Deformações em estruturas isostáticas

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<p>Deformações em estruturas isostáticas</p><p>Prof.ª Danielle Ribeiro</p><p>Descrição O princípio dos trabalhos virtuais (PTV) aplicado ao cálculo dos deslocamentos, o uso de tabela</p><p>para o cálculo das integrais e o cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas submetidas à</p><p>variação de temperatura e a recalques de apoio.</p><p>Propósito Deslocamentos em estruturas isostáticas tem grande relevância para a formação do Engenheiro,</p><p>proporcionando um embasamento teórico necessário ao curso de Engenharia Civil nas disciplinas</p><p>da área de Estruturas.</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 1/98</p><p>Preparação Para o melhor aproveitamento dos estudos, tenha em mãos uma calculadora e baixe o software</p><p>Ftool.</p><p>Objetivos</p><p>Módulo 1</p><p>Princípio dos trabalhos</p><p>virtuais no cálculo de</p><p>deslocamentos</p><p>Analisar o deslocamento das</p><p>estruturas por meio do princípio dos</p><p>trabalhos virtuais.</p><p>Módulo 2</p><p>Uso de tabela para o</p><p>cálculo de integrais</p><p>Analisar a integral do produto de duas</p><p>funções por meio de tabela de</p><p>combinação de diagramas.</p><p>Módulo 3</p><p>Deslocamentos em</p><p>estruturas isostáticas</p><p>Analisar o deslocamento na estrutura</p><p>submetida a variações de temperatura</p><p>ou recalques de apoio.</p><p>Introdução</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 2/98</p><p>Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e confira os principais conceitos e</p><p>aspectos sobre deformações em estruturas isostáticas.</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 3/98</p><p>1 - Princípio dos trabalhos virtuais no cálculo de deslocamentos</p><p>Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar o deslocamento das estruturas por meio do princípio dos</p><p>trabalhos virtuais.</p><p>Vamos começar!</p><p>Cálculo de deslocamentos - princípios dos</p><p>trabalhos virtuais</p><p>Confira os princípios dos trabalhos virtuais aplicados aos cálculos de deslocamentos.</p><p>É importante que você fique atento e faça anotações, pois te ajudará e evoluir na sua</p><p>caminhada rumo ao conhecimento.</p><p></p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 4/98</p><p>Energia de deformação e aplicação ao</p><p>cálculo de deslocamentos</p><p>As estruturas são sistemas físicos capazes de receber e transmitir esforços. O termo</p><p>deslocamento pode ser utilizado no sentido de deslocamento linear ou de rotação. As</p><p>estruturas isostáticas, por possuírem a quantidade mínima de vínculos para manter a</p><p>sua estabilidade, conseguem se deformar sem gerar esforços internos.</p><p>Os deslocamentos que serão abordados aqui são provenientes,</p><p>basicamente, de ações estáticas sob a forma de forças</p><p>concentradas ou distribuídas aplicadas na estrutura, na variação</p><p>de temperatura e em recalques de apoio.</p><p>Estudaremos caso a caso, porém, para forças atuando na estrutura, será apresentado</p><p>o cálculo por meio do princípio dos trabalhos virtuais (PTV) e um método simplificado</p><p>para o cálculo da integração.</p><p>Será aplicado o método da força unitária de cálculo, que é usado também para o</p><p>método das forças em cálculo de estruturas hiperestáticas.</p><p>O princípio geral da conservação da energia é muito importante em vários métodos da</p><p>análise de estruturas, expresso como um balanço de energia (ou trabalho) aplicável</p><p>tanto para estruturas rígidas como para estruturas deformáveis.</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 5/98</p><p>Tubos de cobre.</p><p>Considere um corpo deformável (uma</p><p>barra de estrutura metálica, por exemplo)</p><p>submetido à ação de uma carga externa</p><p>estaticamente aplicada. Durante o</p><p>processo de deformação do corpo, os</p><p>pontos onde as cargas são aplicadas se</p><p>deslocam à medida que essas cargas</p><p>crescem. Consequentemente, há</p><p>realização de um trabalho externo</p><p>(trabalho das cargas externas).</p><p>Ao mesmo tempo que essas cargas são aplicadas, e como</p><p>consequência delas, aparecem tensões no material,</p><p>correspondendo a forças elementares internas (produtos das</p><p>tensões pelas áreas elementares dos pontos que atuam), as quais</p><p>se deslocam em virtude das deformações que acompanham as</p><p>tensões.</p><p>Sendo assim, há realização de um trabalho interno (trabalho de esforços internos).</p><p>Esse trabalho interno fica armazenado no corpo após sua deformação sob a forma de</p><p>energia de deformação.</p><p>Em resistência dos materiais, os sistemas são considerados conservativos,</p><p>desprezando-se quaisquer formas de dissipação de energia. A energia de deformação</p><p>depende exclusivamente dos estados inicial e final, não dos estados intermediários.</p><p>Logo, pelo princípio da conservação da energia, um sistema conservativo está em</p><p>equilíbrio se a energia de deformação armazenada é igual ao trabalho realizado pelas</p><p>cargas externas.</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 6/98</p><p>A seguir, esse princípio será aplicado às estruturas de comportamento linear, isto é,</p><p>àquelas para as quais seja válida a Lei de Hooke (linearidade física, tensões</p><p>diretamente proporcionais às deformações), sendo as cargas proporcionais aos</p><p>deslocamentos (linearidade geométrica), caso em que se pode aplicar o princípio da</p><p>superposição dos efeitos.</p><p>Conceitos importantes</p><p>Força x Deformações x Deslocamentos</p><p>Vamos às definições!</p><p>Força</p><p>O conceito de força generalizada deve ser entendido com o significado de uma força,</p><p>um binário de forças ou um conjunto de forças e binários atuando em uma estrutura.</p><p>Eventualmente, esse conceito é denominado ação. Uma força generalizada pode ser</p><p>interna ou externa, e uma força externa pode ser ativa ou reativa.</p><p>Forças internas </p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 7/98</p><p>V, M</p><p>Ativas: F1, F2 - Reativas: R1, R2</p><p>Forças externas </p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 8/98</p><p>Deformação</p><p>Uma estrutura solicitada por um sistema de forças sofre uma “mudança de forma”, os</p><p>pontos da estrutura sofrem deslocamentos, ou seja, mudanças de posição em relação</p><p>às suas posições iniciais e em relação uns aos outros.</p><p>As componentes de deformação são grandezas adimensionais e caracterizam</p><p>completamente a “mudança de forma” de um elemento infinitesimal em torno de um</p><p>ponto.</p><p>Deslocamento</p><p>Decorrem do efeito acumulado das deformações nos pontos do corpo ou na estrutura.</p><p>Podem ser entendidos como uma translação ou uma rotação de algum ponto da</p><p>estrutura.</p><p>Translação</p><p>Deslocamento linear → ∆</p><p>Rotação</p><p>Deslocamento angular → θ</p><p>Observe uma viga engastada e sua deformada após o carregamento:</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 9/98</p><p>Trabalho externo de deformação (We) –</p><p>Teorema de Clapeyron</p><p>Esse trabalho é realizado pelas cargas externas no processo de deformação.