Apostila de Matemática I

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<p>EB-002 OSTENSIVO</p><p>MATEMÁTICA I</p><p>CURSO DE FORMAÇÃO DE</p><p>MARINHEIROS (C-FMN)</p><p>MARINHA DO BRASIL</p><p>Escola de Aprendizes-Marinheiros de Pernambuco</p><p>2022</p><p>MATEMÁTICA I</p><p>Marinha do Brasil</p><p>Escola de Aprendizes-Marinheiros de Pernambuco</p><p>2022</p><p>FINALIDADE: Didática</p><p>REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>ATO DE APROVAÇÃO</p><p>Aprovo, para emprego nas Escolas de Aprendizes-Marinheiros, a publicação EB-002</p><p>– APOSTILA DE MATEMÁTICA I - 2ª Revisão.</p><p>OLINDA, PE.</p><p>Em 9 de novembro de 2022.</p><p>ROGÉRIO ALVES RIBEIRO</p><p>Capitão de Fragata</p><p>Comandante</p><p>Autenticado PELO ORC</p><p>Rubrica</p><p>CARIMBO DO OCR</p><p>Em____ /____ / ____</p><p>OSTENSIVO - III - REV.2</p><p>ASSINADO DIGITALMENTE</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Lista de Figuras</p><p>1.1 Representação grá�ca da unidade natural. . . . . . . . . . . . . . . . . 2</p><p>1.2 Representação grá�ca de duas e quatro unidades . . . . . . . . . . . . . 2</p><p>1.3 Exercício 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7</p><p>2.1 Representação grá�ca dos números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . 11</p><p>2.2 Representação grá�ca dos números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . 12</p><p>2.3 Representação grá�ca dos números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . 12</p><p>2.4 Adição com um número positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13</p><p>2.5 Adição com um número negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13</p><p>2.6 Subtração com um número positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13</p><p>2.7 Subtração com um número negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14</p><p>3.1 Retângulo dividido em quatro partes equivalentes . . . . . . . . . . . . 21</p><p>3.2 Quarta parte do inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22</p><p>3.3</p><p>1</p><p>4</p><p>+</p><p>1</p><p>4</p><p>=</p><p>2</p><p>4</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23</p><p>3.4 Equivalência entre</p><p>2</p><p>4</p><p>e</p><p>1</p><p>2</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23</p><p>3.5 De</p><p>3</p><p>4</p><p>retiramos</p><p>1</p><p>4</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24</p><p>3.6 Frações equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24</p><p>3.7 Adição entre</p><p>1</p><p>2</p><p>e</p><p>1</p><p>3</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>3.8 Inteiro dividido em seis partes iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>3.9</p><p>1</p><p>2</p><p>e</p><p>1</p><p>3</p><p>e seus respectivos equivalentes:</p><p>3</p><p>6</p><p>e</p><p>2</p><p>6</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>3.10 Fração equivalente a</p><p>2</p><p>5</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26</p><p>3.11</p><p>2</p><p>3</p><p>de</p><p>2</p><p>5</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26</p><p>3.12 Exemplo de divisão fracionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27</p><p>4.1 Dividindo o inteiro em décimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32</p><p>4.2 Representação grá�ca de três décimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32</p><p>4.3 Dividindo o inteiro em centésimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33</p><p>4.4 Representação grá�ca de quarenta centésimos . . . . . . . . . . . . . . 33</p><p>5.1 Figura do exercício 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54</p><p>OSTENSIVO -V- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>5.2 Figura do exercício 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55</p><p>6.1 Representação do terreno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62</p><p>7.1 Figura do exercício 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65</p><p>7.2 Figura do exercício 1 (CPAEAM - adaptada) . . . . . . . . . . . . . . . 73</p><p>7.3 Figura do exercício 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73</p><p>7.4 Figura do exercício 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74</p><p>7.5 Figura do exercício 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74</p><p>7.6 Figura do exercício 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75</p><p>7.7 Caneta para insulina (Fonte: ENEM - 2015 - 2º Dia Caderno 7 - Azul) . . . . . . . . 76</p><p>7.8 Campo de futebol. (Fonte: INMETRO. 30 jul. 2011. Disponível em: <www.inmetro.gov.br>) 78</p><p>7.9 Figura do exercício 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80</p><p>8.1 Solução do exercício 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86</p><p>8.2 Figura da resolução do exercício 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101</p><p>8.3 Figura da resolu�oão do exercício 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102</p><p>8.4 Figura da resolução do exercício 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105</p><p>8.5 Figura da resolução do exercício 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114</p><p>OSTENSIVO -VI- REV.2</p><p>www.inmetro.gov.br</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Lista de Tabelas</p><p>1.1 Potências de 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</p><p>1.2 Potências de 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</p><p>2.1 Múltiplos inteiros de 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14</p><p>2.2 Múltiplos de −2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>3.1 48 elementos: �o inteiro� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22</p><p>3.2 O inteiro dividido em quatro partes iguais . . . . . . . . . . . . . . . . 22</p><p>3.3 Seis unidades divididas em grupos de três . . . . . . . . . . . . . . . . . 27</p><p>3.4 Potências de dois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28</p><p>3.5 Potências de dois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29</p><p>4.1 Nomenclatura das posições das casas decimais . . . . . . . . . . . . . . 31</p><p>4.2 Nomenclatura das posições das casas decimais . . . . . . . . . . . . . . 32</p><p>5.1 Múltiplos e submúltiplos do metro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45</p><p>5.2 Múltiplos e submúltiplos do grama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46</p><p>5.3 Múltiplos e submúltiplos do metro quadrado . . . . . . . . . . . . . . . 48</p><p>5.4 Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico . . . . . . . . . . . . . . . . . 49</p><p>5.5 Múltiplos e submúltiplos do litro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50</p><p>5.6 Área dos biomas continentais brasileiros . . . . . . . . . . . . . . . . . 56</p><p>6.1 Medidas inglesas x Sistema internacional . . . . . . . . . . . . . . . . . 60</p><p>7.1 Período de manutenção de cada cortadeira . . . . . . . . . . . . . . . . 66</p><p>7.2 Relação entre a massa de um felino e a área de sua superfície corporal . 75</p><p>7.3 Preço dos refrigerantes. (Fonte: ENEM - 2015 - 2º Dia Caderno Cinza - Segunda Aplicação) 76</p><p>7.4 Preço dos pisos. (Fonte: ENEM - 2013 - 2º Dia Caderno Cinza - Segunda Aplicação) . . . 77</p><p>7.5 Classi�cação do valor do IMC. (Fonte: ENEM - 2012 - 2º Dia Caderno Cinza -</p><p>Segunda Aplicação) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78</p><p>8.1 Potências de 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88</p><p>8.2 Potências de 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88</p><p>8.3 Cálculo dos valores de n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110</p><p>8.4 Tabela de Preço por litro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116</p><p>8.5 Tabela de Preço por litro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116</p><p>8.6 Preço dos pisos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117</p><p>OSTENSIVO -VII- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Sumário</p><p>Páginas</p><p>Folha de rosto I</p><p>Ato de aprovação III</p><p>Lista de Figuras V</p><p>Lista de Tabelas VII</p><p>Sumário IX</p><p>Capítulo 1 - Conjunto dos números naturais 1</p><p>1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1</p><p>1.2 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2</p><p>1.3 Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3</p><p>1.4 Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3</p><p>1.5 Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4</p><p>1.6 Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</p><p>1.7 Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6</p><p>1.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7</p><p>Capítulo 2 - Conjunto dos números inteiros 11</p><p>2.1 Introdução . . .</p><p>entre unidades é obtida pelo produto</p><p>de uma potência de dez elevada ao quadrado:</p><p>1 km2 = (1.000)2 m2.</p><p>Da mesma forma:</p><p>1 dm2 = 1 dm× 1 dm = 0,1 m× 0,1 m = 0,01 m2.</p><p>Ou seja:</p><p>1 dm2 = (0,1)2 m2.</p><p>Exemplo 5.3.1. Assim:</p><p>1. 72 dam2 = 72× (10)2 m2 = 7.200 m2;</p><p>2. 3,2 hm2 = 3,2× (100)2 m2 = 32.000,0 m2;</p><p>3. 98,76 km2 = 98,76× (1.000)2 m2 = 98.760.000,00 m2;</p><p>4. 123 dm2 = 123× (0,1)2 m2 = 1,23 m2;</p><p>5. 4.567 cm2 = 4.567× (0,01)2 m2 = 0,4567 m2;</p><p>6. 135 mm2 = 135× (0,001)2 m2 = 0,000135 m2.</p><p>OSTENSIVO -5-48- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>5.4 Unidades de medida de volume</p><p>As unidades de medida de volume são utilizadas para mensurar a porção do espaço</p><p>ocupada por um objeto tridimensional. A unidade fundamental de medida de volume</p><p>é o metro cúbico (m3) que corresponde ao espaço ocupado por um cubo de 1 m de</p><p>aresta.</p><p>A unidade fundamental (o metro cúbico) possui múltiplos (decâmetro cúbico,</p><p>hectômetro cúbico, e quilômetro cúbico) e submúltiplos (decímetro cúbico,</p><p>centímetro cúbico, e milímetro cúbico).</p><p>A partir das de�nições podemos construir a tabela a seguir (tabela 5.4):</p><p>Múltiplos</p><p>Unidade</p><p>Fundamental</p><p>Submúltiplos</p><p>Quilômetro</p><p>cúbico</p><p>Hectômetro</p><p>cúbico</p><p>Decâmetro</p><p>cúbico</p><p>Metro</p><p>cúbico</p><p>Decímetro</p><p>cúbico</p><p>Centímetro</p><p>cúbico</p><p>Milímetro</p><p>cúbico</p><p>km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3</p><p>Tabela 5.4: Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico</p><p>Observe cuidadosamente:</p><p>1 km3 = 1 km× 1 km× 1 km = 1.000 m× 1.000 m× 1.000 m = 1.000.000.000 m3;</p><p>Assim, muito cuidado, pois 1 km = 1.000 m, mas 1 km3 não equivale a 1.000 m3.</p><p>No caso das medidas de volume a equivalência entre unidades é obtida pelo produto</p><p>de uma potência de dez elevada ao cubo:</p><p>1 km3 = (1.000)3 m3.</p><p>Da mesma forma:</p><p>1 dm3 = 1 dm× 1 dm× 1 dm = 0,1 m× 0,1 m× 0,1 m = 0,001 m3.</p><p>Ou seja: 1 dm3 = (0,1)3 m3.</p><p>Exemplo 5.4.1. Assim:</p><p>1. 72 dam3 = 72× (10)3 m3 = 72.000 m3;</p><p>2. 3,2 hm3 = 3,2× (100)3 m3 = 3.200.000.000,0 m3;</p><p>3. 98,76 km3 = 98,76× (1.000)3 m3 = 98.760.000.000,00 m3;</p><p>4. 123 dm3 = 123× (0,1)3 m3 = 0,123 m3;</p><p>5. 4.567 cm3 = 4.567× (0,01)3 m3 = 0,004567 m3;</p><p>6. 135 mm3 = 135× (0,001)3 m3 = 0,000000135 m3.</p><p>OSTENSIVO -5-49- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>5.5 Unidades de medida de capacidade</p><p>O espaço ocupado por um líquido é o volume interno do recipiente que o contém.</p><p>Embora a forma do líquido dependa do formato, o volume interno independe da</p><p>forma desse recipiente e sua capacidade corresponde à quantidade do líquido que o</p><p>preenche. A unidade fundamental para medir capacidade é o litro (L), que corresponde</p><p>à capacidade de um recipiente cúbico que tem 1 dm de aresta. Assim:</p><p>1 L = 1 dm3.</p><p>A unidade fundamental (o litro) possui os múltiplos: decalitro (10 L), hectolitro</p><p>(100 L), quilolitro (1.000 L), e os submúltiplos: decilitro (1 décimo do litro),</p><p>centilitro (1 centésimo do litro), mililitro (milésima parte do litro). Podemos</p><p>construir a tabela a seguir (tabela 5.5) a partir das de�nições:</p><p>Múltiplos</p><p>Unidade</p><p>Fundamental</p><p>Submúltiplos</p><p>Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro</p><p>kL hL daL L dL cL mL</p><p>Tabela 5.5: Múltiplos e submúltiplos do litro</p><p>Logo:</p><p>1. 1 daL = 10 L;</p><p>2. 1 hL = 100 L;</p><p>3. 1 kL = 1.000 L;</p><p>4. 1 dL = 0,1 L;</p><p>5. 1 cL = 0,01 L;</p><p>6. 1 mL = 0,001 L.</p><p>Exemplo 5.5.1. Assim:</p><p>1. 72 daL = 72× 10 L = 720 L;</p><p>2. 3,2 hL = 3,2× 100 L = 320,0 L;</p><p>3. 98,76 kL = 98,76× 1.000 L = 98.760,00 L;</p><p>4. 123 dL = 123× 0,1 L = 12,3 L;</p><p>5. 4.567 cL = 4.567× 0,01 L = 45,67 L;</p><p>6. 135 mL = u35× 0,001 L = 0,135 L.</p><p>OSTENSIVO -5-50- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>5.6 Exercícios</p><p>1. Transforme:</p><p>a) 25,11 dm em mm.</p><p>b) 3,14159 dam em cm.</p><p>c) 12,4248 m em cm.</p><p>d) 2,718 cm em dm.</p><p>e) 6,42 m em dam.</p><p>2. Efetue as operações e expresse os resultados em metros.</p><p>a) 7,2 km + 1.350 m.</p><p>b) 4,8 km + 246 hm + 4,75 dam.</p><p>c) 19,4 hm− 0,68 dam.</p><p>d) 164,5 hm + 18 hm.</p><p>e) 480 dm + 1.638 cm + 4.500 mm.</p><p>3. Qual o perímetro, em cm, de um ladrilho quadrado de 25 cm de lado?</p><p>4. Sabendo que o perímetro de um quadrado mede 30 cm, calcule a medida do seu</p><p>lado em metros.</p><p>5. Transforme:</p><p>a) 25,11 dm2 em mm2;</p><p>b) 12,4248 m2 em cm2;</p><p>c) 6,42 m2 em dam2;</p><p>d) 2,718 cm2 em dm2;</p><p>e) 3,14159 dam2 em cm2.</p><p>6. Qual é a área, em cm2, de um ladrilho quadrado de 25 cm de lado?</p><p>7. Efetue as operações e expresse os resultados em metros quadrados.</p><p>a) 7,2 km2 + 1.350 m2;</p><p>b) 480 dm2 + 1.638 cm2 + 4.500mm2;</p><p>c) 19,4 hm2 − 0,68 dam2;</p><p>d) 4,8 km2 + 246 hm2 + 4,75 dam2;</p><p>e) 164,5 hm2 + 18 hm2.</p><p>OSTENSIVO -5-51- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>8. Sabendo que o perímetro de um quadrado mede 30 cm, calcule a sua área em</p><p>metros quadrados.</p><p>9. Se um quadrado tem área 196 cm2, determine seu lado.</p><p>10. Se um campo de futebol tem 105 m de comprimento por 68 m de largura, qual é</p><p>a área de sua superfície?</p><p>11. Calcule a área de um retângulo de base 60 cm, cuja altura vale a terça parte da</p><p>base.</p><p>12. A altura de um retângulo é de 20 cm e, o seu perímetro 180 cm. Calcule a área</p><p>da �gura.</p><p>13. Uma parede com 10 m de comprimento e 2 m de altura será coberta com ladrilho</p><p>de dimensões 20 cm × 20 cm. Quantos ladrilhos devem ser utilizados?</p><p>14. Pretendo instalar piso de 45 cm × 45 cm na cozinha de minha casa, que tem</p><p>3,5 m × 4 m. Quantas peças desse piso utilizarei?</p><p>15. Converta as seguintes medidas:</p><p>a) 25,11 dm3 em mm3;</p><p>b) 6,2832 m3 em cm3;</p><p>c) 6,42 m3 em mm3;</p><p>d) 241,6 m3 em km3;</p><p>e) 38,7 km3 em m3.</p><p>16. (IFES - adaptada) Um reservatório de água em forma de paralelepípedo tem</p><p>capacidade de 1,08 m3. Uma torneira com vazão igual a 18 litros por minuto</p><p>é ligada e após 20 minutos uma segunda torneira de vazão igual a 22 litros</p><p>por minuto também é ligada, e as duas enchem o reservatório, que inicialmente</p><p>estava vazio. Nestas condições, qual o tempo em minutos, necessário para encher</p><p>completamente o reservatório? [Dados: 1 m3 = 1.000 L]</p><p>17. Um pequeno reservatório tem a forma de um paralelepípedo retangular. O</p><p>comprimento é 1 m, a largura é 75 cm e a altura é 3,2 dm. Se estiver a 3/4</p><p>da capacidade com água ele terá quantos m3?</p><p>18. Quantos mm3 tem um paralelepípedo de 12 cm× 23 cm× 15 cm?</p><p>19. A caixa-d'água de um prédio tem 210.000 L e o consumo diário nesse prédio é,</p><p>em média, 4/5 desse total. Qual o consumo médio mensal de água do prédio em</p><p>metros cúbicos?</p><p>OSTENSIVO -5-52- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>20. Um grupo de professores consome 1.500 m de jacuba por refeição.</p><p>Considerando-se uma semana com almoço e jantar, quantos dm3 de jacuba serão</p><p>consumidos?</p><p>21. Traduza:</p><p>a) 9 dm3 em L;</p><p>b) 261,49 L em dm3;</p><p>c) 25 m3 em L;</p><p>d) 216 mm3 em L;</p><p>e) 425 L em mm3.</p><p>22. Se uma lata de refrigerante tem 350 mL, responda:</p><p>a) quantos cm3 tem essa lata ?</p><p>b) qual a sua capacidade em litros?</p><p>23. Para preparar uma jarra de jacuba, recomenda-se utilizar 500 m de determinado</p><p>suco concentrado, juntando 2,5 L de água. Dessa forma, obtém-se 15 copos de</p><p>jacuba com a mesma capacidade. Quantos mL de jacuba teremos em cada copo?</p><p>24. Em 1dm3 de água temos 1 L de água e 1 dm de comprimento equivale a 10 cm.</p><p>Responda:</p><p>a) quantos cm3 de água temos em 1 L?</p><p>b) cada 1 cm3 de água equivale a que fração de 1 L?</p><p>c) em 1 m3 de água cabem quantos litros?</p><p>25. Se 1,25 kg de batatas custarem R$ 2,00, quanto custará 1,75 tonelada? [Dados:</p><p>uma tonelada equivale a 1.000 kg]</p><p>26. Um pacote de queijo com 750 g custa R$ 7,50. Quanto custarão 0,25 toneladas</p><p>desse queijo?</p><p>27. Um pacote de Arroz Parbolizado Tipo 1 com 5 kg custa R$ 15,90. Quanto deveria</p><p>custar um pacote com 25 kg do mesmo arroz?</p><p>28. Transforme</p><p>a) 8 kg em g;</p><p>b) 14,5 kg em g;</p><p>c) 3,705 hg em g;</p><p>d) 12,75 dag em g;</p><p>e) 3,75 g em cg.</p><p>OSTENSIVO -5-53- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>29. Um carregamento de 2,76 toneladas de cimento deve ser distribuído e, até o</p><p>momento, já foram destinados 2/3 desse total. Quantos kg ainda falta distribuir?</p><p>30. Ao contrário do que a maioria das pessoas pensam, nem todo litro de qualquer</p><p>líquido equivale a 1 kg. Um litro de óleo diesel, por exemplo, pode ter 850 g,</p><p>dependendo da sua composição. Se uma fragata classe Niterói for carregada com</p><p>3.700 toneladas de diesel com essa densidade, quantos litros ela terá?</p><p>31. Uma lata de milho tem peso �bruto� 3,1 kg para 2,0 kg �líquido�.</p><p>Se forem</p><p>necessários 39,40 kg de milho para o rancho, qual valor bruto deve ser separado</p><p>para a preparação?</p><p>32. Um kg de pão francês deve ter 20 ou 25 pães desse tipo. Se a EAMES tiver 8</p><p>pelotões com 26 alunos cada, responda:</p><p>a) Quantos gramas um pão terá no máximo? E no mínimo?</p><p>b) Considerando 1,5 pães por aluno no café da manhã, qual a quantidade mínima</p><p>de pães que deve ser adquirida para abastecer o café da manhã desses alunos?</p><p>c) Considere o kg do pão custando R$ 14,90. Calcule a despesa da aquisição</p><p>apenas de pães para o café da manhã dos alunos.</p><p>33. Diante dos problemas ocorridos com a cisterna de um condomínio, o síndico foi</p><p>obrigado a contratar uma empresa que entrega água em carros-pipa de 8.000 L de</p><p>capacidade. A cisterna em questão tem forma de bloco retangular com dimensões</p><p>6 m, 7,5 m e 2 m. Pergunta-se:</p><p>a) Quantos m3 tem essa cisterna?</p><p>b) Quantas toneladas de água ela pode armazenar?</p><p>c) Qual a capacidade máxima da cisterna?</p><p>34. Em relação a uma cisterna com dimensões 6 m, 7,8 m e 2 m, responda:</p><p>quantos carros-pipa com 8.000 L de capacidade serão necessários para enchê-la</p><p>totalmente?</p><p>35. Os degraus de uma escada têm a forma de paralelepípedo retangular com 1 m</p><p>de comprimento, 0,5 m de largura e 0,4 m de altura. Determine o volume de</p><p>concreto gasto (em dm3) na construção dessa escada, que tem 25 degraus desse</p><p>modelo.</p><p>Figura 5.1: Figura do exercício 36</p><p>OSTENSIVO -5-54- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>36. O estoque de um produto estava embalado em caixas cúbicas de aresta 40 cm,</p><p>armazenado conforme �gura acima (�gura 5.1). Determine o volume da pilha em</p><p>m3 .</p><p>37. Uma indústria produz chocolate em barra em dois formatos diferentes:</p><p>paralelepípedos e cubos. Os dois tipos têm o mesmo volume. As arestas da</p><p>barra em forma de paralelepípedo medem 3 cm por 8 cm por 9 cm. Qual é a</p><p>medida da aresta da barra de chocolate de formato cúbico?</p><p>38. O proprietário de um aquário em forma de paralelepípedo retangular cujas</p><p>medidas são 0,5 m de comprimento, 3 dm de largura e 250 mm de profundidade</p><p>resolveu que colocará uma camada de areia no fundo. Se essa camada tiver com</p><p>6 cm de altura, quantos mm3 de areia ele comprará?</p><p>39. O tanque de combustível de um automóvel tem capacidade de 48 L. Duas de</p><p>24 partes de sua capacidade são consideradas reserva e indicam o limite máximo</p><p>que o veículo pode trafegar sem abastecimento para evitar a pane seca.</p><p>a) Qual a quantidade de litros da reserva?</p><p>b) Se considerarmos que o carro tem um consumo de combustível de 12 km/L no</p><p>trânsito urbano, quantos km ele pode percorrer se tiver apenas o combustível</p><p>de reserva?</p><p>40. (ENEM - adaptada) O mapa abaixo (�gura 5.2) representa um bairro de</p><p>determinada cidade, no qual as �echas indicam o sentido das mãos do tráfego.</p><p>Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na �gura é</p><p>um terreno quadrado, de lado igual a 200 m. Desconsiderando-se a largura das</p><p>ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e</p><p>igual a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar ao ponto Y?</p><p>X</p><p>Y</p><p>Figura 5.2: Figura do exercício 40</p><p>41. Segundo dados da ONU, uma pessoa necessita de 3,3 m3 de água por mês para</p><p>satisfazer suas necessidades individuais. Responda:</p><p>a) Esse total de m3 de água é expresso por que valor em litros?</p><p>b) Considerando o mês de 30 dias, o consumo relativo por pessoa corresponde a</p><p>quantos litros diários?</p><p>OSTENSIVO -5-55- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>42. (ENEM - adaptada) O quadro abaixo (tabela 5.6) apresenta informações da área</p><p>aproximada de cada bioma brasileiro. É comum em conversas informais, ou</p><p>mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de um campo de futebol (com</p><p>as medidas de 120 m× 90 m) para auxiliar a visualização de áreas consideradas</p><p>extensas. Nesse caso, qual o número de campos de futebol correspondente à área</p><p>aproximada do bioma do Pantanal? (Fonte: (IBGE, 2009, adaptado))</p><p>Biomas Continentais Área aproximada Área</p><p>Brasileiros (km2) (%)</p><p>Amazônia 4.196.943 49,29%</p><p>Cerrado 2.036.448 23,92%</p><p>Mata Atlântica 1.110.182 13,04%</p><p>Caatinga 844.453 9,92%</p><p>Pampa 176.496 2,07%</p><p>Pantanal 150.355 1,76%</p><p>Área Total Brasil 8.514.877 100,00%</p><p>Tabela 5.6: Área dos biomas continentais brasileiros</p><p>43. Um artesão dispõe de duas peças metálicas cúbicas para derreter. Com o material</p><p>obtido ele fabricará uma nova peça em forma de paralelepípedo. As arestas da</p><p>primeira peça têm arestas de medida 4 cm. A segunda tem arestas de 8 cm.</p><p>Calcule o volume da nova peça obtida.</p><p>44. Uma piscina olímpica tem comprimento igual a 50 m de comprimento, 2,5 m de</p><p>profundidade e 25 m de largura.</p><p>a) Quantos m3 tem essa piscina?</p><p>b) Qual a quantidade máxima de litros que essa piscina suporta?</p><p>45. (ENEM - adaptada) Em uma fábrica de bebidas, a máquina de envasar</p><p>refrigerantes é capaz de encher 150 garrafas de 2 L a cada minuto e funciona</p><p>ininterruptamente durante 8h por dia. Para atender a uma encomenda de 198.000</p><p>garrafas de 2 L, a máquina é colocada para funcionar todos os dias, a partir do</p><p>dia 10, sempre das 8 h às 18 h. A partir do início, com quantos dias e horas a</p><p>máquina terminará essa tarefa?</p><p>OSTENSIVO -5-56- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>46. (ENEM - adaptada) Os medicamentos, imediatamente após a ingestão, começam</p><p>a ser metabolizados pelo organismo, o que faz com que sua concentração</p><p>no sangue diminua gradualmente, num processo denominado decaimento.</p><p>Denomina-se meia-vida de uma substância o tempo necessário para que o teor</p><p>dessa substância se reduza à metade do valor inicial. Considere a situação</p><p>de um médico que prescreveu a um paciente uma dosagem de 800 mg de um</p><p>medicamento cuja meia-vida é de 6 horas, com recomendação de tomar um</p><p>comprimido a cada 12 horas, durante 3 dias. Para esse medicamento, considera-se</p><p>superdosagem um teor superior a 1.520 mg, o que causa riscos de intoxicação.</p><p>Apressado em recuperar-se a tempo de ir para uma festa, o paciente sugeriu ao</p><p>médico que mudasse a prescrição para 6 em 6 horas, imaginando que, assim,</p><p>reduziria o tempo de tratamento. O médico contra-argumentou, informando ao</p><p>paciente que, caso antecipasse as doses, ocorreria o risco de intoxicação. Em</p><p>quanto tempo ocorreria a intoxicação?</p><p>OSTENSIVO -5-57- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Capítulo 6</p><p>Unidades de medidas inglesas</p><p>6.1 Introdução</p><p>Unidade inglesa ou medida imperial é a denominação dada a várias unidades</p><p>de medida historicamente usadas no Reino Unido até 1824, ano em que o Weights and</p><p>Measures Act padronizou o sistema imperial britânico de medidas, mantendo a maioria</p><p>dos nomes das unidades mas alterando algumas das suas de�nições.</p><p>Essas unidades evoluíram a partir do sistema de medidas anglo-saxão e do sistema</p><p>romano. Apesar do nome, tais unidades não são necessariamente do sistema de</p><p>unidades adotado no Império Britânico. A denominação de unidade inglesa também</p><p>pode ser usada para denominar unidades do sistema de medidas utilizado nos Estados</p><p>Unidos.</p><p>6.2 Unidades de medida de comprimento</p><p>As unidades utilizadas para medir comprimentos são a polegada (in), o pé (ft), a</p><p>jarda (yd) e a milha (mi). A polegada padrão utilizada internacionalmente equivale</p><p>a 25,4 mm, um pé equivale a 12 polegadas e uma jarda vale 3 pés e a milha, também</p><p>conhecida como milha terrestre, vale 1.760 jardas.</p><p>A milha marítima é de�nida como sendo o comprimento de um minuto de arco</p><p>medido à superfície média do mar, ao longo de qualquer grande círculo da Terra. Assim,</p><p>um grau de latitude, quando medido ao longo de uma linha imaginária orientada</p><p>exatamente na direção norte-sul ou ao longo da linha do Equador, corresponde</p><p>aproximadamente a 60 milhas náuticas. Nos usos em navegação marítima e aérea,</p><p>a unidade é muito conveniente por poder ser medida diretamente sobre as cartas</p><p>independentemente da sua escala, utilizando o minuto de meridiano como unidade,</p><p>daí a persistência do seu uso. Para �ns de facilidade e rapidez de cálculo, na Marinha</p><p>do Brasil se usa a equivalência 1 milha náutica = 2.000 jardas = 6.000 pés. O motivo</p><p>desta equivalência é a utilização de radares com escalas em milhas e jardas, dependendo</p><p>do alcance</p><p>selecionado. Na I Conferência Hidrográ�ca Internacional Extraordinária</p><p>convencionou-se que 1 milha náutica = 1.852 metros.</p><p>OSTENSIVO -6-59- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Assim, podemos estabelecer uma primeira tabela (tabela 6.1) relacionando as</p><p>unidades de comprimento:</p><p>Sistema inglês</p><p>SI</p><p>Nome Representação</p><p>Polegada in 2,54 cm</p><p>Pé ft 30,48 cm</p><p>Jarda yd 91,44 cm</p><p>Milha terrestre mi 1.609,00 m</p><p>Milha Mar�tima (ou náutica) mn 1.852,00 m</p><p>Tabela 6.1: Relação entre Sistema de Medidas Ingleas e Sistema de Medidas Internacional</p><p>Nas literaturas da Marinha do Brasil, encontramos as seguintes representações para</p><p>a milha náutica: nm, mn, MN.</p><p>6.3 Unidades de medida de massa</p><p>As unidades de medida de massa são: a libra (lb) e a onça (oz), que têm as</p><p>seguintes relações com o sistema internacional:</p><p>1. 1 lb = 0,45359237 kg; e</p><p>2. 1 oz = 0,0283495231 kg.</p><p>6.4 Unidade de medida de velocidade</p><p>O nó é a unidade marítima de velocidade equivalente a uma milha náutica por</p><p>hora.</p><p>6.5 Exercícios</p><p>1. A distância entre o local em que ocorre uma falta em um jogo de futebol e o local</p><p>da armação da barreira é marcada em passos (jardas). Se um passo (uma jarda)</p><p>mede aproximadamente 0,91 m, a quantos metros do local da falta a barreira</p><p>deve ser armada, se a distância mínima entre o local da falta e a barreira deve</p><p>ser de 10 jardas?