Como resolver integrais e derivadas

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<p>Christiane Mázur Lauricella</p><p>Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 exercícios</p><p>resolvidos</p><p>Copyright© Editora Ciência Moderna Ltda., 2011.</p><p>Todos os direitos para a língua portuguesa reservados pela EDITORA CIÊNCIA</p><p>MODERNA LTDA.</p><p>De acordo com a Lei 9.610, de 19/2/1998, nenhuma parte deste livro poderá ser</p><p>reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico, por</p><p>fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Editora.</p><p>Editor: Paulo André P. Marques</p><p>Supervisão Editorial: Aline Vieira Marques</p><p>Copidesque: Paula Regina Pilastri</p><p>Capa: Cristina Satchko Hodge</p><p>Diagramação: Tatiana Neves</p><p>Assistente Editorial: Vanessa Motta</p><p>Várias Marcas Registradas aparecem no decorrer deste livro. Mais do que</p><p>simplesmente listar esses nomes e informar quem possui seus direitos de</p><p>exploração, ou ainda imprimir os logotipos das mesmas, o editor declara</p><p>��������</p><p>���</p><p>����	�������������������������</p><p>���	�	�������������	�����</p><p>��	���</p><p>do dono da Marca Registrada, sem intenção de infringir as regras de sua</p><p>utilização. Qualquer semelhança em nomes próprios e acontecimentos será</p><p>mera coincidência.</p><p>FICHA CATALOGRÁFICA</p><p>LAURICELLA, Christiane Mázur</p><p>Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 exercícios</p><p>resolvidos</p><p>Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2011</p><p>1. Matemática.</p><p>I — Título</p><p>ISBN: 978-85-399-0113-5 CDD 510</p><p>Editora Ciência Moderna Ltda.</p><p>R. Alice Figueiredo, 46 – Riachuelo</p><p>Rio de Janeiro, RJ – Brasil CEP: 20.950-150</p><p>Tel: (21) 2201-6662 / Fax: (21) 2201-6896</p><p>LCM@LCM.COM.BR</p><p>WWW.LCM.COM.BR 08/11</p><p>SumárioSumárioSumárioSumárioSumário</p><p>IntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntrodução ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... VIIVIIVIIVIIVII</p><p>Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1</p><p>Derivadas de Funções Simples de uma VariávelDerivadas de Funções Simples de uma VariávelDerivadas de Funções Simples de uma VariávelDerivadas de Funções Simples de uma VariávelDerivadas de Funções Simples de uma Variável ..................................................................................................................................................................................................................................................... 11111</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 1. ....................................................................................... 25</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1. ................................................................ 26</p><p>Capítulo 2Capítulo 2Capítulo 2Capítulo 2Capítulo 2</p><p>Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelDerivadas de Funções Compostas de uma VariávelDerivadas de Funções Compostas de uma VariávelDerivadas de Funções Compostas de uma VariávelDerivadas de Funções Compostas de uma Variável .................................................................................................................................................................................................................. 2929292929</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 2. ....................................................................................... 56</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 2. ................................................................ 57</p><p>Capítulo 3Capítulo 3Capítulo 3Capítulo 3Capítulo 3</p><p>Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisDerivadas Parciais de Funções de duas VariáveisDerivadas Parciais de Funções de duas VariáveisDerivadas Parciais de Funções de duas VariáveisDerivadas Parciais de Funções de duas Variáveis ............................................................................................................................................................................................................................ 5959595959</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 3. ....................................................................................... 73</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3. ................................................................ 74</p><p>Capítulo 4Capítulo 4Capítulo 4Capítulo 4Capítulo 4</p><p>Integrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7777777777</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 4. ....................................................................................... 93</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 4. ................................................................ 94</p><p>I VI VI VI VI V Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Capítulo 5Capítulo 5Capítulo 5Capítulo 5Capítulo 5</p><p>Integrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 9797979797</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 5. ..................................................................................... 108</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 5. .............................................................. 109</p><p>Capítulo 6Capítulo 6Capítulo 6Capítulo 6Capítulo 6</p><p>Integrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da Substituição .......................................................................................................................................................................................................................................................... 111111111111111</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 6. ..................................................................................... 129</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 6. .............................................................. 130</p><p>Capítulo 7Capítulo 7Capítulo 7Capítulo 7Capítulo 7</p><p>Integrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por Partes ......................................................................................................................................................................................................................................................................... 131131131131131</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 7. ..................................................................................... 148</p><p>Respostas</p><p>“x4 vezes e elevado ao seno de x” em evidência:</p><p>h’(x) = 5x4 esenx + x5 cos x esenx = x4 esenx (5 + x cos x)</p><p>Exemplo 2.18. Derive y = tgx5.1n (3x2 + 8)</p><p>Vamos começar este exemplo aplicando a regra da derivada do produto de duas fun-</p><p>ções (a função tangente de x5 multiplicada pela função logaritmo neperiano de 3x2 + 8),</p><p>ou seja, a regra D3 vista no capítulo 1:</p><p>D3. (f (x). g(x))’ = f ’(x). g(x) + f (x). g’(x) ou d f x g x</p><p>dx</p><p>df x</p><p>dx</p><p>g x f x dg x</p><p>dx</p><p>( ). ( ) ( ) . ( ) ( ). ( )( )</p><p>= + .</p><p>No caso, temos que:</p><p>y’ = (tgx5.1n (3x2 + 8))’ = (tgx5)’.1n (3x2 + 8) + tgx5.(1n (3x2 + 8))’</p><p>Agora, vamos prosseguir com as derivadas, em relação à variável x, das funções tgx5</p><p>e 1n (3x2 + 8).</p><p>A função tgx5 é uma função composta dada por u = u(x) = x5 e f (u) = tgu.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (tgu)’ = u’sec2 u.</p><p>Logo,</p><p>(tgx5)’ = (x5)’sec2 x5 = 5x4 sec2 x5</p><p>A função (3x2 + 8) é uma função composta dada por u = u(x) = 3x2 + 8 e f (u) = 1n u.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ln</p><p>,</p><p>,</p><p>u u</p><p>u</p><p>( ) = .</p><p>4646464646 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Logo,</p><p>ln</p><p>,</p><p>, , , ,</p><p>3 8</p><p>3 8</p><p>3 8</p><p>3 8</p><p>3 8</p><p>3 0</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>+( )( ) =</p><p>+( )</p><p>+</p><p>=</p><p>( ) + ( )</p><p>+</p><p>=</p><p>( ) + ( )</p><p>+88</p><p>3 2</p><p>3 8</p><p>6</p><p>3 82 2=</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>. x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>Finalizando a derivada:</p><p>y tgx x tgx x x x x, , ,</p><p>.ln . ln sec ln= ( ) +( ) + +( )( ) = ( ) +(5 2 5 2 4 2 5 23 8 3 8 5 3 8)) +</p><p>+</p><p>tgx x</p><p>x</p><p>5</p><p>2</p><p>6</p><p>3 8</p><p>Exemplo 2.19. Derive y</p><p>e</p><p>senx</p><p>x x</p><p>=</p><p>−7 8</p><p>4 .</p><p>Iniciamos a resolução deste exemplo aplicando a regra da derivada do quociente de</p><p>duas funções (a função “base e elevada ao expoente x7 − 8x” dividida pela função</p><p>“seno de x4”), ou seja, a regra D4 vista no capítulo 1:</p><p>D4. f x</p><p>g x</p><p>f x g x f x g x</p><p>g x</p><p>� �</p><p>d f x g x( )</p><p>( )</p><p>( ). ( ) ( ). ( )</p><p>( )</p><p>( ). ( ), , ,⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟ = −</p><p>( )2</p><p>ou</p><p>(( )</p><p>=</p><p>−</p><p>( )dx</p><p>df x</p><p>dx</p><p>g x f x dg x</p><p>dx</p><p>g x</p><p>( ) . ( ) ( ). ( )</p><p>( ) 2</p><p>No caso, temos que:</p><p>y e</p><p>senx</p><p>e senx e senx</p><p>senx</p><p>x x x x x x</p><p>,</p><p>,</p><p>, ,</p><p>=</p><p>⎛</p><p>⎝</p><p>⎜⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟⎟ =</p><p>( ) − ( )− − −7</p><p>7 7</p><p>8</p><p>4</p><p>8 4 8 4</p><p>4(( )2</p><p>Para concluirmos a derivada, precisamos derivar, em relação à variável x, as funções</p><p>ex7−8x e senx4.</p><p>A função ex7−8x é uma função composta dada por u = u(x) = x7 − 8x e f (u) = eu.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (eu)’ = u’eu.</p><p>4747474747Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável</p><p>Logo,</p><p>(ex7− 8x)’ = (x7 − 8x)’ex7− 8x = ((x7)’ − (8x)’)ex7− 8x = (7x6 − 8)ex7− 8x</p><p>A função senx4 é uma função composta dada por u = u(x) = x4 e f (u) = senu.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (senu)’ = u’cos u.</p><p>Logo,</p><p>(senx4)’ = (x4)’ cos x4 = 4x 3 cos x4</p><p>Finalizando a derivada:</p><p>y e</p><p>senx</p><p>e senx e senx</p><p>senx</p><p>x x x x x x</p><p>,</p><p>,</p><p>, ,</p><p>=</p><p>⎛</p><p>⎝</p><p>⎜⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟⎟ =</p><p>( ) − ( )− − −7</p><p>7 7</p><p>8</p><p>4</p><p>8 4 8 4</p><p>4(( )</p><p>=</p><p>−( )( ) − ( )− −</p><p>2</p><p>6 8 4 8 3 4</p><p>2 4</p><p>7 8 4</p><p>7 7</p><p>x e senx e x x</p><p>sen x</p><p>x x x x cos</p><p>A derivada já foi terminada, mas ainda é possível simplificarmos a resposta colocando</p><p>“e elevado a x7 − 8x” em evidência:</p><p>y e</p><p>senx</p><p>x e senx e x xx x x x x x</p><p>,</p><p>, cos</p><p>=</p><p>⎛</p><p>⎝</p><p>⎜⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟⎟ =</p><p>−( )( ) −− − −7</p><p>7 7</p><p>8</p><p>4</p><p>6 8 4 8 37 8 4 44</p><p>2 4</p><p>8 6 4 3 4</p><p>2 4</p><p>7</p><p>7 8 4( )</p><p>=</p><p>( ) −( ) −⎡⎣ ⎤⎦</p><p>−</p><p>sen x</p><p>e x senx x x</p><p>sen x</p><p>x x cos</p><p>Observe que podemos escrever a função seno ao quadrado de</p><p>x elevado a 4 como (senx4)2 ou como sen2x4.</p><p>Exemplo 2.20. Derive y x x arctg x x= + + −( )5 3 44 2 3 .</p><p>Começamos este exemplo usando a regra da derivada da soma de duas funções (a</p><p>função “5 vezes a raiz quadrada de 3x4 + x2” mais a função “arcotangente de x3 − 4x”),</p><p>ou seja, a regra D1 vista no capítulo 1:</p><p>D1. f x g x f x g x � �</p><p>d f x g x</p><p>dx</p><p>df x</p><p>dx</p><p>dg x</p><p>dx</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ±</p><p>±( )</p><p>= ±ou .</p><p>4848484848 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>No caso, temos que:</p><p>y x x arctg x x x x arctg x x,</p><p>, , ,</p><p>= + + −( )( ) = +( ) + −( )( )5 3 4 5 3 44 2 3 4 2 3</p><p>Aplicando a regra da derivada de uma constante multiplicada por uma função para a</p><p>parcela que contém a raiz quadrada de 3x4 + x2, ou seja, a regra D2 vista no capítulo 1:</p><p>D2. k.f x k.f x �ou�</p><p>d k.f x</p><p>dx</p><p>k df x</p><p>dx</p><p>( ) ( )</p><p>( )</p><p>. ( ), ,( ) =</p><p>( )</p><p>= .</p><p>No caso, temos que:</p><p>y x x arctg x x x x arctg x x,</p><p>, , , ,</p><p>= +( ) + −( )( ) = +( ) + −( )( )5 3 4 5 3 44 2 3 4 2 3</p><p>A função 3 4 2x x+ é uma função composta dada por u = u(x) = 3 x4 + x2 e f (u) = u .</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que u u</p><p>u</p><p>( ) =</p><p>, ,</p><p>2</p><p>.</p><p>Logo,</p><p>3</p><p>3</p><p>2 3</p><p>3</p><p>2 3</p><p>3 4 2</p><p>4 2</p><p>4 2</p><p>4 2</p><p>4 2</p><p>4 2</p><p>3</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>+( ) =</p><p>+( )</p><p>+</p><p>=</p><p>( ) +( )</p><p>+</p><p>=</p><p>( )+( ),</p><p>, , ,</p><p>22 3</p><p>12 2</p><p>2 3</p><p>2 6 1</p><p>2 3</p><p>6 1</p><p>34 2</p><p>3</p><p>4 2</p><p>2</p><p>4 2</p><p>2</p><p>4 2x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x x+</p><p>= +</p><p>+</p><p>=</p><p>+( )</p><p>+</p><p>=</p><p>+( )</p><p>+</p><p>A função arctg(x3 − 4x) é uma função composta dada por u = u(x) = x3 − 4x e f (u) = arctgu.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que arctgu</p><p>u</p><p>u</p><p>( ) =</p><p>+</p><p>,</p><p>,</p><p>1 2 .</p><p>Logo,</p><p>( )( ) ( )</p><p>( )</p><p>( ) ( )</p><p>( )</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )23</p><p>2</p><p>23</p><p>,,3</p><p>23</p><p>,,3</p><p>23</p><p>,3</p><p>,3</p><p>41</p><p>43</p><p>41</p><p>4</p><p>41</p><p>4</p><p>41</p><p>44</p><p>xx</p><p>x</p><p>xx</p><p>xx</p><p>xx</p><p>xx</p><p>xx</p><p>xxxxarctg</p><p>−+</p><p>−=</p><p>−+</p><p>−=</p><p>−+</p><p>−=</p><p>−+</p><p>−=−</p><p>4949494949Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável</p><p>Finalizando a derivada:</p><p>( ) ( )( ) ( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )23</p><p>2</p><p>24</p><p>2</p><p>23</p><p>2</p><p>24</p><p>2</p><p>,3</p><p>,</p><p>24,</p><p>41</p><p>43</p><p>3</p><p>165</p><p>41</p><p>43</p><p>3</p><p>165435</p><p>xx</p><p>x</p><p>xx</p><p>xx</p><p>xx</p><p>x</p><p>xx</p><p>xxxxarctgxxy</p><p>−+</p><p>−+</p><p>+</p><p>+=</p><p>−+</p><p>−+��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>+=−++=</p><p>Exemplo 2.21. Derive .xx eey +=</p><p>Temos de derivar, inicialmente, a função dada pela soma de duas funções de x: a</p><p>função xe , lida como raiz quadrada de xe , e a função xe , lida como e elevado à raiz</p><p>quadrada de x.</p><p>Vamos, então, aplicar a propriedade D1, ( ) )()()()( ,,, xgxfxgxf ±=± . No caso,</p><p>( ) ( ) ( ),,,</p><p>, xxxx eeeey +=+=</p><p>Agora, precisamos usar a regra da cadeia para derivarmos duas funções compostas</p><p>de x: xe e xe .</p><p>A derivada de xe , em relação à variável x, é:</p><p>( ) ( )</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>e</p><p>ee</p><p>2</p><p>,</p><p>,</p><p>= , pois ( )</p><p>u</p><p>uu</p><p>2</p><p>,,</p><p>= , sendo, no caso, u = ex.</p><p>Da tabela de derivadas de funções simples, temos que a derivada de ex é ex.</p><p>Ou seja,</p><p>( ) ( )</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>e</p><p>e</p><p>e</p><p>ee</p><p>22</p><p>,</p><p>,</p><p>==</p><p>A derivada de xe , em relação à variável x, é:</p><p>( ) ( ) xx exe</p><p>,,</p><p>= ,</p><p>pois (eu)’ = u’eu, sendo, no caso, xu = .</p><p>5050505050 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Da tabela de derivadas de funções simples, temos que a derivada de x é</p><p>x2</p><p>1 .</p><p>Ou seja,</p><p>( ) ( )</p><p>x</p><p>ee</p><p>x</p><p>exe</p><p>x</p><p>xxx</p><p>22</p><p>1,,</p><p>===</p><p>Finalizando a derivada da função xx eey += :</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>x</p><p>e</p><p>e</p><p>eeeeey</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xxxx</p><p>22</p><p>,,,</p><p>, +=+=+=</p><p>A derivada já foi terminada. Para darmos a resposta final, ainda podemos colocar a</p><p>constante ½ em evidência:</p><p>( ) �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>+=+=+=</p><p>x</p><p>e</p><p>e</p><p>e</p><p>x</p><p>e</p><p>e</p><p>eeey</p><p>x</p><p>x</p><p>xx</p><p>x</p><p>x</p><p>xx</p><p>2</p><p>1</p><p>22</p><p>,</p><p>,</p><p>Exemplo 2.22. Derive .5</p><p>7</p><p>3 3</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++= xesenxy</p><p>Temos de derivar uma função composta dada por</p><p>3</p><p>5)( 3 xesenxxuu ++== e</p><p>f (u) = u7.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.u n−1.</p><p>Sendo, no caso, n = 7 e</p><p>3</p><p>5)( 3 xesenxxuu ++== , a derivada da função</p><p>7</p><p>3 3</p><p>5 �</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++= xesenxy é:</p><p>17</p><p>3</p><p>,</p><p>3</p><p>,7</p><p>3, 333</p><p>5.575</p><p>−</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++= xxx esenxesenxesenxy</p><p>6</p><p>3</p><p>,</p><p>3</p><p>,7</p><p>3, 333</p><p>5.575 �</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++= xxx esenxesenxesenxy</p><p>5151515151Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável</p><p>Para prosseguirmos, temos de derivar, em relação à variável x, a função</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++</p><p>3</p><p>53 xesenx .</p><p>Vamos aplicar, inicialmente, a propriedade D1, ( ) )()()()( ,,, xgxfxgxf ±=± , visto</p><p>que a função a ser derivada é formada pela soma de duas funções de x, as funções</p><p>senx3 e 3</p><p>5 xe+ .</p><p>Vejamos:</p><p>( )</p><p>,</p><p>,3</p><p>,</p><p>3 33</p><p>55 �</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++=�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++ xx esenxesenx</p><p>Agora, precisamos usar a regra da cadeia para derivarmos duas funções compostas de</p><p>x, as funções senx3 e 3</p><p>5 xe+ .</p><p>A derivada de senx3, em relação à variável x, é:</p><p>(senx3)’ = (x3)’ cos x3 = 3x2 cos x3,</p><p>pois (senu)’ = (u)’cos u, sendo, no caso, u = x3.</p><p>A derivada de 3</p><p>5 xe+ , em relação à variável x, é:</p><p>( )</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>52</p><p>55</p><p>,,</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>e</p><p>ee</p><p>+</p><p>+=�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� + ,</p><p>pois ( )</p><p>u</p><p>uu</p><p>2</p><p>,,</p><p>= , sendo, no caso, u = 5 + ex3.</p><p>Ainda temos de derivar 5 + ex3 em relação à variável x. Vamos aplicar, novamente, a</p><p>propriedade D1, ( ) )()()()( ,,, xgxfxgxf ±=± :</p><p>A derivada da constante 5, em relação à variável x, é zero, ou seja, (5)’ = 0</p><p>A derivada da função ex3, em relação à variável x, é (ex3)’ = (x3)’ex3 = 3x2ex3, pois (eu)’ = (u)’eu.</p><p>5252525252 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Concluindo a derivada de 3</p><p>5 xe+ :</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>52</p><p>3</p><p>52</p><p>30</p><p>52</p><p>5</p><p>52</p><p>55</p><p>22,,,,</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>e</p><p>ex</p><p>e</p><p>ex</p><p>e</p><p>e</p><p>e</p><p>ee</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>+=</p><p>+</p><p>+=</p><p>+</p><p>+=�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� +</p><p>Finalizando derivada da função</p><p>7</p><p>3 3</p><p>5 �</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++= xesenxy :</p><p>6</p><p>3</p><p>,</p><p>3</p><p>,7</p><p>3, 333</p><p>5.575 �</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++= xxx esenxesenxesenxy</p><p>( )</p><p>6</p><p>3</p><p>,</p><p>,3</p><p>,7</p><p>3, 333</p><p>5.575 �</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++= xxx esenxesenxesenxy</p><p>6</p><p>3</p><p>2</p><p>32</p><p>,7</p><p>3, 3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>5.</p><p>52</p><p>3cos375 �</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>+=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++= x</p><p>x</p><p>x</p><p>x esenx</p><p>e</p><p>exxxesenxy</p><p>A derivada já foi terminada. Para darmos a resposta final, ainda podemos colocar 3x2 em</p><p>evidência:</p><p>6</p><p>332</p><p>,7</p><p>3, 3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>5</p><p>52</p><p>cos3.75 �</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>+=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++= x</p><p>x</p><p>x</p><p>x esenx</p><p>e</p><p>exxesenxy</p><p>6</p><p>332</p><p>,7</p><p>3, 3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>5</p><p>52</p><p>cos215 �</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>+=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� ++= x</p><p>x</p><p>x</p><p>x esenx</p><p>e</p><p>exxesenxy</p><p>Exemplo 2.23. Derive y = cossec(x5 − 7x) + cot g(ex)</p><p>Temos de derivar, inicialmente, a função dada pela soma de duas funções de x: as</p><p>funções trigonométricas cossec(x5 − 7x) e cot g(ex).</p><p>Vamos, então, aplicar a propriedade D1, relativa à derivada da soma de duas funções:</p><p>f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ± . Ou seja,</p><p>5353535353Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável</p><p>y’ = (cossec(x5 − 7x) + cot g(ex))’ = (cossec(x5 − 7x))’ + (cot g(ex))’</p><p>Agora, precisamos usar a regra da cadeia para derivarmos duas funções compostas de</p><p>x, (x5 − 7x) e cot g(ex).</p><p>A derivada de cossec (x5 − 7x), em relação à variável x, é:</p><p>(cossec(x5 − 7x))’ = − (x5 − 7x)’ cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x), pois</p><p>(cossec u) = u’ cossec u.cot gu.</p><p>Visto que</p><p>(x5 − 7x)’ = (x5)’− (7x)’ = (x5)’− 7(x)’ = 5x4 − 7.1 = 5x4 − 7,</p><p>a derivada original fica:</p><p>(cossec(x5 − 7x))’ = − (x5 − 7x)’ cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x)</p><p>(cossec(x5 − 7x))’ = − (5x4 − 7) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x)</p><p>Podemos escrever − (5x4 − 7) como + (− 5x4 + 7) = (7 − 5x4). Sendo assim:</p><p>(cossec(x5 − 7x))’ = (7 − 5x4) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x)</p><p>A derivada de cot g(ex), em relação à variável x, é:</p><p>(cot g(ex))’ = − (ex)’ cossec2(ex), pois</p><p>(cot gu)’ = − (u)’ cossec2(u).</p><p>Visto que (ex)’ = ex, a derivada da cotangente do exemplo 2.23 fica:</p><p>(cot g(ex))’ = − (ex)’ cossec2(ex) = − ex cossec2(ex)</p><p>Finalizando derivada da função y = cossec(x5 − 7x) + cot g(ex):</p><p>y = (cossec(x5 − 7x) + cot g(ex))’ = (cossec(x5 − 7x))’ + (cot g(ex))’</p><p>y = (7 − 5x4) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x) + (− ex cossec2(ex))</p><p>y = (7 − 5x4) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x) − ex cossec2(ex)</p><p>5454545454 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exemplo 2.24. Derive y = arccos(senx).</p><p>A primeira observação a ser feita é a de que não há multiplicações na função y = arccos(senx),</p><p>lida como o arcocosseno do seno de x.</p><p>Se enxergarmos a função u = u(x) como u = senx, temos de derivar uma função com-</p><p>posta dada por f (u) = arccosu.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ( )</p><p>2</p><p>,</p><p>,</p><p>1</p><p>arccos</p><p>u</p><p>uu</p><p>−</p><p>−= .</p><p>Ou seja,</p><p>( )( ) ( )</p><p>( )2</p><p>,</p><p>,,</p><p>1</p><p>arccos</p><p>senx</p><p>senxsenxy</p><p>−</p><p>−==</p><p>Visto que (senx)’ = cos x e que (senx)2 = sen2x, a derivada do exemplo 2.24 fica:</p><p>( )</p><p>( )</p><p>1</p><p>cos</p><p>cos</p><p>cos</p><p>cos</p><p>1</p><p>cos</p><p>1</p><p>)()(arccos</p><p>222</p><p>,</p><p>,, −=−=−=</p><p>−</p><p>−=</p><p>−</p><p>−==</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xsen</p><p>x</p><p>senx</p><p>senxsenxy</p><p>Exemplo 2.25. Derive y = cos5 (1n (x4 + x2)).</p><p>Assim como no exemplo anterior, a primeira observação a ser feita é a de que não</p><p>há multiplicações na função y = cos5 (1n (x4 + x2)), que também pode ser escrita</p><p>como y = (cos (1n (x4 + x2)))5. Essa função é lida como o cosseno a quinta do logaritmo</p><p>neperiano da soma x4 + x2.</p><p>Se enxergarmos a função u = u(x) como u = cos(1n (x4 + x2)), temos de derivar uma</p><p>função composta dada por f (u) = u5.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.u n−1.</p><p>Sendo, no caso, n = 5 e u = cos(1n (x4 + x2)), a derivada da função y = (cos(1n(x4 + x2)))5 é:</p><p>( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 1524,24</p><p>,524, lncoslncos5lncos −++=+= xxxxxxy</p><p>( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )424,24</p><p>,524, lncoslncos5lncos xxxxxxy ++=+=</p><p>5555555555Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável</p><p>Visto que</p><p>( )( )( ) ( )( )244424 lncoslncos xxxx +=+ :</p><p>( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )244,24</p><p>,524, lncoslncos5lncos xxxxxxy ++=+=</p><p>Para prosseguirmos, temos de derivar, em relação à variável x, a função cos(1n (x4 + x2)).</p><p>Vamos aplicar a seguinte regra de derivação da função composta: (cosu)’ = − u’ senu.</p><p>Ou seja,</p><p>( )( )( ) ( )( ) ( )( )24,24,24 lnlnlncos xxsenxxxx ++−=+</p><p>Agora, precisamos derivar, em relação à variável x, a função 1n (x4 + x2). Vamos aplicar</p><p>seguinte regra de derivação da função composta: ( )</p><p>u</p><p>uu</p><p>,</p><p>,ln = .</p><p>Vejamos:</p><p>( )( ) ( ) ( ) ( )</p><p>24</p><p>3</p><p>24</p><p>,2,4</p><p>24</p><p>,24</p><p>,24 24ln</p><p>xx</p><p>xx</p><p>xx</p><p>xx</p><p>xx</p><p>xxxx</p><p>+</p><p>+=</p><p>+</p><p>+=</p><p>+</p><p>+=+</p><p>A derivada de 1n (x4 + x2) já foi concluída, mas, ainda, podemos fazer as seguintes</p><p>simplificações, colocando 2x em evidência no numerador e x2 em evidência no</p><p>denominador:</p><p>( )( ) ( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )1</p><p>122</p><p>1</p><p>12224ln 2</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>24</p><p>3</p><p>,24</p><p>+</p><p>+=</p><p>+</p><p>+=</p><p>+</p><p>+=+</p><p>xx</p><p>x</p><p>xx</p><p>xx</p><p>xx</p><p>xxxx</p><p>Finalizando derivada da função y = cos5 (1n (x4 + x2)):</p><p>y x x x x x x sen x,</p><p>, ,</p><p>cos ln cos ln ln ln= +( )( )( ) +( )( )= − +( )( )5 54 2 4 4 2 4 2 4 ++( )( )( ) +( )( )x x x2 4 4 2cos ln</p><p>( )( ) ( )( )24424</p><p>24</p><p>3</p><p>, lncosln245 xxxxsen</p><p>xx</p><p>xxy +��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>+−=</p><p>5656565656 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>( )( ) ( )( )24424</p><p>24</p><p>3</p><p>, lncosln245 xxxxsen</p><p>xx</p><p>xxy ++��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>+−=</p><p>( )</p><p>( ) ( )( ) ( )( )24424</p><p>22</p><p>2</p><p>, lncosln</p><p>1</p><p>1225 xxxxsen</p><p>xx</p><p>xxy ++��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>+−=</p><p>( )( ) ( )( )24424</p><p>2</p><p>2</p><p>, lncosln</p><p>1</p><p>1210 xxxxsen</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>y ++��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>+−=</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 2.Exercícios Propostos – Capítulo 2.Exercícios Propostos – Capítulo 2.Exercícios Propostos – Capítulo 2.Exercícios Propostos – Capítulo 2.</p><p>Exercício 2.1. Derive f (x) = (x5 − 7)60.</p><p>Exercício 2.2. Derive f (x) = (x5 + x6)3.</p><p>Exercício 2.3. Derive f (x) = (x8 + 3)− 63.</p><p>Exercício 2.4. Derive ( ) .74)( 5</p><p>45 += xxf</p><p>Exercício 2.5. Derive .32 5</p><p>2 �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� += x</p><p>x</p><p>y</p><p>Exercício 2.6. Derive y = 1n(2x + 3x2).</p><p>Exercício 2.7. Derive ( ).2ln += xy</p><p>Exercício 2.8. Derive y = 1n(ex + x2).</p><p>Exercício 2.9. Derive f (x) = cos(3x − 2).</p><p>Exercício 2.10. Derive f (x) = cos x3.</p><p>Exercício 2.11. Derive f (x) = cos3 x.</p><p>5757575757Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável</p><p>Exercício 2.12. Derive f (x) = cos(ex).</p><p>Exercício 2.13. Derive f (x) = ecosx.</p><p>Exercício 2.14. Derive f (x) = e4x − 5x3.</p><p>Exercício 2.15. Derive .)( 32+= xexf</p><p>Exercício 2.16. Derive h (x) = senx esenx.</p><p>Exercício 2.17. Derive y = cotgx3 1n(cosx + 5).</p><p>Exercício 2.18. Derive .2</p><p>56 2</p><p>senx</p><p>ey</p><p>xx−</p><p>=</p><p>Exercício 2.19. Derive ( ).3arccos747 32 xxxy −++=</p><p>Exercício 2.20. Derive ( ).528 33 2 xxarcsenxxy −++=</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 2.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 2.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 2.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 2.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 2.</p><p>Exercício 2.1. ( )5954, 7300)( −= xxxf</p><p>Exercício 2.2. ( )( )2654, 653)( xxxxxf ++=</p><p>Exercício 2.3. ( )648</p><p>7</p><p>,</p><p>3</p><p>504)(</p><p>+</p><p>−=</p><p>x</p><p>xxf</p><p>Exercício 2.4.</p><p>5 5</p><p>4</p><p>,</p><p>74</p><p>16)(</p><p>+</p><p>=</p><p>x</p><p>xxf</p><p>Exercício 2.5.</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>, 323110 �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−= x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>Exercício 2.6.</p><p>)32(</p><p>)31(2,</p><p>xx</p><p>xy</p><p>+</p><p>+=</p><p>Exercício 2.7. ( )22</p><p>1,</p><p>+</p><p>=</p><p>xx</p><p>y</p><p>5858585858 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exercício 2.8. 2</p><p>, 2</p><p>xe</p><p>xey x</p><p>x</p><p>+</p><p>+=</p><p>Exercício 2.9. ( )233)(, −−= xsenxf</p><p>Exercício 2.10. 32, 3)( senxxxf −=</p><p>Exercício 2.11. xsenxxf 2, cos3)( −=</p><p>Exercício 2.12. xxseneexf −=)(,</p><p>Exercício 2.13. senxexf xcos, )( −=</p><p>Exercício 2.14. 354, )154()( xxexxf −−=</p><p>Exercício 2.15.</p><p>32</p><p>3</p><p>,</p><p>2</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>x</p><p>xey</p><p>x</p><p>Exercício 2.16. h’ (x) = esenx cosx(1 + senx).</p><p>Exercício 2.17. ( )</p><p>5cos</p><p>cot.5cosln.seccos3</p><p>3</p><p>322,</p><p>+</p><p>−+−=</p><p>x</p><p>gxsenxxxxy .</p><p>Exercício 2.18. ( )</p><p>22</p><p>2256</p><p>, cos)53(2</p><p>2</p><p>xsen</p><p>xxsenxxey</p><p>xx −−=</p><p>−</p><p>.</p><p>Exercício 2.19.</p><p>23</p><p>2</p><p>2</p><p>,</p><p>)3(1</p><p>19</p><p>74</p><p>28</p><p>xx</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>−−</p><p>−−</p><p>+</p><p>= .</p><p>Exercício 2.20.</p><p>23</p><p>2</p><p>3 22</p><p>,</p><p>)52(1</p><p>56</p><p>)8(3</p><p>)4(2</p><p>xx</p><p>x</p><p>xx</p><p>xy</p><p>−−</p><p>−+</p><p>+</p><p>+= .</p><p>Capítulo 3Capítulo 3Capítulo 3Capítulo 3Capítulo 3</p><p>Derivadas Parciais de Funções de duasDerivadas Parciais de Funções de duasDerivadas Parciais de Funções de duasDerivadas Parciais de Funções de duasDerivadas Parciais de Funções de duas</p><p>VVVVVariáveisariáveisariáveisariáveisariáveis</p><p>Vamos pensar em uma função que tenha “duas entradas”, ou seja, uma função de duas</p><p>variáveis, as variáveis x e y, indicada por z = f (x, y).</p><p>Podemos calcular a derivada de z = f (x, y) apenas em relação à variável x, indicada por</p><p>x</p><p>yxfou</p><p>x</p><p>z</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂ ),(</p><p>,</p><p>lida como “deo z deo x”. Nesse caso, imaginamos que a variável y “atua como uma</p><p>constante”.</p><p>Podemos, também, calcular a derivada de z = f (x, y) apenas em relação à variável y,</p><p>indicada por</p><p>y</p><p>yxfou</p><p>y</p><p>z</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂ ),(</p><p>,</p><p>lida como “deo z deo y”. Nesse caso, imaginamos que a variável x “atua como uma</p><p>constante”.</p><p>Exemplo 3.1. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x5 + y5.</p><p>Para derivarmos z = f (x, y) = x5 + y5 em relação à variável x, imaginamos que a variável</p><p>y é uma constante e, consequentemente, y5 também é uma constante. Aplicando a</p><p>6060606060 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>propriedade D1 do capítulo 1, que afirma que a derivada da soma de duas funções é</p><p>igual à soma das derivadas dessas funções, temos que:</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>yx</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂ 5555),(</p><p>Já vimos que a derivada de x5 em relação à variável x é 5x5−1 = 5x4.</p><p>A derivada de y5 em relação à variável x é equivalente à derivada de uma constante em</p><p>relação à variável x, ou seja, é zero.</p><p>Sendo assim,</p><p>( ) ( ) ( ) 44</p><p>5555</p><p>505),( xx</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>yx</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z =+=</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>Para derivarmos z = f (x, y) = x5 + y5 em relação à variável y, imaginamos que a variável</p><p>x é uma constante e, consequentemente, x5 também é uma constante. Aplicando a</p><p>propriedade D1 do capítulo 1, que afirma que a derivada da soma de duas funções é a</p><p>soma das derivadas dessas funções, temos que:</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>yx</p><p>y</p><p>yxf</p><p>y</p><p>z</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂ 5555),(</p><p>A derivada de x5 em relação à variável y é equivalente à derivada de uma constante em</p><p>relação à variável y, ou seja, é zero.</p><p>A derivada de y5 em relação à variável y é 5y5−1 = 5y4.</p><p>Sendo assim,</p><p>( ) ( ) ( ) 44</p><p>5555</p><p>550),( yy</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>yx</p><p>y</p><p>yxf</p><p>y</p><p>z =+=</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>Exemplo 3.2. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x5 y5.</p><p>Para derivarmos z = f (x, y) = x5 y5 em relação à variável x, imaginamos que a variável y</p><p>é uma constante e, consequentemente, y5 também é uma constante. Aplicando a pro-</p><p>6161616161Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis</p><p>priedade D2 do capítulo 1, que afirma que a derivada do produto de uma constante por</p><p>uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função, temos que:</p><p>( ) ( )</p><p>x</p><p>xy</p><p>x</p><p>yx</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂ 5</p><p>5</p><p>55.),(</p><p>Já vimos que a derivada de x5 em relação à variável x é 5x5−1 = 5x4. Sendo assim,</p><p>( ) ( ) ( ) 5445</p><p>5</p><p>5</p><p>55</p><p>55.),( yxxy</p><p>x</p><p>xy</p><p>x</p><p>yx</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z ==</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>.</p><p>Para derivarmos z = f (x, y) = x5 y5 em relação à variável y, imaginamos que a variável x</p><p>é uma constante e, consequentemente, x5 também é uma constante. Aplicando a pro-</p><p>priedade D2 do capítulo 1, que afirma que a derivada do produto de uma constante por</p><p>uma função é o produto da constante pela derivada da função, temos que:</p><p>( ) ( )</p><p>y</p><p>yx</p><p>y</p><p>yx</p><p>y</p><p>yxf</p><p>y</p><p>z</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂ 5</p><p>5</p><p>55.),(</p><p>Já vimos que a derivada de y5 em relação à variável y é 5y5−1 = 5y4. Sendo assim,</p><p>( ) ( ) ( ) 4545</p><p>5</p><p>5</p><p>55</p><p>55.),( yxyx</p><p>y</p><p>yx</p><p>y</p><p>yx</p><p>y</p><p>yxf</p><p>y</p><p>z ==</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>.</p><p>Exemplo 3.3. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 7x2y + 5y3 1n x.</p><p>Para derivarmos z = f (x, y) = 7x2y + 5y3 1n x em relação à variável x, imaginamos que a</p><p>variável y “funciona” como constante. Se a variável y é considerada constante, então</p><p>7y e 5y3 também “funcionam” como constantes. Vamos aplicar as propriedades D1 e D2</p><p>do capítulo 1:</p><p>D1. A derivada da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ou</p><p>subtração) das derivadas das funções. Isso também é válido para mais de duas</p><p>funções.</p><p>D2. A derivada do produto (multiplicação) de uma constante por uma função é</p><p>igual ao produto da constante pela derivada da função. Essa constante pode</p><p>ser qualquer número real.</p><p>6262626262 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>No caso, temos que:</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( )</p><p>x</p><p>xy</p><p>x</p><p>xy</p><p>x</p><p>xy</p><p>x</p><p>yx</p><p>x</p><p>xyyx</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂ ln57ln57ln57),( 3</p><p>23232</p><p>A derivada de x2 em relação à variável x é 2x2−1 = 2x.</p><p>A derivada de 1n x em relação à variável x é</p><p>x</p><p>1</p><p>.</p><p>Sendo assim,</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>x</p><p>yxy</p><p>x</p><p>yxy</p><p>x</p><p>xy</p><p>x</p><p>xy</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z 3</p><p>33</p><p>2 5141527ln57),( +=+=</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>Para derivarmos z = f (x, y) = 7x2y + 5y3 1n x = 7x2y + 5 (1n x)y3 em relação à variável y,</p><p>imaginamos que a variável x “funciona” como constante. Se a variável x é considerada</p><p>constante, então 7x2 e 5 1n x também “funcionam” como constantes. Aplicando as</p><p>propriedades D1 e D2 do capítulo 1, temos que:</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( )</p><p>y</p><p>yx</p><p>y</p><p>yx</p><p>y</p><p>xy</p><p>y</p><p>yx</p><p>y</p><p>xyyx</p><p>y</p><p>yxf</p><p>y</p><p>z</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂ 3</p><p>2</p><p>3232</p><p>ln57ln57ln57),(</p><p>A derivada de y em relação à variável y é 1.</p><p>A derivada de y3 em relação à variável y é 3y3−1 = 3y2.</p><p>Sendo assim,</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) xyxyxx</p><p>y</p><p>yx</p><p>y</p><p>yx</p><p>y</p><p>yxf</p><p>y</p><p>z ln1573ln517ln57),( 2222</p><p>3</p><p>2 +=+=</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>Exemplo 3.4. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 3y cos x + 2xseny.</p><p>Para derivarmos z = f (x, y) = 3y cos x + 2xseny em relação à variável x, imaginamos que</p><p>a variável y “funciona” como constante. Se a variável y é considerada constante,</p><p>então 3y e 2seny também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedades</p><p>D1 e D2 do capítulo 1, temos que:</p><p>6363636363Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( )</p><p>x</p><p>xseny</p><p>x</p><p>xy</p><p>x</p><p>xseny</p><p>x</p><p>xy</p><p>x</p><p>xsenyxy</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂ 2cos32cos32cos3),(</p><p>A derivada de cos x em relação à variável x é − senx.</p><p>A derivada de x em relação à variável x é 1.</p><p>Sendo assim,</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) senyysenxsenysenxy</p><p>x</p><p>xseny</p><p>x</p><p>xy</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z 231232cos3),( +−=+−=</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>Para derivarmos z = f (x, y) = 3y cos x + 2xseny em relação à variável y, imaginamos que</p><p>a variável x “funciona” como constante. Se a variável x é considerada constante,</p><p>então 3cosx e 2x também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedades</p><p>D1 e D2 do capítulo 1, temos que:</p><p>A derivada de y em relação à variável y é 1.</p><p>A derivada de seny em relação à variável y é cos y.</p><p>Sendo assim,</p><p>∂</p><p>∂</p><p>= ∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>∂ ( )</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂ ( )</p><p>∂</p><p>= ( ) + ( ) =z</p><p>y</p><p>f x,y</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>seny</p><p>y</p><p>x x y( ) cos cos cos3 2 3 1 2 3ccos cosx x y+ 2</p><p>Exemplo 3.5. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 3y4 cos x2 − 8xseny3.</p><p>Para derivarmos z = f (x, y) = 3y4 cos x2 − 8xseny3 em relação à variável x, imaginamos que</p><p>a variável y “funciona” como constante. Se a variável y é considerada constante,</p><p>então 3y4 e 8seny3 também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedades</p><p>D1 e D2 do capítulo 1, temos que:</p><p>∂</p><p>∂</p><p>= ∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>∂ −( )</p><p>∂</p><p>=</p><p>∂ ( )</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂z</p><p>x</p><p>f x,y</p><p>x</p><p>y x xseny</p><p>x</p><p>y x</p><p>x</p><p>xseny( ) cos cos3 8 3 84 2 3 4 2 33( )</p><p>∂x</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>∂ +( )</p><p>∂</p><p>=</p><p>∂ ( )</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂ ( )</p><p>∂</p><p>=z</p><p>y</p><p>f x,y</p><p>y</p><p>y x xseny</p><p>y</p><p>y x</p><p>y</p><p>xseny</p><p>y</p><p>( ) cos cos3 2 3 2</p><p>33 2cos x</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>seny</p><p>y</p><p>∂ ( )</p><p>∂</p><p>+</p><p>∂ ( )</p><p>∂</p><p>6464646464 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>( ) ( )</p><p>x</p><p>xseny</p><p>x</p><p>xy</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z</p><p>∂</p><p>∂−</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂ 3</p><p>2</p><p>4 8cos3),(</p><p>A derivada de cos x2 em relação à variável x é − (x2)’ senx2 = − 2xsenx2. Trata-se de</p><p>uma função composta que, segundo tabela dada no capítulo 2, é derivada por</p><p>(cos u)’ = − u’senu. No caso, u = x2 e u’ é a derivada de u em relação à variável x, ou</p><p>seja, u’ = 2x.</p><p>A derivada de x em relação à variável x é 1.</p><p>Sendo assim,</p><p>( ) ( ) ( ) ( )18238cos3),( 3243</p><p>2</p><p>4 senyxsenxy</p><p>x</p><p>xseny</p><p>x</p><p>xy</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z −−=</p><p>∂</p><p>∂−</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>324 86),( senysenxxy</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z −−=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>Para derivarmos z = f (x, y) = 3y4 cos x2 − 8xseny3 em relação à variável y, imaginamos que</p><p>a variável x “funciona” como constante. Se a variável x é considerada constante,</p><p>então 3cosx2 e 8x também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedades</p><p>D1 e D2 do capítulo 1, temos que:</p><p>∂</p><p>∂</p><p>= ∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>∂ −( )</p><p>∂</p><p>=</p><p>∂ ( )</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂z</p><p>y</p><p>f x,y</p><p>y</p><p>y x xseny</p><p>y</p><p>y x</p><p>y</p><p>xseny( ) cos cos3 8 3 84 2 3 4 2 33</p><p>2</p><p>4 3</p><p>3 8</p><p>( )</p><p>∂</p><p>=</p><p>∂ ( )</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂ ( )</p><p>∂y</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>seny</p><p>y</p><p>cos</p><p>A derivada de y4 em relação à variável y é 4y4−1 = 4y3.</p><p>A derivada de seny3 em relação à variável y é (y3)’cosy3 = 3y2 cosy3. Trata-se de uma função</p><p>composta que, segundo tabela dada no capítulo 2, é derivada por (senu)’ = u’ cos u. No</p><p>caso, u = y3 e u’ é a derivada de u em relação à variável y, ou seja, u’ = 3y2.</p><p>Sendo assim,</p><p>∂</p><p>∂</p><p>= ∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>∂ ( )</p><p>∂</p><p>−</p><p>∂ ( )</p><p>∂</p><p>= ( ) −z</p><p>y</p><p>f x,y</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>seny</p><p>y</p><p>x y x y( ) cos cos3 8 3 4 8 32</p><p>4 3</p><p>2 3 22 3</p><p>3 2 2 312 24</p><p>cos</p><p>( ) cos cos</p><p>y</p><p>z</p><p>y</p><p>f x,y</p><p>y</p><p>y x xy y</p><p>( )</p><p>∂</p><p>∂</p><p>= ∂</p><p>∂</p><p>= −</p><p>6565656565Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis</p><p>Exemplo 3.6. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = e8x3+y5.</p><p>A derivada de z = f (x, y) = e8x3+y5 em relação à variável x é indicada por:</p><p>( )</p><p>x</p><p>e</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z yx</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂ + 538),(</p><p>Para derivarmos e8x3+y5 em relação à variável x, imaginamos que a variável y “funciona”</p><p>como constante e, consequentemente, y5 também “funciona” como constante. Sendo</p><p>assim, a derivada de y5 em relação à variável x é zero.</p><p>Além disso, trata-se de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo</p><p>2, é derivada por (eu)’ = u’eu. Ou seja, a derivada de e8x3+y5 em relação à variável x é</p><p>( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 5353535353 82828,5,38,5,38,53 24.03.888)8( yxyxyxyxyx exexeyxeyxeyx +++++ =+=+=+=+</p><p>Logo,</p><p>( ) 538</p><p>53</p><p>2</p><p>8</p><p>24),( yx</p><p>ex</p><p>x</p><p>e</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z yx</p><p>+</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂ +</p><p>A derivada de z = f (x, y) = e8x3+y5 em relação à variável y é indicada por:</p><p>( )</p><p>y</p><p>e</p><p>y</p><p>yxf</p><p>y</p><p>z yx</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂ + 538),(</p><p>Para derivarmos e8x3+y5 em relação à variável y, imaginamos que a variável x “funciona”</p><p>como constante e, consequentemente, 8x3 também “funciona” como constante. Sendo</p><p>assim, a derivada de 8x3 em relação à variável y é zero.</p><p>Além disso, trata-se de uma função composta que, segundo tabela dada no capítulo 2,</p><p>é derivada por (eu)’ = u’eu. Ou seja, a derivada de e8x3+y5</p><p>em relação à variável y é</p><p>( ) ( )( ) ( ) 53535353 84848,5,38,53 5508)8( yxyxyxyx eyeyeyxeyx ++++ =+=+=+ .</p><p>Logo,</p><p>( ) 538</p><p>53</p><p>4</p><p>8</p><p>5),( yx</p><p>ey</p><p>y</p><p>e</p><p>y</p><p>yxf</p><p>y</p><p>z yx</p><p>+</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂ +</p><p>6666666666 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exemplo 3.7. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = ey3 1n(5x2 + 6x).</p><p>Para derivarmos z = f (x, y) = ey3 1n(5x2 + 6x) em relação à variável x, imaginamos que a</p><p>variável y “funciona” como constante. Logo, ey3 também “funciona” como constan-</p><p>te. Aplicando a propriedade D2 do capítulo 1, ou seja, a derivada do produto de</p><p>uma constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função,</p><p>temos que:</p><p>( )( ) ( )( )</p><p>x</p><p>xxe</p><p>x</p><p>xxe</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z y</p><p>y</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂ 65ln65ln.),( 22</p><p>3</p><p>3</p><p>A derivada de 1n(5x2 + 6x) em relação à variável x é</p><p>( )</p><p>xx</p><p>x</p><p>xx</p><p>xx</p><p>65</p><p>610</p><p>65</p><p>65</p><p>22</p><p>,2</p><p>+</p><p>+=</p><p>+</p><p>+ ,</p><p>pois 1n(5x2 + 6x) é uma função composta de x que, segundo a tabela dada no capítulo</p><p>2, é derivada por</p><p>( )</p><p>u</p><p>uu</p><p>,</p><p>,ln = .</p><p>No caso, u = 5x2 + 6x e u’ é a derivada de u em relação à variável x, ou seja,</p><p>u’ = (5x2 + 6x)’ = (5x2)’ + (6x)’ = 5(x2)’ + 6(x)’ = 5(2x) + 6(1) = 10x +6.