Aula 4 - Deflexões e Inclinações II

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<p>TEORIA DAS</p><p>ESTRUTURAS</p><p>Aula 04 -</p><p>Deflexões e</p><p>inclinações II</p><p>MARCOS PAULO SEGANTINI BORGES DOS SANTOS</p><p>Objetivo</p><p>O objetivo geral dessa aula é determinar a equação da</p><p>viga elástica para uma estrutura engastada.</p><p>Especificamente nessa aula, buscaremos descrever as</p><p>equações para determinação da deformação e da inclinação</p><p>para uma viga isostática engastada.</p><p>Nesta aula</p><p>• Você sabia? – A deflexão e a inclinação dos</p><p>principais tipos de estruturas são tabeladas</p><p>• Determinação da flecha e da inclinação em vigas</p><p>isostáticas engastadas</p><p>Você sabia? – A deflexão e a inclinação</p><p>dos principais tipos de estruturas são</p><p>tabeladas</p><p>Ao se projetar uma viga, é essencial prever as</p><p>deformações (flechas) de seu eixo longitudinal que serão</p><p>causadas pela atuação de cargas transversais. Essas</p><p>deformações podem ser calculadas por vários métodos,</p><p>porém, para estruturas mais convencionais também é</p><p>possível encontrarmos o cálculo da deflexão e da inclinação</p><p>em tabelas.</p><p>Sendo assim, uma pergunta que não quer calar, para</p><p>quê então devemos aprender a calcular se estão prontas? A</p><p>resposta vai além de uma simples justificativa, pois utilizar</p><p>dados tabelados na engenharia é algo extremamente</p><p>comum, mas é necessário que o engenheiro saiba analisar</p><p>as informações contidas na tabela, e para isso, nada melhor</p><p>que entender de onde tais informações são retiradas, ou</p><p>como são obtidas.</p><p>Nessa aula, vamos discutir a obtenção da deflexão e da</p><p>inclinação para vigas isostáticas engastadas. Abaixo serão</p><p>apresentadas as equações para determinação de tais</p><p>valores para as principais estruturas utilizadas na</p><p>engenharia e que podem ser encontradas nos livros da</p><p>bibliografia da disciplina, mais especificamente em</p><p>HIBBELER (2013).</p><p>a) Estrutura 1: viga engastada em uma extremidade e</p><p>livre na outra, com carregamento pontual na</p><p>extremidade livre, veja Figura 1:</p><p>Figura 1: viga isostática engastada no ponto A e com carregamento P no</p><p>ponto B.</p><p>Fonte: do autor.</p><p>• Inclinação máxima:</p><p>𝜽(𝑳) = −</p><p>𝑷. 𝑳𝟐</p><p>𝟐. 𝑬𝑰</p><p>• Deflexão máxima:</p><p>𝝑𝒎á𝒙(𝑳) = −</p><p>𝑷. 𝑳𝟑</p><p>𝟑. 𝑬𝑰</p><p>b) Estrutura 2: viga engastada em uma extremidade e</p><p>livre na outra, com carregamento distribuído ao longo</p><p>de todo comprimento, veja Figura 2:</p><p>Figura 2: viga isostática engastada no ponto A e com carregamento q</p><p>distribuído.</p><p>Fonte: do autor.</p><p>• Inclinação máxima:</p><p>𝜽(𝑳) = −</p><p>𝒒. 𝑳𝟑</p><p>𝟔. 𝑬𝑰</p><p>• Deflexão máxima:</p><p>𝝑𝒎á𝒙(𝑳) = −</p><p>𝒒. 𝑳𝟒</p><p>𝟖. 𝑬𝑰</p><p>c) Estrutura 3: viga biapoiada, com carregamento</p><p>pontual no meio do vão, veja Figura 3:</p><p>Figura 3: viga isostática biapoiada com carregamento P no meio do vão.</p><p>Fonte: do autor.</p><p>• Inclinação máxima:</p><p>𝜽(𝟎) = −</p><p>𝑷. 