CISALHAMENTO E FLEXAS NAS LAJES MACIÇAS

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<p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Outubro / 2022</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>Módulo 5 – Cisalhamento e flechas</p><p>nas lajes maciças</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem</p><p>Uso de Software Comercial</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>2</p><p>Módulo 5</p><p>Aula preliminar – Estados limites últimos e de serviço</p><p>Os estados limites serão apresentados com base na ABNT NBR 6118, nos itens 3.2</p><p>e 10.</p><p>Os estados limites são situações da estrutura relacionadas a:</p><p>• Colapso ou qualquer outra forma de paralização do uso;</p><p>• Desempenho inadequado da estrutura.</p><p>Eles são classificados em:</p><p>• Estados limites últimos, referentes às situações de ruína;</p><p>• Estados limites de serviço, relativos ao uso em serviço.</p><p>Os estados limites últimos (ELU) correspondem:</p><p>• À perda do equilíbrio como corpo rígido: tombamento, escorregamento ou</p><p>levantamento;</p><p>• Ao esgotamento da capacidade resistente devido às solicitações normais e</p><p>tangenciais;</p><p>• À ruptura do concreto;</p><p>• Ao escoamento excessivo da armadura;</p><p>• À aderência ultrapassada: escorregamento da barra;</p><p>• Aos efeitos de segundo ordem;</p><p>• À instabilidade;</p><p>• Às solicitações dinâmicas: fadiga, ressonância;</p><p>• Ao colapso progressivo;</p><p>• À exposição ao fogo;</p><p>• Às ações sísmicas;</p><p>• À transformação em mecanismo: estrutura hipostática.</p><p>Os estados limites de serviço (ELS) correspondem ao conforto do usuário,</p><p>durabilidade, aparência e boa utilização da estrutura. E podem ser representados por:</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>3</p><p>Módulo 5</p><p>• Formação de fissuras, que levam à perda de rigidez;</p><p>• Abertura de fissuras, que comprometem o aspecto visual e a durabilidade;</p><p>• Deformações excessivas (flechas);</p><p>• Vibrações excessivas, que levam ao desconforto das pessoas ou danos a</p><p>equipamentos sensíveis.</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>4</p><p>Módulo 5</p><p>Aula 1 – Verificação de cisalhamento em lajes maciças</p><p>Lajes maciças de edifícios resistem bem à flexão, como foi visto no módulo anterior,</p><p>e podem ter como efeito predominante a deformabilidade em serviço (Flechas), no Estado</p><p>Limite de Serviço relativo a Deformações Excessivas, ELS-DEF, que será visto nas aulas</p><p>seguintes.</p><p>Em geral, as lajes maciças resistem com folga ao cisalhamento, que é o assunto</p><p>desta aula.</p><p>Lajes sem armadura para força cortante correspondem quase à totalidade dos casos</p><p>em edifícios. A verificação dessas lajes será feita com base no item 19.4.1 da</p><p>ABNT NBR 6118:2014. Esta norma será bastante citada ao longo do curso e para evitar</p><p>repetição será tratada muitas vezes como “a norma”.</p><p>A verificação de cisalhamento das lajes maciças será feita por meio de uma das</p><p>desigualdades: VSd ≤ VRd1 ou VRd1 ≥ VSd VSd é a força cortante à distância d da face do apoio (VSd,d ), dada por: VSd = f VSk (f = 1,4, em geral)</p><p>No cálculo usual, a favor da segurança, podem ser adotados:</p><p>– VSd,face na face do apoio ou</p><p>– VSd,eixo no eixo do apoio VRd1 é a força cortante resistente de cálculo. Para lajes sem protensão, essa força</p><p>cortante resistente é dada por: VRd1 = τRd k (1,2 + 40 ρ1) bw d</p><p>O cálculo de τRd , que é a tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento,</p><p>é baseado no Item 19.4.1 da Norma: τRd = 0,25 fctd</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>5</p><p>Módulo 5</p><p>fctd = fctk,inf /γc</p><p>De acordo com o item 8.2.5 da Norma: − fctk,inf = 0,7 fctm ; − fctm = 0,3 fck2/3 (Fórmula válida para concretos de classe até C50).</p><p>Substituindo as fórmulas de fctk,inf e fctm na equação de τRd , resulta:</p><p>τRd = 0,25 fctd = 0,25 fctk,inf γc = 0,25 ∙ 0,7 fctmγc = 0,25 ∙ 0,7 ∙ 0,3 fck2/3γc = 0,0525 fck2/3γc</p><p>Para γc = 1,4:</p><p>τRd = 0,0525 fck2/31,4 → τRd = 0,0375 fck2/3</p><p>Considerando classe de concreto C25: τRd = 0,0375 ∙ 252/3 = 0,3206 MPa</p><p>Analisando a fórmula de VRd1 mostrada, percebe-se que, além de τRd , VRd1 depende</p><p>também dos valores de k, ρ1, bw e d. O k é igual a 1 nos casos em que 50% da armadura</p><p>inferior não chega até os apoios; nos demais casos, pode-se admitir que k = |1,6– d| ou k =1, o maior deles, com d em metros. Este é o caso que nos interessa porque em geral a</p><p>armadura inferior chega totalmente aos apoios. Já ρ1 é dado por:</p><p>ρ1 = As1bw d , não maior que |0,02|</p><p>As1 é a área da armadura de tração na face do apoio, bw é igual a 1 m = 100 cm e d</p><p>é a altura útil da seção.</p><p>No projeto deste curso, será feita a verificação para o maior valor da força cortante</p><p>no eixo do apoio, que coincide com o valor da reação de apoio. No desenho unifilar a seguir,</p><p>são mostrados os valores das reações de apoio de todas as lajes:</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>6</p><p>Módulo 5</p><p>Nota-se que o maior valor se refere à laje L5, ou seja, 12,31 kN/m. Portanto, para</p><p>uma faixa de 1 m = 100 cm de largura: VSk = 12,31 kN (No eixo do apoio, a favor da segurança) VSd = 1,4 ∙ 12,31 VSd = 17,23 kN</p><p>Como foi visto, a força cortante resistente é dada por: VRd1 = τRd k (1,2 + 40 ρ1) bw d</p><p>Para concreto de classe C25 e considerando γc = 1,4, viu-se que τRd = 0,3206 MPa,</p><p>ou seja, τRd = 0,03206 kN/cm 2.</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>7</p><p>Módulo 5</p><p>De acordo com a Aula 8 do Módulo 4, Laje L5, para momento positivo na direção</p><p>vertical, a altura útil é d = 7,1 cm, para a qual resultou armadura positiva constituída por</p><p> 8 c/ 16 cm, que corresponde a uma área efetiva ase = 3,14 cm²/m.