</p><p>2. Uma jarda vale quantas polegadas?</p><p>OSTENSIVO -6-60- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>3. Qual a velocidade de um barco, em km/h, que desenvolve uma velocidade de 35,4</p><p>nós?</p><p>4. Em um determinado encanamento está estampado que o seu diâmetro é de 1/2</p><p>polegada (meia polegada). Quantos milímetros tem o diâmetro do encanamento?</p><p>5. Se um submarino está a 3.500 pés de profundidade, qual é esse valor em metros?</p><p>Apresente o resultado com duas casas decimais.</p><p>6. Efetue as operações e dê o resultado em centímetros: [Dados: 1 yd = 91,44 cm,</p><p>1 ft = 30,48 cm, 1 in = 2,54 cm]</p><p>a) 3 yd+ 40 ft+ 32 in;</p><p>b) 11 ft− 5 in;</p><p>c) 15 yd+ 21 in− 8 yd;</p><p>d) 8 yd+ 2 ft+ 11 in;</p><p>e) 18 ft− 6 jd;</p><p>f) 40 ft+ 50 in.</p><p>7. Converter em gramas [Dados: 1 lb = 0,45 kg, 1 oz = 0,02833 kg]:</p><p>a) 4 lb + 6 oz;</p><p>b) 5,4 lb− 1,4 oz;</p><p>c) 0,45 lb + 2,45 oz;</p><p>d) 12,45 lb.</p><p>8. A quantos quilômetros equivale uma viagem de 2.500,72 milhas?</p><p>9. Um Aprendiz necessita fazer a seguinte operação: 2,5 yd + 20 ft + 45 in. Qual</p><p>o valor correto do resultado da operação, expresso em km?</p><p>10. A distância entre duas cidades, nos Estados Unidos, é de 74 milhas.</p><p>a) Qual é a distância, em km, entre essas duas cidades?</p><p>b) E se o percurso de uma corrida for 92,8 milhas, quantos quilômetros tem esse</p><p>percurso?</p><p>11. (ENEM - adaptada) Nos Estados Unidos a unidade de medida de volume</p><p>mais utilizada em latas de refrigerantes é a onça �uida (� oz), que equivale</p><p>aproximadamente a 2,95 centilitros (cL). Sabe-se que a lata de refrigerante</p><p>usualmente comercializada no Brasil tem capacidade de 355 mL. Assim, a medida</p><p>do volume da lata de refrigerante de 355 mL, em onça �uida (� oz), é mais</p><p>próxima de que valor com duas casas decimais?</p><p>OSTENSIVO -6-61- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>12. (ENEM - modi�cada) Uma torneira não foi fechada corretamente e �cou</p><p>pingando, da meia-noite às seis horas da manhã, com a frequência de uma gota a</p><p>cada três segundos. Sabe-se que cada gota d'água tem volume de 0,2 mL. Qual</p><p>foi o valor mais aproximado do total de água desperdiçada nesse período, em</p><p>onças �uidas?</p><p>13. (ENEM - modi�cada) A maior piscina do mundo, registrada no livro Guiness,</p><p>está localizada no Chile, em San Alfonso del Mar, cobrindo um terreno de 8</p><p>hectares de área. Sabe-se que 1 hectare equivale a 1 hectômetro quadrado. Qual</p><p>é o valor da área coberta pelo terreno da piscina em jardas quadradas?</p><p>14. (ENEM - modi�cada) Em uma sala de aula, três alunos resolveram fazer uma</p><p>brincadeira de medição. Cada um escolheu um objeto próprio para medir o</p><p>comprimento da lousa. O primeiro foi até a lousa e, usando o comprimento de</p><p>um livro, veri�cou que era possível en�leirar 13 deles e ainda sobrava um pequeno</p><p>espaço equivalente à metade do livro. O segundo pegou um lápis e começou a</p><p>medir a lousa. No �nal, percebeu que esse comprimento era igual a 20 lápis. O</p><p>terceiro, para economizar tempo, pegou uma régua graduada e mediu o livro que</p><p>o colega havia usado, obtendo 28 cm. Com base nessas informações, qual é a</p><p>medida inteira mais aproximada do comprimento do lápis em polegadas?</p><p>15. (ENEM - adaptada) Na zona rural, a utilização de unidades de medida como</p><p>o hectare é bastante comum. O hectare equivale a área de um quadrado de</p><p>lado igual a 100 metros. Na �gura abaixo (�gura 6.1), há a representação de</p><p>um terreno por meio da área em destaque. Nesta �gura, cada quadrado que</p><p>compõe esta malha representa uma área de 1 hectare. O terreno em destaque foi</p><p>comercializado pelo valor de R$ 3.600.000,00. qual foi o valor do metro quadrado</p><p>desse terreno?</p><p>Figura 6.1: Representação do terreno</p><p>16. Conforme (REGO, p.p. 3-6), a Associação Internacional de Sinalização Marítima</p><p>(IALA), da qual o Brasil é membro, recomenda que a quantidade de energia</p><p>que chega ao olho do observador (E), também chamada de iluminamento, é</p><p>E = 0,242×10−6 cd/m2 (candelas por metro quadrado) para observações diurnas.</p><p>Qual o iluminamento E em cd/MN2?</p><p>OSTENSIVO -6-62- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>17. (ENEM - adaptada) O capim-elefante é uma designação genérica que reúne</p><p>mais de 200 variedades de capim e se destaca porque tem produtividade de</p><p>aproximadamente 40 toneladas de massa seca por hectare por ano, no mínimo,</p><p>sendo, por exemplo, quatro vezes a da madeira de eucalipto. Além disso, seu ciclo</p><p>de reprodução é de seis meses, enquanto o primeiro corte da madeira de eucalipto</p><p>é feito a partir do sexto ano. Considere uma região R plantada com capim-elefante</p><p>que mantém produtividade constante com o passar do tempo. Para se obter a</p><p>mesma quantidade, em toneladas, de sua massa seca de eucalipto, após o primeiro</p><p>ciclo de reprodução dessa planta, é necessário plantar uma área S que corresponde</p><p>a quantas vezes a área R? (Fonte: I Seminário Madeira Energética (2008))</p><p>OSTENSIVO -6-63- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Capítulo 7</p><p>Exercícios complementares</p><p>7.1 Construção de significados no emprego de números naturais,</p><p>inteiros, racionais e reais</p><p>1. (CPAEAM - adaptada) Analise a sequência a seguir (�gura 8.4).</p><p>−20</p><p>Multiplique</p><p>por (−3)</p><p>Divida</p><p>por (−5)</p><p>Subtraia</p><p>8</p><p>Some</p><p>4</p><p>Figura 7.1: Figura do exercício 1</p><p>Efetuando as operações indicadas na sequência acima, qual será o número escrito</p><p>no último retângulo?</p><p>2. (CPAEAM - adaptada) Quanto vale a metade de 22.014?</p><p>3. (CPAEAM - adaptada) Considere que �A� é o conjunto dos números inteiros</p><p>positivos múltiplos de 3, �B� o conjunto dos números inteiros positivos múltiplos</p><p>de 5 e �C� o conjunto dos números inteiros positivos múltiplos de 12. Sabe-se que</p><p>�D� é o conjunto dos números inteiros formado pela interseção dos três conjuntos,</p><p>ou seja, D é o conjunto dos números inteiros comuns aos três conjuntos. Qual é</p><p>o menor elemento não nulo que pertence a �D�?</p><p>4. (CPAEAM - adaptada) Qual o valor da expressão 5− 3 + 2× 4− 1?</p><p>5. (UNIFESP - adaptada) Qual é o 2.007º dígito na sequência</p><p>1234543212345432 . . . ?</p><p>6. (EPCAR - adaptada) Quanto vale a diferença 80,666... − 90,5?</p><p>7. (CPAEAM - adaptada) Considerando-se todos os divisores naturais de 360,</p><p>quantos NÃO são pares?</p><p>8. (CESGRANRIO - adaptada) Calcule o número de algarismos do produto 517×49.</p><p>OSTENSIVO -7-65- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>9. (IFES - adaptada) Uma pequena indústria de bene�ciamento de mármores e</p><p>granitos possui 4 máquinas cortadeiras, digamos a cortadeira A, cortadeira B,</p><p>cortadeira C e a cortadeira D. Cada cortadeira precisa ser desativada para</p><p>manutenção em períodos já determinados, a saber:</p><p>Cortadeira Tempo de manutenção</p><p>A 120 em 120 dias</p><p>B 150 em 150 dias</p><p>C 80 em 80 dias</p><p>D 100 em 100 dias</p><p>Tabela 7.1: Período de manutenção de cada cortadeira</p><p>Os dias em que todas as cortadeiras são desativadas (no mesmo dia) para</p><p>manutenção, foram batizados pelo dono da indústria como �Dia do Reparo�. Se</p><p>o último �Dia do Reparo� foi no dia 12 de dezembro de</p><p>2015, quantos �Dias do</p><p>Reparo� terão nos próximos 20 anos (ou seja, de 2016 a 2036)?</p><p>10. (CPAEAM - adaptada) Um colecionador de selos criou um catálogo de selos em</p><p>uma pasta com 20 páginas, numeradas de 1 até 20, cada uma com 15 selos,</p><p>distribuídos em 5 linhas e 3 colunas. Os selos foram numerados de 1 a 300. Nesse</p><p>catálogo, alguns selos são considerados raros e ocupam as posições 9ª, 18ª, 27ª,</p><p>36ª e assim sucessivamente. Depois que o catálogo for completado com todos os</p><p>selos, qual o número da última página que terminará com um selo raro?</p><p>11. (IFES - adaptada) A mitose é um processo de divisão celular, no qual a partir de</p><p>uma célula formada, originam-se duas células com a mesma composição genética.</p><p>Este processo de divisão celular é comum a todos os seres vivos, dos animais e</p><p>plantas multicelulares até os organismos unicelulares, nos quais, muitas vezes,</p><p>este é o principal ou, até mesmo, o único processo de reprodução. Considere que</p><p>cada processo de mitose dura uma hora. Se um grupo de uma única célula se</p><p>torna um grupo de X células em 100 horas, sendo que cada nova célula inicia</p><p>a mitose imediatamente após o término do processo que a originou, em quantas</p><p>horas um grupo de duas células se tornará um grupo de X células nas mesmas</p><p>condições descritas?</p><p>12. (CPAEAM - adaptada) Uma padaria produz 800 pães e, para essa produção,</p><p>necessita de 12 litros de leite. Se a necessidade de leite é proporcional à produção,</p><p>se o dono que aumentar a produção em 25% e se o litro de leite custa R$ 2,50,</p><p>quanto o dono deverá gastar a mais com a compra de leite para atingir sua meta?</p><p>OSTENSIVO -7-66- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>13. (CPAEAM - adaptada) No dia 17/10/2016, à zero hora, iniciou-se mais uma</p><p>vez o horário de verão no Rio de Janeiro, que tem sido usado com objetivo de</p><p>economizar energia elétrica nos momentos de pico e evitar sobrecarga no sistema.</p><p>No dia 16/10/2016, um avião partiu de St John's, Canadá, com destino ao Rio</p><p>de Janeiro. A saída aconteceu às 21 h e 45 min e o voo teve duração de 13 h e</p><p>45 min. Considerando-se que entre St John's e o Rio de Janeiro não há diferença</p><p>de fuso horário, a que horas o avião chegou ao Rio de Janeiro?</p><p>14. (CPAEAM - adaptada) Considere que um trem com 3 vagões de passageiros, cada</p><p>um com a capacidade de 40 passageiros, está com 2/8 de sua capacidade total</p><p>disponível. Sabendo que 2/3 dos passageiros são do sexo masculino, determine o</p><p>número de passageiros do sexo feminino.</p><p>15. (IFES - adaptada) Um aplicativo, recém lançado para todas as plataformas de</p><p>celular, está fazendo um grande sucesso dentre os adolescentes neste último mês.</p><p>O jogo funciona de acordo com as seguintes regras:</p><p>� No início de uma série de partidas, a máquina atribui ao jogador Q pontos.</p><p>� Em cada uma das partidas, em caso de vitória ou derrota, o jogador ganha ou</p><p>perde a metade dos pontos que tem no início desta partida, respectivamente.</p><p>Se uma pessoa jogar uma série de quatro partidas, nas quais ela perde duas vezes</p><p>e ganha duas vezes, quantos pontos terá ao �nal?</p><p>16. (CPAEAM - adaptada) Qual o valor de y =</p><p>2</p><p>5</p><p>× 2 + 5× 3</p><p>2</p><p>− 1</p><p>2</p><p>× 2?</p><p>17. (IFES - adaptada) Dois amigos, Cacá e Juju, compraram um pacote fechado com</p><p>várias unidades de balas. Cacá retirou do pacote 4/7 destas balas. Do total que</p><p>restou no pacote, Juju retirou 8/9 e ainda sobraram exatamente seis balas no</p><p>pacote. Quantas balas haviam no pacote fechado?</p><p>18. (UNICAMP - adaptada) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus</p><p>dois �lhos. Um destes tirou para si metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o</p><p>outro menino também tirou para si metade dos bombons que encontrou na caixa.</p><p>Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa.</p><p>19. (CPAEAM - adaptada)</p><p>√</p><p>75 equivale a:</p><p>(A) 37,5</p><p>(B) 75</p><p>(C) 5</p><p>√</p><p>5</p><p>(D) 3</p><p>√</p><p>5</p><p>(E) 5</p><p>√</p><p>3</p><p>OSTENSIVO -7-67- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>20. (FGV - adaptada) Se x = 3.200.000 e y = 0,00002, qual é o valor de xy ?</p><p>21. (CPAEAM - adaptada) Qual o valor do produto</p><p>(√</p><p>3−</p><p>√</p><p>2</p><p>)</p><p>×</p><p>(√</p><p>3 +</p><p>√</p><p>2</p><p>)</p><p>?</p><p>22. (CPAEAM - adaptada) Se A =</p><p>√√</p><p>6− 2 ×</p><p>√</p><p>2 +</p><p>√</p><p>6, então qual é o valor de</p><p>A2?</p><p>23. (EPCAR - adaptada) Qual o valor numérico da expressão:</p><p>3</p><p>√</p><p>(25× 10−6) · 0,000075</p><p>10</p><p>:</p><p>[</p><p>5 3</p><p>√</p><p>1,5</p><p>104</p><p>]</p><p>× (−0,0010)0?</p><p>24. (IFES - adaptada) A seguir, tem-se cinco a�rmações sobre conjuntos numéricos.</p><p>� A subtração de um número natural por outro número natural é sempre um</p><p>número natural.</p><p>� A soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro.</p><p>� A divisão de um número racional por outro número racional não nulo é</p><p>sempre um número racional.</p><p>� A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.</p><p>� A soma de um número racional com um número irracional é sempre um</p><p>número irracional.</p><p>Analisando as sentenças acima, qual é o número de a�rmações VERDADEIRAS?</p><p>25. (FUVEST - adaptada) Calcule o valor da expressão</p><p>√</p><p>3 + 1√</p><p>3− 1</p><p>+</p><p>√</p><p>3− 1√</p><p>3 + 1</p><p>.</p><p>26. A temperatura no interior de um freezer é de −11 graus. Fora, a temperatura é</p><p>de +28 graus. Qual é a variação de temperatura entre o interior e o exterior? E</p><p>entre o exterior e o interior?</p><p>27. Num restaurante, eu e quatro colegas dividimos a conta de 140 reais igualmente</p><p>entre nós. Paguei a minha parte e restou-me 32 reais. Qual a quantia que eu</p><p>tinha quando entrei no restaurante?</p><p>28. Numa divisão inteira, o divisor é 122, o quociente é 54 e o resto é o maior possível.</p><p>Qual é o valor do dividendo?</p><p>29. Um menino e uma menina ganharam juntos 23 bombons. Se ele comesse 3 e</p><p>desse 2 a ela, ambos �cariam com a mesma quantidade de bombons. Quantos</p><p>bombons cada um ganhou?</p><p>30. Ana, Beatriz e Carla têm, juntas, R$ 2.750,00. Beatriz tem R$ 150,00 mais o que</p><p>Carla e Ana possui R$ 200,00 mais que Beatriz. Quanto tem cada uma delas?</p><p>OSTENSIVO -7-68- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>31. (CPACN - adaptada) Para x = 2.013, qual é o valor da expressão</p><p>(−1)6x − (−1)x−3 + (−1)5x − (−1)x+3 − (−1)4x − (−1)2x?</p><p>32. O número natural (2103 + 2102 + 2101 − 2100) é divisível por:</p><p>(A) 6</p><p>(B) 10</p><p>(C) 14</p><p>(D) 22</p><p>(E) 26</p><p>33. Calcule o valor de:</p><p>√</p><p>5−</p><p>√(</p><p>2−</p><p>√</p><p>5</p><p>)2</p><p>+</p><p>√</p><p>25.</p><p>34. (CPACN - adaptada) Classi�que em Falso e Verdadeiro as a�rmativas abaixo:</p><p>( ) 9,1234 > 9,1234</p><p>( )</p><p>222221</p><p>222223</p><p><</p><p>555550</p><p>555555</p><p>( )</p><p>√</p><p>0,999 . . . = 0,333 . . .</p><p>( ) 2</p><p>3√27 = 640,5</p><p>35. (CPACN - adaptada) Qual é o total de números naturais em que o resto é o</p><p>quadrado do quociente na divisão por 26?</p><p>36. (CPACN - adaptada) Na fabricação de um produto é utilizado o ingrediente A</p><p>ou B. Sabe-se que 10 kg do ingrediente A produz o mesmo efeito que 100 kg do</p><p>ingrediente B. Se a soma de x kg do ingrediente A com y kg do ingrediente B é</p><p>igual a 44.000 g, então:</p><p>(A) yx = 260</p><p>(B)</p><p>√</p><p>x · y = 5</p><p>√</p><p>10</p><p>(C) 10</p><p>√</p><p>yx = 256</p><p>(D) 4</p><p>√</p><p>xy = 20</p><p>(E)</p><p>√</p><p>y</p><p>x</p><p>= 2</p><p>√</p><p>5</p><p>37. (CPACN - adaptada) Somando todos os algarismos até a posição 2012 da</p><p>representação decimal da fração irredutível</p><p>5</p><p>7</p><p>e, em seguida, dividindo essa soma</p><p>por 23, qual será o resto dessa divisão?</p><p>OSTENSIVO -7-69- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>38. (CPACN - adaptada) Sejam a, b, x e y números naturais não nulos. Se a × b = 5,</p><p>k =</p><p>2(a+b)2</p><p>2(a−b)2</p><p>e x2−y2 = 5</p><p>√</p><p>k, qual é o algarismo das unidades do número (yx − xy)?</p><p>39. (CPACN - adaptada) Num divisão de números naturais, D = 2.012 é o dividendo,</p><p>d é o divisor, q é o quociente e r é o resto. Sabe-se que 0 6= d = 21 ou q = 21.</p><p>Um resultado possível para r + d ou r + q é:</p><p>(A) 92</p><p>(B) 122</p><p>(C) 152</p><p>(D) 182</p><p>(E) 202</p><p>40. (CPACN - adaptada) Sabendo que A =</p><p>3 +</p><p>√</p><p>6</p><p>5</p><p>√</p><p>3− 2</p><p>√</p><p>12−</p><p>√</p><p>32 +</p><p>√</p><p>50</p><p>, qual é o</p><p>valor de</p><p>A2</p><p>6</p><p>√</p><p>A7</p><p>?</p><p>41. (CPACN - adaptada) Sabendo que n é natural não-nulo, e que x#y = xy, qual é</p><p>o valor de</p><p>(−1)n</p><p>4+n+1 +</p><p>(</p><p>2# (2# (2#2))</p><p>((2#2) #2) #2</p><p>)</p><p>?</p><p>42. (EAMCE) Classi�que cada a�rmativa a seguir em Falsa ou Verdadeira:</p><p>( ) Os números 2, 3, 7 e 21 são primos.</p><p>( ) Os termos de uma subtração são chamados de: minuendo, subtraendo e</p><p>diferença.</p><p>( ) A adição de dois números irracionais pode resultar em um número natural.</p><p>( ) Todo, e qualquer número, pertence ao conjunto dos números reais.</p><p>( ) O conjunto dos números inteiros não está contido no conjunto dos números</p><p>irracionais.</p><p>( ) Os números cuja representação decimal é in�nita e não periódica podem</p><p>ser escritos na forma de fração, sendo assim, pertencem ao conjunto dos</p><p>números racionais.</p><p>( ) O número 1,5333 . . . é classi�cado como uma dízima periódica composta.</p><p>43. (EAMCE) Qual o valor da expressão E = 2,3333 . . .+ 0,12222 . . .?</p><p>OSTENSIVO -7-70- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>44. (EAMCE) Um número é formado por três algarismos, cuja soma é 14. O</p><p>algarismo das centenas é o triplo do algarismo das dezenas e o algarismo das</p><p>unidades é o antecessor do algarismo das dezenas. Determine o número.</p><p>45. (EAMSC) Quantos são os números primos compreendidos entre os números 10 e</p><p>40?</p><p>46. (EAMCE) Classi�que os números abaixo em racionais ou irracionais:</p><p>a) 4</p><p>√</p><p>81</p><p>b) 5,588314. . .</p><p>c)</p><p>√</p><p>15</p><p>d)</p><p>√</p><p>−4</p><p>e) 0</p><p>47. (EAMCE) O Marinheiro Recruta Gutembergue recebeu R$ 956,00 de soldo. Suas</p><p>dívidas mensais são: aluguel, R$ 300,00, consórcio da moto, R$ 110,00, gastos</p><p>com alimentação, R$ 220,00 e cartão de crédito, R$180,00. Pergunta-se:</p><p>a) Quanto o MN-RC gastou nesse mês?</p><p>b) Seu salário foi su�ciente para pagar suas dívidas? Justi�que.</p><p>48. (EAMCE) Observe os subconjuntos abaixo e assinale a opção em que todos os</p><p>seus elementos pertencem ao conjunto dos números racionais.</p><p>(A) A =</p><p>{</p><p>−3; 1/2; 0,3333?;</p><p>√</p><p>5</p><p>}</p><p>(B) B = {−3; 0; 1,2358 . . . ; 3}</p><p>(C) C =</p><p>{</p><p>1,5; 2; 0,2828 . . . ;</p><p>√</p><p>−4</p><p>}</p><p>(D) D =</p><p>{</p><p>−1; 0; 1; 3</p><p>√</p><p>−8</p><p>}</p><p>(E) E =</p><p>{</p><p>3</p><p>√</p><p>−16; 1,222 . . . ; 0,5; 10</p><p>}</p><p>49. (Fiscal Trabalho - ESAF) Uma herança constituída de barras de ouro foi</p><p>totalmente dividida entre três irmãs: por ser a mais velha, Ana recebeu a metade</p><p>das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz</p><p>recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante</p><p>da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que</p><p>Ana recebeu foi:</p><p>(A) 1</p><p>(B) 2</p><p>(C) 3</p><p>(D) 4</p><p>(E) 5</p><p>OSTENSIVO -7-71- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>50. (EAMCE) Simpli�que a expressão:</p><p>3 +</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>+</p><p>2</p><p>3</p><p>− 1</p><p>2</p><p>51. (EAMSC) Um aluno recebe R$ 3,00 por problema que acerta e paga R$ 2,00 por</p><p>problema que erra. Fez 50 problemas e recebeu R$ 85,00. Quantos problemas o</p><p>aluno acertou?</p><p>52. (ENEM) Um show especial de Natal teve 45.000 ingressos vendidos. Esse evento</p><p>ocorrerá em um estádio de futebol que disponibilizará 5 portões de entrada, com 4</p><p>catracas eletrônicas por portão. Em cada uma dessas catracas, passará uma única</p><p>pessoa a cada 2 segundos. O público foi igualmente dividido pela quantidade de</p><p>portões e catracas, indicados no ingresso para o show, para a efetiva entrada no</p><p>estádio. Suponha que todos aqueles que compraram ingressos irão ao show e que</p><p>todos passarão pelos portões e catracas eletrônicas indicados.</p><p>Qual é o tempo mínimo para que todos passem pelas catracas?</p><p>(A) 1 hora</p><p>(B) 1 hora e 15 minutos</p><p>(C) 5 horas</p><p>(D) 6 horas</p><p>(E) 6 horas e 15 minutos</p><p>53. (EAMSC) A respeito dos números a = 0,499999 . . . e b = 0,5, é correto a�rmar:</p><p>(A) b = a+ 0,011111 . . .</p><p>(B) a = b</p><p>(C) a é irracional e b é racional</p><p>(D) a < b</p><p>54. (EAMSC) Qual das seguintes a�rmativas é verdadeira para quaisquer números</p><p>reais a, b e c?</p><p>(A) Se a < b, então ac < bc</p><p>(B) Se a < b, então a2 < b2</p><p>(C) Se a < b, então a3 < b3</p><p>(D) Se ac < bc, então a < b</p><p>(E) Se a > b, então 1/a > 1/b</p><p>OSTENSIVO -7-72- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>55. (EAMSC - adaptada) Classi�que em Falso ou Verdadeiro, justi�cando sua</p><p>resposta, as seguintes proposições:</p><p>( ) O valor de 3502 − 2492 = 1.</p><p>( )</p><p>√</p><p>360 = 6</p><p>√</p><p>10.</p><p>( )</p><p>√</p><p>6 +</p><p>√</p><p>10 =</p><p>√</p><p>16 = 4.</p><p>( )</p><p>(√</p><p>3 + 5</p><p>)2</p><p>=</p><p>(√</p><p>3</p><p>)2</p><p>+ 52 = 3 + 25 = 28.</p><p>7.2 Estabelecimento da relação de grandeza e medidas</p><p>1. (CPAEAM - adaptada) Analise a �gura a seguir (Figura 7.2). Suponha que o</p><p>terreno comprado por um proprietário tenha a forma da �gura e suas medidas</p><p>sejam representadas, em unidades de comprimento pelas variáveis X, Y e Z.</p><p>Qual é a expressão algébrica que representa o perímetro desse terreno?</p><p>2Y + Z</p><p>X</p><p>Y</p><p>X</p><p>X</p><p>Y</p><p>Z</p><p>Figura 7.2: Figura do exercício 1 (CPAEAM - adaptada)</p><p>2. (CPAEAM - adaptada) Sabendo que o diâmetro da roda de uma bicicleta de 29</p><p>polegadas (incluindo o pneu) é, aproximadamente igual a 74 cm, determine a</p><p>distância, em metros, percorrida por essa roda, ao dar quatro voltas completas</p><p>sem deslize. [Dados: π = 3]</p><p>3. (CPAEAM - adaptada) Observe a �gura abaixo (Figura 7.3). Essa �gura</p><p>representa uma praça de eventos na forma de um quadrado com 12 m de lado</p><p>que teve seu piso revestido com cerâmica branca e cinza. A região revestida pela</p><p>cerâmica branca foi obtida construindo quatro triângulos retângulos com catetos</p><p>medindo 4 m em cada uma de suas extremidades. Quantos metros quadrados de</p><p>cerâmica cinza foram utilizados na construção dessa praça?</p><p>4 m</p><p>4 m</p><p>12 m</p><p>Figura 7.3: Figura do exercício 3</p><p>OSTENSIVO -7-73- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>4. (CPAEAM - adaptada) Deseja-se revestir uma parede sem aberturas, com 8</p><p>metros de comprimento por 3 metros de altura. Sabendo que os azulejos têm</p><p>dimensões de 40× 40 cm e que há uma perda de 10% na colocação dos mesmos,</p><p>qual é a quantidade de azulejos que se deve adquirir para revestir a parede?</p><p>5. (CPAEAM - adaptada) Considere que um senhor deseja cercar um terreno</p><p>retangular de 200 m2 de área, utilizando 60 m de arame. Sendo assim, quais</p><p>são as medidas corretas do comprimento e a largura desse terreno?</p><p>6. (CPAEAM - adaptada) A área de um círculo é igual a 121π cm2. Quanto mede</p><p>o raio deste círculo em cm?</p><p>7. (CPAEAM - adaptada) Sabendo que EP é o raio da semicircunferência de centro</p><p>em E, como mostra a �gura abaixo (�gura 7.4), determine o valor da área mais</p><p>escura. [Dados: π = 3]</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>E</p><p>P</p><p>3 cm</p><p>5 cm</p><p>E</p><p>Figura 7.4: Figura do exercício 7</p><p>8. (CPAEAM - adaptada) Deseja-se azulejar, até o teto, as 4 paredes de uma</p><p>cozinha. Sabe-se que a cozinha possui 2 portas medindo 210 cm de altura e</p><p>80 cm de largura cada uma, e uma janela com 150 cm de altura e 110 cm</p><p>de comprimento. O comprimento, a largura e a altura da cozinhas são iguais</p><p>a 5,0 m, 4,0 m e 3,0 m, respectivamente. Determine a quantidade mínima de</p><p>metros quadrados inteiros de azulejos que devem ser comprados.</p><p>9. (CPAEAM - adaptada) Considere a �gura abaixo (�gura 7.5). Calcule a soma</p><p>das áreas hachuradas, sabendo que os polígonos das �guras I e II são quadrados.</p><p>D C</p><p>BA</p><p>I</p><p>II</p><p>4</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>√</p><p>3− 1</p><p>Figura 7.5: Figura do exercício 9</p><p>OSTENSIVO -7-74- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>10. (EEAR - adaptada) Uma empresa com 280 funcionários, realizou estudos</p><p>estatísticos e constatou que o seu consumo médio diário de água é de dois litros</p><p>por pessoa. Determine o consumo mensal médio de água da empresa, em metros</p><p>cúbicos. Considere o mês com 30 dias.</p><p>11. (CPAEAM - adaptada) Analise a �gura abaixo (�gura 7.6). Um arquiteto</p><p>pretende �xar em um painel de 40 m de comprimento horizontal sete gravuras</p><p>com 4 m de comprimento horizontal cada. A distância entre duas gravuras</p><p>consecutivas é d, enquanto que a distância da primeira e a da última gravura</p><p>até as respectivas laterais do painel é 2d. Sendo assim, é correto a�rmar que d</p><p>tem que medida?</p><p>2d</p><p>ℵℵ ℵ ℵ ℵ ℵ ℵ ℵ</p><p>d d d d d d 2d</p><p>Figura 7.6: Figura do exercício 11</p><p>12. (ENEM - adaptada) O hábito de comer um prato de folhas todo dia faz proezas</p><p>para o corpo. Uma das formas de variar o sabor das saladas é experimentar</p><p>diferentes molhos. Um molho de iogurte com mostarda contém 2 colheres de</p><p>sopa de iogurte desnatado, 1 colher de sopa de mostarda, 4 colheres de sopa de</p><p>água, 2 colheres de sopa de azeite. (Fonte: Os Segredos da Supersalada (2010))</p><p>Considerando que uma colher de sopa equivale a aproximadamente 15 mL, qual</p><p>é o número máximo de doses de molho que se faz utilizando 1,5 L de azeite e</p><p>mantendo a proporcionalidade dos demais ingredientes?</p><p>13. (ENEM - adaptada) Alguns medicamentos para felinos são administrados com</p><p>base na superfície corporal do animal. Foi receitado a um felino de massa kg</p><p>um medicamento na dosagem diária de 250 mg por metro quadrado de superfície</p><p>corporal. O quadro apresenta a relação entre a massa do felino, em quilogramas,</p><p>e a área de sua superfície corporal,</p><p>em metros quadrados. (Fonte: O paciente</p><p>felino (2009))</p><p>Massa (kg) Área (m2)</p><p>1,0 0,100</p><p>2,0 0,159</p><p>3,0 0,208</p><p>4,0 0,252</p><p>5,0 0,292</p><p>Tabela 7.2: Relação entre a massa de um felino e a área de sua superfície corporal</p><p>Qual a dose diária em miligramas que esse felino deverá receber?</p><p>OSTENSIVO -7-75- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>14. (ENEM - adaptada) Muitas medidas podem ser tomadas em nossas casas visando</p><p>à utilização racional de energia elétrica. Isso deve ser uma atitude diária de</p><p>cidadania. Uma delas pode ser uma redução do tempo no banho. Um chuveiro</p><p>com potência de 4.800 W consome 4,8 kW por hora. Uma pessoa que toma dois</p><p>banhos diariamente, de 10 minutos cada, consumirá quantos kW em sete dias?</p><p>15. (ENEM - adaptada) A insulina é utilizada no tratamento de pacientes com</p><p>diabetes para o controle glicêmico. Para facilitar a sua aplicação, foi desenvolvida</p><p>uma �caneta� na qual pode ser inserido um re�l contendo 3 mL de insulina, como</p><p>mostra a imagem abaixo (�gura 7.7). Para controle das aplicações, de�niu-se</p><p>a unidade de insulina como 0,01 mL. Antes de cada aplicação, é necessário</p><p>descartar 2 unidades de insulina, de forma a retirar possíveis bolhas de ar. A um</p><p>paciente foram prescritas duas aplicações diárias: 10 unidades de insulina pela</p><p>manhã e 10 à noite. Qual o número máximo de aplicações por re�l que o paciente</p><p>poderá utilizar com a dosagem prescrita?