta é 17, pois o álbum 
possui somente 20 páginas. 
 
 
 
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35 
 
2. Se a soma e a diferença entre dois números inteiros são, respectivamente, iguais a 33 e 
7, o produto desse números é: 
 
a) 400 
b) 260 
c) 13 
d) 20 
e) 169 
 
Gabarito: letra b 
Adotando os números inteiros como X e Y. Em seguida, escreveremos as 
equações descritas na pergunta. 
A soma entre dois números inteiros é 33: 
 
𝑥 + 𝑦 = 33 
 
A diferença entre dois números inteiros é 7: 
 
𝑥 − 𝑦 = 7 
 
Solucionando temos: 
 
𝑥 + 𝑦 = 33 
𝑥 − 𝑦 = 7 
 
Isolando uma incógnita na 2 equação temos: 
 
𝑥 = 7 + 𝑦 
 
Substituindo o valor de X na 1° equação temos: 
 
𝑥 + 𝑦 = 33 
 
7 + 𝑦 + 𝑦 = 33 
 
2𝑦 = 33 − 7 
 
2𝑦 = 26 
 
𝑦 =
26
2
 
 
𝑦 = 13 
 
Substituindo o valor de Y temos: 
 
𝑥 = 7 + 𝑦 
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36 
 
𝑥 = 7 + 13 
𝑥 = 20 
 
Portanto basta fazer o produto entre X e Y 
 
𝑥 . 𝑦 
20 . 13 
260 
 
3. Qual é o valor da expressão abaixo sabendo que é o produto de quinze fatores: 
 
(−1). (−1). (−1) … (−1). (−1) 
 
Gabarito: -1 
Como o exercício citou que é um produto de 15 fatores iguais então temos 
uma potência com base (-1) e um expoente igual a 15. 
 
(−1)15 
Como o expoente é um número ímpar então sabemos que o sinal da resposta 
será igual ao original ou seja negativo, e como é uma multiplicação por 1 será igual 
a 1 com o sinal original sendo: 
−1 
 
 
4. Sidinilson e Sidinelma ganharam, ao todo, 23 bombons. Se Sidinilson comesse 3 
bombons e desse 2 para Sidinelma, eles ficariam com o mesmo número de bombons. 
Quantos bombons ganhou cada um deles? 
Gabarito: Sidinilson tem 15 e Sidinelma tem 8 
Adotando a quantidade de bombons de cada um sendo: 
Sidinilson X 
Sidinelma Y 
Agora montando a equação referente ao enunciado temos: 
Sidinilson e Sidinelma ganharam ao todo 23 bombons: 
𝑥 + 𝑦 = 23 
 
Sidinilson comesse 3: 
𝑥 − 3 
Desse 2 para Sidinelma: 
 
𝑥 − 2 
𝑦 + 2 
Temos a seguinte equação: 
𝑥 + 𝑦 = 23 
𝑥 − 5 = 𝑦 + 2 
 
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37 
 
Isolando uma incógnita na 2° equação temos: 
𝑥 = 𝑦 + 2 + 5 
𝑥 = 𝑦 + 7 
 
Substituindo na 1° equação temos: 
𝑥 + 𝑦 = 23 
𝑦 + 7 + 𝑦 = 23 
2𝑦 = 23 − 7 
2𝑦 = 16 
𝑦 =
16
2
 
𝑦 = 8 
 
Substituindo temos: 
𝑥 = 𝑦 + 7 
𝑥 = 8 + 7 
𝑥 = 15 
 
Portanto Sidinilson tem 15 bombons e Sidinelma tem 8 bombons. 
 
 
 
MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO NATURAL 
 
QUANDO UM NÚMERO É MÚLTIPLO DE OUTRO 
 
A palavra “múltiplo” está ligada a operação de multiplicação. Assim quando queremos 
determinar os múltiplos de um número natural, por exemplo do 4, multiplicamos pela 
sucessão de números naturais: 
 
4 . 0 = 0 
4 . 1 = 4 
4 . 2 = 8 
4 . 3 = 12 
4 . 4 = 16 
... 
Portanto podemos dizer que o conjuntos dos múltiplos naturais de 4 é: 
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, ...} 
 
Um número natural A será múltiplo de um número natural B diferente de 
zero, quando A for divisível por B ou B divisor de A. 
 
Exemplo: 
 
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132 é múltiplo de 11? 
 
132 : 11 = 12 
 
Portanto 132 é múltiplo
de 11 
Ser múltiplo de é o mesmo que ser divisível por. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Quantos números naturais menores que 100 e múltiplos de 15 temos: 
 
a) 7 
b) 6 
c) 15 
d) 8 
e) 9 
Gabarito: letra b 
Sabemos que os múltiplos de 15 são os resultados da multiplicação do 
número 15 por todos os inteiros. Como o exercício pede para escrever os números 
naturais menores que 100 e que são múltiplos de 15, devemos multiplicar o 15 por 
todos os números maiores que zero, até encontrarmos o maior múltiplo antes de 
100, assim: 
15 . 1 = 15 
15 . 2 = 30 
15 . 3 = 45 
15 . 4 = 60 
15 . 5 = 75 
15 . 6 = 90 
15 . 7 = 105 
 
Como o exercício pediu os números menores que 100 temos: 
 
(15, 30, 45, 60,75, 90) 
 
 
 
2. Qual o maior múltiplo de 5 entre 100 e 1001? 
 
Gabarito: 1000 
Para determinar o maior múltiplo de 5 entre 100 e 1001, basta identificar qual 
o primeiro múltiplo de 5 de trás para frente. 
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MUDE SUA VIDA! 
39 
 
1001 não é múltiplo de 5, pois não existe inteiro que, multiplicado por 5, 
resulte em 1001. 
1000 é múltiplo de 5, pois 1000 = 5 · 200. 
Portanto, o maior múltiplo de 5, entre 100 e 1001, é o 1000. 
 
 
3. Um escritório comprou os seguintes itens: 140 marcadores de texto, 120 corretivos e 
148 blocos de rascunho e dividiu esse material em pacotinhos, cada um deles contendo 
um só tipo de material, porém todos com o mesmo número de itens e na maior 
quantidade possível. Sabendo-se que todos os itens foram utilizados, então o número 
total de pacotinhos feitos foi 
 
a) 74. 
b) 88 
c) 96 
d) 102 
e) 112 
 
Gabarito: letra d 
A quantidade máxima de itens em cada pacotinho para que eles tenham a 
mesma quantidade de itens será dada pelo MDC entre o número de marcadores, 
corretivos e blocos de rascunho. 
 
140, 120, 148 2 
 70, 60, 74 2 
 35, 30, 37 2 
 35, 15, 37 3 
 35, 5, 37 5 
 7, 1, 37 7 
 1, 1, 37 37 
 1, 1, 1 2² = 4 
 
 
O número máximo de itens em cada pacote é 4. Como esse pacotinho deve 
conter apenas itens de um mesmo tipo, calcularemos quantos pacotinhos serão 
usados da seguinte maneira: 
 
140:4 = 35 
120:4 = 30 
148:4 = 37 
35 + 30 + 37 = 102 pacotinho 
 
 
 
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40 
 
4. Os valores de A, B, C na tabela abaixo são respectivamente: 
 
 
 
Gabarito: 4824, 4824, 4836 
Como temos divisões dos valores alguns com resto outros não basta 
efetuarmos as operações inversas, lembrando que onde temos divisões inteiras 
com resto zero, basta multiplicarmos e onde temos divisões com resto além da 
multiplicação temos que somar o resto ao valor encontrado ficando assim: 
 
𝑎 ∶ 24 = 201 
 
𝑏 ∶ 201 = 24 
 
𝑐 ∶ 201 = 24 𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 12 
 
201 . 24 = 𝑎 
𝑎 = 4824 
 
24 . 201 = 𝑏 
𝑏 = 4824 
 
24 . 201 + 12 = 𝑐 
𝑐 = 4836 
 
 
NÚMEROS PRIMOS 
 
Um número é classificado como primo se ele é maior do que um e é divisível apenas por 
um e por ele mesmo. Apenas números naturais são classificados como primos. Antes de saber 
mais sobre o número primo, é importante relembrar algumas regras de divisibilidade, que 
ajudam na identificação de quais números não são primos. 
 
 Divisibilidade por 2: todo número par é divisível por 2. Os números pares são 
aqueles terminados em 0, 2, 4, 6 e 8. 
 
 Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos 
der um número divisível por 3. 
 
 Divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 se ele for divisível duas vezes por 
2 ou, então, se seus dois últimos algarismos forem divisíveis por 4. 
 
 Divisibilidade por 5: todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por cinco. 
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41 
 
 
 Divisibilidade por 6: se um número for par e também divisível por 3, será divisível 
por 6. 
 
 Divisibilidade por 7: um número é divisível por 7 se a diferença entre o dobro do 
último algarismo e o restante do número resultar em um número múltiplo de 7. 
 
Essas são as principais regras de divisibilidade. Para encontrar cada número primo 
menor do que 100, utilizamos o “Crivo de Eratóstenes”. Na figura a seguir, iremos cancelar os 
números que não são primos seguindo esta ordem: 
 O número 1 estará fora, pois, pela condição inicial, os números primos são maiores 
que um (será destacado de preto) 
 
 Os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8 estarão fora porque são divisíveis por dois 
(serão destacados vermelho); 
 
 Os números terminados em 5 estarão fora porque são divisíveis por 5 (serão 
destacados de azul). Os números terminados em zero já foram cortados; 
 
 Os números cuja soma dos algarismos for 3 estarão fora por serem divisíveis por 
três (serão destacados de laranja); 
 
 Os números que são divisíveis por 7 serão retirados também (serão destacados 
de verde). 
 
 
 
 
Os números destacados em amarelo são aqueles que só são divisíveis por 1 e por eles 
mesmos, isto é, não obedecem a nenhum dos critérios de divisibilidade que comentamos 
acima. Portanto, pelo “Crivo de Eratóstenes”, os números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 
37, 41, 43, 47,53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97 são os únicos números primos menores 
que 100. 
 
 
 
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42 
 
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS 
 
Vamos escrever alguns números naturais compostos como uma multiplicação de fatores 
primos. 
 
4 = 2 . 2 
 
Produto de fatores primos 
 
30 = 3 . 10 
 
 
30 = 3 . 2 . 5 
Todo número natural não primo maior que 1 pode ser escrito na forma de 
multiplicação, que é chamada forma fatorada completa, em que todos os fatores 
são números primos. 
 
Para chegarmos a forma fatorada completa de um número natural, fazemos uma 
decomposição em fatores primos, que consiste em: 
 Dividir inicialmente o número dado por seu menor divisor primo; 
 Dividir o quociente obtido por seu menos divisor primo; 
 Repetir esse procedimento até obter o quociente 1. 
 
Exemplos: 
Como escrever 110 na sua forma fatorada completa? 
 
 
 
110 2 
 
0 55 5 
 
 0 11 11 
 
 0 1 
 
 
110 2 
55 5 
11 11 
1 
 
Então 110 = 2 . 5 . 11 (todos os fatores são primos) 
 
 
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
43 
 
Como decompor o número 315 em fatores primos? 
 
315 3 
 
0 105 3 
 
 0 35 5 
 
 0 7 7 
 
 0 0 
 
 
325 3 
105 3 
35 5 
 7 7 
 1 
 
Então: 315 = 3 . 3 . 5 . 7 ( todos os fatores são primos) 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Determine o produto dos cinco primeiros números primos, quando dispostos em ordem 
crescente. 
 
a) 2310 
b) 210 
c) 30030 
d) 2520 
e) 15015 
Gabarito: letra a 
Como o exercício pediu o produto dos cinco primeiros números primos em 
ordem crescente então basta multiplicarmos: 2, 3, 5, 7 e 11, apenas lembrando 
que o número 1 não é primo. 
Portanto: 
2 . 3 . 5 . 7 . 11 = 2310 
 
2. Quais dos números a seguir são primos? Justifique. 
 
a) 88 
b) 19 
c) 101 
 
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MUDE SUA VIDA! 
44 
 
Gabarito: letra c 
Para ser número primo, um número deve ser divisível apenas por 1 e por ele 
mesmo. Em outras palavras, caso um número seja múltiplo de qualquer outro, ele 
não é primo. 
a) 88 é divisível por 2, 4, 8, 11, 22, entre outros. Logo, como existem 
divisores diferentes de 1 e de 88, dizemos que 88 não é primo. 
b) 19 não é divisível por qualquer número. Existem dois resultados para 
facilitar os cálculos. O primeiro diz que o 19 não é divisível por nenhum número 
maior que ele. O segundo afirma
que, para testar se 19 é divisível por algum 
número, é necessário tentar dividi-lo por todos os números entre 1 e metade de 
19. Não é necessário tentar dividi-lo por qualquer número maior que sua metade. 
Logo, 19 não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5, nem por 7, nem por 11. 
Como 11 já é maior que metade de 19, não é necessário tentar mais nenhuma 
divisão. 
c) 101 é primo porque não é divisível por nenhum número primo menor que 
ele. 
 
 
3. Determine o valor de n/2, sabendo que é o número de divisores naturais de 3000. 
 
a) 3 
b) 4 
c) 8 
d) 16 
e) 24 
 
Gabarito: letra d 
 
Vamos calcular a quantidade de divisores naturais de 3000. Para tanto, vamos 
fatorá-lo: 
 
3000 2 
1500 2 
750 2 
375 3 
125 5 
 25 5 
 5 5 
 1 
 
3000 = 2³ . 3¹ . 5³ 
 
Para calcular o número de divisores, basta somar 1 a cada expoente e depois 
multiplicá-los: 
𝑛 = 4 .2 .4 
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45 
 
𝑛 = 32 
 
Como a questão pede n/2: 
𝑛 =
32
2
 
 
𝑛 = 16 
 
 
4. Sendo D o número de divisores naturais de 252, e N o número de divisores naturais de 
1296, então o valor de 2.D + 3.N será: 
a) 18 
b) 25 
c) 43 
d) 75 
e) 111 
 
Gabarito: letra e 
Vamos calcular a quantidade de divisores de cada um dos números. Para isso 
precisamos fatorá-los: 
 
252 2 
126 2 
63 3 
21 3 
7 7 
 2 . 2 . 3 . 3 . 7 = 2² . 3² . 7 
 
1296 2 
 648 2 
324 2 
162 2 
81 3 
27 3 
9 3 
3 3 
1 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 3 = 24 . 34 
 
 
Para saber o número de divisores, basta somar 1 a cada expoente e 
multiplicá-los: 
252 tem 3.3.2 = 18 divisores 
1296 tem 5.5 = 25 divisores 
 
Assim, 2.D + 3.N: 
2 . 18 + 3 . 25 
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46 
 
36 + 75 
111 
 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM, MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
MÁXIMO DIVISOR COMUM 
 
Acompanhe a situação a seguir. 
 
 Preciso saber quais são os divisores comuns dos números naturais 40 e 60 e, 
dentre esses, qual é o maior. 
Primeiro, determinamos os divisores de 40 e os divisores de 60: 
 
D(40) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} 
D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} 
 
Observando esses conjuntos, percebemos que os divisores comuns de 40 e 60 são: 
1, 2, 4, 5 e 20 
O maior nesse caso é o 20. Então, 20 é o máximo divisor comum entre 40 e 60. 
 
m.d.c(40,60) = 20 
Dados dois ou mais números naturais, não simultaneamente nulos, 
denomina-se máximo divisor comum desses números o maior dos seus divisores 
comuns. 
Outra forma e no caso a mais usual de encontrar o máximo divisor comum (m.d.c) é 
fazer a decomposição simultânea dos números e considerar apenas os fatores primos comuns 
de 40 e 60. 
 
 
 
40,60 2 fator comum 
20,30 2 fator comum 
10,15 2 não é fator comum porque não divide o 15 
5 , 15 3 não é fator comum porque não divide o 5 
5, 5 5 fator comum 
1, 1 
 
O produto desses fatores será o m.d.c procurado: 
 
m.d.c. (40,60) = 2 . 2 . 5 
m.d.c. (40,60) = 20 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
 
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MUDE SUA VIDA! 
47 
 
Acompanhe a situação a seguir. 
 
 Um número natural N, diferente de zero, é o menos múltiplo de 12, 15 e 20 ao 
mesmo tempo. Qual é o número N? 
Para resolvermos esse problema, inicialmente escrevemos os conjuntos de múltiplos de 
12, 15 e 20: 
 
M(12)= {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, ...} 
M(15)= {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, ...} 
M(12)= {0, 20, 40, 60, 80, 100, ...} 
 
Observando esses conjuntos, verificamos que o menor número natural, diferente de 
zero, múltiplo ao mesmo tempo de 12, 15 e 20, é 60. 
O número 60 é chamado de mínimo múltiplo comum (m.m.c) de 12, 15 e 20. 
 
m.m.c. (12, 15, 20) = 60 
 
Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se mínimo 
múltiplo comum desses números o menor de seus múltiplos comuns que seja 
diferente de zero. 
Outra forma de encontrar o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) é fazendo a decomposição 
simultânea e considerar todos os fatores primos usados nas divisões dos três números dados. 
 
12, 15, 20 2 
 6, 15, 10 2 
 3, 15, 5 3 
 1, 5, 5 5 
 1, 1, 1 
 
m.mc (12, 15, 20) = 2 . 2 . 3 . 5 = 60 
 
EXERCÍCIOS 
1. Dois navios fazem viagens entre dois portos: o primeiro navio viaja a cada 24 dias, e o 
segundo, a cada 30 dias. Se esses navios, em determinado dia, partirem juntos, depois de 
quantos dias voltarão a sair juntos? 
 
Gabarito: 120 dias 
 
Para resolver esse problema é necessário encontrar o número que representa 
o menor múltiplo comum dos números dados, ou seja, o m.m.c. (24, 30) 
 
24, 30 2 
12, 15 2 
 6, 15 2 
 3, 15 3 
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MUDE SUA VIDA! 
48 
 
 1, 5 5 
 1, 1 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 120 
 
 
 
2. Vovó foi viajar com a turma da Melhor Idade do bairro. Quantos idosos havia na viagem 
sabendo que eram menos de 60 e podemos conta-los de 8 em 8 ou de 10 em 10? 
Gabarito: 40 pessoas 
 
Como as pessoas podem ser contatadas de 8 em 8 ou de 10 em 10, basta 
encontrarmos o menor múltiplo comum dos números dados, ou seja, o m.m.c 
(8,10) 
 
8, 10 2 
4, 5 2 
2, 5 2 
1, 5 5 
1, 1 2 . 2 . 2 . 5 = 40 
 
3. Uma abelha rainha dividiu as abelhas de sua colmeia nos seguintes grupos para 
exploração ambiental: um composto de 288 batedoras e outro de 360 engenheiras. Sendo 
você a abelha rainha e sabendo que cada grupo deve ser dividido em equipes constituídas 
de um mesmo e maior número de abelhas possível, então você redistribuiria suas abelhas 
em: 
a) 8 grupos de 81 abelhas. 
b) 9 grupos de 72 abelhas. 
c) 24 grupos de 27 abelhas 
d) 2 grupos de 324 abelhas. 
Gabarito: letra b 
Para resolver essa questão devemos fatorar 288 e 360 simultaneamente. 
Depois da fatoração iremos obter o seu m.d.c. 
 
360, 288 2 
180, 144 2 
 90, 72 2 
 45, 36 2 
 45, 18 2 
 45, 9 3 
 15, 3 3 
 5, 1 5 
 1, 1 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 72 abelhas 
 
Portanto cada grupo terá 72 abelhas. Para saber a quantidade de grupos 
basta dividir o total de abelhas por 72. Veja: 
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49 
 
288 + 360 = 648 
 
 9 grupos 
 
 
4. Um feirante deseja distribuir 576 goiabas, 432 laranjas e 504 maçãs entre várias famílias 
de um bairro carente. A exigência do feirante é que a distribuição seja feita de modo que 
cada família receba o mesmo e o menor número possível de frutas de uma mesma espécie. 
A quantidade total de frutas recebida por cada família representa um número: 
 
a) Divisível por 9 
b) Múltiplo de 7 
c) Múltiplo de 12 
d) Entre 40 e 50 
Gabarito: letra b 
Primeiro passo é analisar qual será a situação que ficará com o feirante após 
essa distribuição ou seja após distribuir as frutas o feirante ficará com uma 
quantidade menor do que existia, portanto temos uma situação que envolve M.D.C: 
 
 
576, 432, 504 2 
288, 216, 252 2 
144, 108, 126 2 
 72, 54, 63 3 
 24, 18, 21 3 
 8, 6, 7 72 
 
O exercício pediu a quantidade de frutas que cada família irá receber portanto 
se olharmos para o M.D.C conseguimos analisar que: 
Serão 72 famílias e que cada família receberá: 
8 goiabas 
6 laranjas 
7 maças 
Ou seja 21 frutas que é um número múltiplo de 7. 
 
FRAÇÕES 
A IDEIA DE FRAÇÃO 
As primeiras notícias do uso das frações vêm do antigo Egito. As terras que margeavam 
o Rio Nilo eram dividas entre os grupos familiares em troca de pagamento de tributos ao 
Estado. 
Como o Rio Nilo sofria inundações periódicas, as terras tinham de ser sempre medidas 
de remarcadas, já que o tributo era pago proporcionalmente à área a ser cultivada. 
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MUDE SUA VIDA! 
50 
 
Os números fracionários surgiram
da necessidade de representar uma medida que não 
tem uma quantidade inteira de unidades, isto é, da necessidade de se repartir a unidade de 
medida. 
Os egípcios conheciam as frações de numerador 1 e esta era a forma que eles usavam 
para representa-las: 
 
Fração é a representação de uma parte de algo inteiro. Assim, podemos dizer que a 
fração representa uma quantidade, isto é, uma forma numérica. Sendo essa então 
um número, é possível considerar as operações básicas da matemática, 
como adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. 
O conjunto numérico no qual as frações estão contidas é chamado de conjunto 
dos números racionais, que é representado geralmente da seguinte maneira: 
 
 
 
Nomeamos a parte de cima, aqui representada pela letra a, de numerador, e a parte de 
baixo, aqui representada por b, de denominador. 
Essas medidas fracionárias não são números naturais, são exemplos de números 
chamados números racionais. 
 
Número racional é aquele que pode ser representado na forma de fração ou 
seja, do modo 
𝑎
𝑏
, em que a e b são números naturais, com b≠ 0 
 
CONHECENDO AS FRAÇÕES 
 
Vamos representar algumas frações utilizando um exemplo de uma tira de papel 
conforme figura abaixo: 
 
 
Dobramos a tira ao meio e obtemos duas partes iguais, no caso cada parte obtida 
representa a metade ou um meio da tira, sendo a representação numérica 
1
2
 (um meio) 
conforme figura abaixo. 
 
 
 
 
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https://brasilescola.uol.com.br/matematica/adicao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/subtracao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-numeros-inteiros.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/potenciacao-numeros-reais.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm
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MUDE SUA VIDA! 
51 
 
Caso a tira seja dividida em três partes iguais, cada parte da tira inteira representa a 
terça parte ou um terço da tira, onde a representação numérica é 
1
3
 (um terço), conforme 
figura abaixo. 
 
 
 
 
Se a tira for dividida em quatro partes iguais, cada parte da tira inteira representa a 
quarta parte ou um quarto da tira, onde a representação numérica é 
1
4
 (um quarto), conforme 
figura abaixo. 
 
 
 
 
O numerador e o denominador são os termos de uma fração. 
 
 
 
O denominador indica em quantas partes iguais a unidade foi dividida, o numerador 
indica quantas dessas partes foram consideradas. 
Veja como são lidas (ou escritas por extenso) algumas frações: 
 
 
FRAÇÕES EQUIVALENTES 
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MUDE SUA VIDA! 
52 
 
 
Frações equivalentes são aquelas frações que correspondem ao mesmo valor numérico, 
isso significa que representam a mesma quantidade fracionária. Por exemplo 
1
2
,
2
4
,
4
8
 . Como 
pode ser observado na figura a seguir, essas frações são iguais, já que representam a mesma 
quantidade. 
 
 
 
Podemos obter frações equivalentes apenas multiplicando ou dividindo o numerador e o 
denominador pelo mesmo número diferente de zero. Assim, na fração 
1
2
 , se multiplicarmos o 
numerador e denominador por 2, 3 ou 10, temos, respectivamente: 
1
2
=
1 .2
2 .2
=
2
4
 ou 
1
2
=
1 .3
2 .3
=
3
6
 ou 
1
2
=
1 .10
2 .10
=
10
20
 
Podemos também utilizar a operação de divisão, assim .
10
20
=
10 ∶ 2 
20∶2
=
5
10
 
Desse modo, podemos escrever
1
2
=
2
4
=
3
6
=
5
10
=
10
20
 e, além dessas, podemos obter 
infinitas frações equivalentes, já que tempos infinitos números que podem ser multiplicados 
ou divididos. 
É importante lembrar que qualquer fração pode ser escrita de formas equivalentes e 
que, ao calcular uma fração equivalente, sempre utilizamos o mesmo número para multiplicar 
ou dividir tanto o numerador quanto o denominador, somente assim pode-se garantir que o 
valor numérico não foi alterado. Isso ocorre porque quando multiplicamos e dividimos pelo 
mesmo número, estamos apenas multiplicando por 1. Se, por alguma desatenção, 
multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador por valores diferentes, a fração 
obtida não será uma fração equivalente e, portanto, não se pode manter a igualdade. 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES: FRAÇÕES IRREDUTÍVEIS 
 
Simplificar uma fração significa obter uma fração equivalente à fração dada, escrita com 
termos menores. 
Exemplo: 
 
 
48
72
 = 
24
36
 = 
12
18
 = 
6
9
 = 
2
3
 
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
53 
 
Dividimos sucessivamente o numerador e o denominador da fração por um divisor 
comum até obtermos a fração com os menores termos possíveis. 
 
 
Para simplificar uma fração, devemos dividir o numerador e o denominador da 
fração dada por um mesmo número maior que 1. 
 
Essa fração, cujos termos devem ser primos entre si, é chamada forma simplificada ou 
forma irredutível da fração dada. 
Assim, a fração 
2
3
 é a forma irredutível da fração 
48
72
. 
Outro caminho que podemos seguir para simplificar frações é efetuar um única divisão 
pelo maior divisor comum dos termos da fração, no caso, pelo número 24. 
 
 
48
72
 = 
2
3
 
 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
A adição e a subtração de frações podem ser divididas em dois casos: o primeiro para 
frações que possuem denominadores iguais e o segundo para aquelas que 
possuem denominadores diferentes. 
 
 Primeiro caso: Frações com denominadores iguais 
 
Para somar ou subtrair frações que possuem denominadores iguais, faça o seguinte: 
Some (ou subtraia) os numeradores e mantenha o denominador das frações como 
denominador do resultado. Observe o exemplo abaixo: 
 
4
2
+
3
2
=
4 + 3
2
=
7
2
 
 
 Segundo caso: Frações com denominadores diferentes 
 
Para somar (ou subtrair) frações com denominadores diferentes, é necessário substituí-
las por outras que possuam denominadores iguais, mas que sejam equivalentes às primeiras. 
Para encontrar essas frações equivalentes, siga as instruções a seguir. Para melhor 
compreensão do leitor, usaremos o exemplo abaixo para ilustrar uma soma/subtração de 
frações por meio do passo a passo proposto. 
 
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MUDE SUA VIDA! 
54 
 
2
4
+
10
12
−
3
6
 
 
 Primeiro passo: Encontrar um denominador comum 
 
Para encontrar o denominador comum, faça o mínimo múltiplo comum dos 
denominadores de todas as frações envolvidas na expressão numérica. A partir desse MMC, é 
possível encontrar todas as frações equivalentes necessárias para realizar a operação em 
questão. 
Exemplo: Como as frações possuem denominadores diferentes, não é possível somá-las 
ou subtraí-las diretamente. O MMC entre seus denominadores será: 
 
4, 12 , 6 2 
2, 6 , 3 2 
1, 3, 3 3 
1, 1, 1 12 
 
O número 12 será o denominador das frações equivalentes, por isso podemos escrever: 
 
2
4
+
10
12
−
3
6
=
?
12
+
?
12
−
?
12
 
 
 Segundo passo: Encontrar o primeiro numerador 
 
Para encontrar o primeiro numerador, utilize a primeira fração da soma original. Divida 
o MMC encontrado pelo denominador da primeira fração e multiplique o resultado pelo seu 
numerador. O número obtido será o numerador da primeira fração equivalente. 
 
 
(12:4) · 2 = 3 · 2 = 6. Então, basta colocar o numerador da primeira fração em seu lugar. 
Observe: 
2
4
+
10
12
−
3
6
=
6
12
+
?
12
−
?
12
 
 
 Terceiro passo: Encontrar o restante dos numeradores 
 
Repita o procedimento anterior para cada fração presente na operação. Ao final, terá 
encontrado
todas as frações equivalentes. 
Exemplo: Agora realizando o mesmo procedimento para as duas últimas frações, 
encontraremos os resultados (12:12)·10 = 1 · 10 = 10 e (12:6)·3 = 2 · 3 = 6. 
 
2
4
+
10
12
−
3
6
=
6
12
+
10
12
−
6
12
 
 
 Quarto passo: Primeiro caso 
 
Após encontrar todas as frações equivalentes, elas terão denominadores iguais e sua 
adição ou subtração poderá ser feita exatamente como no primeiro caso de frações que 
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MUDE SUA VIDA! 
55 
 
possuem denominadores iguais. No exemplo utilizado, o resultado da primeira soma de 
frações é equivalente ao resultado da segunda, portanto: 
Dessa maneira, podemos escrever o seguinte: 
 
6
12
+
10
12
−
6
12
=
22
12
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
Considere duas frações a/b e c/d, com b e d diferentes de zero. A multiplicação de 
frações é definida da seguinte forma: 
 
𝑎
𝑏
 . 
𝑐
𝑑
=
𝑎 . 𝑐
𝑏. 𝑑
 
 
Observe que o produto é uma fração cujo numerador é obtido através da multiplicação 
dos numeradores das duas frações e o denominador da fração resultante é obtido 
multiplicando os dois denominadores das frações iniciais. 
 
Exemplo: 
 
4
3
 . 
7
2
=
28
6
 
 
DIVISÃO DE FRAÇÕES 
 
Dividir frações é tão simples quanto multiplicar. Já sabemos que frações são números 
representados na forma de uma razão entre de dois números inteiros ou que simbolizam uma 
proporção. 
Para dividirmos as frações basta multiplicarmos a fração que está no numerador pelo 
inverso da fração que está no denominador. Veja abaixo a regra: 
 
𝑎
𝑏
∶ 
𝑐
𝑑
=
𝑎 . 𝑏
𝑏 . 𝑐
 
 
Ou também podemos escrever: 
 
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
 =
𝑎 . 𝑏
𝑏 . 𝑐
 
 
Se uma fração estiver dividindo um número a, temos: 
 
𝑎 ∶
𝑏
𝑐
= 
𝑎
𝑐
𝑑
=
𝑎
1
 .
𝑐
𝑏
=
𝑎. 𝑐
𝑏
 
 
E se um número divide uma fração: 
 
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https://www.infoescola.com/matematica/multiplicacao-de-fracoes/
https://www.infoescola.com/matematica/fracoes/
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MUDE SUA VIDA! 
56 
 
𝑏
𝑐
∶ 𝑎 = 
𝑏
𝑐
𝑎
=
𝑏
𝑐
 .
1
𝑎
=
𝑏
𝑐 . 𝑎
 
 
EXERCÍCIOS 
1. Um auxiliar de enfermagem deve trabalhar 30 horas semanais. Devido a um acúmulo de 
serviço na semana passada, ele precisou fazer 12 horas extras. A fração que corresponde a 
quanto ele trabalhou a mais do que o previsto é : 
a) 1/4. 
b) 1/5 
c) 2/5 
d) 2/3 
e) 1/3 
Gabarito: letra c 
Na ordem que foi falada temos a fração que representa a hora extra em razão 
da hora semanal 
12
30
. 
Portanto basta simplificarmos essa fração dividindo por 6 
12: 6 = 2 
30: 6 = 5 
2
5
 
 
 
2. Trinta alunos realizaram uma prova de Química. Deles, 2/5 tiraram a nota acima de oito, 
1/3 tirou entre cinco e oito e o restante tirou abaixo de cinco. Calcule a quantidade de 
alunos que tirou a nota da prova abaixo de cinco. 
Gabarito: 8 alunos 
Basta aplicarmos a fração 2/5 do total depois 1/3 do total e subtrair tudo. 
2
5
 . 30 = 12 𝑎𝑙𝑢𝑛𝑜𝑠 
 
1
3
 . 30 = 10 𝑎𝑙𝑢𝑛𝑜𝑠 
 
12 + 10 = 22 
 
30 – 22 = 8 alunos 
 
 
3. Se Sidinelson gastou em compras 1/3 de 1/4 de R$300, quanto sobrou desse total? 
 
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MUDE SUA VIDA! 
57 
 
Gabarito: 275 
Como Sidinelson gastou 1/3 de 1/4 de R$300, basta fazermos o inverso da 
questão 1/4 de 300 depois 1/3 desse valor ou lembrarmos que o DE vira uma 
multiplicação então temos: 
1
3
 𝑑𝑒
1
4
 𝑑𝑒 300 
 
1
3
 . 
1
4
 . 300 
 
1
12
 . 300 
 
300
12
 
 
25 
 
300 − 25 
 
275 
 
4. Paula comprou dois potes de sorvete, ambos com a mesma quantidade do produto. 
Um dos potes continha quantidades iguais dos sabores chocolate, creme e morango; e o 
outro, quantidades iguais dos sabores chocolate e baunilha. 
Então, é CORRETO afirmar que, nessa compra, a fração correspondente à quantidade de 
sorvete do sabor chocolate foi: 
 
a) 2/5 
b) 3/5 
c) 5/12 
d) 5/6 
Gabarito: letra c 
Adotando que a quantidade de sorvete em cada pote é igual a Q, temos: 
 
1° pote: Q/3 
2° pote: Q/2 
 
Vamos montar a fração utilizando um denominador igual a 2Q pois são dois 
potes, sendo assim temos: 
𝑄
3 +
𝑄
2
2𝑄
 
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MUDE SUA VIDA! 
58 
 
2𝑄 + 3𝑄
6
2𝑄
 
 
5𝑄
6
2𝑄
 
 
5𝑄
6
 .
1
2𝑄
 
 
5𝑄
12𝑄
 
 
5
12
 
 
 
 
POTENCIAÇÃO 
 
A potenciação é uma simplificação da forma de expor uma multiplicação de fatores 
iguais. Antes de detalhar a potenciação, vamos nos lembrar da adição. Nas séries iniciais, 
aprendemos a somar e logo vemos que existem formas de melhor expressar somas, como: 
 
a) 2+2+2+2+2+2+2 
 
b) 3+3+3+3+3 
 
c) 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4 
No item a, se somarmos o número 2 com ele mesmo 7 vezes, obteremos o resultado 14. 
Mas esse resultado poderia ter sido obtido mais rapidamente através do cálculo 2 x 7 = 14. No 
item b, a soma do número 3 cinco vezes pode ser substituída pela multiplicação de 3 x 5, pois 
em ambas obtemos o resultado 15. No item c, a soma do número 4 dez vezes pode ser 
representada pela multiplicação de 4 x 10, que é igual a 40. 
Assim como podemos expressar uma soma de fatores iguais através do produto desse 
fator pela quantidade de vezes que é repetido, nós podemos substituir a multiplicação de 
termos pela potenciação. Vejamos um exemplo: 
 
3 x 3 = 9 
 
3 x 3 x 3 = 27 
 
3 x 3 x 3 x 3 = 81 
 
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MUDE SUA VIDA! 
59 
 
Nos três exemplos acima, nós estamos multiplicando apenas o número 3. Vejamos agora 
como ficaria a multiplicação repetindo o número 3 dez vezes. 
 
