ime_ita_apostila_matematica_vol_5 pdf

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<p>(C) Nenhum canhoto é homem.</p><p>(D) Alguns homens não são canhotos.</p><p>(E) Nenhum homem é canhoto.</p><p>06 Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e do outro</p><p>uma letra.</p><p>A B 2 3</p><p>Alguém afirmou que todos os cartões que têm uma vogal em uma face</p><p>têm um número par na outra. Para verificar se tal afirmação é verdadeira:</p><p>(A) é necessário virar todos os cartões.</p><p>(B) é suficiente virar os dois primeiros cartões.</p><p>(C) é suficiente virar os dois últimos cartões.</p><p>(D) é suficiente virar os dois cartões do meio.</p><p>(E) é suficiente virar o primeiro e o último cartão.</p><p>07 Na cidade litorânea de Ioretin é rigorosamente obedecida a seguinte</p><p>ordem do prefeito:</p><p>“Se não chover, então todos os bares à beira-mar deverão ser abertos.”</p><p>Pode-se afirmar que:</p><p>(A) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então choveu.</p><p>(B) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então não choveu.</p><p>(C) Se choveu, então todos os bares à beira-mar não estão abertos.</p><p>(D) Se choveu, então todos os bares à beira-mar estão abertos.</p><p>(E) Se um bar à beira-mar não está aberto, então choveu.</p><p>08 Raul e Cida formam um estranho casal. Raul mente às 4as, 5as e 6as</p><p>feiras, dizendo a verdade no resto da semana. Cida mente aos domingos, 2as</p><p>e 3as feiras dizendo a verdade nos outros dias. Certo dia, ambos declaram:</p><p>“amanhã é dia de mentir”. O dia em que foi feita essa declaração é:</p><p>(A) 3a feira.</p><p>(B) 4a feira.</p><p>(C) 6a feira.</p><p>(D) sábado.</p><p>(E) domingo.</p><p>09 Dadas as funções ƒ e g reais de variáveis reais, ambas estritamente</p><p>decrescentes e sobrejetoras, considere h = fog . Então, podemos afirmar</p><p>que:</p><p>(A) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente</p><p>crescente.</p><p>(B) h é estritamente decrescente, inversível e sua inversa é estritamente</p><p>crescente.</p><p>(C) h é estritamente crescente, mas não necessariamente inversível.</p><p>(D) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente</p><p>decrescente.</p><p>(E) n.r.a.</p><p>ExErcícios</p><p>01 Considere os seguintes enunciados:</p><p>16 é múltiplo de 2</p><p>15 é múltiplo de 7</p><p>8 é número primo</p><p>A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:</p><p>(A) Se 15 é múltiplo de 7 ou 16 é múltiplo de 2 então 8 é número primo.</p><p>(B) Se 16 é múltiplo de 2 ou 8 é número primo então 15 é múltiplo de 7.</p><p>(C) Se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo.</p><p>(D) Se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2.</p><p>(E) Se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.</p><p>02 Em uma roda de amigos, Jorge, Edson e Geraldo contaram fatos sobre</p><p>suas namoradas. Sabe-se que Jorge e Edson mentiram e que Geraldo falou</p><p>a verdade. Assinale qual das proposições abaixo é verdadeira:</p><p>(A) Se Geraldo mentiu, então Jorge falou a verdade.</p><p>(B) Edson falou a verdade e Geraldo mentiu.</p><p>(C) Se Edson mentiu, então Jorge falou a verdade.</p><p>(D) Jorge falou a verdade ou Geraldo mentiu.</p><p>(E) Edson mentiu e Jorge falou a verdade.</p><p>03 João não estudou para a prova de matemática; por conta disso, não</p><p>entendeu o enunciado da primeira questão. A questão era de múltipla</p><p>escolha e tinha as seguintes opções:</p><p>(A) O problema tem duas soluções, ambas positivas.</p><p>(B) O problema tem duas soluções, uma positiva e outra negativa.</p><p>(C) O problema tem mais de uma solução.</p><p>(D) O problema tem pelo menos uma solução.</p><p>(E) O problema tem exatamente uma solução positiva.</p><p>João sabia que só havia uma opção correta. Ele pensou um pouco e cravou</p><p>a resposta certa. Determine a escolha feita por João.</p><p>04 Uma pessoa que gosta de todas e apenas das pessoas que não gostam</p><p>de si mesmas:</p><p>(A) gosta de si mesma.</p><p>(B) não gosta de si mesma.</p><p>(C) não existe.</p><p>(D) gosta de alguém.</p><p>(E) não gosta de ninguém.</p><p>05 Em uma cidade, os seguintes fatos são verdadeiros:</p><p>I. Alguns canhotos não fumam cigarros.</p><p>II. Todos os homens fumam cigarros.</p><p>Uma conclusão que se pode tirar é:</p><p>(A) Alguns canhotos são homens.</p><p>(B) Alguns canhotos não são homens.</p><p>Lógica – Conjuntos – Relações – Funções</p><p>MATEMÁTICA I ASSUNTO</p><p>9</p><p>69IME-ITA – Vol. 5</p><p>10 Considere um conjunto E e três de seus subconjuntos A, B, C. Sendo</p><p>M um subconjunto de E, representa-se por ME o seu complemento em</p><p>relação a E. Determine E e seus subconjuntos A, B, C, sabendo que A e C</p><p>são disjuntos e que:</p><p>(A ∪ B ∪ C)E ={4, 6}; B ∩ C = {7}; A ∪ B = {1, 2, 7, 9, 10};</p><p>A ∪ C = 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10}; BE = {3, 4, 5, 6, 8, 9}.</p><p>11 Sejam X um conjunto não vazio: A e B dois subconjuntos de X.</p><p>Definimos :</p><p>AC = {x ∈ X ∧ x ∉ A} e A – B = {x ∈ A ∧ x∉B}</p><p>Dadas as sentenças:</p><p>I. A ∩ B = ∅ ⇔ A ⊂ BC ⇔ B ⊂ AC em que “⇔” significa “equivalente”</p><p>e “∅” o conjunto vazio;</p><p>II. Se X = ; A = {x ∈ | x3 – 1 = 0}; B = { x ∈ | x2 – 1 = 0} e</p><p>C = (x ∈ |x – 1 = 0}, então A = B = C;</p><p>III. A – ∅ = A e A – B = A – (A ∩ B);</p><p>IV. A – B ≠ A ∩ BC.</p><p>Podemos afirmar que estão correta(s):</p><p>(A) as sentenças no I e III.</p><p>(B) as sentenças no I, II e IV.</p><p>(C) as sentenças no III e IV.</p><p>(D) as sentenças no II , III e IV.</p><p>(E) apenas a sentença no II.</p><p>12 Sejam ƒ e g dois subconjuntos não vazios de . Assinale a alternativa</p><p>correta:</p><p>(A) Se F ⊂ G e G ≠ F, então necessariamente F = F ∪ G.</p><p>(B) Se F ⊂ G é o conjunto vazio, então necessariamente F ∪ G = .</p><p>(C) Se F ⊂ G e G ⊂ F, então F ∩ G = F ∪ G .</p><p>(D) Se F ∩ G = F, então necessariamente G ⊂ F.</p><p>(E) Se F ⊂ G e G ≠  então (F ∩ G) ∪ G = .</p><p>13 Sejam A, B e C subconjuntos do conjunto dos números reais. Então</p><p>podemos afirmar que:</p><p>(A) (A ∩ B)C= AC ∩ BC.</p><p>(B) (A ∪ B)C= AC ∪ BC.</p><p>(C) Se A ⊂ B, então AC ⊂ BC.</p><p>(D) (A ∩ B) ∪ CC = (Ac ∪ C)C ∩ (Bc ∪ C)C.</p><p>(E) A ∪ (B ∪ C)C= (A ∪ BC) ∩ (A ∪ CC).</p><p>14 Sejam A, B e C subconjuntos de , não vazios, e A – B = {p ∈ ;|</p><p>p ∉ A ∧ p ∉ B}. Dadas as igualdades:</p><p>I. (A – B) · C = (A · C) – (B · C)</p><p>II. (A – B) · C = (A · B) – (B · C)</p><p>III. (A ∩ B) – A ≠ (B ∩ A) – B</p><p>IV. A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)</p><p>IV. (A – B) ∩ (B – C) = (A – C) ∩ (A – B)</p><p>podemos garantir que:</p><p>(A) 2 e 4 são verdadeiras.</p><p>(B) 1 e 5 são verdadeiras.</p><p>(C) 3 e 4 são verdadeiras.</p><p>(D) 1 e 4 são verdadeiras.</p><p>(E) 1 e 3 são verdadeiras.</p><p>15 Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes</p><p>propriedades:</p><p>I. A e B estão contidos em X,</p><p>II. Se A está contido em Y e B está contido em Y, então X está contido</p><p>em Y.</p><p>Prove que X = A ∪ B.</p><p>16 Sejam A e B subconjuntos não vazios dos reais. Considere as seguintes</p><p>afirmações:</p><p>I. (A ∩ B)C ∩ (B ∪ AC)C = {}</p><p>II. (A - Bc)C = B – AC</p><p>III. [(Ac - B) ∩ (B - A)]C = A</p><p>Sobre essas afirmações podemos garantir que:</p><p>(A) apenas a afirmação I é verdadeira.</p><p>(B) apenas a afirmação II é verdadeira.</p><p>(C) apenas a afirmação III é verdadeira.</p><p>(D) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(E) apenas as afirmações I e III são verdadeiras.</p><p>17 Considere três conjuntos A, B e C, tais que: n(A) = 28, n(B) = 21,</p><p>n(C) = 20, n (A ∩ B) = 8, n (B ∩ C) = 9, n (A ∩ C) = 4 e n (A ∩ B ∩</p><p>C) = 3. Assim sendo, o valor de n ((A ∪ B) ∩ C) é:</p><p>(A) 3. (D) 21.</p><p>(B) 10. (E) 24.</p><p>(C) 20.</p><p>18 Um certo número de carros saem dos pontos A e B do diagrama abaixo</p><p>e, sem passarem duas vezes por um mesmo ponto, chegam a C.</p><p>Sabendo-se que:</p><p>A</p><p>M</p><p>P</p><p>N</p><p>B C</p><p>I. 17 carros passaram por M, N e P;</p><p>II. 25 carros passaram por M e P;</p><p>III. 28 carros passaram por N e P.</p><p>Pode-se afirmar que o número total de carros é:</p><p>(A) 70.</p><p>(B) 45.</p><p>(C) 42.</p><p>(D) 36.</p><p>(E) 53.</p><p>19 Considere os pacientes de AIDS classificados em 3 grupos de risco:</p><p>hemofílicos, homossexuais e toxicômanos. Em um certo país, de 75</p><p>pacientes, verificou-se que:</p><p>I. 41 são homossexuais.</p><p>II. 9 são homossexuais e hemofílicos, e não são toxicômanos.</p><p>MATEMÁTICA I</p><p>Assunto 9</p><p>70 IME-ITA – Vol. 5</p><p>III. 7 são homossexuais e toxicômanos, e não são homossexuais.</p><p>IV. 2 são hemofílicos e toxicômanos, e não são homossexuias.</p><p>V. 6 pertencem apenas ao grupo de risco dos toxicômanos.</p><p>VI. o número de pacientes que são apenas hemofílicos é igual ao número</p><p>de pacientes que são apenas homossexuais.</p><p>VII. o número de pacientes que pertencem simultaneamente aos três</p><p>grupos de risco é a metade do número de pacientes que não pertencem</p><p>a nenhum dos grupos de risco.</p><p>Quantos pacientes pertencem simultaneamente</p><p>Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, o determinante da</p><p>matriz</p><p>1 1 1 1</p><p>1 1 1 1</p><p>é dado por:</p><p>1 1 1 1</p><p>1 1 1 1</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p> </p><p> + </p><p> +</p><p>  + </p><p>(A) ab + ac + bc.</p><p>(B) abc.</p><p>(C) zero.</p><p>(D) abc + 1.</p><p>(E) 1.</p><p>29 Seja P o, determinante da seguinte matriz real:</p><p>2</p><p>3</p><p>1 1 1 1</p><p>2 3 2</p><p>2 3 4</p><p>4 9 8</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>  </p><p> </p><p>Para se obter P < 0 é suficiente considerar x em ℜ, tal que:</p><p>(A) 2 3</p><p>.</p><p>2</p><p>x</p><p>+</p><p>=</p><p>(B) 10 < x < 11.</p><p>(C) 3 2.x< <</p><p>(D) 2 < x < 3.</p><p>(E) 9 < x < 10.</p><p>30 Sejam as matrizes</p><p>2 2</p><p>sen cos sec cos</p><p>2 4 5 5e .</p><p>2</p><p>tan sen cos cotan</p><p>5 2</p><p>A B</p><p>g</p><p>π π π π   </p><p>   </p><p>= =   </p><p>π π   π π      </p><p>Se a = det A e b</p><p>= det B então o número complexo a + bi tem módulo igual a:</p><p>(A) 1.</p><p>(B) sen 2π/5 + cos 2π/5.</p><p>(C) 4.</p><p>(D) 2 2.</p><p>(E) 0.</p><p>31 Seja A uma matriz real que possui inversa. Seja n um número inteiro</p><p>positivo e An o produto da matriz A por ela mesma n vezes. Das afirmações</p><p>abaixo assinale a verdadeira:</p><p>(A) An possui inversa, qualquer que seja o valor de n.</p><p>(B) An possui inversa apenas quando n = 1 ou n = 2.</p><p>(C) An possui inversa e seu determinante independe de n.</p><p>(D) An possui inversa para valor algum de n, n > 1.</p><p>(E) Dependendo da matriz A, a matriz An poderá ou não ter inversa.</p><p>32 Seja A uma matriz quadrada inversível, de ordem 3; seja B a matriz</p><p>dos cofatores da matriz A. Sabendo-se que det A = – 2, calcule det B.</p><p>33 Sendo A, B e C matrizes reais n × n, considere as seguintes</p><p>afirmações:</p><p>I. A(BC) = (AB)C</p><p>II. AB = BA</p><p>III. A + B = B + A</p><p>IV. det (AB) = det (A) · det (B)</p><p>V. det (A + B) = det (A) + det (B)</p><p>Pode-se afirmar que:</p><p>(A) I e II são corretas.</p><p>(B) II e III são corretas.</p><p>(C) III e IV são corretas.</p><p>(D) IV e V são corretas.</p><p>(E) V e I são corretas.</p><p>34 Considere a equação</p><p>4 5 7 0</p><p>16 1 0 0</p><p>4 2 3 0</p><p>x y z</p><p>       </p><p>       − + + =       </p><p>              </p><p>, em que x, y e</p><p>z são números reais. É correto afirmar que:</p><p>(A) a equação admite somente uma solução.</p><p>(B) em qualquer solução, x2 = z2.</p><p>(C) em qualquer solução, 16x2 = 9z2.</p><p>(D) em qualquer solução, 25y2 = 16z2.</p><p>(E) em qualquer solução, 9y2 = 16z2.</p><p>35 Sendo</p><p>1 2 1</p><p>0 3 2</p><p>3 1 2</p><p>A</p><p>− </p><p> = − </p><p> − − </p><p>, então o elemento da terceira linha e primeira</p><p>coluna de sua inversa será igual a:</p><p>(A) 5/8.</p><p>(B) 9/11.</p><p>(C) 6/11.</p><p>(D) –2/13.</p><p>(E) 1/13.</p><p>36 Sabendo-se que x e y são reais, tais que x ÷ y = 3π/4, verifique se a</p><p>matriz</p><p>2tan 1 tan</p><p>1 tan tan</p><p>x x</p><p>y y</p><p>+ </p><p> + </p><p>é ou não inversível.</p><p>37 Sobre o sistema</p><p>8 2 0</p><p>7 0</p><p>2 0</p><p>x y z</p><p>x y z</p><p>x y z</p><p>− + = + − =</p><p>− + =</p><p>podemos afirmar que:</p><p>(A) é impossível e determinado.</p><p>(B) é impossível.</p><p>(C) é impossível, e qualquer solução (x, y, z) é tal que os números x, y e z</p><p>formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão igual a x.</p><p>(D) é impossível e qualquer solução ( , y, z) é tal que</p><p>3</p><p>x z</p><p>y</p><p>+</p><p>= .</p><p>(E) é impossível, e qualquer solução (x, y, z) é tal que os números x, y e z</p><p>formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão</p><p>3</p><p>x y z+ +</p><p>.</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 7</p><p>92 IME-ITA – Vol. 5</p><p>38 Seja o sistema linear em x, y, z dado por: {a 2 5 ,b 3 1</p><p>x y z</p><p>x y z</p><p>+ + =</p><p>+ − = −</p><p>; em que</p><p>α e β são números reais. Analise para que valores de α e β, este sistema</p><p>admite mais de uma solução.</p><p>39 O sistema de equações</p><p>3 6</p><p>7 3 2 2</p><p>5 3 4 10</p><p>x y z</p><p>x y z</p><p>x y z</p><p>+ − = + + =</p><p>− + =</p><p>(A) tem somente uma solução.</p><p>(B) tem infinitas soluções com 9(x + y) = 14 e 9(2y – z) = 40</p><p>(C) tem infinitas soluções com 9(x + y) = 34 e 9(2y – z) = 20</p><p>(D) tem infinitas soluções com x dado em função de y e z.</p><p>(E) não possui solução.</p><p>40 Dadas as matrizes:</p><p>2 0 0 0 0</p><p>3 1 1 e 1 1 1</p><p>1 0 1 1 0 1</p><p>x x</p><p>A B</p><p>x</p><p>− −   </p><p>   = − = −   </p><p>   + −   </p><p>determine x, sabendo que existe uma matriz inversível P tal que A = P–1BP.</p><p>41 Seja, para n = 1, 2, 3, ... a coleção B(n) = {M | M = [mij], que é</p><p>matriz quadrada de ordem n e |mij| = 1} (note que B(2) tem 24 = 16</p><p>elementos). Prove que, se M ∈ B(n), então o determinante de M é múltiplo</p><p>de 2n – 1, para n = 1, 2, 3, ...</p><p>42 Mostre que não existem matrizes quadradas A e B que verifiquem</p><p>AB – BA = I,em que I é a matriz identidade de uma ordem n qualquer.</p><p>43 Seja Mn(R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n, de</p><p>coeficientes reais. Define-se a função ϕ: Mn (R) × Mn (R) → Mn (R) por ϕ</p><p>(A, B) = AB – BA. Calcule: ϕ(ϕ(A, B), C) + ϕ(ϕ(B, C), A) + ϕ(ϕ(C, A), B)</p><p>44 Seja um determinante definido por</p><p>1</p><p>1 1 1 1 1 1</p><p>1 2 0 0 0 0</p><p>0 1 2 0 0 0</p><p>1 e</p><p>0 0 1 2 0 0</p><p>0 0 0 0 1 2</p><p>n</p><p>−</p><p>−</p><p>∆ = ∆ =</p><p>−</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>      </p><p></p><p>a. Determine a fórmula de recorrência (isto é, a relação entre ∆n e ∆n–1).</p><p>b. Calcule a expressão de ∆n em função de n.</p><p>45 Seja D o determinante da matriz A = [aij] de ordem n, tal que aij = |i – j|.</p><p>Mostre que D = (–1)n–1 · (n – 1) · 2n–2</p><p>46 Sejam ( )e</p><p>a b</p><p>c d i j l mA Be f n o p q</p><p>g h</p><p> </p><p> = = </p><p> </p><p> </p><p>duas matrizes de elementos</p><p>inteiros. Verifique se a matriz AB é inversível.</p><p>47 Determine o valor de a para que o sistema a seguir tenha mais de uma</p><p>solução e resolva-o, nesse caso.</p><p>1</p><p>2 3 3</p><p>3 2</p><p>x y z</p><p>x y az</p><p>x ay z</p><p>+ − = + + =</p><p>+ + =</p><p>48 Sejam A, B, C matrizes 5 × 5, com elementos reais. Denotando-se</p><p>por At a matriz transposta de A:</p><p>a. mostre que se AAt = 0, então A = 0;</p><p>b. mostre que se BAAt = CAAt, então BA = CA.</p><p>49 Calcule o determinante da matriz</p><p>2 2 2 2</p><p>2 2 2 2</p><p>2 2 2 2</p><p>2 2 2 2</p><p>( 1) ( 2) ( 3)</p><p>( 1) ( 2) ( 3)</p><p>( 1) ( 2) ( 3)</p><p>( 1) ( 2) ( 3)</p><p>a a a a</p><p>b b b b</p><p>c c c c</p><p>d d d d</p><p> + + +</p><p> </p><p>+ + + </p><p> + + +</p><p> </p><p>+ + +  </p><p>50 Calcule o determinante da matriz n × n que possui zeros na diagonal</p><p>principal e todos os outros elementos iguais a 1.</p><p>51 Determine todas as matrizes X, reais, de dimensões 2 × 2, tais que</p><p>AX = XA, para toda matriz A real 2 × 2.</p><p>52 Calcule o valor do determinante abaixo:</p><p>n</p><p>m x m m m m</p><p>m m x m m m</p><p>D m m m x m m</p><p>m m m m m x</p><p>+</p><p>+</p><p>= +</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>53 Determine o valor de x para que</p><p>2</p><p>2 4 6</p><p>2 0 10</p><p>0</p><p>0 4 4</p><p>4 10 2</p><p>x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>54 Um aluno, ao inverter a matriz</p><p>1</p><p>0</p><p>4</p><p>ij</p><p>a b</p><p>A c d a</p><p>e f</p><p> </p><p>   = =   </p><p>  </p><p>, [aij], 1 ≤ i, j ≤ 3,</p><p>cometeu um engano e considerou o elemento a13 igual a 3, de forma que</p><p>acabou invertendo a matriz</p><p>1</p><p>0</p><p>3</p><p>ij</p><p>a b</p><p>B c d b</p><p>e f</p><p> </p><p>   = =   </p><p>  </p><p>. Com esse engano, o</p><p>aluno encontrou 1</p><p>5 / 2 0 1/ 2</p><p>3 1 1</p><p>3 / 2 0 1/ 2</p><p>B−</p><p>− </p><p> = − </p><p> − </p><p>. Determine A–1</p><p>55 Resolva e interprete, geometricamente, o sistema matricial abaixo, em</p><p>função de α e β.</p><p>1 2 3 4</p><p>5 6 7 8</p><p>6 8</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>− −     </p><p>     − = −     </p><p>     α β     </p><p>56 Determine α para que seja impossível o sistema:</p><p>2</p><p>2 3 4</p><p>3 5 2</p><p>4 ( 14) 2.</p><p>x y z</p><p>x y z</p><p>x y z</p><p> + − = − + =</p><p> + + α − = α +</p><p>57 Determine uma matriz não singular P que satisfaça à equação matricial</p><p>P–1</p><p>6 0</p><p>0 1</p><p>A</p><p> </p><p>=  − </p><p>, em que</p><p>1 2</p><p>5 4</p><p>A</p><p> </p><p>=  </p><p> </p><p>.</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 7</p><p>Matrizes, Determinantes, Sistemas Lineares</p><p>93IME-ITA – Vol. 5</p><p>58 Calcule o determinante:</p><p>1 1 1 1 1 1 1</p><p>1 3 1 1 1 1 1</p><p>1 1 5 1 1 1 1</p><p>1 1 1 7 1 1 1</p><p>1 1 1 1 9 1 1</p><p>1 1 1 1 1 11 1</p><p>1 1 1 1 1 1 13</p><p>D =</p><p>59 Considere a matriz A = (akj), onde:</p><p>akj = k – ésimo termo do desenvolvimento de (1 + ji)54, com k = 1,..., 55;</p><p>j = 1,..., 55 e 1i = −</p><p>a. Calcule a3,2 + a54,1</p><p>b. Determine o somatório dos elementos da coluna 55.</p><p>c. Obtenha uma fórmula geral para os elementos da diagonal principal.</p><p>60 Uma matriz quadrada é denominada ortogonal quando a sua transposta</p><p>é igual a sua inversa. Considerando essa definição, determine se a matriz</p><p>[R], abaixo, é uma matriz ortogonal, sabendo que n é um número inteiro</p><p>e α é um ângulo qualquer. Justifique a sua resposta.</p><p>[ ]</p><p>cos( ) sen( ) 0</p><p>sen( ) cos( ) 0</p><p>0 0 1</p><p>n n</p><p>R n n</p><p>α − α </p><p> = α α </p><p>  </p><p>61 Considere uma matriz A, n × n, de coeficientes reais, e k um número</p><p>real diferente de l. Sabendo que A3 = kA, prove que a matriz A + I é</p><p>invertível, em que I é a matriz identidade n × n.</p><p>62 Sejam A e B matrizes n × n, e B uma</p><p>matriz simétrica. Considere as</p><p>seguintes afirmações:</p><p>I. AB + BAT é simétrica.</p><p>II. (A + AT + B) é simétrica.</p><p>III. ABAT é simétrica.</p><p>é correto afirmar que:</p><p>(A) apenas I é verdadeira.</p><p>(B) apenas II é verdadeira.</p><p>(C) apenas III é verdadeira.</p><p>(D) apenas I e III são verdadeiras.</p><p>(E) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>63 Considere a matriz</p><p>1 1 1 1</p><p>1 2 3 4</p><p>1 4 9 16</p><p>1 8 27 64</p><p>A</p><p> </p><p> </p><p> =</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>. A soma dos elementos da</p><p>primeira coluna da matriz inversa de A é:</p><p>(A) 1.</p><p>(B) 2.</p><p>(C) 3.</p><p>(D) 4.</p><p>(E) 5.</p><p>64 Seja m ∈ ℜ, m > 0. Considere o sistema</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 (log ) 5 0</p><p>(log ) 2 0</p><p>(log ) 0</p><p>x m y z</p><p>m x y z</p><p>x y m z</p><p> − + = + − =</p><p> + − =</p><p>.</p><p>O produto dos valores de m para os quais o sistema admite solução não</p><p>trivial é:</p><p>(A) 1.</p><p>(B) 2.</p><p>(C) 4.</p><p>(D) 8.</p><p>(E) 2 log2 5.</p><p>65 Sendo x um número real positivo, considere as matrizes</p><p>2</p><p>1/3 1/3</p><p>3</p><p>log log 1</p><p>0 log 1</p><p>x x</p><p>A</p><p>x</p><p> </p><p>=   − </p><p>e</p><p>2</p><p>1/3</p><p>1/3</p><p>0 log</p><p>1 0</p><p>3log 4</p><p>x</p><p>B</p><p>x</p><p> </p><p> </p><p>=  </p><p> − − </p><p>. A soma de</p><p>todos os valores de x para os quais (AB) = (AB)t é igual a:</p><p>(A) 25</p><p>3</p><p>.</p><p>(B) 28</p><p>3</p><p>.</p><p>(C)</p><p>32</p><p>3</p><p>.</p><p>(D) 27</p><p>2</p><p>.</p><p>(E) 25</p><p>2</p><p>.</p><p>66 Considere matrizes</p><p>1 1 3</p><p>0 1 0</p><p>2 3 1</p><p>M</p><p>− </p><p> =  </p><p> </p><p> </p><p>,</p><p>1 0 2</p><p>3 2 0</p><p>1 1 1</p><p>N</p><p> </p><p> =  </p><p> </p><p> </p><p>,</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>P</p><p> </p><p> =  </p><p> </p><p> </p><p>e</p><p>x</p><p>X y</p><p>z</p><p> </p><p> =  </p><p> </p><p> </p><p>. Se X é solução de M–1 NX = P, então x2 + y2 + z2 é igual a:</p><p>(A) 35.</p><p>(B) 17.</p><p>(C) 38.</p><p>(D) 14.</p><p>(E) 29.</p><p>67 Considere as matrizes</p><p>0 0 1 0 0</p><p>0 1 e 0 1 0</p><p>0 0 0 0 1</p><p>a</p><p>M b I</p><p>c</p><p>   </p><p>   = =   </p><p>   </p><p>   </p><p>, em que a ≠</p><p>0 e a, b, e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão</p><p>q > 0. Sejam λ1, λ2, λ3 as raízes da equação det (M – λI) = 0. Se λ1λ2λ3 = a</p><p>e λ1 + λ2 + λ3 = 7a, então a2 + b2 + c2 é igual a:</p><p>(A) 21</p><p>8</p><p>.</p><p>(B) 91</p><p>9</p><p>.</p><p>(C)</p><p>36</p><p>9</p><p>.</p><p>(D) 21</p><p>16</p><p>.</p><p>(E) 91</p><p>36</p><p>.</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 7</p><p>94 IME-ITA – Vol. 5</p><p>68 Considere ( )5 5  xA M∈  com det( ) 6A = e { }    \ 0α∈ . Se</p><p>( ) 2det 6t tA AAα = α , o valor de α é</p><p>(A)</p><p>1</p><p>6</p><p>.</p><p>(B)</p><p>6</p><p>6</p><p>.</p><p>(C)</p><p>3 36</p><p>6</p><p>.</p><p>(D) 1.</p><p>(E) 216 .</p><p>69 Considere o sistema nas variáveis reais x e y:</p><p>sen     3 cos     x y aα+ α=</p><p>cos     sen     ,x y bα+ α=</p><p>com   0,   e ,    .</p><p>2</p><p>a b</p><p>π α∈ ∈  </p><p>� Analise para que valores de α, a e b o</p><p>sistema é (I) possível determinado, (II) possível indeterminado ou (III)</p><p>impossível, respectivamente. Nos casos (I) e (II), encontre o respectivo</p><p>conjunto-solução.</p><p>70 Considere a matriz quadrada A cujos termos da diagonal principal</p><p>são 1 21, 1   ,1 ,...,  1 nx x x+ + + e todos os outros termos são iguais a 1.</p><p>Sabe-se que ( )1 2  ,   , ...,   nx x x é uma progressão geométrica cujo primeiro</p><p>termo é</p><p>1</p><p>2</p><p>e a razão é 4. Determine a ordem da matriz A para que o seu</p><p>determinante seja igual a 256.</p><p>71 Seja n um número natural. Sabendo que o determinante da matriz</p><p>2 2</p><p>3 3</p><p>5 5</p><p>1</p><p>log 2 log</p><p>2</p><p>5 log 3 log 243</p><p>1</p><p>5 log log 25</p><p>125</p><p>n</p><p>n</p><p>A n</p><p> − </p><p> </p><p> = +</p><p> </p><p> − −</p><p>  </p><p>é igual a 9, determine n e, também, a soma dos elementos da primeira</p><p>coluna da matriz inversa A–1.</p><p>72 O sistema</p><p>2 3</p><p>2</p><p>3 5 0</p><p>x y z a</p><p>y z b</p><p>x y cz</p><p>+ + =</p><p> + =</p><p> − − =</p><p>(A) é possível, , ,    a b c∀ ∈ .</p><p>(B) é possível quando</p><p>7</p><p>ou   1.</p><p>3</p><p>b</p><p>a c= ≠</p><p>(C) é impossível quando    1,  ,     .c a b= ∀ ∈</p><p>(D) é impossível quando</p><p>7</p><p>,      .</p><p>3</p><p>b</p><p>a c≠ ∀ ∈</p><p>(E) é possível quando    1e   7 /3.c a b= ≠</p><p>73 Considere as afirmações abaixo:</p><p>I. Se M é uma matriz quadrada de ordem n > 1, não nula e nãoinversível,</p><p>então existe matriz não nula N, de mesma ordem, tal que MN é matriz</p><p>nula.</p><p>II. Se M é uma matriz quadrada inversível de ordem n tal que</p><p>det(M2 – M) = 0, então existe matriz não nula X, de ordem n × 1,</p><p>tal que MX = X.</p><p>III. A matriz 2</p><p>cos sen</p><p>tan</p><p>1 2sen</p><p>sec 2</p><p>θ − θ </p><p> θ θ −</p><p> θ </p><p>é inversível,   / 2   ,      .k k∀θ= π + π ∈</p><p>É(são) verdadeira(s):</p><p>(A) apenas II.</p><p>(B) apenas I e II.</p><p>(C) apenas I e III.</p><p>(D) apenas II e III.</p><p>(E) todas.</p><p>74 Determine todas as matrizes M ∈ M2×2(¡) tais que MN = NM, ∀N ∈ M2×2(¡).</p><p>75 Considere a matriz</p><p>1 2 3</p><p>4 5 3 3</p><p>6</p><p>0 ( ),</p><p>0 0</p><p>a a a</p><p>A a a M</p><p>a</p><p>×</p><p> </p><p> = ∈ </p><p>  </p><p></p><p>em que 4 1 2 3 4 5 610, det 1000 e  , , , ,     a A a a a a a e a= = − formam, nesta</p><p>ordem, uma progressão aritmética de razão d > 0. Pode-se afirmar que</p><p>1a</p><p>d</p><p>é igual a:</p><p>(A) –4.</p><p>(B) –3.</p><p>(C) –2.</p><p>(D) –1.</p><p>(E) 1.</p><p>76 Sobre os elementos da matriz</p><p>( )</p><p>1 2 3 4</p><p>1 2 3 4</p><p>4x40 0 0 1</p><p>1 0 0 0</p><p>x x x x</p><p>y y y y</p><p>A M</p><p> </p><p> </p><p> = ∈</p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>sabe-se que ( ) ( )1 2 3 4 1 2 3 4, , ,  e  , ,   x x x x y y y e y são duas progressões</p><p>geométricas de razão 3 e 4 e de soma 80 e 255, respectivamente. Então,</p><p>det A–1 e o elemento (A–1)23 valem, respectivamente:</p><p>(A)</p><p>1</p><p>e 12.</p><p>72</p><p>(B)</p><p>1</p><p>e  12.</p><p>72</p><p>− −</p><p>(C)</p><p>1</p><p>e 12.</p><p>72</p><p>−</p><p>(D)</p><p>1 1</p><p>e .</p><p>72 12</p><p>−</p><p>(E)</p><p>1 1</p><p>e .</p><p>72 12</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 7</p><p>Matrizes, Determinantes, Sistemas Lineares</p><p>95IME-ITA – Vol. 5</p><p>77 Considere as matrizes ( )4x4A M∈  e ( )4x1, X B M∈  :</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>1 1</p><p>1 0</p><p>;</p><p>0 2 0 0</p><p>2 1</p><p>ba b x</p><p>bb a y</p><p>A X e B</p><p>bz</p><p>ba b w</p><p>    </p><p>    </p><p>    = = =</p><p>    </p><p>    </p><p>−       </p><p>Encontre todos os valores reais de a e b tais que a equação matricial</p><p>AX = B tenha solução única.</p><p>Se 2 2 0   0a b e a− = ≠ e [ ]1 1 2 4</p><p>t</p><p>B = encontre X tal que AX = B</p><p>78 Dados ( )3 2A M ×∈  e ( )3 1b M ×∈  , dizemos que ( )0 2 1X M ×∈ </p><p>é a melhor aproximação quadrática do sistema AX = b quando</p><p>( ) ( )0 0</p><p>tAX b AX b− − assume o menor valor possível. Então, dado o</p><p>sistema</p><p>1 0 1</p><p>0 1 1 ,</p><p>1 0 1</p><p>x</p><p>y</p><p>−   </p><p>    =           </p><p>a sua melhor aproximação quadrática é:</p><p>(A)</p><p>1</p><p>.</p><p>1</p><p> </p><p> − </p><p>(B)</p><p>1</p><p>.</p><p>1</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>(C)</p><p>2</p><p>.</p><p>0</p><p>− </p><p> </p><p> </p><p>(D)</p><p>1</p><p>.</p><p>0</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>(E)</p><p>0</p><p>.</p><p>1</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>79 O sistema</p><p>1 1 1</p><p>1 2 1 2 1 2</p><p>2 2 2</p><p>,    , , , , , ,</p><p>a x b y c</p><p>a a b b c c</p><p>a x b y c</p><p>+ =</p><p>∈ + =</p><p></p><p>com 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ,  (0, 0)) , 0, é:c c a c a c b c b c≠ + = + =</p><p>(A) determinado.</p><p>(B) determinado somente quando 1 20 e  0.c c≠ ≠</p><p>(C) determinado somente quando 1 20 e  0c c≠ = ou 1 20 e  0.c c= ≠</p><p>(D) impossível.</p><p>(E) indeterminado.</p><p>80 Seja ( )2 2A M ×∈  uma matriz simétrica e não nula, cujos elementos</p><p>são tais que a11, a12 e a22 formam, nessa ordem, uma progressão</p><p>geométrica de razão q ≠ 1 e 115tr A a= . Sabendo-se que o sistema AX = X</p><p>admite solução não nula ( )2 1X M ×∈  , pode-se afirmar que a2</p><p>11+ q2 é</p><p>igual a:</p><p>(A)</p><p>101</p><p>.</p><p>25</p><p>(B)</p><p>121</p><p>.</p><p>25</p><p>(C) 5.</p><p>(D)</p><p>49</p><p>.</p><p>9</p><p>(E) 25</p><p>.</p><p>4</p><p>81 Sejam ( )3 3,A B M ×∈  . Mostre as propriedades abaixo:</p><p>Se AX é a matriz coluna nula para todo ( )3 1X M ×∈  , então A é a matriz</p><p>nula.</p><p>Se A e B são não nulas e tais que AB é a matriz nula, então det A = det B = 0.</p><p>82 Considere o sistema Ax b= , em que</p><p>1 2 3 1</p><p>2 6 ,   6  e .</p><p>1 3 3 0</p><p>A k b k</p><p>k</p><p>−   </p><p>   = = ∈   </p><p>   − −   </p><p></p><p>Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema impossível,</p><p>e sendo S a soma de todos os valores de k que tornam o sistema possível</p><p>e indeterminado, então o valor de –T S é:</p><p>(A) 4− .</p><p>(B) 3− .</p><p>(C) 0 .</p><p>(D) 1 .</p><p>(E) 4 .</p><p>83 Sejam A e C matrizes n × n inversíveis tais que ( )1det 1/3I C A−+ =</p><p>e det A = 5. Sabendo que ( )1 13</p><p>t</p><p>B A C− −= + , então o determinante de B</p><p>é igual a:</p><p>(A) 3n.</p><p>(B) 2</p><p>3</p><p>2</p><p>5</p><p>n</p><p>⋅ .</p><p>(C)</p><p>1</p><p>5 .</p><p>(D)</p><p>13</p><p>5</p><p>n−</p><p>.</p><p>(E) 5 · 3n – 1.</p><p>84 Uma matriz real quadrada A é ortogonal se A for inversível e 1 .tA A− =</p><p>Determine todas as matrizes 2 × 2 que são simétricas e ortogonais,</p><p>expressando-as, quando for o caso, em termos de seus elementos que</p><p>estão fora da diagonal principal.</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 7</p><p>96 IME-ITA – Vol. 5</p><p>85 Sejam A = (ajk) e B = (bjk), duas matrizes quadradas n × n, em que ajk</p><p>e bjk são, respectivamente, os elementos da linha j e coluna k das matrizes</p><p>A e B, definidos por</p><p>, quando  ; , quandojk jk</p><p>j k</p><p>a j k a j k</p><p>k j</p><p>   </p><p>= ≥ = <   </p><p>   </p><p>e ( )</p><p>0</p><p>2 .</p><p>jk</p><p>p</p><p>jk</p><p>p</p><p>jk</p><p>b</p><p>p=</p><p> </p><p>= −  </p><p> </p><p>∑</p><p>O traço de uma matriz quadrada (cjk) de ordem n × n é definido por</p><p>1 .n</p><p>p ppC=∑ Quando n for ímpar, o traço de A + B será igual</p><p>a:</p><p>(A) n(n – 1)/3.</p><p>(B) (n – 1)(n + 1)/4.</p><p>(C) (n2 – 3n + 2)/(n – 2).</p><p>(D) 3(n – 1)/n.</p><p>(E) (n – 1)/(n – 2).</p><p>86 Sendo x, y, z, e w números reais, encontre o conjunto solução do</p><p>sistema</p><p>( )( ) 1log 2 3 0x y w z − + − =  </p><p>3 32 8 2 0x z y z w+ − +− ⋅ =</p><p>3 2 6 2 2 0x y z w+ + − − =</p><p>87 A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o</p><p>sistema linear</p><p>3 2</p><p>2 5 1</p><p>2 2</p><p>x y z</p><p>x y z</p><p>x y az b</p><p>+ + =</p><p> + + =</p><p> + + =</p><p>é:</p><p>(A) a – b ≠ 2.</p><p>(B) a + b = 10.</p><p>(C) 4a – 6b = 0.</p><p>(D) a/b = 3/2.</p><p>(E) a · b = 24.</p><p>88 Se det 1</p><p>a b c</p><p>p q r</p><p>x y z</p><p> </p><p>  = − </p><p>  </p><p>, então o valor do det</p><p>2 2 2</p><p>2 2 2</p><p>3 3 3</p><p>a b c</p><p>p x q y r z</p><p>x y z</p><p>− − − </p><p> + + + </p><p>  </p><p>é igual a:</p><p>(A) 0.</p><p>(B) 4.</p><p>(C) 8.</p><p>(D) 12.</p><p>(E) 16.</p><p>89 Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a e b reais, dado por</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>1</p><p>1</p><p>a b x a b y</p><p>a b x a b y</p><p> − − + =</p><p> + + − =</p><p>Considere as seguintes afirmações:</p><p>I. O sistema é possível e indeterminado se a = b = 0</p><p>II. O sistema é possível e determinado se a e b não são simultaneamente</p><p>nulos</p><p>III. ( ) 12 2 2 2x y a b</p><p>−</p><p>+ = + , se a2 + b2 ≠ 0.</p><p>Pode-se afirmar que é(são) verdadeira(s) apenas:</p><p>(A) I.</p><p>(B) II.</p><p>(C) III.</p><p>(D) I e II.</p><p>(E) II e III.</p><p>90 Considere as seguintes matrizes:</p><p>1   0   1/ 2 1    1    3 1/ 2 1</p><p>2   5    2 3    1  2    2  3</p><p>e</p><p>1 1 2  1 1   1     1  1</p><p>5  1 3 / 2  0   5 1   1/ 2  5</p><p>A B</p><p>− −   </p><p>   − − − −   = =</p><p>   − −</p><p>   </p><p>− −   </p><p>Determine o elemento c34 da matriz C = (A + B)–1.</p><p>91 O sistema linear</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>bx y</p><p>by z</p><p>x bz</p><p>+ =</p><p> + =</p><p> + =</p><p>não admite solução se, e somente se, o número real b for igual a:</p><p>(A) –1.</p><p>(B) 0.</p><p>(C) 1.</p><p>(D) 2.</p><p>(E) –2.</p><p>92 Sejam A e B matrizes 2 × 2 tais que AB – BA e que satisfazem à</p><p>equação matricial 2 2 0A AB B+ − = . Se B é inversível, mostre que</p><p>a. AB–1 = B–1.</p><p>b. A é inversível.</p><p>93 Considere a, b e c números inteiros e 2 < a < b < c. Determine o(s)</p><p>valor(es) de x, y e z, que satisfaçam o seguintesistema de equações:</p><p>2</p><p>2 3 2</p><p>3 4</p><p>0</p><p>2013</p><p>ax by cz abc</p><p>ax by abc</p><p>by cz</p><p>xyz</p><p>− + =</p><p> − = −</p><p> − + =</p><p> =</p><p>94 São dadas duas matrizes A e B tais que</p><p>5 11</p><p>11 25</p><p>A B</p><p> </p><p>⋅ =  </p><p> </p><p>e</p><p>14</p><p>14</p><p>x</p><p>BA</p><p>y</p><p> </p><p>=  </p><p> </p><p>, com x e y reais e x > y.</p><p>Determine:</p><p>a. o(s) valor(es) de x e y;</p><p>b. as matrizes A e B que satisfazem as equações apresentadas.</p><p>95 Calcule as raízes de f(x) em função de a,b e c, sendo , ,      :a b ce x∈</p><p>(real) e</p><p>( )</p><p>x a b c</p><p>a x c b</p><p>f x</p><p>b c x a</p><p>c b a x</p><p>=</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 7</p><p>Matrizes, Determinantes, Sistemas Lineares</p><p>97IME-ITA – Vol. 5</p><p>96 Demonstre que a matriz</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>y z xy xz</p><p>xy x z yz</p><p>xz yz x y</p><p> +</p><p> </p><p>+ </p><p>  + </p><p>,onde x, y, ∈¥,</p><p>pode ser escrita como o quadrado de uma matriz simétrica, com traço igual</p><p>a zero, cujos elementos pertencem ao conjunto dos números naturais.</p><p>Obs.: traço de uma matriz é a soma dos elementos de sua diagonal</p><p>principal.</p><p>97 Seja o sistema</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>tan tan</p><p>tan tan</p><p>tan tan</p><p>x y z a</p><p>y z x b</p><p>z x y c</p><p> − =</p><p> − =</p><p> − =</p><p>, em que a, b, c, x, y, z ∈ ¡.</p><p>Determine as condições que a, b e c devem satisfazer para que o sistema</p><p>admita pelo menos uma solução.</p><p>98 Sabe-se que:</p><p>[ ] { }, a a a a= + ∀ ∈ , em que [a] é a parte inteira de a</p><p>[ ] { }</p><p>[ ] { }</p><p>[ ] { }</p><p>4,2</p><p>3,6</p><p>2</p><p>x y z</p><p>y z x</p><p>z x y</p><p> + + =</p><p> + + =</p><p> + + =</p><p>, com x, y e z ∈ ¡</p><p>Determine o valor de x – y + z.</p><p>99 Dada uma matriz quadrada A de ordem n, definida da seguinte forma:</p><p>• os elementos da linha i da coluna n são da forma</p><p>1in</p><p>n</p><p>a</p><p>n i</p><p> </p><p>= − − + </p><p>;</p><p>• os elementos imediatamente abaixo da diagonal principal são unitários,</p><p>isto é, aij = 1 para i – j = 1;</p><p>• todos os demais elementos são nulos.</p><p>Sendo I a matriz identidade de ordem n e det (M) o determinante de</p><p>uma matriz M, encontre as raízes da equação det (xI − A) = 0.</p><p>100 Os elementos da matriz dos coeficientes de um sistema de quatro</p><p>equações lineares e quatro incógnitas (x, y, z e w)são função de quatro</p><p>constantes a, b, c, e d. Determine as relações entre a, b, c, d para que o</p><p>referido sistema admita uma solução não trivial, sabendo que CD = –DC,</p><p>em que</p><p>e  .</p><p>a b x y</p><p>C D</p><p>c d z w</p><p>   </p><p>= =   </p><p>   </p><p>101 Considere as matrizes</p><p>3 1</p><p>4 4</p><p>1 3</p><p>4 4</p><p>A</p><p> </p><p> </p><p>=  </p><p> </p><p>  </p><p>e</p><p>1 0</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>B</p><p> </p><p> =</p><p> </p><p>  </p><p>,e amita que P</p><p>seja uma matriz inversível tal que B = P–1 AP. Sendo n um número natural,</p><p>calcule o determinante da matriz An.</p><p>102 Seja Dn = det(An), rm que</p><p>An=</p><p>2 –1 0 0 ... 0 0</p><p>nxn</p><p>–1 2 –1 0 ... 0 0</p><p>0 –1 2 –1 ... 0 0</p><p>... ... ... ... ... ... ...</p><p>0 0 0 0 ... 2 –1</p><p>0 0 0 0 ... –1 2</p><p>Determine nD em função de ( )  , 1 .n n n∈ ≥ </p><p>103 Calcule o determinante da matriz n × n em função de b, em que b</p><p>é um número real tal que b2 ≠ 1.</p><p>b2 + 1 b 0 0 ... 0 0</p><p>b b2 + 1 b 0 ... 0 0</p><p>0 b b2 + 1 b ... 0 0</p><p>n</p><p>linhas</p><p>0 0 b b2 + 1 ... 0 0</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>. . .</p><p>...</p><p>...</p><p>0 0 0 0 ... b2 + 1 b</p><p>0 0 0 0 ... b b2 + 1</p><p>n colunas</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 7</p><p>98 IME-ITA – Vol. 5</p><p>1. Progressão aritmética</p><p>Definição: ak = ak – 1 + r</p><p>Termo Geral: an = a1 + (n – 1)r ; an = ap + (n – p)r</p><p>Soma: S</p><p>a a nn�</p><p>�� �1</p><p>2</p><p>Ideias importantes:</p><p>• Escrever de forma simétrica: ( , , ); , , , ;x r x x r x</p><p>r r r r</p><p>� � � � � � � � ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>3</p><p>2 2 2</p><p>3</p><p>2</p><p>• Todo termo é média ponderada dos extremos: a</p><p>n p</p><p>n</p><p>a</p><p>p</p><p>n</p><p>ap n�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�1</p><p>1</p><p>11 ,</p><p>em particular o termo central é média aritmética.</p><p>2. Progressão geométrica</p><p>Definição: ak = ak – 1q</p><p>Termo Geral: an = a1q</p><p>n – 1 ; an = apq</p><p>n – p</p><p>Soma: S</p><p>a q</p><p>q</p><p>q</p><p>n</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�1 1</p><p>1</p><p>1,</p><p>Produto da PG:P �</p><p>�</p><p>a q</p><p>n n</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>( )</p><p>Soma da PG infinita: S</p><p>a</p><p>q</p><p>q�</p><p>�</p><p>�1</p><p>1</p><p>1,| |</p><p>Ideias importantes:</p><p>• Escrever de forma simétrica:</p><p>x</p><p>q</p><p>x xq</p><p>x</p><p>q</p><p>x</p><p>q</p><p>xq xq, , ; , , ,/ /</p><p>/ /�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�3 2 1 2</p><p>1 2 3 2 ;</p><p>• O termo central é a média geométrica dos extremos.</p><p>3. Sequências</p><p>Diferença de consecutivos → Soma telescópica:</p><p>a a a ak k n</p><p>k</p><p>n</p><p>�� � � ��</p><p>�</p><p>� 1 0</p><p>1</p><p>Recorrências de 1ª ordem: xn – axn – 1 = b: dividir por a</p><p>x</p><p>a</p><p>x</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>n n</p><p>n</p><p>n</p><p>n n, � ��</p><p>�</p><p>1</p><p>1</p><p>,</p><p>e substituir variáveis, y</p><p>x</p><p>d</p><p>y y</p><p>b</p><p>an</p><p>n</p><p>n n n n� � � ��1</p><p>(soma telescópica).</p><p>Recorrências de 2ª ordem: axn + 2 + bxn + 1 + cxn = 0</p><p>(eq. característica: ax2 + bx + c = 0), então: xn</p><p>r r r r</p><p>r nr r r r</p><p>n m</p><p>n n</p><p>�</p><p>� �</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>� �</p><p>� �</p><p>1 2 1 2</p><p>1 2</p><p>,</p><p>,</p><p>.</p><p>4. Somas importantes</p><p>k</p><p>n n</p><p>k</p><p>n n n</p><p>k</p><p>n n</p><p>k</p><p>n</p><p>k</p><p>n</p><p>k</p><p>n</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>� � �( )</p><p>;</p><p>( )( )</p><p>;</p><p>( )1</p><p>2</p><p>1 2 1</p><p>6</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>22</p><p>5. Números inteiros</p><p>Critérios de divisibilidade:</p><p>• Por 2n e 5n: olhar para os n últimos algarismos;</p><p>• Por 3 e por 9: olhar para a soma dos algarismos;</p><p>• Por 11: soma dos algs. de ordem ímpar – soma dos algs. de ordem par.</p><p>Fórmulas conhecidas: se n p p pa a</p><p>k</p><p>ak= 1</p><p>1</p><p>2</p><p>2 ...</p><p>• Número de divisores positivos: d(n) = (a1 + 1)(a2 + 1)...(ak +1)</p><p>• Soma dos divisores positivos: �( ) ...n</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>a a</p><p>k</p><p>ak</p><p>k</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>1</p><p>1 1</p><p>1</p><p>2</p><p>2 1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>• Quantidade de primos entre si com n, menores que n:</p><p>�( ) ...n n</p><p>p p pk</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1 2</p><p>.</p><p>Congruência: a ≡ b (mod n) ⇔ n|(a – b)</p><p>Operações válidas:</p><p>• a ≡ b (mod n), c ≡ d (mod n) ⇒ a + c ≡ b +d (mod n)</p><p>• a ≡ b (mod n), c ≡ d (mod n) ⇒ ac ≡ bd (mod n)</p><p>• a ≡ b (mod n) ⇒ an ≡ bn(mod n)</p><p>Lei do corte: ap bp n a b</p><p>n</p><p>m d c n p</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�(mod ) mod</p><p>. . .( , )</p><p>Teoremas importantes:</p><p>• Pequeno Teorema de Fermat: p primo ⇒ ap ≡ a(mod p)</p><p>• Teorema de Euler: m.d.c.(a, n) = 1 ⇒ aϕ(n) ≡ 1(mod n) .</p><p>01 Demonstrar que: ( 1) ( 1)</p><p>1 3 6 10</p><p>2 2</p><p>n n n n− +</p><p>+ + + + + + =</p><p>( 1)( 2)</p><p>.</p><p>6</p><p>n n n+ +</p><p>=</p><p>02 Demonstrar que:</p><p>1 1 1</p><p>1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2)n n n</p><p>+ + + =</p><p>+ +</p><p></p><p>( 3)</p><p>.</p><p>4( 1)( 2)</p><p>n n</p><p>n n</p><p>+</p><p>=</p><p>+ +</p><p>03 Demonstrar a fórmula de Moivre: (cos ϕ + i sen ϕ)n =</p><p>cos nϕ + i sen nϕ</p><p>Números inteiros e progressões</p><p>MATEMÁTICA III ASSUNTO</p><p>7</p><p>99IME-ITA – Vol. 5</p><p>04 Demonstrar que se os números reais a1, a2,..., an,... satisfazem a</p><p>condição – 1 < ai ≤ 0, i = 1, 2,... , então para qualquer valor de n se cumpre</p><p>a desigualdade: (1 + a1)(1 + a2)...(1+ an) ≥ 1 + a1+ a2 +... + an.</p><p>05 A n-ésima potência fatorial de qualquer número a, representada pelo</p><p>símbolo (a)n, para os valores inteiros e não negativos de n define-se da seguinte</p><p>maneira: se n = 0, (a)n = 1, sendo n > 0.., (a)n = a(a – 1)...(a – n + 1).</p><p>Demonstrar que para a potência fatorial da soma de dois números é válida</p><p>a fórmula: ( ) ( ) ( )0 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) .0 1n n n n</p><p>n n na b a b a b a bn−+ = + + +</p><p>06 Demonstrar que, para todo n inteiro e positivo, é válida a desigualdade:</p><p>(1 + a)n ≥ 1 + na, quando 1 + a > 0 (desigualdade de Bernoulli).</p><p>07 Demonstrar que para todo n inteiro e positivo, 22n–1 + 32n–1 é sempre</p><p>divisível por 5.</p><p>08 Demonstrar que para todo n inteiro e positivo, é válida a desigualdade</p><p>(2n)! < 22n · (n!)2.</p><p>09 Mostre que</p><p>(2 1)</p><p>sen1 2cos cos2 ...cos .</p><p>2 2sen</p><p>2</p><p>n x</p><p>x x nx</p><p>x</p><p>+</p><p>+ + + =</p><p>10 Mostre que para todo número natural n maior ou igual a 2, ( )5</p><p>4 22 .</p><p>n</p><p>n</p><p>n<</p><p>11 Considere a sequência cujos primeiros termos são 1, 2, 3, 5, 8, 13,</p><p>21, 34, 55, ... Seja an seu n-ésimo termo. Mostre que 1 5</p><p>2</p><p>n</p><p>na</p><p> +</p><p><   </p><p> </p><p>,</p><p>para todo n ≥ 2.</p><p>12 Mostre que a representação de 171 na base 2 é (10101011)2.</p><p>13 Mostre que o número cuja representação na base 6 é (230)6 é 90.</p><p>14 Prove que se a equação anx</p><p>n + an–1 +...+ a1x + a0 = 0 (em que ai é</p><p>sempre inteiro) admite uma raiz racional p/q, na forma irredutível, então</p><p>p divide a0 e q divide an.</p><p>15 Sejam a, b, c números inteiros tais que 100a + 10b + c seja divisível</p><p>por 109. Mostre que (9a – c)2 + 9b2 também é divisível por 109.</p><p>16 Demonstrar que se os números positivos a, b, c formam uma</p><p>progressão aritmética, então os números</p><p>1 1 1</p><p>, ,</p><p>b c c a a b+ + +</p><p>também formam uma progressão aritmética.</p><p>17 Prove que se os números positivos a1, a2, ... , an formam uma progressão</p><p>aritmética, então,</p><p>1 2 2 3 1</p><p>1 1 1</p><p>n na a a a a a−</p><p>+ + + =</p><p>+ + +</p><p></p><p>1</p><p>1</p><p>n</p><p>n</p><p>a a</p><p>−</p><p>=</p><p>+</p><p>, para todo n inteiro positivo.</p><p>18 Demonstrar que se os números a1, a2, ..., an são não nulos e formam</p><p>uma progressão aritmética, então</p><p>1 2 2 3 3 4 1</p><p>1 1 1 1</p><p>n na a a a a a a a−</p><p>+ + + + =</p><p>1</p><p>1</p><p>n</p><p>n</p><p>a a</p><p>−</p><p>= , para todo n inteiro positivo.</p><p>19 Demonstrar que, toda sucessão de números a1, a2,..., an, tal que para</p><p>qualquer n ≥ 3 satisfaz a condição</p><p>1 2 2 3 3 4 1</p><p>1 1 1 1</p><p>n na a a a a a a a−</p><p>+ + + + =</p><p>1</p><p>1</p><p>n</p><p>n</p><p>a a</p><p>−</p><p>= , é uma progressão aritmética.</p><p>20 Mostrar que para toda progressão aritmética a1, a2, a3, ... , an tem lugar</p><p>as igualdades</p><p>a1 – 2a2 + a3 = 0</p><p>a1 – 3a2 + 3a3 – a4 = 0</p><p>a1 – 4a2 + 6a3 – 4a4 + a5 = 0,</p><p>e que, em geral, para qualquer n ≥ 2 temos:</p><p>( ) ( ) ( )1</p><p>1 2 3 1( 1) ( 1) 01 2 1</p><p>n n</p><p>n n</p><p>n n na a a a an</p><p>−</p><p>+− + + + − + − =− .