𝑳𝟐</p><p>𝟏𝟔. 𝑬𝑰</p><p>𝜽(𝑳) = +</p><p>𝑷. 𝑳𝟐</p><p>𝟏𝟔. 𝑬𝑰</p><p>• Deflexão máxima:</p><p>𝝑𝒎á𝒙 (</p><p>𝑳</p><p>𝟐</p><p>) = −</p><p>𝑷. 𝑳𝟑</p><p>𝟒𝟖. 𝑬𝑰</p><p>d) Estrutura 4: viga biapoiada, com carregamento</p><p>distribuído ao longo de todo comprimento, veja Figura</p><p>4:</p><p>Figura 4: viga isostática biapoiada com carregamento distribuído q ao longo</p><p>de todo vão.</p><p>Fonte: do autor.</p><p>• Inclinação máxima:</p><p>𝜽(𝟎) = −</p><p>𝒒. 𝑳𝟑</p><p>𝟐𝟒. 𝑬𝑰</p><p>𝜽(𝑳) = +</p><p>𝒒. 𝑳𝟑</p><p>𝟐𝟒. 𝑬𝑰</p><p>• Deflexão máxima:</p><p>𝝑𝒎á𝒙 (</p><p>𝑳</p><p>𝟐</p><p>) = −</p><p>𝟓. 𝒒. 𝑳𝟒</p><p>𝟑𝟖𝟒. 𝑬𝑰</p><p>Como mencionado, acima estão as estruturas mais</p><p>comuns encontradas na engenharia, e diversas outras</p><p>estruturas possuem seus valores tabelados. É possível</p><p>encontrar com facilidade essas informações no livro</p><p>mencionado anteriormente e na literatura.</p><p>Determinação da flecha e da inclinação em</p><p>vigas isostáticas engastadas</p><p>Para analisarmos a determinação da flecha e da</p><p>inclinação em vigas isostáticas engastadas, vamos utilizar</p><p>um exemplo de análise similar ao desenvolvido na aula</p><p>anterior.</p><p>Considere a viga da Figura 5 abaixo. Vamos</p><p>desenvolver a equação da viga elástica e determinar a</p><p>inclinação no ponto B e a deflexão máxima existente,</p><p>considerando que a rigidez EI da viga é constante.</p><p>Figura 5: viga isostática engastada no ponto A e com carregamento P no</p><p>ponto B.</p><p>Fonte: do autor.</p><p>Para encontrarmos a equação da linha elástica, vamos</p><p>utilizar a mesma equação discutida na aula anterior para</p><p>vigas biapoiadas:</p><p>𝑬𝑰.</p><p>𝒅𝟐𝝑</p><p>𝒅𝒙𝟐</p><p>= 𝑴(𝒙)</p><p>Na qual:</p><p>• EI representa a rigidez da viga;</p><p>• 𝜗 é a deflexão da viga;</p><p>• x é coordenada na viga a partir do apoio A;</p><p>• M(x) é o momento fletor em função de x.</p><p>Dessa forma, para encontrarmos a equação do</p><p>momento fletor em função de x, precisamos primeiramente</p><p>conhecer as reações de apoio em A. Por se tratar de um</p><p>engaste, teremos uma reação vertical, uma reação</p><p>horizontal e um momento fletor, como mostra a Figura 6:</p><p>Figura 6: representação das reações de apoio no ponto A da viga engastada.</p><p>Fonte: do autor.</p><p>Como o único carregamento que há na estrutura é P e</p><p>se encontra na extremidade livre, temos que a reação</p><p>horizontal em A é nula (HA = 0), que a reação vertical deve ter</p><p>o valor P, para anular o carregamento (VA = P) e que a</p><p>reação do momento fletor deve ser o produto do</p><p>carregamento pela sua distância (MA = P.L).</p><p>Uma vez que conhecemos as reações de apoio, vamos</p><p>analisar uma seção arbitrária a uma distância x a partir do</p><p>ponto A, como mostra a Figura 7:</p><p>Figura 7: Representação das forças atuantes sobre a viga.</p><p>Fonte: do autor.</p><p>A equação para a determinação do esforço cortante,</p><p>em função de x analisando à esquerda da seção será:</p><p>𝑽(𝒙) = 𝑷</p><p>E a equação do momento fletor em função da</p><p>coordenada x será:</p><p>𝑴(𝒙) = −𝑷. 