</p><p>Figura 7.7: Caneta para insulina (Fonte: ENEM - 2015 - 2º Dia Caderno 7 - Azul)</p><p>16. (ENEM - adaptada) Um promotor de eventos foi a um supermercado para</p><p>comprar refrigerantes para uma festa de aniversário. Ele veri�cou que os</p><p>refrigerantes estavam em garrafas de diferentes tamanhos e preços. A quantidade</p><p>de refrigerante e o preço de cada garrafa, de um mesmo refrigerante, estão na</p><p>tabela abaixo (tabela 7.3). Para economizar o máximo possível, o promotor</p><p>de eventos deverá comprar garrafas que tenham o menor preço por litro de</p><p>refrigerante. Qual tipo de garrafas o promotor de eventos deverá comprar?</p><p>Garrafa Quantidade de refrigerante (litro) Preço (R$)</p><p>Tipo I 0,5 0,68</p><p>Tipo II 1,0 0,88</p><p>Tipo III 1,5 1,08</p><p>Tipo IV 2,0 1,68</p><p>Tipo V 3,0 2,58</p><p>Tabela 7.3: Preço dos refrigerantes. (Fonte: ENEM - 2015 - 2º Dia Caderno Cinza - Segunda Aplicação)</p><p>OSTENSIVO -7-76- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>17. (ENEM - adaptada) O prefeito de uma cidade deseja promover uma festa popular</p><p>no parque municipal para comemorar o aniversário de fundação do município.</p><p>Sabe-se que esse parque possui formato retangular, com 120 m de comprimento</p><p>por 150 m de largura. Além disso, para segurança das pessoas presentes no</p><p>local, a polícia recomenda que a densidade média, num evento dessa natureza,</p><p>não supere quatro pessoas por metro quadrado. Seguindo as recomendações de</p><p>segurança estabelecida pela polícia, qual é o número máximo de pessoas que</p><p>poderão estar presente na festa?</p><p>18. (ENEM - adaptada) Médicos alertam sobre a importância de educar as crianças</p><p>para terem hábitos alimentares saudáveis. Por exemplo, analisando-se uma</p><p>bolacha com recheio de chocolate (25 g) e um pé de alface (25 g), observam-se as</p><p>seguintes quantidades de nutrientes, respectivamente:</p><p>� carboidratos: 15 g e 0,5 g;</p><p>� proteínas: 1,9 g e 0,5 g.</p><p>Considerando as informações apresentadas, qual deve ser o número de pés de</p><p>alface consumidos para se obter a mesma quantidade de carboidratos de uma</p><p>bolacha? (Fonte: ABRIL. 27 abr. 2010. Disponível em: <http://veja.abril.</p><p>com.br>)</p><p>19. A distância entre duas cidades é 47 milhas e uma milha equivale 1.609 metros.</p><p>Qual é a distância entre essas duas cidades em km? E se uma viagem tiver</p><p>323.409 km, quantas milhas esse percurso terá?</p><p>20. (ENEM - adaptada) Em uma casa, há um espaço retangular medindo 4 m por</p><p>6 m, onde se pretende colocar um piso de cerâmica resistente e de bom preço.</p><p>Em uma loja especializada, há cinco possibilidades de pisos que atendem às</p><p>especi�cações desejadas, apresentadas no quadro abaixo (tabela 8.6). Levando-se</p><p>em consideração que não há perda de material, dentre os pisos apresentados, qual</p><p>aquele que implicará o menor custo para a colocação no referido espaço?</p><p>Tipo do piso Forma</p><p>Preço por piso (em</p><p>reais)</p><p>I</p><p>Quadrado de lado medindo</p><p>20 cm</p><p>15,00</p><p>II</p><p>Retângulo medindo 30 cm por</p><p>20 cm</p><p>20,00</p><p>III</p><p>Quadrado de lado medindo</p><p>25 cm</p><p>25,00</p><p>IV</p><p>Retângulo medindo 16 cm por</p><p>25 cm</p><p>20,00</p><p>V</p><p>Quadrado de lado medindo</p><p>40 cm</p><p>60,00</p><p>Tabela 7.4: Preço dos pisos. (Fonte: ENEM - 2013 - 2º Dia Caderno Cinza - Segunda Aplicação)</p><p>OSTENSIVO -7-77- REV.2</p><p>http://veja.abril.com.br</p><p>http://veja.abril.com.br</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>21. (ENEM - adaptada) A forma e as dimensões de um campo de jogo para o</p><p>futebol são estabelecidas pelo Instituto Nacional de Metrologia (INMETRO) no</p><p>documento Regras do Jogo. Está de�nido que o campo seja retangular e que</p><p>possua limites máximos e mínimos para largura e comprimento apresentados na</p><p>�gura a seguir (�gura 7.8). Estabelece que o campo também deve ser dividido</p><p>em duas metades iguais e que o ponto central deve estar localizado o centro do</p><p>campo. Qualquer campo que atenda a estes requisitos é considerado o�cial. Para</p><p>a irrigação da área gramada do campo de jogo em determinada região do país</p><p>são gastos, em média, 6 litros de água por metro quadrado por dia.</p><p>Figura 7.8: Campo de futebol. (Fonte: INMETRO. 30 jul. 2011. Disponível em: <www.inmetro.gov.br>)</p><p>Qual será a economia semanal de água de irrigação, em litros, de um campo de</p><p>futebol o�cial que possua as dimensões mínimas de comprimento e de largura,</p><p>em relação a um campo construído com as dimensões máximas?</p><p>22. (ENEM - adaptada) O Índice de Massa Corporal, abreviadamente IMC, é uma</p><p>medida internacional adotada pela Organização Mundial de Saúde (OMS) para</p><p>indicar se uma pessoa está com �peso� excessivo para sua altura. O cálculo do</p><p>IMC é dado pela fórmula IMC = m/h2, sendo m a massa da pessoa, medida</p><p>em kg, e h a sua altura, em metros. Os valores da tabela foram ligeiramente</p><p>adaptados com relação aos adotados pela OMS, para simplicidade nos cálculos.</p><p>Assim, segundo a OMS, um indivíduo de 2,10 metros de altura que pesa 80 kg tem</p><p>IMC inferior a 19, sendo classi�cado como �abaixo do peso�. Se um indivíduo</p><p>de 144 kg e 2 metros de altura perder 64 kg numa dieta, então este indivíduo</p><p>migrará para qual classe?</p><p>Valor do IMC Classi�cação</p><p>IMC < 19 Abaixo do Peso</p><p>19 ≤ IMC < 25 Peso Normal</p><p>25 ≤ IMC < 30 Sobrepeso</p><p>30 ≤ IMC < 40 Obesidade do tipo I</p><p>IMC ≥ 40 Obesidade Mórbida</p><p>Tabela 7.5: Classi�cação do valor do IMC. (Fonte: ENEM - 2012 - 2º Dia Caderno Cinza - Segunda</p><p>Aplicação)</p><p>OSTENSIVO -7-78- REV.2</p><p>www.inmetro.gov.br</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>23. (EAMCE) Classi�que cada a�rmativa a seguir em Falsa ou Verdadeira:</p><p>( ) Ao transformarmos as medidas de 2.300 mm e 160 cm, em metros, obtém-se,</p><p>respectivamente, 2,3 m e 1,6 m.</p><p>( ) Uma ampola de 2 mL com certa substância equivale, na unidade de medida</p><p>de massa, a 2 g.</p><p>( ) Os múltiplos da unidade de medida de massa são: dg, cg e mg.</p><p>( ) Um cubo cuja aresta mede 1 dm é capaz de conter 1 litro d'água.</p><p>( ) A unidade fundamental de massa no sistema internacional é o kg.</p><p>( ) Entre as unidades usadas para medir a massa de um navio, a mais adequada</p><p>é a tonelada.</p><p>( ) Não existe diferença entre a massa e o peso de um corpo.</p><p>( ) A área de um terreno mede 2,5 hm2, o que corresponde a 25.000 m2 .</p><p>( ) São utilizadas como instrumentos para medir comprimento: a �ta métrica,</p><p>a régua e a trena.</p><p>( ) Um tela retangular com 50 cm de largura e 150 cm de comprimento possui</p><p>2 m de perímetro.</p><p>24. (EAMCE) A Base Naval de Natal está construída em um terreno de 8 hectares</p><p>de área. Sabe-se que 1 hectare corresponde a 1 hm2 . Qual é o valor, em metros</p><p>quadrados, da área coberta pela base?</p><p>25. (EAMCE) Durante uma epidemia de uma gripe viral, o comandante do Hospital</p><p>Naval de Recife determinou a compra de 16 galões de álcool em gel, com 4</p><p>litros de capacidade cada, para distribuir igualmente em recipientes para 10</p><p>Organizações Militares subordinadas ao Comando do 3º Distrito Naval. O</p><p>fornecedor dispõe para venda diversos tipos de recipientes com suas respectivas</p><p>capacidades</p><p>listadas:</p><p>� Recipiente I: 125 mL</p><p>� Recipiente II: 250 mL</p><p>� Recipiente III: 320 mL</p><p>� Recipiente IV: 500 mL</p><p>� Recipiente V: 800 mL</p><p>O Comandante do Hospital Naval de Recife comprará recipientes de um mesmo</p><p>tipo, de modo a instalar 20 deles em cada OM, abastecidos com álcool em gel na</p><p>sua capacidade máxima, de forma a utilizar todo o gel dos galões de uma só vez.</p><p>Que tipo de recipiente deverá ser comprado?</p><p>OSTENSIVO -7-79- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>26. (EAMCE) A segurança de uma embarcação e de sua tripulação depende dos</p><p>nós, voltas e costuras utilizadas na união de cabos e linhas. Dos vários tipos</p><p>de nós e voltas empregados na faina de bordo construídos com cabo de �bra</p><p>vegetal e sintética, o Lais de guia é considerado o rei dos nós e é muito usado a</p><p>bordo pela presteza e nunca recorre. Para fazer um nó desse tipo, um marinheiro</p><p>utiliza 125 cm de cabo. Quantos metros desse cabo serão gastos na confecção de</p><p>14 desses nós?</p><p>27. (EAMCE) Ummarinheiro é responsável por fazer a irrigação nos canteiros de uma</p><p>OM de terra e, para isso, utilizará pulverizadores costais com capacidade de 20</p><p>litros. A OM dispõe de um reservatório cúbico de arestas medindo 2 m. Quantas</p><p>pulverizações completas o marinheiro poderá realizar estando o reservatório cheio</p><p>de água?</p><p>28. (EAMCE) A âncora de Almirantado existe desde tempos remotos até</p><p>aproximadamente 1.825, sendo posteriormente substituída por âncoras do tipo</p><p>patente, devido a di�culdades de manobra e arrumação a bordo. Contudo, ela</p><p>possui um alto poder de unhar. Uma de suas características é que o peso do cepo</p><p>é por volta de</p><p>1</p><p>4</p><p>do peso da âncora. Se uma âncora de Almirantado pesa 400 kg,</p><p>qual o peso do cepo, em g?</p><p>29. (EAMCE) Para garantir a segurança orgânica da Capitania dos Portos do Ceará,</p><p>deve-se cercar totalmente com arame farpado os lados do seu terreno, exceto</p><p>aquele margeado pela praia do Mucuripe, conforme a �gura abaixo (�gura 7.9).</p><p>O arame em cada rolo que será comprado para a confecção da cerca tem 50 m</p><p>de comprimento.</p><p>8 dam</p><p>1,9 hm</p><p>0,08 km</p><p>Figura 7.9: Figura do exercício 29.</p><p>Qual a quantidade mínima de rolos que deverá ser comprado para cercar este</p><p>terreno?</p><p>30. (EAMCE) Na prova de atletismo da OLEAM/2017 os atletas percorreram uma</p><p>distância de 5.000 m ao redor da pista de atletismo da EAMES. Considerando-se</p><p>que essa pista tenha 0,40 km, quantas voltas os atletas darão para completar a</p><p>prova?</p><p>OSTENSIVO -7-80- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>31. (IFSC) Para fazer 500 mL de maionese são necessários 300 mL de óleo e 150 mL</p><p>de outros ingredientes (gemas, leite, sal etc). Analise as a�rmações a seguir:</p><p>I. A receita pronta renderá meio litro de maionese.</p><p>II. Há um ganho de volume de aproximadamente 11% da receita pela</p><p>incorporação de ar à mistura.</p><p>III. Há um ganho de volume de aproximadamente 15% da receita pela</p><p>incorporação de ar à mistura.</p><p>IV. O óleo usado ocupa o equivalente a 300 cm3 de espaço (por exemplo,</p><p>preenche uma caixinha de dimensões 5 cm× 5 cm× 12 cm).</p><p>V. Os demais ingredientes (descontando-se o óleo) correspondem a 1/4 do</p><p>volume �nal da receita.</p><p>Assinale a alternativa CORRETA.</p><p>(A) Somente II, IV e V são verdadeiras.</p><p>(B) Somente I, II e V são verdadeiras.</p><p>(C) Somente I, II e IV são verdadeiras.</p><p>(D) Somente I, III e V são verdadeiras.</p><p>(E) Todas as a�rmações são verdadeiras.</p><p>32. (EAMCE) O paioleiro responsável pela câmara frigorí�ca da EAMCE veri�cou</p><p>no início do expediente do dia 30 de julho de 2.017 que havia, naquele</p><p>compartimento, 670 kg de carne bovina. Duas horas depois o cozinheiro de</p><p>serviço requisitou 200 kg para a preparação de um churrasco que ocorreria na</p><p>hora do almoço. Após o almoço foi recebido um carregamento com 350 kg dessa</p><p>mesma carne. Tendo em vista que no dia seguinte seria realizado o balanço da</p><p>câmara frigorí�ca do paiol e que, após o recebimento do carregamento citado não</p><p>houve retirada nem reposição dessa carne, qual a quantidade carne bovina a ser</p><p>lançada no relatório?</p><p>OSTENSIVO -7-81- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Capítulo 8</p><p>Resolução dos Exercícios</p><p>8.1 Capítulo 1 - Conjunto dos números naturais</p><p>1. Dois números naturais são consecutivos se eles forem da forma:</p><p>n− 1 e n ou n e n+ 1,</p><p>isto é, a diferença entre o maior e o menor será 1.</p><p>a) cuja soma é 234.567.</p><p>i. Solução não-algébrica: Se os números são consecutivos, fazendo 234.567−</p><p>1, teremos dois elementos iguais, cada um valendo 234.566 : 2 = 117.283.</p><p>O consecutivo desse número será 117.284.</p><p>ii. Solução algébrica:</p><p>n+ (n+ 1) = 234.567</p><p>⇒ 2n+ 1 = 234.567</p><p>⇒ 2n = 234.566</p><p>⇒ n = 117.283</p><p>Logo, os números são: 117.283 e 117.284.</p><p>b) cuja soma é 294.</p><p>i. Solução não-algébrica: Se os números são consecutivos, fazendo 294− 1,</p><p>teremos dois elementos iguais, cada um valendo 293 : 2. Como 293 não é</p><p>par, o problema não possui solução natural.</p><p>ii. Solução algébrica: Como a soma de dois números consecutivos é ímpar</p><p>(a soma é da forma 2n + 1), não é possível que existam dois números</p><p>naturais consecutivos cuja soma seja 294 (que é um número par). Isto é,</p><p>@ n, n+ 1 ∈ N, tal que n+ (n+ 1) = 294.</p><p>A solução não é possível em N.</p><p>c) cuja soma é 765.432.</p><p>Idem ao exercício anterior. A solução não é possível em N.</p><p>OSTENSIVO -8-83- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>2. Determine três números naturais consecutivos:</p><p>Três números naturais são consecutivos se eles forem da forma:</p><p>n− 2, n− 1 e n ou n− 1, n e n+ 1, ou n,n+ 1 e n+ 2.</p><p>a) cuja soma é 297.</p><p>i. Solução não-algébrica: Fazendo 297− 1− 2 (Por quê retirar 2?), teremos</p><p>três elementos iguais, cada um valendo 294 : 3 = 98. Os consecutivos</p><p>desse número são 99 e 100.</p><p>ii. Solução algébrica: Escolhendo que eles terão a forma n − 1, n e n + 1,</p><p>teremos:</p><p>(n− 1) + n+ (n+ 1) = 297</p><p>⇒ 3n = 297</p><p>⇒ n = 99</p><p>Logo, os números são: n− 1 = 98, n = 99 e n+ 1 = 100.</p><p>b) pares cuja soma é 3.072.</p><p>i. Solução não-algébrica: Fazendo 3.072 − 2 − 4, teremos três elementos</p><p>iguais, cada um valendo 3.066 : 3 = 1.022. Os pares consecutivos desse</p><p>número são 1.024 e 1.026.</p><p>ii. Solução algébrica: Três números naturais pares são consecutivos se eles</p><p>tiverem a forma:</p><p>2(n− 1) = 2n− 2, 2n e 2(n+ 1) = 2n+ 2.</p><p>Logo,</p><p>2(n− 1) + n+ 2(n+ 1) = 3.072</p><p>⇒ 6n = 3.072</p><p>⇒ n = 512</p><p>Logo, os números são: 2(n− 1) = 1.022, 2n = 1.024 e 2(n+ 1) = 1.026.</p><p>Solução alternativa:</p><p>n+ n+ 2 + n+ 2 + 2 = 3.072</p><p>⇒ 3n = 3.066</p><p>⇒ n = 1.022</p><p>Logo, os números são: n = 1.022, n+ 2 = 1.024 e n+ 4 = 1.026.</p><p>OSTENSIVO -8-84- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>3. Determine três números naturais ímpares consecutivos cuja soma é 9.075.</p><p>i. Solução não-algébrica: Fazendo 9.075− 2− 4, teremos três elementos iguais,</p><p>cada um valendo 9.069 : 3 = 3.023. Os pares consecutivos desse número são</p><p>3.025 e 3.027.</p><p>ii. Solução algébrica: Três números naturais ímpares são consecutivos se eles</p><p>tiverem a forma:</p><p>2(n− 1) + 1 = 2n− 1, 2n+ 1 e 2(n+ 1) + 1 = 2n+ 3.</p><p>Logo,</p><p>[2(n− 1) + 1] + (2n+ 1) + [2(n+ 1) + 1] = 9.075</p><p>⇒ 6n+ 3 = 9.075</p><p>⇒ n = 1.512</p><p>Logo, os números são: 3.023, 3.025 e 3.027.</p><p>textbfSolução alternativa:</p><p>n+ n+ 2 + n+ 2 + 2 = 9.075</p><p>⇒ 3n = 9.069</p><p>⇒ n = 3.023</p><p>Logo, os números são: n = 3.023, n+ 2 = 3.025 e n+ 4 = 3.027.</p><p>4. A soma de três números naturais pares consecutivos pode ser ímpar? Justi�que.</p><p>Não. Conforme visto no exercício 2.b), a soma de três números naturais pares</p><p>consecutivos é da forma 6n, que é um número par.</p><p>5. A soma de três números naturais ímpares consecutivos pode ser par? Justi�que.</p><p>Não. Conforme visto no exercício 3, a soma de três números naturais ímpares</p><p>consecutivos é da forma 6n+ 3 = 6n+ 2 + 1 = 2(3n+ 1) + 1, que é um número</p><p>ímpar.</p><p>6. Numa adição com três parcelas, o total era 60. Adicionei 10 à primeira parcela,</p><p>20 à segunda e subtrai 5 da terceira. Qual o valor da nova soma?</p><p>Ao adicionarmos 10 à primeira parcela, 20 à segunda e subtrairmos 5 da terceira,</p><p>estaremos adicionando 10, 20 e subtraindo 5 da soma. Logo a nova soma será:</p><p>60 + 10 + 20− 5 = 85.</p><p>OSTENSIVO -8-85- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>7. No problema proposto, para cada lado temos três números que somam 10. Como</p><p>10 é par temos dois casos:</p><p>(1) Os três números são pares: este caso não é possível pois temos</p><p>somente os</p><p>pares 2, 4 e 6, cuja soma é 2 + 4 + 6 = 12 > 10;</p><p>(2) Um dos números é par e os outros dois são ímpares. Caso este par ocupe um</p><p>vértice, teremos a necessidade de quatro números ímpares (dois para cada</p><p>lado do triângulo que formam o vértice), o que não é possível, pois temos</p><p>apenas três ímpares: 1, 3 e 5. Logo cada vértice é ocupado por um número</p><p>ímpar.</p><p>Assim, a menos de rotações, a solução será conforme a �gura (8.1)</p><p>1</p><p>4</p><p>5</p><p>2</p><p>36</p><p>Figura 8.1: Solução do exercício 7</p><p>8. Numa divisão inteira temos que n = d×q+r, onde 0 ≤ r < q. Como d = 13, q =</p><p>14 e r = 12, o dividendo é n = 13× 14 + 12 = 194.</p><p>9. a) Como o primeiro colocado recebeu R$ 1.625,00, o segundo receberá R$</p><p>1.625,00 − 300,00 = R$ 1.325,00 e o terceiro, R$ 1.625,00 − 500,00 =</p><p>R$ 1.125,00.</p><p>b) O valor total do prêmio é R$ 1.625,00 + 1.325,00 + 1.125,00 = R$ 4.075.</p><p>10. O texto terá 425 × 2 = 850 colunas, 850 × 64 = 54.400 linhas e 5.760 × 35 =</p><p>1.904.000 letras.</p><p>11. Cada um dos três montes terá inicialmente 864 : 3 = 288 batatas. Um monte</p><p>terá 288 : 4 = 72 batatas, e cada um dos outros três terá 288 : 6 = 48 batatas.</p><p>Logo, teremos 4 montes com 72 batatas cada e 6 montes com 48 batatas cada.</p><p>12. i. Solução não-algébrica: A segunda proposta é um depósito de R$ 6.604,00−</p><p>4.116,00 = R$ 2.488,00, que é o dobro do depósito original. Logo o depósito</p><p>efetuado foi de R$ 2.488,00 : 2 = R$ 1.244,00.</p><p>OSTENSIVO -8-86- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>ii. Solução algébrica: Chamemos de n o valor do depósito. Caso tivesse</p><p>depositado o dobro de n, ainda sobrariam R$ 4.116,00, isto é:</p><p>6.604− 2n = 4.116</p><p>⇒ 2n = 2.488</p><p>⇒ n = 1.244.</p><p>13. i. Solução não-algébrica: Como o mais e�ciente fez 15 a mais do que o segundo</p><p>e o segundo assinalou 20 pontos a mais que o terceiro, o primeiro marcou 35</p><p>pontos a mais que o terceiro. Fazendo 275 − 20 − 35, teremos três valores</p><p>iguais para o terceiro colocado, cada um valendo 220 : 3. Como 220 não é</p><p>divisível por 3, o problema não possui solução natural.</p><p>ii. Solução algébrica: Chamando de p, s e t as quantidade de pontos feitos pelo</p><p>primeiro, segundo e terceiro cestinhas do jogo, o total de pontos foram 275,</p><p>isto é, p + s + t = 275. O primeiro fez 15 a mais do que o segundo, isto</p><p>é, p = s + 15. O segundo, assinalou 20 pontos a mais que o terceiro, logo,</p><p>s = t+ 20. Consequentemente, p = t+ 35. Logo</p><p>t+ 35 + t+ 20 + t = 275</p><p>⇒ 3t+ 55 = 275</p><p>⇒ 3t = 220</p><p>⇒ t = 73,333. . .</p><p>Isto nos mostra que este problema não possui solução natural.</p><p>14. a) Como 40 lugares estavam ocupados, sendo 2 pessoas em cada mesa, tivemos</p><p>40 : 2 = 20 mesas ocupadas parcialmente. Logo, tivemos um total de 70+20 =</p><p>90 mesas ocupadas.</p><p>b) Como o total de mesas eram 110, o total de mesas vazias (sem nenhum aluno</p><p>sentado) é de 110− 90 = 20 mesas.</p><p>c) Como tivemos 70 mesas totalmente ocupadas com oito lugares cada, tivemos</p><p>um total de 70× 8 + 40 = 560 + 40 = 600 alunos.</p><p>15. i. Solução não-algébrica: Das 9.400 pizzas, 2.360 eram grandes, logo, temos</p><p>9.400 − 2.360 = 7.040 pizzas pequenas. Teremos, então, 2.360 : 2 = 1.180</p><p>embalagens G e 7.040 : 10 = 704 embalagens P.</p><p>ii. Solução algébrica: 2G = 2.360 e 10P = 9.400 − 2.360 = 7.040. Logo,</p><p>G = 1.180 e P = 704.</p><p>OSTENSIVO -8-87- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>16. Observe a seguinte tabela (tabela 8.1) de potências de nove:</p><p>Expoente (n) Potenciação Potência</p><p>0 90 = 1</p><p>1 91 = 9</p><p>2 92 = 81</p><p>3 93 = 729</p><p>4 94 = 6.561</p><p>Tabela 8.1: Potências de 9</p><p>Observando a casa das unidades, vemos que quando é 1, a da próxima potência,</p><p>ao multiplicarmos por nove, será 1×9 = 9. E quando é 9, a da próxima potência,</p><p>ao multiplicarmos por nove, será 9× 9 = 81. Com isso, podemos concluir que</p><p>9n tem �nal =</p><p>{</p><p>9, se n for ímpar;</p><p>1, se n for par.</p><p>Logo 999 termina em 9.</p><p>Agora observe a seguinte tabela (tabela 8.2) de potências de quatro:</p><p>Expoente (n) Potenciação Potência</p><p>0 40 = 1</p><p>1 41 = 4</p><p>2 42 = 16</p><p>3 43 = 64</p><p>4 44 = 256</p><p>Tabela 8.2: Potências de 4</p><p>Observando a casa das unidades, vemos que quando é 4, a da próxima potência,</p><p>ao multiplicarmos por quatro, será 4 × 4 = 16. E quando é 6, a da próxima</p><p>potência, ao multiplicarmos por quatro, será 6 × 4 = 24. Com isso, podemos</p><p>concluir que</p><p>4n tem �nal =</p><p>{</p><p>4, se n for ímpar;</p><p>6, se n for par, n > 0.</p><p>OSTENSIVO -8-88- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Logo, 444 termina em 6.</p><p>E, consequentemente, 999 − 444 terminará em 9− 6 = 3. Letra (C).</p><p>17. 100 bilhões = 100.000.000.000 = 1011. Letra (C).</p><p>18. No primeiro dia teremos 345; no segundo, 345 × 3. No terceiro dia teremos</p><p>345× 3× 3 = 345× 32, e no quarto dia, 345× 32 × 3 = 33 × 345. Letra (C).</p><p>8.2 Capítulo 2 - Conjunto dos números inteiros</p><p>1. Dizemos que um número a é maior (ou menor) que o número b, denotado por</p><p>a > b (ou a < b), se acontecer que a− b > 0 (ou a− b < 0)</p><p>a) Sim. Pois quando somamos dois números naturais não-nulos, estamos</p><p>acrescendo a uma parcela o valor da outra. Logo, a soma será maior que</p><p>qualquer uma das parcelas. Em linguagem matemática:</p><p>Como S = a+ b, S − a = b > 0. Logo, S > a.</p><p>b) Sim. Pois quando subtraímos do minuendo o subtraendo, ambos nã-nulos,</p><p>estamos retirando do minuendo o valor do subtraendo. Logo, a diferença será</p><p>menor que o minuendo. Em linguagem matemática:</p><p>Como d = m − s, d −m = −s < 0, pois s > 0 por ser um natural não-nulo.</p><p>Logo, d < m.</p><p>2. a) O oposto de um número positivo é um número negativo.</p><p>b) O oposto de um número negativo é um número positivo.</p><p>3. Colocando os números dados em ordem crescente temos:</p><p>−30,−10,−2, 0, 15, 16, 24, 30.</p><p>a) −30 é o menor deles.</p><p>b) 30 é o maior deles.</p><p>c) A média aritimética é</p><p>−30 + (−10) + (−2) + 0 + 15 + 16 + 24 + 30</p><p>8</p><p>=</p><p>−42 + 85</p><p>8</p><p>=</p><p>43</p><p>8</p><p>= 5,375.</p><p>4. a) (+9) + (−3) = 9− 3 = 6</p><p>b) (+7) + (+2) = 7 + 2 = 9</p><p>c) (−4) + (−8) = −4− 8 = −12</p><p>d) (−7) + (+7) = −7 + 7 = 0</p><p>e) (−5)− (−6) = −5 + 6 = 1</p><p>f) (+8)− (+2) = 8− 2 = 6</p><p>OSTENSIVO -8-89- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>g) (+7)− (−2) = 7 + 2 = 9</p><p>h) (−6)− (+7) = −6− 7 = −13</p><p>5. −864,−648,−486, 468, 486, 684, 846.</p><p>6. 1.105, 1.011, 1.005,−1.011,−1.055,−1.505.</p><p>7. A partir do zero, deslocar sete unidades no sentido positivo: 0+7 = 7; Em seguida</p><p>o deslocamento de cinco unidades no sentido negativo: 7 + (−5) = 7− 5 = 2; O</p><p>ponto de chegada nesse percurso é +2.</p><p>8. Na primeira venda teve um prejuízo de R$ 4,00 (R$ −4,00); Na segunda, prejuízo</p><p>de R$ 11,00 (R$ −11,00), com um prejuízo acumulado de −4,00 − 11,00 =</p><p>R$ −15,00; O lucro na terceira venda foi de R$ 13,00 (R$ +13,00), tendo um</p><p>acumulado de −15,00 + 13,00 = R$ −2,00; Na última, um lucro de R$ 5,00 (R$</p><p>+5,00), �cando um acumulado de −2,00 + 5,00 = R$ +3,00. Logo, um lucro de</p><p>R$ 3,00.</p><p>9. A variação máxima é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo (maior</p><p>valor dentre as variações), logo, a variação máxima será (+7)− (−3) = 10� e a</p><p>variação mínima, o menor valor dentre as variações, será (−3)− (+7) = −10�.</p><p>10. A média aritmética será</p><p>(−47) + (−48) + (−46) + (−45) + (−51)</p><p>5</p><p>=</p><p>−237</p><p>5</p><p>=</p><p>−47,4. A média não é maior que a maior temperatura nem é menor que a menor</p><p>temperatura. A média é sempre um valor intermediário entre os extremos.</p><p>11. Se um número é o tripo do outro, a soma deles é o quádruplo do menor. O menor</p><p>será 1/4 da soma: 184 : 4 = 46. O maior será 3× 46 = 138.</p><p>12. A conta deveria ser 70k, mas foi feita como sendo 7k. A diferença entre os</p><p>resultados é 70k−7k = 63k e 63k = 32.823. Dessa forma, k = 32.823 : 63 = 521,</p><p>resultando que k = 521. Logo a soma dos algarismos é 5 + 2 + 1 = 8.</p><p>13. Como a divisão do número inteiro n por 3, 5, 7 e 11 possui sempre o resto 1, temos</p><p>que n − 1 é múltiplo de 3, 5, 7 e 11, sendo múltiplo de 3 × 5 × 7 × 11 = 1.155.</p><p>Então n−1 = 1.155q, onde q é um número inteiro qualquer. Logo n = 1.155q+1,</p><p>isto é, o resto da divisão de n por 1.155 é 1.</p><p>14. Um conjunto de 6 meninos com idades diferentes com as idades variando em</p><p>números inteiros, de 1 até 6 anos pode ser representada, por exemplo, por h1</p><p>(1 ano), h2 (2 anos), h3 (3 anos), h4 (4 anos), h5 (5 anos) e h6 (6 anos).</p><p>Analogamente, um conjunto de 6 meninas com idades diferentes com as idades</p><p>variando em números inteiros, de 1 até 6 anos pode ser representada, por exemplo,</p><p>por</p><p>m1, m2, m3, m4, m5 e m6. Os casais que podemos formar com a soma das</p><p>idades menor que 8 anos terá no máximo 7 anos. Os casais são:</p><p>OSTENSIVO -8-90- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>� O menino com a idade de 1 ano (h1) formará os seguintes pares: h1 e m1,</p><p>h1 e m2, h1 e m3, h1 e m4, h1 e m5, h1 e m6. Um total de 6 casais;</p><p>� Com o menino h2 serão os seguintes pares: h2 e m1, h2 e m2, h2 e m3, h2 e</p><p>m4, h2 e m5 (exclui-se o par h2 e m6 porque a soma das idades será maior</p><p>que 7). Um total de 5 casais;</p><p>� Com h3, os pares serão: h3 e m1, h3 e m2, h3 e m3, h3 e m4. (excluem-se</p><p>os demais casais formados por h3 pelo mesmo motivo). Formando 4 casais;</p><p>� h4 formará os seguintes casais: h4 e m1, h4 e m2, h4 e m3. (excluem-se os</p><p>demais casais formados por h4 pelo mesmo motivo). Um total de 3 casais;</p><p>� Com h5: h5 e m1, h5 e m2. (excluem-se os demais casais formados por h5</p><p>pelo mesmo motivo). Logo, 2 casais;</p><p>� Com h6 apenas o casal h6 e m1. (excluem-se os demais casais formados por</p><p>h6 pelo mesmo motivo). Temos 1 casal;</p><p>Assim, teremos 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 casais.</p><p>Em linguagem matemática, a quantidade de casais formados será o número de</p><p>elementos do conjunto de pares ordenados:</p><p>#{(1,6); (1,5); (1,4); (1,3); (1,2); (1,1); (2,5); (2,4); (2,3); (2,2); (2,1);</p><p>(3,4); (3,3); (3,2); (3,1); (4,3); (4,2); (4,1); (5,2); (5,1); (6,1)} = 21</p><p>.</p><p>8.3 Capítulo 3 - Conjunto dos números racionais</p><p>1. Determine a fração correspondente à parte hachurada:</p><p>a) =</p><p>1</p><p>3</p><p>b) =</p><p>2</p><p>3</p><p>c) = 2× 1</p><p>3</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>2. Em uma caixa de talheres, 1/6 são garfos e 3/4 são colheres, correspondendo a</p><p>um total de</p><p>1</p><p>6</p><p>+</p><p>3</p><p>4</p><p>=</p><p>4</p><p>24</p><p>+</p><p>18</p><p>24</p><p>=</p><p>22</p><p>24</p><p>=</p><p>11</p><p>12</p><p>dos talheres. Sobram então,</p><p>1</p><p>12</p><p>de</p><p>outros talheres.</p><p>3. Se 40%</p><p>(</p><p>=</p><p>40</p><p>100</p><p>=</p><p>2</p><p>5</p><p>)</p><p>das peças de frango para o rancho são sobrecoxas, a</p><p>quantidade de peças que não são sobrecoxa corresponde a 3/5. Calculando 3/5</p><p>de 2.000 temos que</p><p>3</p><p>5</p><p>× 2.000 =</p><p>6.000</p><p>5</p><p>= 1.200 peças não são sobrecoxas.</p><p>OSTENSIVO -8-91- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>4. Se 12 degraus correspondem a 3/8 do total de degraus uma arquibancada, 1/8</p><p>da arquibancada corresponde a 4 degraus. Considerando a fração 8/8 o inteiro,</p><p>a escada terá 8× 4 = 32 degraus.</p><p>5.