</p><p>21 Demonstrar que para qualquer progressão aritmética a1, a2, ..., an, an + 1, ...</p><p>sendo n ≥ 3 tem lugar a igualdade ( ) ( )2 2 2</p><p>1 2 1( 1) 01</p><p>n</p><p>n</p><p>n na a an +− + + − = .</p><p>22 Demonstrar que se os números logk x, logm x, logn x (x ≠ 1) formam</p><p>uma progressão aritmética, então n2 = (kn)logk m.</p><p>23 Achar uma progressão aritmética na qual a razão entre a soma dos n</p><p>primeiros termos e a soma dos kn seguintes não depende de n.</p><p>24 Os números x1, x2, ... , xn formam uma progressão aritmética. Achar</p><p>essa progressão, se x1 + x2 +...+ xn = a e x1</p><p>2 + x2</p><p>2 +...+ x2</p><p>n = b2.</p><p>25 A sucessão de números 1, 4, 10, 19, ... possui a propriedade de que</p><p>a diferença de dois números vizinhos formam uma progressão aritmética.</p><p>Achar o enésimo termo e a soma dos n primeiros termos dessa sucessão</p><p>de números.</p><p>26 Dada a tabela:</p><p>1,</p><p>2, 3, 4,</p><p>3, 4, 5, 6, 7,</p><p>4, 5, 6, 7, 8, 9, 10</p><p>.......................................</p><p>Demonstrar que a soma dos termos de cada fila horizontal é igual ao</p><p>quadrado de um número ímpar.</p><p>27 Na progressão geométrica a1, a2, a3, ... conhecem-se os termos</p><p>am+n = A, am–n = B. Achar am e an (A ≠ 0).</p><p>28 Suponhamos que Sn é a soma dos n primeiros termos de uma</p><p>progressão geométrica, Sn ≠ 0, q ≠ 0. Demonstrar que 2</p><p>2 3 2</p><p>n n n</p><p>n n n n</p><p>S S S</p><p>S S S S</p><p>−</p><p>=</p><p>− −</p><p>29 Conhecendo a soma Sn dos n primeiros termos de uma progressão</p><p>geométrica e a soma Sn dos inversos desses termos, achar o produto</p><p>Pn dos n primeiros termos da progressão.</p><p>30 Achar a soma 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ... + (n + 1)xn.</p><p>MATEMÁTICA III</p><p>Assunto 7</p><p>100 IME-ITA – Vol. 5</p><p>31 Considere a soma Sn = 1 + 11 + 111 + ... + 111...1, em que a</p><p>última parcela é um número de n algarismos.</p><p>a. Prove que Sn+1 = n + 10Sn, para todo n inteiro positivo.</p><p>b. Determine Sn.</p><p>32 Achar a soma nx + (n – 1)x2 + ... + 2xn–1 + 1x.</p><p>33 Achar a soma</p><p>2 3</p><p>1 3 5 2 1</p><p>... .</p><p>2 2 2 2n</p><p>n −</p><p>+ + + +</p><p>34 Demonstrar que os números 49, 4.489, 444.889, ..., obtidos</p><p>colocando o número 48 no meio do anterior, são quadrados de números</p><p>inteiros.</p><p>35 Demonstrar que se pode achar uma progressão geométrica</p><p>decrescente 1, q, q2, ..., qn, ..., da qual cada termo difere da soma de</p><p>todos os termos que lhe seguem de um fator k. Para quais valores de k</p><p>é possível o problema?</p><p>36 Uma sucessão infinita x1, x2, ..., xn, ... (x1 ≠ 0) para qualquer n ≥ 3</p><p>satisfaz a condição (x1</p><p>2 + x2</p><p>2 + ... +xn–1</p><p>2 )(x2</p><p>2 + x3</p><p>2 + ... + x2</p><p>n) = (x1x2 + x2x3</p><p>+ ... + xn–1xn)</p><p>2. Demonstrar que x1, x2, ..., xn, ... são termos sucessivos</p><p>de uma progressão geométrica.</p><p>37 Dadas uma progressão aritmética com termo genérico an e uma</p><p>progressão geométrica com termo genérico bn, com a particularidade</p><p>de que para todos os números naturais n, a1 = b1, a2 = b2, a1 ≠ a2 e an</p><p>> 0. Demonstrar que para n > 2, an < bn.</p><p>38 Demonstrar que se para uma progressão geométrica a1, a2, ..., an, ...</p><p>e uma progressão aritmética b1, b2, ..., ... se cumprem as desigualdades:</p><p>2</p><p>1 2 1</p><p>1</p><p>0, 0, 0</p><p>a</p><p>a b b</p><p>a</p><p>> > − > , então existe um número a, tal que (logaan) – bn</p><p>não depende de n.</p><p>39 Seja A = {1, 2,..., p}. Calcule o valor da soma dos produtos que se</p><p>podem obter usando como fatores dois elementos distintos de A.</p><p>40 Sejam a = 111 ... 1 (n dígitos iguais a 1) e b = 100 ... 05 (n – 1</p><p>dígitos iguais a 0). Prove que ab + 1 é um quadrado perfeito e determine</p><p>sua raiz quadrada.</p><p>41 A razão entre as somas dos n primeiros termos de duas progressões</p><p>aritméticas é, para todo n natural, igual a 2 3</p><p>7 2</p><p>n</p><p>n</p><p>−</p><p>−</p><p>. Determine a razão entre</p><p>seus vigésimos termos.</p><p>42</p><p>a. O quadrado de qualquer número par 2n pode ser expresso como a</p><p>soma de n termos, em progressão aritmética. Determine o primeiro</p><p>termo e a razão dessa progressão.</p><p>b. Três progressões geométricas têm mesma razão q e primeiros termos</p><p>diferentes a, b e c. A soma dos n primeiros termos da primeira é</p><p>igual à soma dos 2n primeiros termos da primeira é igual à soma dos</p><p>2n primeiros termos da segunda e igual à soma dos 3n primeiros</p><p>termos da terceira. Determine a relação que liga as razões e</p><p>b c</p><p>a a</p><p>,</p><p>em função somente de a, b e c.</p><p>43 Seja a sequência {Vn}, n = 0, 1, 2,..., definida a partir de seus dois</p><p>primeiros termos Vo e V1 e pela fórmula geral: Vn = 6Vn–1 – 9Vn–2, para</p><p>n > 2.</p><p>Define-se uma nova sequência {Un}, n = 0, 1, 2,..., pela fórmula: Vn</p><p>= 3nUn.</p><p>a. Calcule Un – Un – 1 em função de Uo e U1</p><p>b. Calcule Un e Vn em função de n, V1 e V0.</p><p>c. Identifique a natureza das sequências {Vn} e {Un} quando V1 = 1 e</p><p>0</p><p>1</p><p>3</p><p>V = .</p><p>44 Mostre que os números 12, 20 e 35 não podem ser termos de uma</p><p>mesma progressão geométrica.</p><p>45 Três números, cuja soma é 126, estão em progressão aritmética e outros</p><p>três em progressão, geométrica. Somando os termos correspondentes das</p><p>duas progressões obtém-se 85, 76 e 84 respectivamente. Encontre os</p><p>termos dessas progressões.</p><p>46 Calcule quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem</p><p>no sistema de base 7.</p><p>47 Prove, por indução, que (a + b)n = Cn</p><p>0an + Cn</p><p>1an–1b+...+Cn</p><p>n bn para</p><p>n ∈ Ν.</p><p>48 alcule a soma</p><p>1 1 1 1</p><p>... .</p><p>1 4 4 7 7 10 2.998 3.001</p><p>+ + + +</p><p>⋅ ⋅ ⋅ ⋅</p><p>49 Considere os números ímpares escritos sucessivamente, como</p><p>mostra a figura abaixo, em que a enésima linha compreende n números.</p><p>Encontre em função de</p><p>n, nessa linha, a soma de todos os números</p><p>escritos, bem como o primeiro e o último.</p><p>3</p><p>7</p><p>1715</p><p>23 25 27</p><p>19</p><p>29</p><p>5</p><p>9</p><p>13</p><p>21</p><p>1</p><p>11</p><p>50 Uma soma finita de números inteiros consecutivos, ímpares,</p><p>positivos ou negativos, é igual a 73. Determine os termos dessa soma.</p><p>51 Determine as possíveis progressões aritméticas para as quais o</p><p>resultado da divisão da soma dos seus n primeiros termos pela soma</p><p>dos seus 2n primeiros termos seja independente do valor de n.</p><p>52 Considere quatro números inteiros a, b, c e d. Prove que o produto</p><p>(b – a)(c – a)(d – a)(c – b)(d – b)(d – c) é divisível por 12.</p><p>53 Prove que para qualquer número inteiro k, os números k e k5 terminam</p><p>com o mesmo algarismo (algarismo das unidades).</p><p>54 Calcule a soma dos números entre 200 e 500 que são múltiplos de 6</p><p>ou de 14, mas não simultaneamente múltiplos de ambos.</p><p>55 Sabe-se que loga b = X, logq b = Y e n > 0, onde n é um número natural.</p><p>Sendo c o produto dos n termos de uma progressão geométrica de primeiro</p><p>termo a e razão q, calcule o valor de logc b em função de X, Y e n.</p><p>MATEMÁTICA III</p><p>Assunto 7</p><p>Números inteiros e progressões</p><p>101IME-ITA – Vol. 5</p><p>56 Dada uma circunferência de raio R, inscreve-se nela um quadrado.</p><p>A seguir, inscreve-se uma circunferência nesse quadrado. Esse processo</p><p>se repete indefinidamente para o interior da figura de maneira que cada</p><p>quadrado estará sempre inscrito em uma circunferência e simultaneamente</p><p>circunscrito por outra. Calcule, em função de R, a soma das áreas</p><p>delimitadas pelos lados dos quadrados e pelas circunferências que os</p><p>circunscrevem, conforme mostra a figura.</p><p>R</p><p>R</p><p>57 Um triângulo tem lados medindo 3, 4 e 5 centímetros. A partir dele,</p><p>constrói-se uma sequência de triângulos do seguinte modo: os pontos</p><p>médios dos lados de um triângulo são os vértices do seguinte. Dentre</p><p>as alternativas abaixo, o valor em centímetros quadrados que está</p><p>mais próximo das somas das áreas dos 78 primeiros triângulos assim</p><p>construídos, incluindo o triângulo inicial, é:</p><p>(A) 8.</p><p>(B) 9.</p><p>(C) 10.</p><p>(D) 11.</p><p>(E) 12.</p><p>58 Qual é o resto de 2015 na divisão por 31?</p><p>59 Determine os dois últimos dígitos de 3200.</p><p>60 Mostre que a equação x3 – 117y3 = 5 não possui soluções inteiras.</p><p>61 Seja p um número primo. Prove que se ap – bp é múltiplo de p, então,</p><p>ap – bp é múltiplo de p2.</p><p>62 Para quais inteiros não negativos n e k o número (k + 1)n + (k + 2)n</p><p>+ (k + 3)n + (k + 4)n + (k + 5)n é divisível por 5?</p><p>63 Prove que 1.492n – 1.770n – 1.863n + 2.141n é múltiplo de 1.946</p><p>para todo n natural.</p><p>64 Prove que 22n + 24n – 10 é múltiplo de 18, para todo n natural.</p><p>65 Prove que n4 + 2n3 + 2n2 + 2n+1 não é quadrado perfeito para n = 1, 2, 3... .</p><p>66 Seja n > 6 um inteiro positivo não divisível por 6. Se, na divisão de n2</p><p>por 6, o quociente é um número ímpar, então o resto da divisão n de por</p><p>6 é n:</p><p>(A) 1.</p><p>(B) 2.</p><p>(C) 3.</p><p>(D) 4.</p><p>(E) 5.</p><p>67 Sabe-se que (x+2y, 3x – 5y, 8x – 2y, 11x – 7y + 2z) é uma progressão</p><p>aritmética com o último termo igual a −127. Então, o produto xyz é igual a:</p><p>(A) −60.</p><p>(B) −30.</p><p>(C) 0.</p><p>(D) 30.</p><p>(E) 60.</p><p>68 Considere a equação ( ) .( )</p><p>( )</p><p>x ak</p><p>k</p><p>k</p><p>� ��</p><p>�� 4</p><p>1</p><p>3</p><p>0 Sabendo que é uma</p><p>das raízes e que (a1, a2, a3) é uma progressão geométrica com a1 = 2 e</p><p>soma 6, pode-se afirmar que:</p><p>(A) a soma de todas as raízes é 5.</p><p>(B) o produto de todas as raízes é 21.</p><p>(C) a única raiz real é maior que zero.</p><p>(D) a soma das raízes não reais é 10.</p><p>(E) todas as raízes são reais.</p><p>69 Considere a progressão aritmética (a1, a2, ..., a50) de razão d. Se</p><p>10</p><p>1</p><p>10 25 .nn</p><p>a d</p><p>=</p><p>= +∑ e</p><p>50</p><p>1</p><p>4.550nn</p><p>a</p><p>=</p><p>=∑ , então d – a1 é igual a:</p><p>(A) 3.</p><p>(B) 6.</p><p>(C) 9.</p><p>(D) 11.</p><p>(E) 14.</p><p>70 A progressão geométrica infinita (a1, a2, ..., an, ...) tem razão r < 0.</p><p>Sabe-se que a progressão infinita (a1, a6, ..., a5n + 1, ...) tem soma 8 e a</p><p>progressão infinita (a5, a10, ..., a5n, ...) tem soma 2. Determine a soma da</p><p>progressão infinita (a1, a2, ..., an, ...)</p><p>71 Se as soluções da equação algébrica 2x3 – ax2 + bx + 54 = 0, com</p><p>coeficientes a, b ∈ , b ≠ 0, formam, em uma determinada ordem, uma</p><p>progressão geométrica, então,</p><p>a</p><p>b</p><p>é igual a:</p><p>(A) –3.</p><p>(B) −</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>(C) 1</p><p>3</p><p>.</p><p>(D) 1.</p><p>(E) 3.</p><p>72 Se A, B, C forem conjuntos tais que n (A ∪ B) = 23, n (B – A) =</p><p>12, n (C – A) = 10, n (B ∩ C) = 6 e n (A ∩ B ∩ C) = 4, então n (A),</p><p>n (A ∪ C), n (A ∪ B ∪ C), nessa ordem:</p><p>(A) formam uma progressão aritmética de razão 6.</p><p>(B) formam uma progressão aritmética de razão 2.</p><p>(C) formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo primeiro termo é 11.</p><p>(D) formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo primeiro termo é 31.</p><p>(E) não formam uma progressão aritmética.</p><p>73 Se as medidas dos lados de um triângulo obtusângulo estão em</p><p>progressão geométrica de razão, então, pertence ao intervalo:</p><p>MATEMÁTICA III</p><p>Assunto 7</p><p>102 IME-ITA – Vol. 5</p><p>(A)</p><p>0</p><p>1 2</p><p>2</p><p>� .</p><p>�� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>(B)</p><p>1 2</p><p>2</p><p>1 5</p><p>2</p><p>�� � �� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>,� .</p><p>(C)</p><p>1 5</p><p>2</p><p>1 5</p><p>2</p><p>�� � �� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>,</p><p>�</p><p>.</p><p>(D)</p><p>1 5</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>,� .</p><p>(E)</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 3� �� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>,</p><p>�</p><p>.</p><p>74 Sejam x e y dois números reais tais que ex, ey e o quociente</p><p>e</p><p>e</p><p>x</p><p>y</p><p>−</p><p>−</p><p>2 5</p><p>4 5</p><p>são todos racionais. A soma x + y é igual a:</p><p>(A) 0.</p><p>(B) 1.</p><p>(C) 2 log5 3.</p><p>(D) log5 2.</p><p>(E) 3 loge 2.</p><p>75 Seja k um número inteiro positivo e Ak={j ∈ N : j ≤ k e m.d.c. (j, k) = 1}.</p><p>Verifique se n(A3), n(A9), n(A27) e n(A81) e estão ou não, nessa ordem,</p><p>em uma progressão aritmética ou geométrica. Se for o caso, especifique</p><p>a razão.</p><p>76 Considere as seguintes afirmações sobre a expressão</p><p>S</p><p>k</p><p>k� � �</p><p>�� log :80</p><p>101</p><p>4 2</p><p>I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita.</p><p>II. S é a soma dos termos de uma progressão aritmética finita de razão</p><p>2</p><p>3</p><p>.</p><p>III. S = 3.451.</p><p>IV. S � �3 434 28. log</p><p>Então, pode-se afirmar que é(são) verdadeira(s) apenas:</p><p>(A) I e III.</p><p>(B) II e III.</p><p>(C) II e IV.</p><p>(D) II.</p><p>(E) III.</p><p>77 Em uma circunferência C1 de raio r1 = 3 cm está inscrito um hexágono</p><p>regular H1; em H1 está inscrita uma circunferência C2; em C2 está inscrito</p><p>um hexágono regular H2 e, assim, sucessivamente. Se An (em cm) é a</p><p>área do hexágono Hn, então Ann =</p><p>∞∑ 1</p><p>(em cm2) é igual a:</p><p>(A) 54 2.</p><p>(B) 54 3.</p><p>(C) 36 1 3�� �.</p><p>(D)</p><p>27</p><p>2 3�� �</p><p>.</p><p>(E)</p><p>30</p><p>2 3�� �</p><p>.</p><p>78 Seja (a1, a2, a3, ..., an, ...) uma progressão geométrica infinita de razão</p><p>positiva r, em que a1 = a é um número real não nulo. Sabendo que a soma</p><p>de todos os termos de índices pares desta progressão geométrica é igual</p><p>a 4 e que a soma de todos os termos de índices múltiplos de 3 é</p><p>16</p><p>13</p><p>,</p><p>determine o valor de a + r.</p><p>79 Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7</p><p>xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$31,50. Em outra mesa, o</p><p>consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou</p><p>R$42,00. Então, o consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço</p><p>de torta totaliza o valor de:</p><p>(A) R$17,50.</p><p>(B) R$16,50.</p><p>(C) R$12,50.</p><p>(D) R$10,50.</p><p>(E) R$9,50.</p><p>80 Sobre o número 7 4 3 3x = − + é correto afirmar que:</p><p>(A) ] [0, 2 .x∈</p><p>(B) x é racional.</p><p>(C) 2x é irracional.</p><p>(D) x2 é irracional.</p><p>(E) ] [2, 3 .x∈</p><p>81 O menor inteiro positivo n para o qual a diferença 1n n− − fica</p><p>menor que 0,01 é:</p><p>(A) 2.499.</p><p>(B) 2.501.</p><p>(C) 2.500.</p><p>(D) 3.600.</p><p>(E) 4.900.</p><p>82 Seja a1, a2, ... uma progressão aritmética infinita tal que</p><p>1</p><p>2</p><p>3 2 ,</p><p>n</p><p>k ka n n</p><p>=</p><p>= + π∑ para n ∈ *. Determine o primeiro termo e a</p><p>razão da progressão.</p><p>83</p><p>a. Mostre que o número real 3 32 5 2 5α = + + − é raiz da equação</p><p>x3 + 3x – 4 = 0.</p><p>b. Conclua de a que a é um número racional.</p><p>MATEMÁTICA III</p><p>Assunto 7</p><p>Números inteiros e progressões</p><p>103IME-ITA – Vol. 5</p><p>84 Considere a equação em x ∈ .</p><p>1 1mx x mx+ = + − , sendo m um parâmetro real.</p><p>a. Resolva a equação em função do parâmetro m.</p><p>b. Determine todos os valores de m para os quais a equação admite</p><p>solução não nula.</p><p>85 Determine todos os valores reais de a para os quais a equação</p><p>(x – 1)2 = |x – a| admita exatamente três soluções</p><p>distintas.</p><p>86 Considere a matriz</p><p>2 1</p><p>0 2</p><p>A</p><p> </p><p>=  </p><p> </p><p>. Seja a matriz</p><p>1</p><p>n</p><p>k</p><p>k</p><p>B A</p><p>=</p><p>=∑ , com k e n</p><p>números inteiros. Determine a soma, em função de n, dos quatro elementos</p><p>da matriz B.</p><p>87 O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de uma Progressão</p><p>Aritmética (PA) de números inteiros, de razão r, formam, nesta ordem,</p><p>uma Progressão Geométrica (PG), de razão q, com q e r ∈ * (natural</p><p>diferente de zero). Determine:</p><p>a. o menor valor possível para a razão r;</p><p>b. o valor do décimo oitavo termo da PA, para a condição do item a.</p><p>88 Sejam r e s ∈ Z (inteiro). Prove que (2r + 3s) é múltiplo de 17 se e</p><p>somente se (9r + 5s) é múltiplo de 17.</p><p>89 Os números m, 22.680 e n fazem parte, nessa ordem, de uma</p><p>progressão geométrica crescente com razão dada por q. Sabe-se que:</p><p>– existem, pelo menos, dois elementos entre m e 22.680;</p><p>– n é o sexto termo dessa progressão geométrica;</p><p>– n ≤ 180.000.</p><p>Determine os possíveis valores de m e n, sabendo que m, n e q são</p><p>números naturais positivos.</p><p>90 Seja x um número inteiro positivo menor ou igual a 20.000. Sabe-se</p><p>que 2x – x2 é divisível por 7. Determine o número de possíveis valores de x.</p><p>91 Sejam p(x) = 2x3 – 3x2 + 2 e os conjuntos</p><p>( ) { }2 2e  1.999 , 1 / e { 2 /   }.</p><p>p k</p><p>A k B r C q q</p><p>k</p><p>  = ∈ ≤ = + ∈ = + ∈ </p><p>  </p><p>  </p><p>Sabe-se que y = n(A ∩ B) – n(A ∩ C), em que n(E) é o número de</p><p>elementos do conjunto E. Determine o valor de y.</p><p>Obs.:  é o conjunto dos números naturais.</p><p>92 Seja a equação pn + 144 = q2, em que n e q são números inteiros</p><p>positivos e p é um número primo. Determine os possíveis valores de n, p e q.</p><p>93 Uma sequência de quatro termos forma uma PG. Subtraindo-se 2 do</p><p>primeiro termo e k do quarto termo, transforma-se a sequência original</p><p>em uma PA. Uma terceira sequência é obtida somando-se os termos</p><p>correspondentes da PG e da PA. Finalmente, uma quarta sequência, uma</p><p>nova PA, é obtida a partir da terceira sequência, subtraindo-se 2 do terceiro</p><p>termo e sete do quarto. Determine os termos da PG original.</p><p>94 Considere uma sequência de triângulos retângulos cuja lei de formação</p><p>é dada por</p><p>1</p><p>2</p><p>3k ka a+ =</p><p>1</p><p>4</p><p>5k kb b+ =</p><p>em que ak e bk, para k ≥ 1, são os comprimentos dos catetos do k-ésimo</p><p>triângulo retângulo. Se a1 = 30 cm e b1 = 42 cm, determine o valor da</p><p>soma das áreas de todos os triângulos quando k → ∞.</p><p>95 Sejam x1 e x2 as raízes da equação x2 +(m – 15)x + m = 0. Sabendo</p><p>que x1 e x2 são números inteiros, determine o conjunto de valores possíveis</p><p>para m.</p><p>96 Sejam ( ) ( ) ( )1 11 ,    e     1n na i a r si a r s r s i n+= − = + = − + + > termos</p><p>de uma sequência. Determine, em função de n, os valores de r e s que</p><p>tornam esta sequência uma progressão aritmética, sabendo que r e s são</p><p>números reais e 1.i = −</p><p>97 Determine o conjunto solução S = {(x, y) | x ∧ y ∈ } da equação</p><p>(x + y)k = xy sabendo que k é um número primo.</p><p>MATEMÁTICA III</p><p>Assunto 7</p><p>104 IME-ITA – Vol. 5</p><p>– Ideias importantes:</p><p>• Para achar o coeficiente de xt basta usar o termo geral e igualar o</p><p>expoente do x ao pedido no problema, assim achasse o k;</p><p>• Soma dos termos de ordem par ( ) ( )x a x an n� � �</p><p>2</p><p>; de ordem ímpar</p><p>( ) ( )x a x an n� � �</p><p>2</p><p>;</p><p>2.1 Triângulo de Pascal</p><p>• Relação de Stifel:</p><p>n</p><p>k</p><p>n</p><p>k</p><p>n</p><p>k</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�1</p><p>1</p><p>1</p><p>• Teorema das Linhas:</p><p>0</p><p>2</p><p>n</p><p>n</p><p>k</p><p>n</p><p>k</p><p>=</p><p> </p><p>= </p><p> </p><p>∑</p><p>• Teorema das Colunas:</p><p>0</p><p>1</p><p>1</p><p>p</p><p>k</p><p>n k n p</p><p>k n</p><p>=</p><p>+ + +   </p><p>=   +   </p><p>∑</p><p>• Teorema das Diagonais:</p><p>0</p><p>1p</p><p>k</p><p>n k n p</p><p>k p</p><p>=</p><p>+ + +   </p><p>=   </p><p>   </p><p>∑</p><p>01 Em um baile há seis rapazes e dez moças. Quantos pares podem ser</p><p>formados para a dança:</p><p>a. sem restrições?</p><p>b. se Lúcia e Célia se recusam a dançar tanto com Manoel como com</p><p>Carlos, e Aroldo não quer dançar com Célia nem Ana?</p><p>02 Uma bandeira é formada de sete listras que devem ser pintadas de três</p><p>cores diferentes. De quantas maneiras distintas será possível pintá-la de</p><p>modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor?</p><p>03 Um carro de montanha-russa é formado por dez bancos de dois lugares</p><p>cada um. De quantos modos dez casais podem sentar nesse carro?</p><p>04 Quantos embrulhos é possível formar com cinco livros de matemática,</p><p>três de física e dois de química, não sendo diferentes os livros da mesma</p><p>matéria?</p><p>05 Formam-se todos os números de seis algarismos, sem os repetir, com</p><p>os algarismos do número 786.415. Colocando-os em ordem crescente,</p><p>qual a posição do número dado?</p><p>06 Em uma urna há 2n bolas, numeradas de 1 a 2n. Sacam-se, uma a</p><p>uma, todas as bolas da urna.</p><p>a. De quantos modos se pode esvaziar a urna?</p><p>b. Quantos são os casos em que os k últimos números (k < 2n) aparecem</p><p>nas k últimas sacadas?</p><p>c. Quantos são os casos em que as bolas de número ímpar aparecem</p><p>nas sacadas de ordem par?</p><p>Permutação simples: Número de maneiras de ordenar n objetos →</p><p>Pn = n!</p><p>Combinação simples: Número de maneiras de escolher p objetos</p><p>num conjunto de n� �</p><p>�</p><p>CP</p><p>n</p><p>p n pn</p><p>!</p><p>!( )!</p><p>Permutação circular: Número de maneiras de colocar n pessoas em</p><p>um círculo → (PC)n = (n – 1)!</p><p>Combinação completa: Número de maneiras de escolher p objetos</p><p>dentre n tipos distintos, podendo escolher um mesmo objeto mais de uma</p><p>vez � � � �C Cn</p><p>p</p><p>n p</p><p>p</p><p>1.</p><p>(equivalente a soluções inteiras não negativas de x1 + x2 + ... + xn = p).</p><p>– Ideias importantes</p><p>• Considerar letras juntas como uma única letra;</p><p>• Fazer o total menos o que você não quer;</p><p>• Ordenar dois conjuntos distintos: Fixar um deles primeiro e depois</p><p>travar as restrições;</p><p>• Distribuir objetos iguais entre pessoas: soluções inteiras.</p><p>Se xk ≥ t fazer xk = t + xk (interpretação: uma pessoa deve receber pelo</p><p>menos t objetos);</p><p>Se x1 + x2 + ... + xn ≤ p fazer x1 + x2 + ... + xn + f = p (interpretação:</p><p>o que sobrar fica com mais uma pessoa);</p><p>– Identificar simetrias e dividir quando necessário;</p><p>– Separando pessoas em grupos de mesmo tamanho, descontar a ordem</p><p>dos grupos.</p><p>Ex.: Separar 12 pessoas em 3 grupos de 4, C C C12</p><p>4</p><p>8</p><p>4</p><p>4</p><p>4</p><p>3</p><p>⋅ ⋅</p><p>!</p><p>, ou em 3 grupos</p><p>de 2 e 2 grupos de 3: C C C C C12</p><p>2</p><p>10</p><p>2</p><p>8</p><p>2</p><p>6</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3 2</p><p>⋅ ⋅ ⋅ ⋅</p><p>⋅! !</p><p>.</p><p>1. Probabilidade</p><p>Definição:</p><p>casos favoráveis (A)</p><p>( ) ;0 ( ) 1</p><p>casos possíveis ( )</p><p>n</p><p>P A P A</p><p>n</p><p>= = ≤ ≤</p><p>Ω</p><p>;</p><p>Complementar: P A P AC( ) ( )� �1</p><p>União: P A B P A P( ) ( ) (B) P(A B)� � � � �</p><p>Eventos independentes: P A B P A P( ) ( ) (B)� � �</p><p>2. Binômio de Newton e</p><p>números binomiais</p><p>1</p><p>( )</p><p>n</p><p>n n k k</p><p>k</p><p>n</p><p>a B a b</p><p>k</p><p>−</p><p>=</p><p> </p><p>+ =  </p><p> </p><p>∑</p><p>Termo geral: T</p><p>n</p><p>k</p><p>a bk</p><p>n k k</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�1</p><p>Combinatória, probabilidade e números e números binominais</p><p>MATEMÁTICA III ASSUNTO</p><p>8</p><p>105IME-ITA – Vol. 5</p><p>07 De quantos modos pode se iluminar uma sala com n lâmpadas?</p><p>08</p><p>a. Calcular o número de divisores positivos do número:</p><p>N = 23 · 3 · 5 · 74.</p><p>b. Quantos destes divisores são pares?</p><p>09 Dados n pontos distintos de uma circunferência, quantos são os</p><p>polígonos convexos que podemos formar cujos vértices são escolhidos</p><p>entre esses pontos?</p><p>10 Dados n pontos, de um plano, não havendo 3 colineares, quantos são:</p><p>(A) os segmentos de reta cujas extremidades são escolhidas entre esse</p><p>pontos?</p><p>(B) os triângulos cujos vértices são escolhidos entre esses pontos?</p><p>(C) os quadriláteros cujos vértices são escolhidos entre esses pontos?</p><p>(D) os polígonos de n lados cujos vértices são esses pontos?</p><p>(E) ds máximo, os pontos de interseção das retas formadas por esses</p><p>pontos, excluindo-se desse número os n pontos dados?</p><p>11 São dados n > 4 pontos coplanares, dos quais k > 1 estão sobre uma</p><p>reta r (4 + k ≤ n), e entre os demais não há 3 alinhados entre si. Pede-se:</p><p>a. o total de triângulos que podem ser formados com os vértices nesses</p><p>pontos;</p><p>b. o total de quadriláteros com vértices nos pontos dados.</p><p>12 Um total de 28 apertos de mão foram trocados no fim de uma festa.</p><p>Sabendo-se que cada pessoa cumprimenta todas as outras, pergunta-se</p><p>o número de pessoas presentes à festa.</p><p>13 Se 5</p><p>2</p><p>28</p><p>3nC n+ = , calcule n.</p><p>14 Em um jogo de pôquer, usa-se um baralho de 32 cartas,</p><p>distribuindo-se</p><p>cinco cartas a cada um dos quatro parceiros. Quantas distribuições</p><p>diferentes podem ocorrer?</p><p>15 Em uma urna há seis bolas brancas e quatro bolas verdes. De quantos</p><p>modos se pode extrair as dez bolas da urna, sendo uma de cada vez?</p><p>16 De quantos modos diferentes podem ser colocadas em fila m + h</p><p>pessoas sendo m mulheres de alturas diferentes e h homens também de</p><p>alturas diferentes, de modo que as pessoas do mesmo sexo fiquem em</p><p>ordem crescente de altura?</p><p>17 De quantos modos podemos dispor em fila dez letras iguais a A, seis</p><p>iguais a B e cinco iguais a C, sem que duas letras iguais a B fiquem juntas?</p><p>18 De quantos modos seis casais podem sentar-se em torno de uma</p><p>mesa circular:</p><p>a. não sentando junto dois homens?</p><p>b. não sentando junto dois homens, mas cada homem sentado ao lado</p><p>de sua esposa?</p><p>19 Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4 bolas brancas. De quantos</p><p>modos distintos se podem retirar da urna 5 bolas, de modo que pelo menos</p><p>uma delas seja branca?</p><p>20 Quantos números inteiros entre 1 e 1.000.000 têm soma dos</p><p>algarismos igual a 5? E a soma menor do que 5.</p><p>21 De quantos modos se pode pintar um dodecaedro regular, usando</p><p>doze cores diferentes, sendo cada face de uma cor?</p><p>22 De quantos modos se pode pintar um icosaedro regular, usando vinte</p><p>cores diferentes, sendo cada face de uma cor?</p><p>23 Calcular o número de soluções inteiras não negativas da inequação</p><p>x + y + z < 5.</p><p>24 Calcule o número de soluções maiores que –4 da equação:</p><p>x1 + x2 + x3 + x4 = 1</p><p>25 Uma sorveteria tem sorvetes de 11 sabores diferentes. De quantos</p><p>modos uma pessoa pode escolher 6 sorvetes, não sendo necessariamente</p><p>de sabores diferentes?</p><p>26 Quantos números inteiros maiores que 53.000, com algarismos</p><p>distintos, podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?</p><p>27 Quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados</p><p>com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?</p><p>28 De quantos modos podemos distribuir dez cartas de um baralho a dois</p><p>parceiros, podendo eles receber quantidades desiguais de cartas, sendo</p><p>que cada um deve receber ao menos uma carta?</p><p>29 Prove que 1! 1 + 2! 2 + 3! 3 +...+ n! n = (n + 1)! – 1.</p><p>30 De quantos modos n pessoas podem sentar-se em n cadeiras</p><p>enfileiradas:</p><p>(A) sem restrições?</p><p>(B) ficando A e B sempre juntas?</p><p>(C) sem que A e B fiquem juntas?</p><p>(D) ficando A, B e C juntas?</p><p>(E) ficando A, B e C juntas e D e E separadas uma da outra?</p><p>31 Determine o número de anagramas da palavra capítulo que não</p><p>possuem vogais e nem consoantes juntas.</p><p>32 De quantos modos se pode dispor doze objetos distintos em três</p><p>grupos de quatro objetos?</p><p>33 Em um congresso de professores há 30 professores de Física e 30 de</p><p>Matemática. Quantas comissões de 8 professores podem ser formadas:</p><p>a. sem restrições?</p><p>b. havendo pelo menos três professores de física e três de matemática?</p><p>34 Quantas diagonais possui o dodecaedro regular?</p><p>35 Dados 7 pontos distintos de uma circunferência, quantos são os</p><p>polígonos que podemos formar cujos vértices são escolhidos entre esses</p><p>pontos?</p><p>36 São dados m > 1 pontos distintos sobre uma reta r, e k > 1 pontos</p><p>distintos sobre a reta s paralela a r.</p><p>MATEMÁTICA III</p><p>Assunto 8</p><p>106 IME-ITA – Vol. 5</p><p>a. Quantos triângulos podem ser formados com vértices nesse ponto?</p><p>b. Quantos quadriláteros convexos podem ser formados com vértices</p><p>nesses pontos?</p><p>37 Das 26 letras do alfabeto, quantos subconjuntos de três letras existem,</p><p>de modo que duas letras quaisquer de cada subconjunto não sejam</p><p>consecutivas no alfabeto?</p><p>38 De quantos modos se pode preencher um cartão de loteria esportiva</p><p>(13 jogos) com:</p><p>a. 13 palpites simples?</p><p>b. 2 palpites duplos e 11 simples?</p><p>c. 3 palpites triplos e 10 simples?</p><p>d. 3 palpites duplos, 2 triplos e 8 simples?</p><p>39 Considere a palavra maracujá.</p><p>a. Quantos anagramas tem esta palavra?</p><p>b. Destes, quantos não possuem vogais e nem consoantes juntas?</p><p>c. Quantos não possuem vogais juntas?</p><p>40 Calcule o coeficiente de termo em x3, no desenvolvimento de:</p><p>(2x – 3)4(x + 2)5</p><p>41 Uma rua possui um estacionamento em fila com N vagas demarcadas</p><p>junto ao meio-fio de um dos lados. N automóveis, numerados de 1 a</p><p>N, devem ser acomodados, sucessivamente, pela ordem numérica no</p><p>estacionamento. Cada carro deve justapor-se a um carro já estacionado,</p><p>ou seja, uma vez estacionado o carro 1 em qualquer uma das vagas, os</p><p>seguintes se vão colocando imediatamente à frente do carro mais avançado</p><p>ou atrás do carro mais recuado. Quantas configurações distintas podem</p><p>ser obtidas desta maneira? A figura abaixo mostra uma das disposições</p><p>possíveis.</p><p>11 10 8 7 6 2 1 3 4 5 9</p><p>42 Determine a soma de todos os números inteiros que são obtidos</p><p>permutando-se, sem repetição, os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5.</p><p>43 Seja o desenvolvimento</p><p>1 2</p><p>5 5</p><p>n</p><p>x + </p><p> </p><p>onde o n é um inteiro positivo.</p><p>Determine n sabendo-se que o maior dos coeficientes é o do termo em</p><p>xn–9.</p><p>44 Um exame de vestibular se constitui de 10 provas distintas, 3 das</p><p>quais da área de Matemática. Determine de quantas formas é possível</p><p>programar a seqüência das 10 provas, de maneira que duas da área de</p><p>Matemática não se sucedam.</p><p>45 12 cavaleiros estão sentados em torno de uma mesa redonda. Cada</p><p>um dos 12 cavaleiros considera seus dois vizinhos como rivais. Deseja-se</p><p>formar um grupo de cinco cavaleiros para libertar uma princesa. Nesse</p><p>grupo não poderá haver cavaleiros rivais. Determine de quantas maneiras</p><p>é possível escolher esse grupo.</p><p>46 Considere um torneio de xadrez com 10 participantes. Na primeira</p><p>rodada, cada participante joga somente uma vez, de modo que há 5 jogos</p><p>realizados simultaneamente. De quantas formas distintas esta primeira</p><p>rodada pode ser realizada?</p><p>47 Determine o coeficiente de x–9 no desenvolvimento de:</p><p>2 2 3 5</p><p>5 4</p><p>1 1</p><p>( ) ( )x x</p><p>x x</p><p>+ ⋅ + .</p><p>48 Em cada uma das faces de um cubo, constrói-se um círculo e, em</p><p>cada círculo, marcam-se n pontos. Unindo-se esses pontos:</p><p>(A) quantas retas, não contidas em uma mesma face do cubo, podem ser</p><p>formadas;</p><p>(B) quantos triângulos, não contidos numa mesma face do cubo, podem</p><p>ser formados;</p><p>(C) quantos tetraedros, com base numa das faces do cubo, podem ser</p><p>formados;</p><p>(D) quantos tetraedros com todos os vértices em faces diferentes podem</p><p>ser formados.</p><p>Obs.: Suponha que, se 4 pontos não pertencem a uma mesma face, então</p><p>não são coplanares.</p><p>49 Ligando as cidades A e B existem duas estradas principais. Dez</p><p>estradas secundárias de mão dupla, ligam as duas estradas principais</p><p>como mostra a figura. Quantos caminhos, sem auto-interseções existem</p><p>de A até B.</p><p>Obs.: Caminho sem auto-interseções é um caminho que não passa por</p><p>um ponto duas ou mais vezes.</p><p>A B</p><p>50 Dado o conjunto A = {1, 2, 3, ..., 102}, pede-se o número de</p><p>subconjuntos de A, com três elementos, tais que a soma destes seja um</p><p>múltiplo de três.</p><p>51 Calcule quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem</p><p>no sistema de base 7.</p><p>52 Em uma escola há 15 comissões, todas com igual número de alunos.</p><p>Cada aluno pertence a duas comissões e cada duas comissões possui</p><p>exatamente um membro comum.</p><p>Todos os alunos participam.</p><p>a. Quantos alunos tem a escola?</p><p>b. Quantos alunos participam de cada comissão?</p><p>53 Seja um octógono convexo. Suponha que quando todas as suas</p><p>diagonais são traçadas, não há mais de duas diagonais se intersectando</p><p>no mesmo ponto. Quantos pontos de interseção (de diagonais) existem</p><p>neste octógono?</p><p>54 Determine a condição que o inteiro m deve satisfazer para que exista</p><p>termo independente de x no desenvolvimento de 4</p><p>8</p><p>1</p><p>( ) .mx</p><p>x</p><p>−</p><p>55 É dado um tabuleiro quadrado 4 × 4. Deseja-se atingir o quadrado</p><p>inferior direito a partir do quadrado superior esquerdo. Os movimentos</p><p>permitidos são os representados pelas setas:</p><p>De quantas maneiras isso é possível?</p><p>MATEMÁTICA III</p><p>Assunto 8</p><p>Combinatória, probabilidade e números e números binominais</p><p>107IME-ITA – Vol. 5</p><p>56 Determine o termo máximo do desenvolvimento da expressão:</p><p>65</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p></p><p>+ </p><p> </p><p>.</p><p>57 Em cada uma das 6 (seis) faces de um cubo, construiu-se um círculo,</p><p>no qual foram marcados n pontos. Considerando que 4 (quatro) pontos</p><p>não pertencentes à mesma face, não sejam coplanares, quantas retas e</p><p>triângulos, não contidos nas faces desse cubo, são determinados pelos</p><p>pontos.</p><p>58 Uma embarcação deve ser tripulada por oito homens, dois dos quais</p><p>só remam do lado direito, e apenas um, do lado esquerdo. Determine de</p><p>quantos modos essa tripulação pode ser formada, se de cada lado deve</p><p>haver quatro homens.</p><p>Obs.: A ordem dos homens de cada lado distingue a tripulação.</p><p>59 Calcule o valor de (1,02)–10, com dois algarismos significativos,</p><p>empregando a expansão do binômio de Newton.</p><p>60 Seja o conjunto: D = {(k1, k2)|1 ≤ k1 ≤ 13; 1 ≤ k2 ≤ 4; k1, k2 ∈ }.</p><p>Determine quantos subconjuntos L = {(x1, x2), (y1, y2), (z1, z2), (t1, t2),</p><p>(r1, r2)}, L ⊂ D, existem, com cinco elementos distintos, que satisfazem</p><p>simultaneamente às seguintes condições:</p><p>a. x1 = y1 = z1;</p><p>b. x1 ≠ t1, x1 ≠ r1, t1 ≠ r1.</p><p>61 Um comandante convocou voluntários para constituir 11 patrulhas.</p><p>Todas elas são formadas pelo mesmo número de homens. Cada homem</p><p>participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas têm somente</p><p>um homem em comum. Determine o número de voluntários e o de</p><p>integrantes de uma patrulha.</p><p>62 Quatro cidades, A, B, C e D, são conectadas por estradas conforme</p><p>a figura abaixo. Quantos percursos diferentes começam e terminam na</p><p>cidade A e possuem:</p><p>A</p><p>D</p><p>C</p><p>CB</p><p>10 km 10 km</p><p>10 km</p><p>10 km10 km</p><p>10 km</p><p>a. exatamente 50 km?</p><p>b. n x 10 km?</p><p>63 Sejam A e B dois subconjuntos de N. Por definição, uma função</p><p>ƒ: A → B é crescente se a1 > a2 ⇒ ƒ(a1) ≥ ƒ(a2), para quaisquer a1 e a2∈ A.</p><p>a. Para A = {1, 2} e B = {1, 2, 3,4}, quantas funções de A para B são</p><p>crescentes?</p><p>b. Para A = {1, 2, 3} e B = {1, 2,..., n}, quantas funções de A para B</p><p>são crescentes, sendo n um número inteiro maior que zero?</p><p>64 Sabendo que é 1.024 a soma dos coeficientes do polinômio em x e y,</p><p>obtido pelo desenvolvimento do binômio (x + y)m, temos que o número</p><p>de arranjos sem repetição de m elementos, tomados 2 a 2, é:</p><p>(A) 80.</p><p>(B) 90.</p><p>(C) 70.</p><p>(D) 100.</p><p>(E) 60.</p><p>65 A respeito das combinações ( ) ( )2 2e 1n n</p><p>n na bn n= = − , temos que, para</p><p>cada n = 1,2,3, ... , a diferença an – bn é igual a:</p><p>(A)</p><p>!</p><p>.</p><p>1 n</p><p>n</p><p>a</p><p>n +</p><p>(B)</p><p>2</p><p>.</p><p>1 n</p><p>n</p><p>a</p><p>n +</p><p>(C) .</p><p>1 n</p><p>n</p><p>a</p><p>n +</p><p>(D)</p><p>2</p><p>.</p><p>1 na</p><p>n +</p><p>(E)</p><p>1</p><p>.</p><p>1 na</p><p>n +</p><p>66 Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados</p><p>utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos desses números são ímpares</p><p>e começam com um dígito par?</p><p>(A) 375.</p><p>(B) 465.</p><p>(C) 545.</p><p>(D) 585.</p><p>(E) 625.</p><p>67 Seja ( ) ( )</p><p>20</p><p>0</p><p>20</p><p>20</p><p>n</p><p>n</p><p>!</p><p>x x</p><p>n! n !=</p><p>=</p><p>−∑f uma função real de variável real em</p><p>que n! indica o fatorial de n. Considere as afirmações:</p><p>I. ƒ(1) = 2</p><p>II. ƒ(–1) = 0</p><p>III. ƒ(–2) = 1</p><p>Podemos concluir que:</p><p>(A) somente as afirmações I e II são verdadeiras.</p><p>(B) somente as afirmações II e III são verdadeiras.</p><p>(C) apenas a afirmação I é verdadeira.</p><p>(D) apenas a afirmação II é verdadeira.</p><p>(E) apenas a afirmação III é verdadeira.</p><p>68 Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando</p><p>os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições</p><p>adjacentes, mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes?</p><p>(A) 144.</p><p>(B) 180.</p><p>(C) 240.</p><p>(D) 288.</p><p>(E) 360.</p><p>69 Em um jogo de dois jogadores, cada um lança um dado uma única</p><p>vez. O jogador A vence se tirar um resultado maior que o do jogador B.</p><p>Sobre a probabilidade de A vencer, podemos afirmar que está entre:</p><p>MATEMÁTICA III</p><p>Assunto 8</p><p>108 IME-ITA – Vol. 5</p><p>(A) 10% e 20%.</p><p>(B) 20% e 30%.</p><p>(C) 30% e 40%.</p><p>(D) 40% e 50%.</p><p>(E) 50% e 60%.</p><p>70 Elaine joga uma moeda várias vezes pro alto: se der cara, ela soma</p><p>1 ponto, se der coroa, 2 pontos. Qual é a probabilidade de ela, em algum</p><p>momento, ter N pontos?</p><p>71 Dez pessoas são separadas em dois grupos de 5 pessoas cada um.</p><p>Qual é a probabilidade de que duas pessoas determinadas A e B façam</p><p>parte do mesmo grupo?</p><p>72 Após passar por diversas etapas em um programa de auditório, Larissa</p><p>foi convidada para sortear o seu prêmio (um carro zero quilômetro).</p><p>O sorteio é realizado com uma roleta circular, dividida em 6 setores de</p><p>mesma área: três estão marcados como “Carro”, dois como “Perde” e</p><p>um como “Gire novamente”. Para descobrir qual prêmio ganhará, Larissa</p><p>deve girar a roleta.</p><p>Se a roleta parar em “Carro”, Larissa ganha o carro; se ela parar em</p><p>“Perde”, Larissa volta para casa sem nada; se a roleta parar em “Gire</p><p>novamente”, ela deve girar a roleta outra vez (não há limite no número de</p><p>repetições permitidas). Qual é a probabilidade de Larissa ganhar o carro?</p><p>73 Uma barra metálica é cortada em três partes. Qual é a probabilidade</p><p>de as três partes formarem um triângulo?</p><p>74 Uma moeda é cunhada de forma que é quatro vezes mais provável dar</p><p>ara que coroa. Fernanda joga tal moeda 10 vezes e anota os resultados</p><p>em ordem. Calcule a probabilidade de Fernanda não anotar duas coroas</p><p>consecutivas.</p><p>75 É dado o vetor (1, 2, ... , 10). Permutando-se os elementos, qual é</p><p>a probabilidade de a permutação ter exatamente 5 elementos em suas</p><p>posições originais?</p><p>76 Sacam-se sucessivamente, e sem reposição, duas cartas de um</p><p>baralho comum. Calcule a probabilidade de a primeira ser uma dama e a</p><p>segunda ser de copas.</p><p>77 Considerando-se um hexágono regular e tomando-se ao acaso uma de</p><p>suas diagonais, a probabilidade de que ela passe pelo centro do hexágono é:</p><p>(A) 1/9.</p><p>(B) 1/6.</p><p>(C) 1/3.</p><p>(D) 2/9.</p><p>(E) 2/3.</p><p>78 Escolhe-se ao acaso um número entre 1 e 50. Se o número é primo,</p><p>qual a probabilidade de que seja ímpar?</p><p>79 Sejam A e B dois eventos independentes tais que: p(A) = 1/4 e</p><p>P(A ∪ B) = 1/3. Calcule P(B)</p><p>80 A probabilidade de um homem ser canhoto é 1/10. Qual é a probabilidade</p><p>de, em um grupo de 10 homens, haver pelo menos um canhoto?</p><p>81 Um dia você captura 10 peixes em um lago, marca-os e coloca-os</p><p>de novo no lago. Dois dias após, você captura 20 peixes no mesmo lago</p><p>e constata que 2 desses peixes haviam sido marcados por você.</p><p>a. Se o lago possui k peixes, qual era a probabilidade, de capturando 20</p><p>peixes, encontrar 2 peixes marcados?</p><p>b. Para que valor de k essa probabilidade é máxima?</p><p>82 Sacam-se, com reposição, 4 bolas de uma urna que contém 7 bolas</p><p>brancas e 3 bolas pretas. Qual a probabilidade de serem sacadas 2 bolas</p><p>de cada cor?</p><p>83 Lança-se repetidamente um par de dados não tendenciosos. Qual é a</p><p>probabilidade de obtermos duas somas iguais a 7 antes de obtermos três</p><p>somas iguais a 3?</p><p>84 Fernando e Cláudio foram pescar em um lago onde só existem trutas</p><p>e carpas. Fernando pescou, no total, o triplo da quantidade pescada por</p><p>Cláudio. Fernando pescou duas vezes mais trutas do que carpas, enquanto</p><p>Cláudio pescou quantidades iguais de carpas e trutas. Os peixes foram</p><p>todos jogados em um balaio e uma truta foi escolhida ao acaso desse</p><p>balaio. Determine a probabilidade de que esta truta tenha sido pescada</p><p>por Fernando.</p><p>85 Um jardineiro planta, aleatoriamente, 3 rosas, 4 margaridas e 5 tulipas</p><p>em uma fila. Determine a probabilidade de que não haja duas tulipas lado</p><p>a lado.</p><p>86 Seja n um inteiro, tal que n ≥ 3. Seja P1P2...Pn um polígono regular</p><p>inscrito em um círculo. Três pontos Pi, Pj, Pk são escolhidos aleatoriamente.</p><p>Qual é a probabilidade de que o triângulo assim formado seja obtuso?</p><p>87 Uma prova é composta por 3 problemas escolhidos aleatoriamente</p><p>em uma lista com 2n problemas. Para um aluno ser aprovado, ele precisa</p><p>resolver corretamente pelo menos dois dos três problemas. Sabendo que</p><p>um determinado aluno sabe resolver exatamente metade dos 2n problemas,</p><p>determine a probabilidade de que ele seja aprovado.</p><p>88 Sejam α e β números reais positivos, com α < β. Se dois pontos são</p><p>escolhidos aleatoriamente em um segmento de reta de comprimento β, qual</p><p>é a probabilidade de que a distância entre os pontos seja no mínimo α?</p><p>89 Qual é a probabilidade de que os dois últimos dígitos de 2n sejam</p><p>12?</p><p>90 Seja p uma probabilidade sobre um espaço amostral finito Ω. Se A e</p><p>B são eventos de Ω tais que ( ) 1</p><p>2</p><p>p A = , ( ) 1</p><p>3</p><p>p B = e ( ) 1</p><p>4</p><p>p A B∩ = , as</p><p>probabilidades dos eventos A / B, A U B e AC U Bc são, respectivamente:</p><p>(A) , .1 5 1</p><p>e</p><p>4 6 4</p><p>(B)</p><p>1 5 1</p><p>, e .</p><p>6 6 4</p><p>(C)</p><p>1 7 3</p><p>, e .</p><p>6 12 4</p><p>(D)</p><p>1 5 1</p><p>, e .</p><p>3 6 3</p><p>(E)</p><p>1 7 3</p><p>, e .</p><p>4 12 4</p><p>MATEMÁTICA III</p><p>Assunto 8</p><p>Combinatória, probabilidade e números e números binominais</p><p>109IME-ITA – Vol. 5</p><p>91 Considere os seguintes resultados relativamente ao lançamento de</p><p>uma moeda:</p><p>I. Ocorrência de duas caras em dois lançamentos.</p><p>II. Ocorrência de três caras e uma coroa em quatro lançamentos.