3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 59.049 
 
Para simplificar a notação dessas multiplicações, nós podemos utilizar a potenciação. 
Essa forma de representação foi originalmente criada pelo matemático e filósofo René 
Descartes (1596 – 1650). Na potenciação, nós representamos apenas uma vez o número que 
será multiplicado e, acima desse número, colocamos a quantidade de vezes que ele será 
repetido. Para os exemplos acima, vejamos como ficará a representação através da 
potenciação: 
 
3 x 3 = 32 
3 x 3 x 3 = 33 
3 x 3 x 3 x 3 = 34 
3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 310 
 
Podemos generalizar a representação de uma potência da seguinte forma, 
sejam a e b números racionais, então: 
 
𝑎 . 𝑎 . 𝑎 . 𝑎 … 𝑎
𝑏 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
= 𝑎𝑏 
 
 
Assim como acontece com as demais operações, os termos de uma potência recebem 
nomes específicos: 
 
 
 
Os termos de uma potenciação são a base, o expoente e a potência 
 
A leitura de uma potência também ocorre de uma forma particular. O exemplo acima é 
lido como “três elevado a dois”, “três elevado à segunda potência” ou, mais 
popularmente, “três ao quadrado” ou “três elevado ao quadrado”. Quando se trata do 
expoente três, também há uma variação específica. A potência pode ser lida como “elevado ao 
cubo”. Apenas os expoentes dois e três possuem essas variações, a leitura do restante dos 
expoentes segue uma mesma ideia. Veja os exemplos a seguir: 
 
24 = “dois elevado a quatro” ou “dois elevado à quarta potência” 
25 = “dois elevado a cinco” ou “dois elevado à quinta potência” 
26 = “dois elevado a seis” ou “dois elevado à sexta potência” 
27 = “dois elevado a sete” ou “dois elevado à sétima potência” 
28 = “dois elevado a oito” ou “dois elevado à oitava potência” 
29 = “dois elevado a nove” ou “dois elevado à nona potência” 
2n = “dois elevado a n” ou “dois elevado à enésima potência” 
 
Em geral, quando nos deparamos com uma potência, precisamos repetir o produto da 
base quantas vezes indicar o expoente. 
 
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MUDE SUA VIDA! 
60 
 
REGRAS BÁSICAS DE POTENCIAÇÃO 
 
 Quando a base for zero, o resultado da potência será zero. 
0n = 0 
 
 Quando o expoente for um, o resultado da potência será exatamente o valor da 
base.
a1 = a 
 
 Quando o expoente for zero, o resultado da potência será sempre um. 
a0 = 1 
 
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO 
 
MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE 
 
Quando se multiplica potências de mesma base, têm-se uma nova potência onde a base é 
igual a base das parcelas e o expoente é a soma dos expoentes das parcelas. 
 
𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
 
Em uma multiplicação de potências com a mesma base, conservamos a base e somamos 
os expoentes. 
Exemplo: 
 
22 ⋅ 23 = 22+3 = 25 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2= 32 
 
 
 
DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE 
 
Quando se divide potências de mesma base, têm-se uma nova potência onde a base é 
igual a base do divisor e dividendo e o expoente é a diferença dos expoentes do divisor e 
dividendo. 
 
𝑎𝑚 ∶ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛, 𝑎 ≠ 𝑜 
 
Em uma divisão de potências com a mesma base, conservamos a base e subtraímos os 
expoentes. 
Exemplo: 
 
 
47 : 45 = 47−5 = 42= 4 ⋅ 4 = 16 
 
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MUDE SUA VIDA! 
61 
 
POTÊNCIA DE UMA POTÊNCIA 
 
A potência n da potência m de um número a é igual à potência de a cujo expoente é o 
produto dos expoentes m e n, ou seja: 
 
(𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛 .𝑚 
 
Exemplo: 
 
(22)3 = 22⋅3=26 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=64 
 
 
POTÊNCIA COM EXPOENTE NEGATIVO 
 
Nas potências com expoente negativo, devemos inverter a base e inverter o sinal do 
expoente: 
 
𝑎−𝑛 = (
1
𝑎
)
𝑛
, 𝑎 ≠ 0 
 
Exemplo: 
 
 3−2 = (
1
3
)
2
=
1
3
 .
1
3
=
1
9
 
 
POTÊNCIA DE UMA MULTIPLICAÇÃO 
 
A multiplicação de dois ou mais fatores elevados a um dado expoente é igual a 
multiplicação desses fatores, cada um elevado ao mesmo expoente: 
 
(𝑎. 𝑏 . 𝑐)𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑏𝑛 . 𝑐𝑛 
Exemplo: 
 
(2⋅1⋅3)2=22⋅12⋅32=4⋅1⋅9 = 36 
 
POTÊNCIA DE UMA DIVISÃO 
 
A divisão de dois fatores elevados a um dado expoente é igual a divisão desses fatores, 
cada um elevado ao mesmo expoente. 
 
(
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
 , 𝑏 ≠ 0 
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
62 
 
 
Exemplo: 
 
 (
2
3
)
3
=
23
33
=
2.2.2
3.3.3
=
8
27
 
 
POTÊNCIA COM EXPOENTE FRACIONÁRIO 
 
Quando encontramos uma potência com expoente fracionário, devemos transformá-la 
em um radical, ou seja, em uma raiz, onde o numerador e o denominador do expoente serão 
respectivamente o índice e o expoente do radicando, assim: 
 
𝑎
𝑚
𝑛 = √𝑎𝑚
𝑛
 , 𝑛 ≠ 0 
 
 
 
Exemplo: 
 
 4
3
2 = √43
2
= √4 . 4 . 4 
2
= √64 
2
= 8 
 
POTÊNCIA DE UMA RAIZ 
 
Quando a base é composta de uma raiz, o expoente da potenciação passa a ser o 
expoente do radicando: 
 
( √𝑎
𝑛
)
𝑚
= √𝑎𝑚
𝑛
 
 
Exemplo: 
 
 (√4
2
)
3
= √43
2
= √4 . 4 . 4
2
= √64
2
= 8 
 
POTÊNCIA COM BASE NEGATIVA 
 
Observe os exemplos abaixo: 
 
 (−3)2 = 9 
 
 −32 = − 9 
 
O sinal de negativo (-) na frente do 3 só fará parte da potenciação quando estiver dentro 
de um parêntese, caso contrário, ele continua no seu lugar no resultado. 
Porém, no primeiro exemplo, o expoente é 2, número par, por isso o resultado final é 
positivo. Se fosse um número ímpar, o resultado seria negativo: 
 
 (−3)3 = (−3). ( −3). (−3) = −27 
 
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63 
 
se tirarmos os parênteses: 
 
 −33 = −3 . 3 . 3 = −27 
 
EXERCÍCIOS 
1. Qual o resultado da expressão numérica abaixo? 
 
(5)3 ∶ 5 . 54 ∶ 5 . 55 ∶ 5 ∶ 56 − 5 
a) 120 
b) 1/5 
c) 55 
d) 25 
e) 620 
 
Gabarito: letra a 
Seguindo as propriedades de potenciação temos: 
(5)3 ∶ 5 . 54 ∶ 5 . 55 ∶ 5 ∶ 56 − 5 
(5)3 ∶ 5−1 . 54 ∶ 5 . 55 ∶ 5−1 ∶ 56 − 5 
(5)3−1+4−1+5−1−6 − 5 
(5)3 − 5 
125 − 5 
120 
 
 
2. A representação da potência abaixo na forma de radical é: 
6
2
3 
 
a) √63
2
 
b) √62
3
 
c) √66
2
 
d) √32
3
 
Gabarito: letra b 
Quando temos uma potência onde o expoente é uma fração, podemos 
representa-la na forma de radical, onde o numerador será o expoente da base e o 
denominador será o índice da raiz, ou seja: 
6
2
3 = √62
3
 
 
3. Encontre a solução da expressão numérica: [42 + ( 5 − 3)2] ∶ (9 − 7)2 
 
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64 
 
Gabarito: 5 
[42 + ( 5 − 3)2] ∶ (9 − 7)2 
[16 + ( 2)2] ∶ (2)2 
[16 + 4] ∶ 4 
20 ∶ 4 
5 
 
 
4. O valor de
10−2.10−3.10−4
10−1.10−6
 é: 
a) 1 
b) 0,1 
c) 0,01 
d) 0,001 
e) 0,0001 
 
Gabarito: letra c 
Como no exercício temos apenas potência com base 10 ou seja mesma base 
podemos aplicar as propriedades de potenciação ficando da seguinte maneira: 
 
10−2. 10−3. 10−4
10−1. 10−6
 
 
10−2+(−3)+(−4)
10−1+(−6)
 
 
10−9
10−7
 
 
10−9 ∶ 10−7 
 
10−9−(−7) 
 
10−2 
 
Para resolvermos potência de com expoente negativo basta aplicarmos o 
inverso da fração sendo: 
 
1
102
 
 
1
100
 
 
0,01 
 
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65 
 
RADICIAÇÃO 
DEFINIÇÃO 
A radiciação é a operação inversa da potenciação. É muito utilizada na obtenção de 
solução de equações e na simplificação de expressões aritméticas e algébricas. Vamos definir 
essa operação e analisar suas propriedades. 
Dado um número real não negativo x e um número natural n ≥ 1, chama-se raiz enésima 
de x o número real não negativo y tal que yn = x. 
O símbolo utilizado para representar a raiz enésima de x é √𝑥
𝑛
 e é chamado de radical. 
Nesse símbolo, x é o radicando e n é o índice. 
 
Pela definição de radiciação, temos que: 
 
√𝑥
𝑛
= 𝑦, y > ou y=0 e 𝑦𝑛 = 𝑥 
 
NOTAÇÃO 
 
 
 
PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO 
 
1° PROPRIEDADE 
 
√an
n
= a 
 
Se o radical possuir índice igual ao expoente do radicando, a raiz será igual à base do 
radicando. 
Podemos afirmar que essa propriedade será válida sempre que n for um número natural 
e a for um número real não negativo. 
 
Exemplo: 
 
 √53
3
= 5 
 
 √102
2
= 10 
 
Mas nós podemos considerar ainda outra situação em que essa situação é válida. Quando 
houver um radicando a negativo (a < 0) e n for ímpar, a propriedade também será válida. 
 
Exemplo: 
 
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66 
 
 √(−1)3
3
= −1 
 
 √(−3)5
5
= −3 
 
2° PROPRIEDADE 
 
√am . p
n. p
= √a𝑚
n
 e √am ∶ p
n∶ p
= √a𝑚
n
 
 
A raiz não sofre alteração se multiplicarmos ou dividirmos o índice do radical e 
o expoente do radicando por um mesmo valor. 
A segunda propriedade é válida desde que n, p e q sejam números naturais maiores do 
que 1 e que q seja divisor de n e m. 
 
Exemplo: 
 
 √562
3
= √568
12
 
 
 √105
2
= √1010
4
 
 
 
 
3° PROPRIEDADE 
 
√a . b
n
= √a
n
 . √b
n
 
 
O produto de radicais de mesmo índice é igual ao produto de radicandos. 
Essa propriedade é válida desde que n seja um número natural maior do 
que 1 e a e b sejam números reais. Se a e b forem maiores ou iguais a zero, é necessário 
que n seja par. 
 
Exemplo: 
 
 √40
2
= √4
2
 . √10
2
 
 
 √360
4
= √4
4
 . √9
4
 . √10
4
 
 
 
4° PROPRIEDADE 
 
√
a
b
n
=
( √a
n )
√b
n 
 
O quociente de radicais de mesmo índice é igual ao quociente de radicandos. 
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MUDE SUA VIDA! 
67 
 
A quarta propriedade é válida desde que n seja maior do que 1. Além disso, a e b devem 
ser reais, de forma que a seja maior do que zero, e b, maior do que 
 
Exemplo: 
 
 √
10
5
2
=
( √10
2
)
√5 
2 
 
 √
76
67
3
=
√76
3
 
√67
3 
 
OPERAÇÕES COM RADICAIS 
 
SOMA E SUBTRAÇÃO 
 
A regra prática para realizar adição e subtração de radicais é a mesma, a única diferença 
será o operador, ou seja, a operação poderá ser de adição ou de subtração. Para somar e 
diminuir radicais semelhantes basta conservar o radical semelhante e realizar a adição ou 
subtração dos coeficientes. No exemplo abaixo você entenderá melhor como realizar essas 
contas. 
 
Exemplo: 
 
 3√2
2
+ 5√2
2
= 8√2
2
 
 
 
 4√5
2
− 5√5
2
= −√5
2
 
 
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
 
 
A multiplicação e a divisão de radicais
podem ser realizadas de duas formas distintas, a 
depender dos índices envolvidos. 
 
Ao realizar as operações de multiplicação e divisão de radicais, devemos atentar em um 
detalhe importante: os índices das raízes são iguais ou diferentes? Para cada um dos casos, 
agimos de forma diferenciada, como poderemos ver a seguir: 
 
 Quando os índices são iguais 
Você se lembra das 3ª e 4ª propriedades da radiciação? De acordo com elas, para 
realizar o quociente ou a multiplicação de radicais que possuem o mesmo índice, basta fazer a 
operação desejada entre os radicandos. 
 
Exemplo: 
 
 √4
3
+ √12
3
= √4 . 12 
3
= √48
3
 
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68 
 
 
 
√49
4
√7
4 = √
49
7
4
= √7 
4
 
 
 Quando os índices são diferentes 
Para realizar uma multiplicação ou uma divisão entre raízes que apresentam índices 
distintos, precisamos modificá-las para que todas tenham o mesmo índice. Para tanto, 
podemos aplicar a 2ª propriedade da radiciação, que afirma que “a raiz não sofre alteração se 
multiplicarmos ou dividirmos o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo 
valor.” 
Uma das alternativas mais práticas é encontrar o mínimo múltiplo comum entre os 
índices, reescrevendo os radicais com o novo valor: 
 
Exemplo: 
 
 √5
2
 . √3
3
 
 
m.m.c entre (2,3) = 6 
 
 √53
2 .3
 . √32
2 .3
= √53
6
 . √32
6
= √53. 32
6
= √1125
6
 
 
 
√3
2
√2
5 =
√3
2 .5
√2
5 .2 = √
35
22
10
= √
243
4
10
 
 
EXERCÍCIOS 
1. O valor de √2
2
+ √3 
2
. √18 
2
 
 
a) √56
2
 
b) √108
2
 
c) √2
2
+ 54 
d) √6
2
+ 6 
e) √2
2
. (1 + 3√3
2
) 
 
Gabarito: letra e. 
Sabendo que uma das propriedades da radiciação garante que o produto de 
raízes é igual a raiz do produto, temos: 
√2
2
+ √3 
2
. √18 
2
= √2
2
+ √54 
2
 
 
Se fatorarmos o 54 temos que: 
 
54 = 2 . 3 . 3 . 3 = 2 . 32. 3 
 
Podemos então reescrever a raiz de 54 como: 
 
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MUDE SUA VIDA! 
69 
 
√54 
2
= √2 
2
. 3√3 
2
 
 
Substituindo no lugar de √54 temos: 
 
√2 + √54 = √2 + √2 . 3√3 = √2 . (1 + 3√3) 
 
 
 
 
2. Simplificando-se 2√3 + 2√12 − 2√75 obtém-se: 
 
a) 0 
b) −2√3 
c) −4√3 
d) −6√3 
e) −8√3 
 
 
Gabarito: letra c. 
Se fatorarmos o 12 e o 75 podemos representar as raízes de outra forma: 
√12 = √22 . 3 = 2√3 
√75 = √3 . 52 = 5√3 
Portanto podemos reescrever a expressão como: 
2√3 + 2. (2√3 ) − 2. (5√3 ) 
2√3 + 4√3 − 10√3 
√3 . (2 + 4 − 10) 
−4√3 
 
 
 
3. Se 𝐴 = √√6 − 2 . √2 + √6, então o valor de A² é: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 6 
d) 36 
 
Gabarito: letra b 
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MUDE SUA VIDA! 
70 
 
Como a tem uma multiplicação entre duas raízes podemos reescrever tudo 
em apenas uma raiz sendo: 
𝐴 = √(√6 − 2) . (2 + √6) 
Agora vamos elevar tudo ao quadrado. 
 
𝐴² = [√(√6 − 2) . (2 + √6)]² 
𝐴² = (√6 − 2) . (2 + √6 ) 
𝐴² = (√6 − 2 ) . (2 + √6) 
 
Para multiplicar, usaremos a propriedade distributiva da multiplicação: 
 
𝐴² = 2√6 + √6 . 6 − 4 − 2√6 
𝐴² = 2√6 + 6 − 4 − 2√6 
𝐴² = 2 
 
 
 
 
4. O valor da expressão: √10 − √1 + 40. √8
3
 . √1024
10
 é: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
Gabarito: letra b 
Primeiro passo é tentar simplificar as raízes no caso a raíz de 8 e de 1024: 
 
 
1024 2 
512 2 
256 2 
128 2 
64 2 
32 2 
16 2 
8 2 
4 2 
2 2 
1 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 210 
 
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71 
 
 
8 2 
4 2 
2 2 
1 2 . 2 . 2 = 2³ 
 
Ficando: 
√10 − √1 + 40. √23
3
 . √210
10
 
 
Com isso podemos retirar alguns termos das raízes: 
 
√10 − √1 + 40. 2 . 2 
 
Agora basta resolvermos: 
 
√10 − √1 + 80 . 2 
 
√10 − √81 . 2 
 
√10 − 9. 2 
 
√1. 2 
 
1. 2 
 
 
 
 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
RAZÃO 
 
A razão entre dois números é dada pela sua divisão obedecendo a ordem na qual eles 
foram dados. Tal razão pode ser representada na forma fracionária, decimal e percentual. A 
relação entre duas ou mais razões é uma importante ferramenta para solucionar problemas 
práticos, essa igualdade é chamada de proporção. 
O conceito de razão é a forma mais comum e prática de fazer a comparação relativa 
entre duas grandezas. Ao dividir uma grandeza por outra, estamos comparando a primeira 
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https://brasilescola.uol.com.br/matematica/porcentagem.htm
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MUDE SUA VIDA! 
72 
 
com a segunda, que passa a ser a base da comparação. Por exemplo, se a área de um quadrado 
mede 1000 cm² e a área de um outro quadrado mede 400 cm², ao fazermos a razão das áreas, 
temos: 
 
400
1000
=
50
125
=
2
5
= 0,4 = 40% 
 
 
Estamos calculando o quanto a área menor representa da maior. Em outras palavras, a 
área menor representa 0,4, ou 40%, da área maior. Isso é uma comparação muito significativa 
e fácil de ser feita. 
 
Em outras palavras temos: dois números reais a e b, com b diferente de zero, chamamos 
de razão entre a e b ao quociente ab=k 
Observe que k é um número real. O numerador a chamamos de antecedente, e o 
denominador b chamamos de consequente dessa razão (lê-se “a está para b”). A razão k indica 
o valor do número a quando comparado ao número b, tomando-o como unidade. 
 
Exemplo: 
Uma escola tem 1200 m² de área construída e 3000 m² de área livre. A razão da área 
construída para a área livre é: 
 
á𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢í𝑑𝑎
á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒
=
1200
3000
=
2
5
= 0,4 = 40% 
 
 
Isso significa que a área construída representa 25 = 0,4 ou 40%, da área livre. 
 
RAZÕES ESPECIAIS 
 
VELOCIDADE MÉDIA 
É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. A velocidade média 
será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades escolhidas para 
calcular distância e tempo. Alguns exemplos de unidades para a velocidade média são km/h, 
m/s, cm/s etc. 
 𝑉𝑚 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜
 
 
Exemplo: 
A distância entre as cidades do Rio de Janeiro e São Paulo é de, aproximadamente, 400 
km. Um carro levou 5 horas para percorrer esse trajeto. Determine sua a velocidade média. 
 
𝑉𝑚 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜
 
 
𝑉𝑚 =
400
5
 
 
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73 
 
𝑉𝑚 = 80 km/h 
 
ESCALA 
Ao compararmos mapas com os lugares a serem representados por eles, representamos 
as distâncias em escala menor que a real. O conceito é dado pela seguinte razão: 
 
𝐸 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑝𝑎
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
 
Exemplo: 
A escala da planta de um terreno na qual o comprimento de 60 metros foi representado 
por um segmento de 3 cm é: 
 
Primeiramente, transformamos os 60 m para centímetros, para trabalharmos no mesmo 
sistema de unidades: 
 
60𝑚 = 60 . 100𝑐𝑚 = 6000𝑐𝑚 
 
 
Portanto, 
 
𝐸 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑝𝑎
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
 
𝐸 =
3
6000
 
 
𝐸 =
1
2000
 
 
𝐸 = 1 ∶ 2000 
 
DENSIDADE 
 
A densidade de um corpo é a razão entre a sua massa e o seu volume. A densidade 
também será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades escolhidas 
para medir a massa e o volume. Alguns exemplos de unidades para a densidades são g/cm³, 
kg/m³ etc. 
 
𝐷 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
 
 
 
Exemplo: 
Uma quantidade de óleo de cozinha ocupava completamente uma jarra com 1 litro de 
volume. Sabe-se que a densidade do óleo é de, aproximadamente, 0,86 g/cm³. Determine a 
massa do óleo, em gramas. 
 
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74 
 
𝐷 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
 
 
0,86 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
1000
 
 
𝑚 = 0,86 . 1000 
 
𝑚 = 860 gramas 
 
RAZÕES INVERSAS 
 
Vamos observar as seguintes razões. 
 
 
 
 o antecessor(5) da primeira é o conseqüente(5) da segunda. 
 o consequente (8) da primeira é o antecessor(8) da segunda. 
O Produto das duas razões é igual a 1, isto é: 
 
5
8
 .
8
5
= 1 
 
Dizemos que as razões são inversas. 
 
Exemplos: 
 
6
7
 é 
7
6
 
 
 
PROPORÇÃO 
 
Quando duas razões possuem o mesmo resultado, dizemos que elas são proporcionais. 
Se essas razões representam medidas de alguma grandeza, também dizemos que elas são 
proporcionais. 
Em outras palavras, essa igualdade significa que as variações que ocorrem em 
uma grandeza influenciam – ou são influenciadas – pelas variações da segunda. 
 
Exemplo de proporção 
 
Imagine que um automóvel move-se a 100 km/h e, em determinado intervalo de tempo, 
percorre uma distância de 200 km. Nesse exemplo, temos duas grandezas: velocidade e 
distância. 
Essas grandezas, em um mesmo intervalo, de tempo, são dependentes e influenciam-se, 
de modo que, caso o automóvel movimente-se a uma velocidade menor, não conseguirá 
percorrer a mesma distância. Aliás, é possível afirmar com certeza que, movimentando-se com 
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https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-grandeza.htm
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75 
 
a metade da velocidade, o automóvel percorrerá metade da distância e, por isso, naquele 
intervalo de tempo, alcançará 100 km. 
A partir desse exemplo, pode-se escrever as razões: 
 
2 =
200
100
=
100
50
=
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
 
 
Formalmente, uma proporção é uma igualdade entre razões. Geralmente essa igualdade 
é representada por frações, assim como no exemplo anterior. Então, dizemos que A, B, C e D 
são proporcionais se a afirmação abaixo for verdadeira: 
 
𝐴
𝐵
=
𝐶
𝐷
= 𝐿 
 
Na cadeia de igualdades acima, as duas frações são chamadas de proporção, e L é 
a constante de proporcionalidade. No caso do exemplo anterior, a constante de 
proporcionalidade é 2. 
 
Como identificar grandezas proporcionais 
 
Para identificar grandezas proporcionais, procure montar uma proporção entre elas. Se 
for possível, elas serão proporcionais; caso contrário, não. 
 
Exemplo: 
 
Se um automóvel percorre 80 km a uma velocidade de 40 km/h, então, percorrerá 160 
km a uma velocidade de 80 km/h. Note que as razões entre velocidade e distância possuem o 
mesmo resultado: 
 
40
80
=
80
160
=
1
2
 
 
Um bom exemplo para grandezas não proporcionais é a relação peso e altura. É evidente 
que uma grandeza não depende da outra, pois existem milhares de pessoas com determinada 
altura e pesos diferentes. 
 
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Sempre que o aumento em uma grandeza resulta em aumento em outra grandeza 
proporcional a ela, dizemos que elas são diretamente proporcionais. 
 
Exemplos: 
 
Quantidade de operários X serviço realizado 
 
Quantidade de máquinas X serviço realizado 
 
Quantidade de pessoas X quantidade de comida 
 
Velocidade X Distância percorrida 
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76 
 
 
 
Imagine que uma empresa trabalhe com a impressão de panfletos. 
Suponha que essa empresa possua 10 funcionários e que eles consigam imprimir 380 
panfletos por jornada de trabalho. Se a empresa dobrar o número de funcionários, ela também 
dobrará o número de panfletos impressos? Se a resposta for sim, então, dizemos que 
essas grandezas são diretamente proporcionais. 
 
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Sempre que o aumento de uma grandeza proporciona a redução de outra proporcional à 
primeira, dizemos que elas são inversamente proporcionais. 
 
Exemplos: 
 
Velocidade X Tempo 
 
Quantidade de operários X Tempo de execução 
 
Quantidade de máquinas X Tempo para execução 
 
Quantidade de pessoas X Tempo de duração de comida 
 
Imagine uma viagem feita a 60 km/h em 2 horas. Se dobrarmos a velocidade para 120 
km/h, gastaremos metade do tempo, isto é, apenas 1 hora. Portanto, aumentando a grandeza 
“velocidade”, diminuímos a grandeza “tempo”. 
 
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES 
 
Qualquer que seja a proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 
Assim sendo, dados os números a, b, c e d, todos diferentes de zero e formando nesta ordem 
uma proporção, então o produto de a por d será igual ao produto de b por c: 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
= 𝑎 . 𝑑 = 𝑏 . 𝑐 
 
SEGUNDA PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES 
 
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está 
para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos 
termos está para o terceiro, ou para o quarto termo. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=
𝑎 + 𝑏
𝑎
=
𝑐 + 𝑑
𝑐
 
 
ou 
 
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77 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=
𝑎 − 𝑏
𝑎
=
𝑐 − 𝑑
𝑐
 
 
ou 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=
𝑎 + 𝑏
𝑏
=
𝑐 + 𝑑
𝑑
 
 
ou 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=
𝑎 − 𝑏
𝑏
=
𝑐 − 𝑑
𝑑
 
 
 
TERCEIRA PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES 
 
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma 
ou a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo 
consequente. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=
𝑎 + 𝑏
𝑏 + 𝑑
=
𝑎
𝑏
 
 
ou 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
ou 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑎
𝑏
 
 
ou 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
QUARTA PROPORCIONAL 
 
Dados três números a, b, e c, chamamos de quarta proporcional o quarto número x que 
junto a eles formam a proporção: 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑥
 
 
 
Tendo o valor dos números a, b, e c, podemos obter o valor da quarta proporcional, o 
número x, recorrendo à propriedade fundamental das proporções. O mesmo procedimento 
utilizado na resolução de problemas de regra de três simples. 
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78 
 
 
TERCEIRA PROPORCIONAL 
 
Em uma proporção onde os meios são iguais, um dos extremos é a terceira proporcional 
do outro extremo: 
 
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑐
 
 
Na proporção acima a é a terceira proporcional de c e vice-versa. 
 
Exemplos: 
 
 Verifique se os números 15, 30, 45 e 90 são proporcionais. 
Devemos, nessa ordem, montar as razões e, em seguida, realizar a multiplicação cruzada. 
 
15
30
=
45
90
 
 
15 . 90 = 30 . 45 
 
1350 = 1350 
 
Observe que a igualdade é verdadeira, assim os números formam, nessa ordem, uma 
proporção. 
 
 Sabe-se que os números 2, 4, x e 32 são proporcionais. Determine o valor de x. 
Por hipótese, temos que os números, na ordem que foram apresentados, são 
proporcionais, logo, podemos igualar as razões entre eles e aplicar a propriedade 1, veja: 
 
2
4
=
𝑥
32
 
 
2 . 32 = 4 . 𝑥 
 
64 = 4 𝑥 
 
𝑥 =
64
4
 
 
𝑥 = 16 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
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79 
 
 
1. Sabendo que a distância entre duas cidades num mapa, na escala 1 : 1 600 000, é de 8 
cm, qual é a distância real entre elas? 
 
a) 2 km 
b) 12,8 km 
c) 20 km 
d) 128 km 
e) 200 km 
Gabarito: letra d 
Como foi dada a escala no enunciado de 1: 1600 000, ou seja para cada 1 
centímetro no mapa corresponde a 1 600 000 centímetros na realidade. Portanto 
vamos pegar a medida de 8 e aplicar um proporção: 
 
1
1.600.000
=
8
𝑑
 
 
1 . 𝑑 = 8 . 1600000 
 
𝑑 = 12800000 𝑐𝑚 
 
 Que corresponde a 128 km 
 
 
 
2. A razão entre a idade de duas pessoas é de 12 para 11. Sabe-se que a soma das idades é 
115, determine a idade de cada uma dessas pessoas. 
 
Gabarito: 60 anos e 55 anos. 
Vamos nomear as pessoas como A e B como a razão entre essas idades é de 
12 para 11, podemos montar uma proporção: 
 
𝐴
𝐵
=
12
11
 
11𝐴 = 12𝐵 
𝐴 + 𝐵 = 115 
𝐴
= 115 − 𝐵 
 
Substituindo o valor de A na primeira equação, teremos: 
11𝐴 = 12𝐵 
11(115 − 𝐵) = 12𝐵 
1265 − 11𝐵 = 12𝐵 
1265 = 12𝐵 + 11𝐵 
1265 = 23𝐵 
𝐵 =
1265
23
 
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80 
 
𝐵 = 55 
 
𝐴 = 115 − 55 
𝐴 = 60 
 
 
3. Quatro números, todos diferentes de zero, 10, 8, 25 e x formam nesta ordem uma 
proporção. Qual o valor de x? 
Gabarito: 20 
Utilizando a quarta proporcional temos: 
 
10
8
=
25
𝑥
 
 
10 . 𝑥 = 8 . 25 
 
𝑥 =
 8 . 25
10
 
 
𝑥 = 20 
 
4. Uma empresa de transportes contratou os motoristas Abel, Bira e Celso. Para motivá-
los e também evitar problemas com multas de trânsito, a empresa prometeu que, no 
final do ano, dividiria entre eles a quantia de R$ 10.000,00, em quantias inversamente 
proporcionais ao número de multas recebidas por cada um. Com referência a essa 
situação hipotética. Se, no final do ano, for verificado que Abel foi multado uma única 
vez, Bira, 2 vezes e Celso, 3. Podemos afirmar que cada um receberá quanto, no final do 
ano? 
 
Gabarito: Abel= 5454,54; Bira= 2727,27; Celso= 1818,18 
Como o exercício citou que possui três motoristas com um valor de R$10.000 
para ser dividido para cada um de forma inversamente proporcional a quantidade 
de multas, ou seja, quanto menos multas o motorista tiver maior será a quantia 
que irá receber então montando as proporções temos: 
 
𝐴𝑏𝑒𝑙
1
=
𝐵𝑖𝑟𝑎
2
=
𝐶𝑒𝑙𝑠𝑜
3
= 10000 
 
Como são inversamente proporcionais, temos: 
 
𝐴𝑏𝑒𝑙
1
=
𝐵𝑖𝑟𝑎
1
2
=
𝐶𝑒𝑙𝑠𝑜
1
3
= 10000 
 
Aplicando a propriedade de proporção temos: 
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81 
 
𝐴𝑏𝑒𝑙 + 𝐵𝑖𝑟𝑎 + 𝐶𝑒𝑙𝑠𝑜
1 +
1
2
+
1
3
= 10000 
 
Resolvendo as frações do denominador temos: 
 
1 +
1
2
+
1
3
 
 
6 + 3 + 2
6
 
 
11
6
 
 
Voltando nas proporções temos: 
 
𝐴𝑏𝑒𝑙 + 𝐵𝑖𝑟𝑎 + 𝐶𝑒𝑙𝑠𝑜
1 +
1
2
+
1
3
=
10000
11
6
 
 
10000
11
6
 
 
10000 .
6
11
 
 
60000
11
 
 
5454,54 
Portanto nossa constante de proporcionalidade (k) é 5454,54, agora basta 
aplicarmos a constante para cada situação: 
 
Abel: 
𝐴𝑏𝑒𝑙
1
= 5454,54 
 
𝐴𝑏𝑒𝑙 = 5454,54 
 
Bira: 
 
𝐵𝑖𝑟𝑎
1
2
= 5454,54 
 
𝐵𝑖𝑟𝑎 = 5454,54 .
1
2
 
 
𝐵𝑖𝑟𝑎 = 2727,27 
 
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82 
 
Celso: 
 
𝐶𝑒𝑙𝑠𝑜
1
3
= 5454,54 
 
𝐶𝑒𝑙𝑠𝑜 = 5454,54 .
1
3
 
 
𝐶𝑒𝑙𝑠𝑜 = 1818,18 
 
 
 
 
REGRA DE TRÊS 
 
A regra de três é uma técnica usada para encontrar uma medida quando conhecemos 
outras três, desde que essas quatro medidas formem uma proporção. Esse método, conhecido 
como regra de três, faz uso de alguns conhecimentos importantes: propriedade fundamental 
das proporções, grandezas e medidas, razões e proporções. Pode-se dizer que a união de 
todos esses conhecimentos resulta, entre outras coisas, no que conhecemos como regra de 
três. É uma ferramenta matemática que pode ser aplicada em diversos problemas do dia a dia. 
Utilizamos a regra de três quando temos duas grandezas em que a variação no valor de 
uma provoca a variação no valor da outra na mesma proporção, ou seja, as grandezas variam 
na mesma razão. 
A relação entre elas pode ser diretamente proporcional, quando uma aumenta a outra 
também aumenta na mesma proporção ou inversamente proporcional, quando uma aumenta 
a outra diminui na mesma proporção. A regra de três se divide em dois tipos: 
 
 Regra de três Simples 
 Regra de três Composta 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
O cálculo da regra de 3 simples é feito por etapas sendo: 
 
 Encontre as grandezas e monte as colunas para as mesmas. 
 Coloque os valores respectivos em cada coluna. 
 Realize a analise das grandezas (diretamente ou inversamente). 
 Se forem diretamente multiplica cruzado. 
 Se forem inversamente, faça a inversão das razões para depois multiplicar cruzado. 
 