𝑳 + 𝑷. 𝒙</p><p>𝑴(𝒙) = 𝑷(𝒙 − 𝑳)</p><p>Substituindo a equação do momento fletor na equação</p><p>da viga elástica, teremos:</p><p>𝑬𝑰.</p><p>𝒅𝟐𝝑</p><p>𝒅𝒙𝟐</p><p>= 𝑷(𝒙 − 𝑳)</p><p>Realizando a integração da equação acima, teremos:</p><p>𝑬𝑰.</p><p>𝒅𝝑</p><p>𝒅𝒙</p><p>= 𝑷(</p><p>𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>− 𝑳. 𝒙) + 𝑪𝟏</p><p>Na qual</p><p>𝑑𝜗</p><p>𝑑𝑥</p><p>representa a inclinação 𝜃(𝑥) da viga em</p><p>função da coordenada x.</p><p>Realizando novamente a integração da equação acima,</p><p>teremos:</p><p>𝑬𝑰. 𝝑(𝒙) = 𝑷(</p><p>𝒙𝟑</p><p>𝟔</p><p>−</p><p>𝑳. 𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>) + 𝑪𝟏. 𝒙 + 𝑪𝟐</p><p>Dessa forma, a equação acima representa a equação</p><p>da viga elástica, porém precisamos encontrar o valor de C1 e</p><p>C2 através das condições de contorno do problema.</p><p>Uma das condições de contorno existente é que para a</p><p>coordenada x = 0, ou seja, sobre o apoio A, a deflexão da</p><p>viga é nula. Assim substituindo o valor de x e da deflexão,</p><p>temos:</p><p>𝑬𝑰. 𝝑(𝒙) = 𝑷(</p><p>𝒙𝟑</p><p>𝟔</p><p>−</p><p>𝑳. 𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>) + 𝑪𝟏. 𝒙 + 𝑪𝟐</p><p>𝑬𝑰. 𝟎 = 𝑷(</p><p>𝟎𝟑</p><p>𝟔</p><p>−</p><p>𝑳. 𝟎𝟐</p><p>𝟐</p><p>) + 𝑪𝟏. 𝟎 + 𝑪𝟐</p><p>𝑪𝟐 = 𝟎</p><p>Uma vez que conhecemos o valor da constante C2,</p><p>agora necessitamos utilizar outra condição de contorno para</p><p>determinar o valor da constante C1. Ainda no ponto A da</p><p>estrutura, a inclinação da viga também é nula, por se tratar</p><p>de um engastamento, ou seja, para a posição 𝑥 = 0, temos</p><p>que</p><p>𝑑𝜗</p><p>𝑑𝑥</p><p>= 0. Logo:</p><p>𝑬𝑰.</p><p>𝒅𝝑</p><p>𝒅𝒙</p><p>= 𝑷(</p><p>𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>− 𝑳. 𝒙) + 𝑪𝟏</p><p>𝑬𝑰. 𝟎 = 𝑷(</p><p>𝟎𝟐</p><p>𝟐</p><p>− 𝑳. 𝟎) + 𝑪𝟏</p><p>𝑪𝟏 = 𝟎</p><p>Sabendo o valor das constantes, então a equação da</p><p>linha elástica para a viga será:</p><p>𝑬𝑰. 𝝑(𝒙) = 𝑷(</p><p>𝒙𝟑</p><p>𝟔</p><p>−</p><p>𝑳. 𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>) + 𝑪𝟏. 𝒙 + 𝑪𝟐</p><p>𝑬𝑰. 𝝑(𝒙) = 𝑷(</p><p>𝒙𝟑</p><p>𝟔</p><p>−</p><p>𝑳. 𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>) + 𝟎. 𝒙 + 𝟎</p><p>𝑬𝑰. 𝝑(𝒙) = 𝑷(</p><p>𝒙𝟑</p><p>𝟔</p><p>−</p><p>𝑳. 𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>)</p><p>Assim a equação da deflexão para a viga engastada</p><p>em questão será:</p><p>𝝑(𝒙) =</p><p>𝑷</p><p>𝑬𝑰</p><p>(</p><p>𝒙𝟑</p><p>𝟔</p><p>−</p><p>𝑳. 𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>)</p><p>E a equação da inclinação será:</p><p>𝑬𝑰.</p><p>𝒅𝝑</p><p>𝒅𝒙</p><p>= 𝑷(</p><p>𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>− 𝑳. 𝒙) + 𝑪𝟏</p><p>𝑬𝑰.</p><p>𝒅𝝑</p><p>𝒅𝒙</p><p>= 𝑷(</p><p>𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>− 𝑳. 𝒙) + 𝟎</p><p>𝒅𝝑</p><p>𝒅𝒙</p><p>=</p><p>𝑷</p><p>𝑬𝑰</p><p>(</p><p>𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>− 𝑳. 𝒙)</p><p>𝜽(𝒙) =</p><p>𝑷</p><p>𝑬𝑰</p><p>(</p><p>𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>− 𝑳. 