</p><p>III. Ocorrência de cinco caras e três coroas em oito lançamentos.</p><p>Pode-se afirmar que:</p><p>(A) dos três resultados, I é o mais provável.</p><p>(B) dos três resultados, II é o mais provável.</p><p>(C) dos três resultados, III é o mais provável.</p><p>(D) os resultados I e II são igualmente prováveis.</p><p>(E) os resultados II e III são igualmente prováveis.</p><p>92 Quantos tetraedros regulares de mesma dimensão podemos distinguir</p><p>usando 4 cores distintas para pintar todas as suas faces? Cada face só</p><p>pode ser pintada com uma única cor.</p><p>93 Deseja-se trocar uma moeda de 25 centavos, usando-se apenas</p><p>moedas de 1, 5 e 10 centavos. Então, o número de diferentes maneiras</p><p>em que a moeda de 25 centavos pode ser trocada é igual a:</p><p>(A) 6.</p><p>(B) 8.</p><p>(C) 10.</p><p>(D) 12.</p><p>(E) 14.</p><p>94 Dois atiradores acertam o alvo uma vez a cada três disparos. Se os</p><p>dois atiradores disparam simultaneamente, então a probabilidade do alvo</p><p>ser atingido pelo menos uma vez é igual a:</p><p>(A) 2/9.</p><p>(B) 1/3.</p><p>(C) 4/9.</p><p>(D) 5/9.</p><p>(E) 2/3.</p><p>95 Dez cartões estão numerados de 1 a 10. Depois de embaralhados, são</p><p>formados dois conjuntos de 5 cartões cada. Determine a probabilidade de</p><p>que os números 9 e 10 apareçam em um mesmo conjunto.</p><p>96 Em uma caixa com 40 moedas, 5 apresentam duas caras, 10 são</p><p>normais (cara e coroa) e as demais apresentam duas coroas. Uma moeda</p><p>é retirada ao acaso e a face observada mostra uma coroa. A probabilidade</p><p>de a outra face desta moeda também apresentar uma coroa é:</p><p>(A) 7/8.</p><p>(B) 5/7.</p><p>(C) 5/8.</p><p>(D) 3/5.</p><p>(E) 3/7.</p><p>97 Sobre uma mesa estão dispostos 5 livros de história, 4 de biologia e</p><p>2 de espanhol. Determine a probabilidade de os livros serem empilhados</p><p>sobre a mesa de tal forma que aqueles que tratam do mesmo assunto</p><p>estejam juntos.</p><p>98 Um palco possui 6 refletores de iluminação. Em um certo instante de</p><p>um espetáculo moderno os refletores são acionados aleatoriamente de</p><p>modo que, para cada um dos refletores, seja de 2/3 a probabilidade de</p><p>ser aceso. Então, a probabilidade de que, neste instante, 4 ou 5 refletores</p><p>sejam acesos simultaneamente, é igual a:</p><p>(A)</p><p>16</p><p>.</p><p>27</p><p>(B)</p><p>49</p><p>.</p><p>81</p><p>(C)</p><p>151</p><p>.</p><p>243</p><p>(D)</p><p>479</p><p>.</p><p>729</p><p>(E)</p><p>4 5</p><p>4 5</p><p>2 2</p><p>.</p><p>3 3</p><p>+</p><p>99 Uma urna de sorteio contém 90 bolas numeradas de 1 a 90, sendo que</p><p>a retirada de uma bola é equiprovável à retirada de cada uma das demais.</p><p>a. Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna. Calcule a</p><p>probabilidade de o número desta bola ser um múltiplo de 5 ou de 6.</p><p>b. Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna e, sem repô-la,</p><p>retira-se uma segunda bola. Calcule a probabilidade de o número da</p><p>segunda bola retirada não ser um múltiplo de 6.</p><p>100 Um certo exame de inglês é utilizado para classificar a proficiência</p><p>de estrangeiros nesta língua. Dos estrangeiros que são proficientes em</p><p>inglês, 75% são bem avaliados neste exame. Entre os não proficientes</p><p>em inglês, 7% são eventualmente bem avaliados. Considere uma amostra</p><p>de estrangeiros em que 18% são proficientes em inglês. Um estrangeiro,</p><p>escolhido desta amostra ao acaso, realizou o exame sendo classificado</p><p>como proficiente em inglês. A probabilidade deste estrangeiro ser</p><p>efetivamente proficiente nesta língua é de aproximadamente:</p><p>(A) 73%.</p><p>(B) 70%.</p><p>(C) 68%.</p><p>(D) 65%.</p><p>(E) 64%.</p><p>101 Um determinado concurso é realizado em duas etapas. Ao longo</p><p>dos últimos anos, 20% dos candidatos do concurso têm conseguido na</p><p>primeira etapa nota superior ou igual à nota mínima necessária para poder</p><p>participar da segunda etapa. Se tomarmos 6 candidatos dentre os muitos</p><p>inscritos, qual é a probabilidade de no mínimo 4 deles conseguirem nota</p><p>para participar da segunda etapa?</p><p>102 Considere uma população de igual número de homens e mulheres,</p><p>em que sejam daltônicos 5% dos homens e 0,25% das mulheres. Indique</p><p>a probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltônica selecionada ao</p><p>acaso nessa população.</p><p>(A) 1/21.</p><p>(B) 1/8.</p><p>(C) 3/21.</p><p>(D) 5/21.</p><p>(E) 1/4.</p><p>103 Considere o conjunto { }; 1 365D n n= ∈ ≤ ≤ e H ⊂ P(D) formado</p><p>por todos os subconjuntos de D com 2 elementos. Escolhendo ao acaso</p><p>um elemento B ∈ H, a probabilidade de a soma de seus elementos ser</p><p>183 é igual a:</p><p>MATEMÁTICA III</p><p>Assunto 8</p><p>110 IME-ITA – Vol. 5</p><p>(A)</p><p>1</p><p>.</p><p>730</p><p>(B)</p><p>46</p><p>.</p><p>33.215</p><p>(C)</p><p>1</p><p>.</p><p>365</p><p>(D)</p><p>92</p><p>.</p><p>33.215</p><p>(E)</p><p>91</p><p>.</p><p>730</p><p>104 Em um espaço amostral com uma probabilidade P, são dados os</p><p>eventos A, B e C tais que: ( ) ( ) 1</p><p>,</p><p>2</p><p>P A P B= = com A e B independentes,</p><p>( ) 1</p><p>16</p><p>P A B C∩ ∩ = , e sabe-se que ( ) ( )( ) 3</p><p>10</p><p>P A B A C∩ ∪ ∩ = . Calcule</p><p>as probabilidades condicionais ( )  P C A B∩ e ( )   CP C A B∩ .</p><p>105 Determine quantos números de 3 algarismos podem ser formados</p><p>com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte regra: o número não pode ter</p><p>algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e</p><p>apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez. Assinale o resultado obtido:</p><p>(A) 204.</p><p>(B) 206.</p><p>(C) 208.</p><p>(D) 210.</p><p>(E) 212.</p><p>106 Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5</p><p>pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas</p><p>tal comissão poderá ser formada?</p><p>107 Considere uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada</p><p>questão com 5 alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única</p><p>alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um</p><p>candidato acerte somente 7 das 10 questões é:</p><p>(A) 44 · 30.</p><p>(B) 43 · 60.</p><p>(C) 53 · 60.</p><p>(D) 37</p><p>4</p><p>3</p><p> </p><p>⋅ </p><p> </p><p>.</p><p>(E)</p><p>10</p><p>7</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>.</p><p>108 Determine o coeficiente de x4 no desenvolvimento de (1 + x + x2)9.</p><p>109 No desenvolvimento de (ax2 – 2bx + c + 1)5 obtém-se um polinômio</p><p>p(x) cujos coeficientes somam 32. Se 0 e –1 são raízes de p(x), então a</p><p>soma a + b + c é igual a</p><p>(A)</p><p>1</p><p>2</p><p>− . (D) 1.</p><p>(B)</p><p>1</p><p>4</p><p>− . (E)</p><p>3</p><p>2</p><p>.</p><p>(C) 1</p><p>2</p><p>.</p><p>110 Retiram-se 3 bolas de uma urna que contém 4 bolas verdes, 5 bolas</p><p>azuis e 7 bolas brancas. Se P1 é a probabilidade de não sair bola azul e</p><p>P2 é a probabilidade de todas as bolas saírem com a mesma cor, então a</p><p>alternativa que mais se aproxima de P1 + P2 é:</p><p>(A) 0,21.</p><p>(B) 0,25.</p><p>(C) 0,28.</p><p>(D) 0,35.</p><p>(E) 0,40.</p><p>111 São dados dois cartões, sendo que um deles tem ambos os lados</p><p>na cor vermelha, enquanto o outro tem um lado na cor vermelha e o outro</p><p>lado na cor azul. Um dos cartões é escolhido ao acaso e colocado sobre</p><p>uma mesa. Se a cor exposta é vermelha, calcule a probabilidade de o</p><p>cartão escolhido ter a outra cor também vermelha.</p><p>112 Os nove elementos de uma matriz M quadrada de ordem 3 são</p><p>preenchidos aleatoriamente com os números 1 ou –1, com a mesma</p><p>probabilidade de ocorrência.</p><p>Determine:</p><p>a. o maior valor possível para o determinante de M;</p><p>b. a probabilidade de que o determinante de M tenha este valor máximo.</p><p>113 Uma pessoa lança um dado n vezes. Determine, em função de n, a</p><p>probabilidade de que a sequência de resultados obtidos pelos lançamentos</p><p>dos dados se inicie por 4 e que, em todos eles, a partir do segundo, o</p><p>resultado seja maior ou igual ao lançamento anterior.</p><p>114 Três dados iguais, honestos e com seis faces numeradas de um</p><p>a seis são lançados simultaneamente. Determine a probabilidade de que</p><p>a soma dos resultados de dois quaisquer deles ser igual ao resultado do</p><p>terceiro dado.</p><p>115 A figura abaixo é composta de 16 quadrados menores. De quantas</p><p>formas é possível preencher estes quadrados com os números 1, 2, 3 e</p><p>4, de modo que um número não pode</p><p>aparecer 2 vezes em:</p><p>• uma mesma linha.</p><p>• uma mesma coluna.</p><p>• cada um dos quatro quadrados demarcados pelas linhas contínuas.</p><p>116 Cinco equipes concorrem em uma competição automobilística, em</p><p>que cada equipe possui dois carros. Para a largada, são formadas duas</p><p>colunas de carros lado a lado, de tal forma que cada carro da coluna da</p><p>direita tenha ao seu lado, na coluna da esquerda, um carro de outra equipe.</p><p>Determine o número de formações possíveis para a largada.</p><p>MATEMÁTICA III</p><p>Assunto 8</p><p>Combinatória, probabilidade e números e números binominais</p><p>111IME-ITA – Vol. 5</p><p>117 Considere o conjunto formado por m bolas pretas e n bolas brancas.</p><p>Determine o número de sequências simétricas que podem ser formadas</p><p>utilizando-se todas as (m + n) bolas.</p><p>Obs.: uma sequência é dita simétrica quando ela possui a mesma ordem</p><p>de cores ao ser percorrida da direita para a esquerda e da esquerda para</p><p>a direita.</p><p>118 Sejam as somas S0 e S1 definidas por</p><p>[ ]3 /30 3 6 9</p><p>0 ... n</p><p>n n n n nS C C C C C= + + + + +</p><p>( )3 1 /3 11 4 7 10</p><p>1 .... n</p><p>n n n n nS C C C C C  − + = + + + + +</p><p>Calcule os valores de S0 e S1 em função de n, sabendo que [r] representa</p><p>o maior inteiro menor ou igual ao número r.</p><p>Sugestão: utilize o desenvolvimento em binômio de Newton de :</p><p>2</p><p>1 cis</p><p>3</p><p>n</p><p>π + </p><p> </p><p>119 O sistema de segurança de uma casa utiliza um teclado numérico,</p><p>conforme ilustrado na figura. Um ladrão observa de longe e percebe que:</p><p>• a senha utilizada possui 4 dígitos;</p><p>• o primeiro e ótimo dígitos encontram-se em uma mesma linha;</p><p>• o segundo e o terceiro dígitos encontram-se na linha imediatamente</p><p>superior.</p><p>Calcule o número de senhas que deverão ser experimentadas pelo ladrão</p><p>para que com certeza ele consiga entrar na casa.</p><p>1 2 3</p><p>4 5 6</p><p>7 8 9</p><p>0</p><p>Teclado numérico</p><p>MATEMÁTICA III</p><p>Assunto 8</p><p>112 IME-ITA – Vol. 5</p><p>1. Relações fundamentais</p><p>I. sen cos2 2 1� �� �</p><p>II. sec tan2 2 1� �� �</p><p>III. csc cot2 2 1� �� �</p><p>2. Adição e subtração de arcos</p><p>I. sen sen cos sen cos� � � � � ��� � � � � �</p><p>II. cos cos cos sen sen� � � � � ��� � � � �</p><p>III. tan</p><p>tan tan</p><p>tan tan</p><p>� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�� � � �</p><p>�1</p><p>3. Arco duplo e arco metade</p><p>I. Arco duplo:</p><p>sen sen cos2 2� � �� � �</p><p>cos cos cos2 2 1 1 22 2 2 2� � � � �� � � � � � � �sen sen</p><p>tan</p><p>tan</p><p>2</p><p>2</p><p>1 2�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>tan</p><p>II. A rco metade : sen</p><p>cos� �</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>� �</p><p>�</p><p>�; cos</p><p>cos� �</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>� �</p><p>�</p><p>;</p><p>tan</p><p>cos</p><p>cos</p><p>� �</p><p>�2</p><p>1</p><p>1</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>4. Fatorações trigonométricas (i.e.,</p><p>transformações de soma em produto)</p><p>I. sen sen sen cosp q</p><p>p q p q</p><p>� �</p><p>�</p><p>�2</p><p>2 2</p><p></p><p>II. cos cos cos cosp q</p><p>p q p q</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>2 2</p><p>e</p><p>cos cos sen senp q</p><p>p q p q</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>2 2</p><p>III. tan tan</p><p>sen</p><p>cos cos</p><p>p q</p><p>p q</p><p>p q</p><p>� �</p><p>�� �</p><p>�</p><p>e cot cot</p><p>sen</p><p>sen sen</p><p>p q</p><p>q p</p><p>p q</p><p>� �</p><p>�� �</p><p>�</p><p>IV. 1 2</p><p>2</p><p>2� �cos cos�</p><p>�</p><p>e 1 2</p><p>2</p><p>2� �cos sen�</p><p>�</p><p>V. a b R� � � � � �� �cos sen sen� � � �� , em que R a b� �2 2 e q é</p><p>tal que tan � �</p><p>b</p><p>a</p><p>5. Transformações de produto em soma</p><p>I. sen cos sen sen� � � � � �� � �� � � �� �� �1</p><p>2</p><p>II. cos cos cos cos� � � � � �� � �� � � �� �� �1</p><p>2</p><p>III. sen sen cos cos� � � � � �� � �� � � �� �� �1</p><p>2</p><p>6. Igualdade entre funções</p><p>trigonométricas</p><p>I. sen senx y y k x k</p><p>k</p><p>� � � � �� � �� 1 ,� </p><p>II. cos cosx y y k x k� � � � �2 � ,� </p><p>III. tan tanx y y k x k� � � � �� ,� </p><p>7. Parametrização em função de</p><p>x��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��2</p><p>t = tan para transformar expressões</p><p>trigonométricas em expressões</p><p>polinomiais</p><p>I. sen x</p><p>t</p><p>t</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>1 2</p><p>II. cos x</p><p>t</p><p>t</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>III. tan x</p><p>t</p><p>t</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>1 2</p><p>8. Principais funções inversas</p><p>I. arcsen : , ,�� �� ��</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>11</p><p>2 2</p><p>� �</p><p>; y x y x� � �� �arcsen sen</p><p>II. arccos: �� ��� �1 1 0, , � ; y x y x� � �� �arccos cos</p><p>III. arctan:� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>2 2</p><p>, ; y x x� � �� �arctan tany</p><p>Trigonometria</p><p>MATEMÁTICA IV ASSUNTO</p><p>7</p><p>113IME-ITA – Vol. 5</p><p>01 Simplifique a função:</p><p>3</p><p>3 3</p><p>sen ( 270 )cos (360 )</p><p>( )</p><p>tan ( 90 )cos ( 270 )</p><p>x x</p><p>x</p><p>x x</p><p>− ° ° −</p><p>=</p><p>− ° − °</p><p>f .</p><p>02 Prove a identidade:</p><p>2cos 1</p><p>sen 2</p><p>4cot tan</p><p>2 2</p><p>x</p><p>x</p><p>x x</p><p>=</p><p>−</p><p>.</p><p>03 Prove a identidade:</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>tan 2 tan</p><p>tan3 tan</p><p>1 tan 2 tan</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>.</p><p>04 Prove a identidade: 4sen sen(60 )sen(60 ) sen 3x x x x° − ° + = .</p><p>05 Cheque a igualdade: sen 47 sen 61 sen 11 sen 25 cos 7 .° + ° − ° − ° = °</p><p>06 Calcule:</p><p>5</p><p>0</p><p>2</p><p>cos</p><p>65</p><p>k</p><p>k</p><p>P</p><p>=</p><p>π</p><p>=∏ .</p><p>07 Sabe-se que tan x = – 3/4 e π/2 < x < π. Determine os valores das</p><p>outras funções trigonométricas para o argumento x.</p><p>08 Calcule cos x, sen x, tan x, cot x, quando x = 112o 30’.</p><p>09 Calcule tan x/4 se cos x = –0,6 e 180o < x < 270o.</p><p>10 Calcule</p><p>3</p><p>16sen sen</p><p>2 2</p><p>x x</p><p>se</p><p>3</p><p>cos</p><p>4</p><p>x = .</p><p>11 Prove que se x > 0, y > 0, z > 0 e x + y + z = π/2, então tan x tan y</p><p>+ tan x tan z + tan y tan z = 1.</p><p>12 Prove que, se 3π/4 < x < π, então 2</p><p>1</p><p>2cot 1 cot</p><p>sen</p><p>x x</p><p>x</p><p>+ = − − .</p><p>13 Prove que, se sen x + sen y = 2 sen (x + y), em que x + y ≠ kπ,</p><p>com k ∈ , então 1</p><p>tan tan</p><p>2 2 3</p><p>x y</p><p>= .</p><p>14 Prove que se</p><p>1</p><p>tan</p><p>7</p><p>x = , 1</p><p>sen</p><p>10</p><p>y = , 0 < x < π/2 e 0< y < π/2,</p><p>então x + 2y = π/4.</p><p>15 Simplifique a função sen(arctan )x .</p><p>16 Calcule</p><p>1 3</p><p>sen arccot</p><p>2 4</p><p>  −  </p><p>  </p><p>.</p><p>17 Calcule</p><p>17</p><p>arccos cos</p><p>5</p><p>  − π  </p><p>  </p><p>.</p><p>18 Prove que</p><p>1 1 13</p><p>arccos arccos arccos</p><p>2 7 14</p><p>   + − = −   </p><p>   </p><p>.</p><p>19 Prove que, se –1 < x < 1, então</p><p>2</p><p>arcsen arctan</p><p>1</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>=</p><p>−</p><p>.</p><p>20 Prove que, se A, B, C são ângulos de um triângulo, então</p><p>3</p><p>cos cos cos</p><p>2</p><p>A B C+ + ≤ .</p><p>21 Prove a desigualdade:</p><p>3</p><p>sen sen 2 sen3</p><p>4</p><p>x x x < .</p><p>22 Prove que se A, B, C são ângulos de um triângulo, então</p><p>1</p><p>sen sen sen</p><p>2 2 2 8</p><p>A B C</p><p>≤</p><p>.</p><p>23 Resolva a equação: sen 7cos 5x x+ = .</p><p>24 Resolva a equação: 2 25sen 3 sen cos 6cos 5x x x x+ + = .</p><p>25 Resolva a equação: 23 tan 2 4 tan 3 tan 3 tan 2x x x x− = .</p><p>26 Resolva a equação: arcsen 2 arcsen</p><p>3</p><p>x x</p><p>π</p><p>+ = .</p><p>27 Resolva o sistema de equações: tan tan 2</p><p>tan tan 18</p><p>x y z</p><p>x z</p><p>y z</p><p>+ + = π</p><p> =</p><p> =</p><p>.</p><p>28 Resolva a inequação: 22sen ( ) 3 cos2 0</p><p>4</p><p>x x</p><p>π</p><p>+ + > .</p><p>29 Resolva a inequação: 2 26sen sen cos cos 2x x x x− − > .</p><p>30 Determine os valores inte i ros de n para que a função</p><p>5</p><p>( ) cos senf x nx x</p><p>n</p><p>= tenha um período igual a 3π.</p><p>31 Demonstrar que a função ( ) cosf x x= não é periódica.</p><p>32 Dada a equação 2cos 2 sen 0</p><p>6</p><p>x m x</p><p>π + − = </p><p> </p><p>, determine a condição</p><p>a que deve satisfazer m para que ela tenha pelo menos uma solução x0 ,</p><p>tal que 0 < x0 < 2π.</p><p>33 Determine os ângulos de um triângulo, dados o perímetro 2p, o lado</p><p>a e a altura correspondente ao lado a, ha.</p><p>34 Obtenha uma relação entre a, b e c, eliminando x entre as duas</p><p>equações abaixo:</p><p>1</p><p>sen cos sen 2</p><p>2</p><p>cos sen cos 2</p><p>a x b x c x</p><p>a x b x c x</p><p> − =</p><p></p><p> + = .</p><p>35 Em um triângulo ABC retângulo em A, é dada a razão k entre o produto</p><p>das bissetrizes internas dos ângulos B e C e o quadrado da hipotenusa.</p><p>Calcule o ângulo B, em função de k. Determine entre que valores pode</p><p>variar a razão k para que o problema tenha solução.</p><p>36</p><p>a. Resolva a equação ( )cos 1 sen ,m x m x m m− + = ∈ℜ.</p><p>b. Determine m de modo que essa equação admita raízes x’ e x’’ cuja</p><p>diferença seja π/2.</p><p>37 Resolva a inequação: 2cos 2sen 2</p><p>0</p><p>cos sen</p><p>x x</p><p>x x</p><p>+ +</p><p><</p><p>−</p><p>.</p><p>MATEMÁTICA IV</p><p>Assunto 7</p><p>114 IME-ITA – Vol. 5</p><p>38 Dado um triângulo ABC de lados a, b, c opostos aos ângulos  ,B̂ ,Ĉ</p><p>respectivamente, e de perímetro 2p, mostre que</p><p>ˆ</p><p>sen</p><p>2</p><p>ˆˆ</p><p>cos cos</p><p>2 2</p><p>A</p><p>p</p><p>a</p><p>B C</p><p>= .</p><p>39 Seja α ,</p><p>4 4</p><p>π π ∈ −  </p><p>um real dado. A solução (x0,y0) do sistema de</p><p>equações: ( )</p><p>( ) ( )</p><p>(sen ) cos tan</p><p>cos sen 1</p><p>a y a x a</p><p>a y a x</p><p> − = −</p><p></p><p>+ = −</p><p>é tal que:</p><p>(A) 0 0 tanx y = α (D) 2</p><p>0 0 senx y = α</p><p>(B) 0 0 secx y = − α (E)</p><p>0 0 senx y = α</p><p>(C) 0 0 0x y =</p><p>40 Calcule o lado c de um triângulo ABC, em função de sua área S, do</p><p>ângulo Ĉ e de k, em que k = a + b – c.</p><p>41 Resolva a seguinte desigualdade:</p><p>cos 2 cos 1</p><p>2</p><p>cos 2</p><p>x x</p><p>x</p><p>+ −</p><p>≥ , para</p><p>0 ≤ x ≤ π.</p><p>42 Sejam a, b, c reais positivos com a2 = b2 + c2 . Se x, y, z satisfazem</p><p>o sistema</p><p>cos cos</p><p>cos cos</p><p>cos cos</p><p>c y b z a</p><p>c x a z b</p><p>b x a y c</p><p>+ =</p><p> +</p><p>aos três grupos de risco?</p><p>20 Sejam A, B, C conjuntos tais que n(A) = 2x – 3, n(B) = x – 2,</p><p>n(C) = 3x – 4 e n (A ∪ B ∪ C) = x2. Ache n(A ∩ B).</p><p>21 Sejam ƒ, g funções reais de variáveis reais tais que g(x) = 1 – x e</p><p>ƒ(x) + 2 ƒ (2 – x) = (x – 1)3 para todo x real. Então, ƒog(x) é igual a:</p><p>(A) (x – 1)3.</p><p>(B) (1 – x)3.</p><p>(C) x3.</p><p>(D) x.</p><p>(E) 2 – x.</p><p>22 Na cidade C, constatou-se que todas as pessoas que gostam de música</p><p>clássica não gostam de música sertaneja. Verificou-se, ainda, que 5%</p><p>da população gostam de música clássica e de rock, que 10% gostam de</p><p>rock e de música sertaneja; que 25% gostam de rock; que 50% gostam de</p><p>música sertaneja e que 30% gostam de música clássica. O percentual de</p><p>habitantes da cidade C que não “curtem” nenhum dos gêneros musicais</p><p>citados é de:</p><p>(A) 10%.</p><p>(B) 8%.</p><p>(C) 5%.</p><p>(D) 2%.</p><p>(E) 0%.</p><p>23 Mostre que, em toda reunião constituída de seis pessoas, uma das</p><p>hipóteses necessariamente ocorre (podendo ocorrer ambas):</p><p>a. Existem três pessoas que se conhecem mutuamente (isto é, das três</p><p>cada duas se conhecem).</p><p>b. Existem três pessoas que se desconhecem mutuamente (isto é, das</p><p>três cada duas se desconhecem).</p><p>24 Seja m um inteiro positivo. Define-se uma relação Θm por</p><p>RΘm = {(i, j)| i – j = km, k inteiro}. Mostre que Θm é uma relação de</p><p>equivalência.</p><p>25 Dada a matriz</p><p>1 0 1 1</p><p>0 1 0 1</p><p>1 0 1 1</p><p>1 1 1 1</p><p>M</p><p> </p><p> </p><p> =</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>e o conjunto A = {a1, a2, a3, a4},</p><p>define-se em A uma relação R por: ai Raj ↔ mij = 1.</p><p>Verifique se R é uma relação de equivalência.</p><p>26 Seja A uma relação definida sobre os números reais, contendo os</p><p>pontos pertencentes às retas</p><p>1</p><p>2</p><p>y x= e y = 2x. Determine os pontos que</p><p>necessariamente devem pertencer à A para que A seja transitiva.</p><p>27 Sejam as relações F, G e H abaixo, definidas como conjuntos de pares</p><p>ordenados:</p><p>F = {(1, 3), (2, 4), (3, 3), (4, 3), (5, 4), (6, 1)}</p><p>G = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (4, 5), (3, 4)};</p><p>H = {(1, 1), (2, 3), (5, 4), (3, 5), (4, 7)}.</p><p>a. Quais das relações acima são funções?</p><p>b. Defina pelo conjunto de pares ordenados a relação composta de F</p><p>com G, isto é, o resultado de aplicar primeiro F e depois G.</p><p>c. Se entre F, G e H existir uma função que possua inversa, indique essa</p><p>inversa por seus pares ordenados.</p><p>28 Dadas as sentenças:</p><p>I. Sejam ƒ: X → Y e g: Y → X duas funções satisfazendo gof(x) = x,</p><p>para todo x ∈ X. Então ƒ é injetiva, mas g não é necessariamente</p><p>sobrejetiva.</p><p>II. Seja ƒ: X → Y uma função injetiva. Então, ƒ(A) ∩ ƒ(B) = ƒ(A ∩ B),</p><p>em que A e B são dois subconjuntos de X.</p><p>III. Seja ƒ: X → Y uma função injetiva. Então, para cada subconjunto A de X,</p><p>ƒ(AC) ⊂ ƒ(A)C em que AC = {x ∈ X| x ∉ A} e ƒ(A)C = { x ∈ Y | x ∉ ƒ(A)}.</p><p>podemos afirmar que está(ão) correta(s):</p><p>(A) as sentenças 1 e 2.</p><p>(B) as sentenças 2 e 3.</p><p>(C) apenas a sentença 1.</p><p>(D) as sentenças 1 e 3.</p><p>(E) todas as sentenças.</p><p>29 Consideremos as seguintes afirmações sobre uma função ƒ : ℜ→ℜ .</p><p>I. Se existe x ∈  tal que ƒ(x) ≠ ƒ(–x), então ƒ não é par.</p><p>II. Se existe x ∈  tal que ƒ(–x) ≠ –ƒ(x), então ƒ é ímpar.</p><p>III. Se ƒ é par e ímpar, então existe x ∈  tal que ƒ(x) = 1.</p><p>IV. Se ƒ é ímpar, então ƒoƒ (ƒ composta com ƒ) é ímpar.</p><p>Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de números:</p><p>(A) I e IV.</p><p>(B) I, II e IV.</p><p>(C) I e III.</p><p>(D) III e IV.</p><p>(E) I, II e III.</p><p>30 Considere x = g(y) a função inversa da seguinte função:</p><p>“y = ƒ(x) = x2 – x + 1, para cada número real x > 1</p><p>2</p><p>”. Nestas condições,</p><p>a função g é assim definida:</p><p>(A) = + − ≥</p><p>1 3 3</p><p>(y) , para cada .</p><p>2 4 4</p><p>g y y</p><p>(B) = + − ≥</p><p>1 1 1</p><p>( ) , para cada .</p><p>2 4 4</p><p>g y y y</p><p>(C) = − ≥</p><p>3 3</p><p>( ) , para cada .</p><p>4 4</p><p>g y y y</p><p>(D) = + ≥</p><p>3 3</p><p>( ) , para cada .</p><p>4 4</p><p>g y y y</p><p>(E) = + − ≥</p><p>3 1 1</p><p>( ) , para cada .</p><p>4 2 2</p><p>g y y y</p><p>MATEMÁTICA I</p><p>Assunto 9</p><p>Lógica – Conjuntos – Relações – Funções</p><p>71IME-ITA – Vol. 5</p><p>31 Sejam ƒ:  →  uma função estritamente decrescente, isto é, quais</p><p>quer x e y reais com x < y tem-se ƒ(x) > ƒ(y). Dadas as afirmações:</p><p>I. ƒ é injetora.</p><p>II. ƒ pode ser uma função par.</p><p>III. Se ƒ possui inversa então sua inversa também é estritamente decrescente.</p><p>Podemos assegurar que:</p><p>(A) apenas as afirmações I e III são verdadeiras.</p><p>(B) apenas as afirmações II e III são falsas.</p><p>(C) apenas a afirmação I é falsa.</p><p>(D) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(E) apenas a afirmação II é verdadeira.</p><p>32 Sejam A e B subconjuntos de , não vazios, possuindo B mais de</p><p>um elemento. Dada uma função ƒ:  → , definimos L: A → A · B por</p><p>L(a) = (a, f(a)), para todo a ∈ A podemos afirmar que:</p><p>(A) A função L sempre será injetora.</p><p>(B) A função L sempre será sobrejetora.</p><p>(C) Se ƒ for sobrejetora, então L também o será.</p><p>(D) Se ƒ não for injetora, então L também não o será.</p><p>(E) Se ƒ for bijetora, então L será sobrejetora.</p><p>33 Seja ƒ:  →  uma função não nula, ímpar e periódica de período p.</p><p>Considere as seguintes afirmações:</p><p>I. ƒ(p) ≠ 0</p><p>II. ƒ(–x) = –ƒ(x + p),∀x ∈ .</p><p>III. ƒ(–x) = ƒ(x – p),∀x, ∈ .</p><p>IV. ƒ(x) = –ƒ(– x), ∀x ∈ .</p><p>Podemos concluir que:</p><p>(A) I e II são falsas.</p><p>(B) I e III são falsas.</p><p>(C) II e III são falsas.</p><p>(D) I e IV são falsas.</p><p>(E) II e IV são falsas.</p><p>34 Considere as afirmações:</p><p>I. Se ƒ:  →  é uma função par e g:  →  uma função qualquer,</p><p>então a composição gof é uma função par.</p><p>II. Se ƒ:  →  é uma função par e g:  →  uma função ímpar, então</p><p>a composição fog é uma função par.</p><p>III. Se ƒ:  →  é uma função ímpar e invertível então ƒ –1:  →  é</p><p>uma função ímpar.</p><p>Então:</p><p>(A) apenas a afirmação I é falsa.</p><p>(B) apenas as afirmações I e II são falsas.</p><p>(C) apenas a afirmação III é verdadeira.</p><p>(D) todas as afirmações são falsas.</p><p>(E) n.d.a.</p><p>35 Dadas as funções reais de variável real ƒ(x) = mx + 1 e g(x) = x + m,</p><p>em que m é uma constante real com 0 < m < 1, considere as afirmações:</p><p>I. fog(x) = gof(x), para algum x ∈ </p><p>II. ƒ(m) = g(m)</p><p>III. existe a ∈  tal que fog(a)= ƒ(a)</p><p>IV. existe b ∈  tal que gof(b) = mb</p><p>V. 0 < gog(m) < 3.</p><p>Podemos concluir que:</p><p>(A) todas são verdadeiras.</p><p>(B) apenas quatro são verdadeiras.</p><p>(C) apenas três são verdadeiras.</p><p>(D) apenas duas são verdadeiras.</p><p>(E) apenas uma é verdadeira.</p><p>36 Seja F o conjunto das funções de  em  que satisfazem ƒ(xy) =</p><p>ƒ(x) + ƒ(y). Dados ƒ ∈ F e a ∈  define-se a função ga:  →  tal que</p><p>ga(x) = ƒ(ax) – ƒ(x).</p><p>a. mostre que ƒ(1) = 0, ∀ƒ ∈ F.</p><p>b. mostre que ∀a ∈ , ga é função constante.</p><p>37 Sabendo-se que x um número real, –1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ arc cos x ≤ π e n é um</p><p>número inteiro positivo, mostre que a expressão ƒn(x) = cos(n arc cos x)</p><p>pode ser desenvolvida como um polinômio em x, de grau n, cujo coeficiente</p><p>do termo de maior grau é igual a 2n – 1.</p><p>38 Seja ƒ uma função bijetora de uma variável real e a relação h, definida por</p><p>h: 2 → 2 .</p><p>(x, y) → (x3, x – ƒ(y))</p><p>Verifique se h é bijetora e calcule uma relação g, tal que goh (x, y) = (x, y) e</p><p>hog (x, y) = (x, y), ∀x, ∀y, ∈ .</p><p>39 Seja ƒ uma função definida nos inteiros positivos satisfazendo:</p><p>ƒ(1) = 1</p><p>ƒ(2n)=2 · ƒ(n)+1</p><p>ƒ(ƒ(n))=4n – 3</p><p>Calcule ƒ(1.900).</p><p>40 Seja ƒ uma função real de variável real, não periódica, contínua, tal</p><p>que existe uma função ϕ, ϕ: 2→ tal que ƒ(x + y)= ϕ(ƒ(x),y), para</p><p>todo x e todo y reais. Prove que ƒ é estritamente crescente ou estritamente</p><p>decrescente.</p><p>41 Mostre que a função ƒ: A → B é injetiva se, e somente se,</p><p>ƒ(A – X) = ƒ(A) – ƒ(X) para todo X ⊂ A.</p><p>42 Seja ƒ uma função de  em  definida como ƒ(x) = x/10 se x</p><p>é divisível por 10 e ƒ(x) = x + 1 caso contrário. Se a0 = 2.001 e</p><p>an+1 = ƒ(an), qual é o menor valor de n para o qual an = 1?</p><p>(A) 20.</p><p>(B) 38.</p><p>(C) 93.</p><p>(D) 2.000.</p><p>(E) an nunca é igual a 1.</p><p>43 Seja ƒ uma função real de variável real tal que, para todo x real, vale</p><p>ƒ(x) (ƒ(x) – x) =0. Podemos afirmar que:</p><p>(A) ƒ é a função nula.</p><p>(B) ƒ é a função identidade.</p><p>(C) ƒ é a função nula ou a função identidade.</p><p>(D) há 4 possíveis funções ƒ.</p><p>(E) há infinitas funções ƒ.</p><p>MATEMÁTICA I</p><p>Assunto 9</p><p>72 IME-ITA – Vol. 5</p><p>44 Para todo n natural definimos a função ƒ por:</p><p>( )</p><p>2</p><p>n</p><p>n =f se n é par,</p><p>( ) 3 1n n= +f se n é ímpar.</p><p>O número de soluções da equação ƒ(ƒ(ƒ(n)))</p><p>=</p><p> + =</p><p>, então cos cos cosx y z+ + é igual a:</p><p>(A)</p><p>a b</p><p>c</p><p>−</p><p>(B)</p><p>a b</p><p>c</p><p>+</p><p>(C)</p><p>b c</p><p>a</p><p>+</p><p>(D) c a</p><p>b</p><p>+</p><p>(E)</p><p>2 2b c</p><p>a</p><p>+</p><p>43 Seja S o conjunto de todas as soluções reais da equação</p><p>( )1 5</p><p>sec arctan arctan 1</p><p>1 2</p><p>x</p><p>x e</p><p>e</p><p>   − − =  +  </p><p>. Então:</p><p>(A) S é vazio.</p><p>(B) S é o conjunto dos reais.</p><p>(C) [ ]1,2S ⊂</p><p>(D) [ ]1,1S ⊂ −</p><p>(E) [ [1,2S ⊂ −</p><p>44 Seja ƒ função real de variável real definida por ( ) 2sen 2 cos 2 .x x x= −f</p><p>Sobre ƒ , podemos afirmar:</p><p>(A) é ímpar e periódica de período π.</p><p>(B) é par e periódica de período</p><p>2</p><p>π</p><p>.</p><p>(C) não é nem par, nem ímpar e é periódica de período π.</p><p>(D) não é par e é periódica de período</p><p>4</p><p>π .</p><p>(E) não é impar, nem periódica.</p><p>45 Os lados de um triângulo estão em progressão aritmética e o lado</p><p>intermediário mede l. Sabendo-se que o maior ângulo excede o menor</p><p>em 90º, calcule a razão entre os lados.</p><p>46 Sejam A, B, C os ângulos de um triângulo. Mostre que:</p><p>sen2 sen2 sen2 4sen sen senA B C A B C+ + =</p><p>47 Mos t r e que : se num t r i ângu lo ABC v a l e a r e l ação</p><p>cos ( )</p><p>tan ,</p><p>sen sen ( )</p><p>B C</p><p>B</p><p>A C B</p><p>−</p><p>=</p><p>+ −</p><p>então o triângulo é retângulo com ângulo reto A.</p><p>48 Resolva o sistema:</p><p>2 2tan tan 6</p><p>tan tan</p><p>6</p><p>tan tan</p><p>x y</p><p>x y</p><p>y x</p><p> + =</p><p></p><p> + = −</p><p></p><p>, sabendo que x e y</p><p>pertencem ao intervalo ( , )</p><p>2 2</p><p>π π</p><p>−</p><p>49 Encontre todas as soluções de: sec 2cos 1x x− = em [0,2π].</p><p>50 Resolva a equação: sen cos sen 2 cos 2 1x x x x− = − − .</p><p>51 Sabendo-se que q é um ângulo tal que ( ) ( )2sen 60 cos 60θ − ° = θ + ° ,</p><p>então tan q é um número da forma 3a b+ , em que:</p><p>(A) a e b são reais negativos.</p><p>(B) a e b são inteiros.</p><p>(C) a + b =1.</p><p>(D) a e b são pares.</p><p>(E) a2 + b2 = 1.</p><p>52 Seja ABC um triângulo qualquer. Por B’ e C’ pontos médios dos lados</p><p>AB e AC, respectivamente, traçam-se duas retas que se cortam em um</p><p>ponto M, situado sobre o lado BC, e que fazem com esse lado ângulos iguais</p><p>a q, conforme a figura abaixo. Demonstre que:</p><p>1</p><p>cot (cot cot )</p><p>2</p><p>B Cθ = + .</p><p>A</p><p>C</p><p>C’</p><p>q q</p><p>B</p><p>B’</p><p>53 Encontre todas as soluções da equação apresentada abaixo, em que</p><p>n é um número natural.</p><p>cos sen 1n nx x− =</p><p>54 Se tan a e tan b são raízes da equação x2 + px + q = 0,</p><p>calcule, em função de p e q, o valor simplificado da expressão:</p><p>2 2sen ( ) sen ( )cos ( ) cos ( )y a b p a b a b q a b= + + + + + + .</p><p>(Considere p, q ∈ ℜ, com q ≠ 1.)</p><p>55 Determine a solução da equação trigonométrica sen x + 3cos x = 1,</p><p>x ∈ .</p><p>MATEMÁTICA IV</p><p>Assunto 7</p><p>Trigonometria</p><p>115IME-ITA – Vol. 5</p><p>56 Determine q, sabendo que:</p><p>a.</p><p>4 2</p><p>4 2</p><p>1 cos 1 cot 2</p><p>1 sen 1 tan 3</p><p>− θ + θ</p><p>⋅ =</p><p>− θ + θ</p><p>;</p><p>b. 0 < q ≤ 2π radianos.</p><p>57 Represente graficamente a função:</p><p>2 2 2 2</p><p>1 1 1 1</p><p>( )</p><p>1 sen 1 cos 1 sec 1 csc</p><p>f θ = + + +</p><p>+ θ + θ + θ + θ</p><p>.</p><p>58 Resolva a equação tan a + tan (2a) = 2. tan (3a), sabendo que a</p><p>[0, /2)∈ π .</p><p>59 Sendo α e β os ângulos agudos de um triângulo retângulo, e sabendo</p><p>que sen22β – 2 cos 2β = 0, então sen α é igual a:</p><p>(A) 2</p><p>2</p><p>(D)</p><p>4 8</p><p>4</p><p>(B)</p><p>4 2</p><p>2</p><p>(E) zero.</p><p>(C)</p><p>4 8</p><p>2</p><p>60 Considere as funções</p><p>5 7</p><p>( ) ,</p><p>4</p><p>x</p><p>x</p><p>+</p><p>=f 5 7</p><p>( ) e ( ) arctan</p><p>4</p><p>x</p><p>g x h x x</p><p>−</p><p>= = .</p><p>Se a é tal que ( )( ) ( )( ) / 4h a h g a+ = πf , então ƒ(a) – g(a) vale:</p><p>(A) 0.</p><p>(B) 1.</p><p>(C) 7/4.</p><p>(D) 7/2.</p><p>(E) 7.</p><p>61 Para x no intervalo 0,</p><p>2</p><p>π </p><p>  </p><p>, o conjunto de todas as soluções da</p><p>inequação ( )sen 2 sen 3 0</p><p>2</p><p>x x</p><p>π − + > </p><p> </p><p>é o intervalo definido por:</p><p>(A)</p><p>10 2</p><p>x</p><p>π π</p><p>< <</p><p>(B)</p><p>12 4</p><p>x</p><p>π π</p><p>< <</p><p>(C)</p><p>6 3</p><p>x</p><p>π π</p><p>< <</p><p>(D)</p><p>4 2</p><p>x</p><p>π π</p><p>< <</p><p>(E)</p><p>4 3</p><p>x</p><p>π π</p><p>< <</p><p>62 Em um triângulo acutângulo ABC, o lado oposto ao ângulo A mede 5 cm.</p><p>Sabendo que 3ˆ arccos</p><p>5</p><p>A = e 2ˆ arcsen</p><p>5</p><p>C = , então a área do triângulo</p><p>ABC, em cm², é igual a:</p><p>(A)</p><p>5</p><p>2</p><p>.</p><p>(B) 12.</p><p>(C) 15.</p><p>(D) 2 5 .</p><p>(E)</p><p>25</p><p>2</p><p>.</p><p>63 Sabe-se que x é um número real pertencente ao intervalo ] [0,2π e</p><p>que o triplo da sua secante, somado ao dobro da sua tangente, é igual a 3.</p><p>Então, o cosseno de x é igual a:</p><p>(A) 3</p><p>4</p><p>. (D) 15</p><p>26</p><p>.</p><p>(B)</p><p>2</p><p>7</p><p>. (E) 13</p><p>49</p><p>.</p><p>(C) 5</p><p>13</p><p>.</p><p>64 Considere a função f: R → R definida por</p><p>π − = −  </p><p> </p><p>( ) 2sen 3 cos</p><p>2</p><p>x</p><p>f x x</p><p>Sobre ƒ, podemos afirmar que:</p><p>(A) é uma função par.</p><p>(B) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4π.</p><p>(C) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4</p><p>3</p><p>π .</p><p>(D) é uma função periódica de período fundamental 2π.</p><p>(E) não é par, não é ímpar, não é periódica.</p><p>65 Sejam a um número real e n o número de todas as soluções reais e</p><p>distintas x ∈ [0,2π] da equação cos8 x – sen8 x + 4 sen6 x = a.</p><p>Das afirmações:</p><p>I. Se a = 0, então n = 0;</p><p>II. Se a =1/2, então n = 8;</p><p>III. Se a = 1, então n = 7;</p><p>IV. Se a = 3, então n = 2.</p><p>É (são) verdadeira(s):</p><p>(A) apenas I.</p><p>(B) apenas III.</p><p>(C) apenas I e III.</p><p>(D) apenas II e IV.</p><p>(E) todas.</p><p>66 Se cos 2x = 1</p><p>2</p><p>, então um possível valor de</p><p>cot 1</p><p>(csc( ) sec( )</p><p>x</p><p>x x</p><p>−</p><p>− − −π π</p><p>é:</p><p>MATEMÁTICA IV</p><p>Assunto 7</p><p>116 IME-ITA – Vol. 5</p><p>(A) 3</p><p>2</p><p>(B) 1</p><p>(C) 2</p><p>(D) 3</p><p>(E) 2</p><p>67 Encontre os pares (α,β) ∈ ]0,π/2 [×]0,π/2[ que satisfazem</p><p>simultaneamente as equações</p><p>(tan α + co tan β) cos α sen β – 2 cos2 (α – β) = –1 e 3 sen</p><p>(α + β) + cos (α + β) = 3.</p><p>68 Seja</p><p>� �� � �</p><p>e e e e� �� � � �� �</p><p>x |arcsen arccos</p><p>2 2 2</p><p>x x x –x�</p><p>� �� � � �</p><p>� �� � � �� �</p><p>� π</p><p>, então:</p><p>(A) S = ∅.</p><p>(B) S = 0.</p><p>(C) S = + \ {0}.</p><p>(D) S = +.</p><p>(E) S = .</p><p>69 Seja x ∈ [0,2π] tal que sen (x) cos (x) = 2</p><p>5</p><p>. Então, o produto e a soma</p><p>de todos os possíveis valores de tan(x) são, respectivamente:</p><p>(A) 1 e 0</p><p>(B) 1 e 5</p><p>2</p><p>(C) –1 e 0</p><p>(D) 1 e 5</p><p>(E) –1 e –</p><p>5</p><p>2</p><p>70 A soma ∑n</p><p>k=0 cos(α + kπ), para todo α ∈ [0,2π], vale:</p><p>(A) –cos (α) quando n é par.</p><p>(B) –sen (α) quando n é ímpar.</p><p>(C) cos (α) quando n é ímpar.</p><p>(D) sen (α) quando n é par.</p><p>(E) zero quando n é ímpar.</p><p>71 Determine os valores reais de x de modo que sen (2x) – 3 cos (2x)</p><p>seja máximo.</p><p>72</p><p>a. Calcule cos</p><p>2�</p><p>5</p><p>sen</p><p>2�</p><p>5</p><p>– 2sen</p><p>5</p><p>�</p><p>cos</p><p>5</p><p>�</p><p>sen</p><p>10</p><p>�</p><p>b. Usando o resultado do item anterior, calcule sen</p><p>10</p><p>�</p><p>cos</p><p>5</p><p>�</p><p>73 O valor da soma ∑6</p><p>n=1sen</p><p>2</p><p>3n</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>α</p><p>sen n3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>α , para todo α ∈ , é igual a:</p><p>(A) 1</p><p>2 729</p><p>[cos cos ]</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −α α</p><p>(B) n s[ ]</p><p>1</p><p>2 243 729</p><p>se en</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> − </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>α α</p><p>(C) cos cos</p><p>243 729</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> − </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>α α</p><p>(D) 1</p><p>2 729 243</p><p>[cos cos ]</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> − </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>α α</p><p>(E) [cos cos ]</p><p>729</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −α α</p><p>74 Se os números reais α e β, com α+β= 4</p><p>3</p><p>π , 0 ≤ α ≤ β, maximizam</p><p>a soma sen α+sen β, então α é igual a:</p><p>(A) 3</p><p>3</p><p>π</p><p>(B) 2</p><p>3</p><p>π</p><p>(C)</p><p>3</p><p>5</p><p>π</p><p>(D) 5</p><p>8</p><p>π</p><p>(E) 7</p><p>12</p><p>π</p><p>75 Considere a equação ( cos ) tan tan3 2 1</p><p>2</p><p>6</p><p>2</p><p>02 2� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �x</p><p>x x</p><p>.</p><p>a. Determine todas as soluções x no intervalo [0, π[.</p><p>b. Para as soluções encontradas em a), determine cotg x.</p><p>76 Considere 45</p><p>0 1 tan ,</p><p>180k</p><p>k</p><p>P =</p><p> π = Π +  </p><p>  </p><p>com ∏n</p><p>k=0 representando o</p><p>produto dos termos desde k = 0 até k = n, sendo k e n números inteiros.</p><p>Determine o(s) valor(es) de m, número real, que satisfaça(m) a equação</p><p>P = 2m.</p><p>77 Os ângulos de um triângulo obtusângulo são 105°, α e β. Sabendo</p><p>que m ∈  (real), determine:</p><p>a. as raízes da equação 3sec x + m ( 3 cos x – 3sen x) = 3cos x +</p><p>3 sen x, em função de m;</p><p>b. o valor de m para que α e β sejam raízes dessa equação.</p><p>78 Considere a sequência: a a1 21</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>� � � � �, ,</p><p>a3 1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>� � � � , ... e determine o produto dos 20</p><p>primeiros termos.</p><p>79 Resolva a seguinte inequação, para 0 ≤ x < 2π</p><p>3 2 4 1 4 2 4 2 2 2</p><p>2 2 2</p><p>2 2sen senx senx</p><p>sen x sen</p><p>x x x x� � � � � � �</p><p>�</p><p>cos ( ) cos cos ( )</p><p>xx cos cosx x� �</p><p>�</p><p>2 2</p><p>2</p><p>MATEMÁTICA IV</p><p>Assunto 7</p><p>Trigonometria</p><p>117IME-ITA – Vol. 5</p><p>2. Circunferências</p><p>2.1 Equação da circunferência</p><p>(x – a)2 + (y – b)2 = r2 ou x2 + y2 + Ax + By + C = 0</p><p>2.2 Potência de P = (x0, y0) em relação à C</p><p>f x y x y Ax By C PO r( ),0 0 0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0 0</p><p>2 2� � � � � � �</p><p>2.3 Reta (tan) tangente à circunferência</p><p>dist (tan, O) = r</p><p>2.4 Circunferências tangentes interiores /</p><p>exteriores</p><p>O1O2 = |r1|, O1O2 = r1 + r2</p><p>2.5 Corda comum (eixo radical no caso geral)</p><p>de C1 e C2</p><p>f1 (x, y) – f2 (x, y)</p><p>= k · (eq. da reta)</p><p>1. Retas</p><p>1.1 Equação da reta</p><p>y = mx + q, em que tan</p><p>y</p><p>m</p><p>x</p><p>∆</p><p>= = θ</p><p>∆</p><p>é denominado coeficiente angular.</p><p>I. Equação rápida da reta: y = m(x – x0 + y0), em que (x0, y0) é um ponto</p><p>conhecido da reta.</p><p>II. Equação geral da reta: Ax + By + C = 0.</p><p>Obs.: Excetuando a equação geral, as fórmulas apresentadas valem apenas</p><p>para retas não verticais.</p><p>1.2 Condição de paralelismo e</p><p>perpendicularismo</p><p>r s m m</p><p>r s m m</p><p>r s</p><p>r s</p><p>/ /</p><p>�</p><p>� �</p><p>� � � �1</p><p>1.3 Ângulo entre retas r2, r1 (orientado)</p><p>tan � �</p><p>�</p><p>�</p><p>m m</p><p>m m</p><p>1 2</p><p>1 21</p><p>1.4 Distância Ponto P(x1, y1) – Reta r (Ax + By +</p><p>C = 0)</p><p>d</p><p>Ax By C</p><p>A B</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>3. Cônicas</p><p>Elipse (deitada1) Hipérbole (deitada1) Parábola (deitada1 p. direita)</p><p>Definição geométrica PF + PF’ = 2a |PF + PF’| = 2a PF = dist <P, diretriz></p><p>Relação dos parâmetros</p><p>a b c</p><p>e</p><p>c</p><p>a</p><p>2 2 2</p><p>0 1</p><p>� �</p><p>� �� �,</p><p>c a b</p><p>e</p><p>c</p><p>a</p><p>2 2 2</p><p>1</p><p>� �</p><p>� � �� �,</p><p>PF = dist <P, diretriz></p><p>e = 1</p><p>Equação reduzida2 x</p><p>a</p><p>y</p><p>b</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1� �</p><p>x</p><p>a</p><p>y</p><p>b</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1� � y2 = 2px</p><p>Raio vetor (x > 0)2 PF = a ± ex PF = ex ± a PF x</p><p>p</p><p>� �</p><p>2</p><p>Assíntota2 – y</p><p>bx</p><p>a</p><p>� � –</p><p>Parametrização2 x = acosq</p><p>x = bcosq</p><p>x = a sec q</p><p>y = b tan q</p><p>x = 2pt2</p><p>y = ± 2pt</p><p>Tangente3 P = (x0, y0) ∈ curva</p><p>xx</p><p>a</p><p>yy</p><p>b</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2 1� �</p><p>xx</p><p>a</p><p>yy</p><p>b</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2 1� � yy0 = p(x + x0)</p><p>Geometria analítica</p><p>MATEMÁTICA IV ASSUNTO</p><p>8</p><p>118 IME-ITA – Vol. 5</p><p>Tangente2 em função de m y mx a m b� � �2 2 2 y mx a m b� � �2 2 2 y mx</p><p>p</p><p>m</p><p>� �</p><p>2</p><p>Propriedade ótica Normal é bissetriz interna dos raios</p><p>vetores</p><p>Normal é bissetriz externa dos raios</p><p>vetores</p><p>Normal bissetriz do raio vetor e</p><p>paralela ao eixo focal</p><p>Definição astronômica</p><p>PF</p><p>dist P diretriz</p><p>e</p><p>,</p><p>=</p><p>Equação polar r</p><p>ep</p><p>e cos</p><p>�</p><p>�1 �</p><p>1. cônica “deitada” significa cônica com eixo principal sob Ox</p><p>→ e eixo transverso sob Oy</p><p>→.</p><p>2. para cônicas “em pé”, basta trocar as variáveis x2 e y2 nestas fórmulas e lembrar que a, b representam os</p><p>semieixos principal e transverso respectivamente.</p><p>3. basta fazer z zz z</p><p>z z2</p><p>0</p><p>0</p><p>2</p><p>� �</p><p>�</p><p>,� na equação da cônica para obter a tangente (na qual z representa x ou y).</p><p>3. Equação geral do 2o grau</p><p>Forma polinomial: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0</p><p>Forma matricial: x y Q</p><p>x</p><p>y</p><p>x y</p><p>D</p><p>E</p><p>F� � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �2 2 0· , em que</p><p>Q</p><p>A B</p><p>B C</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>· �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>.</p><p>3.1 Reta tangente por P = (x</p><p>0</p><p>, y</p><p>0</p><p>) ∈ cônica</p><p>Axx B</p><p>x y xy</p><p>Cyy D</p><p>x x</p><p>E</p><p>y y</p><p>F0</p><p>0 0</p><p>0</p><p>0 0</p><p>2 2 2</p><p>0� �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>Obs.: Se P = (x0, y0) não pertence a cônica, á equação acima é a equação</p><p>da reta polar de P em relação à cônica (se existem tangentes por P, a polar</p><p>é a reta que une os pontos de tangência).</p><p>3.2 Rotação de q (sentido anti-horário de Oxy</p><p>para Ox’y’)</p><p>R</p><p>cos sen</p><p>sen cos</p><p>x</p><p>y</p><p>R</p><p>x</p><p>y� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>, i.e., x = x’ cos q – y’sen q,</p><p>y = x’sen q + y’cos q tan �2 � �</p><p>�</p><p>B</p><p>A C</p><p>xyelimina�o�termo�em� .</p><p>3.2 Invariantes por rotação e translação em</p><p>Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0</p><p>I. I = B2 – 4AC</p><p>II. J = A + C</p><p>III. � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>A B D</p><p>B C E</p><p>D E F</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>.</p><p>3.3 Interpretação do lugar geométrico</p><p>Caso 1: D ≠ 0:</p><p>Parábola: I = 0;</p><p>Hipérbole: I > 0;</p><p>Elipse: I < 0 e � �J 0.</p><p>Caso 2: ( )0�ou 0�com� 0J</p><p>∆∆ = ∆ ≠ < : cônica degenerada (retas,</p><p>ponto, vazio).