</p><p>Com esse valor de d, pode-se obter o valor de k: k = |1,6 – d| = 1,6 – 0,071 = 1,529 m > 1,0 → k = 1,529</p><p>Para As1 = 3,14 cm² na faixa de bw = 100 cm:</p><p>ρ1 = As1bw d = 3,14100 ∙ 7,1 = 0,00442 = 0,442 %</p><p>Agora, pode-se determinar o valor de VRd1 : VRd1 = τRd k (1,2 + 40 ρ1) bw d VRd1 = 0,03206 ∙ 1,529 ∙ (1,2 + 40 ∙ 0,442/100) ∙ 100 ∙ 7,1 VRd1 = 47,92 kN</p><p>Como VRd1 = 47,92 kN ≥ V Sd = 17,23 kN , a verificação é satisfeita com folga. Nos</p><p>demais casos desse pavimento tipo, como os valores de VSd são menores, a verificação</p><p>também é satisfeita</p><p>com folga.</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>8</p><p>Módulo 5</p><p>Exercícios propostos</p><p>1) Defina o que são 𝑽𝑺𝒅, 𝑽𝑹𝒅𝟏 e 𝝉𝑹𝒅.</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>9</p><p>Módulo 5</p><p>Exercícios resolvidos</p><p>1) Defina o que são 𝑽𝑺𝒅, 𝑽𝑹𝒅𝟏 e 𝝉𝑹𝒅. 𝑉𝑆𝑑 é a força cortante à distância d da face do apoio, 𝑉𝑅𝑑1 é a força cortante resistente de cálculo e 𝜏𝑅𝑑 é a tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento.</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>10</p><p>Módulo 5</p><p>Aula 2 – Lajes com maiores flechas</p><p>No cálculo de flechas em lajes com carga uniforme, a flecha inicial ou imediata ai</p><p>(assim chamada porque ocorre no instante da aplicação da carga, cujo cálculo será visto</p><p>em detalhes na Aula 5 deste Módulo 5) é dada por:</p><p>ai = α100 ∙ b12 ∙ pℓx4EcI</p><p>α → Coeficiente indicado nas Tabelas de Lajes, Tabela 2.5a; b → Largura da seção (100 cm); p → Carga uniforme, em kN/cm²; ℓx → Menor vão, em cm; Ec → Módulo de deformação, em kN/cm²; I → Momento de inércia da seção, em cm4.</p><p>Nota-se que há grande influência de ℓx no valor de ai, pois ele está elevado à quarta</p><p>potência (ℓx4).</p><p>A figura indicada na página seguinte mostra o desenho unifilar visto no Módulo 2 –</p><p>Aula 3 e indica os dados que foram utilizados para o pré-dimensionamento. Por exemplo,</p><p>nas maiores lajes L1 = L6, o número de bordas engastadas foi adotado n = 1 . Na laje L2 = L7, o n = 2 . E na L5, o n = 2 também.</p><p>A partir desses dados, foi construída a tabela que se encontra na sequência (também</p><p>vista no Módulo 2 – Aula 3), a qual mostra em detalhes como é feito o pré-dimensionamento</p><p>das lajes. No pré-dimensionamento, foram considerados somente ℓx , ℓy e o número de</p><p>bordas engastadas, indicado pela letra “n”.</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>11</p><p>Módulo 5</p><p>LAJE L1 = L6 L2 = L7 L5 ℓx 394,5 394,5 396 ℓy 476 516 473 0,7 ℓy 333,2 361,2 331,1 ℓ* 333,2 361,2 331,1 n 1 2 2 dest 8 8,3 7,6 hest (a) 11 11,3 10,6 h 10 10 10 Dimensões em centímetros ℓx é o menor vão da laje e ℓy, o maior ℓ* é menor valor entre o ℓx e ℓy n é número de bordas engastadas (mais detalhes no Módulo 3) dest = (2,5 – 0,1 n) ℓ*/100 (Claudinei Pinheiro Machado) hest = dest + 3 cm (Adotado c + ∅𝓵/2 = 3 cm) (a) Pode ser adotado até 2 cm menos: verificar flecha no final</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>12</p><p>Módulo 5</p><p>No cálculo de dest , o valor de 3 cm foi obtido adotando-se cobrimento de 2,5 cm e</p><p>bitola de 10 mm.</p><p>Aparentemente, a pior laje é L2 = L7. Nessa laje, subtraiu-se 1,3 cm da altura</p><p>calculada para que a sua altura ficasse igual à das demais lajes, com 10 cm. Entretanto, há</p><p>outros fatores que interferem na definição do pior caso. A laje L5, por exemplo, mesmo com</p><p>uma menor altura estimada (10,6 cm), possui uma carga maior.</p><p>Outros fatores também interferem, entre eles a carga p, o valor ℓx4 e razão dos vãos</p><p> = ℓy /ℓx . Portanto, a carga influi linearmente (p com expoente 1), mas há grande influência</p><p>do menor vão (ℓx4).</p><p>As possíveis lajes críticas são, portanto: L1 (= L6), L2 (= L7) e L5. As demais lajes</p><p>têm valores de ℓx pequenos.</p><p>No Módulo 3 - Aula 2, foi elaborada a seguinte tabela das cargas nas lajes:</p><p>LAJE L1 = L6 L2 = L7 L3 L4 L5</p><p>Características</p><p>Tipo 2A 3 5B 5A 4A ℓx (m) 3,95 3,95 1,39 1,20 3,96 ℓy (m) 4,76 5,16 3,28 4,73 4,73</p><p> = ℓy/ℓx 1,21 1,31 2,36 3,94 1,19</p><p>Ações (kN/m2)</p><p>Peso Próprio 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 Piso + Revestimento 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 Paredes 0,00 0,00 0,00 0,00 2,96 g 3,50 3,50 3,50 3,50 6,46 q 1,50 1,50 1,50 1,50 1,50 p 5,00 5,00 5,00 5,00 7,96</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>13</p><p>Módulo 5</p><p>Nessa tabela, gk é carga permanente, qk é a carga variável e pk, a carga total (gk + qk), com todas essas cargas indicadas em seus valores característicos.</p><p>Todas as lajes têm a mesma carga gk = 3,50 kN/m², exceto a L5 (6,46 kN/m²), que</p><p>tem um valor maior por conta das cargas de paredes.</p><p>As cargas variáveis são as mesmas ( q = 1,50 kN/m² ), inclusive na L5, e todas as</p><p>lajes têm mesma carga total p = 5,00 kN/m², exceto a L5 (7,96 kN/m²).</p><p>Devido à carga ser maior na L5, sua flecha também pode ser maior. O vão dessa</p><p>laje, ℓx = 3,96 m, é pouco maior que o das lajes L1 e L2 ( ℓx = 3,95 m). Assim, a verificação</p><p>da flecha será feita primeiro na L5, considerando que: gk = 6,46 kN/m² qk = 1,50 kN/m² h = 10 cm</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>14</p><p>Módulo 5</p><p>Exercícios propostos</p><p>1) Em lajes com carga uniforme, qual a grandeza que tem maior importância no</p><p>cálculo da flecha inicial 𝒂𝒊? Por quê?</p><p>2) Definir o que são 𝒈, 𝒒 e 𝒑 no cálculo de ações nas lajes, e descrever como</p><p>obter estes valores.