</p><p>Considere a seguinte viga:</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 10/98</p><p>Visto que as cargas são proporcionais aos deslocamentos por linearidade geométrica,</p><p>temos:</p><p>Em que:</p><p>= é o deslocamento.</p><p>= é a constante de proporcionalidade.</p><p>= é a carga aplicada.</p><p>Quando a carga sofre um acréscimo durante seu processo de crescimento</p><p>gradual, o deslocamento correspondente a ela sofrerá um acréscimo , realizando o</p><p>trabalho elementar.</p><p>Vejamos:</p><p>Desprezando-se o infinitésimo de ordem superior , temos:</p><p>δ = α.P</p><p>δ</p><p>α</p><p>P</p><p>P (dP)</p><p>dδ</p><p>dWe = (P + dP) ⋅ dδ = (P + dP) ⋅ αdP</p><p>dWe = αPdP + α(dP)2</p><p>(dP)2</p><p>dWe = αPdP</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio#</p><p>11/98</p><p>Então:</p><p>Substituindo , temos:</p><p>Tendo várias cargas, por superposição de efeitos, consideramos:</p><p>Sendo assim, concluímos que o trabalho realizado por cargas agindo estaticamente</p><p>(isto é, de forma lenta e gradual) é igual à metade da soma dos produtos dos valores</p><p>finais das cargas pelos valores finais dos deslocamentos de seus pontos de aplicação,</p><p>segundo suas linhas de ação.</p><p>O trabalho mecânico realizado pelas cargas aplicadas em uma</p><p>estrutura (We) é igual à energia de deformação interna</p><p>armazenada na estrutura. Contudo, não é suficiente para a</p><p>determinação de mais de um deslocamento desconhecido.</p><p>We = ∫</p><p>P</p><p>0</p><p>αPdP =</p><p>αP 2</p><p>2</p><p>α = δ</p><p>P</p><p>We =</p><p>1</p><p>2</p><p>Pδ</p><p>We =</p><p>1</p><p>2</p><p>n</p><p>∑</p><p>i=1</p><p>Piδi</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 12/98</p><p>Portanto, a solução é a generalização desse princípio para o princípio dos trabalhos</p><p>virtuais (PTV), que será mostrado adiante.</p><p>Trabalho interno de deformação (Wi)</p><p>No caso de uma barra de um pórtico plano, a energia de deformação por unidade de</p><p>volume é composta pela soma das energias de deformação por unidade de volume</p><p>para os efeitos axial, de flexão, cortante e de torção (no caso de grelhas e quadros</p><p>espaciais).</p><p>A energia de deformação total é obtida pela integração da energia Wi ao longo do</p><p>volume da estrutura.</p><p>Vamos agora analisar os esforços que atuam em uma estrutura!</p><p>Esforço normal (N)</p><p>O esforço N é denominado esforço normal, que pode ser de tração ou de compressão.</p><p>O esforço normal provoca um deslocamento relativo da barra na sua direção</p><p>longitudinal.</p><p>Wi = ∫</p><p>I</p><p>est</p><p>Ndu + ∫</p><p>E</p><p>est</p><p>Mdθ + ∫</p><p>L</p><p>est</p><p>Qdh + ∫</p><p>T</p><p>est</p><p>Tdφ</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 13/98</p><p>Em que:</p><p>deslocamento relativo entre as seções extremas do elemento de barra</p><p>na direção do eixo da barra;</p><p>, em que módulo de rigidez à deformação axial;</p><p>módulo de elasticidade longitudinal;</p><p>área da seção transversal.</p><p>Deslocamento axial relativo de um elemento infinitesimal de barra provocado por esforço normal.</p><p>Momento �etor (M)</p><p>O esforço é denominado momento fletor, que pode alongar as fibras inferiores e</p><p>comprimir as superiores, ou vice-versa. Com isso, ocorre uma rotação relativa entre as</p><p>seções extremas da barra.</p><p>N ↔ du</p><p>du =</p><p>du = N</p><p>EA dx EA →</p><p>E =</p><p>A =</p><p>M</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 14/98</p><p>Em que:</p><p>= é a rotação relativa entre as seções extremas do elemento de barra no</p><p>plano dela;</p><p>, em que módulo de rigidez à flexão;</p><p>é o módulo de elasticidade longitudinal;</p><p>é o momento de inércia à flexão da seção transversal.</p><p>Rotação relativa interna de um elemento infinitesimal de barra provocado por um momento fletor.</p><p>Esforço cortante</p><p>O esforço é denominado cortante, que acarreta um deslocamento relativo no plano</p><p>da seção transversal da barra.</p><p>M ↔ dθ</p><p>dθ</p><p>dθ = M</p><p>EI dx El →</p><p>E =</p><p>I =</p><p>(Q)</p><p>Q</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 15/98</p><p>Em que:</p><p>deslocamento relativo no plano da barra entre as seções extremas do</p><p>elemento de barra na direção perpendicular ao eixo;</p><p>, temos: módulo de rigidez ao cisalhamento; e ,</p><p>fator de forma para cisalhamento, que depende da forma da seção</p><p>transversal e leva em conta a distribuição da tensão de cisalhamento da</p><p>seção.</p><p>Deslocamento transversal relativo de um elemento infinitesimal de barra provocado por esforço cortante.</p><p>Momento torsor</p><p>O esforço é denominado momento torsor, que causa uma rotação relativa no eixo</p><p>longitudinal da barra.</p><p>Q ↔ dh</p><p>dh =</p><p>dh = χ V</p><p>GA</p><p>dx GA → χ →</p><p>(T )</p><p>T</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 16/98</p><p>Em que:</p><p>rotação relativa entre as seções extremas do elemento em torno do</p><p>eixo da barra;</p><p>, em que módulo de rigidez à torção;</p><p>módulo de cisalhamento do material;</p><p>momento de inércia à flexão da seção transversal.</p><p>Rotação relativa interna por torção de um elemento infinitesimal de barra provocado por um momento torsor.</p><p>Sendo assim, temos a equação para o trabalho interno:</p><p>T ↔ dφ</p><p>dφ =</p><p>dφ = T</p><p>GI dx Gl →</p><p>G =</p><p>I =</p><p>Wi = ∫</p><p>est</p><p>N</p><p>N</p><p>EA</p><p>dx + ∫</p><p>est</p><p>M</p><p>M</p><p>EI</p><p>dx + χ∫</p><p>est</p><p>Q</p><p>Q</p><p>GA</p><p>dx + ∫</p><p>est</p><p>T</p><p>T</p><p>GI</p><p>dx</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 17/98</p><p>Trabalho virtual</p><p>É aquele que pode ser executado pelo sistema de carregamento e por esforços</p><p>solicitantes reais de uma estrutura quando ao trabalho se apliquem deslocamentos</p><p>virtuais.</p><p>Para aplicar um deslocamento virtual a uma estrutura, a fim de que se imponha para o</p><p>cálculo de um trabalho virtual, é preciso haver um deslocamento possível de ser</p><p>sofrido por ela, ou seja, compatível com os vínculos da estrutura. Confira e entenda</p><p>melhor!</p><p>Deslocamento virtual</p><p>Deslocamento imaginário ou</p><p>fictício.</p><p>Força virtual</p><p>Força imaginária, arbitrariamente</p><p>imposta sobre um sistema</p><p>estrutural.</p><p>Carregamento real</p><p>Deslocamento virtual compatível</p><p>com as vinculações da estrutura.</p><p>Sistema de “carregamento” externo real – ESTADO A</p><p>Entende-se por carregamento externo qualquer ação externa que provoque</p><p>deformação na estrutura.</p><p>Essa ação externa pode ser resultado de cargas externas (ativas e</p><p>reativas), variação de temperatura do meio ambiente e recalque</p><p>de apoio.</p><p>(τ)</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 18/98</p><p>Vamos designar como ESTADO A aquele correspondente à estrutura submetida à</p><p>ação de carregamento externo real.</p><p>Sistema de cargas externas virtuais – ESTADO B</p><p>Entendem-se por cargas externas virtuais quaisquer sistemas de cargas fictícias</p><p>imaginadas atuando sobre a estrutura. Estudaremos o sistema de cargas virtuais em</p><p>função do objetivo desejado.