</p><p>01 Sejam as retas r e s dadas respectivamente pelas equações</p><p>3x – 4y + 12 = 0 e 3x –4 y + 4 = 0. Considere l o lugar geométrico dos</p><p>centros das circunferências que tangenciam simultaneamente r e s. Uma</p><p>equação que descreve l é:</p><p>(A) 3x – 4y + 8 = 0.</p><p>(B) 3x + 4y + 8 = 0.</p><p>(C) x – y + 1 = 0.</p><p>(D) x + y = 0.</p><p>(E) 3x – 4y – 8 = 0.</p><p>02 Determine o lugar geométrico dos pontos do plano cujo quadrado da</p><p>distância à origem é igual ao dobro da soma de suas distâncias aos eixos</p><p>coordenados.</p><p>03 Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos</p><p>P1(0, 2); P2(0, 12) e P3(6, 0).</p><p>04 Determine as equações das circunferências tangentes à circunferência</p><p>de equação x2 + y2 = 1 e que passam pelos pontos A(0, 3) e B(4, –1).</p><p>05 Determine o comprimento das tangentes traçadas à circunferência</p><p>9x2 + 9y2 – 6x + 36y + 1 = 0 pelo ponto A(1, 1).</p><p>06 Determine a equação da circunferência de centro na origem e tangente</p><p>ao círculo de equação x2 + y2 – 4x + 4y = 0.</p><p>MATEMÁTICA IV</p><p>Assunto 8</p><p>Geometria analítica</p><p>119IME-ITA – Vol. 5</p><p>07 Dados os pontos A(4, 6), B(–4, 5), C(–3, –1) e D(1, –2), seja S o</p><p>conjunto dos pontos P(x, y) do plano tais que a soma dos quadrados das</p><p>distâncias de P aos pontos A , B, C e D é igual a 95. Determine o ponto</p><p>médio do segmento que liga o ponto de S mais próximo da origem ao</p><p>ponto de S mais distante da mesma.</p><p>08 Estabeleça as equações das circunferências de círculo tangentes às</p><p>retas 4x + 3y – 12 = 0 e 4x – 3y = 0 e cujos centros, de coordenadas</p><p>positivas, distam 5 unidades da interseção destas retas.</p><p>09 Seja C a circunferência de equação x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0.Considere</p><p>em C a corda AB cujo ponto médio é M: (2, 2). O comprimento de AB (em</p><p>unidade de comprimento) é igual a:</p><p>(A) 2 6.</p><p>(B) 3.</p><p>(C) 2.</p><p>(D) 2 3.</p><p>E) n.r.a.</p><p>10 Determine uma equação do lugar geométrico dos pontos de igual</p><p>potência em relação às circunferências tangentes às retas de equações</p><p>x + y – 4 = 0 e 7x – y + 4 = 0 e cujos centros pertencem à reta de</p><p>equação 4x + 3y – 2 = 0.</p><p>11 Uma reta t tem coeficiente angular 2a e tangencia a parábola</p><p>y = x2 –1 no ponto de coordenadas (a, b) · Se (c, 0) e (0, d) são as</p><p>coordenadas de dois pontos de t tais que c > 0 e c = –2d, então a</p><p>b</p><p>é</p><p>igual a:</p><p>(A)</p><p>4</p><p>.</p><p>5</p><p>−</p><p>(B)</p><p>5</p><p>.</p><p>16</p><p>−</p><p>(C)</p><p>3</p><p>.</p><p>16</p><p>−</p><p>(D)</p><p>6</p><p>.</p><p>15</p><p>−</p><p>(E)</p><p>7</p><p>.</p><p>15</p><p>−</p><p>12 Pelo ponto C: (4, – 4) são traçadas duas retas que tangenciam a</p><p>parábola y = (x – 4)2 + 2 nos pontos A e B. A distância do ponto C à reta</p><p>determinada por A e B é:</p><p>(A) 6 12.</p><p>(B) 12.</p><p>(C) 12.</p><p>(D) 8.</p><p>(E) 6.</p><p>13 Considere a reta r mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos</p><p>em que a reta 2x – 3y + 7 = 0 intersecta os eixos coordenados.</p><p>Então, a distância do ponto 1 1</p><p>,</p><p>4 6</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>à reta r é igual a:</p><p>(A)</p><p>5 3</p><p>2</p><p>.</p><p>(B)</p><p>4</p><p>13</p><p>.</p><p>(C) 3 13 .</p><p>(D) 2 3</p><p>7</p><p>.</p><p>(E) 2</p><p>3</p><p>.</p><p>14 Considere a hipérbole H e a parábola T, cujas equações são</p><p>respectivamente 5(x + 3)2 – 4(y – 2)2 = –20 e (y – 3)2 = 4 (x – 1). Então,</p><p>o lugar geométrico dos pontos P, cuja soma dos quadrados das distâncias</p><p>de P a cada um dos focos da hipérbole H é igual ao triplo do quadrado da</p><p>distância de P ao vértice da parábola T, é:</p><p>(A) a elipse de equação</p><p>( ) ( )2 2</p><p>3 2</p><p>1</p><p>4 3</p><p>x y− +</p><p>+ = .</p><p>(B) o par de retas dado por y = ± (3x – 1).</p><p>(C) a parábola de equação y2 = 4x + 4.</p><p>(D) a circunferência centrada em (9, 5) e cujo quadrado do raio é 120.</p><p>(E) n.r.a.</p><p>15 Determine o lugar geométrico das projeções do foco de uma parábola</p><p>nas retas tangentes a ela.</p><p>16 Mostre que os pontos de interseção da elipse x2 + 4y2 = 20 com a</p><p>hipérbole x2 – 4y2 = 12 são os vértices de um retângulo e determine as</p><p>equações dos lados deste retângulo.</p><p>17 Seja r a mediatriz do segmento de reta de extremos M = (– 4, – 6) e</p><p>N = (8, – 2). Seja R o raio da circunferência com centro na origem que</p><p>tangencia a reta r. Então, o valor de R é:</p><p>(A)</p><p>7</p><p>3</p><p>.</p><p>(B) 15</p><p>3</p><p>.</p><p>(C) 10</p><p>3</p><p>.</p><p>(D)</p><p>10</p><p>5</p><p>.</p><p>(E) nra.</p><p>18 Seja C a circunferência dada pela equação x2 + y2 + 2x + 6y + 9 = 0.</p><p>Se P = (a, b) é o ponto em C mais próximo da origem, então:</p><p>(A)</p><p>3</p><p>2</p><p>a = − e 4b2 + 24b + 15 = 0.</p><p>(B) 1</p><p>2</p><p>a = − e 4b2 + 24b + 33 = 0.</p><p>(C)</p><p>10</p><p>1</p><p>10</p><p>a = − e b = 3a.</p><p>(D) 10</p><p>1</p><p>10</p><p>a = − − e b = 3a.</p><p>(E) n.r.a.</p><p>MATEMÁTICA IV</p><p>Assunto 8</p><p>120 IME-ITA – Vol. 5</p><p>19 Considere os pontos A: (0, 0) , B: (2, 0) e C: (0, 3). A soma das</p><p>coordenadas do incentro desse triângulo é:</p><p>(A)</p><p>12</p><p>.</p><p>5 13+</p><p>(B)</p><p>9</p><p>.</p><p>2 11+</p><p>(C)</p><p>10</p><p>.</p><p>6 13+</p><p>(D) 5.</p><p>(E) 2.</p><p>20 É dada a cônica (k), cuja equação é y2 = 6x. Considere uma família</p><p>de circunferências tangentes a (k), sabendo-se que cada circunferência</p><p>desta família é tangente a (k) em dois pontos reais e distintos. Determine</p><p>o lugar geométrico dos centros das circunferências desta família.</p><p>21 Considere uma elipse de semieixos a e b. Seja A o valor máximo da</p><p>área que pode ter um triângulo inscrito nessa elipse. Calcule A.</p><p>22 Determine o lugar geométrico descrito pelo centro da circunferência</p><p>tangente às curvas de equações: x2 + y2 – 6y – 135 = 0 e x2 + y2 +</p><p>6y – 7 = 0.</p><p>23 Dados os pontos A(–4, 0), B(4, 0) e C(8, 0), traçam-se uma</p><p>circunferência variável passando por A e B, e, por C, as tangentes a esta</p><p>circunferência. Determine o lugar geométrico do ponto médio da corda</p><p>que liga os pontos de contato destas tangentes.</p><p>24 É dada uma circunferência (C) de centro na mesma origem e raio R.</p><p>Nesta circunferência, é traçada uma corda variável AB, paralela ao eixo das</p><p>abscissas. Pelo ponto A, traça-se a reta (r), paralela à bissetriz dos quadrantes</p><p>ímpares e pelo ponto B, a reta (s), perpendicular à reta 2y + x + 5 = 0.</p><p>Determine e identifique o lugar geométrico das interseções das retas (r) e (s).</p><p>25 O ponto M, variável, descreve o círculo de equação x2 + y2 = 4. Por</p><p>esse ponto, são traçadas a reta r, que passa pelo ponto (1, 0), e a reta s,</p><p>perpendicular à r. Sendo t a reta paralela ao raio OM passando pelo ponto</p><p>(–1, 0), pede-se determinar o lugar geométrico do ponto de interseção</p><p>das retas s e t.</p><p>26 Uma hipérbole passa pelo ponto A( 6 , 3) e tangencia a reta</p><p>9x + 2y – 15 = 0. Determine uma equação desta hipérbole, sabendo-se</p><p>que seus eixos coincidem com os eixos coordenados.</p><p>27 Sendo (r) uma reta dada pela equação x – 2y + 2 = 0, então, a</p><p>equação da reta (s) simétrica à reta (r) em relação ao eixo das abscissas</p><p>é descrita por:</p><p>(A) x + 2y = 0.</p><p>(B) 3x – y + 3 = 0.</p><p>(C) 2x + 3y + 1 = 0.</p><p>(D) x + 2y + 2 = 0.</p><p>(E) x – 2y – 2 = 0.</p><p>28 Seja P uma parábola. Ache o lugar geométrico dos pontos Q tais que</p><p>existem duas retas tangentes a P por Q e as distâncias de Q aos pontos</p><p>de tangência de cada uma dessas retas são iguais.</p><p>29 Determine as equações das assíntotas da hipérbole de equação:</p><p>27x2 + 48xy + 13y2 – 66x – 62y – 140 = 0.</p><p>30 Seja L uma elipse de focos F e F’. Sendo M um ponto variável da</p><p>elipse, definimos como q(M) o ângulo agudo entre MF e a reta tangente à</p><p>elipse em M. Sendo α o menor valor possível para q(M) quando M varia</p><p>na elipse, determine a excentricidade de L em função de α .</p><p>31 As retas da família definida por: y – 2 = α (x – 2), α ∈ , intersectam</p><p>os eixos coordenadas nos pontos A e B; sendo P o ponto médio do</p><p>segmento definido por A e B, pede-se:</p><p>a. uma equação do lugar geométrico do ponto P;</p><p>b. caso tal lugar seja uma cônica, obter, mediante transformações de</p><p>coordenadas convenientes, uma equação sob a forma canônica.</p><p>32 Seja a elipse de equação b2x2+ a2y2 = a2b2. Determine o lugar</p><p>geométrico das interseções de duas tangentes à elipse traçadas de</p><p>extremidades de raios vetores paralelos e de mesmo sentido.</p><p>33 Considere uma parábola U e um ângulo fixo α. Seja P um ponto variável</p><p>e PA e PB tangentes a U, com A e B em U. Sendo APB̂= α , determine o</p><p>LG de P, identificando sua natureza.</p><p>34 ABCD é um trapézio isósceles de base menor AB e O é o ponto de</p><p>interseção das suas diagonais.</p><p>O ponto O é também o foco de uma parábola que passa pelos 4 vértices</p><p>do trapézio. Se AO = 3 · OC , quanto mede o ângulo AOB?</p><p>35 Considere uma hipérbole H, com assíntotas r e s e focos F e F’. Seja M</p><p>um ponto qualquer de H e t a tangente a H em M. Se P = r ∩ t e Q = s ∩ t,</p><p>prove que P, Q, F e F’ pertencem a um mesmo círculo.</p><p>36 Determine a equação, identificando a sua natureza, do lugar geométrico</p><p>de um ponto que se desloca de tal forma que o quadrado de sua distância</p><p>ao ponto (1, 1) é proporcional à sua distância à reta x + y = 0.</p><p>.</p><p>37 São dadas duas retas paralelas r e r’ e um ponto O. Determine o lugar</p><p>geométrico dos pés das perpendiculares baixadas de O aos segmentos</p><p>de reta AA’, vistos de O sob um ângulo reto e tais que A pertence a r e A’</p><p>pertence a r’. Sabe-se que:</p><p>distância de O a r: d</p><p>distância de O a r’: p</p><p>distância de r a r’: p – d</p><p>38 Encontre o valor de k para que a reta determinada pelos pontos A(0, 3)</p><p>e B(5, –2) seja tangente à curva</p><p>1</p><p>k</p><p>y</p><p>x</p><p>=</p><p>+</p><p>para x ≠ – 1.</p><p>39 Uma reta m1 passa pelo ponto fixo P1(–1, –3) e intersecta a reta</p><p>m2 : 3x + 2y – 6 =0 no ponto A e a reta m3: y – 3 = 0 no ponto B.</p><p>Determinar a equação do lugar geométrico do ponto médio do segmento</p><p>retilíneo AB à medida que a reta m1 gira em torno do ponto P1.</p><p>40 Determine a equação e identifique o lugar geométrico dos pontos médios</p><p>dos segmentos determinados pela interseção da cônica 5x2 – 6xy + 5y2 –</p><p>4x – 4y – 4 = 0 com as retas de coeficiente angular igual a 1/2.</p><p>MATEMÁTICA IV</p><p>Assunto 8</p><p>Geometria analítica</p><p>121IME-ITA – Vol. 5</p><p>41 Dados um sistema de eixos or togonais XOY e um ponto A, de</p><p>coordenadas (x0, y0), (x0, y0) ≠ (0, 0), considere dois pontos variáveis P</p><p>e Q, P pertencente ao eixo OX e Q pertencente ao eixo OY, tais que a área</p><p>do triângulo APQ seja constante e igual a k, k ∈ . Calcule e identifique a</p><p>equação do lugar geométrico do ponto médio do segmento PQ.</p><p>42 Determine a equação e o raio do círculo de menor diâmetro, que possui</p><p>com o círculo x2 + y2 – 8x – 25 = 0 eixo radical y – 2x – 5 = 0.</p><p>43 Mostre que por todo ponto não situado sobre o eixo OX passam</p><p>exatamente duas parábolas com foco na origem e eixo de simetria OX e</p><p>que estas parábolas intersectam-se ortogonalmente.</p><p>44 Um ponto se move de modo que, o quadrado de sua distância à base</p><p>de um triângulo isósceles é igual ao produto de sua distância aos outros</p><p>dois lados do triângulo. Determine a equação da trajetória deste ponto;</p><p>identificando a curva descrita e respectivos parâmetros.</p><p>45 Seja uma elipse cujo eixo maior AA’ = 2a e cuja excentricidade é 1/2.</p><p>Seja F o foco da elipse, correspondente ao vértice A. Considere a parábola,</p><p>cujo vértice é o ponto O, centro da elipse, e cujo foco coincide com o</p><p>foco F da elipse. Determine o ângulo entre as duas curvas nos pontos de</p><p>interseção.</p><p>46 Considere as famílias das retas representadas pela equação</p><p>2(1 )</p><p>2</p><p>p m</p><p>y mx</p><p>m</p><p>+</p><p>= − , em que p é uma constante positiva dada e m um</p><p>número real variável.</p><p>a. Determine a condição para que em um ponto M = (x0, y0) do plano</p><p>cartesiano, passem duas retas dessa família.</p><p>b. Determine o lugar geométrico dos pontos M para os quais as retas</p><p>que por eles passam sejam perpendiculares.</p><p>47 Na elipse de excentricidade 1/2, foco na origem e reta diretriz dada</p><p>por 3x + 4y = 25, determine:</p><p>a. os vértices da elipse;</p><p>b. o outro foco;</p><p>c. a equação da outra reta diretriz.</p><p>48 Sendo o quadrado OABC cujos vértices são a origem e os pontos</p><p>A(1, 1); B(0, 2); C(–1, 1). Seja F(0, 1) o centro desse quadrado e (P) a</p><p>parábola de foco F e cuja diretriz é o eixo das abcissas. Pede-se:</p><p>I. Mostre que (P) passa por A e C.</p><p>II. Determine a equação dessa parábola.</p><p>III. Calcule as coordenadas do ponto D, segundo ponto de interseção da</p><p>reta BC com (P).</p><p>IV Seja M um ponto qualquer de (P) cuja abcissa é x. Mostre que a potência</p><p>de M em relação ao círculo (I) de diâmetro CD é 31</p><p>( 1) ( 3).</p><p>4</p><p>x x+ −</p><p>V. A partir do resultado anterior, encontre o conjunto dos pontos de (P)</p><p>interiores a (I).</p><p>49 Determine a equação da reta que passa por um vértices da curva</p><p>definida por: 4y2 + 8y – x2 = 4 , formando um ângulo de 45° com o eixo</p><p>horizontal.</p><p>50 Demonstrar analiticamente que se uma reta perpendicular a uma</p><p>corda de um círculo, passa pelo seu centro, então, ela divide a corda</p><p>no seu ponto médio.</p><p>51 Seja y =</p><p>2</p><p>2</p><p>x uma parábola com foco F e diretriz d. Uma reta, cujo</p><p>coeficiente angular é m ≠ 0, passa por F e corta a parábola em dois pontos</p><p>M1 e M2 , respectivamente. Seja G o conjugado harmônico de F em relação</p><p>a M1 e M2. Pede-se:</p><p>a. As coordenadas de G em função de m.</p><p>b. O lugar geométrico do ponto G quando m varia.</p><p>52 Seja ABC um triângulo qualquer no qual os vértices B e C são fixos.</p><p>Determine o lugar geométrico descrito pelo ponto A, variável, sabendo que</p><p>os ângulos B e C satisfazem à relação tan B · tan C = k , k constante real.</p><p>Discuta a</p><p>solução para diversos valores de k.</p><p>Sugestão: Considere como eixos coordenados as retas BC e a mediatriz</p><p>do segmento BC.</p><p>53 Um triângulo ABC tem base AB fixa sobre uma reta r. O vértice C</p><p>desloca-se ao longo de uma reta s, paralela a r e a uma distância h da</p><p>mesma. Determine a equação da curva descrita pelo ortocentro do triângulo</p><p>ABC.</p><p>54 Dados os pontos A e B do plano, determine a equação do lugar</p><p>geométrico dos pontos P do plano, de tal modo que a razão entre as</p><p>distâncias de P a A e de P a B seja dada por uma constante k. Justifique</p><p>a sua resposta analiticamente, discutindo todas as possibilidades para k.</p><p>55 Em uma parábola (P), com foco F e parâmetro p, considere</p><p>uma corda 'MM . Normal à parábola em M. Sabendo que o ângulo</p><p>MFM’ = 90°, calcule os segmentos FM e 'FM .</p><p>56 Considere uma elipse e uma hipérbole centradas na origem, O, de um</p><p>sistema cartesiano, com eixo focal coincidente com o eixo OX. Os focos</p><p>da elipse são vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são vértices</p><p>da elipse. Dados os eixos da elipse como 10 cm e 20/3 cm, determine</p><p>as equações das parábolas, que passam pelas interseções da elipse e da</p><p>hipérbole e são tangentes ao eixo OY na origem.</p><p>57 Calcule as coordenadas dos pontos de interseção da elipse com a</p><p>hipérbole, representadas na figura abaixo, sabendo-se que:</p><p>a. os pontos C e C’ são os focos da elipse e os pontos A e A’ são os</p><p>focos da hipérbole;</p><p>b. BB’ é o eixo conjugado da hipérbole;</p><p>c. OB = OB’ = 3 m e OC = OC’ = 4 m.</p><p>E’</p><p>B’</p><p>E</p><p>A</p><p>D</p><p>C</p><p>0</p><p>B</p><p>C’</p><p>D’</p><p>A’</p><p>Y</p><p>X</p><p>58 Dada uma elipse, demonstre que o círculo que tem como diâmetro o</p><p>raio vetor FM, que une um foco a um ponto qualquer da curva, é tangente</p><p>ao seu círculo principal (círculo com diâmetro igual ao eixo maior).</p><p>MATEMÁTICA IV</p><p>Assunto 8</p><p>122 IME-ITA – Vol. 5</p><p>59 Sendo dados dois círculos, um dos quais é tangente ao outro,</p><p>determine o lugar geométrico dos centros dos círculos que são tangentes</p><p>aos dois círculos dados (internamente a um e externamente ao outro).</p><p>60 Dada uma parábola de foco F, considere uma reta D perpendicular</p><p>ao seu eixo. Por um ponto variável M da curva, traça-se a tangente, que</p><p>intersecta D em um ponto T. Seja P a projeção de T no raio FM. Determine</p><p>o lugar geométrico de P.</p><p>61 Considere uma parábola de eixo focal OX que passe pelo ponto (0, 0).</p><p>Define-se a subnormal em um ponto P da parábola como o segmento de</p><p>reta ortogonal à tangente da curva, limitado pelo ponto P e o eixo focal.</p><p>Determine a equação e identifique o lugar geométrico dos pontos médios</p><p>das subnormais dessa parábola.</p><p>62 Seja o ponto A = (r, 0), r > 0. O lugar geométrico dos pontos P = (x, y)</p><p>tais que é de 3r2 a diferença entre o quadrado da distância de P a A e o dobro</p><p>do quadrado da distância de P à reta y = – r, é:</p><p>(A) uma circunferência centrada em (r, –2r) com raio r.</p><p>(B) uma elipse centrada em (r, –2r) com semieixos valendo r e 2r.</p><p>(C) uma parábola com vértice em (r, –r).</p><p>(D) duas retas paralelas distando r 3 uma da outra.</p><p>(E) uma hipérbole centrada em (r, –2r) com semi-eixos valendo r.</p><p>63 O coeficiente angular da reta tangente à elipse</p><p>2 2</p><p>1</p><p>16 9</p><p>x y</p><p>+ = no primeiro</p><p>quadrante e que corta o eixo das abcissas no ponto P(8, 0) é:</p><p>(A) – 3 /3.</p><p>(B) –1/2.</p><p>(C) – 2 /3.</p><p>(D) – 3 /4.</p><p>(E) – 2 /4.</p><p>64 Um polígono regular de n lados está inscrito em uma elipse. Quais</p><p>são os possíveis valores de n?</p><p>65 Uma elipse de focos (9, 2) e (15, 10) é tangente ao eixo x. Quanto</p><p>vale seu eixo maior?</p><p>66 Seja M um ponto qualquer sobre a elipse de equação</p><p>2 2</p><p>1</p><p>4 9</p><p>x y</p><p>+ = e</p><p>focos F e F’. O círculo inscrito no triângulo MFF’ toca os lados MF e MF’</p><p>nos pontos A e B. Calcule a distância MA.</p><p>67 Seja M um ponto variável sobre uma elipse de focos F e F’. Qual é o</p><p>lugar geométrico do incentro do triângulo MFF’ quando M varia?</p><p>68 Sobre a parábola definida pela equação 2 22 2 4 1   0x xy y x y+ + − + + =</p><p>pode-se afirmar que:</p><p>(A) ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox.</p><p>(B) ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo Ox.</p><p>(C) ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo Ox.</p><p>(D) a abscissa do vértice da parábola é x = −1.</p><p>(E) a abscissa do vértice da parábola é x =</p><p>2</p><p>3</p><p>− .</p><p>69 Determine a área da figura plana situada no primeiro quadrante e</p><p>delimitada pelas curvas:</p><p>( ) 2 2       2      2    0 e     2        8   0.</p><p>2</p><p>x</p><p>y x y x x y − − + − = − + − = </p><p> </p><p>70 Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices de um triângulo.</p><p>A distância do baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de</p><p>distância, é igual a:</p><p>(A) 5</p><p>3</p><p>.</p><p>(B) 97</p><p>3</p><p>.</p><p>(C) 109</p><p>3</p><p>.</p><p>(D) 5</p><p>3</p><p>.</p><p>(E) 10</p><p>3</p><p>.</p><p>71 A área do quadrilátero definido pelos eixos coordenados e as retas</p><p>:     3   3   0 e  : 3        21   0,r x y s x y− + = + − = em unidades de área, é igual a:</p><p>(A) 19</p><p>2</p><p>.</p><p>(B) 10.</p><p>(C)</p><p>25</p><p>2</p><p>.</p><p>(D) 27</p><p>2</p><p>.</p><p>(E)</p><p>29</p><p>2</p><p>.</p><p>72 Dados os pontos A = (0, 0), B = (2, 0) e C = (1, 1), o lugar geométrico</p><p>dos pontos que se encontram a uma distância d = 2 da bissetriz interna,</p><p>por A, do triângulo ABC é um par de retas definidas por:</p><p>(A) 1, 2 : 2 2 4 2 0r y x− ± + = .</p><p>(B) 1, 2</p><p>2</p><p>: 2 10 2 0</p><p>2</p><p>r y x− ± + = .</p><p>(C) 1, 2: 2 2 10 2 0r y x− ± + = .</p><p>(D) ( )1, 2 : 2 1 2 2 4 2 0r y x+ − ± + = .</p><p>(E) ( )1, 2: 2 1 2 4 2 2 0r y x+ − ± + = .</p><p>73 As interseções das retas r: x – 3y + 3 = 0, s: x + 2y – 7 = 0 e</p><p>t: x + 7y – 7 = 0, duas a duas, respectivamente, definem os vértices de</p><p>um triângulo que é a base de um prisma reto de altura igual a 2 unidades</p><p>de comprimento. Determine:</p><p>a. a área total da superfície do prisma.</p><p>b. o volume do prisma.</p><p>MATEMÁTICA IV</p><p>Assunto 8</p><p>Geometria analítica</p><p>123IME-ITA – Vol. 5</p><p>74 A expressão 2 24    9    16    54    61   0x y x ye e e e+ − − + = , com x e y reais,</p><p>representa:</p><p>(A) o conjunto vazio.</p><p>(B) um conjunto unitário.</p><p>(C) um conjunto não-unitário com um número finito de pontos.</p><p>(D) um conjunto com um número infinito de pontos.</p><p>(E) o conjunto ( ) 2 2 2{ ,    | 2(    2)    3(    3)    1}.x yx y e e∈ − + − =</p><p>75 Entre duas superposições consecutivas dos ponteiros das horas e</p><p>dos minutos de um relógio, o ponteiro dos minutos varre um ângulo cuja</p><p>medida, em radianos, é igual a:</p><p>(A)</p><p>23</p><p>.</p><p>11</p><p>π</p><p>(B)</p><p>13</p><p>.</p><p>6</p><p>π</p><p>(C)</p><p>24</p><p>.</p><p>11</p><p>π</p><p>(D)</p><p>25</p><p>.</p><p>11</p><p>π</p><p>(E)</p><p>7</p><p>.</p><p>3</p><p>π</p><p>76 Considere as circunferências</p><p>( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2</p><p>1 2 : 4 3 4 e  :  10 11 9.C x y C x y− + − = − + − =</p><p>Seja r uma reta tangente interna a C1 e C2, isto é, r tangencia C1 e C2 e</p><p>intercepta o segmento de reta 1 2O O , definido pelos centro de O1 de C1 e</p><p>O2 de C2. Os pontos de tangência definem um segmento sobre r que mede:</p><p>(A) 5 3 .</p><p>(B) 4 5 .</p><p>(C) 3 6 .</p><p>(D) 25</p><p>3</p><p>.</p><p>(E) 9.</p><p>77 Um triângulo equilátero tem os vértices nos pontos A, B e C do plano</p><p>xOy, sendo B = (2, 1) e C = –(5, 5). Das seguintes afirmações:</p><p>I. A se encontra sobre a reta</p><p>3 11</p><p>.</p><p>4 2</p><p>y x= − +</p><p>II. A está na intersecção da reta</p><p>3 45</p><p>4 8</p><p>y x= − + com a circunferência</p><p>(x – 2)2 + (y – 1)2 = 25.</p><p>III. A pertence as circunferências</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>2</p><p>2 2 27 75</p><p>5 5 25 e 3 .</p><p>2 4</p><p>x y x y − + − = − + − = </p><p> </p><p>É(são) verdadeira(s) apenas:</p><p>(A) I.</p><p>(B) II.</p><p>(C) III.</p><p>(D) I e II.</p><p>(E) II e III.</p><p>78 Determine uma equação da circunferência inscrita no triângulo cujos</p><p>vértices são A = (1, 1); B = (1, 7) e C = (5, 4) no plano xOy.</p><p>79 No plano, considere S o lugar geométrico dos pontos cuja soma dos</p><p>quadrados de suas distâncias à reta t: x = 1 e ao ponto A = (3,2) é igual</p><p>a 4. Então, S é:</p><p>(A) uma circunferência de raio 2 e centro (2, 1).</p><p>(B) uma circunferência de raio 1 e centro (1, 2).</p><p>(C) uma hipérbole.</p><p>(D) uma elipse de eixos de comprimento 2 2 e 2.</p><p>(E) uma elipse de eixos de comprimento 2 e 1.</p><p>80 A distância entre o vér tice e o foco da parábola de equação</p><p>2x2 – 4x – 4y + 3 = 0 é igual a:</p><p>(A) 2.</p><p>(B) 3</p><p>2</p><p>.</p><p>(C) 1.</p><p>(D) 3</p><p>4</p><p>.</p><p>(E) 1</p><p>2</p><p>.</p><p>81 Sejam C uma circunferência de raio R > 4 e centro (0, 0) e AB uma</p><p>corda de C. Sabendo que (1, 3) é ponto médio de AB , então uma equação</p><p>da reta que contém AB é:</p><p>(A) 3 6 0.y x+ − =</p><p>(B) 3 10 0.y x+ − =</p><p>(C) 2 7 0.y</p><p>x+ − =</p><p>(D) 4 0.y x+ − =</p><p>(E) 2 3 9 0.y x+ − =</p><p>82 Dadas a circunferência ( ) ( )2 2 : 3 1 20C x y− + − = e a reta</p><p>: 3 5 0r x y− + = , considere a reta t que tangencia c, forma um ângulo</p><p>de 45° com r e cuja distância à origem é 3 5</p><p>5</p><p>. Determine uma equação</p><p>da reta t.</p><p>83 Considere as n retas :   10i ir y m x= + , 1, 2, ,i n= … ; 5,n ≥ em que</p><p>os coeficientes mi, em ordem crescente de i, formam uma progressão</p><p>aritmética de razão q > 0. Se m1 = 0 e a reta r5 tangencia a circunferência</p><p>de equação x2 + y2 = 25, determine o valor de q.</p><p>84 Dada a cônica 2 2 : 1x y− =λ , qual das retas abaixo é perpendicular</p><p>à l no ponto P = (2, 3)?</p><p>(A) ( )3 1y x= − .</p><p>(B) 3</p><p>2</p><p>y x= .</p><p>(C) ( )3</p><p>1</p><p>3</p><p>y x= + .</p><p>(D) ( )3</p><p>7</p><p>5</p><p>y x</p><p>−</p><p>= − .</p><p>(E) ( )3</p><p>4</p><p>2</p><p>y x</p><p>−</p><p>= − .</p><p>MATEMÁTICA IV</p><p>Assunto 8</p><p>124 IME-ITA – Vol. 5</p><p>85 Sejam r e s duas retas paralelas distando 10 cm entre si. Seja P um</p><p>ponto no plano definido por r e s e exterior à região limitada por estas</p><p>retas, distando 5 cm de r. As respectivas medidas da área e do perímetro,</p><p>em cm2 e cm, do triângulo equilátero PQR cujos vértices Q e R estão,</p><p>respectivamente, sobre as retas r e s, são iguais a:</p><p>(A) 3</p><p>175</p><p>3</p><p>e 5 21 .</p><p>(B)</p><p>3</p><p>175</p><p>3</p><p>e 10 21 .</p><p>(C) 175 3 e 10 21 .</p><p>(D) 175 3 e 5 21 .</p><p>(E) 700 e 10 21 .</p><p>86 Seja C uma circunferência de raio r e centro O e AB um diâmetro</p><p>de C. Considere o triângulo equilátero BDE inscrito em C. Traça-se a reta</p><p>s passando pelos pontos O e E até interceptar em F a reta t tangente à</p><p>circunferência C no ponto A. Determine o volume do sólido de revolução</p><p>gerado pela rotação da região limitada pelo arco AE e pelos segmentos</p><p>AF e EF em torno do diâmetro AB.</p><p>87 Considere a parábola de equação y = ax2 + bx + c, que passa</p><p>pelos pontos (2, 5), (–1, 2) e tal que a, b, c formam, nesta ordem, uma</p><p>progressão aritmética. Determine a distância do vértice da parábola à reta</p><p>tangente à parábola no ponto (2, 5).</p><p>88 Considere no plano cartesiano xy o triângulo delimitado pelas retas</p><p>2x = y, x = 2y e x = –2y + 10. A área desse triângulo mede:</p><p>(A) 15/2.</p><p>(B) 13/4.</p><p>(C) 11/6.</p><p>(D) 9/4.</p><p>(E) 7/2.</p><p>89 Sejam A: (a, 0), B: (0, a) e C: (a, a), pontos do plano cartesiano,</p><p>em que a é um número real não nulo. Nas alternativas abaixo, assinale a</p><p>equação do lugar geométrico dos pontos P: (x, y), cuja distância à reta</p><p>que passa por A e B é igual à distância de P ao ponto C.</p><p>(A) 2 2 22 2 2 3 0.x y xy ax ay a+ − − − + =</p><p>(B) 2 2 22 2 2 3 0.x y xy ax ay a+ + + + + =</p><p>(C) 2 2 22 2 2 3 0.x y xy ax ay a+ − + + + =</p><p>(D) 2 2 22 2 2 3 0.x y xy ax ay a+ − − − − =</p><p>(E) 2 2 22 2 2 3 0.x y xy ax ay a+ + − − − =</p><p>90 Considere, no plano cartesiano xy, duas circunferências C1 e C2, que</p><p>se tangenciam exteriormente em P: (5, 10). O ponto Q: (10, 12) é o centro</p><p>de C1. Determine o raio da circunferência C2, sabendo que ela tangencia</p><p>a reta definida pela equação x = y.</p><p>91 Sejam a reta s: 12x – 5y + 7 = 0 e a circunferência C: x2 + y2 + 4x + 2y</p><p>= 11. A reta p, que é perpendicular a s e é secante a C, corta o eixo Oy</p><p>em um ponto cuja ordenada pertence ao seguinte intervalo:</p><p>(A) 91 81</p><p>,  .</p><p>12 12</p><p> − − </p><p> </p><p>(B) 81 74</p><p>,  .</p><p>12 12</p><p> − − </p><p> </p><p>(C) 74 30</p><p>,  .</p><p>12 12</p><p> − − </p><p> </p><p>(D)</p><p>30 74</p><p>,  .</p><p>12 12</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>(E) 75 91</p><p>,  .</p><p>12 12</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>92 Os focos de uma elipse são ( )1 0, –6F e ( )2 0, 6F . Os pontos</p><p>A(0, 9) e B(x, 3), x > 0, estão na elipse. A área do triângulo com vértices</p><p>em B, F1 e F2 é igual a:</p><p>(A) 22 10.</p><p>(B) 18 10.</p><p>(C) 15 10.</p><p>(D) 12 10.</p><p>(E) 6 10.</p><p>93 Sabendo que 2 29 16 144 224 352 0y x y x− − + − = é a equação de</p><p>uma hipérbole, calcule sua distância focal.</p><p>94 Uma circunferência passa pelos pontos A = (0,2), B = (0,8) e</p><p>C = (8,8). Então, o centro da circunferência e o valor de seu raio,</p><p>respectivamente, são:</p><p>(A) (0, 5) e 6.</p><p>(B) (5, 4) e 5.</p><p>(C) (4, 8) e 5,5.</p><p>(D) (4, 5) e 5.</p><p>(E) (4, 6) e 5.</p><p>95 Em relação a um sistema de eixos cartesiano ortogonal no plano, três</p><p>vértices de um tetraedro regular são dados por A = (0, 0), B = (2, 2) e</p><p>( )1 3, 1 3C = − + . O volume do tetraedro é:</p><p>(A)</p><p>8</p><p>.</p><p>3</p><p>(B) 3.</p><p>(C)</p><p>3 3</p><p>.</p><p>2</p><p>(D)</p><p>3 3</p><p>.</p><p>2</p><p>(E) 8.</p><p>96 A distância focal e a excentricidade da elipse com centro na origem e</p><p>que passa pelos pontos (1, 0) e (0, –2) são, respectivamente:</p><p>(A) 3 e 1</p><p>2</p><p>.</p><p>(B)</p><p>1</p><p>2</p><p>e 3 .</p><p>(C) 3</p><p>2</p><p>e 1</p><p>2</p><p>.</p><p>(D) 3 e 3</p><p>2</p><p>.</p><p>(E) 2 3 e 3</p><p>2</p><p>.</p><p>MATEMÁTICA IV</p><p>Assunto 8</p><p>Geometria analítica</p><p>125IME-ITA – Vol. 5</p><p>97 Seja C a circunferência de centro na origem, passando pelo ponto</p><p>P = (3, 4). Se t é a reta tangente a C por P, determine a circunferência C’</p><p>de menor raio, com centro sobre o eixo x e tangente simultaneamente à</p><p>reta t e à circunferência C.</p><p>98 Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 3 2 cm. O volume</p><p>do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa é</p><p>π cm3. Determine os ângulos deste triângulo.</p><p>99 Considere um círculo com centro C, na origem, e raio 2. Esse círculo</p><p>intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B, sendo a abscissa de</p><p>A menor do que a abscissa de B. Considere P e Q, dois pontos desse</p><p>círculo, com ordenadas maiores ou iguais a zero. O ângulo formado entre</p><p>o segmento CP e CQ vale rd.</p><p>3</p><p>π</p><p>Determine a equação do lugar geométrico</p><p>descrito pelo ponto de interseção dos segmentos AP e BQ internos ao</p><p>círculo.</p><p>100 É dada uma parábola de parâmetro p. Traça-se a corda focal MN, que</p><p>possui uma inclinação de 60° em relação ao eixo de simetria da parábola.</p><p>A projeção do ponto M sobre a diretriz é o ponto Q, e o prolongamento</p><p>da corda MN intercepta a diretriz no ponto R. Determine o perímetro do</p><p>triângulo MQR em função de p, sabendo que N encontra-se no interior do</p><p>segmento MR.</p><p>101 Considere uma reta r que passa pelo ponto P(2, 3). A reta r intercepta</p><p>a curva x2 – 2xy – y2 = 0 nos pontos A e B. Determine:</p><p>a. o lugar geométrico definido pela curva;</p><p>b. a(s) possível(is) equação(ões) da reta r, sabendo que 17PA PB⋅ =</p><p>102 Determine o valor da excentricidade da cônica dada pela equação</p><p>2 210 3 11 16 0.x xy y− + + =</p><p>103 Considere as hipérboles que passam pelos pontos (–4, 2) e</p><p>(–1, –1) e apresentam diretriz na reta y = –4. Determine a equação do</p><p>lugar geométrico formado pelos focos dessas hipérboles, associados a</p><p>esta diretriz, e represente o mesmo no plano cartesiano.</p><p>104 Considere todos os pontos de coordenadas (x, y) que pertençam à</p><p>circunferência de equação x2 + y2 – 6x – 6y + 14 = 0. Determine o maior</p><p>valor possível de .</p><p>y</p><p>x</p><p>105 O quadrilátero BRAS, de coordenadas A(1, 0), B(–2, 0), R(x1, y1) e</p><p>S(x2,y2) é construído tal que ˆ ˆ 90RAS RBS= = °. Sabendo que o ponto R</p><p>pertence à reta t de equação y = x + 1, determine a equação algébrica</p><p>do lugar geométrico descrito pelo ponto S ao se deslocar R sobre t.</p><p>106 Considere os pontos A(–1, 0) e B(2, 0) e seja C uma circunferência</p><p>de raio R tangente ao eixo das abscissas na origem. A reta r1 é tangente</p><p>a C e contém o ponto A e a reta r2 também é tangente a C e contém o</p><p>ponto B. Sabendo que a origem não pertence às retas r1 e r2, determine a</p><p>equação do lugar geométrico descrito pelo ponto de interseção de r1 e r2</p><p>ao se variar R no intervalo (0,∞).</p><p>107 Considere uma elipse de focos F e F’, e M um ponto qualquer dessa</p><p>curva. Traça-se por M duas secantes MF e 'MF , que interceptam a elipse</p><p>em P e P’, respectivamente.</p><p>Demonstre que a soma ( ) ( )/ ' / ' 'MF FP MF F P+ é constante.</p><p>Sugestão: calcule inicialmente a soma ( ) ( )1/ 1/MF FP+ .</p><p>MATEMÁTICA IV</p><p>Assunto 8</p><p>126 IME-ITA – Vol. 5</p><p>1. Polígonos</p><p>• Soma dos ângulos internos de um polígono simples: S = 180°(n – 2),</p><p>sendo n o gênero do polígono.</p><p>• Soma dos ângulos externos de um polígono convexo: S’ = 360°.</p><p>• Número de diagonais de um polígono convexo: D</p><p>n n</p><p>�</p><p>�( )3</p><p>2</p><p>.</p><p>• Se o polígono é regular, admite um centro. As diagonais traçadas de</p><p>um vértice dividem o ângulo interno em partes iguais.</p><p>• Ângulo interno de um polígono regular: 180 ( 2)</p><p>i</p><p>n</p><p>n</p><p>° −</p><p>α = .</p><p>• Ângulo externo de um polígono regular:</p><p>360</p><p>e n</p><p>°</p><p>α = .</p><p>• Número de diagonais que passam pelo centro</p><p>de um polígono regular:</p><p>D</p><p>n</p><p>* ,=</p><p>2</p><p>se n par, D* = 0, se n ímpar.</p><p>A B</p><p>ai = 140°</p><p>ae = 40°</p><p>I</p><p>H</p><p>G</p><p>F</p><p>E</p><p>D</p><p>C</p><p>20°</p><p>Eneágono regular</p><p>• Métrica nos polígonos regulares principais: aqui vão algumas fórmulas</p><p>de lados, alturas, diagonais e apótemas em função do lado ou do raio</p><p>do círculo circunscrito, de acordo com a conveniência:</p><p>(A) Triângulo equilátero: l3 33</p><p>2</p><p>= =R a</p><p>R</p><p>, ;</p><p>(B) Quadrado:</p><p>l l4 42</p><p>2</p><p>2</p><p>2= = =R a</p><p>R</p><p>d, , ;</p><p>(C) Hexágono regular: l l l6 6</p><p>3</p><p>2</p><p>3 2 2= = = = =R a</p><p>R</p><p>d D R, , , ;</p><p>(D) Octógono regular: l8 82 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>� � �</p><p>�</p><p>R a</p><p>R</p><p>, ;</p><p>(E) Dodecágono regular:</p><p>l12 12</p><p>6 2</p><p>2</p><p>2 3</p><p>6 2</p><p>2</p><p>2 3</p><p>2</p><p>�</p><p>�� �</p><p>� � �</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�R</p><p>R a</p><p>R R</p><p>, ;</p><p>(F) Decágono regular: l10 10</p><p>5 1</p><p>2</p><p>2 10 2 5</p><p>4</p><p>�</p><p>�� �</p><p>� �</p><p>�R R</p><p>a</p><p>R</p><p>�</p><p>, ;</p><p>(G) Pentágono regular:</p><p>l5 5</p><p>10 2 5</p><p>2</p><p>5 1</p><p>4 2</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>R</p><p>a</p><p>R</p><p>R,</p><p>� ;</p><p>2. Triângulos</p><p>• Condição de existência: cada lado deve ser menor que a soma dos</p><p>outros dois, e maior que o módulo da diferença deles.</p><p>(|a – b| < c < a + b).</p><p>• Cevianas, retas e pontos notáveis de um triângulo:</p><p>(A) Medianas e o baricentro: o baricentro de um triângulo é o ponto</p><p>de interseção das medianas, que dividem o lado oposto ao meio.</p><p>O baricentro divide uma mediana na razão 2:1. Cada mediana divide a</p><p>área do triângulo ao meio, logo as três medianas dividem o triângulo</p><p>em seis triângulos de áreas iguais;</p><p>(B) Bissetrizes internas e o incentro: o incentro é o ponto de interseção</p><p>das bissetrizes internas, logo equidista dos lados, e é, portanto, centro</p><p>de uma circunferência inscrita no triângulo. Se a, b, c são os lados do</p><p>triângulo, então o incentro divide a bissetriz relativa ao lado a na razão</p><p>b c</p><p>a</p><p>+ ;</p><p>(C) Altura e o ortocentro: o ortocentro de um triângulo é o ponto de</p><p>interseção das alturas. Se o triângulo é acutângulo, ele é interno; se</p><p>o triângulo é retângulo, ele é o vértice do ângulo reto; se o triângulo é</p><p>obtusângulo, ele é externo. Chama-se de triângulo órtico o triângulo</p><p>formado pelos pés das alturas de um triângulo. O ortocentro de um</p><p>triângulo é incentro do seu triângulo órtico;</p><p>(D) Bissetrizes externas e o exincentro: o exincentro é o ponto de interseção</p><p>de duas bissetrizes externas com a bissetriz interna do terceiro vértice,</p><p>logo equidista das retas suportes dos lados [bem como o incentro], e</p><p>é, portanto, centro de uma circunferência tangente externamente aos</p><p>lados do triângulo. São três essas circunferências;</p><p>(E) Mediatrizes e o circuncentro: o circuncentro é o ponto de interseção</p><p>das mediatrizes de um triângulo, que são retas perpendiculares aos</p><p>lados do triângulo pelos pontos médios. O circuncentro equidista dos</p><p>vértices, logo é centro de uma circunferência que passa por eles, a</p><p>circunferência circunscrita ao triângulo.</p><p>Obs.: Em um triângulo, o ortocentro (H), o circuncentro (O) e o baricentro</p><p>(G) são sempre colineares (reta de Euler). Sendo ABC o triângulo, M médio</p><p>de BC, valem as seguintes:</p><p>I. AH:OM = 2:1.</p><p>II. HG:OG = 2:1.</p><p>• Triângulos isósceles: um triângulo é isósceles se, e somente se, os</p><p>ângulos opostos aos lados iguais são iguais. Da mesma maneira,</p><p>vale que a mediana, a bissetriz e a altura traçadas de um vértice são</p><p>coincidentes se, e somente se, o triângulo é isósceles.</p><p>• Base média de um triângulo: se ABC é um triângulo, e M e N são os</p><p>pontos médios dos lados AB e AC, MN é chamado de base média</p><p>relativa a BC, é paralelo a BC e vale a metade de BC. Por equivalência,</p><p>se M é médio de AB, e MN é paralelo a BC, então necessariamente N</p><p>é médio de BC.</p><p>• Triângulos semelhantes: dois triângulos são semelhantes se, e somente</p><p>se, seus ângulos internos são iguais e seus lados são proporcionais</p><p>(em uma razão chamada razão de semelhança). Nesse caso, a razão</p><p>de suas áreas é o quadrado da razão de semelhança.</p><p>Dois triângulos são semelhantes se atendem a um dos três casos de</p><p>semelhança a seguir:</p><p>Geometria plana</p><p>MATEMÁTICA V ASSUNTO</p><p>16</p><p>127IME-ITA – Vol. 5</p><p>(A) AA (Ângulo Ângulo): se todos os seus ângulos são iguais.</p><p>[em particular, triângulos de lados paralelos são sempre semelhantes;</p><p>(B) LAL (Lado Ângulo Lado): se dois pares de lados são respectivamente</p><p>proporcionais, e os ângulos entre eles são iguais;</p><p>(C) LLL (Lado Lado Lado): se os lados são respectivamente proporcionais.</p><p>Teoremas das bissetrizes: em um triângulo, ao se traçarem as</p><p>bissetrizes interna e externa de um vértice, os pés das bissetrizes dividem</p><p>o lado (interna e externamente) em segmentos proporcionais aos lados</p><p>adjacentes do triângulo.</p><p>Em particular, os pés das bissetrizes dividem harmonicamente o lado</p><p>na razão dos outros dois lados. Na figura, os pés das bissetrizes X e Y</p><p>formam o diâmetro do círculo de Apolônio.</p><p>B O Y</p><p>P</p><p>X</p><p>3. Quadriláteros</p><p>Trapézio: possui dois lados paralelos. A interseção das bissetrizes de</p><p>dois ângulos consecutivos, adjacentes a um lado oblíquo, se encontra</p><p>sobre a base média do trapézio, que é o segmento que une os pontos</p><p>médios dos lados oblíquos, sendo então paralelo às bases e valendo a</p><p>média delas. Uma ideia comum na resolução de problemas de trapézio</p><p>é traçar uma paralela a um lado oblíquo, quebrando o trapézio em um</p><p>paralelogramo e um triângulo.</p><p>Paralelogramo: possui os lados opostos paralelos, e então congruentes.</p><p>Seus ângulos opostos são congruentes, e as diagonais se bissectam, isto</p><p>é, se cortam no ponto médio. Não necessariamente as diagonais são</p><p>bissetrizes, nem iguais, nem perpendiculares entre si.</p><p>Retângulo: possui todos os ângulos internos retos, logo também é um</p><p>paralelogramo. Além disso, por ter todos os ângulos iguais, prova-se que</p><p>suas diagonais são congruentes. Admite uma circunferência circunscrita.</p><p>Losango: possui todos os lados iguais, logo também é um</p><p>paralelogramo. Além disso, suas diagonais são perpendiculares e</p><p>bissetrizes dos ângulos internos. Admite uma circunferência inscrita.</p><p>Quadrilátero circunscritível: um quadrilátero é circunscritível se</p><p>admite uma circunferência inscrita, que tangencia internamente os lados</p><p>do quadrilátero. Equivalentemente, as bissetrizes internas do quadrilátero</p><p>serão concorrentes no centro de tal circunferência. Vale o Teorema de</p><p>Pitot: um quadrilátero é circunscritível se, e somente se, as somas dos</p><p>lados opostos são iguais.</p><p>D</p><p>C</p><p>BA</p><p>y z</p><p>w</p><p>w</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>Ilustrando o Teorema de Pitot</p><p>Quadrilátero inscritível: um quadrilátero é inscritível se admite uma</p><p>circunferência circunscrita, que passa pelos vértices do quadrilátero.</p><p>Equivalentemente, as mediatrizes dos lados serão concorrentes no centro</p><p>de tal circunferência. Um quadrilátero é inscritível se, e somente se, vale</p><p>uma das seguintes:</p><p>(A) O ângulo interno é igual ao ângulo externo oposto (as somas dos</p><p>ângulos opostos valem 180°);</p><p>(B) Vale a ideia do arco capaz (veja ângulo inscrito, em Círculos);</p><p>(C) As projeções de um dos vértices sobre os lados do triângulo formado</p><p>pelos outros três são colineares (reta de Simson Wallace);</p><p>(D) Vale a propriedade de potência de ponto com as diagonais ou com os</p><p>prolongamentos dos lados opostos [veja potência de ponto, em Métrica].</p><p>4. Círculos</p><p>4.1 Ângulos no círculo</p><p>4.1.1 Central</p><p>Ângulo cujo vértice é o centro da circunferência. É igual ao arco</p><p>determinado na circunferência.</p><p>O</p><p>A</p><p>B</p><p>a</p><p>Ângulo central AOB AB� �� ��</p><p>4.1.2 Inscrito</p><p>Ângulo cujo vértice está sobre a circunferência. É igual à metade do</p><p>arco determinado na circunferência, portanto vale a ideia do arco capaz,</p><p>ilustrada na figura a seguir.</p><p>P1</p><p>P2 P3</p><p>P4</p><p>P5</p><p>Todos os ângulos valem a metade do arco XY, logo são congruentes</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 16</p><p>128 IME-ITA – Vol. 5</p><p>4.1.3 Excêntricos:</p><p>Ângulos formados pelas interseções de cordas (ou prolongamentos</p><p>de cordas). Se o ângulo é excêntrico interno, então vale a semissoma dos</p><p>arcos determinados pelas cordas. Se o ângulo é excêntrico externo, então</p><p>vale a semidiferença dos arcos.</p><p>APB</p><p>AB A B� � �</p><p>�</p><p>� ' '</p><p>2</p><p>A B</p><p>P</p><p>B’ A’</p><p>FEG</p><p>FG F� � �</p><p>�</p><p>� 'G'</p><p>2</p><p>F</p><p>G</p><p>G’</p><p>F’</p><p>E</p><p>KJI</p><p>KI K� � �</p><p>�</p><p>� ' I</p><p>2</p><p>K’</p><p>K</p><p>I J</p><p>4.1.4 de Segmento:</p><p>Ângulo formado por uma corda e uma reta tangente em um dos</p><p>extremos da corda. Vale a metade</p><p>do arco determinado no segmento</p><p>circular.</p><p>O</p><p>B</p><p>A x</p><p>XAB</p><p>AB� �</p><p>=</p><p>2</p><p>4.1.5 Propriedades das tangentes</p><p>(A) A tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de</p><p>tangência;</p><p>(B) Os segmentos tangentes traçados tangentes a uma circunferência, a</p><p>partir de um ponto externo a ela, são congruentes.</p><p>• Se dois círculos são tangentes, então os centros e o ponto de tangência</p><p>são colineares.</p><p>• Se uma corda é igual ao raio da circunferência, o arco determinado é</p><p>de 60°.</p><p>• Potência de ponto: analise as propriedades de potência de ponto nas</p><p>figuras que seguem.</p><p>Na figura, PA · PB = PC · PD</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>P</p><p>Na figura, PA · PB = (d + r)(r – d) = r2 – d2</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>P</p><p>O</p><p>d</p><p>r – d</p><p>r</p><p>Na figura, PA · PB = PC · PD</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>P</p><p>Na figura, PA · PB = (d – r)(r + d) = d2 – r2</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D P</p><p>O d – rrr</p><p>Além disso, se PT é um segmento tangente, vale que PA · PB=PT², na</p><p>última figura. Chama-se PotP=d² – R² a potência do ponto P em relação</p><p>à circunferência. Em geral, PA · PB=|PotP|.