</p><p>P =</p><p>(</p><p>1 +</p><p>1</p><p>3</p><p>)(</p><p>1 +</p><p>1</p><p>5</p><p>)(</p><p>1 +</p><p>1</p><p>7</p><p>)(</p><p>1 +</p><p>1</p><p>9</p><p>)(</p><p>1 +</p><p>1</p><p>11</p><p>)</p><p>=</p><p>=</p><p>4</p><p>3</p><p>× 6</p><p>5</p><p>× 8</p><p>7</p><p>× 10</p><p>9</p><p>× 12</p><p>11</p><p>=</p><p>4× 6× 8× 10× 12</p><p>3× 5× 7× 9× 11</p><p>e</p><p>Q =</p><p>(</p><p>1− 1</p><p>5</p><p>)(</p><p>1− 1</p><p>7</p><p>)(</p><p>1− 1</p><p>9</p><p>)(</p><p>1− 1</p><p>11</p><p>)</p><p>=</p><p>=</p><p>4</p><p>5</p><p>× 6</p><p>7</p><p>× 8</p><p>9</p><p>× 10</p><p>11</p><p>=</p><p>4× 6× 8× 10</p><p>5× 7× 9× 11</p><p>.</p><p>Então</p><p>√</p><p>P</p><p>Q</p><p>=</p><p>√√√√√√</p><p>4× 6× 8× 10× 12</p><p>3× 5× 7× 9× 11</p><p>4× 6× 8× 10</p><p>5× 7× 9× 11</p><p>=</p><p>√</p><p>�4× �6× �8×��10× 12</p><p>3× �5× �7× �9×��11</p><p>× �5× �7× �9×��11</p><p>�4× �6× �8×��10</p><p>=</p><p>=</p><p>√</p><p>12</p><p>3</p><p>=</p><p>√</p><p>4 = 2.</p><p>8.4 Capítulo 4 - Conjunto dos números reais</p><p>1. 0,75 + 0,25 = 1,00.</p><p>2. 8,026 + 20,64 = 28,666.</p><p>3. 1.449,92− 726,36 = 723,56.</p><p>4. a) 39,2 + 6,08 + 0,038 = 45,28 + 0,038 = 45,318.</p><p>b) 9,70− 4,6 = 5,1.</p><p>c) (0,189− 0,03)× 0,490 = 0,159× 0,490 = 0,07791.</p><p>d) 8× 3,6× 0,38 = 28,8× 0,38 = 10,944.</p><p>e) (0,18− 0,09× 3)− 0,04 = (0,18− 0,27)− 0,04 = −0,09− 0,04 = −0,13.</p><p>OSTENSIVO -8-92- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>5. 44% de R$ 1.234,56=</p><p>44</p><p>100</p><p>× 1.234,56 = 0,44 × 1.234,56 = 543,2064.</p><p>Aproximadamente R$ 543,21.</p><p>6.</p><p>18</p><p>4</p><p>= 18 : 4 = 4,5 na forma decimal.</p><p>7. a) 0,444 . . . é uma dízima periódica simples de parte inteira zero, período 4 e sua</p><p>geratriz é</p><p>4</p><p>9</p><p>.</p><p>b) 12,345678678678. . . é uma dízima periódica composta de parte inteira 12,</p><p>anteperíodo 345 e período 678. Sua geratriz é 12 +</p><p>345.678− 345</p><p>999.000</p><p>= 12 +</p><p>345.333</p><p>999.000</p><p>=</p><p>115.111</p><p>333.000</p><p>=</p><p>4.111.111</p><p>333000</p><p>.</p><p>c) 0,99 . . . é uma dízima periódica simples de parte inteira zero, período 9 e sua</p><p>geratriz é</p><p>9</p><p>9</p><p>= 1.</p><p>8.</p><p>√</p><p>0,444. . . =</p><p>√</p><p>4</p><p>9</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>= 0,666. . .</p><p>9. a) 0,666 . . . =</p><p>6</p><p>9</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>.</p><p>b) 1,53[21] = 1 +</p><p>5.321− 53</p><p>9900</p><p>= 1 +</p><p>5.268</p><p>9900</p><p>= 1 +</p><p>439</p><p>825</p><p>=</p><p>1.264</p><p>825</p><p>.</p><p>c) 0,8343434 . . . =</p><p>834− 8</p><p>990</p><p>=</p><p>826</p><p>990</p><p>=</p><p>413</p><p>495</p><p>.</p><p>d) 2,64575131 . . . é uma dízima não periódica. Logo, não pode ser escrita na</p><p>forma de fração.</p><p>e) 1,23 = 1 + 0,23 = 1 +</p><p>23</p><p>99</p><p>=</p><p>122</p><p>99</p><p>.</p><p>f)</p><p>31.415</p><p>10.000</p><p>.</p><p>10. a) Conjunto in�nito dos números naturais maiores que zero.</p><p>b) Supressão dos números naturais de 4 até 233.</p><p>c) Conjunto in�nito dos números inteiros menores que 21.</p><p>d) Representação de uma dízima periódica de período 3.</p><p>11.</p><p>p</p><p>q</p><p>=</p><p>900</p><p>525</p><p>=</p><p>12</p><p>7</p><p>.</p><p>q</p><p>p+ 1</p><p>=</p><p>7</p><p>12 + 1</p><p>=</p><p>7</p><p>13</p><p>= 0,[538461]. Então, 538.461 = 107.692 × 5 + 1 e,</p><p>consequentemente, o resto é 1.</p><p>OSTENSIVO -8-93- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>12. (V)</p><p>a</p><p>2</p><p>é o quociente entre dois números racionais.</p><p>(F)</p><p>√</p><p>2 é um número irracional.</p><p>(V) a− b é a diferença entre dois números racionais.</p><p>(V) a+ b é a soma de dois números racionais.</p><p>(V) a× b é o produto se dois números racionais.</p><p>Opção correta: (B)</p><p>13.</p><p>√</p><p>100 +</p><p>√</p><p>64√</p><p>100−</p><p>√</p><p>64</p><p>=</p><p>10 + 8</p><p>10− 8</p><p>=</p><p>18</p><p>2</p><p>= 9 ∈ N.</p><p>14.</p><p>−4√</p><p>x2 − 9</p><p>− 1 = 0 ⇒ −4√</p><p>x2 − 9</p><p>= 1 ⇒ −4 =</p><p>√</p><p>x2 − 9. Impossível em R, pois a</p><p>raiz-quadrada é um número positivo.</p><p>Solução alternativa:</p><p>−4√</p><p>x2 − 9</p><p>= 1, mas o quociente entre −4 e</p><p>√</p><p>x2 − 9 é</p><p>negativo.</p><p>15. (F) O produto de um racional não nulo por um irracional é sempre irracional.</p><p>(F)</p><p>√</p><p>2×</p><p>√</p><p>2 = 2 ∈ Q.</p><p>(F) A soma de um racional com um irracional é sempre irracional.</p><p>(F) Fazendo y =</p><p>√</p><p>3, x− y</p><p>√</p><p>3 = x−</p><p>√</p><p>3×</p><p>√</p><p>3 = (x− 3) ∈ Q.</p><p>(V) 2y é irracional e a soma do racional x com o irracional 2y é um número</p><p>irracional.</p><p>16.</p><p>y</p><p>x− z</p><p>=</p><p>x+ y</p><p>z</p><p>= 2⇒</p><p>{</p><p>y = 2(x− z)</p><p>x+ y = 2z.</p><p>⇒</p><p>{</p><p>y = 2x− 2z</p><p>x+ y = 2z.</p><p>Logo, temos o seguinte sistema de equações:− 2x+ y = −2z (8.1)</p><p>x+ y = 2z. (8.2)</p><p>Fazendo (8.1) + (8.2) obtemos</p><p>x = 2y. (8.3)</p><p>Substituindo (8.3) na equação (8.2), obtemos 2y + y = z e y =</p><p>2z</p><p>3</p><p>Como</p><p>√</p><p>z =</p><p>(</p><p>1</p><p>9</p><p>)− 1</p><p>2</p><p>=</p><p>√</p><p>9, temos que z = 9, resultando que y = 6 e x = 12.</p><p>Logo</p><p>x− y</p><p>6</p><p>× z =</p><p>12− 6</p><p>6</p><p>× 9 = 9.</p><p>OSTENSIVO -8-94- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>17. Se o carro percorre 12 km com um litro de gasolina na cidade em que João mora,</p><p>ele percorrerá a distância de 600 km gastando 600 : 12 = 50 L. Ao custo de</p><p>R$ 2,87 por litro ele gastará R$ 5× 2,87 = R$ 143,50.</p><p>18. (V) O conjunto dos números irracionais está contido no conjunto dos números</p><p>reais</p><p>(V) O conjunto dos números racionais está contido no conjunto dos números</p><p>reais.</p><p>(F) Os números irracionais são números reais e não são racionais.</p><p>(F) Os números racionais são números reais e não são irracionais.</p><p>(F)</p><p>√</p><p>−1 sequer é número real.</p><p>(V) É a própria de�nição do conjunto dos números reais.</p><p>(V) −2 representa uma quantidade inteira negativa.</p><p>(V) É a própria de�nição de número racional.</p><p>(V) O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números</p><p>reais.</p><p>(V) É a própria de�nição de número positivo.</p><p>(V) Os números positivos são maiores que zero, que por sua vez é maior que</p><p>qualquer número negativo.</p><p>(F) Os números negativos são menores que zero.</p><p>(V) O módulo de um número calcula sua distância do zero e quanto menor for</p><p>o número negativo mais afastado ele estará do zero.</p><p>(V) O oposto de qualquer número é obtido trocando o seu sinal.</p><p>19. D = 8× 12 + r, 0 ≤ r < 12. Como r é o maior possível, r = 11. Logo D = 107.</p><p>20. √</p><p>13 +</p><p>3</p><p>√</p><p>25 +</p><p>√</p><p>8− 3</p><p>√</p><p>64 =</p><p>√</p><p>13 +</p><p>3</p><p>√</p><p>25 +</p><p>√</p><p>8− 4 =</p><p>√</p><p>13 +</p><p>3</p><p>√</p><p>25 +</p><p>√</p><p>4 =</p><p>=</p><p>√</p><p>13 + 3</p><p>√</p><p>25 + 2 =</p><p>√</p><p>13 +</p><p>3</p><p>√</p><p>27 =</p><p>√</p><p>13 + 3 =</p><p>√</p><p>16 = 4.</p><p>21. a)</p><p>1√</p><p>2</p><p>=</p><p>1×</p><p>√</p><p>2√</p><p>2×</p><p>√</p><p>2</p><p>=</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>≈ 1,4142</p><p>2</p><p>= 0,7071.</p><p>b)</p><p>1√</p><p>2 + 1</p><p>=</p><p>1× (</p><p>√</p><p>2− 1)</p><p>(</p><p>√</p><p>2 + 1)× (</p><p>√</p><p>2− 1)</p><p>=</p><p>√</p><p>2− 1</p><p>2− 1</p><p>=</p><p>√</p><p>2− 1 ≈ 0,4142.</p><p>c)</p><p>1√</p><p>3− 1</p><p>=</p><p>1× (</p><p>√</p><p>3 + 1)</p><p>(</p><p>√</p><p>3− 1)× (</p><p>√</p><p>3 + 1)</p><p>=</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>3− 1</p><p>=</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>2</p><p>≈ 1,366.</p><p>OSTENSIVO -8-95- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>22. (30,333...</p><p>)27</p><p>+ 221</p><p>7</p><p>− 5</p><p>√</p><p>239 +</p><p>3</p><p>√</p><p>448</p><p>7</p><p>−</p><p>(</p><p>3</p><p>√</p><p>3</p><p>)33</p><p>7√92</p><p>=</p><p>=</p><p>[(</p><p>31/3</p><p>)27</p><p>+ 221 − 5</p><p>√</p><p>239 +</p><p>3</p><p>√</p><p>64−</p><p>(</p><p>31/3</p><p>)27] 7√92</p><p>=</p><p>[</p><p>22 − 5</p><p>√</p><p>243</p><p>] 7√92</p><p>=</p><p>= [4− 3]</p><p>7√92 = 1.</p><p>23. a) Primeiramente veri�camos que 4 < 5 < 9 ⇒ 2 <</p><p>√</p><p>5 < 3 e 3 −</p><p>√</p><p>5 > 0.</p><p>Assim,</p><p>√</p><p>3−</p><p>√</p><p>5 representa um número real e é possível prosseguir com</p><p>o cálculo. Fazendo</p><p>√</p><p>3−</p><p>√</p><p>5 na forma</p><p>√</p><p>x − √y, temos que 3 −</p><p>√</p><p>5 =(√</p><p>x−√y</p><p>)2</p><p>= x− 2</p><p>√</p><p>xy + y = x+ y −</p><p>√</p><p>4xy.</p><p>Logo, temos o seguinte sistema de equações:x+ y = 3 (8.4)</p><p>4xy = 5. (8.5)</p><p>Como x+ y = 3, temos que</p><p>x = 3− y. (8.6)</p><p>Substituindo (8.6) em (8.5) temos 4(3 − y)y = 5 e a seguinte equação do</p><p>segundo grau:</p><p>− 4y2 + 12y − 5 = 0, (8.7)</p><p>cuja soluções são: y1 =</p><p>5</p><p>2</p><p>e y2 =</p><p>1</p><p>2</p><p>. Logo, temos que x1 =</p><p>1</p><p>2</p><p>e x2 =</p><p>5</p><p>2</p><p>. Como</p><p>√</p><p>x−√y > 0, nos resta a solução x =</p><p>5</p><p>2</p><p>e y =</p><p>1</p><p>2</p><p>. Desta forma,√</p><p>3−</p><p>√</p><p>5 =</p><p>√</p><p>5</p><p>2</p><p>−</p><p>√</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>√</p><p>10</p><p>2</p><p>−</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>.</p><p>b) Como</p><p>√</p><p>5 < 3, não temos soluções reais.</p><p>c) Uma vez que 7 + 2</p><p>√</p><p>10 = 7 +</p><p>√</p><p>40 > 0 a expressão</p><p>√</p><p>7 + 2</p><p>√</p><p>10 tem solução</p><p>real.</p><p>Além da forma já apresentada, podemos usar a fórmula√</p><p>a±</p><p>√</p><p>b =</p><p>√</p><p>a+ c</p><p>2</p><p>±</p><p>√</p><p>a− c</p><p>2</p><p>,</p><p>onde c =</p><p>√</p><p>a2 − b.</p><p>No caso temos a = 7 e b = 40. Logo, c =</p><p>√</p><p>72 − 40 = 3</p><p>Daí, √</p><p>7 + 2</p><p>√</p><p>10 =</p><p>√</p><p>7 + 3</p><p>2</p><p>+</p><p>√</p><p>7− 3</p><p>2</p><p>=</p><p>√</p><p>5 +</p><p>√</p><p>2</p><p>OSTENSIVO -8-96- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>8.5 Capítulo 5 - Unidades de medida do SMD</p><p>1. a) 25,11 dm = (25,11× 102) mm = 2.511 mm.</p><p>b) 3,14159 dam = (3,14159× 103) cm = 3.141,59 cm.</p><p>c) 12,4248 m = (12,4248× 102) cm = 1.242,48 cm.</p><p>d) 2,718 cm = (2,718× 10−1) dm = 0,2718 dm.</p><p>e) 6,42 m = (6,42× 10−1) dam = 0,642 dam.</p><p>2. a) 7,2 km + 1.350 m = (7,2× 103) m + 1.350 m = 7.200 m + 1.350 m = 8.550 m.</p><p>b) 4,8 km+246 hm+4,75 dam = (4,8×103) m+(246×102) m+(4,75×10) m =</p><p>4888 m + 24600 m + 47,4 m = 29.447,5 m.</p><p>c) 19,4 hm − 0,68 dam = (19,4 × 102) m − (0,68 × 10) m = 1.940 m − 6,8 m =</p><p>1.933,2 m.</p><p>d) 164,5 hm + 18 hm = (164,5× 102) m + (18× 102) m = 16.450 m + 1.800 m =</p><p>18.250 m.</p><p>e) 480 dm+1.638 cm+4.500 mm = (480×10−1) m+(1.638×10−2) m+(4.500×</p><p>10−3) m = 48 m + 16,38 m + 4,5 m = 68,88 m.</p><p>3. (25 + 25 + 25 + 25) cm = (4× 25) cm = 100 cm.</p><p>4. Seja l a medida do lado do quadrado. Como o perímetro é 30 cm, então 4l = 30 cm</p><p>e o lado medirá 7,5 cm. Em metros será (7,5× 10−2) m = 0,075 m.</p><p>5. a) 25,11 dm2 = (25,11× 1002) mm2 = 251.100 mm2.</p><p>b) 12,4248 m2 = (12,4248× 1002) cm2 = 124.248 cm2.</p><p>c) 6,42 m2 = (6,42× 100−1) dam2 = 0,0642 dam2.</p><p>d) 2,718 cm2 = (2,718× 100−1) dm2 = 0,02718 dm2.</p><p>e) 3,14159 dam2 = (3,14159× 1003) cm2 = 3.141.590 cm2.</p><p>6. A área de um ladrilho quadrado de 25 cm de lado é (25× 25) cm2 = 625 cm2.</p><p>7. a) 7,2 km2 +1.350 m2 = (7,2×1003) m2 +1.350 m2 = 7.200.000 m2 +1.350 m2 =</p><p>7.201.350 m2.</p><p>b) 480 dm2 + 1.638 cm2 + 4.500 mm2 = (480× 100−1) m2 + (1.638× 100−2) m2 +</p><p>(4.500× 100−3) m2 = 4,8 m2 + 0,1638 m2 + 0,0045 m2 = 4,9683 m2.</p><p>c) 19,4 hm2 − 0,68 dam2 = (19,4× 1002) m2 − (0,68× 100) m2 = 194.000 m2 −</p><p>68 m2 = 193.932 m2.</p><p>d) 4,8 km2 + 246 hm2 + 4,75 dam2 = (4,8× 1003) m2 + (246× 1002) m2 + (4,75×</p><p>100) m2 = 4.800.000 m2 + 2.460.000 m2 + 475 m2 = 7.260.475 m2.</p><p>e) 164,5 hm2 + 18 hm2 = 182,5 hm2 = (182,5× 1002) m2 = 1.825.000 m2.</p><p>OSTENSIVO -8-97- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>8. O perímetro de um quadrado mede 30 cm, logo seu lado será 30 : 4 = 7,5 cm.</p><p>Sua área será 7,5× 7,5 = 56,25 cm2 = 56,25× 100−2 = 0,005625 m2.</p><p>9. Se a área do quadrado é 196 cm2, seu lado será</p><p>√</p><p>196 = 14 cm2.</p><p>10. A área será 105× 68 = 7.140 m2.</p><p>11. Se a altura do retângulo vale a terça parte da base, então ela medirá 60 : 3 =</p><p>20 cm. Sua área será então 20× 60 = 1.200 cm2.</p><p>12. Se o perímetro do retângulo é 180 cm e um dos lados mede 20 cm, então temos</p><p>que 2× (20 + l) = 180 cm. Logo, o outro lado medirá l = 180 : 2− 20 = 70 cm.</p><p>A área do retângulo será 70× 20 = 1.400 cm2.</p><p>13. Se uma parede tem 10 m de comprimento e 2 m de altura, sua área é de 10 m×</p><p>2 m = 20 m2 = 20×1002 cm2 = 200.000 cm2. A área do ladrilho é 20 cm×20 cm =</p><p>400 cm2. Logo, precisará de</p><p>200.000 cm2</p><p>400 cm2</p><p>= 500 ladrilhos.</p><p>Solução alternativa:</p><p>No comprimento de 10 m = 10×100 cm = 1.000 cm pode ser assentado 1.000 cm :</p><p>20 cm = 50 ladrilhos e na altura de 2 m = 2 × 100 cm = 200 cm, 10 ladrilhos.</p><p>Logo, serão necessários 50× 10 = 500 ladrilhos.</p><p>14. O exercício pode ser solucionado de duas maneiras distintas, já que 350 cm (3,5 m)</p><p>e 400 cm (4,0 m) não são múltiplos de 45:</p><p>1. A primeira forma é ver quantas vezes 45 �cabe� em 350 e 400. Temos que</p><p>350 = 8,75 × 40 e 400 = 8,89 × 40. Assim, seriam 8,75 × 8,89 = 77,7875,</p><p>que na realidade corresponde a 78 ladrilhos inteiros. Como 8,75 na prática</p><p>corresponde a 9 ladrilhos e 8,89 também seriam 9, teríamos 9×9 = 81 ladrilhos;</p><p>2. A outra forma é dividir a área da parede pela de um ladrilho, o que resultaria</p><p>em (350×400) cm2 : (45×45) cm2 = 140.000 cm2 : 2.025 cm2 = 69,13580247.</p><p>O resultado leva à compra de 70 ladrilhos inteiros.</p><p>Em termos de construção a primeira resposta é a melhor.</p><p>15. a) 25,11 dm3 = 25,11× 1.0002 mm3 = 25.110.000 mm3.</p><p>b) 6,2832 m3 = 6,2832× 1.0002 cm3 = 6.283.200 cm3.</p><p>c) 6,42 m3 = 6,42× 1.0003 mm3 = 6.420.000.000 mm3.</p><p>d) 241,6 m3 = 241,6× 1.000−3 km3 = 0,0000002416 km3.</p><p>e) 38,7 km3 = 38,7× 1.0003 m3 = 38.700.000.000 m3.</p><p>OSTENSIVO -8-98- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>16. 1,08 m3 equivalem a (1,08 × 1.000) L = 1.080 L. A torneira vaza 18 L min−1</p><p>durante 20 min. Até aí vazaram 18 × 20 = 360 L. Resta preencher 720 L. A</p><p>segunda torneira vaza 22 L/min é ligada junto com a anterior, passando as duas</p><p>juntas a vazar 18 + 22 = 40 L/min. Os 720 L restantes serão preenchidos em</p><p>720 : 40 = 18 min. O tempo total em minutos será 20 + 18 = 38 min.</p><p>17. O reservatório em forma de paralelepípedo retangular tem 1 × 0,75 × 0,32 =</p><p>0,24 m3. Se estiver a 3/4 da capacidade em água teremos 0,24× 3/4 = 0,18 m3.</p><p>18. O paralelepípedo de 12 cm×23 cm×15 cm tem 120×230×150 = 4.140.000 mm3.</p><p>19. A caixa-d'água de 210.000 L tem consumo médio diário de 4/5, que valem</p><p>4/5 × 210.000 = 168.000 L. Esse consumo em metros cúbicos é</p><p>(168.000 : 1.000) m3 = 168 m3. Em um mês serão (168× 30) m3 = 5.040 m3.</p><p>20. O grupo de professores que consome 1.500 mL de jacuba por refeição em uma</p><p>semana com almoço e jantar consumirão 1.500× 7× 2 = 21.000 mL ou 21 L, que</p><p>valem por 21 dm3.</p><p>21. a) 9 dm3 = 9 L.</p><p>b) 261,49 L = 261,49 dm3.</p><p>c) 25 m3 = 25× 1.000 L = 25.000 L.</p><p>d) 216 mm3 = 216× 0,000001 dm3 = 0,000216 dm3 = 0,000216 L.</p><p>e) 425 L = 425 dm3 = 425× 10002 dm3 = 425.000.000 mm3.</p><p>22. Se a lata tem 350 mL (1 mL = 10−3 L = 10−3 dm3 = 10−3 × 1.0002 mm3 =</p><p>10−3+6 mm3 = 103 mm3 = 1.000 mm3 = 1 cm3):</p><p>a) tem 350 cm3.</p><p>b) sua capacidade em litros é 0,350 L.</p><p>23. Para preparar uma jarra de jacuba utiliza-se 500 mL de suco concentrado</p><p>juntando 2.500 mL (2,5 L) de água, totalizando 500 + 2.500 = 3.000 mL.</p><p>Dividindo 3.000 mL em 15 copos de mesma capacidade teremos 3.000 : 15 = 200</p><p>copos.</p><p>24. a) 1 L de água tem 1 dm3 que vale por 10× 10× 10 = 1.000 cm3.</p><p>b) cada 1 cm3 de água equivale a 1 mL, que representa (1/1.000) L.</p><p>c) em 1 m3 de água cabem 1.000 dm3, que vale 1.000 L.</p><p>25. Se 1,25 kg de batatas custam R$ 2,00, então 0,25 kg (1/5 do total) custarão</p><p>R$ 0,40 e 1 kg (4× 0,25 kg) custará 4× 0,40 reais, ou seja R$ 1,60. Como 1,75</p><p>tonelada equivale a (1,75×1.000) kg = 1.750 kg, o custo total será 1.750×1,60 =</p><p>R$ 2.800,00.</p><p>OSTENSIVO -8-99- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>26. Um pacote de queijo com 750 g custa R$ 7,50. Logo, 10 g custam R$ 0,75 e 1 kg</p><p>custa 0,75× 100 = 75,00 reais. Como 0,25 toneladas são 0,25× 1.000 = 250 kg,</p><p>o custo total será 250× 75 = 18.750,00 reais.</p><p>27. Se o pacote com 5 kg custa R$ 15,90, então 1 kg custa R$ 3,18. Assim 25 kg</p><p>devem custar R$ 79,50.</p><p>28. a) 8 kg = (8× 1.000) g = 8.000 g.</p><p>b) 14,5 kg = (14,5× 1.000) g = 14.500 g.</p><p>c) 3,705 hg = (3,075× 100) g = 307,5 g.</p><p>d) 12,75 dag = (12,75× 10) g = 127,5 g.</p><p>e) 3,75 g = (3,75× 100) cg = 375 cg.</p><p>29. Se já foram destinados 2/3 de um carregamento, falta distribuir 1/3 de 2,76 =</p><p>1/3× 2,76× 1.000 = 920 kg.</p><p>30. Se um litro de óleo diesel tem 0,850 kg (850 g), e a fragata é carregada com 3.700</p><p>toneladas de diesel com essa densidade, serão 3.700 × 1.000 = 3.700.000 kg. O</p><p>total de litros de diesel será 3.700.000 : 0,850 ≈ 4.352.941,18 L.</p><p>31. Se a lata tem peso �bruto� 3,1 kg para 2,0 kg �líquido�, ao utilizar 39,40 kg de</p><p>milho usaremos o conteúdo de (39,40 : 2,0) = 19,7 embalagens. Isso equivale</p><p>a (19,7 × 3,1) kg = 61,07 kg de peso bruto total e (61,07 : 3,1 = 19,7) ≈</p><p>20 embalagens.</p><p>32. Um kg de pão tem 20 ou 25 pães e a EAMES tinha 8 pelotões com 26 alunos</p><p>cada.</p><p>a) Um pão terá no máximo (1.000 : 20) g = 50 g. um pão terá no mínimo</p><p>(1.000 : 25) g = 40 g.</p><p>b) Considerando 1,5 pão por aluno no café da manhã, a</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11</p><p>2.2 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12</p><p>2.3 Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13</p><p>2.4 Multiplicação de números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14</p><p>2.5 Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>2.6 Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>2.7 Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17</p><p>2.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>Capítulo 3 - Conjunto dos números racionais 21</p><p>3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21</p><p>3.2 Adição e subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23</p><p>3.3 Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>OSTENSIVO -IX- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>3.4 Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26</p><p>3.5 Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28</p><p>3.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29</p><p>Capítulo 4 - Conjunto dos números reais 31</p><p>4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31</p><p>4.2 Adição e subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34</p><p>4.3 Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35</p><p>4.4 Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36</p><p>4.5 Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36</p><p>4.6 Dízimas periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38</p><p>4.7 Números irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39</p><p>4.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41</p><p>Capítulo 5 - Unidades de medida do Sistema Métrico Decimal 45</p><p>5.1 Medidas de comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45</p><p>5.2 Medidas de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46</p><p>5.3 Medidas de superfície ou área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47</p><p>5.4 Medidas de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49</p><p>5.5 Medida de capacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50</p><p>5.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51</p><p>Capítulo 6 - Unidades de medidas inglesas 59</p><p>6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59</p><p>6.2 Medidas de comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59</p><p>6.3 Medida de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60</p><p>6.4 Medida de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60</p><p>6.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60</p><p>Capítulo 7 - Exercícios complementares 65</p><p>7.1 Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65</p><p>7.2 Sistemas de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73</p><p>Capítulo 8 - Resolução dos Exercícios 83</p><p>8.1 Capítulo 1 - Conjunto dos números naturais . . . . . . . . . . . . . . . 83</p><p>8.2 Capítulo 2 - Conjunto dos números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . 89</p><p>8.3 Capítulo 3 - Conjunto dos números racionais . . . . . . . . . . . . . . . 91</p><p>8.4 Capítulo 4 - Conjunto dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . 92</p><p>8.5 Capítulo 5 - Unidades de medida do SMD . . . . . . . . . . . . . . . . 97</p><p>8.6 Capítulo 6 - Sistema de medidas inglesas . . . . . . . . . . . . . . . . . 103</p><p>8.7 Capítulo 7 - Exercícios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104</p><p>8.7.1 7.1 − Construção de signi�cados no emprego de números</p><p>naturais, inteiros, racionais e reais . . . . . . . . . . . . . . . . . 104</p><p>8.7.2 7.2 − Estabelecimento da relação de grandeza e medidas . . . . 114</p><p>OSTENSIVO -X- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Anexo A - Bibliografia A-I</p><p>Anexo B - Índice Remissivo B-I</p><p>OSTENSIVO -XI- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Introdução</p><p>Propósito</p><p>Esta publicação tem o propósito de conteúdos da disciplina de MATEMÁTICA I do</p><p>C-FMN, construindo relações entre conceitos matemáticos e as situações do cotidiano</p><p>do trabalho marinheiro. Além disso, contribui para a padronização do conteúdo</p><p>ministrado pelos Instrutores das EAM.</p><p>Descrição</p><p>Esta publicação está dividida em 8 capítulos.</p><p>Recomendação</p><p>Prioritariamente, essa publicação destina-se à aplicação da disciplina de</p><p>MATEMÁTICA I no C-FMN.</p><p>Classificação</p><p>Esta publicação é classi�cada, de acordo com o EMA-411, Manual de Publicações</p><p>da Marinha, como Publicação da Marinha do Brasil não controlada, ostensiva, didática</p><p>e manual.</p><p>OSTENSIVO -XIII- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Capítulo 1</p><p>Conjunto dos números naturais</p><p>1.1 Introdução</p><p>Os elementos do conjunto dos números naturais satisfazem a necessidade de contar</p><p>individualmente os objetos de determinadas coleções (contagem discreta). Os símbolos</p><p>atualmente utilizados para representar quantidades são originárias da Índia e foram</p><p>levados para a Europa pelos comerciantes do oriente e que são designados genericamente</p><p>por árabes. O último símbolo inventado foi o 0 (zero) e indica que determinado conjunto</p><p>não tem elementos.</p><p>De�nição 1. O conjunto dos números naturais é representado pela letra N e temos:</p><p>N = {0,1,2,3,4,· · ·} .</p><p>Quando representamos o Conjunto dos Naturais não nulos (excluindo o zero)</p><p>colocamos um asterisco (*) ao lado do símbolo: N∗ = {1,2,3,4, · · ·}. No caso desse</p><p>conjunto as reticências indicam a possibilidade de abreviar a escrita dos próximos</p><p>elementos, ou seja:</p><p>N = {0,1,2,3, · · ·} = {0,1,2,3,4, · · ·} .</p><p>Com exceção do zero, todo número natural tem um antecessor, que é uma unidade</p><p>menor que o antecedido. O antecessor do número natural n é (n − 1). Todo número</p><p>natural tem um sucessor, que é uma unidade maior que o sucedido. O sucessor do</p><p>número natural n é (n + 1). Pelo fato de todo número natural ter sucessor, dizemos</p><p>que N é um conjunto in�nito.</p><p>Dois subconjuntos importantes do conjunto N são:</p><p>� Conjunto dos Números Naturais Pares = {0, 2, 4, 6, · · ·}.</p><p>� Conjunto dos Números Naturais Ímpares = {1, 3, 5, 7, 9, · · ·}.</p><p>Um número natural par é escrito na forma 2n, onde n também é natural. Um</p><p>número natural ímpar é escrito na forma (2n + 1), onde n também é natural. Além</p><p>de servir para para contar quantidades inteiras, os números naturais servem para</p><p>determinar a ordem dos elementos de um conjunto ordenado.</p><p>Entre dois números naturais nem sempre é possível encontrar um número natural.</p><p>OSTENSIVO -1-1- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Axioma 1.1.1. Se m e n são dois números naturais, uma e exatamente uma das</p><p>a�rmações é verdadeira:</p><p>(1) m < n;</p><p>(2) m = n;</p><p>(3) m > n.</p><p>Para representar os números naturais sobre uma linha, primeiramente traçamos</p><p>uma semi-reta e escolhemos uma unidade de medida para dividir a linha reta, conforme</p><p>�gura abaixo (�gura 1.1):</p><p>0 1</p><p>unidade</p><p>Figura 1.1: Representação grá�ca da unidade natural.</p><p>Em seguida, estabelecemos o sentido crescente para percorrer a reta e, assim,</p><p>criamos um eixo para o conjunto N. Veja as �guras abaixo:</p><p>0 1 2</p><p>2 unidades</p><p>0 1 4</p><p>4 unidades</p><p>Figura 1.2: Representação grá�ca de duas e quatro unidades</p><p>1.2 Adição</p><p>De�nição 2. Chamamos de parcelas os termos operados em uma adição</p><p>(representada pelo símbolo �+�), cujo resultado é denominado soma.</p><p>Na representação S = a + b, os elementos a e b são as parcelas e S é a soma. Na</p><p>operação 3 + 4 = 7, as parcelas são 3 e 4. A soma é 7.</p><p>A adição é uma operação comutativa, ou seja, ordem das parcelas não altera a</p><p>soma:</p><p>a+ b = b+ a.</p><p>Na operação 3 + 4 = 7, o resultado será o mesmo se �zermos 4 + 3. Assim,</p><p>3 + 4 = 7 = 4 + 3.</p><p>OSTENSIVO -1-2- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>O zero é elemento neutro da adição, ou seja, o zero adicionado a um número a</p><p>resulta nesse número, ou seja: 0 + a = a+ 0 = a. Como exemplo,</p><p>quantidade mínima de</p><p>pães deve ser 1,5× 8× 26 = 312 pães.</p><p>c) O kg do pão custa R$ 14,90. No caso de 20 pães por kg, teremos (14,90 :</p><p>20) = R$ 0,745 por pão. Logo, (0,745 × 312) = R$232,44. No outro caso</p><p>serão (14,90 : 25) = R$ 0,596 por pão e, consequentemente, (0,596 × 312) =</p><p>R$ 185,95.</p><p>33. O carro-pipa tem 8.000 L de capacidade.</p><p>a) A cisterna tem (6× 7,5× 2) m3 = 90 m3.</p><p>b) Ela pode armazenar 90.000 L ou 90.000 kg ou 90 toneladas de água.</p><p>c) A capacidade máxima da cisterna de 90 m3 é 90.000 L.</p><p>OSTENSIVO -8-100- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>34. A cisterna tem (6× 7,8× 2) m3 = 93,6 m3 ou (93,6× 1.000) L = 93.600 L. Para</p><p>abastecer necessita-se de (93.600 : 8.000) = 11,7 ou seja, 12 carros pipa.</p><p>35. O degrau tem (10 × 5 × 4) dm3 = 200 dm3. Como são 25 degraus, gasta-se</p><p>(25× 200) dm3 = 5.000 dm3.</p><p>36. O estoque embalado em caixas cúbicas de aresta 40 cm e são (6+3+1) = 10 caixas</p><p>de 0,40 m de aresta temos 10×(0,40×0,40×0,40) m3 = (10×0,064) m3 = 0,64 m3.</p><p>37. Os paralelepípedos e os cubos têm o mesmo volume e o chocolate de formato</p><p>cúbico tem o valor da aresta desconhecido. Chamando a aresta desconhecida de</p><p>x, temos x× x× x = 3× 8× 9. Logo, x3 = 3× 23 × 32. Assim, x =</p><p>(</p><p>3</p><p>√</p><p>23.33</p><p>)</p><p>e</p><p>x = 6 cm.</p><p>0,5 m</p><p>25 cm</p><p>3 dm</p><p>Figura 8.2: Figura da resolução do exercício 38</p><p>38. A camada com 60 mm (6 cm) é menor que a altura do paralelepípedo. Ao</p><p>colocarmos a areia no aquário a mesma irá ao fundo (�gura 8.2) e seu volume</p><p>será igual a (60× 300× 500) mm3 = 9.000.000 mm3.</p><p>39. Os 48 L divididos em 24 partes resulta em 2 L para cada parte.</p><p>a) Duas partes dessa capacidade para a reserva são 2× 2 = 4 L.</p><p>b) Se considerarmos consumo de 12 km/L pode-se percorrer (4× 12) L = 48 km</p><p>no trânsito urbano com o combustível de reserva.