TEMA 4 - Comportamento de Vigas Contínuas

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Comportamento de vigas contínuas
Prof. Giuseppe Miceli Junior
Descrição
Estudo do comportamento estrutural de vigas contínuas, com a análise de casos gerais e particulares desta
classe de estruturas.
Propósito
O entendimento das particularidades da resolução de vigas contínuas e o seu relacionamento com o seu
comportamento estrutural são essenciais para a atuação do engenheiro civil.
Preparação
Antes de iniciar o conteúdo, faça o download do Solucionário. Certifique-se de ter acesso à calculadora
científica, a fim de repetir os cálculos apresentados e resolver os problemas propostos ao longo dos
módulos. Baixe também a ferramenta Ftool, importante para os estudos que serão desenvolvidos aqui.
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04316/docs/solucionario_comportamento_de_vigas_continuas.pdf
Objetivos
Módulo 1
Análise de vigas contínuas no Ftool
Analisar as vigas contínuas no Ftool: modelagem, esforços, flechas e rotações.
Módulo 2
Adequação de seção transversal: resistência e deformação
Analisar a seção transversal de acordo com as características de resistência e de deformação em vigas
contínuas.
Módulo 3
Variação de con�gurações de apoio e de seção em vigas contínuas
Analisar o impacto da variação das configurações de apoio e de seção transversal na análise de vigas
contínuas.
Módulo 4
Apoio extremo e engastamento parcial
Calcular o impacto de condições de apoio especiais em vigas contínuas.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo a seguir e compreenda os conceitos de comportamento de
vigas contínuas.
1 - Análise de vigas contínuas no Ftool

Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar vigas contínuas no Ftool: modelagem,
esforços, �echas e rotações.
Vamos começar!
Como analisar vigas contínuas utilizando o Ftool
Assista ao vídeo a seguir para conhecer os principais pontos que serão abordados neste módulo.
Modelagem de vigas no Ftool
Ftool é um programa para a análise estrutural de pórticos planos. Tem como principal objetivo a
prototipagem simples e eficiente de estruturas. O programa foi desenvolvido, inicialmente, para uso em sala
de aula, mas evoluiu para uma ferramenta utilizada, com frequência, em projetos estruturais profissionais.
A edição básica do Ftool permite ao usuário definir modelos de forma simples e eficiente. Ele analisa o
modelo estrutural e oferece diversos resultados, como:
Diagramas de forças internas;
Configuração deformada das estruturas;
Linhas de influência para qualquer ponto da estrutura;
Envelopes de resultados do trem de carga.

As seções transversais podem ser definidas parametricamente de acordo com vários modelos,
selecionando entre uma variedade diversificada de formas padrão ou genericamente (definindo as
propriedades geométricas das seções como área e momento de inércia). Os apoios podem ser rígidos ou
elásticos e podem ser inclinados ou sofrer deslocamentos impostos. Isso permite que vários tipos de
estruturas, das mais simples às mais complexas, sejam modeladas no Ftool.
Interface do Ftool
Para modelar uma viga contínua de, por exemplo, três vãos de 5m cada, deve-se seguir os seguintes passos:
Primeiro passo
Clicar na barra de ferramentas com um retângulo vermelho, na ferramenta indicada pela seta acima, e
selecionar um ponto na tela. Para a obtenção de barras com medidas mais precisas, pode ser útil clicar em
“Grid” e em “Snap”, no campo inferior direito da tela, como mostrado a seguir.
Interface do Ftool.
Segundo passo
Rolar o mouse pela tela para colocar os apoios nos pontos desejados. A seguir, está descrita uma viga
contínua com 3 vãos de 5,0m cada um:
Viga contínua com 3 vãos.
Terceiro passo
Incluir carregamentos. Os botões relativos à inserção de carregamentos são mostrados a seguir:
Botões relativos à inserção de carregamentos.
Quarto passo
Conferir o carregamento. Neste caso, será um carregamento distribuído de 10kN/m pelos 3 vãos e um
carregamento concentrado de 50kN, 2m à direita do apoio da esquerda.
Viga contínua com 3 vãos com inclusão de carregamentos.
Quinto passo
Definir parâmetros de materiais e de seção transversal na viga. Neste caso, será um material genérico
isotrópico com E= 1000000MPa e coeficiente de Poisson = 0,30. A viga terá uma seção transversal de 20 x
60cm. Os botões relativos a estas funções são apresentados a seguir.
Configuração de materiais, de seções transversais e de apoios.
Atenção!
Não será possível a determinação de esforços, momentos, deformações ou rotações se não houver uma
definição da estrutura a ser analisada, seus comprimentos, mas, principalmente, os carregamentos, os
materiais a serem utilizados e a configuração das seções transversais para a viga.
Análises a serem realizadas em vigas: esforços, �echas
e rotações
Apresentaremos agora as análises que podem ser realizadas nas vigas contínuas por meio do Ftool. Mas,
antes, vamos revisar sobre cada um dos elementos que serão levantados:
Carregamentos externos e reações de apoio
Tanto carregamentos externos, quanto reações de apoio referem-se a esforços que podem ser cargas de
superfície e/ou cargas concentradas. A diferença entre eles está onde empregam esses esforços, veja:
Carregamentos externos
São esforços que incidem sobre a superfície da viga.