</p><p>Se um quadrilátero é tal que suas diagonais atendem à propriedade</p><p>da potência de ponto, então ele necessariamente é inscritível. Se um</p><p>quadrilátero é tal que os prolongamentos dos lados se encontram em</p><p>num ponto para o qual vale a propriedade de potência de ponto, então o</p><p>quadrilátero é necessariamente inscritível.</p><p>5. Métrica</p><p>5.1 Divisão harmônica</p><p>P e Q dividem harmonicamente AB na razão k se, e somente se,</p><p>PA</p><p>PB</p><p>QA</p><p>QB</p><p>k= = .</p><p>• Se P e Q dividem harmonicamente AB na razão k, então</p><p>PQ AB</p><p>k</p><p>k</p><p>� �</p><p>�</p><p>2</p><p>12| |</p><p>;</p><p>• Se P e Q dividem harmonicamente AB na razão k, e O é o ponto médio</p><p>de PQ, então OA · OB = OP2 = OQ2 = OP · OQ e OA</p><p>OB</p><p>k= 2.</p><p>5.2 No triângulo retângulo</p><p>Na figura abaixo, valem as seguintes:</p><p>A</p><p>b</p><p>h</p><p>H</p><p>m</p><p>C</p><p>a</p><p>n</p><p>c</p><p>B</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 16</p><p>Geometria plana</p><p>129IME-ITA – Vol. 5</p><p>(A) h2 = mn;</p><p>(B) ah = bc;</p><p>(C) b2 = ma;</p><p>(D) Teorema de Pitágoras: b2 + c2 = a2.</p><p>5.3 Lei dos senos</p><p>Em um triângulo ABC, usando a notação convencional, vale a seguinte</p><p>proporção: cada lado é proporcional ao seno do ângulo oposto, e a razão</p><p>é igual ao diâmetro do círculo circunscrito, isto é:</p><p>a b c</p><p>R</p><p>sen sen sen� � �</p><p>� � � 2 .</p><p>5.4 Lei dos Senos para calcular cordas</p><p>Em um círculo de raio R, se uma corda determina um arco de medida</p><p>a, então a corda mede 2</p><p>2</p><p>R � sen</p><p>�</p><p>. [usando essa fórmula, calculamos</p><p>a maioria das relações métricas ditas na parte de polígonos regulares].</p><p>5.5 Lei dos Cossenos</p><p>Em um triângulo ABC, usando a notação convencional, vale: a2 = b2</p><p>+ c2 – 2bc · cos Â</p><p>5.6 Relação de Stewart</p><p>Serve para calcular uma ceviana em um triângulo. Se = AD é uma</p><p>ceviana interna de um triângulo ABC, então vale: b</p><p>m a</p><p>x</p><p>m n</p><p>c</p><p>n a</p><p>2 2 2</p><p>1</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� .</p><p>A</p><p>BC D</p><p>b c</p><p>x</p><p>m n</p><p>a</p><p>5.7 Teorema de Ceva</p><p>Em um triângulo ABC, as retas das cevianas AD, BE e CF são</p><p>concorrentes se, e somente se, vale a relação</p><p>AF</p><p>FB</p><p>BD</p><p>DC</p><p>CE</p><p>EA</p><p>� � � 1 (além</p><p>disso, ou as três são internas, ou duas são externas e uma interna).</p><p>A</p><p>E</p><p>D CB</p><p>F</p><p>5.8 Teorema de Menelaus</p><p>Em um triângulo ABC, uma reta corta os lados (e/ou prolongamentos</p><p>dos lados) AB, BC e CA nos pontos M, P e N, respectivamente, se, e</p><p>somente se,</p><p>AM</p><p>MB</p><p>BP</p><p>PC</p><p>CN</p><p>NA</p><p>� � � 1 (além disso, dois pontos são internos e um</p><p>externo aos lados, ou os três estão sobre os prolongamentos dos lados).</p><p>A</p><p>N</p><p>M</p><p>B C P</p><p>5.9 Teorema de Carnot</p><p>Sejam D, E e F sobre os lados (e/ou prolongamentos) de BC, AC e AB,</p><p>respectivamente. As perpendiculares traçadas de D, E e F aos lados a que</p><p>pertencem são concorrentes em um ponto se, e somente se, BD – DC2 +</p><p>CE2 – EA2 + AF2 – FB2 = 0.</p><p>5.10 Teoremas de Ptolomeu e Hiparco</p><p>Um quadrilátero ABCD de lados a, b, c, d e diagonais p, q é inscritível se,</p><p>e somente se, valem pq = ac + bd (Ptolomeu) e</p><p>p</p><p>q</p><p>ab cd</p><p>ad bc</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>(Hiparco).</p><p>D</p><p>C</p><p>B</p><p>A a</p><p>q p</p><p>c</p><p>d b</p><p>6. Áreas</p><p>6.1 de paralelogramo</p><p>Se um lado mede b, e a altura relativa a essa lado mede h, então a área</p><p>vale S = b · h. Se dois lados consecutivos medem a, b, e a é o ângulo</p><p>entre esses lados, então S = a · b · sen a.</p><p>6.2 de triângulo</p><p>Valem as seguintes fórmulas, usando notação convencional:</p><p>S</p><p>a h b h c h</p><p>a b c h</p><p>h h</p><p>a b c</p><p>a</p><p>b</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2 2 2</p><p>; , , , lados do triângulo, ,</p><p>,</p><p>medida de</p><p>cc</p><p>S</p><p>b c</p><p>alturas respectivas a esses lados;</p><p>;�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>sen o ângulo entre os� llados de medida e</p><p>[ = circunraio];</p><p>b c</p><p>S</p><p>a b c</p><p>R</p><p>R</p><p>S p p a p b p</p><p>;</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �� � �� �</p><p>4</p><p>��� �c p ( = semiperímetro);</p><p>S = p · r = (p – a)ra = (p – b)rb = (p – c)rc, em que r = inraio, ra =</p><p>exinraio relativo ao lado a.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 16</p><p>130 IME-ITA – Vol. 5</p><p>6.3 Quadriláteros</p><p>• de um quadrilátero em função das diagonais, e do ângulo a formado</p><p>por elas: S</p><p>D d</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>sen �.</p><p>• de um trapézio: S</p><p>B b</p><p>h�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>2</p><p>.</p><p>• de um polígono regular:</p><p>2 360</p><p>sen</p><p>2</p><p>R</p><p>S n</p><p>n</p><p>° = ⋅  </p><p> </p><p>(quebrar o polígono</p><p>• em vários triângulos ligando ao centro dele para obter a fórmula).</p><p>Também pode-se usar: S = pa, onde p: semi perímetro e a: apotema</p><p>do polígono</p><p>• Fórmula de Bramagupta: Para um quadrilátero de lados a, b,</p><p>c, d, e dois ângulos opostos a, b, vale a fórmula de área:</p><p>S p a p b p c p d abcd� �� � �� � �� � �� � � �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�cos2</p><p>2</p><p>� � . Caso o</p><p>quadrilátero seja inscritível, vale: S p a p b p c p d� �� � �� � �� � �� �,</p><p>onde p; semi perímetro.</p><p>6.4 Círculos</p><p>• Área do círculo S = pR2;</p><p>• De um setor circular de d S</p><p>R d</p><p>� �</p><p>�</p><p>� 2</p><p>360</p><p>, com d em graus;</p><p>• De um segmento circular: Segm = Ssetor – S∆, onde, Ssetor é a área</p><p>do setor circular e S∆ é a área de um triângulo com dois lados R e</p><p>ângulo entre esses dois lados d, onde d é o ângulo do setor circular.</p><p>7. Lugares geométricos</p><p>Mediatriz: dados dois pontos A e B, a reta perpendicular ao segmento</p><p>AB pelo seu ponto médio M é o lugar geométrico dos pontos P tais que</p><p>PA = PB.</p><p>Par de bissetrizes: dadas duas retas concorrentes r e s, a união das</p><p>bissetrizes dos ângulos formados por elas é o lugar geométrico dos pontos</p><p>P que equidistam das retas r e s.</p><p>Arco capaz: dados dois pontos A e B, e uma medida angular</p><p>a<180°, o lugar geométrico dos pontos P tais que o ângulo APB mede</p><p>a é a união de dois arcos de circunferência de centros O e O’ tais que</p><p>AÔB = AÔ’B = 2a, como na figura.</p><p>30°</p><p>P’</p><p>BA</p><p>P</p><p>30° O</p><p>Arco capaz de 30° sobre AB.</p><p>Os pontos P e P’ “olham” AB.</p><p>segundo um ângulo de 30°.</p><p>Sendo O centro do arco capaz,</p><p>temos AÔB = 2a = 60°.</p><p>Círculo de Apolônio: dados dois pontos A e B, e uma razão k ≠ 1, o</p><p>lugar geométrico dos pontos P tais que</p><p>PA</p><p>PB</p><p>k= é o círculo de diâmetro</p><p>XY, em que X e Y dividem harmonicamente AB na razão k. Precisamente,</p><p>XA</p><p>XB</p><p>k</p><p>YA</p><p>YB</p><p>= = .</p><p>Reta de Apolônio: dados dois pontos A e B, e um valor k, o lugar</p><p>geométrico dos pontos P tais que PA2 – PB2 = k é uma reta perpendicular</p><p>à reta AB, por um ponto X que satisfaça a essa propriedade (X é único</p><p>dessa maneira).</p><p>Eixo radical: dados dois círculos w e w’, o lugar geométrico dos</p><p>pontos P que possuem potências de pontos iguais em relação aos círculos</p><p>dados é uma reta perpendicular à linha dos centros, por um ponto que</p><p>tenha essa propriedade. Quando os círculos são secantes, a reta suporte</p><p>da corda comum é o eixo radical. Quando os círculos são tangentes, a</p><p>reta tangente no ponto de interseção das circunferências é o eixo radical.</p><p>Círculos concêntricos não possuem eixo radical.</p><p>8. Ideias</p><p>8.1 Com ponto médio</p><p>• Base média de um triângulo gera paralelismo, congruência, etc;</p><p>• prolongar a mediana de um tamanho igual a ela, gerando um</p><p>paralelogramo;</p><p>• mediana relativa a uma hipotenusa vale a metade dela;</p><p>• a mediana divide a área de um triângulo ao meio.</p><p>8.2 Para mostrar pontos colineares</p><p>• Mostrar que o ângulo formado por 3 pontos é 180° ou 0°;</p><p>• mostrar que vale a propriedade do ângulo oposto pelo vértice (dada</p><p>uma reta passando por um deles, separando os outros dois);</p><p>• Teorema de Menelaus: localizar um triângulo sobre cujos lados esses</p><p>pontos estão, e testar se vale a relação de Menelaus.</p><p>8.3 Para mostrar retas concorrentes</p><p>(A) Considerar a concorrência de duas, estudar as propriedades desse</p><p>ponto, e então deduzir que</p><p>ele deve estar na terceira;</p><p>(B) Teorema de Ceva: localizar um triângulo do qual essas retas são</p><p>cevianas, e então testar se vale a relação de Ceva.</p><p>01 Em um triângulo ABC, retângulo em A, o ângulo é igual a 60 graus.</p><p>As bissetrizes desses ângulos se encontram em um ponto D. Se o</p><p>segmento de reta BD mede 1 cm, então a hipotenusa mede:</p><p>(A) 1 3</p><p>2</p><p>+ cm.</p><p>(B) 1 3+ cm.</p><p>(C) 2 3+ cm.</p><p>(D) 1 2 2+ cm.</p><p>(E) n.d.a.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 16</p><p>Geometria plana</p><p>131IME-ITA – Vol. 5</p><p>02 A razão entre as áreas de um triângulo equilátero inscrito em uma</p><p>circunferência e de um hexágono regular, cuja apótema mede 10 cm,</p><p>circunscrito a essa mesma circunferência é:</p><p>(A)</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>(B) 1.</p><p>(C)</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>(D)</p><p>3</p><p>8</p><p>.</p><p>(E) n.d.a.</p><p>03 A diagonal menor de um paralelogramo divide um dos ângulos internos</p><p>em dois outros, um a e outro 2a. A razão entre o lado menor e o maior do</p><p>paralelogramo é:</p><p>(A)</p><p>1</p><p>.</p><p>cos 2a</p><p>(B)</p><p>1</p><p>.</p><p>sen 2a</p><p>(C)</p><p>1</p><p>2sen a</p><p>.</p><p>(D)</p><p>1</p><p>2cos a</p><p>.</p><p>(E) tan a .</p><p>04 Um triângulo ABC, retângulo em A, possui área S. Se x = AB̂C e r é o</p><p>raio da circunferência circunscrita a esse triângulo, então:</p><p>(A)</p><p>2 cos 2 .r x</p><p>(B)</p><p>2sen 2 .r x</p><p>(C) 21</p><p>sen 2 .</p><p>2</p><p>r x</p><p>(D) 2 21</p><p>cos .</p><p>2</p><p>r x</p><p>(E) 2 21</p><p>sen .</p><p>2</p><p>r x</p><p>05 Considere C uma circunferência centrada em O e raio 2r e t, a reta</p><p>tangente a C em um ponto T. Considere também A um ponto de C tal que</p><p>AÔT = q é um ângulo agudo. Sendo B o ponto de t tal que o segmento</p><p>AB é paralelo ao segmento OT, então a área do trapézio OABT é igual a:</p><p>(A) ( )2 2cos cos2 .r θ − θ</p><p>(B) ( )22 4cos sen 2 .r θ − θ</p><p>(C) ( )</p><p>2</p><p>4sen sen 2 .</p><p>4</p><p>r</p><p>θ − θ</p><p>(D) ( )2 2sen cos .r θ + θ</p><p>(E) ( )</p><p>2</p><p>2sen 2 cos2 .</p><p>2</p><p>r</p><p>θ − θ</p><p>06 Um dispositivo colocado no solo a uma distância d de uma torre dispara</p><p>dois projéteis em trajetórias retilíneas. O primeiro, lançado sob um ângulo</p><p>q ∈ 0,</p><p>4</p><p>π </p><p> </p><p> </p><p>atinge a torre a uma altura h. Se o segundo, disparado sob um</p><p>ângulo 2q, a atinge a uma altura H, a relação entre essas duas alturas será:</p><p>(A)</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2hd</p><p>H</p><p>d h</p><p>=</p><p>−</p><p>.</p><p>(B)</p><p>2</p><p>2</p><p>2hd</p><p>H</p><p>d h</p><p>=</p><p>+</p><p>.</p><p>(C)</p><p>2</p><p>2</p><p>2hd</p><p>H</p><p>d h</p><p>=</p><p>−</p><p>.</p><p>(D)</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2hd</p><p>H</p><p>d h</p><p>=</p><p>+</p><p>.</p><p>(E)</p><p>2</p><p>2 2</p><p>hd</p><p>H</p><p>d h</p><p>=</p><p>+</p><p>07 O comprimento da diagonal de um pentágono regular de lado medindo</p><p>1 é igual à raiz positiva de:</p><p>(A)</p><p>2 2 0x x+ − = .</p><p>(B) 2 2 0x x− − = .</p><p>(C) 2 2 1 0x x− + = .</p><p>(D) 2 1 0x x− − = .</p><p>(E) 2 1 0x x− − = .</p><p>08 Um hexágono regular e um quadrado estão inscritos no mesmo</p><p>círculo de raio R e o hexágono possui uma aresta paralela a uma aresta</p><p>do quadrado. A distância entre essas arestas paralelas será:</p><p>(A) 3 2</p><p>2</p><p>R</p><p>−</p><p>(B)</p><p>2 1</p><p>2</p><p>R</p><p>+</p><p>(C) 3 1</p><p>2</p><p>R</p><p>+</p><p>(D)</p><p>2 1</p><p>2</p><p>R</p><p>−</p><p>(E) 3 1</p><p>2</p><p>R</p><p>−</p><p>09 Em um triângulo ABC, sabe-se que o segmento AC mede 2 cm. Sejam</p><p>a e b, respectivamente, os ângulos opostos aos segmentos BC e AC.</p><p>A área do triângulo é (em cm2) igual a:</p><p>(A) 22sen cot sen 2 .a b a+</p><p>(B)</p><p>22sen tan sen 2 .a b a+</p><p>(C)</p><p>22cos cot sen 2 .a b a+</p><p>(D) 22cos tan sen 2 .a b a+</p><p>(E) 22sen tan cos 2 .a b a−</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 16</p><p>132 IME-ITA – Vol. 5</p><p>10 Seja ABC um triângulo isósceles de base BC. Sobre o lado AC desse</p><p>triângulo, considere um ponto D tal que os segmentos AD, BD e BC são</p><p>todos congruentes entre si. A medida do ângulo BÂC é igual a:</p><p>(A) 23°.</p><p>(B) 32°.</p><p>(C) 36°.</p><p>(D) 40°.</p><p>(E) 45°.</p><p>11 Considere as afirmações sobre polígonos convexos:</p><p>I. Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide com</p><p>o número de lados.</p><p>II. Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do</p><p>número de lados.</p><p>III. Se a razão entre o número de diagonais e o de lados de um polígono</p><p>é um número natural, então o número de lados do polígono é ímpar.</p><p>Então:</p><p>(A) todas as afirmações são verdadeiras.</p><p>(B) apenas (I) e (III) são verdadeiras.</p><p>(C) apenas (I) é verdadeira.</p><p>(D) apenas (III) é verdadeira.</p><p>(E) apenas (II) e (III) são verdadeiras.</p><p>12 Duas circunferências de raios 9 m e 3 m são tangentes externamente</p><p>em um ponto C. Uma reta tangencia essas duas circunferências nos pontos</p><p>distintos A e B. A área, em m2, do triângulo ABC é:</p><p>(A) 27 3.</p><p>(B) 27 3</p><p>2</p><p>.</p><p>(C) 9 3 .</p><p>(D) 27 2 .</p><p>(E) 27 2</p><p>2</p><p>.</p><p>13 De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e</p><p>39 diagonais. Então, a soma total dos números de vértices e de diagonais</p><p>dos dois polígonos é igual a:</p><p>(A) 63.</p><p>(B) 65.</p><p>(C) 66.</p><p>(D) 70.</p><p>(E) 77.</p><p>14 Em um trapézio retângulo circunscritível, a soma dos dois lados</p><p>paralelos é igual a 18 cm e a diferença dos dois outros lados é igual a 2 cm.</p><p>Se r é o raio da circunferência inscrita e a é o comprimento do menor lado</p><p>do trapézio, então a soma a + r (em cm) é igual a:</p><p>(A) 12.</p><p>(B) 11.</p><p>(C) 10.</p><p>(D) 9.</p><p>(E) 8.</p><p>15 Em um triângulo ABC, o ângulo A é duas vezes maior que o B.</p><p>Pelos lados conhecidos b e c calcular o lado a.</p><p>16 Os catetos de um triângulo retângulo são iguais a b e c. Calcular o</p><p>comprimento da bissetriz do ângulo reto.</p><p>17 Calcular o terceiro lado de um triângulo, se conhecem dois de seus</p><p>lados a e b, e se sabe que as medianas correspondentes a esses lados</p><p>se cruzam formando um ângulo reto. Para quais condições existe esse</p><p>triângulo?</p><p>18 Intersectar o triângulo dado ABC com uma reta DE paralela ao lado</p><p>BC, de modo que a área do triângulo BDE seja igual à magnitude dada</p><p>k2 . Para quais relações entre k2 e a área do triângulo ABC o problema é</p><p>solucionável e quantas soluções têm?</p><p>19 Através de certo ponto tomado dentro do triângulo, sejam traçadas</p><p>três retas paralelas, respectivamente, a seus lados. Essas retas dividem a</p><p>área do triângulo em seis partes, três das quais são triângulos com áreas</p><p>iguais a S1, S2 e S3. Calcular a área do triângulo dada.</p><p>20 Em um triângulo ABC, através do ponto de interseção das bissetrizes</p><p>dos ângulos B e C, se seja traçado uma reta MN paralela a BC, até sua</p><p>interseção com os lados AB e AC nos pontos M e N, respectivamente.</p><p>Achar uma relação entre os segmentos MN, BM e CN.</p><p>Examinar os casos:</p><p>a. em que as bissetrizes são interiores;</p><p>b. em que as bissetrizes são exteriores;</p><p>c. uma das bissetrizes é interior e a outra exterior.</p><p>Quando coincidirão os pontos M e N?</p><p>21 Dentro de um triângulo regular seja tomado um ponto arbitrário P,</p><p>deste baixamos as perpendiculares PD, PE e PF aos lados BC, CA e AB</p><p>respectivamente. Calcular PD PE PF</p><p>BD CE AF</p><p>+ +</p><p>+ +</p><p>.</p><p>22 Em um triângulo com lados a, b e c seja inscrito uma semi-</p><p>circunferência, cujo diâmetro se encontra sobre o lado c. Calcular o raio</p><p>dessa semicircunferência.</p><p>23 A um retângulo dado circunscrever um novo retângulo de área m2.</p><p>Para qual valor de m o problema tem solução?</p><p>24 Cada um dos vértices de um paralelogramo seja unido com as metades</p><p>dos lados opostos. Que parte da área do paralelogramo compõe a área da</p><p>figura limitada pelas linhas traçadas?</p><p>25 A distância entre os centros das circunferências que se cruzam, de</p><p>raios R e r, é igual a d. Calcular a área de sua parte comum.</p><p>26 Três circunferências de raios r, r1 e R têm contato exterior de dois em</p><p>dois. Calcular o comprimento da corda determinada na terceira circunferência</p><p>pela tangente interna comum às duas primeiras circunferências.</p><p>27 Duas circunferências de raios R e r (R > r) são tangentes interiores.</p><p>Calcular o raio de uma terceira circunferência que seja tangente às primeiras</p><p>e ao diâmetro comum.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 16</p><p>Geometria plana</p><p>133IME-ITA – Vol. 5</p><p>28 Com o segmento de comprimento 2a+2b e suas par tes de</p><p>comprimentos 2a e 2b tomados como diâmetros, sejam construídas</p><p>semicircunferências que se encontram a um mesmo lado do segmento.</p><p>Calcular o raio da circunferência que seja tangente às três circunferências</p><p>construídas.</p><p>29 Os centros de quatro circunferências de raio r estão dispostos nos</p><p>vértices de um quadrado cujo lado é a. Calcular a área S da parte comum</p><p>às quatro circunferências que se encontra dentro do quadrado.</p><p>30 As diagonais de um trapézio dividem este em quatro triângulos. Calcular</p><p>a área do trapézio, se as áreas adjacentes às bases são iguais a S1 e S2.</p><p>31 Por um ponto C do arco AB de uma circunferência são traçadas duas retas</p><p>quaisquer que cortam a corda AB nos pontos D e E, e a circunferência nos pontos</p><p>F e G. Para que posição de C na corda AB o quadrilátero DEFG é inscritível?</p><p>32 Sobre uma reta r marcam-se, nessa ordem, os pontos A, B, C e D.</p><p>Em um dos semiplanos determinados por r , t raçam-se as</p><p>semicircunferências de diâmetro AB, CD e AD; no outro semiplano</p><p>traça-se a semicircunferência de diâmetro BC. Calcule a razão entre a área</p><p>delimitada por essas semicircunferências e a área do quadrilátero cujos</p><p>vértices são os pontos médios das semicircunferências. Mostre que essa</p><p>razão independe dos pontos A, B, C e D.</p><p>33 Sejam duas circunferências, não ortogonais, de centros O e O’ que</p><p>se interceptam em A e B. Sendo D e D’ os pontos onde as retas O’A e</p><p>OA interceptam, respectivamente, as circunferências de centro O e O’,</p><p>demonstre que o pentágono BODD’O’ é inscritível.</p><p>34 Sejam A, B, C, D, E os vértices de um pentágono regular inscrito em</p><p>um círculo e M um ponto qualquer sobre o arco AE. Unindo-se M a cada</p><p>um dos vértices do pentágono, mostre que:</p><p>MB + MD = MA + MC + ME</p><p>35 Dado um círculo de raio R e centro O, constrói-se 3 círculos iguais de</p><p>raios r, tangentes dois a dois, nos pontos E, F, G e tangentes interiores ao</p><p>círculo dado. Determine, em função de R, o raio desses círculos e a área da</p><p>superfície EFG, compreendida entre os três círculos e limitada pelos arcos</p><p>EG, GF, FE.</p><p>36 Seja uma hipérbole equilátera de centro O e focos F e F’. Mostre que</p><p>o segmento determinado por O e por um ponto M qualquer da hipérbole</p><p>é a média proporcional entre os segmentos MF e MF’.</p><p>37 Sobre os catetos AB e AC de um triângulo ABC, constroem-se dois</p><p>quadrados ABDE e ACFG. Mostre que os segmentos CD, BF e a altura AH</p><p>são concorrentes.</p><p>38 Seja o semicírculo de diâmetro AB = 2R e r sua tangente em A. Liga-se</p><p>um ponto P da reta r ao ponto B, intersectando o semicírculo no ponto C.</p><p>a. Demonstre que o produto PB · BC é constante.</p><p>b. Determine o lugar geométrico do ponto médio de AC, quando P</p><p>desloca-se sobre a tangente.</p><p>c. Seja AP = PB/2; calcule a área da porção do triângulo PAB, situada</p><p>no exterior do semicírculo.</p><p>39 Em um círculo de centro O e diâmetro AB = 2R, prolonga-se o diâmetro</p><p>AB até o ponto M, tal que BM = R. Traça-se uma secante MNS tal que</p><p>MN = NS, em que N e S são os pontos de interseção da secante com o</p><p>círculo. Determine a área do triângulo MOS.</p><p>40 Sejam ABC e ACD dois triângulos retângulos isósceles com lado AC</p><p>comum, e os vértices B e D, situados em semiplanos distintos em relação</p><p>ao lado AC; nesses triângulos AB = AC = a e AD = CD.</p><p>a. Calcule a diagonal BD, do quadrilátero ABCD</p><p>b. Seja E o ponto de interseção de AC com BD. Calcule BE e ED</p><p>c. Seja F a interseção do círculo de diâmetro BC com a diagonal BD.</p><p>Calcule DF e EF.</p><p>41 São dados um segmento AB e os pontos C e D, que o dividem, interna</p><p>e externamente em uma mesma razão. Mostre que os círculos de diâmetro</p><p>AB e CD são ortogonais.</p><p>42 Seja um quadrado de lado a e um ponto P, exterior ao quadrado.</p><p>Chame de “ângulo sob o qual o quadrado é visto do ponto P” o menor</p><p>ângulo com vértice em P, que contenha o quadrado. Determine o lugar</p><p>geométrico dos pontos P, de onde o quadrado é visto sob um ângulo de 45°.</p><p>43 Seja AB um diâmetro de um círculo de centro O e raio R. Sobre o</p><p>prolongamento de AB , escolhemos um ponto P ( PB PA< ). Partindo de P,</p><p>tomamos uma secante que corta o círculo nos pontos M e N ( PM PN< ),</p><p>de modo que .PM AN R= =</p><p>a. Mostre que a corda MB é um lado de um polígono inscrito de dezoito</p><p>lados.</p><p>b. Encontre uma equação (do 3o grau) que determina a distância de P</p><p>ao centro do círculo em função de R.</p><p>44 Seja P um ponto no interior de um triângulo ABC, dividindo-o em seis</p><p>triângulos, quatro dos quais têm áreas 40, 30, 35 e 84, como mostra a</p><p>figura. Calcule a área do triângulo ABC.</p><p>A</p><p>B C</p><p>84</p><p>35</p><p>40 30</p><p>45 Os lados de um triângulo estão em progressão aritmética, e o lado</p><p>intermediário mede l. Sabendo-se que o maior ângulo excede o menor em</p><p>90º, calcule a razão entre os lados.</p><p>46 Prove que as tangentes ao círculo circunscrito a um triângulo, passando</p><p>nos seus vértices, intersectam os lados opostos em três pontos colineares.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 16</p><p>134 IME-ITA – Vol. 5</p><p>47 Sejam um círculo, com centro O e raio R, e um ponto P tal que 3 :OP R=</p><p>a. Determine um diâmetro MN de modo que o triângulo PMN seja</p><p>retângulo com ângulo reto em M.</p><p>b. Calcule, em função de R, os lados e a área do triângulo PMN.</p><p>c. PN intercepta o círculo em um segundo ponto K. Calcule .PK</p><p>d. O diâmetro MN gira em torno de O. Qual o lugar geométrico dos pés</p><p>das perpendiculares traçadas de P sobre MN ?</p><p>e. Determine a posição do diâmetro MN para que a área do triângulo</p><p>PMN seja máxima.</p><p>48 Considere um círculo e uma reta que não se intersectam, ambos</p><p>contidos em um plano. Determine o lugar geométrico dos centros dos</p><p>círculos que são tangentes ao círculo dado (exteriormente) e a reta dada.</p><p>49 Dado um triângulo ABC, considere um ponto P no seu interior tal que</p><p>ˆ ˆˆ ˆ .PBA PCA PBC PCB+ = + Mostre que AP ≥ AI , em que I é o incentro do</p><p>triângulo ABC.</p><p>50 Em um triângulo ABC, traçamos a altura AH e do pé de H dessa altura</p><p>construímos as perpendiculares ,HD HE sobre os lados AB e AC; seja P</p><p>o ponto de interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos</p><p>vértices B e C, determina-se também, de modo análogo, os pontos Q e R</p><p>sobre os lados CA, AB. Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares.</p><p>51 No plano, considere um disco de raio R. Chame este conjunto de</p><p>A0. Divida um raio de A0 em três segmentos congruentes e retire de</p><p>A0 a coroa circular de raios</p><p>3</p><p>R</p><p>e</p><p>2</p><p>3</p><p>R</p><p>, chame esse conjunto de A1. O</p><p>conjunto A1 contém um disco de raio =</p><p>3</p><p>R</p><p>, divida um raio desse disco</p><p>em três segmentos congruentes e mais uma vez, retire de A1 a coroa</p><p>circular de raios 1</p><p>3</p><p>R e 12</p><p>3</p><p>R esse conjunto de A2. Continue esse processo</p><p>indefinidamente e seja A o conjunto resultante.</p><p>a. calcule a área do conjunto An obtido após a n-ésima etapa do processo</p><p>descrito acima.</p><p>b. calcule a área do conjunto resultante.</p><p>52 Dado o quadrilátero ABCD, inscrito em um círculo de raio r, conforme</p><p>a figura abaixo, prove que:</p><p>B</p><p>A D</p><p>C</p><p>M</p><p>AC AB AD BC CD</p><p>BC AB BC CD AD</p><p>⋅ + ⋅</p><p>=</p><p>⋅ + ⋅</p><p>53 Provar que a soma das distâncias de um ponto qualquer interior a um</p><p>triângulo equilátero aos lados é constante.</p><p>54 Seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito em um círculo e seja I o</p><p>ponto de interseção de suas diagonais. As projeções ortogonais de I sobre</p><p>os lados AB, BC, CD e DA são, respectivamente, M, N, P e Q. Prove que</p><p>o quadrilátero MNPQ é circunscritível a um círculo com centro em I.</p><p>55 Três círculos de mesmo raio R se intersectam dois a dois, como é</p><p>mostrado na figura abaixo, constituindo três áreas comuns que formam</p><p>um trevo. Determine o perímetro do trevo e sua área em função de R e da</p><p>área S do triângulo IJK.</p><p>J</p><p>I</p><p>K</p><p>56 Sejam 5 (cinco) pontos AOBO’A’, nessa ordem, pertencentes a uma</p><p>reta genérica r tal que AO = OB = 3a; BO’ = O’A’ = 2a, em que a é um</p><p>comprimento dado. Traçam-se os círculos (O) com diâmetro AB e (O’)</p><p>com diâmetro BA’. Sejam C e D dois pontos quaisquer do círculo (O); as</p><p>retas BC e BD cortam o círculo (O’), respectivamente, em C’ e D’.</p><p>a. Calcule 'BC</p><p>BC</p><p>.</p><p>b. Calcule ' 'C D</p><p>CD</p><p>.</p><p>c. Seja o ângulo ˆCBD igual a 30°. Calcule, em função de a, a razão entre</p><p>as áreas dos segmentos circulares S no círculo (O) limitado pela corda</p><p>CD e S’ no círculo (O’) limitado pela corda C’D’.</p><p>57 Quatro retas se intersectam formando quatro triângulos, conforme</p><p>figura abaixo. Prove que os círculos circunscritos aos quatro triângulos</p><p>possuem um ponto em comum..</p><p>58 ABCD é um quadrado de lado l. Sabendo-se que k é a soma dos</p><p>quadrados das distâncias de um ponto P do plano definido por ABCD aos</p><p>vértices de ABCD, determine:</p><p>a. O valor mínimo de k e a posição do ponto P na qual ocorre esse</p><p>mínimo;</p><p>b. O lugar geométrico do ponto</p><p>P para k = 4 · l2</p><p>59 As medianas BE e CF de um triângulo ABC se cortam em G. Demonstre</p><p>que 2 2 2</p><p>12ˆtan</p><p>5</p><p>S</p><p>BGC</p><p>b c a</p><p>=</p><p>+ −</p><p>, em que S é a área do triângulo ABC;</p><p>AC = b, AB = c, BC = a.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 16</p><p>Geometria plana</p><p>135IME-ITA – Vol. 5</p><p>60 Considere a figura abaixo, em que 1, , ,AB AD BC x AC y DE z= = = = =</p><p>e .AE w= Os ângulos ˆˆ ˆ, eDEA BCA BFA são retos.</p><p>a. Determine o comprimento de AF e de BF em função de x, y, z e w.</p><p>b. Determine a tangente do ângulo a em função de x, y, z e w.</p><p>A</p><p>F</p><p>E</p><p>D</p><p>B</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>C</p><p>61 Considere um quadrado XYZW de lado a. Dividindo-se cada ângulo desse</p><p>quadrado em quatro partes iguais, obtém-se o octógono regular representado</p><p>na figura abaixo. Determine o lado e a área desse octógono em função de</p><p>a. As respostas finais não podem conter expressões trigonométricas.</p><p>X Y</p><p>W</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>D</p><p>E</p><p>G</p><p>F</p><p>H</p><p>62 Sobre uma reta r são marcados os pontos A, B, C e D. São construídos</p><p>os triângulos equiláteros ABE, BCF e CDG, de forma que os pontos E</p><p>e G encontrem-se do mesmo lado da reta r, enquanto que o ponto F</p><p>encontra-se do lado oposto, conforme mostra a figura. Calcule a área do</p><p>triângulo formado pelos baricentros de ABE, BCF e CDG, em função dos</p><p>comprimentos dos segmentos AB, BC e CD.</p><p>E</p><p>A B</p><p>F</p><p>C D</p><p>G</p><p>A</p><p>63 Considere um hexágono regular de 6 cm de lado. Determine o valor</p><p>máximo da área de um triangulo XYZ, sabendo-se que:</p><p>a. os pontos X, Y e Z estão situados sobre lados do hexágono;</p><p>b. a reta que une os pontos X e Y é paralela a um dos lados do hexágono.</p><p>64 Mostre que o lado do icoságono regular convexo é igual à diferença,</p><p>dividida por 2, entre o lado do decágono regular estrelado e o lado do</p><p>pentágono regular convexo. Todos os três polígonos estão inscritos em</p><p>um mesmo círculo de raio r.</p><p>65 Dados dois círculos C(O, r) e C’ (O’, r’), um ponto fixo A sobre c e um</p><p>ponto fixo A’ sobre c’. Traçam-se cordas paralelas AB e A’B’ nos círculos</p><p>C e C’, respectivamente. Determine a direção dessas cordas para que o</p><p>produto AB · A’B’ seja máximo.</p><p>66 Dá-se um triângulo ABC. De um ponto p variável (e não pertencente</p><p>às retas suportes dos lados do triângulo) traçam-se retas PB e PC. Sejam</p><p>L e M os pés das perpendiculares de A a essas retas.</p><p>Com a variação de p, o comprimento LM também varia. Qual o comprimento</p><p>máximo de LM?</p><p>(Obs.: Para resolver este item não é necessário determinar a posição de</p><p>p, correspondente a esse máximo de LM).</p><p>67 Sejam l o lado de um polígono regular de n lados, r e R, respectivamente,</p><p>os raios dos círculos inscritos e circunscritos a esse polígono. Prove que</p><p>cot</p><p>2 2</p><p>r R g</p><p>n</p><p>π</p><p>+ =</p><p></p><p>.</p><p>68 Dá-se um quadrado de vértices A, B, C e D e seu centro O. Mostre</p><p>que os incentros dos triângulos, cujos vértices são cada 3 pontos não</p><p>colineares desse conjunto de 5 pontos, são vértices de um polígono regular</p><p>convexo e calcule, em função do lado l do quadrado, o raio do círculo no</p><p>qual está inscrito o polígono.</p><p>69 Dá-se o quadrilátero convexo inscritível em um círculo, cujos lados</p><p>são cordas desse círculo e de comprimentos a, b, c, e d e que se sucedem</p><p>na ordem a, b, c, d.</p><p>a. Calcule, em função de a, b, c, d os comprimentos das diagonais x e y.</p><p>b. Permutando a ordem de sucessão das cordas, deduza, com auxílio</p><p>de figuras, se as diagonais dos novos quadriláteros obtidos têm</p><p>comprimentos diferentes de x e de y.</p><p>c. Sabendo-se que a área de um quadri látero inscrit ível é</p><p>( ) ( ) ( )( )S p a p b p c p d= − − − − e supondo que o quadrilátero,</p><p>além de inscritível também é circunscritível, mostre que a fórmula de</p><p>sua área reduz-se a .S abcd=</p><p>70 Seja ABCD um quadrilátero convexo tal que os dois pares de lados</p><p>opostos não são paralelos; AB encontra CD em E e AD encontra BC</p><p>em F. Sejam L, M, e N os pontos médios dos segmentos AC, BD e EF,</p><p>respectivamente. Prove que L, M e N são colineares.</p><p>71 Em uma circunferência são dadas uma corda fixa AB, igual ao lado</p><p>do triângulo eqüilátero inscrito e uma corda móvel CD, de comprimento</p><p>constante e igual ao lado do dodecágano regular convexo inscrito. As duas</p><p>cordas são os lados opostos de um quadrilátero convexo inscrito ABCD.</p><p>Determine o lugar geométrico do ponto de encontro dos outros dois lados,</p><p>especificando a delimitação desse lugar.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 16</p><p>136 IME-ITA – Vol. 5</p><p>72 Dá-se um triângulo retângulo isósceles de catetos AB = AC = l.</p><p>Descreve-se um quarto de círculo (Q) de centro A, ligando os vértices</p><p>B a C. Com diâmetro BC, descreve-se um semicírculo (S) exterior ao</p><p>triângulo e que não contém A. Traçam-se duas semicircunferências de</p><p>diâmetros AB e AC, (SB) e (SC), ambas passando pelo ponto D, meio de</p><p>BC. Seja M a superfície compreendida entre (Q) e (S). Seja N a superfície</p><p>compreendida entre (Q) e o arco BD de (SB) e o arco CD de (S). Seja P a</p><p>superfície limitada pelos arcos AD de (Sc) e AD de (SB). Demonstre que:</p><p>a. a área M é igual a área do triângulo ABC;</p><p>b. as áreas de N e P são iguais.</p><p>73 Em um triângulo ABC, são dados o lado a, a soma dos outros dois lados,</p><p>b + c = l, e a área S. Calcule os ângulos A, B, C e os lados b e c.</p><p>74 Seja o triângulo acutângulo A1A2A3. Traça-se um círculo de diâmetro</p><p>A2A3 e de A1 traçam-se tangentes a ele, com pontos de contato T1 e T’1.</p><p>Analogamente, procede-se com os lados A3A1 e A1A2, obtendo-se os pontos</p><p>de contato T2, T’2 e T3, T’3. Mostre que os seis pontos de contato obtidos</p><p>pertencem a um círculo de centro G (baricentro de A1A2A3).</p><p>75 Considere um triângulo ABC qualquer e três pontos X, Y e Z, tais que</p><p>X ∈ BC, Y ∈ AC e Z ∈ AB. Considere os círculos (C1), (C2) e (C3) que</p><p>passam respectivamente pelos pontos CXY, AYZ e BXZ. Demonstre que</p><p>(C1), (C2) e (C3) se encontram em um ponto W.</p><p>76</p><p>a. Demonstre que a diferença entre os quadrados de dois lados de um</p><p>triângulo é igual ao dobro do produto do terceiro lado pela projeção,</p><p>sobre ele, da mediana correspondente.</p><p>b. Determine o lugar geométrico dos centros dos círculos que cortam</p><p>dos círculos exteriores, de centros 01 e 02 e raios respectivamente</p><p>iguais a R1 e R2, em pontos diametralmente opostos.</p><p>77 Seja ABCD um quadrilátero circunscritível. Demonstre que os círculos</p><p>inscritos nos triângulos ABC e ACD têm, com a diagonal AC, um mesmo</p><p>ponto em comum.</p><p>78 Seja ABC um triângulo acutângulo qualquer. Seja DEF o triângulo cujos</p><p>vértices são os pés das alturas de ABC. Qual é a razão entre os raios dos</p><p>círculos circunscritos aos triângulos ABC e DEF?</p><p>79 Uma reta r tangencia uma circunferência em um ponto B e intercepta</p><p>uma reta s em um ponto A exterior à circunferência. A reta s passa pelo</p><p>centro dessa circunferência e a intercepta em um ponto C, tal que o ângulo</p><p>ˆABC seja obtuso. Então, o ângulo ˆCAB é igual a:</p><p>(A)</p><p>1</p><p>2</p><p>ˆABC .</p><p>(B)</p><p>3</p><p>2 ˆ</p><p>2</p><p>ABCπ− .</p><p>(C)</p><p>2</p><p>3</p><p>ˆABC .</p><p>(D) 2  ˆ  ABC−π .</p><p>(E)</p><p>2</p><p>ˆ  ABC</p><p>π</p><p>− .</p><p>80 Em um triângulo de vértices A, B e C, a altura, a bissetriz e a mediana,</p><p>relativamente ao vértice C, dividem o ângulo ˆBCA em quatro ângulos</p><p>iguais. Se l é a medida do lado oposto ao vértice C, calcule:</p><p>a. A medida da mediana em função de l.</p><p>b. Os ângulos ˆˆ ˆ,   e  .CAB ABC BCA</p><p>81 Um triângulo ABC tem lados com medidas</p><p>3</p><p>cm</p><p>2</p><p>a= ,    1 cmb=</p><p>e   1/ 2 cmc= . Uma circunferência é tangente ao lado a e também</p><p>aos prolongamentos dos outros dois lados do triângulo, ou seja, a</p><p>circunferência é ex-inscrita ao triângulo. Então, o raio da circunferência,</p><p>em cm, é igual a.</p><p>(A) 3 1</p><p>4</p><p>+ .</p><p>(B)</p><p>3</p><p>4</p><p>.</p><p>(C)</p><p>3 1</p><p>3</p><p>+</p><p>.</p><p>(D)</p><p>3</p><p>2</p><p>.</p><p>(E)</p><p>3 2</p><p>4</p><p>+</p><p>.</p><p>82 As retas r1 e r2 são concorrentes no ponto P, exterior a um círculo</p><p>ω. A reta r1 tangencia ω no ponto A, e a reta r2 intercepta ω nos pontos</p><p>B e C diametralmente opostos. A medida do arco AC é 60° e PA mede.</p><p>Determine a área do setor menor de ω definido pelo arco AB.</p><p>83 Seja ABC um triângulo retângulo cujos catetos AB e BC medem</p><p>8 cm e 6 cm, respectivamente. Se D é um ponto sobre AB e o triângulo</p><p>ADC é isósceles, a medida do segmento AD , em cm, é igual a:</p><p>(A)</p><p>3</p><p>4</p><p>.</p><p>(B)</p><p>15</p><p>6</p><p>.</p><p>(C)</p><p>15</p><p>4</p><p>.</p><p>(D)</p><p>=16 é:</p><p>(A) 2.</p><p>(B) 3.</p><p>(C) 4.</p><p>(D) 5.</p><p>(E) 6.</p><p>45 Seja ƒ(x) = x2 – 3x + 4. Quantas soluções reais tem a equação</p><p>ƒ(ƒ(ƒ(...ƒ(x)))) = 2 (em que ƒ é aplicada 2.001 vezes)?</p><p>(A) 0.</p><p>(B) 1.</p><p>(C) 2.</p><p>(D) 2.001.</p><p>(E) 22001.</p><p>46 Se Q e I representam o conjunto dos racionais e irracionais,</p><p>respectivamente, considere as funções ƒ e g reais de variáveis reais</p><p>definidas por:</p><p>0, se</p><p>( )</p><p>1, se</p><p>x Q</p><p>x</p><p>x I</p><p>∈</p><p>=  ∈</p><p>f e</p><p>1, se</p><p>( )</p><p>0, se</p><p>x Q</p><p>g x</p><p>x I</p><p>∈</p><p>=  ∈</p><p>.</p><p>Sendo J a imagem da função composta ƒog, podemos afirmar que:</p><p>(A) J = R.</p><p>(B) J = Q.</p><p>(C) J = {0}.</p><p>(D) J = {1}.</p><p>(E) J = {0,1}.</p><p>47 Determine o conjunto imagem de ƒ:  ·  →  definida por</p><p>ƒ(x, y) = x2 + (xy – 1)2.</p><p>48 Seja D = {(x, y) ∈ 2 | 0 < x < 1 e 0 < y < 1} e F: D → 2 uma</p><p>função tal que ∀(x, y)∈ D associa (X, Y) ∈ 2 em que</p><p>(1 )</p><p>X y</p><p>Y y x</p><p>=</p><p> = −</p><p>a. sendo T = {X,Y | X > 0, Y> 0, X + Y < 1} mostre que F é uma</p><p>bijeção de D sobre T;</p><p>b. esboce a imagem dos conjuntos da forma {(x,y) ∈ D|y = λx} para</p><p>os seguintes valores de λ: 0 1 2</p><p>1 1</p><p>, , 1</p><p>4 2</p><p>λ = λ = λ = .</p><p>49 Sejam E0 = [0, 1] e ƒ1, ƒ2: E0 → E0 funções definidas por ƒ1(x) = 1</p><p>3</p><p>x</p><p>e ƒ2(x) =</p><p>1</p><p>3</p><p>x + 2</p><p>3</p><p>. Se ℘ (E0) é o conjunto das partes de E0, seja F:</p><p>℘(E0) → ℘(E0) a função definida por F(A) = ƒ1(A) ∪ ƒ2(A), em que</p><p>ƒi(A) é a imagem de A por ƒi, i = 1, 2. Agora, para cada n ≥ 1 definimos</p><p>En = F(En – 1).</p><p>a. Esboce graficamente E0, E1, E2 e E3. Mostre que En ⊂ En – 1.</p><p>b. Calcule lim</p><p>n→∞</p><p>|En|, em que |En| é a soma dos comprimentos dos n</p><p>intervalos que formam En.</p><p>50 Considere uma função L: + →  que satisfaz:</p><p>I. é crescente, isto é, para qualquer 0 < x < y tem-se L(x) < L(y).</p><p>II. L(x, y) = L(x) + L(y) para quaisquer x, y > 0.</p><p>Mostre que:</p><p>a. L(1) = 0.</p><p>b. L(1/x) = –L(x) para todo x > 0;</p><p>c. L(x/y) = L(x) – L(y) para quaisquer x, y > 0.</p><p>d. L(xn) = nL(x) para todo x > 0 e natural n.</p><p>e. L(n x ) = ( )1</p><p>L x</p><p>n</p><p>para todo x > 0 e natural n.</p><p>51 Seja ƒ uma função real tal que ∀x, a ∈ ;</p><p>f(x + a)=</p><p>1</p><p>2</p><p>+ 2( ) ( )x x−f f · ƒ é periódica? Justifique.</p><p>52 Sejam as funções g(x) e h(x) assim definidas: g(x) = 3x – 4;</p><p>h(x) = f(g(x)) = 9x2 – 6x + 1.</p><p>Determine a função ƒ(x) e faça seu gráfico.</p><p>53 Três jogadores, cada um com um dado, fizeram lançamentos</p><p>simultâneos. Essa operação foi repetida cinquenta vezes. Os dados contém</p><p>três faces brancas e três faces pretas. Dessas 50 vezes:</p><p>I. em 28 saiu uma face preta para o jogador I;</p><p>II. em 25 saiu uma face branca para o jogador II;</p><p>III. em 27 saiu uma face branca para o jogador III;</p><p>IV. em 8 saíram faces pretas para o jogadores I e II e branca para o jogador III;</p><p>V. em 7 saíram faces brancas para os jogadores II e III e preta para o</p><p>jogador I;</p><p>VI. em 4 saíram faces pretas para os três jogadores;</p><p>VII. em 11 saíram faces pretas para os jogadores II e III.</p><p>Determine quantas vezes saiu uma face preta para pelo menos um jogador.</p><p>54 Considere a, b e c números reais tais que a < b < c. Prove que a</p><p>equação abaixo possui exatamente duas raízes, x1 e x2, que satisfazem a</p><p>condição: a < x1 < b < x2 < c.</p><p>1 1 1</p><p>0</p><p>x a x b x c</p><p>+ + =</p><p>− − −</p><p>55 Sejam X, Y e Z subconjuntos próprios de , não vazios. Com respeito</p><p>às afirmações:</p><p>I. ( ) ( ){ }cc c cX Y X Y X X Y X  ∩ ∩ ∪ ∪ ∪ ∩ =    </p><p>II. Se , então ( ) ( )cZ X Z Y X Z Y X Y ⊂ ∪ ∪ ∪ ∩ = ∪ </p><p>III. Se ( ) , entãoc cX Y Z Z X∪ ⊂ ⊂</p><p>Temos que:</p><p>(A) apenas I é verdadeira.</p><p>(B) apenas I e II são verdadeiras.</p><p>(C) apenas I e III são verdadeiras.</p><p>(D) apenas II e III são verdadeiras.</p><p>(E) todas são verdadeiras.</p><p>MATEMÁTICA I</p><p>Assunto 9</p><p>Lógica – Conjuntos – Relações – Funções</p><p>73IME-ITA – Vol. 5</p><p>56 Se ƒ : ]0,1[ →  é ta l que, ∀x ]0,1[, |ƒ(x)| < 1</p><p>2</p><p>e</p><p>ƒ(x) =  </p><p>1 1</p><p>4 2 2</p><p>x x +   +   </p><p>    </p><p>ƒ ƒ , então a desigualdade válida para qualquer</p><p>n = 1, 2, 3, ... e 0 < x < 1 é:</p><p>(A) |ƒ(x)| + 1 1</p><p>2 2n < . (D)</p><p>1</p><p>( )</p><p>2nƒ x > .</p><p>(B) ≤ ≤</p><p>1 1</p><p>( )</p><p>2 2n ƒ x . (E)</p><p>1</p><p>( )</p><p>2nƒ x < .</p><p>(C) < <1</p><p>1 1</p><p>( )</p><p>2 2n ƒ x+</p><p>.</p><p>57 Sejam ƒ e g funções reais definidas por ƒ(x) = x3 e g(x) = 103 cos5x.</p><p>Podemos afirmar que:</p><p>(A) ƒ é injetora e par e g é ímpar.</p><p>(B) g é sobrejetora e goƒ é par.</p><p>(C) ƒ é bijetora e goƒ é ímpar.</p><p>(D) g é par e goƒ é ímpar.</p><p>(E) ƒ é ímpar e goƒ é par.</p><p>58 Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das</p><p>afirmações:</p><p>I. A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C);</p><p>II. (A ∩ C) \ B = A ∩ BC ∩ C;</p><p>III. (A \ B) ∩ (B \ C) = (A \ B) \ C.</p><p>É(são) verdadeira(s):</p><p>(A) apenas I.</p><p>(B) apenas II.</p><p>(C) apenas I e II.</p><p>(D) apenas I e III.</p><p>(E) todas.</p><p>59 Considere funções ƒ, g, ƒ + g:  → . Das afirmações:</p><p>I. Se ƒ e g são injetoras, ƒ + g é injetora;</p><p>II. Se ƒ e g são sobrejetoras, ƒ + g é sobrejetora;</p><p>III. Se ƒ e g não são injetoras, ƒ + g não é injetora;</p><p>IV. Se ƒ e g não são sobrejetoras, ƒ + g não é sobrejetora.</p><p>É(são) verdadeira(s):</p><p>(A) nenhuma.</p><p>(B) apenas I e II.</p><p>(C) apenas I e III.</p><p>(D) apenas III e IV.</p><p>(E) todas.</p><p>60 Sejam r1, r2 e r3 números reais tais que r1 − r2 e r1 + r2 + r3 são racionais.</p><p>Das afirmações:</p><p>I. Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racional;</p><p>II. Se r3 é racional, então r1 + r2 é racional;</p><p>III. Se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais.</p><p>É(são) sempre verdadeira(s):</p><p>(A) apenas I.</p><p>(B) apenas II.</p><p>(C) apenas III.</p><p>(D) apenas I e II.</p><p>(E) I, II e III.</p><p>61 Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das</p><p>afirmações:</p><p>I. (A \ BC) \ CC = A ∩ (B ∪ C);</p><p>II. (A \ BC) \ C = A ∪ (B ∩ CC)C;</p><p>III. BC ∪ CC = (B ∩ C)C.</p><p>É(são) verdadeira(s):</p><p>(A) I.</p><p>(B) II.</p><p>(C) III.</p><p>(D) I e III.</p><p>(E) II e III.</p><p>62 Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não-vazios, tais</p><p>que n(P(A) ∪ P(B)) + 1 = n(P(A ∪ B)). Então, a diferença n(A) – n(B)</p><p>pode assumir:</p><p>(A) um único valor.</p><p>(B) apenas dois valores distintos.</p><p>(C) apenas três valores distintos.</p><p>(D) apenas quatro valores distintos.</p><p>(E) mais do que quatro valores distintos.</p><p>63 Dos n alunos de um colégio, cada um estuda pelo menos uma das</p><p>três matérias: Matemática, Física e Química. Sabe-se que 48% dos alunos</p><p>estudam Matemática, 32% estudam Química e 36% estudam Física.</p><p>Sabe-se, ainda, que 8% dos alunos estudam apenas Física e Matemática,</p><p>enquanto 4% estudam todas as três matérias. Os alunos que estudam</p><p>apenas Química e Física mais aqueles que estudam apenas Matemática</p><p>e Química totalizam 63 estudantes. Determine n.