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1 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição PREPARAÇÃO PARA O ENSINO SUPERIOR Vol.1 2 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Índice 1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 7 2 CONJUNTOS NUMÉRICOS ................................................................................................. 8 Números Naturais --------------------------------------------------------------------------------- 8 Números Inteiros Relativos ---------------------------------------------------------------------- 8 Números Racionais ------------------------------------------------------------------------------ 9 Números Reais ------------------------------------------------------------------------------------ 9 3 TEOREMA DE CONJUNTOS ............................................................................................. 11 Representação De Conjuntos -------------------------------------------------------------------11 Conjunto Unitário --------------------------------------------------------------------------------12 Conjunto Vazio -----------------------------------------------------------------------------------12 Igualdade Conjuntos -----------------------------------------------------------------------------13 Complementar De Um Conjunto --------------------------------------------------------------13 Reunião De Conjuntos --------------------------------------------------------------------------15 Intersecção De Conjuntos -----------------------------------------------------------------------15 4 INTERVALOS REAIS.......................................................................................................... 19 5 NÚMEROS COMPLEXOS .................................................................................................. 23 Igualdade De Números Complexos -----------------------------------------------------------24 Operações Com Números Complexos --------------------------------------------------------25 6 LOGICA MATEMÁTICA .................................................................................................... 37 Proposições ---------------------------------------------------------------------------------------37 3 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Conjunção ( ) -----------------------------------------------------------------------------------38 Disjunção ( ) ------------------------------------------------------------------------------------38 IMPLICÂNCIA ............................................................................................................................ 38 Equivalência (↔) --------------------------------------------------------------------------------38 NEGAÇÃO DE UMA PROPORÇÃO ...................................................................................... 39 7 ARITMÉTICA....................................................................................................................... 45 Tipos de fracções ---------------------------------------------------------------------------------45 MDC -----------------------------------------------------------------------------------------------46 Proporcoes ----------------------------------------------------------------------------------------46 Razão ----------------------------------------------------------------------------------------------47 Regra De Tres ------------------------------------------------------------------------------------47 Percentagem --------------------------------------------------------------------------------------48 Aumentos E Descontos Percentuais -----------------------------------------------------------48 8 POTENCIAÇÃO ................................................................................................................ 53 Propriedades De Potências----------------------------------------------------------------------54 Notação Científica -------------------------------------------------------------------------------54 9 RADICIAÇÃO ...................................................................................................................... 59 Classificação de radicais ------------------------------------------------------------------------60 Operações entre radicais ------------------------------------------------------------------------60 Racionalizacao De Denominador --------------------------------------------------------------61 4 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 10 EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU (EQUAÇÕES LINEARES) .................................. 68 11 EQUAÇÕES QUADRATICAS ........................................................................................ 69 Soma e produto duma expressão polinomial -------------------------------------------------70 Equações paramétricas --------------------------------------------------------------------------70 Equação quadrática incompleta do tipo: 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎 -----------------------------------------71 Equação quadrática incompleta do tipo: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 -----------------------------------72 Equação quadrática incompleta do tipo: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 ---------------------------------73 EquaÇão quadrata completa, tipo : 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ----------------------------------73 Informações relevantes sobre equações quadráticas: ---------------------------------------76 12 ALGÉBRA ......................................................................................................................... 76 Classificação das expressões -------------------------------------------------------------------76 Polinómio racional inteiro homogéneo -------------------------------------------------------78 Polinómio racional inteira ordenado ----------------------------------------------------------78 Polinómio nulo -----------------------------------------------------------------------------------78 Polinómios idênticos ----------------------------------------------------------------------------78 Operações com polinómios ---------------------------------------------------------------------78 Divisibilidade de polinómios -------------------------------------------------------------------80 Método De Briot-Ruffini ------------------------------------------------------------------------80 Teorema do resto ---------------------------------------------------------------------------------80 Classificação das expressões algébricas ---------------------------------------------------86 Expressão --------------------------------------------------------------------------------------------------86 13 EQUACÕES DO 3° GRAU .............................................................................................. 90 5 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 14 EQUACÕES DO 4° ,6° ,8°… GRAUS ............................................................................. 90 15 EQUACOES IRRACIONAIS ........................................................................................... 95 EXPRESSÕES EXPONENCIAIS ................................................................................................ 97 Equações Exponenciais -------------------------------------------------------------------------97 Inequações Exponenciais -----------------------------------------------------------------------97 16 LOGARITMOS ................................................................................................................. 97 Cologaritmo ---------------------------------------------------------------------------------------98 Antilogaritmo -------------------------------------------------------------------------------------98Logaritmo natural --------------------------------------------------------------------------------98 Propriedades de logaritmos ---------------------------------------------------------------------98 17 SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES A DUAS INCÓGNITAS ....................................... 104 Método da Substituição ----------------------------------------------------------------------- 105 Método da Adição ordenada ------------------------------------------------------------------ 105 18 INEQUAÇÕES .......................................................................................................... 