Reações de apoio
São esforços que incidem sobre outras estruturas.
Entenda melhor na imagem a seguir:
Carregamentos em vigas.
Flechas
É a distância entre o referencial indeformado da viga contínua e a linha elástica que é formada com a ação
do carregamento sobre a viga. De particular interesse é a flecha máxima, que é a maior flecha que pode
ocorrer em uma viga contínua.
Flechas em vigas.
Rotações

É o ângulo formado entre referencial indeformado da viga contínua e a linha elástica que é formada com a
ação do carregamento sobre a viga.
Rotações em vigas.
Rotações em vigas.
No Ftool, após o lançamento da viga dos carregamentos, dos vínculos de apoio, dos materiais e das seções
transversais, pode ser utilizada a barra de ferramentas, no canto superior direito, para se definir as flechas e
rotações.
Interface do Ftool.
Interface do Ftool.
Atenção!
O FTool também possui suporte para o desenvolvimento de diagramas de esforços internos, como
momentos fletores, esforços cortantes e esforços normais. Pode ser importante realizar a comparação
entre diversos diagramas para estabelecer relacionamentos.
Mão na massa
Questão 1
Na estrutura a seguir, qual a rotação máxima apresentada, em módulo (considere uma viga de 20 x
60cm, E = 100000MPa)?

A 1, 1 × 10−5rad
Parabéns! A alternativa E está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Na estrutura a seguir, qual a flecha máxima apresentada, em módulo (considere uma viga de 20 x 40cm,
E = 100000MPa)?
B 2, 2 × 10−5rad
C 2, 4 × 10−5rad
D 5, 8 × 10−5rad
E 8, 2 × 10−5rad
A 0,11mm
B 0,24mm
C 0,37mm
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 3
Na estrutura a seguir, qual a flecha máxima apresentada, em módulo (considere uma viga de 20 x 40cm,
E = 100000MPa)?
D 0,52mm
E 0,67mm
A 0,01mm
B 0,02mm
C 0,1mm
D 0,16mm
E 0,23mm
Parabéns! A alternativa E está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
Na estrutura a seguir, qual a rotação máxima apresentada, em módulo (considere uma viga de 20 x
40cm, E = 100000MPa)?
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
A 0, 65 × 10−4rad
B 0, 74 × 10−4rad
C 1, 37 × 10−4rad
D 1, 63 × 10−4rad
E 2, 5 × 10−4rad
Questão 5
Na estrutura a seguir, qual a flecha máxima apresentada, em módulo (considere uma viga de 20 x 20cm,
E = 100000MPa)?
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 6
Na estrutura a seguir, ovão em que a rotação máxima da viga contínua ocorre, em módulo, é o indicado
pela letra (considere uma viga de 20 x 20cm, E = 100000MPa):
A 0,31mm
B 0,21mm
C 0,11mm
D 0,07mm
E 0,33mm
Parabéns! A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
Cálculo de rotações em vigas
A A
B B
C C
D D
E No engaste direito ou no esquerdo
Teoria na prática
Sabendo que os dois vãos extremos da viga possuem 20 x 40cm e os dois vãos centrais da viga contínua
possuem 40 x 40cm, calcule a flecha máxima e a rotação máxima da viga contínua. Sendo E=100.000MPa.
Viga entre dois vãos extremos
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Na estrutura a seguir, a distância máxima indicada é chamada de:
_black
Mostrar solução
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Na viga contínua a seguir, pode-se dizer que:
A rotação.
B engaste.
C apoio.
D flecha.
E linha elástica.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
A a rotação no engaste é igual a zero.
B a rotação nos apoios simples é igual a zero.
C o deslocamento nos apoios simples é diferente de zero.
D a flecha máxima na viga está no vão da esquerda.
E a rotação nos pontos em que a flecha é máxima é maior que zero.
2 - Adequação de seção transversal: resistência e
deformação
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar a seção transversal de acordo com as
características de resistência e de deformação em vigas contínuas.
Vamos começar!
Você sabe adequar uma seção transversal em contexto
de projeto?
Assista ao vídeo a seguir para conhecer os principais pontos que serão abordados neste módulo.
Adequação de vigas quanto à resistência
Quando você está pensando em uma viga para aplicação em um projeto, você deve se preocupar com
algumas de suas características: material da viga, seção transversal, comprimentos e tipos de apoio, que
dependem, particularmente, da relação da viga com o restante da estrutura.
Comentário

Geralmente, quando se busca adequar a seção transversal de uma viga, pode-se fazê-lo segundo dois
critérios: resistência e deformação. Vamos estudar o primeiro critério, resistência.
Se considerarmos as vigas prismáticas, ou seja, vigas retas com uma seção uniforme, vemos que seu
projeto depende, primeiramente, da determinação dos maiores valores dos momentos fletores e do esforço
cortante. Tais esforços internos geram tensões normais e tangenciais que devem estar limitadas a tensões
admissíveis do material de que será formada a viga.
Assim, a tensão normal máxima que age em uma seção transversal, baseada em flexão, é dada por:
Rotacione a tela. 