</p><p>A ação da carga virtual será designada como ESTADO B, que corresponde à ação da</p><p>carga virtual sobre a estrutura. Consequentemente, os deslocamentos e deformações</p><p>que ocorrerem no ESTADO B serão virtuais; portanto, o ESTADO B é o estado virtual.</p><p>Caso se calcule o trabalho realizado pelas cargas do ESTADO A (real) devido aos</p><p>correspondentes deslocamentos do ESTADO B (virtual), esse trabalho será virtual.</p><p>Esforços solicitantes internos</p><p>Antes de prosseguirmos, analise a diferença entre os esforços internos reais e virtuais</p><p>e seus principais aspectos:</p><p>São as solicitações despertadas nas diferentes seções transversais da</p><p>estrutura por efeito da ação externa real (ESTADO A):</p><p>Esforços internos reais </p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 19/98</p><p>Momentos fletores: Ma</p><p>Normais: Na</p><p>Cortantes: Qa</p><p>Momentos torsores: Ta</p><p>São os esforços solicitantes despertados no ESTADO B:</p><p>Momentos fletores: Mb</p><p>Normais: Nb</p><p>Cortantes: Qb</p><p>Momentos torsores: Tb</p><p>O deslocamento (externos) e deformações (internas) podem ser:</p><p>Esforços internos virtuais </p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 20/98</p><p>Reais</p><p>Deslocamentos e</p><p>deformações correspondentes</p><p>à ação externa real (ESTADO</p><p>A).</p><p>Virtuais</p><p>Deslocamentos e</p><p>deformações correspondentes</p><p>à ação externa virtual</p><p>(ESTADO B).</p><p>Princípio dos trabalhos virtuais</p><p>O princípio da conservação da energia, apesar de bem intuitivo, apresenta uma</p><p>aplicação muito limitada para o cálculo de deslocamento em estruturas.</p><p>Trabalho virtual (externo e interno) é o trabalho decorrente de deslocamentos virtuais</p><p>impostos à estrutura. Vejamos:</p><p>- É o trabalho realizado pelas cargas externas reais do ESTADO A devido</p><p>aos deslocamentos virtuais do ESTADO B.</p><p></p><p>Trabalho virtual</p><p>externo </p><p>(τ v,e</p><p>AB)</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 21/98</p><p>- É o trabalho realizado pelos esforços internos reais do ESTADO A (Na,</p><p>Ma, Qa, Ta) devido às correspondentes deformações virtuais do ESTADO B</p><p>produzidas pelos esforços virtuais ( .</p><p>Pelo princípio dos trabalhos virtuais, se uma estrutura submetida a uma ação externa</p><p>se acha em equilíbrio, o trabalho das cargas externas é igual ao trabalho dos esforços</p><p>internos, quando impostos deslocamentos virtuais a essa estrutura.</p><p>Sendo assim, pelo princípio da conservação da energia, o princípio dos trabalhos</p><p>virtuais (PTV) se resume a:</p><p>Em que:</p><p>é o trabalho realizado pelas cargas externas virtuais do ESTADO B</p><p>devido aos deslocamentos reais do ESTADO A.</p><p>é o trabalho realizado pelos esforços internos virtuais do ESTADO B</p><p>devido às deformações reais do ESTADO A.</p><p>Sendo assim, temos a equação do trabalho virtual externo:</p><p>Trabalho virtual interno </p><p>(τ v,i</p><p>AB)</p><p>(dδb, dθa, dλa, dϕa) Nb,Mb,Qb,Tb)</p><p>τ</p><p>v,e</p><p>AB</p><p>= τ</p><p>v,i</p><p>AB</p><p>ou τ v,e</p><p>BA</p><p>= τ</p><p>v,i</p><p>BA</p><p>τ</p><p>v,e</p><p>BA</p><p>=</p><p>τ</p><p>v,i</p><p>BA =</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 22/98</p><p>Para o trabalho virtual interno, temos a equação:</p><p>Processo da carga unitária</p><p>Vejamos, agora, a equação do PTV aplicada ao cálculo dos deslocamentos, que pode</p><p>ser de translação ou rotação, em uma seção qualquer de uma estrutura pelo processo</p><p>da carga unitária, devendo-se proceder da seguinte forma:</p><p>τ</p><p>v,e</p><p>B,A =</p><p>n</p><p>∑</p><p>i=1</p><p>Pbiδai</p><p>τ</p><p>v,i</p><p>B,A = ∫</p><p>est</p><p>NaNb</p><p>EA</p><p>dx + ∫</p><p>est</p><p>MaMb</p><p>EI</p><p>dx + fs∫</p><p>est</p><p>QaQb</p><p>GA</p><p>dx + ∫</p><p>est</p><p>TaTb</p><p>GI</p><p>dx</p><p> 1º passo</p><p>Considera-se o efeito da ação externa que provoca o deslocamento procurado (ESTADO</p><p>A) e determinam-se: momentos fletores (Ma); esforços normais (Na); esforços cortantes</p><p>(Qa); e momentos torsores (Ta).</p><p> 2º passo</p><p>A li itá i i t l (fi tí i ) d f t</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 23/98</p><p>Considerando , temos a equação do PTV para carregamentos externos</p><p>(forças):</p><p>Aplica-se uma carga unitária virtual (fictícia), que pode ser uma força ou um momento,</p><p>na direção do deslocamento procurado, conforme o deslocamento a calcular seja uma</p><p>translação ou uma rotação, respectivamente (ESTADO B).</p><p> 3º passo</p><p>Determina-se o efeito da carga unitária: momentos fletores (Mb); esforços normais (Nb);</p><p>esforços cortantes (Qb); e momentos torsores (Tb).</p><p> 4º passo</p><p>Aplica-se a equação do PTV.</p><p>τ</p><p>v,e</p><p>BA</p><p>= τ</p><p>v,i</p><p>BA</p><p>Pbδa = ∫</p><p>est</p><p>NaNb</p><p>EA</p><p>dx + ∫</p><p>est</p><p>MaMb</p><p>EI</p><p>Ex + χ∫</p><p>est</p><p>QaQb</p><p>GA</p><p>dx + ∫</p><p>est</p><p>TaTb</p><p>GI</p><p>dx</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 24/98</p><p>Demonstração</p><p>Vamos considerar a viga biapoiada a seguir, de comprimento L e carga uniformemente</p><p>distribuída q:</p><p>Sabendo-se que E corresponde ao módulo de elasticidade do material que constitui a</p><p>viga e I ao momento de inércia da seção transversal, vamos mostrar que a flecha</p><p>máxima (deslocamento vertical máximo no meio do vão) é igual a:</p><p>No estado real é considerado o carregamento externo (carga uniformemente</p><p>distribuída). Já para o estado virtual, aplica-se uma carga virtual unitária no meio do</p><p>vão, onde se dará o maior deslocamento vertical (flecha máxima).</p><p>ESTADO A (real):</p><p>δmax =</p><p>5qL4</p><p>384EI</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 25/98</p><p>ESTADO B (virtual)</p><p>Determinando as equações dos diagramas para cada trecho, temos:</p><p>TRECHO Ma Mb</p><p>A1</p><p>1B</p><p>∫</p><p>qL</p><p>2 ⋅ x − qx2</p><p>2</p><p>x</p><p>2 ∫ L</p><p>0</p><p>qL</p><p>2 ⋅ x − qx2</p><p>2</p><p>x</p><p>2 ∫ L</p><p>0</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 26/98</p><p>Tabela: Equações dos diagramas.</p><p>Danielle Ribeiro</p><p>Agora análise as seguintes equações:</p><p>Pbδa = ∫</p><p>est</p><p>MaMb</p><p>EI</p><p>dx</p><p>Pbδa =</p><p>1</p><p>EI</p><p>∫</p><p>est</p><p>MaMbdx</p><p>EI Pbδa = 2∫</p><p>L</p><p>2</p><p>0</p><p>( qL</p><p>2</p><p>⋅ x −</p><p>qx2</p><p>2</p><p>) ⋅</p><p>x</p><p>2</p><p>dx</p><p>EI Pbδa = 2[[ qL</p><p>4</p><p>⋅</p><p>x3</p><p>3</p><p>]</p><p>L</p><p>2</p><p>0</p><p>− [ q</p><p>4</p><p>x4</p><p>4</p><p>]</p><p>L</p><p>2</p><p>0</p><p>]</p><p>EI Pbδa = 2 [ qL</p><p>4</p><p>L3</p><p>24</p><p>−</p><p>q</p><p>4</p><p>L4</p><p>64</p><p>]</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 27/98</p><p>Mão na massa</p><p>Questão 1</p><p>Considere uma estrutura isostática metálica de aço cujas propriedades mecânicas</p><p>são módulo de elasticidade (E) igual a e módulo de cisalhamento (G) igual</p><p>a . Em relação às propriedades geométricas da área da seção reta, os</p><p>valores são: momento de inércia (I) à flexão igual a e área (A) igual a</p><p>. Para a situação apresentada, o módulo de rigidez à flexão é igual a</p><p>EI Pbδa = q4 ( 1</p><p>48</p><p>−</p><p>1</p><p>128</p><p>)</p><p>EI Pbδa = q4 ( 8</p><p>384</p><p>−</p><p>3</p><p>384</p><p>)</p><p>EI Pbδa = q4 ( 5</p><p>384</p><p>)</p><p>δ =</p><p>5qL4</p><p>384EI</p><p></p><p>200GPa</p><p>80GPa</p><p>9.106mm4</p><p>8.104mm2</p><p>A .1, 6.1010N</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 28/98</p><p>Parabéns! A alternativa B está correta.