Lista de Exercicios de variaveis aleatorias continuas

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<p>Lista de Exercícios</p><p>1. O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função</p><p>densidade de probabilidade dada por:</p><p>𝑓(𝑥) = 𝑘(2𝑥 − 𝑥 ) 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 1</p><p>0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜</p><p>a) Determinar o valor de k.</p><p>b) Calcular 𝑃 0 ≤ 𝑋 ≤ .</p><p>c) Calcular a média e a variância do diâmetro.</p><p>2. Uma variável aleatória contínua X tem sua função densidade de probabilidade dada por:</p><p>𝑓(𝑥) =</p><p>⎩</p><p>⎪</p><p>⎨</p><p>⎪</p><p>⎧</p><p>2</p><p>7</p><p>𝑥 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 1</p><p>2</p><p>7</p><p>𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 ≤ 4</p><p>0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜</p><p>a) Determinar 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 2).</p><p>b) Calcular a média e a variância da variável.</p><p>3. Uma variável aleatória X tem sua função densidade de probabilidade dada por:</p><p>𝑓(𝑥) =</p><p>𝑘 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 2</p><p>𝑘(𝑥 − 1) 𝑠𝑒 2 < 𝑥 ≤ 4</p><p>0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜</p><p>a) Determinar o valor de K.</p><p>b) Determinar 𝑃(1 ≤ 𝑥 ≤ 3).</p><p>4. O tempo adequado para a troca de um amortecedor de certa marca de automóveis</p><p>sujeitos a uso contínuo e severo, pode ser considerado como uma variável aleatória</p><p>contínua, medida em anos. Suponha que a função densidade de probabilidade é dada por:</p><p>𝑓(𝑥) =</p><p>⎩</p><p>⎪</p><p>⎨</p><p>⎪</p><p>⎧</p><p>1</p><p>4</p><p>𝑥 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 2</p><p>1</p><p>8</p><p>𝑠𝑒 2 < 𝑥 ≤ 6</p><p>0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜</p><p>a) Qual é a probabilidade de um automóvel dessa marca necessitar de troca de</p><p>amortecedores entre 1 e 3 anos?</p><p>b) Qual o tempo médio adequado para a troca do amortecedor desses automóveis?</p><p>5. Uma variável aleatória contínua X tem sua função densidade de probabilidade dada</p><p>abaixo. Considere que a função é nula fora dos intervalos:</p><p>𝑓(𝑥) =</p><p>⎩</p><p>⎪</p><p>⎨</p><p>⎪</p><p>⎧</p><p>1</p><p>6</p><p>𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 1</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑥 −</p><p>1</p><p>3</p><p>𝑠𝑒 1 < 𝑥 ≤ 2</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑥 +</p><p>5</p><p>3</p><p>𝑠𝑒 2 < 𝑥 ≤ 3</p><p>a) Determinar 𝑃(1 ≤ 𝑥 ≤ 2)</p><p>b) Determinar o valor médio da variável.</p><p>6. Uma variável aleatória contínua X tem sua função densidade de probabilidade dada</p><p>conforme abaixo:</p><p>𝑓(𝑥) =</p><p>1</p><p>4</p><p>𝑥 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 2</p><p>0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜</p><p>a) Determine 𝑃(𝑋 > 1).</p><p>b) Determine 𝑃 𝑋 <</p><p>c) Determine 𝑃 < 𝑥 ≤ 1 | 𝑋 <</p><p>7. O tempo de corrosão em anos de uma certa peça metálica é uma variável aleatória com</p><p>função densidade de probabilidade dada:</p><p>𝑓(𝑥) =</p><p>𝑎𝑥 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 1</p><p>𝑎 𝑠𝑒 1 < 𝑥 ≤ 2</p><p>−𝑎𝑥 + 3𝑎 𝑠𝑒 2 < 𝑥 ≤ 3</p><p>a) Determine o valor da constante a.</p><p>b) Determine a média do tempo de corrosão.</p>