Derivadas Parciais

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Análise Matemática Para Engenharia II 
Derivadas Parciais 
Prof. Jonas Ricardo 
Derivadas Parciais: 
 
Assim como na definição de uma derivada de uma função de uma variável, a definição formal da 
derivada parcial passa pelo uso do limite das funções, como vemos a seguir. 
 
Segundo Golçalves e Flemming (2007), uma definição para derivada de uma função de duas 
variáveis pode ser expressa da seguinte maneira: 
 
Sejam 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ2⟶ℝ ∴ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), uma função de duas variáveis e (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝐴 , ao fixarmos 𝑦 =
, 𝑦0, podemos considerar a função 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦0). Isso nos dá a derivada de 𝑔(𝑥) no ponto 𝑥 = 𝑥0 , 
o que será denominado como sendo a derivada parcial de f em relação a x no ponto (𝑥0, 𝑦0) tendo 
a sua representação da seguinte forma : 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= (𝑥0, 𝑦0) 
Agora lembrando da definição de derivada quando estudado com uma variável temos também 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= (𝑥0, 𝑦0) = lim
𝑥⟶𝑥0
𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
 
Ou 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) = lim
𝑥⟶𝑥0
𝑓(𝑥, 𝑦0) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
𝑥 − 𝑥0
 
Caso o limite exista. 
 
Como a função tem duas variáveis, de igual modo, partindo do mesmo princípio podemos definir a 
derivada parcial de f em relação a y no ponto (𝑥0, 𝑦0) : 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) = lim
𝑦⟶𝑦0
𝑓(𝑥0 − 𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
𝑦 − 𝑦0
 
Quando observamos que 𝑥 − 𝑥0 = ∆𝑥 e que 𝑦 − 𝑦0 = ∆𝑦 temos que: 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) = lim
∆𝑥⟶0
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
∆𝑥
 
 
e 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) = lim
∆𝑦⟶0
𝑓(𝑥0, 𝑦0 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
∆𝑦
 
 
Exemplos 1- Seja 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 3𝑦, Calcule 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= (4,5) e 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= (4,5) 
 
Resolução: Para solucionarmos esse exercício vamos usar a definição de derivada parcial que 
acabamos de apresentar: 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(4,5) = lim
∆𝑥⟶0
𝑓(4 + ∆𝑥, 5) − 𝑓(4, 5)
∆𝑥
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(4,5) = lim
∆𝑥⟶0
2(4 + ∆𝑥 ) + 3 ∙ 5 − 2 ∙ 4 − 3 ∙ 5
∆𝑥
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(4,5) = lim
∆𝑥⟶0
2 ∙ 4 + 2∆𝑥 + 3 ∙ 5 − 2 ∙ 4 − 3 ∙ 5
∆𝑥
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(4,5) = lim
∆𝑥⟶0
8 − 8 + 15 − 15 + 2∆𝑥
∆𝑥
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(4,5) = lim
∆𝑥⟶0
2∆𝑥
∆𝑥
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(4,5) = lim
∆𝑥⟶0
2∆𝑥
∆𝑥
= 2 
 
Calculando agora 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(4,5) temos: 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) = lim
∆𝑦⟶0
𝑓(𝑥0, 𝑦0 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
∆𝑦
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(4,5) = lim
∆𝑦⟶0
𝑓(4, 5 + ∆𝑦) − 𝑓(4, 5)
∆𝑦
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(4,5) = lim
∆𝑦⟶0
2 ∙ 4 + 3(5 + ∆𝑦) − 2 ∙ 4 − 3 ∙ 5
∆𝑦
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(4,5) = lim
∆𝑦⟶0
8 + 15 + 3∆𝑦 − 8 − 15
∆𝑦
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(4,5) = lim
∆𝑦⟶0
3∆𝑦
∆𝑦
= 3 
 
 
 
 
Figura 1: Representação Gráfica da derivada parcial da Função: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte : https://www.geogebra.org/m/WnWevtzg 
 
 
O que devemos perceber nesse cálculo de derivada parcial e que cara incógnita teve a sua 
derivada, diferente da diferencial implícita, algumas pessoas quando veem x e y , por exemplo na 
mesma função tem vontade, de maneira errônea, de calcular como se fosse uma derivada implícita 
o que não é, devendo o seu cálculo ser feito como acima. 
 