</p><p>O módulo de rigidez à flexão é dado pelo produto do momento de inércia I pelo</p><p>módulo de elasticidade do material, ou seja, E.I. O enunciado apresenta os dois</p><p>valores. Inicialmente, vamos ajustar as unidades:</p><p>Assim,</p><p>B .1, 8 ⋅ 1012 Nmm4</p><p>C .6, 4 ⋅ 1010 Nmm4</p><p>D .3, 2 ⋅ 1012 Nmm2</p><p>E .8 ⋅ 1016 Nmm2</p><p>E = 200GPa = 200.000MPa = 2.105MPa = 2.105 N</p><p>mm2</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 29/98</p><p>Questão 2</p><p>Tendo em vista a equação dos princípios dos trabalhos virtuais para o cálculo dos</p><p>deslocamentos em estruturas isostáticas:</p><p>Considerando apenas os esforços de momentos fletores, essa equação pode ser</p><p>reduzida a</p><p>E.I  = 2.105 N</p><p>mm2</p><p>⋅ 9.106mm4 = 1, 8.1012N ⋅ mm4</p><p>Pbδa = ∫</p><p>est</p><p>NaNb</p><p>EA</p><p>dx + ∫</p><p>est</p><p>MaMb</p><p>EI</p><p>dx + χ∫</p><p>est</p><p>QaQb</p><p>GA</p><p>dx + ∫</p><p>est</p><p>TaTb</p><p>GI</p><p>dx</p><p>A δa = 1</p><p>EA ∫estMaMbdx.</p><p>B δa = 1</p><p>GA ∫estMaMbdx.</p><p>C δa = Pb</p><p>1</p><p>EI ∫estMaMbdx.</p><p>D δa = 1</p><p>EI ∫estMaMbdx.</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 30/98</p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>Temos:</p><p>Considerando só os momentos fletores, a equação é reduzida a:</p><p>Visto que é a carga virtual = 1, EI é constante:</p><p>E δa = Pb</p><p>1</p><p>GI ∫</p><p>est</p><p>MaMbdx.</p><p>Pbδa = ∫</p><p>est</p><p>NaNb</p><p>EA</p><p>dx + ∫</p><p>est</p><p>MaMb</p><p>EI</p><p>dx + χ∫</p><p>est</p><p>QaQb</p><p>GA</p><p>dx + ∫</p><p>est</p><p>TaTb</p><p>GI</p><p>dx</p><p>Pbδa = 0 + ∫</p><p>est</p><p>MaMb</p><p>EI</p><p>dx + 0 + 0</p><p>Pb</p><p>1. δa =</p><p>1</p><p>EI</p><p>∫</p><p>est</p><p>MaMbdx</p><p>δa =</p><p>1</p><p>EI</p><p>∫</p><p>est</p><p>MaMbdx</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 31/98</p><p>Questão 3</p><p>Para o cálculo do deslocamento em um ponto de uma treliça isostática, é correto</p><p>afirmar que podemos resumir a equação dos PTVs em</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>As treliças estão submetidas apenas a esforços normais.</p><p>A .Pbδa = ∫est</p><p>MaMb</p><p>EI dx</p><p>B .Pbδa = ∫est</p><p>MaMb</p><p>EI</p><p>dx + χ ∫</p><p>est</p><p>QaQb</p><p>GA</p><p>dx + ∫est</p><p>TaTb</p><p>GI</p><p>dx</p><p>C .Pbδa = ∫</p><p>est</p><p>NaNb</p><p>EA</p><p>dx + χ ∫</p><p>est</p><p>QaaQb</p><p>GA</p><p>dx</p><p>D .Pbδa = ∫</p><p>est</p><p>NaNb</p><p>EA</p><p>dx + ∫</p><p>est</p><p>MaMb</p><p>EI dx</p><p>E .Pbδa = ∫</p><p>est</p><p>NaNb</p><p>EA</p><p>dx</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 32/98</p><p>Questão 4</p><p>Considere o deslocamento máximo vertical de uma viga biapoiada ,</p><p>sendo q o valor da carga uniformemente distribuída; L o vão da viga; E o módulo de</p><p>elasticidade do material; I a inércia da seção da viga. Determine o valor aproximado</p><p>do deslocamento máximo vertical da viga a seguir, sendo e</p><p>:</p><p>δ = 5qL4</p><p>384EI</p><p>E = 205GPa</p><p>I = 2.107mm4</p><p>A 50 mm.</p><p>B 20 mm.</p><p>C 0,5 mm.</p><p>D 30 cm.</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 33/98</p><p>Parabéns! A alternativa B está correta.</p><p>Calculando, temos:</p><p>Questão 5</p><p>Para uma viga engastada, ao calcular o deslocamento vertical em sua extremidade</p><p>livre, precisamos traçar os seguintes diagramas de momento fletor para estado real</p><p>e estado virtual, sucessivamente:</p><p>E 50 cm.</p><p>δ =</p><p>5qLL4</p><p>384EI</p><p>=</p><p>5 ⋅ 5 ⋅ 103 ⋅ 64</p><p>384 ⋅ 205 ⋅ 109 ⋅ 2 ⋅ 107 ⋅ 10−12</p><p>= 0, 0206m = 20, 6mm</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 34/98</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 35/98</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>Temos:</p><p>Questão 6</p><p>Determine a rotação na seção B da viga biapoiada conforme figura a seguir.</p><p>Considere o módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson</p><p>.</p><p>E</p><p>E = 20GPa v = 0, 2</p><p>…</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 36/98</p><p>A −0, 00142rad</p><p>B −0, 00325rad</p><p>C +0, 00142rad</p><p>D +0, 00325rad</p><p>E Zero</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 37/98</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.</p><p>Calculando a rotação devido a um carregamento na</p><p>extremidade da viga</p><p>Teoria na prática</p><p>Calcular o deslocamento do ponto B devido à carga aplicando o PTV. As</p><p>barras apresentam a mesma rigidez, sendo e .</p><p>_black</p><p>P = 10kN ,</p><p>E = 2, 1.105MPa A = 2 ⋅ 10−4m2</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 38/98</p><p>Falta pouco para atingir seus objetivos.</p><p>Vamos praticar alguns conceitos?</p><p>Mostrar solução</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 39/98</p><p>Questão 1</p><p>Dados E = módulo de elasticidade do material, G = módulo de cisalhamento do</p><p>material, A = área da seção transversal, I = momento de inércia da seção, o módulo</p><p>de rigidez à deformação axial pode ser representado por</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>O módulo de rigidez à deformação axial depende do módulo de elasticidade</p><p>longitudinal e da área de seção transversal.</p><p>A EA.</p><p>B EI.</p><p>C AI.</p><p>D GA.</p><p>E GI.</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 40/98</p><p>Questão 2</p><p>Para o cálculo de deslocamento em estruturas isostáticas, utilizando o processo da</p><p>carga unitária, primeiramente consideramos o efeito da ação externa que provoca o</p><p>deslocamento procurado e determinamos: M, N, Q e T. Em seguida, aplica-se uma</p><p>carga unitária virtual________ .</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>A nos apoios.</p><p>B em um nó aleatório.</p><p>C na direção do deslocamento procurado.</p><p>D no meio do vão das barras.</p><p>E no início e no final de cada barra.</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 41/98</p><p>Deve-se aplicar uma carga unitária virtual onde se deseja determinar o</p><p>deslocamento, seja ele uma translação ou uma rotação.</p><p>2 - Uso de tabela para o cálculo de integrais</p><p>Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar a integral do produto de duas funções por meio de tabela de</p><p>combinação de diagramas.</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 42/98</p><p>Vamos começar!</p><p>Como usar a tabela para o cálculo das</p><p>integrais</p><p>Compreenda como a tabela é utilizada no cálculo das integrais.</p><p>Uso de tabelas para cálculo de</p><p>Na utilização do princípio dos trabalhos virtuais (PVT), para cálculo dos</p><p>deslocamentos, é utilizado o cálculo de integral proveniente das funções dos</p><p>diagramas nos sistemas reais (ESTADO A) e virtuais (ESTADO B).