05 Interferência (Aula 05)

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INTERFERÊNCIA 
 
1. Três ondas de luz se superpõem em certo ponto do espaço. As componentes do campo 
elétrico nesse ponto são 𝐸1 = 𝐸0 sen 𝜔𝑡, 𝐸2 = 𝐸0 sen(𝜔𝑡 + 60°) e 𝐸3 = 𝐸0 sen(𝜔𝑡 −
30°). Encontre o campo resultante. 
(R.: 𝐸 = 2.4 𝐸0 sen(𝜔𝑡 + 8.8°)) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 O campo resultado é dado pela soma vetorial: 
𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2 + 𝐸3 
⇒ 𝐸 = 𝐸0(1∠0° + 1∠60° + 1∠ − 30°) 
⇒ 𝐸 = 𝐸0(1∠0° + (cos 60° ∠0° + sen 60° ∠90°) + (cos 30° ∠0° − sen 30° ∠90°)) 
⇒ 𝐸 = 𝐸0((1 + cos 60° + cos 30°)∠0° + (sen 60° − sen 30°)∠90°) 
⇒ 𝐸 ≈ 𝐸0(2,366∠0° + 0,366∠90°) 
⇒ 𝐸 ≈ √2,3662 − 0,3662𝐸0 sen (𝜔𝑡 + tg
−1 (
0,366
2,366
)) 
⇒ 𝐸 ≈ 2,4 𝐸0 sen(𝜔𝑡 + 8,8°) 
 
 
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2. Duas fontes pontuais de ondas de rádio 𝑆1 e 𝑆2 , separadas por uma distância 𝑑 = 2.0 m, 
estão radiando em fase com 𝜆 = 0.50 m. Um detector percorre um caminho circular de 
raio 𝑟 ≫ 𝑑 em torno das duas fontes. O caminho percorrido pelo detector está em um 
plano que contém o eixo (𝑥) que liga as fontes. Quantos máximos ele detecta? 
 
(R.: 16 máximos) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Para qualquer raio 𝑟 ≫ 𝑑, uma sobreposição das ondas será detectado como máximo 
quando a as fases 𝜙1 e 𝜙2 correspondentes às fontes 𝑆1 e 𝑆2 obedecerem à seguinte 
condição: 
𝜑 = 𝜙1 − 𝜙2 = 𝑚(2𝜋), 𝑚 ∈ ℤ 
 Como a diferença de fase 𝜑 possui uma dependência espacial geométrica, visto que o 
detector percorre um perímetro de raio 𝑟, a condição imposta dependerá das distâncias 
𝒟1 e 𝒟2, respectivas às distâncias das fontes 𝑆1 e 𝑆2 até o perímetro de detecção 
percorrido, onde, por definição: 
𝜑 = 𝑘Δ𝒟 =
2𝜋
𝜆
(𝒟2 − 𝒟1) 
obedecerem à seguinte condição de fase: 
𝒟2 − 𝒟1 = 𝑚𝜆 
 
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 Assim, para o ponto 𝐴 da imagem acima, temos que: 
𝒟2 = 𝒟1 ⇒ 𝑚 = 0 
Por outro lado, para o ponto a 𝐵, temos que: 
Δ𝒟 = 𝑑 ⇒ 𝑚 =
𝑑
𝜆
=
(2,0 m)
(0,50 m)
= 4 
 Assim, para cada 𝜋/2 de rotação do detector, observa-se 4 máximos. Então, para uma 
rotação completa (um giro de detecção), teremos: 
(
4 máximos
𝜋/2
) × 2𝜋 = 16 máximos 
independentemente do raio de detecção adotado, desde que 𝑟 ≫ 𝑑. 
 
 
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3. Dois feixes de luz colimados de frequência 𝜈 = 5.64 × 1014 Hz se propagam em um meio 
com índice de refração 𝑛 = 1.5. Os feixes têm vetores de propagação 𝒌𝟏 = 𝑘𝑥 e 𝒌𝟐 = 𝑘�̂� 
(i.e., se propagam em direções ortogonais) e interferem em uma região do espaço. Calcule 
o número de franjas por milímetro (franjas/mm) do padrão de interferência na direção 
𝑲 = 𝒌𝟏 − 𝒌𝟐. 
(R.: 𝑁 = 3.988 franjas/mm) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Sabe-se que um número 𝑚 de franjas claras ocorrem para 
𝜑 = 2𝑚𝜋 (𝑚 ∈ ℤ) , 
onde 𝜑 é a diferença de fases entre ondas, definida por: 
𝜑 ≡ 𝑲𝒓 + (𝜙1 − 𝜙2) . 
 Como vetor de propagação 𝑲 é dado por duas ondas de direções de propagação 
ortogonais, temos que a separação Λ entre duas franjas é dada por: 
𝑲 · Δ𝒓 = 𝐾Λ = 2𝜋 
 Logo, por definição, temos o número de franjas por comprimento: 
𝑁 ≡
1
Λ
=
𝐾
2𝜋
 
