Variáveis Aleatórias

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Material didático – Profa. Dra. Adriana Barbosa Santos 
 
Variáveis Aleatórias 
Definição: 
Uma variável aleatória X é uma função com valores numéricos, cujo valor é 
determinado por fatores de chance, ou seja, podem estar sujeitos à influência 
conjunta dos fatores associados ao experimento que interagem 
conjuntamente. Tal variável pode ser discreta ou contínua. 
 
Variável aleatória discreta 
É o tipo de variável que assume um número finito de valores possíveis ou 
número infinito enumerável. De um modo geral, os valores de X pertencem ao 
conjunto dos inteiros. Uma variável aleatória discreta está bem definida se 
pudermos indicar os possíveis valores x1, x2,..., xn que ela pode assumir e as 
respectivas probabilidades p(x1), p(x2),..., p(xn). Se conhecermos a os pares 
(xi; p(xi)), para todo i, conhecemos a distribuição de probabilidades da 
variável aleatória X. 
 
Condições: 
a) p(xi)≥0 , i=1, ..., n 
b) 1)(
1
=
=
n
i
i
xp 
 
Função de distribuição acumulada de probabilidade – F(x) 
 
Definição: A função distribuição ou função distribuição acumulada de 
probabilidade de uma variável aleatória discreta X é definida, para qualquer 
número real 𝑥, pela seguinte expressão: 
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) 
 
Média ou Esperança de uma Variável Aleatória discreta X 
Definição: Dada uma v.a. discreta, assumindo os valores x1, x2,..., xn , 
chamamos valor médio ou esperança de X ao valor: 

=
==
n
i
iix
xpxXE
1
)()( 
 
Variância e desvio padrão de uma Variável Aleatória 
discreta X: 
Definição: Chamamos de variância de uma v.a. discreta ao valor: 

=
−==
n
i
ixix
xpxXV
1
22
)()()( 
 
𝜎𝑥 = √𝑉(𝑋) é o desvio padrão de X. 
 
Exercícios: 
1. A tabela abaixo apresenta o modelo de probabilidades da variável aleatória 
X, que corresponde ao número de carros por domicílio nos EUA. (a) Verifique 
se essa é uma distribuição discreta legítima (b) Expresse em palavras o que é 
o evento {X≥1}. Ache P(X≥1). (c) Se as construtoras em sua maioria 
constroem casas com garagens para dois carros, qual será percentual de 
domicílios com carros sem garagem? 
Num Carros (X) 1 2 3 4 5 6 
Probabilidade 0,09 0,36 0,35 0,13 0,05 0,02 
2. Suponha que a variável aleatória discreta X possa tomar os valores 2, 4, 6, 
..., 30 e que esses valores são igualmente prováveis. Qual é a média e a 
variância de X? 
3. Suponha que X seja uma v.a. com valor x=1, 2, 3, ... e probabilidades 
P X x
x
( )= =
−
2 . Este é um caso de v. a. tomando valores em um conjunto 
discreto, mas infinito. É claro que P X x( )=  0 , para todo x  1. 
a) Calcule a probabilidade de X ser par. 
b) Calcule P X P X( ) ( ). 3 10 e 
4. Considere uma variável aleatória X assumindo os valores 0, 1, 2, ..., 5 e tal 
que 𝑃(𝑋 = 𝑗) = 𝑘. 0.8. 0,2𝑗 , 𝑗 = 0,1, 2, … , 5. 
(a) Para qual valor de k a expressão acima é uma função de probabilidade? 
(b) Calcule P(X=3|X≤5). 
5. Suponha que X seja uma v.a., para qual E(X)=10 e V(X)=25. Para quais 
valores positivos de a e b deve Y=aX-b ter valor esperado 0 e variância 1? 
 
 
Variável aleatória contínua: 
É o tipo de variável que assume todos os valores em um intervalo de números. 
A distribuição de probabilidade de X é descrita por uma curva de densidade. A 
distribuição de uma variável aleatória contínua associa as probabilidades às 
áreas sob uma curva de densidade f(x). Neste caso, os valores de X 
pertencem ao conjunto dos reais. 
Condições: 
a) f(x) ≥0 
b) ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 1
+∞
−∞
 
 
Função de distribuição acumulada de uma variável aleatória 
contínua X – F(x) 
Dada uma v.a. X com função densidade de probabilidade f(x), podemos definir 
a sua função de distribuição acumulada, F(x) como: 
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥
−∞
 
 
Média ou Esperança de uma Variável Aleatória contínua X: 
Definição: Dada uma v.a. contínua, assumindo os valores num intervalo de 
números reais, chamamos valor médio ou esperança de X ao valor: 
 

+
−
== dtttfXE
x
)()( 
 
Variância e desvio padrão de uma Variável Aleatória 
contínua X: 
Definição: Chamamos de variância de uma v.a. contínua ao valor: 
 

+
−
−== dttftXV
xx
)()()(
22

 
𝜎𝑥 = √𝑉(𝑋) é o desvio padrão de X. 
 
Exercícios: 
1. O diâmetro X de um cabo elétrico supõe-se ser uma v.a. contínua X, 
com fdp 10 )1(2)( −= xxxf 
a) Verifique que essa expressão é uma fdp e esboce o seu gráfico 
b) Determine a f.d.a. de X, ou seja, F(x). 
c) Calcule P[X1/2|1/4<X<2/3] 
2. A quantia gasta anualmente, em milhões de reais, na manutenção do 
asfalto em uma cidade do interior é representada pela variável Y com 
densidade dada por: 
𝑓(𝑦) = {
8
9
𝑦 −
4
9
, 𝑠𝑒 0,5 ≤ 𝑦 ≤ 2;
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
Obtenha: 
a) P(Y<0,8); b) P(Y>1,5|Y≥1); c) E(Y) e V(Y) 
3. Considere o gráfico de f(x) dado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Determinar a f.d.a de X, sabendo-se que sua função densidade de 
probabilidade é dada por: 
𝑓(𝑥) = 5𝑒−5𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑓(𝑥) = 0, 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
0 2 4 
f(x) 
x 
a 
a) Escreva f(x) analiticamente 
b) Estabeleça a expressão de F(x)