</p><p></p><p>∫ MaMb</p><p>EI ds</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 43/98</p><p>A fim de simplificar o método de resolução, podemos utilizar uma</p><p>tabela que apresenta as expressões para a combinação dos</p><p>sistemas (ESTADO A x ESTADO B) utilizando as figuras de</p><p>diagramas mais usuais em barras de vigas, pórticos, entre outros.</p><p>Essa tabela, conhecida como integral do produto de funções, é encontrada em</p><p>diversas bibliografias, às vezes com uma apresentação um pouco diferente. Contudo,</p><p>tem a mesma função – apenas umas são mais completas que as outras.</p><p>Estamos considerando o caso de estruturas compostas por barras com inércia</p><p>constante.</p><p>Vejamos:</p><p>1º passo</p><p>Se a estrutura é composta de barras, a integração ao longo da estrutura</p><p>pode ser transformada no somatório das integrais ao longo de cada barra</p><p>2º passo</p><p>Os resultados das integrais para uma barra reta de comprimento L são tabelados</p><p>conforme a seguinte imagem:</p><p>∫E</p><p>MaMb</p><p>EI ds</p><p>∑n</p><p>i=1 ∫li</p><p>MaMb</p><p>EI ds</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 44/98</p><p>3º passo</p><p>Combinando os diagramas do ESTADO A (real) x ESTADO B (virtual). Veja o exemplo:</p><p>Agora analise o seguinte esquema:</p><p> </p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 45/98</p><p>Para uma barra de comprimento L = 1,5m.</p><p>Atenção!</p><p>No uso da tabela, a ordem da combinação dos diagramas para a combinação de Estado real X Estado virtual</p><p>ou vice-versa não importa.</p><p>4º passo</p><p>É importante observar o sinal do esforço representado no diagrama. Ele deve entrar na</p><p>fórmula da combinação. Portanto, não importa se a figura aparece na mesma posição</p><p>∫ MaMb</p><p>EI</p><p>ds =</p><p>1</p><p>4</p><p>MaMb ⋅ l =</p><p>1</p><p>4</p><p>⋅ (−20, 25) ⋅ (−1, 5) ⋅ 1, 5 = 11, 39</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 46/98</p><p>da tabela ou se está rebatida para baixo, desde que se considere o sinal na expressão.</p><p>Observe o exemplo:</p><p>Momento negativo Momento positivo</p><p>É a mesma figura rebatida, pois uma representa um momento negativo e a outra, um</p><p>momento positivo.</p><p>5º passo</p><p>Apesar da tabela referir-se apenas a momentos, aplica-se também aos demais</p><p>esforços solicitantes (normal e cortante).</p><p>6º passo</p><p>Os deslocamentos calculados por meio dos diagramas de momento fletor são</p><p>consideravelmente superiores aos deslocamentos calculados pelos diagramas de</p><p>esforço normal e esforço cortante. Dessa forma, é comum determinar o deslocamento</p><p></p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 47/98</p><p>de uma estrutura isostática somente considerando as combinações dos momentos</p><p>fletores do estado real x estado virtual.</p><p>Analisando um exemplo</p><p>Determine o deslocamento horizontal do ponto C no pórtico a seguir, considerando</p><p>E = 205GPa e I = 235.106mm4 para as duas barras.</p><p>Pórtico.</p><p>Solução</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 48/98</p><p>Considerando a equação:</p><p>Para o estado real, determine o diagrama de momentos fletores da estrutura com o</p><p>carregamento externo.</p><p>Para o estado virtual, aplica-se uma carga virtual unitária no ponto C (ponto a ser</p><p>determinado o deslocamento).</p><p>ESTADO A (real). ESTADO B (virtual).</p><p>Pbδa = ∫</p><p>est</p><p>NaNb</p><p>EA</p><p>dx + ∫</p><p>MaMb</p><p>est</p><p>EIdx + χ∫</p><p>GI</p><p>est</p><p>QaQb</p><p>GA</p><p>dx + ∫</p><p>est</p><p>TaTb</p><p>GI</p><p>dx</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 49/98</p><p>DMF (A). DMF (B).</p><p>Utilizando a tabela de integral do produto de funções para os momentos fletores:</p><p>Temos:</p><p>δM =</p><p>1</p><p>EI</p><p>∑∫</p><p>l</p><p>0</p><p>MaMbdx =</p><p>1687, 5 ⋅ 103</p><p>205 ⋅ 109 ⋅ 235 ⋅ 106 ⋅ 10−12</p><p>= 3, 50 ⋅ 10−2m = 0, 035m = 35mm</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações</p><p>em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 50/98</p><p>Mão na massa</p><p>Questão 1</p><p>Determine a expressão da tabela de integral do produto de funções na viga de</p><p>comprimento L, visto que os diagramas de momento fletor da viga para o sistema</p><p>real (A) e o sistema virtual (B) são</p><p></p><p>A .1</p><p>6 ⋅ Ma ⋅ Mb ⋅ l</p><p>B .1</p><p>3 ⋅ Ma ⋅ Mb ⋅ l</p><p>C .l</p><p>2 ⋅ Ma ⋅ Mb</p><p>D 1</p><p>6 ⋅ Ma ⋅ Mb (1 + b</p><p>l</p><p>) ⋅ l.</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 51/98</p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>Pela tabela, combinando os diagramas, temos:</p><p>Questão 2</p><p>Considerando o valor da rigidez a flexão , o maior</p><p>deslocamento vertical de uma viga engastada de comprimento e carga</p><p>distribuída , conforme figura a seguir, é de aproximadamente:</p><p>E 2.l</p><p>3 ⋅ Ma ⋅ Mb.</p><p>El = 2, 5.105kNm2</p><p>L = 2m</p><p>q = 10kN/m</p><p>…</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 52/98</p><p>A 0,3 mm.</p><p>B 0,03 m.</p><p>C 0,01 mm.</p><p>D 0,08 m.</p><p>E 0,08 mm.</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 53/98</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>Calculando, temos:</p><p>Questão 3</p><p>Calcule a flecha máxima (no meio do vão) da viga biapoiada de 3 m, com uma carga</p><p>uniformemente distribuída de . Considere o valor da rigidez a flexão</p><p>.</p><p>1.103δB =</p><p>1</p><p>EI</p><p>∫</p><p>est</p><p>MaMbdx =</p><p>1</p><p>2, 5 ⋅ 105 ⋅ 103 ⋅</p><p>2</p><p>4</p><p>⋅ (−20 ⋅ 103) ⋅ (−2 ⋅ 103)</p><p>δB = 0, 08 ⋅ 10−3m = 0, 08mm</p><p>20kN/m</p><p>EI = 2, 5 ⋅ 105kNm2</p><p>…</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 54/98</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>Calculando, temos:</p><p>A 0,08 mm</p><p>B 0,008mm</p><p>C 0,8 mm</p><p>D 8 mm</p><p>E 8 m</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 55/98</p><p>Questão 4</p><p>A viga em balanço da figura a seguir tem módulo de elasticidade de e um</p><p>momento de inércia de . Determine o deslocamento vertical no ponto B.</p><p>1.103δC =</p><p>1</p><p>EI</p><p>∫</p><p>est</p><p>MaMbdx =</p><p>1</p><p>2, 5 ⋅ 105 ⋅ 103</p><p>⋅</p><p>5 ⋅ 3</p><p>12</p><p>⋅ (+22, 5 ⋅ 103) ⋅ (+0, 75</p><p>δB = 0, 08 ⋅ 10−3m = 0, 08mm</p><p>200GPa</p><p>1000cm4</p><p>…</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 56/98</p><p>A 0,2 mm</p><p>B 0,02 mm</p><p>C 0,2 m</p><p>D 0,002 m</p><p>E 0,02 m</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 57/98</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>Calculando, temos:</p><p>Questão 5</p><p>Na viga engastada a seguir, determine o deslocamento vertical aproximado na sua</p><p>extremidade livre (B), dado o carregamento de . Considere</p><p>.