</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>15</p><p>Módulo 5</p><p>Exercícios resolvidos</p><p>1) Em lajes com carga uniforme, qual a grandeza que tem maior importância no</p><p>cálculo da flecha inicial 𝒂𝒊? Por quê?</p><p>A grandeza que tem maior importância no cálculo da flecha inicial é ℓ𝑥 , porque a</p><p>flecha inicial 𝑎𝑖 é diretamente proporcional ao valor de ℓ𝑥 elevado à quarta potência.</p><p>2) Definir o que são 𝒈, 𝒒 e 𝒑 no cálculo de ações nas lajes, e descrever como</p><p>obter esses valores.</p><p>O valor 𝑔 corresponde à carga permanente, composto pela soma do peso próprio,</p><p>da carga de piso mais revestimento e da carga de paredes. O valor 𝑞 é a carga variável,</p><p>indicada pela NBR 6120, e 𝑝 é a carga total, ou seja, a soma de 𝑔 e 𝑞, sendo todos eles</p><p>valores característicos.</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>16</p><p>Módulo 5</p><p>Aula 3 – Momento de fissuração e verificação se há fissuras</p><p>É necessário avaliar a influência da fissuração na deformabilidade da laje. O</p><p>momento fletor que mais influi na deformabilidade da laje é o maior momento positivo,</p><p>principalmente se houver fissuração devida a esse momento.</p><p>Por esse motivo, o maior momento positivo em serviço é o que interessa, admitindo</p><p>combinação rara. Deve-se destacar que, segundo o item 11.8.3.1c da NBR 6118:2014, a</p><p>consideração da combinação rara “pode ser necessária” – não indica dever, portanto, a</p><p>decisão é de responsabilidade do engenheiro. Entretanto, a adoção da combinação rara é</p><p>mais prudente – por isso ela será adotada.</p><p>Como será considerada a combinação rara, o momento fletor de cálculo é igual ao</p><p>momento característico mk , de acordo com a Tabela 11.4 da norma. Portanto, esse valor</p><p>já é conhecido, e como ele é um pouco maior do que o da combinação quase permanente,</p><p>ele está a favor da segurança.</p><p>De acordo com desenho unifilar com momentos fletores das lajes (Módulo 3 – Aula</p><p>5), o maior momento fletor positivo é o myk da L5:</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>17</p><p>Módulo 5</p><p>Portanto: md,rara = myk = 610 kN ∙ cm/m</p><p>Esse valor deve ser comparado com momento de fissuração ( mr), dado pelo Item</p><p>17.3.1 da Norma:</p><p>mr = αr ∙ fct ∙ Ic yt</p><p>αr = 1,5 para seções retangulares; αr → correlaciona aproximadamente fct,f com fct (tração direta); fct → resistência do concreto à tração direta; fctk,inf → ELS-F (Formação de fissuras);</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>18</p><p>Módulo 5</p><p>fct,m → ELS-DEF (Deformações excessivas).</p><p>Pelo Item 8.2.5 da Norma (fct,m e fck em MPa): fct = fct,m = 0,3 fck2/3 (Concretos de classe até C50)</p><p>Considerando concreto de classe C25: fct = 0,3 ∙ 252/3 = 2,565 MPa = 0,2565 kN/cm 2</p><p>Considerando uma faixa de laje com largura igual a 1 m = 100 cm e altura de 10 cm,</p><p>o momento de inércia Ic da seção é dado por:</p><p>Ic = b ∙ h312 = 100 ∙ 10312 = 8333 cm4</p><p>O yt é a distância da fibra mais tracionada (face inferior, para momentos positivos)</p><p>até a linha neutra (LN) da seção. Essa linha neutra é admitida para seção de concreto</p><p>simples, cujo valor é calculado da seguinte forma: yt = h − x = h − h 2 = h 2 = 10 2 = 5,0 cm⁄ ⁄⁄</p><p>Assim, é possível calcular o valor de mr:</p><p>mr = αr ∙ fct ∙ Icyt = 1,5 ∙ 0,2565 ∙ 83335,0</p><p>mr = 641 kN ∙ cm/m</p><p>Como md,rara = 610 < m r = 641, não há fissuras. Nesse caso, a flecha pode ser</p><p>calculada com o momento de inércia Ic da seção bruta (sem considerar presença da</p><p>armadura).</p><p>Caso contrário (se md,rara > mr ou md,cqp > mr), deve-se empregar momento de</p><p>inércia equivalente ( Ie), que é dado pelo Item 17.3.2.1.1 da Norma. O uso de Ie acarreta</p><p>flechas com valores maiores.</p><p>O procedimento para cálculo de Ie será visto com detalhes no módulo sobre Projeto</p><p>de Viga Biapoiada (V10) – ELS.</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>19</p><p>Módulo 5</p><p>AVISO DE CORREÇÃO</p><p>O cálculo do momento de fissuração mostrado na aula considerou erroneamente o 𝑓𝑐𝑡,𝑚 , quando se deveria utilizar o 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 , para verificação do Estado Limite de Serviço de</p><p>Formação de Fissuras (ELS-F).</p><p>Havendo fissuras, deve-se verificar o Estado Limite de Serviço de Deformação</p><p>Excessiva (ELS-DEF) considerando a seção fissurada, ou seja, desconsiderando a inércia</p><p>da região tracionada do concreto. Essa rotina é mostrada em detalhes no Módulo 16, Aulas</p><p>1 a 12.</p><p>Além disso, deve ser verificada também o Estado Limite de Abertura de Fissuras</p><p>(ELS-W), desconsiderando novamente a inércia da região tracionada do concreto. Esse</p><p>procedimento pode ser visto no mesmo Módulo 16, Aulas 15 a 19.</p><p>O conteúdo desta aula será atualizado assim que possível.</p><p>Exercícios propostos</p><p>1) Qual a combinação de serviço considerada pela NBR 6118:2014 na</p><p>verificação dos estados limites de deformação excessiva?</p><p>2) Nesta aula foi empregada a combinação rara. Por quê?</p><p>3) No cálculo de flechas em lajes, em que situação pode ser usado o momento</p><p>de inércia Ic da seção bruta de concreto? E quando deve ser empregado o momento</p><p>de inércia equivalente Ie?</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>20</p><p>Módulo 5</p><p>Exercícios resolvidos</p><p>1) Qual a combinação de serviço considerada pela NBR 6118:2014 na</p><p>verificação dos estados limites de deformação excessiva?</p><p>Segundo a NBR 6118:2014, no item 11.8.3.1a, a consideração da combinação quase</p><p>permanente pode ser necessária. A Norma indica PODE, e não DEVE. Portanto ela deixa</p><p>a critério do responsável pelo projeto a escolha de outra solução, como, por exemplo, o</p><p>emprego da combinação rara.