</p><p>Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável x:</p><p>( )( )</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>+=</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>xx</p><p>xe</p><p>x</p><p>xxe</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z yy</p><p>65</p><p>61065ln),(</p><p>2</p><p>2</p><p>33</p><p>Podemos colocar a constante 2 em evidência no numerador e x em evidência no deno-</p><p>minador:</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>+=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>+=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>65</p><p>352</p><p>)65(</p><p>)35(2</p><p>65</p><p>610),(</p><p>3</p><p>33</p><p>2 x</p><p>x</p><p>x</p><p>e</p><p>xx</p><p>xe</p><p>xx</p><p>xe</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z y</p><p>yy</p><p>6767676767Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis</p><p>Para derivarmos z = f (x, y) = ey3 1n(5x2 + 6x) em relação à variável y, imaginamos que a</p><p>variável x “funciona” como constante. Logo, 1n(5x2 + 6x) também “funciona” como</p><p>constante. Aplicando a propriedade D2 do capítulo 1, ou seja, a derivada do produto</p><p>de uma constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função,</p><p>temos que:</p><p>( )( ) ( ) ( )</p><p>y</p><p>exx</p><p>y</p><p>xxe</p><p>y</p><p>yxf</p><p>y</p><p>z yy</p><p>∂</p><p>∂+=</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>33</p><p>65ln65ln.),( 2</p><p>2</p><p>A derivada de ey3 em relação à variável y é (y3)’ey3 = 3y2 ey3, pois ey3 é uma função</p><p>composta de y que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é derivada por (eu)’ = u’eu. No</p><p>caso, u = y3 e u’ é a derivada de u em relação à variável y, ou seja, u’ = (y3)’ = 3y2.</p><p>Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável y:</p><p>( ) ( ) ( )( )( ) ( )xxeyeyxx</p><p>y</p><p>exx</p><p>y</p><p>yxf</p><p>y</p><p>z yy</p><p>y</p><p>65ln3365ln65ln),( 22222 33</p><p>3</p><p>+=+=</p><p>∂</p><p>∂+=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>Exemplo 3.8. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = arctg(10x3 +3y4).</p><p>Para derivarmos z = f (x, y) = arctg(10x3 + 3y4) em relação à variável x, imaginamos</p><p>que a variável y “funciona” como constante. Logo, 3y4 também “funciona” como</p><p>constante.</p><p>Essa derivada parcial é indicada por:</p><p>( )( )</p><p>x</p><p>yxarctg</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂ 43 310),(</p><p>A derivada de arctg(10x3 + 3y4) em relação à variável x é</p><p>( )</p><p>243</p><p>2</p><p>243</p><p>,43</p><p>)310(1</p><p>30</p><p>)310(1</p><p>310</p><p>yx</p><p>x</p><p>yx</p><p>yx</p><p>++</p><p>=</p><p>++</p><p>+</p><p>,</p><p>pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é</p><p>derivada por ( ) 2</p><p>,</p><p>,</p><p>1 u</p><p>uarctgu</p><p>+</p><p>= . No caso, u = 10x3 + 3y4 e u’ é a derivada de u em relação</p><p>à variável x, ou seja, u’ = (10x3 + 3y4)’ = (10x3)’ + (3y4)’ = 10(x3)’ + (3y4)’ = 10(3x2) + (0) = 30x2.</p><p>Lembre-se que a derivada de 3y4 em relação à variável x é zero.</p><p>6868686868 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável x:</p><p>( )( )</p><p>243</p><p>243</p><p>)310(1</p><p>30310),(</p><p>yx</p><p>x</p><p>x</p><p>yxarctg</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z</p><p>++</p><p>=</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>Para derivarmos z = f (x, y) = arctg(10x3 +3y4) em relação à variável y, imaginamos que a</p><p>variável x “funciona” como constante. Logo, 10x3 também “funciona” como constante.</p><p>Essa derivada parcial é indicada por:</p><p>( )( )</p><p>y</p><p>yxarctg</p><p>y</p><p>yxf</p><p>y</p><p>z</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂ 43 310),(</p><p>A derivada de arctg(10x3 +3y4) em relação à variável y é</p><p>( )</p><p>243</p><p>3</p><p>243</p><p>,43</p><p>)310(1</p><p>12</p><p>)310(1</p><p>310</p><p>yx</p><p>y</p><p>yx</p><p>yx</p><p>++</p><p>=</p><p>++</p><p>+</p><p>,</p><p>pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é</p><p>derivada por ( ) 2</p><p>,</p><p>,</p><p>1 u</p><p>uarctgu</p><p>+</p><p>= . No caso, u = 10x3 +3y4 e u’ é a derivada de u em relação</p><p>à variável y, ou seja, u’ = (10x3 + 3y4)’ = (10x3)’ + 3(y4)’ = (0) + 3(4y3) = 12y3. Lembre-se que</p><p>a derivada de 10x3 em relação à variável y é zero.</p><p>Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável y:</p><p>( )( )</p><p>243</p><p>343</p><p>)310(1</p><p>12310),(</p><p>yx</p><p>y</p><p>y</p><p>yxarctg</p><p>y</p><p>yxf</p><p>y</p><p>z</p><p>++</p><p>=</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>Exemplo 3.9. Calcule as derivadas parciais de .2),( 33 yx</p><p>senyxyxfz</p><p>+</p><p>+==</p><p>A derivada parcial de 33</p><p>2),(</p><p>yx</p><p>senyxyxfz</p><p>+</p><p>+== em relação à variável x é indicada por:</p><p>x</p><p>yx</p><p>senyx</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z</p><p>∂</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>+∂</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂ 33</p><p>2</p><p>),(</p><p>6969696969Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis</p><p>Para prosseguirmos com essa derivada, utilizamos a propriedade D4 vista no capítulo</p><p>1, relativa à derivação do quociente (divisão) de duas funções:</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( )233</p><p>33</p><p>33</p><p>33 .2.22</p><p>),(</p><p>yx</p><p>x</p><p>yxsenyxyx</p><p>x</p><p>senyx</p><p>x</p><p>yx</p><p>senyx</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z</p><p>+</p><p>∂</p><p>+∂+−+</p><p>∂</p><p>+∂</p><p>=</p><p>∂</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>+∂</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>Sabemos a que derivada da soma das funções é a soma da derivada de duas funções</p><p>(propriedade D1 do capítulo 1) e que a derivada do produto de uma constante por</p><p>uma função é o produto da constante pela derivada da função (propriedade D2 do</p><p>capítulo 1). Sendo assim:</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( )</p><p>x</p><p>seny</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>seny</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>senyx</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>+∂ 222</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>yx</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>+∂ 3333</p><p>A derivada de x em relação à variável x é 1.</p><p>A derivada de seny em relação à variável x é 0.</p><p>A derivada de x3 em relação à variável x é 3x2.</p><p>A derivada de y3 em relação à variável x é 0.</p><p>Logo,</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20)1(2222 =+=</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>+∂</p><p>x</p><p>seny</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>seny</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>senyx</p><p>( ) ( ) ( ) 22</p><p>3333</p><p>303 xx</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>yx =+=</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>+∂</p><p>Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável x:</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( )</p><p>( ) ( )( )</p><p>( )233</p><p>233</p><p>233</p><p>33</p><p>33</p><p>322.2.2</p><p>yx</p><p>xsenyxyx</p><p>yx</p><p>x</p><p>yxsenyxyx</p><p>x</p><p>senyx</p><p>x</p><p>z</p><p>+</p><p>+−+=</p><p>+</p><p>∂</p><p>+∂+−+</p><p>∂</p><p>+∂</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>( ) ( )</p><p>( )233</p><p>233 232</p><p>yx</p><p>senyxxyx</p><p>x</p><p>z</p><p>+</p><p>+−+=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>7070707070 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>A derivada parcial de 33</p><p>2),(</p><p>yx</p><p>senyxyxfz</p><p>+</p><p>+== em relação à variável y é indicada por:</p><p>y</p><p>yx</p><p>senyx</p><p>y</p><p>yxf</p><p>y</p><p>z</p><p>∂</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>+∂</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂ 33</p><p>2</p><p>),(</p><p>Para prosseguirmos com essa derivada, utilizamos a propriedade D4 vista no ca-</p><p>pítulo 1, relativa à derivação do quociente (divisão) de duas funções:</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( )233</p><p>33</p><p>33</p><p>33 .2.22</p><p>),(</p><p>yx</p><p>y</p><p>yxsenyxyx</p><p>y</p><p>senyx</p><p>y</p><p>yx</p><p>senyx</p><p>y</p><p>yxf</p><p>y</p><p>z</p><p>+</p><p>∂</p><p>+∂+−+</p><p>∂</p><p>+∂</p><p>=</p><p>∂</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>+∂</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>Sabemos que a derivada da soma</p><p>das funções é a soma da derivada de duas funções</p><p>(propriedade D1 do capítulo 1) e que a derivada do produto de uma constante por</p><p>uma função é o produto da constante pela derivada da função (propriedade D2 do</p><p>capítulo 1). Sendo assim:</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>y</p><p>seny</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>senyx</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>+∂ 22</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>yx</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>+∂ 3333</p><p>A derivada de 2x em relação à variável y é 0.</p><p>A derivada de seny em relação à variável y é cosy.</p><p>A derivada de x3 em relação à variável y é 0.</p><p>A derivada de y3 em relação à variável y é 3y2.</p><p>Logo,</p><p>( ) ( ) ( ) yy</p><p>y</p><p>seny</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>senyx coscos022 =+=</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>+∂</p><p>7171717171Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis</p><p>Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável y:</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( )</p><p>( )( ) ( )( )</p><p>( )233</p><p>233</p><p>233</p><p>33</p><p>33</p><p>32cos</p><p>.2.2</p><p>yx</p><p>ysenyxyxy</p><p>yx</p><p>y</p><p>yxsenyxyx</p><p>y</p><p>senyx</p><p>y</p><p>z</p><p>+</p><p>+−+=</p><p>+</p><p>∂</p><p>+∂+−+</p><p>∂</p><p>+∂</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>( ) ( )</p><p>( )233</p><p>233 23cos</p><p>yx</p><p>senyxyyyx</p><p>y</p><p>z</p><p>+</p><p>+−+=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>Exemplo 3.10. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x3 y4 1n(x2 + y2).</p><p>Para derivarmos z = f (x, y) = x3 y4 1n(x2 + y2) em relação à variável x, imaginamos que</p><p>a variável y “funciona” como constante. Logo, y4 “funciona” como uma constante que</p><p>multiplica x31n(x2 + y2).</p><p>Aplicando a propriedade D2 do capítulo 1, enunciada como “a derivada do produto</p><p>da constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função”,</p><p>temos que:</p><p>( )( ) ( )( )</p><p>x</p><p>yxxy</p><p>x</p><p>yxyx</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂ 223</p><p>4</p><p>2243 lnln),(</p><p>Para prosseguirmos com a derivada parcial de z em relação à variável x, temos de usar</p><p>a propriedade D3 do capítulo 1, que afirma que a derivada do produto de duas funções</p><p>é igual à soma do produto entre a derivada da primeira função e a segunda função com</p><p>o produto entre a primeira função e a derivada da segunda função. Vejamos:</p><p>( )( ) ( ) ( )( )</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>∂</p><p>+∂++</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>x</p><p>yxxyx</p><p>x</p><p>xy</p><p>x</p><p>yxxy</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z 22</p><p>322</p><p>3</p><p>4</p><p>223</p><p>4 lnln)(ln),(</p><p>A derivada de x3 em relação à variável x é 3x3−1 = 3x2.</p><p>A derivada de 1n(x2 + y2) em relação à variável x é</p><p>( )</p><p>2222</p><p>,22 2</p><p>yx</p><p>x</p><p>yx</p><p>yx</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p>,</p><p>7272727272 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é</p><p>derivada por ( ) .ln</p><p>,</p><p>,</p><p>u</p><p>uu = No caso, u = x2 + y2 e u’ é a derivada de u em relação à variável</p><p>x, ou seja, u’ = (x2 + y2)’ = (x2)’ + (y2)’ = 2x +0 = 2x. Lembre-se que a derivada de y2 em</p><p>relação à variável x é zero.</p><p>Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável x:</p><p>( ) ( )( ) ( ) ( ) �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>++=�</p><p>�</p><p>�</p><p>∂</p><p>+∂++</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>22</p><p>32224</p><p>22</p><p>322</p><p>3</p><p>4 2ln3lnln)(),(</p><p>yx</p><p>xxyxxy</p><p>x</p><p>yxxyx</p><p>x</p><p>xy</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z</p><p>( ) �</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>++=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>22</p><p>4</p><p>2224 2ln3),(</p><p>yx</p><p>xyxxy</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z</p><p>A derivada parcial em relação à variável x já foi terminada, mas, para darmos a resposta</p><p>final, ainda podemos “colocar x2 em evidência”:</p><p>( ) ( ) �</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>++=�</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>++=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>22</p><p>2</p><p>2242</p><p>22</p><p>2</p><p>2224 2ln32ln3),(</p><p>yx</p><p>xyxyx</p><p>yx</p><p>xyxxy</p><p>x</p><p>yxf</p><p>x</p><p>z</p><p>Para derivarmos z = f (x, y) = x3 y4 1n(x2 + y2) em relação à variável y, imaginamos que a</p><p>variável x “funciona” como constante. Logo, x3 “funciona” como uma constante que</p><p>multiplica y4 1n(x2 + y2).</p><p>Aplicando a propriedade D2 do capítulo 1, enunciada como “a derivada do produto</p><p>da constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função”,</p><p>temos que:</p><p>( )( ) ( )( )</p><p>y</p><p>yxyx</p><p>y</p><p>yxyx</p><p>y</p><p>yxf</p><p>y</p><p>z</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂ 224</p><p>3</p><p>2243 ln.ln.),(</p><p>Para prosseguirmos com a derivada parcial de z em relação à variável y, temos de usar</p><p>a propriedade D3 do capítulo 1, que afirma que a derivada do produto de duas funções</p><p>é igual à soma do produto entre a derivada da primeira função e a segunda função com</p><p>o produto entre a primeira função e a derivada da segunda função. Vejamos:</p><p>( )( ) ( ) ( ) ( )( )</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>∂</p><p>+∂++</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>+∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>y</p><p>yxyyx</p><p>y</p><p>yx</p><p>y</p><p>yxyx</p><p>y</p><p>yxf</p><p>y</p><p>z 22</p><p>422</p><p>4</p><p>3</p><p>224</p><p>3 lnlnln),(</p><p>7373737373Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis</p><p>A derivada de y4 em relação à variável y é 4y4−1 = 4y3.</p><p>A derivada de 1n(x2 + y2) em relação à variável y é</p><p>( )</p><p>2222</p><p>,22 2</p><p>yx</p><p>y</p><p>yx</p><p>yx</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p>,</p><p>pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é</p><p>derivada por ( ) .ln</p><p>,</p><p>,</p><p>u</p><p>uu = No caso, u = x2 + y2 e u’ é a derivada de u em relação à variável</p><p>y, ou seja, u’ = (x2 + y2)’ = (x2)’ + (y2)’ = 0 + 2y = 2y. Lembre-se que a derivada de x2 em</p><p>relação à variável y é zero.</p><p>Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável y:</p><p>( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>++=�</p><p>�</p><p>�</p><p>∂</p><p>+∂++</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>22</p><p>42233</p><p>22</p><p>422</p><p>4</p><p>3 2ln4lnln),(</p><p>yx</p><p>yyyxyx</p><p>y</p><p>yxyyx</p><p>y</p><p>yx</p><p>y</p><p>yxf</p><p>y</p><p>z</p><p>( ) �</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>++=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>22</p><p>5</p><p>2233 2ln4),(</p><p>yx</p><p>yyxyx</p><p>y</p><p>yxf</p><p>y</p><p>z</p><p>A derivada parcial em relação à variável y já foi terminada, mas, para darmos a resposta</p><p>final, ainda podemos “colocar 2y3 em evidência”:</p><p>( ) ( ) �</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>++=�</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>++=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>22</p><p>2</p><p>2233</p><p>22</p><p>2</p><p>2233 ln22ln22),(</p><p>yx</p><p>yyxyx</p><p>yx</p><p>yyxyx</p><p>y</p><p>yxf</p><p>y</p><p>z</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 3.Exercícios Propostos – Capítulo 3.Exercícios Propostos – Capítulo 3.Exercícios Propostos – Capítulo 3.Exercícios Propostos – Capítulo 3.</p><p>Exercício 3.1. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x7 + y8.</p><p>Exercício 3.2. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x3 y11.</p><p>Exercício 3.3. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 4x3y + 5x5 1n y.</p><p>7474747474 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exercício 3.4. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 5x2 cos y + 3 ysenx.</p><p>Exercício 3.5. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 7y5 cos x3 − 4x2 seny4.</p><p>Exercício 3.6. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = e9y3 + e3x5.</p><p>Exercício 3.7. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = e9y3+ 3x5.</p><p>Exercício 3.8. Calcule as derivadas parciais de .),( 22 yxyxfz +==</p><p>Exercício 3.9. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = ex3+ 5x 1n (3y2 + 8).</p><p>Exercício 3.10. Calcule as derivadas parciais de .</p><p>3</p><p>6),(</p><p>4</p><p>5</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+== yxarcsenyxfz</p><p>Exercício 3.11. Calcule as derivadas parciais de .</p><p>4</p><p>5cos2),( 24 yx</p><p>senxyyxfz</p><p>+</p><p>+==</p><p>Exercício 3.12. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 5x2y5 1n(3x2 + y4).</p><p>Exercício 3.13. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = xy7 + cot g(x2 + x4).</p><p>Exercício 3.14. Calcule as derivadas parciais de .</p><p>1</p><p>sec),( 2</p><p>3</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>==</p><p>x</p><p>yyxfz</p><p>Exercício 3.15. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 5cos x + seny.</p><p>RRRRRespostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3.espostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3.espostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3.espostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3.espostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3.</p><p>Exercício 3.1.</p><p>76 87 y</p><p>y</p><p>fex</p><p>x</p><p>f =</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>Exercício 3.2.</p><p>∂</p><p>∂</p><p>= ∂</p><p>∂</p><p>=f</p><p>x</p><p>x y e f</p><p>y</p><p>x y3 112 11 3 10</p><p>7575757575Capítulo 3 - Derivadas</p><p>Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis</p><p>Exercício 3.3. ∂</p><p>∂</p><p>= +( ) ∂</p><p>∂</p><p>= +</p><p>⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟</p><p>f</p><p>x</p><p>x y x y f</p><p>y</p><p>x x</p><p>y</p><p>2 2 3</p><p>2</p><p>12 25 4 5ln e</p><p>Exercício 3.4.</p><p>∂</p><p>∂</p><p>f</p><p>x = 10x cos y + 3y cosx e ∂</p><p>∂</p><p>f</p><p>y</p><p>= − 5x2 seny + 3 senx</p><p>Exercício 3.5.</p><p>∂</p><p>∂</p><p>f</p><p>x = − 21x2 y5 senx3 − 8 xseny 3 e ∂</p><p>∂</p><p>f</p><p>y</p><p>= 35y4 cos x3 − 16x2 y3 cos y4</p><p>Exercício 3.6.</p><p>∂</p><p>∂</p><p>f</p><p>x = 15x4 e3x5 e ∂</p><p>∂</p><p>f</p><p>y</p><p>= 27y2 e9y3</p><p>Exercício 3.7.</p><p>∂</p><p>∂</p><p>f</p><p>x = 15x4 e9y3+ 3x5 e ∂</p><p>∂</p><p>f</p><p>y</p><p>= 27y2 e9y3+ 3x5</p><p>Exercício 3.8.</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>+</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>+</p><p>f</p><p>x</p><p>x</p><p>x y</p><p>f</p><p>y</p><p>y</p><p>x y2 2 2 2</p><p>e</p><p>Exercício 3.9.</p><p>∂</p><p>∂</p><p>= + + ∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p>+f</p><p>x</p><p>x y f</p><p>y</p><p>ye</p><p>y</p><p>x x</p><p>x x</p><p>( ) .ln( )3 5 3 8 6</p><p>3 8</p><p>2 5 2</p><p>5</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>e e</p><p>Exercício 3.10. 24</p><p>5</p><p>3</p><p>24</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>613</p><p>4</p><p>3</p><p>61</p><p>30</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+−</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+−</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>yx</p><p>y</p><p>y</p><p>fe</p><p>yx</p><p>x</p><p>x</p><p>f</p><p>Exercício 3.11.</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>+( ) − +( )</p><p>+( )</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>−f</p><p>x</p><p>x x y x y senx</p><p>x y</p><p>f</p><p>y</p><p>seny x5 4 4 2 5</p><p>4</p><p>24 2 3</p><p>4 2 2</p><p>4cos cos</p><p>e</p><p>++( ) − +( )</p><p>+( )</p><p>4 8 2 5</p><p>4</p><p>2</p><p>4 2 2</p><p>y y y senx</p><p>x y</p><p>cos</p><p>Exercício 3.12.</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>++=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>++=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>242</p><p>4</p><p>4242</p><p>242</p><p>2</p><p>425</p><p>3</p><p>43ln55</p><p>3</p><p>33ln10</p><p>yx</p><p>yyxyx</p><p>y</p><p>fe</p><p>yx</p><p>xyxxy</p><p>x</p><p>f</p><p>7676767676 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exercício 3.13. ( ) ( ) 642237 7seccos42 xy</p><p>y</p><p>fexxxxy</p><p>x</p><p>f =</p><p>∂</p><p>∂++−=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>Exercício 3.14.</p><p>∂</p><p>∂</p><p>= −</p><p>+( ) +</p><p>⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟ +</p><p>⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>+</p><p>f</p><p>x</p><p>xy</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>tg y</p><p>x</p><p>f</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>2</p><p>1 1 1</p><p>33</p><p>2 2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>sec e</p><p>11 1 1</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2( ) +</p><p>⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟ +</p><p>⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟sec y</p><p>x</p><p>tg y</p><p>x</p><p>Exercício 3.15.</p><p>∂</p><p>∂</p><p>f</p><p>x = (− senx)5cos x + seny.1n 5 e ∂</p><p>∂</p><p>f</p><p>y</p><p>= (cos y)5cos x + seny.1n 5</p><p>Capítulo 4Capítulo 4Capítulo 4Capítulo 4Capítulo 4</p><p>Integrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela</p><p>Podemos pensar na integração como o processo contrário da derivação, também co-</p><p>nhecido como antiderivação.</p><p>Vejamos um exemplo: dada a função f (x) = x2, queremos determinar outra função,</p><p>chamada de F(x), cuja derivada seja f (x) = x2, ou F’(x) = f (x). Em outras palavras,</p><p>queremos achar a função F(x) que é a primitiva (integral) de f (x) = x2.</p><p>Será que F(x) poderia ser a função “x elevado ao cubo”, ou seja, F(x) = x3 ?</p><p>A derivada de F(x) = x3 é a função 3x3, pois</p><p>213, 33)( xx</p><p>dx</p><p>dFxF === − .</p><p>Ou seja, a derivada de F(x) = x3 não é exatamente x2, mas é “quase isso”.</p><p>Vamos tentar a função</p><p>3</p><p>)(</p><p>3xxF = ?</p><p>A derivada de</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>)( xxxF ==</p><p>é a função x2, pois</p><p>( ) 2213,3</p><p>,3</p><p>, 3</p><p>3</p><p>13</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>)( xxxxx</p><p>dx</p><p>dFxF ====��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>== −</p><p>.</p><p>7878787878 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Ou seja, a derivada de</p><p>3</p><p>)(</p><p>3xxF = é exatamente x2.</p><p>Será que existe outra função F(x), além de</p><p>3</p><p>)(</p><p>3xxF = , cuja derivada seja f (x) = x2?</p><p>Vamos tentar 5</p><p>3</p><p>)(</p><p>3</p><p>+= xxF . A derivada de 5</p><p>3</p><p>)(</p><p>3</p><p>+= xxF também é a função x2, pois</p><p>( ) 2213,</p><p>,3,3</p><p>, 3</p><p>3</p><p>103</p><p>3</p><p>15</p><p>3</p><p>5</p><p>3</p><p>)( xxxxx</p><p>dx</p><p>dFxF ==+=+��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+== −</p><p>,</p><p>lembrando que a derivada da constante 5 é zero.</p><p>Poderíamos ter testado, por exemplo,</p><p>4</p><p>3</p><p>3</p><p>)(</p><p>3</p><p>−= xxF e, novamente, obteríamos como</p><p>derivada f (x) = x2.</p><p>Pensando em termos mais gerais, qualquer função do tipo CxxF +=</p><p>3</p><p>)(</p><p>3</p><p>, sendo C</p><p>uma constante, tem como derivada f (x) = x2. A constante C pode ser qualquer número</p><p>real (positivo, negativo, inteiro, fracionário, racional ou irracional).</p><p>O processo descrito anteriormente é chamado de integração indefinida, ou apenas</p><p>integração. A integral indefinida da função f (x) = x2 é indicada por</p><p>� � +== Cxdxxdxxf</p><p>3</p><p>)(</p><p>3</p><p>2 .</p><p>Lemos que a integral de “x elevado ao quadrado” é “x elevado ao cubo, sobre 3”, mais</p><p>a constante de integração C.</p><p>A integral indefinida de uma função f (x) é indicada por � += CxFdxxf )()( . A função</p><p>F(x) é dita primitiva de f (x).</p><p>Vejamos...</p><p>• � � +== Cxdxdx 1 ,</p><p>pois a derivada de x + C, em relação à variável x, é 1.</p><p>7979797979Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela</p><p>• � � +== − Cxdxxdx</p><p>x</p><p>ln1 1 ,</p><p>pois a derivada de 1n|x|+ C , em relação à variável x, é</p><p>x</p><p>1 .</p><p>• � +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>, pois a derivada de C</p><p>n</p><p>xn</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>1</p><p>1</p><p>, em relação à variável x, é</p><p>n</p><p>n</p><p>x</p><p>n</p><p>xn =</p><p>+</p><p>+ −+</p><p>1</p><p>)1( 11</p><p>.</p><p>• � += Cedxe xx , pois a derivada de ex, em relação à variável x, é ex.</p><p>• � +−= Cxsenxdx cos , pois a derivada de − cos x, em relação à variável x, é</p><p>− (− senx) = senx.</p><p>• � += Csenxxdxcos , pois a derivada de senx, em relação à variável x, é cos x.</p><p>• � += Ctgxxdx2sec , pois a derivada de tgx, em relação à variável x, é sec2 x.</p><p>• � +−= Cgxxdx cotseccos 2 , pois a derivada de − cot gx, em relação à variável</p><p>x, é cos sec2 x.</p><p>• � += Cxtgxdxx sec.sec , pois a derivada de sec x, em relação à variável x, é</p><p>sec x.tgx.</p><p>• � +−= Cxgxdxx seccoscot.seccos , pois a derivada de − cos sec x, em relação</p><p>à variável x, é − (− cos sec x) = − (− cos sec . cot gx) = cos sec x . cot gx.</p><p>Seguindo o raciocínio anterior, podemos elaborar a tabela de integrais imediatas que</p><p>segue.</p><p>8080808080 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Tabela de integrais imediatas</p><p>Há duas propriedades designadas como P1 e P2 que podem ser usadas para resolver</p><p>integrais:</p><p>• P1. � � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( ,</p><p>• P2. � �= dxxfkdxxfk )(.)(. , sendo k uma constante.</p><p>A propriedade P1 afirma que a integral da soma (ou subtração) de duas funções é igual</p><p>à soma (ou subtração) das integrais de cada uma das funções. Essa propriedade tam-</p><p>bém é válida para mais de duas funções.</p><p>A propriedade P2 afirma que a integral de uma constante multiplicada por uma função</p><p>é igual à constante multiplicada pela integral da função.</p><p>Nos exemplos que seguem, chamaremos de “integrais diretíssimas da tabela” as que</p><p>estão na tabela de integrais imediatas ou que, para serem resolvidas, dependem das</p><p>propriedades P1 e P2.</p><p>8181818181Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela</p><p>Exemplo 4.1. Calcule .5� dxx</p><p>Esse é um dos casos mais simples de uso diretíssimo da tabela de integrais. Temos de</p><p>integrar uma função do tipo “base x elevada à 5ª potência”, lida apenas como “x</p><p>elevado a 5”.</p><p>Da tabela, temos que</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>.</p><p>No caso, n = 5. Ou seja, a integral de “x elevado a 5” é “x elevado a 5 + 1, dividido por</p><p>5 + 1”, resultando em “x elevado a 6, dividido por 6”, além da constante de integração,</p><p>conforme segue.</p><p>� +=+</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>CxCxdxx</p><p>615</p><p>615</p><p>5</p><p>Exemplo 4.2. Calcule .7�</p><p>− dxx</p><p>Esse também é um caso de uso diretíssimo da tabela. Temos de integrar “x elevado a − 7”.</p><p>Da tabela, temos que</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>.</p><p>No caso, n = − 7. Ou seja, a integral de “x elevado a − 7” é “x elevado a − 7 + 1, dividido</p><p>pela soma − 7 + 1”, resultando em “x elevado a − 6, dividido por − 6”, além da constante</p><p>de integração, conforme segue.</p><p>C</p><p>x</p><p>CxCxdxx +−=+</p><p>−</p><p>=+</p><p>+−</p><p>=�</p><p>−+−</p><p>−</p><p>6</p><p>617</p><p>7</p><p>6</p><p>1</p><p>617</p><p>8282828282 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Lembre-se que, somando 1 a − 7, temos − 6 e não − 8! Ou seja,</p><p>a integral de x −7 é</p><p>6</p><p>6</p><p>−</p><p>−x . Na “transformação” de</p><p>6</p><p>6</p><p>−</p><p>−x em 66</p><p>1</p><p>x</p><p>−</p><p>não usamos qualquer regra de derivação: apenas aplicamos a</p><p>equivalência 61 x</p><p>x</p><p>x a</p><p>a →= −− .</p><p>Exemplo 4.3. Calcule .6</p><p>5</p><p>� dxx</p><p>Temos de integrar “x elevado à fração 5/6”. Usamos a seguinte regra da tabela:</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>.</p><p>1</p><p>1</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>No caso,</p><p>6</p><p>5=n . Ou seja, a integral de “x elevado a</p><p>6</p><p>5 ” é “x elevado a 1</p><p>6</p><p>5 + , dividido</p><p>pela soma 1</p><p>6</p><p>5 + ”, resultando em “x elevado a</p><p>6</p><p>11 , dividido por</p><p>6</p><p>11 ”, além da constante</p><p>de integração, conforme segue.</p><p>CxCxCxCxdxx +=+=++=+</p><p>+</p><p>=�</p><p>+</p><p>+</p><p>11</p><p>6</p><p>6</p><p>11</p><p>6</p><p>6516</p><p>5</p><p>6</p><p>11</p><p>6</p><p>11</p><p>6</p><p>65</p><p>16</p><p>5</p><p>6</p><p>5</p><p>Lembre-se que, para somar 5/6 com 1, devemos fazer:</p><p>6</p><p>11</p><p>6</p><p>65</p><p>6</p><p>6.151</p><p>6</p><p>5 =+=+=+ .</p><p>1</p><p>x</p><p>=</p><p>6</p><p>8383838383Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela</p><p>Exemplo 4.4. Calcule .)( 33� +− dxxx</p><p>Temos de integrar a soma de “x elevado a − 3” com “x elevado a 3”.</p><p>Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a propriedade P1, que afirma que a integral</p><p>da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ou subtração) das integrais</p><p>das funções:</p><p>.)()())()((� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf</p><p>Ou seja,</p><p>� � �+=+ −− dxxdxxdxxx 3333 )(</p><p>Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por</p><p>.</p><p>1</p><p>1</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>Logo,</p><p>� � � ++−=++</p><p>−</p><p>=+</p><p>+</p><p>+</p><p>+−</p><p>=+=+</p><p>−++−</p><p>−− Cx</p><p>x</p><p>CxxCxxdxxdxxdxxx</p><p>42</p><p>1</p><p>421313</p><p>)(</p><p>4</p><p>2</p><p>421313</p><p>3333</p><p>Observe que se integrarmos duas funções, cada uma delas</p><p>“gera” sua constante de integração. Quando somamos as inte-</p><p>grais dessas duas funções, temos a soma das constantes de</p><p>integração. Como a soma de duas constantes resulta, sempre,</p><p>em uma constante, podemos expressar essa soma como uma</p><p>“única” constante C.</p><p>Exemplo 4.5. Calcule .)37( 4� + dxx</p><p>Temos de integrar a soma de 7 com o triplo de “x elevado a 4”. Ou seja, a soma de 7 com</p><p>x4 multiplicado pela constante 3.</p><p>8484848484 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as propriedades P1 e P2, as quais, respecti-</p><p>vamente, afirmam que:</p><p>• a integral da soma (ou da subtração) de duas funções é igual à soma (ou</p><p>subtração) das integrais das funções (P1);</p><p>• a integral do produto (multiplicação) de uma constante k por uma função é</p><p>igual à constante k multiplicada pela integral da função (P2).</p><p>Ou seja,</p><p>� � �� � +=+=+ dxxdxdxxdxdxx 444 3737)37(</p><p>Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>e .� += Cxdx</p><p>Vejamos:</p><p>CxxCxxCxxdxxdxdxx ++=++=+</p><p>+</p><p>+=+=+� � �</p><p>+</p><p>5</p><p>37</p><p>5</p><p>37</p><p>14</p><p>3737)37(</p><p>5514</p><p>44</p><p>Exemplo 4.6. Calcule .)cos8(� + dxx</p><p>Temos de integrar a soma de 8 com o cosseno de x.</p><p>Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as seguintes propriedades:</p><p>� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e .)(.)(.� �= dxxfkdxxfk</p><p>Ou seja,</p><p>� � �� � +=+=+ xdxdxxdxdxdxx cos8cos8)cos8(</p><p>8585858585Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela</p><p>Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por:</p><p>� += Cxdx e .cos� += Csenxxdx</p><p>Logo,</p><p>� � � ++=+=+ Csenxxxdxdxdxx 8cos8)cos8(</p><p>Exemplo 4.7. Calcule .)3sec5( 2� + dxsenxx</p><p>Temos de integrar a soma do quíntuplo da secante ao quadrado de x com o triplo do</p><p>seno de x. Ou seja, a soma da secante ao quadrado de x multiplicada pela constante 5</p><p>com o seno de x multiplicado pela constante 3.</p><p>Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as seguintes propriedades:</p><p>� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e .)(.)(.� �= dxxfkdxxfk</p><p>Ou seja,</p><p>� � �� � +=+=+ senxdxxdxsenxdxxdxdxsenxx 3sec53sec5)3sec5( 222</p><p>Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por:</p><p>� += Ctgxxdx2sec e � +−= Cxsenxdx cos</p><p>Vejamos:</p><p>� � � +−=+−+=+=+ CxtgxCxtgxsenxdxxdxdxsenxx cos35)cos(353sec5)3sec5( 22</p><p>Exemplo 4.8. Calcule .</p><p>7</p><p>1</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� + dxxex</p><p>Temos de integrar a soma do “número neperiano e elevado a x” com “x multiplicado</p><p>pela constante 1/7”.</p><p>8686868686 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as seguintes propriedades:</p><p>� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(.</p><p>Ou seja,</p><p>� � �� � +=+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� + xdxdxexdxdxedxxe xxx</p><p>7</p><p>1</p><p>7</p><p>1</p><p>7</p><p>1</p><p>Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por:</p><p>� += Cedxe xx e � +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>Vejamos:</p><p>CxeCxeCxexdxdxedxxe xxxxx ++=++=+</p><p>+</p><p>+=+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +� � �</p><p>+</p><p>142</p><p>.</p><p>7</p><p>1</p><p>11</p><p>.</p><p>7</p><p>1</p><p>7</p><p>1</p><p>7</p><p>1 2211</p><p>Exemplo 4.9. Calcule .seccos1 2� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +− dxxx</p><p>x</p><p>Temos de integrar x</p><p>1</p><p>“menos” x “mais” a cossecante ao quadrado de x.</p><p>Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a propriedade</p><p>� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( ,</p><p>expandida para o caso de três funções.</p><p>Ou seja,</p><p>� � � �+−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +− xdxdxxdx</p><p>x</p><p>dxxx</p><p>x</p><p>212 seccos1seccos1</p><p>8787878787Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela</p><p>Desse modo, chegamos a três integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por:</p><p>� � +== − Cxdxxdx</p><p>x</p><p>ln1 1 , � +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>e � +−= Cgxxdx cotseccos 2</p><p>Vejamos:</p><p>� � � � +−−=+−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +− Cgxxxxdxdxxdx</p><p>x</p><p>dxxx</p><p>x</p><p>cot</p><p>2</p><p>lnseccos1seccos1 2</p><p>212</p><p>Exemplo 4.10. Calcule .</p><p>9</p><p>5</p><p>2� −</p><p>dx</p><p>x</p><p>Temos de integrar a função 222 3</p><p>1</p><p>9</p><p>1</p><p>xx −</p><p>=</p><p>−</p><p>multiplicada pela constante 5. Veja</p><p>que escrevemos a constante 9 como 32 a fim de nos “adequarmos” a um caso presente</p><p>na tabela de integrais.</p><p>Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a seguinte propriedade:</p><p>� �= dxxfkdxxfk )(.)(. .</p><p>Ou seja,</p><p>� � −</p><p>=</p><p>−</p><p>dx</p><p>x</p><p>dx</p><p>x 222 3</p><p>15</p><p>9</p><p>5</p><p>Desse modo, temos uma integral diretíssima da tabela, resolvida por:</p><p>.1</p><p>22� +�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�=</p><p>−</p><p>C</p><p>a</p><p>xarcsendx</p><p>xa</p><p>Vejamos:</p><p>� � +�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�=</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>Cxarcsendx</p><p>x</p><p>dx</p><p>x 3</p><p>5</p><p>3</p><p>15</p><p>9</p><p>5</p><p>222</p><p>8888888888 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo</p><p>Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exemplo 4.11. Calcule .)23(� +− dxx</p><p>Temos de integrar a soma da constante − 3 com a função exponencial de base 2 (“2</p><p>elevado a x” ou 2x).</p><p>Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as seguintes propriedades:</p><p>� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(.</p><p>Ou seja,</p><p>� � �� � +−=+−=+− dxdxdxdxdx xxx 2323)23(</p><p>Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por:</p><p>� += Cxdx e � += Ca</p><p>a</p><p>dxa xx</p><p>ln</p><p>1</p><p>Vejamos:</p><p>� � �� � ++−=+−=+−=+− Cxdxdxdxdxdx xxxx 2.</p><p>2ln</p><p>132323)23(</p><p>Observe que, na parcela dada por 2 elevado a x, ou 2x, o núme-</p><p>ro 2 não é uma constante que multiplica uma função: o número</p><p>2 é a própria base da função exponencial.</p><p>Exemplo 4.12. Calcule .cot.seccos4</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� + dxgxx</p><p>x</p><p>Podemos escrever</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� + dxgxx</p><p>x</p><p>cot.seccos4</p><p>8989898989Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela</p><p>como</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� + dxgxx</p><p>x</p><p>cot.seccos14 .</p><p>Vamos integrar a soma de</p><p>x</p><p>1 , multiplicado pela constante 4, com o produto da cossecante</p><p>de x pela cotangente de x.</p><p>Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as seguintes propriedades:</p><p>� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(.</p><p>Ou seja,</p><p>� � �� � +=+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� + gxdxxdx</p><p>x</p><p>gxdxxdx</p><p>x</p><p>dxgxx</p><p>x</p><p>cot.seccos14cot.seccos4cot.seccos4</p><p>Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por:</p><p>� � +== − Cxdxxdx</p><p>x</p><p>ln1 1 e � +−= Cxgxdxx seccoscot.seccos</p><p>Vejamos:</p><p>� � �� � +=+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� + gxdxxdx</p><p>x</p><p>gxdxxdx</p><p>x</p><p>dxgxx</p><p>x</p><p>cot.seccos14cot.seccos4cot.seccos4</p><p>� +−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� + Cxxdxgxx</p><p>x</p><p>seccosln4cot.seccos4</p><p>Embora o produto da cossecante pela cotangente possa pare-</p><p>cer complicado, a integral desse produto está na tabela de</p><p>integração. Ou seja, a integral de cosecx.cotgx é diretíssima</p><p>da tabela!</p><p>9090909090 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exemplo 4.13. Calcule .</p><p>16</p><p>7</p><p>2� −</p><p>dx</p><p>x</p><p>Podemos escrever</p><p>.</p><p>4</p><p>17</p><p>4</p><p>7</p><p>16</p><p>7</p><p>22222 � �� −</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>dx</p><p>x</p><p>dx</p><p>x</p><p>dx</p><p>x</p><p>Ou seja, temos de integrar a constante 7 multiplicada pela função 22 4</p><p>1</p><p>−x . Pela</p><p>propriedade P2, que afirma que a integral do produto de uma constante por uma função</p><p>é o produto da constante pela integral da função, a constante 7 pode ser “colocada</p><p>fora da integral”.</p><p>Ou seja,</p><p>.</p><p>4</p><p>17</p><p>4</p><p>17</p><p>16</p><p>7</p><p>22222 ��� −</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>dx</p><p>x</p><p>dx</p><p>x</p><p>dx</p><p>x</p><p>Da tabela de integrais, temos que:</p><p>� +−+=</p><p>−</p><p>Caxxdx</p><p>ax</p><p>22</p><p>22</p><p>ln1</p><p>No caso, a = 4. Logo,</p><p>CxxCxxdx</p><p>x</p><p>dx</p><p>x</p><p>+−+=+−+=</p><p>−</p><p>=</p><p>− �� 16ln74ln7</p><p>4</p><p>17</p><p>16</p><p>7 222</p><p>222</p><p>Exemplo 4.14. Calcule .</p><p>5</p><p>8</p><p>2� −</p><p>dx</p><p>x</p><p>Podemos escrever</p><p>( ) ( ) .</p><p>5</p><p>18</p><p>5</p><p>8</p><p>5</p><p>8</p><p>222 22� � �</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>dx</p><p>x</p><p>dx</p><p>x</p><p>dx</p><p>x</p><p>9191919191Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela</p><p>Veja que escrevemos a constante 5 como “a raiz quadrada de 5 elevada ao quadrado</p><p>( )255 = ”. Como veremos a seguir, fizemos isso para nos “adequarmos” a um caso</p><p>presente na tabela de integrais imediatas.</p><p>Ou seja, temos de integrar a constante 8 multiplicada pela função ( ) 2</p><p>2</p><p>5</p><p>1</p><p>x− . Pela</p><p>propriedade P2, que afirma que a integral do produto de uma constante por uma função</p><p>é o produto da constante pela integral da função, a constante 8 pode ser “colocada</p><p>fora da integral”.</p><p>Ou seja,</p><p>( ) ( ) .</p><p>5</p><p>18</p><p>5</p><p>18</p><p>5</p><p>8</p><p>222 22� ��</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>dx</p><p>x</p><p>dx</p><p>x</p><p>dx</p><p>x</p><p>Da tabela de integrais, temos que:</p><p>� +</p><p>−</p><p>+=</p><p>−</p><p>C</p><p>ax</p><p>ax</p><p>a</p><p>dx</p><p>xa</p><p>ln</p><p>2</p><p>11</p><p>22</p><p>No caso, 5=a . Logo,</p><p>( ) 5</p><p>5ln</p><p>5</p><p>4</p><p>5</p><p>5ln</p><p>52</p><p>18</p><p>5</p><p>18</p><p>5</p><p>8</p><p>22 2 −</p><p>+=</p><p>−</p><p>+=</p><p>−</p><p>=</p><p>−� � x</p><p>x</p><p>x</p><p>xdx</p><p>x</p><p>dx</p><p>x</p><p>Exemplo 4.15. Calcule .</p><p>2</p><p>cos</p><p>�</p><p>+ dxxsenx</p><p>Podemos escrever:</p><p>( ) .cos</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>cos</p><p>�� +=+ dxxsenxdxxsenx</p><p>Ou seja, temos de integrar a constante 2</p><p>1</p><p>multiplicada pela soma senx + cos x.</p><p>Vamos aplicar as seguintes propriedades:</p><p>� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e .)(.)(.� �= dxxfkdxxfk</p><p>9292929292 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Ou seja,</p><p>( ) ( ) ( )� � ��� +=+=+=+ xdxsenxdxdxxsenxdxxsenxdxxsenx cos</p><p>2</p><p>1cos</p><p>2</p><p>1cos</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>cos</p><p>Da tabela de integrais, temos que:</p><p>� +−= Cxsenxdx cos e � += Csenxxdxcos</p><p>Logo,</p><p>( ) ( ) Csenxxxdxsenxdxdxxsenx ++−=+=+</p><p>� � � cos</p><p>2</p><p>1cos</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>cos</p><p>Há como sabermos se o resultado da integral indefinida está certo?</p><p>Sim!</p><p>Como a integração é o processo inverso da derivação, se derivarmos o resultado da</p><p>integral devemos chegar à função que tínhamos de integrar!</p><p>Vejamos o caso do exemplo 4.15: integramos a função</p><p>2</p><p>cos)( xsenxxf +=</p><p>e obtivemos a função</p><p>( ) CsenxxxF ++−= cos</p><p>2</p><p>1)( .</p><p>Vamos conferir se a derivada de F(x) resulta em f (x).</p><p>Como a derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas das funções,</p><p>podemos escrever:</p><p>( ) ( ) ( ),</p><p>,,</p><p>, cos</p><p>2</p><p>1cos</p><p>2</p><p>1)( CsenxxCsenxxxF +�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� ++−=</p><p>9393939393Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela</p><p>Lembrando que a derivada da constante é zero e usando novamente que a derivada da</p><p>soma de duas funções é igual à soma das derivadas das funções, temos o seguinte:</p><p>( ) ( ) ( )( ),,,, cos</p><p>2</p><p>10cos</p><p>2</p><p>1)( senxxsenxxxF +−=++−=</p><p>As derivadas das funções cosseno e seno são obtidas diretamente da tabela de deri-</p><p>vadas:</p><p>( ) ( )( ) ( ) )(</p><p>2</p><p>coscos</p><p>2</p><p>1cos</p><p>2</p><p>1)(, xfxsenxxsenxxsenxxF =+=+=+−−=</p><p>Conclusão: a integral realmente está correta!</p><p>Ou seja, verificamos que a derivada de F(x) é exatamente a f (x).</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 4.Exercícios Propostos – Capítulo 4.Exercícios Propostos – Capítulo 4.Exercícios Propostos – Capítulo 4.Exercícios Propostos – Capítulo 4.</p><p>Exercício 4.1. Calcule .11� dxx</p><p>Exercício 4.2. Calcule .4� − dxx</p><p>Exercício 4.3. Calcule .4</p><p>3</p><p>� dxx</p><p>Exercício 4.4. Calcule .)45( 52� +− dxxx</p><p>Exercício 4.5. Calcule .)15( 3� −− dxx</p><p>Exercício 4.6. Calcule .)12(� + dxsenx</p><p>Exercício 4.7. Calcule .)cos5seccos3( 2� + dxxx</p><p>Exercício 4.8. Calcule .</p><p>3</p><p>12 2� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� + dxxex</p><p>9494949494 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exercício 4.9. Calcule .sec18 2� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +− dxx</p><p>x</p><p>x</p><p>Exercício 4.10. Calcule .</p><p>4</p><p>6</p><p>2� −</p><p>dx</p><p>x</p><p>Exercício 4.11. Calcule .)7( 7� + dxxx</p><p>Exercício 4.12. Calcule ..sec2</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� + dxtgxx</p><p>x</p><p>Exercício 4.13. Calcule .</p><p>16</p><p>3</p><p>2� −</p><p>dx</p><p>xx</p><p>Exercício 4.14. Calcule .</p><p>2</p><p>5</p><p>2� +</p><p>dx</p><p>x</p><p>Exercício 4.15. Calcule ( ) .7� + dxe xx</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 4.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 4.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 4.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 4.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 4.</p><p>Exercício 4.1. Cx +</p><p>12</p><p>12</p><p>Exercício 4.2. C</p><p>x</p><p>+−</p><p>33</p><p>1</p><p>Exercício 4.3. Cx +</p><p>7</p><p>4 4</p><p>7</p><p>Exercício</p><p>4.4. Cx</p><p>x</p><p>++−</p><p>3</p><p>25 6</p><p>Exercício 4.5. Cx</p><p>x</p><p>+−− 22</p><p>5</p><p>Exercício 4.6. 12x − cos x + C</p><p>Exercício 4.7. − 3 cot gx + 5 senx + C</p><p>Exercício 4.8. Cxex ++</p><p>9</p><p>2</p><p>3</p><p>9595959595Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela</p><p>Exercício 4.9. 4x2 − 1n|x| + tgx + C</p><p>Exercício 4.10. Cxarcsen +�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>6</p><p>Exercício 4.11. Cxx ++</p><p>8</p><p>7</p><p>7ln</p><p>1 8</p><p>Exercício 4.12. 2 1n|x| + sec x + C</p><p>Exercício 4.13. .</p><p>4</p><p>sec</p><p>4</p><p>3 Cxarc +�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Exercício 4.14. ��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>=+�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>25</p><p>22</p><p>5 xarctgCxarctg + C</p><p>Exercício 4.15. .7</p><p>7ln</p><p>1 Ce xx ++</p><p>Capítulo 5Capítulo 5Capítulo 5Capítulo 5Capítulo 5</p><p>Integrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela</p><p>Neste capítulo, são feitos exemplos de integrais que, após desenvolvimentos da fun-</p><p>ção a ser integrada, chegam a uma situação prevista na tabela de integrais imediatas.</p><p>Neste trabalho, essas integrais são chamadas de “integrais diretas da tabela”.</p><p>Exemplo 5.1. Calcule .1</p><p>5� dx</p><p>x</p><p>Para podermos usar a tabela na integração da função 5</p><p>1</p><p>x</p><p>, antes devemos “prepará-la”,</p><p>de modo que a base x fique no numerador, sem que haja alteração na função original.</p><p>Sabemos que:</p><p>1 1</p><p>5</p><p>5</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xn</p><p>n= → =− −</p><p>Ou seja,</p><p>� � −= dxxdx</p><p>x</p><p>5</p><p>5</p><p>1</p><p>Escrevendo 5</p><p>1</p><p>x como x−5, podemos usar diretamente a seguinte regra da tabela de</p><p>integrais:</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>9898989898 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Ou seja,</p><p>C</p><p>x</p><p>C</p><p>x</p><p>CxCxdxxdx</p><p>x</p><p>+−=+−=+</p><p>−</p><p>=+</p><p>+−</p><p>==� �</p><p>−+−</p><p>−</p><p>44</p><p>415</p><p>5</p><p>5 4</p><p>11.