</p><p>1.103δB =</p><p>1</p><p>EI</p><p>∫</p><p>est</p><p>MaMbdx =</p><p>1</p><p>200 ⋅ 109 ⋅ 1000 ⋅ 10−8</p><p>⋅</p><p>2</p><p>4</p><p>⋅ (−40 ⋅ 103) ⋅ (−2</p><p>δB = 0, 02m</p><p>10kN</p><p>EI = 2, 0 ⋅ 105kNm2</p><p>…</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 58/98</p><p>A 1 m</p><p>B 10 mm</p><p>C 20 mm</p><p>D 2 mm</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 59/98</p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>Combinando, temos:</p><p>Questão 6</p><p>Considerando que todas as barras têm a mesma seção transversal com inércia</p><p>e módulo de elasticidade , o deslocamento</p><p>vertical no ponto A é de aproximadamente</p><p>E 0,02 mm</p><p>Pbδa =</p><p>1</p><p>2 ⋅ 105</p><p>⋅ 416, 7</p><p>1. δa =</p><p>1</p><p>2 ⋅ 105</p><p>⋅ 416, 7 = 0, 002m = 2mm</p><p>I = 2, 2.104cm4 E = 3, 0.107kN/m2</p><p>…</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 60/98</p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.</p><p>A 1 mm para baixo.</p><p>B 1 mm para cima.</p><p>C 10 mm para baixo.</p><p>D 10 mm para cima.</p><p>E 5 mm para baixo.</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 61/98</p><p>Calculando o deslocamento vertical em uma seção do</p><p>pórtico</p><p>Teoria na prática</p><p>O pórtico a seguir tem vigas e colunas de seção transversal de propriedades</p><p>e . Sendo o material aço de</p><p>e , determine o deslocamento horizontal no ponto B,</p><p>com e sem a consideração das deformações da força normal e da força cortante,</p><p>analisando a influência dessas deformações.</p><p>_black</p><p>A = 134cm2, I = 29213cm4 AV = 39cm2</p><p>E = 205GPa G = 78, 5GPa</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 62/98</p><p>Falta pouco para atingir seus objetivos.</p><p>Vamos praticar alguns conceitos?</p><p>Questão 1</p><p>O uso da tabela para o cálculo de combina os diagramas</p><p>Mostrar solução</p><p>∫ MaMb</p><p>EI ds</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 63/98</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>A tabela é utilizada no PTV para a substituição da integral pela combinação dos</p><p>diagramas do estado real (ESTADO A) e do estado virtual (ESTADO B), aquele com</p><p>uma carga virtual unitária aplicada onde se deseja obter o deslocamento.</p><p>Questão 2</p><p>Dos esforços relacionados a seguir, qual(quais) é(são) mais relevante(s) em termos</p><p>de ordem de grandeza para o cálculo do deslocamento em vigas isostáticas?</p><p>A do estado real com o estado virtual.</p><p>B de momento fletor com esforço cortante.</p><p>C de esforço normal com momento fletor.</p><p>D de esforço normal com esforço cortante.</p><p>E do estado real com o esforço normal.</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 64/98</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>Em temos de ordem de grandeza, a contribuição do momento fletor para o cálculo</p><p>dos deslocamentos é bem superior.</p><p>A Esforço normal.</p><p>B Esforço cortante.</p><p>C Esforço normal e cortante.</p><p>D Momento torsor.</p><p>E Momento fletor.</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 65/98</p><p>3 - Deslocamentos em estruturas isostáticas</p><p>Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar o deslocamento na estrutura submetida a variações de</p><p>temperatura ou recalques de apoio.</p><p>Vamos começar!</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 66/98</p><p>Deslocamentos devido a temperatura e</p><p>recalque de apoio</p><p>Confira agora mais informações sobre o deslocamento devido a temperatura e</p><p>recalque de apoio. É importante que você fique atento e faça anotações, pois te</p><p>ajudará e evoluir na sua caminhada rumo ao conhecimento.</p><p>Deslocamentos provocados por variação de</p><p>temperatura</p><p>As variações de temperatura não provocam esforços em uma estrutura isostática, já</p><p>que ela consegue se adequar a pequenas modificações de variação do comprimento</p><p>(dilatação ou encurtamento) das suas barras. Contudo, a variação de temperatura</p><p>provoca deslocamentos na estrutura.</p><p></p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 67/98</p><p>O comportamento das barras depende do tipo de material que ela é formada. O</p><p>coeficiente de dilatação térmica do material (α) diz respeito à capacidade que tem de</p><p>se alongar ou encurtar com relação a determinada variação de temperatura.</p><p>Efeito da variação da temperatura na</p><p>equação do trabalho virtual</p><p>Agora admita o ESTADO A, designado como estado de carregamento real, como uma</p><p>variação de temperatura no meio ambiente e não mais uma carga.</p><p>Considere como caso geral quando as faces extremas da barra (fibras superiores e</p><p>inferiores) apresentam temperaturas diferentes.</p><p>Vamos lá!</p><p>Estado de deformação (ESTADO</p><p>A)</p><p>A variação de temperatura atua na estrutura. Não provoca esforços internos, porém</p><p>causa deslocamento. A imagem mostra diferença de temperatura nas faces da barra:</p><p>Te (temperatura externa: fibras superiores) e Ti (temperatura interna: fibras inferiores).</p><p>A elástica da estrutura é representada pela linha tracejada, mostrando a deformação</p><p>devido ao deslocamento do apoio de primeiro gênero.</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 68/98</p><p>Para o estado de deformação: momentos fletores, esforços normais e cortantes são</p><p>nulos. em todas as seções.</p><p>Deformações devido à variação de temperatura</p><p>Ma,Na,Qa = 0</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 69/98</p><p>Variação transversal de temperatura na barra.</p><p>Agora analise as seguintes equações:</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 70/98</p><p>A imagem anterior descreve o comportamento de uma seção quando submetida a</p><p>variações de temperatura. Percebe-se que, com a variação de temperatura , ocorre</p><p>na barra uma variação no seu comprimento ( ) com relação ao seu comprimento</p><p>inicial</p><p>Essa variação do comprimento ainda vai depender do tipo de material, ou seja,</p><p>do coeficiente de dilatação térmica do material que constitui a barra. Visto isso,</p><p>temos:</p><p>Em que:</p><p>= variação do comprimento da barra.</p><p>= coeficiente de dilatação térmica do material.</p><p>= variação de temperatura.</p><p>Δds =</p><p>α ⋅ Ti ⋅ ds + α ⋅ Te ⋅ ds</p><p>2</p><p>= α ⋅</p><p>Ti + Te</p><p>2</p><p>⋅ ds</p><p>Δds = α ⋅ Tg ⋅ ds</p><p>dφ = tan dφ =</p><p>α ⋅ Ti ⋅ ds + α ⋅ Te ⋅ ds</p><p>H</p><p>dφ = α ⋅</p><p>Ti − Te</p><p>H</p><p>⋅ ds</p><p>dH = 0</p><p>(T )</p><p>Δds</p><p>(ds).</p><p>(Δds)</p><p>(α)</p><p>Δds = α.T . ds</p><p>Δds</p><p>A</p><p>T</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 71/98</p><p>Estado de carregamento (ESTADO B)</p><p>No estado de carregamento, impomos uma carga unitária virtual no local onde se</p><p>deseja determinar o deslocamento.</p><p>Para o estado de carregamento:</p><p>Esforços Deformações</p><p>Considerando:</p><p>TVE</p><p>Trabalho virtual externo</p><p>TVI</p><p>Trabalho virtual interno</p><p>Para calcularmos o deslocamento desejado, temos:</p><p>Mb,Nb Δds = Δds</p><p>–</p><p>dφ = dφ</p><p>–</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 72/98</p><p>Em que:</p><p>área do diagrama de momentos fletores no estado de carregamento.</p><p>área do diagrama de esforço normal no estado de carregamento.</p><p>.</p><p>.</p><p>= é a constante.</p><p>é a temperatura na fibra inferior da barra.</p><p>= é a temperatura na fibra externa da barra.