Em que:
 é a tensão máxima admissível na viga;
 é o momento fletor máximo admissível na viga;
 é a distância entre a linha neutra e o ponto em que se deseja calcular a tensão;
 é o momento de inércia da seção transversal.
Por outro lado, a tensão tangencial máxima que age em uma seção transversal, baseada em cisalhamento, é
dada por:
Rotacione a tela. 
Em que:
 é a tensão máxima admissível na viga;
 é o esforço cortante máximo admissível;
 é o momento estático da área em relação à linha neutra;
 é o momento de inércia da seção transversal;
 é a largura da área da seção transversal no ponto em que se deseja calcular a tensão.
Atenção!
σmáx =
|Mmáx|c
I
σmáx
Mmáx
c
I
τmáx =
|Vmáx|Q
It
τmáx
Vmáx
Q A
I
t
O dimensionamento à flexão geralmente é realizado para a seleção das vigas que podem atender às
solicitações do carregamento. Uma vez selecionada a viga, podemos usar a fórmula da tensão de
cisalhamento e confirmar se a tensão de cisalhamento admissível não tenha sido ultrapassada.
O projeto com base na resistência ao cisalhamento é importante quando se trata de vigas curtas com
grandes cargas, chamadas de consolos.
A fórmula da tensão normal devido à flexão também pode ser escrita como:
Rotacione a tela. 
Em que é chamado de módulo de resistência à flexão ou módulo resistente à flexão, que é dada pela
divisão do momento de inércia pela distância .
Curiosidade
Fabricantes de vigas metálicas, geralmente, oferecem tabelas com dimensões de perfis comerciais, bem
como de momentos de inércia e de módulos resistentes à flexão. Normalmente, se escolherá a viga mais
econômica e mais leve, ou seja, a viga menos pesada que resiste ao módulo resistente à flexão necessário
para resistir ao carregamento solicitante.
É importante pensarmos que a adequação de vigas quanto à resistência busca a segurança com relação ao
estado limite último das estruturas. Cada norma de projeto e execução de estruturas possui uma forma
diferente de calcular o estado limite último de estruturas, utilizando sempre um fator de segurança que,
obrigatoriamente, deve ser aplicado.
stado limite último
Está relacionado ao estado no qual a estrutura já não pode ser utilizada por razão de esgotamento da
capacidade resistente e risco à segurança.
Adequação de vigas quanto à deformação
Estudamos como adequar a seção transversal de uma viga pelo critério da resistência. Agora, vamos
estudar o segundo critério.
σmáx =
|Mmáx|
W
W
I c
As normas técnicas de projeto de estruturas possuem uma limitação com relação aos deslocamentos
máximos que podem apresentar. Desta forma, é útil realizar a verificação da flecha após a verificação
quanto à resistência, para uma conferência final do quão adequados estão o carregamento e a seção
transversal.
A linha elástica em uma estrutura é a equação de sua linha deformada. Como uma função em x, ela é
determinada pela seguinte equação diferencial:
Rotacione a tela. 
Em que:
 é a função da linha elástica; é a sua derivada segunda em relação ao comprimento horizontal da
viga;
 é a função que representa o momento fletor da estrutura;
 é o módulo de elasticidade do material da viga;
 é o momento de inércia da seção transversal.
Assim, essa determinação pode ocorrer de forma analítica, por meio da integração dupla da função do
momento fletor. Por meio do Ftool, você também pode obter a linha elástica a partir do momento em que
entra com a estrutura, seu material e seu carregamento, como estudamos anteriormente.
Para facilitar seu trabalho, oferecemos a seguir uma imagem relacionando seus carregamentos com as
fórmulas da flecha máxima e da rotação nos apoios máxima.
Relação de carregamentos com as fórmulas da flecha máxima e da rotação nos apoios máxima.
Como valores de referência, temos as seguintes flechas admissíveis pelas normas de estruturas de
metálicas e de concreto armado, respectivamente. A maioria destas fórmulas é baseada no comprimento da
viga, como vemos a seguir, tanto na NBR 8800 como na NBR 6118.
d2y
dx2
= −
M(x)
EI
y
d2y
dx2
M(x)
E
I
Tipo de efeito Razão da limitação Exemplo
Deslocamento a
considerar
D
li
Aceitabilidade
sensoria
Visual
Deslocamentos
visiveis em
elementos
estruturais
Total l /
Outro
Vibrações sentidas
no piso
Devido a cargas
acidentais
l /
Efeitos estruturais
em serviço
Superfícies que
devem drenar água
Coberturas e
varandas
Total l /
Pavimentos que
devem permanecer
planos
Ginásios e pistas
de boliche
Total
l /
c
Ocorrido após a
construção do piso
l/
Elementos que
suportam
equipamentos
sensíveis
Laboratórios
Ocorrido após
nivelamento do
equipamento
D
re
fa
e
Tabela de deslocamentos admissíveis na norma NBR 6118
Tabela 13.3 da ABNT NBR 6118
Agora veremos a tabela da NBR 8800.
