Problemas de Óptica Geométrica

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<p>Óptica Geométrica</p><p>Professor: Dr. Luis Alex Huahuachampi Mamani</p><p>Universidade Federal do Recôncavo da Bahia</p><p>Curso: BCET - Disciplina: F́ısica IV</p><p>A seguinte lista de problemas foi selecionada do livro Raymond Serway e Jhon Jewett, Prinćıpios</p><p>de F́ısica, Vol. 4, 8a edição, Caṕıtulo 1.</p><p>Q1.- Os astronautas da Apollo 11 configuraram um painel de retrorrefletores eficientes de vértices de</p><p>cubo na superf́ıcie da Lua. A velocidade da luz pode ser descoberta ao medir o intervalo de tempo</p><p>necessário para um feixe de laser se propagar da Terra, refletir no painel e voltar à Terra. Suponha</p><p>que este intervalo seja medido como 2,51 s na estação onde a Lua está no zênite e considere a distância</p><p>de centro a centro da Terra para a Lua como 3, 84 × 108 m. (a) Qual é a velocidade medida da luz?</p><p>(b) Explique se é necessário considerar os tamanhos da Terra e da Lua no seu cálculo. Respostas: a)</p><p>3, 00× 108m/s b) Explique</p><p>Q2.- A figura mostra um feixe de luz refratada em óleo de linhaça, que forma um ângulo de α = 20, 0◦</p><p>com a linha normal NN ′. O ı́ndice de refração do óleo de linhaça é 1,48. Determine os ângulos (a) θ e</p><p>(b) θ′. Respostas: a) θ = 30, 4◦ b) θ′ = 22, 3◦</p><p>Q3.- Os dois espelhos ilustrados na figura encontram-se no ângulo direito. O feixe de luz no plano</p><p>vertical indicado pelas linhas pontilhadas atinge o espelho 1 como mostrado. (a) Determine a distância</p><p>em que o feixe de luz refletido se propaga antes de atingir o espelho 2. (b) Em qual direção o feixe de</p><p>luz se propaga após ser refletido do espelho 2? Respostas: a) 1, 94 m b) 50◦ com relação à normal</p><p>ao segundo espelho.</p><p>Q4.- Uma pessoa olhando para um contêiner vazio pode ver o canto mais afastado da sua parte inferior,</p><p>como mostrado na figura a. A altura do contêiner é h e sua largura é d. Quando ele estiver completamente</p><p>cheio com um fluido de ı́ndice de refração n e visto do mesmo ângulo, a pessoa pode ver o centro de uma</p><p>moeda no meio da parte inferior do contêiner, como mostrado na figura b. (a) Mostre que a relação h/d</p><p>é dada por</p><p>h</p><p>d</p><p>=</p><p>√</p><p>n2 − 1</p><p>4− n2</p><p>(b) Supondo que o contêiner tenha uma largura de 8,00 cm e esteja cheio de água, utilize a expressão</p><p>acima para encontrar sua altura. (c) Para qual faixa de valores de n o centro da moeda não será viśıvel</p><p>para nenhum valor de h e d? Respostas: b) 4, 73 cm c) n > 2</p><p>Q5.- O ı́ndice de refração para a luz violeta em vidro de śılex é nV , e o da luz vermelha é nR. Qual é a dis-</p><p>persão angular da luz viśıvel que passa por um prisma de ângulo de vértice Φ se o ângulo de incidência for</p><p>θ? Consulte a figura. Resposta: sin−1</p><p>{</p><p>nV sin</p><p>[</p><p>Φ− sin−1</p><p>[</p><p>sin θ</p><p>nV</p><p>]]}</p><p>− sin−1</p><p>{</p><p>nR sin</p><p>[</p><p>Φ− sin−1</p><p>[</p><p>sin θ</p><p>nR</p><p>]]}</p><p>Q6.- Uma sala contém ar no qual a velocidade do som é 343 m/s. Suas paredes são feitas de concreto,</p><p>no qual a velocidade do som é 1850 m/s. (a) Encontre o ângulo cŕıtico para reflexão interna total do</p><p>som no limite concreto-ar. (b) Em qual meio o som deve inicialmente se propagar se sofrer reflexão</p><p>interna total? (c) “Uma parede de concreto é um espelho altamente eficiente para o som.” Apresente</p><p>1</p><p>Q2 Q3 Q4</p><p>evidências a favor ou contra esta afirmação. Respostas: a) 10, 7◦ b) No ar c) Justificar.