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<p>CÁLCULO volume 1 edição GEORGE B. THOMAS MAURICE D. WEIR NAVAL POSTGRADUATE SCHOOL JOEL HASS UNIVERSITY OF CALIFORNIA, DAVIS TRADUÇÃO KLEBER ROBERTO PEDROSO REGINA CÉLIA SIMILLE DE MACEDO REVISÃO TÉCNICA CLAUDIO HIROFUME ASANO INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO PEARSON abdr Respeite direito autoral São Paulo Brasil Argentina Colômbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala México Peru Porto Rico Venezuela</p><p>by Pearson Education do Brasil 2006, 2001 by Pearson Education, Inc. Tradução autorizada a partir da edição em inglês, Thomas' Calculus Early Transcendentals, 12. ed., publicada pela Pearson Education, Inc., sob o selo Addison-Wesley Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização por escrito da Pearson Education do Brasil. DIRETOR EDITORIAL E DE CONTEÚDO Roger Trimer GERAL DE PROJETOS EDITORIAIS Sabrina Cairo EDITORIAL Kelly Tavares DA CENTRAL DE CONTEÚDOS Thais Falcão SUPERVISORA DE PRODUÇÃO EDITORIAL Silvana Afonso SUPERVISOR DE ARTE E PRODUÇÃO GRÁFICA Sidnei Moura COORDENADOR DE PRODUÇÃO EDITORIAL Sérgio Nascimento EDITOR DE AQUISIÇÕES Vinícius Souza EDITORAS DE TEXTO Cibele Cesario e Ana Antonio EDITOR ASSISTENTE Luiz Salla TRADUÇÃO Kleber Roberto Pedroso e Regina Célia Simille de Macedo PREPARAÇÃO Beatriz Garcia REVISÃO Carmen Simões, Norma Gusukuma, Maria Cecília Madarás, Juliana Rochetto e Raura Ikeda ÍNDICE REMISSIVO Luiz Salla CAPA Solange Rennó DIAGRAMAÇÃO Globaltec Editorial & Marketing Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Cálculo, volume 1 / George B. Thomas... [et al.]; tradução Kleber Pedroso e Regina Simille de Macedo; revisão técnica Claudio Hirofume Asano. -12. ed. - São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. Outros autores: Maurice D. Weir, Joel Hass Título original: Calculus. ISBN 978-85-8143-086-7 1. Cálculo I. Thomas, George B. II. Weir, Maurice D. III. Hass, Joel. 12-11306 CDD-515 Índice para catálogo 1. Cálculo Matemática 515 Novembro 2012 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil Ltda., uma empresa do grupo Pearson Education Rua Nelson Francisco, 26 CEP 02712-100 - São Paulo - SP - Brasil Fone: 11 2178-8686 - Fax: 11 vendas@pearson.com</p><p>SUMÁRIO Prefácio vii 1 FUNÇÕES 1 1.1 Funções e seus gráficos 1 1.2 Combinando funções; e mudando a escala dos gráficos 13 1.3 Funções trigonométricas 21 1.4 Elaboração de gráficos usando calculadoras e computadores 28 1.5 Funções exponenciais 32 1.6 Funções inversas e logaritmos 37 QUESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO 49 EXERCÍCIOS PRÁTICOS 49 EXERCÍCIOS ADICIONAIS E AVANÇADOS 51 2 LIMITES E CONTINUIDADE 54 2.1 Taxas de variação e tangentes das curvas 54 2.2 Limite de uma função e leis do limite 61 2.3 Definição precisa de limite 72 2.4 Limites laterais 81 2.5 Continuidade 87 2.6 Limites que envolvem infinidade; assíntotas de gráficos 98 QUESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO 111 EXERCÍCIOS PRÁTICOS 112 EXERCÍCIOS ADICIONAIS E AVANÇADOS 113 3 DERIVAÇÃO 117 3.1 Tangentes e derivadas em um ponto 117 3.2 A derivada como função 121 3.3 Regras de derivação 129 3.4 Derivada como taxa de variação 140 3.5 Derivadas de funções trigonométricas 150 3.6 Regra da cadeia 156 3.7 Derivação implícita 164 3.8 Derivadas de funções inversas e logaritmos 169 3.9 Funções trigonométricas inversas 178 3.10 Taxas relacionadas 184 3.11 Linearização e diferenciais 193 QUESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO 203 EXERCÍCIOS PRÁTICOS 204 EXERCÍCIOS ADICIONAIS E AVANÇADOS 209 4 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS 212 4.1 Valores extremos de funções 212 4.2 Teorema do valor médio 219 4.3 Funções monotônicas e o teste da primeira derivada 227 4.4 Concavidade e esboço de curvas 232 4.5 Formas indeterminadas e regra de l'Hôpital 243 4.6 Otimização aplicada 251 4.7 Método de Newton 262 4.8 Primitivas 267 QUESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO 277 EXERCÍCIOS PRÁTICOS 277 EXERCÍCIOS ADICIONAIS E AVANÇADOS 281</p><p>vi Cálculo 5 INTEGRAÇÃO 285 5.1 Área e estimativa com somas finitas 285 5.2 Notação sigma e limites de somas finitas 295 5.3 A integral definida 301 5.4 Teorema fundamental do cálculo 313 5.5 Integrais indefinidas e regra da substituição 324 5.6 Substituição e área entre curvas 332 QUESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO 342 EXERCÍCIOS