</p><p>OSTENSIVO -8-101- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>X</p><p>A B</p><p>C</p><p>D Y</p><p>Figura 8.3: Figura da resolu�oão do exercício 40</p><p>40. Cada quadra no mapa é quadrada de lado 200 m. Desconsiderando a largura</p><p>das ruas o trajeto a seguir pelo ônibus é a linha XABCDY (�gura 8.3 acima).</p><p>O total do deslocamento será (5 × 200) m = 1.000 m ou 1 km. Como o veículo</p><p>gasta 1 h em velocidade constante para percorrer 40 km, o veículo necessitará de</p><p>(1 : 40) h = 60× (1 : 40) min = 1,5 min.</p><p>41. 3,3 m3 de água por mês.</p><p>a) Esse total expresso litros é (3,3× 1.000) L = 3.300 L.</p><p>b) Considerando o mês de 30 dias, o consumo diário por pessoa corresponde a</p><p>(3.300 : 30) = 110 L/dia.</p><p>42. O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma. Um campo</p><p>de futebol tem (120 × 90) m2 = 10.800 m2 = 0,010800 km2. O bioma do</p><p>Pantanal tem 150.355 km2, que corresponde ao quociente 150.355 : 0,0108 =</p><p>13.921.759,259259259 . . ., aproximadamente 13.921.760 campos.</p><p>43. As duas peças metálicas cúbicas serão derretidas para originar uma nova peça. O</p><p>volume desta será a soma dos volumes das outras duas: (4×4×4+8×8×8) cm3 =</p><p>576 cm3.</p><p>44. a) A piscina olímpica tem (50× 2,5× 25) m3 = 3.125 m3.</p><p>b) A quantidade máxima de litros que a piscina suporta é (3.125 × 1.000) =</p><p>3.125.000 L.</p><p>45. A máquina de envasar refrigerantes é capaz de encher 150 garrafas de 2 L a</p><p>cada minuto, que resulta em 150 × 60 = 9.000 garrafas por hora. Funcionando</p><p>ininterruptamente durante 8 horas por dia temos 9.000 × 8 = 72.000 garrafas.</p><p>Para atender à encomenda de 198.000 garrafas serão necessárias (198.000 :</p><p>72.000) = 2,75 dias funcionando 8 h ao dia. Ou seja, a produção encerrará</p><p>entre o segundo e o terceiro dia. Como 2,75 d equivale a 2 d + 0,75× 8 h = 2 d</p><p>+ 6 h de expediente. Resumindo, a encomenda estará completa às 14 h do dia</p><p>12.</p><p>OSTENSIVO -8-102- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>46. A meia-vida dessa substância é 6 horas. Inicialmente o paciente toma 800 mg.</p><p>Após 6 horas ela se reduzirá à metade e teremos outra dose, �cando (400 +</p><p>800) mg = 1.200 mg. Após mais 6 h teremos (600 + 800) mg = 1.400 mg. Mais</p><p>6 h (totalizando 18 h) temos (700 + 800) mg = 1.500 mg. Com 24 h temos</p><p>(750 + 800) mg = 1.550 mg. A intoxicação ocorrerá com 24 h.</p><p>8.6 Capítulo 6 - Sistema de medidas inglesas</p><p>1. 10 yd = (10× 0,91) m = 9,1 m.</p><p>2. Uma jarda vale por 91,44 cm e cada polegada equivale a 2,54 cm. Assim,</p><p>91,44 : 2,54 = 36 polegadas (36 in).</p><p>3. 35,4 nós = 35,4 mi/h = (35,4× 1,852) km h−1 = 65,5608 km h−1.</p><p>4. 1/2 polegada = (25,4 : 2) mm = 12,7 mm.</p><p>5. 3.500 pés = (3.500× 30,48) cm = 106.680 cm = 1.066,80 m.</p><p>6. a) 3 yd + 40 ft + 32 in = (3 × 91,44 + 40 × 30,48 + 32 × 2,54) cm = (274,32 +</p><p>1.219,2 + 81,28) cm = 1.574,8 cm.</p><p>b) 11 ft− 5 in = (11× 30,48− 5× 2,54) cm = (335,28− 12,7) cm = 322,58 cm.</p><p>c) 15 yd+ 21 ft− 8 yd = 15 yd− 8 yd+ 21 ft = 7 yd+ 21 ft = 7 yd+ 7 yd =</p><p>(14× 91,44) cm = 1.280,16 cm.</p><p>d) 8 yd + 2 ft + 11 in = (8 × 91,44 + 2 × 30,48 + 11 × 2,54) cm = (731,52 +</p><p>60,96 + 27,94) cm = 820,42 cm.</p><p>e) 18 ft− 6 yd = (18× 30,48− 6× 91,44) cm = (548,64− 548,64) cm = 0 cm.</p><p>f) 40 ft+50 in = (40×30,48+50×2,54) cm = (1.219,2+127) cm = 1.346,2 cm</p><p>7. 1 lb = 0,45 kg = (0,45 × 1.000) g = 450 g; 1 oz = 0,02833 kg = (0,02833 ×</p><p>1.000) g = 28,33 g.</p><p>a) 4 lb + 6 oz = (4× 450 + 6× 28,33) g = (1.800 + 169,98) g = 1.969,98 g.</p><p>b) 5,4 lb−1,4 oz = (5,4×450−1,4×28,33) g = (2.430−39,662) g = 2.390,338 g.</p><p>c) 0,45 lb + 2,45 oz = (0,45 × 450 + 2,45 × 28,33) g = (202,5 + 69,4085) g =</p><p>271,9085 g.</p><p>d) 12,45 lb = (12,45× 450) g = 5.602,5 g.</p><p>8. 2.500,72 mi = (2.500,72× 1,609) km = 4.023,65848 km ≈ 4.023,66 km.</p><p>9. 2,5 yd+ 20 ft+ 45 in = (2,5× 0,9144 + 20× 0,3048 + 45× 0,0254) m = (2,286 +</p><p>6,096 + 1,143) m = 9,525 m = 0,009525 km.</p><p>10. a) 74 mi = (74× 1,609) km = 119,066 km ≈ 119,07 km ≈ 119,8 km ≈ 120 km.</p><p>OSTENSIVO -8-103- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>b) 92,8 mi = (92,8× 1,609) km = 149,3152 km ≈ 149,32 km.</p><p>11. 1 fl oz = 2,95 cL = 29,5 mL. Logo, (355 : 29,5) fl oz ≈ 12,03389831 fl oz ≈</p><p>12,034fl oz ≈ 12,03 fl oz.</p><p>12. Da meia-noite às seis horas da manhã são 6 h × 3.600 s = 21.600 s. Como</p><p>foi uma gota a cada três segundos, teremos um total de 21.600 : 3 = 7.200</p><p>gotas, que correponderá a (7.200 × 0,2) mL = 1.440 mL = (1.440 : 29,5)fl oz ≈</p><p>48,81355932fl oz ≈ 48,81fl oz.</p><p>13. 8 ha = 8 hm2 = (8 × 10.000) m2 = 80.000 m2 = (80 × 1,093612) yd2 = (80 ×</p><p>1,195982832) yd2 ≈ 95,67862657 yd2 ≈ 95,68 yd2.</p><p>14. Como o livro mede 28 cm e a lousa mede 13,5 livros, a lousa medirá (13,5 ×</p><p>28) cm = 378 cm. Como foram necessários 20 lápis para medir a lousa, cada</p><p>lápis medirá (378 : 20) cm = 18,9 cm = (18,9 : 2,54) in ≈ 7,440944882 in ≈</p><p>7,441 in ≈ 7 in.</p><p>15. Como cada quadrado possui 1 hectare e o terreno possui 12 quadrados, o terreno</p><p>possuirá 12 hectares. Como 1 hectare é equivalente a (100×100) m2 = 10.000 m2,</p><p>teremos que 12 ha = (12×10.000) m2 = 120.000 m2 e o valor do metro quadrado</p><p>será R$ 3.600.000 : 120.000 m2 = 30 R$/m2.</p><p>16. Como 1 MN = 1.852 m, então</p><p>1 m2 =</p><p>1</p><p>1.8522</p><p>MN2.</p><p>Assim,</p><p>E = 0,242× 10−6 cd/m2 = 0,242× 10−6</p><p>cd</p><p>1</p><p>1.8522</p><p>MN2</p><p>=</p><p>= 0,242× 10−6 × 1.8522 cd/MN2 =</p><p>= 0,830036768 cd/MN2.</p><p>17. A produtividade do capim é quatro vezes a do eucalipto e um ciclo do eucalipto</p><p>(6 anos) corresponde a doze do capim (6 anos× 2 = 12 meses). Assim, a área S</p><p>pedida é 4× 12 = 48 R.</p><p>8.7 Capítulo 7 - Exercícios complementares</p><p>8.7.1 7.1 − Construção de significados no emprego de números</p><p>naturais, inteiros, racionais e reais</p><p>1.</p><p>OSTENSIVO -8-104- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>−20 −60</p><p>Multiplique</p><p>por (−3)</p><p>12</p><p>Divida</p><p>por (−5)</p><p>4</p><p>SuBtraia</p><p>8</p><p>8</p><p>Some</p><p>4</p><p>Figura 8.4: Figura da resolução do exercício 1</p><p>2. A metade de 22.014 é 22.014 : 2 = 22.014−1 = 22.013.</p><p>3. �A� é o conjunto dos números inteiros positivos múltiplos de 3:</p><p>A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, · · · } .</p><p>�B� é o conjunto dos números inteiros positivos múltiplos de 5:</p><p>B = {5, 10, 15, 20, 25, 30, · · · }</p><p>�C� é o conjunto dos números inteiros positivos múltiplos de 12:</p><p>C = {12, 24, 36, 48, 60, 72, · · · }</p><p>�D� é o conjunto dos números inteiros comuns aos três conjuntos. �D� é formado</p><p>por múltiplos positivos de 3, 5 e 12. Logo, �D� é formado por múltiplos positivos</p><p>de 60:</p><p>D = {60, 120, 180, · · · }</p><p>Logo, o menor elemento não nulo que pertence a �D� é 60.</p><p>4. 5− 3 + 2× 4− 1 = 5− 3 + 8− 1 = 9.</p><p>5. A sequência 1234543212345432 . . . tem um padrão de repetição:</p><p>1234543212345432 . .</p><p>., ou seja, seus elementos se repetem de oito em oito</p><p>dígitos. Como 2.007 = 250 × 8 + 7, então o 2.007º dígito será o 7º dígito da</p><p>sequência (12345432), ou seja, o dígito é 3.</p><p>6. 80,666... − 90,5 = 82/3 − 91/2 =</p><p>3</p><p>√</p><p>82 −</p><p>√</p><p>9 = 4− 3 = 1.</p><p>Solução alternativa: 80,666...−90,5 = (23)</p><p>2/3−(32)</p><p>1/2</p><p>= 23×2/3−32×1/2 = 22−31 =</p><p>1.</p><p>7. 360 = 23 × 32 × 5. Logo os divisores ímpares são: 1, 3, 9, 5, 15 e 45, num total</p><p>de 6 divisores.</p><p>8. 517× 49 = 517× 218 = 517× 217× 2 = (5× 2)17× 2 = 2× 1017 = 2 00 · · · 00︸ ︷︷ ︸</p><p>17 zeros</p><p>. Logo</p><p>são 18 algarismos.</p><p>9. O dia em que todas as cortadeiras são desativadas ao mesmo tempo é um múltiplo</p><p>comum de 80, 100, 120 e 150. O primeiro em questão é 1.200. Logo, o ciclo em</p><p>que ocorre o �Dia do Reparo� é de 1.200 em 1.200 dias. Como em 20 anos temos</p><p>20× 360 = 7.200 dias, então ocorrerão 7.200 : 1.200 = 6 �Dias do Reparo�.</p><p>OSTENSIVO -8-105- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>10. Cada página termina com um selo numerado com um múltiplo de 15 e cada selo</p><p>raro é numerado com um múltiplo de 9. Logo, para que a última página termine</p><p>com um selo raro, deverá ser enumerada com um múltiplo de 45, isto é, receber</p><p>as numerações 45, 90, 135, 180, 225, 270. A última página com um selo raro terá</p><p>o selo de número 270, logo, na página 270 : 15 = 18.</p><p>11. Para o processo a partir de uma célula, o número de células segue a seguinte</p><p>sequencia: 20, 21, 22, 23, . . . . Num tempo t, temos que a quantidade de células é</p><p>2t. Logo, a quantidade de células X depois de 100 horas será X = 2100. Para o</p><p>processo a partir de duas células, o número de células segue a seguinte sequencia:</p><p>21, 22, 23, . . .. Num tempo t, temos que a quantidade de células é 2t+1. Logo, o</p><p>tempo para que o número de células seja X será 2t+1 = 2100, o que nos leva a t</p><p>= 99 horas.</p><p>12. Para a padaria produzir 800 pães gasta-se 12 litros de leite. Se aumentar 25% a</p><p>quantidade de leite serão (0,25×12) L = 3 L, o que implica em 3×2,5 = R$ 7,50</p><p>a mais.</p><p>13. Partindo às 21:45 h com duração de 13:45 h, o voo chegará às</p><p>21:45 h + 13:45 h = 34:90 h = 35:30 h = 24:00 h + 11:30 h, isto é, às 11:30 h</p><p>do dia seguinte. Como é horário de verão, o rel�gio avança uma hora, ou seja, o</p><p>avião chegou às 12 horas e 30 min do dia 17.</p><p>14. São 3 vagões com capacidade de 40 passageiros cada. São 3 × 40 = 120 lugares</p><p>ao todo; Se o trem está com 2/8 = 1/4 da capacidade disponível, está com</p><p>6/8 = 3/4 de ocupação; O total de passageiros é 120× 3/4 = 90; Se são 2/3 de</p><p>passageiros do sexo masculino temos 1/3 do sexo feminino. Logo, 90×(1/3) = 30</p><p>passageiras.</p><p>Solução alternativa:</p><p>Teremos</p><p>(</p><p>1− 2</p><p>3</p><p>)</p><p>×</p><p>(</p><p>1− 1</p><p>4</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>× 3</p><p>4</p><p>=</p><p>1</p><p>4</p><p>de passageiras no trem, ou seja,</p><p>1</p><p>4</p><p>× 120 = 30 passageiras.</p><p>15. Qualquer que seja a ordem de vitórias ou derrotas a quantidade de pontos ao</p><p>�nal será a mesma. Se no início da partida tiver Q pontos e se perder duas e</p><p>ganhar duas partidas, nesta ordem por exemplo, ele terá, ao �nal, Q − Q/2 ⇒</p><p>Q/2−Q/4⇒ Q/4 +Q/8⇒ 3Q/8 + 3Q/16 = 9Q/16 pontos.</p><p>16. y =</p><p>2</p><p>5</p><p>× 2 + 5× 3</p><p>2</p><p>− 1</p><p>2</p><p>× 2 =</p><p>4</p><p>5</p><p>+</p><p>15</p><p>2</p><p>− 1 =</p><p>8</p><p>10</p><p>+</p><p>75</p><p>10</p><p>− 10</p><p>10</p><p>=</p><p>73</p><p>10</p><p>.</p><p>17. Cacá retirou 4/7, restando 1 − 4</p><p>7</p><p>=</p><p>3</p><p>7</p><p>das balas. Juju retirou 8/9 do total que</p><p>restou no pacote, isto é, 8/9 de 3/7, que é</p><p>8</p><p>9</p><p>× 3</p><p>7</p><p>=</p><p>8</p><p>21</p><p>, sobrando</p><p>3</p><p>7</p><p>− 8</p><p>21</p><p>=</p><p>1</p><p>21</p><p>que são 6 balas. Logo o total de balas no pacote é 21× 6 = 126.</p><p>OSTENSIVO -8-106- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>18. Um deles tirou para si metade dos bombons da caixa, �cando 1− 1</p><p>2</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>; O outro</p><p>menino tirou metade dos bombons que encontrou na caixa, isto é, ele retirou 1/2</p><p>da 1/2 =</p><p>1</p><p>2</p><p>× 1</p><p>2</p><p>=</p><p>1</p><p>4</p><p>dos bombons, restando:</p><p>1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>4</p><p>=</p><p>1</p><p>4</p><p>, que representa 10</p><p>bombons. Logo, a caixa inteira tinha 4× 10 = 40 bombons.</p><p>19.</p><p>√</p><p>75 =</p><p>√</p><p>3× 52 = 5</p><p>√</p><p>3. Letra (E).</p><p>20. xy = 3.200.000× 0,00002 = 32× 105 × 2× 10−5 = 64.</p><p>21.</p><p>(√</p><p>3−</p><p>√</p><p>2</p><p>)</p><p>·</p><p>(√</p><p>3 +</p><p>√</p><p>2</p><p>)</p><p>=</p><p>(√</p><p>3</p><p>)2 − (√2</p><p>)2</p><p>= 3− 2 = 1.</p><p>22. A =</p><p>√√</p><p>6− 2 ·</p><p>√</p><p>2 +</p><p>√</p><p>6 =</p><p>√</p><p>6− 4 =</p><p>√</p><p>2. Logo, A2 = 2.</p><p>23.</p><p>3</p><p>√</p><p>(25 · 10−6) · 0,000075</p><p>10</p><p>:</p><p>[</p><p>5 3</p><p>√</p><p>1,5</p><p>104</p><p>]</p><p>· (−0,0010)0 =</p><p>=</p><p>3</p><p>√</p><p>(25× 10−6)× 75× 10−6</p><p>10</p><p>:</p><p>5 3</p><p>√</p><p>15</p><p>10</p><p>104</p><p>× 1 =</p><p>=</p><p>3</p><p>√</p><p>52 × 3× 52</p><p>1013</p><p>:</p><p>5 3</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>104</p><p>=</p><p>3</p><p>√</p><p>52 × 3× 52</p><p>213 × 513</p><p>× 104</p><p>5 3</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>=</p><p>= 3</p><p>√</p><p>3</p><p>2× 212 × 59</p><p>× 104</p><p>5 3</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>=</p><p>1</p><p>24 × 53</p><p>× 3</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>× 104</p><p>5 3</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>= 1.</p><p>24. (a) A subtração de um número natural por outro número natural é sempre um</p><p>número natural. Falso, pois 3− 4 = −1 ∈ Z</p><p>(b) A soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Verdadeiro,</p><p>pois Z é fechado em relação à soma.</p><p>(c) A divisão de um número racional por outro número racional não nulo é</p><p>sempre um número racional. Verdadeiro, pois a divisão em Q pode ser</p><p>entendida como sendo a multiplicação pelo inverso e Q é fechado em relação</p><p>à multiplicação.</p><p>(d) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. Falso,</p><p>por exemplo, π + (−π) = 0 ∈ Q.</p><p>OSTENSIVO -8-107- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>(e) A soma de um número racional com um número irracional é sempre um</p><p>número irracional. Verdadeiro.</p><p>Três a�rmativas verdadeiras.</p><p>25.</p><p>√</p><p>3 + 1√</p><p>3− 1</p><p>+</p><p>√</p><p>3− 1√</p><p>3 + 1</p><p>=</p><p>(√</p><p>3 + 1</p><p>) (√</p><p>3 + 1</p><p>)(√</p><p>3− 1</p><p>) (√</p><p>3 + 1</p><p>) +</p><p>(√</p><p>3− 1</p><p>) (√</p><p>3− 1</p><p>)(√</p><p>3 + 1</p><p>) (√</p><p>3− 1</p><p>) =</p><p>=</p><p>3 + 2</p><p>√</p><p>3 + 1 + 3− 2</p><p>√</p><p>3 + 1</p><p>3− 1</p><p>= 4.</p><p>26. A variação de temperatura entre o interior e o exterior é de 28−(−11) = 39 graus.</p><p>E a variação de temperatura entre o exterior e o interior é de −11 − 28 = −39</p><p>graus.</p><p>27. Eu e quatro colegas dividimos a conta, logo, dividimos por 5 pessoas: 140 : 5 =</p><p>28. Como sobraram 32 para mim, eu tinha 28 + 32 = 60 reais.</p><p>28. Numa divisão inteira, o resto é menor que o dividendo. Como o dividendo é 122</p><p>e o resto é o maior possível, o resto será 121. Logo dividendo = 122× 54 + 121 =</p><p>6.709.</p><p>29. Vamos chamar de x o número de balas do menino e de y o da menina; Inicialmente</p><p>eles tinham, juntos, 23 bombons, isto é, x + y = 23. Se ele comesse 3 e desse 2</p><p>a ela, ele �caria com x− 2− 3 = x− 5 e ela, com y + 2. E, então, �cariam com</p><p>a mesma quantidade, isto é, x − 2 − 3 = y + 2, formando o seguinte sistema de</p><p>equações:</p><p>x+ y = 23 (8.8)</p><p>x− 5 = y + 2. (8.9)</p><p>Fazendo (8.8) - (8.9) temos y + 5 = 21− y. Logo, temos y = 8 e x = 15.</p><p>Solução alternativa:</p><p>Como o menino come três bombons e dá dois, existe uma diferença de 5 unidades.</p><p>Fazendo 23−5 = 18 ainda resta uma diferença de dois bombons a mais em relação</p><p>à menina. Essa diferença é eliminada fazendo 18−2 = 16, o que resulta no dobro</p><p>da menor parte. Assim 16 : 2 = 8 é a menor parte. Como o total de bombons é</p><p>23, a maior parte inicial era 23− 8 = 15 bombons.</p><p>Outra solução alternativa:</p><p>23 + 5 = 28⇒ 28 + 2 = 30, que é o dobro da parte maior, que vale 30 : 2 = 15.</p><p>A parte menor será 23− 15 = 8.</p><p>OSTENSIVO -8-108- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>30. As três juntas possuem 2.750 reais, isto é, A+B+C = 2.750. Como Beatriz tem</p><p>R$ 150,00 a mais do que Carla (B = C + 150) e Ana possui R$ 200,00 a mais</p><p>que Beatriz (A = B + 200), Ana tem 150 + 200 = 350 reais a mais que Carla</p><p>(A = C + 350). Logo, A + B + C = (C + 350) + (C + 150) + C = 3C + 500</p><p>e, então, 3C + 500 = 2.750. Logo, Carla possui R$ 750,00, Beatriz, R$ 900,00 e</p><p>Ana, R$ 1.100,00.</p><p>Solução alternativa:</p><p>As três juntas formam R$ 2.750,00 Fazendo 2.750 − 150 = 2.600 (Beatriz tem</p><p>150 reais a mais que Carla) e 2.600 − 350 = 2.250 (Ana tem 350 a mais que</p><p>Carla), temos o triplo da menor parte, que é R$ 2.250 : 3 = R$ 750,00. A parte</p><p>de Beatriz é R$ 750 + 150 = R$ 900,00. A parte de Ana é R$ 900 + 200 =</p><p>R$ 1.00,00.</p><p>31.</p><p>(−1)6×2.013 − (−1)2.013−3 + (−1)5×2.013 − (−1)2.013+3 − (−1)4×2.013−</p><p>− (−1)2×2013 =</p><p>=</p><p>[</p><p>(−1)6</p><p>]2.013− (−1)2.010 +</p><p>[</p><p>(−1)5</p><p>]2.013− (−1)2.016−</p><p>[</p><p>(−1)4</p><p>]2.013−[(−1)2</p><p>]2013</p><p>=</p><p>= 1− 1 + (−1)− 1− 1− 1 = −4.</p><p>32. (</p><p>2103 + 2102 + 2101 − 2100</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>2100+3 + 2100+2 + 2100+1 − 2100+0</p><p>)</p><p>=</p><p>=</p><p>(</p><p>2100 × 23 + 2100 × 22 + 2100 × 21 − 2100 × 20</p><p>)</p><p>= 2100</p><p>(</p><p>23 + 22 + 21 − 20</p><p>)</p><p>=</p><p>= 2100 (8 + 4 + 2− 1) = 13× 2100.</p><p>Resposta: (E).</p><p>33. Por de�nição</p><p>√</p><p>x2 = |x|. Logo,</p><p>√</p><p>5−</p><p>√(</p><p>2−</p><p>√</p><p>5</p><p>)2</p><p>+</p><p>√</p><p>25 =</p><p>√</p><p>5−</p><p>∣∣2−√5</p><p>∣∣+√25 =</p><p>√</p><p>5−</p><p>(√</p><p>5− 2</p><p>)</p><p>+</p><p>√</p><p>25 = 7. Podemos ver também que</p><p>(</p><p>2−</p><p>√</p><p>5</p><p>)2</p><p>= 4−4</p><p>√</p><p>5+5 =</p><p>5− 4</p><p>√</p><p>5 + 4 =</p><p>(√</p><p>5− 2</p><p>)2</p><p>. Observamos que</p><p>√(</p><p>2−</p><p>√</p><p>5</p><p>)2 6= 2−</p><p>√</p><p>5, uma vez que</p><p>√</p><p>x > 0,∀x ∈ R+ e 2−</p><p>√</p><p>5 < 0. Logo, a propriedade de potenciação não pode</p><p>ser aplicada diretamente.</p><p>34. (F) 9,1234 = 9,12341234 . . . < 9,1234444 . . . = 9,1234.</p><p>(F) 222221</p><p>222223</p><p>< 555550</p><p>555555</p><p>⇔ 222221</p><p>222223</p><p>< 111110</p><p>111111</p><p>⇔ 111111</p><p>111110</p><p>< 222223</p><p>222221</p><p>⇔ 1 + 1</p><p>111110</p><p>< 1 +</p><p>2</p><p>222221</p><p>⇔ 2</p><p>222220</p><p>< 2</p><p>222221</p><p>⇔ 222221</p><p>2</p><p>< 222220</p><p>2</p><p>⇔ 222221 < 222220.</p><p>Solução alternativa:</p><p>222221</p><p>222223</p><p>< 111110</p><p>111111</p><p>⇔ 222221×111111 < 111110×222223⇔ (2× 111111− 1)×</p><p>111111 < (111111− 1)× (2× 111111 + 1)⇔ 2×1111112−111111 < 2×</p><p>OSTENSIVO -8-109- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>1111112−2×111111+111111−1⇔ 2×1111112−111111 < 2×1111112−</p><p>111111− 1 ⇔ 0 < −1</p><p>(F)</p><p>√</p><p>0,999 . . . =</p><p>√</p><p>9</p><p>9</p><p>=</p><p>√</p><p>1 = 1 6= 0,333 . . .</p><p>(V) 2</p><p>3√27 = 23 = 8 =</p><p>√</p><p>64 = 640,5.</p><p>35. A divisão inteiro do natural n por 26 resulta que n = 26q + r, com 0 ≤ r < 26.</p><p>Como o resto deve valer o quadrado do quociente, teremos que n = 26q + q2 e</p><p>que 0 ≤ q2 < 26. Assim, 0 ≤ q2 ≤ 25 e 0 ≤ q ≤ 5. Logo, o natural q assume os</p><p>seguintes valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Um total de 6 números:</p><p>q n = 26q + q2</p><p>0 26× 0 + 02 = 0</p><p>1 26× 1 + 12 = 27</p><p>2 26× 2 + 22 = 56</p><p>3 26× 3 + 32 = 87</p><p>4 26× 4 + 42 = 120</p><p>5 26× 5 + 52 = 155</p><p>Tabela 8.3: Cálculo dos valores de n</p><p>36. A soma de x kg do ingrediente A com y kg do ingrediente B é igual a 44.000 g,</p><p>isto é, x+ y = 44 kg; 10 kg do ingrediente A produz o mesmo efeito que 100 kg</p><p>do ingrediente B, isto é, 10x = 100y. Com isso formamos o seguinte sistema de</p><p>equações: 10x− 100y = 0 (8.10)</p><p>x+ y = 44, (8.11)</p><p>cuja solução é y = 4 e x = 40.</p><p>Solução alternativa:</p><p>Como 10 kg do ingrediente A produz o mesmo efeito que 100 kg do ingrediente B,</p><p>signi�ca que 1 kg de ingrediente A produz o mesmo efeito que 10 kg do ingrediente</p><p>B. Assim, juntando A com B, formamos 11 kg. Nesse caso 44 : 11 = 4 kg para</p><p>cada kg de ingrediente. Isso faz termos 4× 1 = 4 kg de A e 4× 10 = 40 kg de B.</p><p>Para cada opção temos:</p><p>(A) yx = 440 = 280 6= 260.</p><p>OSTENSIVO -8-110- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>(B)</p><p>√</p><p>x · y =</p><p>√</p><p>4 · 40 = 4</p><p>√</p><p>10 6= 5</p><p>√</p><p>10.</p><p>(C) 10</p><p>√</p><p>yx =</p><p>10</p><p>√</p><p>440 = 44 = 28 = 256.</p><p>(D) 4</p><p>√</p><p>xy =</p><p>4</p><p>√</p><p>404 = 40 6= 20</p><p>(E)</p><p>√</p><p>y</p><p>x</p><p>=</p><p>√</p><p>4</p><p>40</p><p>= 2</p><p>√</p><p>1</p><p>10</p><p>6= 2</p><p>√</p><p>5</p><p>Logo a única opção verdadeira será (C).</p><p>37.</p><p>5</p><p>7</p><p>= 0,714285714285. . . . O período da dízima possui 6 elementos: 714285. A</p><p>divisão de 2.012 por 6 resulta em: 2.012 = 6 × 335 + 2, isto é, teremos 335</p><p>repetições do período e mais 2 dígitos. Logo a posição 2.012 na dízima será o 1:</p><p>0,</p><p>2.012 dígitos︷ ︸︸ ︷</p><p>714285. . .714285︸ ︷︷ ︸</p><p>335 repetições</p><p>71 4285.</p><p>Logo a soma será 335× (7 + 1 + 4 + 2 + 8 + 5) + (7 + 1) = 335× 28 + 8 = 9.388.</p><p>E o resto da divisão de 9.388 por 23 é 4.</p><p>38. k =</p><p>2(a+b)2</p><p>2(a−b)2</p><p>= 2(a+b)2−(a−b)2 = 2a2+2ab+b2−(a2−2ab+b2) = 24ab = 24×5 = 220 e</p><p>x2 − y2 =</p><p>5</p><p>√</p><p>220 = 24 = 16 ⇒ (x+ y) (x− y) = 16. Como 16 = 16 × 1,</p><p>16 = 8 × 2 ou 16 = 4 × 4, temos que x + y = 16 e x − y = 1, ou x + y = 8 e</p><p>x − y = 2, ou x + y = 4 e x − y = 4 ⇒ x =</p><p>17</p><p>2</p><p>e y =</p><p>15</p><p>2</p><p>, ou x = 5 e y = 3, ou</p><p>x = 4 e y = 0. Como x e y são números naturais não-nulos, temos que x = 5 e</p><p>y = 3. Logo yx − xy = 35 − 53 = 243− 125 = 118 e o algarismo pedido é 8.</p><p>39. Se d = 21, então q = 95 e r = 17. Logo, r + d = 38 ou r + q = 112. E, se</p><p>q = 21, temos que 0 ≤ r = 2012− 21d < d⇒ d ≤ 2012</p><p>21</p><p>e d ></p><p>2012</p><p>22</p><p>⇒ d ≤ 95 e</p><p>d ≥ 92⇒ 92 ≤ d ≤ 95. Logo teremos, respectivamente, para cada valor de d, os</p><p>seguintes valores de r: 80, 59, 38 e 17, e, consequentemente os seguintes valores</p><p>para r + d: 172, 152, 132 e 112. Sendo assim, para d = 21 ou q = 21, r + d ou</p><p>r+ q podem ter os seguintes valores: 38, 112, 132, 152 e 172. Logo um resultado</p><p>possível será 152. Letra (C).</p><p>40. A =</p><p>3 +</p><p>√</p><p>6</p><p>5</p><p>√</p><p>3− 2</p><p>√</p><p>12−</p><p>√</p><p>32 +</p><p>√</p><p>50</p><p>=</p><p>3 +</p><p>√</p><p>6</p><p>5</p><p>√</p><p>3− 4</p><p>√</p><p>3− 4</p><p>√</p><p>2 + 5</p><p>√</p><p>2</p><p>=</p><p>3 +</p><p>√</p><p>6√</p><p>3 +</p><p>√</p><p>2</p><p>=(</p><p>3 +</p><p>√</p><p>6</p><p>) (√</p><p>3−</p><p>√</p><p>2</p><p>)(√</p><p>3 +</p><p>√</p><p>2</p><p>) (√</p><p>3−</p><p>√</p><p>2</p><p>) =</p><p>3</p><p>√</p><p>3 + 3</p><p>√</p><p>2− 3</p><p>√</p><p>2− 2</p><p>√</p><p>3</p><p>3− 2</p><p>=</p><p>√</p><p>3.</p><p>Logo,</p><p>A2</p><p>6</p><p>√</p><p>A7</p><p>=</p><p>3</p><p>12</p><p>√</p><p>37</p><p>=</p><p>3</p><p>12</p><p>√</p><p>35</p><p>12</p><p>√</p><p>37 12</p><p>√</p><p>35</p><p>=</p><p>12</p><p>√</p><p>35.</p><p>OSTENSIVO -8-111- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>41. 2# (2# (2#2)) = 222</p><p>2</p><p>= 224 = 216 e ((2#2) #2) #2 =</p><p>(</p><p>(22)</p><p>2</p><p>)2</p><p>= 22×2×2 = 28.</p><p>Logo,</p><p>2# (2# (2#2))</p><p>((2#2) #2) #2</p><p>=</p><p>216</p><p>28</p><p>= 256. Se n for ímpar, então n4 será ímpar, e se n for</p><p>par, então n4 será par. Logo, n4 + n + 1 será ímpar, ∀n ∈ N e (−1)n</p><p>4+n+1 = −1.</p><p>E o resultado será, −1 + 256 = 255.</p><p>42. (F) 21 = 3× 7.</p><p>(V) .</p><p>(V) por exemplo: −π + π = 0, que é racional.</p><p>(F)</p><p>√</p><p>−1 é um número que não pertence ao conjunto dos números reais.</p><p>(V) .</p><p>(F) Os números cuja representação decimal é in�nita e não periódica são</p><p>irracionais;</p><p>(V) .</p><p>43. E = 2,3333. . .+ 0,12222. . . = 2,45555. . ..</p><p>44. Sejam u, d e c a unidade, dezena e centena, respectivamente do número proposto.</p><p>Temos que o seguinte sistema de equações:</p><p>u+ d+ c = 14 (8.12)</p><p>c = 3d (8.13)</p><p>u = d− 1. (8.14)</p><p>Substituindo (8.14) e (8.13) em (8.12) temos (d − 1) + d + 3d = 5d − 1 = 14.</p><p>Logo d = 3, c = 9 e u = 2 e o número proposto é 932.</p><p>45. Os números primos compreendidos entre os números 10 e 40 são: 11, 13, 17, 19,</p><p>23, 29, 31 e 37. Logo, temos 8 primos.</p><p>46. (a) 4</p><p>√</p><p>81 = 3 ∈ N. Logo, racional.</p><p>(b) Dízima não-periódica. Logo, irracional.</p><p>(c) Irracional.</p><p>(d) Não pertence aos reais.</p><p>(e) Natural. Logo, racional.</p><p>47. a) MN-RC gastou 300,00 + 110,00 + 220,00 + 180,00 = R$ 810,00.</p><p>b) Sim. O soldo de R$ 956,00 é maior que o gasto mensal de R$ 810,00.</p><p>48. (A) A 6⊂ Q por causa de</p><p>√</p><p>5.</p><p>OSTENSIVO -8-112- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>(B) B 6⊂ Q por causa de 1,2358 . . ..</p><p>(C) C 6⊂ Q por causa de</p><p>√</p><p>−4.</p><p>(D) D ⊂ Q.</p><p>(E) E 6⊂ Q por causa de 3</p><p>√</p><p>−16.</p><p>Letra (D).</p><p>49. Seja T o total de barras de ouro e A, B e C as quantidades de barras de ouro de</p><p>Ana, Beatriz e Camile, respectivamente.</p><p>Ana recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra: A =</p><p>T</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e</p><p>mais meia barra: B =</p><p>T − A</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>T −</p><p>(</p><p>T</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>T</p><p>4</p><p>+</p><p>1</p><p>4</p><p>. Coube a</p><p>Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia: C = T − A − B =</p><p>T −</p><p>(</p><p>T</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>−</p><p>(</p><p>T</p><p>4</p><p>+</p><p>1</p><p>4</p><p>)</p><p>=</p><p>T</p><p>4</p><p>− 3</p><p>4</p><p>= 1 +</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>Logo, T = 9 barras de ouro. Ana receberá, então, 5 barras de ouro. Letra (E).</p><p>50.</p><p>3 +</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>+</p><p>2</p><p>3</p><p>− 1</p><p>2</p><p>=</p><p>9 + 1</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>− 1</p><p>2</p><p>=</p><p>10</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>10</p><p>3</p><p>× 2 =</p><p>20</p><p>3</p><p>.</p><p>51. Sejam A o total de acertos e E o total de erros. Como ele recebe R$ 3,00 por</p><p>problema que acerta, então receberá um total de 3A reais e como paga R$ 2,00</p><p>por problema que erra, pagará 2A reais. Como ele recebeu 85 reais, 3A−2E = 85.</p><p>Uma vez que o total de questões é 50, A+E = 50 Assim, temos o seguinte sistema</p><p>de equa�oões: 3A− 2E = 85 (8.15)</p><p>A+ E = 50 (8.16)</p><p>Fazendo 2×(8.16) + (8.15), temos 5A = 185 e A = 37. Logo, ele acertou 37</p><p>problemas.</p><p>52. Ao todo são 5 × 4 = 20 catracas. Logo temos 45.000 : 20 = 2.250 pessoas por</p><p>catraca. Como passa 1 pessoa a cada 2 s, gastará 2.250× 2 = 4.500 s = 75 min</p><p>= 1 h e 15 min. Letra (B).</p><p>53. a = 0,499999. . . =</p><p>49− 4</p><p>90</p><p>=</p><p>45</p><p>90</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>= 0, 5 = b. Logo, a = b. Letra (B).</p><p>54. (F) Se c < 0, então ac > bc.</p><p>OSTENSIVO -8-113- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>(F) −3 < 1, mas (−3)2 = 9 > 1 = 12.</p><p>(V) Se a < b, então a3 < b3.</p><p>(F) Se 1/c < 0, então ac× 1</p><p>c</p><p>> bc× 1</p><p>c</p><p>, e a > b.</p><p>(F) 2 > 1, mas 1/2 < 1.</p><p>Alternativa (C).</p><p>55. (F) 3502 − 2492 = (350 + 249)(350− 249) = 699 6= 1.</p><p>(V)</p><p>√</p><p>360 =</p><p>√</p><p>36× 10 = 6</p><p>√</p><p>10.</p><p>(F)</p><p>√</p><p>6 ≈ 2,44 e</p><p>√</p><p>10 ≈ 3,16. Logo,</p><p>√</p><p>6 +</p><p>√</p><p>10 ≈ 5,61 > 4. Por outro lado,</p><p>sendo</p><p>√</p><p>6 e</p><p>√</p><p>10 irracionais, a soma</p><p>√</p><p>6 +</p><p>√</p><p>10 também será irracional, não</p><p>podendo ser 4. Ainda podemos ver que 4 < 6 < 9 ⇒ 2 <</p><p>√</p><p>6 < 3 e</p><p>9 < 10 < 16⇒ 3 <</p><p>√</p><p>10 < 4. Logo, teremos: 2 + 3 <</p><p>√</p><p>6 +</p><p>√</p><p>10 < 3 + 4⇒</p><p>5 <</p><p>√</p><p>6 +</p><p>√</p><p>10 < 7. Com isso,</p><p>√</p><p>6 +</p><p>√</p><p>10 6=</p><p>√</p><p>16 = 4.</p><p>(F)</p><p>(√</p><p>3 + 5</p><p>)2</p><p>=</p><p>(√</p><p>3</p><p>)2</p><p>+ 2×</p><p>√</p><p>3× 5 + 52 = 28 + 10</p><p>√</p><p>3 > 28.