</p><p>Q7.- Por que a seguinte situação é imposśıvel? Enquanto está no fundo de um calmo lago de água doce,</p><p>um mergulhador vê o Sol em um ângulo aparente de 38,0◦ acima da horizontal.</p><p>Q8.- O feixe de luz na figura atinge a superf́ıcie 2 no ângulo cŕıtico. Determine o ângulo de incidência</p><p>θ1. Respostas: 27, 5◦</p><p>Q9.- Um material com ı́ndice de refração n está cercado pelo vácuo e tem forma de um quarto de</p><p>ćırculo de raio R (ver figura). Um raio de luz paralelo à base do material é incidente da esquerda a</p><p>uma distância L acima da base e emerge do material no ângulo θ. Determine uma expressão para θ em</p><p>termos de n, R e L. Resposta: θ = sin−1</p><p>[</p><p>n sin</p><p>(</p><p>sin−1</p><p>[</p><p>L</p><p>R</p><p>]</p><p>− sin−1</p><p>[</p><p>L</p><p>nR</p><p>])]</p><p>Q5 Q8 Q9</p><p>Q10.- Um cilindro transparente de raio R = 2,00 m tem uma superf́ıcie espelhada na sua metade direita,</p><p>como mostrado na figura. Um raio de luz que se propaga no ar é incidente no lado esquerdo do cilindro.</p><p>O raio de luz incidente e raio de luz emergente estão paralelos e d = 2,00 m. Determine o ı́ndice de</p><p>refração do material. Resposta: n = 1, 93</p><p>Q11.- Um raio de luz incide em um bloco retangular de plástico em um ângulo θ1 = 45, 0◦ e emerge</p><p>em um ângulo θ = 76, 0◦, como mostrado na figura. (a) Determine o ı́ndice de refração do plástico. (b)</p><p>Se o raio de luz entra no plástico em um ponto L = 50,0 cm da face inferior, que intervalo de tempo é</p><p>necessário para que o raio de luz se mova pelo plástico? Resposta: a) n = 1, 20 b) 3, 40 ns</p><p>Q12.- Suponha que uma esfera luminosa de raio R1 (como o Sol) seja circulada por uma atmosfera</p><p>uniforme de raio R2 > R1 e ı́ndice de refração n. Quando a esfera é vista de um local acima no vácuo,</p><p>2</p><p>qual é seu raio aparente quando (a) R2 > nR1 e (b) R2 < nR1? Resposta: a) nR1 b) R2</p><p>Q13.- Pierre de Fermat (1601-1665) mostrou que, quando a luz se propaga de um ponto para outro,</p><p>seu caminho real é aquele que requer o menor intervalo de tempo. Esta afirmação é conhecida como</p><p>Prinćıpio de Fermat. O exemplo mais simples é para a propagação da luz em um meio homogêneo.</p><p>Ela se move em uma linha reta porque esta é a distância mais curta entre dois pontos. Derive a lei</p><p>da refração de Snell a partir do Prinćıpio de Fermat. Proceda como segue. Na figura, um raio de luz</p><p>propaga-se do ponto P no meio 1 para o ponto Q no meio 2. Os dois pontos estão, respectivamente,</p><p>nas distâncias perpendiculares a e b da interface. O deslocamento de P para Q tem a componente d</p><p>paralelamente à interface e temos x representando a coordenada do ponto onde o raio entra no segundo</p><p>meio. Seja t = 0 o instante em que a luz inicia a partir de P . (a) Mostre que o tempo no qual a luz</p><p>chega em Q é</p><p>t =</p><p>r1</p><p>υ1</p><p>+</p><p>r2</p><p>υ2</p><p>=</p><p>n1</p><p>√</p><p>a2 + x2</p><p>c</p><p>+</p><p>n2</p><p>√</p><p>b2 + (d− x)2</p><p>c</p><p>(b) Para obter o valor de x para o qual t tem seu valor mı́nimo, diferencie t com relação a x e configure</p><p>a derivada igual a zero. Mostre que o resultado implica</p><p>n1x√</p><p>a2 + x2</p><p>=</p><p>n2(d− x)√</p><p>b2 + (d− x)2</p><p>(c) Mostre que esta expressão, por sua vez, resulta na lei de Snell,</p><p>n1 sin θ1 = n2 sin θ2</p><p>Q10 Q11 Q13</p><p>3</p>