</p><p>= é a temperatura no centro de gravidade da barra.</p><p>é a variação de temperatura.</p><p>TVE = τ</p><p>v,e</p><p>BA = Pb ⋅ δa</p><p>TV I = τ</p><p>v,i</p><p>BA = ∫</p><p>l</p><p>Mb ⋅ dφt</p><p>a + ∫</p><p>l</p><p>Nb ⋅ Δdxt</p><p>a = ∫</p><p>l</p><p>Mb ⋅</p><p>α (Ti − Te)ds</p><p>H</p><p>+ ∫</p><p>l</p><p>Nb ⋅ α ⋅ Tg ⋅ ds</p><p>TV I = τ</p><p>v,i</p><p>BA</p><p>=</p><p>α(ΔT )</p><p>H</p><p>∫</p><p>l</p><p>Mb ⋅ ds + α ⋅ Tg ∫</p><p>l</p><p>Nb ⋅ ds</p><p>Pb ⋅ δa =</p><p>α (Ti − Te)</p><p>H</p><p>⋅ AM + α ⋅ Tg ⋅ AN</p><p>Pb ⋅ δa =</p><p>α ⋅ ΔT</p><p>H</p><p>⋅ AM + α ⋅ Tg ⋅ AN</p><p>AM =</p><p>AN =</p><p>ΔT = Ti − Te;</p><p>Tg = Ti+Te</p><p>2 ;</p><p>H</p><p>Ti =</p><p>Te</p><p>Tg</p><p>ΔT =</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 73/98</p><p>Não há influência do esforço cortante nem do momento torsor no</p><p>caso de deformação devido à variação de temperatura. Dessa</p><p>forma, esses esforços não entram na formulação.</p><p>Deslocamentos provocados por recalque</p><p>Os recalques, de modo geral, são solicitações acidentais. Os recalques de apoio não</p><p>provocam esforços solicitantes nas estruturas isostáticas, pois se ajustam a</p><p>pequenos movimentos de apoio, mas causam deslocamentos.</p><p>Efeito do recalque na equação do trabalho</p><p>virtual</p><p>Vamos admitir que uma estrutura sofre um recalque vertical. O trabalho virtual das</p><p>forças externas vai receber a contribuição das reações de apoio do sistema virtual</p><p>com o correspondente deslocamento do apoio real.</p><p>Agora consideramos o ESTADO A como o recalque de apoio:</p><p>Estado de deformação (ESTADO A)</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 74/98</p><p>No ESTADO A, a ação externa sobre a estrutura pode ser constituída por cargas</p><p>externas, variação de temperatura e recalque de apoio, que veremos agora.</p><p>A imagem a seguir mostra o recalque no apoio A e no apoio B.</p><p>Para o estado de deformação não existem esforços internos nas barras. Momentos</p><p>fletores, esforços normais e cortantes são nulos.</p><p>Esforços</p><p>em todas as seções.</p><p>Deformações</p><p>em todas as</p><p>seções.</p><p>Estado de carregamento (ESTADO B)</p><p>Aplica-se uma carga virtual unitária onde se deseja determinar o deslocamento.</p><p>Ma,Na,Qa = 0 dφ = Δds = dH = 0</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 75/98</p><p>Para o estado de carregamento:</p><p>Esforços Deformações</p><p>Devem ser determinadas as reações de apoio no estado de carregamento nas</p><p>direções dos recalques:</p><p>Para calcularmos o deslocamento desejado, temos:</p><p>Mb,Nb,Qb dφ = Δds = dH = 0</p><p>–––</p><p>R → VA,HA,VB</p><p>––––</p><p>TVE = τ</p><p>v,e</p><p>BA = Pb ⋅ δa + ∑Rb ⋅ ρ</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 76/98</p><p>Os recalques não provocam esforços solicitantes nas estruturas isostáticas, logo:</p><p>Equação geral do princípio dos trabalhos</p><p>virtuais</p><p>Considerando os efeitos de carregamento externo (forças e momento), variação de</p><p>temperatura e recalque de apoio, a equação aplicada às estruturas será:</p><p>Entendendo melhor a equação:</p><p>TV I = τ</p><p>v,i</p><p>BA = 0</p><p>TVE = 0</p><p>Pb ⋅ δa = −∑Rb ⋅ ρ</p><p>∑Pbδa + ∑Rbδa = ∫</p><p>est</p><p>NaNb</p><p>EA</p><p>dx + ∫</p><p>est</p><p>MaMb</p><p>EI</p><p>dx + χ∫</p><p>est</p><p>QaQb</p><p>GA</p><p>dx + ∫</p><p>est</p><p>TaTb</p><p>GI</p><p>dx + ∫</p><p>est</p><p>Mb</p><p>αΔt</p><p>h</p><p>dx + ∫</p><p>est</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 77/98</p><p>Em que:</p><p>carga externa ativa no ESTADO B (virtual).</p><p>deslocamento no ESTADO A (real), correspondente ao ponto de</p><p>aplicação .</p><p>reação de apoio no ESTADO B (virtual).</p><p>recalque de apoio no ESTADO A (real) na direção da linha de ação de</p><p>.</p><p>esforços solicitantes no ESTADO A, devido ao</p><p>carregamento exterior e ao recalque de apoio.</p><p>idem ao ESTADO B.</p><p>= rigidez longitudinal.</p><p>= rigidez flexional.</p><p>= rigidez transversal.</p><p>= rigidez torsional;</p><p>coeficiente de dilatação térmica do material.</p><p>gradiente de temperatura.</p><p>= altura da seção.</p><p>temperatura no eixo da barra.</p><p>Analisando uma demonstração</p><p>Pb =</p><p>δa =</p><p>Pb</p><p>Rb =</p><p>ρa =</p><p>Rb</p><p>Na,Ma,Qa,Ta =</p><p>Nb,Mb,Qb,Tb =</p><p>EA</p><p>EI</p><p>GA</p><p>GI</p><p>α =</p><p>Δt =</p><p>h</p><p>t0 =</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 78/98</p><p>Para o pórtico isostático a seguir, como , determine a translação</p><p>vertical da seção C:</p><p>1. Para o carregamento externo indicado.</p><p>2. Para um aumento uniforme de temperatura de , com .</p><p>3. Para um recalque de: e no apoio .</p><p>Solução</p><p>Para o carregamento externo</p><p>EI = 104kNm2</p><p>30∘C α = 10−5/∘C</p><p>3cm(↓) 4cm(→) B</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 79/98</p><p>Para os momentos �etores</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 80/98</p><p>Temos:</p><p>Para um aumento uniforme de temperatura de , com</p><p>.</p><p>δC =</p><p>1</p><p>EI</p><p>∑∫</p><p>l</p><p>0</p><p>MaMbdx =</p><p>143, 3 ⋅ 103</p><p>104 ⋅ 103</p><p>= 0, 0143m = 14, 3mm</p><p>30∘C</p><p>α = 10−5/∘C</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 81/98</p><p>Aumento uniforme:</p><p>Aplicando a carga virtual no ponto C, temos:</p><p>Agora analise as seguintes equações:</p><p>Para um recalque de: 3 cm (↓) e 4 cm (→) no apoio B</p><p>T = 30°C</p><p>Pb ⋅ δa = α ⋅ Tg ⋅ AN</p><p>T = 30∘C</p><p>1 ⋅ δB = +10−5 ⋅ (30) ⋅ [((−1, 33) ⋅ 4) + ((+0, 25) ⋅ 6) + ((+0, 42) ⋅ 5)]</p><p>δB = 30 ⋅ 10−5 ⋅ [−1, 72] = 0, 00052m = −0, 52mm ↑</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 82/98</p><p>Reações para o ESTADO B - DEN.</p><p>Agora analise as seguintes equações:</p><p>Mão na massa</p><p>Questão 1</p><p>No estado de deformação (A) – sendo M os momentos fletores, N os esforços</p><p>normais e Q os esforços cortantes –, para estruturas submetidas à variação de</p><p>Pb ⋅ δa = −∑Rb ⋅ ρ</p><p>Pb ⋅ δa = −(0, 25.4cm + 0, 33 ⋅ 3cm) = −1, 99cm = 2cm ↑</p><p></p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 83/98</p><p>temperatura, podemos afirmar que</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>O estado de carregamento (ESTADO A) se dará em função da variação de</p><p>temperatura, que em estruturas isostáticas não provoca esforços internos.</p><p>Questão 2</p><p>Na equação geral do princípio dos trabalhos virtuais, a parcela que cabe à ocorrência</p><p>de recalque de apoio é</p><p>A somente em todas as seções.Ma = 0</p><p>B somente em todas as seções.Na = 0</p><p>C somente em todas as seções.Qa = 0</p><p>D somente e em todas as seções.Ma Qa = 0</p><p>E em todas as seções.Ma,Na,Qa = 0</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 84/98</p><p>Parabéns! A alternativa B está correta.</p><p>é a reação de apoio no ESTADO B (virtual) e recalque de apoio no</p><p>ESTADO A (real) na direção da linha de ação de .</p><p>Questão 3</p><p>Para a treliça com seus esforços representados a seguir, calcule o deslocamento</p><p>vertical aproximado no ponto para uma variação uniforme de temperatura de</p><p>. Dados e .