PRÁTICOS 342 EXERCÍCIOS ADICIONAIS E AVANÇADOS 346 6 APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS 351 6.1 Volumes por seções transversais 351 6.2 Volumes por cascas cilíndricas 362 6.3 Comprimento de arco 370 6.4 Áreas de superfícies de revolução 376 6.5 Trabalho e forças de fluidos 381 6.6 Momentos e centros de massa 390 QUESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO 401 EXERCÍCIOS PRÁTICOS 401 EXERCÍCIOS ADICIONAIS E AVANÇADOS 403 7 FUNÇÕES TRANSCENDENTES E INTEGRAIS 405 7.1 Logaritmo definido como uma integral 405 7.2 Variação exponencial e equações diferenciais separáveis 415 7.3 Funções hiperbólicas 424 7.4 Taxas relativas de crescimento 432 QUESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO 438 EXERCÍCIOS PRÁTICOS 438 EXERCÍCIOS ADICIONAIS E AVANÇADOS 439 8 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 441 8.1 Integração por partes 442 8.2 Integrais trigonométricas 450 8.3 Substituições trigonométricas 455 8.4 Integração de funções racionais por frações parciais 459 8.5 Tabelas de integrais e sistemas de álgebra computacional 469 8.6 Integração numérica 474 8.7 Integrais impróprias 484 QUESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO 495 EXERCÍCIOS PRÁTICOS 495 EXERCÍCIOS ADICIONAIS E AVANÇADOS 497 9 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 502 9.1 Soluções, campos de direção e método de Euler 502 9.2 Equações lineares de primeira ordem 510 9.3 Aplicações 516 9.4 Soluções gráficas de equações autônomas 522 9.5 Sistemas de equações e planos de fase 529 QUESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO 535 EXERCÍCIOS PRÁTICOS 535 EXERCÍCIOS ADICIONAIS E AVANÇADOS 536 Apêndices 539 Respostas selecionadas 579 Índice remissivo 619 Breve tabela de integrais 629</p><p>PREFÁCIO Com o propósito de atender às necessidades atuais de alunos e professores, revisamos cuidadosamente esta edição de Cálculo. resultado é um livro com uma variedade maior de exemplos, mais exercícios de nível médio, mais figuras e melhor fluxo conceitual, bem como mais clareza e precisão. Como nas edições anteriores, esta nova edição apresenta uma introdução moderna ao cálculo que apoia a compreen- são conceitual e mantém os elementos essenciais de um curso tradicional. Nesta décima segunda edição, apresentamos as funções transcendentes básicas no Capítulo 1. Após revisar as funções trigonométricas básicas, apresen- tamos a família de funções exponenciais, utilizando abordagem algébrica e grá- fica, com a exponencial natural descrita como membro específico dessa família. Os logaritmos foram então definidos como funções inversas das exponenciais, e as funções trigonométricas inversas também foram discutidas. Essas funções foram plenamente incorporadas ao nosso desenvolvimento de limites, derivadas e integrais nos cinco capítulos seguintes do livro, incluindo exemplos e exercícios. Essa abordagem oferece aos alunos a oportunidade de trabalhar o quanto antes com funções exponenciais e logarítmicas juntamente com funções polinomiais, racionais e algébricas e funções trigonométricas, à medida que conceitos, opera- ções e aplicações do cálculo de variáveis únicas são aprendidos. Mais adiante, no Capítulo 7, revisitamos a definição de funções transcendentes, agora com uma apresentação mais acurada. Definimos a função logaritmo natural como uma inte- gral que tem exponencial natural como sua inversa. Muitos de nossos alunos estiveram em contato com a terminologia e com os aspectos computacionais do cálculo durante o ensino médio. Apesar dessa familia- ridade, a destreza do estudante em álgebra e trigonometria muitas vezes o impede de ser bem-sucedido na sequência de cálculo na faculdade. Nesta edição, procura- mos equilibrar a experiência prévia dos alunos em cálculo com o desenvolvimento da habilidade algébrica que ainda pode ser necessária, sem prejudicar ou arruinar a autoconfiança de cada um. Tomamos o cuidado de fornecer material de revisão suficiente, acrescido de soluções completas e exercícios que oferecessem suporte ao entendimento completo de alunos de todos os níveis. Incentivamos os alunos a raciocinar, em vez de memorizar fórmulas, e a ge- neralizar conceitos à medida que eles são apresentados. Esperamos que, depois de aprenderem cálculo, eles se sintam confiantes em resolver problemas e em sua habi- lidade de raciocínio. A recompensa é o domínio de um belo assunto, com aplicações práticas no mundo