</p><p>4</p><p>1</p><p>415</p><p>1</p><p>Observe que, no caso, n, indicado na regra de integração, é − 5</p><p>e não 5!</p><p>Exemplo 5.2. Calcule .� dxx</p><p>Para podermos usar a tabela para integrar a função raiz quadrada de x, antes devemos</p><p>escrevê-la como “base x elevada a um expoente numérico”.</p><p>Sabemos que:</p><p>2</p><p>12 1 xxxxx a</p><p>ba b ==→=</p><p>Ou seja,</p><p>� �= dxxdxx 2</p><p>1</p><p>Escrevendo a raiz quadrada de x como x elevado a 1/2, podemos usar diretamente a</p><p>seguinte regra da tabela:</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>Logo,</p><p>CxCxCxCxdxxdxx +=+=++=+</p><p>+</p><p>==� �</p><p>+</p><p>+</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2112</p><p>1</p><p>232</p><p>3</p><p>2</p><p>21</p><p>12</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>9999999999Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela</p><p>Observe que n, indicado na regra de integração, é a constante ½.</p><p>Exemplo 5.3. Calcule .3 2� dxx</p><p>Este exemplo é muito parecido com o exemplo 5.2. Sendo assim, antes de usarmos a</p><p>tabela, devemos escrever a função raiz cúbica de x ao quadrado como “base x elevada</p><p>ao expoente 2/3”.</p><p>Vejamos:</p><p>3</p><p>23 2 xxxx a</p><p>ba b =→=</p><p>Ou seja,</p><p>� �= dxxdxx 3</p><p>23 2</p><p>Podemos usar diretamente a seguinte regra da tabela de integrais, com n igual a 2/3:</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>Logo,</p><p>CxCxCxCxdxxdxx +=+=++=+</p><p>+</p><p>==� �</p><p>+</p><p>+</p><p>5</p><p>3</p><p>3</p><p>5</p><p>3</p><p>3213</p><p>2</p><p>3</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>3</p><p>32</p><p>13</p><p>2</p><p>3</p><p>23 2</p><p>Exemplo 5.4. Calcule .)3( 2� + dxx</p><p>Não há regra na tabela que mostre como integrar uma função cuja base seja composta</p><p>por uma soma (no caso, a soma 3 + x) elevada a um expoente numérico.</p><p>100100100100100 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Inicialmente, podemos desenvolver essa soma ao quadrado como “o quadrado do</p><p>primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo” e,</p><p>depois, separarmos essas três parcelas em três integrais independentes.</p><p>Vejamos:</p><p>2222222 69.3.23)3(2)( xxxxxbababa ++=++=+→++=+</p><p>Ou seja,</p><p>�� ++=+ dxxxdxx )69()3( 22</p><p>Podemos, então, usar as propriedades P1 (ampliada para o caso da soma de três fun-</p><p>ções) e P2 abaixo:</p><p>� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(. .</p><p>Ou seja,</p><p>� � � � � � �� ++=++=++=+ dxxdxxdxdxxxdxdxdxxxdxx 21222 6969)69()3(</p><p>Agora, chegamos a três integrais presentes na tabela de integrais imediatas, resolvi-</p><p>das pelas seguintes regras:</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>e � += Cxdx</p><p>Logo,</p><p>CxxxCxxxdxxdxxdxdxx +++=+++=++=+ � � �� 3</p><p>39</p><p>32</p><p>6969)3(</p><p>3</p><p>2</p><p>32</p><p>212</p><p>Exemplo 5.5. Calcule .)3( 23� + dxxx</p><p>Este exemplo parte do que já foi feito no exemplo 5.4, ou seja, do desenvolvimento de</p><p>(3 + x)2 para obtermos três parcelas que se somam. Inclui-se, após o desenvolvimento,</p><p>101101101101101Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela</p><p>a multiplicação de cada uma das três parcelas por x3. Depois disso, chegaremos a três</p><p>integrais independentes, que podem ser resolvidas diretamente pela tabela.</p><p>Vejamos:</p><p>2222222 69.3.23)3(2)( xxxxxbababa ++=++=+→++=+</p><p>Multiplicando-se x3 por (3 + x)2 = 9 + 6x + x2:</p><p>54332313323132323 696969)69()3( xxxxxxxxxxxxxxxx ++=++=++=++=+ ++</p><p>Ou seja,</p><p>�� ++=+ dxxxxdxxx )69()3( 54323</p><p>Podemos, então, usar as propriedades P1 (ampliada para o caso da soma de três fun-</p><p>ções) e P2 abaixo:</p><p>� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(. .</p><p>Logo,</p><p>� � � �� ++=++=+ dxxdxxdxxdxxxxdxxx 54354323 69)69()3(</p><p>� � �� ++=+ dxxdxxdxxdxxx 54323 69)3(</p><p>Agora, chegamos a três integrais presentes na tabela de integrais imediatas, resolvi-</p><p>das pelas seguintes regras:</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>e � += Cxdx</p><p>Logo,</p><p>CxxxCxxxdxxdxxdxxdxxx +++=+++=++=+ � � �� 65</p><p>6</p><p>4</p><p>9</p><p>65</p><p>6</p><p>4</p><p>969)3(</p><p>654654</p><p>54323</p><p>102102102102102 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Observe que seria um grande erro resolvermos esse exemplo</p><p>multiplicando a integral de x3 pela integral de (3 + x)2, pois não há</p><p>propriedade que permita que a integral do produto de duas fun-</p><p>ções seja escrita como o produto das integrais de cada função.</p><p>Exemplo 5.6. Calcule .95</p><p>2</p><p>5</p><p>�</p><p>− dx</p><p>x</p><p>xx</p><p>Antes de resolvermos a integral deste exemplo, precisamos escrever a função a ser</p><p>integrada (ou seja, 5x − 9x5, dividido por x2) em uma subtração de duas parcelas. Depois</p><p>disso, chegaremos a duas integrais independentes, que podem ser resolvidas direta-</p><p>mente pela tabela.</p><p>Vejamos:</p><p>3125212521</p><p>2</p><p>5</p><p>22</p><p>5</p><p>9595959595 xxxxxxxx</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xx</p><p>−=−=−=−=</p><p>− −−−−−</p><p>No desenvolvimento acima, lembramos que o produto (multiplicação) de potências de</p><p>mesma base é a base elevada à soma das potências. Por exemplo, x1 e x-2 possuem a</p><p>mesma base x. Logo, o produto de x1 e x −2 é igual à base x elevada à soma de 1 com − 2,</p><p>ou seja, x elevado a − 1.</p><p>Ou seja,</p><p>� � −=</p><p>− − dxxxdx</p><p>x</p><p>xx )95(95 31</p><p>2</p><p>5</p><p>Feito isso, podemos usar as seguintes propriedades:</p><p>� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(.</p><p>Ou seja,</p><p>� � � � �� −=−=−=</p><p>− −−− dxxdxxdxxdxxdxxxdx</p><p>x</p><p>xx 313131</p><p>2</p><p>5</p><p>9595)95(95</p><p>103103103103103Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo</p><p>dos Exercícios Propostos – Capítulo 7. .............................................................. 149</p><p>Capítulo 8Capítulo 8Capítulo 8Capítulo 8Capítulo 8</p><p>Integrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais Definidas ............................................................................................................................................................................................................................................................................................. 151151151151151</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 8. ..................................................................................... 159</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 8. .............................................................. 160</p><p>Capítulo 9Capítulo 9Capítulo 9Capítulo 9Capítulo 9</p><p>Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de Integração ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 161161161161161</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 9 ...................................................................................... 196</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9 ............................................................... 197</p><p>VVVVVSumárioSumárioSumárioSumárioSumário</p><p>Capítulo 10Capítulo 10Capítulo 10Capítulo 10Capítulo 10</p><p>Integrais Duplas – Mudança de VariávelIntegrais Duplas – Mudança de VariávelIntegrais Duplas – Mudança de VariávelIntegrais Duplas – Mudança de VariávelIntegrais Duplas – Mudança de Variável ........................................................................................................................................................................................................................................................................................ 199199199199199</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 10 .................................................................................... 234</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10 ............................................................ 235</p><p>IntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntrodução</p><p>Este trabalho não pretende ser mais um livro de Cálculo Diferencial e Integral. Sua</p><p>intenção é auxiliar os interessados, por meio de exemplos, a aprenderem a resolver</p><p>derivadas e integrais. Em cada exemplo há uma conversa com o leitor, na qual, em</p><p>linguagem simples e direta, descreve-se o passo a passo de todas as etapas envolvi-</p><p>das na resolução de derivadas e integrais.</p><p>A estrutura da organização do texto é baseada em três grandes blocos: o das</p><p>derivadas, o das integrais simples e o das integrais duplas, conforme mostrado no</p><p>quadro abaixo.</p><p>Inicialmente, são feitos exemplos com resoluções detalhadas de derivadas de funções</p><p>simples de uma variável, incluindo o uso de propriedades de derivação relativas à</p><p>soma, ao produto e ao quociente de funções bem como ao produto de uma constante</p><p>por uma função. Em seguida, há soluções minuciosas de derivadas de funções com-</p><p>postas. Finalizando o bloco das derivadas, são abordadas várias situações envolven-</p><p>do funções de duas variáveis.</p><p>As integrais chamadas de “diretíssimas da tabela”, ou imediatas, são as que estão em</p><p>tabelas básicas de integração ou que, para serem resolvidas, dependem de duas pro-</p><p>priedades algébricas fundamentais das integrais. As integrais denominadas de “dire-</p><p>DERIVADAS</p><p>INTEGRAIS SIMPLES</p><p>INTEGRAIS DUPLAS</p><p>Derivadas de funções simples de uma variável</p><p>Derivadas de funções compostas de uma variável</p><p>Derivadas parciais de funções de duas variáveis</p><p>Integrais diretíssimas da tabela</p><p>Integrais diretas da tabela</p><p>Método da integração por substituição</p><p>Método da integração por partes</p><p>Integrais definidas</p><p>Integrais duplas e regiões de integração</p><p>Mudança de variável nas integrais duplas</p><p>VIIIVIIIVIIIVIIIVIII Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>tas da tabela” são as que, por desenvolvimentos da função a ser integrada, chegam a</p><p>um caso previsto em tabelas básicas de integração. Os métodos de integração por</p><p>substituição e por partes são utilizados em diversos exemplos. O bloco das integrais</p><p>simples é concluído com as integrais definidas.</p><p>Finalmente, são realizadas integrais duplas em vários tipos de domínios de integração</p><p>e, também, integrais duplas resolvidas por meio de mudanças de variáveis.</p><p>Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1</p><p>Derivadas de Funções SimplesDerivadas de Funções SimplesDerivadas de Funções SimplesDerivadas de Funções SimplesDerivadas de Funções Simples</p><p>de uma Vde uma Vde uma Vde uma Vde uma Variávelariávelariávelariávelariável</p><p>A derivada da função y = f (x), em relação à sua única variável independente x, pode ser</p><p>indicada por:</p><p>y f x D dy</p><p>dx</p><p>df x</p><p>x</p><p>, ,</p><p>x= = = =( ) ( )</p><p>.</p><p>Sendo f (x) e g (x) duas funções da variável x e k uma constante, temos as seguintes</p><p>propriedades das derivadas:</p><p>D1. f x g x f x g x �ou�</p><p>d f x g x</p><p>dx</p><p>df x</p><p>dx</p><p>dg x</p><p>dx</p><p>, ,( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( ) ( ),±( ) = ±</p><p>±( )</p><p>= ± .</p><p>D2. k.f x k.f x �ou�</p><p>d k.f x</p><p>dx</p><p>k df x</p><p>dx</p><p>,( ) ( )</p><p>( )</p><p>. ( ),( ) =</p><p>( )</p><p>= .</p><p>D3. f x .g x f x g x f x g x �ou�</p><p>d f x g x</p><p>dx</p><p>df x, ,( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( )</p><p>( ). ( ) ( ),( ) = +</p><p>( )</p><p>=</p><p>ddx</p><p>g x f x dg x</p><p>dx</p><p>. ( ) ( ). ( )+ .</p><p>D4. f x</p><p>g x</p><p>f x g x f x g x</p><p>g x</p><p>�ou�</p><p>d f x g x, ,( )</p><p>( )</p><p>( ). ( ) ( ). ( )</p><p>( )</p><p>( ). ( ),</p><p>⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟ = −</p><p>( )2</p><p>(( )</p><p>=</p><p>−</p><p>( )dx</p><p>df x</p><p>dx</p><p>g x f x dg x</p><p>dx</p><p>g x</p><p>( ) . ( ) ( ). ( )</p><p>( ) 2</p><p>Essas propriedades são enunciadas como descrito abaixo.</p><p>D1. A derivada da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ou</p><p>subtração) das derivadas das funções. Isso também é válido para mais de duas</p><p>funções.</p><p>22222 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>D2. A derivada do produto (multiplicação) de uma constante por uma função é</p><p>igual ao produto da constante pela derivada da função. Essa constante pode</p><p>ser qualquer número real.</p><p>D3. A derivada do produto (multiplicação) de duas funções é igual à soma da</p><p>derivada da primeira função multiplicada pela segunda função com a primeira</p><p>função multiplicada pela derivada da segunda função.</p><p>D4. A derivada do quociente (divisão) de duas funções é igual à subtração</p><p>entre a derivada da função do numerador multiplicada pela função do denomi-</p><p>nador e a função do numerador multiplicada pela derivada da função do deno-</p><p>minador, sendo “toda” essa subtração dividida pela função do denominador</p><p>elevada ao quadrado. Inclui-se a condição da função do denominador ser dife-</p><p>rente de zero.</p><p>Sendo k e n constantes, as derivadas das principais funções simples de uma vari-</p><p>ável estão mostradas na tabela a seguir. A primeira delas refere-se à derivada da</p><p>função constante que é zero (também lida como “a derivada da constante é igual a</p><p>zero”).</p><p>Tabela de derivadas (funções simples)</p><p>33333Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo</p><p>5 - Integrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela</p><p>Agora, podemos resolver as duas integrais acima utilizando as seguintes regras da</p><p>tabela:</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>e � � +== − Cxdxxdx</p><p>x</p><p>ln1 1</p><p>Logo,</p><p>� � � +−=−=</p><p>− − Cxxdxxdxxdx</p><p>x</p><p>xx</p><p>4</p><p>9ln59595 4</p><p>31</p><p>2</p><p>5</p><p>Observe que seria um grande erro resolvermos esse exemplo</p><p>dividindo a integral de 5x - 9x5 pela integral de x2, pois não há</p><p>propriedade que permita que a integral do quociente (divisão)</p><p>de duas funções seja escrita como o quociente das integrais</p><p>de cada função.</p><p>Exemplo 5.7. Calcule .)5(</p><p>2</p><p>2</p><p>� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>− dxe</p><p>x</p><p>x x</p><p>Antes de resolvermos a integral desse exemplo, precisamos desenvolver o quadrado</p><p>da diferença (x − 5) e escrever o resultado desse desenvolvimento, dividido por x2,</p><p>como uma subtração de três parcelas. Depois disso, chegaremos a quatro integrais</p><p>independentes, incluindo a integral da exponencial de base e (“e elevado a x”), que</p><p>podem ser resolvidas diretamente pela tabela.</p><p>Vejamos:</p><p>251055..2)5(2)( 2222222 +−=+−=−→+−=− xxxxxbababa</p><p>Dividindo-se (x − 5)2 = x2 − 10x + 25 por x2:</p><p>221221</p><p>222</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>251012510125102510)5( −−−− +−=+−=+−=</p><p>+−</p><p>=</p><p>− xxxxx</p><p>xx</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xx</p><p>x</p><p>x</p><p>21</p><p>2</p><p>2</p><p>25101)5( −− +−=</p><p>− xx</p><p>x</p><p>x</p><p>104104104104104 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Ou seja,</p><p>�� ++−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>− −− dxexxdxe</p><p>x</p><p>x xx )25101()5( 21</p><p>2</p><p>2</p><p>Feito isso, vamos usar as seguintes propriedades:</p><p>� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(.</p><p>Ou seja,</p><p>� � � � �� ++−=++−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>− −−−− dxedxxdxxdxdxexxdxe</p><p>x</p><p>x xxx 2121</p><p>2</p><p>2</p><p>25101)25101()5(</p><p>� � � �� ++−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>− −− dxedxxdxxdxdxe</p><p>x</p><p>x xx 21</p><p>2</p><p>2</p><p>2510)5(</p><p>Agora, utilizamos as seguintes regras para resolvermos as integrais anteriores:</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>, � � +== − Cxdxxdx</p><p>x</p><p>ln1 1 e � += Cedxe xx</p><p>Logo,</p><p>� � � �� ++</p><p>−</p><p>+−=++−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>− −</p><p>−− Cexxxdxedxxdxxdxdxe</p><p>x</p><p>x xxx</p><p>1</p><p>25ln102510)5( 1</p><p>21</p><p>2</p><p>2</p><p>Ce</p><p>x</p><p>xxdxe</p><p>x</p><p>x xx ++−−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>−</p><p>�</p><p>25ln10)5(</p><p>2</p><p>2</p><p>Exemplo 5.8. Calcule .cos5</p><p>3</p><p>2� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+ dxx</p><p>x</p><p>Antes de resolvermos este exemplo, precisamos reescrever a função a ser integrada.</p><p>Vejamos:</p><p>xxx</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>cos5cos5cos5cos5 3</p><p>23</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>3 2</p><p>3</p><p>3</p><p>2 +=+=+=+</p><p>−</p><p>105105105105105Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela</p><p>No desenvolvimento anterior, foram feitas as seguintes equivalências:</p><p>3 2</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>55</p><p>xxn</p><p>m</p><p>n</p><p>m</p><p>a</p><p>a</p><p>a =→=</p><p>3</p><p>2</p><p>3 2 xxmm a</p><p>b</p><p>a b =→=</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>11 −− =→= x</p><p>x</p><p>m</p><p>m</p><p>c</p><p>c</p><p>Ou seja,</p><p>� � +=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>−</p><p>dxxxdxx</p><p>x</p><p>)cos5(cos5 3</p><p>233</p><p>2</p><p>Feito isso, podemos usar as seguintes propriedades:</p><p>� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(.</p><p>Ou seja,</p><p>� � �� � � +=+=+=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>−−−</p><p>xdxdxxxdxdxxdxxxdxx</p><p>x</p><p>cos5cos5)cos5(cos5 3</p><p>233</p><p>233</p><p>233</p><p>2</p><p>As integrais acima são resolvidas pelas seguintes regras da tabela:</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>e � += Csenxxdxcos</p><p>Logo,</p><p>CsenxxCsenxxCsenxxdxx</p><p>x</p><p>++=++</p><p>+−</p><p>=++</p><p>+−</p><p>=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>+−</p><p>+−</p><p>�</p><p>3</p><p>15</p><p>3</p><p>325</p><p>13</p><p>25cos5 3</p><p>1</p><p>3</p><p>3</p><p>32</p><p>3</p><p>13</p><p>2</p><p>33</p><p>2</p><p>CsenxxCsenxxdxx</p><p>x</p><p>++=++=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+� 33</p><p>3</p><p>1</p><p>33</p><p>2 53</p><p>1</p><p>35cos5</p><p>106106106106106 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>No desenvolvimento anterior, foi feita a seguinte equivalência:</p><p>33 13</p><p>1</p><p>xxxmm a ba</p><p>b</p><p>==→=</p><p>Exemplo 5.9. Calcule .5</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� − dx</p><p>x</p><p>xx</p><p>Precisamos “preparar” a função a ser integrada a fim de chegarmos a uma situação</p><p>prevista na tabela de integrais.</p><p>Inicialmente, vamos escrever a raiz quadrada de x como x elevado a 2</p><p>1</p><p>, pois</p><p>2</p><p>12 1 xxx == .</p><p>Também vamos fazer o seguinte:</p><p>.5155 1</p><p>1</p><p>−== x</p><p>xx</p><p>Vejamos:</p><p>( ).55 112</p><p>1 −−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� − xxx</p><p>x</p><p>xx</p><p>Podemos aplicar a propriedade distributiva e usar que o produto de potências de</p><p>mesma base é igual à base elevada à soma dos expoentes. Ou seja,</p><p>( ) 2</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>21</p><p>2</p><p>21</p><p>12</p><p>112</p><p>112</p><p>112</p><p>1112</p><p>1</p><p>555555 −</p><p>−+</p><p>−+−− −=−=−=−=−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� − xxxxxxxxxxxxx</p><p>x</p><p>xx</p><p>Logo,</p><p>dxxxdx</p><p>x</p><p>xx �� �</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� −=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −</p><p>−</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>55</p><p>107107107107107Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela</p><p>Agora, podemos usar as seguintes propriedades:</p><p>� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(.</p><p>Ou seja,</p><p>dxxdxxdxxdxxdxxxdx</p><p>x</p><p>xx ������</p><p>−−−</p><p>−=−=�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� −=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� − 2</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>5555</p><p>As integrais acima são resolvidas pela seguinte regra da tabela de integração:</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>Finalmente:</p><p>CxxCxxdxxdxxdx</p><p>x</p><p>xx +</p><p>+−</p><p>−</p><p>+</p><p>=+</p><p>+−</p><p>−</p><p>+</p><p>=−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −</p><p>+−+</p><p>+−+</p><p>−</p><p>���</p><p>2</p><p>215</p><p>2</p><p>2312</p><p>15</p><p>12</p><p>355 2</p><p>21</p><p>2</p><p>23</p><p>12</p><p>112</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>CxxCxxCxxdx</p><p>x</p><p>xx +−=+−=+−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −�</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>10</p><p>5</p><p>2</p><p>1</p><p>25</p><p>5</p><p>2</p><p>2</p><p>15</p><p>2</p><p>5</p><p>5 2</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>Exemplo 5.10. Calcule .4</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� − dxx</p><p>π</p><p>Vamos analisar a função a ser integrada: trata-se da diferença ou subtração x − 4,</p><p>dividida pela constante π (um número irracional muitas vezes aproximado por 3,14).</p><p>Podemos fazer o seguinte:</p><p>πππππ</p><p>4144</p><p>−=−=</p><p>− xxx</p><p>Ou seja, temos a seguinte igualdade:</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� − dxxdxx</p><p>πππ</p><p>414</p><p>108108108108108 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Aplicando a propriedade P1, enunciada como “a integral da soma (ou subtração) de</p><p>duas funções é a soma (ou subtração) das integrais das funções”, temos que:</p><p>���� −=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� − dxxdxdxxdxx</p><p>πππππ</p><p>41414</p><p>Como 1, 4 e π são constantes, então os quocientes π</p><p>1</p><p>e π</p><p>4</p><p>também são constantes.</p><p>Sendo assim, podemos utilizar a propriedade P2, enunciada como “a integral do</p><p>produto de uma constante por uma função é o produto da constante pela integral da</p><p>função”. Vejamos:</p><p>�������� −=−=−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� − dxdxxdxxdxdxxdxdxxdxx</p><p>πππππππππ</p><p>414141414 1</p><p>As integrais acima são resolvidas pela seguinte regra da tabela de integração:</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>e � += Cxdx</p><p>Finalmente:</p><p>CxxCxxCxxdxdxxdxx</p><p>+−=+−=+−</p><p>+</p><p>=−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� − +</p><p>��� πππππππππ</p><p>4</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>14</p><p>11</p><p>1414 2211</p><p>1</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 5.Exercícios Propostos – Capítulo 5.Exercícios Propostos – Capítulo 5.Exercícios Propostos – Capítulo 5.Exercícios Propostos – Capítulo 5.</p><p>Exercício 5.1. Calcule .1</p><p>7� dx</p><p>x</p><p>Exercício 5.2. Calcule .3</p><p>� dx</p><p>x</p><p>Exercício 5.3. Calcule .5 3� dxx</p><p>Exercício 5.4. Calcule .)5( 22� + dxx</p><p>109109109109109Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela</p><p>Exercício 5.5. Calcule .)5( 24� − dxxx</p><p>Exercício 5.6. Calcule .46</p><p>3</p><p>52</p><p>�</p><p>+ dx</p><p>x</p><p>xx</p><p>Exercício 5.7. Calcule .)4(3 2</p><p>3� + dxx</p><p>x</p><p>Exercício 5.8. Calcule .)5( 2</p><p>� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� −</p><p>− dx</p><p>x</p><p>xsenx</p><p>Exercício 5.9. Calcule � ��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+ .4</p><p>5 3</p><p>dxsenx</p><p>x</p><p>Exercício</p><p>5.10. Calcule � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +− .cos7 dxex</p><p>x</p><p>x</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 5.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 5.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 5.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 5.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 5.</p><p>Exercício 5.1. C</p><p>x</p><p>+</p><p>−</p><p>66</p><p>1</p><p>Exercício 5.2. Cx +6</p><p>Exercício 5.3. Cx</p><p>+</p><p>8</p><p>5 5</p><p>8</p><p>Exercício 5.4. Cxxx</p><p>+++ 25</p><p>3</p><p>10</p><p>5</p><p>35</p><p>Exercício 5.5. Cxxx ++−</p><p>73</p><p>55</p><p>76</p><p>5</p><p>Exercício 5.6. Cxx ++</p><p>3</p><p>4ln6</p><p>3</p><p>Exercício 5.7. C</p><p>xx</p><p>x +�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −− 2</p><p>88ln3</p><p>Exercício 5.8. Cxxxx +−+−− ln2510</p><p>2</p><p>cos</p><p>2</p><p>110110110110110 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exercício 5.9. Cxx +− cos10 5</p><p>2</p><p>Exercício 5.10. Cesenxx x ++−14</p><p>Capítulo 6Capítulo 6Capítulo 6Capítulo 6Capítulo 6</p><p>Integrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da Substituição</p><p>O método da substituição trata da mudança de variável na integral.</p><p>Suponha que seja possível, pela utilização das propriedades P1 e P2 e da tabela de</p><p>integração dadas no capítulo 4, resolver a seguinte integral: .)(� duuf</p><p>Imagine que u seja uma função de x, ou seja, u = u(x). Temos que a derivada de u = u(x),</p><p>em relação à variável x, é</p><p>dxxuduxu</p><p>dx</p><p>du )()( ,, =→=</p><p>Assim, por substituição, temos de resolver integrais do tipo</p><p>�� = duufdxxuxuf )()()).(( ,</p><p>Exemplo 6.1. Calcule � + .2)3( 52 xdxx</p><p>Seria possível “enxergarmos” uma função e sua derivada no exemplo 6.1?</p><p>Se chamarmos a soma x2 + 3 de u, sendo u uma função de x, u = u(x), temos que:</p><p>( ) ( ) ( ) xdxdux</p><p>dx</p><p>duxxx</p><p>dx</p><p>duxxuu 2202333)( ,,2,22 =→=→+=+=+=→+==</p><p>112112112112112 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Concluímos que o exemplo 6.1 trata de uma integral formada por u elevado ao expoente</p><p>5 e pela derivada da função u, possibilitando o uso do método da substituição. A</p><p>função x2+3 é substituída por u e 2xdx é substituído por du, conforme segue.</p><p>� �=+ duuxdxx 552 2)3(</p><p>Continuamos a integração usando a seguinte regra, com n igual a 5:</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>uduu</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>Ou seja,</p><p>� � +=+</p><p>+</p><p>==+</p><p>+</p><p>CuCuduuxdxx</p><p>615</p><p>2)3(</p><p>615</p><p>552</p><p>Agora, retornamos com a variável x:</p><p>CxCuduuxdxx ++=+==+� � 6</p><p>)3(</p><p>6</p><p>2)3(</p><p>626</p><p>552</p><p>Observe que, se tivéssemos chamado (x2 + 3)5 de u, não have-</p><p>ria sucesso na substituição. A derivada de (x2 + 3)5, segundo a</p><p>tabela de derivadas de funções compostas vista no capítulo 2,</p><p>é 5.(2x).(x2 + 3)4 =10x.(x2 + 3)4 e não apenas 2x.</p><p>Exemplo 6.2. Calcule .)3( 52� + xdxx</p><p>Este exemplo é muito parecido com o 6.1. Se fizermos da mesma maneira do exemplo</p><p>anterior, e chamarmos a soma x2 + 3 de u, sendo u uma função de x, u = u(x), temos que:</p><p>( ) ( ) ( ) xdxdux</p><p>dx</p><p>duxxx</p><p>dx</p><p>duxxuu 2202333)( ,,2,22 =→=→+=+=+=→+==</p><p>113113113113113Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição</p><p>A “falta” da constante 2, ou seja, o fato de termos apenas xdx e não 2xdx na integral</p><p>original, não compromete o sucesso da substituição, pois xdx equivale a du/2, confor-</p><p>me segue.</p><p>� � �==+ duuduuxdxx 5552</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>)3(</p><p>Como a constante ½ multiplica a função, continuamos a integração usando a propriedade:</p><p>� �= dxxfkdxxfk )(.)(.</p><p>Ou seja,</p><p>�� � � ===+ duuduuduuxdxx 55552</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>)3(</p><p>Agora, usamos a seguinte regra da tabela de integrais, com n igual a 5:</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>uduu</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>Logo,</p><p>CuCuduuduuduuxdxx +=+====+� � � � 126</p><p>.</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>)3(</p><p>66</p><p>55552</p><p>Retornamos com a variável x:</p><p>CxCuCuduuduuduuxdxx ++=+=+====+� � � � 12</p><p>)3(</p><p>126</p><p>.</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>)3(</p><p>6266</p><p>55552</p><p>Exemplo 6.3. Calcule .</p><p>)12(</p><p>5</p><p>74</p><p>3</p><p>� −</p><p>dx</p><p>x</p><p>x</p><p>Inicialmente, vamos usar a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. para reescrever a inte-</p><p>gral a ser resolvida:</p><p>��� −</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>− 74</p><p>3</p><p>74</p><p>3</p><p>74</p><p>3</p><p>)12(</p><p>5</p><p>)12(</p><p>5</p><p>)12(</p><p>5</p><p>x</p><p>dxxdx</p><p>x</p><p>xdx</p><p>x</p><p>x</p><p>114114114114114 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Se chamarmos a subtração 2x4 − 1 de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:</p><p>u = u(x) = 2x4 − 1</p><p>( ) ( ) ( ) dxxdudxxduxxxx</p><p>dx</p><p>du 3333,,4,4</p><p>8</p><p>8804.21212 =→=→=−=−=−=</p><p>A função 2x4 − 1 é substituída por u e x3dx é substituído por du/8, conforme segue.</p><p>� � �� ==</p><p>−</p><p>=</p><p>− 7774</p><p>3</p><p>74</p><p>3</p><p>.</p><p>8</p><p>1585</p><p>)12(</p><p>5</p><p>)12(</p><p>5</p><p>u</p><p>du</p><p>u</p><p>du</p><p>x</p><p>dxxdx</p><p>x</p><p>x</p><p>Usando novamente a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. e utilizando a equivalência</p><p>7</p><p>7</p><p>1 −= u</p><p>u ,</p><p>temos que:</p><p>� � �� −− ===</p><p>−</p><p>duuduu</p><p>u</p><p>dudx</p><p>x</p><p>x 77</p><p>774</p><p>3</p><p>8</p><p>5</p><p>8</p><p>15.</p><p>8</p><p>15</p><p>)12(</p><p>5</p><p>Continuamos a integração usando a seguinte regra, com n igual a −7:</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>uduu</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>Logo,</p><p>C</p><p>u</p><p>CuCuduudx</p><p>x</p><p>x +−=+</p><p>−</p><p>=+</p><p>+−</p><p>==</p><p>−</p><p>−+−</p><p>−�� 6</p><p>617</p><p>7</p><p>74</p><p>3</p><p>48</p><p>5</p><p>68</p><p>5</p><p>178</p><p>5</p><p>8</p><p>5</p><p>)12(</p><p>5</p><p>Agora, retornamos com a variável x:</p><p>C</p><p>x</p><p>C</p><p>u</p><p>dx</p><p>x</p><p>x +</p><p>−</p><p>−=+−=</p><p>−� 64674</p><p>3</p><p>)12(48</p><p>5</p><p>48</p><p>5</p><p>)12(</p><p>5</p><p>115115115115115Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição</p><p>Exemplo 6.4. Calcule � +</p><p>dx</p><p>x</p><p>x</p><p>53</p><p>8</p><p>2</p><p>Inicialmente, vamos usar a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. para reescrever a</p><p>integral a ser resolvida:</p><p>� �� +</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>+ 53</p><p>8</p><p>53</p><p>8</p><p>53</p><p>8</p><p>222 x</p><p>xdx</p><p>x</p><p>xdxdx</p><p>x</p><p>x</p><p>Escrevendo 2 122 )53(53 +=+ xx como 2</p><p>12 )53( +x :</p><p>( )�� �</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>+ 2</p><p>1222 53</p><p>8</p><p>53</p><p>8</p><p>53</p><p>8</p><p>x</p><p>xdx</p><p>x</p><p>xdxdx</p><p>x</p><p>x</p><p>Se chamarmos a soma 3x2 +5 de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:</p><p>u = u(x) = 3x2 +5</p><p>( ) ( ) ( ) xdxduxdxduxxxx</p><p>dx</p><p>du =→=→=+=+=+=</p><p>6</p><p>6602.35353 ,,2,2</p><p>A função 3x2 +5 é substituída por u e xdx é substituído por du/6, conforme segue.</p><p>( )� � � �==</p><p>+</p><p>=</p><p>+ 2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>122 6</p><p>1868</p><p>53</p><p>8</p><p>53</p><p>8</p><p>u</p><p>du</p><p>u</p><p>du</p><p>x</p><p>xdxdx</p><p>x</p><p>x</p><p>Usamos novamente a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. e escrevemos</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1 −</p><p>= u</p><p>u</p><p>:</p><p>� � � �</p><p>−−</p><p>===</p><p>+</p><p>duuduu</p><p>u</p><p>dudx</p><p>x</p><p>x 2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>12 3</p><p>4</p><p>6</p><p>1.8</p><p>6</p><p>18</p><p>53</p><p>8</p><p>Continuamos a integração usando a seguinte regra, com n igual a −1/2:</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>uduu</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>116116116116116 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Logo,</p><p>� � +===++−=+</p><p>+−==</p><p>+</p><p>+−</p><p>+−</p><p>−</p><p>CuuuCuCuduudx</p><p>x</p><p>x</p><p>3</p><p>8</p><p>1</p><p>2.</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>1.</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>21.</p><p>3</p><p>4</p><p>12</p><p>1.</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>53</p><p>8 2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>21</p><p>12</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>Agora, retornamos com a variável x:</p><p>� ++=+=</p><p>+</p><p>CxCudx</p><p>x</p><p>x 53</p><p>3</p><p>8</p><p>3</p><p>8</p><p>53</p><p>8 2</p><p>2</p><p>Exemplo 6.5. Calcule .55 6</p><p>� − dxex x</p><p>Podemos escrever a integral deste exemplo como .)( 5555 66</p><p>�� −− = dxxedxex xx</p><p>Seria possível enxergarmos uma função e sua derivada no exemplo 6.5?</p><p>Se chamarmos a subtração x6 − 5 de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x),</p><p>temos que:</p><p>( ) ( ) ( ) dxxdudxxduxxx</p><p>dx</p><p>duxxuu 555,,6,66</p><p>6</p><p>66555)( =→=→=−=−=→−==</p><p>Concluímos que o exemplo trata de uma integral formada pela exponencial de base e,</p><p>elevada à função u = x6 − 5, e pela derivada de u, com exceção da constante 6, possibi-</p><p>litando o uso do método da substituição. A função x6 − 5 é substituída por u e x5dx é</p><p>substituído por du/6, conforme segue.</p><p>�� �� === −− dueduedxxedxex uuxx</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>)( 5555 66</p><p>Usamos a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. :</p><p>���� === −− dueduedxxedxex uuxx</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>1)( 5555 66</p><p>Continuamos a integração usando a seguinte regra:</p><p>� += Cedue uu</p><p>117117117117117Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição</p><p>Logo,</p><p>Cedueduedxxedxex uuuxx +==== � � �� −−</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>)( 5555 66</p><p>Agora, retornamos com a variável x:</p><p>CeCedxex xux +=+= −−� 555 66</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>Observe que, se tivéssemos chamado ex6−5 de u, não haveria</p><p>sucesso na substituição. A derivada de ex6−5, segundo a tabe-</p><p>la de derivadas de funções compostas vista no capítulo 2, é</p><p>6x5ex6−5 e não apenas 6x5.</p><p>Exemplo 6.6. Calcule .cos 2� dxxx</p><p>Podemos escrever a integral deste exemplo como .)(coscos 22 �� = xdxxdxxx</p><p>Seria possível enxergarmos uma função e sua derivada no exemplo 6.6?</p><p>Se chamarmos x2 de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:</p><p>( ) xdxduxdxduxx</p><p>dx</p><p>duxxuu =→=→==→==</p><p>2</p><p>22)( ,22</p><p>Concluímos que o exemplo trata de uma integral formada pelo cosseno de x2, indicado</p><p>por u, e pela derivada de u, com exceção da constante 2, possibilitando o uso do</p><p>método da substituição. A função x2 é substituída por u e xdx é substituído por du/2,</p><p>conforme segue.</p><p>� � �==</p><p>2</p><p>)(cos)(coscos 22 duuxdxxdxxx</p><p>118118118118118 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Usamos a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. :</p><p>� � � �=== ududuuxdxxdxxx cos</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>)(cos)(coscos 22</p><p>Continuamos a integração utilizando a seguinte regra:</p><p>� += Csenuuducos</p><p>Logo,</p><p>� � � � +==== Csenuududuuxdxxdxxx</p><p>2</p><p>1cos</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>)(cos)(coscos 22</p><p>Agora, retornamos com a variável x:</p><p>dxsenxCsenudxxx 22</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1cos� =+=</p><p>Observe que, se tivéssemos chamado cosx2 de u, não haveria</p><p>sucesso na substituição. A derivada de cosx2, conforme dado</p><p>pela tabela de derivadas de funções compostas do capítulo2, é</p><p>(2x).(−1)senx2 = −2x.senx2 e não apenas 2x.</p><p>Exemplo 6.7. Calcule � + dxxsen )7( π</p><p>Se chamarmos 7x + π de u, sendo u uma função de x e π um número irracional (constante)</p><p>que vale, aproximadamente, 3,14, temos que:</p><p>( ) ( ) ( ) dxdudxduxx</p><p>dx</p><p>duxxuu =→=→=+=+=+=→+==</p><p>7</p><p>7707777)( ,,, πππ</p><p>Concluímos que o exemplo trata de uma integral composta pelo seno de u = 7x + π e pela</p><p>derivada de u, com exceção da constante 7, possibilitando o uso do método da substitui-</p><p>ção. A função 7x + π é substituída por u e dx é substituído por du/7, conforme segue.</p><p>119119119119119Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição</p><p>��� ==+ senududusenudxxsen</p><p>7</p><p>1</p><p>7</p><p>)7( π</p><p>Usamos a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. para colocarmos a constante k=1/7</p><p>que multiplica a função “fora” da integral:</p><p>� �� ==+ senudusenududxxsen</p><p>7</p><p>1</p><p>7</p><p>1)7( π</p><p>Continuamos a integração usando a seguinte regra:</p><p>� +−= Cusenudu cos</p><p>Logo,</p><p>CuCusenududusenudxxsen +−=+−===+ � �� cos</p><p>7</p><p>1)cos(</p><p>7</p><p>1</p><p>7</p><p>1</p><p>7</p><p>)7( π</p><p>Agora, retornamos com a variável x:</p><p>CxCudxxsen ++−=+−=+� )7cos(</p><p>7</p><p>1cos</p><p>7</p><p>1)7( ππ</p><p>Observe que, se tivéssemos chamado sen(7x + π) de u, não</p><p>haveria sucesso na substituição. Pela tabela de derivadas de</p><p>funções compostas vista no capítulo 2, a derivada de sen(7x + π)</p><p>é 7.cos(7x + π) e não apenas 7.</p><p>Exemplo 6.8. Calcule .cos.� xdxsenx</p><p>Seria possível enxergarmos uma função e sua derivada no exemplo 6.8?</p><p>Se chamarmos senx de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:</p><p>( ) xdxduxsenx</p><p>dx</p><p>dusenxxuu coscos)( , =→==→==</p><p>120120120120120 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Concluímos que o exemplo trata de uma integral composta pelo seno de x, indicado por</p><p>u, e pela derivada de u, possibilitando o uso do método da substituição. A função senx</p><p>é substituída por u e cosxdx é substituído por du, conforme segue.</p><p>� � �== duuuduxdxsenx 1cos.</p><p>Continuamos a integração usando a seguinte regra, com n igual a 1:</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>uduu</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>Logo,</p><p>CuCuduuuduxdxsenx +=+</p><p>+</p><p>===</p><p>+</p><p>� � � 211</p><p>cos.</p><p>211</p><p>1</p><p>Agora, retornamos com a variável x:</p><p>CxsenCsenxCuxdxsenx +=+=+=� 22</p><p>)(</p><p>2</p><p>cos.</p><p>222</p><p>Observe que não utilizamos as regras de integração de cosseno</p><p>de x ou de seno de x para resolvermos a integral do exemplo 6.8.</p><p>Exemplo 6.9. Calcule .</p><p>)cos3( 5� +</p><p>dx</p><p>x</p><p>senx</p><p>Se chamarmos 3 + cosx de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:</p><p>u = u(x) = 3 + cos x</p><p>( ) ( ) ( ) senxdxdusenxdxdusenxxx</p><p>dx</p><p>du =−→−=→−+=+=+= )(0cos3cos3 ,,,</p><p>121121121121121Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição</p><p>Concluímos que o exemplo trata de uma integral composta pela soma 3 + cos x, indicada</p><p>por u, e pela derivada de u, a menos da constante −1, possibilitando o uso do método</p><p>da substituição. A soma 3 + cos x é substituída por u e senxdx é substituído por − du,</p><p>conforme segue.</p><p>�� � −=−=</p><p>+ 555 )1(</p><p>)cos3( u</p><p>du</p><p>u</p><p>dudx</p><p>x</p><p>senx</p><p>Usamos a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. :</p><p>� � �−=−=</p><p>+</p><p>du</p><p>uu</p><p>dudx</p><p>x</p><p>senx</p><p>555</p><p>1)1(</p><p>)cos3(</p><p>Escrevemos 5</p><p>1</p><p>u como u−5:</p><p>� � � −−=−=</p><p>+</p><p>duu</p><p>u</p><p>dudx</p><p>x</p><p>senx 5</p><p>55)cos3(</p><p>Continuaremos a integração usando a seguinte regra, com n igual a − 5:</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>uduu</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>Logo,</p><p>� � +=+</p><p>−</p><p>−=+</p><p>+−</p><p>−=−=</p><p>+</p><p>−+−</p><p>− C</p><p>u</p><p>CuCuduudx</p><p>x</p><p>senx</p><p>4</p><p>415</p><p>5</p><p>5 4</p><p>1</p><p>415)cos3(</p><p>Agora, retornamos com a variável x:</p><p>C</p><p>x</p><p>C</p><p>u</p><p>dx</p><p>x</p><p>senx +</p><p>+</p><p>=+=</p><p>+� 445 )cos3(4</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>)cos3(</p><p>Observe que não utilizamos as regras de integração de cosseno</p><p>de x ou de seno de x para resolvermos a integral do exemplo 6.9.</p><p>Além disso, se tivéssemos chamado (3 + cos x)5 de u, e não</p><p>apenas 3 + cos x, não haveria sucesso na resolução da integral</p><p>por substituição.</p><p>122122122122122 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exemplo 6.10. Calcule .� tgxdx</p><p>Visto que a tangente é o quociente entre o seno e o cosseno, podemos escrever a</p><p>integral deste exemplo como</p><p>�� = dx</p><p>x</p><p>senxtgxdx</p><p>cos</p><p>Se chamarmos cosx de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:</p><p>( ) senxdxdusenxdxdusenxx</p><p>dx</p><p>duxxuu =−→−=→−==→== ,coscos)(</p><p>Concluímos que o exemplo trata de uma integral composta pelo cos x, indicado por u, e pela</p><p>derivada de u, a menos da constante − 1, possibilitando o uso do método da substituição.</p><p>A função cos x é substituída por u e senxdx é substituído por − du, conforme segue.</p><p>� ��</p><p>−==</p><p>u</p><p>dudx</p><p>x</p><p>senxtgxdx</p><p>cos</p><p>Usamos a propriedade</p><p>� �= dxxfkdxxfk )(.)(. :</p><p>�� �� −=−==</p><p>u</p><p>du</p><p>u</p><p>dudx</p><p>x</p><p>senxtgxdx</p><p>cos</p><p>Continuamos a integração usando a seguinte regra:</p><p>� � +== − Cuduudu</p><p>u</p><p>ln1 1</p><p>Logo,</p><p>� � �� +−=−=−== Cudu</p><p>uu</p><p>dudx</p><p>x</p><p>senxtgxdx ln1</p><p>cos</p><p>123123123123123Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição</p><p>Agora, retornamos com a variável x:</p><p>CxCutgxdx +−=+−=� coslnln</p><p>Observe que não utilizamos as regras de integração de cosseno</p><p>de x ou de seno de x para resolvermos a integral do exemplo 6.10.</p><p>Exemplo 6.11. Calcule .cos2� xdx</p><p>Antes de resolvermos a integral, vamos usar a seguinte equivalência trigonométrica:</p><p>2</p><p>2cos</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2cos1cos2 xxx +=+=</p><p>Ou seja,</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� += dxxxdx</p><p>2</p><p>2cos</p><p>2</p><p>1cos2</p><p>Podemos, então, usar as seguintes propriedades:</p><p>� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(.</p><p>Ou seja,</p><p>� � � � �� +=+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� += xdxdxdxxdxdxxxdx 2cos</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2cos</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2cos</p><p>2</p><p>1cos2</p><p>Assim, temos duas integrais a serem resolvidas. A primeira é diretíssima da tabela e a</p><p>segunda é resolvida por substituição, conforme segue.</p><p>124124124124124 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Primeira integral:</p><p>� += )( tabeladaadiretíssimCxdx</p><p>Segunda integral:</p><p>� �� +=+=== CxsenCsenuududuuxdx 2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1cos</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>cos2cos</p><p>A segunda integral foi resolvida chamando-se 2x de u, por meio da seguinte substituição:</p><p>( ) dxdudxdux</p><p>dx</p><p>duxxuu =→=→==→==</p><p>2</p><p>2222)( ,</p><p>Logo,</p><p>� � � � �� +=+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� += xdxdxdxxdxdxxxdx 2cos</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2cos</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2cos</p><p>2</p><p>1cos2</p><p>Cxsenxxdx +�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�+=� 2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1cos2</p><p>Cxsenxxdx ++=� 2</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1cos2</p><p>Exemplo 6.12. Calcule .3� xdxsen</p><p>Antes de resolvermos a integral, podemos escrever o seno ao cubo de x como o</p><p>produto do seno de x pelo seno ao quadrado de x:</p><p>�� = xdxsensenxxdxsen 23 .</p><p>Agora, podemos usar a seguinte identidade trigonométrica:</p><p>xxsenxxsen 2222 cos11cos −=→=+</p><p>125125125125125Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição</p><p>Substituindo o seno ao quadrado de x por 1 menos o cosseno ao quadrado de x, temos:</p><p>� ��� −=−== senxdxxdxxsenxxdxsensenxxdxsen ).cos1()cos1(. 2223</p><p>Assim, temos de resolver a integral:</p><p>� − senxdxx).cos1( 2</p><p>Esta integral pode ser resolvida pela seguinte substituição:</p><p>( ) senxdxdusenxdxdusenxx</p><p>dx</p><p>duxxuu =−→−=→−==→== ,coscos)(</p><p>Ou seja,</p><p>� �� −−=−= ))(1()cos1( 223 duusenxdxxdxsen</p><p>Pelas propriedades abaixo, temos que:</p><p>� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(.</p><p>� � �� −−=−−=−= duuduusenxdxxdxsen )1())(1().cos1( 2223</p><p>� � � �� +−=+−= duududuududxsen 223 1</p><p>Sabemos que:</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>u</p><p>uduu</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>e � += Cudu</p><p>Sendo assim, as duas integrais finais são resolvidas pelo uso diretíssimo da tabela:</p><p>CuuCuuduududxsen ++−=+</p><p>+</p><p>+−=+−= � ��</p><p>+</p><p>312</p><p>312</p><p>23</p><p>126126126126126 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Voltando com a variável x, visto que u = cos x, concluímos a integração do seno ao</p><p>cubo de x:</p><p>CxxCxxCuudxsen +−=++−=++−=� cos</p><p>3</p><p>cos</p><p>3</p><p>coscos</p><p>3</p><p>333</p><p>3</p><p>Exemplo 6.13. Calcule .5� dxexex</p><p>Se chamarmos o ex “situado” no expoente de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x),</p><p>temos que:</p><p>( ) dxeduee</p><p>dx</p><p>duexuu xxxx =→==→== ,)(</p><p>Fazendo a mudança de variáveis:</p><p>�� = dudxe uxex</p><p>55</p><p>Chegamos a uma integral presente na tabela, conforme segue:</p><p>� += Ca</p><p>a</p><p>dxa uu</p><p>ln</p><p>1</p><p>No caso, a = 5. Logo,</p><p>� += Cdu uu 5</p><p>5ln</p><p>15</p><p>Agora, retornamos com a variável x:</p><p>CCdudxe</p><p>xx euuxe +=+== �� 5</p><p>5ln</p><p>15</p><p>5ln</p><p>155</p><p>Exemplo 6.14. Calcule .