Descrição
- Travessas de fechamento
- Terças de cobertura 
δa
L/180b
L/120cd
9) L/180e
L/120f
Descrição
- Vigas de cobertura 
- Vigas de piso
- Vigas que suportam pilares
Vigas de rolamento:
- Deslocamento vertical para pontes rolantes com capacidade nominal
inferior a 
- Deslocamento vertical para pontes rolantes com capacidade nominal igual
ou superior a , excetopontes siderúrgicas
- Deslocamento vertical para pontes rolantes siderúrgicas com capacidade
nominal igual ou superior a 
- Deslocamento horizontal, exceto para pontes rolantes siderúrgicas
- Deslocamento horizontal para pontes rolantes siderúrgicas
Galpões em geral e edificios de um pavimento:
- Deslocamento horizontal do topo dos pilares em relação à base
- Deslocamento horizontal do nível da viga de rolamento em relação à base
Edificios de dois ou mais pavimentos:
- Deslocamento horizontal do topo dos pilares em relação à base
- Deslocamento horizontal relativo entre dois pisos consecutivos
Tabela de deslocamentos admissíveis na norma NBR 8800
Tabela C.1 da ABNT NBR 8800
O atendimento a essas tabelas está envolvido com o chamado estado limite de serviço, que serve para
limitar um tamanho de flecha máxima para a estrutura.
δa
9 L/250h
L/350h
L/500h
200kN
L/600i
200kN
L/800i
200kN
L/1000i
L/400
L/600
H/300
H/400kl
H/400
h/500m
stado limite de serviço
São os critérios de segurança que estão relacionados ao conforto para os usuários, durabilidade da estrutura,
aparência e boa utilização de um modo geral.
Analisando um exemplo
O momento de inércia da viga de seção retangular abaixo de comprimento submetida a um
carregamento sabendo que a flecha máxima admissível é de é dado por qual valor
Viga de seção retangular.
Consultando a tabela de relação de carregamentos com as fórmulas da flecha máxima e da rotação nos
apoios máxima, a fórmula para a obtenção da flecha é:
Rotacione a tela. 
Nossa incógnita é o momento de inércia. Sendo assim, substituímos: x
 e flecha admissivel de ou 
Substituindo na fórmula, temos:
Rotacione a tela. 
Desenvolvendo-se a expressão, temos que a inércia pedida foi de 
L = 4m,
P = 10kN , 1cm,
(E = 30 × 106kN/m2)?
y = −
PL3
48EI
P = 10kN ,L = 4m,E = 30
106kN/m2 1cm 10−2m.
y =
PL3
48EI
 implica 
⟶ 10−2 =
10.43
48 ⋅ 30.106. I
I = 6, 94 × 10−4m4.
Mão na massa
Questão 1
O momento de inércia da viga de seção retangular abaixo de comprimento , submetida a um
carregamento distribuído , sabendo que a flecha máxima admissível é de , é dado por
Parabéns! A alternativa D está correta.

L = 4m
q = 1kN/m 1cm
(E = 30 × 106kN/m2) :
A I = 0, 000261m4
B I = 0, 000361m4
C I = 0, 000411m4
D I = 0, 000461m4
E I = 0, 000561m4
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Seja uma viga de seção retangular, como a mostrada a seguir, em que e
. Dentre as opções a seguir, calcule sua altura, considerando que a tensão normal
admissível é de 45MPa e que a altura da viga é quatro vezes o comprimento de sua base.
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 3
L = 4m, q = 20kN/m
E = 105kN/m2
A 17,6cm
B 8,9cm
C 13,8cm
D 27,6cm
E 6,9cm
Seja uma viga de seção retangular, como a mostrada a seguir, em que e
. Dentre as opções a seguir, calcule sua altura, considerando que a tensão normal
admissivel é de 45MPa e que a altura da viga é quatro vezes o comprimento de sua base.
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
Seja uma viga contínua de seção quadrada, como a mostrada a seguir. Dentre as opções a seguir,
calcule o lado de sua seção, considerando que a tensão normal admissível é de 45MPa.
L = 4m, q = 20kN/m
E = 105kN/m2
A h = 22,2cm
B h = 24,2cm
C h = 26,2cm
D h = 28,2cm
E h = 30,2cm
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 5
Seja uma viga contínua de seção quadrada, como a mostrada a seguir. Dentre as opções, calcule o lado
de sua seção, considerando que a tensão normal admissível é de 30MPa.
A 12,1cm
B 14,1cm
C 16,1cm
D 18,1cm
E 20,1cm
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 6
Seja uma viga contínua de seção quadrada, como a mostrada a seguir. Dentre as opções, calcule o lado
de sua seção, considerando que a tensão normal admissível é de 20MPa e a tensão tangencial
admissível é de 4MPa.
A 16,81cm
B 17,11cm
C 17,41cm
D 17,81cm
E 18,51cm
Parabéns! A alternativa E está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
Adequando viga contínua
A 4,3cm
B 5,4cm
C 7,6cm
D 8,6cm
E 10,8cm
Teoria na prática
Seja uma viga contínua de seção quadrada, como a mostrada a seguir . Dentre as
opções, calcule o lado de sua seção, considerando que a tensão normal admissível é de 20MPa e a tensão
tangencial admissível é de 4MPa e a flecha admissível é de .