real, mas o verdadeiro presente são as capacidades de pensar e generalizar. Esperamos que este livro forneça apoio e incentivo a ambas. Inovações da décima segunda edição CONTEÚDO Ao preparar esta edição, mantivemos a estrutura básica do conteúdo da décima primeira edição. Levamos em conta as solicitações dos leitores atuais e dos revisores em adiar a introdução de equações paramétricas até que as coordena-</p><p>viii Cálculo das polares fossem apresentadas. Efetuamos várias revisões na maioria dos capítu- los, detalhadas a seguir: Funções Resumimos o Capítulo 1, Volume 1, para que ele tivesse como foco a revisão dos conceitos de função e a apresentação das funções Nos Apêndices 1 a 3, apresentamos os pré-requisitos materiais que abrangem números reais, intervalos, incrementos, retas, distâncias, círculos e parábolas. Limites Para melhorar o fluxo do capítulo, combinamos as ideias de limites que envolvem infinitude e as associações das assíntotas com gráficos de fun- ções, dispondo-os juntos na seção final do Capítulo 3, Volume 1. Derivadas Ao usar taxas de variação e tangentes às curvas como motivação ao estudo do conceito de limite, fundimos o conceito de derivada em um único capítulo. Reorganizamos e aumentamos o número de exemplos relacionados a taxas e acrescentamos outros exemplos e exercícios sobre gráficos de funções racionais. A regra de L'Hôpital é apresentada como uma seção de aplicação, coerente com a abrangência anterior sobre funções transcendentes. Primitivas e integração Mantivemos a organização da décima primeira edi- ção ao colocarmos as primitivas como o tópico final do Capítulo 4, Volume 1, passando pelas aplicações de derivadas. Nosso foco é a "recuperação de uma função a partir de sua derivada" como solução para o tipo mais simples de equação diferencial de primeira ordem. Um tema novo que compõe a essência do Capítulo 5, Volume 1, são as integrais como "somas dos limites de Rie- mann", motivado a princípio pelo problema de determinar as áreas de regiões gerais com limites curvos. Após o desenvolvimento cuidadoso do conceito de integral, voltamos nossa atenção ao cálculo dela e à sua ligação com as primi- tivas provenientes do teorema fundamental do cálculo. Assim, as aplicações seguintes definem as várias ideias geométricas de área, volume, comprimento de caminhos e centroides como limites das somas de Riemann que geram integrais definidas que podem ser calculadas por meio da determinação da primitiva do integrando. Mais adiante, retornamos ao assunto de como solu- cionar equações diferenciais de primeira ordem mais complexas. Equações diferenciais Algumas universidades preferem que esse assunto seja tratado em um curso à parte. Embora tenhamos abrangido soluções para equações diferenciais separáveis no Capítulo 7, Volume 1, ao tratarmos as aplicações de crescimento e decaimento exponencial de funções integrais e transcendentes, a maior parte de nosso material foi organizada em dois capí- tulos (passíveis de serem omitidos na sequência de cálculo). No Capítulo 9, Volume 1, introduzimos as equações diferenciais de primeira ordem, incluin- do uma nova seção sobre sistemas e planos de fase com aplicações relativas aos modelos caçador competitivo e predador-presa. Séries Quanto à sequência e séries, mantivemos a mesma estrutura organi- zacional e o mesmo conteúdo da décima primeira edição. Adicionamos novas figuras e exercícios às várias e, para tornar o material mais acessível aos alunos, revisamos algumas das provas relacionadas à convergência de sé- ries de potência. Uma das solicitações de um de nossos leitores, "qualquer tentativa de tornar esse material mais fácil de ser compreendido por nossos alunos será bem recebido por nosso corpo docente", guiou nosso pensamento nas revisões do Capítulo 10, Volume 2. Equações paramétricas Vários leitores solicitaram que passássemos esse tópico para o Capítulo 11, Volume 2, em que incluímos também coordenadas polares e seções cônicas. Fizemos isso ao perceber que muitos departamentos escolhem abordar esses tópicos no início de Cálculo III, ao se prepararem para o assunto vetores e cálculo com multivariáveis. Funções vetoriais Simplificamos os assuntos do Capítulo 13, Volume 2, para enfatizar as ideias conceituais que apoiam o material posterior sobre de- rivadas parciais, vetores gradientes e integrais de linha. Condensamos as dis- cussões do plano de Frenet e as três leis do