</p><p>64 Analise se ƒ:  → , ƒ( ) =</p><p>,</p><p>,</p><p>x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>3 0</p><p>3 0</p><p>2</p><p>2</p><p>+ ≥</p><p>− ≤</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>é bijetora e, em caso</p><p>afirmativo, encontre ƒ–1:  → .</p><p>65 Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A ⊂ B e</p><p>n({C : C ⊂ B \ A}) = 128.</p><p>Então, das afirmações abaixo:</p><p>I. n(B) – n(A) é único;</p><p>II. n(B) + n(A) ≤ 128;</p><p>III. a dupla ordenada (n(A), n(B)) é única.</p><p>É(são) verdadeira(s):</p><p>(A) apenas I.</p><p>(B) apenas II.</p><p>(C) apenas III.</p><p>(D) apenas I e II.</p><p>(E) nenhuma.</p><p>MATEMÁTICA I</p><p>Assunto 9</p><p>74 IME-ITA – Vol. 5</p><p>66 O produto das raízes reais da equação |x2 – 3x + 2| = |2x – 3| é</p><p>igual a:</p><p>(A) −5.</p><p>(B) −1.</p><p>(C) 1.</p><p>(D) 2.</p><p>(E) 5.</p><p>67 Analise a existência de conjuntos A e B, ambos não vazios, tais que</p><p>(A\B) ∪ (B\A) = A.</p><p>68 Resolva a inequação em � :</p><p>log ( )</p><p>16</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>5</p><p>2 19</p><p>< </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>− +x x</p><p>69 Determine todos os valores de m ∈  tais que a equação (2 – m) x2</p><p>+ 2mx + m + 2 = 0 tenha duas raízes distintas e maiores que zero.</p><p>70 Considere as armações abaixo relativas a conjuntos A; B e C quaisquer:</p><p>I. A negação de x ∈ A ∩ B é: x ∉ A ou ∉ B.</p><p>II. A ∩ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ (A ∩ C).</p><p>III. (A\B) ∪ (B\A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B).</p><p>Destas, é(são) falsa(s):</p><p>(A) apenas I</p><p>(B) apenas II.</p><p>(C) apenas III.</p><p>(D) apenas I e III.</p><p>(E) nenhuma.</p><p>71 Considere conjuntos A, B ∈ R e C ⊂ (A ∪ B). Se A ∪ B,</p><p>A ∩ C e B ∩ C são os domínios das funções reais definidas por ln</p><p>( ,x x− − + −6 8x eπ</p><p>π</p><p>'</p><p>x</p><p>x</p><p>−</p><p>−</p><p>2</p><p>5</p><p>, respectivamente, pode-se afirmar que:</p><p>(A) C = ] π, 5[.</p><p>(B) C = [2, π].</p><p>(C) C = [2, 5[.</p><p>(D) C = [π, 4].</p><p>(E) C não é intervalo.</p><p>72 Sejam ƒ, g:  →  tais que ƒ é par e g é ímpar. Das seguintes</p><p>afirmações:</p><p>I. ƒ · g é ímpar.</p><p>II. ƒ o g é par.</p><p>III. g o ƒ é ímpar.</p><p>É(são) verdadeira(s):</p><p>(A) apenas I.</p><p>(B) apenas II.</p><p>(C) apenas</p><p>25</p><p>4</p><p>.</p><p>(E)</p><p>25</p><p>2</p><p>.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 16</p><p>Geometria plana</p><p>137IME-ITA – Vol. 5</p><p>84 Sejam ABCD um quadrado e E um ponto sobre AB . Considere as</p><p>áreas do quadrado ABCD, do trapézio BEDC e do triângulo ADE. Sabendo</p><p>que essas áreas definem, na ordem em que estão apresentadas, uma</p><p>progressão aritmética cuja soma é 200 cm2, a medida do segmento AE ,</p><p>em cm, é igual a:</p><p>(A)</p><p>10</p><p>3</p><p>.</p><p>(B) 5 .</p><p>(C)</p><p>20</p><p>3</p><p>.</p><p>(D)</p><p>25</p><p>3</p><p>.</p><p>(E) 10 .</p><p>85 Num triângulo ABC o lado AB mede 2 cm, a altura relativa ao lado</p><p>AB mede 1 cm, o ângulo ABC mede 135° e M é o ponto médio de AB .</p><p>Então a medida de BAC + BMC, em radianos, é igual a:</p><p>(A)</p><p>1</p><p>5</p><p>π .</p><p>(B)</p><p>1</p><p>4</p><p>π .</p><p>(C)</p><p>1</p><p>3</p><p>π .</p><p>(D)</p><p>3</p><p>8</p><p>π .</p><p>(E)</p><p>2</p><p>5</p><p>π .</p><p>86 Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5 cm.</p><p>Sabe-se ainda que AB é o diâmetro, BC mede 6 cm e a bissetriz do ângulo</p><p>ABC intercepta a circunferência no ponto D. Se a é a soma das áreas dos</p><p>triângulos ABC e ABD, e b é a área comum aos dois, o valor de a − 2b,</p><p>em cm2, é igual a</p><p>(A) 14.</p><p>(B) 15.</p><p>(C) 16.</p><p>(D) 17.</p><p>(E) 18.</p><p>87 Num triângulo AOB o ângulo AOB mede 135°, e os lados  e AB OB</p><p>medem 2 cm e 2 3  cm− , respectivamente. A circunferência de</p><p>centro em O e raio igual a medida de OB intercepta AB no ponto ( )C B≠ .</p><p>Mostre que OAB mede 15°.</p><p>Calcule o comprimento de .AC</p><p>88 Considere um triângulo equilátero cujo lado mede 2 3 cm . No interior</p><p>desse triângulo existem 4 círculos de mesmo raio r. O centro de um dos</p><p>círculos coincide com o baricentro do triângulo. Esse círculo tangencia</p><p>externamente os demais e estes, por sua vez, tangenciam 2 lados do triângulo.</p><p>a. Determine o valor de r.</p><p>b. Calcule a área do triângulo não preenchida pelos círculos.</p><p>c. Para cada círculo que tangencia o triângulo, determine a distância do</p><p>centro ao vértice mais próximo.</p><p>89 Considere um triângulo ABC com lado BC igual a L. São dados um</p><p>ponto D sobre o lado AB e um ponto E sobre o lado AC, de modo que</p><p>sejam válidas as relações</p><p>DA EC</p><p>m</p><p>DB EA</p><p>= = , com m > 1. Pelo ponto médio</p><p>do segmento DE, denominado M, traça-se uma reta paralela ao lado BC,</p><p>interceptando o lado AB no ponto F e o lado AC no ponto H. Calcule o</p><p>comprimento do segmento MH, em função de m e L.</p><p>90 Seja ABC um triângulo em que a, b e γ são os ângulos internos dos</p><p>vértices A, B e C, respectivamente. Esse triângulo está inscrito em um</p><p>círculo de raio unitário. As bissetrizes internas desses ângulos interceptam</p><p>esse círculo nos pontos A1, B1 e C1, respectivamente. Determine o valor</p><p>da expressão 1 1 1cos cos cos</p><p>2 2 2</p><p>AA BB CC</p><p>sen sen sen</p><p>α β γ     + +     </p><p>     </p><p>α + β + γ</p><p>.</p><p>91 Seja x o valor do maior lado de um paralelogramo ABCD. A diagonal</p><p>AC divide  em dois ângulos, iguais a 30° e 15°. A projeção de cada um</p><p>dos quatro vértices sobre a reta suporte da diagonal que não o contém</p><p>forma o quadrilátero A’B’C’D’. Calcule o perímetro de A’B’C’D’.</p><p>92 Um triângulo isósceles possui seus vértices da base sobre o eixo das</p><p>abscissas e o terceiro vértice, B , sobre o eixo positivo das ordenadas.</p><p>Sabe-se que a base mede b e seu ângulo oposto B = 120°. Considere o</p><p>lugar geométrico dos pontos, cujo quadrado da distância à reta suporte da</p><p>base do triângulo é igual ao produto das distâncias às outras duas retas</p><p>que suportam os dois outros lados. Determine a(s) equação(ões) do lugar</p><p>geométrico e identifique a(s) curva(s) descrita(s).</p><p>93 Seja G o ponto de interseção das medianas de um triângulo ABC</p><p>com área S. Considere os pontos A’, B’ e C’ obtidos por uma rotação de</p><p>180º dos pontos A, B e C, respectivamente, em torno de G. Determine,</p><p>em função de S, a área formada pela união das regiões delimitadas pelos</p><p>triângulos ABC e A’B’C’.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 16</p><p>138 IME-ITA – Vol. 5</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 16</p><p>Geometria plana</p><p>139IME-ITA – Vol. 5</p><p>Geometria espacial</p><p>MATEMÁTICA V ASSUNTO</p><p>17</p><p>140 IME-ITA – Vol. 5</p><p>1. Geometria de posição, ângulos,</p><p>distâncias e teoremas importantes</p><p>1.1 Paralelismo</p><p>Reta paralela a um plano</p><p>Como obter: uma reta é paralela a um plano se existir nele uma outra</p><p>reta paralela à primeira.</p><p>Como usar: a seção gerada em um plano por outro que contém uma</p><p>reta paralela ao plano é paralela à reta.</p><p>s//r</p><p>s</p><p>r</p><p>a</p><p>Obtém-se r// a.</p><p>r//a</p><p>t</p><p>a</p><p>Obtém-se r//t.</p><p>Planos paralelos entre si</p><p>Como obter: dois planos são paralelos se duas retas concorrentes de</p><p>um são paralelas ao outro.</p><p>Como usar: as seções de dois planos paralelos geradas por um plano</p><p>transversal são paralelas entre si.</p><p>r//b</p><p>s//b</p><p>s r</p><p>a</p><p>b</p><p>Obtém-se a//b.</p><p>a</p><p>b//a</p><p>b</p><p>r</p><p>t</p><p>Obtém-se r//t.</p><p>Transitividade do paralelismo</p><p>Se r//s, s//t, então r//t.</p><p>1.2 Ortogonalidade</p><p>Reta perpendicular a um plano</p><p>Como obter: uma reta é perpendicular a um plano se ela for</p><p>perpendicular ou ortogonal a duas concorrentes do plano.</p><p>Como usar: se uma reta é perpendicular a um plano, então ela é</p><p>perpendicular ou ortogonal a qualquer reta do plano.</p><p>r</p><p>s</p><p>t</p><p>a</p><p>Se r  s, r  t, com s e t concorrentes,então r ⊥ pl(s, t).</p><p>s</p><p>t</p><p>r</p><p>a</p><p>Se r ⊥ a, então r  t, para toda t ⊂ a.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 17</p><p>Geometria espacial</p><p>141IME-ITA – Vol. 5</p><p>Planos perpendiculares</p><p>Como obter: um plano é perpendicular a outro se ele contém uma reta</p><p>perpendicular ao outro.</p><p>Como usar: se dois planos são perpendiculares, a perpendicular em</p><p>um deles à reta de interseção dos planos é perpendicular ao segundo plano.</p><p>Teorema das três perpendiculares</p><p>Sejam um plano a, uma reta r contida no plano, e um ponto P externo</p><p>ao plano. A projeção de P na reta r (o ponto Q) pode ser obtida projetando P</p><p>em a [ponto P’] e então projetando P’ em r (em particular, essa construção</p><p>é tal que, no final, a reta r é perpendicular ao plano do triângulo PP’Q).</p><p>r</p><p>Q</p><p>P’</p><p>a</p><p>P</p><p>1.3 Principais ângulos</p><p>Ângulo entre retas reversas</p><p>É igual ao ângulo entre paralelas a elas, de forma que, se r e s são</p><p>reversas, escolhendo-se um ponto P do espaço, tracem-se as paralelas</p><p>r’//r e s’//s por P. Então o ângulo entre r e s é igual ao ângulo entre r’ e s’.</p><p>Diz-se que duas retas são ortogonais quando são reversas e o ângulo</p><p>entre elas é 90°.</p><p>Ângulo entre planos secantes (diedro)</p><p>É igual ao ângulo entre as perpendiculares à aresta em cada plano.</p><p>Tomando-se um ponto dentro do diedro, traçando-se as retas</p><p>perpendiculares aos planos por esse ponto, tem-se que o ângulo entre as</p><p>retas é igual à medida do diedro, ou é o seu suplementar. Logo, o ângulo</p><p>entre os planos é igual ao ângulo entre os vetores normais aos planos.</p><p>Obs.:</p><p>Teorema de Projeção de Áreas: dados dois planos, o cosseno do diedro</p><p>é igual à razão entre a área da projeção da figura de um dos planos</p><p>no outro e a área da figura original.</p><p>S</p><p>S*</p><p>b</p><p>a</p><p>cos � �^</p><p>*� � � S</p><p>S</p><p>Ângulo entre reta e plano secantes</p><p>Considerando uma reta secante não perpendicular a um plano, o ângulo</p><p>entre a reta e o plano é igual ao ângulo entre a reta e a sua projeção no plano.</p><p>Tal ângulo é o complementar do ângulo entre o vetor diretor da reta e</p><p>o vetor normal ao plano.</p><p>1.4 Principais distâncias</p><p>Entre ponto e reta</p><p>É o segmento perpendicular à reta traçado a partir do ponto.</p><p>Entre ponto e plano</p><p>É o segmento perpendicular ao plano traçado a partir do ponto.</p><p>Entre retas paralelas</p><p>É qualquer segmento perpendicular comum às retas, traçado a partir de</p><p>qualquer ponto de uma das retas, em relação à outra.</p><p>Entre retas reversas</p><p>É o segmento perpendicular comum às retas. Tomando um plano</p><p>paralelo a uma das retas, contendo a outra reta, é igual à distância entre</p><p>a reta e esse plano.</p><p>Entre reta e plano paralelos</p><p>É qualquer segmento perpendicular ao plano traçado de um ponto</p><p>qualquer da reta.</p><p>Entre planos paralelos</p><p>É qualquer segmento perpendicular comum aos planos, traçado de</p><p>um ponto qualquer de um dos planos, em relação ao outro.</p><p>1.5 Lugares geométricos espaciais</p><p>importantes</p><p>Eixo</p><p>Dados três pontos A, B, C não colineares, chama-se de eixo o lugar</p><p>geométrico dos pontos P tais que PA = PB = PC. O eixo é uma reta</p><p>perpendicular ao plano (ABC) pelo circuncentro do triângulo ABC. Nessa</p><p>situação, os ângulos que</p><p>as retas PA, PB e PC formam com o plano são</p><p>iguais.</p><p>Plano mediador</p><p>Dados dois pontos A e B, chama-se de plano mediador o lugar</p><p>geométrico dos pontos P tais que PA = PB = PC. O plano mediador é um</p><p>plano perpendicular ao segmento AB pelo ponto médio de AB.</p><p>Plano bissetor</p><p>Dados dois planos concorrentes, chama-se de plano bissetor o plano</p><p>que contém a aresta e divide o diedro formado em diedros congruentes. O</p><p>par de planos mediadores perpendiculares entre si é o lugar geométrico dos</p><p>pontos que equidistam dos planos dados.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 17</p><p>142 IME-ITA – Vol. 5</p><p>Esfera</p><p>Dados um ponto O e uma distância r, chama-se de esfera o</p><p>lugar geométrico dos pontos P tais que OP é menor ou igual a r.</p><p>A esfera de diâmetro AB é o conjunto dos pontos P tais que o ângulo APB é reto.</p><p>2. Triedros e poliedros</p><p>2.1 Triedros</p><p>Ângulo triédrico</p><p>É a região do espaço gerada por três semirretas não coplanares.</p><p>(A) Vale a desigualdade triangular entre as faces: a ≤ b + c, isto é,</p><p>cada face tem medida menor ou igual à soma das outras duas, com</p><p>igualdade se, e somente se, as semirretas são coplanares.</p><p>(B) Num ângulo poliédrico convexo qualquer, a soma das faces é menor</p><p>que 360°. Para triedros, escreve-se a + b + c < 360°.</p><p>(C) Triedro Polar: é o triedro formado por arestas perpendiculares às</p><p>faces de um triedro, com vértice interno a esse triedro. As medidas</p><p>das faces do triedro polar são os suplementos dos diedros do triedro</p><p>original. Dessa maneira, prova-se que, em um triedro qualquer, vale a</p><p>seguinte relação entre os diedros: 180° < A + B + C < 540°.</p><p>2.2 Poliedros convexos</p><p>Seguem as principais fórmulas de contagem dos poliedros convexos:</p><p>(A) Valem as seguintes contagens, por análise combinatória:</p><p>F = F3 + F4 + F5 + F6 + ...</p><p>V = V3 + V4 + V5 + V6 + ...</p><p>2A = 3F3 + 4F4 + 5F5 + 6F6 + ...</p><p>2A = 3V3 + 4V4 + 5V5 + 6V6 + ...</p><p>(B) Vale a relação de Euler: V + F = A + 2.</p><p>(C) Número de diagonais: D</p><p>V V</p><p>A d�</p><p>�� �</p><p>� �</p><p>1</p><p>2</p><p>, em que d é o número</p><p>de diagonais das faces do poliedro. Se d</p><p>n n</p><p>n �</p><p>�� �3</p><p>2</p><p>é o número de</p><p>diagonais em uma face de gênero n, então tem-se d = d4F4 + d5F5 + d6F6</p><p>+ ...</p><p>(D) Soma dos ângulos das faces do poliedro convexo: S = 360°(V – 2)</p><p>3. Prismas e pirâmides</p><p>3.1 Prisma</p><p>Possui duas bases paralelas congruentes e as faces laterais são</p><p>paralelogramos. Pode ser oblíquo (caso a aresta lateral seja maior que</p><p>a altura do prisma) ou reto (quando a aresta lateral é perpendicular aos</p><p>planos das bases, logo é altura do prisma). Sendo reto, ele é regular caso</p><p>as bases sejam polígonos regulares.</p><p>O volume do prima é dado pelo produto da área da base pela altura</p><p>[V = Sbase · h].</p><p>A’</p><p>E’ D’</p><p>C’</p><p>B’</p><p>A</p><p>E D</p><p>C</p><p>B</p><p>h</p><p>Prisma ABCDE-A’B’C’D’E’</p><p>Bases: ABCDE e A’B’C’D’E’</p><p>Arestas laterais: A A’, BB’, CC’, DD’, EE’</p><p>Altura: h</p><p>Chama-se seção reta a seção na superfície lateral do prisma obtida</p><p>por um plano perpendicular às arestas reais. Valem as seguintes fórmulas</p><p>para a área lateral e o volume do prisma em função da aresta lateral e da</p><p>seção reta: SLAT = alat · (2p)seção · reta e V = alat · Sseção · reta.</p><p>Um prisma é circunscritível a uma esfera se a seção reta é um polígono</p><p>circunscritível a um círculo de raio igual à metade da altura do prisma.</p><p>Um prisma é inscritível em uma esfera se é reto, e as bases são</p><p>polígonos inscritíveis. Nesse caso, o centro é o ponto médio do segmento</p><p>interno ao prisma, obtido no eixo dos polígonos das bases.</p><p>Tronco de prisma: é o sólido obtido por um truncamento de prisma não</p><p>paralelo à base dele. Se o tronco de prisma for reto e triangular, o volume</p><p>é o produto da área da base pela média das alturas dos três vértices do</p><p>truncamento em relação à base do tronco. Se o tronco for reto e possuir</p><p>uma base no formato de um paralelogramo, então o volume é o produto da</p><p>área da base pela média das alturas dos quatro vértices do truncamento</p><p>em relação à base do tronco.</p><p>C’</p><p>B’</p><p>A’</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>c</p><p>a</p><p>b</p><p>Na figura, o volume do tronco ABC-A’B’C’ é dado por V S</p><p>a b c</p><p>ABC� �</p><p>� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�3</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 17</p><p>Geometria espacial</p><p>143IME-ITA – Vol. 5</p><p>3.2 Pirâmide</p><p>É o sólido obtido ligando-se os vértices de um polígono simples a um</p><p>ponto externo ao plano do polígono. Se o polígono é regular e o ponto está</p><p>sobre o eixo do polígono, dizemos que a pirâmide é regular.</p><p>A</p><p>V</p><p>B</p><p>C</p><p>F</p><p>O</p><p>E</p><p>M</p><p>D</p><p>Pirâmide V-ABCEDF regular</p><p>O: centro da base</p><p>OM: apótema da base</p><p>VO: altura da pirâmide</p><p>VM: apótema da pirâmide (apótema lateral)</p><p>Vale a fórmula de volume V S h� �</p><p>1</p><p>3 base . Também vale o seguinte: a</p><p>razão entre a área da base e a área lateral é o cosseno do diedro entre a</p><p>face lateral e a base da pirâmide regular.</p><p>Toda pirâmide regular é circunscritível, bem como inscritível (não</p><p>necessariamente os centros são coincidentes).</p><p>Tronco de Pirâmide: é o sólido obtido por um truncamento de pirâmide</p><p>paralelo à base dela. Prolongando-se as arestas laterais do tronco, obtemos</p><p>duas pirâmides semelhantes.</p><p>Vale a seguinte fórmula de volume: V</p><p>h</p><p>S Ss s� � �� �3</p><p>, onde S e</p><p>s são as áreas das bases do tronco de pirâmide. Além disso, uma ideia</p><p>comum é usar a semelhança entre as pirâmides para obter relações entre</p><p>volume, áreas, arestas etc.</p><p>V</p><p>A’</p><p>D’ C’</p><p>B’</p><p>A</p><p>D C</p><p>B</p><p>ABCD-A’B’C’D’ é tronco de pirâmide.</p><p>V-ABCD ~ V-A’B’C’D’</p><p>4. Sólidos de revolução, cone,</p><p>cilindro e esfera</p><p>4.1 Teoremas de Pappus-Guldin</p><p>Se uma curva plana de comprimento L gira em torno de um eixo</p><p>coplanar, a área da superficie gerada por essa rotação completa é dada</p><p>por S = 2p · L · x , onde x é a distância do centro geométrico da curva</p><p>plana ao eixo de rotação. Se uma figura plana de área A gira em torno de</p><p>um eixo coplanar, o volume do sólido gerado por essa rotação completa</p><p>é dado por V = 2p · A · y , onde y é a distância do centro geométrico da</p><p>figura plana ao eixo de rotação.</p><p>Seguem alguns centros geométricos:</p><p>triângulos</p><p>x</p><p>segmento</p><p>CG</p><p>circunferência</p><p>x</p><p>CG</p><p>paralelogramo</p><p>CG</p><p>x</p><p>polígonos regulares</p><p>x</p><p>CG</p><p>O incentro medial é o CG do triângulo(como linha).</p><p>CG</p><p>x</p><p>círculo</p><p>CG</p><p>x</p><p>paralelogramo retângulo</p><p>CG</p><p>x</p><p>CG</p><p>x</p><p>polígonos regulares</p><p>CG</p><p>triângulos</p><p>(baricentro)</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 17</p><p>144 IME-ITA – Vol. 5</p><p>4.2 Cone</p><p>Dada uma circunferência em um plano e um ponto fora desse plano,</p><p>ao se ligar o ponto aos pontos da circunferência, obtem-se um sólido</p><p>chamado cone. Chama-se de cone circular reto o cone circular cujo vértice</p><p>está no eixo da circunferência.</p><p>V</p><p>r h</p><p>S rg</p><p>S r r g</p><p>LAT</p><p>SUP</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>3</p><p>, ( ),</p><p>( ) (área total ou da su</p><p>área lateral</p><p>pperfície).</p><p>Cone reto</p><p>Raio da base: r</p><p>Altura: h</p><p>Geratriz: g</p><p>g2 = h2 + r2</p><p>v</p><p>gg h</p><p>r</p><p>O</p><p>g</p><p>a</p><p>Desenvolvimento lateral:</p><p>2pr</p><p>Chama-se seção meridiana do cone qualquer seção que contenha</p><p>o eixo da base. Caso a seção seja um triângulo equilátero, chamamos o</p><p>cone de equilátero, em que g = 2r.</p><p>4.3 Tronco de cone</p><p>É o sólido obtido por um truncamento de cone paralelo à base dele.</p><p>Prolongando-se as geratrizes do tronco, obtemos dois cones semelhantes.</p><p>Vale a seguinte fórmula de volume: V</p><p>h</p><p>R Rr r� � �� ��</p><p>3</p><p>2 2 , onde</p><p>R e r são os raios das bases do tronco de cone. Além disso, uma ideia</p><p>comum é usar a semelhança entre as pirâmides para obter relações entre</p><p>volume, áreas, arestas etc.</p><p>H</p><p>h</p><p>s</p><p>S R</p><p>r</p><p>Tronco de cone circular</p><p>vtronco = V – v</p><p>v</p><p>V</p><p>k k</p><p>r</p><p>R</p><p>k</p><p>h</p><p>H</p><p>k</p><p>s</p><p>S</p><p>= = = =3 2, , ,</p><p>4.4 Cilindro</p><p>Dada uma circunferência em um plano, e um segmento de medida</p><p>g, em uma direção não paralela ao plano, chamamos de cilindro circular</p><p>o sólido obtido pela construção de segmentos paralelos e congruentes</p><p>ao de medida g, em um mesmo semiespaço gerado pelo círculo, com</p><p>extremidades sobre o círculo dado. Os círculos gerados são chamados de</p><p>bases, e os segmentos paralelos de medida g, geratriz. A altura do cilindro</p><p>é a distância entre os planos das bases. Se a geratriz é perpendicular ao</p><p>plano das bases, o cilindro é reto.</p><p>O</p><p>r</p><p>r</p><p>h</p><p>desenvolvimento</p><p>da superficie lateral</p><p>V = pr2h</p><p>2pr</p><p>STOT = 2pr2 + 2prh</p><p>SLAT = 2prh</p><p>Um problema comum em cilindros é o de percorrer um caminho sobre</p><p>a superfície lateral.</p><p>Nesse caso, considere o desenvolvimento da superfície</p><p>lateral, que é um retângulo cuja base é o comprimento da circunferência,</p><p>e a altura é igual à do cilindro.</p><p>Uma seção é meridiana quando o plano contém o eixo dos círculos</p><p>bases. Se a seção meridional é um quadrado, então o cilindro é dito</p><p>equilátero, e vale que 2r = h.</p><p>4.5 Tronco de cilindro</p><p>Obtém-se um tronco de cilindro ao fazer uma seção do cilindro não</p><p>paralela às bases. A seção não paralela, como se demonstra, é sempre</p><p>uma elipse. Quando o cilindro original é reto, chamamos o tronco de</p><p>cilindro de reto. Nesse caso, é fácil obter o volume e a área lateral, bem</p><p>como obter relações métricas simples para o sólido.</p><p>m</p><p>x r</p><p>y</p><p>Tronco de cilindro reto</p><p>V = pr2m</p><p>SLAT = 2prm</p><p>m</p><p>x y</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>(por base média)</p><p>4.6 Esfera</p><p>É o lugar geométrico dos pontos P que estão a uma distância menor</p><p>ou igual a r de um certo ponto O. Neste caso, dizemos que a esfera tem</p><p>centro O e raio r. A esfera de diâmetro AB é o lugar geométrico dos pontos</p><p>P tais que o ângulo APB mede 90°.</p><p>O volume de uma esfera de raio R é dado por V</p><p>R</p><p>�</p><p>4</p><p>3</p><p>3�</p><p>, e a área da</p><p>superfície é dada por S R� 4 3� .</p><p>A seção de uma esfera de raio R por um plano que dista d do centro</p><p>da esfera é sempre um círculo de raio r, dado por r R d� �2 2 .</p><p>Chama-se de cunha o sólido determinado por um diedro cuja aresta é</p><p>o diâmetro de uma esfera. Se o diedro mede a, então o volume da cunha é</p><p>V</p><p>R</p><p>cunha � �</p><p>�</p><p>4</p><p>3 360</p><p>3� � . A superficie esférica da cunha é chamada de fuso,</p><p>e sua área é S Rfuso � �</p><p>�</p><p>4</p><p>360</p><p>3�</p><p>�</p><p>.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 17</p><p>Geometria espacial</p><p>145IME-ITA – Vol. 5</p><p>Chamam-se de calota e zona as seções da superfície esférica cortados</p><p>por um plano, ou dois planos paralelos, e de segmento esférico o sólido</p><p>obtido entre a superfície e o plano, ou os planos. Veja abaixo:</p><p>r</p><p>Calota de altura h</p><p>2 base de raio r</p><p>Scalota = 2pRh</p><p>V</p><p>h</p><p>R hsegm</p><p>esf</p><p>� �</p><p>� 2</p><p>3</p><p>3( )</p><p>h</p><p>R</p><p>Zona de altura h e</p><p>bases de raios r1 e r2</p><p>Szona = 2pRh</p><p>V</p><p>h r r h</p><p>segm</p><p>esf</p><p>�</p><p>� �� 2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2 23 3</p><p>6</p><p>( )</p><p>h</p><p>r1</p><p>r2</p><p>R</p><p>R</p><p>5. Principais poliedros regulares</p><p>5.1 Tetraedro regular</p><p>É o poliedro formado por 4 faces triangulares regulares. O tetraedro</p><p>admite um centro, que divide uma altura na razão 3:1.</p><p>Valem as seguintes:</p><p>AH</p><p>a a</p><p>� � �</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>,</p><p>Altura do tetraedro: ∆AHD DH a</p><p>a a</p><p>: = −</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> =2</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>6</p><p>3</p><p>Volume: V</p><p>a a a</p><p>� � � �</p><p>1</p><p>3</p><p>3</p><p>4</p><p>6</p><p>6</p><p>2</p><p>12</p><p>2 3</p><p>Área da superfície: S</p><p>a</p><p>a� � �4</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>Diedro entre faces � � �: cos � � � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>HM</p><p>DM</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>arccos</p><p>Ângulo entre aresta e face � � �: cos arccos� � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>AH</p><p>AD</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>Distância entre arestas:</p><p>No � � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �AMN MN AM AN</p><p>a a a</p><p>, 2 2</p><p>2 2</p><p>3</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>R r</p><p>a</p><p>R r</p><p>a</p><p>R</p><p>a</p><p>r</p><p>a</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>6</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>6</p><p>4</p><p>6</p><p>122 2</p><p>2 ,</p><p>¡ =</p><p>a 2</p><p>4</p><p>(metade de MN)</p><p>b a</p><p>A</p><p>B</p><p>M</p><p>C</p><p>D</p><p>N</p><p>5.2 Hexaedro regular (cubo)</p><p>É o poliedro que possui 6 faces quadradas. O cubo admite um centro,</p><p>que é o ponto médio das diagonais.</p><p>Valem as seguintes:</p><p>Volume: V = a3</p><p>Área da Superfícia: S = 6a2</p><p>Diagonal: EC = a 3 (Pitágoras DAEC)</p><p>Raio das esferas:</p><p>R</p><p>a</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>[esfera circuscrita]</p><p>r</p><p>a</p><p>=</p><p>2</p><p>[esfera inscrita]</p><p>¡ =</p><p>a 2</p><p>2</p><p>[esfera medial]</p><p>A B</p><p>C</p><p>G</p><p>F</p><p>H</p><p>E</p><p>R</p><p>O</p><p>r</p><p>D</p><p>¡</p><p>5.3 Octaedro regular</p><p>É o poliedro formado por 8 faces triangulares. O octaedro regular</p><p>possui um centro, que é o ponto médio das diagonais.</p><p>Valem as seguintes:</p><p>Diagonais: AC = BD = ST = a 2</p><p>Volume: V a</p><p>a a</p><p>� � � � �2</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>Área da superfície: S</p><p>a</p><p>a� � �8</p><p>3</p><p>4</p><p>2 3</p><p>2</p><p>2</p><p>Raio das esferas:</p><p>R OS</p><p>a</p><p>= =</p><p>2</p><p>2</p><p>(esfera circunscrita)</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 17</p><p>146 IME-ITA – Vol. 5</p><p>¡ = =OM</p><p>a</p><p>2</p><p>(esfera midial)</p><p>DOMS retângulo em O, SM</p><p>a</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>OS · OM = SM · r ⇒ r</p><p>a</p><p>=</p><p>6</p><p>6</p><p>Altura: h r</p><p>a</p><p>= =2</p><p>6</p><p>3</p><p>A</p><p>O C</p><p>M</p><p>S</p><p>T</p><p>D</p><p>B</p><p>N</p><p>a</p><p>2</p><p>r</p><p>M</p><p>S</p><p>O</p><p>a 2</p><p>2</p><p>a 3</p><p>2</p><p>DOMS:</p><p>6. Mais sobre Volumes</p><p>6.1 Sólidos semelhantes</p><p>Se dois sólidos são semelhantes, então a razão dos volumes é o cubo</p><p>da razão de semelhança, que pode ser calculada como sendo a razão de</p><p>alturas homólogas, arestas homólogas, segmentos homólogos em geral.</p><p>Para sólidos semelhantes, a razão de áreas homólogas é o quadrado da</p><p>razão de semelhança. Estratégia comum em problemas de troncos de</p><p>cone e de pirâmide.</p><p>6.2 Princípio de Cavalieri</p><p>Dados dois sólidos, se existe uma reta tal que, para todo ponto da</p><p>reta, o plano perpendicular à reta por esse ponto determina seções de</p><p>mesma área nos sólidos, então esses sólidos necessariamente têm o</p><p>mesmo volume.</p><p>x</p><p>A B</p><p>r</p><p>SA SB</p><p>Se SA (x) = SB (x) para todo x e r, então VA = VB.</p><p>→	Se um poliedro é circunscritível a uma esfera de raio R, então o volume</p><p>do sólido é dado pela fórmula V S Rtotal� �</p><p>1</p><p>3 , obtido po meio da soma</p><p>de várias pirâmides com vértice no centro da esfera, altura R e base</p><p>em cada face do sólido.</p><p>01 Considere um prisma triangular regular cuja aresta da base mede</p><p>x cm. Sua altura é igual ao menor lado de um triângulo ABC inscritível em</p><p>um círculo de raio x cm. Sabendo-se que o triângulo ABC é semelhante</p><p>ao triângulo de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm, o volume do prisma em cm3 é:</p><p>(A) 32</p><p>.</p><p>3</p><p>x</p><p>(B) 32 2</p><p>5</p><p>x .</p><p>(C) 33 3</p><p>10</p><p>x .</p><p>(D) 33</p><p>10</p><p>x .</p><p>(E) n.d.a.</p><p>02 Seja V o vértice de uma pirâmide com base triangular ABC. O segmento</p><p>AV, de comprimento unitário, é perpendicular à base. Os ângulos das faces</p><p>laterais, no vértice V, são todos de 45 graus. Deste modo, o volume da</p><p>pirâmide será igual a:</p><p>(A) 1</p><p>2 2 2</p><p>6</p><p>− .</p><p>(B) 1</p><p>2 2</p><p>6</p><p>− .</p><p>(C) 1</p><p>2 2</p><p>3</p><p>− .</p><p>(D) 1</p><p>2 2 1</p><p>6</p><p>− .</p><p>(E) n.d.a.</p><p>03 As arestas da base de uma pirâmide triangular medem l cm e as faces</p><p>laterais são triângulos retângulos. O volume dessa pirâmide é:</p><p>(A) 33</p><p>6</p><p></p><p>cm3.</p><p>(B) 33</p><p>12</p><p></p><p>cm3.</p><p>(C) 33</p><p>24</p><p></p><p>cm3.</p><p>(D) 32</p><p>12</p><p></p><p>cm3.</p><p>(E) n.d.a.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 17</p><p>Geometria espacial</p><p>147IME-ITA – Vol. 5</p><p>04 Considere a região do plano cartesiano xy definida pela desigualdade</p><p>+ − + + ≤2 2 2 4 4 0x y x y . Quando essa região rodar um ângulo de</p><p>3</p><p>π</p><p>radianos em torno da reta y + x + 1 = 0, ela irá gerar um sólido cujo</p><p>volume é igual a:</p><p>(A)</p><p>4</p><p>3</p><p>π</p><p>.</p><p>(B) 2</p><p>3</p><p>π .</p><p>(C)</p><p>3</p><p>π</p><p>.</p><p>(D)</p><p>4</p><p>9</p><p>π</p><p>.</p><p>(E) n.d.a.</p><p>05 Num cone de revolução, o perímetro da seção meridiana mede 18 cm</p><p>e o ângulo do setor circular mede 288 graus. Considerando o tronco de</p><p>cone cuja razão entre as bases é 4/9, então sua área total mede:</p><p>(A) 216 cm .π</p><p>(B) 2308</p><p>cm .</p><p>9</p><p>π</p><p>(C) 2160</p><p>cm .</p><p>3</p><p>π</p><p>(D) 2100</p><p>cm .</p><p>9</p><p>π</p><p>(E) n.d.a.</p><p>06 Uma seção plana que contém o eixo de um tronco de cilindro é um</p><p>trapézio cujas bases menor e maior medem, respectivamente, h cm e H</p><p>cm. Duplicando-se a base menor, o volume sofre um acréscimo de 1/3</p><p>em relação ao seu volume original. Deste modo:</p><p>(A) 2H = 3h.</p><p>(B) H = 2h.</p><p>(C) H = 3h.</p><p>(D) 2H = 5h.</p><p>(E) n.d.a.</p><p>07 Um cone de revolução está circunscrito a uma esfera de raio R cm.</p><p>Se a altura do cone for igual ao dobro do raio da base, então a área de</p><p>sua superfície lateral mede:</p><p>(A)</p><p>( )2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 5</p><p>cm</p><p>4</p><p>Rπ +</p><p>.</p><p>(B)</p><p>( )2</p><p>2</p><p>2</p><p>5 1 5</p><p>cm</p><p>4</p><p>Rπ +</p><p>.</p><p>(C)</p><p>( ) 2</p><p>2</p><p>1 5</p><p>cm</p><p>4</p><p>Rπ +</p><p>.</p><p>(D) ( )2</p><p>2 21 5 cmRπ + .</p><p>(E) n.d.a.</p><p>08 A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4 m e</p><p>de área da base 64 m2 vale, em m2:</p><p>(A) 128.</p><p>(B) 64 2 .</p><p>(C) 135.</p><p>(D) 60 5 .</p><p>(E) ( )32 2 1+ .</p><p>09 São dados dois cubos, I e II, de áreas totais S1 e S2 e de diagonais d1</p><p>e d2, respectivamente. Sabendo-se que S1– S2 = 54 m2 e que d2 = 3 m,</p><p>então o valor da razão d1 / d2 é:</p><p>(A) 3/2.</p><p>(B) 5/2.</p><p>(C) 2.</p><p>(D) 7/3.</p><p>(E) 3.</p><p>10 Sabendo-se que um cone circular reto tem 3 dm de raio e 15p dm2</p><p>de área lateral, o valor de seu volume em dm3 é:</p><p>(A) 9p.</p><p>(B) 15p.</p><p>(C) 36p.</p><p>(D) 20p.</p><p>(E) 12p.</p><p>11 Um prisma regular hexagonal tem como altura o dobro da aresta da</p><p>base. A razão entre o volume deste prisma e o volume do cone reto, nele</p><p>inscrito, é igual a:</p><p>(A) 6 2</p><p>π</p><p>.</p><p>(B) 9 2</p><p>π</p><p>.</p><p>(C) 3 6</p><p>π</p><p>.</p><p>(D) 6 3</p><p>π</p><p>.</p><p>(E) 9 3</p><p>π</p><p>.</p><p>12 Um tetraedro regular tem área total igual a 6 30 3 cm2. Então, sua altura,</p><p>em cm, é igual a:</p><p>(A) 2.</p><p>(B) 3.</p><p>(C) 2 2 .</p><p>(D) 3 2 .</p><p>(E) 2 3 .</p><p>13 Num cilindro circular</p><p>reto, sabe-se que a altura h e o raio da base r</p><p>são tais que os números p, h e r formam, nesta ordem, uma progressão</p><p>aritmética de soma 6p. O valor da área total desse cilindro é:</p><p>(A) p3.</p><p>(B) 2 p2.</p><p>(C) 15 p3.</p><p>(D) 20 p3.</p><p>(E) 30 p3.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 17</p><p>148 IME-ITA – Vol. 5</p><p>14 Um tronco de pirâmide regular tem como bases triângulos equiláteros,</p><p>cujos lados medem, respectivamente, 2 cm e 4 cm. Se a aresta lateral do</p><p>tronco mede 3 cm, então o valor de sua altura h, em cm, é tal que:</p><p>(A) 7 8h< < .</p><p>(B) 6 7h< < .</p><p>(C) 2 3 3 3h< < .</p><p>(D) 1 2h< < .</p><p>(E) 2 2 3 2h< < .</p><p>15 Um cone reto tem altura 12 cm e raio da base 5 cm. O raio da esfera</p><p>inscrita neste cone mede, em cm:</p><p>(A) 10/3.</p><p>(B) 4/4.</p><p>(C) 12/5.</p><p>(D) 3.</p><p>(E) 2.</p><p>16 O raio de um cilindro de revolução mede 1,5 m. Sabe-se que a área da</p><p>base do cilindro coincide com o a área da secção determinada por um plano</p><p>que contém o eixo do cilindro. Então, a área total do cilindro, em m2, vale:</p><p>(A) 27 3 .</p><p>(B) ( )9 2</p><p>4</p><p>π π +</p><p>.</p><p>(C) ( )2π π + .</p><p>(D) 54 3 .</p><p>(E)</p><p>( )3 1</p><p>2</p><p>π π +</p><p>.</p><p>17 Dado o prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3 cm</p><p>e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume desse</p><p>prisma, em cm3, é:</p><p>(A) 27 3 .</p><p>(B) 13 2 .</p><p>(C) 12 3 .</p><p>(D) 54 3 .</p><p>(E) 17 5 .</p><p>18 Dada uma pirâmide triangular, sabe-se que sua altura mede 3a cm,</p><p>onde a é a medida da aresta de sua base. Então, a área total dessa pirâmide,</p><p>em cm2, vale:</p><p>(A)</p><p>2 327</p><p>4</p><p>a .</p><p>(B)</p><p>2 109</p><p>2</p><p>a .</p><p>(C)</p><p>2 3</p><p>2</p><p>a .</p><p>(D)</p><p>( )2 3 2 33</p><p>2</p><p>a +</p><p>.</p><p>(E)</p><p>( )2 3 1 109</p><p>4</p><p>a +</p><p>.</p><p>19 A altura e o raio da base de um cone de revolução medem 1 cm e 5</p><p>cm respectivamente. Por um ponto do eixo do cone situado a d cm de</p><p>distância do vértice, traçamos um plano paralelo à base, obtendo um</p><p>tronco de cone. O volume desse tronco é a média geométrica entre os</p><p>volumes do cone dado e do cone menor formado. Então, d é igual a:</p><p>(A) 3</p><p>2 3</p><p>3</p><p>−</p><p>.</p><p>(B) 3</p><p>3 5</p><p>2</p><p>− .</p><p>(C)</p><p>3 2</p><p>2</p><p>−</p><p>.</p><p>(D) 3 2</p><p>2</p><p>− .</p><p>(E) 3 3</p><p>3</p><p>− .</p><p>20 Dentro de um tronco de pirâmide quadrangular regular, considera-se</p><p>uma pirâmide regular cuja base é a base maior do tronco e cujo vértice</p><p>é o centro da base menor do tronco. As arestas das bases medem a cm</p><p>e 2a cm. As áreas laterais do tronco e da pirâmide são iguais.</p><p>A altura (em cm) do tronco mede:</p><p>(A) 3</p><p>5</p><p>a .</p><p>(B)</p><p>35</p><p>10</p><p>a</p><p>.</p><p>(C)</p><p>3</p><p>2 5</p><p>a</p><p>.</p><p>(D)</p><p>35</p><p>10</p><p>a</p><p>.</p><p>(E)</p><p>7</p><p>5</p><p>a .</p><p>21 Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces triangulares</p><p>e quadrangulares. Seccionando-o por um plano convenientemente</p><p>escolhido, dele se destaca um novo poliedro convexo, que possui apenas</p><p>faces quadrangulares. Esse novo poliedro possui um vértice a menos que</p><p>o original e uma face a mais que o número de faces quadrangulares do</p><p>original. Sendo m e n, respectivamente, o número de faces e o número</p><p>de vértices do poliedro original, então:</p><p>(A) m = 9, n = 7.</p><p>(B) m = n = 9.</p><p>(C) m = 8, n = 10.</p><p>(D) m = 10, n = 8.</p><p>(E) m = 7, n = 9.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 17</p><p>Geometria espacial</p><p>149IME-ITA – Vol. 5</p><p>22 Considere um cone circular reto cuja geratriz mede 5 cm e o</p><p>diâmetro da base mede 2 cm. Traçam-se n planos paralelos à base do</p><p>cone, que o seccionam determinando n + 1 cones, incluindo o original, de</p><p>modo que a razão entre os volumes do cone maior e do cone menor é 2.</p><p>Os volumes desses cones formam uma progressão aritmética crescente</p><p>cuja soma é igual a 2p, então, o volume, em cm3, do tronco de cone</p><p>determinado por 2 planos consecutivos é igual a:</p><p>(A)</p><p>33</p><p>π .</p><p>(B) 2</p><p>33</p><p>π .</p><p>(C)</p><p>9</p><p>π</p><p>.</p><p>(D) 2</p><p>15</p><p>π .</p><p>(E)	 π</p><p>23 Num cone circular reto, a altura é a média geométrica entre o raio da</p><p>base e a geratriz. A razão entre a altura e o raio da base é:</p><p>(A) 1 5</p><p>2</p><p>+ .</p><p>(B) 5 1</p><p>2</p><p>− .</p><p>(C) 5 1</p><p>2</p><p>− .</p><p>(D)</p><p>3 5 1</p><p>3</p><p>− .</p><p>(E) 5 1</p><p>2</p><p>+ .</p><p>24 Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares</p><p>e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de</p><p>faces triangulares e o número total de faces formam, nessa ordem, uma</p><p>progressão aritmética. O número de arestas é:</p><p>(A) 10.</p><p>(B) 17.</p><p>(C) 20.</p><p>(D) 22.</p><p>(E) 23.</p><p>25 Um triedro trirretângulo é cortado por um plano que intercepta as</p><p>três arestas, formando um triângulo com lados medindo 8 cm, 10 cm e</p><p>12 cm. O volume em m3 do sólido formado é</p><p>(A) 15 6 .</p><p>(B) 5 30 .</p><p>(C) 6 15 .</p><p>(D) 30 6 .</p><p>(E) 45 6 .</p><p>26 Um cone circular reto com altura de 8 cm e raio da base de 2 cm</p><p>está inscrito numa esfera que, por sua vez, está inscrita num cilindro. A</p><p>razão entre as áreas das superfícies totais do cilindro e do cone é igual a:</p><p>(A) ( )3</p><p>2 1</p><p>2</p><p>− .</p><p>(B) ( )9</p><p>2 1</p><p>4</p><p>− .</p><p>(C) ( )9</p><p>6 1</p><p>4</p><p>− .</p><p>(D) ( )27</p><p>3 1</p><p>8</p><p>− .</p><p>(E) ( )27</p><p>3 1</p><p>16</p><p>− .</p><p>27 Um cilindro circular reto é seccionado por um plano paralelo ao seu</p><p>eixo. A secção fica a 5 cm do eixo e separa na base um arco de 120 graus.</p><p>Sendo 30 3 cm2 a área da secção plana regular, então o volume da parte</p><p>menor do cilindro seccionado mede, em cm3:</p><p>(A) 30 10 3π −</p><p>(B) 30 20 3π −</p><p>(C) 20 10 3π −</p><p>(D) 50 25 3π −</p><p>(E) 100 75 3π −</p><p>28 Considere uma pirâmide regular com altura de</p><p>3</p><p>6</p><p>9</p><p>cm. Aplique a essa</p><p>pirâmide dois cortes planos e paralelos à base de tal maneira que a nova</p><p>pirâmide e os dois troncos tenham, os três, o mesmo volume. A altura do</p><p>tronco cuja base é a base da pirâmide original, em cm, é igual a:</p><p>(A) ( )3 32 9 6− .</p><p>(B) ( )3 32 6 2− .</p><p>(C) ( )3 32 6 3− .</p><p>(D) ( )3 32 3 2− .</p><p>(E) ( )3 32 9 3− .</p><p>29 A razão entre a área da base de uma pirâmide regular de base quadrada</p><p>e a área de uma das faces é 2. Sabendo que o volume da pirâmide é de</p><p>12 m3, temos que a altura da pirâmide mede (em metros):</p><p>(A) 1.</p><p>(B) 2.</p><p>(C) 3.</p><p>(D) 4.</p><p>(E) 5.</p><p>30 O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura</p><p>e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128p m3, temos</p><p>que o raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros:</p><p>(A) 9 e 8.</p><p>(B) 8 e 6.</p><p>(C) 8 e 7.</p><p>(D) 9 e 6.</p><p>(E) 10 e 8.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 17</p><p>150 IME-ITA – Vol. 5</p><p>31</p><p>a. Prove que o traço da reta perpendicular ao plano do triângulo seção de</p><p>um triedro tri-retângulo é o ortocentro desse.</p><p>b. Prove que a soma dos quadrados das áreas dos triângulos retângulos do</p><p>item “a” é igual ao quadrado da área do triângulo seção ao triedro.</p><p>32 Prove que a projeção do ângulo reto é outro ângulo reto se e só se um</p><p>dos lados for paralelo ao plano de projeção.</p><p>33 Prove que o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos vértices de um</p><p>triângulo é uma reta perpendicular ao plano desse, contendo o circuncentro.</p><p>34 Prove que a seção perpendicular à diagonal de um cubo que dista 3</p><p>9</p><p>a</p><p>do centro do cubo é um hexágono.</p><p>35 Calcule a distância entre uma diagonal do cubo e uma diagonal de face</p><p>reversa, sendo a a aresta.</p><p>36 Determine a área de uma seção ao octaedro de aresta a que contém uma</p><p>aresta e centro de uma face não coplanar a essa.</p><p>37 Calcule o volume de um tronco de cone de primeira e de segunda espécie,</p><p>em função da altura e dos raios R e r das bases.</p><p>38 Calcule o volume de um segmento esférico, cuja altura é 2/3 do raio, bem</p><p>como a área de sua calota.</p><p>39 Sejam dois quadrados ABCD e ABEF tendo um lado comum AB, mas não</p><p>situados num mesmo plano. Sejam M e N pertencentes, respectivamente, às</p><p>diagonais AC e BF tais que 1</p><p>3</p><p>AM BN</p><p>AC BF</p><p>= = . Mostre que MN é paralelo a DE.</p><p>40 Seja um cone reto de base circular, vértice V, altura h e raio da base r e</p><p>seja ABC um triângulo equilátero circunscrito à base do cone. Pede-se:</p><p>a. Determinar a relação entre h e r para que o tetraedro, com vértices VABC,</p><p>seja regular.</p><p>b. Satisfeitas essas condições, calcule, em função de r, o volume limitado</p><p>pela superfície do cone, pelo plano de sua base e pelos dois planos</p><p>tangentes que passam pela aresta VA.</p><p>41 Dados:</p><p>I. Um cone de revolução com vértice S e cuja base circular está situada em</p><p>um	plano	π.</p><p>II. Um ponto P	exterior	ao	cone	e	não	pertencente	a	π.</p><p>Pede-se: determinar, pelo ponto P, os planos tangentes ao cone.</p><p>42 Seis esferas idênticas de raio R encontram-se posicionadas no espaço</p><p>de tal forma que cada uma delas seja tangente</p><p>a quatro esferas. Dessa forma,</p><p>determine a aresta do cubo que tangencie todas as esferas.</p><p>43 Determine os números naturais n para os quais existem poliedros convexos</p><p>de n arestas.</p><p>44 Considere uma esfera inscrita e tangente à base de um cone de revolução.</p><p>Um cilindro está circunscrito à esfera de tal forma que uma de suas bases</p><p>está apoiada na base do cone. Seja V1 o volume do cone e V2 o volume do</p><p>cilindro. Encontre o menor valor da constante k para o qual V1 = kV2.</p><p>Sugestão: Considere o ângulo formado pelo diâmetro da base e a geratriz do</p><p>cone em uma das extremidades desse diâmetro.</p><p>45 Considere o cubo de bases ABCD e EFGH, e arestas AE, BF, CG e DH.</p><p>Sejam as arestas iguais a 3 m e os ponto M, N e P marcados de forma que:</p><p>M ∈ AD, tal que AM = 2 m</p><p>N ∈ AB, tal que AN = 2 m</p><p>P ∈ BF, tal que BP = 0,5 m</p><p>Calcule o perímetro da seção que o plano MNP determina no cubo.</p><p>46 Uma piscina de base retangular tem, em metros, as seguintes dimensões:</p><p>base, 5 x 6 e altura, 3. Dois terços do volume da piscina são ocupados por</p><p>água. Na superfície superior da água, forma-se uma pequena bolha de ar, que</p><p>está equidistante das paredes de 5 m de base. Em relação às paredes de 6</p><p>m de base, sua posição é tal que a distância a uma das paredes é o dobro da</p><p>distância à outra.</p><p>Estabeleça um sistema de coordenadas retangulares que tenha como origem</p><p>um dos cantos interiores da piscina e como um dos planos coordenados a</p><p>parede de base de 6 m mais próxima da bolha. Em relação a esse sistema,</p><p>determine as coordenadas retangulares do ponto em que se encontra a bolha</p><p>de ar.</p><p>47 As arestas laterais de uma pirâmide regular com n faces têm medida l.</p><p>Determine:</p><p>I. a expressão do raio do círculo circunscrito à base, em função de l, de</p><p>modo que o produto do volume da pirâmide pela sua altura seja máximo</p><p>II. a expressão do produto máximo em função de l e n.