Dentro do cálculo de regra de três simples temos duas situações de acordo com as 
grandezas: 
 
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https://brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-tres-simples.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-proporcao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-proporcao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-proporcao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-grandeza.htm
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83 
 
 Grandezas diretamente proporcionais 
 
Exemplo: 
Supondo que cada funcionário de uma microempresa com 35 integrantes gasta 10 folhas 
de papel diariamente. Quantas folhas serão gastas nessa mesma empresa quando o quadro de 
colaboradores aumentar para 50? 
 
Funcionários Papéis 
 
 35 -------------------10 
 
 50 ------------------ x 
 
Analise das grandezas é: Se aumentou o número de funcionários o consumo de papel 
também irá aumentar. Portanto temos grandezas diretamente proporcionais, basta 
multiplicarmos cruzado. 
 
Funcionários Papéis 
 
 35 -------------------10 
 
 50 ------------------ x 
 
 35 𝑥 = 50 . 10 
 35 𝑥 = 500 
 𝑥 =
500
35
 
 𝑥 = 14,3 Papéis 
 Grandezas inversamente proporcionais 
 
Exemplo: 
 
 
Se 7 pedreiros constroem uma casa grande em 80 dias, apenas 5 deles construirão a 
mesma casa em quanto tempo? 
 
Pedreiros Dias 
 
 7 --------------- 80 
 
 5 ---------------- x 
 
 
Analise das grandezas é: Se aumentou diminuiu a quantidade de pedreiros o tempo para 
construir será maior. Portanto temos grandezas inversamente proporcionais, temos que 
inverter as grandezas para depois multiplicarmos cruzado, lembrando que apesar de se tratar 
de regra de três simples vamos deixar a coluna que contém a incógnita sem alterar. 
 
 
 
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84 
 
Pedreiros Dias 
 
 7 --------------- 80 
 
 5 ---------------- x 
________________________ 
 5 --------------- 80 
 
 7 ---------------- x 
 
 5 𝑥 = 7 . 80 
 
 5 𝑥 = 560 
 
 𝑥 =
560
5
 
 
 𝑥 = 112 dias 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
O cálculo da regra de 3 composta segue o mesmo critério da simples a única diferença é 
que teremos mais de duas grandezas para calcular ou seja o roteiro de cálculo é: 
 
 Encontre as grandezas e monte as colunas para as mesmas. 
 Coloque os valores respectivos em cada coluna. 
 Colocando a coluna que contém a incógnita sempre em uma das laterais. 
 Realize a analise das grandezas (diretamente ou inversamente). 
 Se forem diretamente multiplica cruzado. 
 Se forem inversamente, faça a inversão das razões para depois multiplicar cruzado. 
 
Dentro do cálculo de regra de três composta temos: 
 
Exemplo: 
 
Uma loja demora 4 dias para produzir 160 peças de roupas com 8 costureiras. Caso 6 
funcionárias estiverem trabalhando, quantos dias levará para a produção de 300 peças? 
 
 Dias Peças Costureiras 
 4 160 8 
 
 x 300 6 
 
A analise das grandezas agora deve ser feita todas em relação a coluna de X por partes: 
1° a quantidade de peças para produzir aumentou, portanto precisarão de mais dias. 
Portanto temos grandezas diretamente proporcionais. 
2° o número de costureiras diminuiu, portanto precisarão de mais dia para produzir, 
então temos grandezas inversamente proporcionais. 
Sendo assim as grandezas diretamente irei manter e as inversamente irei inverter. 
 
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85 
 
 Dias Peças Costureiras 
 4 160 8 
 
 x 300 6 
 ________________________________________ 
 4 160 6
x 300 8 
 
 
4
𝑥
= 
160
300
 . 
6
 8
 
 
 
4
𝑥
 = 
960
2400
 
 
 960𝑥 = 2400 . 4 
 
 960𝑥 = 9600 
 𝑥 =
9600
960
 
 𝑥 = 10 dias 
EXERCÍCIOS 
1. Uma usina produz 500 litros de álcool com 6000 Kg de cana-de-açúcar. Determine 
quantos litros de álcool são produzidos com 15000 Kg de cana. 
 
Gabarito: 1250 litros 
Primeiramente iremos colocar as colunas com as grandezas e seus respectivos 
valores. 
 
Kg litros de álcool 
6000 500 
15000 x 
 
Agora devemos analisar as grandezas: Se a quantidade de cana aumentou a 
produção de álcool também irá aumentar, portanto temos grandezas diretamente 
proporcionais, basta multiplicar cruzado. 
 
Kg litros de álcool 
6000 500 
15000 x 
 
 6000 𝑥 = 15000 . 500 
 6 𝑥 = 15 . 500 
 𝑥 =
7500
6
 
 𝑥 = 1250 litros de álcool 
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86 
 
 
 
 
2. Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 
dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos? 
 
Gabarito: 160 minutos 
Primeiramente iremos colocar as colunas com as grandezas e seus respectivos 
valores. 
 
Impressoras N° de panfletos Tempo/minuto 
 6 1000 40 
 3 2000 x 
 
Agora devemos analisar as grandezas: Se a quantidade de impressoras 
diminuiu o tempo para executar o serviço irá aumentar, portanto temos grandezas 
inversamente proporcionais. Agora se o número de panfletos aumentou o tempo 
para executar o serviço também irá aumentar, então temos grandezas diretamente 
aumentou a produção de álcool também irá aumentar, portanto temos grandezas 
diretamente proporcionais, basta multiplicar cruzado. 
 
Impressoras N° de panfletos Tempo/minuto 
 6 1000 40 
 3 2000 x 
 
 
 
40
𝑥
=
 3
6
 . 
1000
2000
 
 
 
40
𝑥
=
3
6
 . 
1
2
 
 
 
40
𝑥
 = 
3
12
 
 
 3𝑥 = 480 
 𝑥 =
480
3
 
 𝑥 = 160 minutos 
 
 
 
3. Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada 
linha. Para torna-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e 
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87 
 
para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, 
determine o número de páginas ocupadas. 
 
Gabarito: 18 páginas 
Primeiramente iremos colocar as colunas com as grandezas e seus respectivos 
valores. 
Páginas Linhas Letras 
 6 45 80 
 X 30 40 
 
Agora devemos analisar as grandezas: Se a quantidade de linhas diminuiu 
então as páginas aumentarão, portanto temos grandezas inversamente 
proporcionais, o mesmo caso é a quantidade de letras se diminuiu então as páginas 
aumentarão, então também teremos grandezas inversamente proporcionais: 
 
Páginas Linhas Letras 
 6 45 80 
 X 30 40 
 
 
6
𝑥
=
30
45
 . 
40
80
 
 
 
6
𝑥
=
2
3
 . 
1
2
 
 
 
6
𝑥
 = 
2
6
 
 
 2𝑥 = 36 
 𝑥 =
36
2
 
𝑥 = 18 páginas 
 
 
4. Para ler os 8 livros indicados pela professora para realizar o exame final, o estudante 
precisa estudar 6 horas durante 7 dias para atingir sua meta. 
Porém, a data do exame foi antecipada e, portanto, ao invés de 7 dias para estudar, o 
estudante terá apenas 4 dias. Assim, quantas horas ele terá de estudar por dia, para se 
preparar para o exame? 
 
a) 10,5 horas 
b) 12 horas 
c) 12,5 horas 
d) 13 horas 
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88 
 
e) 13,5 horas 
Gabarito: letra a 
Primeiramente iremos colocar as colunas com as grandezas e seus respectivos 
valores. 
Livros Horas Dias 
 8 6 7 
 8 x 4 
 
Agora devemos analisar as grandezas: Se a quantidade de dias diminuiu 
então as horas aumentarão, portanto temos grandezas inversamente 
proporcionais: 
 
Livros Horas Dias 
 8 6 7 
 8 x 4 
 
 
8
8
 . 
4
7
 = 
6
𝑥
 
 
 
4
7
 = 
6
𝑥
 
 
 4𝑥 = 42 
 
 𝑥 =
42
4
 
 
 𝑥 = 10,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
 
 
 
PORCENTAGEM 
 
O cálculo de porcentagens é um dos temas que mais gera dúvidas quando se trata de 
matemática. Muito cobrado em diversos tipos de provas, esses cálculos também são bastante 
comuns no dia a dia, já que ajudam a calcular descontos de produtos, taxas de juros em 
financiamentos e até os lucros em uma negociação importante, por exemplo. 
 
O QUE É PORCENTAGEM? 
 
De uma maneira muito simples, a porcentagem é uma forma matemática de demonstrar 
uma proporção entre o todo e uma de suas partes. 
A porcentagem representa uma razão cujo denominador é 100, ou seja, . 
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89 
 
O termo por cento é abreviado usando o símbolo %, que significa dividir por 100 e, por 
isso, essa razão também é chamada de razão centesimal ou porcentual. 
 
𝑎% =
𝑎
100
 
 
Quando se trata de porcentagem existe basicamente duas maneiras de trabalhar a 
mesma: 
 Encontrar a porcentagem de algum valor 
 Verificar o que um valor representa em porcentagem 
 
ENCONTRAR A PORCENTAGEM DE ALGUM VALOR 
 
Exemplo: 
Imagine um concurso cultural com 160 inscritos. O todo, neste caso, é representado por 
todos os participantes da iniciativa, ou seja, corresponde a 100% das inscrições. 
Agora, imagine que 25% das fichas de inscrição foi preenchida incorretamente. Como é 
possível descobrir o total exato de inscrições com problemas? 
 
25% de 160 inscritos 
 
A porcentagem é uma representação de um valor dividido por 100. Então, mencionar o 
valor 25% é o mesmo que dizer 25 de 100 inscrições 25/100 ou seja, 25 dividido por 100. 
No caso do nosso exemplo, para descobrir o valor exato, basta multiplicar o todo pela 
porcentagem. 
 
25% 𝑑𝑒 160 
 
25
100
 . 160 
 
4000
100
 
 
 40 inscrições com problemas 
 
A porcentagem pode ser calculada também com uma regra de três, adotando o mesmo 
problema temos: 
 
Inscrições % 
 160 100 
 X 25 
 
 100𝑥 = 160 . 25 
 
 100𝑥 = 4000 
 
 𝑥 =
4000
100
 
 
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90 
 
 𝑥 = 40 incrições 
 
A REPRESENTAÇÃO DE UM VALOR EM PORCENTAGEM 
 
Exemplo: 
Em uma sala de aula com 40 alunos apenas 6 alunos conseguiram tirar nota acima da 
média, Portanto qual o percentual de alunos que conseguiram tirar nota acima da média? 
 
Toda vez que a questão pedir o percentual de algo basta utilizarmos a seguinte razão: 
 
𝑉 =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
Nessa situação o número desejado é o número que desejamos transformar em 
porcentagem, no nosso exemplo é 6. 
𝑉 =
6
40
 
 
𝑉 = 0,15 
 
Como queremos a porcentagem basta multiplicarmos por 100. 
 
𝑉 = 0,15 . 100 
𝑉 = 15% 
 
PORCENTAGEM E SUAS REPRESENTAÇÕES 
 
Entender valores de porcentagens envolve também compreender e reconhecer seus 
diversos formatos. Elas podem ser representadas pelo símbolo %, por uma fração ou mesmo 
por um número decimal. 
 
25% = 25/100 = 0,25 
 
55% = 55/100 = 0,55 
 
7% = 7/100 = 0,07 
 
PORCENTAGENS ÚTEIS 
 
Alguns valores percentuais são muito comuns e extremamente simples de serem 
calculados, por isso é sempre bom tê-los em mente para facilitar os cálculos e economizar 
tempo.
Dê uma olhada: 
 
Para calcular 10% de um valor, é necessário dividir seu total por 10, porque 10% = 
10/100. 
Neste caso, para descobrir quanto é 10% de 200, basta dividir o total. Por isso, 200/10 = 
20. 
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MUDE SUA VIDA! 
91 
 
Esse raciocínio tem origem na simplificação das frações e também vale para outras 
porcentagens. 
20% representa 20/100, ou seja, ?. Neste caso, 20% de 85 é 85/5 = 17 
25% representa 25/100, ou seja, ¼. Neste caso, 25% de 8 é 8/4 = 2 
50% representa 50/100, ou seja, ½. Neste caso, 50% de 64 é 64/2 = 32 
 
DICA PRÁTICA: CALCULANDO 1% 
 
Outra opção prática para calcular porcentagens é encontrar o correspondente a 1% do 
valor total, dividindo o todo por 100. Confira mais um exemplo. 
Como calcular 27% de 1300? 
Primeiro, vamos encontrar o valor correspondente a 1%. 
1300/100 = 13 
 
Agora, basta multiplicar o valor de 1% pela porcentagem que deseja descobrir, porque 
27% é 27 vezes 1%. 
 
27 x 13 = 351 
 
Portanto, 27% de 1300 corresponde a 351. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Numa comunidade com 320 pessoas sabe-se que 25% são idosos e 40% são crianças. 
Nessas condições o total de idosos e crianças dessa comunidade é: 
 
a) 128 
b) 112 
c) 168 
d) 208 
Gabarito: letra d 
Os idosos e as crianças representam 25% + 40% = 65% do total. Sendo 
assim basta calcularmos a porcentagem no caso 65% de 320 pessoas. 
 
𝑄 = 65% 𝑑𝑒 320 
 
𝑄 =
65
100
 . 320 
 
𝑄 =
20800
100
 
 
𝑄 = 208 
 
 
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92 
 
2. A prefeitura de uma cidade anuncia que, no ano de 2017, recapeou 60% das avenidas 
da cidade e se compromete a recapear, em 2018, 80% das avenidas restantes. De 2017 para 
2018, a quantidade de avenidas dessa cidade não se alterou. Sendo assim, em 2018, do total 
de avenidas da cidade, a prefeitura deverá recapear: 
 
a) 80% 
b) 32% 
c) 56% 
d) 42% 
e) 20% 
Gabarito: letra b 
Adote um valor fixo como por exemplo 100 avenidas. Já foram recapeadas 60 
delas. Sobraram 40 avenidas. Então a prefeitura deverá recapear 80% dessas 40. 
 
𝑄 = 8% 𝑑𝑒 40 
 
𝑄 =
80
100
 . 40 
 
𝑄 =
3200
100
 
 
𝑄 = 32 
 
 
3. Para assistir a uma palestra, estão presentes no auditório 65 homens e 85 mulheres. 
Sabendo-se que 40% dos homens e 60% das mulheres fazem anotações sobre o que 
está sendo dito pelo palestrante, então, em relação ao número total de pessoas 
presentes no auditório, aqueles que não fazem anotações representam 
aproximadamente: 
 
a) 48,7% 
b) 50,6% 
c) 52,5% 
d) 54,3% 
e) 56,4% 
Gabarito: letra a 
O exercício citou que 40% dos homens e 60% das mulheres fazem anotações. 
Então, 60% dos homens e 40% das mulheres NÃO fazem anotações, portanto 
temos: 
60% 𝑑𝑜𝑠 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 + 40% 𝑑𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 
 
60% 𝑑𝑒 65 + 40% 𝑑𝑒 85 
 
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60
100
 . 65 +
40
100
 . 85 
 
0,6 . 65 + 0,4 . 85 
 
39 + 34 
73 
Portanto há 73 pessoas que não fazem anotações. O exercício quer saber qual 
o percentual dessas pessoas em relação ao total. 
 
𝑄 =
73
150
 
 
𝑄 = 0,4867 
 
𝑄 = 48,67% 
 
 
4. Um funcionário de uma empresa recebeu a quantia de R$ 315,00 a mais no seu salário, 
referente a um aumento de 12,5%. Sendo assim, o seu salário atual é de: 
 
a) R$ 2.205,00 
b) R$ 2.520,00 
c) R$ 2.835,00 
d) R$ 2.913,00 
e) R$ 3.050,00 
Gabarito: letra b 
Como o funcionário recebeu R$315,00 a mais no seu salário referente ao 
aumento de 12,5% então podemos escrever a seguinte regra de três: 
 
Salário % 
315 12,5 
X 100 
 
12,5𝑥 = 315 . 100 
 
12,5𝑥 = 31500 
 
𝑥 =
31500
12,5
 
 
𝑥 = 2520 
 
 
 
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94 
 
JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTO 
 
Questões sobre juros simples e juros composto costumam ser cobradas com frequência 
por envolverem situações do cotidiano como compras a prazo, financiamentos e aplicações 
bancárias. 
 
Vamos primeiro analisar alguns conceitos para entender melhor como funcionam juros 
simples e composto. 
 
JURO 
 
Quando a gente empresta dinheiro para alguém, sempre tem aquela brincadeira de falar 
que vamos cobrar juros, não é mesmo? Pelo fato de você ter emprestado, no final de um 
determinado período, é comum receber um prêmio por isso. Esse prêmio, na matemática 
financeira, chama-se juro. Nas fórmulas, ele aparece representado pela letra j. 
 
CAPITAL (OU PRINCIPAL) 
 
O valor que você empresta recebe o nome de capital ou principal e aparece sempre 
indicado pela letra C. 
 
MONTANTE 
 
Quando você soma o capital (C) e o juro (j), você obtém o montante, indicado pela 
letra M. 
Por isso, a fórmula usada é a seguinte: 
 
𝑀 = 𝐶 + 𝑗 
 
TAXA DE JUROS 
 
Você sempre vai encontrar a taxa referente a um intervalo de tempo sendo denominada 
taxa de juros. Normalmente, ela aparece em formato de porcentagem e é representada pela 
letra i. 
 
 
PERÍODO 
O tempo que esse dinheiro fica aplicado se chama período. Ele pode aparecer nos 
exercícios em dias, meses ou anos e é indicado pela letra t. 
 
Lembre-se sempre de que a taxa de juros (i) e o tempo de aplicação (t) devem estar na 
mesma unidade de tempo. Se a taxa de juros for de 3% a.m (ao mês), o período também deve 
estar em meses. 
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https://querobolsa.com.br/enem/matematica/juros-simples
https://querobolsa.com.br/enem/matematica/juros-compostos
https://querobolsa.com.br/enem/matematica/matematica-financeira
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95 
 
Depois de entender um pouco mais sobre esses conceitos, chegou a hora de saber como 
se calculam juros simples e composto. 
Se você aplicar um capital por um período, considerando uma taxa de juros, esse 
montante pode aumentar de duas formas: por meio dos juros simples e composto. 
 
OBJETIVO DOS JUROS 
Os juros simples e compostos são cálculos efetuados com o objetivo de corrigir os 
valores envolvidos nas transações financeiras, isto é, a correção que se faz ao emprestar ou 
aplicar uma determinada quantia durante um período de tempo. 
O valor pago ou resgatado dependerá da taxa cobrada pela operação e do período que o 
dinheiro ficará emprestado ou aplicado. Quanto maior a taxa e o tempo, maior será este valor. 
 
DIFERENÇA ENTRE JUROS SIMPLES E COMPOSTOS 
 
Enquanto nos juros simples a correção aplicada em todo o período leva em consideração 
apenas o valor inicial envolvido, nos juros compostos a correção é feita em cima de valores já 
corrigidos. 
Por isso, os juros compostos também são chamados de juros sobre juros, ou seja, o valor 
é corrigido sobre um valor que também já foi corrigido. 
Sendo assim, para períodos maiores de aplicação ou empréstimo a correção por juros 
compostos fará com que o valor final a ser recebido ou pago seja bem maior que o valor 
inicialmente aplicado ou emprestado. 
 
 
 
JURO SIMPLES 
 
Juros simples é um resultado obtido por meio da aplicação de um valor 
percentual que incide apenas sobre o valor principal, por um determinado período. 
A fórmula para calcular o juro simples é: 
 
𝐽 = 𝐶 . 𝑖 . 𝑡 
Sendo: 
 
J = Juro 
 
C = Capital 
 
i = taxa de juro 
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96 
 
 
t = tempo 
 
Podemos ainda calcular o valor total que será resgatado (no caso de uma aplicação) ou o 
valor a ser quitado (no caso de um empréstimo) ao final de um período predeterminado. 
Esse valor, chamado de montante, é igual a soma do capital com os juros, ou seja: 
 
𝑀 = 𝐶 + 𝐽 
 
Podemos substituir o valor de J, na fórmula acima e encontrar a seguinte expressão para 
o montante: 
𝑀 = 𝐶 + 𝐶 . 𝑖 . 𝑡 
 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖. 𝑡) 
 
 
A fórmula que encontramos é uma função afim, desta forma, o valor do montante cresce 
linearmente
em função do tempo. 
 
Exemplo: 
 
Uma pessoa aplicou R$1.200,00 a uma taxa de 2% ao mês durante 14 meses. Determine 
os juros e o montante dessa aplicação. 
 
Capital = R$ 1.200,00 
Tempo = 14 meses 
Taxa = 2% ao mês = 2/100 = 0,02 
 
 
Fórmula dos juros simples: 
 
 
𝐽 = 𝐶 . 𝑖 . 𝑡 
 
𝐽 = 1200 . 0,02 . 14 
 
𝐽 = 336 
 
Montante: 
 
𝑀 = 𝐶 + 𝐽 
 
𝑀 = 1200 + 336 
 
𝑀 = 1536 
 
O valor dos juros da aplicação é de R$336,00 e o montante a ser resgatado é de R$ 
1536,00 
 
 
 
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97 
 
JURO COMPOSTO 
 
O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma 
maior rentabilidade se comparado com o regime de juros simples, em que o valor dos 
rendimentos torna-se fixo. 
O juro composto incide mês a mês de acordo com o somatório acumulativo do capital 
com o rendimento mensal, isto é, prática do juro sobre juro. As modalidades de investimentos 
e financiamentos são calculadas de acordo com esse modelo de investimento, pois ele oferece 
um maior rendimento, originando mais lucro. 
A fórmula para calcular o juro composto é: 
 
𝑀 = 𝐶 . (1 + 𝑖)𝑡 
 
Sendo: 
 
M = Montante 
 
C= Capital 
 
i =Taxa de juro 
 
t = Tempo 
 
Exemplo: 
 
 
Uma aplicação especial rende 1,5% ao mês em regime de juros compostos. Certa pessoa 
deseja aplicar a quantia de R$620,00 durante 2 anos. Determine o montante gerado por essa 
aplicação. 
 
Capital = 620 
Tempo = 2 anos = 24 meses 
Taxa de juros = 1,5% = 1,5/100 = 0,015 
 
 
𝑀 = 𝐶 . (1 + 𝑖)𝑡 
 
𝑀 = 620 . (1 + 0,015)24 
 
𝑀 = 620 . (1,015)24 
 
𝑀 = 620 . 1,429503 
 
𝑀 = 886,29 
 
 
O montante gerado será de R$ 886,29. 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
1. Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros 
compostos, a quantia de R$5.000,00, a taxa de 1% ao mês em um sistema de juros 
compostos. 
 
Gabarito: R$ 307,60 
 
Ao extrair os dados das questões: 
Capital (c) = 5000 
Taxa de juros (i) = 1% = 1/100 = 0,01 
Tempo (t) = 1 semestre = 6 meses 
 
Substituindo temos: 
 
𝑀 = 𝐶 . (1 + 𝑖)𝑡 
 
𝑀 = 5000 . (1 + 0,01)6 
 
𝑀 = 5000 . (1,01)6 
 
𝑀 = 5000 . 1,0615 
 
𝑀 = 5307,60 
Para encontrar o valor devemos diminuir do montante o valor do capital, 
assim: 
 
𝐽 = 𝑀 − 𝐶 
 
𝐽 = 5307,60 − 5000 
 
𝐽 = 307,60 
 
 
2. Qual capital deve ser aplicado a uma taxa de juros compostos de 6% ao mês, de forma 
que o montante seja de R$9.941,20 em 36 meses? 
 
Gabarito: R$1.220,20 
 
Ao extrair os dados da questão temos: 
 
Montante (M) = 9941,20 
Capital (c) = ? 
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99 
 
Taxa (i): 6% = 6/100 = 0,06 
Tempo (t): 36 meses 
Substituindo temos: 
 
𝑀 = 𝐶 . (1 + 𝑖)𝑡 
 
9941,20 = 𝐶 . (1 + 0,06)36 
 
9941,20 = 𝐶 . (1,06)36 
 
9941,20 = 𝐶 . 8,15 
 
𝐶 =
9941,20
8,15
 
 
𝐶 = 1220,20 
 
 
 
3. Um capital de R$600,00, aplicado a taxa de juros simples de 30% ao ano, gerou um 
montante de R$1320,00, depois de certo tempo. O tempo de aplicação foi de: 
 
Gabarito: 4 anos 
Ao extrair os dados da questão temos: 
 
Capital (c) = 600 
Taxa de juros (i) = 30% = 30/100 = 0,3 
Montante (M) = 1320 
 
Sabemos que M = C + J e que podemos obter J = M – C e com isso aplicar na 
fórmula temos: 
 
𝐽 = 𝐶 . 𝑖 . 𝑡 
 
𝑀 − 𝐶 = 𝐶 . 𝑖 . 𝑡 
 
1320 − 600 = 600 . 0,3 . 𝑡 
 
720 = 180 𝑡 
 
𝑡 = 4 
 
O tempo da aplicação é de 4 anos. 
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
100 
 
 
4. Um investidor aplicou a quantia de R$ 500,00 em um fundo de investimento que opera 
no regime de juros simples. Após 6 meses o investidor verificou que o montante era de 
R$ 560,00. Qual a taxa de juros desse fundo de investimento? 
 
Gabarito: 2% 
Capital (c) = 500 
Montante (M) = 560 
Tempo (t) = 6 meses 
 
Calculando os juros da aplicação 
 
𝐽 = 𝑀 − 𝐶 
 
𝐽 = 560 − 500 
 
𝐽 = 60 
 
Aplicando a fórmula 𝐽 = 𝐶 . 𝑖 . 𝑡 
 
60 = 500 . 𝑖 . 6 
 
60 = 3000 . 𝑖 
 
𝑖 =
60
3000
 
 
𝑖 = 0,02 
 
𝑖 = 2% 
 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
Chamamos de medidas de tendência central valores centrais em distribuições de 
probabilidade. Elas podem ser calculadas para um conjunto finito ou infinito de dados. O 
nome vem do fato de que esses valores representam “a tendência de dados quantitativos de se 
agruparem ao redor de um valor central”. Ou seja, é uma tendência, o que não significa que 
todos os valores são iguais àquele, apesar de tenderem estar próximos. 
Além da média, moda e mediana, muitas outras medidas são de tendência central, como 
a média geométrica, a média harmônica, a média ponderada, a média truncada, entre outras. A 
maioria dessas também são médias, então quando dizemos somente “média”, estamos nos 
referindo à média aritmética. 
Média, moda e mediana são calculadas para fazer referência a um todo, a partir de um 
dado específico. O fim estatístico se torna o objetivo desta tendência matemática que explora 
o centro como um resultado de amostra. 
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101 
 
 
MÉDIA 
 
As Médias são essenciais para fazer estimativas de tendências de crescimento 
populacional, de taxas de rendimento em investimentos ao longo de um dado tempo, 
velocidade média ou, até mesmo, para aplicar na geometria plana e espacial. 
Quando estudamos Estatística, um dos conceitos que mais se destaca é as médias 
aritmética, ponderada e geométrica, com maior ênfase nas duas primeiras. Elas são aplicadas 
nos cálculos de médias escolares, em muitas situações que vemos nos jornais, como em 
pesquisas de opinião, de variação de preço de mercadorias, entre outras. 
 
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES 
 
Esse tipo de média funciona de forma mais adequada quando os valores são 
relativamente uniformes. 
Por ser sensível aos dados, nem sempre fornece os resultados mais adequados. 
Isso porque todos os dados possuem a mesma importância (peso). 
A média aritmética simples é obtida dividindo a soma de todos os valores que temos 
pela quantidade de valores. Geralmente expressamos a média pelo símbolo 
A média aritmética simples é calculada através da fórmula: 
 
 =
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛
 
 
Sendo: 
 
 = Média 
x1, x2,... xn = valores dos dados 
n = quantidade de dados 
 
Exemplo: 
Sabendo que as notas de um aluno forma 8,2; 7,8; 10,0; 9,5; 6,7; qual a média que ele 
obteve no curso? 
 =
x1 + x2 + x3 + ⋯ + xn
n
 
 
 
 =
8,2 + 7,8 + 10,0 + 9,5 + 6,7
5
 
 
 =
42,2
5
 
 
 = 8,4 
 
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA 
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102 
 
 
A média ponderada (Mp) é uma extensão da média simples e considera pesos para as 
informações do conjunto de dados. É feita por meio da soma do produto de uma informação 
pelo seu respectivo peso e, em seguida, a divisão desse resultado pela soma de todos 
os pesos usados. 
Para cálculo da média aritmética ponderada utilizamos a seguinte fórmula: 
 
 
 =
(𝑥1 . 𝑝1) + (𝑥2. 𝑝2) + (𝑥3. 𝑝3) + ⋯ + (𝑥𝑛 . 𝑝𝑛)
𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 + ⋯ + 𝑝𝑛
 
 
Sendo: 
 
 = Média 
x1, x2,... xn = valores dos dados 
p1, p2,...pn = peso de cada item 
 
Exemplo: 
Uma aluna fez uma prova e obteve nota 9.1 e um trabalho, com nota 8,7. A média 
considera que a prova tenha peso 6 e o trabalho peso 4. Assim, a média dessa aluna será: 
 
 =
(𝑥1 . 𝑝1) + (𝑥2. 𝑝2) + (𝑥3. 𝑝3) + ⋯ + (𝑥𝑛 . 𝑝𝑛)
𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 + ⋯ + 𝑝𝑛
 
 
 =
(9,1 . 6) + (8,7 . 4)
6 + 4
 
 
 =
(54,6) + (34,8)
10
 
 
 =
(89,4)
10
 
 = 8,94 
 
MÉDIA GEOMÉTRICA 
 
Nas médias ariméticas, nós somamos os valores e dividimos a soma pela quantidade de 
valores somados. Na média geométrica, nós multiplicamos
os valores disponibilizados e 
extraímos a raiz de índice igual à quantidade de números multiplicados. 
É muito comum se fazer uso das Médias Geométricas em geometria plana e espacial: 
 Podemos interpretar a Média Geométrica de três números a, b e c como a 
medida l da aresta de um cubo, cujo volume é o mesmo de um prisma retangular 
reto, desde que este tenha arestas medindo exatamente a, b e c. 
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103 
 
 Outra aplicação se dá no triângulo retângulo, cuja Média Geométrica das projeções 
dos catetos (representadas na figura a seguir por a e b) sobre a hipotenusa é igual 
à altura relativa à hipotenusa. 
 
A média geométrica é definida, para números positivos, como a raiz n-ésima do produto 
de n elementos de um conjunto de dados. 
Assim como a média aritmética, a média geométrica também é uma medida de tendência 
central. 
É usada com mais frequência em dados que apresentam valores que aumentam de forma 
sucessiva, e com a seguinte fórmula: 
 
= √𝑥1 . 𝑥2 . 𝑥3. … 𝑥𝑛
𝑛
 
 
Sendo: 
= média geométrica 
X1, x2, ...,xn 
n= número de elementos do conjunto de dados 
 
Exemplo: 
Qual a média geométrica de 2 e 8? 
 
= √𝑥1 . 𝑥2 . … 𝑥𝑛
2
 
 
= √2 . 8
2
 
 
= √16
2
 
 
= 4 
 
 
MÉDIA HARMÔNICA 
 
Médias Harmônicas são usadas quando temos que lidar com uma série de valores 
inversamente proporcionais como um cálculo de uma velocidade média, um custo médio de 
compras com uma taxa fixa de juros e resistências elétricas em paralelo, por exemplo. 
Podemos as Médias Harmônicas da seguinte forma: 
Sendo n o número dos elementos e ( a1+ a2 + a3 + a4 +… + an ) o conjunto de elemento 
envolvidos na média, temos: 
 
𝑀ℎ =
𝑛
1
𝑥1 +
1
𝑥2 +
1
𝑥3 + ⋯
1
𝑥𝑛
 
 
Sendo : 
 
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104 
 
Mh= média harmônica 
n= quantidade de itens 
x1, x2, x3, ..., xn = quantidade de dados 
 
Exemplo: 
Qual a média harmônica entre 2, 5 e 10? 
 
𝑀ℎ =
3
1
2 +
1
5
+
1
10
 
 
𝑀ℎ =
3
5
10 +
2
10 +
1
10
 
 
𝑀ℎ =
3
8
10
 
 
𝑀ℎ =
30
8
 
 
𝑀ℎ = 3,75 
 
MODA 
 
A moda de um conjunto de dados pode ser definida como o valor que ocorre com mais 
frequência dentro deste conjunto. Por isso, é possível descobrir a moda de uma sequência de 
valores facilmente, apenas observando o número que mais aparece nela. 
 
Exemplo: 
Vamos analisar o conjunto de dados formado pela idade dos meninos de uma turma de 
alunos: 
13, 16, 15, 17, 13, 16, 15, 15 
Analisando brevemente esta sequência, podemos perceber que o número que aparece 
com maior frequência é o 15. 
Então, nesta sala de aula, a idade mais frequente é 15 anos. 
 
As sequencias podem ser classificadas quanto a quantidade de modas que aparecem 
como: 
 Amodal : não possui moda 
 Bimodal: possui duas modas 
 Trimodal: possui três modas 
 
MEDIANA 
 
Chamamos de mediana o elemento que está no centro do rol, ou seja, o elemento que o 
divide ao meio. Caso o rol tenha um número par de elementos, a mediana ocorrerá pela média 
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MUDE SUA VIDA! 
105 
 
aritmética dos dois elementos centrais, lembrando que o rol é a organização dos elementos 
em ordem crescente. 
 
Exemplo: 
 
O dono de uma creche realizou um levantamento das idades de seus alunos, 
encontrando os seguintes anos: (6, 2, 4, 3, 7, 5, 5, 6, 7, 8). Determine a mediana dessa 
sequência. 
 