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Quando se tem uma viga contínua submetida a um momento fletor M, pode-se dizer que, considerando
uma mesma base da seção transversal, quanto maior sua altura:
_black
(E = 30 × 106kN/m2)
1cm
Mostrar solução
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Quando se tem uma viga contínua submetida a um momento fletor M, pode-se dizer que sua flecha
máxima:
A ela se tornará menos resistente à flexão.
B ela se tornará mais resistente à flexão.
C sua resistência à flexão não será alterada.
D o módulo resistente à flexão não será alterado.
E o módulo resistente à flexão vai diminuir.
A diminui conforme seu carregamento aumenta.
B aumenta a uma proporção inversa do comprimento da viga.
C aumenta conforme seu momento de inércia aumenta.
D aumenta conforme seu momento de inércia diminui.
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
3 - Variação de con�gurações de apoio e de seção em
vigas contínuas
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar o impacto da variação das con�gurações
de apoio e de seção transversal na análise de vigas contínuas.
Vamos começar!
E aumenta a uma proporção direta do módulo de elasticidade.

Variações de con�guração de apoios e de seção
transversal
Assista ao vídeo a seguir para conhecer os principais pontos que serão abordados neste módulo.
Conceito de vão efetivo
Viga é um elemento linear em que a flexão é preponderante. Elementos lineares são aqueles em que o
comprimento longitudinal supera, em pelo menos três vezes, a maior dimensão da seção transversal.
Entretanto, com relação à estrutura, é preciso ter em mente o cálculo do comprimento do vão da viga. No
caso de vigas contínuas, deve-se saber o comprimento de cada um de seus vãos para preparar a estrutura
para sua resolução.
Para o caso de vigas de concreto armado, o chamado vão efetivo (NBR 6118, item 14.6.2.4), que
chamaremos de é calculado pela expressão:
Rotacione a tela. 
Onde:
lef,
lef  = l0 + a1 + a2
a1
a1 ≤ {
t1
2
0, 3h
Em que as dimensões indicadas são as mostradas a seguir.
Vão efetivo.
Da mesma forma, se tivermos uma viga contínua, cada uma com seu próprio vão efetivo, podemos estimar
sua altura dividindo-o por 12, como mostrado na fórmula:
Rotacione a tela. 
Curiosidade
Alturas típicas de vigas são moduladas de 5 em 5cm, de 10 em 10cm. Busca-se também modular a altura
como múltiplos da altura da tábua de madeira que será utilizada na forma, ou de acordo com padrões
predefinidos de alturas de formas metálicas.
Variação de con�gurações de seção em vigas contínuas
Em um projeto estrutural, muitas vezes, vigas apresentam variações de seção. Essas variações podem
ocorrer em vãos diferentes na mesma viga contínua ou no mesmo vão em vigas contínuas.
Entenda melhor a diferença entre elas a seguir:
Vãos diferentes na mesma viga contínua
a2
a2 ≤ {
t2
2
0, 3h
hn =
lef,n
12
Essas situações já foram resolvidas neste conteúdo por meio do FTool. Analiticamente, qualquer método de
cálculo de estruturas hiperestáticas, seja o método das forçasou o método dos deslocamentos ou até
mesmo a análise matricial das estruturas, trata essa variação de forma própria com base na comparação
entre as inércias dos vãos.
Vãos iguais na mesma viga contínua
Essas situações necessitam de formas diferentes de dimensionamento, tanto se for resolvido por meio do
Ftool ou analiticamente. Vãos em que há variações de seção transversal são chamados de mísulas e podem
ser percebidos em vigas em residências ou em estruturas mais complexas, como pontes e viadutos.
Veja um exemplo na próxima imagem.
Viga contínua em uma ponte curva. Detalhe para o vão em mísula em destaque.
O item 14.6.2.3 da NBR 6118/2014 aponta que, no caso de mísulas ou variações bruscas de seção
transversal, só deve ser considerada como parte efetiva da seção transversal aquela indicada na imagem a
seguir:
Vãos efetivos em mísulas.
Em que deve ser considerado para o cálculo apenas o limite entre a linha preta e a linha vermelha, na
distância apontada pelas cotas mostradas.
Atenção!
O significado físico dessa imagem é que, se houver mudanças bruscas de seção, é necessário prever uma
inclinação de 1 para 2 para ser considerada no cálculo de vãos efetivos de vigas contínuas. Da mesma
forma, deve ser apresentada para mísulas retas ou parabólicas que obedeçam a uma inclinação maior que 1
para 2.
Assim, a preparação da estrutura para inseri-la em um software de cálculo ou analiticamente passa tanto
pela consideração das mísulas que devem ser consideradas como pela consideração do já apresentado vão
efetivo (NBR 6118, item 14.6.2.4):
Rotacione a tela. 
Em que:
Analisando uma demonstração
Seja a viga a seguir, de 500cm de comprimento em cada vão, apoiada em pilares quadrados de 50cm.
Vamos ver qual será o comprimento efetivo dos dois vãos.
Viga com três apoios.
lef = l0 + a1 + a2
a1
a1 ≤ {
t1
2
0, 3h
a2
a2 ≤ {
t2
2
0, 3h
Calculemos os vãos efetivos da viga contínua apresentada:
Rotacione a tela. 