</p><p>2) Nesta aula foi empregada a combinação rara. Por quê?</p><p>Porque o momento relativo à combinação rara é igual ao momento característico,</p><p>que já é conhecido, e seu valor é um pouco maior do que o da combinação quase</p><p>permanente. Portanto, uso de combinação rara leva a resultados a favor da segurança.</p><p>3) No cálculo de flechas em lajes, em que situação pode ser usado o momento</p><p>de inércia Ic da seção bruta de concreto? E quando deve ser empregado o momento</p><p>de inércia equivalente Ie?</p><p>A flecha em lajes pode ser calculada com o momento de inércia I c da seção bruta</p><p>nos casos em que 𝑚𝑑,𝑐𝑞𝑝 < 𝑚𝑟 ou, a favor da segurança, quando 𝑚𝑑,𝑟𝑎𝑟𝑎 < 𝑚𝑟 .</p><p>O momento de inércia equivalente I e deve ser empregado quando 𝑚𝑑,𝑐𝑞𝑝 > 𝑚𝑟 , ou,</p><p>a critério do engenheiro responsável, 𝑚𝑑,𝑟𝑎𝑟𝑎 > 𝑚𝑟 .</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>21</p><p>Módulo 5</p><p>Aula 4 – Flecha imediata</p><p>Na Aula 2 deste módulo foi visto que, no cálculo de flechas em lajes com carga</p><p>uniforme, a flecha inicial ai (imediata) é dada por:</p><p>ai = α100 ∙ b12 ∙ pℓx4EcI</p><p>ai → flecha inicial (imediata), na aplicação da carga; α → coeficiente tabelado; b → largura da seção (100 cm); p → carga uniforme em kN/cm²; ℓx → menor vão em cm; Ec → módulo de deformação em kN/cm²; I → momento de inércia da seção em cm4.</p><p>Será feito o cálculo da flecha imediata (elástica) da L5, que é a crítica. De acordo</p><p>com a Tabela de lajes 2.5a, é possível notar que α diminui com número</p><p>de bordas</p><p>engastadas e aumenta para  maiores. Deve-se ter em mente que o valor de b é 1 m =100 cm, ai depende linearmente da carga e que há grande influência de ℓx no valor da</p><p>flecha inicial, que aparece na fórmula elevado à quarta potência. Além disso, ai diminui com</p><p>o aumento do módulo de elasticidade Ec, que depende de fck , e do momento de inércia Ic ,</p><p>que depende de h3.</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>22</p><p>Módulo 5</p><p>Agora, será determinado o valor de α, de acordo com a Tabela de lajes 2.5a</p><p>(disponível abaixo do vídeo da aula no portal). À esquerda, a seguir, mostra-se o esquema</p><p>de interpolação utilizado e à direita, parte da Tabela 2.5a:</p><p>A laje L5 é do tipo 4A, conforme destacado na tabela. Por interpolação, α pode ser</p><p>determinado: α − 3,351,19 − 1,15 = 3,74 − 3,351,20 − 1,15 → α − 3,350,04 = 0,390,05 → α = 3,35 + 0,04 ∙ 0,390,05 → α = 3,662</p><p>Também poderia ser adotado o valor mais próximo, α = 3,74 , que é 2% maior.</p><p>Como o cálculo de flecha é, relativamente, uma estimativa grosseira, um erro de 2% é</p><p>desprezível.</p><p>O valor de p é dado por: p = g + 2 ∙ q</p><p>Na Aula 2 deste Módulo, viu-se que g = g k = 6,46 kN/m2 e q = q k = 1,50 kN/m² . O</p><p>2 é o fator de redução de combinação quase permanente para ELS.</p><p>Numa definição adaptada da Tabela 11.4 da Norma, como já foi visto, pode-se dizer</p><p>que a combinação quase permanente pode ser necessária na verificação de ELS-DEF.</p><p>De acordo com o Item 11.8.3.1a da Norma, o valor de 2 é indicado na Tabela 11.2</p><p>dessa Norma, e para cargas acidentais de edifícios residenciais, 2 = 0,3, conforme</p><p>mostrado a seguir.</p><p>λ = ℓyℓx</p><p>Laje Tipo 4A</p><p>Biengastada na direção</p><p>y</p><p>1,15 3,35</p><p>1,19 𝛂</p><p>1,2 3,74</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>23</p><p>Módulo 5</p><p>Assim: p = g + 2 ∙ q = 6,46 + 0,3 ∙ 1,50 = 6,91 kN/m 2 → p = 6,91 ∙ 10 −4 kN/cm2</p><p>O valor de ℓx da laje L5 é: ℓx = 3,96 m = 3,96 ∙ 10 2 cm</p><p>Agora, será determinado o módulo de elasticidade. Segundo o item 8.2.8 da Norma: Eci → módulo de elasticidade inicial Ecs → módulo de elasticidade secante Eci = αE ∙ 5600 √fck → para fck de 20 MPa a 50 MPa</p><p>O valor de αE depende do tipo de agregado (Item 8.2.8 da Norma): αE = 1,2 para basalto e diabásio; αE = 1,0 para granito e gnaisse; αE = 0,9 para calcário;</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>24</p><p>Módulo 5</p><p>αE = 0,7 para arenito.</p><p>Admitindo agregado graúdo constituído por granito, αE = 1,0, ou seja: Eci = 1,0 ∙ 5600 √25 = 28000 MPa Eci = 2800 kN/cm2 (para converter um número de MPa para kN/cm², basta dividir o</p><p>primeiro valor por 10)</p><p>De acordo com o item 8.2.8 da Norma, o módulo de deformação secante é: Ecs = αi ∙ Eci</p><p>αi = 0,8 + 0,2 ∙ fck80 ≤ 1,0</p><p>αi = 0,8 + 0,2 ∙ 2580 → αi = 0,8 + 0,0625 → α i = 0,8625</p><p>Ecs = 0,8625 ∙ Eci = 0,8625 ∙ 2800 = 2415 kN/cm² = 0,2415 ∙ 10 4 kN/cm²</p><p>O cálculo do momento de inércia foi visto na aula anterior:</p><p>Ic = b ∙ h312 = 100 ∙ 10312 = 8333 cm4</p><p>Assim, pode-se estimar o valor da flecha imediata:</p><p>ai = α100 ∙ b12 ∙ p ∙ ℓx 4Ec ∙ I</p><p>ai = 3,662100 ∙ 10012 ∙ 6,91 ∙ 10−4 ∙ 3,964 ∙ 1080,2415 ∙ 104 ∙ 0,8333 ∙ 104</p><p>𝐚𝐢 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟖 𝐜𝐦</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>25</p><p>Módulo 5</p><p>Exercícios propostos</p><p>1) Identifique quais grandezas são diretamente proporcionais ( D ) e quais são</p><p>inversamente proporcionais ( I ) ao valor da flecha inicial:</p><p>( ) 𝐸𝑐 ( ) 𝛼 ( ) 𝐼 ( ) ℓ𝑥 4 ( ) 𝑏 ( ) 𝑝</p><p>2) Aumentar o 𝒇𝒄𝒌 do concreto pode reduzir a flecha inicial de uma laje?</p><p>Por quê?</p><p>3) A determinação do valor de 𝜶 depende de quais grandezas?</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>26</p><p>Módulo 5</p><p>Exercícios resolvidos</p><p>1) Identifique quais grandezas são diretamente proporcionais ( D ) e quais são</p><p>inversamente proporcionais ( I ) ao valor da flecha inicial:</p><p>( I ) 𝐸𝑐 ( D ) 𝛼 ( I ) 𝐼 ( D ) ℓ𝑥 4 ( D ) 𝑏 ( D ) 𝑝</p><p>2) Aumentar o 𝒇𝒄𝒌 do concreto pode reduzir a flecha inicial de uma laje?