</p><p>48 Sejam r, s e t três retas paralelas não coplanares. São marcados sobre</p><p>r dois pontos A e A’, sobre s os pontos B e B’ e sobre t os pontos C e C’, de</p><p>modo que os segmentos, 'AA a= , 'BB b= , 'CC c= tenham o mesmo</p><p>sentido.</p><p>a. Mostre que se G e G’ são os baricentros dos triângulos ABC e A’ B’ C’,</p><p>respectivamente, então 'GG é paralelo às três retas.</p><p>b. Determine 'GG em função de a, b e c.</p><p>49 Um cone e um cilindro circulares retos têm uma base comum e o vértice</p><p>do cone se encontra no centro da outra base do cilindro. Determine o ângulo</p><p>formado pelo eixo e sua geratriz, sabendo-se que a razão entre a área total do</p><p>cilindro e a área total do cone é 7/4.</p><p>50 Seja uma pirâmide regular de vértice V e base quadrangular ABCD. O</p><p>lado da base da pirâmide mede l e a aresta lateral l. Corta-se essa pirâmide</p><p>por um plano que contém o vértice A, é paralelo à reta BD, e contém o ponto</p><p>médio da aresta VC. Calcule a área da seção determinada pela interseção</p><p>do plano com a pirâmide.</p><p>51 	Em	um	plano	(π)	dá-se	uma	circunferência	(C) de centro O e raio r.</p><p>Por um ponto A pertencente a (c),	tira-se	a	perpendicular	a	(π)	e	marca-se</p><p>AV x= , V acima	de	(π).</p><p>a. Seja BD um diâmetro de (C): mostre que no tetraedro VABD os três pares</p><p>de retas que ligam os meios das arestas opostas concorrem em um ponto,</p><p>ponto esse que permanece fixo quando BD gira em torno de O.</p><p>b. Mostre que as arestas opostas de VABD são perpendiculares duas a duas.</p><p>c. Ache o lugar geométrico do pé da altura tirada de V no triângulo VBD,</p><p>quando BD gira em torno de O.</p><p>d. Determine o centro e o raio da esfera circunscrita ao tetraedro VABD</p><p>em função de r e x.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 17</p><p>Geometria espacial</p><p>151IME-ITA – Vol. 5</p><p>52 Considera-se um quadrado ABCD	 per tencente	 a	 um	 plano	 (π).</p><p>Traçam-se	pelos	quatros	vértices	perpendiculares	ao	plano	(π).	Sobre	o</p><p>prolongamento de DA (no sentido de D para A), marca-se, a partir de A,</p><p>um segmento AI igual a a e sobre o prolongamento de CB (no sentido</p><p>de CB), marca-se a partir de B, um segmento BJ , igual a b, tal que a ></p><p>b. Um plano qualquer, passando por IJ, corta as perpendiculares ao plano</p><p>(p), formando um quadrilátero A1B1C1D1(A1 correspondendo a A, B1 a B1,</p><p>C1 a C e D1 a D).</p><p>a. Determine a natureza do quadrilátero A1B1C1D1 e estabeleça a relação</p><p>existente entre as razões 1 1e</p><p>AA BB</p><p>a b</p><p>.</p><p>b. Supondo as razões iguais a k e AB</p><p>—</p><p>igual a unidade, calcule os lados</p><p>e as diagonais do quadrilátero em função de k, a e b.</p><p>53 Sejam (k) e (k’) os círculos das bases e O o centro do cilindro de raio</p><p>R e altura h. No círculo (k), inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Um</p><p>ponto A’, pertencente ao círculo (k’), projeta-se paralelamente ao eixo do</p><p>cilindro, em um ponto D do arco de (k’ que subentende BC).</p><p>Determine a posição de A’ para que a área do triângulo A’BC seja máxima,</p><p>e nessa posição de A’ calcule a distância de O (centro do cilindro) ao</p><p>plano de A’BC.</p><p>54 São dadas duas superfícies cônicas de revolução, congruentes e de</p><p>eixos paralelos. Seccionam-se essas duas superfícies por dois planos p e</p><p>π’,	perpendiculares	ao	eixo	de	revolução,	passando	cada	qual	pelo	vértice</p><p>de uma das superfícies. Designam-se por (C) e (C’) os cones resultantes</p><p>situados entre os dois planos. Seja h a distância entre p e p’. Cortam-se</p><p>(C) e (C’) por um terceiro plano δ, paralelo a p e p’, a uma distância variável</p><p>x de p.</p><p>a. Mostre que a soma dos perímetros das seções (k) e (k’), determinadas</p><p>por δ em (C) e (C’) é constante.</p><p>b. Determine x de forma que a soma das áreas das duas seções (k) e</p><p>(k’) seja igual ao produto de um número real m pela área da base de</p><p>um dos cones (C) ou (C’). Entre que valores poderá variar m?</p><p>55 Uma pirâmide de vértice V e base ABCD constitui a metade de um</p><p>octaedro regular de aresta a.</p><p>a. Determine em função de a os raios das esferas medial (esfera</p><p>que passa pelos dois pontos médios das arestas deste poliedro),</p><p>circunscrita e inscrita.</p><p>b. Marcam-se sobre VA e VB os segmentos VA’ = VB’ = x; marcam-se</p><p>sobre VC e VD os segmentos VC’ = VD’ = y. Supõe-se que x e y</p><p>variam sob a condição de x + y = a. Determine x e y, em função de</p><p>a, de forma que a área do quadrilátero A’B’C’D’ seja igual a</p><p>2</p><p>4</p><p>a</p><p>.</p><p>56 Um triângulo equilátero ABC, de lado a, gira em torno de um eixo XX’</p><p>de seu plano, passando por A sem atravessar o triângulo. Sendo S a área</p><p>total da superfície gerada pelo triângulo e designado por θ, o ângulo XAB,</p><p>pede-se determinar os valores de θ para que:</p><p>a. S seja máximo.</p><p>b. S seja mínimo.</p><p>c. S	=	3π	a2.</p><p>d. Descreva o sólido obtido em cada um dos três casos.</p><p>57 Um paralelepípedo tem a base ABCD sobre um plano horizontal e as</p><p>arestas verticais são AA’, BB’, CC’ e DD’. As três arestas concorrentes AB = a,</p><p>AD = b e AA’ = c formam um triedro tri-retângulo, sendo a > b > c. Um plano</p><p>secante corta a aresta AB em seu ponto médio M, a aresta BB’ no ponto N, tal</p><p>que</p><p>' 1</p><p>3</p><p>NB</p><p>NB</p><p>= e a aresta B’C’ em P, tal que B’P = x, com 0 < x < b. Pede-se</p><p>estudar a forma das seções obtidas pelo plano secante MNP no paralelepípedo,</p><p>quando a distância x varia nas condições dadas.</p><p>58 São dados um cone de revolução de vértices V, cuja geratriz faz com</p><p>o eixo do cone um ângulo b e uma elipse de semi-eixos a e b.</p><p>a. Mostre que essa elipse pode ser sempre obtida como seção plana do</p><p>cone dado.</p><p>b. Sendo AB o traço do plano secante com o plano meridiano AVB, que</p><p>lhe é perpendicular, demonstre a relação VA · VB = b2cosec2 b.</p><p>59 Determine o lugar geométrico do vértice V de um triedro, cujas faces</p><p>medem 60º cada e cujas arestas tangenciam uma esfera (E) dada, de raio</p><p>r e centro O.</p><p>60 Dada uma pirâmide hexagonal regular de vértice V e base ABCDEF, de</p><p>lado da base igual a l e altura h, determine em função de l e h, a posição</p><p>do centro da esfera que é tangente às doze arestas da pirâmide.</p><p>61 	Em	um	plano	π	dá-se	uma	circunferência	de	centro	O e raio r, um</p><p>ponto fixo A sobre ela e um diâmetro variável BC tal que o ângulo ABC</p><p>seja igual a θ ( )0 2≤ θ ≤ π . Sobre a perpendicular a p em A, marca-se</p><p>um ponto V tal que AV = 2r. Considera-se o tetraedro ABCV.</p><p>a. Calcule, em função</p><p>de r e θ, as arestas do tetraedro.</p><p>b. Mostre que a soma dos quadrados dessas arestas é constante quando</p><p>θ varia.</p><p>c. Qual o lugar geométrico do ponto H de p, pé da altura VH do triângulo</p><p>VBC?</p><p>d. Para que a posição de BC a área do triângulo VBC é máxima e qual o</p><p>valor desse máximo?</p><p>e. Calcule, em função de θ, a tangente a, em que a é igual ao ângulo VHA.^</p><p>f. Deduza o valor de θ que corresponde ao mínimo do diedro de aresta BC.</p><p>g. Calcule θ para que se tenha tangente a igual a / 3 .4</p><p>62 Dá-se um plano p e dois pontos A e B não pertencentes a p, situados</p><p>em um mesmo semi-espaço de p, sendo:</p><p>I. AB = l.</p><p>II. a e b as cotas de A e B em relação a p.</p><p>III. a < b.</p><p>Determine um triângulo ABC isósceles, retângulo em C, tal que o vértice C</p><p>pertença ao plano p. Discuta a possibilidade da existência desse triângulo</p><p>e o número de soluções.</p><p>63 Dá-se um plano horizontal p, um de seus pontos e a vertical em O, OV.</p><p>A cada ponto P de p faz-se corresponder um ponto P1 sobre a vertical em P,</p><p>tal que PP1/OP = k (constante). Com essa correspondência transforma-se</p><p>em uma superfície (S).</p><p>a. Deduza a natureza de (S), as seções de (S) por planos passando por</p><p>OV e as seções de (S) por planos perpendiculares a OV.</p><p>b. De um ponto Q fixo sobre OV tal que OQ = h, traça-se uma</p><p>perpendicular sobre OP1: considere-se a esfera (E) de centro Q e raio</p><p>QN (N é o pé da perpendicular sobre OP1). Determine a curva comum</p><p>a (E) e a (S) e calcule o volume compreendido entre (E) e (S).</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 17</p><p>152 IME-ITA – Vol. 5</p><p>64 Seja um paralelepípedo retângulo de bases ABCD e A’B’C’D’, cujas</p><p>arestas AA’, BB’, CC’ e DD’ tenham por comprimento h e os lados da base</p><p>sejam, respectivamente, AB = a e AD = b.</p><p>Por DD’ considere dois planos DD’MM’ e DD’NN’.</p><p>a. Determine as distâncias AM = x e CN = y para que esses dois planos</p><p>dividam o paralelepípedo em 3 partes de mesmo volume.</p><p>b. Determine a razão entre os volumes dos sólidos MBNM’B’N e</p><p>MDNM’D’N.</p><p>c. Encontre a relação entre a e b, que estabeleça a condição necessária</p><p>e suficiente para que o diedro de arestas MM’, cujas faces passem</p><p>por DD’ e NN’, seja reto.</p><p>65 Seja um triângulo ABC retângulo em A. Por B, traça-se uma reta</p><p>perpendicular ao plano do triângulo. Sobre essa, fixa-se um ponto S. Por B,</p><p>passa-se um plano que intercepta SC. O plano corta AS em A’. Demonstre</p><p>que os cinco pontos A, B, C, A’ e C’ pertencem a uma mesma esfera.</p><p>66 Dadas duas esferas de raios respectivamente iguais a R e r, tangentes</p><p>exteriores, e um cone circunscrito a elas, calcule a área da superfície lateral</p><p>do tronco de cone que tenha por bases os círculos de contato das esferas</p><p>com o cone.</p><p>67 Dado um tronco de pirâmide triangular de bases paralelas, demonstre</p><p>que as retas que ligarem os vértices da base inferior aos pontos médios</p><p>dos lados opostos da base superior são concorrentes.</p><p>68 Num plano p tem-se um retângulo ABCD de dimensões AB = 2a e</p><p>AD = a. Considere-se a superfície prismática, cujas arestas são as retas</p><p>perpendiculares a p, passando por A, B, C, D e um ponto C’, sobre a aresta</p><p>traçada por C, tal que CC’ = b.</p><p>Seccionando-se esta superfície por um plano passando por AC’,</p><p>a. mostre que é possível obter-se para seção plana um losango AB’C’D’,</p><p>onde B’ e D’ são pontos da arestas que passam respectivamente por</p><p>B e D.</p><p>b. determine, em função de a e b, uma condição necessária e suficiente</p><p>para que o losango esteja situado em um mesmo semiespaço em</p><p>relação ao plano p .</p><p>c. Calcule o volume do tronco de prisma ABCDB’C’D’, supondo satisfeitas</p><p>as condições do item anterior.</p><p>69 Dada uma pirâmide hexagonal regular de vértice V e base ABCDEF,</p><p>de lado da base igual a l e altura h:</p><p>a. Mostre que existem duas esferas tangentes aos planos das faces</p><p>dessa pirâmide.</p><p>b. Calcule os raios dessas esferas.</p><p>c. Mostre que o produto desses raios independe de h.</p><p>70 Secciona-se um cubo de aresta a por planos passando pelos pontos</p><p>médios das arestas concorrentes em cada vértice. Considere o sólido</p><p>formado ao retirar-se as oito pirâmides obtidas.</p><p>Calcule a soma das arestas, a área e o volume desse sólido.</p><p>71 Considere um semicírculo de diâmetro AB = 2R. Por A, traça-se</p><p>uma reta que forma um ângulo de 30° com o diâmetro AB e que corta o</p><p>semicírculo em C. Por C, traça-se a tangente ao semicírculo, que intersecta</p><p>a reta que contém AB no ponto D.</p><p>Fazendo-se uma rotação em torno da reta que contém AB, o semicírculo</p><p>gera uma esfera E e o triângulo ACD gera um sólido S.</p><p>a. Calcule o volume desse sólido S em função do raio R.</p><p>b. Seja M um ponto sobre AB tal que AM = R/3. Considere um plano p</p><p>passando por M e perpendicular à reta AB, seccionando a esfera E e</p><p>o sólido S. Calcule a razão entre as áreas dessas duas seções.</p><p>72 Dadas duas retas reversas r e s ortogonais e sua perpendicular</p><p>comum t, que corta r em I e s em K, considere um segmento AB, de</p><p>comprimento constante, que se move apoiando suas extremidades A e</p><p>B, respectivamente, sobre r e s. Unindo-se A a K e I a B, forma-se um</p><p>tetraedro variável ABIK.</p><p>a. Demonstre que a soma dos quadrados das arestas desse tetraedro é</p><p>constante.</p><p>b. Calcule o raio da esfera circunscrita ao tetraedro, em função da</p><p>distância AB.</p><p>73 	Considere	as	esferas	cuja	interseção	com	o	plano	π	é	o	círculo	fixo	C.</p><p>Seja r uma reta do plano p, exterior ao círculo. Determine o lugar geométrico</p><p>dos pontos de contato dos planos tangentes a tais esferas e que contém</p><p>a reta r.</p><p>74 Mostre que a área total do cilindro equilátero inscrito em uma esfera é</p><p>a média geométrica entre a área da esfera e a área total do cone equilátero</p><p>inscrito nessa esfera.</p><p>75 Seja ABC um triângulo retângulo isósceles, com AB = AC = a. Sejam</p><p>BB’ e CC’ dois segmentos de comprimento a, perpendiculares ao plano</p><p>ABC e situados no mesmo semiespaço, em relação a esse plano:</p><p>a. calcule a área total da pirâmide de vértice A e base BCC’B’.</p><p>b. calcule o volume dessa pirâmide.</p><p>c. mostre que os pontos A, B, C, C’ e B’ pertencem a uma esfera.</p><p>d. determine o centro e o raio dessa esfera.</p><p>76 Seja ABCD um tetraedro regular de aresta a. Seja O baricentro da face</p><p>ABC. Efetua-se uma translação do tetraedro igual a</p><p>2</p><p>AO</p><p></p><p>, obtendo-se um</p><p>novo tetraedro A’B’C’D’.</p><p>a. Determine o volume da esfera inscrita no sólido comum aos tetraedros</p><p>ABCD e A’B’C’D’.</p><p>b. Determine o volume da esfera circunscrita a esse sólido.</p><p>77 Considere uma esfera de raio R. Determine a figura geométrica à qual</p><p>pertence o lugar geométrico dos vértices dos triedros nos quais as três</p><p>arestas são tangentes a essa esfera e formam, duas a duas, ângulos de 60º.</p><p>78 Dois círculos de raios R e r são, ao mesmo tempo, bases de um tronco</p><p>de cone e bases de dois cones opostos de mesmo vértice e mesmo eixo.</p><p>Seja k a razão entre o volume do tronco e a soma dos volumes dos dois</p><p>cones opostos e seja m a razão R/r. Determine m em função de k.</p><p>79 Seja um segmento fixo OA de comprimento a e uma semireta variável</p><p>Ox, tal que AÔ x = a, o ângulo agudo, pertencentes a um plano fixo p. Seja</p><p>a perpendicular ao plano p em A e seja B pertencente a essa perpendicular</p><p>tal que AB = a. Seja C o pé da perpendicular traçada de B sobre Ox.</p><p>Pedidos:</p><p>a. Qual a propriedade comum a todas as faces do tetraedro OABC?</p><p>b. Calcule o comprimento das seis arestas de OABC em função de a e a.</p><p>c. Calcule o volume V do tetraedro em função de a e a.</p><p>d. Determine a de modo que</p><p>3 3</p><p>24</p><p>a</p><p>V = (existem dois valores).</p><p>e. Determine o volume comum aos dois sólidos encontrados no item</p><p>anterior.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 17</p><p>Geometria espacial</p><p>153IME-ITA – Vol. 5</p><p>80 Prove que a seção transversal ao cone de revolução que faz ângulo</p><p>com o eixo desse maior do que o ângulo que a geratriz faz com esse eixo</p><p>é uma elipse.</p><p>81 Prove que a seção ao cone de revolução paralela a uma geratriz é uma</p><p>parábola.</p><p>82 Determine a distância entre uma reta tangente ao círculo da base do</p><p>cone e uma geratriz do mesmo, que não contenha o ponto de tangência,</p><p>em função do raio do círculo da base, da altura e do ângulo central</p><p>que</p><p>compreende o arco determinado pelo ponto de tangência e o ponto da</p><p>geratriz pertencente ao círculo da base.</p><p>83 Considere um paralelepípedo reto. Prove que se existe um plano que o</p><p>secciona em um hexágono regular, então esse paralelepípedo é um cubo.</p><p>84 (ITA) Das afirmações:</p><p>I. Duas retas coplanares são concorrentes.</p><p>II. Duas retas que não têm ponto em comum são reversas.</p><p>III. Dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos</p><p>paralelos, cada um contendo uma das retas.</p><p>IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso definem um</p><p>paralelogramo,</p><p>é (são) verdadeira(s) apenas</p><p>(A) III.</p><p>(B) I e III.</p><p>(C) II e III.</p><p>(D) III e IV.</p><p>(E) I e II e IV.</p><p>85 Um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo de vértice</p><p>V, determinando um triângulo ABC, cujos lados medem, respectivamente,</p><p>10,  17  5 cme . O volume, em cm3, do sólido VABC é</p><p>(A) 2.</p><p>(B) 4.</p><p>(C) 17 .</p><p>(D) 6 .</p><p>(E) 5 10 .</p><p>86 No sistema xOy os pontos A = (2, 0), B = (2, 5) e C = (0, 1) são</p><p>vértices de um triângulo inscrito na base de um cilindro circular reto de</p><p>altura 8. Para esse cilindro, a razão</p><p>volume</p><p>,</p><p>área total da superfície</p><p>em unidade</p><p>de comprimento, é igual a:</p><p>(A) 1.</p><p>(B)</p><p>105</p><p>.</p><p>10</p><p>(C)</p><p>10</p><p>.</p><p>11</p><p>(D)</p><p>100</p><p>.</p><p>115</p><p>(E)</p><p>5</p><p>.</p><p>6</p><p>87 Seja ABCDEFGH um paralelepípedo de bases retangulares ABCD e</p><p>EFGH, em que A, B, C e D são, respectivamente, as projeções ortogonais</p><p>de E, F, G e H. As medidas das arestas distintas AB, AD e AE constituem</p><p>uma progressão aritmética, cuja soma é 12 cm. Sabe-se que o volume</p><p>da pirâmide ABCF é igual a 10 cm3. Calcule:</p><p>a. As medidas das arestas do paralelepípedo.</p><p>b. O volume e a área total da superfície do paralelepípedo.</p><p>88 Um cone circular reto de altura 1 cm e geratriz</p><p>2 3</p><p>cm</p><p>3</p><p>é</p><p>interceptado por um plano paralelo à sua base, sendo determinado, assim,</p><p>um novo cone. Para que esse novo cone tenha o mesmo volume de um</p><p>cubo de aresta</p><p>1</p><p>3</p><p>cm</p><p>243</p><p>π </p><p> </p><p> </p><p>, é necessário que a distância do plano à</p><p>base do cone original seja, em cm, igual a</p><p>(A)</p><p>1</p><p>4</p><p>.</p><p>(B)</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>(B)</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>(C)</p><p>2</p><p>3</p><p>.</p><p>(D)</p><p>3</p><p>4</p><p>.</p><p>89 A superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de</p><p>120° e área igual a 3p cm2 A área total e o volume desse cone medem,</p><p>em cm2 e cm3, respectivamente:</p><p>(A)</p><p>2 2</p><p>4  e .</p><p>3</p><p>π</p><p>π</p><p>(B)</p><p>2</p><p>4  e .</p><p>3</p><p>π</p><p>π</p><p>(C) 4  e  2.π π</p><p>(D)</p><p>2 2</p><p>3  e .</p><p>3</p><p>π</p><p>π</p><p>(E)  e 2 2π π</p><p>90 Em um plano, estão situados uma circunferência ω de raio 2 cm e</p><p>um ponto P que dista 2 2 cm√ do centro de ω. Considere os segmentos</p><p>e PA PB tangentes a ω nos pontos A e B, respectivamente. Ao girar a</p><p>região fechada delimitada pelos segmentos  e PA PB e pelo arco menor</p><p>AB em torno de um eixo passando pelo centro de ω e perpendicular ao</p><p>alinhar PA , obtém-se um sólido de revolução. Determine:</p><p>a. A área total da superfície do sólido.</p><p>b. O volume do sólido.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 17</p><p>154 IME-ITA – Vol. 5</p><p>91 Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular hexagonal cuja altura</p><p>mede 12 cm e a aresta da base mede</p><p>10</p><p>3 cm</p><p>3</p><p>. Então o raio da esfera,</p><p>em cm, é igual a:</p><p>(A)</p><p>10</p><p>3</p><p>3</p><p>.</p><p>(B)</p><p>13</p><p>3</p><p>.</p><p>(C)</p><p>15</p><p>4</p><p>.</p><p>(D) 2 3 .</p><p>(E)</p><p>10</p><p>3</p><p>.</p><p>92 Considere as afirmações:</p><p>I. Existe um triedro cujas 3 faces têm a mesma medida a = 120°.</p><p>II. Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem,</p><p>respectivamente, 30°, 45°, 50°, 50° e 170°.</p><p>III. Um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular,</p><p>1 face pentagonal e 2 faces hexagonais tem 9 vértices.</p><p>IV. A soma das medidas de todas as faces de um poliedro convexo com</p><p>10 vértices é 2.880°.</p><p>Dessas, é(são) correta(s) apenas:</p><p>(A) II.</p><p>(B) IV.</p><p>(C) II e IV.</p><p>(D) I, II e IV.</p><p>(E) II, III e IV.</p><p>93 Considere uma esfera Ω com centro em C e raio r = 6 cm e um plano</p><p>∑ que dista 2 cm de C. Determine a área da interseção do plano ∑ com</p><p>uma cunha esférica de 30° em Ω que tenha aresta ortogonal a ∑.</p><p>94 Um cilindro reto de altura 6</p><p>cm</p><p>3</p><p>está inscrito num tetraedro regular</p><p>e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro</p><p>medem 3 cm, o volume do cilindro, em cm3, é igual a:</p><p>(A)</p><p>3</p><p>4</p><p>π</p><p>.</p><p>(B)</p><p>3</p><p>6</p><p>π</p><p>.</p><p>(C)</p><p>6</p><p>6</p><p>π</p><p>.</p><p>(D)</p><p>6</p><p>9</p><p>π</p><p>.</p><p>(E)</p><p>3</p><p>π</p><p>.</p><p>95 Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro regular, cujas arestas</p><p>medem 1 cm. Se M é o ponto médio do segmento AB e N é o ponto</p><p>médio do segmento CD , então a área do triângulo MND; em cm2 é igual</p><p>a:</p><p>(A)</p><p>2</p><p>6</p><p>.</p><p>(B)</p><p>2</p><p>8</p><p>.</p><p>(C)</p><p>3</p><p>6</p><p>.</p><p>(D)</p><p>3</p><p>8</p><p>.</p><p>(E)</p><p>3</p><p>9</p><p>.</p><p>96 As superfícies de duas esferas se interceptam ortogonalmente (isto</p><p>é, em cada ponto da intersecção os respectivos planos tangentes são</p><p>perpendiculares). Sabendo que os raios destas esferas medem</p><p>3</p><p>2cm e cm</p><p>2</p><p>,</p><p>respectivamente, calcule:</p><p>a. a distância entre os centros das duas esferas.</p><p>b. a área da superfície do sólido obtido pela intersecção das duas esferas.</p><p>97 Uma esfera é colocada no interior de um cone circular reto de 8 cm de</p><p>altura e de 60° de ângulo de vértice. Os pontos de contato da esfera com</p><p>a superfície lateral do cone definem uma circunferência e distam 2 3 cm</p><p>do vértice do cone. O volume do cone não ocupado pela esfera, em cm3,</p><p>é igual a:</p><p>(A)</p><p>416</p><p>9</p><p>π .</p><p>(B)</p><p>480</p><p>9</p><p>π .</p><p>(C)</p><p>500</p><p>9</p><p>π .</p><p>(D)</p><p>512</p><p>9</p><p>π .</p><p>(E)</p><p>542</p><p>9</p><p>π .</p><p>98 Os pontos ( )3, 4A = e ( )4, 3B = são vértices de um cubo, em que</p><p>AB é uma das arestas. A área lateral do octaedro, cujos vértices são os</p><p>pontos médios da face do cubo, é igual a:</p><p>(A) 8.</p><p>(B) 3.</p><p>(C) 12.</p><p>(D) 4.</p><p>(E) 18.</p><p>99 A razão entre a área lateral e a área da base octogonal de uma pirâmide</p><p>regular é igual a 5 . Exprima o volume dessa pirâmide em termos da</p><p>medida a do apótema da base.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 17</p><p>Geometria espacial</p><p>155IME-ITA – Vol. 5</p><p>100 (ITA) Um diedro mede 120°. A distância da aresta do diedro ao</p><p>centro de uma esfera de volume 34 3  cmπ que tangencia as faces do</p><p>diedro é, em cm, igual a:</p><p>(A) 3 3 .</p><p>(B) 3 2 .</p><p>(C) 2 3 .</p><p>(D) 2 2 .</p><p>(E) 2 .</p><p>101 Considere o quadrado ABCD com lados de 10 cm de comprimento.</p><p>Seja M um ponto sobre o lado AB e N um ponto sobre o lado AD ,</p><p>equidistantes de A. Por M traça-se um reta r paralela ao lado AD e por N</p><p>uma reta s paralela ao lado AB , que se interceptam no ponto O. Considere</p><p>os quadrados AMON e ,OPCQ em que P é a intersecção de s com o lado</p><p>BC e Q é a intersecção de r com o lado DC . Sabendo-se que as áreas</p><p>dos quadrados ,AMON OPCQ e ABCD constituem, nessa ordem, uma</p><p>progressão geométrica, então a distância entre os pontos A e M é igual,</p><p>em metros, a:</p><p>(A) 15 5 5+ .</p><p>(B) 10 5 5+ .</p><p>(C) 10 5− .</p><p>(D) 15 5 5− .</p><p>(E) 10 3 5− .</p><p>102 Considere uma pirâmide regular de base hexagonal, cujo apótema da</p><p>base mede 3 cm . Secciona-se a pirâmide por um plano paralelo à base,</p><p>obtendo-se um tronco de volume igual a 1 cm3 e uma nova pirâmide. Dado</p><p>que a razão entre as alturas das pirâmides é 1/ 2, a altura do tronco,</p><p>em centímetros, é igual a:</p><p>(A) ( )6 2 / 4− .</p><p>(B) ( )6 3 / 3− .</p><p>(C) ( )3 3 6 / 21− .</p><p>(D) ( )3 2 2 3 / 6− .</p><p>(E) ( )2 6 2 / 22− .</p><p>103 Os quatro vértices de um tetraedro regular, de volume 8/3 cm3,</p><p>encontram-se nos vértices de um cubo. Cada vértice do cubo é centro de</p><p>uma esfera de 1 cm de raio. Calcule o volume da parte do cubo exterior</p><p>às esferas.</p><p>104 Uma pirâmide regular tem por base um hexágono, cuja diagonal</p><p>menor mede 3 3 cm . As faces laterais dessa pirâmide formam diedros</p><p>de 60° com o plano da base. A área total da pirâmide, em cm2, é:</p><p>(A) 81 3/2.</p><p>(B) 81 2 /2.</p><p>(C) 81/2.</p><p>(D) 27 3 .</p><p>(E) 27 2.</p><p>105 As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de</p><p>um cone circular reto formam, nessa ordem, uma progressão aritmética</p><p>de razão 2 metros. Calcule a área total desse cone em m2.</p><p>106 Uma esfera de raio r é seccionada por n planos meridianos. Os</p><p>volumes das respectivas cunhas esféricas contidas em uma semiesfera</p><p>formam uma progressão aritmética de razão</p><p>3</p><p>45</p><p>rπ . Se o volume da menor</p><p>cunha for igual a</p><p>3</p><p>18</p><p>rπ , então n é igual a:</p><p>(A) 4.</p><p>(B) 3.</p><p>(C) 6.</p><p>(D) 5.</p><p>(E) 7.</p><p>107 Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos</p><p>de todas as faces é 7.200°. O número de vértices desse prisma é igual a:</p><p>(A) 11.</p><p>(B) 32.</p><p>(C) 10.</p><p>(D) 20.</p><p>(E) 22.</p><p>108 (IME) Considere um tetraedro regular ABCD e um plano p, oblíquo</p><p>à base ABC. As arestas DA, DB e DC desse tetraedro são seccionadas,</p><p>por este plano, nos pontos E, F e G, respectivamente. O ponto T é a</p><p>interseção da altura do tetraedro, correspondente ao vértice D, com o</p><p>plano p. Determine o valor de DT, sabendo que</p><p>1 1 1 1</p><p>6DE DF DG</p><p>+ + = .</p><p>109 (IME) Uma pirâmide regular triangular apresenta um volume V.</p><p>Determine o raio da circunferência circunscrita a uma das faces laterais</p><p>da pirâmide em função de V, sabendo que o ângulo do vértice vale 30 ° .</p><p>110 (IME) A base de um prisma reto ABCA1B1C1 é um triângulo com o</p><p>lado AB igual ao lado AC. O valor do segmento CD vale x, em que D é o</p><p>ponto médio da aresta lateral AA1. Sabendo que a é o ângulo ACB e b é o</p><p>ângulo DCA, determine a área lateral do prisma em função de x, a e b.</p><p>111 (IME) A área da superfície lateral de uma pirâmide quadrangular</p><p>regular SABCD é duas vezes maior do que a área de sua base ABCD. Nas</p><p>faces SAD e SDC traçam-se as medianas AQ e DP. Calcule o ângulo entre</p><p>essas medianas.</p><p>112 (IME) Seja um cubo de base ABCD com aresta a. No interior do cubo,</p><p>sobre a diagonal principal, marca-se o ponto V, formando-se a pirâmide</p><p>VABCD. Determine os possíveis valores da altura da pirâmide VABCD, em</p><p>função de a, sabendo que a soma dos quadrados das arestas laterais da</p><p>pirâmide é igual a ka2, sendo k um número primo.</p><p>Obs.: As arestas laterais da pirâmide são VA, VB, VC e VD.</p><p>113 (IME) A área de uma calota esférica é o dobro da área do seu círculo</p><p>base. Determine o raio do círculo da base da calota em função do raio R</p><p>da esfera.</p><p>MATEMÁTICA V</p><p>Assunto 17</p><p>156 IME-ITA – Vol. 5</p><p>114 (IME) Sejam C e C* dois círculos tangentes exteriores de raios r e</p><p>r* e centros O e O*, respectivamente, e seja t uma reta tangente comum a</p><p>C e C* nos pontos não coincidentes A e A*. Considere o sólido de revolução</p><p>gerado a partir da rotação do segmento AA* em torno do eixo OO*, e seja</p><p>S a sua correspondente área lateral. Determine S em função de r e r*.</p><p>115 (IME) Considere um tetraedro regular de arestas de comprimento a e</p><p>uma esfera de raio R tangente a todas as arestas do tetraedro. Em função</p><p>de a, calcule:</p><p>a. o volume total da esfera.</p><p>b. o volume da parte da esfera situada no interior do tetraedro.</p><p>116 (IME) Considere os pontos P e Q sobre faces adjacentes de um cubo.</p><p>Uma formiga percorre, sobre a superfície do cubo, a menor distância entre</p><p>P e Q, cruzando a aresta BC em M e a aresta CD em N, conforme ilustrado</p><p>na figura abaixo. É dado que os pontos P, Q, M e N são coplanares.</p><p>a. Demonstre que MN é perpendicular a AC .</p><p>b. Calcule a área da seção do cubo determinada pelo plano que contém</p><p>P, Q, M em função de BC a= e BM b= .</p><p>B</p><p>P</p><p>C</p><p>M</p><p>N Q</p><p>DA</p><p>III.</p><p>(D) apenas I e II.</p><p>(E) todas.</p><p>73 A equação em x,</p><p>arctan (ex + 2) – arccotan</p><p>e</p><p>e</p><p>x</p><p>x2 1 2−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> = π , x ∈ \ {0},</p><p>(A) admite infinitas soluções, todas positivas.</p><p>(B) admite uma única solução, e esta é positiva.</p><p>(C) admite três soluções que se encontram no intervalo.</p><p>(D) admite apenas soluções negativas.</p><p>(E) não admite solução.</p><p>74 Sejam A, B e C conjuntos tais que C ⊂ B, n(B\C) = 3n(B ∩ C)=</p><p>6n(A ∩ B), n(A ∪ B) = 22 e ((n(C), n(A), n(B)) é uma progressão</p><p>geométrica de razão r > 0.</p><p>a. Determine n(C).</p><p>b. Determine n(P(B\C)).</p><p>75 Analise se a função ƒ:  → , ƒ( )x</p><p>x x</p><p>=</p><p>− −3 3</p><p>2</p><p>é bijetora e, em caso</p><p>afirmativo, determine a função inversa ƒ–1.</p><p>76 Seja ƒ:  →  bijetora e ímpar. Mostre que a função inversa</p><p>ƒ–1:  →  também é ímpar.</p><p>77 Considere a seguinte definição: “dois pontos P e Q, de coordenadas</p><p>(xp, yp) e (xq, yq), respectivamente, possuem coordenadas em comum</p><p>se e somente se xp = xq ou yp = yq”.</p><p>Dado o conjunto S = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1),</p><p>(2,2)}. Determine quantas funções bijetoras ƒ: S → S existem, tais que</p><p>para todos os pontos P e Q pertencentes ao conjunto S, ƒ(P) e ƒ(Q)</p><p>possuem coordenadas em comum se e somente se P e Q possuem</p><p>coordenadas em comum.</p><p>78 Sejam os conjuntos P1, P2, S1 e S2 tais que (P2 ∩ S1) ⊂ P1, (P1 ∩ S2)</p><p>⊂ P2 e (S1 ∩ S2) ⊂ (P1 ∪ P2)</p><p>79 Dada a função F: 2 → , com as seguintes características:</p><p>• F(0, 0) = 1;</p><p>• F(n, m + 1) = q · F(n, m), em que q é um número real diferente de</p><p>zero;</p><p>• F(n + 1, 0) = r + F(n, 0), em que r é um número real diferente de</p><p>zero.</p><p>Determine o valor de i�� 0</p><p>2009</p><p>F(i, i), i ∈ .</p><p>MATEMÁTICA I</p><p>Assunto 9</p><p>Lógica – Conjuntos – Relações – Funções</p><p>75IME-ITA – Vol. 5</p><p>17 Demonstre a desigualdade: 1 4 1</p><p>, 0</p><p>2</p><p>a</p><p>a a a a</p><p>+ +</p><p>+ + + < ></p><p>.</p><p>18 Demonstre a desigualdade:</p><p>2 2 2 2 2 1</p><p>42 2 2 2</p><p>− + + + +</p><p>></p><p>− + + +</p><p></p><p></p><p>com a</p><p>condição de que o numerador da parte esquerda da desigualdade contém</p><p>n radicais e o denominador contém n – 1 radicais.</p><p>19 Demonstrar que para quaisquer números reais a1, a2, ..., an e b1,</p><p>b2, ... bn, que satisfazem as relações:</p><p>2 2 2</p><p>1 2</p><p>2 2 2</p><p>1 2</p><p>1</p><p>1</p><p>n</p><p>n</p><p>a a a</p><p>b b b</p><p> + + + =</p><p></p><p>+ + + =</p><p></p><p></p><p>, é válida a</p><p>desigualdade: |a1b1 + a2b2 + ... + anbn| ≤ 1.</p><p>20 Achar todas as soluções reais do sistema de equações</p><p>3 3</p><p>2 2 3</p><p>1</p><p>2 2</p><p>x y</p><p>x y xy y</p><p> + =</p><p></p><p>+ + = .</p><p>21 Resolver o sistema de equações</p><p>2 2</p><p>12</p><p>1 1 1</p><p>3</p><p>x y</p><p>y x</p><p>x y</p><p></p><p>+ =</p><p></p><p> + =</p><p>.</p><p>22 Resolver o sistema de equações</p><p>3 3</p><p>3 3</p><p>19( )</p><p>7( )</p><p>x y x y</p><p>x y x y</p><p> − = −</p><p></p><p>+ = +</p><p>.</p><p>23 Achar todas as soluções reais do sistema de equações</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>( )( ) 9</p><p>( )( ) 5</p><p>x y x y</p><p>x y x y</p><p> + − =</p><p></p><p>− + =</p><p>.</p><p>24 Resolver o sistema de equações</p><p>1</p><p>1</p><p>x y xy</p><p>a</p><p>xy x y a</p><p>x y xy</p><p>b</p><p>xy x y b</p><p>+ + = + +</p><p> − + = +</p><p> −</p><p>.</p><p>25 Resolver o sistema de equações</p><p>2 3</p><p>1</p><p>1</p><p>1 3</p><p>2</p><p>2</p><p>1 2 1</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>x x x</p><p>a</p><p>x</p><p>x x x</p><p>a</p><p>x</p><p>x x x</p><p>a</p><p>x</p><p>−</p><p> =</p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>assumindo que</p><p>e a1, a2, ... an e x1, x2, ..., xn são positivos.</p><p>26 Determine os valores de h, de modo que a desigualdade</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>3 3</p><p>1</p><p>x hx</p><p>x x</p><p>− +</p><p>− < <</p><p>+ +</p><p>seja válida para qualquer x real.</p><p>ExErcícios</p><p>01 Resolver a equação:</p><p>2 2 2 2</p><p>2 2 0</p><p>x a x a a b x a</p><p>x b x b b a x b</p><p>+ − −     + − + =     + − −     </p><p>.</p><p>02 Resolver a equação:</p><p>2</p><p>2</p><p>48 4</p><p>10</p><p>3 3</p><p>x x</p><p>x x</p><p> + = − </p><p> </p><p>.</p><p>03 Resolver a equação: 32 2 2 23 3( ) 4 ( ) 5a x a x a x+ + − = − .</p><p>04 Resolver a equação: 2 2 2(1 ) (1 ) 1mm mx x x+ − − = − .</p><p>05 Resolver a equação: 2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x− + − + + + − = .</p><p>06 Resolver a equação:</p><p>3</p><p>2</p><p>x</p><p>x x x x</p><p>x x</p><p>+ − − =</p><p>+</p><p>.</p><p>07 Resolver a equação:</p><p>2 8 7</p><p>7</p><p>1 1</p><p>x x</p><p>x</p><p>x x</p><p>+</p><p>+ + =</p><p>+ +</p><p>.</p><p>08 Achar todas as raízes reais da equação: 3 3 31 1 2x x x− + + = .</p><p>09 Resolver a equação: 4 16 2 2 4x a x a x− + = − + − . Para quais</p><p>valores de a a equação terá solução?</p><p>10 Demonstrar que a expressão</p><p>2 2</p><p>2 23 8 10</p><p>x y x y</p><p>y x y x</p><p>   </p><p>⋅ + − ⋅ + +   </p><p>  </p><p>não é</p><p>negativa quaisquer x e y reais e diferentes de zero.</p><p>11 Para quais valores de a se satisfaz o sistema de desigualdades</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>3 2</p><p>1</p><p>x ax</p><p>x x</p><p>+ −</p><p>− < <</p><p>− +</p><p>quaisquer que sejam os valores de x?</p><p>12 Demonstrar que para quaisquer valores reais dos números a, b, c e d</p><p>é válida a desigualdade 4 4 4 4 4a b c d abcd+ + + ≥ .</p><p>13 Demonstrar a desigualdade:</p><p>1 1 1 9</p><p>a b c a b c</p><p>+ + ≥</p><p>+ +</p><p>(a, b e c são</p><p>números positivos).</p><p>14 Demonstrar que sendo a1, a2, ..., an números positivos e a1, a2 .....</p><p>an = 1, então (1 + a1)(1 + a2) ... (1 + an) ≥ 2n.</p><p>15 Demonstrar que se a + b = 1, então 4 4 1</p><p>8</p><p>a b+ ≥ .</p><p>16 Demonstrar que se |x| < 1, para quaisquer valor inteiro de n ≥ 2 se</p><p>cumpre a desigualdade (1 – x)n + (1 + x)n < 2n.</p><p>Álgebra básica – Exponencial – Logaritmo</p><p>MATEMÁTICA I ASSUNTO</p><p>10</p><p>76 IME-ITA – Vol. 5</p><p>27 Determine as soluções reais do sistema</p><p>( ) ( )</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>70</p><p>203</p><p>x y xy</p><p>x y x y</p><p> + =</p><p></p><p>+ ⋅ + =</p><p>.</p><p>28 Dois clubes do Rio de Janeiro participaram de um campeonato nacional</p><p>de futebol de salão em que cada vitória valia um ponto, cada empate meio</p><p>ponto e cada derrota zero ponto. Sabendo que cada participante enfrentou</p><p>todos os outros apenas uma vez, que clubes do Rio de Janeiro totalizaram,</p><p>em conjunto, oito pontos e que cada um dos outros clubes alcançou a</p><p>mesma quantidade K de pontos, determine a quantidade de clubes que</p><p>participou do torneio.</p><p>29 Imebol é um jogo de três jogadores. Em cada partida, o vencedor marca</p><p>a pontos, o segundo colocado marca b pontos e o terceiro colocado marca</p><p>c pontos, em que a > b > c são inteiros positivos. Certo dia, Marcos,</p><p>Flávio e Ralph resolveram jogar imebol, e após algumas partidas a soma</p><p>dos pontos era:</p><p>Marcos – 20 Flávio – 10 Ralph – 9.</p><p>Sabe-se que Flávio venceu a segunda partida. Encontre quantos pontos</p><p>cada um marcou em cada partida disputada.</p><p>30 Resolva a equação 4 31 2 3 2 4 3x x x− + + = + − .</p><p>31 Resolva a inequação abaixo ( )( )1</p><p>1 1 1 1</p><p>4</p><p>x x x> + − − + .</p><p>32 Calcule m para que (m2 – 1)x2 – (m + 2)x + 1 tenha um só de seus</p><p>zeros interno ao intervalo ]–1, 1[.</p><p>33 Resolver a equação: /16 /64log 2 log 2 log 2x x x⋅ = .</p><p>34 Resolver a equação: 1 1</p><p>2 2log (9 7) 2 log (3 1)x x− −+ = + + .</p><p>35 Resolver a equação: 2</p><p>3 3</p><p>3</p><p>log log 1x x</p><p>x</p><p>  + = </p><p> </p><p>.</p><p>36 Resolver a equação:</p><p>2</p><p>1/</p><p>2</p><p>log</p><p>log log 2 0</p><p>log</p><p>a x</p><p>ax a</p><p>x</p><p>a</p><p>a x</p><p>a</p><p>+ ⋅ = .</p><p>37 Resolver a equação:</p><p>4 4 44log log log loga x a x</p><p>x a</p><p>ax ax a</p><p>a x</p><p>+ + + = .</p><p>38 Resolver a equação:</p><p>2 log 4log ( )</p><p>1 ( 0)</p><p>log ( ) log ( )</p><p>p qa</p><p>a p q</p><p>p x</p><p>p q</p><p>x q x q</p><p>−</p><p>−</p><p>−−</p><p>+ = > ></p><p>+ +</p><p>.</p><p>39 Resolver o sistema de equações: log</p><p>log</p><p>log</p><p>a b</p><p>c</p><p>c</p><p>c</p><p>x y</p><p>xx</p><p>y y</p><p> =</p><p></p><p> =</p><p></p><p>(a ≠ b, ab ≠ 0).</p><p>40 Resolver o sistema de equações:</p><p>2 4 4</p><p>3 9 9</p><p>4 16 16</p><p>log log log 2</p><p>log log log 2</p><p>log log log 2</p><p>x y z</p><p>y z x</p><p>z x y</p><p>+ + =</p><p> + + =</p><p> + + =</p><p>.</p><p>41 Resolver a equação:</p><p>1 1</p><p>2 12 24 3 3 2</p><p>x xx x− + −− = − .</p><p>42 Resolver o sistema de equações:</p><p>y x</p><p>p q</p><p>x y</p><p>x y</p><p> =</p><p></p><p>=</p><p>, supondo x > 0, y > 0 e</p><p>pq > 0.</p><p>43 Resolver o sistema de equações:</p><p>y x</p><p>x y</p><p>x y</p><p>p q</p><p> =</p><p></p><p>=</p><p>, supondo x > 0, y > 0,</p><p>p > 0 e q > 0.</p><p>44 Mostre que log3 5 é um número irracional.</p><p>45 Demonstrar a identidade:</p><p>log log log</p><p>log log log log log log .</p><p>log</p><p>a b c</p><p>a b b c c a</p><p>abc</p><p>N N N</p><p>N N N N N N</p><p>N</p><p>+ + =</p><p>46 Seja log a o logaritmo decimal de a e log3 a o logaritmo de a na base</p><p>3. São dados: log 2 = α e log 3 = β. Calcule a função de α e β os valores</p><p>de log N e log3 N, em que 4</p><p>3</p><p>364,5</p><p>243</p><p>2</p><p>N = .</p><p>47 Determine o valor de b tal que 1</p><p>0</p><p>n</p><p>t</p><p>n p</p><p>t</p><p>+</p><p>→∞</p><p>=</p><p>=∑lim log 5 4, em que</p><p>p = b(t + 1)2t.</p><p>48 Para que valores de x a função ƒ(x) = | | lnx x4</p><p>1</p><p>2ln x ⋅ assume o valor e1/4 ?</p><p>Obs.: ln denota logaritmo neperiano.</p><p>49 Resolva o sistema</p><p>37 3 4</p><p>20</p><p>xy xy</p><p>x y</p><p> − =</p><p></p><p>+ =</p><p>.</p><p>50 A coleção de selos de Roberto está dividida em três volumes. Dois</p><p>décimos do total de selos estão no primeiro volume, alguns sétimos do</p><p>total estão no segundo</p><p>volume e 303 selos estão no terceiro volume.</p><p>Quantos selos Roberto tem?</p><p>51 Mostre que o número 3 3</p><p>125 125</p><p>3 9 3 9</p><p>27 27</p><p>x = + + − − + + é</p><p>racional.</p><p>52 Indique se é verdadeiro (V) ou falso (F) o que se segue e justifique sua</p><p>resposta.</p><p>a. O conjunto dos números reais não tem pontos extremos reais.</p><p>b. Existe um número em Q(racionais) cujo quadrado é 2.</p><p>c. O ponto correspondente a 66/77 na escala dos números reais R está</p><p>situado entre os pontos 55/66 e 77/88.</p><p>53 Seja ƒ:  →  uma função quadrática tal que ƒ(x) = ax2 + bx + c,</p><p>a ≠ 0, ∀ x ∈ . Sabendo-se que x1 = –1 e x2 = 5 são raízes e que</p><p>ƒ(1) = –8. Pede-se:</p><p>a. Determinar a, b e c.</p><p>b. Calcular ƒ(0).</p><p>c. Verificar se ƒ(x) apresenta máximo ou mínimo, justificando a resposta.</p><p>d. As coordenadas do ponto extremo.</p><p>e. O esboço do gráfico.</p><p>MATEMÁTICA I</p><p>Assunto 10</p><p>Álgebra básica – Exponencial – Logaritmo</p><p>77IME-ITA – Vol. 5</p><p>54 Considere log 2 = a e log 3 = b, encontre, em função de a e b, o</p><p>logaritmo do número 5 11,25 na base 15.</p><p>55 Resolva o sistema abaixo:</p><p>y xx y</p><p>y ax</p><p> =</p><p></p><p>=</p><p>em que a ≠ 1 e a > 0.</p><p>56 Determine os valores de λ que satisfaçam à inequação,</p><p>2 14</p><p>27 27 27 0</p><p>9</p><p>λ λ −− + > , e represente, graf icamente, a função,</p><p>2 14</p><p>27 27 27</p><p>9</p><p>x xy −= − + .</p><p>57 Mostre que a equação ( ) ( )2 4</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>log log log 1x x x</p><p>x</p><p>  ⋅ + = </p><p> </p><p>possui</p><p>apenas uma raiz que satisfaz x > 1. Determine esta raiz.</p><p>58 Resolva a desigualdade log 1 2a xx a x+ > , para a >1.</p><p>59 Para quais valores de x e α vale a desigualdade log2 x + logx 2 + 2 cos α≤?</p><p>60 Sejam a e b números reais positivos e diferentes de 1. Dado o sistema:</p><p>1/</p><p>1/2 log log log</p><p>x y</p><p>a b a</p><p>a b ab</p><p>x y b</p><p> ⋅ =</p><p> ⋅ = ⋅</p><p>Determine os valores de x e y.</p><p>61 Sejam x, y e z números reais positivos. Prove que:</p><p>3</p><p>3</p><p>x y z</p><p>x y z</p><p>+ +</p><p>≥ ⋅ ⋅</p><p>a. Em que condições a igualdade se verifica?</p><p>b. Considere um paralelepípedo de lados a, b, c e área total S0. Determine</p><p>o volume máximo desse paralelepípedo em função de S0. Qual a relação</p><p>entre a, b e c para que esse volume seja máximo? Demonstre seu</p><p>resultado.</p><p>62 Resolva a equação 5 5 x x− − = , sabendo-se que x > 0.</p><p>63 Determine todos os valores reais de x que satisfazem a equação:</p><p>( ) ( )3 2 3 2log 12 19 8 log 12 19 8x x x x x x− + = − + , em que log (y) e |y|</p><p>representam, respectivamente, o logaritmo na base 10 e o módulo de y.</p><p>64 Demonstre que 3 320 14 2 20 14 2+ ⋅ + − ⋅ é um número inteiro</p><p>múltiplo de quatro.</p><p>65 Se a ∈  é tal que 3y2 – y + a = 0 tem raiz dupla, então a solução</p><p>da equação 32x+1 – 3x + a = 0 é:</p><p>(A) log2 6.</p><p>(B) –log2 6.</p><p>(C) log3 6.</p><p>(D) –log3 6.</p><p>(E) 1 – log3 6.</p><p>66 O conjunto de todos os valores de m para os quais a função</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>(2 3) ( 3)</p><p>( )</p><p>(2 1) ( 2)</p><p>x m x m</p><p>f x</p><p>x m x m</p><p>+ + + +</p><p>=</p><p>+ + + +</p><p>está definida e é não negativa para</p><p>todo x real é:</p><p>(A) 1 7</p><p>,</p><p>4 4</p><p> </p><p>  </p><p>. (D) 1</p><p>,</p><p>4</p><p> −∞  </p><p>.</p><p>(B)</p><p>1</p><p>,</p><p>4</p><p> ∞  </p><p>. (E) 1 7</p><p>,</p><p>4 4</p><p> </p><p>  </p><p>.</p><p>(C) 7</p><p>0,</p><p>4</p><p> </p><p>  </p><p>.</p><p>67 Sendo dado ln ( )3 42 4 6 8... 2n</p><p>nn a= e ( )3 4 2ln 2 3 4... 2n</p><p>nn b=</p><p>então,</p><p>ln2 ln3 ln4 ln5 ln2</p><p>. . .</p><p>2 3 4 5 2</p><p>n</p><p>n</p><p>− + − + + é igual a:</p><p>(A) an – 2bn.</p><p>(B) 2an – bn.</p><p>(C) an – bn.</p><p>(D) bn – an.</p><p>(E) an + bn.</p><p>68 A soma das raízes reais positivas da equação 4x2</p><p>– 5 · 2x2</p><p>+ 4 = 0 vale:</p><p>(A) 2. (D) 1.</p><p>(B) 5. (E) 3.</p><p>(C) 2.</p><p>69 Seja S = [–2, 2] e considere as seguintes afirmações:</p><p>I.</p><p>1 1</p><p>6</p><p>4 2</p><p>x</p><p> ≤ < </p><p> </p><p>, para todo x ∈ S.</p><p>II.</p><p>1 1</p><p>3232 2x</p><p><</p><p>−</p><p>, para todo x ∈ S.</p><p>III. 22x – 2x ≤ 0 , para todo x ∈ S.</p><p>Então, podemos dizer que:</p><p>(A) apenas (I) é verdadeira.</p><p>(B) apenas (III) é verdadeira.</p><p>(C) somente (I) e (II) são verdadeiras.</p><p>(D) apenas (II) é falsa.</p><p>(E) todas as afirmações são falsas.</p><p>70 A soma de todos os números reais x que satisfazem a equação:</p><p>8 44 2 64 19 41 1 1X X X� � �� � �( ) ( )</p><p>é igual a:</p><p>(A) 8.</p><p>(B) 12.</p><p>(C) 16.</p><p>(D) 18.</p><p>(E) 20.</p><p>MATEMÁTICA I</p><p>Assunto 10</p><p>78 IME-ITA – Vol. 5</p><p>71 Se os números reais a e b satisfazem, simultaneamente, as equações</p><p>a b =</p><p>1</p><p>2</p><p>e In(a2 + b) + In8 = In5, um possível valor de a</p><p>b</p><p>é:</p><p>(A) 2.</p><p>(B) 1.</p><p>(C) 2 /2.</p><p>(D) 2.</p><p>(E) 3 2.