𝒙)</p><p>Como solicitado no enunciado do problema, para</p><p>encontrarmos o valor da inclinação em B, basta</p><p>substituirmos o valor da coordenada x (x = L). Assim</p><p>teremos:</p><p>𝜽(𝒙) =</p><p>𝑷</p><p>𝑬𝑰</p><p>(</p><p>𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>− 𝑳. 𝒙)</p><p>𝜽(𝑳) =</p><p>𝑷</p><p>𝑬𝑰</p><p>(</p><p>𝑳𝟐</p><p>𝟐</p><p>− 𝑳. 𝑳)</p><p>𝜽(𝑳) =</p><p>𝑷</p><p>𝑬𝑰</p><p>(</p><p>𝑳𝟐</p><p>𝟐</p><p>− 𝑳𝟐)</p><p>𝜽(𝑳) = −</p><p>𝑷. 𝑳𝟐</p><p>𝟐. 𝑬𝑰</p><p>O valor da inclinação em B é negativo porque como a</p><p>deflexão da viga nesse ponto ocorre no sentido horário, por</p><p>convenção temos a notação negativa.</p><p>Com relação à deformação máxima, essa ocorre</p><p>exatamente no ponto B, ou seja, na extremidade livre da viga</p><p>engastada. Assim, para a posição 𝑥 = 𝐿 teremos a</p><p>deformação máxima:</p><p>𝝑(𝒙) =</p><p>𝑷</p><p>𝑬𝑰</p><p>(</p><p>𝒙𝟑</p><p>𝟔</p><p>−</p><p>𝑳. 𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>)</p><p>𝝑𝒎á𝒙(𝑳) =</p><p>𝑷</p><p>𝑬𝑰</p><p>(</p><p>𝑳𝟑</p><p>𝟔</p><p>−</p><p>𝑳. 𝑳𝟐</p><p>𝟐</p><p>)</p><p>𝝑𝒎á𝒙(𝑳) =</p><p>𝑷</p><p>𝑬𝑰</p><p>(</p><p>𝑳𝟑</p><p>𝟔</p><p>−</p><p>𝑳𝟑</p><p>𝟐</p><p>)</p><p>𝝑𝒎á𝒙(𝑳) =</p><p>𝑷</p><p>𝑬𝑰</p><p>(</p><p>𝑳𝟑 − 𝟑𝑳𝟑</p><p>𝟔</p><p>)</p><p>𝝑𝒎á𝒙(𝑳) =</p><p>𝑷</p><p>𝑬𝑰</p><p>. (−</p><p>𝟐. 𝑳𝟑</p><p>𝟔</p><p>)</p><p>𝝑𝒎á𝒙(𝑳) = −</p><p>𝑷. 𝑳𝟑</p><p>𝟑. 𝑬𝑰</p><p>O valor negativo na deflexão máxima está associado ao</p><p>fato de que a viga irá se movimentar para baixo.</p><p>Dessa forma, podemos perceber que a partir do</p><p>momento que conhecemos a equação da viga elástica é</p><p>possível determinar as equações da deflexão e da</p><p>inclinação.</p><p>Conclusão</p><p>Na aula de hoje, identificamos como é possível</p><p>determinar a equação da viga elástica para uma estrutura</p><p>engastada a partir da integração da equação do momento</p><p>fletor para uma coordenada qualquer. A partir da</p><p>determinação da equação da viga elástica, é possível</p><p>identificarmos as equações que permitem obter o valor da</p><p>deflexão e inclinação em cada posição da estrutura. Dentre</p><p>os valores mais importantes a serem determinados são a</p><p>inclinação máxima e a deflexão máxima, que para vigas</p><p>engastadas estão na extremidade livre da estrutura.</p><p>Na próxima aula, discutiremos o Princípio do Trabalho</p><p>Virtual e suas aplicações na análise de estruturas para vigas</p><p>biapoiadas.</p><p></p><p>Saiba mais...</p><p>Assista o vídeo do link abaixo para</p><p>entender melhor o processo de cálculo de</p><p>deflexão e inclinação em vigas</p><p>engastadas:</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=82Bb</p><p>CWiKUPY</p><p>Referências</p><p>HIBBELER, R. C. Análise das estruturas. 8 ed. São</p><p>Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013. 522p.</p><p>Disponível em:</p><p>https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/</p><p>3819. Acesso em: 24/03/2021.</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=82BbCWiKUPY</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=82BbCWiKUPY</p><p>https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/3819</p><p>https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/3819</p>