</p><p>8.7.2 7.2 − Estabelecimento da relação de grandeza e medidas</p><p>1. O perímetro do polígono será P = X+X+Y +Z+2Y +Z+X+Y = 3X+4Y +2Z.</p><p>2. O comprimento de uma circunferência de raio r é C = 2πr. Como o diâmetro</p><p>mede 74 cm = 0,74 m, o comprimento da roda será (3× 0,74) m = 2,22 m. Em</p><p>4 voltas</p><p>completas ela percorreá (4× 2,22) m = 8,88 m (ou 888 cm).</p><p>3. A área da parte cinza será a área do quadrado retirando as quatros áreas dos</p><p>triângulos, isto é, será 122 m2 −</p><p>(</p><p>4× 4× 4</p><p>2</p><p>)</p><p>m2 = (144− 32) m2 = 112 m2.</p><p>4. A parede possui 800 cm de comprimento e 300 cm de altura. No comprimento</p><p>podemos azulejar 800 cm : 40 cm = 20 azulejos e na altura, 300 cm : 40 cm =</p><p>7,5 azulejos (por que não arredondar para 8 azulejos?). A parede comporta</p><p>20× 7,5 = 150 azulejos. Considerando uma perda de 10%, isto é, uma perda de</p><p>10</p><p>100</p><p>× 150 = 15 azulejos, precisaremos dum total de 150 + 15 = 165 azulejos.</p><p>5. Chamemos de x o comprimento e de y a largura do terreno (�gura 8.5):</p><p>x</p><p>y</p><p>Figura 8.5: Figura da resolução do exercício 5</p><p>OSTENSIVO -8-114- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Como a área do terreno é 200 m2 e ele possui apenas 60 m de arame (o perímetro</p><p>será de 60 m), teremos o seguinte sistema de equações:</p><p>2x+ 2y = 60 (8.17)</p><p>xy = 200. (8.18)</p><p>Logo, x+ y = 30 e</p><p>y = 30− x. (8.19)</p><p>Substituindo (8.19) em (8.18), temos que x(30−x) = 200 e −x2 +30x−200 = 0,</p><p>cujas raízes são 10 e 20.</p><p>Logo, pode ser x = 10 m e y = 20 m ou x = 20 m e y = 10 m.</p><p>6. A área de um círculo de raio r é A = πr2. Logo, temos que o raio medirá</p><p>r =</p><p>√</p><p>121 cm = 11 cm.</p><p>7. Como a hipotenusa do triângulo DBA mede 5 cm, seu outro cateto medirá, pelo</p><p>Teorema de Pitágoras,</p><p>√</p><p>52 − 32 cm =</p><p>√</p><p>25− 9 cm =</p><p>√</p><p>16 cm = 4 cm e o raio</p><p>da semicircunferência será 4 cm : 2 = 2 cm. Logo, a área da parte escura será(</p><p>4× 3</p><p>2</p><p>)</p><p>cm2+(3×22) cm2 =</p><p>(</p><p>12</p><p>2</p><p>)</p><p>cm2+(3×4) cm2 = (6+12) cm2 = 18 cm2.</p><p>8. A área das quatro paredes será (2×5×3 + 2×4×3) m2 = (30 + 24) m2 = 54 m2</p><p>e área das portas e janela será (2× 2,1× 0,8 + 1,5× 1,1) m2 = (3,36 + 1,65) m2 =</p><p>5,01 m2. Logo, a área azulejada terá (54− 5,01) m2 = 48, 99 m2 ≈ 49 m2.</p><p>9. A soma das áreas hachuradas é 2×</p><p>[</p><p>4</p><p>√</p><p>3− (2</p><p>√</p><p>3− 1)</p><p>]</p><p>× (2</p><p>√</p><p>3−1) = 2× (2</p><p>√</p><p>3 +</p><p>1)× (2</p><p>√</p><p>3− 1) = 2×</p><p>[</p><p>(2</p><p>√</p><p>3)2 − 12</p><p>]</p><p>= 2× (4× 3− 1) = 22.</p><p>10. A empresa consumirá (280 × 2) L/dia = 560 L por dia, fazendo um total de</p><p>(560× 30) L = 16.800 L = 16,8 m3.</p><p>11. O painel tem (2×2d+6d+7×4) m = 40 m de comprimento. Assim, 10d+28 =</p><p>40 m e d = 1,2 m.</p><p>12. O molho utiliza 2 colheres de azeite, isto é, (2× 15) mL = 30 mL de azeite. Com</p><p>isso, poderemos fazer 1.500 mL : 30 mL = 50 doses.</p><p>13. Como o felino possui 3 kg de massa, pela tabela, ele terá 0,208 m2 de área de</p><p>superfície. A dosagem é de 250 mg por metro quadrado. Assim a dosagem diária</p><p>desse felino será (0,208× 250) mg = 52 mg.</p><p>14. A pessoa consumirá (4,8 : 60) W min−1 = 0,08 W min−1. Como ele toma dois</p><p>banhos diários de 10 min, gastará (2×10) min = 20 min nos banhos, consumindo</p><p>(0,08× 20) W/dia = 1,6 W/dia e um total de (1,6× 7) kW = 11,2 kW.</p><p>OSTENSIVO -8-115- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>15. Em cada aplicação, o paciente precisa descartar duas unidades de insulina. Logo,</p><p>ele consome 10 + 2 = 12 unidades de insulina por aplicação, fazendo 2× 12 = 24</p><p>unidades diárias, que correspondem a (24 × 0,01) mL = 0,24 mL diários. Cada</p><p>re�l pode aplicar 3 mL : 0,24 mL = 12,5 doses. Logo, num número máximo de</p><p>12 aplicações por re�l.</p><p>16. Observe a tabela abaixo (tabela 8.5) dos preços por litro:</p><p>Garrafa Preço por litro (R$/L)</p><p>Tipo I 0,68 : 0,5 = 1,36</p><p>Tipo II 0,88 : 1,0 = 0,88</p><p>Tipo III 1,08 : 1,5 = 0,72</p><p>Tipo IV 1,68 : 2,0 = 0,84</p><p>Tipo V 2,58 : 3,0 = 0,86</p><p>Tabela 8.4: Tabela de Preço por litro</p><p>O menor preço por litro é o refrigerante tipo III, saindo a 0,72 reais por litro.</p><p>Solução alternativa:</p><p>Como o M.D.C{2,3} = 6, observaremos o preço de 6 L de refrigerante de cada</p><p>litro:</p><p>Garrafa Quantidade Preço (R$)</p><p>Tipo I 12 8,16</p><p>Tipo II 6 5,28</p><p>Tipo III 4 4,32</p><p>Tipo IV 3 5,04</p><p>Tipo V 2 5,16</p><p>Tabela 8.5: Tabela de Preço por litro</p><p>O menor preço gasto é o refrigerante do tipo III.</p><p>17. A área do parque é (120 × 150) m2 = 18.000 m2. Como não podemos superar</p><p>quatro pessoas por metro quadrado, o máximo de pessoas no evento será de</p><p>(18.000 m2 × 4 pessoas/m2) = 72.000 pessoas.</p><p>OSTENSIVO -8-116- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>18. Para saber quantos pés de alface são necessários para se obter a mesma</p><p>quantidade de carboidratos de uma bolacha, basta saber �quantas vezes o pé</p><p>de alface cabe dentro da bolacha�, isto é, quantas vezes o 0,5 g cabe dentro de</p><p>15 g. E a quantidade de vezes é 15 g : 0,5 g = 30 vezes.</p><p>Solução alternativa: Podemos observar que 3 pés de alface correspondem a</p><p>(3 × 0,5) g = 1,5 g de carboidratos, logo, precisaremos de 10 × 3 = 30 pés de</p><p>alface.</p><p>19. A distância entre as duas cidades será de (47×1.609) m = 75.623 m = 75,623 km.</p><p>Se a viagem tiver 323.409 km, ela terá (323.409 : 1,609) mi = 201.000 mi.</p><p>20. O espaço possui uma área de (4× 6) m2 = 24 m2 = 240.000 cm2. A quantidade</p><p>de piso utilizado é calculada dividindo 240.000 pela área do piso. Acrescentemos</p><p>as seguintes colunas na tabela 8.6:</p><p>Tipo</p><p>do piso</p><p>Forma Área (cm2)</p><p>Quantidade</p><p>de pisos</p><p>Preço</p><p>por piso</p><p>(R$)</p><p>Total</p><p>gasto</p><p>(R$)</p><p>I 20 cm por 20 cm 400 600 15,00 9.000</p><p>II 30 cm por 20 cm 600 400 20,00 8.000</p><p>III 25 cm por 25 cm 625 384 25,00 9.600</p><p>IV 16 cm por 25 cm 400 600 20,00 12.000</p><p>V 40 cm por 40 cm 1.600 160 60,00 9.000</p><p>Tabela 8.6: Preço dos pisos.</p><p>O piso de menor cursto é o tipo II.</p><p>21. Um campo com dimensões máximas terá (120 × 90) m2 = 10.800 m2 de área e</p><p>um campo com dimensões mínimas, (75× 90) m2 = 6.750 m2. O consume diário</p><p>de água dos campos com dimensões máximas e mínimas será de (6×10.800) L =</p><p>64.800 L e (6×6.750) L = 40.500 L, respectivamente, e a economia de consumo é</p><p>de (64.800−40.500) L = 24.300 L por dia, totalizando (24.300×7) L = 170.100 L</p><p>por semana.</p><p>22. Com o peso atual, seu IMC será IMC = 144 kg : (2 m)2 = 144 kg : 4 m2 =</p><p>36 kg/m2, tendo �obesiddade de tipo I�. Se ele perder 64 kg de massa, passará a</p><p>ter (144− 64) kg = 80 kg de massa e seu IMC passa a ser IMC = 80 kg : 4 m2 =</p><p>20 kg/m2, passando para a classi�cação de �Peso normal�.</p><p>23. (V) 2.300 mm = (2.300 : 1.000) m = 2,3 m2 .</p><p>OSTENSIVO -8-117- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>(F) 2 mL de água equivale a 2 cm3 e corresponde a 2 g de água. A a�rmativa</p><p>será falsa se a solução não for aquosa.</p><p>(F) As unidades apresentadas são submúltiplos.</p><p>(V) Essa é a de�nição de litro.</p><p>(V) O quilograma é a unidade padrão no SI.</p><p>(V) Devido às dimensões do navio.</p><p>(F) O peso P é a força, medida em N, correspondente ao produto da</p><p>medida da massa (m) pela medida da aceleração da gravidade (g): P =</p><p>(m × g) kg m/s2 = (m× g) N.</p><p>(V) 2,5 hm2 = (2,5× 10.000) m2 = 25.000 m2.</p><p>(V) Os três instrumentos foram inventados para medir distâncias.</p><p>(F) O perímetro da tela será: [2× (50 + 150)] cm = (2× 200) cm = 400 cm =</p><p>4 m.</p><p>24. 8 ha = 8 hm2 = (8× 1002) m2 = 80.000 m2.</p><p>25. 16 gal�es com 4 L equivalem a (16 × 4) L = 64 L. Cada OM receberá 64 L :</p><p>10 = 6,4 L. Cada frasco deverá conter 6,4 L : 20 = 6.400 mL : 20 = 320 mL por</p><p>embalagem. O recipiente que possui essa capacidade é o recipiente III.</p><p>26. Serão gastos 14× 125 cm = 1.750 cm = 17,5 m.</p><p>27. O reservatório cúbico comporta (2× 2× 2) m3 = 8 m3 = 8.000 L de água. Logo,</p><p>o MN poderá realizar 8.000 L : 20 L = 400 pulverizações.</p><p>28. A massa do cepo é 400 kg × 1/4 = 400 kg : 4 = 100 kg = 100.000 g.</p><p>29. O comprimento da cerca será 8 dam + 1,9 hm + 0,08 km = (80 + 190 + 80) m =</p><p>350 m. Como cada rolo possui 50 m de arame, serão necessários 350 m : 50 m = 7</p><p>rolos.</p><p>30. 0,40 km = (0,40 × 1.000) m = 400 m. Dividindo 5.000 m em trechos de 400 m,</p><p>teremos 5.000 m : 400 m = 12,5 voltas.</p><p>31. I. (V) 500 mL = 0,5 L.</p><p>II. (V) Os ingredientes somam (300+150) mL. Logo, teremos (500−450) mL =</p><p>50 mL de ar, que corresponde a 50 mL : 450 mL = 0,111 . . . ≈ 11% dos</p><p>ingredientes.</p><p>III. (F) Ver resolução do item II.</p><p>IV. (V) O volume do óleo possui 300 mL = 300 cm3 e o da caixinha (5 × 5 ×</p><p>12) cm3 = 300 cm3.</p><p>OSTENSIVO -8-118- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>V. (F) 150 g em 450 g é 150 : 450 = 1/3.</p><p>Alternativa correta: (C).</p><p>32. (670− 200 + 350) kg = 820 kg.</p><p>OSTENSIVO -8-119- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Anexo A</p><p>Bibliografia</p><p>ABRIL. 27 abr. 2010. Disponível em: <http://veja.abril.com.br>. Citado na</p><p>p. 77.</p><p>CIENCIA, Academia Brasileira de. I Seminário Madeira</p><p>Energética. 2008.</p><p>Disponível em: <http://www.inee.org.br/MADEN2008/Downloads/Release2.</p><p>doc>. Acesso em: 18 dez. 2008. Citado na p. 63.</p><p>DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contextos e aplicações. 2ª ed. São Paulo:</p><p>Ática, 2013.</p><p>DESGUALDO, P. Os Segredos da Supersalada, jan. 2010. Citado na p. 75.</p><p>IBGE. Portal do IBGE. 2009. Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/>.</p><p>Acesso em: 10 jul. 2009. Citado na p. 56.</p><p>IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciências e aplicações. 6ª ed. São Paulo: Saraiva,</p><p>2010.</p><p>INMETRO. 30 jul. 2011. Disponível em: <www.inmetro.gov.br>. Citado na p. 78.</p><p>NORSWORTHY, G. D. O paciente felino. Edição: Roca. São Paulo: [s.n.], 2009.</p><p>Citado na p. 75.</p><p>REGO, Paulo Maurício Barros Abreu de. Fundamentos de Sinalização Náutica</p><p>Visual. 1. ed. [S.l.], 2005. (Manual de Sinalização Náutica). Citado na p. 62.</p><p>OSTENSIVO -A-I- REV.2</p><p>http://veja.abril.com.br</p><p>http://www.inee.org.br/MADEN2008/Downloads/Release2.doc</p><p>http://www.inee.org.br/MADEN2008/Downloads/Release2.doc</p><p>http://www.ibge.gov.br/</p><p>www.inmetro.gov.br</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Anexo B</p><p>Índice Remissivo</p><p>Adição, 2, 12, 13, 23, 34</p><p>Associatividade, 3</p><p>Comutatividade, 2</p><p>Elemento Neutro, 3</p><p>Parcelas, 2</p><p>Antecessor, 1</p><p>Casa decimal, 31</p><p>Centigrama, 46</p><p>Centilitro, 50</p><p>Centímetro, 45</p><p>Centímetro Cúbico, 49</p><p>Centímetro Quadrado, 48</p><p>Conjunto</p><p>N, 1</p><p>N∗, 1</p><p>Q, 21</p><p>Z, 11</p><p>I, 40</p><p>R, 41</p><p>Conjuntos</p><p>Inteiros, 11</p><p>Irracionais, 39</p><p>Naturais, 1</p><p>Racionais, 21</p><p>Reais, 31, 41</p><p>Decagrama, 46</p><p>Decalitro, 50</p><p>Decâmetro, 45</p><p>Decâmetro Cúbico, 49</p><p>Decâmetro Quadrado, 48</p><p>Decigrama, 46</p><p>Decilitro, 50</p><p>Decimais, 31</p><p>Decímetro, 45</p><p>Decímetro Cúbico, 49</p><p>Decímetro Quadrado, 48</p><p>Denominador, 22</p><p>Diferença, 3</p><p>Divisao</p><p>Dividendo, 4</p><p>Divisível, 4</p><p>Divisor, 4</p><p>Fator, 4</p><p>Múltiplo, 4</p><p>Quociente, 4</p><p>Resto, 4</p><p>Divisão, 4, 16, 26, 36</p><p>Dizimas</p><p>Anteperíodo, 39</p><p>Período, 39</p><p>Dízimas Periódicas, 38</p><p>Equivalência, 23</p><p>Fator, 3</p><p>Hectograma, 46</p><p>Hectolitro, 50</p><p>Hectômetro, 45</p><p>Hectômetro Cúbico, 49</p><p>Hectômetro Quadrado, 48</p><p>Jarda, 59</p><p>Libra, 60</p><p>Litro, 50</p><p>OSTENSIVO -B-I- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Medida de velocidade, 60</p><p>Medidas de Capacidade, 50</p><p>Medidas de Comprimento, 45, 59</p><p>Medidas de Massa, 46, 60</p><p>Medidas de Superfície, 47</p><p>Medidas de Volume, 49</p><p>Metro, 45</p><p>Metro Cúbico, 49</p><p>Metro quadrado, 48</p><p>Milha, 59</p><p>Milha Marítima, 59</p><p>Miligrama, 46</p><p>Mililitro, 50</p><p>Milímetro, 45</p><p>Milímetro Cúbico, 49</p><p>Milímetro Quadrado, 48</p><p>Minuendo, 3</p><p>MN, 60</p><p>mn, 60</p><p>Módulo, 12</p><p>Multiplicacao</p><p>Associatividade, 4</p><p>Comutatividade, 3</p><p>Elemento Neutro, 4</p><p>Multiplicação, 3, 14, 25, 35</p><p>nm, 60</p><p>Nó, 60</p><p>Numerador, 22</p><p>Numeros</p><p>Números Impares, 1</p><p>Números Pares, 1</p><p>onça, 60</p><p>Operadores</p><p>+, 2, 12, 23</p><p>−, 3, 13, 15, 23</p><p>:, 4, 16, 26</p><p>√ , 6</p><p>×, 3, 14, 25</p><p>Pé, 59</p><p>Polegada, 59</p><p>Potenciacao</p><p>Base, 5</p><p>Expoente, 5</p><p>Potência, 5</p><p>Propriedades, 6</p><p>Propriedades Fundamentais, 6</p><p>Potenciação, 5, 16, 28, 36</p><p>Produto, 3</p><p>Quilograma, 46</p><p>Quilolitro, 50</p><p>Quilômetro, 45</p><p>Quilômetro Cúbico, 49</p><p>Quilômetro Quadrado, 48</p><p>Radical, 6</p><p>Radiciacao</p><p>Índice, 6</p><p>Radicando, 6</p><p>Raiz, 6</p><p>Radiciação, 6, 17</p><p>Raiz, 6</p><p>Sistema de Medidas Inglesas, 59</p><p>Sistema Internacional de Medidas, 45</p><p>Soma, 2</p><p>Subtração, 3, 13, 14, 23, 34</p><p>Subtraendo, 3</p><p>Sucessor, 1</p><p>Tricotomia dos Naturais, 2</p><p>Unidades</p><p>in, 59</p><p>L, 50</p><p>ft, 59</p><p>lb, 60</p><p>m2, 48</p><p>m3, 49</p><p>m, 45</p><p>mi, 59</p><p>yd, 59</p><p>kg, 46</p><p>oz, 60</p><p>Valor absoluto, 12</p><p>OSTENSIVO -B-II- REV.2</p><p>ATO DE APROVAÇÃO</p><p>Capítulo - Conjunto dos números naturais</p><p>Introdução</p><p>Adição</p><p>Subtração</p><p>Multiplicação</p><p>Divisão</p><p>Potenciação</p><p>Radiciação</p><p>Exercícios</p><p>Capítulo - Conjunto dos números inteiros</p><p>Introdução</p><p>Adição</p><p>Subtração</p><p>Multiplicação de números inteiros</p><p>Divisão</p><p>Potenciação</p><p>Radiciação</p><p>Exercícios</p><p>Capítulo - Conjunto dos números racionais</p><p>Introdução</p><p>Adição e subtração</p><p>Multiplicação</p><p>Divisão</p><p>Potenciação</p><p>Exercícios</p><p>Capítulo - Conjunto dos números reais</p><p>Introdução</p><p>Adição e subtração</p><p>Multiplicação</p><p>Divisão</p><p>Potenciação</p><p>Dízimas periódicas</p><p>Números irracionais</p><p>Exercícios</p><p>Capítulo - Unidades de medida do Sistema Métrico Decimal</p><p>Medidas de comprimento</p><p>Medidas de massa</p><p>Medidas de superfície ou área</p><p>Medidas de volume</p><p>Medida de capacidade</p><p>Exercícios</p><p>Capítulo - Unidades de medidas inglesas</p><p>Introdução</p><p>Medidas de comprimento</p><p>Medida de massa</p><p>Medida de velocidade</p><p>Exercícios</p><p>Capítulo - Exercícios complementares</p><p>Conjuntos numéricos</p><p>Sistemas de medidas</p><p>Capítulo - Resolução dos Exercícios</p><p>Capítulo 1 - Conjunto dos números naturais</p><p>Capítulo 2 - Conjunto dos números inteiros</p><p>Capítulo 3 - Conjunto dos números racionais</p><p>Capítulo 4 - Conjunto dos números reais</p><p>Capítulo 5 - Unidades de medida do SMD</p><p>Capítulo 6 - Sistema de medidas inglesas</p><p>Capítulo 7 - Exercícios complementares</p><p>7.1 - Construção de significados no emprego de números naturais, inteiros, racionais e reais</p><p>7.2 - Estabelecimento da relação de grandeza e medidas</p><p>temos a operação</p><p>3 + 0 = 0 + 3 = 3.</p><p>Como a adição é uma operação realizada de dois em dois elementos, é necessário</p><p>agrupar essas parcelas em duplas de elementos. Sendo assim, dizemos que a adição</p><p>também é associativa.</p><p>Dados três números naturais a, b e c, temos:</p><p>a+ b+ c = (a+ b) + c = a+ (b+ c).</p><p>Por exemplo,</p><p>3 + 4 + 7 = (3 + 4) + 7 = 7 + 7 = 14;</p><p>3 + 4 + 7 = 3 + (4 + 7) = 3 + 11 = 14.</p><p>1.3 Subtração</p><p>Em uma subtração (representada pelo símbolo �−�), o termo do qual se retira uma</p><p>quantidade é o minuendo. A quantidade retirada é o subtraendo. O resultado da</p><p>operação de subtração é chamado de diferença. Observe a representação D = a− b.</p><p>Nela o elemento a é o minuendo, b é o subtraendo e D é a diferença. Na operação</p><p>7− 3 = 4, o minuendo é 7, o subtraendo é 3 e a diferença é 4.</p><p>Considerando a operação 7 − 3 = 4, 7 + 3 + 4 = 10 + 4 = 14, ou seja, a soma do</p><p>minuendo com o subtraendo e a diferença resulta no dobro do minuendo. Retomemos</p><p>a D = a− b e à expressão a+ b+D. Temos:</p><p>a+ b+D = a+ b+ a− b = a+ a+ b− b = 2a+ 0 = 2a.</p><p>A subtração não é associativa, isto é, a − (b − c) 6= (a − b) − c. Ela também não</p><p>é uma operação comutativa, ou seja, a ordem dos termos pode alterar o resultado da</p><p>operação. Se tivermos os elementos a e b diferentes entre si, então</p><p>a− b 6= b− a.</p><p>1.4 Multiplicação</p><p>Chamamos de fatores os termos operados em uma multiplicação (representada pelo</p><p>símbolo �×�), cujo resultado é denominado produto. Na representação P = a× b, os</p><p>elementos a e b são os fatores e P é o produto. Na operação 3× 4 = 12, os fatores são</p><p>3 e 4. O produto é 12.</p><p>A multiplicação é uma operação comutativa, ou seja, ordem dos fatores não altera</p><p>o produto:</p><p>a× b = b× a</p><p>OSTENSIVO -1-3- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Na operação 3× 4 = 12, o resultado será o mesmo se �zermos 4× 3. Assim:</p><p>3× 4 = 12 = 4× 3.</p><p>O 1 (um) é elemento neutro da multiplicação, ou seja, o 1 (um) multiplicado</p><p>por um número a resulta nesse número: 1 × a = a × 1 = a. Como exemplo, temos a</p><p>operação</p><p>3× 1 = 1× 3 = 3.</p><p>Como a multiplicação é uma operação realizada de dois em dois elementos, é</p><p>necessário agrupar esses fatores em duplas de elementos. Sendo assim, dizemos que a</p><p>multiplicação também é associativa. Dados três números naturais a, b e c, temos:</p><p>a× b× c = (a× b)× c = a× (b× c).</p><p>Por exemplo,</p><p>3× 4× 7 = (3× 4)× 7 = 12× 7 = 84;</p><p>3× 4× 7 = 3× (4× 7) = 3× 28 = 84.</p><p>1.5 Divisão</p><p>Na divisão inteira do número n pelo número d (d 6= 0 e simbolizado por �n : d�),</p><p>existem apenas dois números naturais q e r tais que</p><p>n = d× q + r, com 0 ≤ r < d.</p><p>Consideraremos que o resto de uma divisão não poderá ser negativo.</p><p>A divisão não é associativa nem é comutativa, ou seja:</p><p>(a : b) : c 6= a : (b : c) e a : b 6= b : a.</p><p>Na divisão, n é chamado de dividendo, d, divisor, q, quociente e r, resto. O</p><p>resto maior possível em uma divisão inteira é igual ao divisor menos uma unidade.</p><p>Quando r = 0, a divisão é exata e n = q × d (ou n : d = q). Nesse caso dizemos</p><p>que n é divisível por d (ou que d é divisor de n) ou que n é múltiplo de d (ou que</p><p>d é fator de n). Por exemplo, 75 = 3× 52. Podemos dizer que 3 divide 75 (3 é divisor</p><p>de 75) e que 52 divide 75 (52 é divisor de 75). Da mesma forma, 3 é fator de 75 (52</p><p>também é).</p><p>Na divisão de 75 por 3, o quociente é 25 e o resto é zero. Entretanto, se dividirmos</p><p>77 por 3, o resto é dois. O resto não poderia ser três, por exemplo. O zero é divisível</p><p>por qualquer número não nulo, embora sequer possa ser divisor dele mesmo e todo</p><p>número inteiro é divisível por 1.</p><p>A troca da ordem dos elementos de uma divisão pode até mesmo inviabilizá-la. Por</p><p>exemplo, 0 : 2 = 0, mas 2 : 0 é uma operação que não pode ser realizada.</p><p>OSTENSIVO -1-4- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>1.6 Potenciação</p><p>De�nição 3. Dados os números naturais a e n, com n ≥ 2, chamamos de potenciação,</p><p>e representamos por</p><p>an,</p><p>às n repetidas multiplicações</p><p>n vezes︷ ︸︸ ︷</p><p>a× a× a× · · · × a .</p><p>Por exemplo: 23 = 2× 2× 2 = 8.</p><p>Na representação an = c, a é chamado de base, n, expoente e c, potência.</p><p>Observe a seguinte tabela de potências na base 2 (tabela 1.1):</p><p>Expoente (n) Potenciação Potência</p><p>4 24 = 2× 2× 2× 2 = 16</p><p>3 23 = 2× 2× 2 = 8</p><p>2 22 = 2× 2 = 4</p><p>1 21 = ?</p><p>0 20 = ?</p><p>Tabela 1.1: Potências de 2</p><p>O que acontece com a potência toda vez que o expoente decai de uma unidade? A</p><p>potência �ca dividida pela base.</p><p>Assim, podemos complementar a tabela da seguinte forma (tabela 1.2):</p><p>Expoente (n) Potenciação Potência</p><p>4 24 = 2× 2× 2× 2 = 16</p><p>3 23 = 2× 2× 2 = 8</p><p>2 22 = 2× 2 = 4</p><p>1 21 = ? 2</p><p>0 20 = ? 0</p><p>Tabela 1.2: Potências de 2</p><p>OSTENSIVO -1-5- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Logo, quando n = 1, de�nimos 21 = 2 e quando n = 0, 20 = 1.</p><p>Generalizando este resultado, concluímos que a1 = a, para todo a ∈ N e a0 = 1,</p><p>para todo a natural não-nulo (por que não-nulo?).</p><p>Alguns casos triviais da de�nição:</p><p>1. 1n = 1, ∀n ∈ N;</p><p>2. 0n = 0, ∀n ∈ N∗.</p><p>Uma propriedade da potenciação é referente à multiplicação de potencias de mesma</p><p>base: am × an, a,m,n ∈ N. Se a for nulo, o resultado é trivial. Caso a seja não-nulo,</p><p>temos que</p><p>am × an =</p><p>m vezes︷ ︸︸ ︷</p><p>a× a× · · · × a×</p><p>n vezes︷ ︸︸ ︷</p><p>a× a× · · · × a =</p><p>m+n vezes︷ ︸︸ ︷</p><p>a× a× · · · × a = am+n.</p><p>Desta forma, podemos concluir as seguintes propriedades de potenciação:</p><p>1. am × an = am+n, a,m,n ∈ N;</p><p>2. am : an = am−n, a,m,n ∈ N, m ≥ n, e a não-nulo;</p><p>3. (am)n = am×n, a,m,n ∈ N;</p><p>4. (a× b)m = am × bm, a,b,m ∈ N;</p><p>5. (a : b)m = am : bm, a,b,m ∈ N, e b não-nulo;</p><p>1.7 Radiciação</p><p>Seja o número natural a. Chamamos de raiz n-ésima de a, representado pelo</p><p>radical n</p><p>√</p><p>a, como sendo o número natural m tal que mn = a, isto é,</p><p>n</p><p>√</p><p>a = m⇔ mn = a.</p><p>O número a é chamado de radicando, n, de índice da raiz em, de raiz. O símbolo</p><p>√ indica a operação de radiciação.</p><p>Observe que(</p><p>n</p><p>√</p><p>a× n</p><p>√</p><p>b</p><p>)n</p><p>=</p><p>(</p><p>n</p><p>√</p><p>a</p><p>)n × ( n</p><p>√</p><p>b</p><p>)n</p><p>= a× b =</p><p>(</p><p>n</p><p>√</p><p>a× b</p><p>)n</p><p>.</p><p>Logo,</p><p>n</p><p>√</p><p>a× n</p><p>√</p><p>b =</p><p>n</p><p>√</p><p>a× b.</p><p>OSTENSIVO -1-6- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Uma conclusão direta desse resultado é n</p><p>√</p><p>an = a = ( n</p><p>√</p><p>a)</p><p>n, isto é, podemos alternar</p><p>o expoente para dentro ou para fora da raiz.</p><p>Exemplo 1.7.1. Exemplos:</p><p>1. 5</p><p>√</p><p>32 = 2, pois, 25 = 32.</p><p>2. 4</p><p>√</p><p>81 = 3, pois, 34 = 81.</p><p>1.8 Exercícios</p><p>1. Determine dois números naturais consecutivos (apresente duas soluções: uma</p><p>algébrica e uma não-algébrica):</p><p>a) cuja soma é 234.567.</p><p>b) cuja soma é 294.</p><p>c) cuja soma é 765.432.</p><p>2. Determine três números naturais consecutivos (apresente duas soluções: uma</p><p>algébrica e uma não-algébrica):</p><p>a) cuja soma é 297.</p><p>b) pares cuja soma é 3.072.</p><p>3. Determine três números naturais ímpares consecutivos cuja soma é 9.075</p><p>(apresente duas soluções: uma algébrica e uma não-algébrica).</p><p>4. A soma de três números naturais pares consecutivos pode ser ímpar? Justi�que.</p><p>5. A soma de três números naturais ímpares consecutivos pode ser par? Justi�que.</p><p>6. Numa adição com três parcelas, o total era 60. Adicionei 10 à primeira parcela,</p><p>20 à segunda e subtrai 5 da terceira. Qual o valor da nova soma?</p><p>7. Insira os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nos círculos da �gura abaixo (�gura 1.3), de</p><p>modo que a soma de cada lado seja sempre igual a 10 (apresente duas soluções:</p><p>uma com vértice par e uma com ímpar, e justi�que o(s) caso(s) de não solução).</p><p>5</p><p>Figura 1.3: Exercício 7</p><p>OSTENSIVO -1-7- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>8. Numa divisão inteira, o divisor é 13, o quociente é uma unidade maior que o</p><p>divisor e o resto é uma unidade menor que o divisor. Calcule o valor do dividendo.</p><p>9. Uma quantia em reais será distribuída entre os três vencedores de um concurso</p><p>literário. O primeiro colocado receberá R$ 1.625,00. O segundo colocado receberá</p><p>R$ 300,00 menos que o primeiro. Já o terceiro colocado receberá R$ 500,00 a</p><p>menos que o primeiro.</p><p>a) Qual o valor do prêmio de cada um?</p><p>b) Qual o valor total repartindo entre os três?</p><p>10. Um texto de 425 páginas tem cada página dividida em 2 colunas, cada uma delas</p><p>com 64 linhas de 35 letras. Esse texto tem quantas letras?</p><p>11. Em um saco havia 864 batatas para a preparação do rancho. Inicialmente</p><p>elas foram separadas em três montes de quantidades iguais. Um deles foi</p><p>novamente dividido em outros 4 montículos</p><p>com mesma quantidade. Cada um</p><p>dos outros dois montes foram novamente divididos em 6 montes menores com</p><p>mesma quantidade. Cada monte �cou com quantas batatas?</p><p>12. Uma pessoa recebeu R$ 6.604,00 e depositou parte em uma conta-poupança. Se</p><p>tivesse depositado o dobro do valor original, ainda sobrariam R$ 4.116,00. De</p><p>quanto foi o depósito efetuado? (apresente duas soluções: uma algébrica e uma</p><p>não-algébrica. Qual solução é mais simples?)</p><p>13. Em um torneio de basquete envolvendo três companhias da EAMES, os principais</p><p>cestinhas de cada uma delas assinalaram juntos 275 pontos. O mais e�ciente fez</p><p>15 a mais do que o segundo e, o segundo, assinalou 20 pontos a mais que o</p><p>terceiro. Quantos pontos cada jogador assinalou? (apresente duas soluções: uma</p><p>algébrica e uma não-algébrica.)</p><p>14. O refeitório de uma escola tem 110 mesas com 8 lugares cada. Em um</p><p>determinado dia, 70 delas estavam totalmente ocupadas. Outros 40 lugares</p><p>estavam ocupados, sendo 2 pessoas em cada mesa.</p><p>a) Qual era o número de mesas ocupadas?</p><p>b) Qual era o número de mesas vazias?</p><p>c) Qual era o número de alunos presentes no refeitório?</p><p>15. Uma indústria produz massas de pizza de dois tamanhos diferentes e distribui</p><p>entre os supermercados de uma cidade. Os tamanhos são pequeno (P) e grande</p><p>(G). As embalagens de pizzas P têm 10 unidades e, as de pizzas G, têm 2 unidades</p><p>cada. Uma entrega partiu com 9.400 pizzas no total, das quais 2.360 são grandes.</p><p>Quantas são as embalagens de cada tamanho de pizza? (apresente duas soluções:</p><p>uma algébrica e uma não-algébrica. Qual solução é mais simples?)</p><p>OSTENSIVO -1-8- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>16. (UFRGS) O algarismo das unidades de 999 − 444 é:</p><p>(A) 1</p><p>(B) 2</p><p>(C) 3</p><p>(D) 4</p><p>(E) 5</p><p>17. (UFRGS) Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias,</p><p>somente em seu trato digestivo. Esse número de bactérias pode ser escrito como</p><p>(A) 109</p><p>(B) 1010</p><p>(C) 1011</p><p>(D) 1012</p><p>(E) 1013</p><p>18. (ENEM) Para comemorar o aniversário de uma cidade, a prefeitura organiza</p><p>quatro dias consecutivos de atrações culturais. A experiência de anos anteriores</p><p>mostra que, de um dia para o outro, o número de visitantes no evento é triplicado.</p><p>É esperada a presença de 345 visitantes para o primeiro dia do evento. Uma</p><p>representação possível do número esperado de participantes para o último dia é</p><p>(A) 3× 345</p><p>(B) (3 + 3 + 3)× 345</p><p>(C) 33 × 345</p><p>(D) 3× 4× 345</p><p>(E) 34 × 345</p><p>OSTENSIVO -1-9- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Capítulo 2</p><p>Conjunto dos números inteiros</p><p>2.1 Introdução</p><p>Observe a seguinte operação: 7−3 = 4, onde minuendo, subtraendo e diferença são</p><p>números naturais. Por exemplo, se um cesto tiver 7 pães e retirarmos três, restarão 4.</p><p>Agora imagine a seguinte situação: um cesto tem 3 pães, mas você necessita de 4 pães.</p><p>Essa operação seria materialmente impossível, mas existem possibilidades de realizar</p><p>a operação 3− 4 no campo matemático.