Sinais e Sistema - Exercicios 3

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<p>�/�</p><p>Verifique quantas exponenciais complexas</p><p>harmonicamente</p><p>relacionadas existem em x(n) = e^j(3pi/4)n , principio a</p><p>resposta seria 8</p><p>Para verificar quantas exponenciais complexas harmonicamente relacionadas</p><p>existem na sequência  , precisamos analisar se a função é periódica</p><p>e, em caso afirmativo, encontrar seu período fundamental.</p><p>A função   é uma exponencial complexa. Para que seja periódica,</p><p>deve existir um número inteiro   tal que:</p><p>Substituindo na expressão:</p><p>Isso resulta em:</p><p>Dividindo ambos os lados por   (desde que  ):</p><p>Agora, sabemos que   quando  , onde   é um número inteiro.</p><p>Portanto, temos:</p><p>Simplificando:</p><p>Para que   seja um número inteiro,   deve ser múltiplo de 3. O menor valor</p><p>possível de   ocorre quando  , então:</p><p>Assim, o período da sequência   é 8, o que significa que há 8</p><p>exponenciais complexas harmonicamente relacionadas.</p><p>A sua resposta inicial está correta: existem 8 exponenciais complexas</p><p>harmonicamente relacionadas na sequência  .</p><p>x(n) = ej(3π/4)n</p><p>x(n) = ej(3π/4)n</p><p>N</p><p>x(n + N ) = x(n)</p><p>e =j(3π/4)(n+N ) ej(3π/4)n</p><p>e e =j(3π/4)n j(3π/4)N ej(3π/4)n</p><p>ej(3π/4)n e =j(3π/4)n 0</p><p>e =j(3π/4)N 1</p><p>e =jθ 1 θ = 2kπ k</p><p>N =</p><p>4</p><p>3π</p><p>2kπ</p><p>N =</p><p>3</p><p>8k</p><p>N k</p><p>N k = 3</p><p>N = 8</p><p>x(n) = ej(3π/4)n</p><p>x(n) = ej(3π/4)n</p><p>certo com base neste mesmo sistema o que significa</p><p>ω1−ω2= 2kπ/N</p><p>A equação   está relacionada com a condição de periodicidade de</p><p>exponenciais complexas em um sistema discreto. Vamos entender o que ela</p><p>significa.</p><p>Contexto:</p><p>Considere duas frequências   e   associadas a duas exponenciais complexas. A</p><p>diferença dessas frequências,  , é uma medida da relação entre as duas</p><p>exponenciais em termos de periodicidade.</p><p>Se temos um sistema discreto periódico com período  , duas exponenciais</p><p>complexas com frequências   e   são harmonicamente relacionadas se a</p><p>diferença entre elas for um múltiplo de  . Isso porque, em um sistema discreto</p><p>periódico, as frequências são quantizadas, ou seja, elas ocorrem em múltiplos de</p><p>.</p><p>Interpretação de  :</p><p>é a diferença entre as duas frequências.</p><p>significa que essa diferença é um múltiplo de  , onde   é um número</p><p>inteiro.</p><p>Se essa condição é satisfeita, significa que as duas frequências   e   geram</p><p>sinais que se repetem de forma síncrona após um certo número de amostras  ,</p><p>mantendo a periodicidade do sistema.</p><p>Em resumo, a equação   implica que as duas frequências   e</p><p>são separadas por uma quantidade que corresponde a um múltiplo da frequência</p><p>fundamental do sistema discreto periódico de período  . Isso garante que os</p><p>sinais associados a essas frequências são harmônicos entre si e periódicos com o</p><p>mesmo período  .</p><p>ω −1 ω =2 N</p><p>2kπ</p><p>ω 1 ω 2</p><p>ω −1 ω 2</p><p>N</p><p>ω 1 ω 2</p><p>N</p><p>2π</p><p>N</p><p>2π</p><p>ω −1 ω =2 N</p><p>2kπ</p><p>ω −1 ω 2</p><p>N</p><p>2kπ</p><p>N</p><p>2π k</p><p>ω 1 ω 2</p><p>N</p><p>ω −1 ω =2 N</p><p>2kπ ω1 ω 2</p><p>N</p><p>N</p><p>certo , com relação x(n)=e^(3π/4)n, ela não tem relação ?</p><p>Sim, a equação   tem relação direta com a sequência</p><p>. Vamos explorar como isso se aplica.</p><p>Revisão do Sinal</p><p>Este é um sinal exponencial complexo discreto, cuja frequência angular é  .</p><p>Para determinar se esse sinal é periódico, e quantas exponenciais harmonicamente</p><p>relacionadas ele contém, precisamos garantir que a sequência seja periódica com</p><p>um certo período  .</p><p>ω −1 ω =2 N</p><p>2kπ x(n) =</p><p>ej(3π/4)n</p><p>x(n) = ej(3π/4)n</p><p>ω = 4</p><p>3π</p><p>N</p><p>Já determinamos que o período do sinal é  , ou seja, o sinal se repete a cada</p><p>8 amostras.