</p><p>4</p><p>cos</p><p>2� −</p><p>dx</p><p>xsen</p><p>x</p><p>Antes de aplicarmos o método da substituição, vamos escrever a seguinte igualdade:</p><p>( ) .cos</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>cos</p><p>222 �� −</p><p>=</p><p>−</p><p>xdx</p><p>senx</p><p>dx</p><p>xsen</p><p>x</p><p>127127127127127Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição</p><p>Agora, vamos chamar seno de x de u e calcular a derivada de u em relação à variável x:</p><p>( ) xdxduxsenx</p><p>dx</p><p>dusenxxuu coscos)( , =→==→==</p><p>Fazendo a mudança de variáveis:</p><p>( ) ��� −</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>du</p><p>u</p><p>xdx</p><p>senx</p><p>dx</p><p>xsen</p><p>x</p><p>22222 2</p><p>1cos</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>cos</p><p>Chegamos a uma integral presente na tabela, conforme segue:</p><p>� +</p><p>−</p><p>+=</p><p>−</p><p>C</p><p>ux</p><p>ux</p><p>a</p><p>dx</p><p>ua</p><p>ln</p><p>2</p><p>11</p><p>22</p><p>No caso, a = 2. Logo,</p><p>( ) C</p><p>u</p><p>uC</p><p>u</p><p>udu</p><p>u</p><p>xdx</p><p>senx</p><p>dx</p><p>xsen</p><p>x +</p><p>−</p><p>+=+</p><p>−</p><p>+=</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>− ��� 2</p><p>2ln</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>2ln</p><p>2.2</p><p>1</p><p>2</p><p>1cos</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>cos</p><p>22222</p><p>Agora, retornamos com a variável x:</p><p>C</p><p>senx</p><p>senxC</p><p>u</p><p>udx</p><p>xsen</p><p>x +</p><p>−</p><p>+=+</p><p>−</p><p>+=</p><p>−� 2</p><p>2ln</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>2ln</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>cos</p><p>2</p><p>Exemplo 6.15. Calcule .� + dxe xex</p><p>A função a ser integrada pode ser desenvolvida em um produto. Vejamos: eex+x = eex ex,</p><p>pois ma+b = ma mb. Ou seja, “voltamos” a regra que afirma que “o produto de potências</p><p>de mesma base é a base elevada à soma dos expoentes”.</p><p>Assim, as integrais � + dxe xex</p><p>e � dxee xex</p><p>são equivalentes. Logo �� =+ dxeedxe xexe xx</p><p>Se chamarmos o ex “situado” no expoente de u, sendo u uma função de x, ou seja,</p><p>u = u(x), temos que:</p><p>( ) dxeduee</p><p>dx</p><p>duexuu xxxx =→==→== ,)(</p><p>128128128128128 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Fazendo a mudança de variáveis:</p><p>��� ==+ duedxeedxe uxexe xx</p><p>Da tabela de integrais sabemos que</p><p>� += Cedue uu .</p><p>Logo</p><p>Ceduedxeedxe uuxexe xx</p><p>+=== ��� +</p><p>Agora, retornamos com a variável x:</p><p>CeCeduedxeedxe</p><p>xxx euuxexe +=+=== ��� +</p><p>Pela aplicação do método da substituição, podemos expandir a tabela de integrais</p><p>imediatas, dada no capítulo 4, obtendo a tabela de integrais ampliada abaixo.</p><p>Tabela ampliada de integrais</p><p>129129129129129Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 6.Exercícios Propostos – Capítulo 6.Exercícios Propostos – Capítulo 6.Exercícios Propostos – Capítulo 6.Exercícios Propostos – Capítulo 6.</p><p>Exercício 6.1. Calcule .)1( 62� + xdxx</p><p>Exercício 6.2. Calcule .)23( 62� + xdxx</p><p>Exercício 6.3. Calcule .</p><p>)2(</p><p>7</p><p>95</p><p>4</p><p>� −</p><p>dx</p><p>x</p><p>x</p><p>Exercício 6.4. Calcule .</p><p>44</p><p>3</p><p>2� +</p><p>dx</p><p>x</p><p>x</p><p>Exercício 6.5. Calcule .133 4</p><p>� − dxex x</p><p>Exercício 6.6. Calcule .2� dxxsenx</p><p>Exercício 6.7. Calcule .)cos(� − dxx π</p><p>Exercício 6.8. Calcule .cos.3� xdxxsen</p><p>Exercício 6.9. Calcule .</p><p>)1(</p><p>cos</p><p>4� −</p><p>dx</p><p>senx</p><p>x</p><p>Exercício 6.10. Calcule .cot� gxdx</p><p>Exercício 6.11. Calcule .2� xdxsen</p><p>Exercício 6.12. Calcule .cos3� xdx</p><p>Exercício 6.13. Calcule .7 23</p><p>� dxxx</p><p>Exercício 6.14. Calcule .cos2� − senxdxe x</p><p>130130130130130 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas</p><p>e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exercício 6.15. Calcule .</p><p>cos9 2� +</p><p>dx</p><p>x</p><p>senx</p><p>Respostas dos ERespostas dos ERespostas dos ERespostas dos ERespostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 6.xercícios Propostos – Capítulo 6.xercícios Propostos – Capítulo 6.xercícios Propostos – Capítulo 6.xercícios Propostos – Capítulo 6.</p><p>Exercício 6.1. Cx</p><p>+</p><p>+</p><p>14</p><p>)1( 72</p><p>Exercício 6.2. Cx</p><p>+</p><p>+</p><p>42</p><p>)23( 72</p><p>Exercício 6.3. C</p><p>x</p><p>+</p><p>−</p><p>−</p><p>85 )2(40</p><p>7</p><p>Exercício 6.4. Cx</p><p>+</p><p>+</p><p>2</p><p>23 2</p><p>Exercício 6.5. Ce x +−13 4</p><p>12</p><p>1</p><p>Exercício 6.6. Cx +</p><p>− 2cos</p><p>2</p><p>1</p><p>Exercício 6.7. Cxsen +− )( π</p><p>Exercício 6.8. Cxsen</p><p>+</p><p>4</p><p>4</p><p>Exercício 6.9. C</p><p>senx</p><p>+</p><p>−</p><p>−</p><p>3)1(3</p><p>1</p><p>Exercício 6.10. Csenx +ln</p><p>Exercício 6.11. Cxsenx +− 2</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>Exercício 6.12. Cxsensenx +−</p><p>3</p><p>3</p><p>Exercício 6.13. C</p><p>x</p><p>+</p><p>7ln3</p><p>7 3</p><p>Exercício 6.14. Ce x +−cos2</p><p>Exercício 6.15. Cxarctg +�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>3</p><p>cos</p><p>3</p><p>1</p><p>Capítulo 7Capítulo 7Capítulo 7Capítulo 7Capítulo 7</p><p>Integrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por Partes</p><p>O método da integração por partes consiste em “desenvolver” a integral de udv como</p><p>a subtração entre o produto u.v e a integral de vdu, conforme segue.</p><p>�� −= vduvudvu .</p><p>Se tivermos a função u = u(x), podemos determinar du = u’(x)dx, visto que</p><p>)(, xu</p><p>dx</p><p>du = .</p><p>Se tivermos dv, podemos determinar v = v(x), visto que �= dvv .</p><p>Em geral, esse método é adequado para as situações em que a integral de vdu é mais</p><p>fácil do que a integral de udv.</p><p>Observação: quando substituímos �= dvv em � vdu , não usamos, nesse momento, a</p><p>constante de integração vinda da integral de dv.</p><p>Exemplo 7.1. Calcule .� dxxex</p><p>Façamos as seguintes equivalências:</p><p>( ) dxdudxdux</p><p>dx</p><p>duxxuu =→=→==→== 11)( ,</p><p>132132132132132 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Cedxedvvdxedv xxx +===→= � �</p><p>Aplicando o método da integração por partes:</p><p>�� −= vduvudvu .</p><p>�� −= dxexedxxe xxx</p><p>Prosseguimos utilizando a seguinte regra da tabela de integrais imediatas Cedxe xx +=� :</p><p>Cexedxexedxxe xxxxx +−=−= ��</p><p>A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar ex em evidência para dar a res-</p><p>posta final:</p><p>CxeCexedxxe xxxx +−=+−=� )1(</p><p>Exemplo 7.2. Calcule .)73( 2� − dxex x</p><p>Façamos as seguintes equivalências:</p><p>( ) ( ) ( ) dxduxx</p><p>dx</p><p>duxxuu 3301.3737373)( ,,, =→=−=−=−=→−==</p><p>dxedv x2=</p><p>Logo,</p><p>Cedxedvv xx +=== � � 22</p><p>2</p><p>1</p><p>,</p><p>visto que, segundo a tabela ampliada de integrais dada no capítulo 6,</p><p>Cedxe xx +=� αα</p><p>α</p><p>1</p><p>,</p><p>com α igual a 2.</p><p>133133133133133Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes</p><p>Aplicando o método da integração por partes:</p><p>�� −= vduvudvu .</p><p>�� −−=− dxeexdxex xxx 3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1)73().73( 222</p><p>Podemos, então, usar a seguinte propriedade:</p><p>� �= dxxfkdxxfk )(.)(.</p><p>Ou seja,</p><p>dxeexdxeexdxex xxxxx ��� −−=−−=− 22222</p><p>2</p><p>3)73(</p><p>2</p><p>13</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1)73().73(</p><p>Utilizamos, novamente, a seguinte regra da tabela ampliada de integrais imediatas</p><p>Cedxe xx +=� αα</p><p>α</p><p>1</p><p>,</p><p>com α igual a 2:</p><p>Ceexdxeexdxex xxxxx +−−=−−=− �� 22222</p><p>2</p><p>1.</p><p>2</p><p>3)73(</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>3).73(</p><p>2</p><p>1).73(</p><p>Ceexdxex xxx +−−=−� 222</p><p>4</p><p>3)73(</p><p>2</p><p>1).73(</p><p>A integral já foi acabada, mas podemos colocar xe2</p><p>2</p><p>1</p><p>em evidência:</p><p>CxeCxeCxedxex xxxx +�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=+��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−=+�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −−=−� 2</p><p>173</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>3143</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>3)73(</p><p>2</p><p>1).73( 2222</p><p>134134134134134 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exemplo 7.3. Calcule .� − dxxe x</p><p>Façamos as seguintes equivalências:</p><p>( ) dxdudxdux</p><p>dx</p><p>duxxuu =→=→==→== 11)( ,</p><p>dxedv x−=</p><p>Logo,</p><p>CeCedxedxedvv xxxx +−=+</p><p>−</p><p>==== −−−− �� � 11</p><p>1</p><p>1</p><p>,</p><p>visto que, segundo a tabela ampliada de integrais, dada no capítulo 6,</p><p>Cedxe xx +=� αα</p><p>α</p><p>1</p><p>,</p><p>com α igual a −1.</p><p>Aplicando o método da integração por partes:</p><p>�� −= vduvudvu .</p><p>( ) ��� −−−−− +−=−−−= dxexedxeexdxxe xxxxx</p><p>Usamos, novamente, que Cedxe xx +−= −−� :</p><p>Cexedxexedxxe xxxxx +−−=+−= −−−−− ��</p><p>A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar −e−x em evidência para dar a</p><p>resposta final:</p><p>( ) CxeCexedxxe xxxx ++−=+−−= −−−−� 1</p><p>135135135135135Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes</p><p>Exemplo 7.4. Calcule .cos)35(� − xdxx</p><p>Façamos as seguintes equivalências:</p><p>dxdu</p><p>dx</p><p>duxxuu 5535)( =→=→−==</p><p>Csenxxdxdvvxdxdv +===→= � �coscos</p><p>Aplicando o método da integração por partes:</p><p>�� −= vduvudvu .</p><p>�� −−=− dxsenxsenxxxdxx 5)().35(cos).35(</p><p>Podemos, então, usar a seguinte propriedade:</p><p>� �= dxxfkdxxfk )(.)(.</p><p>Ou seja,</p><p>� �� −−=−−=− senxdxsenxxdxsenxsenxxxdxx 5)35(5)()35(cos)35(</p><p>Finalizamos utilizando a seguinte regra da tabela de integrais Cxsenxdx +−=� cos :</p><p>xsenxxCxsenxxxdxx cos5)35()cos(5)35(cos)35( +−=+−−−=−� + C</p><p>Exemplo 7.5. Calcule .7)12(� + xdxsenx</p><p>Façamos as seguintes equivalências:</p><p>dxdu</p><p>dx</p><p>duxxuu 2212)( =→=→+==</p><p>dv = sen7xdx</p><p>136136136136136 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Logo,</p><p>Cxxdxsendvv +−=== � � 7cos</p><p>7</p><p>17 ,</p><p>visto que, segundo a tabela ampliada de integrais dada no capítulo 6,</p><p>Cxsendxxsen +−=� α</p><p>α</p><p>α 1</p><p>,</p><p>com α igual a 7.</p><p>Aplicando o método da integração por partes:</p><p>�� −= vduvudvu .</p><p>��</p><p>−−�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −+=+ dxxxxxdxsenx 2)7(cos</p><p>7</p><p>17cos</p><p>7</p><p>1)12(7).12(</p><p>Podemos, então, usar a seguinte propriedade:</p><p>� �= dxxfkdxxfk )(.)(.</p><p>Ou seja,</p><p>��</p><p>−−�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −+=+ dxxxxxdxsenx 2)7(cos</p><p>7</p><p>17cos</p><p>7</p><p>1)12(7).12(</p><p>�� ++−=+ xdxxxxdxsenx 7cos</p><p>7</p><p>27cos)12(</p><p>7</p><p>17).12(</p><p>Utilizamos a seguinte regra da tabela ampliada de integrais</p><p>Cxsenxdx +=� α</p><p>α</p><p>α 1cos ,</p><p>com α igual a 7.</p><p>137137137137137Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes</p><p>Cxsenxxxdxsenx +++−=+� 7.</p><p>7</p><p>1.</p><p>7</p><p>27cos)12(</p><p>7</p><p>17).12(</p><p>Cxsenxxxdxsenx +++−=+� 7</p><p>49</p><p>27cos)12(</p><p>7</p><p>17).12(</p><p>Exemplo 7.6. Calcule � xdxln</p><p>Façamos as seguintes equivalências:</p><p>dx</p><p>x</p><p>du</p><p>xdx</p><p>duxxuu 11ln)( =→=→==</p><p>Cxdxdvvdxdv +===→= � �</p><p>Aplicando o método da integração por partes:</p><p>�� −= vduvudvu .</p><p>� � � +−=−=−= Cxxxdxxxdx</p><p>x</p><p>xxxxdx lnln1)(lnln</p><p>A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar x em evidência para dar a respos-</p><p>ta final:</p><p>� −=−= )1(lnlnln xxxxxxdx</p><p>Exemplo 7.7. Calcule .ln2� xdxx</p><p>Façamos as seguintes equivalências:</p><p>dx</p><p>x</p><p>du</p><p>xdx</p><p>duxxuu 11ln)( =→=→==</p><p>CxCxdxxdvvdxxdv +=+</p><p>+</p><p>===→=</p><p>+</p><p>� � 312</p><p>312</p><p>22</p><p>138138138138138 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais -</p><p>Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Aplicando o método da integração por partes:</p><p>�� −= vduvudvu .</p><p>�� �� −=−== dxxxxdx</p><p>x</p><p>xxxdxxxxdxx</p><p>33</p><p>)(ln1</p><p>33</p><p>)(ln)(lnln</p><p>2333</p><p>22</p><p>�� −= dxxxxxdxx 2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>)(lnln</p><p>Podemos, então, usar a seguinte propriedade:</p><p>� �= dxxfkdxxfk )(.)(.</p><p>Ou seja,</p><p>� � �� −=−== dxxxxdxxxxdxxxxdxx 2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>22</p><p>3</p><p>1ln</p><p>33</p><p>1</p><p>3</p><p>)(ln)(lnln</p><p>Continuamos a integração usando a seguinte regra:</p><p>� +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>Logo,</p><p>� � +−=−= Cxxxdxxxxxdxx</p><p>33</p><p>1ln</p><p>33</p><p>1ln</p><p>3</p><p>ln</p><p>33</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar x3/3 em evidência para dar a</p><p>resposta final:</p><p>CxxCxxxxdxx +�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=+−=� 3</p><p>1ln</p><p>33</p><p>.</p><p>3</p><p>1ln</p><p>3</p><p>ln</p><p>333</p><p>2</p><p>139139139139139Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes</p><p>Exemplo 7.8. Calcule .ln� xdxx</p><p>Como a raiz quadrada de x pode ser expressa como x elevado ao expoente meio, vamos</p><p>escrever: .lnln 2</p><p>1</p><p>�� = xdxxxdxx</p><p>Agora, vamos fazer as seguintes equivalências:</p><p>dx</p><p>x</p><p>du</p><p>xdx</p><p>duxxuu 11ln)( =→=→==</p><p>CxCxCxCxdxxdvvdxxdv +=+=++=+</p><p>+</p><p>===→=</p><p>+</p><p>+</p><p>� � 2</p><p>32</p><p>3</p><p>2</p><p>21</p><p>12</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2112</p><p>1</p><p>Aplicando o método da integração por partes:</p><p>�� −= vduvudvu .</p><p>( ) ���� −=−== dx</p><p>x</p><p>xxxdx</p><p>x</p><p>xxxxdxxxdxx</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>2ln</p><p>3</p><p>21</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2lnlnln</p><p>A divisão de x3/2 por x = x1 “contida” na integral a ser resolvida pode ser desenvolvida</p><p>como:</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>23</p><p>)1(2</p><p>312</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>xxxxx</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x =====</p><p>−</p><p>−+− .</p><p>Ainda não fizemos a integral, apenas aplicamos as seguintes propriedades:</p><p>1</p><p>1</p><p>11 −− =→= x</p><p>x</p><p>m</p><p>m</p><p>a</p><p>a e 2</p><p>1)1(2</p><p>312</p><p>3</p><p>xxxxmmm baba ==→= −+−+ .</p><p>Ou seja,</p><p>���� −=−== dxxxxdx</p><p>x</p><p>xxxxdxxxdxx 2</p><p>1</p><p>2</p><p>32</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>2ln</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2ln</p><p>3</p><p>2lnln</p><p>140140140140140 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Podemos, então, usar a seguinte propriedade:</p><p>� �= dxxfkdxxfk )(.)(.</p><p>Logo,</p><p>��� −=−= dxxxxdxxxxxdxx 2</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>2ln</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2ln</p><p>3</p><p>2ln</p><p>Prosseguimos a integração utilizando a regra � +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>para 2</p><p>1=n :</p><p>CxxxCxxxdxxxxxdxx +−=+−=−= +</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>��</p><p>2</p><p>21</p><p>2</p><p>21</p><p>2</p><p>3</p><p>12</p><p>1</p><p>12</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>2ln</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2ln</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2ln</p><p>3</p><p>2ln</p><p>CxxxCxxxxdxx +−=+−=� 2</p><p>3</p><p>2</p><p>32</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>2.</p><p>3</p><p>2ln</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>33</p><p>2ln</p><p>3</p><p>2ln</p><p>Já terminamos a integração por partes, mas, ainda, podemos colocar 2</p><p>3</p><p>3</p><p>2 x em evidên-</p><p>cia para expressarmos a resposta final:</p><p>CxxCxxxxdxx +�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=+−=� 3</p><p>2ln</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2.</p><p>3</p><p>2ln</p><p>3</p><p>2ln 2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>Exemplo 7.9. Calcule .</p><p>5</p><p>ln</p><p>3� dx</p><p>x</p><p>x</p><p>Antes de começarmos a integral precisamos preparar a função a ser integrada da</p><p>seguinte maneira:</p><p>( ) .ln</p><p>5</p><p>1ln</p><p>5</p><p>1</p><p>5</p><p>ln 3</p><p>33 �� � −== dxxxdx</p><p>x</p><p>xdx</p><p>x</p><p>x</p><p>Podemos colocar o fator 5</p><p>1</p><p>que multiplica a função “para fora da integral”, pois</p><p>� �= dxxfkdxxfk )(.)(. . Vejamos:</p><p>( ) ( )��� −− == dxxxdxxxdx</p><p>x</p><p>x 33</p><p>3 ln</p><p>5</p><p>1ln</p><p>5</p><p>1</p><p>5</p><p>ln</p><p>141141141141141Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes</p><p>Agora, vamos fazer as seguintes equivalências:</p><p>dx</p><p>x</p><p>du</p><p>xdx</p><p>duxxuu 11ln)( =→=→==</p><p>C</p><p>x</p><p>CxCxdxxdvvdxxdv +−=+</p><p>−</p><p>=+</p><p>+−</p><p>===→=</p><p>−+−</p><p>−− � � 2</p><p>213</p><p>33</p><p>2</p><p>1</p><p>213</p><p>Aplicando o método da integração por partes:</p><p>�� −= vduvudvu .</p><p>( ) ( ) �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −−−== ���� − dx</p><p>xx</p><p>x</p><p>x</p><p>dx</p><p>xxx</p><p>xdxxxdx</p><p>x</p><p>x</p><p>2222</p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>1ln</p><p>2</p><p>)1(</p><p>5</p><p>11</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>)1(ln</p><p>5</p><p>1ln</p><p>5</p><p>1</p><p>5</p><p>ln</p><p>Podemos desenvolver a função a ser integrada:</p><p>3</p><p>312122</p><p>1111 −</p><p>+ ==== x</p><p>xxxxxx .</p><p>Note que ainda não fizemos a integral, apenas aplicamos as seguintes propriedades:</p><p>31212 xxxxmmm baba ==→= ++ e 3</p><p>3</p><p>11 −− =→= x</p><p>x</p><p>m</p><p>m</p><p>a</p><p>a .</p><p>Ou seja,</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−= ��� − dxxx</p><p>x</p><p>dx</p><p>xx</p><p>x</p><p>x</p><p>dx</p><p>x</p><p>x 3</p><p>2223 2</p><p>1ln</p><p>2</p><p>)1(</p><p>5</p><p>11</p><p>2</p><p>1ln</p><p>2</p><p>)1(</p><p>5</p><p>1</p><p>5</p><p>ln</p><p>Podemos, então, usar a seguinte propriedade:</p><p>� �= dxxfkdxxfk )(.)(.</p><p>Logo,</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−= �� − dxxx</p><p>x</p><p>dx</p><p>x</p><p>x 3</p><p>23 2</p><p>1ln</p><p>2</p><p>)1(</p><p>5</p><p>1</p><p>5</p><p>ln</p><p>142142142142142 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Continuamos a integração utilizando a regra � +</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>C</p><p>n</p><p>xdxx</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>1</p><p>para n = − 3:</p><p>Cxx</p><p>x</p><p>Cxx</p><p>x</p><p>dxxx</p><p>x</p><p>dx</p><p>x</p><p>x +��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−</p><p>+−=+��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+−</p><p>+−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−=</p><p>−+−</p><p>−�� 22</p><p>1ln</p><p>2</p><p>)1(</p><p>5</p><p>1</p><p>132</p><p>1ln</p><p>2</p><p>)1(</p><p>5</p><p>1</p><p>2</p><p>1ln</p><p>2</p><p>)1(</p><p>5</p><p>1</p><p>5</p><p>ln 2</p><p>2</p><p>13</p><p>2</p><p>3</p><p>23</p><p>C</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>C</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>dx</p><p>x</p><p>x +�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −−=+�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −+−=� 22223 2</p><p>1</p><p>2</p><p>1ln</p><p>2</p><p>)1(</p><p>5</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1ln</p><p>2</p><p>)1(</p><p>5</p><p>1</p><p>5</p><p>ln</p><p>Deixamos a constante C “fora” dos parênteses porque uma constante multiplicada por</p><p>1/5 continua sendo uma constante.</p><p>Já terminamos a integração por partes, mas, ainda, podemos colocar 22</p><p>1</p><p>x</p><p>− em evidên-</p><p>cia para expressarmos a resposta final:</p><p>Cx</p><p>x</p><p>Cx</p><p>x</p><p>dx</p><p>x</p><p>x +�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−=+�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−=� 2</p><p>1ln</p><p>10</p><p>1</p><p>2</p><p>1ln</p><p>2</p><p>)1(</p><p>5</p><p>1</p><p>5</p><p>ln</p><p>223</p><p>Exemplo 7.10. Calcule � dxex x2</p><p>Façamos as seguintes equivalências:</p><p>xdxdux</p><p>dx</p><p>duxxuu 22)( 2 =→=→==</p><p>Cedxedvvdxedv xxx +===→= � �</p><p>Aplicando o método da integração por partes:</p><p>�� −= vduvudvu .</p><p>�� −= xdxeexdxex xxx 2. 22</p><p>Podemos, então, usar a seguinte propriedade:</p><p>� �= dxxfkdxxfk )(.)(.</p><p>143143143143143Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes</p><p>Ou seja,</p><p>��� −=−= dxxeexxdxeexdxex xxxxx 22 222</p><p>Caímos em uma integral que deve ser resolvida novamente por partes. Esta integral já</p><p>foi feita no exemplo 7.1:</p><p>Cexedxexedxxe xxxxx +−=−= ��</p><p>Logo,</p><p>xxxxxxxxx exeexexeexdxxeexdxex 22)(22 2222 +−=−−=−= ��</p><p>A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar ex em evidência para dar a res-</p><p>posta final:</p><p>( )2222 222 +−=+−=� xxeexeexdxex xxxxx</p><p>Exemplo 7.11. Calcule .cos2� xdxx</p><p>Façamos as seguintes equivalências:</p><p>( ) xdxduxx</p><p>dx</p><p>duxxuu 22)( ,22 =→==→==</p><p>Csenxxdxdvvxdxdv +===→= � �coscos</p><p>Aplicando o método da integração por partes:</p><p>�� −= vduvudvu .</p><p>�� −= xdxsenxsenxxxdxx 2cos 22</p><p>Podemos, então, usar a seguinte propriedade:</p><p>� �= dxxfkdxxfk )(.)(.</p><p>144144144144144 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Ou seja,</p><p>��� −=−= xsenxdxsenxxxdxsenxsenxxxdxx 22cos 222</p><p>Caímos em uma integral que deve ser feita novamente por partes: a integral do produto</p><p>de x pelo seno de x. Vamos resolvê-la:</p><p>dxdtdxdt</p><p>dx</p><p>dtxt =→=→=→= 11</p><p>Cxsenxdxdzzsenxdxdz +−===→= � � cos</p><p>�� −= zdtztdzt .</p><p>��� ++−=+−=−−−= Csenxxxxdxxxdxxxxsenxdxx coscoscos)cos()cos(.</p><p>Logo,</p><p>Csenxxxsenxxsenxxxsenxxxdxx +−+=+−−=� 2cos2)cos(2cos 222</p><p>Exemplo 7.12. Calcule � xdxx 2sec</p><p>Como a integral da secante ao quadrado de x é diretíssima da tabela, � += Ctgxxdx2sec ,</p><p>no uso do método da integração por partes vamos chamar essa função de dv. A função</p><p>u = u(x) é, então, u = u(x) = x. Vejamos:</p><p>( ) dxdudxdux</p><p>dx</p><p>duxxuu =→=→==→==</p><p>11)( ,</p><p>Ctgxxdxdvvxdxdv +===→= � � 22 secsec</p><p>Aplicando o método da integração por partes:</p><p>�� −= vduvudvu .</p><p>�� −= tgxdxxtgxxdxx 2sec</p><p>145145145145145Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes</p><p>A integral da tangente de x foi feita no exemplo 6.10 e consta da tabela ampliada de</p><p>integrais:</p><p>xtgxdx cosln−=� .</p><p>Logo,</p><p>( ) CxxtgxCxxtgxxdxx ++=+−−=� coslncoslnsec2</p><p>Exemplo 7.13. Calcule � xdx3sec</p><p>Vamos começar escrevendo a secante ao cubo de x como o produto da secante de x</p><p>pela secante ao quadrado de x: sec3 x = sec x sec2 x. Logo,</p><p>�� = xdxxxdx 23 secsecsec</p><p>Agora, chamamos a secante ao quadrado de x de dv. A função u = u(x) é, então,</p><p>u = u(x) = sec x. Vejamos:</p><p>( ) xtgxdxduxtgxx</p><p>dx</p><p>duxxuu secsecsecsec)( , =→==→==</p><p>Ctgxxdxdvvxdxdv +===→= � � 22 secsec</p><p>Aplicando o método da integração por partes:</p><p>�� −= vduvudvu .</p><p>���� −=−== xdxxtgxtgxxtgxdxtgxxtgxxdxxxdx 223 secsecsecsecsecsecsec</p><p>Agora, vamos utilizar a seguinte identidade trigonométrica:</p><p>1sec1sec 2222 −=→+= xxtgxtgx</p><p>Substituindo a equivalência acima na integral:</p><p>( ) ( )��� −−=−−= xdxxxxtgxxdxxxxtgxxdx secsecsec1secsecsecsec 323</p><p>146146146146146 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Podemos “separar” a integral da subtração das funções sec3 x e sec x na subtração das</p><p>integrais de sec3 x e sec x, conforme a propriedade P1 vista no capítulo 4:</p><p>( ) ( )���� −−=−−= xdxxdxxtgxxdxxxxtgxxdx secsecsecsecsecsecsec 333</p><p>Usando a propriedade distributiva para “retirarmos” os parênteses:</p><p>��� +−= xdxxdxxtgxxdx secsecsecsec 33</p><p>Como a integral da secante de x está na tabela ampliada de integrais:</p><p>� ++= Ctgxxxdx seclnsec .</p><p>Também podemos “passar” a integral da secante ao quadrado de x do lado direito para</p><p>o lado esquerdo da igualdade como soma.</p><p>Ou seja,</p><p>Ctgxxxtgxxdxxdx +++=+ �� seclnsecsecsec 33</p><p>Ctgxxxtgxxdx +++=� seclnsecsec2 3</p><p>“Passando” a constante 2 “dividindo” para o lado direito da equação, finalizamos a</p><p>integral:</p><p>( ) Ctgxxxtgxxdx +++=� seclnsec</p><p>2</p><p>1sec3</p><p>Exemplo 7.14. Calcule ( )� dxsenxx lncos</p><p>Temos que: ( ) ( )( )�� = xdxsenxdxsenxx coslnlncos .</p><p>Façamos as equivalências abaixo para usarmos o método da integração por partes:</p><p>( ) ( ) dx</p><p>senx</p><p>xdu</p><p>senx</p><p>x</p><p>senx</p><p>senxsenx</p><p>dx</p><p>dusenxxuu coscos)ln()ln()(</p><p>,</p><p>, =→===→==</p><p>Csenxxdxdvvxdxdv +===→= � � coscos</p><p>147147147147147Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes</p><p>Veja que, para derivarmos o logaritmo neperiano do seno de x, utilizamos a regra da</p><p>cadeia, pois tínhamos uma função composta.</p><p>Aplicando o método da integração por partes:</p><p>�� −= vduvudvu .</p><p>( ) ( ) ( ) ��� −== dx</p><p>senx</p><p>xsenxsenxsenxxdxsenxdxsenxx cos)ln(cos)ln(lncos</p><p>Simplificando a função a ser integrada, ficamos apenas com a integral do cosseno de x,</p><p>que é diretíssima da tabela:</p><p>( ) Csenxsenxsenxxdxsenxsenxdxsenxx +−=−= �� )ln(cos)ln(lncos</p><p>A integral já foi acabada, mas, ainda, podemos colocar o seno de x em evidência:</p><p>( ) ( ) Csenxsenxdxsenxx +−=� 1)ln(lncos</p><p>Exemplo 7.15. Calcule ( )� dxx 2ln</p><p>Temos que: ( ) �� = xdxxdxx ln.lnln 2 .</p><p>Façamos as equivalências abaixo para usarmos o método da integração por partes:</p><p>( ) dx</p><p>x</p><p>du</p><p>x</p><p>x</p><p>dx</p><p>duxxuu 11lnln)( , =→==→==</p><p>Cxxxdxdvvxdxdv +−===→= � � )1(lnlnln</p><p>Para integrarmos a função 1n x, utilizamos o resultado do exemplo 7.6:</p><p>� −=−= )1(lnlnln xxxxxxdx .</p><p>148148148148148 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Aplicando o método da integração por partes:</p><p>�� −= vduvudvu .</p><p>ln ln .ln ln ln ln ln lnx dx x xdx x x x x x</p><p>x</p><p>dx x x x( ) = =( ) −( )− −( ) = −∫ ∫ ∫</p><p>2 1 1 1 1(( )− −( )∫ ln x dx1</p><p>Podemos “separar” a integral da subtração das funções 1n x e 1n a subtração das</p><p>integrais de 1n x e 1, conforme a propriedade P1 vista no capítulo 4:</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ��� �� +−−=−−−= dxxdxxxxdxxdxxxxdxx ln1lnln1ln1lnlnln 2</p><p>Da tabela de integrais temos que � += Cxdx e do exemplo 7.6 sabemos que</p><p>� −=−= )1(lnlnln xxxxxxdx .</p><p>Logo,</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) Cxxxxxxdxxdxxxxdxx ++−−−=+−−= ��� 1ln1lnlnln1lnlnln 2</p><p>Já terminamos a integral, mas podemos colocar x em evidência:</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) CxxxxCxxxxxxdxx ++−−−=++−−−=� 11ln1lnln1ln1lnlnln 2</p><p>( ) ( )( ) ( )( ) CxxxxCxxxxdxx ++−−=+++−−=� 2ln1lnln11ln1lnlnln 2</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 7.Exercícios Propostos – Capítulo 7.Exercícios Propostos – Capítulo 7.Exercícios Propostos – Capítulo 7.Exercícios Propostos – Capítulo 7.</p><p>Exercício 7.1. Calcule � dxxe x5</p><p>Exercício 7.2. Calcule � − dxxe x 12</p><p>Exercício 7.3. Calcule � − dxex x4)2(</p><p>Exercício 7.4. Calcule � +− dxex x 3)15(</p><p>149149149149149Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes</p><p>Exercício 7.5. Calcule � + xdxx cos)8(</p><p>Exercício 7.6. Calcule � − xdxx 3cos)47(</p><p>Exercício 7.7. Calcule � − xdxsenx 2)15(</p><p>Exercício 7.8. Calcule � dxx</p><p>3</p><p>ln</p><p>Exercício 7.9. Calcule � + xdxx ln)12(</p><p>Exercício 7.10. Calcule � xdxx ln3</p><p>Exemplo 7.11. Calcule � senxdxx2</p><p>Exercício 7.12. Calcule � dxex x22</p><p>Exercício 7.13. Calcule � xtgxdxx sec</p><p>Exercício 7.14. Calcule � xdxsene x 54</p><p>Exercício 7.15. Calcule ( )� dxxsenx cosln</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 7.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 7.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 7.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 7.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 7.</p><p>Exercício 7.1. Cxe x +�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −</p><p>5</p><p>1</p><p>5</p><p>1 5</p><p>Exercício 7.2. Cxe x +�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −−</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 12</p><p>Exercício 7.3. Cxe x +�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −</p><p>4</p><p>9</p><p>4</p><p>1 4</p><p>Exercício 7.4. ( ) Cxe x +−+ 653</p><p>Exercício 7.5. Cxsenxx +++ cos)8(</p><p>Exercício 7.6. Cxxsenx +−�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� − 3cos</p><p>9</p><p>43</p><p>3</p><p>47</p><p>150150150150150 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exercício 7.7. − Cxsenxx ++�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� − 2</p><p>4</p><p>52cos</p><p>2</p><p>15</p><p>Exercício 7.8. ( ) Cxx +−1ln</p><p>3</p><p>Exercício 7.9. ( ) Cxxxxx +−−+</p><p>2</p><p>ln</p><p>2</p><p>2</p><p>Exercício 7.10. Cxx +�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −</p><p>4</p><p>1ln</p><p>4</p><p>4</p><p>Exemplo 7.11. − x2 cos x + 2xsenx + 2 cos x + C</p><p>Exercício 7.12. Cxxe x +�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 22</p><p>Exercício 7.13. x sec x − 1n|sec x + tgx| + C</p><p>Exercício 7.14. ( ) Cxxsene x +− 5cos554</p><p>41</p><p>1 4</p><p>Exercício 7.15. cos x(1 − 1n(cos x)) + C</p><p>Capítulo 8Capítulo 8Capítulo 8Capítulo 8Capítulo 8</p><p>Integrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais Definidas</p><p>A integral definida de uma função contínua f (x) em um intervalo que contenha a e b,</p><p>desde x = a até x = b, é dada por:</p><p>� � −===</p><p>=</p><p>=</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>bx</p><p>ax</p><p>aFbFxFdxxfdxxf )()()()()(</p><p>Na expressão acima, F(x) é uma primitiva de f (x), x = a é o extremo inferior</p><p>da integral</p><p>e x = b é o extremo superior da integral.</p><p>Vale o seguinte:</p><p>� �−=</p><p>b</p><p>a</p><p>a</p><p>b</p><p>dxxfdxxf )()(</p><p>Exemplo 8.1. Calcule .</p><p>2</p><p>1</p><p>2� dxx</p><p>A integral indefinida relativa ao exemplo 8.1 pode ser feita pelo uso diretíssimo da</p><p>tabela, ou seja,</p><p>CxCxdxx +=+</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>� 312</p><p>312</p><p>2</p><p>152152152152152 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo,</p><p>com extremo inferior x=1 e extremo superior x=2:</p><p>3</p><p>7</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>8</p><p>3</p><p>)1(</p><p>3</p><p>)2(</p><p>3</p><p>232</p><p>1</p><p>32</p><p>1</p><p>2 =−=−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>=�</p><p>xdxx</p><p>Exemplo 8.2. Calcule .</p><p>1</p><p>2</p><p>2� dxx</p><p>Pelo exemplo 8.1, já resolvemos a integral indefinida referente à função x ao quadra-</p><p>do. A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no</p><p>exemplo, com extremo inferior x = 2 e extremo superior x = 1:</p><p>3</p><p>7</p><p>3</p><p>8</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>)2(</p><p>3</p><p>)1(</p><p>3</p><p>231</p><p>2</p><p>31</p><p>2</p><p>2 −=−=−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>=�</p><p>xdxx</p><p>Poderíamos, também, ter aproveitado o resultado do exemplo 8.1 da seguinte maneira:</p><p>3</p><p>7</p><p>3</p><p>72</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2 −=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�−=−= �� dxxdxx</p><p>Exemplo 8.3. Calcule .234</p><p>1</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� + dx</p><p>x</p><p>Façamos a seguinte integral indefinida:</p><p>� � � �� ++=+=+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� + Cxxdxdx</p><p>x</p><p>dxdx</p><p>x</p><p>dx</p><p>x</p><p>2ln32132323</p><p>Sendo assim:</p><p>[ ] ( ) ( ) 64ln320.384ln31.21ln34.24ln32ln323 4</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>+=−−+=+−+=+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +� xxdx</p><p>x</p><p>153153153153153Capítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais Definidas</p><p>Exemplo 8.4. Calcule � +</p><p>1</p><p>0</p><p>)2( dxxx</p><p>Façamos a seguinte integral indefinida:</p><p>� � � �� ++=++</p><p>+</p><p>=+=+=+</p><p>+</p><p>CxxCxxxdxdxxxdxdxxdxxx 2</p><p>2</p><p>3212</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>32</p><p>2</p><p>12</p><p>122)2(</p><p>� ++=+ Cxxdxxx 2</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>2)2(</p><p>Sendo assim, desde x = 0 até x = 1:</p><p>3</p><p>5</p><p>3</p><p>321</p><p>3</p><p>2)0(</p><p>3</p><p>)0(2)1(</p><p>3</p><p>)1(2</p><p>3</p><p>2)2( 2</p><p>23</p><p>2</p><p>231</p><p>0</p><p>2</p><p>231</p><p>0</p><p>=+=+=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+−��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>+=+� xxdxxx</p><p>Exemplo 8.5. Calcule �</p><p>2</p><p>0</p><p>cos</p><p>π</p><p>xdx</p><p>A integral indefinida relativa a este exemplo pode ser feita pelo uso diretíssimo da</p><p>tabela, ou seja,</p><p>� += Csenxxdxcos</p><p>Aplicando-se os extremos indicados, temos que:</p><p>[ ] 1010</p><p>2</p><p>cos 2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>=−=−==� sensensenxxdx ππ</p><p>π</p><p>Exemplo 8.6. Calcule .)cos6(</p><p>0</p><p>� +</p><p>π</p><p>dxx</p><p>A integral indefinida relativa a esse exemplo é</p><p>� � � �� ++=+=+=+ Csenxxxdxdxxdxdxdxx 6cos6cos6)cos6(</p><p>154154154154154 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>A integral indefinida é</p><p>[ ] πππππ</p><p>π</p><p>6)00()06()00.6()6(6)cos6( 0</p><p>0</p><p>=+−+=+−+=+=+� sensensenxxdxx</p><p>Exemplo 8.7.Calcule �</p><p>−</p><p>+</p><p>1</p><p>1</p><p>23 )3( dxxx</p><p>No exemplo 5.5, vimos que</p><p>Cxxxdxxx +++=+� 65</p><p>6</p><p>4</p><p>9)3(</p><p>654</p><p>23</p><p>Agora, podemos fazer facilmente a integral definida, desde x = −1 até x = 1:</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� −+−+−−��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>++=�</p><p>�</p><p>�</p><p>++=+</p><p>−−</p><p>� 6</p><p>)1(</p><p>5</p><p>)1.(6</p><p>4</p><p>)1.(9</p><p>6</p><p>)1(</p><p>5</p><p>)1.(6</p><p>4</p><p>)1.(9</p><p>65</p><p>6</p><p>4</p><p>9)3(</p><p>6546541</p><p>1</p><p>6541</p><p>1</p><p>23 xxxdxxx</p><p>5</p><p>12</p><p>6</p><p>1</p><p>5</p><p>6</p><p>4</p><p>9</p><p>6</p><p>1</p><p>5</p><p>6</p><p>4</p><p>9</p><p>6</p><p>1</p><p>5</p><p>6</p><p>4</p><p>9</p><p>6</p><p>1</p><p>5</p><p>6</p><p>4</p><p>9)3(</p><p>1</p><p>1</p><p>23 =−+−++=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−−�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� ++==+�</p><p>−</p><p>dxxx</p><p>Exemplo 8.8. Calcule � −</p><p>2</p><p>1</p><p>74</p><p>3</p><p>)12(</p><p>5 dx</p><p>x</p><p>x</p><p>No exemplo 6.3, vimos que</p><p>C</p><p>x</p><p>dx</p><p>x</p><p>x +</p><p>−</p><p>−=</p><p>−� 6474</p><p>3</p><p>)12(48</p><p>5</p><p>)12(</p><p>5</p><p>A partir desse resultado, temos que:</p><p>� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>−</p><p>−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>−</p><p>−=</p><p>−</p><p>2</p><p>1</p><p>6464</p><p>2</p><p>1</p><p>64</p><p>2</p><p>1</p><p>6474</p><p>3</p><p>)11.2(</p><p>1</p><p>)12.2(</p><p>1</p><p>48</p><p>5</p><p>)12(</p><p>1</p><p>48</p><p>5</p><p>)12(48</p><p>5</p><p>)12(</p><p>5</p><p>xx</p><p>dx</p><p>x</p><p>x</p><p>� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� −=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� −−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−=</p><p>−</p><p>2</p><p>1</p><p>6</p><p>6</p><p>6</p><p>6</p><p>6674</p><p>3</p><p>31</p><p>131</p><p>48</p><p>5</p><p>31</p><p>311</p><p>48</p><p>5</p><p>)1(</p><p>1</p><p>)31(</p><p>1</p><p>48</p><p>5</p><p>)12(</p><p>5 dx</p><p>x</p><p>x</p><p>155155155155155Capítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais Definidas</p><p>Exemplo 8.9. Calcule �</p><p>−</p><p>−</p><p>1</p><p>1</p><p>55 6</p><p>dxex x</p><p>No exemplo 6.5, vimos que</p><p>Cedxex xx += −−� 555 66</p><p>6</p><p>1</p><p>Assim, a integral definida referente ao exemplo 8.9 é calculada da seguinte maneira:</p><p>[ ] ( ) ( ) 0</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>1 445)1(511</p><p>1</p><p>5</p><p>1</p><p>1</p><p>5</p><p>1</p><p>1</p><p>55 66666</p><p>=−=−==�</p><p>��</p><p>= −−−−−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−� eeeeeedxex xxx</p><p>Exemplo 8.10. Calcule �</p><p>π</p><p>π</p><p>2</p><p>2cos xdx</p><p>No exemplo 6.11, vimos que</p><p>Cxsenxxdx ++=� 2</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1cos2</p><p>Agora, podemos fazer facilmente a integral definida:</p><p>( )</p><p>444</p><p>2</p><p>222.</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>2</p><p>12</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>12</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1cos</p><p>22</p><p>2 ππππππππ</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>sensensensenxsenxxdx −−+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +=�</p><p>��</p><p>+=�</p><p>44</p><p>2cos</p><p>2</p><p>2 ππππ</p><p>π</p><p>=−=� xdx</p><p>Exemplo 8.11. Calcule �</p><p>2</p><p>0</p><p>6 dxx</p><p>Da tabela ampliada de integrais, vimos que</p><p>� += Ca</p><p>a</p><p>dxa xx</p><p>ln</p><p>1</p><p>.</p><p>156156156156156 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Fazendo a igual a 6, podemos calcular a integral indefinida relacionada ao exemplo 8.11:</p><p>� += Cdx xx 6</p><p>6ln</p><p>16</p><p>A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo,</p><p>com extremo inferior x = 0 e extremo superior x = 2:</p><p>( ) ( )</p><p>6ln</p><p>35136</p><p>6ln</p><p>166</p><p>6ln</p><p>16</p><p>6ln</p><p>16 02</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>=−=−=�</p><p>��</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>x</p><p>x</p><p>xx dx</p><p>Se aproximarmos o logaritmo neperiano de 6 por 1,79, temos que</p><p>95,1</p><p>6ln</p><p>356</p><p>2</p><p>0</p><p>≅=� dxx</p><p>.</p><p>Esses cálculos foram feitos com o auxílio da calculadora.</p><p>Exemplo 8.12. Calcule �</p><p>π</p><p>0</p><p>2 3sec xdx</p><p>Da tabela ampliada de integrais, vimos que</p><p>� += Ctgax</p><p>a</p><p>axdx 1sec2 .</p><p>Fazendo a igual a 3, podemos calcular a integral indefinida relacionada ao exemplo 8.12:</p><p>� += Cxtgxdx 3</p><p>3</p><p>13sec2</p><p>A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo,</p><p>com extremo inferior x = 0 e extremo superior x = π:</p><p>( ) ( ) 000</p><p>3</p><p>103</p><p>3</p><p>13</p><p>3</p><p>13sec</p><p>00</p><p>2 =−=−=�</p><p>��</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>� tgtgxtgxdx</p><p>x</p><p>x</p><p>π</p><p>ππ</p><p>157157157157157Capítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais Definidas</p><p>Exemplo 8.13. Calcule �</p><p>8</p><p>0</p><p>2</p><p>π</p><p>xdxtg</p><p>Da tabela ampliada de integrais, vimos que</p><p>� +−= Cax</p><p>a</p><p>tgaxdx cosln1</p><p>.</p><p>Fazendo a igual a 2, podemos calcular a integral indefinida relacionada ao exemplo 8.13:</p><p>� +−= Cxxdxtg 2cosln</p><p>2</p><p>12</p><p>A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo,</p><p>com extremo inferior x = 0 e extremo superior x = π/8:</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� −−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� −−=�</p><p>��</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>� 0cosln</p><p>4</p><p>cosln</p><p>2</p><p>10.2cosln</p><p>8</p><p>.2cosln</p><p>2</p><p>12cosln</p><p>2</p><p>12</p><p>8</p><p>0</p><p>8</p><p>0</p><p>ππ</p><p>ππ x</p><p>x</p><p>xxdxtg</p><p>2</p><p>2ln</p><p>2</p><p>10</p><p>2</p><p>2ln</p><p>2</p><p>11ln</p><p>2</p><p>2ln</p><p>2</p><p>12</p><p>8</p><p>0</p><p>−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−−=�</p><p>π</p><p>xdxtg</p><p>Exemplo 8.14. Calcule � −</p><p>2</p><p>1</p><p>53 dxe x</p><p>Da tabela ampliada de integrais, vimos que</p><p>� += ++ Ce</p><p>a</p><p>dxe baxbax 1</p><p>.</p><p>Fazendo a igual a 3 e b igual a − 5, podemos calcular a integral indefinida relacionada ao</p><p>exemplo 8.14:</p><p>� += −− Cedxe xx 5353</p><p>3</p><p>1</p><p>158158158158158 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e</p><p>Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo,</p><p>com extremo inferior x = 1 e extremo superior x = 2:</p><p>( ) ( ) �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=−=−=�</p><p>��</p><p>= −−−</p><p>=</p><p>=</p><p>−−� 2</p><p>2151.352.3</p><p>2</p><p>1</p><p>53</p><p>2</p><p>1</p><p>53 1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>e</p><p>eeeeeedxe</p><p>x</p><p>x</p><p>xx</p><p>Exemplo 8.15. Calcule � −</p><p>5</p><p>4</p><p>22 3</p><p>1 dx</p><p>x</p><p>Da tabela ampliada de integrais, vimos que</p><p>� +−+=</p><p>−</p><p>Caxx</p><p>a</p><p>dx</p><p>ax</p><p>22</p><p>22</p><p>ln11</p><p>.</p><p>Fazendo a igual a 3, podemos calcular a integral indefinida relacionada ao exemplo 8.15:</p><p>� +−+=</p><p>−</p><p>Cxxdx</p><p>x</p><p>22</p><p>22</p><p>3ln</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo,</p><p>com extremo inferior x = 4 e extremo superior x = 5:</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� −+−−+=�</p><p>��</p><p>−+=</p><p>−</p><p>=</p><p>=</p><p>� 2222</p><p>5</p><p>4</p><p>22</p><p>5</p><p>4</p><p>22</p><p>344ln355ln</p><p>3</p><p>13ln</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1 x</p><p>x</p><p>xxdx</p><p>x</p><p>( ) ( )74ln45ln</p><p>3</p><p>19164ln9255ln</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>15</p><p>4</p><p>22</p><p>+−+=−+−−+=</p><p>−� dx</p><p>x</p><p>( )74ln9ln</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>15</p><p>4</p><p>22</p><p>+−=</p><p>−� dx</p><p>x</p><p>Como 9 e 74 + são positivos, podemos “tirar” os módulos:</p><p>( )( )</p><p>74</p><p>9ln</p><p>3</p><p>174ln9ln</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>15</p><p>4</p><p>22 +</p><p>=+−=</p><p>−� dx</p><p>x</p><p>159159159159159Capítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais Definidas</p><p>Lembre que</p><p>( )</p><p>74</p><p>9ln74ln9lnlnlnln</p><p>+</p><p>=+−→=−</p><p>b</p><p>aba .</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 8.Exercícios Propostos – Capítulo 8.Exercícios Propostos – Capítulo 8.Exercícios Propostos – Capítulo 8.Exercícios Propostos – Capítulo 8.</p><p>Exercício 8.1. Calcule �</p><p>3</p><p>2</p><p>3dxx</p><p>Exercício 8.2. Calcule �</p><p>3</p><p>2</p><p>1 dx</p><p>x</p><p>Exercício 8.3. Calcule � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −</p><p>5</p><p>1</p><p>32 dx</p><p>x</p><p>Exercício 8.4. Calcule � −</p><p>1</p><p>0</p><p>)3( dxxx</p><p>Exercício 8.5. Calcule �</p><p>2</p><p>0</p><p>π</p><p>senxdx</p><p>Exercício 8.6. Calcule � +</p><p>π</p><p>0</p><p>)34( dxsenx</p><p>Exercício 8.7. Calcule �</p><p>−</p><p>+</p><p>1</p><p>1</p><p>22 )45( dxxx</p><p>Exercício 8.8. Calcule � −</p><p>3</p><p>2</p><p>33</p><p>2</p><p>)1(</p><p>6 dx</p><p>x</p><p>x</p><p>Exercício 8.9. Calcule �</p><p>−</p><p>−</p><p>1</p><p>1</p><p>24 5</p><p>dxex x</p><p>Exercício 8.10. Calcule �</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>π</p><p>π</p><p>xdxsen</p><p>160160160160160 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 8.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 8.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 8.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 8.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 8.</p><p>Exercício 8.1. 4</p><p>65</p><p>Exercício 8.2.</p><p>2</p><p>3ln2ln3ln =−</p><p>Exercício 8.3. 21n 5 − 12</p><p>Exercício 8.4.</p><p>2</p><p>3</p><p>Exercício 8.5. 1</p><p>Exercício 8.6. 4π + 6</p><p>Exercício 8.7. 15</p><p>346</p><p>Exercício 8.8. 33124</p><p>627</p><p>Exercício 8.9. �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� − 3</p><p>11</p><p>5</p><p>1</p><p>ee</p><p>Exercício 8.10. 4</p><p>π</p><p>Capítulo 9Capítulo 9Capítulo 9Capítulo 9Capítulo 9</p><p>Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>A integral dupla da função de duas variáveis z = f (x, y), sobre determinada região R do</p><p>plano xOy, é indicada por ��</p><p>R</p><p>dxdyyxf ),( .</p><p>Há duas propriedades, designadas por I1 e I2, similares às propriedades P1 e P2 vistas</p><p>no capítulo 4 e referentes às integrais de funções de uma variável, que podem ser</p><p>usadas para resolver integrais duplas:</p><p>• I1. ������ ±=±</p><p>RRR</p><p>dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxf ),(),()),(),(( ;</p><p>• I2. ���� =</p><p>RR</p><p>teconsumaksendodxdyyxfkdxdyyxfk tan,),(),(. .</p><p>Conforme será visto nos exemplos a seguir, o cálculo da integral dupla está relaciona-</p><p>do com as integrais definidas.</p><p>Exemplo 9.1. Calcule ��</p><p>R</p><p>dxdy5 , sendo { }2020:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR .</p><p>A região R corresponde ao quadrado esboçado na figura 9.1.</p><p>162162162162162 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Figura 9.1. Região { }2020:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR .</p><p>Vamos usar a propriedade I2 e escrever a constante 5 como um fator de multiplicação</p><p>da integral dupla, ou seja, “colocamos a constante 5 que multiplica a função para fora</p><p>da integral”:</p><p>������ ==</p><p>RRR</p><p>dxdydxdydxdy 1555</p><p>Escrevendo a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de integração:</p><p>� �����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>==</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>15155</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>xRR</p><p>dxdydxdydxdy</p><p>Optamos em fazer, primeiramente, a integração simples em relação à variável x. A inte-</p><p>gral indefinida da função f (x, y) = 1, em relação à variável x, é diretíssima da tabela e</p><p>resulta em x, além da constante de integração: � += Cxdx1 . Para os extremos dados</p><p>pela região R, temos o que segue abaixo.</p><p>[ ] ����� �����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>==−==��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>==</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2.525)02(5515155</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>xRR</p><p>dydydydyxdydxdxdydxdy</p><p>����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>==</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>110105</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>yR</p><p>dydydxdy</p><p>Agora, precisamos fazer a integral simples da função 1 em relação à variável y.</p><p>163163163163163Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>A integral indefinida da função f (x, y) = 1, em relação à variável y, é diretíssima da tabela</p><p>e resulta em y, além da constante de integração: � += Cydy1 . Para os extremos</p><p>dados pela região R, temos o que segue.</p><p>[ ]���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>= =−===</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0 20)02(10101105</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>R</p><p>ydydxdy</p><p>Logo, o resultado da integral dupla do exemplo 9.1 é 20.