106 Inequação Produto ----------------------------------------------------------------------------- 106 Inequações Quociente ------------------------------------------------------------------------- 106 19 MÓDULO DE UM NÚMERO REAL ............................................................................ 109 Equações Inequações Modulares ------------------------------------------------------------ 109 20 BINOMIO DE NEWTON E ANÁLISE COMBINATÓRIA .......................................... 117 Triângulo de Pascal ---------------------------------------------------------------------------- 117 Arranjos ----------------------------------------------------------------------------------------- 119 6 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Permutação -------------------------------------------------------------------------------------- 119 Combinações------------------------------------------------------------------------------------ 119 21 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA............................................................................ 120 Estatística ---------------------------------------------------------------------------------------- 121 22 TRIGONOMETRIA ...................................................................................................... 126 Tabelas de ângulos ----------------------------------------------------------------------------- 127 Fórmulas fundamentais da trigonometria --------------------------------------------------- 127 Círculo trigonométrico ----------------------------------------------------------------------- 127 23 GEOMETRIA PLANA .................................................................................................... 133 Ângulos complementares e suplementares ------------------------------------------------- 135 Ângulos opostos pelo vértice ----------------------------------------------------------------- 137 TRIÂNGULOS Definição: ------------------------------------------------------------------- 141 Semelhança de triângulos --------------------------------------------------------------------- 144 Teorema de Tales (Caso Geral da Semelhança de Triângulos) ------------------------- 146 Circunferência ---------------------------------------------------------------------------------- 146 Lei dos senos. ----------------------------------------------------------------------------------- 148 24 MATRIZ DE EXAME DE ADMISSÃO ........................................................................ 158 7 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 1 Introdução Com o objectivo de garantir a sua admissão em qualquer universidade, foi elaborado este manual completo com todos os conteúdos avaliados nos exames de admissão. Este manual possui 23 capítulos e um capítulo com a matriz do exame de matemática. Cada capítulo possui um contéudo teoría e uma série de exercícios resolvidos para expandir os seus níveis de comprensão. E após cada capítulo, há exercícios propostos para avaliares os seus níveis de assimilação. Recomenda-se a concluir estes exercícios para em seguida transitar para o capítulo seguinte. Neste livro terás toda a matéria avaliada nos exames, no entanto não se dispensa conteúdos complementares. 8 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 2 CONJUNTOS NUMÉRICOS Números Naturais ,...3;2;1;0=N Subconjunto de conjunto N ,...3,2,1* =N Números Inteiros Relativos 1 Subconjuntos dos Inteiros relativos (Z) ...3,2,1,0=+ +ouZZ Conjunto dos inteiros não negativos por isso N= +Z Chama-se conjunto dos números naturais símbolo N Formado pelos números 0;1;2;3… Chama-se conjunto dos números inteiros relativos (Z). Conjunto ,...3,2,1,0,1,2,3... −−−=Z positivos inteiros dos Conjunto ...3,2,1 nulos não inteiros dos Conjunto ...3,2,1,1,2,3..., negativos inteiros dos Conjunto 1,2,3... positivos não inteiros dos Conjunto 0,1,2,3... * * * _ _ _ = −−−= −−−= −−−= +Z Z Z ouZZ 9 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Números Racionais Subconjuntos dos números racionais Q ouQ+ + Conjuntos dos racionais positivos (não negativos) Q ouQ− − Conjuntos dos racionais negativos (não positivos) *Q Conjuntos dos racionais não nulos Números Reais Ex.: de números irracional 2 1,4142136...; 3,1415926..= = 3 3 2 1; 3 2; ; 2 5 R = + São irracionais Subconjuntos dos números reais R ouR+ + Conjunto dos números reais positivos Chama-se conjunto dos números racionais ( Q) o conjunto dos pares ordenados ou (fracções) onde *( 0)x zey z y x y N Z Q Chama-se conjunto dos números reais( R) o conjunto de todos números decimais exactas ou periódicas (racionais) e conjunto de números decimais não exactas e não periódicas (chamados irracionais) 10 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição R ouR− − Conjunto dos números reais negativos *R Conjunto dos números reais não nulos 01) Mostre que 5 é um número irracional. 02) Provar que a, b, c, d, são racionais, p é primo positivo e a b p c d p+ = + então e . a c b d= = 03) Determine a geratriz de a) 0,666... b) 0,272727... Resolução é raiz do polinómio. Pelo teorema, suas possíveis raízes racionais são , Vamos verificar: Logo, esse polinómio não admite raízes racionais. Como é raiz, deve ser irracional 5 ( ) 2 5p x x= − 5, 1,1 ou 5− − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 21 1 5 4 0 1 1 5 1 0; 5 5 5 20 0 5 5 5 20 0p p p p= − = − − = − − = − = − = − = − − = 5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Resolução: ( )a b p c d p b d c a+ = + − = − Como c a− é racional, a ultima igualdade só subsiste quando ( )b d p− isto é, se 0b d− = . Neste caso 0c a− = , provando a tese. 11 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 3 TEOREMA DE CONJUNTOS Definições: Geralmente indicamos um conjunto com uma letra maiúscula A,B,C,D…e um elemento com uma letra minúscula a,b,c,d.x, y. Representação De Conjuntos A representação de conjuntos pode ser feita de três maneiras: • Por Extensão Ex. 2,4,6,8,10A = Conjuntos dos números pares positivos a,e,i,o,uB = Conjuntos das vogais • Por compreensão Quando é enunciada uma propriedade característica dos seus elementos • Conjunto representa uma colecção de objectos • Elemento é um dos componentes de um conjunto • Pertinência é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto Resolução: : 0,666... 10 6,666... 6 2 10 6 9 6 9 3 seja x x x x x x = → = = + → = → = = : 0, 272727... 100 27,272727... 100 27 0,272727... 27 3 100 27 99 27 99 11 seja x x x x x x x x = = → − + = + → = → = → = Assim, a fracção geratriz de 2 0,666.. é . 3 Assim, a fracção geratriz de 3 0,272727. . é . 11 12GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Ex. os meus CDs de hinosA = : é primoB x R x= • Diagrama de Euler-Venn Nota que o diagrama de venn pode representado por quadriláteros ou círculos Conjunto Unitário Ex:. Conjunto dos divisores de 1 inteiros e positivos {1} Conjunto das soluçoes da equaçao 5x-1=19 {4} Conjunto Vazio Exemplos 1) : 2) : 0 e 0 x x x x x x = = Subconjunto Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento. Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento alguém o símbolo usual para conjunto vazio é ∅. Um conjunto B e subconjunto de conjunto A se todo elementos do conjunto A pertencer também a B ( )B A x x B x A 13 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Conjunto Universo Igualdade Conjuntos Ex: 1. {a, b, c, d} = {d, c, b, a} 2. {1, 3, 5, 7, 9, …} = {x: x é inteiro positivo e ímpar} 3. {x: 2x+1= 5} = {2} Observa: • Que na definição de igualdade entre conjuntos não intervém a noção de ordem entre os elementos no entanto: {a, b, c, d} = { d, c, b, a} = {b, a, c, d} • Nota que a repetição de um elemento na descrição de um conjunto é algo totalmente inútil por exemplo: • {a, b, c, d} = {a, d, c, b, b, a, c, d, d} = {b, a, c, d} para evitar de confundir basta usar a definição. Complementar De Um Conjunto Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence A ( )A B x x A x B= Chama-se conjunto universo o conjunto dos quais todos conjuntos em estudo são subconjuntos símbolo U Chama-se complementar de A em relação a um dado conjunto B ao conjunto de todos elementos de B que não pertencem a A. B A =A\B=AC 14 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Propriedades de complementares Propriedades de complementação Exemplos: Ex.: Atenção Só è definido se e assim temos: Leis de Morgan A B A B A B A B = = • Cardinal da reunião de dois conjuntos ( ) ( )# # #A B B A B = − • O número de subconjuntos de um conjunto n elementos é igual 2n Diferença De Conjuntos A , ,p q w= B Að B A B A =A B−ð ( ) ( ) B B A