Derivada Parcial de Primeira Ordem: 
 
Seguindo ainda as definição de Golçalves e Flemming ( 2007), sejam 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ2⟶ℝ ∴ 𝑧 =
𝑓(𝑥, 𝑦),em uma função de duas variáveis e 𝐵 ⊆ 𝐴 o conjunto formado por todos os pontos ( x, y), 
tais que 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 (𝑥, 𝑦) exista. 
É definido a função derivada parcial de 1ª ordem de f em relação a x como a função que cada 
(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵 associa o número 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 dado por: 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) = lim
∆𝑥⟶0
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
∆𝑥
 
Assim como a derivada parcial de 1ª ordem de f em relação a y é associada a : 
 
https://www.geogebra.org/m/WnWevtzg
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) = lim
∆𝑦⟶0
𝑓(𝑥0, 𝑦0 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
∆𝑦
 
Algumas são as formas de se representar a derivada parcial de 1ª ordem seja em relação a x 
ou y, vejam alguns exemplos 
 
Variáveis Representações da Forma Escrita da Derivada de 1ª ordem 
x 𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) 
𝐷𝑥𝑓(𝑥, 𝑦) 𝐷1𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) 
y 𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦) 
𝐷𝑦𝑓(𝑥, 𝑦) 𝐷2𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) 
 
 
Exemplo 3: Dada a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2 − 𝑥𝑦3 − 2𝑥 
 
Resolução: 
Para calcularmos a derivada em função de x iremos tomar o y como sendo uma constante, sendo 
assim temos: 
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 − 𝑦 − 2 
Reparem que só derivei os valores referente ao x, agora iremos derivar a função em relação a y, 
com isso iremos tomar como constante os de x, não esquecendo que a derivada da constante é 
igual a zero sendo assim temos: 
 
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 0 − 3𝑥𝑦
2 − 0 
 
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦
2 
 
 
Exemplo 4: Dada a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥3 + 𝑦2 + 3 , determine as derivadas 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦. 
 
Resolução: 
Calculando primeiro a derivada 𝑓𝑥 devemos observar que a função, para a sua resolução deverá 
ser colocada em forma de potência, na qual iremos derivar a potência e depois multiplicar pela 
derivada da base, sendo assim temos: 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥3 + 𝑦2 + 3 
𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥3 + 𝑦2 + 3)
1
2 
Calculando 𝑓𝑥 temos : 
 
𝑓𝑥 = 1/2(𝑥
3 + 𝑦2 + 3)−
1
2 ∙ 3𝑥2 
𝑓𝑥 =
3𝑥2
2√(𝑥3 + 𝑦2 + 3)
 
De igual modo calculando 𝑓𝑦 temos: 
𝑓𝑦 = 1/2(𝑥
3 + 𝑦2 + 3)−
1
2 ∙ 2𝑦 
𝑓𝑦 =
2𝑦
2√(𝑥3 + 𝑦2 + 3)
 
𝑓𝑦 =
𝑦
√(𝑥3 + 𝑦2 + 3)
 
Exemplo 5: Calcular a derivada parcial de 1ª ordem da função 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝐶𝑜𝑠 (𝑥2 + 𝑦3) 
 
Resolução: 
 
Relembrando da derivada da função 𝑦 = 𝐶𝑜𝑠 𝑢 temos que 𝑦′ = −𝑢′ ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 , utilizaremos esse 
mesmo princípio para poder fazer as derivas parciais, sendo assim temos: 
 
𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝐶𝑜𝑠 (𝑥2 + 3𝑦3) 
𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝐶𝑜𝑠 (𝑥2 + 𝑦3)⏟ 
𝑢
 