Montando o rol temos: 
 
2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8 
 
Como temos um rol com quantidade par de elementos então iremos pegar os dois 
termos centrais e calcular a média aritmética simples entre eles: 
 
5 + 6
2
=
11
2
= 5,5 
 EXERCÍCIOS 
1. Quais valores são, respectivamente, a moda, média e mediana dos números da lista a 
seguir? 
133, 425, 244, 385, 236, 236, 328, 1000, 299, 325 
a) 236; 361,1 e 312 
b) 244; 361 e 312 
c) 236; 360 e 312 
d) 236; 361,1 e 310 
e) 236; 361,1 e 299 
 
Gabarito: letra a 
A moda será o número que aparece com a maior frequência, portanto temos 
que é o 236. 
A média quando o exercício não específica será média aritmética simples 
portanto temos: 
𝑀𝑠 = 
136 + 425 + 244 + 385 + 236 + 236 + 328 + 1000 + 299 + 325
10
 
 
𝑀𝑠 = 
3611
10
 
 
𝑀𝑠 = 361,1 
 
A mediana é o número central do rol (números organizados em ordem 
crescente), portanto temos: 
 
133, 236, 236, 244, 299, 325, 328, 385, 425, 1000 
 
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106 
 
Como temos um rol com 10 valor ou seja, quantidade par, temos que pegar 
os dois termos centrais e calcular a média sendo: 
 
𝑀𝑠 = 
299 + 325
2
 
 
𝑀𝑠 = 
624
2
 
 
𝑀𝑠 = 312 
 
 
2. Certa competição tem 6 etapas eliminatórias. Sabe-se que a média aritmética do 
número de pessoas que participaram da primeira e da segunda etapa é igual ao quádruplo 
da média aritmética do número de pessoas que participaram de cada uma das quatro 
etapas seguintes. 
Desse modo, a razão entre o número de pessoas que participaram da primeira e da 
segunda etapa e o número total de pessoas que participaram dessa competição é de: 
 
a) ½ 
b) 1/3 
c) ¼ 
d) 2/3 
e) ¾ 
Gabarito: letra d 
 Para iniciar o exercício iremos adotar que cada etapa será representada pelas 
letra A, B, C, D, E, F. 
Agora adotando o conceito de média aritmética simples temos que: 
 
𝐴 + 𝐵
2
= 4 .
𝐶 + 𝐷 + 𝐸 + 𝐹
4
 
𝐴 + 𝐵
2
= 𝐶 + 𝐷 + 𝐸 + 𝐹 
 
Somando A + B em ambos os lados temos: 
 
𝐴 + 𝐵
2
+ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷 + 𝐸 + 𝐹) + (𝐴 + 𝐵) 
 
𝐴 + 𝐵
2
+
2(𝐴 + 𝐵)
2
= (𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸 + 𝐹) 
 
(𝐴 + 𝐵).
3
2
 = (𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸 + 𝐹) 
 
(𝐴 + 𝐵) =
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸 + 𝐹
3
2
 
 
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107 
 
 
3. Nos quatro primeiros dias úteis de uma semana o gerente de uma agência bancária 
atendeu 19, 15, 17 e 21 clientes. No quinto dia útil dessa semana esse gerente atendeu n 
clientes. Se a média do número diário de clientes atendidos por esse gerente nos cinco dias 
úteis dessa semana foi 19, a mediana foi: 
 
a) 21. 
b) 19 
c) 18 
d) 20 
e) 23 
Gabarito: letra b 
Para calcularmos a média aritmética, somamos os valores e dividimos pela 
quantidade de termos: 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
19 + 15 + 17 + 21 + 𝑛
5
 
 
19 =
19 + 15 + 17 + 21 + 𝑛
5
 
 
19. 5 = 19 + 15 + 17 + 21 + 𝑛 
 
95 = 72 + 𝑛 
 
𝑛 = 95 − 72 
 
𝑛 = 23 
 
 
4. A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de matemática das Escolas 
Públicas (OBMEP) aumenta a cada ano. O quadro indica o percentual de medalhistas de 
ouro, por região, nas edições de 2005 a 2009. Em relação as edições de 2005 a 2009 da 
OBMEP qual o percentual médio de medalhistas de ouro da região Sudeste? 
 
 
 
a) 14,6% 
b) 18,2% 
c) 18,4% 
d) 60% 
Gabarito: letra d 
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MUDE SUA VIDA! 
108 
 
Como o exercício pediu os medalhistas de 2005 a 2009 da região sudeste 
basta calcular a média da região sudestes em todos os anos ou seja: 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
55 + 61 + 58 + 66 + 60
5
 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
300
5
 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 60% 
 
 
EQUAÇÕES DO 1° GRAU COM UMA INCÓGNITA 
 
HISTÓRIA 
 
Milhares de anos atrás, as equações já eram bastante utilizadas. O acesso a essa 
maravilhosa ferramenta matemática era muito complexo, tendo em vista os poucos recursos 
matemáticos da época. Os matemáticos hindus usavam conceitos sobre equação para 
disputarem em concursos públicos de testes intelectuais onde um matemático formulava 
perguntas para que o outro desse a resposta e vice-versa. 
As equações eram também utilizadas para demonstrarem truques de magias, resolução 
de quebra-cabeças e problemas de diversas naturezas que geralmente eram envoltos num 
misto de mistério e intelectualidade. 
A primeira referência sobre equação que se tem registro data de aproximadamente
4000 anos pretéritos, o Papiro de Rhind. Este documento traz várias inscrições de problemas 
matemáticos, na maioria, solucionados através de equações. Como os egípcios não detinham o 
conhecimento algébrico, suas soluções equacionais eram complexas e, praticamente, 
inacessíveis. 
Os matemáticos gregos chegavam à resolução das equações por meios geométricos. 
Estes, como eram de muito difícil compreensão, ficavam restritos somente às mãos de poucos 
indivíduos, verdadeiros donos de uma rara inteligência abstrata. Já na Arábia, teve origem 
uma aproximação do que hoje chamamos de x para indicar valores desconhecidos. Na língua 
árabe a palavra desconhecida é escrita xay. Numa tradução informal e econômica de letras, 
nasce o x. O matemático árabe de maior representatividade viveu no século IX, Al- 
Khowarizmi. 
A inserção de símbolos matemáticos e o uso de letras para representarem valores 
desconhecidos nas equações foram concebidos por Fraçois Viète, matemático francês 
responsável, também, pelo estudo das propriedades das equações do tipo ax + b = 0, ou seja, 
equações de 1° grau na incógnita x. Atualmente as equações são conhecidas com o idioma da 
álgebra. 
 
 
INCÓGNITAS E COEFICIENTES 
 
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MUDE SUA VIDA! 
109 
 
Já foi dito que em tempos remotos os valores desconhecidos de um determinado 
problema eram nomeados pelos árabes de xay e em outros casos, até mesmo por outros 
povos, a sua referência era feita através de figuras geométricas. Em dias atuais a 
nomenclatura utilizada para determinar o que se quer encontrar em problemas matemáticos 
é incógnita. Esta palavra deriva do latim incognitu que também significa coisa desconhecida. 
A letra a ser usada para representar o valor desconhecido fica a critério do autor da 
questão, o que realmente importa é a facilitação do cálculo de equações com a introdução 
dessa ferramenta algébrica aliada a aritmética, a geometria e tantos outros ramos da 
matemática. Sendo assim, pode-se, ao invés do x, usar-se a, b, c, d,... z, etc. 
Se temos uma expressão do tipo 2x – 4 = 0 destacam-se: 
 2 e 4 são coeficientes – representam respectivamente fator e subtraendo da 
equação exemplificada; 
 x é incógnita – valor desconhecido ao qual se está buscando encontrar; 
 para x = 2 temos uma sentença verdadeira, ou seja, 2 . 2 – 4 = 0. Ao valor que 
substituído pela incógnita torna a sentença verdadeira dá-se o nome de raiz da 
equação. Nesse caso o algarismo 2 é a raiz da equação 2x – 4 = 0. 
 
A EQUAÇÃO DE 1° GRAU 
 
O fundamento das equações é alicerçado no próprio sentido etimológico da 
palavra equação. Esta palavra deriva de equatione, do latim, e significa equacionar, 
igualar. Baseado na definição etimológica da palavra equação entende-se que devemos 
procurar igualar o lado esquerdo ao lado direito da expressão. Quando isso acontece, diz-se 
que temos uma sentença verdadeira, uma igualdade, uma equação. 
Toda expressão do tipo ax + b = 0, com a ≠ 0, representa uma equação de primeiro grau 
na incógnita x, onde a e b são os coeficientes da equação e x é a incógnita. 
O coeficiente a deve ser diferente de zero ou então não teríamos a caracterização de 
equação, uma vez que o valor da incógnita também assumiria zero, neutralizando a nossa 
busca pelo elemento desconhecido. Além disso, não seria possível tornar a sentença 
verdadeira, fundamento primordial da equação. Acompanhem a expressão 0x + 9 = 0: 
 
0x + 9 = 0, como 0 . x = 0 temos 
0 + 9 = 0. 
 
A sentença é falsa, pois 9 ≠ 0. Logo não temos uma equação (igualdade). 
A caracterização de 1° grau se dá pelo fato da incógnita estar elevada ao expoente 1, 
vejam: 
 21 = 2 
 
 (
5
3
)
1
 =
5
3
 
 
 10001 = 1000 
 
 X1 = X 
 
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https://www.infoescola.com/matematica/raizes-de-uma-equacao/
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110 
 
Por definição, todo número elevado à primeira potência resulta nele próprio. Sendo assim, 
omite-se o expoente 1, pois sua ausência, nesse tipo de situação, não desequilibra a sentença 
matemática. 
 
OS PRINCÍPIOS DA BALANÇA, DA ADIÇÃO E DA MULTIPLICAÇÃO 
 
Para compreendermos melhor a ideia de igualdade, necessário é que conheçamos o 
princípio da balança. Este princípio consiste em tornar os dois lados da igualdade 
equilibrados, com o mesmo “peso”. Basta para isso que imaginemos uma balança de dois 
pratos em perfeito estado de equilíbrio, ou seja, mesmo peso em ambos os pratos. 
Dividamos a equação ax + b = 0 em duas partes. Ao lado esquerdo da igualdade 
chamaremos primeiro membro e ao lado direito chamaremos segundo membro. 
 
𝑎𝑥 + 𝑏
1° 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜
 =
0
2° 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜
 
 
O primeiro membro deverá sempre estar equilibrado em relação ao segundo. Quando 
adicionamos, subtraímos, multiplicamos ou dividimos um número qualquer no primeiro 
membro devemos também realizar a mesma operação no segundo membro. 
 
PRINCÍPIO ADITIVO 
 
Através do princípio aditivo podemos adicionar ou subtrair os dois membros, 
simultaneamente, por um mesmo número que teremos uma nova igualdade. 
 
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO 
 
Este princípio consiste em multiplicar ou dividir os dois membros, simultaneamente, por 
um mesmo número. Ao final do processo teremos uma nova igualdade. 
 
3𝑥 + 4 = 𝑥 + 10 
 
3𝑥 + 4 − 4 = 𝑥 + 10 − 4 
 
3𝑥 = 𝑥 + 6 
 
3𝑥 − 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 + 6 
 
2𝑥 = 6 
 
2𝑥 .
1
2
= 6 .
1
2
 
 
𝑥 = 3 
 
REGRA PRÁTICA 
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111 
 
 
Existe um mecanismo prático para solucionar equações. Basta que sigamos algumas 
dicas: 
Reservaremos o primeiro membro (lado esquerdo da igualdade) somente para os 
valores desconhecidos (incógnitas); 
Ao segundo membro pertencerão os números não acompanhados da incógnita; 
Quando mudarmos um número ou uma incógnita de um membro para o outro 
inverteremos seu sinal. 
5𝑥 + 16 = 4𝑥 + 12 
 
5𝑥 − 4𝑥 = 12 − 16 
 
𝑥 = −4 
 
EXERCÍCIOS 
1. Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são 
esses? 
Gabarito: 130, 131, 132 
Como os números são desconhecidos temos que um deles adotaremos 
qualquer letra no caso X, portanto temos: 
 
X 
X+1 
X+ 2 
Quando somamos todos os trem resulta em 393, sendo assim: 
 
𝑥 + (𝑥 + 1) + (𝑥 + 2) = 393 
 
3𝑥 + 3 = 393 
 
3𝑥 = 393 − 3 
 
3𝑥 = 390 
 
𝑥 =
390
3
 
 
𝑥 = 130 
 
130, 130 + 1, 130 + 2 
130, 131, 132 
 
2. Em um concurso os participantes devem responder a um total de 20 questões. Para 
cada resposta correta o candidato ganha 3 pontos e para cada resposta errada perde 2 
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112 
 
pontos. Determine o número de acertos e erros que um candidato obteve considerando que 
ele totalizou 35 pontos. 
 
Gabarito: 15 acertos e 5 erros 
Vamos adotar: 
O número de acertos com a letra X 
O número de erros por 20 – x 
 
Então podemos escrever a equação da seguinte maneira: 
 
3 . 𝑥 − 2 . (20 − 𝑥) = 35 
 
3𝑥 − 40 + 2𝑥 = 35 
5𝑥 = 75 
𝑥 =
75
5
 
 
𝑥 = 15 
 
 
3. Roberta é quatro anos mais velha que Bárbara. A soma das idades das duas é 44. 
Determine a idade de Roberta e Bárbara. 
 
Gabarito: Bárbara tem 20 anos e Roberta tem 24 anos. 
 
Adotaremos: 
Roberta = R 
Bárbara = B 
 
Portanto: 
𝑅 = 𝐵 + 4 
 
Sabemos que a soma da idade das duas é de 44 anos. Logo: 
 
𝑅 + 𝐵 = 44 
𝐵 + 4 + 𝐵 = 44 
𝐵 + 𝐵 = 44 − 4 
2𝐵 = 40 
𝐵 =
40
2
 
𝐵 = 20 
 
 
4. Uma agência de turismo vende pacotes familiares de passeios turísticos, cobrando para 
crianças o equivalente a 2/3 do valor para adultos. Uma família de cinco pessoas, sendo 
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MUDE SUA VIDA! 
113 
 
três adultos e duas crianças, comprou um pacote turístico e pagou o valor total de R$ 
8.125,00. Com base nessas informações, calcule o valor
que a agência cobrou de um 
adulto e de uma criança para realizar esse passeio. 
 
Gabarito: 
Adotando adultos como X temos: 
 
Adulto=x 
Criança=2/3 x 
 
Montando a equação temos: 
 
3 𝑎𝑑𝑢𝑙𝑡𝑜𝑠 + 2 𝑐𝑟𝑖𝑎𝑛ç𝑎𝑠 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 
 
3𝑥 + 2 .
2
3
𝑥 = 8125 
 
3𝑥 +
4
3
𝑥 = 8125 
 
9𝑥 + 4𝑥
3
=
24375
3
 
 
9𝑥 + 4𝑥 = 24375 
 
13𝑥 = 24375 
 
𝑥 =
24375
13
 
 
𝑥 = 1875 
 
 
EQUAÇÕES DO 2° GRAU 
 
A equação do segundo grau recebe esse nome porque é uma equação polinomial cujo 
termo de maior grau está elevado ao quadrado. Também chamada de equação quadrática, é 
representada por: 
𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
 
Numa equação do 2º grau, o x é a incógnita e representa um valor desconhecido. Já as 
letras a, b e c são chamadas de coeficientes da equação. 
Os coeficientes são números reais e o coeficiente a tem que ser diferente de zero, pois do 
contrário passa a ser uma equação do 1º grau. 
Resolver uma equação de segundo Grau, significa buscar valores reais de x, que tornam a 
equação verdadeira. Esses valores são denominados raízes da equação. Uma equação 
quadrática possui no máximo duas raízes reais. 
As equações do segundo grau são classificadas em dois tipos: 
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MUDE SUA VIDA! 
114 
 
 Equações incompletas 
 Equações completas 
 
EQUAÇÕES INCOMPLETAS 
 
Equações são consideradas incompletas quando são escritas da forma: 
 
𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 = 0 
 
 ou 
 
𝑎𝑥² + 𝑐 = 0 
 
EQUAÇÃO NA FORMA AX² + BX = 0 
 
Um dos métodos para resolver equações nesta forma incompleta e aplicando a 
fatoração. 
 
Exemplo: 
 
𝑥² + 4𝑥 = 0 
 
𝑥. (𝑥 + 4) = 0 
 
Quando fatoramos temos dois termos que quando multiplicados entre si resulta em 
zero. Portanto adotaremos as seguintes situações: 
 
 1° termo igual a 0 
 𝑥. (𝑥 + 4) = 0 
 2° termo igual a 0 
 
 (𝑥 + 4) = 0 
 
 𝑥 = −4 
 
Portanto as raízes são X` = 0 e X” = -4 
 
EQUAÇÃO NA FORMA AX² + C = 0 
 
Um dos métodos para resolver equações nesta forma incompleta e tratando a mesma 
com os princípios de equação de 1° grau, ou seja isolando a incógnita de maneira q depois 
aplicaremos propriedade de radiciação. 
 
Exemplo: 
 
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MUDE SUA VIDA! 
115 
 
 
𝑥² − 25 = 0 
 
𝑥² = 25 
 
√𝑥² = √25 
 
𝑥 = ±5 
 
Portanto as raízes são: 
X`= 5 
X”= - 5 
 
 
EQUAÇÕES COMPLETAS 
 
MÉTODO DE BHASKARA 
 
 
Para resolver qualquer equação do 2° grau, o método de Bhaskara é o mais utilizado 
para equações tanto incompletas quanto completas, com os seguintes passos: 
 
1° Passo: Encontraremos o valor de ∆ através da fórmula: 
 
∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐 
 
Após encontrar o ∆ temos 3 situações para analisar: 
 
 ∆ = 0 A equação terá 2 raízes reais e iguais. 
 
 ∆ > 0 A equação terá 2 raízes reais e diferentes. 
 
 ∆ < 0 Não possui raízes reais. 
 
2° Passo: Substituir na fórmula de Bhaskara: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
 
 
Exemplo: 
 
Determine as raízes da equação 2x² - 3x - 5 = 0 por Bhaskara. 
 
Encontrar coeficientes: 
a= 2 
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MUDE SUA VIDA! 
116 
 
b= -3 
c= -5 
 
 
 
∆= −32 − 4 .2 . (−5) 
 
∆= 9 + 40 
 
∆= 49 
 
 
𝑥 =
−(−3) ± √49
2. 2
 
 
𝑥 =
3 ± 7
4
 
 
𝑥′ =
10
4
 
 
𝑥′ = 2,5 
 
 Ou 
 
𝑥" =
−4
4
 
 
𝑥" = −1 
 
MÉTODO DA SOMA E PRODUTO 
 
A soma e produto é uma variação da Fórmula de Bhaskara . A soma e produto é um 
método de calcular as raízes da equação do 2º grau e estabelece duas relações entre as raízes 
e os coeficientes da equação. Quando encontramos dois números que satisfazem as duas 
relações simultaneamente, então obtemos as raízes da equação. 
É uma técnica de calcular equação do 2° grau, sem ser pelo método de Bhaskara, a única 
desvantagem desse método é a aplicação do mesmo pois recomenda-se que o coeficiente a=1, 
utilizando as seguintes fórmulas: 
 
Soma: 
______ + ______ = −
𝑏
𝑎
 
 
Produto: 
_______. ______ =
𝑐
𝑎
 
 
Exemplo: 
 
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MUDE SUA VIDA! 
117 
 
Determine as raízes da equação x² +9x +14 = 0 pelo método da Soma e Produto 
 
O método consiste basicamente em fazer 3 verificações, e sempre iremos começar pelo 
produto. 
 
_____. ______ =
𝑐
𝑎
 
 
7 . 2 =
14
1
 
 
14 
 
Agora a soma: 
 
______ + ______ = −
− 9
1
 
 
7 + 2 = 
9
1
 
 
Portando as raízes da equação são: 
 
X’ = 7 
X” = 2 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. Resolva a equação do 2° grau 2x² + x – 3 = 0. 
 
 
Gabarito: X’= 1 e X”= - 3/2 
Como temos uma equação completa e que não possui o a=1 então vamos 
aplicar Bhaskara, portanto temos: 
∆= 𝑏² − 4𝑎. 𝑐 
 
∆= 1² − 4 .2 . (−3) 
 
∆= 1 + 24 
 
∆= 25 
 
𝑥 =
− 𝑏 ± √∆
2 . 𝑎
 
 
𝑥 =
− 1 ± √25
2 . 2
 
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MUDE SUA VIDA! 
118 
 
 
𝑥 =
− 1 ± 5
4
 
 
𝑥 =
− 1 − 5
4
 
 
𝑥 = −
6
4
 𝑜𝑢
3
2
 
 
𝑥 =
− 1 + 5
4
 
 
𝑥 = 1 
 
 
2. Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, 
você vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número? 
 
Gabarito: x’= 7 ou x”= -2 
Montando a equação temos: 
 
𝑥² − 14 = 5𝑥 
𝑥² − 5𝑥 − 14 = 0 
Aplicando Bhaskara temos: 
 
∆= 5² − 4 . 1 . (−14) 
 
∆= 81 
 
𝑥 =
− 𝑏 ± √∆
2 . 𝑎
 
 
𝑥 =
− (−5) ± √81
2 . 1
 
 
𝑥 =
5 ± 9
2
 
 
𝑥′ =
14
2
 
 
𝑥′ = 7 
 
𝑥" =
−4
2
 
 
𝑥" = − 2 
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MUDE SUA VIDA! 
119 
 
 
3. A soma de um número racional não inteiro com o dobro do seu inverso multiplicativo 
é 33/4. Esse número está compreendido entre: 
 
a) 5 e 6 
b) 1 e 5 
c) ½ e 1 
d) 3/10 e ½ 
e) 0 e 3/10 
 
Gabarito: letra e 
Adotando por X o número que estamos procurando, seu inverso será 1/x. Se 
a soma de X com o dobro do seu inverso multiplicativo é 33/4 teremos: 
 
𝑥 + 2.
1
𝑥
=
33
4
 
 
4𝑥² + 8 = 33𝑥 
 
4𝑥² − 33 + 8 = 0 
 
Aplicando Bhaskara temos: 
 
∆= 𝑏² − 4𝑎. 𝑐 
 
∆= (−33)2 − 4 . 4 . (8) 
 
∆= 1089 − 128 
 
∆= 961 
 
𝑥 =
− 𝑏 ± √∆
2 . 𝑎
 
 
𝑥 =
−(−33) ± √961
2 . 4
 
 
𝑥 =
33 ± 31
8
 
 
𝑥 =
64
8
 
 
𝑥′ = 8 
 
𝑥 =
2
8
 
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MUDE SUA VIDA! 
120 
 
 
𝑥" = 0,25 
 
Encontramos duas raízes para a equação, mas observe que o exercício refere-
se apenas à raiz que é um número racional não inteiro, portanto, o primeiro 
resultado não é interessante, pois 8 é um número inteiro. Sendo assim, 
utilizaremos o valor de x'', uma vez que ¼ = 0,25. 
A alternativa correta é a letra e, pois ¼ é maior que zero e é menor que 3/10, 
que equivale a 0,3. 
 
 
4. Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, 
você vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número? 
Gabarito: 
Adotando o número como X temos a seguinte equação: 
 
𝑥² − 14 = 5𝑥 
 
𝑥² − 5𝑥 − 14 = 0 
 
Aplicando Bhaskara temos: 
 
∆= 𝑏² − 4𝑎. 𝑐 
 
∆= (5)2 − 4 . 1 . (−14) 
 
∆= 25 + 56 
 
∆= 81 
 
𝑥 =
− 𝑏 ± √∆
2 . 𝑎
 
 
𝑥 =
− (−5) ± √81
2 . 1
 
 
𝑥 =
5 ± 9
2 
 
 
𝑥 =
14
2
 
 
𝑥′ = 7 
 
𝑥 =
−4
2
 
 
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121 
 
𝑥 = −2 
 
 
EQUAÇÕES BIQUADRADAS 
 
Uma equação biquadrada é toda aquela que possui a forma: 
 
𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥² + 𝑐 = 0 
 
Note que uma equação biquadrada é muito semelhante com uma equação do segundo 
grau 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Esta semelhança será crucial para que possamos solucionar uma 
equação biquadrada. 
Para encontrarmos raízes para este tipo de equação é necessário fazer uma troca de 
variáveis. Como já vimos que ela é muito semelhante a uma equação quadrática comum, 
podemos transformá-la em uma. 
 
𝑎𝑥4 +
𝑏𝑥² + 𝑐 = 0 
 
Se igualarmos 𝑥² = 𝑦, por exemplo, podemos reescrever a nossa expressão acima da 
forma de uma equação quadrática, ou seja: 
 
𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥² + 𝑐 = 0 
 
𝑎𝑥2
2
+ 𝑏𝑥² + 𝑐 = 0 
 
𝑎𝑦² + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 
 
Com esta substituição, nos basta resolver a equação do segundo grau encontrada e 
depois disso, substituir o valor de y na igualdade 𝑥² = 𝑦 e verificar se as raízes encontradas 
também são soluções para equação biquadrada 
 
Exemplo: 
Resolva a equação: 𝑥4 − 6𝑥2 + 9 = 0 
 
Antes, faremos a substituição 𝑥² = 𝑦 e, reescrevendo temos: 
 
y² − 6𝑦2 + 9 = 0 
 
Aplicando Bhaskara temos: 
 
∆= (−6)² − 4. 1.9 
 
∆= 36 − 36 
 
∆= 0 
 
𝑦 =
− 𝑏 ± √∆
2 . 𝑎
 
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MUDE SUA VIDA! 
122 
 
 
𝑦 =
− (−6) ± √0
2 . 1
 
 
𝑦 =
6 ± 0
2
 
 
𝑦 = 3 
 
Como encontramos o valor de Y, substituímos então na igualdade: 
 
𝑥² = 3 
 
𝑥 = ±√3 
 
Agora iremos verificar se essa raiz é também raiz da equação biquadrada, fazendo a 
substituição. 
 
𝑥4 − 6𝑥2 + 9 = 0 
 
(±√3)4 − 6(±√3)2 + 9 = 0 
 
9 − 18 + +9 = 0 
 
0 = 0 
EXERCÍCIOS 
 
1. Determine o conjunto solução da seguinte equação biquadrada: 𝑥4 − 5𝑥² + 4 = 0 
 
Gabarito: x=± 2 e x=± 1 
 
Primeiro passo fazer a substituição 𝑥² = 𝑦, então temos: 
 
𝑦² − 5𝑦 + 4 = 0 
 
∆= 𝑏² − 4𝑎. 𝑐 
 
∆= (−5)2 − 4.1.4 
 
∆= 25 − 16 
 
∆= 9 
 
𝑦 =
− 𝑏 ± √∆
2 . 𝑎
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
123 
 
𝑦 =
− (−5) ± √9
2 . 1
 
 
𝑦 =
5 ± 3
2
 
𝑦′ =
5 + 3
2
= 4 
 
"′ =
5 − 3
2
= 1 
 
Revertendo a substituição: 
 
y’= 4 
𝑥² = 𝑦 
 
𝑥² = 4 
 
𝑥 = ±2 
 
y’= 1 
𝑥² = 𝑦 
 
𝑥² = 1 
 
𝑥 = ±1 
 
 
 
2. O conjunto solução, no campo real, da equação 𝑧4 − 13𝑧² + 36 = 0 é: 
 
a) S = {-3, -2, 0, 2, 3} 
b) S = {-3, -2, 2, 3} 
c) S = {-2, -3} 
d) S = {0, 2, 3} 
e) S = {2, 3} 
 
Gabarito: letra b 
Primeiramente vamos reescrever essa equação para convertê-la em uma 
equação do segundo grau. Portanto temos: 
 
𝑧2 = 𝑥 
Então nossa nova equação será: 
 
𝑥2 − 13𝑥 + 36 = 0 
 
Aplicando a Fórmula de Bhaskara temos: 
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124 
 
 
∆= 𝑏² − 4𝑎. 𝑐 
 
∆= (−13)2 − 4.1 . 36 
∆= 169 − 144 
∆= 25 
 
𝑥 =
− 𝑏 ± √∆
2 . 𝑎
 
 
𝑥 =
− (−13) ± √25
2 . 1
 
 
𝑥 =
13 ± 5
2
 
 
𝑥′ =
13 + 5
2
 
 
𝑥′ =
18
2
 
 
𝑥′ = 9 
 
𝑥" =
13 − 5
2
 
 
𝑥" =
8
2
 
 
𝑥" = 4 
 
Os valores da equação de 2 grau após a substituição são 9 e 4, portanto 
temos que reverter a substituição: 
 
Para x=9 
 
𝑧2 = 9 
 
𝑧2 = √9 
 
𝑧 = ±3 
 
Para x=4 
 
𝑧2 = 4 
 
𝑧2 = √4 
 
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MUDE SUA VIDA! 
125 
 
𝑧 = ±2 
 
Portanto as raízes são: 3, - 3, 2, -2 
 
3. Resolva a equação biquadrada (x2 – 1) (x2 – 12) + 24 = 0. 
 
Gabarito: ±2 ; ±3 
 
Primeiro passo devemos organizar a equação agrupando os termos 
semelhantes e retirando os parênteses. 
 
(𝑥² – 1) (𝑥² – 12) + 24 = 0 
 
𝑥4 − 12𝑥2 − 𝑥2 + 12 + 24 = 0 
 
𝑥4 − 13𝑥2 + 36 = 0 
 
 
fazer a substituição 𝑥² = 𝑦, então temos: 
 
𝑦² − 13𝑦 + 36 = 0 
 
∆= 𝑏² − 4𝑎. 𝑐 
 
∆= (−13)2 − 4.1.36 
 
∆= 169 − 144 
 
∆= 25 
 
𝑦 =
− 𝑏 ± √∆
2 . 𝑎
 
 
𝑦 =
−(−13) ± √25
2 . 1
 
 
𝑦 =
13 ± 5
2 
 
 
𝑦 =
18
2 
 
 
𝑦′ = 9 
 
𝑦 =
8
2
 
 
𝑦" = 4 
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126 
 
 
Revertendo a substituição: 
 
y= 9 
𝑥² = 𝑦 
 
𝑥² = 9 
 
𝑥 = ±3 
 
y= 4 
𝑥² = 𝑦 
 
𝑥² = 4 
 
𝑥 = ±2 
 
 
4. Resolva a equação x4-5x²+4=0 
 
Gabarito: ±1 ; ±2 
 
Primeiro passo, devemos fazer a substituição 𝑥² = 𝑦, então temos: 
 
 
𝑦² − 5𝑦 + 4 = 0 
 
∆= 𝑏² − 4𝑎. 𝑐 
 
∆= (5)2 − 4.1.4 
 
∆= 25 − 16 
 
∆= 9 
 
𝑦 =
− 𝑏 ± √∆
2 . 𝑎
 
𝑦 =
− (−5) ± √9
2 . 1
 
 
𝑦 =
5 ± 3
2 
 
 
𝑦 =
8
2
 
 
𝑦′ = 4 
 
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127 
 
𝑦 =
2
2
 
 
𝑦 = 1 
 
Revertendo a substituição: 
 
y= 1 
𝑥² = 𝑦 
 
𝑥² = 1 
 
𝑥 = ±1 
 
y= 4 
𝑥² = 𝑦 
 
𝑥² = 4 
 
𝑥 = ±2 
 
 
EQUAÇÕES IRRACIONAIS 
EQUAÇÕES IRRACIONAIS COM UM RAÍZ 
 
Quando dizemos que uma equação é irracional significa que ao menos uma de suas 
variáveis estão no radicando. Em outras palavras, as variáveis estão dentro de uma raiz de 
qualquer índice. 
A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la 
inicialmente numa equação racional (utilizando algumas propriedades de radiciação), obtida 
ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente. 
Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as 
raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação 
irracional dada (verificar a igualdade). 
É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a 
uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada. 
 
Exemplo: 
√𝑥 + 6 = 8 
 
(√𝑥 + 6)² = 8² 
 
𝑥 + 6 = 64 
 
𝑥 = 64 − 6 
 
𝑥 = 58 
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128 
 
 
Verificação da raíz: 
 
√𝑥 + 6 = 8 
 
√58 + 6 = 8 
 
√64 = 8 
 
8 = 8 
 
Portanto 58 é a raíz da equação irracional √𝑥 + 6 = 8 
 
EQUAÇÕES IRRACIONAIS COM DUAS RAÍZES POSSÍVEIS 
 
O processo de resolução é o mesmo, mas como citado anteriormente temos que testar 
todas as raízes. 
 
Exemplo: 
 
√𝑥 + 9 = 𝑥 − 3 
 
Inicialmente iremos tornar essa equação em uma equação irracional 
 
(√𝑥 + 9)
2
= (𝑥 − 3)2 
 
Nesse caso ao elevarmos ambos os membros ao quadrado o segundo membro se torna 
uma produto notável, chamado de diferença de dois quadrados, portanto temos: 
 
𝑥 + 9 = 𝑥² − 2. 𝑥 . 3 + 3² 
 
𝑥 + 9 = 𝑥² − 6𝑥 + 9 
 
𝑥² − 6𝑥 − 𝑥 − 9 + 9 = 0 
 
𝑥² − 7𝑥 = 0 
 
Portanto temos uma equação de 2° grau incompleta faltando o termo C, então 
resolvemos por fatoração 
 
𝑥² − 7𝑥 = 0 
 
𝑥. (𝑥 − 7) = 0 
 
𝑥′ = 0 
 
𝑥 − 7 = 0 
 
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129 
 
𝑥" = 7 
 
Agora vamos verificar se ambas as raízes encontradas satisfazem nossa equação 
irracional: 
 
Para x = 0, temos: 
 
√𝑥 + 9 = 𝑥 − 3 
 
√0 + 9 = 0 − 3 
 
√9 = −3 
 
3 = −3 
 
Para x = 7, temos: 
 
√𝑥 + 9 = 𝑥 − 3 
 
√7 + 9 = 7 − 3 
 
√16 = 4 
 
4 = 4 
Portanto podemos perceber que a solução da equação irracional é apenas o 7. 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. A equação irracional √9𝑥 − 14 = 2 resulta em X igual a: 
 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
Gabarito: letra e 
Como toda equação irracional para iniciarmos, temos que transforma-la em 
uma equação racional, portanto temos: 
 
(√9𝑥 − 14)² = 2² 
 
9𝑥 − 14 = 4 
 
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130 
 
9𝑥 = 4 + 14 
 
9𝑥 = 18 
 
𝑥 =
18
9
 
 
𝑥 = 2 
 
Fazendo a verificação temos: 
√9𝑥 − 14 = 2 
 
√9. 2 − 14 = 2 
 
√18 − 14 = 2 
 
√4 = 2 
 
2 = 2 
 
2. O número de soluções da equação, com x >0, é igual a: 
 
𝑥 = √6 − 𝑥 
 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
Gabarito: letra b 
Para iniciar a equação irracional devemos transformá-la em uma equação 
racional, portanto: 
 
𝑥 = √6 − 𝑥 
 
𝑥² = (√6 − 𝑥)² 
 
𝑥² = 6 − 𝑥 
 
𝑥² + 𝑥 − 6 = 0 
 
Agora basta resolvermos a equação de 2° grau. 
 