 O módulo 𝐾 do vetor de propagação é calculado por uma soma vetorial de vetores 
ortogonais de mesmo módulo 𝑘, assim: 
𝐾 = √2𝑘 
 Como o número de onda 𝑘 é definido como 𝑘 = 2𝜋/𝜆 e o comprimento de onda 𝜆 é 
definido como 𝜆 = 𝑐0/𝑛𝜈, resultamos com a equação: 
𝑁 =
√2 𝑛𝜈
𝑐0
 
 Substituindo os valores do enunciado, temos que: 
𝑁 =
√2 · (1,5) · (5,64 × 1014 Hz)
(3 × 108 m/s × 103 mm/m)
�̂� 
⇒ 𝑁 ≈ 3.988 franjas/mm 
 
 
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EXPERIMENTO DA DUPLA FENDA DE YOUNG 
 
4. Um experimento de fenda-dupla de Young utiliza uma fonte de luz branca. Se a franja clara 
de primeira ordem da componente infravermelha (780 nm) coincide com a franja clara de 
segunda ordem da componente violeta, qual o comprimento de onda dessa última? 
(R.: 𝜆𝑉𝐼𝑂 = 390 nm) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Sabe-se que uma franja acontece a uma distância 𝑦 do centro entre as fendas quando: 
𝑦 = 𝑚𝜆
𝑥
ℎ
 (𝑚 ∈ ℤ) , 
onde 𝑚 é a ordem de coincidência, 𝑥 é a distância do anteparo até as fendas e ℎ é a 
distância de separação entre as fendas. 
 Quando existir uma franja clara de primeira ordem (𝑚 = 1) da componente 
infravermelha da luz branca coincidindo com a franja clara de segunda ordem (𝑚 = 2) da 
componente violeta, sabemos que ambas acontecem a uma mesma distância 𝑦 do centro, 
ou seja: 
1 · 𝜆𝐼𝑁𝐹
𝑥
ℎ
= 2 · 𝜆𝑉𝐼𝑂
𝑥
ℎ
 
onde podemos isolar o comprimento de onda da luz violeta: 
𝜆𝑉𝐼𝑂 =
𝜆𝐼𝑁𝐹
2
 
resultando com: 
𝜆𝑉𝐼𝑂 =
(780 nm)
2
 
⇒ 𝜆𝑉𝐼𝑂 = 390 nm 
 
 
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5. Em uma experiência de interferência com duas fendas, a distância entre as fendas é de 
0,1 mm e a tela está colocada a uma distância de 1 m. A franja brilhante de 3ª ordem 
forma-se a uma distância de 15 mm da franja de ordem 0. Calcular o 𝜆 da luz utilizada. 
(R.: 𝜆 = 500 nm) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Analogamente ao exercício 4, temos que: 
𝑦3 = 3𝜆
𝑥
ℎ
= 15 mm 
 Isolando o comprimento de onda, temos que: 
𝜆 =
𝑦3ℎ
3𝑥
 
 Substituindo os valores do enunciado, temos que: 
𝜆 =
(15 mm) · (0,1 mm)
3 · (1 m × 103 mm/m)
 