𝑢 = 𝑥2 + 𝑦3 Derivando em relação a x temos: 
𝑢′ = 2𝑥 
 
𝑓𝑥 = −2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥
2 + 𝑦3) 
De igual modo a derivando a função em relação a y temos: 
𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝐶𝑜𝑠 (𝑥2 + 𝑦3)⏟ 
𝑢
 
𝑢 = 𝑥2 + 𝑦3 Derivando em relação a y temos: 
𝑢′ = 3𝑦2 
 
𝑓𝑦 = −3𝑦
2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥2 + 𝑦3) 
Uma função de várias variáveis não necessariamente precisa ter somente duas variáveis, como por 
exemplo no exemplo abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Regra da Cadeia. 
 
Seja uma função de duas variáveis x e y , diferenciáveis num ponto (x0, y0) do domínio , e sejam as 
funções dadas por x(t) e y(t) diferenciáveis em t0, de modo que x(t0)=x0 e y(t0)= y0. Então a derivada 
da função F composta de f com x e y é definida por: 
 
 
 
 
 
 
 
Vejamos a sua aplicação: 
 
Exemplo 6 = Dada a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 + ln (𝑥𝑦2) com 𝑥(𝑡) = 𝑡2 e 𝑦(𝑡) = 𝑡 , encontrar a derivada 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 com ℎ(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) 
 
Resolução: Para solucionarmos esse problema devemos fazer as 4 derivadas: 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝑑𝑥
𝑑𝑡
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
,
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 , 
sendo assim temos: 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦 +
𝑦2
𝑥𝑦2
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑥2 +
2𝑦𝑥
𝑥𝑦2
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 2𝑡 
𝑑𝑦
 𝑑𝑡
= 1 
 
Substituindo essas derivadas na função da derivada da regra da cadeia temos: 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
∙
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
∙
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
 
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= (2𝑥𝑦 +
𝑦2
𝑥𝑦2
) ∙ 2𝑡+ (𝑥2 +
2𝑦𝑥
𝑥𝑦2
) ∙ 1 
Simplificando os termos temos: 
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= (2𝑥𝑦 +
1
𝑥
) ∙ 2𝑡 + (𝑥2 +
2
𝑦
) ∙ 1 
 
𝑑𝐹
𝑑𝑡
(𝑡0) =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) ∙
𝑑𝑥
𝑑𝑡
(𝑡0) +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) ∙
𝑑𝑦
𝑑𝑡
(𝑡0) 
 Ou 
 
𝑑𝐹
𝑑𝑡
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
∙
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
∙
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
 
Agora temos variáveis x, y e t, poderem devemos lembrar que o enunciado nos fornece os valores 
de 
X e y em função de t, 𝑥(𝑡) = 𝑡2 e 𝑦(𝑡) = 𝑡 , sendo assim usaremos esses valores para colocar tudo 
em função de t, já que a nossa derivada deverá estar em função de t, como pedido no enunciado. 
Sendo assim temos: 
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= (2𝑡2 ∙ 𝑡 +
1
𝑡2
) ∙ 2𝑡 + ((𝑡2)2 +
2
𝑡
) ∙ 1 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= (2𝑡3+
1
𝑡2
) ∙ 2𝑡+ (𝑡4 +
2
𝑡
) ∙ 1 
 
 
Simplificando e somando as frações temos: 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= (4𝑡4 +
2
𝑡
)+ (𝑡4 +
2
𝑡
)𝑑ℎ
𝑑𝑡
= (5𝑡4 +
4
𝑡
) 
 
Exemplo 8: Dada a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 3𝑦 − 5 om 𝑥(𝑡) = ℯ𝑡 e 𝑦(𝑡) = 𝑡3 , determinar a da função 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
 . 
 