</p><p>A .Pb ⋅ δa</p><p>B .−∑Rb ⋅ ρ</p><p>C .∫est  Mb</p><p>αΔt</p><p>h dx</p><p>D .∫ l</p><p>0</p><p>NaNb</p><p>EA</p><p>dx</p><p>E .∫ l</p><p>0</p><p>MaM</p><p>EI dx</p><p>−∑Rb ⋅ ρ</p><p>Rb</p><p>B</p><p>20∘C E = 2.108kNm2,A = 2, 5.10−3m2 α = 1.10−5/∘C</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 85/98</p><p>A 0,0052 mm</p><p>B 0,052 mm</p><p>C 0,52 mm</p><p>D 5 mm</p><p>E 52 mm</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 86/98</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>Calculando, temos:</p><p>Questão 4</p><p>Determine o deslocamento horizontal em um ponto devido a recalque de um apoio</p><p>de 1 cm para cima e 1,5 cm para a esquerda, tendo o valor das reações neste apoio:</p><p>vertical de 0,5kN para cima e horizontal de 1kN para a esquerda:</p><p>Pb ⋅ δa =</p><p>α ⋅ ΔT</p><p>H</p><p>⋅ AM + α ⋅ Tg ⋅ AN</p><p>Pb ⋅ δa = α ⋅ Tg ⋅ AN</p><p>δa = α ⋅ Tg ⋅ (1 ⋅ 3 + 1, 4 ⋅ 4)</p><p>δa = 1 ⋅ 10−5 ⋅ 20 ⋅ (−1 ⋅ 3 + 1, 4 ⋅ 4)</p><p>δa = 0, 00052m = 0, 52mm</p><p>A 2 cm para a direita</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 87/98</p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>Assim, temos as reações de apoio:</p><p>V = 0,5kN (cima), Hb = 1kN (esquerda)</p><p>Determinando o deslocamento devido ao recalque:</p><p>B 2 cm para a esquerda</p><p>C 3 cm para a direita</p><p>D 1 cm para a esquerda</p><p>E 1 cm para a direita</p><p>Pb ⋅ δa = −∑Rb ⋅ ρ</p><p>1 ⋅ δa = − (−0, 5 ⋅ 1 ⋅ 10−2 + 1 ⋅ 1, 5 ⋅ 10−2) = −1 ⋅ 10−2m = 1cm ←</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 88/98</p><p>Questão 5</p><p>O deslocamento horizontal do ponto do pórtico isostático a seguir, cujo material</p><p>tem e as barras têm uma seção transversal de ,</p><p>quando sofre uma variação de temperatura de , é de aproximadamente</p><p>B</p><p>α = 10−5/∘C 15cm × 40cm</p><p>20∘C</p><p>A 0,05 cm para a direita.</p><p>B 0,05 cm para a esquerda.</p><p>C 0,50 cm para a direita.</p><p>D 1,25 cm para a direita.</p><p>E 1,25 cm para a esquerda.</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 89/98</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>Aplicando a carga virtual no ponto B, temos:</p><p>Pb ⋅ δa =</p><p>α ⋅ ΔT</p><p>H</p><p>⋅ AM + α ⋅ Tg ⋅ AN</p><p>Tg =</p><p>Ti + Te</p><p>2</p><p>=</p><p>−20 − 0</p><p>2</p><p>= −10∘C</p><p>1 ⋅ δB =</p><p>10−5 ⋅ (−20)</p><p>0, 40</p><p>⋅ [2 ⋅</p><p>3 ⋅ (−3)</p><p>2</p><p>+ (−3) ⋅ 5] + 10−5 ⋅ (−10) ⋅ [(−1) ⋅ 5]</p><p>δB = 0, 012 + 0, 0005 = 0, 0125m = 1, 25cm ←</p><p>…</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 90/98</p><p>Questão 6</p><p>Para o pórtico isostático a seguir, o deslocamento horizontal do ponto A para os</p><p>recalques verticais, de cima para baixo, de 2 cm dos apoios B e C, é</p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>A 1 cm para a direita.</p><p>B 1 cm para a esquerda.</p><p>C 2 cm para a direita.</p><p>D 2 cm para a esquerda.</p><p>E 5 cm para a direita.</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 91/98</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.</p><p>Calculando o deslocamento na estrutura devido a um</p><p>recalque de apoio</p><p>Teoria na prática</p><p>Determine o deslocamento horizontal do ponto do pórtico isostático a seguir, cujo</p><p>material tem e as barras têm uma seção transversal de</p><p>, quando sofre uma variação de temperatura de .</p><p>_black</p><p>B</p><p>α = 10−5/∘C</p><p>30cm × 100cm 20∘C</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 92/98</p><p>Falta pouco para atingir seus objetivos.</p><p>Vamos praticar alguns conceitos?</p><p>Questão 1</p><p>A equação geral do princípio dos trabalhos virtuais para o cálculo do deslocamento</p><p>de uma estrutura isostática em uma seção da estrutura é formada considerando</p><p>quais fatores a seguir?</p><p>Mostrar solução</p><p>A Variação de temperatura e umidade.</p><p>B Recalque de apoio e variação de temperatura.</p><p>C Recalque de apoio e carregamento externo.</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 93/98</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>A equação geral do princípio dos trabalhos virtuais é:</p><p>Questão 2</p><p>No deslocamento de estruturas isostáticas devido a recalque de apoio, o que deve</p><p>ser considerado na formulação?</p><p>D Carregamento externo e variação de temperatura.</p><p>E Carregamento externo, variação de temperatura e recalque de apoio.</p><p>A O esforço normal do estado real.</p><p>B O esforço normal do estado virtual.</p><p>C O esforço cortante do estado real.</p><p>…</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 94/98</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>A formulação para deslocamento em estruturas isostáticas devido à variação de</p><p>temperatura é:</p><p>Em que é a área do diagrama do esforço normal e é a área do diagrama do</p><p>momento fletor. Portanto, não contempla esforço cortante e momento torsor.</p><p>Considerações �nais</p><p>D O esforço cortante do estado real.</p><p>E As reações de apoio do estado virtual.</p><p>Pb ⋅ δa =</p><p>α ⋅ ΔT</p><p>H</p><p>⋅ AM + α ⋅ Tg ⋅ AN</p><p>AN AM</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 95/98</p><p>O conteúdo apresentou o comportamento das estruturas isostáticas com relação ao</p><p>deslocamento de seções, quando estão submetidas a carregamentos, variação de</p><p>temperatura e recalques de apoio.</p><p>Além de entender como as estruturas isostáticas se comportam, é o primeiro passo</p><p>para que futuramente se compreenda o comportamento das estruturas hiperestáticas.</p><p>O estudo do princípio dos trabalhos virtuais também é de grande valia para o</p><p>aprendizado do método das forças, um método de resolução de estruturas</p><p>hiperestáticas.</p><p>Podcast</p><p>Para encerrar, ouça sobre o princípio da conservação da energia aplicado à análise de</p><p>estruturas e qual a relação do princípio dos trabalhos virtuais com o cálculo dos</p><p>deslocamentos em estruturas isostáticas.</p><p></p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 96/98</p><p>Explore</p><p>+</p><p>Pesquise e saiba um pouco mais sobre Mola Model, modelo físico interativo que</p><p>simula o comportamento estrutural de pórticos planos e espaciais, assim como de</p><p>treliças.</p><p>Referências</p><p>MARTHA, L. F. Conceitos e métodos básicos de análise de estruturas. Rio de Janeiro:</p><p>Elsevier, 2010.</p><p>SORIANO, H. L.; LIMA, S. de S. Análise de estruturas: método das forças e método dos</p><p>deslocamentos. 2. ed. atual. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006.</p><p>SUSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural. Porto Alegre: Globo, 1994. 3 v.</p><p>HIBBELER, R. C. Análise das estruturas. Tradução Jorge Ritter, revisão técnica Pedro</p><p>Vianna. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013.</p><p>29/08/24, 20:41 Deformações em estruturas isostáticas</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/05281/index.html?brand=estacio# 97/98</p><p>Material para download</p><p>Clique no botão abaixo para fazer o download do conteúdo completo em formato</p><p>PDF.</p><p>Download material</p><p>O que você achou do conteúdo? 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