⇒ 𝜆 = 500 nm 
 
 
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6. Em um experimento de fenda-dupla de Young, o comprimento de onda utilizado é 600 nm 
no ar. A inserção de uma placa de vidro (𝑛 = 1.5) de espessura 𝑑 em frente a uma das 
fendas provoca um deslocamento de 50 franjas claras no padrão de interferência. Qual a 
espessura da placa? 
(R.: 𝑑 = 60 μm) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Quando a luz de uma das fendas passa pela placa de vidro, ela acaba percorrendo um 
caminho óptico Δ, até a espessura 𝑑, maior devido ao índice de refração do mesmo. Isso 
faz com que o padrão de franjas claras varie, de tal forma que a diferença entre as 
distâncias percorridas pelos feixes quando ocorre uma interferência construtiva é de: 
𝑚𝜆 = 𝑑2
′ − 𝑑1 = (𝑑2 + ε) − 𝑑1 
onde ε = Δ − 𝑑 = 𝑑(𝑛 − 1). 
 Para que ocorra um deslocamento de franjas, é necessária a seguinte condição: 
𝜑 = 𝑚(2𝜋) 
onde 𝜑 é a diferença de fase. 
 Seguindo a relação 𝜑 = 𝑘ε e utilizando a definição 𝑘 = 2𝜋/𝜆, temos que: 
𝜑 =
2𝜋ε
𝜆
= 𝑚(2𝜋) 
 Isolando a espessura da placa pela definição de ε encontrada anteriormente, temos 
então que: 
𝑑 =
𝑚𝜆
𝑛 − 1
 
 Substituindo os valores do enunciado, temos que: 
𝑑 =
(50 franjas) · (600 × 10−9 m)
(1,5) − 1
 
⇒ 𝑑 = 60 μm 
 
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INTERFERÔMETRO DE MICHELSON 
 
7. Um interferômetrode Michelson é iluminado com luz monocromática de comprimento de 
onda 𝜆 = 633 nm. Quando um dos espelhos é movido uma distância 𝑑 (na direção do feixe 
incidente), observa-se que 60 franjas claras passam no processo. Determine 𝑑. 
(R.: 𝑑 = 19 μm) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Quando há a interferência das ondas, sabemos que a diferença de fase é dada por: 
𝜑 ≡ (𝒌1 − 𝒌2)𝒓 + (𝜙1 − 𝜙2) 
Para propagações de ondas planas sob mesma direção e mesmo meio, temos que: 
𝑛1 = 𝑛2 e 𝒌1 ∥ 𝒌2 ⇒ 𝒌1 = 𝒌2 
implica em: 
𝜑 = 𝜙1 − 𝜙2 
 Se essa diferença de fase representar um múltiplo de um 
período completo: 
𝜑 = 𝑚(2𝜋) , 
as ondas estarão em fase (onde 𝑚 é a ordem de franjas – 
quantidade de franjas deslocadas). Quando isso acontece, pode-se observar franjas claras 
sobre um anteparo. 
 No interferômetro de Michelson, 
sabemos que uma variação 𝑑 na 
posição de em um dos espelhos implica 
em uma variação 2𝑑 no caminho 
percorrido pela luz (devido a ida e a 
volta que a luz faz ao bater no espelho 
e ser refletida). 
 
 Assim, podemos encontrar a diferença de fase pelo caminho percorrido pela luz: 
𝜑 = (2𝑑)𝑘 
 Por definição, como 𝑘 = 2𝜋/𝜆, onde: 
𝜑 =
4𝜋𝑑
𝜆
= 𝑚(2𝜋) 
resultamos com: 
𝑑 =
𝑚𝜆
2
 
⇒ 𝑑 =
(60 franjas) · (633 × 10−9 m)
2
= 18,99 μm 
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8. Um interferômetro de Michelson é iluminado com luz monocromática. Um dos espelhos é 
então movido 25 μm e observa-se que 90 franjas claras passam no processo. Determine o 
comprimento de onda da luz incidente. 
(R.: 𝜆 = 556 nm) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Analogamente ao exercício 7, temos a seguinte equação que relaciona comprimento 
de onda 𝜆, deslocamento dos espelhos 𝑑 e ordem das franjas 𝑚: 
𝜆 =
2𝑑
𝑚
 
 Assim, substituindo os valores do enunciado, temos que: 
𝜆 =
2 · (25 × 10−6 m)
(90 franjas)
≈ 556 nm 
 
 
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9. Um interferômetro de Michelson utiliza luz de comprimento de onda 𝜆. Os espelhos 𝑀1 e 
𝑀2 estão bem alinhados, produzindo franjas de interferência bem espaçadas. A irradiância 
incidente no fotodiodo (𝐷) é convertida em tensão e visualizada na tela de um osciloscópio. 
O espelho 𝑀1 possui um atuador graduado, permitindo a medida do deslocamento 𝑑 do 
espelho. O gráfico abaixo ilustra a tensão de saída do fotodiodo quando o espelho 𝑀1 é 
movido uma distância 𝑑 = 5 μm. Calcule 𝜆. 
 