A A A A B A A B C B C A A A B= e B=A e A B = = = = ð ð ð ð ð ð ð ð ð Dados dois conjuntos A e B chama-se diferença entre A e B o conjunto formados pelos elementos de A que não pertencem a B A B= : A e Bx x x− 15 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Diferença Simétrica . Reunião De Conjuntos Propriedades de reunião Intersecção De Conjuntos Propriedades de intersecção Dados dois conjuntos de A e B chama-se diferença simétrica de A e B a condição: A B=A\B B\A ou A B = A B B A − − Seja dois conjuntos A e B chama-se reunião de A com B ao conjunto de todos elementos de conjunto A e do conjunto B Chama-se intersecção de A com B ao conjunto de elementos que pertencem simultaneamente ao conjunto A e ao conjunto B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A = A idempotente A U= A elemento neutro A B = B A comutativa A B C A B C associativa = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) A A=A idempotente A A elemento neutro A B=B A comutativa A B C =A A C associativa = 16 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição CARDINAL DE UM CONJUNTO E Ex: , , , 5, #A a e i o Au == PRODUTO CARTESIANO Exemplos 1º Se 1,2,3 e 1,2 temos:A B= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1 , 1,2 , 2,1 , 2,2 , 3.1 , 3,2 e 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 A B B A = = e as presentações no plano cartesiano são as seguintes: CONJUNTOS DISJUNTOS Cardinal de um conjunto finito A é o número de elementos deste conjunto. Representa-se #A e lê-se cardinal do conjunto A Chama-se conjuntos disjuntos a dois conjuntos cuja intersecção de é um conjuntos vazio. A B = O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos pares ordenados que se podem formar, indicando primeiro um elemento de A e depois de B, e representa-se por A×B 17 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Exercícios resolvidos 01) Num prédio foi efectuado uma pesquisa sobre os frequentadores das lanchonetes A, B e C e constatou-se que 30, 40 e 20 indivíduos frequentavam, B e C, respectivamente 12 frequentavam A e B; 9 frequentavam B e C; 6 frequentavam A e C; 4 frequentavam A, B e C; 5 não frequentavam nenhuma lanchonete. O número de moradores do prédio é: 02. Sejam m e n o número de elementos de M =−3,−2,4,6e N =2,3, respectivamente. Considere a relação dada pela lei dos pares ordenados que constituem a relação são: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d) 3;2 , 4;3 , 6;2 , 6;3 e) 4;2 , 4;3 , 3;2 , 6;3− − 03) Considere dois conjuntos, A e B, tais que A = {4, 8, x, 9, 6} e B = {1, 3, x, 10, y, 6}. Sabendo que a intersecção dos conjuntos A e B é dada pelo conjunto {2, 9, 6}, o valor da expressão ( )3 3y x− + é igual. ( ) ( ) ( ) ( ) 4;2 , 4;3 , 6;2 , 6;3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a) 3;2 , 2;3 , 4;2 , 6;3 b) 3;3 , 2,3 , 6;2 , 6;3 c) 4;2 , 4;3 , 6;2 , 6;3− − − − Resolução Pelo diagrama de venn temos: O número de moradores do prédio é: 16+8+25+2+4+5+9+5=17 Resolução Na realidade o que nos é pedido neste exercício é um conjunto de pares ordenados em que o primeiro elemento do par pertença a e que seja maior que o segundo, sendo que este pertença a. Assim, os pares ordenados são: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 18 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição a) -28· b) -19 c) 32 d) 6 e) 0 04) A intersecção do conjunto de todos os números naturais múltiplos de 10 com o conjunto de todos os números naturais múltiplos de 15 é o conjunto de todos os números naturais múltiplos de: a) 2 b) 30 c) 5 d) 30 e) 150 05. As figuras abaixo representam diagramas de Venn de dois conjuntos arbitrários A e B. Assinale a alternativa que representa o diagrama de Venn no qual A B está sombreado Resolução Seja: Seja: Fazendo a intersecção Entretanto, podemos ver que a intersecção dos dois conjuntos é um conjunto de todos os números naturais múltiplos de: 30 conjunto de todos os números naturais múltiplos de 10A = 10;20;30;40;50;60;70;80;90;100;110;120...A = = conjunto de todos os números naturais múltiplos de 15B ( )15;30;45;60;75;90;105;120;135;150...B = 30;60;90;120;150...A B = Resolução: Observando a intersecção dos conjuntos A e B, constatamos que “x” só pode ser igual a 2 e “y” é igual a 9. O contrário (x = 9 e y = 2) não é verdadeiro, pois senão teríamos o “9” aparecendo duas vezes no conjunto A... Resolvendo a expressão: ( ) ( )3 3 9 6 3 0y x− + − + = 19 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 06. Se A é o conjunto dos múltiplos de 3 compreendidos entre 1 e 10, B é o conjunto dos números ímpares, compreendidos entre 2 e 10 e C é o conjunto dos números inteiros compreendidos entre 1 e 10, obtenha os conjuntos: 4 INTERVALOS REAIS Intervalo aberto nas duas extremidades Que será a,b ou ainda ( )a,b ou atravésde conjunto : ax R x b Intervalo fechado nas duas extremidades Alguns subconjuntos de IR podem ser representados de maneira mais simplificada. São os chamados intervalos reais. Resolução: O conjunto complementar de B, onde U e o conjunto universal que contem os objectos. Desta forma, a área achatando em cada alternativa e representada por: A) A B B) A B C) A D) A B E) A B Resolução: ( ) ( ) ( ) ( ) I. II. III. IV. ACA B B A A B A B B C C− − − − ( ) ( ) 3, 6, 9 3, 5, 7, 9 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 I) 6 5,7 5, 6, 7 A B C A B B A A B B A = = = − = − = − − = ( ) ( ) AC II) 3, 5, 6, 7, 9 A B= 3, 9 5, 6, 7 III) - IV) C 2, 4, 5, 7, 8 A B A B A B C C A = − = = = − = 20 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Que será a,b ou através de conjuntos : a bx R x Intervalo aberto em a e fechado em b. Que será a,b ou ainda (a,b ou através de conjuntos : a bx R x Intervalo fechado em a e aberto em b Que será a,b ou ainda )a,b ou através de conjunto : a bx R x Intervalo fechado em a Que será a,+ ou ainda )a, + ou através de conjuntos : ax R x Intervalo aberto em a • Que será a, + ou ainda ( )a, + ou através de conjuntos : ax R x Intervalo fechado em b Que será , b− ou ainda ( , b− ou através de conjuntos : bx R x 21 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Intervalo aberto em b Que será , a− ou ainda ( ),b− ou através de conjuntos : bx R x 22 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 01.Dados conjuntos numéricos em :1 3 e : 1 ou 2A x R x B x R x x= = Determine a) b) c) A B A B A B − 02. Se * 2Ζ , 5A x x= e , 2B x R x= então o número de elementos da relação ( ) 2, ,R a b A B b a= é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 10 Resolução EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Resolução: se 2, 5 e , 2 , A x R x B x R x= = então o numero de elementos da relação ( ) 2R= , , a b A B b a é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 10 Do enunciado temos: • x pode assumir os valores 2, 1,1 e A= 2, 1, 1, 2− − − − • x pode assumir os valores ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 e 1 0,1 2,0 2,1 1,0 1,1 1,0 1,1 2,0 2,1 2,0 2,1 1,0 1,0 2,0 2,1 B A B R → = = − − − − = − − − A relação R possui 6 elementos 23 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 03. Seja A e B dois conjuntos dados por / 2 2A x R x= − / 4 1B x R x= − − Determine e A B A B 5 NÚMEROS COMPLEXOS Conjunto dos números complexos Com a criação da unidade imaginária i, surgiu um novo conjunto numérico C , o conjunto dos números complexos, que engloba o conjunto R dos números reais. Assim, por meio de um diagrama Euler- Venn, Resolução Como o conjunto / 2 2A x R x= − 2;2A = − o conjunto Representando temos: Entretendo . / 4 1 A= 4, 1B x x= − − − − 2;2 4, 1 2, 1A B = − − − = − − 2;2 4, 1 4,2A B = − − − = − 24 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição O surgimento desse novo conjunto numérico foi de grande utilidade para a superação de alguns obstáculos na matemática e, por conseguinte, nas aplicações directamente ligadas a ela. Definições Chamamos de número complexo na forma algébrica, todo número na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é unidade imaginária·. Da mesma forma que, quando nos referimos a um número natural, usamos a letra n para representá-lo, a letra z será usada para representarmos um número complexo. Assim, no número complexo z = a + bi, dizemos que a é a parte real de z, e b é a parte imaginária de z. Representamos: a = Re (z) b = Im (z) Em particular, temos: 1º) Se Im (z) = 0, dizemos que z é um número real. Exemplos: 2º) Se Re (z) = 0 e Im (z) ≠ 0, dizemos que z é um imaginário puro. Exemplos: Igualdade De Números Complexos Dois números complexos, na forma algébrica, são iguais quando suas partes reais