</p><p>Aplicando</p><p>Aqui, o que essa equação nos diz é que, em um sistema discreto com período  ,</p><p>duas frequências   e   são harmonicamente relacionadas se sua diferença for</p><p>um múltiplo de  .</p><p>Para o caso do sinal  , já sabemos que  . Então,  .</p><p>Assim, duas frequências   e   são harmonicamente relacionadas se:</p><p>Portanto, para o sistema com  , as frequências permitidas (as que satisfazem</p><p>essa condição) são:</p><p>Essas são as frequências harmonicamente relacionadas para um sistema com</p><p>período  .</p><p>Relação com</p><p>O valor de   para   está contido entre essas frequências</p><p>possíveis. Além disso, devido à periodicidade do sistema,   se repete a cada 8</p><p>amostras, e as outras frequências harmonicamente relacionadas também</p><p>aparecem em múltiplos de  .</p><p>Então, a equação   expressa exatamente a relação de periodicidade</p><p>que permite que sinais como   sejam considerados parte de um</p><p>conjunto de exponenciais harmonicamente relacionadas.</p><p>N = 8</p><p>ω −1 ω =2 N</p><p>2kπ</p><p>N</p><p>ω 1 ω 2</p><p>N</p><p>2π</p><p>x(n) = ej(3π/4)n N = 8 =N</p><p>2π</p><p>=8</p><p>2π</p><p>4</p><p>π</p><p>ω 1 ω 2</p><p>ω −1 ω =2 =</p><p>8</p><p>2kπ</p><p>k</p><p>4</p><p>π</p><p>N = 8</p><p>ω = 0, , , , π, , ,</p><p>4</p><p>π</p><p>4</p><p>2π</p><p>4</p><p>3π</p><p>4</p><p>5π</p><p>4</p><p>6π</p><p>4</p><p>7π</p><p>N = 8</p><p>x(n) = ej(3π/4)n</p><p>ω = 4</p><p>3π x(n) = ej(3π/4)n</p><p>x(n)</p><p>4</p><p>π</p><p>ω −1 ω =2 N</p><p>2kπ</p><p>x(n) = ej(3π/4)n</p><p>�/�</p><p>----</p><p>Parece que você enviou uma linha separadora. Como posso ajudar você?</p><p>�/�</p><p>equação</p><p>𝜔</p><p>1</p><p>−</p><p>𝜔 tambem pode ser aplicada para x(n)=2cos(10n+1) -</p><p>sen(4n - 1),</p><p>Sim, a equação   também pode ser aplicada à expressão</p><p>.</p><p>Frequências das Componentes</p><p>Para aplicar essa relação, precisamos identificar as frequências angulares das</p><p>componentes do sinal.</p><p>1. Para  :</p><p>A frequência angular é  .</p><p>2. Para  :</p><p>A frequência angular é  .</p><p>Diferença entre as Frequências</p><p>Agora, calculamos a diferença entre as frequências:</p><p>Aplicando a Condição de Harmonicidade</p><p>Para que   e   sejam harmonicamente relacionadas, precisamos verificar se</p><p>essa diferença é um múltiplo de  , onde   é o período do sistema.</p><p>No caso de sinais discretos, o período   pode ser determinado se considerarmos</p><p>a periodicidade das frequências. No entanto, a relação   implica que</p><p>precisamos de um   que satisfaça essa relação.</p><p>Determinando</p><p>Para um sinal discreto,   deve ser um valor que satisfaça a periodicidade da</p><p>frequência. A frequência   em radianos por amostra deve ser convertida para um</p><p>valor que respeite o período do sistema. Se considerarmos que   precisa ser um</p><p>divisor de   nas frequências, podemos experimentar diferentes valores de  .</p><p>No entanto, um valor típico é  . Para esse caso, podemos verificar se 6</p><p>pode ser expresso como um múltiplo de   para um valor específico de  .</p><p>Conclusão</p><p>Portanto, a relação   pode ser aplicada, mas você precisaria</p><p>determinar um valor específico de   para verificar se   é de fato um múltiplo</p><p>dessa fração. A relação de harmonicidade pode não ser estritamente válida para</p><p>todas as escolhas de  , mas ela pode dar uma ideia sobre como essas frequências</p><p>interagem no sistema</p><p>ω −1 ω =2 N</p><p>2kπ x(n) =</p><p>2 cos(10n + 1) − sin(4n − 1)</p><p>2 cos(10n + 1)</p><p>ω =1 10</p><p>− sin(4n − 1)</p><p>ω =2 4</p><p>ω −1 ω =2 10 − 4 = 6.</p><p>ω 1 ω 2</p><p>N</p><p>2π N</p><p>N</p><p>ω −1 ω =2 N</p><p>2kπ</p><p>N</p><p>N</p><p>N</p><p>ω</p><p>N</p><p>2π N</p><p>N = 2π</p><p>N</p><p>2π N</p><p>ω −1 ω =2 N</p><p>2kπ</p><p>N 6</p><p>N</p>