(R.: 𝜆 = 1.0 μm) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Analogamente ao exercício 7, temos a seguinte equação que relaciona comprimento 
de onda 𝜆, deslocamento dos espelhos 𝑑 e ordem das franjas 𝑚: 
𝜆 =
2𝑑
𝑚
 
 Pelo gráfico apresentado, podemos identificar que, para cada deslocamento 
𝑑 = 1 μm, temos uma ordem 𝑚 = 2 de franjas claras. Assim, substituindo os valores do 
enunciado, temos que: 
𝜆 =
2 · (1 × 10−6 m)
(2 franjas)
= 1.0 μm 
 
 
 
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10. Um interferômetro de Michelson é utilizado para medir o índice de refração do ar na 
temperatura e pressão ambientes. Para isso, uma célula de vidro de comprimento 
𝑑 = 10 cm é inserida em um dos braços do interferômetro. (Despreze a espessura das 
paredes de vidro da célula). Luz de comprimento de onda 𝜆 = 590 nm é utilizada. 
Considere que a célula está inicialmente cheia de ar. Em seguida, o ar é bombeado para 
fora da célula, fazendo-se vácuo no seu interior. Sabendo que 129 franjas claras passam 
nesse processo, calcule o índice de refração do ar com 6 dígitos significativos. 
(R.: 𝑛𝐴𝑅 = 1.00038) 
 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Sabemos que quando a luz passa pelo meio do interior da célula, ela percorre um 
caminho óptico Δ dado por: 
Δ0 = 𝑛0𝑑 
 Como o índice de refração 𝑛0 do vácuo é igual a 1, o caminho óptico percorrido é 
exatamente 𝑑. Dessa forma, se a célula não estivesse presente, a luz percorria um 
caminho óptico de: 
Δ𝐴𝑅 = 𝑛𝐴𝑅𝑑 
A diferença em módulo entre os caminhos ópticos 𝛿 = |Δ𝐴𝑅 − Δ0| = Δ𝐴𝑅 − Δ0, pois 
𝑛𝐴𝑅 > 𝑛0, obedece a relação empregada pela equação encontrada no exercício 7, onde: 
𝛿 = Δ𝐴𝑅 − Δ0 =
𝑚𝜆
2
 
 Assim, temos que: 
𝑛𝐴𝑅 = 1 +
𝑚𝜆
2𝑑
= 1 +
(129 franjas) · (590 × 10−9 m)
2 · (10 × 10−2 m)
≈ 1,00038 
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	INTERFERÊNCIA
	1. Três ondas de luz se superpõem em certo ponto do espaço. As componentes do campo elétrico nesse ponto são ,𝐸-1.=,𝐸-0.,sen-𝜔𝑡., ,𝐸-2.=,𝐸-0.,sen-,𝜔𝑡+60 .. e ,𝐸-3.=,𝐸-0.,sen-,𝜔𝑡−30 ... Encontre o campo resultante. (R.: 𝐸=2.4 ,𝐸-0.,sen-,...
	2. Duas fontes pontuais de ondas de rádio ,𝑆-1. e ,𝑆-2. , separadas por uma distância 𝑑=2.0 m, estão radiando em fase com 𝜆=0.50 m. Um detector percorre um caminho circular de raio 𝑟≫𝑑 em torno das duas fontes. O caminho percorrido pelo detector...
	3. Dois feixes de luz colimados de frequência 𝜈=5.64×,10-14. Hz se propagam em um meio com índice de refração 𝑛=1.5. Os feixes têm vetores de propagação ,𝒌-𝟏.=𝑘,𝑥. e ,𝒌-𝟐.=𝑘,𝑦. (i.e., se propagam em direções ortogonais) e interferem em uma r...
	EXPERIMENTO DA DUPLA FENDA DE YOUNG
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	INTERFERÔMETRO DE MICHELSON
	7. Um interferômetro de Michelson é iluminado com luz monocromática de comprimento de onda 𝜆=633 nm. Quando um dos espelhos é movido uma distância 𝑑 (na direção do feixe incidente), observa-se que 60 franjas claras passam no processo. Determine 𝑑. ...
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	9. Um interferômetro de Michelson utiliza luz de comprimento de onda 𝜆. Os espelhos 𝑀1 e 𝑀2 estão bem alinhados, produzindo franjas de interferência bem espaçadas. A irradiância incidente no fotodiodo (𝐷) é convertida em tensão e visualizada na te...
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