</p><p>Poderíamos, alternativamente, ter iniciado a integração pela variável y. Chegaríamos</p><p>ao mesmo resultado, ou seja, 20. Vejamos:</p><p>5 5 1 5 1 5</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2dxdy dxdy dy dx y dx</p><p>R R y</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>∫∫ ∫∫ ∫∫= =</p><p>⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟ = [ ]</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>y</p><p>y == − = = =</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>∫ ∫ ∫ ∫</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>dx dx dx dx</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>5 2 0 5 2 5 2 10( ) .</p><p>==</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>∫</p><p>∫∫ ∫= = [ ] = − =</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>25 10 1 10 10 2 0 20dxdy dx x</p><p>R x</p><p>x</p><p>x</p><p>x ( )</p><p>Exemplo 9.2. Calcule�� +</p><p>R</p><p>dxdyyx )53( , sendo { }1020:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR .</p><p>A região R corresponde ao retângulo esboçado na figura 9.2.</p><p>Figura 9.2. Região { }1020:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR .</p><p>Escrevendo a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de integração:</p><p>� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>+=+</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>)53()53(</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxdyyxdxdyyx</p><p>164164164164164 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Optamos em fazer, primeiramente, a integração simples em relação à variável x. Para</p><p>integrarmos a função 3x + 5y em relação à variável x, pensamos que y representa uma</p><p>constante. Se a variável y é interpretada, momentaneamente, como constante, o pro-</p><p>duto 5y também representa uma constante. Segundo a tabela de integrais, a integral</p><p>indefinida de 5y, em relação à variável x, é 5yx e a integral indefinida de 3x = 3x1, em</p><p>relação à variável x, é</p><p>CxCxCx +=+=+</p><p>+</p><p>+</p><p>2</p><p>211</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>11</p><p>3 ,</p><p>além das constantes de integração.</p><p>Como “a integral da soma é a soma das integrais” (propriedade I1):</p><p>Cyxxdxyxdxydxxdxdxyx ++=+=+=+ � �� �� 5</p><p>2</p><p>35353)53( 2 .</p><p>Para os extremos dados pela região R, temos que</p><p>dyyxxdydxyxdxdyyx</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>xR</p><p>2</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>5</p><p>2</p><p>3)53()53(</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�� ��� �</p><p>��</p><p>+=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+=+</p><p>( )����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+−��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+=+</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>22</p><p>106)0(5</p><p>2</p><p>)0(3)2(5</p><p>2</p><p>)2(3)53(</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>yR</p><p>dyydyyydxdyyx</p><p>Agora, temos de fazer uma integral simples: a integral da função 6 + 10y, em relação à</p><p>variável y. Segundo a tabela de integrais, a integral indefinida de 6, em relação à</p><p>variável y, é 6y e a integral indefinida de 10y = 10y1, em relação à variável y, é</p><p>CyCyCy +=+=+</p><p>+</p><p>+</p><p>2</p><p>211</p><p>5</p><p>2</p><p>10</p><p>11</p><p>10 ,</p><p>além das constantes de integração.</p><p>Como “a integral da soma é a soma das integrais”:</p><p>Cyyydydydyy ++=+=+ � �� 256106)106( .</p><p>165165165165165Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>Para os extremos dados, temos que</p><p>( ) [ ] ( ) ( ) 11)0(5)0(6)1(5)1.(656106)53( 221</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>=+−+=+=+=+ =</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>���</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>yR</p><p>yydyydxdyyx</p><p>Poderíamos, alternativamente, ter iniciado a integração pela variável y. Para integrar-</p><p>mos a função 3x + 5y, em relação à variável y, pensamos que x representa uma constan-</p><p>te. Se a variável x é interpretada, momentaneamente, como constante, o produto 3x</p><p>também representa uma constante. Segundo a tabela de integrais, a integral indefinida</p><p>de 3x, em relação à variável y, é 3xy e a integral indefinida de 5y = 5y1, em relação à</p><p>variável y, é</p><p>CyCyCy +=+=+</p><p>+</p><p>+</p><p>2</p><p>211</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>11</p><p>5 ,</p><p>além das constantes de integração.</p><p>Como “a integral da soma é a soma das integrais”:</p><p>Cyyxydyxdydyyx ++=+=+ � �� 2</p><p>2</p><p>5353)53( .</p><p>Para os extremos dados pela região R, temos que</p><p>dxyxydxdyyxdxdyyx</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>yR</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>1</p><p>0 2</p><p>53)53()53(</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�� ��� �</p><p>��</p><p>+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>+=+</p><p>����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +=�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+−��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+=+</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>22</p><p>2</p><p>53</p><p>2</p><p>)0(5)0(3</p><p>2</p><p>)1(5)1(3)53(</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxxdxxxdxdyyx</p><p>Agora, temos de fazer uma integral simples: a integral da função 2</p><p>53 +x , em relação à</p><p>variável x. Segundo a tabela de integrais, a integral indefinida de 3x, em relação à</p><p>variável x, é</p><p>CxCxCx +=+=+</p><p>+</p><p>+</p><p>2</p><p>211</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>11</p><p>3</p><p>166166166166166 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>e a integral indefinida de 2</p><p>5</p><p>, em relação à variável x, é x</p><p>2</p><p>5</p><p>, além das constantes de</p><p>integração.</p><p>Como “a integral da soma é a soma das integrais”:</p><p>Cxxdxxdxdxx ++=+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� + � �� 2</p><p>5</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>53</p><p>2</p><p>53 2</p><p>.</p><p>Para os extremos dados pela região R, temos que</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+−��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+==�</p><p>��</p><p>+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +==+ ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>= 2</p><p>)0(5</p><p>2</p><p>)0(3</p><p>2</p><p>)2(5</p><p>2</p><p>)2(3</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>53)53(</p><p>222</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xR</p><p>xxdxxdxdyyx</p><p>( ) 11056)53( =−+=+��</p><p>R</p><p>dxdyyx</p><p>Exemplo 9.3. Calcule �� −</p><p>R</p><p>dxdyxyy )2( 32 , sendo { }2132:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR .</p><p>A região R corresponde ao quadrado esboçado na figura 9.3.</p><p>Figura 9.3. Região { }2132:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR .</p><p>Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de</p><p>integração:</p><p>�� � �</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=−</p><p>R</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>dxdyxyydxdyxyy</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>3232 )2()2(</p><p>167167167167167Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>Para integrarmos a função 2y2 − xy3 em relação à variável x, inicialmente pensamos que</p><p>y representa uma constante. Se a variável y é interpretada, momentaneamente, como</p><p>constante, o produto 2y2 também representa uma constante e o produto xy3 representa</p><p>x multiplicado pela, neste momento, “constante” y3. A integral de 2y2, em relação à</p><p>variável x, é 2y2 x + C. A integral de xy3 = y3 x1, em relação à variável x, é</p><p>CxyCxy +=+</p><p>+</p><p>+</p><p>211</p><p>2311</p><p>3 .</p><p>Como a integral da subtração de duas funções é a subtração das integrais das funções:</p><p>Cxyxydxxydxydxxyy +−=−=− � �� 2</p><p>22)2(</p><p>23</p><p>23232 .</p><p>Sendo assim, para os extremos dados pela região R, temos que</p><p>� ���</p><p>���</p><p>�� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+−−=−</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−=−</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−=−</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>232</p><p>3</p><p>232</p><p>2</p><p>1</p><p>23</p><p>2</p><p>23</p><p>232</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>23</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>3232</p><p>2</p><p>5224</p><p>2</p><p>96)2(</p><p>2</p><p>)2()2(2</p><p>2</p><p>)3()3(2)2(</p><p>2</p><p>2)2()2(</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>yR</p><p>y</p><p>yR</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>xR</p><p>dyyydyyyyydxdyxyy</p><p>dyyyyydxdyxyy</p><p>dyxyxydydxxyydxdyxyy</p><p>Agora, temos de fazer uma integral simples: a integral da função</p><p>32</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>52</p><p>2</p><p>52 yyyy −=−</p><p>em relação à variável y. Ou seja,</p><p>� �� � �� −=−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>− dyydyydyydyydyyydyyy 32</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>52</p><p>2</p><p>52</p><p>2</p><p>52</p><p>2</p><p>52</p><p>Cyydyyy +−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−� 42</p><p>5</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>52</p><p>433</p><p>2</p><p>Cyydyyy +−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−� 8</p><p>5</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>52</p><p>433</p><p>2</p><p>168168168168168 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Continuando com a integral �� −</p><p>R</p><p>dxdyxyy )2( 32 :</p><p>2</p><p>1</p><p>432</p><p>1</p><p>3</p><p>232</p><p>8</p><p>5</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>52)2(</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−=− ���</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>yR</p><p>yydyyydxdyxyy</p><p>24</p><p>113</p><p>8</p><p>5</p><p>3</p><p>210</p><p>3</p><p>16</p><p>8</p><p>)1(5</p><p>3</p><p>)1(2</p><p>8</p><p>)2(5</p><p>3</p><p>)2(2)2(</p><p>4343</p><p>32 −=+−−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−=−��</p><p>R</p><p>dxdyxyy</p><p>Também poderíamos ter iniciado a integração pela variável y. Para integrarmos a fun-</p><p>ção 2y2 − xy3 em relação à variável y, pensamos que x representa uma constante. Se a</p><p>variável x é interpretada, momentaneamente, como constante, o produto xy3 represen-</p><p>ta y3 multiplicado por uma constante. A integral de 2y2, em relação à variável y, é</p><p>CyCy +=+</p><p>+</p><p>+</p><p>3</p><p>2</p><p>12</p><p>2</p><p>312</p><p>.</p><p>A integral de xy3, em relação à variável y, é</p><p>Cxyyx +=</p><p>+</p><p>+</p><p>413</p><p>413</p><p>.</p><p>Como a integral da subtração de duas funções é a subtração das integrais das funções:</p><p>Cxyydyyxdyydyxydyydyxyy +−=−=−=− � � � �� 43</p><p>222)2(</p><p>43</p><p>323232 .</p><p>Sendo assim, para os extremos dados pela região R, temos que</p><p>dxxyydxdyxyydxdyxyy</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>yR</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>433</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>3232</p><p>43</p><p>2)2()2(</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�� ��� �</p><p>�</p><p>�</p><p>−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−=−</p><p>dxxxdxdyxyy</p><p>x</p><p>xR</p><p>���</p><p>=</p><p>=</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−=−</p><p>3</p><p>2</p><p>4343</p><p>32</p><p>4</p><p>)1(</p><p>3</p><p>)1(2</p><p>4</p><p>)2(</p><p>3</p><p>)2(2)2(</p><p>� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−−=−</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>32</p><p>4</p><p>15</p><p>3</p><p>14</p><p>43</p><p>24</p><p>3</p><p>16)2(</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxxdxxxdxdyxyy</p><p>169169169169169Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>Agora, precisamos fazer uma integral simples: a integral da função 4</p><p>15</p><p>3</p><p>14 x− , em rela-</p><p>ção à variável x. Vejamos:</p><p>14</p><p>3</p><p>15</p><p>4</p><p>14</p><p>3</p><p>15</p><p>4</p><p>14</p><p>3</p><p>15</p><p>4</p><p>14</p><p>3</p><p>15</p><p>4 2</p><p>1</p><p>2</p><p>−⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>= − = − = −∫ ∫</p><p>x dx dx xdx dx x dx x x. ++ = − +∫∫∫ C x x C14</p><p>3</p><p>15</p><p>8</p><p>2</p><p>Continuando com a integral �� −</p><p>R</p><p>dxdyxyy )2( 32 :</p><p>���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−==�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=−</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>32</p><p>8</p><p>15</p><p>3</p><p>14</p><p>4</p><p>15</p><p>3</p><p>14)2(</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xR</p><p>xxdxxdxdyxyy</p><p>24</p><p>113</p><p>2</p><p>15</p><p>3</p><p>28</p><p>8</p><p>13514</p><p>8</p><p>)2(15</p><p>3</p><p>)2(14</p><p>8</p><p>)3(15</p><p>3</p><p>)3(14)2(</p><p>22</p><p>32 −=+−−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−=−��</p><p>R</p><p>dxdyxyy</p><p>Exemplo 9.4. Calcule ��</p><p>R</p><p>xsenydxdy , sendo</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� ≤≤≤≤ℜ∈=</p><p>3</p><p>051:),( 2 πyexyxR .</p><p>A região R corresponde ao retângulo esboçado na figura 9.4.</p><p>Figura 9.4. Região</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� ≤≤≤≤ℜ∈=</p><p>3</p><p>051:),( 2 πyexyxR .</p><p>Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos</p><p>1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável</p><p>Exemplo 1.1. Derive f (x) = x5.</p><p>Esse é um dos casos mais simples de uso da tabela de derivadas. Temos de derivar, em</p><p>relação à variável x, uma função do tipo “base x elevada à 5ª potência”, lida apenas</p><p>como “x elevado ao expoente 5” ou “x elevado a 5”.</p><p>Vamos usar a seguinte regra da tabela de derivadas:</p><p>x ' dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −1 .</p><p>44444 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>No caso, n vale 5 (n = 5). Ou seja, a derivada de “x elevado a 5” é “5 multiplicado por x</p><p>elevado a 5 − 1”, resultando em “5 vezes x elevado a 4”, conforme segue.</p><p>f x x dx</p><p>dx</p><p>x x, ,</p><p>( ) = ( ) = = =−5</p><p>5</p><p>5 1 45 5</p><p>Exemplo 1.2. Derive y = x−7</p><p>Este também é um caso de uso direto da tabela de derivadas. Temos de derivar, em</p><p>relação à variável x, a função dada por “x elevado a −7”.</p><p>Vamos usar a seguinte regra da tabela de derivadas:</p><p>x dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1 .</p><p>No caso, n vale −7 (n = −7). Ou seja, a derivada de “x elevado a −7” é “−7 multiplicado</p><p>por x elevado a −7 −1”, resultando em “−7 vezes x elevado a −8”, conforme segue.</p><p>y x dx</p><p>dx</p><p>x x</p><p>x x</p><p>, ,</p><p>= ( ) = = − = − = − = −−</p><p>−</p><p>− − −7</p><p>7</p><p>7 1 8</p><p>8 87 7 7 1 7</p><p>Lembre-se que, subtraindo 1 de −7, temos −8 e não −6! Ou seja, a</p><p>derivada de x −7 em relação à variável x é −7x −8 e não −7x −6.</p><p>Na “transformação” de −7x −8 em −7</p><p>8x</p><p>não usamos qualquer regra de</p><p>derivação: apenas aplicamos a equivalência x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>a</p><p>a</p><p>− −= → =1 18</p><p>8</p><p>.</p><p>Exemplo 1.3. Derive f (x) = x 5/6.</p><p>Temos de derivar, em relação à variável x, a função dada por “x elevado à fração 5/6”.</p><p>Usamos a seguinte regra da tabela de derivadas:</p><p>x dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1 .</p><p>55555Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável</p><p>No caso, n vale 5</p><p>6</p><p>. Ou seja, a derivada de “x elevado a 5</p><p>6</p><p>” é “a fração 5</p><p>6</p><p>multiplicada por</p><p>x elevado à subtração 5</p><p>6</p><p>− 1”, resultando em 5</p><p>6</p><p>“ vezes x elevado a −1</p><p>6</p><p>”, conforme segue.</p><p>f x x dx</p><p>dx</p><p>x x</p><p>x x x</p><p>,( )</p><p>,</p><p>= ( ) = = ⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>= = = =− −5</p><p>6</p><p>5</p><p>6 5</p><p>6 1</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>6 6</p><p>5</p><p>6</p><p>5</p><p>6</p><p>5</p><p>6</p><p>1 5</p><p>6</p><p>5</p><p>6</p><p>Lembre-se que, para subtrair 1 de 5/6, devemos fazer:</p><p>5</p><p>6</p><p>1 5 1 6</p><p>6</p><p>5 6</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>− = − = − = −.</p><p>.</p><p>Na “transformação” de 5</p><p>6</p><p>1</p><p>6x</p><p>− em 5</p><p>6</p><p>5</p><p>61</p><p>6 6x x</p><p>= não usamos</p><p>qualquer regra de derivação, apenas aplicamos as equivalênci-</p><p>as: x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>a</p><p>a</p><p>− −</p><p>= → =1 11</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>e x x x x x</p><p>b</p><p>a ba= → = =</p><p>1</p><p>6 16 6 .</p><p>Exemplo 1.4. Derive f x x</p><p>( ) .= 1</p><p>5</p><p>Para podermos usar a tabela na derivação da função f x</p><p>x</p><p>( ) = 1</p><p>5 , antes devemos</p><p>“prepará-la”, de modo que a base x fique no numerador, sem que haja alteração da</p><p>função original.</p><p>Sabemos que:</p><p>1 1</p><p>5</p><p>5</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xn</p><p>n= → =− −</p><p>Escrevendo f x</p><p>x</p><p>( ) = 1</p><p>5 como f (x) = x−5, podemos utilizar a seguinte regra da tabela de</p><p>derivadas:</p><p>x dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1 .</p><p>66666 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Ou seja,</p><p>f x</p><p>x</p><p>x dx</p><p>dx</p><p>x x</p><p>x x</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>( ) = ⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>= ( ) = = −( ) = − = − = −−</p><p>−</p><p>− − −1 5 5 5 1 5</p><p>5</p><p>5</p><p>5</p><p>5 1 6</p><p>6 6</p><p>Observe que n, indicado na regra de derivadas, é −5 e não 5!</p><p>Lembre-se que, subtraindo 1 de −5, temos −6 e não −4. Ou seja,</p><p>a derivada de x −5 em relação à variável x é −5x −6 e não −5x −4!</p><p>Exemplo 1.5. Derive f x x( ) .=</p><p>Para podermos usar a tabela na derivação da função raiz quadrada de x, antes devemos</p><p>escrevê-la como “base x elevada a um expoente numérico”.</p><p>Sabemos que:</p><p>x x x x xba b</p><p>a= → = =12 1</p><p>2</p><p>Escrevendo a raiz quadrada de x como “x elevado ao expoente ½”, podemos usar</p><p>diretamente a seguinte regra da tabela de derivadas, com n = 1/2:</p><p>x dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1</p><p>Ou seja,</p><p>f x x x dx</p><p>dx</p><p>x x x, , ,</p><p>( ) = ( ) = ( ) = = ⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>= ⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>=−</p><p>− −1</p><p>2</p><p>1</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>1 2</p><p>2</p><p>11</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>22</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2 12</p><p>1</p><p>2</p><p>1 1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>= = = =</p><p>x x x x</p><p>77777Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável</p><p>De agora em diante, podemos aplicar x</p><p>x</p><p>( ) =</p><p>, 1</p><p>2 na deriva-</p><p>ção da função f x x( ) .=</p><p>Exemplo 1.6. Derive f x x( ) .= 23</p><p>Este exemplo é muito parecido com o exemplo 1.5. Sendo assim, antes de usarmos a</p><p>tabela, vamos escrever a função raiz cúbica de x ao quadrado como “base x elevada ao</p><p>expoente 2/3”.</p><p>Vejamos:</p><p>x x x xba b</p><p>a= → =23 2</p><p>3</p><p>Em seguida, usamos diretamente a seguinte regra da tabela de derivadas:</p><p>x dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1</p><p>Ou seja,</p><p>f x x x dx</p><p>dx</p><p>x x x,</p><p>, ,</p><p>( ) = ( ) = ( ) = = ⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>= ⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>=−</p><p>−</p><p>23 2</p><p>3</p><p>2</p><p>3 2</p><p>3 1</p><p>2 3</p><p>32</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>−−</p><p>= =</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3 3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3x x</p><p>Exemplo 1.7. Derive f (x) = x −3 + x3.</p><p>Temos de derivar, em relação à variável x, a soma de “x elevado a −3” com “x elevado a 3”.</p><p>Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar a propriedade D1, que afirma</p><p>que a derivada da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ou subtração)</p><p>das derivadas das funções:</p><p>f x g x f x g x �ou�</p><p>d f x g x</p><p>dx</p><p>df x</p><p>dx</p><p>dg x</p><p>dx</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ±</p><p>±( )</p><p>= ±</p><p>88888 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Ou seja,</p><p>f x x x dx</p><p>dx</p><p>dx</p><p>dx</p><p>x x, , , ,</p><p>( ) = +( ) = + = ( ) + ( )−</p><p>−</p><p>−3 3</p><p>3 3</p><p>3 3</p><p>Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conforme segue.</p><p>(x -3)’ = -3x -3-1 = -3x -4, pois x dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1 e, no caso, n = -3.</p><p>(x3)’ = 3x3-1 = 3x2, pois x dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1 e, no caso, n = 3.</p><p>Logo,</p><p>f ’(x) = (x −3 + x3)’ = (x −3)’ + (x3)’ = −3x −4 + 3x 2</p><p>A derivada já foi finalizada, mas ainda podemos escrever −3x −4 como −3</p><p>4x</p><p>. Sendo assim,</p><p>f ’(x) = (x −3 + x3)’ = −3x −4 + 3x 2 = −3</p><p>4x</p><p>+ 3x 2</p><p>Exemplo 1.8. Derive f (x) = 4x3</p><p>Temos de derivar, em relação à variável x, a constante 4 multiplicada por x elevado ao</p><p>cubo. Ou seja, trata-se da derivação do produto da constante k = 4 pela função x3.</p><p>Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a propriedade D2, que afirma que derivada</p><p>do produto (multiplicação) de uma constante por uma função é igual ao produto da</p><p>constante pela derivada da função:</p><p>k.f x k.f x �ou�</p><p>d k.f x</p><p>dx</p><p>k df x</p><p>dx</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( ), ,( ) =</p><p>( )</p><p>=</p><p>Ou seja,</p><p>f x d x</p><p>dx</p><p>x x, , ,</p><p>( ) ( )= = ( ) = ( )4 4 4</p><p>3</p><p>3 3</p><p>99999Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável</p><p>Agora, usando a regra</p><p>x</p><p>dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1 ,</p><p>para n = 3, temos que:</p><p>f x x x x, , ,</p><p>( ) = ( ) = ( ) = ( ) =−4 4 4 3 123 3 3 1 2x</p><p>Exemplo 1.9. Derive f x x</p><p>( ) .= +7 5</p><p>Antes de derivarmos a função</p><p>f x</p><p>x x</p><p>( ) = + = +7 5 7 5 1 ,</p><p>vamos escrevê-la como f (x) = 7 + 5x −1. Isso não altera a função original, pois, se</p><p>1</p><p>x</p><p>xa</p><p>a= − então</p><p>1 1</p><p>1</p><p>1</p><p>x x</p><p>dados pela região de</p><p>integração:</p><p>� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>3</p><p>0</p><p>5</p><p>1</p><p>)(</p><p>πy</p><p>y</p><p>x</p><p>xR</p><p>xdxdysenyxsenydxdy</p><p>170170170170170 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Para integrarmos a função xseny = (seny) x em relação à variável x, inicialmente pensamos</p><p>que y representa uma constante. Se a variável y é interpretada, momentaneamente,</p><p>como constante, então seny também representa uma constante. A integral indefinida</p><p>de xseny = (seny) x, em relação à variável x, é</p><p>( ) ( ) ( ) CxsenyCxsenyCxseny +=+=+</p><p>+</p><p>+</p><p>2</p><p>211</p><p>2</p><p>1</p><p>221</p><p>.</p><p>Sendo assim, para os extremos dados pela região R, temos que</p><p>[ ] [ ]dysenydyxsenydyxdxsenysenydxdyx</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>xR</p><p>��� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−==��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>=</p><p>3</p><p>0</p><p>22</p><p>5</p><p>1</p><p>3</p><p>0</p><p>2</p><p>3</p><p>0</p><p>5</p><p>1</p><p>)1()5(</p><p>2</p><p>1)(</p><p>2</p><p>1)()(.</p><p>πππ</p><p>dysenydysenysenydxdyx</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>yR</p><p>����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>==</p><p>3</p><p>0</p><p>3</p><p>0</p><p>1224</p><p>2</p><p>1)(.</p><p>ππ</p><p>Agora, vamos fazer uma integral simples: a integral da função seny em relação à variá-</p><p>vel y. Essa integral está na tabela e é − cos y + C. Sendo assim, para os extremos dados</p><p>pela região R, temos que</p><p>[ ] [ ] �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −−=−=−== =</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>��� 0cos</p><p>3</p><p>cos12cos12cos1212. 3</p><p>0</p><p>3</p><p>0</p><p>3</p><p>0</p><p>πππ</p><p>π</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>yR</p><p>yydysenysenydxdyx</p><p>6</p><p>2</p><p>112</p><p>2</p><p>21121</p><p>2</p><p>112. =�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −−=��</p><p>R</p><p>senydxdyx</p><p>Exemplo 9.5. Calcule �� +R</p><p>dxdy</p><p>yx</p><p>5</p><p>, sendo R o quadrado [0,2]x[1,3].</p><p>A região R corresponde ao quadrado esboçado na figura 9.5. Essa região também pode</p><p>ser escrita como { }3120:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR</p><p>171171171171171Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>Figura 9.5. Região { }3120:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR .</p><p>Podemos aplicar a propriedade I2, que permite que a integral de uma constante multi-</p><p>plicada por uma função seja expressa como a constante multiplicada pela integral da</p><p>função e escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de</p><p>integração:</p><p>� �����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>= +</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>15155 y</p><p>y</p><p>x</p><p>xRR</p><p>dxdy</p><p>yx</p><p>dxdy</p><p>yx</p><p>dxdy</p><p>yx</p><p>Precisamos resolver, inicialmente, a seguinte integral:</p><p>� +</p><p>dx</p><p>yx</p><p>1</p><p>.</p><p>Como estamos integrando em relação à variável x, pensamos que y representa, momen-</p><p>taneamente, uma constante. Sendo assim, temos que</p><p>( ) Cyxdx</p><p>yx</p><p>++=</p><p>+� ln1</p><p>Fazendo a integral definida:</p><p>( )[ ] ( ) ( ) ( ) yyyyyx</p><p>yx</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>ln2ln0ln2lnln1 2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>−+=+−+=+=</p><p>+</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>172172172172172 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Prosseguindo com a integral dupla:</p><p>( )( )� ����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−+=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>ln2ln5155 y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>xR</p><p>dyyydydx</p><p>yx</p><p>dxdy</p><p>yx</p><p>( ) �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−+=</p><p>+ ����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>ln2ln55 y</p><p>y</p><p>y</p><p>yR</p><p>ydydyydxdy</p><p>yx</p><p>Conforme visto no capítulo 7, as integrais � ydyln e � + dyy)2ln( são resolvidas</p><p>pelo método da integração por partes. Vejamos:</p><p>?ln =� ydy</p><p>dy</p><p>y</p><p>du</p><p>ydy</p><p>duyu 11ln =→=→=</p><p>Cydydvvdydv +===→= � �</p><p>Aplicando o método da integração por partes:</p><p>�� −= vduvudvu .</p><p>� � � +−=−=−= Cyyydyyydy</p><p>y</p><p>yyyydy lnln.1.).(lnln</p><p>Fazendo a integral definida desde y = 1 até y = 3:</p><p>[ ] ( ) ( ) 23ln3133ln311ln133ln3lnln 3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>−=+−=−−−=−= =</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>� y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>yyyydy</p><p>?)2ln( =+� dyy</p><p>( ) dy</p><p>y</p><p>du</p><p>ydy</p><p>duyu</p><p>+</p><p>=→</p><p>+</p><p>=→+=</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>12ln</p><p>Cydydvvdydv +===→= � �</p><p>173173173173173Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>Aplicando o método da integração por partes:</p><p>�� −= vduvudvu .</p><p>� � � +</p><p>+</p><p>−+=</p><p>+</p><p>−+=+ Cdy</p><p>y</p><p>yyydy</p><p>y</p><p>yyydyy</p><p>2</p><p>)2ln(.</p><p>2</p><p>1.)).2(ln()2ln(</p><p>?</p><p>2</p><p>=</p><p>+� dy</p><p>y</p><p>y</p><p>Façamos a seguinte substituição:</p><p>dydz</p><p>dy</p><p>dzzyeyz =→=→−=+= 122</p><p>� ��� � �� −=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=−=</p><p>+</p><p>dz</p><p>z</p><p>dzdz</p><p>z</p><p>dz</p><p>z</p><p>dz</p><p>zz</p><p>zdz</p><p>z</p><p>zdy</p><p>y</p><p>y 1211212122</p><p>2</p><p>� �� ++−+=+−=−=</p><p>+</p><p>Cyyczzdz</p><p>z</p><p>dzdy</p><p>y</p><p>y )2ln(22ln2121</p><p>2</p><p>Logo,</p><p>( )� � ++−+−+=</p><p>+</p><p>−+=+ Cyyyydy</p><p>y</p><p>yyydyy )2ln(22)2ln(</p><p>2</p><p>)2ln()2ln(</p><p>Cyyyydyy +++−−+=+� )2ln(22)2ln()2ln(</p><p>� +−−++=+ Cyyydyy 2)2ln()2()2ln(</p><p>Fazendo a integral definida desde y = 1 até y = 3:</p><p>( ) ( )�</p><p>=</p><p>=</p><p>−−++−−−++=+</p><p>3</p><p>1</p><p>12)12ln()21(32)32ln()23()2ln(</p><p>y</p><p>y</p><p>dyy</p><p>�</p><p>=</p><p>=</p><p>−−=+−−=+</p><p>3</p><p>1</p><p>23ln35ln533ln355ln5)2ln(</p><p>y</p><p>y</p><p>dyy</p><p>174174174174174 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Finalizando a integral dupla original:</p><p>( ))23ln3()23ln35ln5(5ln)2ln(55 3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>−−−−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−+=</p><p>+ � ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>yR</p><p>ydydyydxdy</p><p>yx</p><p>( )23ln323ln35ln555 +−−−=</p><p>+��</p><p>R</p><p>dxdy</p><p>yx</p><p>( ) ( ) 6</p><p>5</p><p>6</p><p>5</p><p>65</p><p>3</p><p>5ln5</p><p>3</p><p>5ln53ln5ln53ln65ln555 =��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>=−=−=</p><p>+��</p><p>R</p><p>dxdy</p><p>yx</p><p>Observe que, nas etapas finais, já depois de termos acabado</p><p>de resolver a integral, usamos as propriedades de logaritmos</p><p>citadas abaixo.</p><p>6</p><p>5</p><p>65</p><p>65</p><p>3</p><p>5ln3ln5lnlnlnln</p><p>3ln3ln65ln5ln5lnln.</p><p>=−→=−</p><p>==→=</p><p>d</p><p>cdc</p><p>ebba a</p><p>Exemplo 9.6. Calcule �� +</p><p>R</p><p>yx dxdyxe</p><p>2</p><p>, sendo R o retângulo [0,1]x[−1,1].</p><p>A região R corresponde ao retângulo esboçado na figura 9.6. Essa região também pode</p><p>ser escrita como { }1110:),( 2 ≤≤−≤≤ℜ∈= yexyxR</p><p>Figura 9.6. Região { }1110:),( 2 ≤≤−≤≤ℜ∈= yexyxR .</p><p>175175175175175Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>Antes de começarmos a resolver a integral, vamos usar que ab+c = ab .ac → ex2+y = ex2 .ey</p><p>para “preparar” a função. Sendo assim,</p><p>���� =+</p><p>R</p><p>yx</p><p>R</p><p>yx dxdyexedxdyxe</p><p>22</p><p>Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de</p><p>integração:</p><p>� �����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>+ ==</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>1</p><p>222</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>yx</p><p>R</p><p>yx</p><p>R</p><p>yx dydxexedxdyexedxdyxe</p><p>Vamos resolver, inicialmente, a integral da função xex2 e y em relação à variável y. Como</p><p>estamos integrando em relação à variável y, pensamos que x representa, momentanea-</p><p>mente, uma constante e, consequentemente, xex2 também representa uma constante.</p><p>Ou seja,</p><p>Cexedyexedyexe yxyxyx +== ��</p><p>222</p><p>.</p><p>Sendo assim, temos que</p><p>� �� �����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>+</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>===</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>1</p><p>2222</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>yx</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>yx</p><p>R</p><p>yx</p><p>R</p><p>yx dxdyexedydxexedxdyexedxdyxe</p><p>A integral de e y, em relação à variável y, é obtida diretamente da tabela: Cedye yy +=� .</p><p>Para os extremos da integral em questão:</p><p>[ ] ( ) ( ) ���� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>+ −=−==�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>=</p><p>1</p><p>0</p><p>11</p><p>1</p><p>0</p><p>11</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>1</p><p>22222</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>yx</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>yx</p><p>R</p><p>yx dxxeeedxeexedxexedxdyexedxdyxe</p><p>Agora, temos de fazer a integral da função xex2 em relação à variável x. Essa integral é</p><p>resolvida pelo método da substituição, conforme explicado no capítulo 6.</p><p>Façamos a seguinte substituição:</p><p>xdxduxdxdux</p><p>dx</p><p>duxu =→=→=→=</p><p>2</p><p>222</p><p>176176176176176 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas</p><p>e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Ou seja,</p><p>CeCedueduexdxedxxe xuuuxx +=+==== ����</p><p>222</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>A integral definida fica:</p><p>[ ] ( ) ( ) ( )1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 0101</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>2222</p><p>−=−=−==�</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>= eeeeeedxxe</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xx</p><p>Finalizando a integral dupla original:</p><p>( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11</p><p>2</p><p>11</p><p>2</p><p>11</p><p>2</p><p>1 11</p><p>1</p><p>0</p><p>11 22</p><p>−�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=−−=−−=−= −−</p><p>=</p><p>=</p><p>−+ ��� e</p><p>e</p><p>eeeeeeedxxeeedxdyxe</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>R</p><p>yx</p><p>Exemplo 9.7. Calcule �� −</p><p>R</p><p>dxdyyx )( , sendo R o semicírculo x2 + y2 ≤ 1, com x ≥ 0.</p><p>A região R corresponde ao semicírculo esboçado na figura 9.7. Essa região também</p><p>pode ser escrita como { }222 1110:),( xyxexyxR −+≤≤−−≤≤ℜ∈=</p><p>Figura 9.7. Região { }222 1110:),( xyxexyxR −+≤≤−−≤≤ℜ∈= .</p><p>177177177177177Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>Devemos lembrar o que segue.</p><p>• A equação x2 + y2 = 12 corresponde à circunferência de raio 1 com centro na</p><p>origem (0,0).</p><p>• A equação x2 + y2 = 12, na condição x ≥ 0, corresponde à semicircunferência</p><p>de raio 1 com centro na origem (0,0), que ocupa o 1º e o 4º quadrantes do</p><p>plano xOy.</p><p>• A equação x2 + y2 = 12, na condição x ≥ 0, corresponde a duas funções:</p><p>21 xy −+= , para 0 ≤ y ≤ 1, e 21 xy −−= , para −1 ≤ y ≤ 0, conforme indica-</p><p>do na figura 9.7.</p><p>Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de</p><p>integração:</p><p>� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>−+=</p><p>−−=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−=−</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>)()(</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>xyR</p><p>dxdyyxdxdyyx</p><p>Precisamos resolver, inicialmente, a integral da função (x − y) em relação à variável y.</p><p>Como estamos integrando em relação à variável y, pensamos que x representa, momen-</p><p>taneamente, uma constante e, consequentemente, a função (x − y) representa a função</p><p>“constante menos y”. A integral de x, em relação à variável y, é xy e a integral de y = y1,</p><p>em relação à variável y, é</p><p>CyCy +=+</p><p>+</p><p>+</p><p>211</p><p>211</p><p>.</p><p>Visto que a integral da subtração de duas funções é igual à subtração das integrais das</p><p>funções, temos que</p><p>� � � +−=−=− Cyxyydyxdydyyx</p><p>2</p><p>)(</p><p>2</p><p>.</p><p>Sendo assim, para os extremos dados pela região R, temos que</p><p>�� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>−+=</p><p>−−=</p><p>=</p><p>=</p><p>−+=</p><p>−−=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−=−</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>1</p><p>21</p><p>0</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>)()(</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>xy</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>xyR</p><p>dxyxydxdyyxdxdyyx</p><p>178178178178178 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>���</p><p>=</p><p>= �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −−−−−−�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −−−=−</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>11</p><p>2</p><p>11)(</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxxxxxxxdxdyyx</p><p>( ) ( )</p><p>���</p><p>=</p><p>=</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� −+−+−−−=−</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>11</p><p>2</p><p>11)(</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxxxxxxxdxdyyx</p><p>����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=−=−</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>2 2112)(</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xR</p><p>xdxxdxxxdxdyyx</p><p>Agora, temos de fazer a integral da função xx 21 2− em relação à variável x. Essa</p><p>integral é resolvida pelo método da substituição, conforme explicado no capítulo 6.</p><p>Façamos a seguinte substituição:</p><p>xdxduxdxdux</p><p>dx</p><p>duxu 2221 2 =−→−=→−=→−=</p><p>Ou seja,</p><p>( ) CxCuxdxx</p><p>CuCuCuduuduuduuxdxx</p><p>+−−=+−=−</p><p>+−=++−=+</p><p>+</p><p>−=−=−=−=−</p><p>�</p><p>� � ��</p><p>+</p><p>+</p><p>2</p><p>322</p><p>32</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>21</p><p>12</p><p>1</p><p>2</p><p>12</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>221</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2112</p><p>1)(21</p><p>A integral definida fica:</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>3</p><p>210</p><p>3</p><p>2)0(1)1(1</p><p>3</p><p>21</p><p>3</p><p>221 2</p><p>322</p><p>32</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>32</p><p>1</p><p>0</p><p>2 =−−=�</p><p>��</p><p>−−−−=�</p><p>��</p><p>−−=−</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xxdxx</p><p>Finalizando a integral dupla original:</p><p>3</p><p>2)()(</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−=− � ���</p><p>=</p><p>=</p><p>++=</p><p>−−=</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>xyR</p><p>dxdyyxdxdyyx</p><p>179179179179179Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>Exemplo 9.8. Calcule ��</p><p>R</p><p>dxdyxy</p><p>2</p><p>, sendo R a região do primeiro quadrante limitada pela</p><p>circunferência com centro na origem (0,0) e raio igual a 3.</p><p>Como xyxy</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>= , aplicando a propriedade I2, podemos escrever a integral “colocando</p><p>o fator de multiplicação ½ fora da integral”:</p><p>������ ==</p><p>RRR</p><p>xydxdyxydxdydxdyxy</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>A circunferência de centro na origem (0,0) e raio igual a 3 tem equação x2 + y2 = 32. No</p><p>primeiro quadrante, temos x ≥ 0 e y ≥ 0, e a função correspondente ao arco de circun-</p><p>ferência é 29 xy −= , conforme ilustrado na figura 9.8.</p><p>Figura 9.8. Região do 1º quadrante do plano xOy limitada</p><p>pela circunferência de centro na origem e raio 3.</p><p>A região R também pode ser escrita como { }22 9030:),( xyexyxR −≤≤≤≤ℜ∈= .</p><p>Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de</p><p>integração:</p><p>� �������</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>===</p><p>3</p><p>0</p><p>9</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>yRRR</p><p>dxxydyxydxdyxydxdydxdyxy</p><p>180180180180180 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Precisamos resolver, inicialmente, a integral da função xy em relação à variável y. Como</p><p>estamos integrando em relação à variável y, pensamos que x representa, momentanea-</p><p>mente, uma constante e, consequentemente, a função xy representa o produto de y por</p><p>uma constante.</p><p>A integral de xy = xy1, em relação à variável y, é</p><p>CxyCyxCyx +=+=+</p><p>+</p><p>+</p><p>2</p><p>211</p><p>2</p><p>1</p><p>211</p><p>.</p><p>Sendo assim, para os extremos dados, temos que</p><p>[ ]��� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>=�</p><p>��</p><p>=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>=</p><p>3</p><p>0</p><p>9</p><p>0</p><p>2</p><p>3</p><p>0</p><p>9</p><p>0</p><p>2</p><p>3</p><p>0</p><p>9</p><p>0</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>yR</p><p>dxyxdxxydxxydydxdyxy</p><p>( ) ( ) ( )�����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=−=�</p><p>��</p><p>−−=</p><p>3</p><p>0</p><p>3</p><p>3</p><p>0</p><p>2</p><p>3</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>2 9</p><p>4</p><p>19</p><p>4</p><p>1)0(9</p><p>2</p><p>1.</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxxxdxxxdxxxdxdyxy</p><p>Agora, temos de fazer a integral da função (9x − x3) em relação à variável x. Essa</p><p>integral é resolvida diretamente pela tabela, usando-se as propriedades I1 e I2 dadas</p><p>no capítulo 4. Vejamos:</p><p>( ) ��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−=−= �����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>3</p><p>0</p><p>3</p><p>3</p><p>0</p><p>3</p><p>0</p><p>3 9</p><p>4</p><p>19</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxxxdxdxxxdxdyxy</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>�� 4</p><p>81</p><p>2</p><p>9.9</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>)0(</p><p>2</p><p>)0(9</p><p>4</p><p>)3(</p><p>2</p><p>)3(9</p><p>4</p><p>1</p><p>42</p><p>9</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>42423</p><p>0</p><p>42 x</p><p>xR</p><p>xxdxdyxy</p><p>16</p><p>81</p><p>4</p><p>81162</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=��</p><p>R</p><p>dxdyxy</p><p>Exemplo 9.9. Calcule �� −</p><p>R</p><p>y dxdye</p><p>2</p><p>, sendo R o triângulo de vértices (0,0), (0,1) e (1,1).</p><p>A região R corresponde ao triângulo esboçado na figura 9.9. Essa região também pode</p><p>ser escrita como { }2R (x, y) : 0 x 1 e x y 1= ∈ ℜ ≤ ≤ ≤ ≤</p><p>181181181181181Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>Figura 9.9. Região { }110:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yxexyxR .</p><p>Devemos lembrar o que segue abaixo.</p><p>• A reta que passa pelos pontos (0,0) e (1,1) corresponde à função y = x.</p><p>• Na região triangular ilustrada na figura 9.9, a variável x varia desde x = 0</p><p>até x = 1, enquanto a variável y varia desde y = x até y = 1 (reta vertical de</p><p>altura y = 1).</p><p>Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de</p><p>integração:</p><p>� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−−</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>=</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>22</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>xy</p><p>y</p><p>R</p><p>y dxdyedxdye</p><p>Precisaríamos resolver, inicialmente, a integral da função e−y2 em relação à variável y.</p><p>No entanto, essa integral não é direta da tabela e não pode ser resolvida pelos méto-</p><p>dos da substituição ou da integração por partes.</p><p>Há alguma alternativa para chegarmos a uma integral mais fácil de ser resolvida?</p><p>Sim, podemos reescrever a região de integração. Se fizermos uma rotação da figura 9.9,</p><p>obteremos a região B mostrada na figura 9.10.</p><p>Nesse caso, a região B pode ser escrita como { }100:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yeyxyxB .</p><p>182182182182182 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Figura 9.10. Região { }100:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yeyxyxB .</p><p>Se começarmos a integral pela variável x:</p><p>� �� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−−−</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>==</p><p>1</p><p>0 0</p><p>222</p><p>y</p><p>y</p><p>yx</p><p>x</p><p>y</p><p>B</p><p>y</p><p>R</p><p>y dydxedxdyedxdye</p><p>Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável x, pensamos que y</p><p>representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função e−y2 tam-</p><p>bém representa “uma constante que pode ser colocada para fora da integral”. Sendo</p><p>assim, segundo a propriedade I2 vista no capítulo 4, temos que �� −− = dxedxe yy 22</p><p>,</p><p>sendo que tivemos a “vantagem” de ficar com uma integral diretíssima da tabela. Ou seja,</p><p>� �� �� �� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−−−</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>==</p><p>1</p><p>0 0</p><p>1</p><p>0 0</p><p>1</p><p>0 0</p><p>1</p><p>22222</p><p>y</p><p>y</p><p>yx</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>yx</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>yx</p><p>x</p><p>y</p><p>B</p><p>y</p><p>R</p><p>y dydxedydxedydxeedxdye</p><p>Temos de fazer a integral da função 1 em relação em relação à variável x. Essa integral</p><p>é resolvida diretamente pela tabela, pois “a integral de 1 em relação à variável x é x”.</p><p>Vejamos:</p><p>[ ] ( )� � �� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−−=</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−− =−==�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>=</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>0</p><p>1</p><p>0 0</p><p>22222</p><p>01</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>yyyx</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>yx</p><p>x</p><p>y</p><p>R</p><p>y ydyedyyedyxedydxedxdye</p><p>183183183183183Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>Agora, a integral a ser resolvida é a integral de y em relação à variável y, que é feita pelo</p><p>método da substituição. Ou seja,</p><p>[ ] ( ) �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=−−=−== −=</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>=</p><p>−− ��� e</p><p>eeeydyeydxdye</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>R</p><p>y 11</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 011</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>222</p><p>Em resumo:</p><p>� ��� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −== −−</p><p>e</p><p>edxdye</p><p>B</p><p>y</p><p>R</p><p>y 11</p><p>2</p><p>122</p><p>Exemplo 9.10. Calcule ��</p><p>R</p><p>dxdysenx3 , sendo { }22 010:),( xyexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= .</p><p>A região R corresponde à área colorida em cinza na figura 9.11.</p><p>Figura 9.11. Região { }22 010:),( xyexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= .