e imaginárias forem respectivamente iguais. Assim, sendo z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, com a1, b1 , a2 e b2 reais, dizemos: e Exemplo Calcular a e b de modo que: Resolução Devemos ter: 5 5 0 ; 2 2 0i i− = − + = + 2 0 2 ; 3 0 3i i i i= + = + 1 2 1 2z z a a= = 1 2b b= (2a b) 3i 2 ( a b)i− + = − + − + 2 2 3 a b a b − = − = − + 25 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Resolvendo o sistema, temos: Substituindo na equação temos: Assim: e Operações Com Números Complexos A. Adição Dados os complexos e , com b, c e d reais, a soma será um complexo tal que: Exemplo: Sendo e calcular Resolução Assim: B. Subtração Dados os complexos = a + bi e = c + di, com a, b, c e d reais, a diferença será um complexo, tal que: Exemplo: Sendo = 5 + 3i e = 3 + 2i, calcular . Resolução = (5 + 3i) – (3 + 2i) = (5 - 3) + (3 - 2)iAssim: = 2 + i 2 2 3 1 a b a b a − = − − + = = 1a = 3,a b− + = 1 3 4b b− + = = 1a = 4b = 1z a bi= + 2z c di= + ,a 1 2z z+ 1 2 (a bi) (c di) (a c) (b d)iz z+ = + + + = + + + 1 3 4z i= − + 2 2 ,z i= − 1 2.z z− 1 2 ( 3 4 ) (2 ) ( 3 2) (4 i)iz z i i+ = − + + − = − + + − 1 2 1 3z z i+ = − + 1z 2z 1 2z z− 1 2 (a bi) (c di (a c) (b d)iz z− = + − + = − + − 1z 2z 1 2z z− 1 2z z− 1 2z z− 26 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição C. Multiplicação Dados os complexos = a + bi e = c + di, com a, b, c e d reais, o produto será um complexo, tal que: = (a + bi) x (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i De fato, usando a propriedade distributi va, temos: Como i2 = – 1, temos: (a + bi) x (c + di) = ac + adi + bci – bd Agrupando a parte real e a parte imaginária, temos: = (ac – bd) + (ad + bc)i Exemplo Sendo = 3 + 2i e z2 = 2 + 4i, calcule . Resolução = (3 + 2i) x (2 + 4i) = 3 · 2 + 3 · 4i + 2i · 2 + 2i · 4i = 6 + 12i + 4i + 8i2 = 6 + 12i + 4i – 8 dai que = – 2 + 16i Observação – As propriedades da adição, subtracção e multiplicação válidas para os nú meros reais continuam válidas para os números complexos. D. CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO Chamamos de conjugado do número complexo z = a + bi, com a e b reais, o número complexo 1z 2z 1 2z z 1 2z z 1 2z z 1z 1 2z z 1 2z z 1 2z z 1 2z z 1 2z z 1 2z z .z a bi= − 27 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Exemplos 1º) = 2 – 3i = 2 + 3i 2º) = -1 – 4i = -1 + 4i 3º) = -3i = 3i 4º) Propriedade O produto de um número complexo pelo seu conjugado é sempre um número real. Z Z R Demonstração Sendo z = a + bi e = a – bi (a R ), temos: (a + bi) x (a - bi) = a2- + - b2i2 a2+ b2 Como a e b são reais, Z Z R E. Divisão Dados dois números complexos, e , com 0, efectuar a divisão de z1 por z2 é encontrar um terceiro número complexo z3 tal que z1 = z2 x z3, ou seja: Exemplo Efectuar a divisão de z1 = 2 – 3i por z2 = 1 + 2i. Resolução 1z 1z 2z 2z 3z 3z 4 2z = 4 2z = z z z = z z abi abi z z = 1z 2z2z 1 3 2 z z z = 28 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Devemos encontrar um número complexo z3 = a + bi tal que . Assim, a + bi 2 – 3i = (a + bi) x (1+2i)2 – 3i = a + 2ai + bi + 2bi2 2 – 3i = a + 2ai + bi – 2b 2 – 3i = (a – 2b) + (2a + b)i Substituindo em a – 2b = 2, temos: Assim: e Entao: Regra prática Dados os complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, a, b, c e d reais e z2 ≠ 0, para efectuarmos a divisão de z1 por z2, basta multiplicarmos o numerador e o denominador da fracção Pelo conjugado do denominador ( ). Assim, temos: 1 3 2 z z z = 2 3 1 2 i i − = + 2 2 2 3.............. 2 a b a b − = + = − 2 2 4 2 6 a b a b − = + + = − 5a 4 4 5 a= − = − 4 4 7 2 2 2 2 2 5 5 b b b− − = − − = = − 4 5 a = − 7 5 b = − 2 3 4 7 1 2 5 5 i i i − = − − + 1 2 z z 2z 29 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Dessa forma: Exemplo Efectuar a divisão de z1 = 2 – 3i por z2 = 1 + 2i. Resolução Potências de i Calculemos algumas potências de i com expoente natural: i0 = 1 i1 = i i2 = –1 i3 = i2 x i = (–1) · i = –i i4 = i2 x i2 = (–1) x (–1) = 1 i5 = i4 x i = 1 x i = i i6 = i4 x i2 = 1 ·x(–1) = –1 2 2 2 2 2 2 (a bi)(c di) (c di)(c di) (ac bd) (bc ad) i a bi c di a bi ac adi bci bdi c di c cdi dic d i a bi c di c d = + − = + + − + − + − = + − + − + + + − = + + 2 2 2 2 ( ) ( ) i a bi ac bd bc ad c di c d c d + + − = + + + + 2 2 2 3 (2 3i)(1 2i) 1 2 (1 2i)(1 2i) 2 3 2 4 3 6 1 2 1 4 2 3 4 7 1 2 1 4 2 3 4 7 1 2 5 5 i i i i i i i i i i i i i i − − − = + + − − − − + = + − − − − = + + − = − − + 30 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição i7 = i4 x i3 = 1 x (–i) = –i Notamos que, a partir de i4, as potências de i vão repetindo os quatro primeiros resultados; assim, de um modo mais geral, com n ∈N, podemos afirmar que: i4n = (i4)n = 1n = 1 i4n + 1 = i4n x i1 = 1 x i = i i4n + 2 = i4n · i2 = 1 x (–1) = –1 i4n + 3 = i4n x i3 = 1 x (–i) = –i Esta conclusão sugere-nos o seguinte: Exemplos: 1º) Calcular i359 Resolução 359 i359 = i3 = -i 39 89 3 2º) Calcular i130 Resolução 130 i130 = i2 = -1 10 32 2 4 4 31 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 3º) Resolva a equação: x2– 2x + 10 = 0 Resolução (-2)2 – 4 . 1 . 10 = -36 4º) Se Z = 4 + 2i e W = 3 – 5i, então, calcular: a. Z + W b. Z – W c. Z · W Resolução Z + W = (4 + 2i) + (3 – 5i) = 4 + 2i + 3 – 5i = 7 – 3i Z – W = (4 + 2i) – (3 – 5i) = 4 + 2i –3 + 5i = 1 + 7i Z · W = (4 + 2i) (3 – 5i) = 12 – 20i + 6i – 10i2 = 12 – 14i + 10 = 22 – 14i Resposta a. 7 – 3i; b. 1 + 7i; c. 22 – 14i. O número complexo 1 – i é raiz da equação x2+ kx + t = 0 (k, t ∈ ) se, e somente se: a. k = t = – 2 d. k = 2 e t = – 2 b. k = t = 2 e. k + t = 1 c. k = –2 e t = 2 Resolução Se (1 – i) é raiz, temos: (1 – i)2+ k(1 – i) + t = 0 36 36.( 1) 6. 1 6. 2 2 6 2.1 2 1 3 1̀ 3 ,1 3 i i x x i s i i = − = − = − = = = = = − + 32 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 1 – 2i – 1 + k – ki + t = 0 (k + t) + (–2 – k)i = 0 + 0i Logo: Resposta C O número complexo z, tal que 5z + z = 12 + 16i, é igual a: a. –2 + 2i d. 2 + 4i b. 2 – 3i e. 3 + i c. 1 + 2i Resolução Fazendo z = a + bi e = a – bi, temos: 5z + = 12 + 16i ⇒5(a + bi) + a – bi = 12 + 16i 5a + 5bi + a – bi = 12 + 16i 6a + 4bi = 12 + 16i Logo: z = 2 + 4i Resposta D 0 2 2 0 2 k t t k k + = = − − = = − z z 6 12 2 4 16 4 a a b b = = = = 33 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Determine o inverso do número complexo z = 3 – 2i. Resolução O inverso de z será z-1, tal que z x z-1= 1, ou seja, z-1= . Assim: Assim, Resposta 07. Determinar m ∈ R para que seja um imaginário puro. Resolução Para que z seja imaginário puro, devemos ter: Re (z) = 0 Assim: 1 z 1 2 1 1 (3 2 ) 3 2 3 2 3 2 (3 2i)(3 2i) 9 4 9 4 i i i z i i − + + += = = = − − + − + 1 3 2 13 13 z i− = + 1 3 2 13 13 z i− = + 2 3 2 i z mi + = + 2 2 2 2 2 2 3 (2 3 )(2 mi) 2 (2 mi)(2 ) 2 3 4 2 6 3 2 4 2 3 ()4 3 (6 2 m) 2 4 4 i i z mi mi i mi i mi z mi m i i m z i mi m m + + − = = + + − + − + − = = + − + + − = = + + + + 2 4 3 4 0 4 3 0 4 3 Re 4 3 m m m m sposta m + = + = = − + = − 34 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 08. Calcular: i14 – 3i-9 + 2i26 Resolução 14 9 26 2 3 1 2 2 6 I2 – 3 x + 2i2 = -1 +3i – 2 = -3 + 3i Resposta -3 + 3i 09. Calcular i4n – 2. Resolução i4n-2 = Resposta -1 1. O valor do número real x para que o conjugado do número complexo (x + 3i)(1 + xi) seja igual a 2 – 4i é: a) –2 b) –1 √ c) − d) 2 e) 3 2. Considere o número complexo z = (1 + i). (3 – i). Assinale a opção na qual consta o menor inteiro positivo n, tal que zn seja um número real positivo. a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 √ e) 30 4 4 4 1 i 4 4 2 (i ) 1 1 1 1 n n ni i = = = − − − 1 2 35 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 8. Sendo a = 2 + 4i e b = 1 – 3i, o valor de é: a) b) √ c) d) 2 e) 1 + 11. Sendo a um número real e sabendo que a parte imaginária do complexo é zero, então a vale: a) –1 b) –2 c) –4 d) 2 e) 1 √ 12. Seja a equação x3 – x2 + mx + n = 0 com m e n reais. Se o número complexo 1 – i é uma das raízes dessa equação, então: a) m – n = 2 d) m + n = 2 √ b) m + n = 0 e) m n = 1c) m – n = 0 13. A equação de 2º grau, com coeficientes reais, que tem uma das raízes igual a 2 + 3i é: a) x2 + 2x + 3 = 0 b) x2 – 2x + 3 = 0 c) x2 + 4x – 9 = 0 d) x2 + 4x + 13 = 0 e) x2 – 4x + 13 = 0√ 15. Sabe-se que o polinômio f = x3 + 4x2 + 5x + k admite três raízes reais tais que uma delas é a soma das outras duas. Nessas condições, se k é a parte real do número complexo z = k + 2i, então z: a) é um imaginário puro. b) tem módulo igual a 2. a b 3 2 5 2 2 2 2i a i + + 36 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição c) é o conjugado de –2 – 2i. d) é tal que z2 = 4i. e) tem