</p><p>Por quê?</p><p>Porque um maior valor de 𝑓𝑐𝑘 aumentaria o módulo de elasticidade secante, que por</p><p>sua vez reduziria o valor de 𝑎𝑖 .</p><p>3) A determinação do valor de 𝜶 depende de quais grandezas?</p><p>Deve-se conhecer o tipo de vínculo da laje e o valor de 𝜆, de acordo com a Tabela</p><p>de Lajes 2.5a.</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>27</p><p>Módulo 5</p><p>Aula 5 – Flecha diferida e flecha total</p><p>A flecha total, representada por at, é dada por: at = a i + af = a i + αf ∙ ai = a i(1 + αf)</p><p>O índice f refere-se a “flow”, que é a palavra em inglês para fluência. Segundo o item</p><p>17.3.2.1.2 da Norma, af é a flecha relativa à carga de longa duração, em função da fluência.</p><p>Essa flecha também pode ser chamada de flecha diferida. O fator αf é determinado pela</p><p>seguinte expressão:</p><p>αf = 1 + 50 ′</p><p> → Coeficiente que depende do tempo</p><p>′ = As′ /bd (Taxa de armadura comprimida, relativa à seção útil de concreto)</p><p>Pelo Item 4.2.3 da Norma, As′ é a área da armadura longitudinal de compressão (se</p><p>houver). Essa armadura de compressão só existe no caso de armadura dupla. Em lajes,</p><p>em geral, não há. Se não houver, pode-se considerar As′ = 0, que é o caso geral.</p><p>O  é um coeficiente dado em função do tempo, que pode ser obtido com as</p><p>expressões:</p><p>(t) = 0,68(0,996𝑡 )t0,32 para t ≤ 70 meses</p><p>(t) = 2 para t > 70 meses t → tempo, em meses, em que se deseja calcular a flecha diferida</p><p>Pela tabela 17.1, a seguir, pode-se obter valores do coeficiente  em função do</p><p>tempo (incluído t = 0,25 ).</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>28</p><p>Módulo 5</p><p>O valor de  é dado por:</p><p> = (t) − (t0) to → Idade, em meses, relativa à aplicação da carga de longa duração</p><p>Para ′ = 0, tempo infinito ( t  70 meses) e supondo carregamento total na retirada</p><p>do escoramento com t0 = 1 mês:</p><p>αf = 1 + 50′ = 1 + 50 ∙ 0 =  = (t) − (t0) = 2 − 0,68 = 1,32</p><p>A flecha total, para ai = 0,258 obtida na Aula 4 deste módulo, será: at = a i(1 + αf) = 0,258(1 + 1,32) = 0,258 ∙ 2,32 𝐚𝐭 ≅ 𝟎, 𝟔𝟎 𝐜𝐦</p><p>Para ′ = 0, tempo infinito ( t  70 meses) e supondo carregamento total na retirada</p><p>do escoramento com t0 = 0,5 mês (aproximadamente duas semanas):</p><p>αf = 1 + 50′ = 1 + 50 ∙ 0 =  = (t) − (t0) = 2 − 0,54 = 1,46</p><p>A flecha total, para ai = 0,258, será: at = a i(1 + αf) = 0,258(1 + 1,46) = 0,258 ∙ 2,46 𝐚𝐭 ≅ 𝟎, 𝟔𝟑 𝐜𝐦 (5% maior do que a relativa a t0 = 1 mês)</p><p>Para ′ = 0, tempo infinito ( t  70 meses) e supondo carregamento total na retirada</p><p>do escoramento com t0 = 0,25 mês (aproximadamente uma semana):</p><p>αf = 1 + 50′ = 1 + 50 ∙ 0 =  = (t) − (t0) = 2 − 0,44 = 1,56</p><p>Tempo (t)</p><p>em meses</p><p>0 0,25 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 ≥ 70</p><p>Coeficiente</p><p> (t) 0 0,44 0,54 0,68 0,84 0,95 1,05 1,12 1,36 1,64 1,89 2</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>29</p><p>Módulo 5</p><p>A flecha total, para ai = 0,258, será: at = a i(1 + αf) = 0,258(1 + 1,56) = 0,258 ∙ 2,56 𝐚𝐭 ≅ 𝟎, 𝟔𝟔 𝐜𝐦 (10% maior do que a relativa a t0 = 1 mês)</p><p>É importante ter em mente que, quanto mais cedo for aplicada a carga, maior será a</p><p>flecha, ou o contrário, quanto mais tarde for aplicada a carga, menor será a flecha. Deve-</p><p>se lembrar também que a laje deve ter resistência suficiente para resistir o carregamento</p><p>aplicado por ocasião da retirada do escoramento.</p><p>Exercícios propostos</p><p>1) Descrever o processo de cálculo da flecha final.</p><p>2) No cálculo da flecha final, em quais situações se tem ′ ≠ 𝟎?</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>30</p><p>Módulo 5</p><p>Exercícios resolvidos</p><p>1) Descrever o processo de cálculo da flecha final.</p><p>Determina-se (𝑡) e (𝑡0) para se calcular o coeficiente .</p><p>Com o valor de ′ e de , calcula-se o valor do coeficiente 𝛼𝑓 relativo à fluência ao</p><p>longo do tempo. Conhecido o valor da flecha inicial, obtém-se o valor da flecha final, dada</p><p>por 𝑎𝑡 = 𝑎 𝑖(1 + 𝛼𝑓 ).</p><p>2) No cálculo da flecha final, em quais situações se tem ′ ≠ 𝟎?</p><p>No caso de armadura longitudinal de compressão, ou seja, quando a laje requer o</p><p>uso de armadura dupla.</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>31</p><p>Módulo 5</p><p>Aula 6 – Verificação das flechas</p><p>Os valores dos vãos ℓx das lajes maiores (L1 = L6, L2 = L7 e L5) são muito próximos.</p><p>Então, a verificação da flecha será iniciada pela laje L5, que tem a maior carga.</p><p>A flecha limite é dada pela Tabela 13.3 da Norma. O valor crítico, em geral, é o</p><p>relativo à aceitabilidade sensorial, que pode ser calculado da seguinte forma:</p><p>alim = ℓx250</p><p>Para L5, o valor de ℓx é 396 cm, como mostrado no desenho unifilar abaixo:</p><p>𝟑𝟗𝟔 𝐜𝐦</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>32</p><p>Módulo 5</p><p>Portanto:</p><p>alim = ℓx250 = 396250</p><p>alim = 1,58 cm</p><p>A verificação é feita da seguinte maneira: 𝐚𝐭 = 𝟎, 𝟓𝟐 𝐜𝐦 < 𝐚 𝐥𝐢𝐦 = 𝟏, 𝟓𝟖 𝐜𝐦 → OK</p><p>Ou seja, a flecha na L5 é verificada com folga, para o limite de aceitabilidade</p><p>sensorial. Neste e em outros projetos, podem ser necessárias verificações de outros efeitos</p><p>indicados na Tabela 13.3 da Norma.</p><p>Será feita a mesma verificação para as outras possíveis lajes críticas, L1 (= L6) e L2</p><p>(= L7). Na Aula 2 deste Módulo, viu-se que a laje L1 possui uma borda menor engastada e</p><p>as demais apoiadas. Logo, essa laje é do Tipo 2A. Além disso, ℓx = 395 cm e  = 1,21.</p><p>Será admitido que  = 1,20, que é o valor tabelado mais próximo. O respectivo valor de αi</p><p>na Tabela 2.5a é 5,00.