</p><p>Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de</p><p>integração:</p><p>dxdysenxdxdysenx</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>yR</p><p>� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>=</p><p>1</p><p>0 0</p><p>33</p><p>2</p><p>184184184184184 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que x</p><p>representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função senx3 tam-</p><p>bém representa “uma constante que pode ser colocada para fora da integral”. Sendo assim,</p><p>segundo a propriedade I2 vista no capítulo 4, temos que �� = dysenxdysenx 33 . Ou seja,</p><p>dxdysenxdxdysenxdxdysenxdxdysenx</p><p>xy</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>yR</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>= ����� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>222</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>3</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>3</p><p>1</p><p>0 0</p><p>33 1</p><p>Precisamos fazer a integral da função 1 em relação em relação à variável y. Essa</p><p>integral é resolvida diretamente pela tabela, pois “a integral de 1 em relação à variá-</p><p>vel y é y”. Vejamos:</p><p>[ ] ( )( ) ( )�������</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=−==</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>=</p><p>1</p><p>0</p><p>23</p><p>1</p><p>0</p><p>223</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>3</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>33 01</p><p>2</p><p>2 x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>y</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxxsenxdxxsenxdxysenxdxdysenxdxdysenx</p><p>A integral a ser resolvida agora pode ser feita pelo método da substituição, conforme</p><p>visto no capítulo 6.</p><p>Façamos a seguinte substituição:</p><p>dxxdudxxdux</p><p>dx</p><p>duxu 2223</p><p>3</p><p>33 =→=→=→=</p><p>Ou seja,</p><p>( )� �� +−=+−=+−==�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�= CxCuCusenududusenudxxsenx 323 cos</p><p>3</p><p>1cos</p><p>3</p><p>1cos</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>)(</p><p>A integral definida fica:</p><p>[ ] ( ) ( ) ( )1cos1</p><p>3</p><p>111cos</p><p>3</p><p>10cos1cos</p><p>3</p><p>1cos</p><p>3</p><p>1)( 1</p><p>0</p><p>3</p><p>1</p><p>0</p><p>23 −=−−=−−=−= =</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xdxxsenx</p><p>Finalizando a integral original:</p><p>( )1cos1</p><p>3</p><p>13 −=��</p><p>R</p><p>dxdysenx</p><p>185185185185185Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>Exemplo 9.11. Calcule ( )�� +</p><p>R</p><p>dxdyxyx2 , sendo { }232 10:),( xyxexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= .</p><p>A região R é a área colorida em cinza na figura 9.12.</p><p>Figura 9.12. Região { }232 10:),( xyxexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= .</p><p>Na região R, a variável x varia desde x = 0 até x = 1, que são as abscissas dos pontos</p><p>de intersecção entre as funções y1 = x3 e y2 = x2 (fazendo x3 = x2, obtemos que x = 0 ou</p><p>x = 1). A variável y varia desde y1 = x3 até y2 = x2. Sendo assim, podemos escrever:</p><p>( ) dxdyxyxdxdyxyx</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>xyR</p><p>� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>+=+</p><p>1</p><p>0</p><p>22</p><p>2</p><p>3</p><p>)(</p><p>186186186186186 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que x</p><p>representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função x2 tam-</p><p>bém representa uma constante. A função x.y é primeiramente interpretada como o</p><p>produto da variável y por uma constante.</p><p>A integral de x2, em relação à variável y, é</p><p>�� +== Cyxdyxdyx 222 .</p><p>A integral de xy, em relação à variável y, é</p><p>�� +== Cyxdyyxxydy</p><p>2</p><p>2</p><p>1 .</p><p>Visto que a integral da soma de duas funções é igual à soma das integrais das funções,</p><p>temos que</p><p>� � � ++=+=+ .</p><p>2</p><p>)(</p><p>2</p><p>222 Cyxyxxydydyxdyxyx</p><p>Para os extremos dados pela região R:</p><p>( ) �� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>+=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>+=+</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>22</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3 2</p><p>)(</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>xy</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>xyR</p><p>dxyxyxdxdyxyxdxdyxyx</p><p>( ) ( )</p><p>���</p><p>=</p><p>= �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>+−�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>+=+</p><p>1</p><p>0</p><p>23</p><p>32</p><p>22</p><p>222</p><p>22</p><p>)(</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxxxxxxxxxdxdyxyx</p><p>���</p><p>=</p><p>=</p><p>++</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−+=+</p><p>1</p><p>0</p><p>2.3</p><p>32</p><p>2.2</p><p>222</p><p>22</p><p>)(</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxxxxxxxdxdyxyx</p><p>���</p><p>=</p><p>=</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−+=+</p><p>1</p><p>0</p><p>6</p><p>5</p><p>4</p><p>42</p><p>22</p><p>)(</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxxxxxxxdxdyxyx</p><p>����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−+=+</p><p>1</p><p>0</p><p>75</p><p>4</p><p>1</p><p>0</p><p>7</p><p>5</p><p>5</p><p>42</p><p>2222</p><p>)(</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxxxxdxxxxxdxdyxyx</p><p>187187187187187Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>Do capítulo 4, sabemos que:</p><p>� � �� � �� −−=−−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−− dxxdxxdxxdxxdxxdxxdxxxx 754</p><p>75</p><p>4</p><p>75</p><p>4</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2222</p><p>CxxxCxxxdxxxx +−−=+</p><p>+</p><p>−</p><p>+</p><p>−</p><p>+</p><p>=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−</p><p>+++</p><p>� 82</p><p>1</p><p>62</p><p>1</p><p>5172</p><p>1</p><p>152</p><p>1</p><p>1422</p><p>86517151475</p><p>4</p><p>Prosseguindo com a integral definida:</p><p>1</p><p>0</p><p>8651</p><p>0</p><p>75</p><p>42</p><p>82</p><p>1</p><p>62</p><p>1</p><p>522</p><p>)(</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−=+ ���</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xR</p><p>xxxdxxxxdxdyxyx</p><p>240</p><p>13</p><p>240</p><p>152048)(</p><p>16</p><p>1</p><p>12</p><p>1</p><p>5</p><p>1</p><p>8</p><p>)0(.</p><p>2</p><p>1</p><p>6</p><p>)0(.</p><p>2</p><p>1</p><p>5</p><p>)0(</p><p>8</p><p>)1(.</p><p>2</p><p>1</p><p>6</p><p>)1(.</p><p>2</p><p>1</p><p>5</p><p>)1()(</p><p>2</p><p>865865</p><p>2</p><p>=−−=+</p><p>−−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−−��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−=+</p><p>��</p><p>��</p><p>R</p><p>R</p><p>dxdyxyx</p><p>dxdyxyx</p><p>Exemplo 9.12. Calcule ��</p><p>R</p><p>xydxdy2 , sendo { }xyxexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= 22 10:),( .</p><p>Aplicando a propriedade I2, podemos escrever:</p><p>���� =</p><p>RR</p><p>xydxdyxydxdy 22</p><p>A região R é a área colorida em cinza na figura 9.13.</p><p>188188188188188 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Figura 9.13. Região { }xyxexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= 22 10:),( .</p><p>Na região R, a variável x varia desde x = 0 até x = 1, que são as abscissas dos pontos</p><p>de intersecção entre as funções y1 = x2 e xy =2 (fazendo xx =2 , obtemos x = 0 ou</p><p>x = 1). A variável y varia desde y1 = x2 até xy =2 . Sendo assim, podemos escrever:</p><p>� �����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>==</p><p>1</p><p>0 2</p><p>222</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>xyRR</p><p>dxxydyxydxdyxydxdy</p><p>Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que x</p><p>representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função x.y é</p><p>interpretada como o produto da variável y por uma constante. Sendo assim,</p><p>.</p><p>2</p><p>1</p><p>211</p><p>2</p><p>211</p><p>1 CxyCyxCyxdyyxxydy +=+=+</p><p>+</p><p>==</p><p>+</p><p>��</p><p>Ou seja,</p><p>[ ]��� �����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>==</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>22 2</p><p>12</p><p>2</p><p>12222</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>xy</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>xy</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>xyRR</p><p>dxyxdxxydxxydyxydxdyxydxdy</p><p>( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )������</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=−=−=�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� −=</p><p>1</p><p>0</p><p>52</p><p>1</p><p>0</p><p>4111</p><p>1</p><p>0</p><p>4</p><p>1</p><p>0</p><p>222</p><p>2</p><p>1.22</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxxxdxxxxxdxxxxdxxxxxydxdy</p><p>189189189189189Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>Agora, temos de resolver, em relação à variável x, a integral da diferença x2 − x5. Essa</p><p>integral equivale, em relação à variável x, à subtração entre a integral de x2 e a integral</p><p>de x5, que são resolvidas diretamente pela tabela.</p><p>Vejamos:</p><p>( ) CxxCxxdxxdxxdxxx +−=+</p><p>+</p><p>−</p><p>+</p><p>=−=−</p><p>++</p><p>� � � 631512</p><p>631512</p><p>5252</p><p>Finalizando a integral original:</p><p>( )</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>12</p><p>6</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>6</p><p>)0(</p><p>3</p><p>)0(</p><p>6</p><p>)1(</p><p>3</p><p>)1(</p><p>63</p><p>2</p><p>63631</p><p>0</p><p>631</p><p>0</p><p>52 =−=−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>−=−=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>���</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xR</p><p>xxdxxxxydxdy</p><p>Exemplo 9.13. Calcule ( )�� −</p><p>R</p><p>dxdyxyx 32 , sendo R x,y x x y x= ∈ℜ ≤ ≤ ≤ ≤ −{ }( ) :2 0 1 2e</p><p>.</p><p>A região R é a área colorida em cinza na figura 9.14.</p><p>Figura 9.14. Região { }xyxexyxR −≤≤≤≤ℜ∈= 210:),( 2 .</p><p>190190190190190 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Na região R, a variável x varia desde x = 0 até x = 1. A variável y varia desde xy =1 até</p><p>y2 = 2 − x. Sendo assim, podemos escrever:</p><p>( ) ( )� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−=−</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>22 33</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>xyR</p><p>dxdyxyxdxdyxyx</p><p>Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que x</p><p>representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, x2 representa</p><p>uma constante e 3xy representa o produto da variável y por uma constante.</p><p>A integral de x2 em relação à variável y é</p><p>�� +== Cyxdyxdyx 222 .</p><p>A integral de 3xy em relação à variável y é</p><p>�� +== Cyxdyyxxydy</p><p>2</p><p>333</p><p>2</p><p>1 .</p><p>Visto que a integral da subtração de duas funções é igual à subtração das integrais das</p><p>funções, temos que</p><p>� � � +−=−=− .</p><p>2</p><p>33)3(</p><p>2</p><p>222 Cyxyxxydydyxdyxyx</p><p>Sendo assim, para os extremos dados pela região R, temos que</p><p>( ) ( ) �� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−=−</p><p>1</p><p>0</p><p>22</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>333</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>xy</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>xyR</p><p>dxyxyxdxdyxyxdxdyxyx</p><p>( ) ���</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� −−−=−</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>)(3)(</p><p>2</p><p>)2(3)2(3</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxxxxxxxxxdxdyxyx</p><p>( ) ( )</p><p>���</p><p>=</p><p>=</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −−��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� +−−−=−</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>12</p><p>2</p><p>322</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>44323</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxxxxxxxxxxdxdyxyx</p><p>191191191191191Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>( ) ( )</p><p>���</p><p>=</p><p>=</p><p>+</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� +−−−=−</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>1432</p><p>322</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3121223</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxxxxxxxxdxdyxyx</p><p>( ) ���</p><p>=</p><p>=</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+−−+−−=−</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>53</p><p>2322</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>36623</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxxxxxxxxdxdyxyx</p><p>( ) ���</p><p>=</p><p>=</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>+−−−−=−</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>53</p><p>322</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3683</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxxxxxxxdxdyxyx</p><p>( ) ���</p><p>=</p><p>=</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−−−++=−</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>53322</p><p>2 6</p><p>2</p><p>32</p><p>2</p><p>3163</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxxxxxxxdxdyxyx</p><p>( ) � ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −−−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−−=−</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>5322</p><p>532</p><p>2 6</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>196</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>193</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xR</p><p>dxxxxxdxxxxxdxdyxyx</p><p>Agora, temos de resolver uma integral simples, em relação à variável x. Essa integral é</p><p>diretíssima da tabela. Vejamos:</p><p>( )</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>7</p><p>2</p><p>43</p><p>1</p><p>0</p><p>12</p><p>5243</p><p>2</p><p>2</p><p>73</p><p>8</p><p>5</p><p>6</p><p>19</p><p>12</p><p>52</p><p>6</p><p>42</p><p>5</p><p>32</p><p>193</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>+</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−−−=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>+</p><p>−−−=−��</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>R</p><p>xxxxxxxxdxdyxyx</p><p>( )</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>72</p><p>43</p><p>2</p><p>7</p><p>23</p><p>8</p><p>5</p><p>6</p><p>193</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−−−=−��</p><p>x</p><p>xR</p><p>xxxxdxdyxyx</p><p>( ) ��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−−−��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−−−=−�� 2</p><p>72</p><p>43</p><p>2</p><p>72</p><p>43</p><p>2 )0(</p><p>7</p><p>2)0(3</p><p>8</p><p>)0(5</p><p>6</p><p>)0(19)1(</p><p>7</p><p>2)1(3</p><p>8</p><p>)1(5</p><p>6</p><p>)1(193</p><p>R</p><p>dxdyxyx</p><p>( )</p><p>168</p><p>125</p><p>336</p><p>250</p><p>336</p><p>9610082101064</p><p>7</p><p>23</p><p>8</p><p>5</p><p>6</p><p>1932 −=−=−−−=−−−=−��</p><p>R</p><p>dxdyxyx</p><p>Exemplo 9.14. Calcule ��</p><p>R</p><p>ydxdyx cos4 sendo R a região limitada pelo gráfico da parábola</p><p>y = x2 e por x = 1 e y = 0.</p><p>Se aplicarmos a propriedade I2 vista no capítulo 4, podemos escrever:</p><p>���� =</p><p>RR</p><p>ydxdyxydxdyx cos4cos4</p><p>192192192192192 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>A região R, que pode ser escrita como { }22 010:),( xyexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= , é a</p><p>área colorida em cinza indicada na figura 9.15.</p><p>Figura 9.15. Região { }22 010:),( xyexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= .</p><p>Na região R, a variável x varia desde x = 0 até x = 1. A variável y varia desde y = 0 até</p><p>y = x2. Sendo assim, podemos escrever:</p><p>� �����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>==</p><p>1</p><p>0 0</p><p>2</p><p>cos4cos4cos4</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>yRR</p><p>dxydyxydxdyxydxdyx</p><p>Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que x</p><p>representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função x.cos y</p><p>é interpretada como o produto de uma constante pela função cosseno de y.</p><p>A integral de x.cos y, em relação à variável y, é</p><p>�� +== Cxsenyydyxydyx coscos. .</p><p>193193193193193Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>Sendo assim, para o caso em estudo, temos que</p><p>[ ]( )�� �����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>==</p><p>1</p><p>0</p><p>0</p><p>1</p><p>0 0</p><p>2</p><p>2</p><p>4cos4cos4cos4</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>y</p><p>x</p><p>x</p><p>xy</p><p>yRR</p><p>dxsenyxdxydyxydxdyxydxdyx</p><p>( ) ( ) ������</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>==−=−=</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>2 )(440404cos4</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xR</p><p>xdxsenxdxxsenxdxsenxxdxsensenxxydxdyx</p><p>Agora, temos de resolver uma integral simples, em relação à variável x, feita pelo</p><p>método da substituição, conforme visto no capítulo 6.</p><p>Façamos a seguinte substituição:</p><p>xdxduxdxdux</p><p>dx</p><p>duxu =→=→=→=</p><p>2</p><p>222</p><p>Ou seja,</p><p>( )� �� +−=+−=+−==�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�= CxCuCusenududusenuxdxsenx 22 cos</p><p>2</p><p>1cos</p><p>2</p><p>1cos</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>)(</p><p>A integral definida fica:</p><p>[ ] ( ) ( ) ( )1cos1</p><p>2</p><p>111cos</p><p>2</p><p>10cos1cos</p><p>2</p><p>1cos</p><p>2</p><p>1)( 1</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>2 −=−−=−−=−= =</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>xxdxsenx</p><p>Finalizando:</p><p>( ) ( )1cos121cos1</p><p>2</p><p>1.4)(4cos4</p><p>1</p><p>0</p><p>2 −=−== ���</p><p>=</p><p>=</p><p>x</p><p>xR</p><p>xdxsenxydxdyx</p><p>194194194194194 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exemplo 9.15. Calcule ��</p><p>R</p><p>dxdyy</p><p>3</p><p>3</p><p>sendo R a região limitada por y = x − 6 e x = y2.</p><p>Sabendo que 3</p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>yy</p><p>= e que a integral do produto de uma constante por uma função</p><p>é igual ao produto da constante pela integral da função (propriedade I2), podemos</p><p>escrever:</p><p>������ ==</p><p>RRR</p><p>dxdyydxdyydxdyy 33</p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>Vamos calcular os pontos I1 e I2 que são as intersecções entre y = x − 6 e x = y2. Vejamos:</p><p>y = x − 6 e x = y2 → y = y2 − 6 → y2 − y − 6 = 0</p><p>Vamos utilizar a fórmula de Báskaras para resolver a equação do segundo grau acima.</p><p>Δ = b2 − 4.a.c = (− 1)2 − 4.(1).(− 6) = 1 + 24 = 25</p><p>Logo, os pontos I1 e I2 têm, respectivamente, ordenadas iguais a y1 = − 2 e y2 = 3.</p><p>A abscissa correspondente a y1 = − 2 é x1 = (− 2)2 = 4. Logo, I1 = (4,− 2).</p><p>A abscissa correspondente a y2 = 3 é x2 = (3)2 = 9. Logo, I2 = (9,3).</p><p>Na região R, a variável y varia desde y = − 2 até y = 3. A variável x varia desde a função</p><p>x1 = y2 até a função x2 = 6 + y.</p><p>Essa região R, que pode ser escrita como , é</p><p>a área colorida em cinza na figura 9.16. No gráfico a seguir, utilizamos o eixo x como o</p><p>eixo vertical e o eixo y como o eixo horizontal.</p><p>195195195195195Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>Figura 9.16. Região { }632:),( 22 +≤≤≤≤−ℜ∈= yxyeyyxR .</p><p>Sendo assim, podemos escrever:</p><p>� �����</p><p>=</p><p>−=</p><p>+=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>==</p><p>3</p><p>2</p><p>6</p><p>33</p><p>3</p><p>23</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>y</p><p>y</p><p>yx</p><p>yxRR</p><p>dydxydxdyydxdyy</p><p>Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável x, pensamos que y</p><p>representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função y3 é</p><p>interpretada como uma constante. A integral de y3 em relação à variável x é</p><p>Cxydxydxydxy +=== ��� 3333 1 .</p><p>Ou seja,</p><p>[ ] ( ) ( )( )��� �����</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>−=</p><p>+=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>+=</p><p>=</p><p>−+==</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>==</p><p>3</p><p>2</p><p>23</p><p>3</p><p>2</p><p>63</p><p>3</p><p>2</p><p>6</p><p>33</p><p>3</p><p>6</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3 2</p><p>2</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>yx</p><p>yx</p><p>y</p><p>y</p><p>yx</p><p>yxRR</p><p>dyyyydyxydydxydxdyydxdyy</p><p>( ) ( )����</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>−=</p><p>−+=−+=</p><p>3</p><p>2</p><p>543</p><p>3</p><p>2</p><p>23</p><p>3</p><p>6</p><p>3</p><p>16</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>yR</p><p>dyyyydyyyydxdyy</p><p>196196196196196 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Agora, temos de resolver uma integral simples, em relação à variável y, feita pela</p><p>aplicação das propriedades P1 e P2, dadas no capítulo 4, e da tabela de integrais</p><p>imediatas. Ou seja,</p><p>( )</p><p>3</p><p>2</p><p>6543</p><p>2</p><p>6543</p><p>2</p><p>543</p><p>3</p><p>652</p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>654</p><p>6</p><p>3</p><p>16</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>−=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>−+=−+= ���</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>yR</p><p>yyyyyydyyyydxdyy</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>� −−−+−−��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>−+=�� 6</p><p>)2(</p><p>5</p><p>)2(</p><p>2</p><p>)2(3</p><p>6</p><p>)3(</p><p>5</p><p>)3(</p><p>2</p><p>)3(3</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>6546543</p><p>R</p><p>dxdyy</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−+++−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� ++−−+=�� 6</p><p>64729</p><p>5</p><p>32243</p><p>2</p><p>48243</p><p>3</p><p>1</p><p>6</p><p>64</p><p>5</p><p>32</p><p>2</p><p>48</p><p>6</p><p>729</p><p>5</p><p>243</p><p>2</p><p>243</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>3</p><p>R</p><p>dxdyy</p><p>9</p><p>125</p><p>30</p><p>332516502925</p><p>3</p><p>1</p><p>6</p><p>665</p><p>5</p><p>275</p><p>2</p><p>195</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>3</p><p>=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −+=��</p><p>R</p><p>dxdyy</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 9Exercícios Propostos – Capítulo 9Exercícios Propostos – Capítulo 9Exercícios Propostos – Capítulo 9Exercícios Propostos – Capítulo 9</p><p>Exercício 9.1. Calcule ��</p><p>R</p><p>dxdy4 , sendo { }5311:),( 2 ≤≤≤≤−ℜ∈= yexyxR .</p><p>Exercício 9.2. Calcule �� +</p><p>R</p><p>dxdyyx )32( , sendo { }1131:),( 2 ≤≤−≤≤ℜ∈= yexyxR .</p><p>Exercício 9.3. Calcule �� −</p><p>R</p><p>dxdyxyx )5( 42 , sendo { }5211:),( 2 ≤≤≤≤−ℜ∈= yexyxR</p><p>Exercício 9.4. Calcule ��</p><p>R</p><p>senydxdyx.2 , sendo</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� ≤≤≤≤ℜ∈=</p><p>6</p><p>041:),( 2 πyexyxR .</p><p>Exercício 9.5. Calcule �� +R</p><p>dxdy</p><p>yx</p><p>2</p><p>, sendo R o quadrado [1,2]x[0,1].</p><p>Exercício 9.6. Calcule ��</p><p>R</p><p>xydxdyye3 , sendo R o retângulo [1,3]x[0,1].</p><p>Exercício 9.7. Calcule ��</p><p>R</p><p>senxydxdyy</p><p>3</p><p>, sendo R o retângulo [ ] �</p><p>��</p><p>ππ ,</p><p>2</p><p>1,0 x .</p><p>Exercício 9.8. Calcule �� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +</p><p>R</p><p>dxdyyx</p><p>2</p><p>, sendo { }xyxexyxR 220:),( 22 ≤≤≤≤ℜ∈= .</p><p>197197197197197Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>Exercício 9.9. Calcule �� −</p><p>R</p><p>y dxdye</p><p>2</p><p>8 , sendo R a região limitada por y = 4x, y = 4 e x = 0.</p><p>Exercício 9.10. Calcule ( )�� −−</p><p>R</p><p>dxdyyx8</p><p>2</p><p>3 , sendo R a região limitada por y = 4 e y = x2.</p><p>Exercício 9.11. Calcule ( )��</p><p>R</p><p>dxdyyxseny2 , sendo R a região limitada por x = 0, 2</p><p>π=y</p><p>e y = x2.</p><p>Exercício 9.12. Calcule ��</p><p>R</p><p>xdxdy</p><p>x</p><p>y ln3 , sendo R o retângulo [1,2]x[−1,1].</p><p>Exercício 9.13. Calcule ��</p><p>R</p><p>dxdyy</p><p>2</p><p>5 , sendo R a região limitada por y = 3x − 2 e y = x2.</p><p>Exercício 9.14. Calcule ��</p><p>R</p><p>xsenydxdy sendo R a região limitada pelo gráfico da parábola</p><p>y = x2 e por x = 1 e y = 0.</p><p>Exercício 9.15. Calcule �� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>R</p><p>dxdy</p><p>y</p><p>x</p><p>2</p><p>2 sendo R a região limitada por y = x, x</p><p>y 1= e x = 2</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9</p><p>Exercício 9.1.16.</p><p>Exercício 9.2. 16.</p><p>Exercício 9.3. 10.</p><p>Exercício 9.4. ( )32</p><p>2</p><p>15 − .</p><p>Exercício 9.5.</p><p>16</p><p>27ln2 .</p><p>Exercício 9.6. e3 − 3e + 2.</p><p>Exercício 9.7. �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>1 π</p><p>.</p><p>198198198198198 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exercício 9.8. 15</p><p>38</p><p>.</p><p>Exercício 9.9. 1 − e−16.</p><p>Exercício 9.10. 5</p><p>448</p><p>.</p><p>Exercício 9.11. π − 2.</p><p>Exercício 9.12. 0.</p><p>Exercício 9.13. 1.</p><p>Exercício 9.14. ( )11</p><p>2</p><p>1 sen− .</p><p>Exercício 9.15. 9.</p><p>Capítulo 10Capítulo 10Capítulo 10Capítulo 10Capítulo 10</p><p>Integrais Duplas – Mudança de VIntegrais Duplas – Mudança de VIntegrais Duplas – Mudança de VIntegrais Duplas – Mudança de VIntegrais Duplas – Mudança de Variávelariávelariávelariávelariável</p><p>Suponha que tenhamos dificuldades para resolver a seguinte integral: .),( dxdyyxf</p><p>R</p><p>��</p><p>Se for possível resolvê-la por meio de uma mudança de variáveis, teremos o seguinte:</p><p>( ) dudvJvufdxdyyxf</p><p>BR</p><p>)(.),(),( ϕϕ���� =</p><p>Na igualdade acima,</p><p>• ϕ(u, v) = (x, y) é a transformação que leva as variáveis (x, y) até as variáveis (u, v);</p><p>• J(ϕ) é o jacobiano da transformação ϕ(u, v) = (x, y);</p><p>• a região B, nas variáveis (u, v), é a região relacionada com a região R nas variáveis</p><p>originais (x, y).</p><p>Na mudança de variáveis na integral dupla, temos de</p><p>fazer o que segue abaixo.</p><p>• Trocar (x, y) por (u, v), sendo x uma função das variáveis u e v (x = x(u, v)) e</p><p>y uma função das variáveis u e v (y = y(u, v)).</p><p>• Chamar de (x, y) = ϕ(u, v) a transformação que leva (x, y) a (u, v).</p><p>• Calcular o jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(u, v).</p><p>• Substituir dxdy em dxdyyxf</p><p>R</p><p>),(�� por J(ϕ)dudv, ou seja, dxdy = |J(ϕ)|dudv.</p><p>200200200200200 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Para calcularmos o jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(u, v), precisamos das</p><p>derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis u e v, pois</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂−�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>u</p><p>y</p><p>v</p><p>x</p><p>v</p><p>y</p><p>u</p><p>x</p><p>v</p><p>y</p><p>u</p><p>y</p><p>v</p><p>x</p><p>u</p><p>x</p><p>J ..)(ϕ</p><p>Muitas vezes, a mudança de coordenadas na integral dupla é feita com coordenadas</p><p>polares, conforme veremos em vários exemplos. Essa mudança de variáveis é tal que</p><p>(x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ), ou seja, x = ρ.cosθ e y = ρ.senθ .</p><p>As derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ são:</p><p>θρθρ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θρ</p><p>θρθρ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θρ</p><p>cos.)(cos.1.</p><p>.)(coscos.1cos.</p><p>==</p><p>∂</p><p>∂==</p><p>∂</p><p>∂→=</p><p>−=−=</p><p>∂</p><p>∂==</p><p>∂</p><p>∂→=</p><p>yesensenyseny</p><p>sensenxexx</p><p>O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:</p><p>ρρθθρθρθρϕ</p><p>θθρθθρ</p><p>θρθ</p><p>θρθ</p><p>θρ</p><p>θρϕ</p><p>==+=+=</p><p>−−=</p><p>−</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>1.)(coscos)(</p><p>)).(.(cos.cos.</p><p>cos.</p><p>.cos</p><p>)(</p><p>2222 sensenJ</p><p>sensen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>yy</p><p>xx</p><p>J</p><p>Na mudança de variáveis utilizando coordenadas polares, temos que:</p><p>dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ</p><p>Seguem algumas revisões úteis para uso em casos de mudanças de variáveis utilizan-</p><p>do coordenadas polares.</p><p>A equação da circunferência de raio r com centro na origem (0,0), ilustrada na figura</p><p>10.1, é x2 + y2 = r2.</p><p>201201201201201Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável</p><p>Figura 10.1. Circunferência de raio r com centro na origem (0,0).</p><p>A circunferência de raio r com centro na origem (0,0) limita o círculo de mesmo raio r</p><p>com centro na origem, conforme ilustrado na figura 10.2. A inequação referente ao</p><p>círculo de raio r que passa pela origem (0,0) é x2 + y2 ≤ r2.</p><p>Figura 10.2. Círculo de raio r com centro na origem (0,0).</p><p>A função relacionada à semicircunferência de raio r com centro na origem (0,0), para</p><p>y ≥ 0, ilustrada na figura 10.3, é 22 yry −+= ou simplesmente .22 yry −=</p><p>202202202202202 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Figura 10.3. Semicircunferência de raio r com centro na origem (0,0), y ≥≥≥≥≥ 0.</p><p>A função relacionada à semicircunferência de raio r com centro na origem (0,0), para</p><p>y ≤ 0, ilustrada na figura 10.4, é 22 yry −−= .</p><p>Figura 10.4. Semicircunferência de raio r com centro na origem (0,0), y ≤≤≤≤≤ 0.</p><p>A equação da circunferência de raio r com centro no ponto (a,b), ilustrada na figura</p><p>10.5, é (x − a)2 + (y − b)2 = r2.</p><p>Figura 10.5. Circunferência de raio r com centro no ponto (a,b).</p><p>203203203203203Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável</p><p>Exemplo 10.1. Calcule ��</p><p>R</p><p>xdxdy , sendo R o disco de centro na origem (0,0) e raio 5.</p><p>A região R é a área colorida em cinza na figura 10.6. Nessa figura, também estão</p><p>indicadas as coordenadas polares que identificam um ponto qualquer pertencente à</p><p>região em estudo.</p><p>Figura 10.6. Disco de centro na origem e raio 5,</p><p>incluindo indicação de coordenadores polares.</p><p>Observando a figura 10.6, verificamos que, em um disco (círculo) de centro na origem</p><p>(0,0) e de raio 5, a variável θ varia desde θ = 0 até θ = 2π (ou seja, 360º). A variável ρ</p><p>varia desde ρ = 0 até ρ = 5.</p><p>Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por</p><p>{ }πθρθρ 2050:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= eB .</p><p>A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).</p><p>Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ,</p><p>conforme segue abaixo.</p><p>θρθρ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θρ</p><p>θρθρ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θρ</p><p>cos.)(cos.1.</p><p>.)(coscos.1cos.</p><p>==</p><p>∂</p><p>∂==</p><p>∂</p><p>∂→=</p><p>−=−=</p><p>∂</p><p>∂==</p><p>∂</p><p>∂→=</p><p>yesensenyseny</p><p>sensenxexx</p><p>204204204204204 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:</p><p>ρρθθρθρθρϕ</p><p>θθρθθρ</p><p>θρθ</p><p>θρθ</p><p>θρ</p><p>θρϕ</p><p>==+=+=</p><p>−−=</p><p>−</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>1.)(coscos.)(</p><p>)).(.(cos.cos.</p><p>cos.</p><p>.cos</p><p>)(</p><p>2222 sensenJ</p><p>sensen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>yy</p><p>xx</p><p>J</p><p>Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.</p><p>Sendo assim,</p><p>� ��� ����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>===</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>θρρθθρθρθρρθρ</p><p>2</p><p>0</p><p>5</p><p>0</p><p>22 .coscos.cos. ddddddxdxdy</p><p>B BR</p><p>Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ, pensamos que θ</p><p>representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função cosθ</p><p>também é interpretada como uma constante. Desse modo, primeiramente, a função</p><p>cosθ.ρ2 é interpretada como uma constante que multiplica ρ elevado ao quadrado.</p><p>Logo, em relação à variável ρ, a integral indefinida de cosθ.ρ2 é</p><p>( ) CCCdd +=+=+</p><p>+</p><p>==</p><p>+</p><p>� � 3</p><p>312</p><p>22 cos</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>.cos</p><p>12</p><p>.coscos)(cos ρθρθρθρρθρρθ .</p><p>Aplicando os extremos da região de integração e a propriedade I1, que afirma que a</p><p>integral do produto da constante por uma função é igual ao produto da constante pela</p><p>integral da função, temos o seguinte:</p><p>[ ] θρθθρρθθρρθρ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>dddddxdxdy</p><p>BR</p><p>��� � ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>==</p><p>2</p><p>0</p><p>5</p><p>0</p><p>3</p><p>2</p><p>0</p><p>5</p><p>0</p><p>2 cos</p><p>3</p><p>1.cos.cos.</p><p>[ ] �����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>= =−==</p><p>ππθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>ρ</p><p>ρ θθθθθρθ</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>33</p><p>2</p><p>0</p><p>5</p><p>0</p><p>3 cos</p><p>3</p><p>125)05(cos</p><p>3</p><p>1cos</p><p>3</p><p>1 dddxdxdy</p><p>R</p><p>205205205205205Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável</p><p>Agora, precisamos resolver uma integral simples, em relação à variável θ, feita direta-</p><p>mente pela tabela. Ou seja,</p><p>[ ] 0)00.(</p><p>3</p><p>125)02(</p><p>3</p><p>125</p><p>3</p><p>125cos</p><p>3</p><p>125</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>=−=−=== ��� sensensendxdxdy</p><p>R</p><p>πθθθ</p><p>ππ</p><p>Exemplo 10.2. Calcule ��</p><p>R</p><p>xydxdy , sendo R a região do primeiro quadrante limitada</p><p>pelas circunferências x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9.</p><p>A região R é a área colorida em cinza na figura 10.7. Trata-se da área, no primeiro</p><p>quadrante, limitada inferiormente pela circunferência de centro (0,0) e raio 2, ou seja, de</p><p>equação x2 + y2 = 22, e limitada superiormente pela circunferência de centro (0,0) e raio</p><p>3, ou seja, de equação x2 + y2 = 32.</p><p>Figura 10.7. Região do 1o quadrante limitada pelas</p><p>circunferências x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9.</p><p>Observando a figura 10.7, verificamos que, na região colorida em cinza, a variável θ</p><p>varia desde θ = 0 até θ = π/2 (ou seja, 90º). A variável ρ varia desde ρ = 2 até ρ = 3.</p><p>Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por</p><p>{ }2032:),(</p><p>2 πθρθρ ≤≤≤≤ℜ∈= eB .</p><p>206206206206206 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).</p><p>Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ,</p><p>conforme segue abaixo.</p><p>θρθρ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θρ</p><p>θρθρ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θρ</p><p>cos.)(cos.1.</p><p>.)(coscos.1cos.</p><p>==</p><p>∂</p><p>∂==</p><p>∂</p><p>∂→=</p><p>−=−=</p><p>∂</p><p>∂==</p><p>∂</p><p>∂→=</p><p>yesensenyseny</p><p>sensenxexx</p><p>O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:</p><p>ρρθθρϕ</p><p>θθρθθρ</p><p>θρθ</p><p>θρθ</p><p>θρ</p><p>θρϕ</p><p>==+=</p><p>−−=</p><p>−</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>1.)(cos)(</p><p>)).(.(cos.cos.</p><p>cos.</p><p>.cos</p><p>)(</p><p>22 senJ</p><p>sensen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>yy</p><p>xx</p><p>J</p><p>Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.</p><p>A função a ser integrada é xy = (ρ.cosθ ).(ρ.senθ ) = ρ2.cosθ.senθ .</p><p>Sendo assim,</p><p>������ ==</p><p>BBR</p><p>ddsenddsenxydxdy θρθθρθρρθθρ .cos...cos. 32</p><p>θρρθθ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ddsenxydxdy</p><p>R</p><p>� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>=</p><p>2</p><p>0</p><p>3</p><p>2</p><p>3..cos</p><p>Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ, pensamos</p><p>que θ representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a fun-</p><p>ção cosθ.senθ é interpretada como uma constante. Desse modo, primeiramente, a</p><p>função cosθ.senθ.ρ3 é interpretada como uma constante que multiplica ρ elevado</p><p>ao cubo. Ou seja,</p><p>207207207207207Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável</p><p>�� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>=</p><p>2</p><p>0</p><p>3</p><p>2</p><p>42</p><p>0</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>.cos..cos</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>θρθθθρρθθ dsenddsenxydxdy</p><p>R</p><p>[ ] ( ) �����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=−=−=</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>44 .cos</p><p>4</p><p>651681.cos</p><p>4</p><p>1)2()3(.cos</p><p>4</p><p>1</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>θθθθθθθθθ dsendsendsenxydxdy</p><p>R</p><p>Agora, temos de resolver um integral simples, em relação à variável θ, feita pelo méto-</p><p>do da substituição, conforme descrito no capítulo 6.</p><p>Façamos a seguinte substituição:</p><p>θθθ</p><p>θ</p><p>θ ddu</p><p>d</p><p>dusenu coscos =→=→=</p><p>Ou seja,</p><p>CsenCsenCuududsendsen +=+=+=== ��� 22</p><p>)(</p><p>2</p><p>cos..cos</p><p>222 θθθθθθθθ</p><p>A integral definida fica:</p><p>[ ] ( )</p><p>2</p><p>101</p><p>2</p><p>10</p><p>22</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>.cos 222</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>22</p><p>0</p><p>=−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −==�</p><p>�</p><p>�</p><p>= =</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>� sensensensendsen πθθθθθ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>Finalizando:</p><p>8</p><p>65</p><p>2</p><p>1.</p><p>4</p><p>65.cos</p><p>4</p><p>65 2</p><p>0</p><p>=== ���</p><p>=</p><p>=</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>θθθ dsenxydxdy</p><p>R</p><p>Exemplo 10.3. Calcule �� −</p><p>R</p><p>dxdyy)6( , sendo R a região do primeiro quadrante limitada</p><p>pelas circunferências x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9.</p><p>A região R é a mesma área colorida em cinza na figura 10.7. Ou seja, trata-se da área, no</p><p>primeiro quadrante, limitada inferiormente pela circunferência de centro (0,0) e raio 2,</p><p>ou seja, de equação x2 + y2 = 22, e limitada superiormente pela circunferência de centro</p><p>208208208208208 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>(0,0) e raio 3, ou seja, de equação x2 + y2 = 33. Nessa região colorida em cinza, a variável</p><p>q varia desde θ = 0 até θ = π/2 (ou seja, 90º). A variável ρ varia desde ρ = 2 até ρ = 3.</p><p>Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por</p><p>{ }2032:),( 2 πθρθρ ≤≤≤≤ℜ∈= eB .</p><p>A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).</p><p>Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ,</p><p>conforme segue abaixo.</p><p>θρθρ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θρ</p><p>θρθρ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θρ</p><p>cos.)(cos.1.</p><p>.)(coscos.1cos.</p><p>==</p><p>∂</p><p>∂==</p><p>∂</p><p>∂→=</p><p>−=−=</p><p>∂</p><p>∂==</p><p>∂</p><p>∂→=</p><p>yesensenyseny</p><p>sensenxexx</p><p>O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:</p><p>ρρθθρϕ</p><p>θθρθθρ</p><p>θρθ</p><p>θρθ</p><p>θρ</p><p>θρϕ</p><p>==+=</p><p>−−=</p><p>−</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>1.)(cos)(</p><p>)).(.(cos.cos.</p><p>cos.</p><p>.cos</p><p>)(</p><p>22 senJ</p><p>sensen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>yy</p><p>xx</p><p>J</p><p>Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.</p><p>A função a ser integrada é (6 − y) = (6 − ρsenθ ).</p><p>Sendo assim,</p><p>������ −=−=−</p><p>BBR</p><p>ddsenddsendxdyy θρθρρθρρθρ )6().6()6( 2</p><p>θρθρρ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ddsendxdyy</p><p>R</p><p>� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−=−</p><p>2</p><p>0</p><p>3</p><p>2</p><p>2 )6()6(</p><p>209209209209209Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável</p><p>Vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ, logo pensamos que θ</p><p>representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função senθ é</p><p>interpretada como uma constante.</p><p>Como a derivada da subtração de duas funções é a subtração das derivadas das</p><p>funções, temos a seguinte derivada indefinida relacionada à situação em estudo:</p><p>����� −=−=− ρθρρρρθρρρρθρρ dsenddsenddsen 222 66)6(</p><p>Na primeira integral, temos de integrar o produto da constante 6 por ρ, em relação à</p><p>variável ρ. Como a integral do produto da constante por uma função é o produto da</p><p>constante pela integral da função:</p><p>� �� == ρρρρρρ ddd 1666</p><p>A integral a ser resolvida pode ser feita pelo uso da tabela direto da tabela:</p><p>CCCdd +=+=+</p><p>+</p><p>== ��</p><p>+</p><p>2</p><p>211</p><p>1 3</p><p>2</p><p>6</p><p>11</p><p>666 ρρρρρρρ</p><p>Na segunda integral, temos de integrar o produto de senθ por ρ2, em relação à variável</p><p>ρ. Ou seja, consideramos que senq representa, momentaneamente, uma constante.</p><p>Como a integral do produto da constante por uma função é o produto da constante</p><p>pela integral da função:</p><p>�� = ρρθρθρ dsendsen 22</p><p>A integral a ser resolvida pode ser feita pelo uso da tabela direto da tabela:</p><p>CsenCsenCsendsendsen +=+=+</p><p>+</p><p>==</p><p>+</p><p>�� 3</p><p>312</p><p>22 )(</p><p>3</p><p>1</p><p>312</p><p>ρθρθρθρρθρθρ</p><p>Logo,</p><p>Csendsenddsen +−=−=− ��� 3222 )(</p><p>3</p><p>136)6( ρθρρθρρρρθρρ</p><p>210210210210210 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Voltando à integral dupla:</p><p>θρθρθρθρρ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>dsenddsendxdyy</p><p>R</p><p>�� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−=−</p><p>2</p><p>0</p><p>3</p><p>2</p><p>32</p><p>2</p><p>0</p><p>3</p><p>2</p><p>2 )(</p><p>3</p><p>13)6()6(</p><p>θθθ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>dsensendxdyy</p><p>R</p><p>���</p><p>=</p><p>=</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −−�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=−</p><p>2</p><p>0</p><p>3232 2)(</p><p>3</p><p>12.33)(</p><p>3</p><p>13.3)6(</p><p>( ) θθθθθθ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>dsensendsensendxdyy</p><p>R</p><p>����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−−=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −−−=−</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0 3</p><p>812927</p><p>3</p><p>812927)6(</p><p>θθθθ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>dsendsendxdyy</p><p>R</p><p>����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−+=−</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0 3</p><p>1915</p><p>3</p><p>82715)6(</p><p>Agora, temos de fazer uma integral simples da variável θ. Vamos resolver, primeiramen-</p><p>te, a integral indefinida relacionada com a integral definida acima. Começamos aplican-</p><p>do a propriedade que afirma que “a integral da soma é a soma das integrais”:</p><p>��� −=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� − θθθθθ dsenddsen</p><p>3</p><p>1915</p><p>3</p><p>1915</p><p>Como a integral do produto da constante por uma função é o produto da constante</p><p>pela integral da função:</p><p>� ���� −=−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� − θθθθθθθθ dsenddsenddsen</p><p>3</p><p>1915</p><p>3</p><p>1915</p><p>3</p><p>1915</p><p>As integrais a serem resolvidas podem ser feitas pelo uso da tabela direto da tabela:</p><p>( ) CCdsenddsen ++=+−−=−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� − � �� θθθθθθθθθ cos</p><p>3</p><p>1915cos</p><p>3</p><p>1915</p><p>3</p><p>1915</p><p>3</p><p>1915</p><p>211211211211211Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais</p><p>Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável</p><p>Voltando à integral definida:</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>cos</p><p>3</p><p>1915</p><p>3</p><p>1915)6(</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>θθθθ</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>��</p><p>+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=− ��� dsendxdyy</p><p>R</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +=−�� 1.</p><p>3</p><p>1900.</p><p>3</p><p>19</p><p>2</p><p>150cos</p><p>3</p><p>190.15</p><p>2</p><p>cos</p><p>3</p><p>19</p><p>2</p><p>15)6( πππ</p><p>R</p><p>dxdyy</p><p>3</p><p>19</p><p>2</p><p>15)6( −=−�� π</p><p>R</p><p>dxdyy</p><p>Exemplo 10.4. Calcule �� +</p><p>R</p><p>dxdyyxsen )( 22 , sendo R o semicírculo x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0.</p><p>A região R é a área colorida em cinza na figura 10.8. Nessa figura, também estão</p><p>indicadas as coordenadas polares que identificam um ponto pertencente à região</p><p>em estudo.</p><p>Figura 10.8. Semicírculo x2 + y2 ≤≤≤≤≤ 1, y ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ 0.</p><p>Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por</p><p>{ })010:),( 2 πθρθρ ≤≤≤≤ℜ∈= eB .</p><p>A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).</p><p>Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ,</p><p>conforme segue abaixo.</p><p>θρθρ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θρ</p><p>θρθρ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θρ</p><p>cos.)(cos.1.</p><p>.)(coscos.1cos.</p><p>==</p><p>∂</p><p>∂==</p><p>∂</p><p>∂→=</p><p>−=−=</p><p>∂</p><p>∂==</p><p>∂</p><p>∂→=</p><p>yesensenyseny</p><p>sensenxexx</p><p>212212212212212 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:</p><p>ρρθθρϕ</p><p>θθρθθρ</p><p>θρθ</p><p>θρθ</p><p>θρ</p><p>θρϕ</p><p>==+=</p><p>−−=</p><p>−</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>1.)(cos)(</p><p>)).(.(cos.cos.</p><p>cos.</p><p>.cos</p><p>)(</p><p>22 senJ</p><p>sensen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>yy</p><p>xx</p><p>J</p><p>Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.</p><p>A função seno da soma de x ao quadrado com y ao quadrado pode ser escrita da</p><p>seguinte maneira, em coordenadas polares:</p><p>( ) ( )( ) ( )θρθρθρθρ 22222222 .cos..cos.)( sensensensenyxsen +=+=+</p><p>( )( ) ( ) 2222222 1.cos)( ρρθθρ sensensensenyxsen ==+=+</p><p>Sendo assim,</p><p>� ��� ����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>===+</p><p>1</p><p>0 0</p><p>22222 )()(</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>ρθρρθρρρθρρρ ddsenddsenddsendxdyyxsen</p><p>B BR</p><p>Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável θ, pensamos que ρ</p><p>representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função ρsenρ2</p><p>é interpretada como uma constante. Ou seja,</p><p>[ ]</p><p>ρρρπρπρρ</p><p>ρθρρρθρρθρρρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>π</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>dsendsendxdyyxsen</p><p>dsenddsenddsendxdyyxsen</p><p>R</p><p>BR</p><p>����</p><p>��� � ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=−=+</p><p>=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>==+</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>222</p><p>1</p><p>0</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>0 0</p><p>2222</p><p>).0()(</p><p>.)()(</p><p>Agora, temos de resolver uma integral simples, em relação à variável ρ, feita pelo</p><p>método da substituição, conforme discutido no capítulo 6.