</p><p>Uma das utilidades da invenção do conjunto dos números inteiros foi exatamente</p><p>possibilitar a resolução de operações de subtração nas quais o minuendo é menor que</p><p>o subtraendo. O conjunto dos números inteiros (representado pela letra Z), é formado</p><p>por todos os elementos de N não nulos, seus opostos (ou simétricos) e pelo zero. Para</p><p>cada número natural que representa uma quantidade inteira não negativa foi criado</p><p>um número negativo em correspondência. Cada número criado é considerado oposto</p><p>(ou simétrico) do seu correspondente (com exceção do zero). Assim, temos:</p><p>Z = {· · ·,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, · · ·} .</p><p>Notemos, portanto, que o conjunto dos números naturais é um subconjunto do</p><p>conjunto dos números inteiros, ou seja, o conjunto dos números naturais está contido</p><p>no conjunto dos números inteiros: N ⊂ Z.</p><p>Também é possível representar os números inteiros sobre uma reta. Observe o</p><p>exemplo de assinalar os números −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 em</p><p>uma reta. Conforme já visto ao tratar do conjunto N, primeiramente traçamos uma</p><p>reta, escolhemos um ponto para origem das contagens (representado pelo zero) e uma</p><p>unidade de medida para dividir a linha reta (�gura 2.1).</p><p>0</p><p>0</p><p>unidade</p><p>Figura 2.1: Representação grá�ca dos números inteiros</p><p>OSTENSIVO -2-11- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Em seguida, estabelecemos o sentido crescente para percorrer a reta, criando um</p><p>eixo para o conjunto dos números inteiros relativos (�gura 2.2).</p><p>0</p><p>sentido negativo sentido positivo</p><p>Figura 2.2: Representação grá�ca dos números inteiros</p><p>Como os números inteiros ocuparão ambos os lados do eixo, temos uma reta para</p><p>o conjunto. A marcação �cará assim (�gura 2.3):</p><p>-3 -2 -1 0 +1 +2 +3</p><p>Figura 2.3: Representação grá�ca dos números inteiros</p><p>A invenção dos números negativos levou à necessidade de novas de�nições para</p><p>tratar os números quali�cados com um sinal (que determina a posição de cada elemento</p><p>sobre um eixo). Uma dessas de�nições é a de valor absoluto (também chamada de</p><p>módulo de um número). O módulo de um número pode, por exemplo, ser considerado</p><p>como a distância desse número em relação ao zero.</p><p>A partir disso, o módulo de −5 é 5, pois a distância de −5 à origem é 5. O módulo</p><p>de +5 também será 5, pois a distância de +5 à origem é 5. Dessa forma, −5 e +5 têm</p><p>mesmo módulo.</p><p>O módulo do número n será representado |n|. Assim, podemos escrever |−5| = 5 e</p><p>|+5| = 5.</p><p>Números opostos (também chamados de simétricos) estão à mesma distância da</p><p>origem e situam-se em semirretas opostas e, portanto, possuem mesmo módulo. Na</p><p>�gura acima (�gura 2.3) −3 e +3 são opostos e ambos têm módulo igual a 3.</p><p>|−3| = 3 = |+3| .</p><p>2.2 Adição</p><p>Consideraremos a adição) em Z como uma operação que associa dois números à</p><p>sua soma da seguinte maneira:</p><p>1. Adicionar quantidades positivas signi�cará deslocar da esquerda para a direita, a</p><p>partir do primeiro número; e</p><p>2. Adicionar uma quantidade negativa signi�cará deslocar para o lado contrário ao</p><p>sentido crescente a partir do primeiro número.</p><p>OSTENSIVO -2-12- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Exemplo 2.2.1. Adicionar 1 + (+2).</p><p>-3 -2 -1 0 1 2 3</p><p>Figura 2.4: Adição com um número positivo</p><p>Assim (�gura 2.4), 1 + (+2) = 1 + 2 = 3.</p><p>Exemplo 2.2.2. Adicionar 2 + (−3).</p><p>-3 -2 -1 0 1 2 3</p><p>Figura 2.5: Adição com um número negativo</p><p>Assim (�gura 2.5), 2 + (−3) = 2− 3 = −1.</p><p>De�nição 4. Para adicionar dois números positivos (ou negativos, os números com</p><p>�sinais iguais�) adicionamos os valores absolutos e mantemos os sinal comum. Para</p><p>adicionar um número positivo e um negativo, subtraímos os valores absolutos e aí</p><p>prevalecerá o sinal do elemento de maior valor absoluto.</p><p>2.3 Subtração</p><p>Subtrair quantidades positivas signi�cará deslocar da direita para a esquerda, a</p><p>partir do primeiro número.</p><p>Exemplo 2.3.1. Subtrair 2− (+3).</p><p>-3 -2 -1 0 1 2 3</p><p>Figura 2.6: Subtração com um número positivo</p><p>Assim (�gura 2.6), 2− (+3) = 2− 3 = −1.</p><p>Subtrair quantidades negativas signi�cará deslocar no sentido contrário dessa</p><p>quantidade, a partir do primeiro número.</p><p>OSTENSIVO -2-13- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Exemplo 2.3.2. Subtrair 1− (−2).</p><p>Partiremos de 1 e seguiremos no sentido contrário ao de −2, ou seja, no sentido de</p><p>+2.</p><p>-3 -2 -1 0 1 2 3</p><p>Figura 2.7: Subtração com um número negativo</p><p>Assim (�gura 2.7), 1− (−2) = 1 + 2 = 3.</p><p>Para subtrair dois números inteiros, adicionamos o primeiro ao oposto do segundo,</p><p>prevalecendo o sinal do elemento de maior valor absoluto nessa adição.</p><p>2.4 Multiplicação de números inteiros</p><p>Observe a tabela a seguir (tabela 2.1).</p><p>Multiplicação Produto</p><p>2× (+4) = 8</p><p>2× (+3) = 6</p><p>2× (+2) = 4</p><p>2× (+1) = 2</p><p>2× ( 0) = 0</p><p>2× (−1) =</p><p>2× (−2) =</p><p>2× (−3) =</p><p>2× (−4) =</p><p>Tabela 2.1: Múltiplos inteiros de 2</p><p>Em todos os produtos o primeiro fator é constante e, o segundo, variável. À medida</p><p>em que descemos de uma linha para a que está imediatamente abaixo, o próximo fator</p><p>que multiplica o valor constante (o 2) é sempre uma unidade menor que o anterior e o</p><p>novo produto é duas unidades menor. Assim, o produto logo abaixo da multiplicação</p><p>2× 0 deve ser −2, seguido de −4, −6 e, �nalmente −8.</p><p>OSTENSIVO -2-14- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Para dois fatores positivos o produto era positivo. A partir</p><p>do momento em que</p><p>um os fatores têm sinais opostos o produto é negativo.</p><p>Agora observe a próxima tabela (tabela 2.2). Em todos os produtos o primeiro</p><p>fator é constante e, o segundo, variável.</p><p>Multiplicação Produto</p><p>−2× (+4) = −8</p><p>−2× (+3) = −6</p><p>−2× (+2) = −4</p><p>−2× (+1) = −2</p><p>−2× ( 0) = 0</p><p>−2× (−1) =</p><p>−2× (−2) =</p><p>−2× (−3) =</p><p>−2× (−4) =</p><p>Tabela 2.2: Múltiplos de −2</p><p>À medida em que descemos de uma linha para a que está imediatamente abaixo,</p><p>o próximo fator que multiplica o fator constante (o −2) é sempre uma unidade menor</p><p>que o anterior e o novo produto é duas unidades maior. Assim, o produto logo abaixo</p><p>da multiplicação −2× 0 deve ser +2, seguido de +4, +6 e, �nalmente +8.</p><p>Para dois fatores de sinais diferentes o produto era negativo. A partir do momento</p><p>em que ambos fatores têm mesmo sinal o produto é positivo. Para multiplicar dois</p><p>números inteiros, faremos o produto de seus valores absolutos e prevalecerá o sinal de</p><p>acordo com os seguintes critérios:</p><p>� se os números tiverem mesmo sinal, o produto será positivo;</p><p>� se os números tiverem sinais opostos, o produto será negativo.</p><p>Com a criação dos números negativos, o sinal �−�, que originalmente simbolizava</p><p>a operação de subtração, passa a ter mais dois signi�cados. Um deles é quali�car o</p><p>número como negativo. O número −9 é negativo, enquanto 9 (ou +9) representa</p><p>uma quantidade positiva. Outro signi�cado para o sinal �−� é o de oposto de um</p><p>número. A representação −n é a do número oposto a n. Portanto, se n = 10,</p><p>−n = −10. Se tivermos n = −20, −n = −(−20) = +20. É importante notar que</p><p>−1 × n = −n, ou seja, o produto de −1 por qualquer número resulta no oposto</p><p>desse número. Particularmente, se n = −1, então −1 × n = −1 × (−1) = 1 (ou +1).</p><p>E teremos que −1× 3 = −3 e −1× (−3) = +3 = −(−3).</p><p>OSTENSIVO -2-15- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>2.5 Divisão</p><p>A partir da última observação anterior, podemos considerar o número −8, por</p><p>exemplo, como o produto −1× 8. Da mesma forma, −4 pode ser considerado −1× 4.</p><p>A divisão do número −8 pelo número −4 pode ser escrita (−8) : (−4). Na forma de</p><p>fração, temos</p><p>−8</p><p>−4</p><p>=</p><p>−1× 8</p><p>−1× 4</p><p>=</p><p>−1</p><p>−1</p><p>× 8</p><p>4</p><p>.</p><p>Lembrando que a divisão de −1 por −1 é igual a 1, pois trata-se da divisão de</p><p>um número diferente de zero por ele mesmo, a simpli�cação �nal da expressão acima</p><p>resulta</p><p>−1× 8</p><p>−1× 4</p><p>=</p><p>8</p><p>4</p><p>= 2.</p><p>Dessa forma, temos o quociente de dois números de sinais iguais resultando em um</p><p>valor positivo. O que acontece no exemplo acima não ocorre na divisão de −12 por</p><p>4. Observe que enquanto temos −12 = −1× 12, isso não ocorre com número 4, que é</p><p>igual a 1× 4. A divisão de −12 por 4 resulta em</p><p>−1× 12</p><p>1× 4</p><p>= −1× 12</p><p>4</p><p>= −1× 3 = −3.</p><p>Dessa forma, temos que o quociente entre dois números de sinais diferentes resulta</p><p>em um valor negativo. Podemos resumir o que ocorre na divisão de números inteiros</p><p>da seguinte forma: para dividir dois números inteiros (lembrando que o divisor não</p><p>pode ser o zero), faremos o quociente de seus valores absolutos e prevalecerá o sinal</p><p>de acordo com o seguinte:</p><p>� se os números tiverem mesmo sinal, o quociente será positivo;</p><p>� se os números tiverem sinais opostos, o quociente será negativo.</p><p>2.6 Potenciação</p><p>De�nida da mesma maneiro que os números naturais, isto é,</p><p>zn =</p><p></p><p>n vezes︷ ︸︸ ︷</p><p>z × z × · · · × z , se n ≥ 2;</p><p>z , n = 1;</p><p>1 , n = 0.</p><p>Algumas propriedades de potenciação não podem ser aplicadas por ainda não terem</p><p>signi�cado, como por exemplo: 23 : 24 = 23−4 = 2−1, que não está de�nido (ainda!).</p><p>OSTENSIVO -2-16- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Exemplo 2.6.1. Exemplos:</p><p>1. (−2)2 = (−2)× (−2) = 4;</p><p>2. −32 = − (3× 3) = −9;</p><p>3. (−3)3 = (−3)× (−3)× (−3) = −27;</p><p>4. −33 = − (3× 3× 3) = −27.</p><p>2.7 Radiciação</p><p>Segue de�nição análoga à dos números naturais, lembrando que devemos tomar</p><p>cuidado quando tivermos expoente par.</p><p>Exemplo 2.7.1. Exemplos:</p><p>1. 3</p><p>√</p><p>−27 = −3, pois (−3)3 = −27.</p><p>2.</p><p>√</p><p>−9 não tem de�nição nem resultado em Z, pois não existe número inteiro cujo</p><p>quadrado será −9.</p><p>3.</p><p>√</p><p>25 = x ⇔ x2 = 25. Os dois números que satisfazem essa equação são: −5</p><p>e 5. Uma vez que se espera que a raiz seja uma função real e por causa dos</p><p>números naturais, a raiz quadrada deve possuir resultado não-negativo. Logo</p><p>convenciona-se que</p><p>√</p><p>25 = 5.</p><p>4.</p><p>√</p><p>(−5)2. Se utilizarmos, inadvertidamente, as propriedades de radiciação</p><p>teríamos o seguinte:</p><p>(a)</p><p>√</p><p>(−5)2 =</p><p>(√</p><p>−5</p><p>)2</p><p>, não possuindo resultado, uma vez que</p><p>√</p><p>−5 não é um</p><p>número real.</p><p>(b) �Cortar� o índice da raiz com o expoente, resultando que</p><p>√</p><p>(−5)2 = −5,</p><p>o que geraria um problema, pois, como visto acima, o resultado da raiz</p><p>quadrada deve ser não-negativo.</p><p>Logo</p><p>√</p><p>(−5)2 =</p><p>√</p><p>25 = 5. Daí convenciona-se que</p><p>√</p><p>x2 = |x|.</p><p>OSTENSIVO -2-17- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>2.8 Exercícios</p><p>1. Perguntas:</p><p>a) A soma de dois números naturais não-nulos é sempre maior que cada uma das</p><p>parcelas? Justi�que.</p><p>b) A diferença entre dois números naturais não-nulos é sempre menor que o</p><p>minuendo? Justi�que.</p><p>2. Responda às seguintes perguntas:</p><p>a) Qual é o oposto de um número positivo?</p><p>b) Qual é o oposto de um número negativo?</p><p>3. Considere os números −30, −10, 0, 15, 24, −2, 16, 30.</p><p>a) Qual deles é o menor?</p><p>b) Qual deles é o maior?</p><p>c) Qual a média aritmética entre eles?</p><p>4. Efetue as operações a seguir:</p><p>a) (+9) + (−3)</p><p>b) (+7) + (+2)</p><p>c) (−4) + (−8)</p><p>d) (−7) + (+7)</p><p>e) (−5)− (−6)</p><p>f) (+8)− (+2)</p><p>g) (+7)− (−2)</p><p>h) (−6)− (+7)</p><p>5. Coloque os números a seguir em ordem crescente: 846, −486, 468, −648, −864,</p><p>684, 486.</p><p>6. Coloque os números a seguir em ordem decrescente: 1.011, −1.011, 1.105, 1.005,</p><p>−1.055, −1.505.</p><p>7. Pense no seguinte percurso sobre uma reta numérica: a partir do zero, deslocar-se</p><p>sete unidades no sentido positivo. Em seguida, o deslocamento é de cinco</p><p>unidades no sentido negativo. Qual o ponto de chegada nesse percurso?</p><p>OSTENSIVO -2-18- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>8. Suponha que um camelô faça 4 vendas e na primeira tenha prejuízo de R$ 4,00.</p><p>Na segunda, prejuízo de R$ 11,00. O lucro na terceira foi de R$ 13,00 e, na</p><p>última, o lucro foi R$ 5,00. No �nal das quatro vendas ele teve lucro ou prejuízo?</p><p>De quanto?</p><p>9. Em uma cidade, a temperatura mínima registrada em um dia foi −3�. Já a</p><p>temperatura máxima foi de +7�. Qual a variação máxima da temperatura nesse</p><p>dia?</p><p>10. Durante os 5 primeiros dias do mês de janeiro, em uma cidade muito fria da</p><p>Europa, os registros de temperaturas foram os seguintes: Dia 1: −47; Dia 2:</p><p>−48; Dia 3: −46; Dia 4: −45; Dia 5: −51. Qual é a média aritmética dessas</p><p>temperaturas? A média é maior que a maior temperatura? É menor que a menor</p><p>temperatura?</p><p>11. A soma de dois números inteiros é 184 e um deles é o triplo do outro. Quanto</p><p>vale cada número?</p><p>12. Na multiplicação de um número k por 70, por esquecimento, não se colocou o</p><p>zero à direita, encontrando-se, com isso, um resultado 32.823 unidades menor.</p><p>Sendo assim, qual a soma dos algarismos de k?</p><p>13. Ao dividir um número inteiro n por 3, 5, 7 e 11 obtemos sempre o resto 1. Calcule</p><p>o resto da divisão de n por 1.155.</p><p>14. Considere um conjunto de 6 meninos com idades diferentes e um outro conjunto</p><p>com 6 meninas também também com idades diferentes. Sabe-se que, em ambos</p><p>ao conjuntos, as idades variam, em números inteiros, de 1 até 6 anos. Quantos</p><p>casais podemos formar com soma das idades menor que 8 anos?</p><p>OSTENSIVO -2-19- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Capítulo 3</p><p>Conjunto dos números racionais</p><p>3.1 Introdução</p><p>A ideia de número racional está associada a diferentes situações. Uma delas é</p><p>a de�nição matemática do conjunto dos números racionais apresentada nos livros de</p><p>Matemática. O conjunto dos números racionais, representado pela letra Q, é de�nido</p><p>como sendo o conjunto dos números na forma</p><p>p</p><p>q</p><p>, com p e q inteiros e q 6= 0. Assim,</p><p>temos</p><p>Q =</p><p>{</p><p>p</p><p>q</p><p>, p,q ∈ Z e q 6= 0</p><p>}</p><p>.</p><p>Quando q = 1, temos</p><p>p</p><p>q</p><p>=</p><p>p</p><p>1</p><p>= p ∈ Z. Logo, todo número inteiro é um número</p><p>racional. Assim, Z é um subconjunto de Q, ou seja, Z ⊂ Q. Como N ⊂ Z, �ca</p><p>N ⊂ Z ⊂ Q.</p><p>Os elementos do conjunto dos números racionais também podem ser quali�cados</p><p>com sinais.</p><p>Se p = +3 e q = +5, p/q = 3/5.</p><p>Se p = −3 e q = +5, p/q = −(3/5).</p><p>Se p</p><p>= +3 e q = −5, p/q = −(3/5).</p><p>Se p = −3 e q = −5, p/q = 3/5.</p><p>Outra ideia que podemos ter a respeito dos elementos do conjunto dos números</p><p>racionais é a quela associada à representação fracionária decorrente da divisão de um</p><p>objeto inteiro em partes equivalentes. Observe a �gura a seguir (�gura 3.1), na qual</p><p>temos a superfície de um retângulo dividido em quatro partes equivalentes.</p><p>Figura 3.1: Retângulo dividido em quatro partes equivalentes</p><p>OSTENSIVO -3-21- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>A área de cada parte representa um quarto da superfície ocupada pelo retângulo</p><p>(veja �gura abaixo: �gura 3.2).</p><p>Figura 3.2: Quarta parte do inteiro</p><p>Exemplo 3.1.1. Para escrever que escolhemos uma parte entre quatro partes</p><p>equivalentes temos a forma</p><p>1</p><p>4</p><p>, na qual se destacam dois símbolos. O número 4 abaixo</p><p>da barra horizontal indica em quantas partes a �gura foi dividida. O número 4 é</p><p>chamado de denominador e, por isso, dá o nome à fração. O número 1 acima da</p><p>barra horizontal indica quantas partes a �gura foram tomadas após a divisão. O</p><p>número 1 é chamado de numerador. Assim, a fração um quarto indica que tomamos</p><p>uma dentre as quatro partes em que um objeto inteiro foi dividido.</p><p>* * * * * * * * * * * *</p><p>* * * * * * * * * * * *</p><p>* * * * * * * * * * * *</p><p>* * * * * * * * * * * *</p><p>Tabela 3.1: 48 elementos: �o inteiro�</p><p>Outra maneira de apresentar a ideia de fração como resultado da divisão de uma</p><p>quantidade inteira é a repartição de uma coleção de objetos. Na tabela acima (tabela</p><p>3.1) temos 48 elementos, que formam o inteiro.</p><p>* * * * * * * * * * * * * * * *</p><p>* * * * * * * * * * * * * * * *</p><p>* * * * * * * * * * * * * * * *</p><p>* * * * * * * * * * * * * * * *</p><p>36 elementos: 3/4 do inteiro</p><p>12 elementos:</p><p>1/4 do inteiro</p><p>Tabela 3.2: O inteiro dividido em quatro partes iguais</p><p>Caso separemos 12 elementos, eles representarão 12/48 ou 1/4 do total. Assim, 12</p><p>elementos representam 1/4 de 48 elementos (tabela 3.2).</p><p>OSTENSIVO -3-22- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>3.2 Adição e subtração</p><p>Se duas frações possuem o mesmo denominador, a operação de adição (ou de</p><p>subtração) é efetuada diretamente com os numeradores. A adição</p><p>1</p><p>4</p><p>+</p><p>1</p><p>4</p><p>, por exemplo,</p><p>assume a forma a seguir (�gura 3.3):</p><p>+ =</p><p>Figura 3.3:</p><p>1</p><p>4</p><p>+</p><p>1</p><p>4</p><p>=</p><p>2</p><p>4</p><p>A adição resulta em duas de quatro partes, ou seja,</p><p>1</p><p>4</p><p>+</p><p>1</p><p>4</p><p>=</p><p>2</p><p>4</p><p>, que equivale a</p><p>metade da �gura. Observando este caso, temos</p><p>1</p><p>4</p><p>+</p><p>1</p><p>4</p><p>=</p><p>1 + 1</p><p>4</p><p>=</p><p>2</p><p>4</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>Outro aspecto pata atentar é a relação entre</p><p>2</p><p>4</p><p>e</p><p>1</p><p>2</p><p>. As duas representam a mesma</p><p>parte do todo (�gura 3.4).</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>Figura 3.4: Equivalência entre</p><p>2</p><p>4</p><p>e</p><p>1</p><p>2</p><p>Dizemos que as duas frações são equivalentes e escrevemos</p><p>2</p><p>4</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>Observe agora o diagrama a seguir (�gura 3.5), referente à subtração</p><p>3</p><p>4</p><p>− 1</p><p>4</p><p>.</p><p>OSTENSIVO -3-23- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Retira</p><p>Figura 3.5: De</p><p>3</p><p>4</p><p>retiramos</p><p>1</p><p>4</p><p>Note que</p><p>3</p><p>4</p><p>− 1</p><p>4</p><p>vale</p><p>3− 1</p><p>4</p><p>=</p><p>2</p><p>4</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>Assim, se duas frações são expressas com o mesmo denominador, adicionamos (ou</p><p>subtraímos) os numeradores e mantemos o denominador comum.</p><p>Voltando à representação das frações equivalentes</p><p>2</p><p>4</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>(�gura 3.6), vemos que,</p><p>da forma</p><p>2</p><p>4</p><p>para</p><p>1</p><p>2</p><p>, cada termo da fração foi dividido por 2 (o mesmo valor diferente</p><p>se zero). De forma semelhante, partindo da fração</p><p>1</p><p>2</p><p>e, por exemplo, multiplicando</p><p>numerador e denominador por três, temos</p><p>1× 3</p><p>2× 3</p><p>=</p><p>3</p><p>6</p><p>. Portanto, se multiplicarmos ou</p><p>dividirmos os dois termos de uma fração pelo mesmo número diferente de zero, obtemos</p><p>uma fração equivalente à anterior.</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>2</p><p>4</p><p>=</p><p>3</p><p>6</p><p>Figura 3.6: Frações equivalentes</p><p>Se as frações que devem ser operadas têm denominadores diferentes, necessitamos</p><p>obter frações equivalentes com mesmo denominador. O menor múltiplo comum (MMC)</p><p>entre os denominadores é um dos instrumentos possíveis para transformar as frações</p><p>para o mesmo denominador.</p><p>Adicionar, por exemplo,</p><p>1</p><p>2</p><p>e</p><p>1</p><p>3</p><p>(�gura 3.7).</p><p>OSTENSIVO -3-24- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>Figura 3.7: Adição entre</p><p>1</p><p>2</p><p>e</p><p>1</p><p>3</p><p>O M.M.C. entre 2 e 3 é 6. A partir disso dividimos cada inteiro em 6 partes e cada</p><p>uma representa</p><p>1</p><p>6</p><p>(�gura 3.8).</p><p>Figura 3.8: Inteiro dividido em seis partes iguais</p><p>Com isso, consideramos</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>3</p><p>6</p><p>e</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>2</p><p>6</p><p>(�gura 3.9).</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>3</p><p>6</p><p>2</p><p>6</p><p>Figura 3.9:</p><p>1</p><p>2</p><p>e</p><p>1</p><p>3</p><p>e seus respectivos equivalentes:</p><p>3</p><p>6</p><p>e</p><p>2</p><p>6</p><p>Assim,</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>3</p><p>6</p><p>+</p><p>2</p><p>6</p><p>=</p><p>3 + 2</p><p>6</p><p>=</p><p>5</p><p>6</p><p>.</p><p>3.3 Multiplicação</p><p>Observe a multiplicação:</p><p>2× 5</p><p>6</p><p>.</p><p>Ela equivale à operação:</p><p>5</p><p>6</p><p>+</p><p>5</p><p>6</p><p>=</p><p>5 + 5</p><p>6</p><p>=</p><p>2× 5</p><p>1× 6</p><p>=</p><p>10</p><p>6</p><p>.</p><p>OSTENSIVO -3-25- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Considerando que 2 =</p><p>2</p><p>1</p><p>, então</p><p>2× 5</p><p>6</p><p>=</p><p>2</p><p>1</p><p>× 5</p><p>6</p><p>=</p><p>2× 5</p><p>1× 6</p><p>=</p><p>10</p><p>6</p><p>.</p><p>Para calcularmos</p><p>2</p><p>3</p><p>de</p><p>2</p><p>5</p><p>, teríamos que dividir</p><p>2</p><p>5</p><p>em três partes iguais e tomarmos</p><p>duas destas partes (exemplo 3.1.1). Para facilitar a divisão, tomemos uma fração</p><p>equivalente a</p><p>2</p><p>5</p><p>que seja divisível por três:</p><p>2</p><p>5</p><p>=</p><p>6</p><p>15</p><p>(�gura 3.10).</p><p>Figura 3.10: Fração equivalente a</p><p>2</p><p>5</p><p>Ao dividirmos</p><p>6</p><p>15</p><p>em três partes iguais, cada parte será de</p><p>2</p><p>15</p><p>(�gura 3.11). E se</p><p>tormarmos duas dessas partes, teremos</p><p>4</p><p>15</p><p>. Logo,</p><p>2</p><p>3</p><p>× 2</p><p>5</p><p>=</p><p>4</p><p>15</p><p>=</p><p>2× 2</p><p>3× 5</p><p>.</p><p>Figura 3.11:</p><p>2</p><p>3</p><p>de</p><p>2</p><p>5</p><p>Formalizando a multiplicação das frações: dados os racionais</p><p>a</p><p>b</p><p>e</p><p>c</p><p>d</p><p>, temos que</p><p>a</p><p>b</p><p>× c</p><p>d</p><p>=</p><p>a× c</p><p>b× d</p><p>, b 6= 0 6= d,</p><p>e o resultado será um novo número racional.</p><p>3.4 Divisão</p><p>A divisão de dois números inteiros não nulos quaisquer signi�ca saber quantas vezes</p><p>um cabe dentro do outro. Por exemplo: 6 : 3, signi�ca saber quantas vezes o 3 cabe</p><p>dentro do 6.</p><p>OSTENSIVO -3-26- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Veja a ilustração (tabela 3.3):</p><p>* * * * * *</p><p>Tabela 3.3: Seis unidades divididas em grupos de três</p><p>Podemos observar que o 3 cabe 2 vezes dentro do 6, logo 6 : 3 = 2.</p><p>O mesmo raciocino se aplica no caso das frações, isto é, dividir duas frações signi�ca</p><p>saber quantas vezes uma fração cabe dentro da outra, na ordem apresentada. Como</p><p>por exemplo, quanto vale</p><p>1</p><p>2</p><p>:</p><p>1</p><p>3</p><p>? Basta saber quantas vezes o</p><p>1</p><p>3</p><p>cabe dentro do</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>Observe a ilustração abaixo (�gura 3.12):</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>Figura 3.12: Exemplo de divisão fracionária</p><p>Podemos observar que o</p><p>1</p><p>2</p><p>equivale a</p><p>1</p><p>3</p><p>+</p><p>1</p><p>6</p><p>. Logo, o</p><p>1</p><p>3</p><p>caberá 1 vez e meia dentro</p><p>do</p><p>1</p><p>2</p><p>(1/6 é a metade de 1/3). Concluímos, então, que</p><p>1</p><p>2</p><p>:</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>.</p><p>Por outro lado, sabemos que</p><p>3</p><p>2</p><p>=</p><p>1× 3</p><p>2× 1</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>× 1</p><p>3</p><p>. Isso nos leva que</p><p>1</p><p>2</p><p>:</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>× 3</p><p>1</p><p>.</p><p>Formalizando a divisão da frações: sejam os racionais</p><p>a</p><p>b</p><p>e</p><p>c</p><p>d</p><p>, com c 6= 0 (não pode</p><p>ter divisão por zero), temos</p><p>a</p><p>b</p><p>:</p><p>c</p><p>d</p><p>=</p><p>a</p><p>b</p><p>× d</p><p>c</p><p>, b 6= 0 6= d,</p><p>e o resultado será um novo número racional.</p><p>OSTENSIVO -3-27- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>3.5 Potenciação</p><p>Dada a fração</p><p>a</p><p>b</p><p>, sua potência de expoente inteiro n ≥ 2, representada por</p><p>(a</p><p>b</p><p>)n</p><p>equivale a repetir a multiplicação da fração por ela mesma n vezes, isto é,</p><p>(a</p><p>b</p><p>)n</p><p>=</p><p>n vezes︷ ︸︸ ︷</p><p>a</p><p>b</p><p>× a</p><p>b</p><p>× · · · × a</p><p>b</p><p>.</p><p>Assim,</p><p>(a</p><p>b</p><p>)n</p><p>=</p><p>n vezes︷ ︸︸ ︷</p><p>a× a× · · · × a</p><p>b× b× · · · × b︸ ︷︷ ︸</p><p>n vezes</p><p>=</p><p>an</p><p>bn</p><p>.</p><p>Por exemplo,</p><p>(</p><p>3</p><p>4</p><p>)2</p><p>=</p><p>32</p><p>42</p><p>=</p><p>9</p><p>16</p><p>.</p><p>Observemos, novamente, a seguinte tabela (tabela 3.4) de potências:</p><p>Expoente (n) Potenciação Potência</p><p>4 24 = 2× 2× 2× 2 = 16</p><p>3 23 = 2× 2× 2 = 8</p><p>2 22 = 2× 2 = 4</p><p>1 21 = ? 2</p><p>0 20 = ? 1</p><p>−1 2−1 = ?</p><p>−2 2−2 = ?</p><p>Tabela 3.4: Potências de dois</p><p>Observamos que, toda vez que o expoente decai de uma unidade, a potência seguinte</p><p>é igual à da linha anterior dividida pela base.</p><p>OSTENSIVO -3-28- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Logo, podemos completar a tabela da seguinte maneira:</p><p>Expoente (n) Potenciação Potência</p><p>4 24 = 2× 2× 2× 2 = 16</p><p>3 23 = 2× 2× 2 = 8</p><p>2 22 = 2× 2 = 4</p><p>1 21 = ? 2</p><p>0 20 = ? 1</p><p>−1 2−1 = ? 0,5 =</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>)1</p><p>−2 2−2 = ? 0,25 =</p><p>1</p><p>4</p><p>=</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>)2</p><p>Tabela 3.5: Potências de dois</p><p>Podemos de�nir a potenciação no conjunto dos números racionais como</p><p>zn =</p><p></p><p>n vezes︷ ︸︸ ︷</p><p>z × z × · · · × z , se n ≥ 2;</p><p>z , n = 1;</p><p>1 , n = 0, z 6= 0;</p><p>1</p><p>z−n</p><p>, n < 0, z 6= 0.</p><p>3.6 Exercícios</p><p>1. Determine a fração correspondente à parte hachurada:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>2. Em uma caixa de talheres, 1/6 são garfos e 3/4 são colheres. Esses dois tipos</p><p>de</p><p>talheres juntos correspondem a que fração do total de talheres na caixa? Qual a</p><p>fração que corresponde ao total dos outros talheres na caixa?</p><p>OSTENSIVO -3-29- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>3. No estoque de peças de frango para o rancho há 2.000 unidades, das quais 40%</p><p>correspondem a sobrecoxas. Quantas peças não são sobrecoxa?</p><p>4. Se 12 degraus correspondem a 3/8 do total de degraus de uma arquibancada em</p><p>torno de um campo de futebol, qual o total de degraus dessa arquibancada?</p><p>5. (CPACN - adaptada) Sejam</p><p>P =</p><p>(</p><p>1 +</p><p>1</p><p>3</p><p>)(</p><p>1 +</p><p>1</p><p>5</p><p>)(</p><p>1 +</p><p>1</p><p>7</p><p>)(</p><p>1 +</p><p>1</p><p>9</p><p>)(</p><p>1 +</p><p>1</p><p>11</p><p>)</p><p>e</p><p>Q =</p><p>(</p><p>1− 1</p><p>5</p><p>)(</p><p>1− 1</p><p>7</p><p>)(</p><p>1− 1</p><p>9</p><p>)(</p><p>1− 1</p><p>11</p><p>)</p><p>. Qual é o valor de</p><p>√</p><p>P</p><p>Q</p><p>?</p><p>OSTENSIVO -3-30- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Capítulo 4</p><p>Conjunto dos números reais</p><p>4.1 Introdução</p><p>O que conhecemos genericamente como números decimais são representações</p><p>nas quais se usa uma vírgula, indicando que o algarismo a seguir pertence à ordem</p><p>das décimas. Sua origem vem das frações decimais, isto é, números decimais podem</p><p>representar frações que correspondem a potências de dez, tais como 10, 100, 1.000,</p><p>10.000 e outras. Casa decimal é a posição que um algarismo ocupa à direita da</p><p>vírgula em um número decimal. Por exemplo: o número decimal 12,34563 tem 5 casas</p><p>decimais, ocupadas pelos algarismos 3, 4, 5, 6, e 3 (novamente) após a vírgula.