movimento planetário de Kepler. Cálculo com multivariável Nos capítulos que tratam desse assunto, refor- çamos ainda mais o projeto gráfico e adicionamos figuras novas, exemplos e exercícios. Reorganizamos o material de abertura em integrais duplas, e com-</p><p>Prefácio ix binamos as aplicações de integrais duplas e triplas para massas e momentos em uma única seção, abrangendo casos bidimensionais e Essa reorganização permitiu um melhor fluxo dos conceitos básicos da matemática, em conjunto com suas propriedades e aspectos computacionais. Assim como na décima primeira edição, continuamos a fazer a conexão da ideia de multivariá- veis com a ideia análoga de variáveis únicas abordada no início do livro. Campos vetoriais Devotamos um esforço considerável para aumentar a clareza e a precisão matemática no tratamento de cálculo vetorial integral, incluindo muitos exemplos adicionais, figuras e exercícios. Os teoremas e os resultados importantes são apresentados de forma mais clara e comple- ta, juntamente com explicações avançadas de suas hipóteses e consequências matemáticas. Agora, a área da superfície está organizada em uma única seção, e as superfícies definidas implícita ou explicitamente são tratadas como casos especiais de uma representação paramétrica mais geral. Em uma seção sepa- rada, são apresentadas as integrais de superfície e suas aplicações. o teorema de Stokes e o teorema da divergência continuam sendo apresentados como generalizações do teorema de Green para três dimensões. EXERCÍCIOS E EXEMPLOS Sabemos que exercícios e exemplos são componentes críticos para a aprendizagem de cálculo. Devido a essa importância, atualizamos, melhoramos e aumentamos o número de exercícios em quase todas as seções do livro. Nesta edição, há mais de 700 exercícios novos. Como nas edições anterio- res, continuamos a organizar e agrupar os exercícios por temas, progredindo de problemas computacionais para problemas aplicados e teóricos. Os exercícios que requerem a utilização de sistemas de software de computador (como o Maple ou foram colocados ao final de cada seção de exercícios, sob o título "Uso do computador". A maioria dos exercícios aplicados têm um subtítulo para indicar o tipo de aplicação ao qual o problema se refere. Muitas seções incluem novos exemplos para esclarecer ou aprofundar o sig- nificado do tema que está sendo discutido e para ajudar os alunos a compreender suas consequências matemáticas ou aplicações em ciência e engenharia. Ao mesmo tempo, foram excluídos os exemplos que repetiam o material já apresentado. PROJETO GRÁFICO Percebendo sua importância na aprendizagem do cálculo, continuamos a aprimorar as figuras atuais nesta nova edição, e criamos um número significativo de novas figuras. Verificamos também as legendas, prestando muita atenção à clareza e à precisão em frases curtas. Não importa que número positivo seja o gráfico y entra nesta banda 1 e permanece. Z e 1 0 M Não importa que número positivo seja o gráfico entra nesta banda em x e permanece. FIGURA 2.50 Geometria por trás do argu- FIGURA 16.9 Superfície em um espaço mento no Exemplo 1. ocupado por um fluido móvel.</p><p>Cálculo Características preservadas RIGOR nível de rigor é consistente com o de edições anteriores. Continuamos a distinguir entre as discussões formais e informais e apontar suas diferenças. En- tendemos que a adesão a uma abordagem mais intuitiva e menos formal ajuda os alunos a compreender um conceito novo ou difícil para que possam, então, apreciar a precisão matemática e seus resultados de forma completa. Tivemos cuidado ao definir ideias e demonstrar os teoremas de forma adequada aos alunos de cálculo, mencionando que questões mais profundas ou sutis devem ser estudadas em um curso mais avançado. A organização e a distinção entre as discussões formais e informais oferecem ao professor um grau de flexibilidade em quantidade e profun- didade na abrangência dos diversos tópicos. Por exemplo, enquanto não provamos o teorema do valor intermediário ou o teorema do valor extremo para funções con- tínuas no intervalo entre a explicamos esses teoremas de forma precisa, ilustrando seus significados em inúmeros exemplos e utilizando cada um deles para provar outros resultados importantes. Além disso, para os professores que desejam uma abordagem ainda mais profunda, discutimos no Apêndice 6 a dependência da validade desses teoremas em relação à completude