</p><p>213213213213213Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável</p><p>Façamos a seguinte substituição:</p><p>ρρρρρ</p><p>ρ</p><p>ρ dduddu</p><p>d</p><p>duu =→=→=→=</p><p>2</p><p>222</p><p>Ou seja,</p><p>( )� �� +−=+−=+−==�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�= CCuCusenududusenudsen 22 cos</p><p>2</p><p>1cos</p><p>2</p><p>1cos</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>)( ρρρρ</p><p>A integral definida fica:</p><p>[ ] ( ) ( ) ( )1cos1</p><p>2</p><p>111cos</p><p>2</p><p>10cos1cos</p><p>2</p><p>1cos</p><p>2</p><p>1)( 221</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>2 −=−−=−−=−= =</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρρρρ dsen</p><p>Finalizando:</p><p>( )1cos1</p><p>2</p><p>)(</p><p>1</p><p>0</p><p>222 −==+ ���</p><p>=</p><p>=</p><p>πρρρπ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>dsendxdyyxsen</p><p>R</p><p>Exemplo 10.5. Calcule �� +</p><p>R</p><p>yx dxdye</p><p>22</p><p>, sendo</p><p>{ }xyxeyxyxR ≤≤−≤+≤ℜ∈= 161:),( 222 .</p><p>A região R é a área colorida em cinza na figura 10.9.</p><p>214214214214214 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Figura 10.9. Região { }xyxeyxyxR ≤≤−≤+≤ℜ∈= 161:),( 222 .</p><p>Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por</p><p>{ }4441:),( 2 πθπρθρ ≤≤−≤≤ℜ∈= eB .</p><p>A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).</p><p>Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ,</p><p>conforme segue abaixo.</p><p>θρθρ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θρ</p><p>θρθρ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θρ</p><p>cos.)(cos.1.</p><p>.)(coscos.1cos.</p><p>==</p><p>∂</p><p>∂==</p><p>∂</p><p>∂→=</p><p>−=−=</p><p>∂</p><p>∂==</p><p>∂</p><p>∂→=</p><p>yesensenyseny</p><p>sensenxexx</p><p>O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:</p><p>ρρθθρϕ</p><p>θθρθθρ</p><p>θρθ</p><p>θρθ</p><p>θρ</p><p>θρϕ</p><p>==+=</p><p>−−=</p><p>−</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>1.)(cos)(</p><p>)).(.(cos.cos.</p><p>cos.</p><p>.cos</p><p>)(</p><p>22 senJ</p><p>sensen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>yy</p><p>xx</p><p>J</p><p>215215215215215Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável</p><p>Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.</p><p>A função a ser integrada é</p><p>22222222222 1.)(cos.cos. ρρθθρθρθρ eeeee sensenyx ==== +++ .</p><p>Sendo assim,</p><p>ρθρθρρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>πθ</p><p>πθ</p><p>ρρ ddeddedxdye</p><p>BR</p><p>yx � �����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>+</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>==</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>4</p><p>2222</p><p>Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável θ, pensamos que ρ</p><p>representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função eρ2ρ</p><p>também é interpretada como uma constante. Ou seja,</p><p>[ ] ρππρρθρρθρθρρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>πθ</p><p>πθ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>πθ</p><p>πθ</p><p>ρρ dededdeddedxdye</p><p>BR</p><p>yx ��� �����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>+</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −−�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�==</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>==</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>4</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>4</p><p>44</p><p>222222</p><p>ρρπρπρρππρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ dedededxdye</p><p>R</p><p>yx �����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>+ =�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +=</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>22222</p><p>2244</p><p>Agora, temos de resolver um integral simples, em relação à variável ρ, feita pelo méto-</p><p>do da substituição, conforme discutido no capítulo 6.</p><p>Façamos a seguinte substituição:</p><p>ρρρρρ</p><p>ρ</p><p>ρ dduddu</p><p>d</p><p>duu =→=→=→=</p><p>2</p><p>222</p><p>Ou seja,</p><p>� �� +=+==�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�= CeCedueduede uuu 22</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>ρρ ρρ</p><p>A integral definida fica:</p><p>[ ] ( ) ( )eeeeede −=−==</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>� 16144</p><p>1</p><p>4</p><p>1 2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 2222 ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>ρ ρρ</p><p>216216216216216 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Finalizando:</p><p>( ) ( )eeeededxdye</p><p>R</p><p>yx −=−== ���</p><p>=</p><p>=</p><p>+ 1616</p><p>4</p><p>1 42</p><p>1.</p><p>22</p><p>222 ππρρπ ρ</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>Exemplo 10.6. Calcule ��</p><p>+</p><p>R</p><p>dxdy</p><p>yx</p><p>4</p><p>22</p><p>, sendo</p><p>{ }01)1(:),( 222 ≥≤+−ℜ∈= yeyxyxR .</p><p>Se aplicarmos a propriedade I2 (“a integral do produto da constante por uma função é</p><p>o produto da constante pela integral da função”), podemos escrever:</p><p>������ +=+=</p><p>+</p><p>RRR</p><p>dxdyyxdxdyyxdxdy</p><p>yx 2222</p><p>22</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>A inequação (x − 1)2 + y2 ≤ 1 corresponde ao círculo de raio 1 e centro em (1,0). Se</p><p>adicionarmos a condição y ≥ 0, estamos pensando na parte superior do círculo, ou</p><p>seja, no semicírculo de inequação (x − 1)2 + y2 ≤ 1 que ocupa o primeiro quadrante,</p><p>conforme ilustrado na região colorida em cinza na figura 10.10. Nessa figura, também</p><p>estão indicadas as variáveis ρ e θ que serão usadas na mudança de variáveis.</p><p>Figura 10.10. Região { }01)1(:),( 222 ≥≤+−ℜ∈= yeyxyxR .</p><p>217217217217217Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável</p><p>A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).</p><p>Se aplicarmos a mudança de variável acima para uma circunferência</p><p>de centro (1,0) e</p><p>raio igual 1, ou seja, de equação (x − 1)2 + y2 = 1, temos os desenvolvimentos abaixo.</p><p>021121121)1( 22222222 =+−→−=+−→=++−→=+− yxxyxxyxxyx</p><p>Se x2 − 2x + y2 = 0, então</p><p>0).()cos.(2)cos.( 22 =+− θρθρθρ sen .</p><p>Ou seja,</p><p>0cos.2).(cos0.cos.2cos. 2222222 =−+→=+− θρθθρθρθρθρ sensen</p><p>Da trigonometria, sabemos que cos2θ + sen2θ = 1. Logo,</p><p>θρρθρρθρθθρ cos.20cos.21.0cos.2).(cos 22222 =→=−→=−+ sen</p><p>Podemos escrever: ρ = 2 cosθ.</p><p>Ou seja, a variável θ varia desde 0 até π/2 e a variável ρ varia desde 0 até ρ = 2.cosθ.</p><p>Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por</p><p>{ }20cos20:),( 2 πθθρθρ ≤≤≤≤ℜ∈= eB .</p><p>Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ,</p><p>conforme segue abaixo.</p><p>θρθρ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θρ</p><p>θρθρ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θρ</p><p>cos.)(cos.1.</p><p>.)(coscos.1cos.</p><p>==</p><p>∂</p><p>∂==</p><p>∂</p><p>∂→=</p><p>−=−=</p><p>∂</p><p>∂==</p><p>∂</p><p>∂→=</p><p>yesensenyseny</p><p>sensenxexx</p><p>O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:</p><p>218218218218218 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>ρρθθρϕ</p><p>θθρθθρ</p><p>θρθ</p><p>θρθ</p><p>θρ</p><p>θρϕ</p><p>==+=</p><p>−−=</p><p>−</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>1.)(cos)(</p><p>)).(.(cos.cos.</p><p>cos.</p><p>.cos</p><p>)(</p><p>22 senJ</p><p>sensen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>yy</p><p>xx</p><p>J</p><p>Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.</p><p>A função a ser integrada é</p><p>( ) ( ) 1.)(cos.cos..cos. 222222222222 ρθθρθρθρθρθρ =+=+=+=+ sensensenyx</p><p>ρ=+ 22 yx</p><p>Sendo assim,</p><p>���������� ==+=+=</p><p>+</p><p>BBRRR</p><p>dddddxdyyxdxdyyxdxdy</p><p>yx θρρθρρρ 22222</p><p>22</p><p>4</p><p>1.</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>� �����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>==</p><p>+ 2</p><p>0</p><p>cos2</p><p>0</p><p>22</p><p>22</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>θρ</p><p>ρ</p><p>θρρθρρ dddddxdy</p><p>yx</p><p>BR</p><p>Vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ. Ou seja,</p><p>[ ]��� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=�</p><p>�</p><p>�</p><p>=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>=</p><p>+ 2</p><p>0</p><p>cos2</p><p>0</p><p>3</p><p>2</p><p>0</p><p>cos2</p><p>0</p><p>32</p><p>0</p><p>cos2</p><p>0</p><p>2</p><p>22</p><p>3</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>34</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>θρ</p><p>ρ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>θρ</p><p>ρ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>θρ</p><p>ρ</p><p>θρθρθρρ dddddxdy</p><p>yx</p><p>R</p><p>[ ] ( ) ( )[ ] �����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>= =−==</p><p>+ 2</p><p>0</p><p>3</p><p>2</p><p>0</p><p>33</p><p>2</p><p>0</p><p>cos2</p><p>0</p><p>3</p><p>22</p><p>cos8</p><p>12</p><p>10cos2</p><p>12</p><p>1</p><p>3</p><p>1.</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>θρ</p><p>ρ θθθθθρ ddddxdy</p><p>yx</p><p>R</p><p>����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>==</p><p>+ 2</p><p>0</p><p>3</p><p>2</p><p>0</p><p>3</p><p>22</p><p>cos</p><p>3</p><p>2cos8.</p><p>12</p><p>1</p><p>4</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>θθθθ dddxdy</p><p>yx</p><p>R</p><p>Agora, temos de resolver uma integral simples, da função cosseno ao cubo de θ em</p><p>relação à variável θ. Para resolvê-la, vamos lembrar que, se cos2θ + sen2θ = 1, então</p><p>cos2θ = 1− sen2θ.</p><p>219219219219219Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável</p><p>Escrevendo cosseno ao cubo de θ como o produto (multiplicação) de cosseno de θ</p><p>pelo cosseno ao quadrado de θ e usando a relação trigonométrica acima, temos que</p><p>( ) θθθθθθθθ 2223 .coscos1coscos.coscos sensen −=−==</p><p>Prosseguindo com a integração:</p><p>( )����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−==</p><p>+ 2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>3</p><p>22</p><p>.coscos</p><p>3</p><p>2cos</p><p>3</p><p>2</p><p>4</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>θθθθθθ dsenddxdy</p><p>yx</p><p>R</p><p>Vamos aplicar a propriedade P1 vista no capítulo 1 para “separarmos” a integral da</p><p>subtração de duas funções na subtração das integrais das duas funções:</p><p>( )</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−=−=</p><p>+</p><p>�����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>22</p><p>.coscos</p><p>3</p><p>2.coscos</p><p>3</p><p>2</p><p>4</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>θθθθθθθθθ dsenddsendxdy</p><p>yx</p><p>R</p><p>A integral de cosseno de θ em relação à variável θ é direta da tabela. Vejamos:</p><p>[ ] 1010</p><p>2</p><p>cos 2</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>=−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −== =</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>� sensensend πθθθ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>A integral do produto (multiplicação) do cosseno de θ pelo seno ao quadrado de θ,</p><p>em relação à variável θ, é resolvida pelo método da substituição, conforme visto no</p><p>capítulo 6.</p><p>Façamos a seguinte substituição:</p><p>θθθ</p><p>θ</p><p>θ ddu</p><p>d</p><p>dusenu coscos =→=→=</p><p>Ou seja,</p><p>( ) ( ) CsenCsenCuduudsendsen +=+=+=== � �� 333</p><p>cos.cos</p><p>333</p><p>222 θθθθθθθθ</p><p>220220220220220 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Aplicando os extremos da integral:</p><p>[ ] ( )</p><p>3</p><p>1)0()1(</p><p>3</p><p>10</p><p>23</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>.cos 33332</p><p>0</p><p>3</p><p>2</p><p>0</p><p>32</p><p>0</p><p>2 =−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −==�</p><p>�</p><p>�</p><p>= =</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>� sensensensendsen πθθθθθ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>Finalizando:</p><p>9</p><p>4</p><p>3</p><p>13</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>11</p><p>3</p><p>2.coscos</p><p>3</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>22</p><p>=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −=</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>−=</p><p>+</p><p>����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>θθθθθ dsenddxdy</p><p>yx</p><p>R</p><p>Exemplo 10.7. Calcule ��</p><p>R</p><p>ydxdy , sendo R a região limitada por x2 + y2 − 2x = 0.</p><p>A equação x2 + y2 − 2x = 0 corresponde à circunferência de raio 1 e centro em (1,0).</p><p>Vejamos:</p><p>( ) 222222222 11112011202 =+−→=++−→=−+−+→=−+ yxyxxxyxxyx</p><p>A região limitada pela circunferência de equação é o círculo de raio 1 e centro em (1,0)</p><p>indicado na figura 10.11. Nessa figura, também estão indicadas as variáveis ρ e θ que</p><p>serão usadas na mudança de variáveis.</p><p>Figura 10.11. Região R limitada por x2 + y2 −−−−− 2x = 0.</p><p>221221221221221Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável</p><p>A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).</p><p>Se x2 + y2 − 2x = 0, então</p><p>0).()cos.(2)cos.( 22 =+− θρθρθρ sen .</p><p>Ou seja,</p><p>0cos.2).(cos0.cos.2cos. 2222222 =−+→=+− θρθθρθρθρθρ sensen</p><p>Da trigonometria, sabemos que cos2θ + sen2θ = 1. Logo,</p><p>θρρθρρθρθθρ cos.20cos.21.0cos.2).(cos 22222 =→=−→=−+ sen</p><p>Podemos escrever: ρ = 2 cosθ.</p><p>A variável θ varia desde 2</p><p>π− até 2</p><p>π</p><p>e a variável ρ varia desde 0 até ρ = 2.cosθ.</p><p>Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� ≤≤−≤≤ℜ∈=</p><p>22</p><p>cos20:),( 2 πθπθρθρ eB .</p><p>Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ,</p><p>conforme segue abaixo.</p><p>θρθρ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θρ</p><p>θρθρ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θρ</p><p>cos.)(cos.1.</p><p>.)(coscos.1cos.</p><p>==</p><p>∂</p><p>∂==</p><p>∂</p><p>∂→=</p><p>−=−=</p><p>∂</p><p>∂==</p><p>∂</p><p>∂→=</p><p>yesensenyseny</p><p>sensenxexx</p><p>O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:</p><p>ρρθθρϕ</p><p>θθρθθρ</p><p>θρθ</p><p>θρθ</p><p>θρ</p><p>θρϕ</p><p>==+=</p><p>−−=</p><p>−</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>1.)(cos)(</p><p>)).(.(cos.cos.</p><p>cos.</p><p>.cos</p><p>)(</p><p>22 senJ</p><p>sensen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>yy</p><p>xx</p><p>J</p><p>222222222222222 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.</p><p>A função a ser integrada é y = ρsen θ.</p><p>Sendo assim,</p><p>�� �� � ���</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>===</p><p>B BR</p><p>ddsenddsenddsenydxdy</p><p>2</p><p>2</p><p>cos2</p><p>0</p><p>22 )()().(</p><p>πθ</p><p>πθ</p><p>θρ</p><p>ρ</p><p>θρρθθρρθθρρθρ</p><p>Vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ. Ou seja, senθ é inter-</p><p>pretado, momentaneamente, como uma constante que multiplica a função ρ2, podendo</p><p>ser “colocado para fora da integral”, conforme indicado a seguir, na integral indefinida</p><p>relacionada com a integral anterior:</p><p>�� +=+=+</p><p>+</p><p>==</p><p>+</p><p>CsenCsenCsendsendsen 3</p><p>312</p><p>22 )(</p><p>3</p><p>1</p><p>312</p><p>)( ρθρθρθρρθρρθ</p><p>Retomando a integral dupla:</p><p>( ) [ ] θρθθρθθρρθ</p><p>πθ</p><p>πθ</p><p>θρ</p><p>ρ</p><p>πθ</p><p>πθ</p><p>θρ</p><p>ρ</p><p>πθ</p><p>πθ</p><p>θρ</p><p>ρ</p><p>dsendsenddsenydxdy</p><p>R</p><p>��� ���</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>=�</p><p>��</p><p>=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>=</p><p>2</p><p>2</p><p>cos2</p><p>0</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>cos2</p><p>0</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>cos2</p><p>0</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1)(</p><p>( )( ) ( )( ) ( ) θθθθθθθθθ</p><p>πθ</p><p>πθ</p><p>πθ</p><p>πθ</p><p>πθ</p><p>πθ</p><p>dsendsendsenydxdy</p><p>R</p><p>�����</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>−=</p><p>==−=</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>33 cos</p><p>3</p><p>8cos8</p><p>3</p><p>10cos2</p><p>3</p><p>1</p><p>A integral do produto (multiplicação) do cosseno ao cubo de θ pelo seno de θ, em</p><p>relação à variável θ, é resolvida pelo método da substituição, conforme visto no</p><p>capítulo 6.</p><p>Façamos a seguinte substituição:</p><p>θθθθθ</p><p>θ</p><p>θ dsendudsendusen</p><p>d</p><p>duu =−→−=→−=→= cos</p><p>Ou seja,</p><p>223223223223223Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável</p><p>( ) ( )</p><p>� �� +−=+−=+</p><p>+</p><p>−=−=−=</p><p>+</p><p>CCuCuduuduudsen</p><p>4</p><p>cos</p><p>413</p><p>)(cos</p><p>4413</p><p>333 θθθθ</p><p>CCdsen +−=+−=� θθθθθ 4</p><p>4</p><p>3 cos</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>cos)(cos</p><p>Aplicando os extremos da integral:</p><p>( ) [ ] ��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −−�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�−=−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>−= =</p><p>−=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>−=</p><p>� 2</p><p>cos</p><p>2</p><p>cos</p><p>4</p><p>1cos</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>coscos 442</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>42</p><p>2</p><p>3 ππθθθθθ</p><p>πθ</p><p>πθ</p><p>πθ</p><p>πθ</p><p>πθ</p><p>πθ</p><p>dsen</p><p>( ) ( ) ( )( ) 000</p><p>4</p><p>1cos 44</p><p>2</p><p>2</p><p>3 =−−=�</p><p>=</p><p>−=</p><p>θθθ</p><p>πθ</p><p>πθ</p><p>dsen</p><p>Finalizando a integral dupla:</p><p>( ) 00.</p><p>3</p><p>8cos</p><p>3</p><p>8 2</p><p>2</p><p>3 === ���</p><p>=</p><p>−=</p><p>θθθ</p><p>πθ</p><p>πθ</p><p>dsenydxdy</p><p>R</p><p>Exemplo 10.8. Calcule �� +R</p><p>dxdy</p><p>yx 22</p><p>2</p><p>, sendo R a região exterior à circunferência de</p><p>centro na origem e raio igual a 1 e interior à cardioide ρ = 1 + senθ.</p><p>Aplicando a propriedade I2, podemos escrever:</p><p>������ +</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>+ RRR</p><p>dxdy</p><p>yx</p><p>dxdy</p><p>yx</p><p>dxdy</p><p>yx 222222</p><p>121.22</p><p>A região exterior à circunferência de centro na origem e raio igual a 1 e interior à</p><p>cardioide ρ = 1 + senθ está indicada, na cor cinza, na figura 10.12.</p><p>224224224224224 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Figura 10.12. Região exterior à circunferência de centro na origem</p><p>e raio igual a 1 e interior à cardioide ρρρρρ = 1 + senθθθθθ.</p><p>A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).</p><p>Observando a figura 10.12, verificamos que a variável θ varia desde θ = 0 até</p><p>θ = π e a variável ρ varia desde ρ = 1 até ρ = 1 + senθ. Desse modo, a região em</p><p>estudo, usando-se mudança de variável para coordenadas polares, é</p><p>{ }θρπθθρ seneB +≤≤≤≤ℜ∈= 110:),( 2 .</p><p>Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ,</p><p>conforme segue abaixo.</p><p>θρθρ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θρ</p><p>θρθρ</p><p>θ</p><p>θθ</p><p>ρ</p><p>θρ</p><p>cos.)(cos.1.</p><p>.)(coscos.1cos.</p><p>==</p><p>∂</p><p>∂==</p><p>∂</p><p>∂→=</p><p>−=−=</p><p>∂</p><p>∂==</p><p>∂</p><p>∂→=</p><p>yesensenyseny</p><p>sensenxexx</p><p>O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:</p><p>ρρθθρϕ</p><p>θθρθθρ</p><p>θρθ</p><p>θρθ</p><p>θρ</p><p>θρϕ</p><p>==+=</p><p>−−=</p><p>−</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>1.)(cos)(</p><p>)).(.(cos.cos.</p><p>cos.</p><p>.cos</p><p>)(</p><p>22 senJ</p><p>sensen</p><p>sen</p><p>sen</p><p>yy</p><p>xx</p><p>J</p><p>Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.</p><p>225225225225225Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável</p><p>A função a ser integrada é</p><p>( ) ( ) )(cos</p><p>1</p><p>.cos.</p><p>1</p><p>.cos.</p><p>11</p><p>22222222222 θθρθρθρθρθρ sensensenyx +</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>ρρ</p><p>1</p><p>1.</p><p>11</p><p>222</p><p>==</p><p>+ yx</p><p>Sendo assim,</p><p>���������� ==</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>+ BBRRR</p><p>dddddxdy</p><p>yx</p><p>dxdy</p><p>yx</p><p>dxdy</p><p>yx</p><p>θρθρρ</p><p>ρ</p><p>2.12121.22</p><p>222222</p><p>θρ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>θρ</p><p>ρ</p><p>dddxdy</p><p>yx</p><p>sen</p><p>R</p><p>� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>+=</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>=</p><p>+ 0</p><p>1</p><p>1</p><p>22</p><p>22</p><p>Vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ. Ou seja,</p><p>[ ] ( )[ ] θθθρθρ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>θρ</p><p>ρ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>θρ</p><p>ρ</p><p>dsenddddxdy</p><p>yx</p><p>sen</p><p>sen</p><p>R</p><p>��� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>+=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>+=</p><p>=</p><p>−+==�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>=</p><p>+ 00</p><p>1</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>1</p><p>22</p><p>)1(12222</p><p>θθ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>dsendxdy</p><p>yxR</p><p>���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>+ 0</p><p>22</p><p>22</p><p>Agora, temos de resolver um integral simples e diretíssima da tabela, da função seno</p><p>de θ em relação à variável θ. Ou seja,</p><p>[ ] [ ] ( )0coscos2cos2cos222</p><p>00</p><p>0</p><p>22</p><p>−−=−=−==</p><p>+</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>��� πθθθθ πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>πθ</p><p>θ</p><p>dsendxdy</p><p>yxR</p><p>( ) 41122</p><p>22</p><p>=−−−=</p><p>+��</p><p>R</p><p>dxdy</p><p>yx</p><p>226226226226226 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exemplo 10.9. Calcule ( ) ( )�� +−</p><p>R</p><p>dxdyyxsenyx 2</p><p>, sendo R o paralelogramo de vértices</p><p>(2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π).</p><p>Façamos a seguinte mudança de variáveis:</p><p>(x, y) = ϕ(u, v)</p><p>u = x − y</p><p>v = x+ y</p><p>Ou seja,</p><p>2</p><p>2 vuxxvu</p><p>yxv</p><p>yxu</p><p>+=→=+</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>+=</p><p>−=</p><p>2222</p><p>22</p><p>2222</p><p>vuyvuvuvuvvuvxvyyxv +−=→+−=−+−=−−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−=−=→+=</p><p>A mudança de variáveis a ser feita é tal que</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−+==</p><p>2</p><p>,</p><p>2</p><p>),(),( vuvuvuyx ϕ .</p><p>Observe que a mudança de variáveis acima não envolve coordenadas polares.</p><p>Podemos determinar as derivadas parciais de x em relação às variáveis u e v, conforme</p><p>segue abaixo.</p><p>2</p><p>11.</p><p>2</p><p>10.</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>10.</p><p>2</p><p>11.</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>=+=</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>∂</p><p>∂+�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>∂</p><p>∂=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=+=</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>∂</p><p>∂+�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>∂</p><p>∂=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+=+=</p><p>v</p><p>v</p><p>v</p><p>uv</p><p>v</p><p>u</p><p>v</p><p>vu</p><p>vv</p><p>x</p><p>u</p><p>v</p><p>u</p><p>uv</p><p>u</p><p>u</p><p>u</p><p>vu</p><p>uu</p><p>x</p><p>vuvux</p><p>227227227227227Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável</p><p>Podemos determinar as derivadas parciais de y em relação às variáveis u e v, conforme</p><p>segue abaixo.</p><p>2</p><p>11.</p><p>2</p><p>10.</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>10.</p><p>2</p><p>11.</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>=+−=</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>∂</p><p>∂+�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�−</p><p>∂</p><p>∂=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>−=+−=</p><p>∂</p><p>∂+</p><p>∂</p><p>∂−=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>∂</p><p>∂+�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�−</p><p>∂</p><p>∂=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>+−=+−=</p><p>v</p><p>v</p><p>v</p><p>uv</p><p>v</p><p>u</p><p>v</p><p>vu</p><p>vv</p><p>y</p><p>u</p><p>v</p><p>u</p><p>uv</p><p>u</p><p>u</p><p>u</p><p>vu</p><p>uu</p><p>y</p><p>vuvuy</p><p>O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−+==</p><p>2</p><p>,</p><p>2</p><p>),(),( vuvuvuyx ϕ é:</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>2</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1.</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1.</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>)( ==+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�−−=</p><p>−</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>v</p><p>y</p><p>u</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>u</p><p>x</p><p>J ϕ</p><p>Na mudança de variáveis, temos que: dudvdudvJdxdy</p><p>2</p><p>1.)( == ϕ .</p><p>A função a ser integrada fica assim:</p><p>( ) ( ) �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−+</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −++=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−++</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−−+=+−</p><p>222222</p><p>22</p><p>2 vuvusenvuvuvuvusenvuvuyxsenyx</p><p>( ) ( ) senvuvsenuyxsenyx 2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 =�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�=+−</p><p>Em termos das variáveis originais (x,y), a região R de integração é o paralelogramo de</p><p>vértices (2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π) esboçado na figura 10.13.</p><p>228228228228228 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Figura 10.13. Região de integração em termos das variáveis originais (x,y).</p><p>A semirreta indicada por (I) na figura 10.13 tem equação y = x + π. Como u = x − y, nessa</p><p>região temos o seguinte: u = x − (x + π) = x − x − π = −π (ou seja, u é constante e igual</p><p>a −π ). Como v = x + y, nessa região temos o seguinte: v = x + (x + π) = 2x + π (ou seja,</p><p>visto que x varia desde x = 0 até x = π, então v varia desde v = π até v = 3π).</p><p>A semirreta indicada por (II) na figura 10.13 tem equação y = − x + 3π. Como v = x + y,</p><p>nessa região temos o seguinte: v = x + (−x + 3π) = x − x + 3π = 3π (ou seja, v é</p><p>constante e igual a 3π). Como u = x − y, nessa região temos o seguinte: u = x − (−x + 3π) =</p><p>x + x − 3π = 2x − 3π (ou seja, visto que</p><p>x= = − .</p><p>Agora, começamos a derivada aplicando as propriedades D1 e D2, dadas, respectiva-</p><p>mente, por:</p><p>f x g x f x g x � � k.f x k.f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,±( ) = ± ( ) =e .</p><p>Ou seja,</p><p>f x x</p><p>x</p><p>dx</p><p>x x, , , , , ,</p><p>( ) = +( ) =</p><p>+( )</p><p>= ( ) + ( ) = ( ) + ( )−</p><p>−</p><p>− −7 5</p><p>7 5</p><p>7 5 7 51</p><p>1</p><p>1 1</p><p>d</p><p>1010101010 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Cada uma das derivadas anteriores pode ser resolvida diretamente pela tabela, conforme</p><p>segue.</p><p>(7)’ = 0, pois ( ),k</p><p>dk</p><p>dx</p><p>= = 0 (a derivada da constante é zero) e, no caso, k = 7.</p><p>x x x</p><p>x</p><p>− − − −( ) = − = − = −1 1 1 2</p><p>21 1 1,</p><p>, pois x</p><p>dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1 e, no caso, n = −1.</p><p>Logo,</p><p>f x x x</p><p>x</p><p>, , , ,</p><p>( ) = +( ) = ( ) + ( ) = ( ) + −⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>= −− −7 5 7 5 0 5 1 51 1</p><p>2 2x</p><p>Exemplo 1.10. Derive y = 8 + cos x</p><p>Temos de derivar a soma de 8 com o cosseno de x.</p><p>Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar a propriedade D1 abaixo:</p><p>f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ±</p><p>Ou seja,</p><p>f x x</p><p>d x</p><p>dx</p><p>x, , , ,( ) cos</p><p>cos</p><p>cos= +( ) =</p><p>+( )</p><p>= ( ) + ( )8</p><p>8</p><p>8</p><p>Desse modo, ficamos com duas derivadas presentes na tabela, resolvidas por:</p><p>( ),k dk</p><p>dx</p><p>= = 0 (a derivada da constante é zero) e cos cos,x d x</p><p>dx</p><p>x( ) = = −sen .</p><p>Vejamos:</p><p>f x x x x x, , , ,( ) cos cos= +( ) = ( ) + ( ) = ( ) + −( ) = −8 8 0 sen sen</p><p>1111111111Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável</p><p>Observe que o cosseno de x, indicado por cosx, é uma função</p><p>trigonométrica, ou seja, não é a multiplicação de “alguma coi-</p><p>sa” por x!</p><p>Exemplo 1.11. Derive f (x) = 5 tgx + 3 senx.</p><p>Temos de derivar, em relação à variável x, a soma do quíntuplo da tangente de x com o</p><p>triplo do seno de x. Ou seja, a soma da tangente de x multiplicada pela constante 5 com</p><p>o seno de x multiplicado pela constante 3.</p><p>Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar as propriedades D1 e D2,</p><p>dadas, respectivamente, por:</p><p>f x g x f x g x k.f x k.f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,±( ) = ± ( ) =e</p><p>Ou seja,</p><p>f x tgx senx tgx senx tgx senx, , , , , ,( ) ( )= + = ( ) + ( ) = ( ) + ( )5 3 5 3 5 3</p><p>Desse modo, ficamos com duas derivadas presentes na tabela, resolvidas por</p><p>( ) x</p><p>dx</p><p>dtgxtgx 2, sec== e x</p><p>dx</p><p>dsenxsenx cos)( , ==</p><p>Logo,</p><p>f x tgx senx tgx senx tgx senx, , , , , ,( ) ( ) sec= + = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) =5 3 5 3 5 3 5 22 3x + cos x</p><p>Observe que a tangente de x, indicada por tgx, o seno de x,</p><p>indicado por senx, o cosseno de x, indicado por cosx, e a</p><p>secante ao quadrado de x, indicada por sec2x, são funções</p><p>trigonométricas, ou seja, não são multiplicações de “alguma</p><p>coisa” por x!</p><p>1212121212 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exemplo 1.12. Derive y = e xx + 1</p><p>7</p><p>.</p><p>Temos de derivar, em relação à variável x, a soma do “número e elevado a x” com “x</p><p>multiplicado pela constante 1/7”.</p><p>Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar as propriedades D1 e D2</p><p>abaixo:</p><p>f x g x f x g x k.f x k.f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,±( ) = ± ( ) =e</p><p>Ou seja,</p><p>y e x e x e xx x x,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,( )= +⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>= ( ) + ⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>= +1</p><p>7</p><p>1</p><p>7</p><p>1</p><p>7</p><p>Desse modo, ficamos com duas derivadas presentes na tabela, resolvidas por:</p><p>e de</p><p>dx</p><p>e x dx</p><p>dx</p><p>x</p><p>x</p><p>x( ) = = ( ) = =</p><p>, ,e 1</p><p>Logo,</p><p>y e x e x e x e ex x x x x,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,( ) .= +⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>= ( ) + ⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>= + = + = +1</p><p>7</p><p>1</p><p>7</p><p>1</p><p>7</p><p>1</p><p>7</p><p>1 1</p><p>7</p><p>Observe que o número neperiano e é um número irracional, muitas vezes aproximado</p><p>por 2,72.</p><p>Exemplo 1.13. Derive t x x x( ) ln arccos .= − +3 2 5</p><p>x</p><p>Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar a propriedade D2,</p><p>f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ± , expandida para o caso da soma/subtração de três fun-</p><p>ções da variável x: 3</p><p>x</p><p>, 2 1n x e 5 arccos x. Ou seja,</p><p>1313131313Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável</p><p>t x x x</p><p>x</p><p>x x,</p><p>, ,</p><p>,( ) ln arccos ln arccos= − +⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>= ⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>− ( ) + ( )3 2 5 3 2 5</p><p>x</p><p>,,</p><p>Agora, para as três derivadas acima, vamos aplicar a propriedade (k.f (x))’ = k.f ’ (x):</p><p>t x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>x,</p><p>,</p><p>, ,</p><p>,</p><p>,( ) ln arccos ln ar= ⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>− ( ) + ( ) = ⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>− ( ) +3 2 5 3 1 2 5 cccos ,x( )</p><p>Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente por regras da tabela,</p><p>conforme segue.</p><p>1 1 1 11 1 1 2</p><p>2x</p><p>x x x</p><p>x</p><p>⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>= ( ) = − = − = −− − − −</p><p>,</p><p>,</p><p>( ) . , pois x dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1 e, no caso, n = −1.</p><p>ln ,x</p><p>x</p><p>( ) = 1</p><p>arccos ,x</p><p>x</p><p>( ) = −</p><p>−</p><p>1</p><p>1 2</p><p>Finalizando a derivada:</p><p>t x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>,</p><p>,</p><p>, ,( ) ln arccos== ⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>− ( ) + ( ) = −⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>− ⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>3 1 2 5 3 1 2 1</p><p>2 ⎟⎟ + −</p><p>−</p><p>⎛</p><p>⎝</p><p>⎜⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟⎟ = − − −</p><p>−</p><p>5 1</p><p>1</p><p>3 2 5</p><p>12 2 2</p><p>.</p><p>x x x x</p><p>Exemplo 1.14. Derive h (x) = 3x + arctgx</p><p>Este exemplo trata da derivada da soma de duas funções da variável x: as funções 3x</p><p>(exponencial de base 3) e arctgx (arcotangente de x). Inicialmente, vamos aplicar a pro-</p><p>priedade D1, relativa à derivada da soma de funções: f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ± .</p><p>Ou seja,</p><p>h x arctgx arctgxx x, , , ,( ) ( )= +( ) = ( ) +3 3</p><p>Cada uma das duas derivadas acima pode ser resolvida diretamente por regras da</p><p>tabela, conforme segue.</p><p>1414141414 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>(3x)’ = 3x 1n 3, pois a d a</p><p>dx</p><p>a ax</p><p>x</p><p>x( ) = =</p><p>, ( ) ln e, no caso, a = 3</p><p>arctgx</p><p>d arctgx</p><p>dx x</p><p>( ) =</p><p>( )</p><p>=</p><p>+</p><p>, 1</p><p>1 2</p><p>Finalizando a derivada:</p><p>h x arctgx</p><p>x</p><p>x x, , ,( ) ( ) ln= ( ) + = +</p><p>+</p><p>3 3 3 1</p><p>1 2</p><p>Observe que 3x não é a multiplicação de 3 por x. Trata-se da</p><p>função de “base 3 elevada ao expoente x”.</p><p>Exemplo 1.15. Derive h(x) = x2 cos x.</p><p>Queremos derivar a multiplicação de duas funções da variável x: a função do segun-</p><p>do grau x2 multiplicada pela função trigonométrica cosx. Então, vamos começar a</p><p>resolução aplicando a propriedade D3, referente à derivada do produto de duas</p><p>funções:</p><p>(f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x)</p><p>Ou seja, a derivada do produto (multiplicação) da função x elevado ao quadrado (x2)</p><p>pela função cosseno de x (cosx) é igual à soma da derivada de x elevado ao quadrado,</p><p>multiplicada pelo cosseno de x, com x elevado ao quadrado multiplicado pela derivada</p><p>de cosseno de x, conforme segue.</p><p>h’ (x) = (x2 cos x)’ = (x2)’ cos x + x2 (cos x)’</p><p>Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conforme</p><p>segue.</p><p>(x2)’ = 2x2−1 = 2x1 = 2x, pois x</p><p>dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1 e, no caso, n = 2.</p><p>(cos x)’ = − senx</p><p>1515151515Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável</p><p>Finalizando a derivada:</p><p>h’(x) = (x2)’ cos x + x2 (cos x)’ = 2x cos x + x2 (−senx) = 2x cos x −</p><p>x varia desde x = π até x = 2π, então u varia desde</p><p>u = −π até u = π).</p><p>A semirreta indicada por (III) na figura 10.13 tem equação y = x − π. Como u = x − y, nessa</p><p>região temos o seguinte: u = x − (x − π) = x − x + π = π (ou seja, u é constante e igual a π).</p><p>Como v = x + y, nessa região temos o seguinte: v = x + (x − π) = 2x − π (ou seja, visto que</p><p>x varia desde x = π até x = 2π, então v varia desde v = π até v = 3π).</p><p>A semirreta indicada por (IV) na figura 10.13 tem equação y = − x + π. Como v = x + y,</p><p>nessa região temos o seguinte: v = x + (− x + π) = x − x + π = π (ou seja, v é constante e</p><p>igual a π). Como u = x − y, nessa região temos o seguinte: u = x − (−x + 3π) = x + x − 3π</p><p>= 2x − 3π (ou seja, visto que x varia desde x = π até x = 2π, então u varia desde u = −π</p><p>até u = π).</p><p>Em termos das variáveis (u,v), a região R de integração é “transformada” no quadrado</p><p>esboçado na figura 10.14.</p><p>229229229229229Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável</p><p>Figura 10.14. Região de integração em termos das variáveis (u,v).</p><p>A região indicada na figura 10.14 pode ser escrita, em termos das variáveis (u,v), como</p><p>{ }ππππ 3:),( 2 ≤≤≤≤−ℜ∈= veuvuB .</p><p>Sendo assim,</p><p>( ) ( ) ������ ==+−</p><p>BBR</p><p>dudvsenvududvsenvJudxdyyxsenyx</p><p>2</p><p>1)( 222 ϕ</p><p>A constante ½ que multiplica a função pode ser “colocada para fora da integral”:</p><p>( ) ( ) ���� =+−</p><p>BR</p><p>senvdudvudxdyyxsenyx 22</p><p>2</p><p>1</p><p>Escrevendo os extremos da região de integração B:</p><p>( ) ( ) � �����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>==+−</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>3</p><p>222</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 v</p><p>v</p><p>u</p><p>uBR</p><p>dvsenvduusenvdudvudxdyyxsenyx</p><p>( ) ( ) ( )� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>=+−</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>3</p><p>22</p><p>2</p><p>1 v</p><p>v</p><p>u</p><p>uR</p><p>dvduusenvdxdyyxsenyx</p><p>230230230230230 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável u, pensamos que v</p><p>representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função senv</p><p>também é interpretada como uma constante. Ou seja,</p><p>( ) ( ) ( ) � �� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>=+−</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>22</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 v</p><p>v</p><p>u</p><p>u</p><p>v</p><p>v</p><p>u</p><p>uR</p><p>dvduusenvdvduusenvdxdyyxsenyx</p><p>Vamos resolver, primeiramente, a integral indefinida relacionada com a integral defini-</p><p>da, na variável u, indicada acima:</p><p>CuCuCuduu +=+=+</p><p>+</p><p>=�</p><p>+</p><p>3</p><p>312</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>312</p><p>Ou seja,</p><p>( ) ( ) �� ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>�</p><p>��</p><p>=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>=+−</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>22</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 v</p><p>v</p><p>u</p><p>u</p><p>v</p><p>v</p><p>u</p><p>uR</p><p>dvusenvdvduusenvdxdyyxsenyx</p><p>( ) ( ) [ ] ( ) ( )( )����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−= −−==+−</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π ππ</p><p>3</p><p>33</p><p>3</p><p>32</p><p>6</p><p>1</p><p>3</p><p>1.</p><p>2</p><p>1 v</p><p>v</p><p>v</p><p>v</p><p>u</p><p>u</p><p>R</p><p>dvsenvdvusenvdxdyyxsenyx</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) �����</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>==+=+−</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>ππππ</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>332 2</p><p>6</p><p>12</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>1 v</p><p>v</p><p>v</p><p>v</p><p>v</p><p>vR</p><p>senvdvdvsenvdvsenvdxdyyxsenyx</p><p>( ) ( ) ���</p><p>=</p><p>=</p><p>=+−</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>3</p><p>32</p><p>3</p><p>1 v</p><p>vR</p><p>senvdvdxdyyxsenyx</p><p>Agora, temos de resolver uma integral simples da variável v, que pode ser resolvida</p><p>com o auxílio direto da tabela de integrais:</p><p>( ) ( ) [ ] [ ] π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>πππ 3333</p><p>3</p><p>32 cos</p><p>3</p><p>1cos</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1 =</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=−==+− ��� v</p><p>v</p><p>v</p><p>v</p><p>v</p><p>vR</p><p>vvsenvdvdxdyyxsenyx</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00</p><p>3</p><p>1)1(1</p><p>3</p><p>1cos3cos</p><p>3</p><p>1 3332 =−=−−−−=−−=+−�� πππππ</p><p>R</p><p>dxdyyxsenyx</p><p>231231231231231Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável</p><p>Exemplo 10.10. Calcule ( ) ( )�� −+</p><p>R</p><p>dxdyyxsenyx 3 , sendo R o paralelogramo de vértices</p><p>(2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π).</p><p>A mudança de variáveis a ser feita no exemplo 10.10 é a mesma realizada no exemplo</p><p>10.9, ou seja,</p><p>u = x − y</p><p>v = x+ y</p><p>Vimos que, nesse caso,</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−+==</p><p>2</p><p>,</p><p>2</p><p>),(),( vuvuvuyx ϕ .</p><p>Também já calculamos as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis u e v,</p><p>conforme segue abaixo.</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1,</p><p>2</p><p>1,</p><p>2</p><p>1 =</p><p>∂</p><p>∂−=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>v</p><p>ye</p><p>u</p><p>y</p><p>v</p><p>x</p><p>u</p><p>x</p><p>O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−+==</p><p>2</p><p>,</p><p>2</p><p>),(),( vuvuvuyx ϕ é:</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>2</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1.</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1.</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>)( ==+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�−−=</p><p>−</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>∂</p><p>=</p><p>v</p><p>y</p><p>u</p><p>y</p><p>y</p><p>x</p><p>u</p><p>x</p><p>J ϕ</p><p>Na mudança de variáveis, temos que: dudvdudvJdxdy</p><p>2</p><p>1.)( == ϕ .</p><p>( ) ( )�� −+</p><p>R</p><p>dxdyyxsenyx 3</p><p>232232232232232 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>A função a ser integrada fica assim:</p><p>( ) ( ) �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� −++</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−+=�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−−+</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� +−++=−+</p><p>222222</p><p>33</p><p>3 vuvusenvuvuvuvusenvuvuyxsenyx</p><p>( ) ( ) senuvusenvyxsenyx 3</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 =�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�=−+</p><p>Em termos das variáveis (u,v), o paralelogramo de vértices (2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π), ou</p><p>seja a região R de integração, é “transformado” no quadrado esboçado na figura 10.15,</p><p>ou seja, região B de integração.</p><p>Figura 10.15. Região B de integração em termos das variáveis (u,v).</p><p>A região indicada na figura 10.15 pode ser escrita, em termos das variáveis (u,v), como</p><p>{ }ππππ 3:),( 2 ≤≤≤≤−ℜ∈= veuvuB .</p><p>Sendo assim,</p><p>( ) ( ) ������ ==−+</p><p>BBR</p><p>dudvsenuvdudvsenuJvdxdyyxsenyx</p><p>2</p><p>1)( 333 ϕ</p><p>A constante ½ que multiplica a função pode ser “colocada para fora da integral”:</p><p>( ) ( ) ���� =−+</p><p>BR</p><p>senududvvdxdyyxsenyx 33</p><p>2</p><p>1</p><p>233233233233233Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável</p><p>Escrevendo os extremos da região de integração B:</p><p>( ) ( ) � �����</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>==−+</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>u</p><p>u</p><p>v</p><p>vBR</p><p>dudvvsenusenududvvdxdyyxsenyx</p><p>3</p><p>333 )(</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável v, pensamos que u</p><p>representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função senu</p><p>também é interpretada como uma constante. Ou seja,</p><p>( ) ( ) � �� ���</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>=−+</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>u</p><p>u</p><p>v</p><p>v</p><p>u</p><p>u</p><p>v</p><p>vR</p><p>dudvvsenududvvsenudxdyyxsenyx</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>33</p><p>2</p><p>1)(</p><p>2</p><p>1</p><p>Vamos resolver, primeiramente, a integral indefinida relacionada com a integral defini-</p><p>da, na variável v, indicada acima:</p><p>CvCvCvdvv +=+=+</p><p>+</p><p>=�</p><p>+</p><p>4</p><p>413</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>413</p><p>Ou seja,</p><p>( ) ( ) �� ���</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>�</p><p>��</p><p>=��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>=−+</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>u</p><p>u</p><p>v</p><p>v</p><p>u</p><p>u</p><p>v</p><p>vR</p><p>duvsenududvvsenudxdyyxsenyx</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>33</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>( ) ( ) [ ] ( ) ( )( )����</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>= −==−+</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π ππ</p><p>u</p><p>u</p><p>u</p><p>u</p><p>v</p><p>v</p><p>R</p><p>dusenuduvsenudxdyyxsenyx 44343 3</p><p>8</p><p>1</p><p>4</p><p>1.</p><p>2</p><p>1</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) �����</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>−=</p><p>==−=−+</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>ππππ</p><p>u</p><p>u</p><p>u</p><p>u</p><p>u</p><p>uR</p><p>senududusenudusenudxdyyxsenyx</p><p>8</p><p>8080</p><p>8</p><p>181</p><p>8</p><p>1 4</p><p>4443</p><p>( ) ( ) ���</p><p>=</p><p>−=</p><p>=−+</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>u</p><p>uR</p><p>senududxdyyxsenyx 43 10</p><p>Agora, temos de resolver uma integral simples da variável u, que pode ser resolvida</p><p>com o auxílio direto da tabela de integrais:</p><p>( ) ( ) [ ] [ ] π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>π</p><p>πππ =</p><p>−=</p><p>=</p><p>−=</p><p>=</p><p>−=</p><p>−=−==−+ ��� u</p><p>u</p><p>u</p><p>u</p><p>u</p><p>uR</p><p>uusenududxdyyxsenyx cos10cos1010 4443</p><p>( ) ( ) ( )( ) ( ) 0)1(110coscos10 443 =−−−−=−−−=−+�� ππππ</p><p>R</p><p>dxdyyxsenyx</p><p>234234234234234 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios</p><p>ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 10Exercícios Propostos – Capítulo 10Exercícios Propostos – Capítulo 10Exercícios Propostos – Capítulo 10Exercícios Propostos – Capítulo 10</p><p>Exercício 10.1.Calcule ��</p><p>R</p><p>dxdyx</p><p>2</p><p>, sendo R o disco de centro na origem (0,0) e raio 4.</p><p>Exercício 10.2.Calcule ��</p><p>R</p><p>dxdyxy</p><p>3</p><p>, sendo R a região do segundo quadrante limitada</p><p>pelas circunferências x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 9.</p><p>Exercício 10.3. Calcule �� −</p><p>R</p><p>dxdyy)5( , sendo R a região do primeiro quadrante e do</p><p>segundo quadrante limitada pelas circunferências x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.</p><p>Exercício 10.4. Calcule �� +</p><p>R</p><p>dxdyyx )cos( 22 , sendo R o semicírculo x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 0.</p><p>Exercício 10.5. Calcule ��</p><p>+</p><p>R</p><p>yx</p><p>dxdye</p><p>2</p><p>22</p><p>, sendo R x,y x y e x y x= ∈ℜ ≤ + ≤ − ≤ ≤{ }( ) :2 2 29 25 .</p><p>Exercício 10.6. Calcule ( )�� +</p><p>R</p><p>yx dxdye</p><p>2222 , sendo { }4:),( 222 ≤+ℜ∈= yxyxR .