O comprimento efetivo é de 550cm. Como os vãos são iguais e a seção da viga é constante, então este
comprimento é igual para os dois vãos.
Vamos agora fazer alguns exercícios sobre as novas grandezas.
Mão na massa
Questão 1
Se o comprimento efetivo de uma viga contínua é de 10m, então é recomendado que ela possua uma
altura de:
a1
a1 =
t1
2
= 50
2
= 25cm
a2
a2 =
t2
2 =
50
2 = 25cm
l = l0 + a1 + a2 = 500 + 25 + 25 = 550cm

A 40cm
B 55cm
Parabéns! A alternativa E está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Se o comprimento efetivo de uma viga contínua é de 12m, então é recomendado que ela possua uma
altura de:
Parabéns! A alternativa C está correta.
C 60cm
D 75cm
E 85cm
A 60cm
B 80cm
C 100cm
D 110cm
E 120cm
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 3
Seja a viga a seguir, de 500cm de comprimento em cada vão apoiada em pilares quadrados de 40cm. O
comprimento efetivo será de:
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
A 480cm
B 500cm
C 520cm
D 540cm
E 560cm
Seja a viga a seguir, apoiada em pilares quadrados de 20cm. Os comprimentos efetivos dos dois vãos
extremos (mais à esquerda e mais à direita) são, respectivamente, iguais a:
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 5
Seja a viga a seguir, apoiada em pilares quadrados de 30cm e com dimensões 30cm (base) x 60cm
(altura). Os comprimentos efetivos dos dois vãos centrais são, respectivamente, iguais a:
A 400cm e 300cm
B 410cm e 310cm
C 420cm e 320cm
D 430cm e 330cm
E 440cm e 340cm
Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 6
Seja a viga a seguir, de 500cm de comprimento em cada vão e 40cm de altura. O pilar à esquerda é
quadrado, com 20cm de lado, o pilar à direita é quadrado, com 30cm de lado e o pilar central, retangular,
tem 20cm de comprimento e 40cm de largura na direção do seu eixo longitudinal. Os comprimentos
efetivos dos dois vãos centrais são, respectivamente, iguais a:
A 430cm e 430cm
B 430cm e 440cm
C 440cm e 430cm
D 430cm e 450cm
E 450cm e 430cm
Parabéns! A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
Calculando o vão efetivo
A 520cm e 520cm
B 522cm e 524cm
C 524cm e 522cm
D 522cm e 522cm
E 524cm e 524cm
Teoria na prática
Seja a viga a seguir, de 450cm de comprimento em cada vão e 50cm de altura. Os pilares extremos são
quadrados com 30cm de lado, os pilares centrais, retangulares, têm 20cm de comprimento e 50cm de
largura na direção do seu eixo longitudinal. Calcule as alturas e os vãos efetivos dos três elementos das
barras da viga contínua a seguir:
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Seja a viga a seguir, com comprimentos dos vãos determinados e altura de 50cm, apoiada em pilares
quadrados de 20cm. O comprimento efetivo do vão central será de:
_black
Mostrar solução
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Se o comprimento efetivo de uma viga contínua é de 6m, então, é recomendado que ela possua uma
altura de:
A 320cm
B 420cm
C 520cm
D 620cm
E 720cm
A 30cm
B 35cm
Parabéns! A alternativa E está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
4 - Apoio extremo e engastamento parcial
Ao �nal deste módulo, você será capaz de calcular o impacto de condições de apoio especiais
em vigas contínuas.
C 40cm
D 45cm
E 50cm
Vamos começar!
Engastamentos parciais
Assista ao vídeo a seguir para conhecer os principais pontos que serão abordados neste módulo.
Engastamento parcial e apoios extremos
De acordo com o item 14.6.6.1, da NBR 6118, com relação ao cálculo de vigas contínuas, pode-se modular
as vigas contínuas como simplesmente apoiadas nos pilares para estudo de cargas verticais. Entretanto,
deve-se considerar as seguintes correções:
Primeira correção
Não considerar momentos fletores positivos menores, que seriam obtidos se houvesse engastamento
perfeito da viga nos apoios internos.

Esquema estrutural de carregamento.
Segunda correção
Quando a viga for solidária com o pilar interno, e a largura do apoio, medida na direção do eixo da viga, for
maior que a quarta parte da altura do pilar, não pode ser considerado momento negativo menor do que o de
engastamento perfeito neste apoio do pilar, como mostrado na imagem a seguir:
Relações de viga contínua e apoios.
Terceira correção
Quando não for realizado o cálculo exato da solidariedade dos pilares com a viga, deve-se considerar, nos
apoios extremos, momento fletor igual ao momento de engastamento perfeito, como mostrado na imagem
a seguir.
Momentos de engastamento perfeito em vigas contínuas.
Para este último caso, o momento fletor que age na viga é calculado a partir do momento de
engastamento perfeito, por meio da seguinte equação:
Rotacione a tela. 
Em que:
 é o momento de ligação na viga, que é um engastamento parcial;
 é o momento de engastamento perfeito na viga;
 é a rigidez do vão extremo da viga;
 é a rigidez do lance superior do pilar;
 é a rigidez do lance inferior do pilar.