dos números reais. EXERCÍCIOS ESCRITOS O objetivo dos exercícios escritos encontrados ao longo do texto é estimular os alunos a explorar e explicar uma variedade de conceitos de cál- culo e aplicações. Além disso, ao final de cada capítulo há uma lista de perguntas que ajudam os alunos a analisar e resumir o que aprenderam. REVISÕES E PROJETOS NO FINAL DE CAPÍTULO Além dos exercícios ao final de cada seção, cada capítulo é encerrado com questões de revisão, exercícios práticos que abrangem todo o capítulo e uma série de exercícios adicionais e avançados que servem para incluir problemas mais desafiadores e abrangentes. A maioria dos capítulos também inclui descrições de diversos projetos de aplicações de tecno- logia que podem ser trabalhados individualmente ou em grupos durante um longo período de tempo. Esses projetos requerem o uso de um computador que execute Mathematica ou Maple. REDAÇÃO E APLICAÇÕES Como sempre, este livro continua fácil de ser lido, colo- quial e matematicamente rico. Cada tópico novo é motivado por exemplos claros e de fácil compreensão, e são reforçados por sua aplicação a problemas do mundo real de interesse imediato para os alunos. O que distingue este livro é a aplicação do cálculo em ciência e engenharia. Os problemas aplicados foram atualizados, melho- rados e estendidos continuamente ao longo das últimas edições. TECNOLOGIA Em um curso que utilize texto, a tecnologia pode ser incorporada de acordo com a vontade do professor. Cada seção contém exercícios que requerem o uso de tecnologia; eles estão marcados com um se forem adequados ao uso de calculadora ou de computador, ou estão na seção "Uso do computador" se exigirem um sistema de álgebra computacional (SAC, tal como Maple ou Mathematica). No site sv.pearson.com.br, professores e estudantes podem acessar os se- guintes materiais adicionais: Para professores: Apresentações em PowerPoint. Manual de soluções (em inglês). Resolução dos exercícios avançados. Para estudantes: Exercícios de múltipla escolha. Biografias e ensaios históricos.</p><p>Prefácio xi Capítulo adicional, exclusivamente on-line, sobre equações diferenciais de segunda ordem. Exercícios avançados. Agradecimentos Agradecemos às pessoas que fizeram inúmeras contribuições valiosas a esta edição em suas muitas etapas de desenvolvimento: Revisores técnicos Blaise DeSesa Paul Lorczak Kathleen Pellissier Lauri Semarne Sarah Streett Holly Zullo Revisores da décima segunda edição Meighan Dillon, Southern Polytechnic State University Anne Dougherty, University of Colorado Said Fariabi, San Antonio College Klaus Fischer, George Mason University Tim Flood, Pittsburg State University Rick Ford, California State University - Chico Robert Gardner, East Tennessee State University Christopher Heil, Georgia Institute of Technology Joshua Brandon Holden, Rose-Hulman Institute of Technology Alexander Hulpke, Colorado State University Jacqueline Jensen, Sam Houston State University Jennifer M. Johnson, Princeton University Hideaki Kaneko, Old Dominion University Przemo Kranz, University of Mississippi Xin Li, University of Central Florida Maura Mast, University of Massachusetts - Boston Val Mohanakumar, Hillsborough Community College - Dale Mabry Campus Aaron Montgomery, Central Washington University Christopher M. Pavone, California State University at Chico Cynthia Piez, University of Idaho Brooke Quinlan, Hillsborough Community College - Dale Mabry Campus Rebecca A. Segal, Virginia Commonwealth University Andrew V. Sills, Georgia Southern University Alex Smith, University of Wisconsin - Eau Claire Mark A. Smith, Miami University Donald Solomon, University of Wisconsin - Milwaukee John Sullivan, Black Hawk College Maria Terrell, Cornell University Blake Thornton, Washington University in St. Louis David Walnut, George Mason University Adrian Wilson, University of Montevallo Bobby Winters, Pittsburg State University Dennis Wortman, University of Massachusetts - Boston</p><p>xii Cálculo Agradecimentos dos editores brasileiros Agradecemos às professoras Helena Maria Ávila de Castro e Sônia Regina Lei- te Garcia, pelos exercícios avançados contidos na Sala Virtual; ao professor Mari- valdo Pereira Matos, pelo apêndice sobre sistemas bidimensionais com coeficientes constantes, também contido na Sala Virtual; e ao professor Claudio Hirofume Asa- no, pelas suas ricas contribuições, sábias observações e explicações.</p>