argumento principal igual a 45° 17. O número complexo i é raiz do polinômio p = x3 – 2mx2 + m2x – 2m, no qualm ∈ . Uma outra raiz desse polinômio é: a) 1 b) –1 c) 0 d) 2i 18. Para que a equação 2x2 + px + q = 0, com p e q reais, admita o número complexo z = 3 – 2i como raiz, o valor de q deverá ser: a) 10 b) 12 c) 13 d) 26 √ e) 28 19. Sabendo-se que o complexo z = a + bi satisfaz à expressão iz + 2z = 2i – 11, Então z2 é igual a: a) 16 – 9i b) 17 – 24i c) 25 – 24i d) 25 + 24i e) 7 – 24i 22. Seja o número complexo z = 1 + i. O argumento principal de z2 é: a) 30° d) 90° √ b) 45° e) 120° c) 60° 24. O complexo 1 – i é raiz da equação x4 – 2x3 – 2x2 + 8x – 8 = 0. As outras raízes são: a) –2, 2 e i b) 2, 3 e 1 + i c) –2, 2 e 1 + i d) 0, 2 e 1 + i e) –i, i e 1 + i + 37 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 25. Uma das raízes da equação x2 – 2x + c = 0, onde c é um número real, é o número complexo = 1 + 2i. É válido afirmar-se que: a) c = 0 b) c = 1 c) c = 3 d) c = 5 √ e) c = 7 30. Sendo 1 e 1 + 2i raízes da equaçao x3 + ax2 + bx + c = 0, em que a, b e csão números reais, então: a) b + c = 4 b) b + c = 3 c) b + c = 2 √ d) b + c = 1 e) b + c = 0 32. Uma equação do 2º grau que tem por raízes os números complexos 2 + i109 e 2 – i425 é: a) x2 + 4x + 5 = 0 b) x2 + 4x – 5 = 0 c) x2 + 5x + 4 = 0 d) x2 – 4x – 5 = 0 6 LOGICA MATEMÁTICA Proposições Toda preposição apresenta três características obrigatórias: 1. Sendo oração tem sujeito e predicado 2. É declarativa (não e exclamativa nem interrogativa) 3. Tem um somente um dos dois valor lógico ou e verdadeiro ou falso 0z Chama-se preposição ou sentença toda oração declarativa que pode ser classificada de verdadeira ou falso 38 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição São preposições ▪ 8 7 (oito e maior que sete) ▪ 8 7 (oito e diferente que sete) ▪ 5 Z (cinco e um numero inteiro) Conjunção ( ) Disjunção ( ) IMPLICÂNCIA (→) Equivalência (↔) p q p q V V V V F F F V F F F V p q V V V V F F F V F F F F p qA conjunção é verdadeira se p e q são ambas verdadeiras se pelo menos uma delas for falsa, então é falsa. Lê-se E p q p q p q V V V V F F F V F F F F p q A Disjunção é verdadeira se pelo menos uma das proposições p ou q é verdadeira Lê-se OU p q p q V V V V F F F V V F F V p q→ É falso semente quando pé verdadeira e o q falso. Se lê: Se p então q p q→ É verdadeira se ambas tiverem o mesmo valor lógico, isto é, quando o p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. Lê-se: se e somente se. p q 39 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição NEGAÇÃO DE UMA PROPORÇÃO (~) P ~p q ~q V F V F V F F V F V V F F V F V Descrição Proposição Negação Negação de uma proposição conjuntiva ~ (PɅ Q) ~P V~Q Negação de uma proposição disjuntiva ~ ( P V Q) ~P Ʌ ~Q Negação de uma proposição condicional ~ (P→Q) P Ʌ ~Q Negação de uma proposição incondicional ~(P ↔Q) P Ṿ ~Q ~ (P Ʌ Q) Ʌ (~Q V ~P)= ( P Ṿ ~Q) Proposição Negação ( )x x y w + ( )x x y w + = ( )x x y w + = ( )x x y w + x y x y x y x y A proporção ~ P tem semre um valor oposto P de isto, ~ P é verdade quando P ep falsa ~ P falsa quando P e verdade. Nota As condições contem e pertence não tem negação 40 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Propriedades das operações lógicas p p = Lei do maior grau ~ (PɅ Q) = ~P V~Q ~ ( P V Q )= ~P Ʌ ~Q Comutativa p q q p = Associativa ( ) ( ) ( )p q r p r q r p q = = Distributiva ( ) ( ) ( )p q r p q p r = Conjunção Disjunção Comutativa p q q p = Associativa ( ) ( ) ( )p q r p r q r p q = = Distributiva ( ) ( ) ( )p q r p q p r = Elemento neutro Va a = Fa a = Elemento absorvente F Fa = V Va = 01). Considere p q uma proposição falsa. Qual é o valor lógico das proposições iniciais. a) Ambas são falsas b) Ambas são verdadeiras c) p é verdadeira e q é falsa 1 e 0 d) p é falsa e q é verdadeira Resolução: É falso semente quando pé verdadeira e o q falso. Entretanto a opção correcta éc) p é verdadeira e q é falsa 1 e 0 p q→ EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 41 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 02) A negação da sentença ,x x a b + é: a) ,x x a b + b) ,x x a b + = c) ,x x a b − d) ,x x a b + e) ,x x a b + = 03). A negação da proposição , 1x R x é a) , 1x R x b) , 1x R x c) , 1x R x d) , 1x R x e) Nenhuma das alternativas 04) Aplicando as propriedades simplifica as seguintes operações a) ( )~p p q b) ( )~ p q q c) ( ) ( )~a b a b 1. Dados os conjuntos: 18 : 3 e 0 :A x R x n B x R n x = = = − = Tem-se que A B é igual ao conjunto: a) 3,18 b) c) : 3 18x R x d) 3,6,9,18 Resolução: a negação: ,x x a b + = Resolução: Aplicando as propriedades de negação temos: , 1x R x é , 1x R x EXERCÍCIOS PROPOSTOS Resolução: ( ) ( )~ ~ ~a) p p q p p q p q = = ( ) ( ) ( )c) V=V~ ~a b a b a b b a = = ( ) ( ) ( ) ( )~ ~b) ~p q q q p q q q p q = = 42 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 2.Dados ( 2,4 1,4 e C= 0,2A B= − = correcto afirmar que AB Cð é: a) ( 2, 2− b) 2,2− c) ( )2,2− d) ( 0, 2 e) ( 2, 4− 3. O número x não pertence ao intervalo aberto de extremos −1 e 2. Sabe-se que x ou x Pode-se concluir que: a) 1 ou x x − b) 2 ou 0x x c) 2 ou 1x x − d) 3x e) Nenhuma das alternativas anteriores 4Dados conjuntos numéricos em 14,11A = − , : 3 17B x x= e o universo 18,18U = − o conjunto complementar da reunião de A com B. a) 18,14 17,18 b) 18, 14 17,18 d) 18,18A B A B A B = − = − − = − e) 18,18 c) A B A B = − = 5.Sejam os conjuntos: : 0 2A x R x= : 3 1A x R x= − Nestas condições, o conjunto ( ) ( )A B A B − é: a) 3,0 1,2− b) 3,0 1,2− c) , 3 2,− − + d) 0,1 6. Sejam os conjuntos: : 4 3A x R x= − e : 2 5B x R x= − A B− é igual a:a) : 4x R x − − b) : 4 2x R x − − c) : 3 5x R x d) : 3 5x R x e) : 2 5x R x − 7.Um conjunto A contém os cinco primeiros números naturais, os cinco primeiros números pares e os cinco primeiros números ímpares. Então, o número de elementos do conjunto A é: a) 10 b) 11 c) 12 d) 15 8.Se ( )A B = {1, 2, 3, 4, 5}, ( )A B = {1, 3} e A = {1, 3, 5}, então: a) B= b) = c) = d) = 43 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Dados os conjuntos A = {1, 3, 4, 7, 8}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {2, 3, 5, 7, 8}, o conjunto ( )# A B B têm: a) 5 Elementos b) 6 Elementos c) 4 Elementos d) Não tem elementos 10.Numa escola de Línguas Estrangeiras, estudam 300 alunos. O número de estudantes matriculados apenas em Espanhol corresponde à metade dos que estudam Inglês, e a quantidade dos que cursam apenas Inglês é igual à dos que estudam Espanhol. O número de alunos que cursa Inglês e Espanhol é a) 40 b) 50 c) 60 d) 80 11. Quantos são os elementos do conjunto :10 30 ?x R x + a) 2 b) 1 c) 3 d) Infinito e) o conjunto é vazio 12.A parte colorida no diagrama que melhor representa o conjunto ( )D A A B= − é: 13. Sendo 𝑨 = {𝒙 ∈ ℕ, 𝒙 é 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝟏𝟖} e 𝑪 = {𝒙 ∈ ℕ, 𝒙 é 𝒎ú𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝟑}, então (𝑩 − 𝑨) ∩ 𝑪 é: a) {6,9,18} b){6,18} c) {6,9} d) {6} e) ⊘ 14. Dados: 𝑨 = {𝟏, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟕, 𝟖}, 𝑩 = {𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟔, 𝟗}, 𝑪 = {𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗} temos que 𝑨 ∩ (𝑩 ∩ 𝑪) resulta: a) {5,6,9} b) {5} c) {1,3} d) {1,3,4,7,8} e) {7,8} 44 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 16. Dados os conjuntos A = {1, 3, 4, 7, 8}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {2, 3, 5, 7, 8}, o conjunto ( )# A B B têm: a) 5 Elementos b) 6 Elementos c) 4 Elementos d) Não tem elementos 17. Numa escola de Línguas Estrangeiras, estudam 300 alunos. O número de estudantes matriculados apenas em Espanhol corresponde à metade dos que estudam Inglês, e a quantidade dos que cursam apenas Inglêsé igual à dos que estudam Espanhol. O número de alunos que cursa Inglês e Espanhol é a) 40 b) 50 c) 60 d) 80 18. Quantos são os elementos do conjunto :10 30 ?x R x + a) 2 b) 1 c) 3 d) Infinito e) o conjunto é vazio 19.Chama-se conjunto dos números racionais o conjunto: a) { | }x xR b) | , 0 a a com b e b b Z Z c) | , 0 a a com b e b b N N d) | x x ae a = R Q e) | , a a com b b Z Z 20.Assinale a afirmação verdadeira: a) (√𝟓 + 𝟏)(√𝟓 − 𝟏)é irracional e 0,999… é racional. b) (√𝟓 + 𝟏)(√𝟓 − 𝟏)é racional e 0,999… é racional. c) (√𝟓 + 𝟏)(√𝟓 − 𝟏)é racional e 0,999… é irracional. d) (√𝟓 + 𝟏)(√𝟓 − 𝟏)é irracional e 0,999… é irracional. e) (√𝟓 + 𝟏)(√𝟓 − 𝟏)é 0,999… não são números reais. 