</p><p>Ainda na Aula 2, viu-se que gk = 3,50 kN/m² e qk = 1,50 kN/m² . A carga p é</p><p>calculada com a mesma fórmula mostrada na Aula 4 deste módulo, com 2 = 0,3: p = g + 2 ∙ q = 3,50 + 0,3 ∙ 1,50 → p = 3,95 kN/m 2 = 3,95 ∙ 10−4 kN/cm2</p><p>Os valores de Ec, I e (1 + αf) = 2,32 não se alteram, em relação aqueles calculados para a</p><p>laje L5. Conhecidos todos os valores, pode-se determinar a flecha imediata na L1:</p><p>ai = αi100 ∙ b12 ∙ p ∙ ℓx 4Ec ∙ I = 5,0100 ∙ 10012 ∙ 3,95 ∙ 10−4 ∙ 3,954 ∙ 1080,2800 ∙ 104 ∙ 0,8333 ∙ 104</p><p>ai = 0,172 cm</p><p>Multiplicando ai por (1 + αf) = 2,32, obtém-se a flecha total da L1: 𝐚𝐭 = 𝟎, 𝟒𝟎 𝐜𝐦</p><p>O valor limite da flecha da L1 é calculado considerando ℓx = 395 cm:</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>33</p><p>Módulo 5</p><p>alim = ℓx250 = 395250 = 1,58</p><p>Assim, é possível verificar que:</p><p>𝐚𝐭 = 𝟎, 𝟒𝟎 𝐜𝐦 < 𝐚 𝐥𝐢𝐦 = 𝟏, 𝟓𝟖 𝐜𝐦 → OK</p><p>A flecha da L1 também é verificada com folga.</p><p>Será feita agora a verificação da flecha na L2. Nessa laje, as bordas adjacentes são</p><p>engastadas (Tipo 3),  = 1,31 (será considerado 1,30, que é o valor tabelado mais próximo), αi = 3,80 (o valor mais próximo), e os demais valores não se alteram. Assim:</p><p>ai = αi100 ∙ b12 ∙ p ∙ ℓx 4Ec ∙ I = 3,8100 ∙ 10012 ∙ 3,95 ∙ 10−4 ∙ 3,954 ∙ 1080,2800 ∙ 104 ∙ 0,8333 ∙ 104</p><p>ai = 0,131 cm</p><p>Multiplicando por (1 + αf) = 2,32, at será: 𝐚𝐭 = 𝟎, 𝟑𝟎 𝐜𝐦</p><p>O valor limite da flecha na laje L2 é o mesmo da L1:</p><p>alim = ℓx250 = 395250 = 1,58</p><p>Assim, é possível verificar a flecha na L2: 𝐚𝐭 = 𝟎, 𝟑𝟎 𝐜𝐦 < 𝐚 𝐥𝐢𝐦 = 𝟏, 𝟓𝟖 𝐜𝐦 → OK</p><p>Então, a flecha na L2 também está verificada, com mais folga ainda. Portanto, a</p><p>altura h = 10 cm das lajes é adequada com relação às flechas. Além disso, nota-se que a</p><p>flecha maior ocorre na laje L5, como previsto.</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>34</p><p>Módulo 5</p><p>Aula 7 – Aceitabilidade sensorial: vibrações sentidas no piso</p><p>A verificação de vibrações sentidas no piso é feita com base na Tabela 13.3 da</p><p>Norma:</p><p>Conforme está destacado na tabela, a razão da limitação é “Outro”. O deslocamento</p><p>a considerar é devido a cargas acidentais, com a flecha limite definida por ℓx/350.</p><p>As lajes mais importantes para se considerar essa verificação são aquelas com</p><p>maiores valores de ℓx — ou seja, L1, L2 (ambas com ℓx = 3,95 m) e L5 ( ℓx = 3,96 m) —,</p><p>maiores valores de q/p (valores em serviço) e maiores flechas iniciais.</p><p>Por exemplo, a laje L1 tem flecha inicial maior que a laje L2 e maior valor de q/p do</p><p>que a laje L5. Para essa laje, foi visto na aula anterior que q = 1,50 kN/m² , p = 3,95 kN/m²</p><p>e aip = 0,172 cm. Logo: qp = 1,503,95 ≅ 0,38</p><p>Deve-se observar que essa razão também é válida para a laje L2. A flecha inicial da</p><p>carga variável é obtida por regra de três: aiqaip = qp → a iq = a ip ∙ qp</p><p>aiq = 0,172 ∙ 1,503,95</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>35</p><p>Módulo 5</p><p>aiq = 0,065 cm</p><p>A flecha limite é dada por:</p><p>alim = ℓx350 = 394,5350 = 1,127 cm</p><p>Como esse valor, é possível verificar que: aiq = 0,065 cm < a lim = 1,127 cm</p><p>Portanto, a verificação atende ao limite da Tabela 13.3 da Norma com muita folga,</p><p>pois aiq é menor que 6% de alim . Essa porcentagem foi obtida dividindo-se 0,065 por 1,127.</p><p>Igual procedimento poderia ser aplicado para L2 = L7 e L5. Seus respectivos valores</p><p>são indicados na tabela indicada a seguir:</p><p>Laje 𝓵𝐱 (m) Mód. - Aula q (carac) (kN/m²) p (serv) (kN/m²) q/p 𝐚𝐢𝐩 (cm) 𝐚𝐢𝐪 (cm) 𝐚𝐥𝐢𝐦 (cm)</p><p>L1 = L6 3,945 5 – 6 1,50 3,95 0,38 0,172 0,065 1,127 L2 = L7 3,945 5 – 6 1,50 3,95 0,38 0,131 0,050 1,127 L5 3,96 5 – 4 1,50 6,91 0,22 0,258 0,056 1,131</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>36</p><p>Módulo 5</p><p>Exercícios propostos</p><p>1) Nos efeitos de aceitabilidade sensorial da tabela 13.3 da NBR 6118:2014, qual</p><p>o critério mais rigoroso quanto ao deslocamento limite? Por quê?</p><p>2) Qual o critério mais importante quando se considera a aceitabilidade</p><p>sensorial para vibrações sentidas no piso: 𝒒/𝒑, 𝓵𝒙 ou as flechas iniciais?</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>37</p><p>Módulo 5</p><p>Exercícios resolvidos</p><p>1) Nos efeitos de aceitabilidade sensorial da tabela 13.3 da NBR 6118:2014, qual</p><p>o critério mais rigoroso quanto ao deslocamento limite? Por quê?</p><p>É o critério de vibrações sentidas no piso, que possui maior denominador no cálculo</p><p>do deslocamento limite. Então resulta um menor valor de flecha limite quando comparado</p><p>com o critério visual.</p><p>2) Qual o critério mais importante quando se considera a aceitabilidade</p><p>sensorial para vibrações sentidas no piso: 𝒒/𝒑, 𝓵𝒙 ou as flechas iniciais?</p><p>Devem ser analisados os maiores valores dentre essas três grandezas, usando</p><p>esses valores para avaliar qual é a laje que se recomendada para iniciar a análise do</p><p>deslocamento limite.</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>38</p><p>Módulo 5</p><p>Aula 8 – Efeitos em paredes</p><p>Os efeitos em paredes são avaliados com base em parte da Tabela 13.3 da Norma,</p><p>mostrada a seguir, sobre limites para deslocamentos com efeitos em elementos não</p><p>estruturais.</p><p>Nessa tabela, são citados como exemplos alvenaria, caixilhos e revestimentos, com</p><p>o deslocamento a se considerar após construção da parede. O deslocamento limite é o</p><p>menor valor entre ℓ/500 e 10 mm, com um terceiro limite relativo à rotação máxima ϴ =0,0017 rad, sendo ϴ uma rotação no elemento que suporta a parede.</p><p>Na tabela mostrada, a observação “c” diz que o vão ℓ deve ser considerado na</p><p>direção na qual a parede se desenvolve.