</p><p>Exercício 10.7. Calcule ��</p><p>R</p><p>xdxdy3 , sendo R a região limitada por x2 + y2 − 4x = 0.</p><p>Exercício 10.8. Calcule �� ++R</p><p>dxdy</p><p>yx 1</p><p>1</p><p>22π</p><p>, sendo R a região do primeiro quadrante</p><p>limitada pelareta y = x, pela circunferência x2 + y2 = 4 e pelo eixo x.</p><p>Exercício 10.9. Calcule ( ) ( )�� +−</p><p>R</p><p>dxdyyxyx cos4 , sendo R o paralelogramo de vértices</p><p>(2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π).</p><p>Exercício 10.10. Calcule ( )�� −+</p><p>R</p><p>dxdyyxyx cos , sendo R o paralelogramo de vértices</p><p>(2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π).</p><p>235235235235235Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10</p><p>Exercício 10.1. 0.</p><p>Exercício 10.2. − 10/3.</p><p>Exercício 10.3. 3</p><p>14</p><p>2</p><p>15 −π</p><p>Exercício 10.4. 4</p><p>2</p><p>senπ .</p><p>Exercício 10.5. ( )925</p><p>8 ee −</p><p>π .</p><p>Exercício 10.6. π (e8 − 1).</p><p>Exercício 10.7. 24π .</p><p>Exercício 10.8.</p><p>4</p><p>15 − .</p><p>Exercício 10.9. 0.</p><p>Exercício 10.10. 0.</p><p>À venda nas melhores livrarias.</p><p>Exercícios de Álgebra Linear III</p><p>Álgebra Linear e Geometria</p><p>Exercícios em Álgebra Linear III dá con� nuidade a outros dois volumes.</p><p>Neste terceiro volume, são resolvidos 300 exercícios com diferentes temas</p><p>envolvendo diretamente ou indiretamente a Geometria.</p><p>Os exercícios representam novidades no contexto da Geometria e Álgebra</p><p>Linear e podem ser importantes não somente para matemá� cos, mas também</p><p>para � sicos, engenheiros e estudiosos em Ciência da Computação.</p><p>Os três volumes possuem um total de 1001 exercícios resolvidos que</p><p>abrangem grande parte da Álgebra Linear.</p><p>À venda nas melhores livrarias.</p><p>Teoria dos Conjuntos</p><p>��������</p><p>���</p><p>������������</p><p>�������</p><p>��������</p><p>�����������</p><p>������</p><p>������</p><p>�����</p><p>����</p><p>���������</p><p>����</p><p>��	���</p><p>�����</p><p>������</p><p>��������������</p><p>����</p><p>�������</p><p>���</p><p>��</p><p>�������</p><p>�����������������	������</p><p>��</p><p>����</p><p>��	�</p><p>�������</p><p>���������-</p><p>�������!"�����#��������$�%���������	���� ����</p><p>��</p><p>����</p><p>��</p><p>����������</p><p>�</p><p>��������	&���</p><p>�������</p><p>�	��	�����</p><p>���</p><p>�����</p><p>�������</p><p>����������#�����-</p><p>����</p><p>�</p><p>���'�</p><p>���'��������</p><p>�	��������������������������</p><p>����</p><p>���������</p><p>$�</p><p>(</p><p>�����)�����	�</p><p>���������*���������!"���)</p><p>���������������</p><p>��</p><p>��</p><p>���</p><p>�</p><p>�</p><p>���#�����������������������</p><p>��	���!+�</p><p>��*��!+�</p><p>������	�!+�</p><p>/�</p><p>���</p><p>��</p><p>����</p><p>�������</p><p>�	�!"����</p><p>���������</p><p>����2</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>���</p><p>�����	�</p><p>��</p><p>���</p><p>�</p><p>��	��</p><p>�-</p><p>��</p><p>��	��</p><p>���������)�</p><p>$��������������</p><p>������������</p><p>��</p><p>���45��</p><p>�������-</p><p>����</p><p>���������</p><p>��</p><p>"���	�����</p><p>�����2���</p><p>������</p><p>��</p><p>��������	�</p><p>��	�</p><p>��</p><p>���</p><p>��	�</p><p>��</p><p>�����	�</p><p>������</p><p>�������</p><p>����</p><p>��	�!+�</p><p>�</p><p>��	�����)</p><p>��������</p><p>���6�$</p><p>Impressão e Acabamento</p><p>��������</p><p>������	���	����</p><p>�������</p><p>�!</p><p>"�</p><p>!#�$%&'�%%(&)***%</p><p>Capa</p><p>Folha de Rosto</p><p>Sumário</p><p>Introdução</p><p>Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 1.</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1.</p><p>Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 2.</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 2.</p><p>Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3.</p><p>Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabela</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 4.</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 4.</p><p>Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da Tabela</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 5.</p><p>Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 6.</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 6.</p><p>Capítulo 7 - Integrais Simples – Integração por Partes</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 7.</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 7.</p><p>Capítulo 8 - Integrais Simples – Integrais Definidas</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 8.</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 8.</p><p>Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 9</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9</p><p>Capítulo 10 - Integrais Duplas – Mudança de Variável</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 10</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10</p><p>x2 senx</p><p>Já terminamos a derivada, mas, ainda, podemos colocar x em evidência na subtração</p><p>acima. Logo,</p><p>h’(x) = 2x cos x − x2 senx = x (2cos x − xsenx)</p><p>Exemplo 1.16. Derive h(x) = cos x.senx.</p><p>Precisamos derivar a multiplicação de duas funções da variável x: as funções</p><p>trigonométricas cos x e senx. Vamos iniciar a resolução aplicando a propriedade D3,</p><p>referente à derivada do produto de duas funções: (f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x).</p><p>Vejamos:</p><p>h’(x) = (cos x.senx)’ = (cos x)’.senx + cos x.(senx)’</p><p>Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conforme</p><p>segue.</p><p>(cos x)’ = − senx</p><p>(senx)’ = cos x</p><p>Finalizando a derivada:</p><p>h’(x) = (cos x.senx)’= (cos x)’.senx + cos x.(senx)’= − senx.senx +cos x.cos x = cos2 x − sen2x</p><p>Exemplo 1.17. Derive h(x) = x5 ex.</p><p>Temos de derivar a multiplicação de duas funções da variável x: a função x5 multiplica-</p><p>da pela função exponencial de base e (ex). Vamos iniciar a resolução aplicando a propri-</p><p>edade D3, referente à derivada do produto de duas funções:</p><p>(f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x)</p><p>Vejamos:</p><p>h’(x) = (x5 ex)’ = (x5)’ ex + x5 (ex)’</p><p>1616161616 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conforme</p><p>segue.</p><p>(x5)’ = 5x5-1 = 5x4, pois x</p><p>dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1 e, no caso, n = 5.</p><p>(ex)’ = ex</p><p>Finalizando a derivada:</p><p>h’(x) = (x5 ex)’ = (x5)’ ex + x5 (ex)’ = 5x4 ex + x5 ex</p><p>A derivada já foi terminada, mas podemos “melhorar” a resposta final colocando x4.ex</p><p>em evidência:</p><p>h’(x) = 5x4 ex + x5 ex = x4 ex (5 + x)</p><p>Exemplo 1.18. Derive y = 3 arccosx + x2 ex.</p><p>Inicialmente, temos de derivar a soma de duas funções da variável x: a função 3arccos x</p><p>somada com a função x2 ex. Vamos começar aplicando a propriedade D1, referente à</p><p>derivada da soma de duas funções: f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ±</p><p>Vejamos:</p><p>y dy</p><p>dx</p><p>x x e x x ex x, , ,</p><p>arccos arccos,= = +( ) = ( ) + ( )3 32 2</p><p>Como a função é formada pelo produto da constante k = 3 pela função arcocosseno de x,</p><p>podemos aplicar a propriedade D2, que trata da derivada do produto de uma constante</p><p>por uma função: (k.f (x))’ = k.f ’ (x)</p><p>Ou seja,</p><p>y dy</p><p>dx</p><p>x x e x x e x xx x, , , ,arccos arccos arccos,= = +( ) = ( ) + ( ) = ( ) +3 3 32 2 22ex( ),</p><p>Há duas parcelas presentes na derivada acima.</p><p>1717171717Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável</p><p>A primeira parcela, correspondente ao triplo da derivada da função arcocosseno de x,</p><p>é obtida diretamente da tabela, na qual consta que</p><p>arccos</p><p>arccos,x</p><p>d x</p><p>dx x</p><p>( ) =</p><p>( )</p><p>= −</p><p>−</p><p>1</p><p>1 2 .</p><p>Logo,</p><p>3 3 1</p><p>1</p><p>3</p><p>12 2</p><p>arccos ,x</p><p>x x</p><p>( ) = −</p><p>−</p><p>⎛</p><p>⎝</p><p>⎜⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟⎟ = −</p><p>−</p><p>A segunda parcela, correspondente ao produto de x elevado ao quadrado pela</p><p>exponencial de base e (e elevado ao expoente x), deve ser, inicialmente, resolvida pelo</p><p>uso da propriedade D3 a seguir: (f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x).</p><p>Vejamos:</p><p>( x2 ex)’ = ( x2 )’ ex + x2 (ex)’</p><p>A derivada de x2, em relação à variável x, é ( x2 )’ = 2x2−1 = 2x1 = 2x, pois, de acordo com</p><p>a tabela,</p><p>x dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1 .</p><p>A derivada de ex, em relação à variável x, é ex, pois, de acordo com a tabela,</p><p>e de</p><p>dx</p><p>ex</p><p>x</p><p>x( ) = =</p><p>,</p><p>.</p><p>Ou seja,</p><p>( x2 ex)’ = ( x2 )’ ex + x2 (ex)’ = 2xex + x2 ex</p><p>A derivada do produto x2 ex já foi terminada na linha anterior, mas ainda podemos</p><p>colocar xex em evidência na soma 2xex + x2 ex:</p><p>( x2 ex)’ = ( x2 )’ ex + x2 (ex)’ = 2xex + x2 ex = xex (2 + x)</p><p>1818181818 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Finalizando a derivada de y = 3 arccosx + x2 ex:</p><p>y dy</p><p>dx</p><p>x x e</p><p>x</p><p>xe xx x, , ,</p><p>arccos= = ( ) + ( ) = −</p><p>−</p><p>+ +( )3 3</p><p>1</p><p>22</p><p>2</p><p>Exemplo 1.19. Derive h x x</p><p>x</p><p>( ) .=</p><p>+</p><p>2</p><p>1</p><p>Precisamos derivar a divisão de duas funções da variável x: a função x2, no numerador,</p><p>e a função x + 1, no denominador. Então, vamos iniciar a resolução aplicando a propri-</p><p>edade D4, referente à derivada do quociente de duas funções:</p><p>f x</p><p>g x</p><p>f x g x f x g x</p><p>g x</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( ). ( ) ( ). ( )</p><p>( )</p><p>, , ,⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟ = −</p><p>( )2</p><p>No caso, a derivada da divisão de f(x) = x2 por g(x) = x + 1 é igual à subtração entre a</p><p>derivada de f (x) = x2 multiplicada por g(x) = x+1 e f (x) = x2 multiplicada pela derivada de</p><p>g(x) = x + 1, sendo essa subtração dividida pela função g(x) = x + 1 elevada ao quadrado.</p><p>Vejamos:</p><p>h x x</p><p>x</p><p>x x x x</p><p>x</p><p>,</p><p>, , ,</p><p>( )</p><p>( ) .</p><p>( )</p><p>=</p><p>+</p><p>⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟ =</p><p>( ) + − ( ) +( )</p><p>+</p><p>2 2 2</p><p>21</p><p>1 1</p><p>1</p><p>Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela ou pela</p><p>propriedade D1, referente à derivada da soma de duas funções, conforme segue.</p><p>(x2)’ = 2x2-1 = 2x1 = 2x, pois x dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1</p><p>(x + 1)’ = (x)’ + (1)’ = 1 + 0 = 1</p><p>Finalizando a derivada:</p><p>h x x</p><p>x</p><p>x x x x</p><p>x</p><p>x x</p><p>,</p><p>, , ,</p><p>( )</p><p>( ) .</p><p>( )</p><p>( )</p><p>=</p><p>+</p><p>⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟ =</p><p>( ) + − ( ) +( )</p><p>+</p><p>=</p><p>( ) + −2 2 2</p><p>21</p><p>1 1</p><p>1</p><p>2 1 xx</p><p>x</p><p>x x x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>2 2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>( ) ( )</p><p>+</p><p>= + −</p><p>+</p><p>= +</p><p>+</p><p>.</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>1919191919Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável</p><p>A derivada já foi terminada, mas, ainda, podemos colocar x em evidência no numerador</p><p>do quociente:</p><p>h x x x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>, ( )</p><p>( ) ( )</p><p>= +</p><p>+</p><p>=</p><p>+( )</p><p>+</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>Exemplo 1.20. Derive t x</p><p>x x</p><p>senx</p><p>( ) .= −3 6</p><p>Vamos derivar a divisão de duas funções da variável x: a função x3 − 6x, no numerador,</p><p>e a função senx, no denominador. Começamos a resolução aplicando a propriedade D4,</p><p>referente à derivada do quociente de duas funções:</p><p>f x</p><p>g x</p><p>f x g x f x g x</p><p>g x</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( ). ( ) ( ). ( )</p><p>( )</p><p>, , ,⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟ = −</p><p>( )2</p><p>Vejamos:</p><p>t x x x</p><p>senx</p><p>x x senx x x senx</p><p>senx</p><p>,</p><p>, , ,</p><p>( ) = −⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟ =</p><p>−( ) − −( )( )</p><p>( )</p><p>3 3 3</p><p>2</p><p>6 6 6</p><p>Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida pela tabela ou pelas propriedades</p><p>D1 (relativa à derivada da soma de duas funções) e D2 (referente à derivada do produ-</p><p>to de uma constante por uma função), conforme segue.</p><p>(x3 − 6x)’ = (x3)’ − (6x)’ = (x3)’ − 6 (x)’ = 3x2 − 6.1 = 3x2 − 6</p><p>(senx)’ = cos x</p><p>Finalizando a derivada:</p><p>t x x x</p><p>senx</p><p>x x senx x x senx</p><p>senx</p><p>,</p><p>, , ,</p><p>( ) = −⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟ =</p><p>−( ) − −( )( )</p><p>( )</p><p>=</p><p>3 3 3</p><p>2</p><p>6 6 6 33 6 62 3</p><p>2</p><p>x senx x x x</p><p>sen x</p><p>−( ) − −( )( )cos</p><p>2020202020 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Observe que a função seno ao quadrado de x pode ser escrita</p><p>como (senx)2 ou como sen2x. Nesse caso, é o seno que está ao</p><p>quadrado, e não o argumento x.</p><p>Exemplo 1.21. Derive t x</p><p>x</p><p>ex</p><p>( ) .=</p><p>−</p><p>7</p><p>3</p><p>Queremos derivar a divisão de duas funções da variável x: a função x7, no numerador,</p><p>e a função ex − 3, no denominador. Começamos a resolução aplicando a propriedade</p><p>D4, referente à derivada do quociente de duas funções:</p><p>f x</p><p>g x</p><p>f x g x f x g x</p><p>g x</p><p>(</p><p>)</p><p>( )</p><p>( ). ( ) ( ). ( )</p><p>( )</p><p>, , ,⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟ = −</p><p>( )2</p><p>Vejamos:</p><p>t x x</p><p>e</p><p>x e x e</p><p>e</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>,</p><p>, , ,</p><p>( )</p><p>. .</p><p>=</p><p>−</p><p>⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟ =</p><p>( ) −( ) − −( )</p><p>−( )</p><p>7 7 7</p><p>23</p><p>3 3</p><p>3</p><p>Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida pela tabela ou pela propriedade D1</p><p>(relativa à derivada da soma de duas funções), conforme segue.</p><p>(x7)’ = 7x7-1 = 7x6</p><p>(ex − 3)’ = (ex)’ − (3)’ = ex − 0 = ex</p><p>Finalizando a derivada:</p><p>t x x</p><p>e</p><p>x e x e</p><p>e</p><p>x e</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>x</p><p>,</p><p>, , ,</p><p>( )</p><p>.</p><p>=</p><p>−</p><p>⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟ =</p><p>( ) −( ) − −( )</p><p>−( )</p><p>=</p><p>−(7 7 7</p><p>2</p><p>6</p><p>3</p><p>3 3</p><p>3</p><p>7 3)) − ( )</p><p>−( )</p><p>=</p><p>−( ) −</p><p>−( )</p><p>x e</p><p>e</p><p>x e x e</p><p>e</p><p>x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>7</p><p>2</p><p>6 7</p><p>2</p><p>3</p><p>7 3</p><p>3</p><p>2121212121Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável</p><p>Exemplo 1.22. Derive y</p><p>x</p><p>x</p><p>= sec .</p><p>Vamos derivar a divisão de duas funções da variável x: a função sec x, no numerador,</p><p>e a função x, no denominador. Começamos a resolução aplicando a propriedade D4,</p><p>referente à derivada do quociente de duas funções:</p><p>f x</p><p>g x</p><p>f x g x f x g x</p><p>g x</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( ). ( ) ( ). ( )</p><p>( )</p><p>, , ,⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟ = −</p><p>( )2</p><p>Vejamos:</p><p>y dy</p><p>dx</p><p>x</p><p>x</p><p>x x x x</p><p>x</p><p>,</p><p>, , ,</p><p>sec sec . sec .</p><p>= = ⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>=</p><p>( ) − ( ) ( )</p><p>2</p><p>Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conforme</p><p>segue.</p><p>sec sec sec,x d x</p><p>dx</p><p>x.tgx( ) = =</p><p>x dx</p><p>dx</p><p>, = =1</p><p>Finalizando a derivada:</p><p>y dy</p><p>dx</p><p>x</p><p>x</p><p>x x x x</p><p>x</p><p>x.tgx x,</p><p>, , ,</p><p>sec sec sec sec sec</p><p>= = ⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>=</p><p>( ) − ( )( )</p><p>=</p><p>( ) −</p><p>2</p><p>xx</p><p>x</p><p>x x.tgx x</p><p>x</p><p>( )( )</p><p>= −1</p><p>2 2</p><p>.sec sec</p><p>A derivada já foi terminada, mas ainda podemos colocar a secante de x em evidência na</p><p>subtração presente no numerador. Vejamos:</p><p>y dy</p><p>dx</p><p>x</p><p>x</p><p>x x.tgx x</p><p>x</p><p>x xtgx</p><p>x</p><p>,</p><p>,sec .sec sec sec ( )= = ⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>= − = −</p><p>2 2</p><p>1</p><p>2222222222 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Observe que a função secante de x, indicada por sec x, não se</p><p>refere ao produto de “alguma coisa” por x. Sendo assim, não há</p><p>qualquer sentido em “cancelar” x do numerador com x do de-</p><p>nominador no quociente sec x</p><p>x</p><p>.</p><p>Exemplo 1.23. Derive 2 cos</p><p>3</p><p>�y x � �= � �</p><p>� �</p><p>Para resolvermos a derivada do exemplo 1.23, não precisamos aplicar a propriedade D3,</p><p>referente à derivada a multiplicação de duas funções.</p><p>Isso porque cos</p><p>3</p><p>�� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>, lido como cosseno de PI sobre 3, é uma constante, sen-</p><p>do ocos cos 60 0,5.</p><p>3</p><p>�� � = =� �</p><p>� �</p><p>Vale lembrar, também, que não há qualquer sentido em pensar em cos</p><p>3</p><p>�� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>como a</p><p>multiplicação de “cos” por 3</p><p>� .</p><p>Voltando à derivada de</p><p>2 cos</p><p>3</p><p>�y x � �= � �</p><p>� �</p><p>, ou</p><p>2cos</p><p>3</p><p>�y x� �� �= � �� �</p><p>� �� �</p><p>,</p><p>temos a situação de uma constante, cos</p><p>3</p><p>�� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>, multiplicada por uma função da variável</p><p>x, x2. Pela propriedade D2, a derivada do produto (multiplicação) de uma constante k</p><p>por uma função é igual ao produto da constante k pela derivada da função. No caso, k</p><p>é cos</p><p>3</p><p>�� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>.</p><p>Vejamos:</p><p>( )</p><p>,</p><p>,, 2 2cos cos</p><p>3 3</p><p>� �y x x</p><p>� �� � � �� � � �= =� �� � � �� � � �</p><p>� � � �� � � �� �</p><p>2323232323Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável</p><p>Vimos que</p><p>(x2)’ = 2x 2-1 = 2x1 = 2x, pois x</p><p>dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −,</p><p>.1</p><p>Logo,</p><p>( ) ( )</p><p>,</p><p>,, 2 2cos cos cos 2 2 cos</p><p>3 3 3</p><p>� � � �y x x x x</p><p>3</p><p>� �� � � � � �� � � � � � � �= = = =� �� � � � � �� � � � � � � �</p><p>� � � � � � � �� � � � � �� �</p><p>Exemplo 1.24. Derive y</p><p>x</p><p>e</p><p>=</p><p>3</p><p>5</p><p>Para resolvermos a derivada do exemplo 1.24, não precisamos aplicar a propriedade D4,</p><p>referente à divisão de duas funções.</p><p>Isso porque e5, lido como “e elevado a 5”, é uma constante, visto que e é um número</p><p>irracional, aproximado por 2,72.</p><p>Se e5 é uma constante, então</p><p>1</p><p>5e também é uma constante.</p><p>Reescrevendo y x</p><p>e</p><p>=</p><p>3</p><p>5 como y =</p><p>1</p><p>5e</p><p>x3, temos de derivar uma constante, 1</p><p>5e</p><p>, multipli-</p><p>cada por uma função da variável x, x3. Pela propriedade D2, a derivada do produto</p><p>(multiplicação) de uma constante k por uma função é igual ao produto da constante k</p><p>pela derivada da função. No caso, k é 1</p><p>5e</p><p>.</p><p>Vejamos:</p><p>y x</p><p>e e</p><p>x,</p><p>,</p><p>,</p><p>=</p><p>⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟ = ( )</p><p>3</p><p>5 5</p><p>31</p><p>Vimos que (x3)’ = 3x 3-1 = 3x2, pois x</p><p>dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −,</p><p>.1</p><p>Logo,</p><p>y x</p><p>e e</p><p>x</p><p>e</p><p>x x</p><p>e</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>=</p><p>⎛</p><p>⎝</p><p>⎜</p><p>⎞</p><p>⎠</p><p>⎟ = ( ) = ( ) =</p><p>3</p><p>5 5</p><p>3</p><p>5</p><p>2</p><p>2</p><p>5</p><p>1 1 3 3</p><p>2424242424 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exemplo 1.25. Derive y = (3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3).</p><p>O exemplo 1.25 solicita a derivada da multiplicação de duas funções da variável x: a</p><p>função (3x5 − 6x3) multiplicada pela função (5x10 − 4x3). Logo, vamos começar a deriva-</p><p>da usando a propriedade D3, referente à derivada a multiplicação de duas funções:</p><p>(f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x)</p><p>Ou seja,</p><p>y’ = ((3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3))’ = (3x5 − 6x3)’.(5x10 − 4x3) + (3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3)’</p><p>Prosseguindo com a derivada de y = (3x5 − 6x3)(5x10 − 4x3), devemos derivar, em relação</p><p>à variável x, as funções (3x5 − 6x3) e (5x10 − 4x3). Para derivá-las, vamos usar as propri-</p><p>edades D1 e D2 (respectivamente f x g x f x g x � � k.f x k.f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,±( ) = ± ( ) =e )</p><p>e a regra</p><p>x dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −,</p><p>.1</p><p>Vejamos:</p><p>(3x5 − 6x3)’ = (3x5 )’ − (6x3)’ = 3(x5 )’ − 6(x3)’ = 3.5x4 − 6.3x2 = 15x4 − 18x2</p><p>(5x10 − 4x3)’ = (5x10 )’ − (4x3)’ = 5(x10 )’ − 4(x3)’ = 5.10x9 − 4.3x2 = 50x9 − 12x2</p><p>Finalizando a derivada original:</p><p>y’ = (3x5 − 6x3)’.(5x10 − 4x3) + (3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3)’</p><p>y’ = (15x4 − 18x2).(5x10 − 4x3) + (3x5 − 6x3).(50x9 − 12x2)</p><p>A derivada já foi terminada. Para darmos a resposta final, podemos fazer as seguintes</p><p>“distributivas”:</p><p>y’ = 15x4.5x10 +15x4 (−4x3) −18x2.5x10−18x2 (−4x3)+3x5.50x9+3x5 (−12x2) −6x3.50x9−6x3 (−12x2)</p><p>Agora, utilizamos a regra de multiplicação de potências de mesma base, escrita como</p><p>xa.xb = xa+b e enunciada como “mantém-se a base e somam-se os expoentes”.</p><p>2525252525Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável</p><p>Logo,</p><p>y’ = 75x14 − 60x7 − 90x12 + 72x5 + 150x14 − 36x7 − 300x12 + 72x5</p><p>y’ = 225x14 − 390x12 − 96x7 + 144x5</p><p>Exercícios Propostos – Capítulo 1.Exercícios Propostos – Capítulo 1.Exercícios Propostos – Capítulo 1.Exercícios Propostos – Capítulo 1.Exercícios Propostos – Capítulo 1.</p><p>Exercício 1.1. Derive f (x) = x8</p><p>Exercício 1.2. Derive y = x − 6</p><p>Exercício 1.3. Derive f (x) = x</p><p>3/5</p><p>Exercício 1.4. Derive f x x</p><p>( ) = 1</p><p>7</p><p>Exercício 1.5. Derive f x x( ) = + 2</p><p>Exercício 1.6. Derive f x x( ) = 45</p><p>Exercício 1.7. Derive f x x</p><p>x( ) = +15</p><p>4</p><p>Exercício 1.8. Derive f (x) = 7x6</p><p>Exercício 1.9. Derive f (x) = 12 + 5x4</p><p>Exercício 1.10. Derive y = 3 + senx</p><p>Exercício 1.11. Derive f (x) = 5 cos x + 3 cot gx</p><p>Exercício 1.12. Derive y x x= +ln 2</p><p>5</p><p>Exercício 1.13. Derive t x x</p><p>e arcsenxx( ) = − +6 5 7</p><p>Exercício 1.14. Derive h(x) = 9x + tgx</p><p>Exercício 1.15. Derive h(x) = x3 senx</p><p>2626262626 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo</p><p>Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exercício 1.16. Derive h(x) = (ex − 5) cos x</p><p>Exercício 1.17. Derive h(x) = 2x3 ex</p><p>Exercício 1.18. Derive h x</p><p>x</p><p>x</p><p>( ) =</p><p>+</p><p>5</p><p>2 3</p><p>Exercício 1.19. Derive t x</p><p>x x</p><p>x</p><p>( )</p><p>cos</p><p>= −2 7</p><p>Exercício 1.20. Derive xe</p><p>xxt</p><p>−</p><p>=</p><p>4</p><p>)(</p><p>4</p><p>Exercício 1.21. Derive y</p><p>x</p><p>x</p><p>=</p><p>sec</p><p>Exercício 1.22. Derive y = 7 arcsenx + x3 senx</p><p>Exercício 1.23. Derive y</p><p>x</p><p>e</p><p>= cos3</p><p>Exercício 1.24. Derive �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�=</p><p>5</p><p>. πsenxy</p><p>Exercício 1.25. Derive y = (4x2 − 7x5).(x9 − 3x4)</p><p>Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1.</p><p>Exercício 1.1. f ’(x) = 8x7</p><p>Exercício 1.2. y x</p><p>, = −6</p><p>7</p><p>Exercício 1.3. f x</p><p>x</p><p>, ( ) = 3</p><p>5 25</p><p>Exercício 1.4. f x</p><p>x</p><p>, ( ) = −7</p><p>8</p><p>2727272727Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável</p><p>Exercício 1.5. f x</p><p>x</p><p>, ( ) = 1</p><p>2</p><p>Exercício 1.6. f x</p><p>x</p><p>, ( ) = 4</p><p>55</p><p>Exercício 1.7. f x</p><p>x</p><p>x, ( ) = − +5 46</p><p>3</p><p>Exercício 1.8. f ’(x) = 42x5</p><p>Exercício 1.9. f ’(x) = 20x3</p><p>Exercício 1.10. y’ = cos x</p><p>Exercício 1.11. f ’(x) = −5 senx − 3cos sec2 x</p><p>Exercício 1.12. y x</p><p>, = +1 2</p><p>5</p><p>Exercício 1.13. t x x</p><p>e</p><p>x</p><p>x, ( ) = − − +</p><p>−</p><p>6 5 7</p><p>1</p><p>2 2</p><p>Exercício 1.14. h’(x) = 9x 1n 9 + sec2 x</p><p>Exercício 1.15. h’(x) = x2 (3senx + x cos x)</p><p>Exercício 1.16. h’(x) = ex cos x − (ex − 5)senx</p><p>Exercício 1.17. h’(x) = 2x2 ex (3 + x)</p><p>Exercício 1.18. h x</p><p>x x</p><p>x</p><p>, ( )</p><p>( )</p><p>=</p><p>+( )</p><p>+</p><p>3 5</p><p>3</p><p>4 2</p><p>2 2</p><p>Exercício 1.19. t x</p><p>x x x x senx</p><p>x</p><p>, ( ) ( ) cos ( )</p><p>cos</p><p>= − + −2 7 72</p><p>2</p><p>2828282828 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exercício 1.20.</p><p>( )</p><p>( )2</p><p>43</p><p>,</p><p>4</p><p>44)(</p><p>x</p><p>xx</p><p>e</p><p>exexxt</p><p>−</p><p>+−=</p><p>Exercício 1.21. y</p><p>xtgx</p><p>x</p><p>,</p><p>sec</p><p>= −1</p><p>Exercício 1.22. y</p><p>x</p><p>x senx x x, ( cos )=</p><p>−</p><p>+ +7</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>Exercício 1.23. 3</p><p>,</p><p>e</p><p>senxy −=</p><p>Exercício 1.24. �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�=</p><p>52</p><p>1, πsen</p><p>x</p><p>y</p><p>Exercício 1.25. y’ = − 98x13 + 44x10 + 189x8 − 72x5</p><p>Capítulo 2Capítulo 2Capítulo 2Capítulo 2Capítulo 2</p><p>Derivadas de Funções Compostas de umaDerivadas de Funções Compostas de umaDerivadas de Funções Compostas de umaDerivadas de Funções Compostas de umaDerivadas de Funções Compostas de uma</p><p>VVVVVariávelariávelariávelariávelariável</p><p>Vamos “escolher” duas funções simples quaisquer de uma única variável x, por exemplo,</p><p>as funções f (x) = cos x e u(x) = x3. Com essas duas funções, podemos “criar” várias</p><p>outras funções por meio de operações de soma, subtração, multiplicação, divisão e</p><p>produto de constante por função. Vejamos alguns exemplos:</p><p>• h1 (x) = f (x) + u(x) = cos x + x3</p><p>• h2 (x) = 5 f (x) − 2u(x) = 5cos x − 2x3</p><p>• h3 (x) = f (x).u(x) = (cos x).x3 = x3 cos x</p><p>• h x f x</p><p>u x</p><p>x</p><p>x</p><p>x4 3</p><p>3 0( ) ( )</p><p>( )</p><p>cos ,= = ≠</p><p>Se quiséssemos derivar as funções acima, usaríamos as propriedades D1, D2, D3 e D4</p><p>e a tabela de derivadas, vistas no capítulo 1.</p><p>Também é possível “associarmos” as funções f (x) = cos x e u(x) = x3 não apenas por</p><p>meio das operações de soma, subtração, multiplicação e divisão, ou seja, de modo</p><p>diferente do que feito acima. Poderíamos fazer uma composição entre elas, gerando,</p><p>por exemplo, a função composta f (u(x)), lida como “f de u de x” e escrita como</p><p>f (u(x)) = f (x3) = cos(x3) = cos x3.</p><p>3030303030 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Para derivarmos a função f (u(x)) = cos x3, precisamos usar a chamada “regra do</p><p>encadeamento”, também conhecida como “regra da cadeia”, conforme segue abaixo.</p><p>f u x df u x</p><p>dx</p><p>du</p><p>dx</p><p>df</p><p>du</p><p>u x f u( ( )) ( ( )) . ( ). ( ), , ,( ) = = =</p><p>No caso da função f (u(x)) = cos x3, temos que:</p><p>u(x) = x3 → u’(x) = 3x2</p><p>f (u) = cosu → f ’(u) = − senu</p><p>(f (u(x)))’ = (cos x3)’ = u’(x).f ’(u) = 3x2 (− senu) = 3x2 (− senx3) = − 3x2 senx3</p><p>Há uma maneira mais “rápida” de fazermos essa derivada, usando a seguinte regra de</p><p>derivação para a função composta (cosu)’ = − u’(x).senu . Ou seja,</p><p>(cos x3)’ = − (x3)’. senx3 = − 3x2 senx3</p><p>A tabela das derivadas das funções compostas é apresentada a seguir.</p><p>Tabela de derivadas (funções compostas)</p><p>3131313131Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável</p><p>Exemplo 2.1. Derive f (x) = (x2 + 1)50.</p><p>Temos de derivar uma função composta dada por u = u (x) = x2 + 1 e f (u) = u50.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.un-1.</p><p>3232323232 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Sendo, no caso, n = 50 e u = x2 + 1, a derivada da função f (x) = (x2 + 1)50 em relação à</p><p>variável x é:</p><p>f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)50 −1 = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)49</p><p>Agora, vamos derivar, em relação à variável x, a soma x2 + 1. Aplicando a propriedade</p><p>D1 vista no capítulo 1, enunciada como “a derivada da soma é a soma das derivadas”,</p><p>temos que:</p><p>f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)49 = 50 ((x2)’ + (1)’)(x2 + 1)49</p><p>Vimos que a derivada de x2 em relação à variável x é (x2)’ = 2x2-1 = 2x, pois, de acordo</p><p>com a tabela de derivadas,</p><p>x dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1 , com n = 2.</p><p>Também vimos que a derivada da constante k = 1 em relação à variável x é zero, pois, de</p><p>acordo com a tabela de derivadas,</p><p>k dk</p><p>dx</p><p>( ) = =, 0 .</p><p>Logo,</p><p>f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)50 −1 = 50 ((x2)’ + (1)’)(x2 + 1)49 = 50(2x + 0)(x2 + 1)</p><p>f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50(2x)(x2 + 1)49 = 100x (x2 + 1)49</p><p>Exemplo 2.2. Derive f (x) = (x3 + 1)−50.</p><p>Queremos derivar uma função composta dada por u = u (x) = x3 + 1 e f (u) = u−50 .</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, vamos usar a seguinte regra:</p><p>(un)’ = n.u’.u n−1.</p><p>3333333333Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável</p><p>Sendo, no caso, n = − 50 e u = x3 + 1, a derivada de f (x) = (x3 + 1)−50 em relação à</p><p>variável x é:</p><p>f ’(x) = ((x3 + 1)−50)’ = − 50(x3 + 1)’(x2 + 1)−50 −1 = − 50(x3 + 1)’(x3 + 1)−51</p><p>Agora, vamos derivar, em relação à variável x, a soma x3 + 1. Como a derivada da soma</p><p>de duas funções é igual à soma das derivadas dessas funções, temos que:</p><p>f ’(x) = − 50(x3 + 1)’(x3 + 1)−51 = − 50((x3)’ + (1)’)(x3 + 1)−51</p><p>A derivada de x3 em relação à variável x é (x3)’ = 3x3−1 = 3x2, pois, de acordo com a tabela</p><p>de derivadas,</p><p>x dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1 , com n = 3.</p><p>A derivada da constante k = 1 em relação à variável x é zero, pois, de acordo com a</p><p>tabela de derivadas,</p><p>k dk</p><p>dx</p><p>( ) = =, 0 .</p><p>Logo,</p><p>f ’(x) = − 50(x3 + 1)’(x3 + 1)−51 = − 50((x3)’ + (1)’)(x3 + 1)−51 = − 50(3x2 + 0)(x3 + 1)−51</p><p>f ’(x) = − 150 x2 (x3 + 1)−51</p><p>Acabamos a derivada. Mas, como</p><p>m</p><p>m</p><p>x</p><p>x</p><p>a</p><p>a</p><p>− −</p><p>= → +( ) =</p><p>+( )</p><p>1 1 1</p><p>1</p><p>3 51</p><p>3 51 ,</p><p>podemos escrever a resposta final assim:</p><p>f x x x x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>, ( ) = − +( ) = −</p><p>+( )</p><p>= −</p><p>+( )</p><p>−</p><p>150 1 150 1</p><p>1</p><p>150</p><p>1</p><p>2 3 51 2</p><p>3 51</p><p>2</p><p>3 51</p><p>3434343434 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exemplo 2.3. Derive f (x) = (x3 − x4)5.</p><p>Temos de derivar uma função composta dada por u = u (x) = x3 − x4 e f (u) = u5.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.u n−1.</p><p>Sendo, no caso, n = 5 e u = x3 − x4, a derivada da função f (x) = (x3 − x4)5 é:</p><p>f ’(x) = ((x3 − x4)5)’ = 5(x3 − x4)’(x3 − x4)5−1 = 5(x3 − x4)’(x3 − x4)4</p><p>Ainda temos de derivar, em relação à variável x, a diferença (subtração) x3 − x4. Já</p><p>vimos, no capítulo 1, que a derivada da subtração de duas funções é a subtração das</p><p>derivadas dessas funções. Sendo assim, temos que:</p><p>f ’(x) = ((x3 − x4)5)’ = 5(x3 − x4)’(x3 − x4)4 = 5((x3)’ − (x4)’)(x3 − x4)4</p><p>De acordo com a tabela, a derivada de x3 em relação à variável x é (x3)’ = 3x3−1 = 3x2 e a</p><p>derivada de x4 em relação à variável x é (x4)’ = 4x4−1 = 4x3, pois</p><p>x dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1 .</p><p>Logo,</p><p>f ’(x) = ((x3 − x4)5)’ = 5((x3)’ − (x4)’)(x3 − x4)4 = 5(3x2 − 4x3)(x3 − x4)4</p><p>A derivada já foi terminada. Para darmos a resposta final, podemos colocar x2 em</p><p>evidência:</p><p>f ’(x) = 5(3x2 − 4x3)(x3 − x4)4 = 5x2 (3 − 4x)(x3 − x4)4</p><p>Exemplo 2.4. Derive f x x x( ) .= −( )6 5</p><p>3</p><p>4</p><p>Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = x6 − x5 e f u u( ) =</p><p>3</p><p>4 .</p><p>Vamos utilizar a seguinte regra da tabela de derivadas de funções compostas:</p><p>(un)’ = n.u’.u n−1.</p><p>3535353535Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável</p><p>Como, no caso, n = 3</p><p>4</p><p>e u = x6 − x5 , a derivada da função f x x x( ) = −( )6 5</p><p>3</p><p>4 é:</p><p>f x x x x x x x x x x,</p><p>,</p><p>, ,</p><p>( )= −( )⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>= −( ) −( ) = −( ) −</p><p>−6 5</p><p>3</p><p>4 6 5 6 5</p><p>3</p><p>4</p><p>1 6 5 63</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>xx x x x x5</p><p>3 4</p><p>4 6 5 6 5</p><p>1</p><p>43</p><p>4</p><p>( ) = −( ) −( )</p><p>− −,</p><p>Sabemos que a derivada da subtração de duas funções é igual à subtração das deriva-</p><p>das dessas funções e que a derivada de funções do tipo f (x) = xn é</p><p>x dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1 .</p><p>Logo, a derivada, em relação à variável x, da diferença x6 − x5 é 6x5 − 5x4, pois</p><p>(x6 − x5)’ = (x6)’− (x5)’ = 6x6−1 − 5x5−1 = 6x5 − 5x4.</p><p>Sendo assim, prosseguindo com a derivada do exemplo 2.4 temos que:</p><p>f x x x x x x x x x x,</p><p>,</p><p>,</p><p>( ) = −( )⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>= −( ) −( ) = −( ) −</p><p>−</p><p>6 5</p><p>3</p><p>4 6 5 6 5</p><p>1</p><p>4 5 4 63</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>6 5 xx5</p><p>1</p><p>4( )−</p><p>Já terminamos as derivadas. Mas podemos “melhorar” a expressão acima. Vejamos:</p><p>f x x x x x x x</p><p>x x</p><p>x</p><p>,</p><p>,</p><p>( ) = −( )⎛</p><p>⎝⎜</p><p>⎞</p><p>⎠⎟</p><p>= −( ) −( ) =</p><p>−( )−</p><p>6 5</p><p>3</p><p>4 5 4 6 5</p><p>1</p><p>4</p><p>5 4</p><p>6</p><p>3</p><p>4</p><p>6 5 3</p><p>4</p><p>6 5</p><p>−−( )</p><p>=</p><p>−( )</p><p>−x</p><p>x x</p><p>x x5</p><p>1</p><p>4</p><p>5 4</p><p>6 54</p><p>3</p><p>4</p><p>6 5</p><p>Fizemos o seguinte:</p><p>m</p><p>m</p><p>x x</p><p>x x</p><p>a</p><p>a</p><p>−</p><p>−</p><p>= → −( ) =</p><p>−( )</p><p>1 16 5</p><p>1</p><p>4</p><p>6 5</p><p>1</p><p>4</p><p>e</p><p>m m x x x x x x</p><p>b</p><p>a ba= → −( ) = −( ) = −6 5</p><p>1</p><p>4 6 5 1</p><p>4 6 54 .</p><p>3636363636 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Para darmos a resposta final, ainda podemos colocar x4 em evidência:</p><p>f x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>, ( ) =</p><p>−( )</p><p>−</p><p>=</p><p>−( )</p><p>−</p><p>3</p><p>4</p><p>6 5 3 6 5</p><p>4</p><p>5 4</p><p>6 54</p><p>4</p><p>6 54</p><p>Exemplo 2.5. Derive y = 1n(3x3 − 7x)</p><p>Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = 3x3 − 7x e f (u) = 1n u.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ln</p><p>,</p><p>,</p><p>u u</p><p>u</p><p>( ) = .</p><p>Ou seja,</p><p>y x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>, ,</p><p>,</p><p>ln= −( )( ) =</p><p>−( )</p><p>−</p><p>3 7</p><p>3 7</p><p>3 7</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>Vimos que a derivada da subtração de duas funções é a subtração das derivadas</p><p>dessas funções, a derivada de f (x) = xn é</p><p>x dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1</p><p>e a derivada de f (x) = x é</p><p>x dx</p><p>dx</p><p>( ) = =, 1 .</p><p>Por isso, a derivada de 3x3 − 7x, em relação à variável x, é 9x2 − 7, pois</p><p>(3x3 − 7x)’ = (3x3)’ − (7x)’ = 3(x3)’ − 7(x)’ = 3(3x2) − 7(1) = 9x2 − 7.</p><p>Logo,</p><p>y x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x</p><p>, ,</p><p>, , , ,</p><p>ln= −( )( ) =</p><p>−( )</p><p>−</p><p>=</p><p>( ) −( )</p><p>−</p><p>=</p><p>( )</p><p>3 7</p><p>3 7</p><p>3 7</p><p>3 7</p><p>3 7</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3 −− ( )</p><p>−</p><p>=</p><p>( )− ( )</p><p>−</p><p>= −</p><p>−</p><p>7</p><p>3 7</p><p>3 3 7 1</p><p>3 7</p><p>9 7</p><p>3 73</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>x x</p><p>,</p><p>3737373737Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável</p><p>Observe que a função 1n(3x3 − 7x), lida como o logaritmo</p><p>neperiano de 3x3 − 7x, não é a multiplicação de “alguma coisa”</p><p>por 3x3 − 7x!</p><p>Exemplo 2.6. Derive y = 1n (cos x).</p><p>Precisamos derivar uma função composta dada por u = u (x) = cos x e f (u) = 1n u, lida</p><p>como o logaritmo neperiano do cosseno de x.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ln</p><p>,</p><p>,</p><p>u u</p><p>u</p><p>( ) = .</p><p>Ou seja,</p><p>y x</p><p>x, ,</p><p>,</p><p>ln cos</p><p>cos</p><p>cos</p><p>= ( )( ) =</p><p>( )</p><p>x</p><p>Segundo a tabela, a derivada do cosseno de x, em relação à variável x, é</p><p>cos (cos ),x d x</p><p>dx</p><p>senx( ) = = − .</p><p>Logo,</p><p>y x</p><p>x</p><p>x</p><p>senx</p><p>x</p><p>, ,</p><p>,</p><p>ln cos</p><p>cos</p><p>cos cos</p><p>= ( )( ) =</p><p>( )</p><p>= −</p><p>A derivada já foi acabada. Como, da trigonometria, temos que o quociente entre “o</p><p>seno e o cosseno é a tangente”, escrevemos:</p><p>y x senx</p><p>x</p><p>tgx, ,</p><p>ln cos</p><p>cos</p><p>= ( )( ) = − = −</p><p>3838383838 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exemplo 2.7. Derive y = 1n (x + 1n x).</p><p>Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = x + 1n x e f (u) = 1n u.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ln</p><p>,</p><p>,</p><p>u u</p><p>u</p><p>( ) = .</p><p>Ou seja,</p><p>y x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>, ,</p><p>,</p><p>ln ln</p><p>ln</p><p>ln</p><p>= +( )( ) =</p><p>+( )</p><p>+</p><p>A derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas dessas funções, a deriva-</p><p>da de f (x) = x é</p><p>x dx</p><p>dx</p><p>( ) = =, 1</p><p>e a derivada de f (x) = 1n x é</p><p>ln</p><p>ln,x</p><p>d x</p><p>dx x</p><p>( ) =</p><p>( )</p><p>= 1 .</p><p>Logo, a derivada da soma x + 1n x, em relação à variável x, é</p><p>x x x x</p><p>x</p><p>+( ) = ( ) + ( ) = +ln ln, , , 1 1</p><p>.</p><p>Logo,</p><p>y x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x</p><p>x x</p><p>, ,</p><p>,</p><p>ln ln</p><p>ln</p><p>ln ln</p><p>= +( )( ) =</p><p>+( )</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p>1 1</p><p>A derivada já foi terminada. Para escrevermos a resposta final, podemos “fazer a con-</p><p>ta” do numerador da fração:</p><p>y x x x</p><p>x x</p><p>x</p><p>x</p><p>x x</p><p>x</p><p>x x x</p><p>x</p><p>x x x</p><p>, ,</p><p>ln ln</p><p>ln ln</p><p>.</p><p>ln ln</p><p>= +( )( ) =</p><p>+</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p>= +</p><p>+</p><p>= +</p><p>+(</p><p>1 1 1</p><p>1 1 1</p><p>))</p><p>3939393939Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável</p><p>Exemplo 2.8. Derive f (x) = sen (3x − 2)</p><p>Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = 3x − 2 e f (u) = senu.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (senu) = u’ cos u.</p><p>Ou seja,</p><p>f ’(x) = (sen (3x − 2))’ = (3x − 2)’ cos (3x − 2)</p><p>Agora, para derivarmos 3x − 2 em relação à variável x, usamos as propriedades D1 e D2</p><p>vistas no capítulo 1:</p><p>D1. f x g x f x g x</p><p>� �</p><p>d f x g x</p><p>dx</p><p>df x</p><p>dx</p><p>dg x</p><p>dx</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ±</p><p>±( )</p><p>= ±ou ;</p><p>D2. k.f x k.f x �ou�</p><p>d k.f x</p><p>dx</p><p>k df x</p><p>dx</p><p>( ) ( )</p><p>( )</p><p>. ( ), ,( ) =</p><p>( )</p><p>= .</p><p>Ou seja,</p><p>(3x − 2)’ = (3x)’ − (2)’ = 3(x)’ − (2)’</p><p>A derivada de x em relação a x é 1 e a derivada da constante 2 é zero. Logo,</p><p>(3x − 2)’ = 3(x)’ − (2)’ = 3.1 − 0 = 3</p><p>Finalizando a derivada:</p><p>f ’(x) = (3x − 2)’ cos (3x − 2) = 3 cos (3x − 2)</p><p>Observe que a função trigonométrica sen (3x − 2), lida como</p><p>o seno de 3x − 2, não é a multiplicação de “alguma coisa”</p><p>por 3x − 2!</p><p>4040404040 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Exemplo 2.9. Derive f (x) = senx2.</p><p>Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = x2 e f (u) = senu.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (senu)’ = u’ cos u .</p><p>Ou seja,</p><p>f ’(x) = (senx2)’ = (x2)’ cos x2</p><p>Ainda precisamos derivar x2 em relação à variável x. Como</p><p>x dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1 ,</p><p>então (x2)’ = 2x 2 − 1 = 2x.</p><p>Logo,</p><p>f ’(x) = (senx2)’ = (x2)’ cos x2 = 2x cos x2</p><p>Exemplo 2.10. Derive f (x) = sen2x.</p><p>Podemos escrever a função f (x) = sen2x como f (x) = (senx)2. Assim, fica claro que temos</p><p>a função seno de x elevada ao quadrado, lida também como seno ao quadrado de x, e</p><p>não o seno do argumento x elevado ao quadrado.</p><p>Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = u2.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.u n −1.</p><p>Sendo, no caso, n = 2 e u = senx, a derivada da função f (x) = sen2x = (senx)2 é:</p><p>f ’ (x) = ((senx)2)’ = 2(senx)’(senx)2 − 1 = 2(senx)’(senx)1 = 2(senx)’ senx</p><p>A derivada do seno de x, em relação à variável x, é</p><p>senx d senx</p><p>dx</p><p>x( ) = =, ( ) cos .</p><p>4141414141Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável</p><p>Logo,</p><p>f ’ (x) = ((senx)2)’ = 2(senx)’ senx = 2 cos x senx</p><p>Exemplo 2.11. Derive f (x) = sen (senx).</p><p>Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = senu, lida</p><p>como o seno do seno de x. Não se trata da multiplicação do seno de x pelo seno de x.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (senu)’ = u’ cos u.</p><p>Ou seja,</p><p>f ’(x) = (sen (senx))’ = (senx)’cos (senx)</p><p>Para terminarmos, precisamos fazer a derivada do seno de x, em relação à variável</p><p>x, que é</p><p>senx d senx</p><p>dx</p><p>x( ) = =, ( ) cos .</p><p>Logo,</p><p>f ’(x) = (sen (senx))’ = cosx cos(senx)</p><p>Exemplo 2.12. Derive f (x) = e x5− 7</p><p>Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = x5 − 7 e f (u) = eu.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (eu)’ = u’eu.</p><p>Logo,</p><p>f ’(x) =(e x5− 7)’ = (x5 − 7)’e x5− 7x</p><p>Agora, para derivarmos x5 − 7 em relação à variável x, usamos a propriedade D1 vista</p><p>no capítulo 1 (“a derivada da soma é a soma das derivadas”):</p><p>(x5 − 7)’ = (x5)’ − (7)’</p><p>4242424242 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>A derivada de x5 em relação à variável x é 5x5 − 1 = 5x4, pois</p><p>x dx</p><p>dx</p><p>n.xn</p><p>n</p><p>n( ) = = −, 1</p><p>e, no caso, n = 5. A derivada da constante 7 é zero. Logo,</p><p>(x5 − 7)’ = (x5)’ − (7)’ = 5x4 − 0 = 5x4</p><p>Finalizando:</p><p>f ’(x) =(e x5− 7)’ = (x5 − 7)’e x5− 7x = 5x4 e x5− 7x</p><p>Exemplo 2.13. Derive f (x) = e e x</p><p>Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = e x e f (u) = e u, ou seja, a</p><p>“exponencial da exponencial”.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (eu)’ = u’eu.</p><p>Logo,</p><p>f ’(x) = (e e x)’ = (e x )’e e x</p><p>A derivada de e x em relação à variável x é e x.</p><p>Logo,</p><p>f ’(x) = (e e x)’ = (e x )’e e x = e x e e x</p><p>Já terminamos a derivada. Para a resposta final, lembramos que “o produto de potênci-</p><p>as de mesma base é a base elevada à soma dos expoentes”, ou seja,</p><p>ma.mb = ma+b → e x e e x = e x+e x.</p><p>Sendo assim,</p><p>f ’(x) = (e e x)’ = e x e e x = e x+e x</p><p>4343434343Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável</p><p>Exemplo 2.14. Derive y = sec(x2 + 4x)</p><p>Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = x2 + 4x e f (u) = secu.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (secu)’ = u’sec utgu.</p><p>Logo,</p><p>y’ = (sec(x2 + 4x))’ = (x2 + 4x)’ sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x).</p><p>Agora, para derivarmos x2 + 4x em relação à variável x, usamos as propriedades D1 e D2</p><p>vistas no capítulo 1:</p><p>(x2 + 4x)’ = (x2)’ + (4x)’ = (x2)’ + 4(x)’</p><p>A derivada de x2 em relação à variável x é 2x e a derivada de x em relação à variável x é 1.</p><p>Logo,</p><p>(x2 + 4x)’ = (x2)’ + (4x)’ = (x2)’ + 4(x)’ = 2x + 4.1 = 2x + 4</p><p>A derivada fica assim:</p><p>y’ = (sec(x2 + 4x))’ = (x2 + 4x)’ sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x) = (2x + 4) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x)</p><p>Já terminamos a derivada, mas, ainda, podemos colocar a constante 2 em evidência:</p><p>y’ = (sec(x2 + 4x))’ = (2x + 4) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x) = 2(x + 2) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x)</p><p>Exemplo 2.15. Derive y = 5senx</p><p>Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = au, com a = 5.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (au)’ = u’au. 1n a</p><p>Logo,</p><p>y’ = (5senx)’ = (senx)’ 5senx 1n 5</p><p>A derivada de senx em relação à variável x é cosx.</p><p>4444444444 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos</p><p>Logo,</p><p>y’ = (5senx)’ = (senx)’ 5senx 1n 5 = (cosx)5senx 1n 5</p><p>Exemplo 2.16. Derive y = 7e x</p><p>Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = ex e f (u) = au, com a = 7.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (au)’ = u’au. 1n a.</p><p>Logo,</p><p>y’ = ( 7e x)’ = (ex)’7e x 1n 7</p><p>A derivada de ex em relação à variável x é ex.</p><p>Logo,</p><p>y’ = ( 7e x)’ = (ex)’7e x 1n 7 = ex 7e x 1n 7</p><p>Exemplo 2.17. Derive h(x) = x5 esenx</p><p>Inicialmente, vamos aplicar a regra da derivada do produto de duas funções (a função</p><p>x5 multiplicada pela função esenx), ou seja, a regra D3 vista no capítulo 1:</p><p>D3. (f (x). g(x))’ = f ’(x). g(x) + f (x). g’(x) ou d f x g x</p><p>dx</p><p>df x</p><p>dx</p><p>g x f x dg x</p><p>dx</p><p>( ). ( ) ( ) . ( ) ( ). ( )( )</p><p>= + .</p><p>No caso, temos que:</p><p>h’(x) = (x5 esenx)’ = (x5)’ esenx + x5 (esenx)’</p><p>Agora, vamos prosseguir com as derivadas, em relação à variável x, das funções</p><p>x5 e esenx.</p><p>A função x5 é uma função simples de x, cuja derivada é (x5)’ = 5x5−1 = 5x4.</p><p>Já a função esenx é uma função composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = eu.</p><p>Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (eu)’ = u’eu.</p><p>4545454545Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável</p><p>Logo,</p><p>(esenx)’ = (senx)’esenx = cos x esenx</p><p>Finalizando a derivada:</p><p>h’(x) = (x5 esenx)’ = (x5)’ esenx + x5 (esenx)’ = 5x4 esenx + x5 cos x esenx</p><p>A derivada já foi terminada, mas ainda é possível simplificarmos a resposta colocando</p>