</p><p>72 Considere as funções ƒ e g, da variável real x, definidas, respectivamente,</p><p>por ƒ(x) = ex2 + ax + b e g(x) = In</p><p>ax</p><p>b3</p><p>, em que a e b são números reais.</p><p>Se ƒ(–1) = 1 = ƒ(–2), então pode-se afirmar sobre a função composta</p><p>g o ƒ que:</p><p>(A) g o ƒ(1) = ln 3.</p><p>(B) ∃ g o ƒ(0).</p><p>(C) g o ƒ nunca se anula.</p><p>(D) g o ƒ está definida apenas em {x ∈  : x > 0}.</p><p>(E) g o ƒ admite dois zeros reais distintos.</p><p>73 Determine o maior domínio D ⊂ R da função:</p><p>ƒ: D → R, ƒ(x) = log</p><p>x x</p><p>4</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>π (4 sen x cos x – 1).</p><p>74 Considere o sistema na variável real x:</p><p>x2 – x = α</p><p>x – x3 = β.</p><p>a. Determine os números reais α e β para que o sistema admita somente</p><p>soluções reais.</p><p>b. Para cada valor de β encontrado em (α), determine todas as soluções</p><p>da equação x – x3 = α.</p><p>75 Considere um número real α ≠ 1 positivo, fixado, e a equação em x</p><p>a2x + 2βax – β = 0, β ∈ .</p><p>Das afirmações:</p><p>I. Se β < 0, então existem duas soluções reais distintas.</p><p>II. Se β = –1, então existe apenas uma solução real.</p><p>III. Se β = 0, então não existem soluções reais.</p><p>IV. Se β > 0, então existem duas soluções reais distintas.</p><p>É(são) sempre verdadeira(s) apenas:</p><p>(A) I.</p><p>(B) I e III.</p><p>(C) II e III.</p><p>(D) II e IV.</p><p>(E) I, III e IV.</p><p>76 Determine os valores de θ ∈ [0, 2π] tais que logtan(θ) e</p><p>sen(θ) ≥ 0.</p><p>77 Resolva a equação z</p><p>z</p><p>z</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>9</p><p>3</p><p>5�</p><p>�</p><p>��</p><p>( )</p><p>, em que z pertence ao conjunto</p><p>dos números complexos.</p><p>78 Mostre que o determinante abaixo apresenta valor menor ou igual a</p><p>16 para todos valores de a, b e c, pertencentes ao conjunto dos números</p><p>reais, que satisfazem a equação a2 + b2 + c2 = 4.</p><p>a b b c c a</p><p>c a a b b c</p><p>b c c a a b</p><p>+ + +</p><p>+ + +</p><p>+ + +</p><p>79 Seja a uma constante real posit iva. Resolva a equação</p><p>a a a x a a a x x� � � � � �2 2 2 23 2 2 para x ∈  e 0 ≤ x ≤ a.</p><p>MATEMÁTICA I</p><p>Assunto 10</p><p>Álgebra básica – Exponencial – Logaritmo</p><p>79IME-ITA – Vol. 5</p><p>MATEMÁTICA I</p><p>Assunto 10</p><p>80 IME-ITA – Vol. 5</p><p>10 Demonstre que se</p><p>1</p><p>| |</p><p>2</p><p>z < , então 3 3</p><p>|(1 ) |</p><p>4</p><p>i z iz+ + < . (Sugestão:</p><p>utilize a desigualdade triangular.)</p><p>11 Resolva o sistema 1 2</p><p>1 2</p><p>(1 )</p><p>2 (1 ) 0</p><p>i z z i</p><p>z i z</p><p> − + =</p><p></p><p>+ + =</p><p>, em que z1 e z2 são números</p><p>complexos de partes reais iguais.</p><p>12 Qual condição deverá ser satisfeita para que o número complexo a +</p><p>bi possa ser representado na forma</p><p>1</p><p>1</p><p>ix</p><p>a bi</p><p>ix</p><p>−</p><p>+ =</p><p>+</p><p>, em que x é um real.</p><p>13 Calcule 2 11 2 3 nn −+ ξ + ξ + + ξ , em que ξ é raiz n-ésima de 1.</p><p>14 Calcule 2 2 11 4 9 nn −+ ξ + ξ + + ξ , em que ξ é raiz n-ésima de 1.</p><p>15 Sejam a, b e c números complexos de módulo 1. Prove que</p><p>.ab ac bc a b c+ + = + +</p><p>16 Sejam A, B e C os afixos dos complexos a, b e c, respectivamente. Prove</p><p>que o triângulo ABC é equilátero se e somente se 2 2 2a b c ab ac bc+ + = + + .</p><p>17 Se P(x) é um polinômio do 5o grau que satisfaz às condições</p><p>1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0, ache P(0).</p><p>18 Determine α, β ∈  para que os polinômios p(x) = x3 + αx + β e</p><p>q(x) = (x2 + x + 1)2 – x4 sejam sempre iguais.</p><p>19 Calcule p para que o polinômio 4x4 – 8x3 + 8x2 – 4(p + 1)x + (p + 1)2</p><p>seja o quadrado perfeito de um polinômio racional inteiro em x.</p><p>20 Determine p ∈  e q ∈  de modo que x4 + 1 seja divisível por</p><p>x2 + px + q.</p><p>21 Determine a de modo que a divisão de p(x) = x4 – 2ax3 + (a + 2)x2</p><p>+ 3a + 1 por q(x) = x – 2 apresente resto igual a 7.</p><p>22 Determine p e q de modo que o polinômio x3 – 2px2 + (p + 3)x +</p><p>(2p + q) seja divisível por x e x – 2.</p><p>23 Sendo 8 e 6 os restos respectivos da divisão de um polinômio P(x)</p><p>por (x – 5) e (x – 3), pede-se determinar o resto da divisão do P(x) pelo</p><p>produto (x – 5)(x – 3).</p><p>24 Determine p e q de modo que o polinômio x3 + px + q seja divisível</p><p>por (x – 2)(x + 1).</p><p>25 Determine m de modo que –2 seja raiz da equação x3 + (m + 2)x2</p><p>+ (1 + m)x – 2 = 0.</p><p>26 É dado o polinômio P(x) = x4 + Cx2 + Dx + E com C, D, E números</p><p>reais. Sabe-se que o número complexo (0,1) é raiz de P(x)</p><p>= 0 e que</p><p>dividindo-se P(x) por Q(x) obtém-se quociente Q1(x) = x3 + 2x2 + 4x + 8</p><p>e por resto 15. Pede-se determinar P(x) e as raízes de P(x) = 0.</p><p>01 As partes real e imaginária de um ponto z = x + yi do plano complexo</p><p>são representadas por: x = Re(z) e y = Im(z). Dados dois pontos do</p><p>plano complexo z1 = 2 + 3i e z2 = 4 + 5i, determine e esboce o lugar</p><p>geométrico dos pontos do plano complexo que satisfazem à relação</p><p>Re 1</p><p>2</p><p>0</p><p>z z</p><p>z z</p><p> −</p><p>= </p><p>− </p><p>, com z ≠ z2.</p><p>02 Seja A = {z ∈ C| |z| = 1}. Determine a imagem de A pela função</p><p>g, complexa de variável complexa, tal que g(z) = (4 + 3i)z + 5 – i.</p><p>03 Se z = 1 + i 3 , [ ]1e 0,2z w⋅ = α∈ π é um argumento de z · w,</p><p>então α é igual a:</p><p>(A) .</p><p>3</p><p>π</p><p>(B) π.</p><p>(C)</p><p>2</p><p>.</p><p>3</p><p>π</p><p>(D)</p><p>5</p><p>.</p><p>3</p><p>π</p><p>(E)</p><p>3</p><p>.</p><p>2</p><p>π</p><p>04 Demonstrar que</p><p>1 tan 1 tan</p><p>1 tan 1 tan</p><p>n</p><p>i i n</p><p>i i n</p><p> + α + α</p><p>= − α − α </p><p>para todo n inteiro.</p><p>05 Escreva sob a forma cartesiana o resultado da expressão E =</p><p>36</p><p>3</p><p>i</p><p>e</p><p>i</p><p>π</p><p>−</p><p>.</p><p>06 Seja ƒ: C → C z → iz + 2 +3i.</p><p>Seja o conjunto A = {x + iy ∈ C |</p><p>2 2</p><p>1</p><p>9 4</p><p>x y</p><p>+ = }. Determine o conjunto</p><p>B imagem de A pela função ƒ.</p><p>07 Determine os valores máximo e mínimo de |z – 4|, sabendo que</p><p>|z + 3i| ≤ 1.</p><p>08 A parte imaginária de ((1 + cos 2x) + isen 2x)k, k inteiro positivo, x</p><p>real, é:</p><p>(A) 2 · senk x · cosk x.</p><p>(B) senk x · cosk x.</p><p>(C) 2k · sen kx · cosk x.</p><p>(D) 2k · senk x · cosk x.</p><p>(E) sen kx · cosk x.</p><p>09 Seja z0 o número complexo 1 + i. Sendo S o conjunto solução no</p><p>plano complexo de 0 0 2z z z z− = + = , então o produto dos elementos</p><p>de S é igual a:</p><p>(A) 4(1 – i). (D) –2i.</p><p>(B) 2(1 + i). (E) 2i.</p><p>(C) 2(i – 1).</p><p>Números complexos e polinômios</p><p>MATEMÁTICA II ASSUNTO</p><p>6</p><p>81IME-ITA – Vol. 5</p><p>27 Calcule a soma dos quadrados das raízes da equação</p><p>x4 + 5x3 – 11x2 + 4x – 7 = 0.</p><p>28 Calcule a soma dos inversos das raízes da equação x3 – 7x2 + 4x – 1</p><p>= 0.</p><p>29 Resolva a equação x4 – 2x3 + 4x2 + 6x – 21 = 0, sabendo que duas</p><p>raízes são simétricas.</p><p>30 Resolva a equação x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 sabendo que as raízes</p><p>estão em PA.</p><p>31 Determine as raízes da equação 3x2 – 16x2 + 23x – 6 = 0 sabendo-se</p><p>que o produto de duas delas é igual à unidade.</p><p>32 Resolva a equação x3 + 5x2 – 12x – 36 = 0, sabendo que uma raiz</p><p>é igual ao produto das outras duas.</p><p>33 Resolva a equação x3 – 4x2 + x + 6 = 0, sabendo que uma raiz é</p><p>igual à soma das outras duas.</p><p>34 Resolva a equação 5x4 – 26x3 – 18x2 + 32x – 8 = 0, sabendo que o</p><p>produto de duas raízes é 2.</p><p>35 A soma de duas raízes da equação x4 + 2x3 + px2 + qx + 2 = 0 é – 1</p><p>e produto das outras duas raízes é 1. Calcule p e q e resolva a equação.</p><p>36 Determine p e q de modo que a equação x4 + px3 + 2x2 + x + q =</p><p>0, apresente duas raízes recíprocas entre si e as outras duas raízes com</p><p>soma igual a 1.</p><p>37 O valor da soma a + b para que as raízes do polinômio 4x4 – 20x3 +</p><p>ax2 – 25x + b estejam em progressão aritmética de razão 1/2 é:</p><p>(A) 36.</p><p>(B) 41.</p><p>(C) 26.</p><p>(D) –27.</p><p>(E) –20.</p><p>38 Determine o polinômio ( ) 4 3 2p x x ax bx cx d= + + + + tal que</p><p>( ) (1 )p x p x= − , P(0)=0 e p(–1)=6.</p><p>39 Quais as relações entre os coeficientes reais a, b, c, d da equação</p><p>( )2 2 0x a ib x c id+ + + + = de modo que ela seja satisfeita para um valor</p><p>real x = k?</p><p>40 Determine os valores de m para os quais as quatro raízes da equação</p><p>biquadrada ( ) ( )24 23 5 1 0x m x m− + + + = sejam reais e estejam em</p><p>progressão aritmética.</p><p>41 Sejam Z1 e Z2 complexos de raios vetores OP1 e OP2, respectivamente.</p><p>Mostre que OP1 e OP2 são perpendiculares se e somente se 1 2Z Z for um</p><p>imaginário puro.</p><p>42 Dois números complexos Z1 e Z2, não nulos, são tais que</p><p>1 2 1 2Z Z Z Z+ = − . Mostre que 2</p><p>1</p><p>Z</p><p>Z</p><p>é imaginário puro.</p><p>43 Seja p(x) um polinômio de grau 16 e coeficientes inteiros.</p><p>a. Sabendo-se que p(x) assume valores ímpares para x = 0 e x = 1,</p><p>mostre que p(x) não possui raízes inteiras.</p><p>b. Sabendo-se que p(x) = 7 para quatro valores de x, inteiros e diferentes,</p><p>para quantos valores inteiros de x, p(x) assume o valor 14?</p><p>44</p><p>a. Mostre que se p(x) = a0 + a1x + a2x</p><p>2 + a1x</p><p>3 + a0x</p><p>4, então existe um</p><p>polinômio g(x) do 2o grau, tal que 2 1( ) ( )p x x g x x −= ⋅ + .</p><p>b. Determine todas as raízes do polinômio p(x) = 1 + 4x + 5x2 + 4x3 + x4.</p><p>45 Considere os seguintes conjuntos de números complexos: A = {z</p><p>∈ C| |z| = 1, Im(z) > 0} e B = {z ∈ C| Re(z) = 1, Im(z) > 0}; em</p><p>que Re(z) e Im(z) são as partes real e imaginária do número complexo z,</p><p>respectivamente.</p><p>a. Mostre que para cada z ∈ A, o número 2</p><p>1</p><p>z</p><p>z +</p><p>pertence a B.</p><p>b. Mostre que cada w ∈ B pode ser escrito da forma 2</p><p>1</p><p>z</p><p>z +</p><p>para algum</p><p>z ∈ A.</p><p>46 Mostre que todas as raízes da equação (z + 1)5 + z5 = 0 pertencem</p><p>a uma mesma reta paralela ao eixo imaginário.</p><p>47 Resolva a equação z5 = z</p><p>_</p><p>em que z</p><p>_</p><p>é o conjugado do número complexo</p><p>z.</p><p>48 Para que valores de p a equação x4 + px + 3 = 0 tem raiz dupla?</p><p>Determine, em cada caso, as raízes da equação.</p><p>49</p><p>a. Sendo dada a equação x3 + px + q = 0; p,q ∈  , que relação deverá</p><p>existir entre p e q para que uma das raízes seja igual ao produto das</p><p>outras duas?</p><p>b. Mostre que a equação x3 – 6x – 4 = 0, satisfaz à relação encontrada</p><p>e, em seguida, encontre as suas raízes.</p><p>50 Mostre que</p><p>(2 1)</p><p>sen1 2cos cos2 ... cos .</p><p>2 2sen</p><p>2</p><p>n x</p><p>x x nx</p><p>x</p><p>+</p><p>+ + + =</p><p>51 Prove que 1 2 1 2z z z z+ = + , em que z1, z2 ∈ C.</p><p>52 Considere a função ƒ(x) = x3 + ax2 + bx + c, em que a, b e c são</p><p>inteiros positivos. Sabendo-se que uma das raízes dessa função é igual a</p><p>2i, calcular os menores valores de a, b e c para que exista um ponto de</p><p>máximo e um ponto de mínimo reais.</p><p>53 Faça o que se pede:</p><p>a. Calcule o argumento do seguinte número complexo i(1 + i).</p><p>b. Escreva sob a forma trigonométrica o número complexo z = 1+i 3.</p><p>54 Considere os números complexos z = x +yi e w = y – xi, cujos</p><p>módulos são tais que</p><p>3</p><p>| |</p><p>| |</p><p>w</p><p>xz e</p><p>⋅</p><p>= , e</p><p>1</p><p>| |</p><p>| |</p><p>z</p><p>yw e</p><p>⋅</p><p>= , em que e é base dos</p><p>logaritmos neperianos. Obter a forma polar de z2.</p><p>55 Dado</p><p>1</p><p>7 24</p><p>z</p><p>i</p><p>=</p><p>− +</p><p>, calcule as partes real e imaginária de z.</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 6</p><p>82 IME-ITA – Vol. 5</p><p>56 Prove que o polinômio 999 888 777 111( ) ... 1P x x x x x= + + + + + é</p><p>divisível por x9 + x8 + x7 + ... + x + 1.</p><p>57 Sejam w0 = 1, w1 = j, w2 = j2, as raízes cúbicas da unidade no plano</p><p>complexo (considere w1 o número complexo de módulo 1 e argumento</p><p>2π/3).</p><p>Sabendo que se c ∈ C, a rotação R em torno do ponto c e amplitude igual</p><p>a π/3 é dada por R(z) = –j2z – jc, ∀z ∈ C – {c}, pede-se:</p><p>a. Determinar as relações existentes entre a, b, c, j, j2, em que a, b ∈ C,</p><p>de modo que o triângulo a, b, c, seja equilátero.</p><p>b. Determine z para que o triângulo i, z, iz seja equilátero. (Dado: i = 1− ).</p><p>58 Determine o resto da divisão do polinômio (cos sen )nxφ + φ por</p><p>(x2 + 1), em que n é um número natural.</p><p>59 Determine os parâmetros α, β, γ e δ da transformação complexa,</p><p>z</p><p>w</p><p>z</p><p>α +β</p><p>=</p><p>γ + δ</p><p>, que leva os pontos z = 0; i; –1 para w = i; 1, 0,</p><p>respectivamente, bem como z para w = –2 –i, onde i = 1− .</p><p>60 Determine α, β e γ de modo que o polinômio 1 1x xγ+ γα + β + , racional</p><p>inteiro em x, seja divisível por (x – 1)2 e que o valor numérico do quociente</p><p>seja igual a 120 para x = 1.</p><p>61 Determine as raízes de 2 2 2 4 0z iz i+ + − = e localize-as no plano</p><p>complexo, sendo i = 1− .</p><p>62 Seja o polinômio P(x) de grau (2n + 1) com todos os seus coeficientes</p><p>positivos e unitários. Dividindo-se P(x) por D(x), de grau 3, obtém-se o</p><p>resto R(x). Determine R(x), sabendo-se que as raízes de D(x) são raízes</p><p>de A(x) = x4 – 1 e que D(1) ≠ 0.</p><p>63 Determine o polinômio em n, com no máximo 4 termos, que represente</p><p>o somatório dos quadrados dos n primeiros números naturais 2</p><p>1</p><p>.</p><p>n</p><p>k</p><p>k</p><p>=</p><p> </p><p>  </p><p> </p><p>∑</p><p>64 Considere o polinômio de grau mínimo, cuja representação gráfica</p><p>passa pelos pontos P1(–2,–11); P2(–1,0); P3(1,4); P4(2,9).</p><p>a. Determine os coeficientes do polinômio.</p><p>b. Calcule todas as raízes do polinômio.</p><p>65 Determine todos os números inteiros m e n para</p><p>os quais o polinômio</p><p>3 32 m n m n mx a x a−+ − é divisível por (x + a).</p><p>66 Dois números complexos são ortogonais se suas representações</p><p>gráficas forem perpendiculares entre si. Prove que dois números complexos</p><p>z1 e z2 são ortogonais se e somente se 1 2 1 2 0z z z z+ = .</p><p>Obs.: z</p><p>_</p><p>indica o conjugado de um número complexo z.</p><p>67</p><p>a. Encontre as condições a que devem satisfazer aos coeficientes de um</p><p>polinômio P(x) de quarto grau para que P(x) = P(1 – x).</p><p>b. Considere o polinômio P(x) = 16x4 – 32x3 – 56x2 + 72x + 77.</p><p>Determine todas as suas raízes sabendo-se que o mesmo satisfaz à</p><p>condição do item acima.</p><p>68 Seja z um número complexo de módulo unitário que satisfaz à condição</p><p>2 1nz ≠ − , em que n é um número inteiro positivo. Demonstre que 21</p><p>n</p><p>n</p><p>z</p><p>z+</p><p>é um número real.</p><p>69 Seja</p><p>1</p><p>n</p><p>n k</p><p>k</p><p>S a</p><p>=</p><p>= ∑ em que os ak são complexos. Os módulos dos ak estão</p><p>em progressão geométrica. Os argumentos dos ak estão em progressão</p><p>aritmética. São dados a1 = 13,5( 3 +i); a4 = 3 1</p><p>2</p><p>i − . Calcule o</p><p>n nlim S→∞ .</p><p>70 Sejam:</p><p>I. A e B números reais, B ≠ 0.</p><p>II. n e k, inteiros, maiores que zero.</p><p>III. Para cada n, seja rn a raiz principal ( menor determinação) de índice</p><p>n do número i4n+1 +i4n.</p><p>Admitamos que:</p><p>3</p><p>4 4</p><p>ii</p><p>n</p><p>Ae Be</p><p>k</p><p>r</p><p>π</p><p>π +</p><p>= . Determine o valor de n de tal forma</p><p>que A/B seja mínimo.</p><p>71 O polinômio com coeficientes reais P(x) = x5 + a4x</p><p>4 + a3x</p><p>3 + a2x</p><p>2 +</p><p>a1x + a0 tem duas raízes distintas, cada uma delas com multiplicidade 2,</p><p>e duas de suas raízes são 2 e i. Então, a soma dos coeficientes é igual a:</p><p>(A) –4.</p><p>(B) –6.</p><p>(C) –1.</p><p>(D) 1.</p><p>(E) 4.</p><p>72 Sendo I um intervalo de números reais com extremidades em a e b,</p><p>com a < b, o número real b – a é chamado de comprimento de I. Considere</p><p>a inequação 4 3 26 5 7 4 0x x x x− − + < . A soma dos comprimentos dos</p><p>intervalos nos quais ela é verdadeira é igual a:</p><p>(A)</p><p>3</p><p>4</p><p>.</p><p>(B) 3</p><p>2</p><p>.</p><p>(C) 7</p><p>3</p><p>.</p><p>(D)</p><p>11</p><p>6</p><p>.</p><p>(E) 7</p><p>6</p><p>.</p><p>73 Seja P(x) um polinômio divisível por x–1. Dividindo-o por x2+x,</p><p>obtém-se o quociente Q(x) = x2 – 3 e o resto R(x). Se R(4)=10, então o</p><p>coeficiente do termo de grau 1 de P(x) é igual a:</p><p>(A) –5.</p><p>(B) –3.</p><p>(C) –1.</p><p>(D) 1.</p><p>(E) 3.</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 6</p><p>Números complexos e polinômios</p><p>83IME-ITA – Vol. 5</p><p>74 Sendo 1 e 1+2i raízes da equação x3+ax2+bx+c=0, em que a, b,</p><p>c são números reais, então, b+c é igual a:</p><p>(A) 4.</p><p>(B) 3.</p><p>(C) 2.</p><p>(D) 1.</p><p>(E) 0.</p><p>75 A soma das raízes da equação em C, z8 – 17z4 + 16 = 0, tais que</p><p>z – |z| = 0, é:</p><p>(A) 1.</p><p>(B) 2.</p><p>(C) 3.</p><p>(D) 4.</p><p>(E) 5.</p><p>76 Considere a equação em C, (z – 5 + 3i)4 = 1. Se z0 é a solução que</p><p>apresenta o menor argumento principal dentre as quatro soluções, então</p><p>o valor de |z0| é:</p><p>(A) 29 .</p><p>(B) 41.</p><p>(C) 3 5.</p><p>(D) 4 3 .</p><p>(E) 3 6.</p><p>77 Considere a equação ∑5</p><p>n=0 anx</p><p>n = 0 em que a soma das raízes é igual</p><p>a −2 e os coeficientes a0, a1, a2, a3, a4 e a5 formam, nessa ordem, uma</p><p>progressão geométrica com a0 = 1. Então ∑5</p><p>n=0 an é igual a:</p><p>(A) –21.</p><p>(B) –2/3.</p><p>(C) 21/32.</p><p>(D) 63/32.</p><p>(E) 63.</p><p>78 Seja λ solução real da equação 9 2 17 12+ + + =λ λ . Então a</p><p>soma das soluções z, com Re z > 0, da equação z4 = λ – 32, é:</p><p>(A) 2.</p><p>(B) 2 2.</p><p>(C) 4 2.</p><p>(D) 4.</p><p>(E) 16.</p><p>79 Para z = 1 + iy, y > 0, determine todos os pares (a,y),a > 1, tais</p><p>que z10 = a. Escreva a e y em função de arg z.</p><p>80 Considere o polinômio P(m) = am2 – 3m – 18, em que a ∈ R é tal</p><p>que a soma das raízes de P é igual a 3. Determine a raiz m de P tal que</p><p>duas, e apenas duas, soluções da equação em x, x3 + mx2 + (m + 4)x</p><p>+ 5 = 0, estejam no intervalo ]−2, 2[.</p><p>81 Sejam z = n2 (cos 45° + i sen 45°) e w = n(cos 15° + i sen 15°),</p><p>em que n é o menor inteiro positivo tal que (1 + i)n é real. Então, z</p><p>w</p><p>é</p><p>igual a:</p><p>(A) 3 + i.</p><p>(B) 2( 3 + i).</p><p>(C) 2( 2 + i).</p><p>(D) 2( 2 – i).</p><p>(E) 2( 3 – i).</p><p>82 Se arg z =</p><p>4</p><p>π , então um valor para arg (–2iz) é:</p><p>(A)</p><p>2</p><p>−</p><p>π .</p><p>(B)</p><p>4</p><p>π .</p><p>(C)</p><p>2</p><p>π .</p><p>(D) 3</p><p>4</p><p>π .</p><p>(E) 7</p><p>4</p><p>π .</p><p>83 As raízes x1, x2 e x3 do polinômio p(x) = 16 + ax – (4 + 2) x2 + x3</p><p>estão relacionadas pelas equações:</p><p>X X</p><p>X</p><p>1 22</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>� � � e X X X1 2 32 2 0� � �</p><p>Então, o coeficiente a é igual a:</p><p>(A) 2(1 – 2).</p><p>(B) 2 – 4.</p><p>(C) 2(2 + 2).</p><p>(D) 4 + 2.</p><p>(E) 4( 2 – 1).</p><p>84 Considere um polinômio p(x), de grau 5, com coeficientes reais.</p><p>Sabe-se que –2i e i– 3 são duas de suas raízes. Sabe-se, ainda, que</p><p>dividindo-se p(x) pelo polinômio q(x) = x − 5 obtém-se resto zero e que</p><p>p(1) = 20(5 + 2 3 ). Então, p(−1) é igual a:</p><p>(A) 5(5 − 2 3 ).</p><p>(B) 15(5 − 2 3 ).</p><p>(C) 30(5 − 2 3 ).</p><p>(D) 45(5 − 2 3 ).</p><p>(E) 50(5 − 2 3 ).</p><p>85 Dado z i� � �</p><p>1</p><p>2</p><p>1 3( ), então ∑89</p><p>n=1 z</p><p>n é igual a:</p><p>(A) −</p><p>89</p><p>2</p><p>3i.</p><p>(B) –1.</p><p>(C) 0.</p><p>(D) 1.</p><p>(E)</p><p>89</p><p>6</p><p>3i.</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 6</p><p>84 IME-ITA – Vol. 5</p><p>86 Das afirmações abaixo sobre números complexos z1 e z2:</p><p>I. |z1 – z2| ≤ ||z1| – |z2||.</p><p>II. z z z z1 2 2 2=</p><p>III. Se z1 = |z1|(cos θ + isen θ)≠0, então z1</p><p>(–1) = |z1|</p><p>–1 (cos θ – isen θ).</p><p>É(são) sempre verdadeira(s):</p><p>(A) apenas I. (D) apenas II e III.</p><p>(B) apenas II. (E) todas.</p><p>(C) apenas III.</p><p>87 A soma de todas as soluções da equação em : z2 + |z|2 + i z – 1 = 0</p><p>é igual a:</p><p>(A) 2.</p><p>(B) i</p><p>2</p><p>.</p><p>(C) 0.</p><p>(D) −</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>(E) –2i.</p><p>88 Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da equação x4 + x2 + ax + b = 0,</p><p>com a, b ∈ , então a2 – b3 é igual a:</p><p>(A) –64.</p><p>(B) –36.</p><p>(C) –28.</p><p>(D) 18.</p><p>(E) 27.</p><p>89 Com respeito à equação polinomial 2x4 – 3x3 – 3x2 + 6x – 2 = 0 é</p><p>correto afirmar que:</p><p>(A) todas as raízes estão em .</p><p>(B) uma única raiz está em  e as demais estão em  \ .</p><p>(C) duas raízes estão em  e as demais têm parte imaginária não-nula.</p><p>(D) não é divisível por 2x − 1.</p><p>(E) uma única raiz está em  \  e pelo menos uma das demais está em</p><p> \ .</p><p>90 Sejam m e n inteiros tais que m</p><p>n</p><p>� �</p><p>2</p><p>3</p><p>e a equação 36x2 + 36y2 +</p><p>mx + ny – 23 = 0 representa uma circunferência de raio r = 1 cm e</p><p>centro C localizado no segundo quadrante. Se A e B são os pontos em</p><p>que a circunferência cruza o eixo Oy, a área do triângulo ABC, em cm2,</p><p>é igual a:</p><p>(A) 8 2</p><p>9</p><p>.</p><p>(B) 4 2</p><p>3</p><p>.</p><p>(C) 2 2</p><p>3</p><p>.</p><p>(D)</p><p>2 2</p><p>9</p><p>.</p><p>(E) 2</p><p>9</p><p>.</p><p>91 Sejam n ≥ 3 ímpar, z ∈  \ {0} e z1, z2, ... , zn as raízes de zn = 1.</p><p>Calcule o número de valores |zi – zj|, i, j =1,2, ..., n, com i ≠ j, distintos</p><p>entre si.</p><p>92 Se z é uma solução da equação em ,</p><p>z z z i i� � � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>2</p><p>12</p><p>2</p><p>2 1</p><p>3</p><p>2 1</p><p>3</p><p>[( )</p><p>pode-se afirmar que:</p><p>(A) i z z( )� � 0 .</p><p>(B) i z z( )� � 0 .</p><p>(C) |z|∈[5,6].</p><p>(D) |z|∈[6,7].</p><p>(E) z</p><p>z</p><p>� �</p><p>1</p><p>8 .</p><p>93 Os argumentos principais das soluções da equação em z, iz+3z– +</p><p>(z + z–)2 – i = 0, pertencem a:</p><p>(A)</p><p>3</p><p>,</p><p>4 4</p><p> </p><p>  </p><p>.</p><p>π π</p><p>(B) 3 5</p><p>,</p><p>4 4</p><p> </p><p>  </p><p>π π .</p><p>(C) 5 3</p><p>,</p><p>4 2</p><p> </p><p>  </p><p>π π .</p><p>(D) ,</p><p>4 2</p><p> </p><p>  </p><p>.π π</p><p>(E) [ ]7</p><p>0, ,2</p><p>4 4</p><p> ∪  </p><p>.π π</p><p>π</p><p>94 Sabe-se que o polinômio p(x)=x5 – ax3 + ax2 – 1, a ∈ , admite a</p><p>raiz –i. Considere as seguintes afirmações sobre as raízes de p.</p><p>I. Quatro das raízes são imaginárias puras.</p><p>II. Uma das raízes tem multiplicidade dois.</p><p>III. Apenas uma das raízes é real.</p><p>Dessas, é(são) verdadeira(s) apenas:</p><p>(A) I.</p><p>(B) II.</p><p>(C) III.</p><p>(D) I e III.</p><p>(E) II e III.</p><p>95 Um polinômio real p(x) = ∑5</p><p>n=0 anx</p><p>n, com a5 = 4, tem três raízes reais</p><p>distintas a, b e c, que satisfazem o sistema:</p><p>a b c</p><p>a b c</p><p>a b c</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2 5 0</p><p>4 2 6</p><p>2 2 2 5</p><p>Sabendo que a maior das raízes é simples e as demais tem multiplicidade</p><p>dois, pode-se afirmar que p(1) é igual a:</p><p>(A) –4.</p><p>(B) –2.</p><p>(C) 2.</p><p>(D) 4.</p><p>(E) 6.</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 6</p><p>Números complexos e polinômios</p><p>85IME-ITA – Vol. 5</p><p>96 Considere o polinômio p(x) = ∑15</p><p>n=0 anx</p><p>n, com coeficientes a0 = –1 e</p><p>an = 1 + ian–1, n = 1, 2, ..., 15. Das afirmações:</p><p>I. p(–1)∉;</p><p>II. |p(x)| ≤ 4(3 + 2 + 5 ), ∀x ∈[–1,1];</p><p>III. a8 = a4.</p><p>É(são) verdadeira(s) apenas:</p><p>(A) I.</p><p>(B) II.</p><p>(C) III.</p><p>(D) I e II.</p><p>(E) II e III.</p><p>97 A expressão (2 3 + 5)5 – (2 3 – 5)5 é igual a:</p><p>(A) 2.630 5 .</p><p>(B) 2.690 5 .</p><p>(C) 2.712 5 .</p><p>(D) 1.584 15 .</p><p>(E) 1.604 15 .</p><p>98 Considere o polinômio p(x)=∑6</p><p>n=0 anx</p><p>n com coeficientes reais, a ≠ 0</p><p>e a6 = 1. Sabe-se que r é raiz de p, –r também é raiz de p. Analise a</p><p>veracidade</p><p>ou falsidade das afirmações:</p><p>I. Se r1 e r2, |r1| ≠ |r2| são raízes reais e r3 é raiz não real de p, então</p><p>r3 é imaginário puro.</p><p>II. Se r é raiz dupla de p, então r é real ou imaginário puro.</p><p>III. a0<0</p><p>99 Se a = cos</p><p>5</p><p>π e b = sen</p><p>5</p><p>π , então, o número complexo</p><p>cos sen</p><p>5 5</p><p>i + </p><p> </p><p>π π</p><p>é igual a:</p><p>(A) a + bi.</p><p>(B) –a + bi.</p><p>(C) (1 – 2a2 b2) + ab(1 + b2)i.</p><p>(D) a – bi.</p><p>(E) 1 – 4a2 b2 + 2ab(1 – b2)i.</p><p>100 O polinômio de grau 4 (a + 2b + c) x4 + (a + b + c) x3 – (a – b) x2</p><p>+ (2a – b + c) x+2 (a + c), com a, b, c ∈ , é uma função par. Então,</p><p>a soma dos módulos de suas raízes é igual a:</p><p>(A) 3 + 3 .</p><p>(B) 2 + 3 3 .</p><p>(C) 2 + 2.</p><p>(D) 1 + 2 2.</p><p>(E) 2 + 2 2.</p><p>101 Suponha que os coeficientes reais a e b da equação x4 + ax3 +</p><p>bx2 + ax + 1 = 0 são tais que a equação admite solução não real r com</p><p>|r|≠1. Das seguintes afirmações:</p><p>I. A equação admite quatro raízes distintas, sendo todas não reais.</p><p>II. As raízes podem ser duplas.</p><p>III. Das quatro raízes, duas podem ser reais.</p><p>É(são) verdadeira(s):</p><p>(A) apenas I.</p><p>(B) apenas II.</p><p>(C) apenas III.</p><p>(D) apenas II e III.</p><p>(E) nenhuma.</p><p>102 Sejam x, y ∈  e w = x2 (1 + 3i) + y2 (4 – i) – x(2 + 6i) + y(–16</p><p>+ 4i) ∈ . Identifique e esboce o conjunto:</p><p>Ω = {(x,y)∈ 2; Re w ≤ –13 e Im w ≤ 4}</p><p>103 Suponha que a equação algébrica X a x an</p><p>n</p><p>N</p><p>11</p><p>0</p><p>1</p><p>10</p><p>0� � �</p><p>�</p><p>� tenha</p><p>coeficientes reais ao, a1, …, a10 tais que as suas onze raízes sejam todas</p><p>simples e da forma β + iγn, em que β, γn ∈  e os γn, n = 1, 2, ..., 11,</p><p>formam uma progressão aritmética de razão real γ ≠ 0. Considere as três</p><p>afirmações abaixo e responda se cada uma delas é, respectivamente,</p><p>verdadeira ou falsa, justificando sua resposta:</p><p>I. Se β = 0, então a0 = 0.</p><p>II. Se a10 = 0, então β = 0.</p><p>III. Se β = 0, então a1 = 0.</p><p>104 Sejam α, β ∈  tais que |α| = |β| =1 e |α – β| = 2. Então</p><p>α2 + β2 é igual a:</p><p>(A) –2.</p><p>(B) 0.</p><p>(C) 1.</p><p>(D) 2.</p><p>(E) 2i.</p><p>105 Um polinômio P é dado pelo produto de 5 polinômios cujos graus</p><p>formam uma progressão geométrica. Se o polinômio de menor grau tem</p><p>grau igual a 2 e o grau de P é 62, então o de maior grau tem grau igual a:</p><p>(A) 30.</p><p>(B) 32.</p><p>(C) 34.</p><p>(D) 36.</p><p>(E) 38.</p><p>106 Considere o polinômio p(x)=a5x</p><p>5 + a4x</p><p>4 + a3x</p><p>3 + a2x2 – a1, em que</p><p>uma das raízes é x = –1. Sabendo-se que a1, a2, a3, a4 e a5 são reais e</p><p>formam, nessa ordem, uma progressão aritmética com a4 = 1/2, então</p><p>p(–2) é igual a:</p><p>(A) –25.</p><p>(B) –27.</p><p>(C) –36.</p><p>(D) –39.</p><p>(E) –40.</p><p>107 Sobre a equação polinomial 2x4 + ax3 + bx2 + cx – 1 = 0, sabemos</p><p>que os coeficientes a, b, c são reais, duas de suas raízes são inteiras e</p><p>distintas e 1/2 – i/2 também é sua raiz. Então, o máximo de a, b, c é igual a:</p><p>(A) –1.</p><p>(B) 1.</p><p>(C) 2.</p><p>(D) 3.</p><p>(E) 4.</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 6</p><p>86 IME-ITA – Vol. 5</p><p>108 É dada a equação polinomial (a + c + 2) x3 + (b + 3c + 1) x2 +</p><p>(c – a) x + (a+b+4) = 0 com a, b, c reais. Sabendo-se que esta equação</p><p>é recíproca de primeira espécie e que 1 é uma raiz, então o produto abc</p><p>é igual a:</p><p>(A) –2.</p><p>(B) 4.</p><p>(C) 6.</p><p>(D) 9.</p><p>(E) 12.</p><p>109 Determine as raízes em  de 4z6 + 256 = 0, na forma a + bi, com</p><p>a, b ∈ , que pertençam a S={z∈ C; 1<|z+2|<3}.</p><p>110 Sejam α, β, γ ∈ . Considere o polinômio p(x) dado por:</p><p>x5 – 9x4 + (α – β – 2γ) x3 +(α + 2β + 2γ – 2) x2 + (α – β – γ + 1)x</p><p>+ (2α + β + γ –1).</p><p>Encontre todos os valores de α, β e γ de modo que x = 0 seja uma raiz</p><p>com multiplicidade 3 de p(x).</p><p>111 Considere a equação 16</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>3 4</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>ix</p><p>ix</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>.</p><p>Sendo x um número real, a soma dos quadrados das soluções dessa</p><p>equação é:</p><p>(A) 3.</p><p>(B) 6.</p><p>(C) 9.</p><p>(D) 12.</p><p>(E) 15.</p><p>112 Assinale a opção que indica o módulo do número complexo:</p><p>1</p><p>,� ,�</p><p>1 cotg</p><p>x k k</p><p>i x</p><p>≠ ∈</p><p>+</p><p>Zπ</p><p>(A) |cos x|.</p><p>(B) (1 + sen x)/2.</p><p>(C) cos2 x.</p><p>(D) |cos secx|.</p><p>(E) |sen x|.</p><p>113 Seja Q (z) um polinômio do quinto grau, definido sobre o conjunto</p><p>dos números complexos, cujo coeficiente de z5 é igual a 1. Sendo</p><p>z3 + z2 + z + 1 um fator de Q (z), Q (0) = 2 e Q (1) = 8, então, podemos</p><p>afirmar que a soma dos quadrados dos módulos das raízes de Q (z) é</p><p>igual a:</p><p>(A) 9.</p><p>(B) 7.</p><p>(C) 5.</p><p>(D) 3.</p><p>(E) 1.</p><p>114 Sendo c um número real a ser determinado, decomponha o polinômio</p><p>9x2 – 63x + c, numa diferença de dois cubos (x + a)3 – (x + b)3. Nesse</p><p>caso, |a +|b|–c| é igual a:</p><p>(A) 104.</p><p>(B) 114.</p><p>(C) 124.</p><p>(D) 134.</p><p>(E) 144.</p><p>115 Determine o conjunto A formado por todos os números complexos</p><p>z tais que 2</p><p>3  e  0 2 1.</p><p>2 2</p><p>z z</p><p>z i</p><p>z i z i</p><p>+ = < − ≤</p><p>− +</p><p>116 Se para todo z ∈ , |f(z)| = |z| e |f(z) – f(1)| = |z – 1|, então,</p><p>para todo z ∈ , ( ) ( ) ( ) ( )1 1f f z f f z+ é igual a:</p><p>(A) 1.</p><p>(B) 2z.</p><p>(C) 2Re(z).</p><p>(D) 2Im(z).</p><p>(E) 2|z|2.</p><p>117 Se α ∈ [0, 2π] é o argumento de um número complexo z ≠ 0 e n é</p><p>um número natural tal que (z /|z|)n = i sen (nα), então, é verdade que:</p><p>(A) 2nα é múltiplo de 2π.</p><p>(B) 2nα – π é múltiplo de 2π.</p><p>(C) nα – π/4 é múltiplo de π/2.</p><p>(D) 2nα – π é múltiplo não nulo de 2.</p><p>(E) nα – 2π é múltiplo de π.</p><p>118 Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite</p><p>1 – i como raiz de multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de</p><p>todas as raízes de p são, respectivamente, 10 e –40. Sendo afirmado que</p><p>três raízes de p são reais e distintas e formam uma progressão aritmética,</p><p>então, tais raízes são:</p><p>(A) 3 / 2 193 / 6, 3, 3 / 2 193 / 6− + .</p><p>(B) 2 4 13, 2, 2 4 13− + .</p><p>(C) –4,2,8.</p><p>(D) –2,3,8.</p><p>(E) –1,2,5.</p><p>119 Sobre o polinômio p(x) = x5 – 5x3 + 4x2 – 3x – 2 podemos afirmar</p><p>que:</p><p>(A) x = 2 não é raiz de p.</p><p>(B) p só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e</p><p>duas irracionais.</p><p>(C) p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira.</p><p>(D) p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras.</p><p>(E) p admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas</p><p>irracionais.</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 6</p><p>Números complexos e polinômios</p><p>87IME-ITA – Vol. 5</p><p>120 Considere o polinômio p(x) = x3 – (a + 1) x+ a, em que a ∈ .</p><p>O conjunto de todos os valores de a, para os quais o polinômio p(x) só</p><p>admite raízes inteiras, é:</p><p>(A) { }2 , n n∈ .</p><p>(B) { }24 , n n∈ .</p><p>(C) { }26 4 , n n n− ∈ .</p><p>(D) ( ){ }1 , n n n+ ∈ .</p><p>(E) .</p><p>121 Considere o polinômio p(x) = x3 + ax2 + x + 1, com raízes reais. O</p><p>coeficiente a é racional e a diferença entre duas de suas raízes também é</p><p>racional. Nessas condições, analise se a seguinte afirmação é verdadeira:</p><p>"Se uma das raízes de p(x) é racional, então todas as suas raízes</p><p>são racionais."</p><p>122 O número complexo 2 + i é raiz do polinômio f(x) = x4 + x3 + px2</p><p>+ x + q, com p, q ∈ . Então, a alternativa que mais se aproxima da</p><p>soma das raízes reais de f é:</p><p>(A) 4.</p><p>(B) –4.</p><p>(C) 6.</p><p>(D) 5.</p><p>(E) –5.</p><p>123 Seja z ∈  com |z| = 1. Então, a expressão</p><p>1 zw</p><p>z w</p><p>−</p><p>−</p><p>assume valor:</p><p>(A) maior que 1, para todo w com |w|>1.</p><p>(B) menor que 1, para todo w com |w|<1.</p><p>(C) maior que 1, para todo w com w ≠ z.</p><p>(D) igual a 1, independente de w com w ≠ z.</p><p>(E) crescente para |w| crescente, com |w|<|z|.</p><p>124 Considere 2log 4</p><p>b</p><p>a = com a e b números reais positivos. Determine</p><p>o valor de m, número real, para que a equação x3 – 18x2 + [logb(ab)m +</p><p>8 – m] x – logba</p><p>2m = 0 tenha três raízes reais em progressão aritmética.</p><p>125 Considere, z1 e z2, complexos que satisfazem à equação x2 + px +</p><p>q = 0, em que p e q são números reais diferentes de zero. Sabe-se que os</p><p>módulos de z1 e z2 são iguais e que a diferença entre os seus argumentos</p><p>vale α, em que α é diferente de zero. Determine o valor de 2cos �</p><p>2</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>α em</p><p>função de p e q.</p><p>126 Os números reais x1, x2 e x3 são raízes da equação 3 2</p><p>2</p><p>b b</p><p>x ax a x− = − ,</p><p>sendo b ∈ IN(natural), a ∈ IR(real) e a ≠ 1. Determine, em função de a e</p><p>b, o valor de ( )</p><p>2 2 2</p><p>1 2 3</p><p>1 2 3 1 2 3log</p><p>b</p><p>x x x</p><p>a x x x x x x</p><p>+ + + +  </p><p>.</p><p>127 Seja o número complexo Z = a + bi, com a e b ∈ IR(real) e   1i = − .</p><p>Determine o módulo de Z sabendo que</p><p>( )</p><p>( )</p><p>3 2</p><p>3 2</p><p>3 1</p><p>3 1</p><p>a ab</p><p>b a b</p><p> = +</p><p></p><p>= −</p><p>.</p><p>128 Sejam z1 = 10 + 6i e z2 = 4 + 6i, em que i é a unidade imaginária,</p><p>e z um número complexo tal que 1</p><p>2</p><p>arg</p><p>4</p><p>z z</p><p>z z</p><p> −</p><p>= − </p><p>α , determine o módulo</p><p>do número complexo (z – 7 – 9i).</p><p>Obs.: arg(w) é o argumento do complexo w.</p><p>129 Considere o conjunto de números complexos E = {a + bw},</p><p>em que a e b são inteiros e w = cis (2p/3). Seja o subconjunto U = {α</p><p>∈ E / ∃β ∈ E no qual αβ = 1}. Determine:</p><p>a. Os elementos do conjunto U.</p><p>b. Dois elementos pertencentes ao conjunto Y = E – U tais que o produto</p><p>seja um número primo.</p><p>130 Sabe-se que 3</p><p>1 2</p><p>4</p><p>z</p><p>z z</p><p>z</p><p>= e 3 4 3 4 0z z z z+ − − = , sendo z1, z2, z3, z4</p><p>e z5 números complexos diferentes de zero. Prove que z1 e z2 são ortogonais.</p><p>Obs.: números complexos ortogonais são aqueles cujas representações</p><p>gráficas são perpendiculares entre si e z é o número complexo conjugado</p><p>de z.</p><p>131 Encontre o polinômio P(x) tal que Q(x) + 1 = (x – 1)3. P(x) e</p><p>Q(x) + 2 é divisível por x4, em que Q(x) é um polinômio do 6º grau.</p><p>132 Determine a expressão da soma a seguir, em que n é um inteiro</p><p>múltiplo de 4.</p><p>S = 1 + 2i + 3i2 + ... + (n + 1)in</p><p>133 Considere os números complexos Z1 = sem α + i cos α e Z2 = cos α</p><p>– i co sα, em que α é um número real. Mostre que se Z = z1 z2, então –1 ≤</p><p>Re(Z) ≤ 1 e –1 ≤ Im(Z) ≤ 1, em que Re(Z) e Im(Z) indicam, respectivamente,</p><p>as partes real e imaginária de Z.</p><p>134 Considere o polinômio p(x) = x5 – 3x4 – 3x3 + 27x2 – 44x + 30.</p><p>Sabendo que o produto de duas de suas raízes complexas é igual a 3 – i</p><p>e que as partes reais e imaginárias de todas as suas raízes complexas</p><p>são inteiras e não-nulas, calcule todas as raízes do polinômio.</p><p>135 Determine o valor das raízes comuns das equações</p><p>x4 – 2x3 – 11x2 + 18x + 18 = 0 e x4 – 12x3 – 44x2 + 32x + 52 = 0.</p><p>136 Sejam a, b e c as raízes do polinômio p(x) = x3 + rx – t, em que r</p><p>e t são números reais não nulos.</p><p>a. Determine o valor da expressão a3 + b3 + c3 em função de r e t.</p><p>b. Demonstre que Sn+1 + rSn – 1 – tSn – 2 = 0 para todo número natural</p><p>n ≥ 2, em que Sk = ak + bk + ck para qualquer número natural k.</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 6</p><p>88 IME-ITA – Vol. 5</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 6</p><p>Números complexos e polinômios</p><p>89IME-ITA – Vol. 5</p><p>01 Mostre que: 3</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>a – b – c a a</p><p>b b – c – a b = (a+b+c) .</p><p>c c c – a – b</p><p>02 Calcule o determinante:</p><p>1 2</p><p>1 1 2</p><p>1 2 2</p><p>1 2</p><p>1 ...</p><p>1 ...</p><p>1 ...</p><p>. . . ....: : : :</p><p>1 ...</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>n n</p><p>a a a</p><p>a b a a</p><p>a a b a</p><p>a a a b</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>03 Calcule o determinante:</p><p>x a a a</p><p>a x a a</p><p>a a x a</p><p>a a a x</p><p></p><p></p><p></p><p>    </p><p></p><p>04 Calcule o determinante:</p><p>0 0 0</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0 0</p><p>0 0 0 1</p><p>a b ab</p><p>a b ab</p><p>a b</p><p>a b</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p>     </p><p></p><p>05 Sendo A a matriz 3 × 3 dada por</p><p>1 2 3</p><p>1 0 0</p><p>3 0 1</p><p>A</p><p> </p><p> =  </p><p>  </p><p>, a soma dos</p><p>elementos da inversa de A é:</p><p>(A) 1.</p><p>(B) 2.</p><p>(C) 5.</p><p>(D) 0.</p><p>(E) –2.</p><p>06 Calcule o determinante:</p><p>1 2 2 2</p><p>2 2 2 2</p><p>2 2 3 2</p><p>2 2 2 n</p><p></p><p></p><p></p><p>    </p><p></p><p>07 Calcule o determinante:</p><p>1 2 1</p><p>1 2 1</p><p>1 2 1</p><p>1 2 3</p><p>1 2 3</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>x a a a</p><p>a x a a</p><p>a a x a</p><p>a a a x</p><p>a a a a</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>     </p><p></p><p></p><p>08 Calcule o determinante:</p><p>1 2</p><p>2 3</p><p>3</p><p>1 0 0 0</p><p>1 1 0 0</p><p>0 1 1 0 0</p><p>0 0 0 0 1 n</p><p>b b</p><p>b b</p><p>b</p><p>b</p><p>−</p><p>− −</p><p>− −</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p>     </p><p></p><p>09 Calcule o determinante:</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>1 1 1 1</p><p>1 1 1 1</p><p>1 1 1 1</p><p>1 1 1 1 n</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p>    </p><p></p><p>10 Calcule o determinante</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1 1 1 1</p><p>1 1 1 1</p><p>1 1 1 1</p><p>1 1 1 1</p><p>n</p><p>n</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>−</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p></p><p></p><p>    </p><p></p><p></p><p>11 Demonstre a igualdade:</p><p>cos 1 0 0 0 0</p><p>1 2cos 1 0 0 0</p><p>cos0 1 2cos 1 0 0</p><p>0 0 0 0 1 2cos</p><p>a</p><p>a</p><p>naa</p><p>a</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p>      </p><p></p><p>12 Dizemos que duas matrizes n × n A e B são semelhantes se caso</p><p>exista uma matriz n × n inversível P, tal que B = P–1 AP. Se A e B são</p><p>matrizes semelhantes quaisquer, então:</p><p>(A) B é sempre inversível.</p><p>(B) se A é simétrica, B também é simétrica.</p><p>(C) B2 é semelhante a A.</p><p>(D) se C é semelhante a A, BC é semelhante a A2.</p><p>(E) det (λI – A) = det(λI – B).</p><p>13 Discuta o seguinte sistema:</p><p>2 2</p><p>5 2 1</p><p>3</p><p>ax z</p><p>x y</p><p>x y bz</p><p>+ = + =</p><p>− + =</p><p>14 Discuta o seguinte sistema:</p><p>3 5 4</p><p>3 2</p><p>9 7 8 0</p><p>ax y z</p><p>x ay z</p><p>x y az</p><p>− + = − + =</p><p>− + =</p><p>15 Mostre que o determinante da matriz</p><p>cos ( ) sen ( ) 1</p><p>cos ( ) sen ( ) 1</p><p>cos ( ) sen ( ) 1</p><p>x a x a</p><p>x b x b</p><p>x c x c</p><p>+ + </p><p> + + </p><p> + + é independente de x.</p><p>Matrizes, Determinantes, Sistemas Lineares</p><p>MATEMÁTICA II ASSUNTO</p><p>7</p><p>90 IME-ITA – Vol. 5</p><p>16 Verifique a seguinte identidade, aplicando as propriedades dos</p><p>determinantes</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>cos 2 cos sen</p><p>cos 2 cos sen 0.</p><p>cos 2 cos sen</p><p>a a a</p><p>b b b</p><p>c c c</p><p>=</p><p>17 Seja A uma matriz real quadrada de ordem n e B = I – A, em que</p><p>I denota a matriz identidade de ordem n. Supondo que A é inversível e</p><p>idempotente (isto é, A2 = A), considere as afirmações:</p><p>I. B é idempotente.</p><p>II. AB = BA</p><p>III. B é inversível.</p><p>IV. A2 + B2 = I</p><p>V. AB é simétrica.</p><p>O número de afirmações verdadeiras é:</p><p>(A) 0.</p><p>(B) 1.</p><p>(C) 2.</p><p>(D) 3.</p><p>(E) 4.</p><p>18 Mostre que:</p><p>1 1 1 1</p><p>1 0 1 1</p><p>1.</p><p>1 1 1 0</p><p>−</p><p>=</p><p>− − −</p><p></p><p></p><p>    </p><p></p><p>19 Mostre que:</p><p>log log log</p><p>log 2 log 2 log 2 0</p><p>log 3 log 3 log 3</p><p>x y z</p><p>x y z</p><p>x y z</p><p>=</p><p>20 Mostre que:</p><p>1 2 2 2</p><p>2 2 2 2</p><p>2 ( 2)!2 2 3 2</p><p>2 2 2</p><p>n</p><p>n</p><p>= − −</p><p></p><p></p><p></p><p>    </p><p></p><p>21 Prove que</p><p>cot cot cot</p><p>2 2 2</p><p>0,</p><p>1 1 1</p><p>A B C</p><p>a b c = sendo A, B, C ângulos de um</p><p>triângulo e a, b, c os lados opostos, respectivamente, desses ângulos.</p><p>22 Dizemos que um número real λ é autovalor de uma matriz real</p><p>T n ×n quando existir uma matriz coluna X n × 1 não nula, tal que TX =</p><p>λX. Considere uma matriz real P n × n satisfazendo PP = P. Denote por</p><p>λ1 um autovalor de P e por λ2 um autovalor de PP. Podemos afirmar que,</p><p>necessariamente:</p><p>(A) λ1 < λ2 < 0.</p><p>(B) λ1 > λ2 > 1.</p><p>(C) λ1 e λ2 pertencem ao conjunto {0,1}</p><p>(D) λ1 e λ2 pertencem ao conjunto {t ∈ ℜ tal que t < 0 ou t > 1}</p><p>(E) λ1 e λ2 pertencem ao intervalo aberto (0,1).</p><p>23 Dadas as matrizes:</p><p>1 1</p><p>1 2</p><p>3 2 3 3</p><p>0 1 0 0</p><p>0 1 0 0</p><p>1 0</p><p>x x</p><p>A x e B x</p><p>x x x x</p><p>−   </p><p>   = = −   </p><p>   − − −   </p><p>em que x1, x2 e x3 são raízes da seguinte equação em x: x3 + ax2 + bx – 2</p><p>= 0. Se det A = 4x1 e det (A – B) = 8, então podemos afirmar que:</p><p>(A) det (A – B) = b e a = 2.</p><p>(B) det A = b e a = 2.</p><p>(C) det B = 2 e b = 5.</p><p>(D) det (A – B) = a e b = det A.</p><p>(E) det e .</p><p>2 2</p><p>a a</p><p>A b= =</p><p>24 Seja x ∈ ℜ e A a matriz definida por</p><p>1 sen sen</p><p>4 2</p><p>1</p><p>cos</p><p>4 2 2</p><p>x</p><p>x</p><p>A</p><p>x</p><p>π</p><p>π</p><p>  + +  </p><p>  =</p><p>  −  </p><p>  </p><p>Se S é o conjunto dos x tais que A é a matriz inversível, então podemos</p><p>afirmar que:</p><p>(A) S é vazio.</p><p>(B) , .</p><p>2</p><p>S k k = ∈ Ζ </p><p> </p><p>π</p><p>(C) S = [0, 2π]</p><p>(D) , .</p><p>2</p><p>S k k Z = ∈ </p><p> </p><p>π</p><p>(E) , .</p><p>2 2</p><p>S  = − </p><p> </p><p>π π</p><p>25 Dizemos que duas matrizes reais, 2 × 1, A e B quaisquer são linearmente</p><p>dependentes se e somente se, existem dois números reais x e y, ambos</p><p>não nulos, tais que xA + yB = 0, em que 0 é a matriz nula 2 × 1. Se</p><p>1 1</p><p>,</p><p>1 2</p><p>n</p><p>n</p><p>k</p><p>A B</p><p>k</p><p>−   +</p><p>= =   −   </p><p>,em que k ∈ ℜ* e n ∈ ¥ = {1, 2, 3, ...}</p><p>podemos afirmar que, para cada n ∈ ¥,</p><p>(A) A e B são linearmente dependentes,∀k ∈ ℜ*.</p><p>(B) Existe um único k ∈ ℜ* tal que A e B não são linearmente dependentes.</p><p>(C) Existe um único k ∈ ℜ* tal que A e B são linearmente dependentes.</p><p>(D) Existem apenas dois valores de k ∈ ℜ* tais que A e B são linearmente</p><p>dependentes.</p><p>(E) Não existe valor de k ∈ ℜ* tal que A e B são linearmente dependentes.</p><p>26 Considere P a matriz inversa da matriz M, em que</p><p>1/ 3 0</p><p>1/ 7 1</p><p>M</p><p> </p><p>=  </p><p> </p><p>. A</p><p>soma dos elementos da diagonal principal da matriz P é:</p><p>(A) 9/4.</p><p>(B) 4/9.</p><p>(C) 4.</p><p>(D) 5/9.</p><p>(E) –1/9.</p><p>27 Seja λ um número real, I a matriz identidade de ordem 2 e A a matriz</p><p>quadrada de ordem 2, cujos elementos aij são definidos por: aij = i + j.</p><p>Sobre a equação em λ definida por det (A – λI ) = det A – λ, qual das</p><p>afirmações abaixo é verdadeira?</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 7</p><p>Matrizes, Determinantes, Sistemas Lineares</p><p>91IME-ITA – Vol. 5</p><p>(A) Apresenta apenas raízes negativas.</p><p>(B) Apresenta apenas raízes inteiras.</p><p>(C) Uma raiz é nula e a outra, negativa.</p><p>(D) As raízes são 0 e 5/2.</p><p>(E) Todo λ real satisfaz essa equação.</p><p>28</p>