</p><p>Sua nomenclatura segue a seguinte:</p><p>Nome Posição após a vírgula</p><p>Décimo 1ª</p><p>Centésimo 2ª</p><p>Milésimo 3ª</p><p>Décimo de milésimo 4ª</p><p>Centésimo de milésimo 5ª</p><p>Milionésimo 6ª</p><p>Décimo de milionésimo 7ª</p><p>Centésimo de milionésimo 8ª</p><p>Bilionésimo 9ª</p><p>Tabela 4.1: Nomenclatura das posições das casas decimais</p><p>Assim, no número decimal 12,34563 temos os seguintes decimais: 3 décimos, 4</p><p>centésimos, 5 milésimos, 6 décimos de milésimos e 3 centésimos de milésimos.</p><p>OSTENSIVO -4-31- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Outrossim, os números decimais possuem leitura especí�ca:</p><p>Número Leitura Inteiro Décimos Centésimos Milésimos</p><p>0,3 Três décimos 0 3 0 0</p><p>1,23</p><p>Um inteiro e vinte e três</p><p>centésimos</p><p>1 2 3 0</p><p>13,957</p><p>Treze inteiros e novecentos e</p><p>cinquenta e sete milésimos</p><p>13 9 5 7</p><p>Tabela 4.2: Nomenclatura das posições das casas decimais</p><p>Considere a �gura abaixo (�gura 4.1) uma unidade inteira.</p><p>Figura 4.1: Dividindo o inteiro em décimos</p><p>Podemos observar que um décimo corresponde a uma de dez partes nas quais</p><p>o inteiro foi dividido. Logo, na �gura a seguir (�gura 4.2), temos a representação</p><p>geométrica de três décimos (3/10 ou 0,3).</p><p>Figura 4.2: Representação grá�ca de três décimos</p><p>OSTENSIVO -4-32- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Já a representação de centésimos necessita de uma unidade dividida em 100 partes</p><p>(�gura 4.3).</p><p>Figura 4.3: Dividindo o inteiro em centésimos</p><p>Um centésimo corresponde uma de cem partes nas quais um inteiro foi dividido.</p><p>Na �gura a seguir, temos a representação geométrica de quarenta centésimos</p><p>(40/100 ou 0,40).</p><p>Figura 4.4: Representação grá�ca de quarenta centésimos</p><p>Observe que 40/100 = 4/10, isto é, 0,40 = 0,4.</p><p>Observamos que o número 4,23 pode ser interpretado da seguinte forma:</p><p>423</p><p>100</p><p>= 423× 0,01 = 423× 10−2.</p><p>Poderíamos ainda escrever</p><p>4,23 = 4 + 0,2 + 0,03 = 4× 100 + 2× 10−1 + 3× 10−2.</p><p>A decomposição de um número segundo potências de dez é uma alternativa à</p><p>interpretação dos números decimais.</p><p>Utilizemos um exemplo do Sistema Métrico Decimal:</p><p>987,654 m.</p><p>OSTENSIVO -4-33- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Decompondo o número 987,654 segundo potências de dez:</p><p>987,654 = 900 + 80 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,004 =</p><p>= 9× 100 + 8× 10 + 7× 1 + 6× 0,1 + 5× 0,01 + 4× 0,001 =</p><p>= 9× 102 + 8× 101 + 7× 100 + 6× 10−1 + 5× 10−2 + 4× 10−3.</p><p>Temos, então,</p><p>9× 102 m + 8× 101 m + 7× 100 m + 6× 10−1 m + 5× 10−2 m + 4× 10−3 m,</p><p>ou</p><p>9 hm + 8 dam + 7 m + 6 dm + 5 cm + 4 mm.</p><p>Outro problema relativo à representação decimal é transformar um número em uma</p><p>expressão na forma n× 10k, 0 < n < 10, k ∈ Z. Por exemplo, para escrever o número</p><p>4.567 na forma acima, é necessário escrever o �4� como parte inteira de um número</p><p>decimal. Com isso, teríamos 4,567. Porém isso altera o valor do número, pois isso</p><p>divide seu valor original por 1000 (ou 103), o que signi�ca multiplicar o número por</p><p>10−3. Assim, 4,567 = 4.567× 10−3. Para neutralizar a divisão, basta multiplicar 4,567</p><p>por 103, levando à forma 4,567× 103. Assim, 4.567 m = 4,567× 103 m. Retomando:</p><p>4.567 m = 4.567× 1 m = 4.567× 100 m = 4.567× (10−3 × 103) m</p><p>= (4.567× 10−3)× 103 m =</p><p>= 4,567× 103 m.</p><p>Outro exemplo: para escrever 234,567 na forma n × 10k, 0 < n < 10, k ∈ Z,</p><p>necessitamos ter apenas o 2 como parte inteira. Para isso necessitamos dividir o número</p><p>original por 100 (ou dividir 102), ou multiplicar por 10−2. Fazemos então</p><p>234,567× 1 = 234,567× 100 = 234,567× (10−2 × 102) =</p><p>= (234,567× 10−2)× 102 =</p><p>= 2,34567× 102.</p><p>4.2 Adição e subtração</p><p>Para adicionarmos (ou subtrairmos) dois números decimais cuidamos para que</p><p>tanto suas partes inteiras quanto as decimais estejam alinhadas segundo suas ordens</p><p>correspondentes. Completamos as quantidades de casas decimais acrescentando zeros</p><p>se necessário e efetuando as operações como se fossem números inteiros.</p><p>OSTENSIVO -4-34- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Ao adicionar, por exemplo, os números 2,895 e 0,9753, fazemos o seguinte</p><p>alinhamento:</p><p>1 1 1</p><p>2, 8 9 5 0</p><p>+ 0, 9 7 5 3</p><p>3, 8 7 0 3</p><p>Dessa forma, 2,895 + 0,9753 = 3,8703.</p><p>Observe agora a subtração 9,024− 2,13579.</p><p>8 9 11 13 9 10</p><p>�9, �0 �2 �4 �0 �0</p><p>− 2, 1 3 5 7 9</p><p>6, 8 8 8 2 1</p><p>Dessa forma, 9,024− 2,13579 = 6,88821.</p><p>4.3 Multiplicação</p><p>Observe a seguinte multiplicação:</p><p>1,23× 0,456.</p><p>Ela pode ser reescrita na forma</p><p>123</p><p>100</p><p>× 456</p><p>1000</p><p>,</p><p>resultando em</p><p>123× 456</p><p>100× 1000</p><p>=</p><p>56088</p><p>100000</p><p>,</p><p>que equivale ao número decimal 0,56088, ou seja,</p><p>1,23× 0,456 = 0,56088.</p><p>Para multiplicar dois números decimais, podemos proceder da seguinte maneira:</p><p>multiplica-se dois números decimais como se fossem números inteiros.</p><p>OSTENSIVO -4-35- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>1</p><p>1 1</p><p>1 1</p><p>1, 2 3</p><p>× 0, 4 5 6</p><p>7 3 8</p><p>6 1 5</p><p>4 9 2</p><p>0, 5 6 0 8 8</p><p>Como critério de apresentação do resultado, observamos que a quantidade de casas</p><p>decimais do produto será igual à soma das quantidades de casas decimais dos fatores.</p><p>4.4 Divisão</p><p>Observe a seguinte multiplicação: 20,865 : 3,21. Ela pode ser reescrita na forma, a</p><p>seguir:</p><p>20865</p><p>1000</p><p>:</p><p>321</p><p>100</p><p>=</p><p>20865</p><p>1000</p><p>× 100</p><p>321</p><p>=</p><p>20865× 100</p><p>1000× 321</p><p>=</p><p>20865</p><p>10× 321</p><p>=</p><p>65</p><p>10</p><p>= 6,5.</p><p>Para dividir dois números decimais, podemos proceder da seguinte maneira:</p><p>igualamos as quantidades de casas decimais, escrevendo zeros à direita da última casa</p><p>decimal do número que tem menor quantidade de casas: 20,865 : 3,210. Em seguida,</p><p>divide-se os dois números inteiros resultantes: 20.865 : 3.210 = 6,5.</p><p>4.5 Potenciação</p><p>Observe o seguinte para qualquer número decimal a e natural não-nulo n:(</p><p>a</p><p>1</p><p>n</p><p>)n</p><p>= an×</p><p>1</p><p>n = a1 = a.</p><p>Uma vez que n</p><p>√</p><p>a é o único número tal que ( n</p><p>√</p><p>a)</p><p>n</p><p>= a, concluímos que</p><p>a</p><p>1</p><p>n = n</p><p>√</p><p>a,</p><p>para todo a ∈ R onde a raiz esteja de�nida.</p><p>Generalizando, podemos escrever</p><p>n</p><p>√</p><p>am = a</p><p>m</p><p>n .</p><p>OSTENSIVO -4-36- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Exemplo 4.5.1. Dessa forma, por exemplo:</p><p>1. 5</p><p>√</p><p>8 =</p><p>5</p><p>√</p><p>23 = 2</p><p>3</p><p>5 ;</p><p>2.</p><p>√</p><p>3 = 3</p><p>1</p><p>2 ; e</p><p>3. 7</p><p>8</p><p>9 =</p><p>9</p><p>√</p><p>78.</p><p>A potênciação dos números decimais segue as de�nições dos números racionais,</p><p>xn =</p><p></p><p>n vezes︷ ︸︸ ︷</p><p>x× x× · · · × x , se n ≥ 2;</p><p>x , n = 1;</p><p>1 , n = 0, x 6= 0;</p><p>1</p><p>x−n</p><p>, n < 0, x 6= 0.</p><p>E x</p><p>m</p><p>n = n</p><p>√</p><p>xm, para m ∈ Z, n ∈ Z∗, onde a raiz esteja de�nida.</p><p>Desta maneira podemos interpretar os problemas de radiciação como potenciação.</p><p>Um problema que sempre aparece é o da racionalização de denominadores.</p><p>Com o advento da computação e calculadoras, este método perdeu sua utilidade.</p><p>Mas no século IX onde as contas eram feitas manualmente, este método era muito</p><p>importante. O método consiste em eliminar o radical do denominador. É muito mais</p><p>fácil dividir uma raiz por um inteiro do que um inteiro por uma raiz! Vejamos o caso</p><p>p</p><p>n</p><p>√</p><p>qm</p><p>=</p><p>p</p><p>q</p><p>m</p><p>n</p><p>.</p><p>Para eliminar o denominador devemos multiplicar o numerador e o denominador</p><p>(devemos manter a fração equivalente) por uma potência de q de modo que reste apenas</p><p>um numero inteiro. Como o denominador do expoente da potência de q é n, devemos</p><p>resolver a seguinte equação</p><p>q</p><p>m</p><p>n × q</p><p>x</p><p>n = q</p><p>m+x</p><p>n .</p><p>Como a fração deve �sumir�, temos que</p><p>m+ x</p><p>n</p><p>= 1. Logo, x = n − m. Assim</p><p>teremos,</p><p>p</p><p>n</p><p>√</p><p>qm</p><p>=</p><p>p× q n−m</p><p>n</p><p>q</p><p>m</p><p>n × q n−m</p><p>n</p><p>=</p><p>p× q n−m</p><p>n</p><p>q</p><p>m+n−m</p><p>n</p><p>=</p><p>p× q n−m</p><p>n</p><p>q</p><p>n</p><p>n</p><p>=</p><p>p× q n−m</p><p>n</p><p>q</p><p>.</p><p>Exemplo 4.5.2. Exemplos:</p><p>1. Racionalize</p><p>3√</p><p>5</p><p>.</p><p>Aqui, m = 1 e n = 2. Assim, devemos multiplicar (e dividir) por</p><p>√</p><p>5. Teremos,</p><p>então</p><p>3√</p><p>5</p><p>=</p><p>3×</p><p>√</p><p>5√</p><p>5×</p><p>√</p><p>5</p><p>=</p><p>3</p><p>√</p><p>5</p><p>5</p><p>.</p><p>OSTENSIVO -4-37- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>2. Racionalize</p><p>6</p><p>3</p><p>√</p><p>16</p><p>.</p><p>6</p><p>3</p><p>√</p><p>16</p><p>=</p><p>6</p><p>3</p><p>√</p><p>24</p><p>=</p><p>6</p><p>3</p><p>√</p><p>23 × 2</p><p>=</p><p>6</p><p>2 3</p><p>√</p><p>2</p><p>. Aqui, m = 1 e n = 3. Assim, devemos</p><p>multiplicar (e dividir) por 3</p><p>√</p><p>22 = 3</p><p>√</p><p>4. Teremos, então</p><p>6</p><p>3</p><p>√</p><p>16</p><p>=</p><p>6× 3</p><p>√</p><p>4</p><p>2 3</p><p>√</p><p>2× 3</p><p>√</p><p>4</p><p>=</p><p>6× 3</p><p>√</p><p>4</p><p>2× 2</p><p>=</p><p>6 3</p><p>√</p><p>4</p><p>4</p><p>=</p><p>3 3</p><p>√</p><p>4</p><p>2</p><p>.</p><p>Vejamos, agora, o seguinte caso:</p><p>p</p><p>√</p><p>qm +</p><p>√</p><p>rn</p><p>.</p><p>Aqui temos uma soma de radicais (nos deteremos no caso da raiz quadrada, pois</p><p>a solução de ordem de índices superiores se torna mais complexa). Neste caso nos</p><p>lembremos do seguinte produto notável: a2 − b2 = (a + b)(a − b). Este produto</p><p>notável nos diz que se tivermos uma soma multiplicada pela diferença os elementos irão</p><p>ao quadrado (eliminando o radical). Logo, basta multiplicar (e dividir) por</p><p>√</p><p>qm−</p><p>√</p><p>rn.</p><p>A solução �ca:</p><p>p</p><p>√</p><p>qm +</p><p>√</p><p>rn</p><p>=</p><p>p×</p><p>(√</p><p>qm −</p><p>√</p><p>rn</p><p>)(√</p><p>qm +</p><p>√</p><p>rn</p><p>)</p><p>×</p><p>(√</p><p>qm −</p><p>√</p><p>rn</p><p>) =</p><p>p×</p><p>(√</p><p>qm −</p><p>√</p><p>rn</p><p>)</p><p>qm − rn</p><p>.</p><p>Exemplo 4.5.3. Exemplos:</p><p>1. Racionalize</p><p>5√</p><p>8− 4</p><p>. Aqui multiplicaremos (e dividiremos) por</p><p>√</p><p>8 + 4. Logo,</p><p>teremos:</p><p>5√</p><p>8− 4</p><p>=</p><p>5×</p><p>(√</p><p>8 + 4</p><p>)(√</p><p>8− 4</p><p>)</p><p>×</p><p>(√</p><p>8 + 4</p><p>) =</p><p>5×</p><p>(√</p><p>8 + 4</p><p>)</p><p>8− 16</p><p>= −5</p><p>√</p><p>2</p><p>4</p><p>+</p><p>5</p><p>2</p><p>.</p><p>2. Racionalize</p><p>9</p><p>5 +</p><p>√</p><p>7</p><p>. Aqui multiplicaremos (e dividiremos) por 5 −</p><p>√</p><p>7. Logo,</p><p>teremos:</p><p>9</p><p>5 +</p><p>√</p><p>7</p><p>=</p><p>9×</p><p>(</p><p>5−</p><p>√</p><p>7</p><p>)(</p><p>5 +</p><p>√</p><p>7</p><p>)</p><p>×</p><p>(</p><p>5−</p><p>√</p><p>7</p><p>) =</p><p>9×</p><p>(</p><p>5−</p><p>√</p><p>7</p><p>)</p><p>25− 7</p><p>=</p><p>5</p><p>2</p><p>−</p><p>√</p><p>7</p><p>2</p><p>.</p><p>4.6 Dízimas periódicas</p><p>Existem números cuja representação decimal possui padrão de repetição, como</p><p>ocorre com o número 0,333 . . . (também representado por 0,[3] ou 0,3̄). Este último</p><p>OSTENSIVO -4-38- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>é classi�cado como dízima periódica por possuir um padrão de repetição. Os</p><p>algarismos repetidos são chamados de período da dízima. Em 0,333 . . . o período é</p><p>formado pelo número 3. Se a dízima for 1,464646 . . . o período será 46.</p><p>Para obter a fração geratriz de uma dízima, escrevemos no denominador tantos</p><p>noves quantos forem os algarismos do período e, no numerador, o período. A geratriz</p><p>de 0,333 . . . terá como denominador o número 9 e como numerador o 3. Dessa forma,</p><p>a geratriz de 0,333 . . . é</p><p>3</p><p>9</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>A geratriz de 1,464646 . . . será 1 +</p><p>46</p><p>99</p><p>=</p><p>99 + 46</p><p>99</p><p>=</p><p>145</p><p>99</p><p>(a parte inteira desta</p><p>dízima é 1 e deve ser adicionada à fração 46/99).</p><p>Chamando de i a parte inteira e de P o período com n digitos, podemos caracterizar</p><p>a dízima periódica pela forma i,PPP . . .. A geratriz dessa dízima terá a forma</p><p>i+</p><p>P</p><p>999 · · · 9︸ ︷︷ ︸</p><p>n dígitos</p><p>.</p><p>Agora, observando a dízima 0,5131313 . . ., podemos notar que existe um elemento</p><p>(o 5) que não repete e está escrito entre a vírgula e o período (o 13). Esse número que</p><p>não repete é o anteperíodo da dízima. A geratriz dessa dízima terá dois noves (devido</p><p>ao período 13) e um zero, (devido ao anteperíodo 5) no denominador e o numerador</p><p>dessa dízima periódica será formado pelo anteperíodo seguido do período, menos o</p><p>anteperíodo. Dessa forma, a geratriz de 0,5131313 . . . é</p><p>513− 5</p><p>990</p><p>=</p><p>508</p><p>990</p><p>.</p><p>Chamando de i a parte inteira, de ap o anteperíodo com m dígitos e de P o período</p><p>com n dígitos, podemos caracterizar a dízima periódica pela forma i,[ap](PPPP . . .).</p><p>A geratriz dessa dízima terá a forma</p><p>i+</p><p>apP − ap</p><p>99 · · · 9︸ ︷︷ ︸</p><p>n dígitos</p><p>00 · · · 0︸ ︷︷ ︸</p><p>m dígitos</p><p>.</p><p>Assim, a geratriz de 2,36789789 . . . é 2 +</p><p>36.789− 36</p><p>99.900</p><p>= 2 +</p><p>36.753</p><p>99.900</p><p>=</p><p>236.553</p><p>99.900</p><p>.</p><p>4.7 Números irracionais</p><p>Desde épocas anteriores a Pitágoras já era conhecido por diferentes povos o teorema</p><p>que leva o seu nome:</p><p>Teorema 4.7.1 (Teorema de Pitágoras). Num triângulo retângulo, o quadrado da</p><p>hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.</p><p>OSTENSIVO -4-39- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Se, por exemplo, um triângulo retângulo possuir catetos medindo 5 e 12, então a</p><p>hipotenusa h satisfará h2 = 52 + 122, que nos leva a h = 13. Neste caso, os números</p><p>racionais 5 e 12 são transformados em outro número racional: 13. Agora, dados catetos</p><p>com medidas 1 e 2, então a hipotenusa terá medida h =</p><p>√</p><p>5 ≈ 2,23606797. Na verdade,</p><p>2,23606797 é uma aproximação com 8 casas decimais para um número in�nito que não</p><p>apresenta padrão de repetição de casas decimais. Este número é chamado de dízima</p><p>não periódica, pois a parte decimal não tem um padrão de repetição. Usualmente</p><p>escreve-se 2,23606797 . . . .</p><p>Voltemos aos números números cuja representação decimal é in�nita e não</p><p>periódica. Esses números são chamados de irracionais e o conjunto formado por</p><p>eles pode ser representado por I.</p><p>Exemplos de números irracionais:</p><p>1) 0,123456 . . .</p><p>2)</p><p>√</p><p>2 = 1,4142135 . . .</p><p>3) π = 3,141592 . . .</p><p>4) e = 2,7182818 . . .</p><p>5) φ = 1,618033989 . . .</p><p>6) 0,10100100010000. . .</p><p>As dízimas periódicas são números racionais, pois o fato de terem um padrão de</p><p>repetição permite que elas sejam representadas na forma de fração. Ao contrário, pelo</p><p>fato de não apresentarem padrão de repetição, as dízimas não periódicas não podem ser</p><p>escritas na forma fracionária. Portanto, dízimas não periódicas são números irracionais.</p><p>Como, por exemplo, é sabido, desde os antigos gregos, que</p><p>√</p><p>2 não é um número</p><p>racional. E sua prova clássica consiste da prova por absurdo onde, ao assumir uma falsa</p><p>premissa, geramos ao �nal uma inconsistência: primeiramente, todo número inteiro ou</p><p>é par ou ímpar. Se ele é par, signi�ca que sua divisão por dois possui resto zero, e</p><p>podemos escrevê-lo na forma 2r, para algum r inteiro; e se for ímpar, o resto será 1</p><p>e sua forma pode ser 2s + 1, para algum s inteiro. O quadrado de um número par</p><p>será (2r)2 = 2 × 2r2. Logo é par. O quadrado de um número ímpar é (2s + 1)2 =</p><p>4s2 + 4s+ 1 = 2(2s2 + 2s) + 1. Logo, ímpar. Agora, suponha que</p><p>√</p><p>2 seja um número</p><p>racional, isto é, que possa ser escrito na forma de uma fração do tipo</p><p>p</p><p>q</p><p>, onde p e q são</p><p>números inteiros primos entre si não nulos, isto é, números não nulos que não possuem</p><p>fatores em comum. Isso nos leva que p2 = 2q2. Logo p é par, da forma p = 2r. Temos,</p><p>então, que (2r)2 = 4r2 = 2q2 e que q2 = 2r2, um número par. Logo, q também é par,</p><p>o que gera uma inconsistência, pois q e p são primos entre si. Logo a premissa aceita</p><p>inicialmente é uma premissa falsa, isto é,</p><p>√</p><p>2 não pode ser um número racional.</p><p>OSTENSIVO -4-40- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>O conjunto dos números reais é formado pela união dos conjuntos dos números</p><p>racionais com o conjunto dos números irracionais:</p><p>R = Q ∪ I,Q ∩ I = ∅ e N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.</p><p>4.8 Exercícios</p><p>1. Qual é a soma dos números decimais 0,75 e 0,25?</p><p>2. Qual o valor da soma S = 8,026 + 20,64?</p><p>3. Qual é a diferença entre os números decimais 1.449,92 e 726,36?</p><p>4. Calcule o valor de cada uma das expressões a seguir:</p><p>a) 39,2 + 6,08 + 0,038</p><p>b) 9,70− 4,6</p><p>c) (0,189− 0,03)× 0,490</p><p>d) 8× 3,6× 0,38</p><p>e) (0,18− 0,09× 3)− 0,04</p><p>5. Quanto vale 44% de R$ 1.234,56?</p><p>6. Represente 18/4 na forma de número decimal.</p><p>7. Calcule as frações geratrizes de:</p><p>a) 0,444 . . .</p><p>b) 12,345678678678 . . .</p><p>c) 0,99 . . .</p><p>8. Calcule</p><p>√</p><p>0,444 . . ..</p><p>9. Converta para a forma fracionária.</p><p>a) 0,666 . . .</p><p>b) 1,53[21]</p><p>c) 0,8343434 . . .</p><p>d) 2,64575131 . . .</p><p>e) 1,23</p><p>f) 3,1415</p><p>OSTENSIVO -4-41- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>10. Explique o que signi�cam as reticências em cada caso.</p><p>a) {1, 2, 3, . . .}</p><p>b) {1, 2, 3, . . . , 234}</p><p>c) {. . . , 18, 19, 20}</p><p>d) 0,333 . . .</p><p>11. (CPACN � adaptada) A fração irredutível p/q equivale ao inverso de 525/900.</p><p>Calcule o resto da divisão do período da dízima q/(p+ 1) por 5.</p><p>12. Considere os números racionais a e b quaisquer. Assinale a alternativa</p><p>INCORRETA, justi�cando seu resultado.</p><p>(A)</p><p>a</p><p>2</p><p>é número racional.</p><p>(B)</p><p>√</p><p>a é um número racional.</p><p>(C) a− b é número racional.</p><p>(D) a+</p><p>b é número racional.</p><p>(E) a× b é número racional.</p><p>13. Que tipo de número resulta a expressão</p><p>√</p><p>100 +</p><p>√</p><p>64√</p><p>100−</p><p>√</p><p>64</p><p>?</p><p>14. Determine as soluções reais da equação</p><p>−4√</p><p>x2 − 9</p><p>− 1 = 0.</p><p>15. Se x é um número racional não nulo e y é um número irracional, então, classi�que</p><p>cada a�rmativa em verdadeira ou falsa, justi�cando sua resposta.</p><p>( ) x× y é racional;</p><p>( ) y × y é irracional;</p><p>( ) x+ y é racional;</p><p>( ) x− y</p><p>√</p><p>3 é irracional;</p><p>( ) x+ 2y é irracional.</p><p>16. (CPACN - adaptada) Os números x, y e z são tais que: x 6= y 6= z 6= x,</p><p>y</p><p>x− z</p><p>=</p><p>x+ y</p><p>z</p><p>= 2,</p><p>√</p><p>z =</p><p>(</p><p>1</p><p>9</p><p>)− 1</p><p>2</p><p>. Qual é o valor de</p><p>x− y</p><p>6</p><p>· z?</p><p>17. (CPAEAM - adaptada) O preço da gasolina apresenta uma pequena variação de</p><p>estado para estado. Sabe-se que um litro de gasolina na cidade em que João</p><p>mora custa R$ 2,87 e o seu carro percorre 12 km com um litro desse combustível.</p><p>Quanto João gastará com gasolina se ele percorrer uma distância de 600 km?</p><p>OSTENSIVO -4-42- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>18. Classi�que cada a�rmação em verdadeira ou falsa.</p><p>( ) Todo número irracional também é real;</p><p>( ) Todo número racional também é real;</p><p>( ) Todo número real também é racional;</p><p>( ) Todo número real também é irracional;</p><p>( ) O número</p><p>√</p><p>−1 é número irracional;</p><p>( ) O conjunto dos números reais é formado pela união de todos os racionais e</p><p>irracionais.</p><p>( ) −2 é um número inteiro.</p><p>( ) 2/3 é um número racional.</p><p>( ) 3 é um número real.</p><p>( ) Todo número positivo é maior que zero.</p><p>( ) Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo.</p><p>( ) Qualquer número negativo é maior que zero.</p><p>( ) Quanto menor for o número negativo, maior será o seu módulo.</p><p>( ) O oposto do número −a é o número a.</p><p>19. (CPAEAM - adaptada) Em uma divisão de dois números inteiros o quociente é</p><p>8, o divisor é 12 e o resto é o maior possível. Qual o valor do dividendo?</p><p>20. (CPAEAM - adaptada) Qual é o valor da expressão</p><p>√</p><p>13 +</p><p>3</p><p>√</p><p>25 +</p><p>√</p><p>8− 3</p><p>√</p><p>64?</p><p>21. Dados</p><p>√</p><p>2 ≈ 1,4142 e</p><p>√</p><p>3 ≈ 1,732, faça apenas o que se pede:</p><p>� racionalize os denominadores de cada número irracional a seguir;</p><p>� determine o valor numérico aproximado, com duas casas decimais, para cada</p><p>nova representação de número irracional obtida no item anterior.</p><p>a)</p><p>1√</p><p>2</p><p>b)</p><p>1√</p><p>2 + 1</p><p>c)</p><p>1√</p><p>3− 1</p><p>22. (CPACN - adaptada) Qual é o valor da expressão</p><p>(30,333...</p><p>)27</p><p>+ 221</p><p>7</p><p>− 5</p><p>√</p><p>239 +</p><p>3</p><p>√</p><p>448</p><p>7</p><p>−</p><p>(</p><p>3</p><p>√</p><p>3</p><p>)33</p><p>7√92</p><p>?</p><p>OSTENSIVO -4-43- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>23. Calcule:</p><p>a)</p><p>√</p><p>3−</p><p>√</p><p>5.</p><p>b)</p><p>√√</p><p>5− 3.</p><p>c)</p><p>√</p><p>7 + 2</p><p>√</p><p>10</p><p>OSTENSIVO -4-44- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Capítulo 5</p><p>Unidades de medida do Sistema Métrico Decimal</p><p>5.1 Unidades de medida de comprimento</p><p>Ao longo de milênios diferentes povos produziram sistemas métricos próprios e</p><p>adaptados à realidade de cada local. O desenvolvimento do comércio entre diferentes</p><p>povos, por exemplo, levou à necessidade de lidar com diversos sistemas monetários</p><p>e de medidas. Além de saber converter valores monetários era necessário que cada</p><p>comerciante tivesse habilidade para lidar com quantidades expressas em diferentes</p><p>sistemas métricos.</p><p>Entre diferentes sistemas métricos, trataremos do sistema métrico decimal e das</p><p>medidas inglesas. A época da invenção do sistema métrico decimal é a da Revolução</p><p>Francesa (período que vai de 1789 a 1799). Em 1791 surgiu a ideia de adotar um</p><p>sistema de medidas baseado no número 10.</p><p>A unidade para medir distâncias do SI é o metro (m) e o nome deriva da palavra</p><p>grega métron (�aquilo que mede�). Foi estabelecida uma convenção: o metro seria</p><p>a décima-milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, medida sobre o</p><p>meridiano que passa por Paris.</p><p>Observe: um décimo vale 1/10 (= 10−1) e um milionésimo vale 1/1.000.000 (=</p><p>10−6). Logo, um décimo de milionésimo = (10−1)× (10−6) = 10−7.</p><p>Assim, um metro vale 10−7 da distância do Pólo Norte ao Equador, medida sobre o</p><p>meridiano que passa por Paris. O metro, que foi adotado o�cialmente no Brasil a partir</p><p>de 1.928, é a unidade fundamental do sistema métrico decimal. Ele possui os seguintes</p><p>múltiplos: decâmetro (10 m), hectômetro (100 m), quilômetro (1.000 m), além dos</p><p>seguintes submúltiplos: decímetro (1 décimo do metro), centímetro (1 centésimo do</p><p>metro) e milímetro (milésima parte do metro).</p><p>A partir das de�nições podemos construir a tabela a seguir (tabela 5.1):</p><p>Múltiplos</p><p>Unidade</p><p>Fundamental</p><p>Submúltiplos</p><p>Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro</p><p>km hm dam m dm cm mm</p><p>Tabela 5.1: Múltiplos e submúltiplos do metro</p><p>OSTENSIVO -5-45- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Logo:</p><p>1. 1 dam = 10 m;</p><p>2. 1 hm = 100 m;</p><p>3. 1 km = 1.000 m;</p><p>4. 1 dm = 0,1 m;</p><p>5. 1 cm = 0,01 m;</p><p>6. 1 mm = 0,001 m.</p><p>Exemplo 5.1.1. Assim:</p><p>1. 72 dam = 72× 10 m = 720 m;</p><p>2. 43,2 hm = 3,2× 100 m = 320,0 m;</p><p>3. 98,76 km = 98,76× 1.000 m = 98.760,00 m;</p><p>4. 123 dm = 123× 0,1 m = 12,3 m;</p><p>5. 4.567 cm = 4.567× 0,01 m = 45,67 m;</p><p>6. 135 mm = 135× 0,001 m = 0,135 m.</p><p>5.2 Unidades de medida de massa</p><p>A unidade fundamental para medir massa no sistema decimal é o quilograma (kg).</p><p>Um quilograma (kg) corresponde à massa de 1 dm3 de água destilada à temperatura de</p><p>4�. Além do quilograma utiliza-se como unidade prática de massa um submúltiplo:</p><p>o grama (g).</p><p>A unidade prática (o grama) possui os múltiplos: decagrama (10 g), hectograma</p><p>(100 g), quilograma (1.000 g), além dos submúltiplos: decigrama (1 décimo do grama),</p><p>centigrama (1 centésimo do grama), miligrama (1 milésimo do grama). Na tabela</p><p>abaixo temos os múltiplos e submúltiplos do grama.</p><p>Múltiplos</p><p>Unidade</p><p>Prática</p><p>Submúltiplos</p><p>Quilograma</p><p>(Unidade</p><p>Fundamental)</p><p>Hectograma Decagrama Grama Decigrama Centigrama Miligrama</p><p>kg hg dag g dg cg mg</p><p>Tabela 5.2: Múltiplos e submúltiplos do grama.</p><p>OSTENSIVO -5-46- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Logo:</p><p>1. 1 dag = 10 g;</p><p>2. 1 hg = 100 g;</p><p>3. 1 kg = 1.000 g;</p><p>4. 1 dg = 0,1 g;</p><p>5. 1 cg = 0,01 g;</p><p>6. 1 mg = 0,001 g.</p><p>Exemplo 5.2.1. Assim:</p><p>1. 72 dag = 72× 10 g = 720 g;</p><p>2. 3,2 hg = 3,2× 100 g = 320,0 g;</p><p>3. 98,76 kg = 98,76× 1.000 g = 98.760,00 g;</p><p>4. 123 dg = 123× 0,1 g = 12,3 g;</p><p>5. 4.567 cg = 4.567× 0,01 g = 45,67 g;</p><p>6. 135 mg = 135× 0,001 g = 0,135 g.</p><p>É necessário atentar para a diferença entre a massa e o peso de um corpo. A massa</p><p>é a quantidade de matéria, medida por meio das unidades de medida de massa. Ela</p><p>pode ser considerada constante em diferentes pontos da superfície da Terra e mesmo</p><p>fora dela. Já o peso de um corpo resulta da força de interação entre ele e, por exemplo,</p><p>a Terra. O peso pode variar de acordo com o local em que é determinado.</p><p>Como exemplo podemos citar a diferença do peso de um corpo na superfície da</p><p>Terra, na órbita do planeta e na superfície da Lua. Considerando que sua massa nesses</p><p>lugares não varie, o peso na órbita é próximo de zero e na Lua é um sexto, quando</p><p>comparado com o que foi medido na superfície da Terra.</p><p>5.3 Unidades de medida de superfície (ou área)</p><p>Algumas necessidades cotidianas estão ligadas ao cálculo de áreas de superfícies,</p><p>tais como:</p><p>� veri�car a quantidade de piso necessários para cobrir o chão da cozinha de casa;</p><p>� saber a área de um terreno.</p><p>OSTENSIVO -5-47- REV.2</p><p>OSTENSIVO EB-002</p><p>Para expressar esse tipo de medida é necessário utilizar uma unidade para</p><p>superfícies. Essa unidade para medir superfície é o metro quadrado (m2). Um</p><p>metro quadrado corresponde à medida da superfície de um quadrado de lado 1 m.</p><p>A unidade fundamental (o metro quadrado) possui múltiplos (decâmetro</p><p>quadrado, hectômetro quadrado, e quilômetro quadrado) e submúltiplos</p><p>(decímetro quadrado, centímetro quadrado, e milímetro quadrado).</p><p>A partir das de�nições podemos construir a tabela a seguir (tabela 5.3):</p><p>Múltiplos</p><p>Unidade</p><p>Fundamental</p><p>Submúltiplos</p><p>Quilômetro</p><p>quadrado</p><p>Hectômetro</p><p>quadrado</p><p>Decâmetro</p><p>quadrado</p><p>Metro</p><p>quadrado</p><p>Decímetro</p><p>quadrado</p><p>Centímetro</p><p>quadrado</p><p>Milímetro</p><p>quadrado</p><p>km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2</p><p>Tabela 5.3: Múltiplos e submúltiplos do metro quadrado</p><p>Observe cuidadosamente:</p><p>1 km2 = 1 km× 1 km = 1.000 m× 1.000 m = 1.000.000 m2;</p><p>Assim, muito cuidado, pois 1 km = 1.000 m, mas 1 km2 não equivale a 1.000 m2.</p><p>No caso das medidas de superfície a equivalência</p>