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131 
 
𝑥² + 𝑥 − 6 = 0 
 
∆= 𝑏² − 4𝑎. 𝑐 
 
∆= 1² − 4 . 1 . (−6) 
 
∆= 1 + 24 
 
∆= 25 
 
𝑥 =
− 𝑏 ± √∆
2 . 𝑎
 
 
𝑥 =
− 1 ± √25
2 . 1
 
 
𝑥 =
− 1 ± 5
2 
 
 
𝑥′ = 2 
 
𝑥" = −3 
 
 
Como a questão pediu a quantidade de soluções maiores que zero, temos 
apenas uma solução o 2 
 
 
3. Sidinelson e Sidinelma estão participando de uma gincana e receberam a seguinte
tarefa: pegar uma bandeira que está localizada na rua Alfacon, número N, tal que a e b 
são as raízes da equação irracional: √2𝑥² + 3𝑥 + 5 = 𝑥 + 3 e 
𝑁 = (𝑎2 + 𝑏2 + 13)2 + (𝑎 + 𝑏)4 − 10 
 
Gabarito: N=971 
Para que Sidinelson e Sidinelma consigam pegar a bandeira eles precisam 
encontrar as raízes da equação irracional, no caso transformando-a em uma 
equação racional: 
 
√2𝑥² + 3𝑥 + 5 = 𝑥 + 3 
 
(√2𝑥2 + 3𝑥 + 5 )² = (𝑥 + 3)² 
 
2𝑥² + 3𝑥 + 5 = 𝑥² + 6𝑥 + 9 
 
2𝑥² − 𝑥2 + 3𝑥 − 6𝑥 + 5 − 9 = 0 
 
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MUDE SUA VIDA! 
132 
 
𝑥² − 3𝑥 − 4 = 0 
 
Basta resolver a equação do 2° grau. 
 
∆= 𝑏² − 4𝑎. 𝑐 
 
∆= 3² − 4. 1. (−4) 
 
∆= 9 + 16 
 
∆= 25 
 
𝑥 =
− (−3) ± √25
2 . 1
 
 
𝑥 =
3 ± 5
2
 
 
𝑥′ =
− 2
2
 
 
𝑥′ = −1 
 
𝑥" =
8
2
 
 
𝑥" = 4 
 
Segundo o enunciado, os valores de a e b são as respectivas raízes da 
equação irracional, assim temos que: 
a = 4 
b = -1 
 
Agora para descobrir o valor de N, basta substituir os valores de a e b na 
expressão dada: 
 
𝑁 = (𝑎2 + 𝑏2 + 13)2 + (𝑎 + 𝑏)4 − 10 
 
𝑁 = (42 + (−1)2 + 13)2 + (4 + (−1))4 − 10 
 
𝑁 = (16 + 1 + 13)2 + 34 − 10 
 
𝑁 = 30² + 34 − 10 
 
𝑁 = 900 + 81 − 10 
 
𝑁 = 971 
 
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MUDE SUA VIDA! 
133 
 
Portanto o número da casa é 971 
 
 
 
4. Resolva a equação: 𝑥 − √𝑥 − 2 = 0 
 
Gabarito: 1 
Primeiramente temos que isolar os radicais: 
 
 √𝑥 = 2 − 𝑥 
 
Agora transformar a equação em uma equação racional: 
 
√𝑥 = 2 − 𝑥 
(√𝑥)² = (2 − 𝑥)² 
 
𝑥 = 2² − 2.2. 𝑥 + 𝑥² 
 
𝑥 = 4 − 4𝑥 + 𝑥² 
 
𝑥² − 5𝑥 + 4 = 0 
 
Agora basta resolvermos a equação de 2° grau. 
 
𝑥² − 5𝑥 + 4 = 0 
 
∆= 5² − 4.1.4 
 
∆= 25 − 16 
 
∆= 9 
 
𝑥 =
− 𝑏 ± √∆
2 . 𝑎
 
 
𝑥 =
− (−5) ± √9
2 . 1
 
 
𝑥 =
5 ± 3
2 
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
134 
 
𝑥 =
8
2 
 
 
𝑥′ = 4 
 
𝑥 =
2
2
 
 
𝑥" = 1 
 
Fazendo a verificação temos: 
 √𝑥 = 2 − 𝑥 
 
Para x=1 
 
√1 = 2 − 1 
 
1 = 1 
 
 
Para x=4 
 
√4 = 2 − 4 
 
2 = −2 
 
Portanto a raíz da equação é 1 
 
 
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1° GRAU 
 
Um sistema de equações é constituído por um conjunto de equações que apresentam 
mais de uma incógnita. Para resolver um sistema é necessário encontrar os valores que 
satisfaçam simultaneamente todas as equações. 
Um sistema é chamado do 1º grau, quando o maior expoente das incógnitas, que 
integram as equações, é igual a 1 e não existe multiplicação entre essas incógnitas. 
 
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1° GRAU 
 
Podemos resolver um sistema de equações do 1º grau, com duas incógnitas, usando três 
métodos: 
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MUDE SUA VIDA! 
135 
 
 Método da substituição 
 Método da adição. 
 Método da comparação 
 
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO 
 
Esse método consiste em escolher uma das equações e isolarmos uma das incógnitas, 
para determinar o seu valor em relação a outra incógnita. Depois, substituímos esse valor na 
outra equação. 
Desta forma, a segunda equação ficará com uma única incógnita e, assim, poderemos 
encontrar o seu valor final. Para finalizar, substituímos na primeira equação o valor 
encontrado e, assim, encontramos também o valor da outra incógnita. 
 
Exemplo: 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 4
2𝑥 − 3𝑦 = 3
 
 
 Primeiro escolhemos uma equação e uma incógnita para isolar. 
 
𝑥 + 𝑦 = 4 
 
𝑥 = 4 − 𝑦 
 
 Substituímos o valor que encontramos na equação que ainda não trabalhamos. 
 
2𝑥 − 3𝑦 = 3 
 
2(4 − 𝑦) − 3𝑦 = 3 
 
8 − 2𝑦 − 3𝑦 = 3 
 
−5𝑦 = 3 − 8 
 
−5𝑦 = −5 
 
𝑦 =
−5
−5
 
 
𝑦 = 1 
 
 Agora encontramos o valor de uma incógnita basta escolher qualquer uma das 
duas equações originais e substituirmos o valor dessa incógnita. 
 
𝑥 + 𝑦 = 4 
 
𝑥 + 1 = 4 
 
𝑥 = 4 − 1 
 
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MUDE SUA VIDA! 
136 
 
𝑥 = 3 
Portanto a solução do sistema e dada em forma de par ordenado (3,1). 
 
MÉTODO DA ADIÇÃO 
 
No método da adição buscamos juntar as duas equações em uma única equação, 
eliminando uma das incógnitas. 
Para isso, é necessário que os coeficientes de uma das incógnitas sejam opostos, isto é, 
devem ter o mesmo valor e sinais contrários, portanto existe situações que esses coeficientes 
já são opostos e outras que não. 
 
Exemplo: 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 12
3𝑥 − 𝑦 = 20
 
 
 Como temos coeficientes opostos no caso do y basta adicionarmos a 1° equação 
com a 2° equação. 
 
 + {
𝑥 + 𝑦 = 12
3𝑥 − 𝑦 = 20
 
 _______________________ 
4𝑥 + 0𝑦 = 32 
 
4𝑥 = 32 
 
𝑥 =
32
4
 
 
𝑥 = 8 
 
 Agora esse passo é igual em todos os métodos, basta escolhermos qualquer 
equação e substituirmos o valor da incógnita nessa equação. 
 
𝑥 + 𝑦 = 12 
 
8 + 𝑦 = 12 
 
𝑦 = 12 − 8 
 
𝑦 = 4 
 
Portanto o conjunto solução do sistema de equações é o par ordenado (8,4). 
 
Obs: O par ordenado deve ser sempre escrito nessa ordem (x, y) 
 
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
137 
 
 
 
Exemplo: 
 
{
3𝑥 + 𝑦 = 24
5𝑥 + 2𝑦 = 20
 
 
 Agora temos uma situação na qual os coeficientes não são opostos, neste caso, 
devemos multiplicar por algum número que transforme o coeficiente em um 
número oposto do coeficiente escolhido. Nesse caso iremos anular o Y portanto 
iremos multiplicar por (-2) 
 
{
3𝑥 + 𝑦 = 24 . (−2)
5𝑥 + 2𝑦 = 20
 
 
 Portanto o novo sistema após multiplicar toda a equação por (-2) será: 
 
{
−6𝑥 − 2𝑦 = −48
5𝑥 + 2𝑦 = 20
 
 _________________________ 
 −𝑥 + 0𝑦 = −28 
 
−𝑥 = −28 (−1) 
 
𝑥 = 28 
 
 Basta substituir agora em qualquer equação o valor da incógnita encontrada. 
 
3𝑥 + 𝑦 = 24 
 
3. (28) + 𝑦 = 24 
 
84 + 𝑦 = 24 
 
𝑦 = 24 − 84 
 
𝑦 = −60 
 
Portanto o conjunto solução do sistema de equações é o par ordenado (28,-60). 
 
MÉTODO DA COMPARAÇÃO 
 
No método da comparação buscamos isolar a mesma incógnita em ambas as equações, 
depois basta comparar as equações isoladas. 
 
Exemplo: 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 12
3𝑥 − 𝑦 = 20
 
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MUDE SUA VIDA! 
138 
 
 
 Nessa situação iremos escolher uma incógnita em ambas as equações. 
 
1° equação: 
 
𝑥 + 𝑦 = 12 
 
𝑦 = 12 − 𝑥 
 
2° equação: 
 
3𝑥 − 𝑦 = 20 
 
− 𝑦 = 20 − 3𝑥 
 
− 𝑦 = 20 − 3𝑥 (−1) 
 
 𝑦 = −20 + 3𝑥 
 
 Basta fazer a comparação entre as duas equações depois de isoladas as incógnitas. 
 
𝑦 𝑑𝑎 1° 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 = 𝑦 𝑑𝑎 2° 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 
 
12 − 𝑥 = −20 + 3𝑥 
 
−𝑥 − 3𝑥 = −20 − 12 
 
−4𝑥 = −32 
 
𝑥 =
−32
−4
 
 
𝑥 = 8 
 
 Basta substituirmos agora em qualquer equação, inclusive nas já isoladas e 
encontrarmos a outra incógnita. 
 
𝑦 = 12 − 𝑥 
 
𝑦 = 12 − 8 
 
𝑦 = 4 
 
O par ordenado solução do sistema é (8,4) 
 
CONCLUSÃO 
 
Independente do método de resolução escolhido a resposta será igual para qualquer 
método escolhido. 
 
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MUDE SUA VIDA! 
139 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. Uma garrafa PET (politereftalato de etileno) com sua tampa custa sessenta centavos. 
Sabendo que a garrafa custa cinquenta centavos a mais que a tampa, quanto custa só a 
tampa. 
 
a) R$0,05 
b) R$0,15 
c) R$0,25 
d) R$0,35 
Gabarito: letra a 
Considerando X o valor da garrafa e Y o valor da tampa, temos o seguinte 
sistema: 
{
𝑥 + 𝑦 = 0,60
𝑥 − 𝑦 = 0,50
 
 
Aplicando o método mais conveniente nessa situação o da adição temos: 
{
𝑥 + 𝑦 = 0,60
𝑥 − 𝑦 = 0,50
 
 _______________ 
2𝑥 + 0𝑦 = 1,10 
 
2𝑥 = 1,10 
 
𝑥 =
1,10
2
 
 
𝑥 = 0,55 
 
Portanto basta substituir o valor de x em qualquer equação. 
 
𝑥 +
𝑦 = 0,60 
 
0,55 + 𝑦 = 0,60 
 
𝑦 = 0,60 − 0,55 
 
𝑦 = 0,05 
 
 
2. Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu 
estivesse lendo 3 páginas por dia. Quantas páginas tem o livro? 
 
a) 120 
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MUDE SUA VIDA! 
140 
 
b) 125 
c) 130 
d) 135 
 
Gabarito: letra a 
Considerando X a quantidade de dias na 1° situação e Y a quantidade de dias 
na 2° situação, e que em ambas situações o número de páginas lidas é o mesmo, 
podemos formar o seguinte sistema: 
 
{
5𝑥 = 3𝑦
𝑥 = 𝑦 − 16
 
 
Utilizando o método da substituição temos: 
 
5𝑥 = 3𝑦 
 
5(𝑦 − 16) = 3𝑦 
 
5𝑦 − 80 = 3𝑦 
 
5𝑦 − 3𝑦 = 80 
 
2𝑦 = 80 
 
𝑦 =
80
2
 
 
𝑦 = 40 
 
Como o número de paginas do livro será dado por 3y, então o livro terá 120 
páginas 
 
 
3. Em sua rua, André observou que havia 20 veículos estacionados, dentre motos e carros. 
Ao abaixar-se, ele conseguiu visualizar 54 rodas. Qual é a quantidade de motos e de 
carros estacionados na rua de André? 
Gabarito: 13 motos e 7 carros 
 
Se adotarmos motos como M e carros como C, podemos afirmar que a 
equação M + C =20 é válida. 
Sabendo que cada moto possui 2 rodas e cada carro, 4, podemos montar 
ainda outra equação 2M + 4C = 54. Montando o sistema temos: 
 
{
𝑀 + 𝐶 = 20
2𝑀 + 4𝐶 = 54
 
 
Resolvendo esse sistema pelo método da substituição. 
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MUDE SUA VIDA! 
141 
 
 
𝑀 = 20 − 𝐶 
Substituindo na outra equação temos: 
 
2𝑀 + 4𝐶 = 54 
 
2(20 − 𝐶) + 4𝐶 = 54 
 
40 − 2𝐶 + 4𝐶 = 54 
 
2𝐶 = 54 − 40 
 
2𝐶 = 14 
 
𝐶 =
14
2
 
 
𝐶 = 7 
 
Substituindo na equação já isolada temos: 
𝑀 = 20 − 𝐶 
 
𝑀 = 20 − 7 
 
𝑀 = 13 
 
Portanto temos 13 motos e 7 carros. 
 
 
4. Um estudante pagou um lanche de 8 reais em moedas de 50 centavos e 1 real. Sabendo 
que, para este pagamento, o estudante utilizou 12 moedas, determine, respectivamente, 
as quantidades de moedas de 50 centavos e de um real que foram utilizadas no 
pagamento do lanche e assinale a opção correta. 
 
a) 5 e 7 
b) 4 e 8 
c) 6 e 6 
d) 7 e 5 
e) 8 e 4 
 
Gabarito: letra e 
Adotanto: 
X= número de moedas de 50 centavos 
Y= número de moedas de 1 real 
 
Agora interpretando a questão e montando as equações temos: 
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MUDE SUA VIDA! 
142 
 
 
{
0,5𝑥 + 𝑦 = 8
𝑥 + 𝑦 = 12
 
 
Resolvendo esse sistema pelo método da adição temos: 
 
 
{
0,5𝑥 + 𝑦 = 8 (−1)
𝑥 + 𝑦 = 12 
 
 
Multiplicando a primeira equação por -1 temos: 
 
{
−0,5𝑥 − 𝑦 = −8 
𝑥 + 𝑦 = 12 
 
 
0,5 𝑥 = 4 
𝑥 =
4
0,5
 
 
𝑥 = 8 
 
Substituindo o valor de x temos: 
 
𝑥 + 𝑦 = 12 
 
8 + 𝑦 = 12 
 
𝑦 = 12 − 8 
 
𝑦 = 4 
 
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2° GRAU 
 
Para calcular um sistema de equações do 2° grau é importante que já esteja 
familiarizado com equações e sistemas de equações de 1° grau. É importante lembrar, que os 
sistemas de equações, sejam elas de 1º ou de 2º graus, nos ajudam na resolução de problemas 
diversos, sendo uma ferramenta matemática indispensável para os que pretendem prosseguir 
nos estudos. 
Resolver um sistema de equações de 2º grau é encontrar uma ou mais soluções que 
satisfaçam a todas as equações dadas, iremos adotar nos sistemas de equações de 2° grau o 
método da substituição para resolução dos mesmos. 
 
Exemplo: 
 
Resolva o sistema {
𝑥² + 𝑦² = 20
𝑥 + 𝑦 = 6
 
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
143 
 
Isolando X ou Y na segunda equação temos: 
 
𝑥 + 𝑦 = 6 
 
𝑥 = 6 − 𝑦 
 
Substituindo na primeira equação temos: 
 
𝑥² + 𝑦² = 20 
 
(6 − 𝑦)² + 𝑦² = 20 
 
6² − 2. 6. 𝑦 + 𝑦² + 𝑦² = 20 
 
36 − 12. 𝑦 + 𝑦² + 𝑦² = 20 
 
36 − 12. 𝑦 + 2𝑦² = 20 
 
2𝑦2 − 12𝑦 + 16 = 0 
 
Dividindo todos os termos da equação por 2 temos: 
 
 
𝑦2 − 6𝑦 + 8 = 0 
 
∆= 𝑏² − 4𝑎. 𝑐 
 
∆= 6² − 4. 1.8 
 
∆= 36 − 32 
 
∆= 4 
 
𝑦 =
−𝑏 ± √∆
2 . 𝑎
 
 
𝑦 =
−(−6) ± √4
2 . 1
 
 
𝑦 =
6 ± 2
2 
 
 
𝑦′ =
8
2 
 
 
𝑦′ = 4 
 
𝑦" =
4
2 
 
 
𝑦" = 2 
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MUDE SUA VIDA! 
144 
 
Determinamos os valores de X em relação aos valores de Y obtidos: 
 
Para y=4, temos: 
 
𝑥 = 6 − 𝑦 
 
𝑥 = 6 − 4 
 
𝑥 = 2 
 
Para y=2, temos: 
 
𝑥 = 6 − 𝑦 
 
𝑥 = 6 − 2 
 
𝑥 = 4 
 
Portanto temos os seguintes pares ordenados: (2,4) e (4,2) 
 
EXERCÍCIOS 
1. Resolva o sistema de equação {
𝑥 = 2𝑦
𝑥 + 𝑦² = 35
 
 
Gabarito: (10,5); (-14,-7) 
O próprio sistema já escreveu a 1° equação isolada, portanto basta 
substituirmos na 2° então temos: 
 
𝑥 + 𝑦² = 35 
 
2𝑦 + 𝑦² = 35 
 
𝑦² + 2𝑦 − 35 = 0 
 
Basta resolvermos a equação do 2° grau. 
 
𝑦² + 2𝑦 − 35 = 0 
 
∆= 𝑏² − 4𝑎. 𝑐 
 
∆= 2² − 4. 1. (−35) 
 
∆= 4 + 140 
 
∆= 144 
 
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MUDE SUA VIDA! 
145 
 
𝑦 =
−𝑏 ± √∆
2 . 𝑎
 
 
𝑦 =
−2 ± √144
2 . 1
 
 
𝑦 =
−2 ± 1 2
2 
 
 
𝑦 =
10
2
 
 
𝑦′ = 5 
 
𝑦 = −
14
2
 
 
𝑦 = −7 
 
Basta substituir e encontrarmos o valor de x. 
 
Para y= 5 
 
𝑥 = 2𝑦 
 
𝑥 = 2. 5 
 
𝑥 = 10 
 
Para y= -7 
 
𝑥 = 2𝑦 
 
𝑥 = 2. (−7) 
 
𝑥 = −14 
 
 
2. A soma das áreas de dois quadrados é 52cm². Sabendo que a diferença entre as 
medidas dos quadrados é 2 cm, calcule a área de cada quadrado. 
Gabarito: (6,4); (-4,-6) 
Adotando dois quadrados com medidas diferentes um com lado X e outro com 
lado Y. Portanto temos que a área de um será X² e o outro y², montando o sistema 
temos: 
{
𝑥² + 𝑦² = 52
𝑥 − 𝑦 = 2
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
146 
 
Isolando X na 2° equação temos: 
 
𝑥 = 2 + 𝑦 
 
Substituindo na primeira temos: 
 
𝑥² + 𝑦² = 52 
 
(2 + 𝑦)² + 𝑦² = 52 
 
2² + 2.2. 𝑦 + 𝑦² + 𝑦² = 52 
 
2𝑦² + 4𝑦 − 48 = 0 
 
Dividindo toda equação por 2 temos: 
 
𝑦² + 2𝑦 − 24 = 0 
 
∆= 𝑏² − 4𝑎. 𝑐 
 
∆= 2² − 4. 1. (−24) 
 
∆= 4 + 96 
 
∆= 100 
 
𝑦 =
−𝑏 ± √∆
2 . 𝑎
 
 
𝑦 =
−2 ± √100
2 . 1
 
𝑦 =
−2 ± 10
2 
 
 
𝑦 =
8
2
 
 
𝑦′ = 4 
 
𝑦 = −
12
2
 
 
𝑦 = −6 
 
Basta substituir e encontrarmos o valor de x. 
 
Para y= 4 
 
𝑥 = 2 + 𝑦 
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MUDE SUA VIDA! 
147 
 
 
𝑥 = 2 + 4 
 
𝑥 = 6 
 
Para y= -6 
 
𝑥 = 2 + 𝑦 
 
𝑥 = 2 + (−6) 
 
𝑥 = −4 
 
 
 
3. A diferença entre a idade de Sinelson e Sidinelma é 5 anos, e o seu produto é 84. Qual a 
idade de cada um? 
 
Gabarito: Sidinelson tem 12 anos e Sidinelma tem 7 anos. 
Adotando as incógnitas: 
X= idade de Sidinelson 
Y= idade de Sidinelma 
 
{
𝑥 − 𝑦 = 5
𝑥𝑦 = 84
 
 
Isolando X na 1° equação temos: 
 
𝑥 = 5 + 𝑦 
 
Substituindo na 2° equação temos: 
 
𝑥𝑦 = 84 
 
(5 + 𝑦). 𝑦 = 84 
 
5𝑦 + 𝑦² = 84 
 
𝑦² + 5𝑦 − 84 = 0 
 
Aplicando Bhaskara temos: 
 
∆= 𝑏² − 4𝑎. 𝑐 
 
∆= 5² − 4. 1. (−84) 
 
∆= 25 + 336 
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MUDE SUA VIDA! 
148 
 
 
∆= 361 
 
𝑦 =
−𝑏 ± √∆
2 . 𝑎
 
 
𝑦 =
−5 ± √361
2 . 1
 
 
𝑦 =
−5 ± 19
2 
 
 
𝑦 =
14
2
 
 
𝑦′ = 7 
 
𝑦 = −
24
2
 
 
𝑦 = −12 
 
Basta substituir e encontrarmos o valor de x. 
 
Para y= 7 
 
𝑥 = 5 + 𝑦 
 
𝑥 = 5 + 7 
 
𝑥 = 12 
 
Como se trata de idade os número negativos não entram nesse tipo de 
resposta. Portanto a idade de Sidinelson é 12 anos e Sidinelma é 7 anos. 
 
 
4. A soma de dois números é 28, e a diferença entre o quadrado do primeiro e o quadrado 
do segundo é 56, quais são esses números? 
Gabarito: (15,13) 
Montando o sistema referente ao enunciado temos: 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 28
𝑥² − 𝑦² = 56
 
 
Isolando x na 1° equação temos: 
 
𝑥 = 28 − 𝑦 
 
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MUDE SUA VIDA! 
149
Substituindo na 2° equação temos: 
 
𝑥² − 𝑦2 = 56 
 
(28 − 𝑦)² − 𝑦2 = 56 
 
28² − 2.28. 𝑦 + 𝑦² − 𝑦2 = 56 
 
784 − 56𝑦 + 𝑦² − 𝑦2 = 56 
 
−56𝑦 = 56 − 784 
 
−56𝑦 = −728 
 
𝑦 = 
−728
−56
 
 
𝑦 = 13 
 
Encontrando X temos: 
 
𝑥 = 28 − 𝑦 
 
𝑥 = 28 − 13 
 
𝑥 = 15 
 
 
 
 
MATRIZES 
 
O desenvolvimento das matrizes ocorreu a partir do século XIX, apesar de ter 
representações de números semelhantes as matrizes modernas desde a Era Cristã, com 
matemáticos como Arthur Cayley, Augustin-Louis Cauchy e William Rowan Hamilton. 
Recentemente, com as planilhas eletrônicas de computador, podem ser feitos cálculos antes 
realizados à mão, de maneira cansativa e lenta. Essas planilhas, em geral, são formadas por 
tabelas que armazenam os dados utilizados no problema. 
As matrizes são encontrada em diversas outras áreas, a exemplo da física, 
administração, engenharia, computação gráfica entre outras. 
 
CONCEITO DE MATRIZ 
Para compreendermos a conceituação de matriz, precisamos aderir à convenção dos 
matemáticos em que a ordenação das linhas de uma matriz seja dada de cima para baixo, e a 
ordenação das colunas, da esquerda para a direita. 
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MUDE SUA VIDA! 
150 
 
 
 
Antes de começarmos os estudos sobre matrizes, é necessário estabelecer algumas 
notações quanto às suas representações. As matrizes são sempre representadas por letras 
maiúsculas (A, B, C…), que são acompanhadas por índices, nos quais o primeiro número indica 
a quantidade de linhas, e o segundo, o número de colunas. 
A quantidade de linhas (fileiras horizontais) e colunas (fileiras verticais) de uma matriz 
determina sua ordem. A matriz A possui ordem m por n. As informações contidas em uma 
matriz são chamadas de elementos e ficam organizadas entre parênteses, colchetes ou duas 
barras verticais. 
 
𝐴 = (
−1 2 0
5 3 1
) 
 
B= [2 3 7] 
 
𝐶 = ‖
2
5
−1
‖ 
 
 
 A matriz A possui duas linhas e três colunas, logo, sua ordem é dois por três → A2x3. 
 A matriz B possui uma linha e três colunas, logo, sua ordem é um por três, por isso 
recebe o nome de matriz linha → B1x3. 
 A matriz C possui três linhas e uma coluna, e por isso é chamada de matriz 
coluna e sua ordem é três por um → C3x1. 
Podemos representar genericamente os elementos de uma matriz, isto é, podemos 
escrever esse elemento utilizando uma representação matemática. O elemento genérico será 
representado por letras minúsculas (a, b, c…), e, assim como na representação de matrizes, ele 
também possui índice que indica sua localização. O primeiro número indica a linha em que o 
elemento está, e o segundo número indica a coluna na qual ele se localiza. 
 
 
 
Considere a seguinte matriz A, faremos a listagem de seus elementos. 
 
𝐴 = (
4 16 25
81 100 9
) 
 
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MUDE SUA VIDA! 
151 
 
Observando o primeiro elemento que está localizado na primeira linha e primeira 
coluna, ou seja, na linha um e coluna um, temos o número 4. A fim de facilitar a escrita, vamos 
denotá-lo por: 
a11 → elemento da linha um, coluna um 
Assim temos os seguintes elementos da matriz A2x3: 
 
a11 = 4 
a12 =16 
a13 = 25 
a21 = 81 
a22 = 100 
a23 = 9 
 
De modo geral, podemos escrever uma matriz em função de seus elementos genéricos, 
essa é a matriz genérica. 
Uma matriz de m linha e n colunas é representada por: 
 
 
TIPOS DE MATRIZES 
 
Algumas matrizes merecem uma atenção especial, veja agora esses tipos de 
matrizes com exemplos. 
 
MATRIZ QUADRADA 
 
Uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas. 
Representamos a matriz que possui n linhas e n colunas por An (lê-se: matriz quadrada de 
ordem n). 
 
𝐴2𝑥2 = (
2 6
8 5
) 
 
𝐵3𝑥3= (
4 2 4
0 1 5
8 9 7
) 
 
 
Nas matrizes quadradas, temos dois elementos muito importantes, as diagonais: 
principal e secundaria. A diagonal principal é formada por elementos que possuem índices 
iguais, ou seja, é todo elemento aij com i = j. A diagonal secundária é formada por elementos 
aij com i + j = n +1, em que n é ordem da matriz. 
 
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https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tipos-matrizes.htm
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MUDE SUA VIDA! 
152 
 
 
 
 
MATRIZ IDENTIDADE 
 
A matriz identidade é uma matriz quadrada que possui todos os elementos da diagonal 
principal iguais a 1 e os demais elementos iguais a 0, sua lei de formação é: 
 
𝑎𝑖𝑗 {
1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
 
 
Denotamos essa matriz por I, em que n é a ordem da matriz quadrada, veja alguns 
exemplos: 
𝐼2𝑥2 = (
1 0
0 1
) 
 
𝐼4 (
1 0 0 0
 0 1 0 0 
 0 0 1 0 
 0 0 0 1 
) 
 
 
MATRIZ UNITÁRIA 
 
É uma matriz quadrada de ordem um, ou seja, possui uma linha e uma coluna e, 
portanto, apenas um elemento. 
 
A = [-1]1X1, 
B = I1 = (1)1X1 
C = || 5||1X1 
 
Essas são exemplos de matrizes unitárias, com destaque para matriz B, que é uma matriz 
de identidade unitária. 
 
MATRIZ NULA 
 
Uma matriz é dita nula se todos os seus elementos são iguais a zero. Representamos uma 
matriz nula de ordem m por n por Omxn. 
 
0 = (
0 0
0 0
) 
 
A matriz O é nula de ordem 2. 
 
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MUDE SUA VIDA! 
153 
 
MATRIZ OPOSTA 
 
Considere duas matrizes de ordens iguais: A = [aij]mxn e B = [bij]mxn. Essas matrizes 
serão chamadas de opostas se, e somente se, aij = -bij. Desse modo, os elementos 
correspondentes devem ser números opostos. 
Podemos representar a matriz B = -A. 
 
 
 
MATRIZ TRANSPOSTA 
 
Duas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]nxm são transpostas se, e somente se, aij = bji , ou 
seja, dado uma matriz A, para encontrar sua transposta, basta tomar as linhas como colunas. 
A transposta da matriz A é denotada por AT. 
 
 
 
OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 
As operações com matrizes são: adição, subtração e multiplicação. 
 
ADIÇÃO 
 
Sejam A e B duas matrizes em que a sua soma resulta em uma matriz C. 
A + B = C 
 
Cada um dos elementos da matriz C é o resultado da soma de um elemento de A com um 
elemento de B. Para efetuarmos a adição entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo 
número de linhas e colunas. 
 
𝐴 + 𝐵 = 𝐶 
 
𝐴2𝑥3 + 𝐵2𝑥3 = 𝐶2𝑥3 
 
 
Observe que as matrizes A e B possuem a mesma quantidade de linhas (m = 2) e a 
mesma quantidade de colunas (n = 3). A matriz C é resultante da soma de A + B e também 
deve possuir duas linhas e três colunas. Ou seja só podemos somar ou subtrair matrizes de 
mesma ordem. 
 
Exemplo: 
Seja as matrizes: 
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https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-opostos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-transposta.htm
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MUDE SUA VIDA! 
154 
 
 
𝐴 = (
1 4 7
5 3 3
) 
 
𝐵 = (
5 1 9
0 2 8
) 
 
𝐴 + 𝐵 = 𝐶 
 
(
1 4 7
5 3 3
) + (
5 1 9
0 2 8
) 
 
𝐶 = (
1 + 5 4 + 1 7 + 9
5 + 0 3 + 2 3 + 8
) 
 
𝐶 = (
6 5 16
5 5 11
) 
 
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ 
 
A multiplicação de um número real de uma matriz (também conhecida como 
multiplicação de matriz) por uma escalar é dada multiplicando cada elemento da matriz pela 
escalar. 
Seja A = [aij]mxn uma matriz e t um número real, então: 
 
Exemplo: 
Seja as matrizes: 
 
𝐴2𝑋2 = (
2 1
6 5
) 
 
𝐵 = 3 . 𝐴 
 
𝐴2𝑋2 = 3. (
2 1
6 5
) 
 
𝐴2𝑋2 = (
3. 2 3 .1
3 .6 3 .5
) 
 
𝐴2𝑋2 = (
6 3
18 15
) 
 
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
 
A multiplicação de matrizes não é tão trivial quanto a adição e subtração delas. Antes de 
realizar a multiplicação, uma condição deve também ser satisfeita em relação à ordem das 
matrizes. Considere as matrizes Amxn e Bnxr. 
Para realizar a multiplicação,
o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao 
número de linhas da segunda. A matriz produto (que vem da multiplicação) possui ordem 
dada pela quantidade de linhas da primeira e quantidade de colunas da segunda. 
 
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MUDE SUA VIDA! 
155 
 
 
 
Para efetuar a multiplicação entre as matrizes A e B, devemos multiplicar cada uma das 
linhas por todas as colunas da seguinte maneira: o primeiro elemento de A é multiplicado pelo 
primeiro elemento de B e, em seguida, somado ao segundo elemento de A e multiplicado pelo 
segundo elemento de B, e assim sucessivamente. 
 
 
Exemplo: 
Seja as matrizes: 
 
𝐴2𝑋3 = (
1 4 3
2 7 5
) 
 
𝐵3𝑋2 = (
1 6
2 3
5 4
) 
 
𝐶 = 𝐴 . 𝐵 
 
𝐴2𝑋2 = (
(1.1) + (4.2) + (3.5) (1.6) + (4.3) + (3.4)
(2.1) + (7.2) + (5.5) (2.6) + (7.3) + (5.4)
) 
 
𝐴2𝑋2 = (
(1) + (8) + (15) (6) + (12) + (12)
(2) + (14) + (25) (12) + (21) + (20)
) 
 
𝐴2𝑋2 = (
24 30
41 53
) 
 
MATRIZ INVERSA (A-1 ) 
 
A matriz inversa ou matriz invertível é um tipo de matriz quadrada, ou seja, que possui o 
mesmo número de linhas (m) e colunas (n). 
Ela ocorre quando o produto de duas matrizes resulta numa matriz identidade de 
mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas). 
Assim, para encontrar a inversa de uma matriz, utiliza-se a multiplicação. 
 
A . B = B. A = In 
Quando a matriz B é inversa da matriz A 
Relembrando que matriz identidade é definida quando os elementos da diagonal 
principal são todos iguais a 1 e os outros são iguais a 0 (zero). 
 
PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA 
 
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MUDE SUA VIDA! 
156 
 
 Existe somente uma inversa para cada matriz 
 Nem todas as matrizes possuem uma matriz inversa. Ela é invertível somente 
quando os produtos de matrizes quadradas resultam numa matriz identidade (In) 
 A matriz inversa de uma inversa corresponde a própria matriz: A = (A-1)-1 
 A matriz transposta de uma matriz inversa também é inversa: (At) -1 = (A-1)t 
 A matriz inversa de uma matriz transposta corresponde à transposta da inversa: 
(A-1 At)-1 
 A matriz inversa de uma matriz identidade é igual à matriz identidade: I-1 = I 
 
 
 
 
CÁLCULO DE UMA MATRIZ INVERSA 
 
Sabemos que se o produto de duas matrizes é igual a matriz identidade, essa matriz 
possui uma inversa. 
Observe que se a matriz A for inversa da matriz B, utiliza-se a notação: A-1. 
 
𝐴 . 𝐴−1 = 𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
 
Exemplo: 
 
𝐴2𝑋2 = (
3 5
1 2
) 
 
Qual a inversa de A? 
 