Resolução: Derivando as funções como feito no exemplo anterior temos: 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2𝑥 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 3 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= ℯ𝑡 
𝑑𝑦
 𝑑𝑡
= 3𝑡2 
Substituindo essas derivadas na função da derivada da regra da cadeia temos: 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
∙
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
∙
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
= 2𝑥 ∙ ℯ𝑡 + 3 ∙ 3𝑡2 
Substituindo as variáveis x e y por ℯ𝑡 e 𝑡3 respectivamente temos: 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
= 2ℯ𝑡 ∙ ℯ𝑡 + 3 ∙ 3𝑡2 
 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
= 2ℯ2𝑡 + 9𝑡2 
 
 
 
 
 
Derivadas de Segunda Ordem 
 
Consideremos uma função de duas variáveis, com isso as derivadas parciais dessa função serão 
funções de duas variáveis também, caso as derivadas dessas funções existam elas são conhecidas 
como derivadas parciais de segunda ordem, sendo as mesmas conhecidas a partir das derivadas 
parciais dessas funções. 
 
Dados uma função de duas variáveis a derivada parcial de segunda ordem dessa função irá nos 
proporcionar quatro derivadas que são elas: 
 
 
Variáveis Representações da Forma Escrita da Derivada de Ordem Superior 
x 
𝑓𝑥 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 𝑓𝑥𝑥 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
 𝑓𝑥𝑦 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
 
y 
𝑓𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 𝑓𝑦𝑦 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
 𝑓𝑦𝑥 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
 
 
 
Essas representações ficam mais claras quando são necessitadas as derivadas de segunda ordem, 
como nos exemplos abaixo. 
 
 
Exemplo 9- Dada A função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3𝑦 + 3𝑥2𝑦4 determinar as derivadas parciais de 2ª ordem. 
 
 
Resolução: Em primeiro lugar vamos achar as derivadas de 1ª ordem, sendo assim temos: 
 
𝑓𝑥 = 3𝑥
2𝑦 + 6𝑥𝑦4 𝑓𝑦 = 𝑥
3 + 12𝑥2𝑦3 
Encontrando as outras 4 derivadas temos: 
Derivando x em relação a 𝑓𝑥 temos: 
𝑓𝑥𝑥 = 6𝑥𝑦 + 6𝑦
4 
Derivando y em relação a 𝑓𝑥 temos: 
𝑓𝑥𝑦 = 3𝑥
2 + 24𝑥𝑦3 
Derivando y em relação a 𝑓𝑦 temos: 
𝑓𝑦𝑦 = 36𝑥
2𝑦2 
Derivando x em relação 𝑓𝑦 temos: 
𝑓𝑦𝑥 = 3𝑥
2 + 24𝑥𝑦3 
 
 
 
 
 
Vídeo de Apoio: 
 
Derivadas Parciais de 2ª Ordem : https://youtu.be/AUbYKgU09Q4 
Derivadas Parciais de 1ª Ordem : Link 1: https://youtu.be/Y-_N8NX_F4Y 
 Link 2 : https://youtu.be/4Az9Z1L-kok 
 
 
REFERÊNCIAS 
BROCHI, A. Cálculo Diferencial e Integral II (livro proprietário). Rio de Janeiro: SESES, 2015. 
FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo B. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2007 
STEWART, James.. Cálculo Volume 2; Tradução EZ2 Translater- São Paulo: Cegage Learning- 2013 
 
 
 
1- Ache xf e yf das seguintes funções: 
 
a) ( ) 2 3, 5f x y x xy y= + − b) ( ) ( )( )2, 7 2f x y x y x= − − 
 
 
2- Ache a derivada total /dz dt , dadas 
 
a) 2 38z x xy y= − − , onde 3x t= e 1y t= − 
 
b) 3z u vt= + , onde 22u t= e 1v t= + 
 
 
3- Ache as quarto derivadas parciais de segunda ordem de cada uma das funções. 
 
 a) 3 3( , ) 3f x y x y xy= + − c) ( , ) 2
x yf x y e= 
 
 b) 2 2( , )f x y x xy= + d) ( , ) 7 ln(1 )f x y x y= + 
 
 
 
 
https://youtu.be/AUbYKgU09Q4
https://www.youtube.com/watch?v=Y-_N8NX_F4Y
https://www.youtube.com/watch?v=4Az9Z1L-kok