45 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 21.No diagrama, a parte hachurada representa: a) (𝑬 ∩ 𝑭) ∩ 𝑮 b) (𝑬 ∩ 𝑮) c) 𝑮 ∩ (𝑬 ∪ 𝑭) d) (𝑬 ∩ 𝑭) ∪ (𝑭 ∩ 𝑮) e) (𝑬 ∪ 𝑭) ∪ 𝑮 7 ARITMÉTICA Fracções Notação numerador: indica quantas partes do todo foram tomadas. denominador: indica total de partes iguais que o inteiro fora dividido. a a bb → → Tipos de fracções • Fracao própria São aquelas em que o numerador e menor que o denominador Ex.: 1 4 11 ; ; 2 9 32 • Fracao imprópria São aquelas em que o numerador e maior ou igual que o denominador Ex: 8 5 23 ; ; 3 5 2 • Fracção mista Chama-se numero misto a notação do tipo ( ) 0 a k com b b Ex: 1 1 4 1 5 1 1 4 4 4 4 4 = + = + = • Fracao aparente Quando o numerador e múltiplo do denominador Ex. 3 4 16 ; ; 3 2 8 • Fracao aparente São aquelas que se escrevem deferentes mas representa a mesma a mesma quantidade Ex: 2 4 6 8 3 6 9 12 = = = 46 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição MDC Para calcular o mdc de dois números pelo processo de decomposição em factores primos deve-se: ➢ Decompor os números dados em factores primos; ➢ Calcular o produto dos factores primos comuns com menor expoente. Exemplo: Calcular o m d c (18,27) 18 2 9 3 3 3 1 27 3 9 3 3 3 1 ( ) 2 2 3 18 2 3 3 2 3 18,27 3 9 27 3 3 3 3 mdc = = = = = = Proporcoes Se uma razão a b for igual a uma razão c d ambas formam uma sentença denominada proporção. Definicao Ex.: 2 6 = 15 45 → É uma proporção, pois as razões são iguais, isto é, valem 1 3 . Indicamos as proporções assim: a c b d = ou a:b=c:d Onde a e d são chamados extremos da proporção e b e c são chamados meios da proporção. Propriedade fundamental das proporções Em qualquer proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Proporção é uma igualdade entre duas razões. Dizemos que os números a,b,c,d com estão em proporção, na ordem dada, se, e semente, a razão entre a e b for igual à razão entre c ed 0 e 0b d a c b d = 47 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Demonstrando: 2 15 6 45 = → 2 45 6 15 90 EXTREMOS MEIOS = = Meu amigo este é um tópico muito importante porque nos exames de admissão caiem exercícios que atrapalham muita gente. Vamos perceber totalmente sobre as razões, proporções e Percentagens. Razão Onde a denomina-se antecedente e b consequente • Razões inversa duas razões são inversas quando o produto entre delas valem1 Fração irredutível x y é aquela que não é possível simplificar. Isto se x e y são primos entre si, ( ), 1mdc x y = Regra De Tres Grandezas Directamente proporcionais Duas grandezas são directamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma razão da primeira. Exemplo: Um veículo que percorre: ➢ 80km em 1 hora. ➢ 160km em 2 horas. ➢ 240km em 3 horas. Chama-se razão de um número ae um número bo quociente de que também se indica lê-se "razão entre a e b"ou "razão de a para b" ou simplesmente "a está para b" ( ), com b 0 a b a b ( )1 0 e 0 a c b d b d = 48 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Enquanto o tempo aumenta, a distância percorrida também aumenta. Dizemos então, que o tempo e a distância são grandezas directamente proporcionais Grandezas inversamente proporcionais Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira. Exemplo: Um veículo faz um percurso em: ➢ 1 hora com velocidade de 120km/h. ➢ 2 horas com velocidade de 60km/h. ➢ 3 horas com velocidade de 40km/h. Enquanto o tempo aumenta, a velocidade diminui. Dizemos, então, que o tempo e a velocidade são grandezas inversamente proporcionais. Percentagem Uma percentagem representa uma comparação entre um numero e o numero 100, o símbolo de percentagem é % lê-se “por cento”. Uma fracção em que o denominador é 100 chama-se percentagem, qualquer fracção de denominador 100 pode ser substituída por um dado numero em percentagem. Exemplo: 32 32% 100 = 3 75 0,75 75% 4 100 = = = Qualquer dado expresso em percentagem pode ser substituído por um numero decimal. 85 85% 85 100 ,85 100 o= = = 7,4% 7,4 100 , 74o o= = Aumentos E Descontos Percentuais Muitos problemas práticos envolvem aumentos ou descontos usando percentagem. Isso ocorre especialmente em Matemática Financeira. 49 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Reparo que algumas pessoas acabam trabalhando com muitos cálculos em cima de uma conta simples que envolve percentagem. É um bom exemplo disto a obtenção do valor final do acumulo (ou desacumulo) de um valor acrescido (ou decrescido) de um percentual deste mesmo valor. Aumento e percentual Aumentando-se X% de um valor `A` Simplesmente se faz: x A x A = − 100% Exemplo 2, Aumente 30% o valor 200. Resolução Sendo 30% de 200 o mesmo que 0,30 200 60, = o resultado final é a soma 200 60 260.+ = Repare que ( )200 0,30 200 200 1 0,30 200 1,30+ = + = . Portanto, aumentar 30% o valor 200, basta multiplicar `200` por `1,30`. Exemplo: 1 No caso da cidade que teve sua população aumentada de 1000 para 1100 habitantes, o aumento percentual é: 1100-1000 100 100% 0 0 1 % = Reduções percentuais Para reduzir x % a usamos a fórmula: Redução percentual = A x x A − 100% Uma loja reduziu o preço de um produto de Mt 100,00 para Mt 90,00. A redução neste exemplo foi de 10%. 100 90 100 x − 100%=10% 50 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 03) Calcule 3% de 60%. a) 18% b) 12% c) 6% d) 1,8% e) 1,2% 04) Uma loja de CD`s realizará uma liquidação e, para isso, o gerente pediu para Ana multiplicar todos os preços dos CD`s por 0,68. Nessa liquidação, a loja está oferecendo um desconto de: a) 68% b) 6,8% c) 0,68% d) 3,2% e) 32% 05) Num colégio 38% dos alunos são meninos e as meninas são 155. Qual o total de alunos desse colégio? a) 105 b) 145 c) 210 d) 250 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Resolução: Neste caso, temos uma questão sobre percentagem de percentagem. Para calcular uma percentagem de outra percentagem, basta multiplicar a primeira pela segunda. 3% de 60% é a mesma coisa que 3/100 de 60/100. Devemos transformar 0,018 para taxa percentual. Para isso, multiplicamos por 100. 0,018 x 100 = 1,8%. Portanto, 3% de 60% é igual a 1,8%. Resolução: Ao multiplicar os preços por 0,68 = 68% a loja oferece um desconto 100% – 68% = 32%. Resolução Na escola,38% dos alunos são meninos. Isso quer dizer que o percentual restante é formado de meninas. 100% – 38% = 62% Dos alunos são meninas. O enunciado diz que a quantidade de meninas é de 155. Então, 62% do total de alunos equivale a 155 meninas. Desse modo, por uma regra de três simples podemos determinar a quantidade total de alunos, o equivalente a 100%. Representaremos pela letra y Portanto, o total de alunos da escola é de 250. 155 meninas 62% y alunos 100% 155 62 62 15500 250 y 100 y y= = = 51 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 06) Determinar o número que é preciso soma aos termos 06) Determinar o número que é preciso soma aos termos da fracção 7/17, para se obter a fracção 3/4: a) 5 b) -10 c) 12 d) 18 e) 23 Exercícios Propostos 01. Uma loja instrui seus vendedores para calcular o preço de uma mercadoria, nas compras com cartão de crédito, dividindo o preço a vista por 0,80. Dessa forma, pode-se concluir que o valor da compra com cartão de crédito, em relação ao preço à vista, apresenta: a) Um desconto de 20% d) um aumento de 25% b) Um aumento de 20% e) um aumento de 80% c) Um desconto de 25% Opção correcta: d) 02. Um comerciante deu um desconto de 20% sobre o preço de venda de uma mercadoria e, mesmo assim, conseguiu um lucro de 20% sobre o preço que pagou pela mesma. Se o desconto não fosse dado, seu lucro, em percentagem, seria: a) 40% b) 45% c) 50% d) 55% e) 60% Opção correcta:c) 03. Numa festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes é 13 12 A percentagem de rapazes na festa é: a) 44% b) 45% c) 40% d) 48% e) 46% Opção correcta: d) 04. Seja W = wy z Se x sofre um aumento de 25% e y sofre um aumento de 40%, a alteração que sofre z para que W não se altere é: a) Aumentar de 65% d) Diminuir de 75% b) Diminuir de 65% e) Z não deve sofrer nenhuma alteração c) Aumentar de 75% Opção correcta: c) Resolução: Preste atenção! O número deve ser somado aos dois termos: Da fracção· ( ) ( ) 7 3 4 7 3 17 28 4 51 3 4 3 51 28 23 17 4 x x x x x x x x x + = + = + + = + − − − = + 52 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 05. Para todo número real x, tal que 0 1x , pode-se considerar 2 x− como uma boa aproximação para o valor de 4 2 x+ . Nessas condições, a razão positiva entre o erro cometido ao se fazer essa aproximação e o valor correcto da expressão, nessa ordem, é: a) 2 4 x b) 2 2 x c) 2x d) 2 2 x x+ e) 2 2 x x− Opção correcta: a) 06. Duas grandezas a e b foram divididas, respectivamente, em partes directamente proporcionais a 3 e 4 na razão 1,2. O valor de 3a + 2b é: a) 6,0 b) 8,2 c) 8,4 d) 14,4 e) 20,4 Opção correcta: e) 07. As medidas dos lados de um triângulo são números pares consecutivos, e a medida do menor lado é um terço da soma das medidas dos outros dois lados. O perímetro desse triângulo é a) 8 b) 10 c) 12 d) 20 e) 24 Opção correcta: e) 08. A idade de um pai está para a idade de seu filho assim como 3 está para 1. Qual é a idade de cada um, sabendo que a diferença entre elas é de 24 anos? a) 10 e 34 b) 12 e 36 c) 15 e 39 d) 6 e 30 e) 18 e 42 Opção correcta: b) 09. Com 210 sacos de farinha, de 60 kg cada um, podem-se fazer 180 sacos de pães com 40 kg cada um. Quantos quilogramas de farinha serão necessários para produzir 120 sacos de pães, pesando 80 kg cada um? a) 9450 b) 9600 c) 16800 d) 20800 e) 21600 Opção correcta: c) 10. As idades de duas pessoas há 8 anos estavam na razão de 8 para 11; agora estão na razão de4 para 5. qual é a idade da mais velha actualmente? a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 Opção correcta: d) 11. Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá a maior, enquanto a menor dá 100 voltas? a) 133. b) 86. c) 75. d) 65. Opção correcta: c) 12. Sabe-se que 4 máquinas operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto. Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias? 53 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição a) 8. b) 15. c) 10,5. d) 13,5. Opção correcta: d) 13. 15000 Candidatos inscreveram-se na UEM e foram aprovados 9600. Qual a percentagem de reprovação? a) 24. b) 30. c) 32. d) 36. e) Nenhuma. Opção correcta: d) 15. Num grupo de 400 pessoas, 70% são do sexo masculino. Se nesse grupo 10% dos homens são casados e 20% das mulheres são casadas. Então, o número de pessoas casadas é: a) 50. b) 46. c) 52. d) 48. e) 54. Opção correcta: c) 16. Se 2 5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 operários que trabalhavam em 7 horas por dia; então, quantos dias serão necessários para terminar o trabalho, sabendo que 4 operários foram dispensados e que o restante agora trabalha 6 horas por dia? a) 18. b) 19. c) 20. d) 21. e) 22. Opção correcta:d) 8 POTENCIAÇÃO ...n n factores a a a a a a → = Sejam a (um numero real) e n (um numero natural). Chama-se potencia de numero a de expoente n ao produto de n factores iguais ao numero a e designa-se por na . Onde a e a base da potencia e n o expoente da mesma. 54 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Propriedades De Potências Notação Científica Notação científica também conhecida como potência da base 10, uma matéria bastante fácil observa a tabela. A notação científica serve para expressar números muito grandes ou muito pequenos. O segredo é multiplicar um número pequeno por uma potência de 10. Dizemos que um número está em notação científica quando ele está escrito na forma a.10b, onde a é um número real maior ou Potencias de exponte negativa 1 ; n m n n m n a b a a b a − − − = = Potência de expoente fracionário m n mna a= Multiplicação de potências com a mesma base n m n ma a a + = Multiplicação de potências com mesmo expoente ( ) nn na b a b = Divisão de potências com a mesma base n n m m a a a −= Divisão de potências com mesmo expoente nn n a a b b = Potência de expoente nulo ( )0 1, com 0a a= Potência de expoente nulo ( )0, com n 0no = Expoente par e ímpar ( ) , se for par n na a n− = ( ) , se for impar n na a n− = − Potência de uma potência ( ) m n n ma a = 010 1= 1 2 3 4 5 6 7 10 10 10 100 10 1000 10 10000 10 100000 10 1000000 10 10000000 = = = = = = = 1 2 3 4 5 6 7 10 0,1 10 0,01 10 0,001 10 0,001 10 0,0001 10 0,00001 10 0,000001 − − − − − − − = = = = = = = 55 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição igual a 1 e menor que 10 e b é um número inteiro. Número grande desloca-se a vírgula para a esquerda até o primeiro algarismo significativo. A ordem de grandeza será o número de posições deslocadas. Ex: 8 5 14 200.000.00 2 10 560.0005,6 10 602.000.000.000.000 6,02 10 = = = Números pequenos desloca-se a vírgula para a direita, e a cada casa avançada diminui-se uma ordem de grandeza (a ordem de grandeza será simétrico do número de posições deslocadas, será portanto negativo). Ex: 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟐𝟓 = 𝟏, 𝟐𝟓 ⋅ 10−3 𝟎, 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 001 = 𝟏 ⋅ 𝟏𝟎−𝟗 𝟎, 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 000 𝟎𝟏𝟔 = 𝟏, 𝟔 ⋅ 𝟏𝟎−𝟏𝟒 Mudando a posição da vírgula e ajustando o expoente Como em um número escrito em notação científica a vírgula sempre deve ser posicionada à direita do primeiro algarismo diferente de zero, se não for este o caso o procedimento a ser realizado é o seguinte: • Se deslocarmos a vírgula n posições para a direita, devemos subtrair n unidades do expoente. • Ao deslocarmos a vírgula n posições para a esquerda, devemos somar n unidades ao expoente. Ex: 1 0 6 0 5 2 12,5 10 1,25 10 1,25 640 10 6,40 10 0,0078 10 7,8 10 − − = = = = 56 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Comparação de números em notação científica Independentemente da mantissa, o número que possuir a maior ordem de grandeza será o número maior: Ex 4 21,5 10 3,2 10 41,5 10 é maior que 23,2 10 , mesmo sendo a sua mantissa 1,5 menor que a mantissa 3,2, pois a sua ordem de grandeza 4 é maior que a ordem de grandeza 2. 3 28,7 10 5,3, 10− − 38,7 10− é menor que 25,3, 10− , ainda que a sua mantissa 8,7 seja maior que a mantissa 5,3, isto porque a sua ordem de grandeza -3 é menor que a ordem de grandeza -2. Quando dois números possuem a mesma ordem de grandeza o maior será o que possuir a maior mantissa: 5 53,25 10 3,45 10 Como ambos os números possuem a mesma ordem de grandeza, 53,25 10 é o menor deles, pois é o que possui a menor mantissa. 3 34,5456 10 4,23 10 Visto que os dois números têm a mesma ordem de grandeza, 34,5456 10 é o maior dos dois, pois é o que tem a maior mantissa. 7 76,24 10 6,24 10 = Os números acima são iguais, já que suas mantissas e as suas ordens de grandeza são iguais. 57 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 01) O valor de é: ( ) 310 1 43 2 9 1 27 0,2 25 64 3 −− −−− − + + a) 6 b) 7 c) 9 d) 8 e) 5 02) Qual é o valor da expressão 1 3 2 2 1 2 ? 2 a) 2 b) 1 2 c) 2− d) 2 e) 1 Resolução ( ) ( ) 10 3 14 3 2 9 4 10 9 4 10 9 4 4 1 4 3 1 4 8 1 0,227 25 3 1 3 3 5 3 5 − − − −− − − − − + − + + = + + = + + = + + = Demonstração veja as propriedades e sua aplicação ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 10 3 9 3 3 4 4 2 2 2 4 939 3 91 39 9 99 1 1 3 Para 3 ; 3 3 Para 27 3 1 1 1 Para 25 5 ;25 5 5 4 4 4 4 n n m n m n n n m n a a a a a a a − − − − − − − − − − −− = = = = = = = = = Resolução ( ) 1 1 3 1 2 2 2 2 1 3 1 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 escrevendo na base 2, temos 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n m n m a a a a a − − − − + + = = = = = = EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 58 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 03) A terça parte da soma de 5 23 6+ é: a) 5 2 3 33 6+ b) 5 23 3 2+ c) ( )56 3 6+ d) ( )3 23 3 2+ e) 5 23 6+ 04) A metade do número 21 122 4 2 + é: a) 20 222 2+ b) 12 62 4+ c) 12 212 2+ d) 20 62 4+ e) 22 132 2+ 05) O valor da soma 2003 1001 2002 1001 1001 2003 1001 2003 2 9 2 9 4 3 4 3 + é: a) 1 3 b) 2 3 c)1 d) 4 3 c) 2 Resolução: A regra mais útil na soma de potênciasé evidenciar o termo que se repete, isso facilita simplificações. ( )5 25 2 5 2 3 3 23 3 2 3 2 3 3 ++ = = + Resolução:metade de numnúmero n é alternativa a 2 n ( ) 12 221 12 21 12 21 21 24 21 1 23 1 20 22 22 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − −+ = + = + = + = + = + Resolução: ( ) ( ) ( ) ( ) 1001 1001 2003 2 2002 22003 1001 2002 1001 1001 10011001 2003 1001 2003 2 2003 2 2003 2003 2002 2002 2002 2003 2002 2002 2002 2002 2003 2002 2003 2003 2002 2003 2002 2 3 2 32 9 2 9 4 3 4 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 3 3 A regra usada a − − − − + = + = + = + 1 0 1 1 2 2 2 1 3 , logo: 1 3 3 3 3 p p q q a a − + = + = = = 59 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 06) A expressão 10 20 30 20 30 40 10 10 10 10 10 10 + + + + é equivalente a: a) 101 10+ b) 1010 2 c) 1010− d) 1010 e) 1010 1 2 − 07) O número 0,0004 usando notação científica pode ser escrito na forma a) 34 10− b) 54 10− c) 64 10 d) 64 10− e) 44 10− 9 RADICIAÇÃO Definição • Se n for par n a b= ,isto é, o resultado sempre será positivo • Se n for par e a negativo não tem solução em R • n a− = não tem solução em R • Se n for impar e a expressão terá solução em R Resolução: Observe: esta resolução o exercício parece difícil, mas evidenciando o menor expoente de numerador e denominador a coisa fica totalmente fácil. ( ) ( ) 10 10 2010 20 30 10 10 20 10 20 30 40 2020 10 20 10 1 10 1010 10 10 10 10 10 10 10 10 1010 1 10 10 − − + ++ + = = = = + + + + ( )1010 ( )2010 Resolução Logo Avista pode notar que a nuca opção que tem 4 casas decimais é e) ou melhor 40,0004 4 10−= Chama-se raiz enésima de a todo numero positivo b, tal que Em geral: nb a= nn a b b a= = 60 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Classificação de radicais • Radicais homogéneos • 37 7 7 7 55a) 10, 81, 78 e 97 ;b) , e x y x y− + • Radicais semelhantes Operações entre radicais • Adição e subtracção de radicais • Multiplicação de radicais Se os radicais não possuírem o mesmo índice diferentes devemos reduzi-los ao mesmo índice dessa forma efetuarmos a multiplicação ou a divisão mmc dos índices • Divisão de radicais São aqueles radicais que têm o mesmo índice São aqueles radicais que tem o mesmo índice e o mesmo radicando Só podemos adicionar radicais semelhantes, isto é, radicais que possuam o mesmo índice e mesmo radicando. Só podemos multiplicar radicais homogéneos, radicais que possuam o mesmo índice par tal mantem-se os índices e multiplicasse os radicando ( ) com b 0n n n a a b b = ( )n n nc a b a c b a = n n na b a b = Só podemos multiplicar radicais homogéneos, radicais que possuam o mesmo índice par tal mantem-se os índices e multiplicasse os radicando ( ) np pnp p nn a b a b mmc = 61 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição • Raiz de uma raiz • Radical duplo . Atenção: a diferença precisa ser além de positiva quadrado perfeito, só assim é possível transformar um radical duplo numa soma o diferença de radicais simples ( ) n m n m n ma a a= = , um numero par e a Rn N n ( ) nm n m n ma a a= = Passagem a factor do radicando um coeficiente do radical Racionalizacao De Denominador Racionalização de denominadores consiste em se obter uma fração equivalente com denominador racional, para substituir uma outra com denominador irracional em outras palavras, esse procedimento consiste em transformar um denominador irracional em um número racional, porém sem alterar o valor numérico de umafração. p p nn a a = 2, 2 2 a c a c a b c a b + − = = − Radical duplo chama-se radical duplo a fórmula fácil de calcula exercícios como na forma mais simples 3 8+ 62 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Factor racionalizante Factor racionalizante Para resolver exercícios de radicas temos que aplicar as seguintes propriedades de potências. Numa primeira fase é necessário saber que aa n m n m = , e que n k n m n km n km aaaaa == + , e n k n m n k m n km a a a a a == − e depois ieremos aplicar propriedades de bases iguais e expoentes diferentes a a a aa aaa nm n m nm nmnm − + == = Fator racionalizante de uma expressão irracional é uma outra expressão, também irracional, em que o produto entre elas resulta em uma expressão sem radical, ou seja, que a torne uma expressão racional É o fator racionalizante de É o fator racionalizante de É o fator racionalizante de É o fator racionalizante de É o fator racionalizante de É o fator racionalizante de nm a m m na − a b− a b+ a b+ a b− a b+ a b− a b c+ − a b c+ + 3 32 23a ab b− + 3 3a b+ 63 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição Exemplo: Simplifique a Expressão 4 3 3 aa aa aplicando aa n m n m = teremos a a aa aa 4 3 1 3 1 2 1 4 3 3 1 2 1 + + = achando mmc nos expoentes e aplicando a a a nm n m − = teremos: 12 5 12 5 12 1015 aaa == − Exemplo 33 1 12 11 4 5 12 11 4 5 12 11 2 2 5 12 11 2 5 4 1 3 2 2 3 1 4 1 3 2 2 3 43 2 3 aou a a a aa a a a a a a a a aa a a a ======= = − + + usando outra via aaa a a a aa aa aa 3 1 12 4 12 11 4 5 12 11 4 5 4 1 3 2 4 3 2 1 4 1 3 2 2 3 ==== = − + ( ) ( ) 93 27 9327 9327 3 3 3 27 3 27 33 2 33 2 23 3 33 2 233 2 233 2 3 3 3 3 3 ++= − ++− − ++− ++ ++ − − − − x x xx xx x x x x x x x x x x x x 3 3 3 9 + + − − x x x x ( )( ) ( )( )33 39 +− +− xx xx 64 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição ( )( ) 3 22 39 − +− x xx ( )( ) 9 39 − +− x xx = 3+x 01) O número 4 40,2 0,001 400000 0,008 é: a) 8 b) 4 c) 0,5 d) 40 e) 0,4 02) (UEM) A expressão ( ) ( ) 2 5 3 14 6 5− + é igual a: a) 8 b) 9 c) 256 d) 4 e) 16 03) Efectuando 2 3 2 3 2 3 2 3 + − + − + obtém-se: a)4 b) 3 c) 2 d) 2 3 e) 1 Resolução: ( ) 4 4 244 0,2 0,008 0,001 400000 regra usada 0,0016 400= 0,2 20 0,2 20 4 n n na b a b → = = = Resolução: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 3 14 6 5 5 3 5 6 5 3 14 6 5 lembrando que para 5 3 2 5 6 5 3 14 6 5 5 6 5 9 14 6 5 14 6 5 14 6 5 para 14 6 5 14 6 5 usamos 14 6 5 196 36 5 196 180 16 a b a ab b a b a b a b − + − = − + + − → − = − + − + + = − + + = − + − + → − = − + − = − = − = 65 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 05) O valor aproximado de 0,75 516 0,00243 2 4,333... 3 − + + é: a) 0,045 b) 0,125 c) 0,315 d) 0.085 e) 0,25 07) O número ( ) 51 1 3 10 1 1 7 7 3 37 − − + − é igual a: Resolução “Good!” agorammc dos denominadores logo: 2 3 2 3 seja: 2 3 ; e 2 3 2 3 2 3 , certo vamos escrever na forma y x yy x x x y x y + − + + = − = − + + + y x ( )( ) ( )2 2 2 3 2 3 2 2 3 3 4 4 4 14 32 3 2 3 2 3 + + − + + − = = = = −+ − − “Vamos matar o leão” a notação científica de agora pode tirar foto o “leão esta morto” substituindo temos: 75 25 3 0,75 100 25 4 − = − = − ( ) 3 3 3 36 3 39 13 4,333... 4 0,333.. 4 9 9 9 3 mmc + = + = + = = = ( )5 50.00243 243 10 ; 243 3−= = ( ) 1 3 43 345 5 54 344 33 1 31 1 33 10 10 21016 3 10 1616 2 13 15 5 5 3 2 3 1 3 1 3 17 425 102 10 8 10 40 0,085 5 5 5 5 − − − − ++ + + = = = + + + = = = = = 66 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição a) 2 21 b) 2 21 − c) 4 21 d) 10 21 − e) 4 21 − 08) Racionalize o denominador da expressão 4 57 6 9 x x y 09) Racionalizando o denominador da expressão 1 2 3 5+ + temos: a) Não é possível b) 5 2 4 3 7 + + c) 2 3 3 2 30 12 + − d) 2 3 5 5 + + e) 2 3 5 5 − − Resolução: ( ) 1 351 1 5 3 10 10 1 2 6 23 3 6 3 1 1 1 1 1 7 7 3 3 37 7 7 7 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 7 3 3 7 3 3 7 37 77 7 7 7 1 1 1 1 3 77 − − − − + − = + − = + − = + − = + − + − 22 1 1 1 1 1 1 1 1 3 7 4 7 3 21 213 7 3 7 3 7 3 − = + − = − = − = = − Resolução: 7 7 7 7 7 75 3 2 5 3 2 5 3 27 7 7 7 7 7 7 7 74 5 2 4 5 5 3 2 7 7 77 7 7 7 7 75 3 27 3 6 3 6 36 6 39 3 3 3 6 3 3 x y x x y x x yx x xyx y x y x y x y x x y y = = = = 67 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição EXERCICIOS 15. O valor da expressão ( ) 3 1 3 1 0,5.10 2 1000 1,3111 − − − é igual a: a) 377 b) 590 c) 620 d) 649 e) 750 Resolução: Não quero perder tempo. Qual o fator racionalizante para expressão deste tipo? És ai É o fator racionalizante de Então vamos resolver: a b c+ − a b c+ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 10 10 10 10 5 2 a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b a bab abab aba b a b + + + = + − + + + ++ − + + + + + + + + + + = = = + − + Resolução: Observa: que esta expressão é do tipo E o fator racionalizante é ou melhor, para o fator racionalizante é . Resolvendo temos: a b c+ + a b c+ − 1 2 3 5+ + 2 3 5+ − ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 aplicando a propriedade distributiva 2 3 5 2 3 5 do denomindor 2 3 5 2 3 5 temos: 2 6 2 3 5 o fator racionalizante 6 2 6 2 3 5 6 12 18 30 2 3 3 2 30 2 3 3 2 30 122 6 6 2 6 2 6 + − = + + + + + − + − + + + − + + + − + − + − + − + − + − = = = 68 GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição 10 EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU (EQUAÇÕES LINEARES) Analisando a equação 0ax b+ = , com e ba R , temos as seguintes hipóteses: • Para 0a , a equação 0ax b+ = admite uma única solução, pois é do primeiro grau. • Para 0 e 0a b= ,a equação 0ax b+ = não tem solução, pois a sentença é sempre falsa. • Para 0 e 0a b= = , a equação 0ax b+ = admite todos os números reais como solução, pois a sentença 0 0 0x + = é sempre verdadeira. Neste caso Uma equação linear do tipo: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑 resolve se passando para o primeiro termo todos termos com variável e para o segundo membro todos sem a variável. Exemplo: 𝟐𝐱 − 𝟑 = 𝟏 + 𝐱 4 312 132 = +=− +=− x xx xx Exemplo 2: a soma de um numero desconhecido e 2 é igual a 5, qual é esse numero? 𝐗 + 𝟐 = 𝟓 𝐗 = 𝟓 − 𝟐 𝐗 = 𝟑 Exemplo3: a soma da quantidade de copos disponiveis para festa e 100, é igual ao dobro do numero de copos menos 300 Uma equação que pode ser escrita na forma onde a e b são números reais
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