</p><p>Considerando que a parede tenha sido construída no tempo t0,par , só interessa a</p><p>flecha após t0,par .</p><p>Como foi dito, o deslocamento limite é o menor valor entre ℓpar /500 e 10 mm, sendo ℓpar o vão na direção da parede. O limite de rotação da laje, ϴlim = 0,0017 rad , exige o</p><p>emprego de cálculo diferencial, que não é objetivo deste curso.</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>39</p><p>Módulo 5</p><p>Assim, será admitido que, em geral, as rotações máximas atendem aos limites da</p><p>Norma quando os limites das flechas são respeitados.</p><p>De maneira geral, as paredes são construídas depois da retirada do escoramento,</p><p>para que elas não sejam afetadas pela deformação total. Mesmo assim, para efeito de</p><p>exemplo, na laje L5 será considerada a construção da parede do banheiro antes da retirada</p><p>do escoramento, admitindo-se que essa retirada ocorra com t0 = 1 mês. Portanto, para a</p><p>parede do banheiro adota-se, então, t0 = 1 mês, e ℓpar = ℓx = 396 cm.</p><p>A flecha limite é:</p><p>alim = ℓpar500 = 396500 = 0,79 < 1 cm</p><p>No Módulo 5 – Aula 5, obteve-se at = 0,60 cm para carga aplicada com t0 = 1 mês.</p><p>Pode-se concluir que: at = 0,60 cm < a lim = 0,79</p><p>É possível perceber ainda que: atalim = 0,600,79 ≅ 0,76</p><p>Assim, o limite é atendido com folga para a parede do banheiro, com at < 0,76 a lim . Para a parede da área de serviço, o valor de alim é maior, ou seja: alim = ℓpar /500 = 473/500 = 0,95 < 1 cm</p><p>at = 0,60 cm < a lim = 0,95 → 0,600,95 ≅ 0,63</p><p>Assim, o limite é atendido com mais folga ainda, com at < 0,63 a lim . Convém</p><p>destacar que, se houver parede em um vão maior que 5 m, alim resultará sempre em 1 cm.</p><p>Será admitido agora que a parede do banheiro seja construída logo após a retirada</p><p>do escoramento, que é a condição recomendada (a favor da segurança).</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>40</p><p>Módulo 5</p><p>Nesse caso, a laje terá deformação inicial devida à carga total, que inclui ai</p><p>decorrente da carga de parede. Novamente, como foi visto no Módulo 5 – Aula 5, obteve-</p><p>se at = 0,60 cm para carga aplicada com t0 = 1 mês.</p><p>A parede se acomoda à deformação decorrente de seu peso próprio. Logo, só</p><p>interessa a flecha diferida, conforme foi indicado no Módulo 5 – Aula 5. Então: t0 = 1 mês → a f = a t − ai = 0,60 − 0,258 → a f ≅ 0,34 cm</p><p>Portanto:</p><p>af = 0,34 cm < a lim = 0,79 → 0,340,79 ≅ 0,43</p><p>Verifica-se que o limite foi atendido com mais folga, com af < 0,43 a lim .</p><p>Admitindo agora que a parede do banheiro seja construída 2 meses após a retirada</p><p>do escoramento, tem-se t0,par = 3 meses.</p><p>A flecha inicial não depende do tempo de aplicação da carga, então ai = 0,238 cm.</p><p>Admite-se que a laje tenha deformação inicial devida à carga total, que inclui ai decorrente</p><p>da carga de parede. Os efeitos em paredes só dependem da fluência após carga total.</p><p>Assim: af = αf ∙ a i αf =  = (t) − (t0) = 2 − 0,95 = 1,05 (Módulo 5 – Aula 5) af = 1,05 ∙ 0,238 ≅ 0,25</p><p>af = 0,25 cm</p><p>< a lim = 0,79 → 0,250,79 ≅ 0,32</p><p>Então, o limite foi atendido com folga para a parede do banheiro, com af < 0,32 a lim .</p><p>Conclui-se que, após a retirada do escoramento, quanto mais tarde forem construídas as</p><p>paredes, menores serão os efeitos sobre elas.</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>41</p><p>Módulo 5</p><p>Exercícios propostos</p><p>1) Por que não se recomenda que as paredes sejam construídas antes da</p><p>retirada do escoramento?</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>42</p><p>Módulo 5</p><p>Exercícios resolvidos</p><p>1) Por que não se recomenda que as paredes sejam construídas antes da</p><p>retirada do escoramento?</p><p>Porque assim elas sofrerão efeitos da deformação total. Se forem construídas após</p><p>a retirada do escoramento, quanto mais tarde forem construídas as paredes, menores serão</p><p>os efeitos sobre elas.</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>43</p><p>Módulo 5</p><p>Aula 9 – Eventuais providências se o limite das flechas não for</p><p>atendido</p><p>Nas lajes do edifício deste curso, não são necessárias providências. Se fossem, as</p><p>providências possíveis seriam (não necessariamente nesta ordem):</p><p>• Retardar retirada do escoramento e/ou aplicação da carga (diminui  e αf e,</p><p>portanto, a flecha diferida);</p><p>• Adotar contraflecha, levantando a fôrma na região central da laje, mantendo h constante. Em geral esse cuidado não é tomado, piorando o desempenho da</p><p>laje, pois a laje ficaria com espessura menor onde ela é mais solicitada;</p><p>• Adotar As′ → armadura de compressão no centro da laje, junto à face superior (′</p><p>aumenta e αf diminui, diminuindo a flecha diferida);</p><p>• Aumentar h (aumenta a carga, mas aumenta muito o momento de inércia que</p><p>depende de h³);</p><p>• Diminuir vãos: alterar a forma estrutural, adotando mais vigas. Em geral isso é</p><p>evitado, pois acarreta retrabalho.</p><p>Outra solução possível consiste em aumentar fck . Nesse caso:</p><p>• Ec aumentaria;</p><p>• ai e at diminuiriam.</p><p>Porém, o comum é adotar o mesmo fck para todo o edifício, isto é, não se adotam</p><p>valores diferentes de fck para um só ou para poucos elementos estruturais.</p><p>Nos casos em que se decidir por contraflecha (ac), o valor limite é indicado na</p><p>observação 2 da Tabela 13.2 da Norma: ac,lim = ℓx/350</p><p>Por exemplo, para a L5:</p><p>ac,lim = 396350 = 1,13 cm</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>44</p><p>Módulo 5</p><p>É usual adotar valores múltiplos de 0,5 cm. Portanto, nesse caso, poderiam ser</p><p>adotadas contraflechas de 0,5 cm ou 1 cm, se elas fossem necessárias. O importante é ser</p><p>atendida a seguinte condição: at − ac ≤ a lim .