𝐴 . 𝐴−1 = 𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
 
(
3 5
1 2
) . (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
 
(
3𝑎 + 5𝑐 53𝑏 + 5𝑑
𝑎 + 2𝑐 𝑏 + 2𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
 
Pela igualdade de matrizes temos: 
 
{
3𝑎 + 5𝑐 = 1
𝑎 + 2𝑐 = 0
 
 
Aplicando método da substituição resolvemos: 
 
𝑎 = −2𝑐 
Substituindo: 
 
3𝑎 + 5𝑐 = 1 
 
3(−2𝑐) + 5𝑐 = 1 
 
−6𝑐 + 5𝑐 = 1 
 
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MUDE SUA VIDA! 
157 
 
−𝑐 = 1 (−1) 
 
𝑐 = − 1 
 
Encontrando a: 
 
𝑎 = −2𝑐 
𝑎 = −2(−1) 
𝑎 = 2 
 
Pela igualdade de matrizes temos o outro sistema: 
 
{
3𝑏 + 5𝑑 = 0
𝑏 + 2𝑑 = 1
 
 
Aplicando método da substituição resolvemos: 
 
𝑏 = −2𝑑 + 1 
Substituindo: 
 
3𝑏 + 5𝑑 = 0 
 
3(−2𝑑 + 1) + 5𝑑 = 0 
 
−6𝑑 + 3 + 5𝑑 = 0 
 
−𝑑 = −3 (−1) 
 
𝑑 = 3 
 
Encontrando b: 
 
𝑏 = −2𝑑 + 1 
𝑏 = −2(3) + 1 
𝑏 = −5 
 Portanto a matriz inversa será: 
 
𝐴2𝑋2 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) 
 
𝐴2𝑋2 = (
2 −5
−1 3
) 
 
DETERMINANTE 
 
O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Esse número é 
encontrado fazendo-se determinadas operações com os elementos que compõe a matriz. 
Indicamos o determinante de uma matriz A por det A. Podemos ainda, representar o 
determinante por duas barra entre os elementos da matriz. 
 
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MUDE SUA VIDA! 
158 
 
MATRIZ DE ORDEM 1 OU 1° ORDEM 
 
O determinante de uma matriz de Ordem 1, é igual ao próprio elemento da matriz, pois 
esta apresenta apenas uma linha e uma coluna. 
 
Exemplos: 
 
det X = |8| = 8 
 
det Y = |-5| = 5 
 
MATRIZ DE ORDEM 2 OU 2° ORDEM 
 
As matrizes de Ordem 2 ou matriz 2x2, são aquelas que apresentam duas linhas e duas 
colunas. 
O determinante de uma matriz desse tipo é calculado, primeiro multiplicando os valores 
constantes nas diagonais, uma principal e outra secundária. 
De seguida, subtraindo os resultados obtidos dessa multiplicação. 
 
𝑑𝑒𝑡 = 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 − 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑á𝑟𝑖𝑎 
 
Exemplo: 
𝐴2𝑋2 = (
3 5
2 6
) 
 
𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 = 3.6 = 18 
 
𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑á𝑟𝑖𝑎 = 2.5 = 10 
 
det 𝐴 = 18 − 10 
 
det 𝐴 = 8 
 
MATRIZ DE ORDEM 3 OU 3° ORDEM 
 
A matrizes de Ordem 3 ou matriz 3x3, são aquelas que apresentam três linhas e três 
colunas, iremos calcular o determinante pelo Regra de Sarrus. 
 
Exemplo: 
 
𝐵3𝑥3= (
4 2 4
0 1 5
8 3 7
) 
 
A regra exige que repita as duas primeiras colunas: 
 
𝐵3𝑥3= (
4 2 4
0 1 5
8 3 7
) 
4 2
0 1
8 3
 
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MUDE SUA VIDA! 
159 
 
 
Agora basta multiplicarmos a diagonal principal e a secundária, e depois subtrair uma da 
outra. 
 
𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 = (28 + 80 + 0) = 108 
 
𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑á𝑟𝑖𝑎 = (32 + 60 + 0) = 92 
 
det 𝐵 = 108 − 92 
 
det 𝐵 = 16 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Construa uma matriz de ordem 3, tal que: 
𝑀𝑖𝑗 {
4 + 𝑖, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
(𝑖 + 𝑗)2, 𝑠𝑒 𝑖 ≤ 𝑗
 
 
 
Gabarito: 
𝐴3𝑥3= (
4 9 16
6 16 25
7 7 36 
) 
 
Escrevendo a forma geral de uma matriz 3x3 temos: 
 
𝐴3𝑥3= (
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
) 
 
Aplicando as regras do exercícios temos: 
 
𝐴3𝑥3= (
(1 + 1)2 (1 + 2)2 (1 + 3)2
4 + 2 (2 + 2)2 (2 + 3)2
4 + 3 4 + 3 (3 + 3)2
) 
 
𝐴3𝑥3= (
4 9 16
6 16 25
7 7 36 
) 
 
2. Calcular o valor de X+Y+Z sabendo que: 
 
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MUDE SUA VIDA! 
160 
 
𝐴 = (
2 1
𝑥 2
) , 𝐵 = (
1 𝑦
1 2
) 𝑒 𝐴 . 𝐵 = (
3 0
5 𝑧
) 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
Gabarito: letra c 
Aplicando os conhecimentos de multiplicação de matrizes temos: 
 
Calculo do elemento C12: 
 
𝐶12 = 2𝑦 + 1.2 
 
0 = 2𝑦 + 2 
 
2𝑦 = −2 
 
𝑦 = −1 
 
Calculo do elemento C21: 
 
𝐶21 = 𝑥. 1 + 2.1 
 
5 = 𝑥 + 2 
 
𝑥 = 5 − 2 
 
𝑥 = 3 
 
Calculo do elemento C22: 
 
𝐶22 = 𝑥. 𝑦 + 2.2 
 
𝑧 = 3. (−1) + 4 
 
𝑥 = −3 + 4 
 
𝑥 = 1 
 
Assim temos: 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 
 
−1 + 3 + 1 
 
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MUDE SUA VIDA! 
161 
 
3 
 
 
 
3. Na matriz A, cada elemento é obtido através de aij=3i-j. Logo, o elemento que está na 
segunda linha e segunda coluna é: 
 
a) 7 
b) 5 
c) 4 
d) 1 
e) 2 
 
Gabarito: letra c 
Para calcularmos cada elemento aij de A, onde i representa a linha e j a 
coluna onde o elemento está localizado, basta utilizarmos a fórmula do enunciado: 
 
𝑎𝑖𝑗 = 3𝑖 − 𝑗 
 
Calculando o elemento que está na segunda linha e na segunda coluna, ou 
seja, o elemento a22 
 
𝑎𝑖𝑗 = 3𝑖 − 𝑗 
 
𝑎22 = 3.2 − 2 
 
𝑎22 = 6 − 2 
 
𝑎22 = 4 
 
 
 
4. Considere as seguintes matrizes abaixo, sendo “a” um número real, para que tenhamos 
A . B = C, o valor da variável “a” deverá ser: 
 
 
𝐴 = (
1 0 0
𝑎 2 1
−1 3 𝑎
) , 𝐵 = (
1 2
0 1
2 0
 ) 𝑒 𝐶 = ( 
1 2
9 16
13 1
) 
 
Gabarito: 7 
O objetivo da questão é encontrar o valor do número real “a”, que faz com 
que a multiplicação A . B= C seja válida. 
 
Vamos verificar o elemento C21: 
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MUDE SUA VIDA! 
162 
 
 
𝐶21 = 𝑎. 1 + 2.0 + 1.2 
 
9 =
𝑎 + 0 + 2 
 
𝑎 = 9 − 2 
 
𝑎 = 7 
 
Se aplicar o mesmo cálculo para C21, C22, C31 e C32 terá o mesmo valor 
para “a” 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
Disciplina usada para “contar” de quantas maneiras determinado evento pode acontecer 
sem que seja necessário demonstrar todas essas maneiras. 
 
Exemplo: 
quantas senhas de 4 dígitos podemos formar com os algarismos? 
 
FATORIAL (!) 
Operação matemática que consiste na multiplicação de um número (natural) por todos 
os seus antecessores em ordem até o número 1. 
 
Exemplo: 
5! = 5x4x3x2x1 = 120 
 
8!/5! = 8x7x6x5!/5! = 8x7x6 = 336 
 
Obs.: 
1! e 0!, ambos são iguais a 1(convenção). 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) 
 
Técnica de análise combinatória. 
 
Quando uso? 
 
Quando os “elementos” envolvidos no cálculo “podem ser repetidos” OU a “ordem” 
desses elementos gera resultados diferentes. 
 
Como uso? 
 
E = multiplicação 
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MUDE SUA VIDA! 
163 
 
OU = soma 
 
Exemplo: 
As placas dos veículos serão codificadas 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. 
 
Alfabeto possui 26 letras 
Algarismos 0 – 9= 10 números 
 
26 e 26 e 26 e 10 e 10 e 10 e 10 = 
26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175.760.000 
 
ARRANJO 
 
Perguntas que devem ser feitas. 
 
Pode haver repetição? 
NÃO 
 
A ordem dos elementos gera resultados diferentes? 
SIM 
 
Então utilizamos a fórmula a ser utilizada será: 
 
𝐴𝑝
𝑛 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑝)!
 
 
Sendo: 
 
n= todos os elementos disponíveis 
p= elementos utilizados 
 
Exemplo: 
Campeonato com 8 participantes, quantas possibilidades de ter a classificação final dos 3 
primeiros participantes? 
𝐴3
8 =
8!
(8 − 3)!
 
 
𝐴3
8 =
8.7.6.5!
(5)!
 
 
𝐴3
8 = 336 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 
 
COMBINAÇÃO 
 
Perguntas que devem ser feitas. 
 
Pode haver repetição? 
NÃO 
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MUDE SUA VIDA! 
164 
 
 
A ordem dos elementos gera resultados diferentes? 
NÃO 
 
Então utilizamos a fórmula a ser utilizada será: 
 
𝐶𝑝
𝑛 =
𝑛!
𝑝! (𝑛 − 𝑝)!
 
 
Sendo: 
 
n= todos os elementos disponíveis 
p= elementos utilizados 
 
Exemplo: 
Em uma sala de aula com 40 alunos, quantas comissões de formatura de 5 alunos são 
possíveis de formar, para representar os alunos, nas decisões da formatura dos mesmos? 
 
𝐶5
40 =
40!
5! (40 − 5)!
 
 
𝐶5
40 =
40.39.38.37.36.35!
5! (35)!
 
 
𝐶5
40 = 39 . 38 . 37 . 12 
 
𝐶5
40 = 658.008 
 
PERMUTAÇÃO SIMPLES 
 
Técnica de análise combinatória utilizada para organização de todos os elementos, onde 
usamos a fórmula: 
 
𝑃𝑛 = 𝑛! 
 
Sendo: 
 
n= todos os elementos disponíveis 
 
Exemplo: 
Qual anagrama da palavra AMOR. 
 
𝑃4 = 4! 
𝑃4 = 4.3.2.1 
𝑃4 = 24 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
 
PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS 
 
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MUDE SUA VIDA! 
165 
 
Um conjunto qualquer pode apresentar elementos repetidos. as permutações desse 
conjunto devem considerar a repetição desses elementos, pois, a ordem em que eles aparecem 
não importa, diferentemente da ordem dos outros elementos do conjunto. 
Se trocarmos apenas os dois “A” de lugar na palavra AMAR, obteremos a mesma palavra. 
Palavras iguais não são permutações, por isso, essa repetição deve ser subtraída na 
fórmula para as permutações. 
 
𝑃𝑛
𝑘,𝑗
=
𝑛!
𝑘! 𝑗!
 
 
Exemplo: 
 
Calcule o número de anagramas da palavra ANTONIA 
 
𝑃7
2,2 =
7!
2! 2!
 
 
𝑃7
2,2 =
7.6.5.4.3.2.1
2.1.2.1
 
 
𝑃7
2,2 = 1260 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. De quantas maneiras diferentes, uma pessoa pode se vestir tendo 6 camisas e 4 calças? 
Gabarito: 24 maneiras diferentes 
 
Pelo princípio fundamental da contagem P.F.C temos: 
 
𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑎𝑠 𝐸 𝑐𝑎𝑙ç𝑎𝑠 
 
6 . 4 
 24 
 
 
2. Um técnico de um time de voleibol possui a sua disposição 15 jogadores que podem 
jogar em qualquer posição das 6 na quadra. De quantos maneiras ele poderá escalar seu 
time? 
Gabarito: 5005 maneiras 
Nesta situação devemos perceber que a quantidade de jogadores é maior do 
que a quantidade de vagas e também a ordem não importa, então estamos 
tratando de uma combinação. 
 
𝐶6
15 =
15!
6! . (15 − 6)!
 
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MUDE SUA VIDA! 
166 
 
 
𝐶6
15 =
15 . 14 . 13 . 12 . 11 .10 . 9!
6! . (9)!
 
 
𝐶6
15 =
15 . 14 . 13 . 12 . 11 .10 .
6. 5.4.3.2.1
 
 
𝐶6
15 = 5005 
 
 
3. Em uma corrida com 10 atletas competindo pergunta-se: de quantos modos distintos 
podem ser conquistadas as medalhas de ouro, prata e bronze? 
 
a) 800 
b) 1000 
c) 720 
d) 300 
e) 400 
 
Gabarito: letra c 
Considerando que a ordem importa, temos um anagrama simples com 10 
atletas, tomados 3 a 3 ou seja: 
 
𝐴3
10 =
10!
(10 − 3)!
 
 
𝐴3
10 =
10!
7!
 
 
𝐴3
10 =
10.9.8.7!
7!
 
 
𝐴3
10 = 10 . 9 . 8 
 
𝐴3
10 = 720 
 
 
4. Dez policiais federais — dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes — 
foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades 
próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para 
tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um 
perito, um escrivão e dois agentes. 
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. 
Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as 
equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um 
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MUDE SUA VIDA! 
167 
 
veículo com cinco lugares — motorista e mais quatro passageiros — será superior a 
100. 
 
Gabarito: Certo 
Temo uma permutação de 5 pessoas para 5 lugares ou seja permutação 
simples: 
 
𝑃𝑛 = 𝑛! 
 
𝑃5 = 5.4.3.2.1 
 
𝑃5 = 120 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
 
 
PROBABILIDADE 
 
É a CHANCE de algo acontecer. 
 
Conceitos: 
 
Experimento aleatório. 
 
É todo experimento que não é possível garantir o resultado, mesmo efetuando o 
experimento várias vezes, sobe as mesmas condições. 
 
Espaço amostral (Ω) ou (U) 
 
São todos resultados possíveis do experimento, expresso em valor. 
 
Evento (a) ou (e) 
 
Parte do espaço amostral, e exatamente aquela que se quer determinar a “chance” de 
acontecer. Em outras palavras, o que se QUER. Também expressos em valores, pelas suas 
quantidades. 
 
Cálculo de probabilidade 
 
𝑃 =
𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
 
 
 
 
𝑃 =
𝑄𝑈𝐸𝑅
𝑇𝐸𝑀
 
 
Exemplo: 
Qual a probabilidade de tirar uma carta do nipe de copas em um baralho. 
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MUDE SUA VIDA! 
168 
 
 
Baralho= 52 cartas 
Cartas de copas= 13 cartas 
 
P =
13
52
 
 
P =
1
4
 
 
P = 0,25 ou 25% 
 
PROBABILIDADE COMPLEMENTAR 
 
A probabilidade de um evento ACONTECER somado a dele NÃO ACONTECER será 
sempre igual a 1 ou a 100%. 
PA + PA’ = 1 (100%) 
Cujo: PA = evento acontecer; 
PA’ = evento não acontecer 
 
Obs.: 
os valores de probabilidade variam de 0 (0%) – chamado evento impossível – a 1 
(100%) – chamado de evento certo ou garantido. Qualquer valor entre 0 e 1 é a probabilidade 
de um evento qualquer. 
 
CASOS ESPECIAIS DE PROBABILIDADE 
 
PROBABILIDADE SUCESSIVAS OU INDEPENDENTES 
 
Na probabilidade de eventos sucessivos ou independentes, o que mais tem que ser 
levado em conta é o uso do P.F.C, para saber se as probabilidades estão ligadas por E ou por 
OU e com isso saber que elas deverão ser multiplicadas ou somadas. Outro ponto importante a 
ser considerado é se ocorre ou não diminuição dos eventos ou dos espaços amostrais. 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
Na probabilidade condicional, o que ocorre de fato é uma diminuição do espaço amostral 
devido à condição imposta. 
 
Por fórmula o cálculo será dado por: 
 
𝑃 𝐴/𝐵 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
 
 
Cujo: 
 P A/B = probabilidade de acontecer um evento sabendo que já aconteceu outro; 
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MUDE SUA VIDA! 
169 
 
 P(A∩B) = probabilidade dos eventos simultâneos (o que se quer e o que já 
aconteceu; 
 PB = probabilidade do evento que já aconteceu). 
 
 
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS 
 
Assim, como na união de conjuntos para a determinação do número de elementos aqui 
nas probabilidades também usaremos a mesma ideia, trocando apenas o N – número de 
elementos – pelo P – probabilidade. 
 
 
𝑃𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 − 𝑃𝐴 ∩ 𝐵 
 
PROBABILIDADE BINOMIAL 
 
Essa probabilidade é mais estatística das probabilidades e relaciona o mesmo evento 
sendo realizados diversas vezes e a chance de sucesso desse evento numa determinada 
quantidade de vezes. 
 
𝑃 = 𝐶𝑛, 𝑠 . 𝑃𝑆
𝑆. 𝑃𝐹
𝐹 
 
Cujo Cn,s = combinação do número de repetições do evento pela quantidade de 
sucessos; Ps = probabilidade do sucesso; S = quantidade de sucessos do evento; Pf = 
probabilidade do fracasso; F = quantidade de fracassos do evento. 
 
Obs.: o fracasso, no caso da probabilidade binomial, não quer dizer algo ruim, é apenas o 
complementar do sucesso (sucesso = acontecer; fracasso = não acontecer). 
 
EXERCÍCIOS 
1. Qual é a probabilidade de, no lançamento de 4 moedas, obtermos cara em todos os 
resultados? 
 
a) 2% 
b) 2,2% 
c) 6,2% 
d) 4% 
e) 4,2% 
 
Gabarito: letra c 
 
Primeiramente, é necessário encontrar o número total de possibilidades de 
resultatos: 
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MUDE SUA VIDA! 
170 
 
2.2.2.2 = 16 
 
Como a possibilidade de obter cara em todas as 4 moedas só existe uma 
então temos: 
 
𝑃 =
1
16
 
 
𝑃 = 0,0625 
 
𝑃 = 0,0625 . 100 
 
𝑃 = 6,25% 
 
 
2. Considerando todos os divisores positivos do numeral 60, determine a probabilidade 
de escolhermos ao acaso, um número primo. 
 
Gabarito: 25% de chance 
 
Primeiramente temos que encontrar os divisores de 60 sendo eles: 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 ou seja temos 12 elementos dos quais 
apenas três números são primos. 
 
𝑃 =
3
12
 
 
𝑃 =
1
4
 
 
𝑃 = 0,25 
 
𝑃 = 0,25 . 100 
 
𝑃 = 25% 
 
 
3. Pedro pergunta a Paulo se ele pode trocar uma nota de R$ 100,00 por duas notas de R$ 
50,00. Paulo responde que tem exatamente R$ 200,00 na carteira em notas de R$ 50,00, 
R$ 20,00 e R$ 10,00, mas não sabe quantas notas tem de cada valor. Sabe apenas que 
tem pelo menos uma de cada valor. Considere que todas as distribuições possíveis de 
notas de R$50,00, R$20,00 e R$10,00 que podem ocorrer na carteira de Paulo sejam 
igualmente prováveis. A probabilidade de que Paulo possa fazer a troca pedida por 
Pedro é de: 
 
a) 2/13 
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MUDE SUA VIDA! 
171 
 
b) 4/13 
c) 5/13 
d) 6/13 
e) 7/13 
Gabarito: letra d 
Como ele tem pelo menos uma nota de cada, então ele consegue formar 
80,00 com uma de 10, uma de 20 e uma de 50. 
 
Temos que saber como podemos formar os outros 120,00. Vamos dividir em 
casos: 
Se ele não possuir mais notas de 50, teremos que formar 120,00 com notas 
de 10 e 20: 
São 7 opções: 12 notas de 10; 1 de 20 e 10 de 10; 2 de 20 e 8 de 10; 3 de 
20 e 6 de 10; 4 de 20 e 4 de 10; 5 de 20 e 2 de 10; 6 de 20. 
 
– Se ele possuir mais uma nota de 50, teremos que formar 70,00 com notas 
de 10 e 20: 
São 4 opções: 7 notas de 10; 1 de 20 e 5 de 10; 2 de 20 e 3 de 10; 3 de 20 e 
1 de 10. 
 
– Se ele possuir mais duas notas de 50, teremos que formar 20,00 com notas 
de 10 e 20: 
São 2 opções: 1 de 20 ou 2 de 10. 
 
Verificamos que o número de casos possíveis é 7 + 4 + 2 = 13 
Para contarmos o número de casos favoráveis, devemos considerar as opções 
onde ele tem pelo menos duas notas de 50, ou seja, 4 + 2 = 6. 
Probabilidade = 6/13 
 
4. Uma moeda não tendenciosa é lançada até que sejam obtidos dois resultados 
consecutivos iguais. Qual a probabilidade de a moeda ser lançada exatamente três 
vezes? 
a) 1/8 
b) 1/4 
c) 1/3 
d) 1/2 
e) 3/4 
 
Gabarito: letra b 
Primeira jogada: qualquer resultado serve (probabilidade igual a 1) 
Segunda jogada: só serve o resultado que não aconteceu da primeira vez 
(probabilidade igual a ½) 
Terceira jogada: só serve o mesmo resultado que aconteceu na segunda 
jogada (probabilidade igual a ½) 
Logo: 
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MUDE SUA VIDA! 
172 
 
1 .
1
2
.
1
2
 
 
1
4
 
 
 
 
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
 
Sequência é sucessão, encadeamento de fatos que se sucedem. É comum percebermos 
em nosso dia a dia conjuntos cujos elementos estão dispostos em certa ordem, obedecendo a 
uma sequência. 
 
Exemplo: 
Todos nós sabemos que o Brasil é penta campeão mundial de futebol e os anos, em ordem 
cronológica, em que ele foi campeão mundial são: 1958, 1962, 1970, 1994 e 2002. Essas datas 
formam um conjunto com os elementos dispostos numa determinada ordem. 
O estudo de sequência dentro da matemática é o conjunto de números reais dispostos em 
certa ordem. Assim chamado de sequência numérica. 
 
Exemplo: 
 O conjunto ordenado (0, 2, 4, 6, 8, 10,...) é a sequência de números pares. 
 
 O conjunto ordenado (7, 9, 11, 13,15) é a sequência de números impares ≥ 7 e ≤ 15. 
 
 O conjunto ordenado (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, 200) é uma sequência de números 
que começa com a letra D. 
 
Exemplo: 
(2, 4, 6, 8, 10) 
a1 =2; 
a2 =4; 
a3 =6; 
a4 =8; 
a5 =10 
 
CLASSIFICAÇÃO 
 
As sequências numéricas podem ser finitas ou infinitas, por exemplo: 
 
(2, 4, 6, ..., 8) sequências finitas 
 
(2, 4, 6, 8, ...) sequências infinitas 
 
O último termo de uma sequência é chamado de enésimo termo, sendo representado por 
na. 
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MUDE SUA VIDA! 
173 
 
 
PROGRESSÃO 
 
A ideia de progressão está relacionada com avanço e sucessão. Na Matemática, 
caracterizamos a progressão como uma série numérica de quantidades, ou seja, que ocorre de 
forma sucessiva, uma após a outra. Ela sempre é estabelecida por uma lei de formação, que é 
uma fórmula matemática. E são divididas em progressão aritmética e progressão geométrica. 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
 
A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a diferença entre dois 
termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A.. 
Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são 
resultantes da soma da constante com o valor do elemento anterior. 
Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (P.G.), pois nesta, os números são 
multiplicados pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados. 
As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de termos (P.A. 
finita) ou um número infinito de termos (P.A. infinita). 
Para indicar que uma sequência continua indefinidamente utilizamos reticências, por 
exemplo: 
 a sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...) é uma P.A. infinita. 
 
 a sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma P.A. finita. 
 
Cada termo de uma P.A. é identificado pela posição que ocupa na sequência e para 
representar cada termo utilizamos uma letra (normalmente a letra a) seguida de um número 
que indica sua posição na sequência. 
 
Por exemplo, o termo a4 na P.A (2, 4, 6, 8, 10) é o número 8, pois é o número que ocupa a 
4ª posição na sequência. 
 
CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.A. 
De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em: 
 Constante: quando a razão for igual a zero. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4...), sendo r = 0. 
 Crescente: quando a razão for maior que zero. Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10...), sendo 
r = 2. 
 Decrescente: quando a razão for menor que zero (15, 10, 5, 0, - 5,...), sendo r = - 5 
 
PROPRIEDADES DA P.A. 
1ª PROPRIEDADE: 
Em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos 
extremos. 
 
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MUDE SUA VIDA! 
174 
 
 
 
2ª PROPRIEDADE: 
 
Considerando três termos
consecutivos de uma P.A., o termo do meio será igual a média 
aritmética dos outros dois termos 
 
 
 
3ª PROPRIEDADE: 
 
Em uma P.A. finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média 
aritmética do primeiro termo com o último termo. 
 
 
 
 
 
 
 
TERMO GERAL DE UMA P.A 
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MUDE SUA VIDA! 
175 
 
 
Na progressão aritmética (PA), cada termo a partir do segundo é determinado pela soma 
do anterior por uma constante chamada de razão. Para determinar os termos da sequência, 
aplica-se a seguinte fórmula: 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 
 
Sendo: 
 𝑎𝑛 = enésimo termo da sequência. 
 𝑎1 = primeiro termo 
 𝑛 = posição do termo na sequência 
 𝑟 = razão 
 
SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A 
 
A fórmula que fornece a soma dos n primeiros termos de uma P.A é: 
 
𝑆𝑛 = 𝑛 . 
(𝑎1 + 𝑎𝑛)
2
 
 
Sendo: 
 𝑆𝑛 = soma dos n primeiros termos de uma PA. 
 𝑎1 = primeiro termo 
 𝑛 = posição do termo na sequência 
 𝑎𝑛 = enésimo termo da sequência 
 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica onde cada termo é igual ao 
produto de seu antecessor com uma constante, chamada razão da PG. Em outras palavras, a 
diferença entre dois termos quaisquer e consecutivos de uma PG é uma constante. 
 
Exemplo: 
(1, 3, 9, 27, 81, …) 
 
Cada termo dessa PG, exceto o primeiro, é resultado de um produto de seu antecessor 
por 3, pois 3 = 3·1, 9 = 3·3 e assim por diante. 
 
A razão de uma PG é representada pela letra “q”. E seus elementos são representados 
por uma letra minúscula seguida de um número que indica a posição do número. 
Por exemplo, na PG acima, o termo a1 é o primeiro termo e é igual a 1. O termo a4 é o 
quarto termo e é igual a 27. Dessa forma, é costume indicar o enésimo termo de uma PG por 
an. 
Fazendo uso da definição de PG, podemos escrever o enésimo termo como um produto 
de seu antecessor an – 1 pela razão. 
TERMO GERAL DE UMA P.G 
 
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https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sequencia-numerica.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-numeros-inteiros.htm
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MUDE SUA VIDA! 
176 
 
O termo geral de uma PG é uma expressão que pode ser usada para encontrar um termo 
qualquer de uma progressão geométrica. Esse termo também é expresso por an e a 
expressão/fórmula utilizada para determiná-lo é: 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 . 𝑞
(𝑛−1) 
 
Sendo: 
 𝑎1 = primeiro termo 
 𝑛 = posição do termo na sequência 
 𝑞 = razão 
 
SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G 
 
Existem duas possibilidades para o cálculo da soma dos termos de uma PG. Ela pode ser 
finita ou o problema pode exigir a soma de uma quantidade finita de termos de uma PG 
infinita. Em ambos os casos, usamos a fórmula: 
 
𝑆𝑛 = 
𝑎1 . (𝑞
𝑛 − 1)
𝑞 − 1
 
 
Se for necessário encontrar a soma dos termos de uma PG infinita, a fórmula a ser 
utilizada é: 
 
𝑆𝑛 = 
𝑎1 
𝑞 − 1
 
 
Sendo: 
 𝑆𝑛 = soma dos n primeiros termos de uma PA. 
 𝑎1 = primeiro termo 
 𝑛 = posição do termo na sequência 
 𝑞 = razão da progressão 
 
PROPRIEDADES DA P.G. 
1ª PROPRIEDADE: 
 
Em uma P.G com número ímpar de termos, o quadrado do termo médio é igual ao 
produto dos extremos. 
 
Exemplo: 
Na P.G (3, 6, 12), temos: 
 
6² = 3.12 
 
36 = 36 
 
2ª PROPRIEDADE: 
 
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MUDE SUA VIDA! 
177 
 
O produto dos termos equidistantes dos extremos de uma P.G é igual ao produto desses 
extremos. 
 
Exemplo: 
Na P.G (4, 8, 16, 32, 64), temos: 
 
4 . 64 = 8 . 32 
 
256 = 256 
 
3ª PROPRIEDADE: 
 
A sequência (a, b, c) com a ≠0, se, e somente se, o quadrado do termo médio é igual ao 
produto dos extremos, isto é: 
 
𝑏² = 4𝑎𝑐 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. Encontre o termo geral da progressão aritmética (PA) abaixo: 
 
𝐴 = (3, 7, … ) 
 
Gabarito: an = 4n -1 
Apesar de a sequência apresentar dois elementos, já podemos destacar dois 
termos importantes, o primeiro termo e a razão. 
 
𝑟 = 7 − 3 
 
𝑟 = 4 
 
Através da fórmula do termo geral temos: 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 
 
𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1). 4 
 
𝑎𝑛 = 3 + 4𝑛 − 4 
 
𝑎𝑛 = 4𝑛 − 1 
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
178 
 
2. A soma dos 20 termos de uma P.A é 500. Se o primeiro termo dessa P.A é 5, qual é a 
razão dessa P.A? 
 
Gabarito: r ≅ 2 
De acordo com a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética 
é: 
𝑆𝑛 = 𝑛 . 
(𝑎1 + 𝑎𝑛)
2
 
 
500 = 20 . 
(5 + 𝑎20)
2
 
 
500 . 2 = 20 . (5 + 𝑎20) 
 
1000 = 100 + 20 . 𝑎20 
 
1000 − 100 = 20 . 𝑎20 
 
900 = 20 . 𝑎20 
 
 𝑎20 =
900
20
 
 
 𝑎20 = 45 
 
Agora vamos utilizar a fórmula do termo geral par encontrar o 
valor da razão r. 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 
 
45 = 5 + (20 − 1). 𝑟 
 
45 − 5 = 19 𝑟 
 
 𝑟 =
40
19
 
 
𝑟 ≅ 2 
 
 
3. A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine 
o 8º termo dessa progressão. 
 
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MUDE SUA VIDA! 
179 
 
Gabarito: 4374 
Como a razão da progressão é: 
 
6
2
= 3 
 
Basta aplicarmos na fórmula: 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 . 𝑞
(𝑛−1) 
 
𝑎8 = 2. 3
(8−1) 
 
𝑎8 = 2. 3
(7) 
 
𝑎8 = 2. 2187 
 
𝑎8 = 4374 
 
 
4. Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser empilhadas 
respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes 
seguintes, tantas quantas já estejam na pilha, como mostra figura abaixo, Determine a 
quantidade de tábuas empilhadas na 12° pilha. 
 
Gabarito: 2048 tábuas 
As tábuas são empilhadas de acordo com uma progressão geométrica de 
razão 2, então temos: 
𝑎𝑛 = 𝑎1 . 𝑞
(𝑛−1) 
 
𝑎12 = 1. 2
(12−1) 
 
𝑎12 = 1. 2
(11) 
 
𝑎12 = 1. 2048 
 
𝑎12 = 2048 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
A geometria plana ou euclidiana é a parte da matemática que estuda as figuras que não 
possuem volume. A geometria plana também é chamada de euclidiana, uma vez que seu nome 
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MUDE SUA VIDA! 
180 
 
representa uma homenagem ao geômetra Euclides de Alexandria, considerado o “pai da 
geometria”. 
Curioso notar que o termo geometria é a união das palavras “geo” (terra) e “metria” 
(medida); assim, a palavra geometria significa a "medida de terra". 
 
CONCEITOS DE GEOMETRIA PLANA 
 
Alguns conceitos são de suma importância para o entendimento da geometria plana, a 
saber: 
 
PONTO 
 
Conceito adimensional, uma vez que não possui dimensão. Os pontos determinam uma 
localização e são indicados com letras maiúsculas. 
 
RETA 
 
A reta, representada por letra minúscula, é uma linha ilimitada unidimensional (possui o 
comprimento como dimensão) e pode se apresentar em três posições: 
 Horizontal 
 
 Vertical 
 
 inclinada 
Dependendo da posição das retas, quando elas se cruzam, ou seja, possuem um ponto 
em comum, são chamadas de retas concorrentes. 
Por outro lado, as que não possuem ponto em comum, são classificadas como retas 
paralelas. 
 
SEGMENTO DE RETA 
 
Diferente da reta, o segmento de reta é limitado pois corresponde a parte entre dois 
pontos distintos. 
A semirreta é limitada somente num sentido, visto que possui início e não possui fim. 
 
PLANO 
 
Corresponde a uma superfície plana bidimensional, ou seja, possui duas dimensões: 
comprimento e largura. Nessa superfície que se formam as figuras geométricas. 
ÂNGULOS 
 
Os ângulos são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de um ponto 
comum, chamado de vértice do ângulo. São classificados em: 
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181 
 
ângulo reto (Â = 90º) 
ângulo
agudo (0º 
ângulo obtuso (90º 
 
ÁREA 
 
A área de uma figura geométrica expressa o tamanho de uma superfície. Assim, quanto 
maior a superfície da figura, maior será sua área. 
 
PERÍMETRO 
 
O perímetro corresponde a soma de todos os lados de uma figura geométrica. 
 
NOMENCLATURA DE POLÍGONOS 
 
Os polígonos recebem nomes conforme o número de lados que apresentam. 
 
Assim, temos: 
 
 3 lados - Triângulo 
 
 
 4 lados – Quadrilátero 
 
 
 5 lados – Pentágono 
 
 
 6 lados – Hexágono 
 
 
 7 lados – Heptágono 
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182 
 
 
 
 8 lados – Octógono 
 
 
 9 lados – Eneágono 
 
 
 10 lados – Decágono 
 
 
 12 lados – Dodecágono 
 
 
 20 lados - Icoságono 
 
FIGURAS GEOMÉTRICAS 
 
As figuras geométricas são elementos com formas, tamanhos e dimensões no plano ou 
espaço. Por exemplo, o triângulo, o quadrado, a pirâmide e a esfera são figuras geométricas. 
Na matemática, estes elementos são estudados no ramo da geometria. 
Nesse sentido, quando temos uma figura geométrica que se “entrelaça”, nós a chamamos 
de polígono entrelaçado. Para os polígonos não entrelaçados, podemos dividi-los em côncavos 
e convexos. 
 
 
POLÍGONOS CÔNCAVO E CONVEXO. 
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https://querobolsa.com.br/enem/matematica/quadrado
https://querobolsa.com.br/enem/matematica/piramide
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MUDE SUA VIDA! 
183 
 
 
Definimos que um polígono é côncavo quando é possível traçar um segmento de reta tal 
que ele comece e termine dentro do polígono, mas parte dele passa por fora da figura. Caso 
isso não seja possível, o polígono é convexo. 
Além disso, um polígono convexo pode ser classificado como regular. Um polígono é 
regular quando ele for equilátero (possuir os lados iguais) e equiângulo (possuir os ângulos 
iguais). 
 
 
TRIÂNGULOS 
 
Triângulos são polígonos formados por três lados. Os polígonos, por sua vez, são figuras 
geométricas formadas por segmentos de reta que, dois a dois, tocam-se em seus pontos 
extremos, mas que não se cruzam em qualquer outro ponto. Sendo assim, 
os triângulos herdam dos polígonos algumas características e propriedades básicas. 
 
ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO 
 
Os triângulos possuem os mesmos elementos dos polígonos, com exceção das diagonais. 
Os outros elementos dos polígonos que os triângulos possuem são: 
 Lados: são os segmentos de reta que formam o polígono; 
 Vértices: são os pontos de encontro entre os lados; 
 Ângulos internos: são os ângulos que podem ser observados entre dois lados 
adjacentes de um triângulo; 
 Ângulos externos: são os ângulos que podem ser observados entre um lado de 
um triângulo e o prolongamento do lado adjacente a ele. 
 
 
CLASSIFICAÇÕES DE TRIÂNGULOS 
 
Os triângulos podem ser classificados quanto aos lados ou quanto aos ângulos: 
 
 
CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS LADOS 
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https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-reta.htm
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MUDE SUA VIDA! 
184 
 
 
Podemos classificar um triângulo de acordo com a medida de seus lados. Temos três 
possíveis combinações em relação ao tamanho dos lados: ou todos os lados são iguais, ou dois 
lados são iguais e um diferente, ou todos os lados são diferentes. 
 
TRIÂNGULO EQUILÁTERO 
O triângulo equilátero possui todos os lados congruentes, isto é, todos os lados do 
triângulo possuem a mesma medida. 
 
 
TRIÂNGULO ISÓSCELES 
O triângulo isósceles possui pelo menos dois lados congruentes, ou seja, possui dois 
lados iguais e um diferente. 
 
TRIÂNGULO ESCALENO 
O triângulo escaleno possui todos os seus lados diferentes, ou seja, cada lado tem uma 
medida diferente. 
 
 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS QUANTO AOS ÂNGULOS 
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MUDE SUA VIDA! 
185 
 
 
TRIÂNGULO ACUTÂNGULO 
 
O triângulo acutângulo possui todos os seus ângulos internos menores que 90°, ou seja, a 
medida de cada ângulo interno é um ângulo agudo. 
 
 
TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
O triângulo retângulo apresenta, em um de seus ângulos internos, um ângulo de 90°, ou 
seja, um ângulo reto. Além disso, é válido destacar que o lado oposto ao ângulo reto é 
chamado de hipotenusa e os demais lados são chamados de catetos. Nesse triângulo, é válido 
o teorema de Pitágoras. 
 
 
TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO 
 
O triângulo obtusângulo possui um dos seus ângulos internos com medida maior que 
90° e menor que 180°, ou seja, um ângulo obtuso. 
 
 
 
PROPRIEDADE DOS TRIÂNGULOS 
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MUDE SUA VIDA! 
186 
 
 
PROPRIEDADE 1: 
 
Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180°. 
 
 
Exemplo: 
Vamos determinar a medida dos ângulos de um triângulo retângulo com dois ângulos 
agudos iguais. 
Como temos um triângulo retângulo, logo um de seus ângulos é igual a 90°. Como os 
demais ângulos agudos são iguais, podemos chamá-los de x. Sabemos também que a soma dos 
ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°, assim: 
 
90° + x + x = 180° 
2x = 180° – 90° 
2x = 90° 
x = 45° 
 
PROPRIEDADE 2: 
 
Os ângulos internos de um triângulo equilátero são todos iguais a 60°. 
Exemplo 
Suponha que os valores dos ângulos internos sejam desconhecidos. Assim, chamaremos 
todos de x, uma vez que o triângulo é equilátero. Como a soma dos ângulos internos é sempre 
igual a 180°, temos: 
 
x + x + x = 180° 
3x = 180° 
x = 60° 
 
PROPRIEDADE 3: 
 
A altura (segmento de reta perpendicular a um dos lados do triângulo) a mediana (que 
divide o lado ao meio) e a bissetriz (que divide um ângulo interno ao meio) coincidem-se no 
triângulo equilátero. 
 
PROPRIEDADE 4: 
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https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/retas.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/perpendicularidade.htm
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187 
 
Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Determine os valores de X e Y sabendo que o triângulo é equilátero. 
 
 
 
Gabarito: X= 3 e Y = 18 
 
Como o triângulo é equilátero, todos os seus lados são iguais, sendo assim: 
 
6𝑥 − 12 = 30 
 
6𝑥 = 30 − 12 
 
6𝑥 = 18 
 
𝑥 =
18
6
 
 
𝑥 = 3 
 
Por outro lado, temos também que: 
 
12𝑦 − 18 = 30 
 
12𝑦 = 30 + 18 
 
12𝑦 = 48 
 
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MUDE SUA VIDA! 
188 
 
𝑦 =
48
12
 
 
𝑦 = 4 
 
 
2. Se o triangulo ABC é isósceles de base BC, determine o valor de X 
 
 
Gabarito: x= 12 
Como se trata de um triângulo isósceles. Assim os lados AB e AC são 
congruentes, ou seja, suas medidas são iguais, portanto temos: 
 
2𝑥 − 7 = 𝑥 + 5 
 
2𝑥 − 𝑥 = 5 + 7 
 
𝑥 = 12 
 
3. Qual a medida do ângulo X do triângulo abaixo: 
 
 
a) 100° 
b) 180° 
c) 90° 
d) 40° 
e) 30° 
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MUDE SUA VIDA! 
189 
 
 
Gabarito: letra e 
Temos um exercício que envolve soma dos ângulos internos de um triângulo e 
a regra é a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo será sempre igual a 
180° portanto: 
 
80 + 70 + 𝑥 = 180 
 
150 + 𝑥 = 180 
 
𝑥 = 180 − 150 
 
𝑥 = 30 
 
 
4. Qual é a medida do ângulo representado por X na figura a seguir? 
 
a) 80° 
b) 100° 
c) 50° 
d) 130° 
e) 200° 
 
Gabarito: letra d 
Precisamos dividir esse quadrilátero em dois triângulos, de acordo com a 
figura a seguir: 
 
Observe que o ângulo a pode ser obtido pela soma dos ângulos internos de 
um triângulo: 
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MUDE SUA
VIDA! 
190 
 
 
𝑎 + 30 + 70 = 180 
 
𝑎 + 100 = 180 
 
𝑎 = 180 − 100 
 
𝑎 = 80 
 
O ângulo b, por sua vez, é adjacente ao ângulo a, logo, sua medida é dada 
por: 
𝑎 + 𝑏 = 180 
 
80 + 𝑏 = 180 
 
𝑏 = 180 − 80 
 
𝑏 = 100 
O ângulo c é adjacente a x, logo, c + x = 180. Para descobrir c, basta fazer a 
soma dos ângulos internos do triângulo pequeno: 
 
100 + 30 + 𝑐 = 180 
 
130 + 𝑐 = 180 
 
𝑐 = 180 − 130 
 
𝑐 = 50 
Então: 
 
50 + 𝑥 = 180 
 
𝑥 = 180 − 50 
 
𝑥 = 130 
 
QUADRILÁTEROS 
 
Quadriláteros são figuras geométricas planas que possuem quatro lados. Podem ser 
divididos em três grupos (paralelogramos, trapézios e outros) e também podem ser 
classificados com relação ao formato. 
 
ELEMENTOS DE UM QUADRILÁTERO 
 
Todo quadrilátero é polígono, que, por sua vez, é uma figura geométrica plana formada 
por segmentos de reta que se encontram pelas extremidades. Ele é uma figura fechada e os 
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https://alunosonline.uol.com.br/matematica/propriedades-paralelogramo.html
https://alunosonline.uol.com.br/matematica/poligonos.html
https://alunosonline.uol.com.br/matematica/retas.html
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MUDE SUA VIDA! 
191 
 
segmentos que o compõem não se cruzam. Sendo assim, os quadriláteros possuem os mesmos 
elementos que os polígonos: 
 
 Lados: são os segmentos de reta que formam o quadrilátero; 
 
 Vértices: são os pontos de encontro entre os lados; 
 Ângulos internos: são os ângulos formados pelos lados de um quadrilátero, 
voltados para seu interior; 
 
 Diagonais: são segmentos de reta que unem dois vértices não consecutivos; 
 
 
 
Existem três grandes grupos de quadriláteros, que são divididos assim de acordo com a 
quantidade de lados paralelos que possuem. Essa é classificação mais importante para eles. 
 
PARALELOGRAMOS 
 
Os paralelogramos são quadriláteros que possuem lados opostos paralelos. Essa 
característica garante aos paralelogramos as seguintes propriedades: 
 Todo paralelogramo possui ângulos opostos congruentes; 
 
 Todo paralelogramo possui lados opostos congruentes; 
 
 Em todo paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio. 
 
 Em todo paralelogramo, ângulos adjacentes são suplementares. 
 
 
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
192 
 
 
Os paralelogramos podem ser divididos em outros três grupos: 
 
 Losango: paralelogramo que possui todos os lados iguais. A propriedade específica 
desse quadrilátero é a seguinte. 
“As diagonais de um losango são perpendiculares entre si.” 
 
 Retângulo: paralelogramo que possui todos os ângulos retos. A propriedade 
específica desse quadrilátero é a seguinte. 
“As diagonais de um retângulo são congruentes.” 
 Quadrado: paralelogramo que possui todos os ângulos retos e todos os lados 
iguais. Todo quadrado é também um losango e um retângulo, mas nem todo 
retângulo é quadrado e nem todo losango é quadrado. A propriedade específica 
dos quadrados é a seguinte: 
“As diagonais de um quadrado são congruentes e perpendiculares entre si.” 
 Trapézios 
Os trapézios são quadriláteros que possuem apenas um par de lados opostos paralelos: 
as bases. Os trapézios também são divididos em grupos de acordo com suas características: 
 
Trapézio retângulo: é um trapézio que possui dois ângulos retos; 
 
Trapézio isósceles: é um trapézio que possui dois lados que não são paralelos e 
congruentes. Assim como no triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. 
 
 
À direita, exemplo de um trapézio isósceles; à esquerda, exemplo de um trapézio 
 
Atenção: 
A soma de todos os ângulos internos de qualquer quadrilátero será sempre igual a 360°. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Determine o valor de x e y na figura abaixo. 
 
 
Gabarito: x= 5 e y=28 
Como a soma dos ângulos internos será sempre igual a 360° que dizer eu 
cada ângulo é igual a 90° portanto temos a seguinte equação: 
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MUDE SUA VIDA! 
193 
 
 
12𝑥 + 2 + 5𝑥 + 3 = 90 
 
17𝑥 + 5 = 90 
 
17𝑥 = 90 − 5 
 
17𝑥 = 85 
 
𝑥 = 85/17 
 
𝑥 = 5 
2. As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero são: x + 17° ; x + 37° ; x + 45° e x + 
13°. Determine as medidas desses ângulos. 
 
Gabarito: 79°, 99°, 107°, 75° 
Como a soma dos ângulos interno de qualquer quadrilátero será sempre igual 
a 360° então temos: 
𝑥 + 17 + 𝑥 + 37 + 𝑥 + 45 + 𝑥 + 13 = 360 
 
4𝑥 + 112 = 360 
 
4𝑥 = 360 − 112 
 
4𝑥 = 248 
 
𝑥 =
248
4
 
 
𝑥 = 62° 
 
Então os ângulos são: 
𝑥 + 17 = 79° 
 
𝑥 + 37 = 99° 
 
𝑥 + 45 = 107° 
 
𝑥 + 13 = 75° 
 
 
 
3. No paralelogramo abaixo, determine as medidas de X e Y. 
 
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MUDE SUA VIDA! 
194 
 
 
 
Gabarito: x=56° e y=12° 
Sabendo que os ângulos opostos no paralelogramo são iguais então temos: 
 
9𝑦 + 16 = 7𝑦 + 40 
 
9𝑦 = 7𝑦 + 40 − 16 
 
9𝑦 = 7𝑦 = 24 
 
2𝑦 = 24 
 
𝑦 =
24
2
 
 
𝑦 = 12 
 
Então para encontrar x basta substituir: 
 
𝑥 + (7.12 + 40) = 180 
 
𝑥 = 180 − 124 
 
𝑥 = 56 
 
 
4. Determine as medidas dos quatro ângulos do trapézio da figura abaixo: 
 
 
Gabarito: 63°, 56°, 117°, 124° 
Como a própria figura já está divida agora basta trabalhar com a soma dos 
ângulos internos de um triângulo: 
𝑥 + 27 + 90 = 180 
 
𝑥 + 117 = 180 
 
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MUDE SUA VIDA! 
195 
 
𝑥 = 180 − 117 
 
𝑥 = 63° 
 
Trabalhando o outro triângulo temos: 
 
𝑦 + 34 + 90 = 180 
 
𝑦 + 124 = 180 
 
𝑦 = 180 − 124 
 
𝑦 = 56 
 
CIRCUNFERÊNCIA 
 
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto 
fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência. 
A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras 
planas. 
Círculo (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um 
ponto fixo 0 é menor ou igual que uma distância r dada. 
A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão 
localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. 
A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras 
planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto 
sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um 
número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as 
áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Química, Biologia, 
Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada 
nas residências das pessoas. 
 
ALGUMAS DEFINIÇÕES 
 
 Raio – Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com 
uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto 
qualquer da circunferência. 
 Arco – é uma parte da circunferência limitada por dois pontos, que se chamam 
extremidades do arco. 
 
 Corda – é um segmento de infinitos pontos alinhados, cujos pontos extremos com 
um ponto da circunferência. Quando esse segmento passa pelo centro da 
circunferência, temos o que chamamos de diâmetro. 
 O diâmetro é sempre a corda maior: como é a corda que passa pelo centro, sua 
medida é igual a duas vezes a medida do raio. 
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MUDE SUA VIDA! 
196 
 
Assim, para medir a maior distância entre dois pontos de uma circunferência, deve 
medir o diâmetro, ou seja, o seu instrumento de medida (régua, trena ou fita métrica) deve 
passar pelo centro da circunferência. Em alguns casos, porém, apenas uma parte da 
circunferência é utilizada. 
 
 
 Tangente – é a reta que tem um único ponto comum à circunferência, este ponto é 
conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. 
 Secante – é a reta que intercepta a circunferência em
dois pontos distintos, se essa 
reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também 
que é a reta que contem uma corda. 
Para simbolizar a corda que une os pontos P e Q, utilizamos a notação de segmento de 
reta, ou seja, corda PQ. 
Por outro lado, o arco também começa em P e termina em Q mas, como você pode ver, a 
corda e o arco são diferentes e por isso a simbologia também deve ser diferente. Para o arco, 
usamos PQ. 
Da mesma forma que a maior corda é o diâmetro, o maior arco é aquele que tem as 
extremidades em um diâmetro. Esse arco é chamado semicircunferência, e a parte do 
círculo correspondente é chamada semicírculo. 
 
PERÍMETRO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA 
Em qualquer circunferência, a razão entre a medida C do comprimento (perímetro) e a 
medida 2r de seu diâmetro (já que o diâmetro é o dobro do raio, ou o raio é metade do 
diâmetro) é constante. Ou seja, se pegarmos uma circunferência qualquer, a razão C/2r será 
sempre a mesma em qualquer outra circunferência. 
Esse valor constante, C2r, é chamado de π (Pi). Este número tem infinitas casas 
decimais, pois é um número irracional. Seu valor aproximado é 3,14159265... . 
Usualmente consideramos que π=3,14. 
Então, partindo da igualdade C2r=π, concluímos que C=2πr. 
Então, o perímetro de uma circunferência, chamado apenas de comprimento, é 
determinado pelo produto do diâmetro (d = 2r) por π. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Determine a medida do raio de uma praça circular que possui 9420 m de comprimento (Use 
π= 3,14.). 
Gabarito: 1500m 
Utilizando a fórmula para cálculo do comprimento da circunferência temos: 
 
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MUDE SUA VIDA! 
197 
 
𝐶 = 2 𝜋 𝑟 
 
9420 = 2 . 3,14 . 𝑟 
 
9420 = 6,28 . 𝑟 
 
𝑟 =
9420
6,28
 
 
𝑟 = 1500 
 
2. Uma pista de atletismo tem a forma circular e seu diâmetro mede 80 m. Um atleta treinando 
nessa pista deseja correr 10 km diariamente. Determine o número mínimo de voltas completas 
que ele deve dar nessa pista a cada dia. 
 
Gabarito: 39,8 
Se a pista é circular e possui 80 m de diâmetro podemos dizer que possui raio 
de 40 e determinar: 
 
𝐶 = 2 𝜋 40 
𝐶 = 80 𝜋 
 
Se o atleta corre 10 Km corresponde a 10000 metros diariamente, podemos 
determinar o número de voltas. 
𝑛 =
1000
80𝜋
 
 
𝑛 =
125
𝜋
 
 
Para um resultado mais preciso, considere 𝜋 =3,14 
 
𝑛 =
125
𝜋
 
 
𝑛 =
125
3,14
 
 
𝑛 = 39,8 
 
 
 
3. Um trabalhador gasta 3 horas para limpar um terreno circular de 6 metros de raio. Se o 
terreno tivesse 12 metros de raio, quanto tempo o trabalhador gastaria para limpar tal terreno? 
 
a) 6h 
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MUDE SUA VIDA! 
198 
 
b) 9h 
c) 12h 
d) 18h 
e) 20h 
 
Gabarito: letra c 
Ao contrário do que muitos fariam, deduzir que um terreno com o dobro de 
raio equivale ao dobro do tempo de limpeza está errado, uma vez que o cálculo da 
área de uma circunferência não é linear. 
O primeiro passo para a resolução desse exercício é encontrar a área do 
terreno de 6 metros de raio que o trabalhador limpou. Conhecendo o valor do raio, 
podemos aplica-lo na fórmula: 
𝐴 = 𝜋. 𝑟² 
 
𝐴 = 𝜋. 6² 
 
𝐴 = 36𝜋 
 
 
Agora calcularemos a área do segundo terreno com 12 metros de raio. 
 
𝐴 = 𝜋. 𝑟² 
 
𝐴 = 𝜋. 12² 
 
𝐴 = 144𝜋 
 
Como informado no enunciado, o trabalhador gasta 3 horas para limpar um 
terreno de 36 π de área. Realizando a regra de 3 podemos encontrar quantas horas 
o trabalhador gastaria realizando a limpeza de um terreno de 144 π de área. 
 
36𝜋 3 ℎ 
 
144𝜋 𝑥 
 
36𝜋 . 𝑥 = 144𝜋 .3 
 
36𝜋 . 𝑥 = 432𝜋 
 
𝑥 =
432𝜋
36𝜋
 
 
𝑥 = 12 
 
 
4. Donato, patrulheiro militar, utiliza uma bicicleta no exercício da sua função, que é 
patrulhar uma região turística de Vitória-ES. Sabe-se que o pneu dessa bicicleta possui 
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MUDE SUA VIDA! 
199 
 
formato circular de diâmetro medindo 70 cm. Considerando que na última quinta-feira 
Donato percorreu 21,4 km com essa bicicleta em serviço de patrulhamento, é correto 
afirmar que o pneu dessa bicicleta deu: (Dado π= 3) 
 
Gabarito: 10190,4 voltas 
Vamos primeiro calcular quanto o patrulheiro anda após uma volta do pneu. 
Pela fórmula do comprimento de uma circunferência: 
 
𝐶 = 2𝜋𝑟 
 
𝐶 = 2.3.35 
 
𝐶 = 210 𝑐𝑚 
𝐶 = 210 𝑚 
 
Repare que usamos r = 35 cm pois o diâmetro da roda é 70 cm. 
Temos que 21,4 km equivalem a 21400 metros. 
 
Como em uma volta ele anda 2,1 metros, e no total ele andou 21400 metros, 
basta efetuar a divisão: 
 
21400
2,1
 
 
10190,4 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑠 
 
 
ÁREA E PERÍMETRO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS 
 
ÁREA DE UMA FIGURA 
 
A área de uma figura é a medida da superfície dessa figura, ou seja, é o espaço que ela 
ocupa. 
Considere, por exemplo, que em uma sala tem um tapete redondo, com forma de círculo. 
Qual o espaço que esse tapete ocupa no piso da sala? Para responder essa pergunta, basta 
calcular a área de um círculo com as mesmas medidas do tapete. 
Como saber quantos metros quadrados de grama são necessários para cobrir um 
canteiro triangular? Essa pergunta também pode ser respondida a partir do cálculo da área. 
Nesse caso, é a área de um triângulo com as mesmas medidas do canteiro. 
 
PERÍMETRO DE UMA FIGURA 
 
O perímetro de uma figura é o tamanho da linha de contorno dessa figura. 
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MUDE SUA VIDA! 
200 
 
Em polígonos, o perímetro é obtido somando as medidas dos lados da figura. Por 
exemplo, em um quadrado, basta somar as medidas dos quatro lados e teremos o perímetro. 
Já em um círculo, o perímetro é a medida da circunferência pela qual ele é limitado. É 
como se pudéssemos fazer um corte na linha que forma o círculo, esticá-la e medir com a 
régua o seu tamanho. Esse tamanho é o que, na geometria, chamamos de perímetro. 
Então, se quisermos saber quantos metros vamos ter que andar para dar uma volta 
completa em uma praça, por exemplo, o que temos que fazer é calcular o perímetro de um 
círculo com as medidas dessa praça. 
Para as figuras geométricas planas mais comuns, temos fórmulas que facilitam e 
agilizam o cálculo do perímetro e da área. 
 
ÁREAS E PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS 
TRIÂNGULO 
 
O triângulo é um polígono de três lados. 
 
 
 
𝐴 =
𝑏. ℎ
2
 
 
𝑃 = 𝑎 . 𝑏 . 𝑐 
RETÂNGULO 
 
O retângulo é um polígono de quatro lados, em que os lados opostos são paralelos. 
Possui quatro ângulos internos retos, que são os ângulos de 90º. 
 
 
 
𝐴 = 𝑏 . ℎ 
 
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201 
 
𝑃 = 2. 𝑏 + 2. ℎ 
 
QUADRADO 
 
O quadrado é um polígono de quatro lados, em que os lados opostos são paralelos e 
todos os lados têm o mesmo tamanho, são congruentes. Possui quatro ângulos internos retos. 
 
 
𝐴 = 𝐿² 
 
𝑃 = 4 𝐿 
 
 
CÍRCULO 
 
O círculo é uma figura fechada, limitada por uma circunferência de raio r. O valor 
de nas fórmulas abaixo é aproximadamente 3,14. 
 
 
 
𝐴 = 𝜋𝑟² 
 
𝑃 = 2𝜋𝑟 
 
𝐷 = 2𝜋 
 
TRAPÉZIO 
 
O trapézio é um polígono de quatro lados. Dois desses lados, chamados de base maior e 
base menor, são paralelos. 
 
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202 
 
 
 
𝐴 =
(𝐵 + 𝑏). ℎ
2
 
 
𝑃 = 𝐵 + 𝑏 + 𝑙1 + 𝑙2 
 
 
LOSANGO 
 
O losango é um polígono de quatro lados, em que os lados opostos são paralelos e todos 
os lados têm o mesmo tamanho, são congruentes. A diferença entre um losango e um 
quadrado, é que no losango os ângulos internos não são ângulos retos como no quadrado. 
 
 
𝐴 =
𝐷 . 𝑑
2
 
 
𝑃 = 4𝐿 
 
EXERCÍCIOS 
1. Sabendo que o perímetro de um hexágono regular é 48,6 cm. Qual é a medida de cada 
lado do hexágono? 
Gabarito: 8,1cm
Como o hexágono regular possui seis lados de mesma medida, e o perímetro 
é a soma desses lados. Portanto, para saber a medida de cada lado basta 
dividirmos o perímetro pela quantidade de lados. 
 
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MUDE SUA VIDA! 
203 
 
𝑃 = 𝑙 . 6 
 
48,6 = 𝑙 . 6 
 
𝑙 =
48,6
6
 
 
𝑙 = 8,1𝑐𝑚 
 
 
2. Sabe-se que o perímetro de um retângulo é de 60 cm e o comprimento desse retângulo é 
de 22 cm. Defina a largura do retângulo. 
 
Gabarito: 8 cm 
Um retângulo possui lados paralelos de medidas iguais, ou seja, dois lados 
medem 22cm, portanto iremos adotar os outros lados como X, então temos: 
 
𝑃 = 22 + 𝑥 + 22 + 𝑥 
 
60 = 44 + 2𝑥 
 
2𝑥 = 60 − 44 
 
𝑥 =
16
2
 
 
𝑥 = 8 𝑐𝑚 
 
3. Calcule a área e o perímetro do losango de diagonal maior 8cm e diagonal menor 4cm. 
 
Gabarito: Área=16 cm² e Perímetro= 11,88 cm 
 
Basta utilizar a formula de área. 
 
𝐴 =
𝐷 . 𝑑
2
 
 
𝐴 =
8 . 4
2
 
 
𝐴 =
32
2
 
 
𝐴 = 16𝑐𝑚² 
 
Para calcular o perímetro é necessário encontrar a medida de um lado, pode-
se aplicar o teorema de Pitágoras. 
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204 
 
𝑙² = 4² + 2² 
 
𝑙² = 16 + 4 
 
𝑙² = 20 
 
√𝑙² = √20 
 
𝑙 = 4,47 
 
Agora basta multiplicar o lado por 4 para obter o perímetro. 
 
𝑃 = 4 . 4,47 
 
𝑃 = 17,88𝑐𝑚 
 
 
4. Sidinelson irá construir uma cerca com 8 fiadas de um fio que custa R$12,50 o metro 
sabendo que o terreno que ele irá cercar possui 35 metros de largura e 60 de 
comprimento quanto Sidinelson irá gastar com fio para construir essa cerca? 
 
Gabarito: R$19000 
Como ele falou que o terreno tem 35 metros de largura e 60 de comprimento 
trata-se de um retângulo então temos que encontrar o perímetro deste apenas 
somando todos os lados: 
𝑃 = 35 + 35 + 60 + 60 
 
𝑃 = 190 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
Como a cerca terá 8 fiadas basta multiplicarmos: 
 
𝑃 = 190 . 8 
 
𝑃 = 1520 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑜 𝑎𝑜 𝑡𝑜𝑑𝑜 
 
Basta multiplicar pelo valor do metro. 
 
𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 = 1520 . 12,5 
 
𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 = 19000 
 
 
 
VOLUME DE FIGURAS GEOMÉTRICAS 
 
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MUDE SUA VIDA! 
205 
 
De modo prático, o volume de um sólido geométrico é a medida da região do espaço 
limitada por sua superfície. Em termos da Matemática, volume de um sólido é um número real 
positivo associado ao sólidos de forma que: 
 sólidos congruentes têm volumes iguais. 
 se um sólido S é a reunião de dois sólidos S1 e S2 que não têm pontos internos 
comuns, então o volume de S é a soma dos volumes de S1 e S2. 
Observação: Os sólidos são medidos por uma unidade que, em geral, é um cubo. 
Portanto, o volume desse cubo é 1. Se sua aresta mede 1 cm, seu volume será 1 cm³. Se sua 
aresta medir 1 m, seu volume será 1 m³. 
Em resumo volume de qualquer figura geométrica é o produto da área da base pela 
altura do sólido. 
 
Veja abaixo expressões de volume de alguns sólidos. 
 
CUBO 
 
 
𝑉 = 𝐴𝑏. ℎ 
 
𝑉 = 𝐿². 𝐿 
 
𝑉 = 𝐿³ 
 
PARALELEPÍPEDO 
 
 
 
 
𝑉 = 𝐴𝑏. ℎ 
 
𝑉 = 𝑎 . 𝑏. 𝑐 
 
PRISMA 
 
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206 
 
 
 
 
𝑉 = 𝐴𝑏. ℎ 
 
 
PIRÂMIDE 
 
 
 
𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏. ℎ 
CONE 
 
 
 
 
𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏. ℎ 
 
CILINDRO 
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
207 
 
 
 
𝑉 = 𝐴𝑏. ℎ 
 
𝑉 = π . 𝑟². ℎ 
EXERCÍCIOS 
1. Uma pirâmide reta de base quadrada foi soldada sobre um prima reto de bases 
congruentes a base da pirâmide, formando um sólido geométrico parecido com o da figura. 
Sabendo que a aresta da base do prisma mede 6 cm e que sua altura e a altura da pirâmide 
medem o dobro da aresta da base do prisma, qual o volume do sólido geométrico formado 
nessa construção? 
 
a) 144 cm³ 
b) 256 cm³ 
c) 288 cm³ 
d) 432 cm³ 
e) 576 cm³ 
 
Gabarito: letra e 
O volume desse sólido geométrico é dado pela soma do volume da pirâmide 
(V1) e do volume do prisma (v2). 
𝑉 = V1 + V2 
 
Calculando V2 temos: 
𝑉2 = Ab . h 
 
𝑉2 = l² . h 
 
𝑉2 = 6² . 12 
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MUDE SUA VIDA! 
208 
 
 
𝑉2 = 36 . 12 
 
𝑉2 = 432 cm³ 
 
Calculando V1 temos: 
 
𝑉1 = Ab . h 
 
𝑉1 =
Ab . h
3
 
 
𝑉1 =
6² . 12
3
 
 
𝑉1 =
36 . 12
3
 
 
𝑉1 =
432
3
 
 
𝑉1 = 144 cm³ 
 
Calculando o volume total temos: 
 
𝑉𝑡 = V1 + V2 
 
𝑉𝑡 = 144 + 432 
 
𝑉𝑡 = 576 cm³ 
 
 
2. Um copo tem o formato de prisma cuja base é um octógono regular. As arestas da base 
desse copo medem 2 centímetros e ele possui 15 centímetros de altura. Sabendo que o 
apótema desse octógono mede aproximadamente 2,5 cm, qual é o volume desse copo em 
centímetros cúbicos? 
 
a) 120,6 
b) 200,6 
c) 207,6 
d) 300 
e) 0,6 
 
Gabarito: letra d 
Um octógono regular pode ser dividido em 8 triângulos isósceles, cada um 
deles com base de 2 centímetros e 2,5 cm de altura. Se a área do triângulo 
isósceles é: 
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MUDE SUA VIDA! 
209 
 
 
𝐴 =
b. h
2
 
Então, a área da base é oito vezes a área do triângulo isósceles. 
 
𝐴 = 8
b. h
2
 
 
𝐴 =
8.2.2,5
2
 
 
𝐴 =
40
2
 
 
𝐴 = 20 
Multiplicando a área da base pela altura do copo, teremos: 
 
𝐴 = 15 . 20 
 
𝐴 = 300 𝑐𝑚³ 
 
3. Um bloco retangular possui como base um retângulo com área de 120 cm2. Sabendo 
que o volume desse bloco é de 480 cm3, qual é sua altura em centímetros? 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
Gabarito: letra a 
O volume de um prisma é a área da base multiplicada pela altura. Os blocos 
retangulares são prismas, por isso, basta calcular: 
 
𝐴 = Ah 
 
480 = 120h 
 
ℎ =
480
120
 
 
ℎ = 4 𝑐𝑚 
 
 
 
4. Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, 
em centímetros, mostrados na figura abaixo. Será produzida uma nova lata, com os 
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MUDE SUA VIDA! 
210 
 
mesmos formato e volume, de tal modo que a s dimensões de sua base sejam 25% 
maiores que as da lata atual. Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve 
ser reduzida em: 
 
 
a) 14,4% 
b) 20% 
c) 32% 
d) 36% 
e) 64% 
 
Gabarito: letra d 
O volume da lata atual é: 
𝑉 = Ab . h 
 
𝑉 = 40. 24.24 
 
𝑉 = 23040 cm³ 
 
As dimensões da base nova da lata são: 
 
𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑛𝑜𝑣𝑎 = Base antiga + 25% da base antiga 
 
𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑛𝑜𝑣𝑎 = 24 +
25
100
 . 24 
 
𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑛𝑜𝑣𝑎 = 24 +
1
4
 . 24 
 
𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑛𝑜𝑣𝑎 = 24 + 6 
 
𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑛𝑜𝑣𝑎 = 30 
 
O novo volume deve ser igual ao volume atual. E adotaremos h a nova altura 
assim teremos: 
30 . 30 . ℎ = 23040 
 
ℎ =
23040
30. 30
 
 
ℎ = 25,6 
 
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MUDE SUA VIDA! 
211 
 
Portanto a redução da altura foi de 40 – 25,6=14,4. Em porcentagem a 
redução foi de : 
 
𝑟𝑒𝑑𝑢çã𝑜 =
14,4
40
 
 
𝑟𝑒𝑑𝑢çã𝑜 = 0,36 
 
𝑟𝑒𝑑𝑢çã𝑜 = 36% 
 
 
POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS NA CIRCUNFERÊNCIA 
 
 
Polígonos inscritos são aqueles que estão no interior de uma circunferência, de modo 
que todos os seus vértices são pontos dela. Já os polígonos circunscritos estão no exterior de 
uma circunferência e apresentam todos os seus lados tangentes a ela. Observe as seguintes 
imagens: 
 
 
 
Veja que todos os vértices do hexágono acima também são pontos pertencentes 
à circunferência ao seu redor. É nessa situação que dizemos que o hexágono é inscrito na 
circunferência ou que a circunferência circunscreve o polígono. 
 
 
 
Nessa segunda imagem, é o polígono que circunscreve a circunferência. Também 
podemos dizer, nesse caso, que a circunferência está inscrita no polígono. Observe que, para 
isso, todos os lados do polígono são tangentes à circunferência. 
 
ELEMENTOS DO POLÍGONO REGULAR INSCRITO 
CENTRO DO POLÍGONO REGULAR
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https://escolakids.uol.com.br/poligonos.htm
https://escolakids.uol.com.br/conhecendo-a-circunferencia.htm
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MUDE SUA VIDA! 
212 
 
É o centro da circunferência onde esse polígono está inscrito. Pode ser encontrado a 
partir do ponto de encontro entre duas mediatrizes de lados distintos do polígono. 
 
 
 
 
RAIO DO POLÍGONO REGULAR 
 
É o elemento que parte do centro de um polígono regular até um de seus vértices e tem a 
mesma medida do raio da circunferência na qual o polígono regular está inscrito. 
 
APÓTEMA 
 
É o segmento de reta que liga o centro de um polígono regular ao ponto médio de um de 
seus lados. A apótema sempre forma um ângulo reto com o lado do polígono que ela toca. 
 
 
 
Nessa imagem, r é o raio do polígono regular inscrito, o ponto O é seu centro e o 
segmento a é apótema. 
 
PROPRIEDADES 
 
As propriedades a seguir são válidas apenas para polígonos regulares, isto é, polígonos 
que possuem todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos congruentes. 
 Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência; 
 Todo polígono regular pode ser circunscrito em uma circunferência; 
 As mediatrizes dos lados de um polígono regular encontram-se no centro da 
circunferência que o circunscreve; 
Em outras palavras, se um polígono regular está inscrito em uma circunferência, as 
mediatrizes de seus lados encontram-se no centro da circunferência, também chamado centro 
do polígono inscrito. A imagem a seguir ilustra essa situação: 
 
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MUDE SUA VIDA! 
213 
 
 
 
 Em um polígono regular inscrito em uma circunferência, todos os ângulos centrais, 
cujos lados são formados por dois raios consecutivos do polígono regular inscrito, 
são congruentes. Além disso, é possível determinar sua medida dividindo 360° 
pelo número de lados do polígono. 
 
 
 
CÁLCULO DE MEDIDAS DE POLÍGONOS REGULARES 
 
O cálculo de algumas medidas de polígonos regulares, como lado e apótema, pode ser 
realizado com a ajuda de uma circunferência. Para eventuais cálculos o polígono deve estar 
inscrito na circunferência, onde determinaremos a medida do lado e do apótema em função da 
medida do raio. 
 
QUADRADO INSCRITO NA CIRCUNFERÊNCIA 
 
 
 
 Lado: 
𝑙 = r √2 
 
 
 Apótema 
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MUDE SUA VIDA! 
214 
 
𝑎 =
r √2
2
 
 
HEXÁGONO INSCRITO NA CIRCUNFERÊNCIA 
 
 
 
 Lado: 
𝑙6 = r 
 
 
 Apótema 
𝑎 =
r √3
2
 
 
TRIÂNGULO EQUILÁTERO INSCRITO NA CIRCUNFERÊNCIA 
 
 
 
 Lado: 
𝑙 = r √3 
 
 
 Apótema 
𝑎 =
r 
2
 
 
EXERCÍCIOS 
1. Um hexágono regular, de lado 10 cm, inscrito em uma circunferência, possui apótema 
igual a aproximadamente 8,65 cm. Quantos centímetros mede o apótema de um hexágono 
regular de lado 6 cm, também inscrito em uma circunferência? 
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MUDE SUA VIDA! 
215 
 
 
a) 4,32 cm 
b) 4,89 cm 
c) 4,93 cm 
d) 5 cm 
e) 5,19 cm 
 
Gabarito: letra e 
Primeiramente vamos descobrir a medida dos perímetros dos polígonos e usar 
regra de três para descobrir a medida do apótema. 
 
𝑃1 = 6 .10 
𝑃1 = 60 𝑐𝑚 
 
𝑃2 = 6 .6 
 
𝑃2 = 36 𝑐𝑚 
 
𝑃1
𝑃2
=
𝐴1
𝐴2
 
 
60
36
=
8,65
𝑥
 
 
60𝑥 = 36 . 8,65 
 
60𝑥 = 311,4 
 
𝑥 =
311,4
60
 
 
𝑥 = 5,19 𝑐𝑚 
 
 
2. Em uma circunferência de raio 8√2 cm encontra-se um quadrado inscrito na mesma. 
Portanto calcule o lado do quadrado e o apótema. 
 
Gabarito: lado= 16 cm e apótema= 8 cm 
Aplicando a fórmula para calcular o lado do quadrado temos: 
 
𝑙 = 𝑟√2 
 
𝑙 = 8 √2 . √2 
 
𝑙 = 8 .2 
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MUDE SUA VIDA! 
216 
 
 
𝑙 = 16 𝑐𝑚 
 
Calculando o apótema temos: 
𝑎 =
𝑟√2
2
 
 
𝑎 =
8 √2 . √2
2
 
 
𝑎 =
8 . 2
2
 
 
𝑎 = 8 𝑐𝑚 
 
3. Qual é a medida do apótema de um triângulo equilátero inscrito, sabendo que o lado 
dessa figura mede √3 cm? 
 
a) 1 cm 
b) √2 cm 
c) √3 cm 
d) 0,5 cm 
e) 2 cm 
 
Gabarito: letra d 
Para calcular a medida do apótema, é necessário conhecer a medida do raio 
do triângulo e, consequentemente, a do raio da circunferência. Para encontrar a 
medida do raio, conhecendo-se a medida do lado do triângulo, podemos usar a 
fórmula: 
 
𝑙 = 𝑟√3 
 
√3 = 𝑟√3 
 
𝑟 =
√3 
√3
 
 
𝑟 = 1 
 
Portanto a medida do apótema será: 
 
𝑎 =
𝑟
2
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
217 
 
𝑎 =
1
2
 
 
𝑎 = 0,5 
 
4. Qual é a medida do lado de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de 
raio igual a 30 cm? Use √3 = 1,73. 
 
a) 20,95 cm 
b) 30 cm 
c) 25,95 cm 
d) 25 cm 
e) 30,95 cm 
 
Gabarito: letra c 
Para descobrir a medida do lado de um triângulo equilátero inscrito em uma 
circunferência, basta usar a seguinte fórmula: 
 
𝑙 = 𝑟√3 
 
𝑙 = 15 √3 
 
𝑙 = 15 . 1,73 
 
𝑙 = 25,95 𝑐𝑚 
 
 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
 
Dois polígonos, com o mesmo número de lados, são semelhantes quando 
possuem ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Em 
outras palavras, polígonos semelhantes possuem o mesmo formato, mas suas dimensões nem 
sempre apresentam o mesmo tamanho. Observe na imagem a seguir um exemplo contendo 
dois triângulos semelhantes. Como essas figuras também são polígonos, então essa também é 
a sua definição de semelhança. 
 
 
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https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-poligonos-convexos-regulares.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/semelhanca-de-poligonos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-angulo.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-proporcao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-triangulo.htm
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MUDE SUA VIDA! 
218 
 
Os triângulos são polígonos que possuem o menor número de lados, portanto, é possível 
criar estratégias para diminuir o trabalho de verificar a semelhança entre eles. Essas 
estratégias são conhecidas como casos de semelhança de triângulos. 
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus três ângulos são congruentes (na 
mesma ordem) e seus lados homólogos são proporcionais. 
 
 
 
 
∆𝐴𝐵𝐶 ~∆𝐷𝐸𝐹 {
 = 𝐷
𝐵 = Ê
𝐶 = 𝐹
 ,
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐵𝐶
𝐸𝐹
=
𝐴𝐶
𝐷𝐹
 
 
 
O símbolo ∼ significa “semelhante”. 
Cada um dos lados homólogos está em um triângulo e ambos são opostos a ângulos 
congruentes. 
 
 
RAZÃO DE SEMELHANÇA 
 
A razão entre dois lados homólogos ou entre dois triângulos semelhantes (k) é chamada 
de razão de semelhança. 
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐵𝐶
𝐸𝐹
=
𝐴𝐶
𝐷𝐹
= 𝐾 
 
Exemplo: 
Por exemplo, os triângulos abaixo são semelhantes: 
 
 
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https://www.infoescola.com/matematica/tipos-de-triangulos/
https://www.infoescola.com/matematica/angulos/
https://www.infoescola.com/matematica/angulos/
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MUDE SUA VIDA! 
219 
 
 
Os ângulos são congruentes (iguais) e os lados homólogos são proporcionais. 
 
Note que 
 
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐵𝐶
𝐸𝐹
=
𝐴𝐶
𝐷𝐹
=
4
2
=
8
4
=
6
3
= 2 . 
 
A razão de semelhança será k = 2. Podemos dizer que o triângulo ABC é 2 vezes maior 
que DEF ou que DEF é duas vezes menor que ABC. 
 
PROPRIEDADES 
 
Da definição de triângulos semelhantes decorrem as seguintes propriedades: 
 
 reflexiva: um triângulo é semelhante a ele mesmo. 
 
∆𝐴𝐵𝐶 ~∆𝐴𝐵𝐶 
 
 simétrica: se △ABC o é semelhante ao △DEF , então o △DEF é semelhante 
ao △ABC . 
 
∆𝐴𝐵𝐶 ~∆𝐴𝐵𝐶 ↔ ∆𝐷𝐸𝐹 ~∆𝐴𝐵𝐶 
 
 
 transitiva: se o △ABC é semelhante ao △DEF, e △DEF é semelhante a outro △JKL, 
então o △ABC é semelhante ao △JKL. 
 
{{
∆𝐴𝐵𝐶 ~∆𝐷𝐸𝐹
∆𝐷𝐸𝐹 ~∆𝐽𝐾𝐿
 ↔ ∆𝐴𝐵𝐶 ~∆𝐽𝐾𝐿 
TEOREMA FUNDAMENTAL 
 
Se houver uma reta paralela a
um dos lados de um triângulo e ela intercepta os outros 
dois lados em pontos distintos, dois triângulos serão formados e eles serão semelhantes. 
 
 
 
CASOS DE SEMELHANÇA 
 
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MUDE SUA VIDA! 
220 
 
Para se verificar que dois triângulos são semelhantes, não é necessário conferir se todos 
os lados homólogos são proporcionais e que todos os ângulos são congruentes. Há alguns 
casos em que a detecção da semelhança é facilitada. 
 
CASO AA (ÂNGULO, ÂNGULO) 
 
Sejam dois triângulos ABC e DEF. Eles serão semelhantes se, e somente se, dois de seus 
ângulos forem congruentes. 
 
 
 
{
𝐵 = 𝐸
𝐶 = 𝐹 
↔ ∆𝐴𝐵𝐶 ~∆𝐷𝐸𝐹 
 
CASO LAL (LADO, ÂNGULO, LADO) 
 
Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem dois lados 
respectivamente proporcionais e se os ângulos formados por esses lados forem congruentes. 
 
 
{
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐵𝐶
𝐸𝐹
𝐵 = 𝐹 
↔ ∆𝐴𝐵𝐶 ~∆𝐷𝐸𝐹 
 
 
CASO LLL (LADO, LADO, LADO) 
 
Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem os três lados 
respectivamente proporcionais. 
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
221 
 
 
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐵𝐶
𝐸𝐹
=
𝐴𝐶
𝐷𝐹
 ↔ ∆𝐴𝐵𝐶 ~∆𝐷𝐸𝐹 
 
A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é dada pelo quadrado da razão de 
semelhança entre eles. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Qual o valor de X nos triângulos a seguir? 
 
a) 48 cm 
b) 49 cm 
c) 50 cm 
d) 24 cm 
e) 20 cm 
Gabarito: letra a 
Como os dois triângulos são semelhantes pelo caso AA. Temos que descobrir 
o lado semelhante ao lado de x por teorema de Pitágoras. 
 
30² = 18² + 𝑦² 
 
900 = 324 + 𝑦² 
 
𝑦² = 900 − 324 
 
𝑦² = 576 
 
𝑦² = √576 
 
𝑦 = 24 𝑐𝑚 
 
Como os lados dos triângulos são proporcionais, para descobrir a medida de 
X, basta usar a proporção entre os lados. 
 
18
36
=
24
𝑥
 
 
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222 
 
18𝑥 = 36 . 24 
 
18𝑥 = 864 
 
𝑥 =
864
18
 
 
𝑥 = 48 𝑐𝑚 
 
 
 
2. Na imagem a seguir, é possível perceber dois triângulos que compartilham parte de 
dois lados. Sabendo que os segmentos BA e DE são paralelos, qual a medida de x? 
 
 
a) 210 m 
b) 220 m 
c) 230 m 
d) 240 m 
e) 250 m 
Gabarito: letra e 
Quando um é cortado por um segmento de reta paralelo a um de seus lados, 
esse segmento forma um segundo triângulo menos e semelhante ao primeiro. 
Portanto basta aplicar a proporção: 
 
400
𝑥
=
160
100
 
 
160 𝑥 = 400 . 100 
 
160 𝑥 = 40000 
 
 𝑥 =
40000
160
 
 
𝑥 = 250 𝑚 
 
 
3. O soldado Ryan reside no 13 andar de um prédio de 15 andares. Sabe-se a distância 
entre o piso do andar onde mora o soldado Ryan e o piso térreo é de 39 m. Uma pessoa 
com altura de 1,8 m na parada ao lado desse edifício projeta uma sombra de 30 cm, 
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MUDE SUA VIDA! 
223 
 
conforme figura abaixo. Neste mesmo instante, a sombra projetada pelo edifício onde 
mora o soldado Ryan é igual a: 
 
a) 7m 
b) 8m 
c) 9m 
d) 10m 
e) 11m 
 
 
 
Gabarito: letra b 
Temos que Ryan mora no 13º andar e que a distância do seu piso até o piso 
térreo é de 39 metros. 
Considerando que cada andar é da mesma altura, temos 12 andares mais o 
térreo, ou seja, 13 pavimentos. 
Se são 39 metros, e 13 pavimentos, cada pavimento mede 3 metros de 
altura. Somando-se as alturas dos andares 13, 14 e 15, temos que o edifício mede 
48 metros. 
Sabendo que o sol forma o mesmo angulo com o prédio e com a pessoa, 
podemos calcular usando semelhança de triângulos. 
 
48
𝑥
=
1,8
0,3
 
 
1,8 𝑥 = 0,3 . 48 
 
1,8 𝑥 = 14,4 
 
 𝑥 =
14,4
1,8
 
 
𝑥 = 8 𝑚 
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224 
 
 
A figura abaixo (meramente ilustrativa e fora de escala) representa um triângulo ABC 
retângulo em A, dividido em dois triângulos, ACD e ABD, ambos retângulos em D. 
 
a) 6 cm 
b) 7,2 cm 
c) 8 cm 
d) 8,4 cm 
e) 9 cm 
 
Gabarito: letra a 
Aplicando a semelhança de triângulos temos: 
 
4
ℎ
=
ℎ
9
 
 
ℎ. ℎ = 4 .9 
 
ℎ² = 36 
 
ℎ = √36 
 
ℎ = 6 
 
 
TEOREMA DE TALES 
 
Tales de Mileto foi um importante filósofo, astrônomo e matemático grego que viveu 
antes de Cristo. Ele usou seus conhecimentos sobre Geometria e proporcionalidade para 
determinar a altura de uma pirâmide. Em seus estudos, Tales observou que os raios solares 
que chegavam à Terra estavam na posição inclinada e eram paralelos, dessa forma, ele 
concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos 
objetos, observe a ilustração: 
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
225 
 
 
Com base nesse esquema, Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide com base no 
tamanho da sua sombra. Para tal situação ele procedeu da seguinte forma: fincou uma estaca 
na areia, mediu as sombras respectivas da pirâmide e da estaca em uma determinada hora do 
dia e estabeleceu a proporção: 
 
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒
𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒
=
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎
𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎
 
 
 
 
O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência: 
 
“Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois 
segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os segmentos correspondentes da 
outra”. 
TEOREMA DE TALES NA PRÁTICA 
 
Um conceito complementar ao de reta é o feixe, que basicamente é um conjunto de retas 
paralelas. Imagine três retas paralelas (a, b e c) destacadas em um plano, elas formam um 
feixe de retas paralelas. Caso uma quarta reta cruze as três, ela então será chamada de reta 
transversal. 
O feixe de retas paralelas pode formar segmentos de reta congruentes sobre uma reta 
transversal. Nesse caso, o feixe também dá origem a segmentos congruentes em outras retas 
transversais. Na imagem abaixo, é possível observar um feixe de retas paralelas interceptado 
por duas retas transversais que deram origem aos segmentos de reta: 
 
 
Na imagem acima, as retas a, b e c são paralelas e as retas r e r’ são transversais. De 
acordo com o Teorema de Tales é estabelecida a seguinte relação: 
 
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
𝐴′𝐵′
𝐵′𝐶′
 
 
 
A relação contempla noções de razão e proporção. O segmento AB está para o segmento 
BC, do mesmo modo que o segmento A’B’ está para o segmento B’C’. A igualdade entre as 
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MUDE SUA VIDA! 
226 
 
razões forma uma proporção, cujo cálculo é feito através da multiplicação cruzada ou de 
acordo com a propriedade das proporções. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Calcule o valor de X na figura abaixo: 
 
 
Gabarito: x = 9 
Aplicando o Teorema de Tales pode-se montar a seguinte proporção: 
 
2𝑥 − 2
3𝑥 + 1
=
4
7
 
 
7 . (2𝑥 − 2) = 4 . (3𝑥 + 1) 
 
14𝑥 − 14 = 12𝑥 + 4 
 
14𝑥 − 12𝑥 = 4 + 14 
 
2𝑥 = 18 
 
𝑥 =
18
2
 
 
𝑥 = 9 
 
2. Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura. As divisas laterais 
são perpendiculares à rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote, sabendo que 
a frente total para essa rua tem 180m? 
 
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MUDE SUA VIDA! 
227 
 
Gabarito: Lote 1 = 80 metros 
Lote 2 = 60 metros 
Lote 3 = 40 metros 
Se adotarmos a seguinte nomenclatura para os lotes: 
 
 
Agora basta aplicar o Teorema de Tales: 
 
𝑥
40
=
𝑦
30
=
𝑧
20
=
𝑥 + 𝑦 + 𝑧
40 + 30 + 20
=
180
90
= 2 
 
𝑥
40
= 2 
 
𝑥 = 2 . 40 
 
𝑥 = 80 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
 
𝑦
30
= 2 
 
𝑦 = 2 . 30 
 
𝑦 = 60 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
 
𝑧
20
= 2 
 
𝑧 = 2 . 20 
 
𝑧 = 40 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
 
 
3. A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. 
Nesse mesmo instante, a sombra, de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. 
Qual a altura
do poste? 
 
Gabarito: 20 metros 
 
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MUDE SUA VIDA! 
228 
 
Ilustrando a situação temos: 
 
 
Aplicando o Teorema de Tales temos: 
 
𝑥
12
=
1
0,6
 
 
0,6𝑥 = 12 . 1 
 
0,6𝑥 = 12 
 
𝑥 =
12
0,6
 
 
𝑥 = 20 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
4. Sabendo que r // s // t // u, calcule o valor de X 
 
 
a) 5 
b) 1 
c) 10 
d) 8 
e) 6 
 
Gabarito: letra a 
Como a questão mencionou que as retas são paralelas então podemos aplicar 
o Teorema de Tales, onde teremos a seguinte proporção: 
 
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229 
 
4
2
=
10
𝑥
 
 
4𝑥 = 2 .10 
 
4𝑥 = 20 
 
𝑥 =
20
4
 
 
𝑥 = 5 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
O Teorema de Pitágoras é um dos assuntos mais conhecidos da Matemática. Ele é uma 
das primeiras coisas que lembramos quando falamos sobre geometria ou trigonometria. Sua 
descoberta foi importante para a época, pois impulsionou inúmeros outros estudos, os quais 
fizeram com que a matemática avançasse até os dias atuais. Seu enunciado é simples, assim 
como os cálculos envolvidos. 
Esse teorema só pode ser aplicado em um triângulo retângulo, que é aquele onde há um 
ângulo igual a 90°, que chamamos de ângulo reto. Daí o nome, triângulo retângulo. Para 
compreender, veja, abaixo, uma figura. 
O enunciado do Teorema diz o seguinte: 
“O quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma do quadrado das medidas dos 
catetos” 
 
Observando a figura acima, podemos resumir, matematicamente, o enunciado em: 
 
𝐶𝐵² = 𝐴𝐵² + 𝐴𝐶² 
 
𝑎² = 𝑏² + 𝑐² 
 
 
DEMONSTRAÇÃO 
 
Existem muitas demonstrações para o Teorema de Pitágoras. Aqui, vamos explorar uma 
demonstração que toma como base as relações métricas num triângulo retângulo: 
 
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https://www.infoescola.com/matematica/trigonometria/
https://www.infoescola.com/trigonometria/triangulo-retangulo/
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MUDE SUA VIDA! 
230 
 
 
Considerando que o triângulo ABC é congruente ao triângulo DAC, temos a seguinte 
relação: 
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑛
= b² = a . n 
 
 
Considerando que o triângulo ABC é congruente ao triângulo DBA, temos a seguinte 
relação: 
𝑎
𝑐
=
𝑐
𝑚
= c² = a . m 
 
Agora vamos somar, membro a membro essas duas equações: 
 
𝑏² = 𝑎 . 𝑛 
 
𝑐² = 𝑎 . 𝑚 
 
𝑏² + 𝑐² = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑚 
 
𝑏² + 𝑐² = 𝑎(𝑛 + 𝑚) 
Observe que n + m = a, assim: 
𝑏² + 𝑐² = 𝑎(𝑛 + 𝑚) 
 
𝑏² + 𝑐² = 𝑎 2 
 
𝑏² + 𝑐² = 𝑎² 
 
 
 
TERNO PITAGÓRICO 
 
Terno pitagórico é uma sequência numérica no qual três elementos se encaixam 
perfeitamente no Teorema de Pitágoras. Ou seja, dois números que elevados ao quadrado e 
somados (b²+c²) resultarão em um quadrado perfeito (a²) e, consequentemente, em uma raiz 
com número inteiro. 
 
Nestas circunstâncias, os catetos e hipotenusa são chamados de terno pitagórico, trio 
pitagórico ou triângulo pitagórico. Eles foram descobertos quando elevou-se ao quadrado os 
primeiros 5 mil números naturais e os somaram de dois em dois. 
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MUDE SUA VIDA! 
231 
 
 
Esses procedimentos deram origem a 5 primeiros ternos pitagóricos de sequência aleatória. 
Para identificar se as medidas do triângulo formam um terno, basta aplicar a fórmula do 
próprio teorema. 
 
A sequência numérica 3,4 e 5 é um dos mais conhecidos, pois, a partir deles, outros trios 
foram criados. Eles são nomeados de trio pitagórico primitivo. 
 
𝑎² = 𝑏² + 𝑐² 
 
 
Substituindo: 
 
5² = 4² + 3² 
 
25 = 16 + 9 
 
25 = 25 
 
Por meio da multiplicação do trio primitivo com números naturais é possível determinar 
novos ternos. Dessa forma, se escolhemos multiplicá-los por 3, obtemos o trio 9,12 e 15. 
Caso multiplicássemos o 9,12 e 15 por outro número natural encontraríamos outro trio 
e assim sucessivamente. Por isso, existe uma infinidade de ternos pitagóricos: 
 
 6, 8, 10 
 12, 16, 20 
 20, 21, 29 
 13, 84, 85 
 11, 60, 61 
 
O trio primitivo (3,4,5) é o único formado por números consecutivos. Os demais são 
considerados ternos primitivos raros – dois primeiros algarismos naturais consecutivos ou 
sequências de números primos. 
 
NÚMEROS IRRACIONAIS NO TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
O Teorema de Pitágoras deparou-se com um desafio quando o triângulo retângulo 
apresentou catetos de mesma medida (iguais a 1). Dessa maneira, não haveria valor racional 
para a hipotenusa. 
 
A partir desse impasse iniciou-se os estudos para uma nova classificação dos números, os 
irracionais. 
 
Essa categoria é composta por algarismos decimais e infinitos. As frações e sequências 
numéricas não os representam, pois são indivisíveis para números inteiros. O primeiro 
racional encontrado foi a raiz de dois (1,414213562373…) e o mais famoso é o PI 
(3,14592653589793238...). 
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
232 
 
EXERCÍCIOS 
1. Na figura abaixo, que representa o projeto de uma escada de 5 degraus de mesma altura, 
o comprimento total do corrimão é igual a: 
 
a) 1,8 m 
b) 1,9 m 
c) 2,0 m 
d) 2,1 m 
e) 2,2 m 
 
 
Gabarito: letra d 
Observe que a altura entre o primeiro degrau e o corrimão é de 90 cm. 
Somando o comprimento de cada degrau tem-se 120 cm. 
Podemos observar que será formado um triângulo retângulo portanto 
podemos aplicar o Teorema de Pitágoras. 
 
𝑎² = 𝑏² + 𝑐² 
 
𝑎² = 90² + 120² 
 
𝑎² = 8100 + 14400 
 
𝑎² = 22500 
 
𝑎 = √22500 
 
𝑎 = 150 𝑐𝑚 
 
2. Uma piscina olímpica tem formato retangular e possui 25 metros de largura e 50 
metros de comprimento. Qual é a distância percorrida por um nadador que a atravessa 
diagonalmente? 
 
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MUDE SUA VIDA! 
233 
 
Gabarito: 25√5 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
Se a piscina possui um formato retangular, os lados que medem 25 e 50 
formam um ângulo reto entre si, com isso podemos aplicar o Teorema de Pitágoras, 
adotando a diagonal com D temos: 
 
𝑑² = 25² + 50² 
 
𝑑² = 625 + 2500 
 
𝑑² = 3125 
 
𝑑² = √3125 
 
𝑑² = 25√5 
 
3. Um avião percorreu a distância de 5000 metros na posição inclinada, e em relação ao 
solo, percorreu 3000 metros. Determine a altura do avião. 
Gabarito: 4000 metros 
Representando a situação do enunciado temos: 
 
 
Podemos aplicar o Teorema de Pitágoras pois temos um triângulo retângulo. 
 
5000² = 3000² + 𝑥² 
 
25.000.000 = 9.000.000 + 𝑥² 
 
25.000.000 − 9.000.000 = 𝑥² 
 
𝑥² = 16.000.000 
 
𝑥² = √16.000.000 
 
𝑥 = 4000 
 
 
4. A diagonal de um retângulo mede 10 cm, e um de seus lados mede 8 cm. A superfície 
desse retângulo mede: 
a) 40 cm² 
b) 48 cm² 
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MUDE SUA VIDA! 
234 
 
c) 60 cm² 
d) 70 cm² 
e) 80 cm² 
Gabarito: letra b 
Representando o enunciado temos: 
 
 
 
Como o exercício pediu para calcular a área precisamos encontrar a altura 
desse retângulo aplicando o Teorema de Pitágoras: 
 
10² = 8² + 𝑥² 
 
100 = 64 + 𝑥² 
 
𝑥² = 100 − 64 
 
𝑥² = 36 
 
𝑥 = √36 
 
𝑥 = 6 
 
Calculando a área do retângulo temos: 
 
𝐴 = 𝑏. ℎ 
 
𝐴 = 8.6 
 
𝐴 = 48 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
O triângulo é o polígono com menor número de lados, mas é uma das formas 
geométricas mais importantes no estudo da geometria. Sempre intrigou matemáticos desde a 
Antiguidade. Triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo interno medindo 90o. 
Esse tipo de triângulo apresenta propriedades e características muito relevantes. Faremos o 
estudo das relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo. 
 
 
 
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MUDE SUA VIDA! 
235 
 
 
 
 a: hipotenusa; 
 b: cateto; 
 c: cateto; 
 m: projeção do cateto b sobre a hipotenusa; 
 n: projeção do cateto c sobre a hipotenusa; 
 h: altura relativa à hipotenusa. 
 
Com
essas informações iniciais é possível entender e encontrar quatro das relações 
métricas no triângulo retângulo. 
 
São elas: 
 1º a está para c, assim como b está para n, ou seja; 
 
𝑎
𝑐
=
𝑏
𝑛
 
 
𝑎 . ℎ = 𝑏 . 𝑐 
 
 2º h está para m, assim como n está para h; 
 
ℎ
𝑛
=
𝑚
ℎ
 
 
ℎ² = 𝑚 . 𝑛 
 
 3º a está para b, assim como c está para o n; 
𝑎
𝑐
=
𝑐
𝑚
 
 
𝑐² = 𝑎 . 𝑚 
 
 
 4º a está para b, assim como b está para m; 
𝑎
𝑏
=
b
m
 
 
𝑏² = 𝑎 . 𝑚 
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236 
 
EXERCÍCIOS 
1. Quando a hipotenusa de um triângulo retângulo for 64 cm e uma de suas projeções 
medir 16 centímetros, qual será a medida do cateto adjacente da projeção? 
 
Gabarito: 32 cm 
Como a questão tratou da hipotenusa e de uma projeção basta aplicarmos: 
 
𝑏² = 𝑎 . 𝑚 
 
𝑏² = 64 . 16 
 
𝑏² = 1024 
 
𝑏² = √1024 
 
b = 32 cm 
 
2. Dado um triângulo ABC, retângulo em A e com lados AB = AC = 10 cm, qual a medida do 
terceiro lado? 
 
a) 10√2 
b) 15√2 
c) 17√2 
d) 14√2 
e) 9√2 
 
Gabarito: letra a 
Como o enunciado falou q o triângulo é retângulo em A, então temos os dois 
catetos que são iguais basta descobrirmos a hipotenusa sendo: 
 
ℎ² = 𝑎² + b² 
 
ℎ² = 10² + 10² 
 
ℎ² = 100 + 100 
 
ℎ² = 200 
 
ℎ² = √200 
 
h = 10√2 
 
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237 
 
3. Calcule a altura do triângulo abaixo: 
 
 
Gabarito: 40 
A relação que deve ser aplicada nesse triângulo é que o quadrado da altura e 
igual ao produto das projeções sendo assim temos: 
 
ℎ² = 𝑚 . n 
 
𝑧² = 16 . 25 
 
𝑧² = 400 
 
𝑧 = 40 
 
 
4. Encontre o valor de X, Y e Z no triângulo retângulo abaixo: 
 
 
Gabarito: x= 2√5 , y= 4 e z =10 
Para calcular z temos: 
𝑧 = 8 + 2 
 
𝑧 = 10 
 
Agora pra calcular x vamos usar a fórmula: 
 
𝑐² = 𝑎 . 𝑚 
 
𝑥² = 10 . 2 
 
𝑥² = 20 
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238 
 
 
𝑥² = √20 
 
𝑥 = 2√5 
 
Para calcular y vamos utilizar a fórmula: 
 
ℎ² = 𝑚 . 𝑛 
 
𝑦² = 8 . 2 
 
𝑦² = 16 
 
𝑦² = √16 
 
𝑦 = 4 
 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
A Trigonometria está presente em diversas situações cotidianas, sendo considerada um 
dos mais antigos estudos da humanidade. A relação das medidas de comprimento com os 
valores dos ângulos surgiu da necessidade de calcular distâncias inacessíveis, sendo os 
estudos relacionados à Astronomia, Agrimensura e Navegação os primeiros a usarem as 
relações trigonométricas. Feita essa observação, as razões trigonométricas no triângulo 
retângulo são: 
 
 
 
 
 
SENO 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑄 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
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239 
 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑄 =
𝑎
𝑐
 
 
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa. 
 
COSSENO 
 
𝑐𝑜𝑠 𝑄 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
𝑐𝑜𝑠 𝑄 =
𝑏
𝑐
 
 
 
Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa. 
 
TANGENTE 
 
𝑡𝑔 𝑄 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
 
𝑡𝑔 𝑄 =
𝑎
𝑏
 
 
 
Lê-se cateto oposto sobre o cateto adjacente. 
 
Vale lembrar que pelo conhecimento de um ângulo agudo e a medida de um dos lados de 
um triângulo retângulo, pode-se descobrir o valor dos outros dois lados. 
É de extrema importância compreender os ângulos notáveis, esse tipo de ângulo possui 
valores fixos e são determinantes em casos de aplicações cotidianas. Os ângulos de 30º, 45º e 
60º. Os valores das relações envolvendo esses ângulos são representados por uma tabela de 
razões trigonométricas sendo ela: 
 
 
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240 
 
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO 
 
 
O círculo trigonométrico é utilizado para auxiliar nas relações trigonométricas. Acima, 
podemos encontrar as principais razões, sendo que o eixo vertical corresponde ao seno e o 
eixo horizontal ao cosseno. Além delas, temos as razões inversas: secante, cossecante e 
cotangente. 
SECANTE 
 
𝑠𝑒𝑐 𝑄 =
1
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜
 
 
 
Lê-se um sobre o cosseno. 
 
COSSECANTE 
 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑄 =
1
𝑠𝑒𝑛𝑜
 
 
 
Lê-se um sobre o seno. 
 
COTANGENTE 
 
𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑄 =
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑠𝑒𝑛𝑜
 
 
 
 
Lê-se cosseno sobre o seno. 
 
 
 
 
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241 
 
EXERCÍCIOS 
1. No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de X e Y indicadas (Use: 
sem 65° = 0,91; cos 65° = 0,42; tg 65° = 2,14) 
 
 
 
Gabarito: x=8,19 e y=3,78 
Para encontrarmos o valor de X temos a relação do Seno portanto: 
 
𝑠𝑒𝑛 65 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
0,91 =
𝑥
9
 
 
x = 0,91 . 9 
 
x = 8,19 
Para encontrarmos o valor de y temos a relação do Cosseno portanto: 
 
𝑐𝑜𝑠 65 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
0,42 =
𝑥
9
 
 
x = 0,42 . 9 
 
x = 3,78 
 
 
2. Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 20°. Após percorrer 2000 metros em 
linha reta, qual será a altura atingida pelo avião, aproximadamente? ( Utilize: sen 
20°=0,342; cos20°=0,94 e tg20°= 0,364) 
 
Gabarito: 684 metros 
Ilustrando a situação do exercício temos: 
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242 
 
 
Portanto basta aplicarmos seno de 20° 
 
𝑠𝑒𝑛 20° =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
0,342 =
ℎ
2000
 
 
ℎ = 0,342 . 2000 
 
ℎ = 684 metros 
 
 
3. Qual a medida do cateto na figura a seguir? 
 
a) 10 cm 
b) 15 cm 
c) 20 cm 
d) 25 cm 
e) 30 cm 
 
 
Gabarito: letra b 
Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: 
 
25² = x² + 20² 
 
652 = x² + 400 
 
x² = 625 − 400 
 
x² = 225 
 
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243 
 
x² = √225 
 
x = 15 cm 
 
4. Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a um plano horizontal. 
Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que 
sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900km/h, a que altura em 
relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o 
lançamento? 
 
a) 0,333 km 
b) 0,625 km 
c) 0,5 km 
d) 1,3 km 
e) 1 km 
 
Gabarito: letra b 
Como ele tem velocidade média de 900 km/h, e uma hora possui 3600 
segundos, temos que a velocidade em km/seg é de 900/3600 = 0,25 km/seg. 
Como queremos saber a distância após 5 segundos, ele viajou 0,25 x 5 = 1,25 km. 
 
 
 
Observe o triângulo que representa a trajetória do projétil. Desejamos 
descobrir a altura, ou seja, o valor de x. 
 
Temos que: 
 
sen30° =
cateto oposto
hipotenusa
 
 
0,5 =
x
1,25
 
 
x = 1,25 . 0,5 
 
x = 0,625 km 
 
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