Atenção!
O momento de ligação da viga é considerado um momento de engastamento parcial, sempre inferior ao
valor do momento de engastamento perfeito, conforme veremos a seguir.
A rigidez citada na fórmula é definida como a relação entre o momento de inércia da seção transversal do
elemento e o comprimento do vão:
Rotacione a tela. 
Em que:
 é a rigidez do elemento ;
 é o momento de inércia do elemento ;
 é o comprimento do elemento .
Quanto aos momentos de engastamento perfeito, eles podem ser obtidos pela imagem a seguir, em que
aparecem os valoresdos momentos que surgem tanto no apoio da esquerda como no apoio da direita.
Mlig
Mlig = Meng(
rinf + rsup
rvig + rinf + rsup
)
Mlig
Meng
rvig
rsup
rinf
ri =
Ii
Li
ri i
I i
L i
Atenção!
Tenha atenção ao valor do momento que será utilizado ao se calcular até porque há carregamentos
que não são simétricos!
Agora analise a imagem:
Valores dos momentos no apoio da direita e esquerda.
No caso de pilares extremos, em que é necessário introduzir a rigidez à flexão, este engaste que une a viga e
o pilar é um engastamento elástico.
A rigidez da mola, principalmente em casos em que o pilar é contínuo em todos os pavimentos, e quando se
trata de pavimentos-tipo, é dada por:
Rotacione a tela. 
Em que é o comprimento de flambagem do lance do pilar.
Esta rigidez será importante ao se dimensionar a viga contínua, como mostraremos a seguir.
lambagem
A flambagem ou encurvadura é um fenômeno que ocorre em peças esbeltas (peças em que a área de seção
transversal é pequena em relação ao seu comprimento), quando submetidas a um esforço de compressão
axial. A flambagem acontece quando a peça sofre flexão transversalmente devido à compressão axial.
Demonstração
Mlig,
K =
8EI
le
le
Calcule o DMF e o DEC da viga contínua VC1, colocada no exemplo a seguir, com apoio intermediário do
primeiro gênero e submetida a cargas distribuídas que somadas são iguais a 25kN/m. Dados: E = 21GPa e
dimensões dos pilares inferiores e superiores: seção quadrada com 20cm de lado, de 3m de altura.
Extrato da vista em elevação.
Esquema estrutural de carregamento.
A resolução deste problema passa por alguns passos importantes que apresentaremos a seguir:
Primeiro passo
Cálculo do vão efetivo da viga: calculemos os vãos efetivos da viga contínua que nos foi apresentada:
Rotacione a tela 
a1
a1 =
t1
2
= 20
2
= 10cm
a2
a2 =
t2
2 =
19
2 = 10cm
l = l0 + a1 + a2 = 700 + 10 + 10 = 720cm
Rotacione a tela. 
Assim, podemos modelar a viga com esta nova configuração, com cada um dos vãos com comprimento
igual a 720cm:
Esquema estrutural de carregamento.
Segundo passo
Cálculo da altura da viga: vamos dividir o comprimento efetivo da viga por 12. Assim, temos: 720/12 ou
60cm (por aproximação). Desta forma, a viga terá 20 x 60cm de seção transversal.
Terceiro passo
Verificação dos apoios: o dado do problema é que o apoio intermediário é do primeiro tipo, o que aponta a
função estrutural do pilar como um apoio e não como um engaste.
Quarto passo
Cálculo da rigidez da mola: a fórmula adiante deve ser obedecida, em que: /
 e Então:
Rotacione a tela. 
Passemos agora para a resolução na viga, que se apresenta estruturalmente assim, após lançamento no
Ftool:
E = 21GPa, I = I 4
12 = (0, 2)4/12 = 1, 3 × 10−4m4 le = 3m.
K =
8EI
le
=
8 × 21 × 106 × 1, 3 × 10−4
3
= 7280kNm
Esquema estrutural de carregamento.