</p><p>Exercícios propostos</p><p>1) Para redução das flechas em lajes, quais das seguintes práticas são menos</p><p>recomendadas? Por quê?</p><p>( ) Aumentar 𝑓𝑐𝑘 ;</p><p>( ) Adotar 𝐴𝑠′ ;</p><p>( ) Diminuir vãos, ou seja, alterar forma estrutural, adotando mais vigas;</p><p>( ) Retardar retirada do escoramento e/ou aplicação da carga;</p><p>( ) Adotar contraflecha.</p><p>2) Porquê é recomendado adotar valores múltiplos de 𝟎, 𝟓 𝒄𝒎 para as</p><p>contraflechas?</p><p>Prof. Libânio Pinheiro</p><p>Prof. Winston Zumaeta</p><p>Projeto Estrutural de Edifícios sem Uso de Software Comercial</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>45</p><p>Módulo 5</p><p>Exercícios resolvidos</p><p>1) Para redução das flechas em lajes, quais das seguintes práticas são menos</p><p>recomendadas? Por quê?</p><p>( X ) Aumentar 𝑓𝑐𝑘 ;</p><p>( ) Adotar 𝐴𝑠′ ;</p><p>( X ) Diminuir vãos, ou seja, alterar forma estrutural, adotando mais vigas;</p><p>( ) Retardar retirada do escoramento e/ou aplicação da carga;</p><p>( ) Adotar contraflecha.</p><p>Não é uma prática comum adotar valores diferentes de 𝑓𝑐𝑘 para um só ou para</p><p>poucos elementos estruturais.</p><p>Alterar a forma estrutural causa retrabalho, que gera custos e perda de tempo.</p><p>2) Porquê é recomendado adotar valores múltiplos de 𝟎, 𝟓 𝒄𝒎 para as</p><p>contraflechas?</p><p>Porque o processo de cálculo de flechas é apenas aproximado.</p><p>Além disso, na obra não há condições de adotar valores das contraflechas com</p><p>grande precisão.</p><p>www.wlcursos.com.br</p><p>Autores</p><p>Prof. Libânio Pinheiro 1. Engenheiro Civil pela Escola de Engenharia de São Carlos, EESC-USP, em 1972. 2. Engenheiro de Estruturas de Concreto Armado desde 1973. 3. Professor da PUC-Campinas, SP, de 1976 a 1984. 4. Mestre em Engenharia de Estruturas pela EESC-USP em 1981. 5. Professor da Faculdade de Engenharia Civil de São José do Rio Preto, SP, em 1981. 6. Professor da EESC-USP de 1981 a 2017, ministrando aulas na pós-graduação desde 1987 para alunos de Mestrado e Doutorado. 7. Doutor de Engenharia de Estruturas pela EESC-USP em 1988. 8. Pesquisador Associado da PENN-STATE, Universidade Estadual da Pennsylvania, EUA, em programa de Pós-Doutorado de um ano, em 1989 e 1990. 9. Coordenador de Graduação do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, de 1998 a 2003, e Coordenador da Disciplina Estágio em Estruturas, de 1999 a 2005. 10. Pesquisador do CNPq, de 1994 a 2005, e Coordenador de Grupo de Pesquisa do CNPq até 2010. 11. Membro do Comitê Técnico 301 do IBRACON de 2004 a 2010. 12. Membro do Conselho de Coeditores da Revista IBRACON de Estruturas (IBRACON Structural Journal), de 2004 a 2006, e do Comitê Científico do Congresso Brasileiro do Concreto, em 2004, 2005, 2013 e 2014. 13. No Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, foi pioneiro em pesquisas sobre teoria das charneiras plásticas aplicada a projetos de lajes de edifícios, alvenaria estrutural, concreto de alta resistência, pavimentos de concreto (pavimentação), elementos estruturais de polímeros reciclados, lajes alveolares e concreto com poliestireno expandido, EPS. 14. Desenvolveu também pesquisas sobre concreto armado, estruturas de edifícios e paredes de concreto pré-moldado. 15. Orientou diversos de alunos de Iniciação Científica, 40 de Mestrado e 14 de Doutorado, de 1986 a 2017. 16. Publicou mais 100 trabalhos no Brasil e no Exterior, a maioria junto com seus alunos. 17. É professor de cursos on-line sobre Estruturas de Concreto desde 2018.</p><p>Prof. Winston Zumaeta 1. Engenheiro Civil pela Universidade Federal do Amazonas, UFAM, em 2008. 2. Licenciado em Matemática pela mesma Instituição, no mesmo ano. 3. Especialista em Projeto de Estruturas de Concreto para edifícios pela Faculdade de Engenharia</p><p>São Paulo, FESP, em 2011. 4. Especialista em Didática de Ensino Superior pela Universidade Nilton Lins, UNINILTON LINS, em 2013. 5. Mestre em Engenharia de Estruturas pela USP, em 2011. 6. Doutor em Engenharia de Estruturas pela USP, em 2017. 7. Desde fevereiro de 2008, vem trabalhando com projetos de estruturas de concreto para edifícios utilizando o software TQS. 8. Representante da empresa TQS Informática desde o dia 23 de março de 2011. 9. Foi coordenador de projetos na SECOPE Engenharia até fevereiro de 2015, onde teve a oportunidade de participar de diversos projetos estruturais de edificações na cidade de Manaus-AM, entre eles: Edifício da Fametro, Edifício Terezina 275, Condomínio Privilege, Edifício Green View, Edifício The Office, Edifício Smart, Bumbódromo, Condomínio Family, Hospital (HUGV), residências, etc. 10. Atualmente é instrutor de cursos do software TQS e é professor no curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Amazonas, UFAM, ministrando as seguintes disciplinas: Mecânica I, Isostática, Resistência dos Materiais I e II, Teoria das Estruturas I e II e Estruturas de Concreto I e II.</p><p>Página 1</p><p>Página 2</p><p>Página 3</p><p>Página 4</p><p>Página 5</p><p>Página 6</p><p>Página 7</p><p>Página 8</p><p>Página 9</p><p>Página 10</p><p>Página 11</p><p>Página 12</p><p>Página 13</p><p>Página 14</p><p>Página 15</p><p>Página 16</p><p>Página 17</p><p>Página 18</p><p>Página 19</p><p>Página 20</p><p>Página 21</p><p>Página 22</p><p>Página 23</p><p>Página 24</p><p>Página 25</p><p>Página 26</p><p>Página 27</p><p>Página 28</p><p>Página 29</p><p>Página 30</p><p>Página 31</p><p>Página 32</p><p>Página 33</p><p>Página 34</p><p>Página 35</p><p>Página 36</p><p>Página 37</p><p>Página 38</p><p>Página 39</p><p>Página 40</p><p>Página 41</p><p>Página 42</p><p>Página 43</p><p>Página 44</p><p>Página 45</p><p>Página 46</p>