Para, em seguida, termos, respectivamente, seus diagramas de esforços cortante e momento fletor:
DEC
DMF

Mão na massa
Questão 1
Dentre as opções a seguir, calcule o momento de engastamento perfeito no apoio mais à esquerda,
considerando o carregamento distribuído igual a 6kN/m:
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
A 5,6kNm
B 6,6kNm
C 8kNm
D 9kNm
E 10kNm
Dentre as opções a seguir, calcule o momento de engastamento perfeito no apoio mais à esquerda,
considerando os carregamentos indicados:
Parabéns! A alternativa E está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 3
Dentre as opções a seguir, calcule o momento de engastamento de ligação no apoio mais à esquerda:
A 9kNm
B 10kNm
C 11kNm
D 12kNm
E 13kNm
Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
Uma viga contínua de um pavimento-tipo está no antepenúltimo pavimento de um prédio, como
mostrado a seguir. Dentre as opções, calcule a rigidez da mola entre a viga e o pilar, sabendo que ele
não possui variação em sua seção transversal (com ) nem alterações até a cobertura:
A 5kNm
B 6kNm
C 8kNm
D 9kNm
E 10kNm
le = 300cm
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 5
Seja o apoio extremo a seguir de uma viga contínua de 6kN/m de carregamento distribuído, com seção
quadrada de 40cm, apoiado por um pilar na configuração indicada (considere-o bi-rotulado) de 4m de
altura e com seção transversal de 20 x 40cm, em que a maior dimensão está colocada
longitudinalmente ao eixo da viga. O momento que age na viga e que a liga ao pilar é igual a:
A K = 8EIle
B K = 4EIle
C K = 16EIle
D K = 2EIle
E K = EIle
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 6
Seja o apoio extremo a seguir de uma viga contínua de 12kN/m de carregamento distribuído, com
seção quadrada de 40cm, apoiado por um pilar na configuração indicada (considere-o bi-rotulado) de
4m de altura (com relação aos pavimentos superior e inferior) e com seção transversal de 20 x 40cm,
em que a maior dimensão está colocada longitudinalmente ao eixo da viga. O momento que age na viga
e que a liga ao pilar é igual a:
A 2,38kNm
B 3,38kNm
C 4,38kNm
D 6,38kNm
E 8,38kNm
Parabéns! A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
Cálculo do engastamento parcial
A 6kNm
B 7kNm
C 8kNm
D 9kNm
E 10kNm
Teoria na prática
Calcule o DMF e o DEC da viga contínua colocada no exemplo a seguir. A viga possui dois vãos de 7,00m de
comprimento, com apoio intermediário do primeiro gênero e submetida a cargas distribuídas que somadas
são iguais a 20kN/m. Dados: E = 21GPa; dimensões dos pilares inferiores e superiores: seção quadrada com
19cm de lado, de 3m de altura.
Extrato da vista em elevação.
Esquema estrutural de carregamento.
_black
Mostrar solução
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Seja a viga contínua mostrada adiante, em que o pilar intermediário possui largura na direção do eixo
longitudinal do pilar igual à metade do comprimento de flambagem. O que é correto falar sobre sua
transformação estrutural na imagem?
A
A transformação está correta, pois, pelas medidas fornecidas, o pilar intermediário
funciona como engaste.
B
A transformação está correta, pois, pelas medidas fornecidas, o pilar intermediário
funciona como apoio simples.
C A transformação está incorreta, pois não há engastamento parcial nos apoios extremos.
D A transformação está correta, pois não engastamento parcial no apoio intermediário.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.p>
Questão 2
Observe a imagem a seguir. Veja que temos uma viga contínua e apoiada. Considerando que o
carregamento distribuído é de , assinale a opção que apresenta aproximadamente o
momento de engastamento perfeito:
E A transformação está incorreta, pois, assim, a viga deixa de ser contínua.
20kN/m
A 5,6kNm
B 6,6kNm
C 8kNm
D 9kNm
E 10kNm
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.p>
Considerações �nais
Agora que chegamos ao fim deste conteúdo, reforçamos que, para compreender o comportamento
estrutural de vigas contínuas não é suficiente apenas saber calcular os momentos e esforços internos. É
necessário compreender que um prédio possui pilares, vigas e lajes arranjados sob uma forma de pórtico
espacial. Portanto, a interação entre esses elementos deve ser bem analisada e estudada.
Podemos citar como alguns fatores dessa interação: o cálculo do vão efetivo, que considera comprimentos
dos pilares nos apoios; a consideração dos engastamentos parciais, que geram momentos de
engastamentos de valor menor que os momentosde engastamento perfeito; e a consideração de apoios
elásticos nas integrações entre vigas e pilares.
Precisamos considerar que essas interações dependem do material da estrutura, dos seus apoios e de sua
complexidade. Assim, o papel do projetista é primordial quando desenvolve um projeto estrutural, pois dele
virão as considerações sobre a estrutura.
Podcast
Agora, o especialista encerra o conteúdo falando sobre os principais tópicos abordados.

Referências
GERE, J. M.; WEAVER J. W. Análise de estruturas reticuladas. Rio de Janeiro: Guanabara, 1987.
HIBBELER, R. C. Análise das estruturas. 8. ed. São Paulo: Pearson, 2013. 
LEET, M. K.; UANG, C. M.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. São Paulo: McGraw-Hill,
2009.
MARTHA, L. F. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. 1. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2010. 
SORIANO, H. L. Análise de estruturas: método das forças e dos deslocamentos. 2. ed. São Paulo: Ciência
Moderna, 2006. 
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural I. 7. ed. Rio de Janeiro: Globo, 1980. 
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural II. 7. ed. Rio de Janeiro: Globo, 1980. 
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural III. 7. ed. Rio de Janeiro: Globo, 1980. 
VENÂNCIO FILHO, F. Análise matricial de estruturas: estática, estabilidade, dinâmica. Rio de Janeiro: A.
Neves, 1975.
Explore +
Para ampliar seu entendimento sobre as interações entre vigas, lajes e pilares, sugerimos a leitura sobre as
normas de projeto e cálculo de estruturas. Por exemplo, como seriam as fórmulas de cálculo de
engastamento parcial em estruturas de concreto e em estruturas de aço. Aqui estão algumas normas
importantes para você conhecer:
NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto: procedimento;
NBR 7190: Projeto de estruturas de madeira;
NBR 8800: Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios.