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Organizadora: Editora Moderna Obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna. Editores responsáveis: Mara Regina Garcia Gay Willian Raphael Silva Componente curricular: MATEMÁTICA ºANO666666 MANUAL DO PROFESSOR MANUAL DO PROFESSOR 1a edição São Paulo, 2018 Organizadora: Editora Moderna Obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna. Editores responsáveis: Mara Regina Garcia Gay Bacharel e licenciada em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Professora de Matemática em escolas públicas e particulares de São Paulo por 17 anos. Editora. Willian Raphael Silva Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo. Professor e Editor. Componente curricular: MATEMÁTICA 6ºANO Edição de texto: Juliana Ikeda, Mateus Coqueiro Daniel de Souza, Izabel Batista Bueno Assistência editorial: Alessandra Abramo Felix, Jéssica Rocha Batista, Marcos Gasparetto de Oliveira, Paulo César Rodrigues dos Santos Preparação de texto: Denise Ceron Gerência de design e produção gráfica: Everson de Paula Coordenação de produção: Patricia Costa Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite Projeto gráfico: Daniel Messias, Daniela Sato, Mariza de Souza Porto Capa: Daniel Messias, Mariza de Souza Porto, Otávio dos Santos Foto: VTT Studio/Shutterstock, Tussiksmail/Depositphotos/Fotoarena Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Priscila Sanches Tobal Editoração eletrônica: Grapho Editoração, Teclas Editorial Edição de infografia: Giselle Hirata, Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen Ilustrações de vinhetas: Daniel Messias, Daniela Sato, Mariza de Souza Porto Coordenação de revisão: Maristela S. Carrasco Revisão: Ana Maria C. Tavares, Ana Paula Felippe, Cecilia Oku, Márcia Leme, Renata Brabo, Renato da Rocha, Rita de Cássia Sam, Simone Garcia, Thiago Dias, Vânia Bruno, Viviane Oshima Coordenação de pesquisa iconográfica: Luciano Baneza Gabarron Pesquisa iconográfica: Carol Böck, Marcia Sato Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, Marina M. Buzzinaro Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro Impressão e acabamento: 1 3 5 7 9 10 8 6 4 2 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2018 Impresso no Brasil Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Araribá mais : matemática : manual do professor / organizadora Editora Moderna ; obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna ; editores responsáveis Mara Regina Garcia Gay, Willian Raphael Silva. – 1. ed. – São Paulo : Moderna, 2018. Obra em 4 v. do 6o ao 9o ano. Bibliografia. 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Gay, Mara Regina Garcia. II. Silva, Willian Raphael. 18-16927 CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964 Elaboração de originais do material impresso: Mara Regina Garcia Gay Bacharel e licenciada em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Professora e Editora. Willian Raphael Silva Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo. Professor e Editor. Everton José Luciano Licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras do Centro Universitário Fundação Santo André. Professor e Editor. Fabio Martins de Leonardo Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo. Editor. Juliana Ikeda Licenciada em Matemática pela Universidade de São Paulo. Editora. Maria José Guimarães de Souza Mestra em Ciências pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. Professora e Editora. Mateus Coqueiro Daniel de Souza Mestre em Ciências pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. Professor e Editor. Romenig da Silva Ribeiro Mestre em Ciências pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. Professor e Editor. Cintia Alessandra Valle Burkert Machado Mestra em Educação, na área de Didática, pela Universidade de São Paulo. Assessora pedagógica. Erica Toledo Catalani Mestra em Educação pela Universidade Estadual de Campinas. Professora. Juliane Matsubara Barroso Bacharel e licenciada em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Professora e Editora. Luciana de Oliveira Gerzoschkowitz Moura Mestra em Educação pela Universidade de São Paulo. Professora. Maria Cecília da Silva Veridiano Licenciada em Matemática pela Universidade de São Paulo. Editora. Paulo Cesar da Penha Mestre em Educação pela Universidade São Francisco. Professor. Selene Coletti Licenciada em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras “Prof. José Augusto Vieira” da Fundação Educacional de Machado. Professora. Elaboração de originais do material digital: Mara Regina Garcia Gay Bacharel e licenciada em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Professora e Editora. Willian Raphael Silva Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo. Professor e Editor. Claudia Cristiane Bredariol Lucio Mestra em Educação pela Universidade São Francisco. Professora. Dioneia Biraia Vicentini Licenciada em Matemática pela Universidade São Francisco. Professora. Luciane de Fatima Bredariol Licenciada em Matemática pela Universidade São Francisco. Professora. Luci Mara Gotardo Licenciada em Ciências pela Universidade São Francisco. Professora. Monica Thais Bredariol da Silva Licenciada em Matemática pela Universidade São Francisco. Professora. Paulo César Rodrigues dos Santos Bacharel em Sistemas de Informação pelo Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação da Universidade de São Paulo. Editor. Selene Coletti Licenciada em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras “Prof. José Augusto Vieira” da Fundação Educacional de Machado. Professora. III APRESENTAÇÃO Caro professor, Este manual tem a finalidade de auxiliá-lo a desenvolver as situações didáticas propostas nesta coleção, ajudando-o no encaminhamento do trabalho durante o ano letivo. Ele está dividido em duas partes: • Orientações gerais: composta de reflexões sobre o ensino da Matemática; formação do professor; textos de aprofundamento; considerações sobre a avaliação; princípios norteadores; estrutura da coleção e sugestões de jogos e atividades para completar o trabalho pedagógico. • Orientações específicas: essa parte apresenta as páginas do Livro do Estudante, em formato menor, e ao lado delas as orientações específicas relacionadas ao conteúdo e às atividades propostas. No decorrer dessas orientações, são feitas referências a competências gerais, competências específicas e habilidades constantes da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), homologada em dezembro de 2017. Além deste manual do professor impresso, esta coleção conta com o material do professor digital, que oferece mais subsídios para o desenvolvimento anual, dividido em quatro bimestres, dos conteúdos e recursos para o dia a dia da sala de aula, como plano de desenvolvimento indicando os conteúdos distribuídos em bimestres, projeto integrador envolvendo outras disciplinas além da Matemática, sequências didáticas com orientações aula a aula, avaliações bimestrais acompanhadas de gabarito comentado, grade de correção e ficha de acompanhamento bimestral para serem usadas em conselhos de classe, material digital audiovisual para uso em sala de aula; tudo isso com o objetivo de contribuir com o trabalho docente. Ressaltamos que no manual do professor impresso há remissões aos itens do material digital. Bom trabalho! IV IVIVIV IV SUMÁRIO ORIENTAÇÕES GERAIS ...............................................................................................................V • Princípios norteadores da coleção ...............................................................................................V A Base Nacional Comum Curricular e as competências gerais da Educação Básica........................V Letramento matemático ..................................................................................................................VI Competências específicas de Matemática para o Ensino Fundamental ..........................................VI Exploração dos conhecimentos prévios .......................................................................................... VII Resolução de problemas ................................................................................................................. VII Unidades temáticas da BNCC .......................................................................................................... VIII Níveis de conhecimento .................................................................................................................... XI O processo de ensino -aprendizagem mediado pelas Tecnologias da Informação e Comunicação ......................................................................................................... XI • Avaliação em Matemática ............................................................................................................ XII Avaliação de trabalhos em grupo .................................................................................................... XII Avaliação de relatórios escritos ...................................................................................................... XII Autoavaliação ..................................................................................................................................XIII Fichas para acompanhamento ........................................................................................................XIII • Formação do professor .............................................................................................................. XV Indicações de leitura para o desenvolvimento profissional do professor ..................................... XV Sugestão de sites ...........................................................................................................................XVII Textos de aprofundamento ........................................................................................................... XVIII • A coleção ..................................................................................................................................... XXIII Estrutura e seções ........................................................................................................................ XXIII As competências gerais e específicas da BNCC na coleção ........................................................ XXVI As habilidades da BNCC na coleção ..............................................................................................XXIX • Conteúdos e habilidades correlacionadas ............................................................................ XXXIII • Fichas de estratégia para a seção Problemas para resolver .......................................... XXXVI • Resoluções de alguns problemas da seção Problemas para resolver ................................XL • Sugestões de atividades e jogos ..............................................................................................XLIV • Algumas respostas .......................................................................................................................LV • Planificações da superfície externa de sólidos geométricos ..............................................LVIII ORIENTAÇÕES ESPECÍFICAS – INÍCIO DO LIVRO DO ESTUDANTE ............................................ 1 Unidade 1 .......................................................................................................................................... 10 Capítulo 1: Números naturais e sistemas de numeração ......................................................12 Capítulo 2: Operações com números naturais ....................................................................32 Capítulo 3: Geometria: noções iniciais .................................................................................76 Unidade 2 ....................................................................................................................................... 100 Capítulo 4: Divisivibilidade: múltiplos e divisores .............................................................. 102 Capítulo 5: Frações ........................................................................................................... 119 Capítulo 6: Operações com frações ..................................................................................137 Unidade 3 ........................................................................................................................................ 160 Capítulo 7: Retas e ângulos .............................................................................................. 162 Capítulo 8: Números decimais.......................................................................................... 182 Capítulo 9: Operações com números decimais ................................................................. 196 Unidade 4 ....................................................................................................................................... 226 Capítulo 10: Localização e polígonos................................................................................ 228 Capítulo 11: Medidas de comprimento e medidas de superfície ........................................ 250 Capítulo 12: Medidas de tempo, massa, temperatura, espaço e capacidade......................275 V ORIENTAÇÕES GERAIS Princípios norteadores da coleção A Base Nacional Comum Curricular e as competências gerais da Educação Básica O principal objetivo da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), documento do Ministério da Educação (MEC), ho- mologado no final do ano de 2017, é promover a equidade na educação e, com isso, reverter a histórica situação de exclusão social do país. Para isso, a BNCC visa oferecer igualdade de oportunidades por meio da definição das aprendizagens es- senciais que crianças e jovens precisam desenvolver ano a ano durante a Educação Básica. Tais aprendizagens são organizadas a partir de compe- tências, gerais e específicas, e habilidades que direcionam a formação integral de todos os estudantes em suas variadas dimensões (intelectual, afetiva, ética, física, sociopolítica etc.). Esse direcionamento está ligado aos princípios éticos, estéticos e políticos das Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica (DCN) e da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Na- cional (LDB – Lei no 9.394/1996) e visa à consolidação de um pacto interfederativo, pelo qual diferentes atores educacionais (União, Estados, Distrito Federal, Municípios, instituições privadas) consolidem um intenso regime de colaboração em prol da almejada equidade, permitindo também a participação mais consciente de toda a sociedade no acompanhamento das práticas educativas propostas. Apoiada nesses princípios e para atender às demandas do século XXI, de formar cidadãos participativos, conscientes, integrados à sociedade e ao mundo do trabalho, a BNCC pro- põe que, ao longo do percurso escolar, da Educação Infantil ao Ensino Médio, sejam desenvolvidas dez competências gerais da Educação Básica que se inter-relacionam, sobrepondo-se e interligando-se na construção de conhecimentos e habilidades e na formação de atitudes e valores. São elas: 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma socie- dade justa, democrática e inclusiva. 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnoló- gicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. 3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural. 4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual- -motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e par- tilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, signifi- cativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, auto- nomia, consciência crítica e responsabilidade. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações con- fiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com au- tocrítica e capacidade para lidar com elas. 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o res- peito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencia- lidades, sem preconceitos de qualquer natureza. 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, respon- sabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, demo- cráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. (BRASIL. Base Nacional Comum Curricular, 2018, p. 9.) Esse conjunto de competências, que deve ser desenvolvido no decorrer dos anos do Ensino Fundamental (anos iniciais e finais) explicita o compromisso da educação brasileira com a formação humana integral e com a construção de uma socie- dade justa, democrática e inclusiva. Esta coleção favorece o desenvolvimento dessas competên- cias na medida em que propõe diferentes situações de ensino nas quais os alunos devem ser capazes de identificar proble- mas, compreender os conceitos, propor e testar soluções, interagir com os colegas, argumentar, expressar princípios e valores que se relacionam com as dimensões da vida social e da natureza, da tecnologia, das manifestações culturais, das VI relações com o mundo do trabalho, do consumo responsável, do cuidado de si, do outro e do planeta, contribuindo para o letramento matemático. No tópico “A coleção”, descreve- remos com detalhes de que forma é feito esse trabalho com as competências gerais. Letramento matemático O termo “letramento matemático” é definido no PISA 2012, p. 18, como “... a capacidade individual de formular, empregar e interpretar a matemática em uma variedade de contextos. Isso inclui raciocinar matematicamente e utilizar conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas para descrever, explicar e predizer fenômenos. Isso auxilia os indivíduos a reconhecer o papel que a matemática exerce no mundo e para que cidadãos construtivos, engajados e reflexi- vos possam fazer julgamentos bem fundamentados e tomar as decisões necessárias”. A evolução de técnicas e tecnologias representa um desafio para a formação de cidadãos construtivos, engajados e reflexi- vos tais como citados no documento do PISA. Dessa forma, é necessário formar pessoas que compreendam e consigam usar essas técnicas e tecnologias em sua vida pessoal e no mercado de trabalho. Uma habilidade importante nesse contexto é de- nominada pensamento computacional (PC), que atualmente tem recebido destaque em vários currículos de Educação Básica pelo mundo. Entende-se pensamento computacional como uma habilidade voltada à resolução de problemas de maneira sistemática, ou seja, uma habilidade que consiste em abstrair as informações de determinado problema, encontrar um padrão que gera esse tipo de problema e, finalmente, propor uma solução algorítmica, na qual se obtém a solução de uma classe de problemas por meio de uma sequência finita e bem definida de passos a serem seguidos. A Matemática está bastante relacionada ao PC na medida em que diversas ferramentas, por exemplo, da Álgebra, fazem parte da linguagem e construção dos algoritmos. São exem- plos dessa proximidade a ideia de variável e a identificação de padrões em sequências. Além disso, em Matemática é muito comum encontrarmos o termo “algoritmo”; por exemplo, algoritmo da adição, algoritmo da subtração, algoritmo da divisão euclidiana e afins. Assim, em consonância com as ideias propostas na BNCC e no PISA, esta coleção dá início ao desenvolvimento de habilidades relacionadas ao pensamento computacional. Os conceitos e as atividades sobre PC podem ser encon- trados em um boxe denominado Pensamento computacional, entre os conteúdos ou em atividades próximas dos contextos matemáticos adequados. Um exemplo de atividade é a análise e a composição de algoritmo para determinar se um número natural qualquer é par ou não, em que o conceito de seleção de fluxo de um algoritmo é trabalhado intuitivamente. Competências específicas de Matemática para o Ensino Fundamental De acordo com a BNCC, o componente curri cular de Ma- temática deve garantir aos alunos, no decorrer dos anos do Ensino Fundamental (anos iniciais e finais), o desenvolvimento das seguintes competências específicas: 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para com- preender e atuar no mundo. 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álge- bra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseve- rança na busca de soluções. 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhe- cimento, validando estratégias e resultados. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expres- sar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como flu- xogramas, e dados). 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretu- do, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizan- do a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, traba- lhando coletivamente no planejamento e desenvolvimen- to de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma de- terminada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. (BRASIL. Base Nacional Comum Curricular, 2018, p. 265.) VII Há vários caminhos para o desenvolvimentos dessas com- petências. Destacamos dois: exploração dos conhecimentos prévios do aluno e resolução de problemas. Exploração dos conhecimentos prévios Hoje, considera -se que o conhecimento escolar não é restrito aos conteúdos dos livros didáticos, nem somente aos conheci- mentos dos professores. O aluno desse segmento já passou por diversas vivências escolares e familiares e, portanto, já acumulou uma certa “bagagem”. Esses conhecimentos, adquiridos, na esco- la ou não, são chamados de conhecimentos prévios. Para muitos teóricos, como David Ausubel, eles são considerados uma âncora na aprendizagem de um novo conceito, em que o antigo conceito é modificado ou detalhado para se obter um novo conhecimento. Ou seja, o novo conhecimento se integra à estrutura cognitiva do aluno, ancorando -se em um conhecimento antigo. Segundo Ausubel, a essência do processo de aprendi- zagem significativa está em que ideias simbolicamente expressas sejam relacionadas de maneira não arbitrária e substantiva (não literal) ao que o aprendiz já sabe, ou seja, a algum aspecto relevante da sua estrutura de conhe- cimento (i.e., um subsunçor que pode ser, por exemplo, algum símbolo, conceito ou proposição já significativo). MOREIRA, M. A.; MASINI, E. F. S. Aprendizagem signi�cativa: a teoria de David Ausubel. São Paulo: Moraes, 1982. p. 13 -14. Entendemos, então, que a aprendizagem terá significado se, antes de introduzir um novo conceito, o professor retomar um conteúdo matemático que os alunos já dominem ou partir de uma situação do dia a dia, para que haja interação desse conhecimento com o novo. Esse processo se contrapõe ao aprendizado mecânico, em que os alunos devem saber resolver tipos de exercícios ou de- corar um conceito. A retomada de um conteúdo matemático e a conexão com um novo conceito permitem perceber algumas relações da rede de conceitos. Outro aspecto relevante é a introdução de um conceito ancorado em uma situação cotidiana, o que, além de resgatar os conhecimentos prévios, pode ser motivador, criando um ambiente favorável ao aprendizado. Também é preciso lembrar que o conhecimento matemá- tico pode ser apresentado em relação com os contextos que lhe deram origem ou que demandam sua aplicação. Trata -se de um conhecimento historicamente construído, em estreita conexão com a realidade das comunidades que o produziram e com as outras ciências que nele se embasam, que lhe pro- põem novos problemas, ou que utilizam seus instrumentos. Da mesma forma, internamente, também devem ser realizadas conexões entre os diferentes campos da Matemática, como a Aritmética, a Geometria, a Álgebra etc. Organizar o trabalho para favorecer diferentes relações, além de muito importante, oferece a possibilidade de otimizar o tempo. Resolução de problemas É importante destacar que os aspectos estruturais da Ma- temática incluem conhecimentos de termos, procedimentos e conceitos usualmente ensinados nas escolas, mas também incluem saber de que forma esses aspectos são estruturados e empregados. Muitas vezes, os alunos estão familiariza- dos com os aspectos estruturais da Matemática, mas não conhecem a natureza desse conhecimento ou a maneira de utilizá -lo na resolução de um problema. Eles devem ser capazes de aplicar a Matemática aprendida na escola – pro- blemas de livros didáticos – na vida diária, em contextos menos estruturados, nos quais as instruções não são tão claras. Devem, assim, tomar decisões quanto à relevância de certo conhecimento naquela situação e à maneira de aplicá- -lo da forma mais útil, ou seja, devem aprender a empregar a Matemática em situações diversificadas. Muitos estudos discutem as etapas da resolução de um problema, como os do conhecido pesquisador George Polya, mas ressaltamos o documento Estrutura de Avaliação do PISA (Programa Internacional de Avaliação de Estudantes) – 2003, que aborda a resolução de problemas de forma bastante interessante. Segundo esse documento, a resolução de problemas requer dos alunos o uso de competências e habilidades adquiridas durante sua escolarização e em experiências de vida. O docu- mento chama de matematização o processo de resolução de problemas e apresenta suas etapas: • partir de um problema situado na realidade; • organizá -lo de acordo com conceitos matemáticos e identificar ideias matemáticas relevantes; • delimitar gradualmente a realidade por meio de proces- sos, como formular premissas, generalizar e formalizar, que promovem os aspectos matemáticos da situação e transformam o problema do mundo real em um problema matemático que represente a situação; • resolver o problema matemático; • dar sentido à solução em termos de situação real, identi- ficando as limitações da solução do problema real. A “matematização” (ou modelagem matemática) envolve inicialmente traduzir um problema da vida real para a Mate- mática. Esse processo inclui atividades como: a) identificar a Matemática relevante em relação a um proble- ma situado na realidade; b) representar o problema de forma diferente, organizá -lo de acordo com conceitos matemáticos e formular premissas apropriadas; c) compreender relações entre a linguagem do problema e a linguagem simbólica e formal necessária para interpretá -lo matematicamente; d) encontrar regularidades, relações, padrões; e) reconhecer aspectos isomórficos em relação a problemas conhecidos; f) traduzir o problema para um modelo matemático. Uma vez traduzido o problema para o modelo matemático, todo o processo deve prosseguir dentro da Matemática, em- VIIIVIII VIII pregando habilidades matemáticas conhecidas. Essa parte do processo de modelagem matemática, denominada parte dedutiva do ciclo de modelação, inclui o uso de: • diferentes representações e a conversão entre tais repre- sentações; • linguagem e operações simbólicas, formais e técnicas; • modelos matemáticos; • argumentação; • generalização. O último passo do processo de resolução de problemas envolve a reflexão sobre todo o processo de modelagem mate- mática e seus resultados. Há necessidade, então, de interpretar os resultados com atitude crítica e de validar todo o processo. Nesse ponto, o processo de modelagem passa da solução ma- temática para a solução real. Um problema, segundo o documento do PISA, envolve três componentes: as situações ou contextos em que se situa o proble- ma, o conteúdo matemático que deve ser utilizado para resolver o problema e as competências a serem ativadas para conectar a Matemática e o mundo real em que o problema é gerado. Situações ou contextos As situações ou contextos em que se situam os proble- mas podem ser da vida real ou da própria Matemática. O contexto envolve todos os elementos para a resolução de um problema. Um aspecto importante a avaliar é o “fazer Matemática em qualquer situação”. Estudos mostram que a escolha de proce- dimentos e representações matemáticos depende da situação em que um problema é apresentado. Para o PISA, a situação mais próxima do aluno é sua vida pessoal; depois vêm suas vivências escolar, profissional e de lazer; em seguida, vêm a comunidade local e a sociedade como se encontram em sua vida diária. As situações científicas são mais abstratas. O contexto de um problema inclui todos os elementos detalhados usados para formular o problema, incluindo os elementos matemáticos. Um problema da vida real deve oferecer um contexto autên- tico para o uso da Matemática. Se uma tarefa se refere a objetos, símbolos ou estruturas matemáticas e não faz referência a termos estranhos ao mundo da Matemática, o contexto da tarefa é consi- derado intramatemático, e a tarefa é classificada como pertencente a uma situação científica. Mas os problemas encontrados nas vi- vências dos alunos não são formulados em termos explicitamente matemáticos; eles se referem a objetos do mundo real. Esses con- textos de tarefa são denominados extramatemáticos, e os alunos precisam traduzi -los para uma forma matemática. Cabe destacar que é possível ainda introduzir nas atividades matemáticas um contexto hipotético, desde que apresente alguns dados reais, isto é, desde que não esteja tão distante da vida real, e permita o uso da Matemática para solucioná -lo. Conteúdos matemáticos O próximo componente do mundo real que deve ser con- siderado é o conteúdo matemático a que os alunos recorrem na resolução de um problema. Os conteúdos matemáticos são apresentados nos currículos organizadamente em torno de grandes eixos ou temas. O documento do PISA destaca essa or- ganização apresentando os temas: números e operações, gran- dezas e medidas; espaço e forma; tratamento da informação. Já a BNCC orienta a formulação de habilidades a serem desenvolvidas ao longo do Ensino Fundamental por meio de cinco unidades temáticas: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas e Probabilidade e Estatística, que devem ser exploradas de forma integrada e com ênfase variável de- pendendo do ano de escolarização. Mais adiante, neste manual, comentamos de forma resumida cada unidade temática na perspectiva dos anos finais do Ensino Fundamental. Nossa co- leção trabalha as unidades temáticas conforme a BNCC orienta. Competências Uma competência pressupõe a existência de recursos mo- bilizáveis, mas não se confunde com eles. Nenhum recurso pertence exclusivamente a uma competência, pois pode ser mobilizado por outras. Dessa forma, a maioria dos conceitos é utilizável em muitos contextos e está a serviço de muitas intenções. Ocorre o mesmo com os conhecimentos. Philippe Perrenoud define competência como a capacidade de agir eficientemente em determinado tipo de situação, com o apoio de conhecimentos, mas sem se limitar a eles. Quase toda ação mobiliza conhecimentos, algumas vezes elementares, outras vezes complexos e organizados em rede. As competências matemáticas necessárias para resolver um problema relacionam -se com a natureza do problema, com o sistema de representações utilizado, com os conteúdos envolvidos. Quando se fala em competências matemáticas, com alguma frequência elas são identificadas com as competências elementares de cálculo, ou no máximo com competências para efetuar algumas operações algébricas. Trata -se de uma ideia equivocada. Aprender procedimentos de cálculo isolados, por si só, não promove o contato dos alunos com as ideias e os mo- dos de pensar fundamentais da Matemática e não garante que sejam capazes de ativar os conhecimentos relevantes quando tiverem de enfrentar as situações -problema – mesmo as mais simples – que surgem em contextos diferentes. Unidades temáticas da BNCC Este item apresenta as unidades temáticas em que são or- ganizados os conteúdos matemáticos de acordo com a BNCC . Números A unidade temática Números tem como finalidade desenvolver o pensamento numérico, que implica o conhecimento de maneiras de quantificar atributos de objetos e de julgar e interpretar argumentos baseados em quantidades. No processo da construção da noção de número, os alunos precisam desenvolver, entre outras, as ideias de aproximação, proporcionalidade, equivalência e ordem, noções fundamentais da Matemática. Para essa construção, é importante propor, por meio de situações IX significativas, sucessivas ampliações dos campos nu- méricos. No estudo desses campos numéricos, devem ser enfatizados registros, usos, significados e operações. (BRASIL. Base Nacional Comum Curricular, 2018, p. 266.) Durante o Ensino Fundamental, os conhecimentos numé- ricos devem ser construídos pelos alunos num processo dia- lético, a fim de serem utilizados como instrumentos eficazes para resolver determinados problemas e como objetos que serão estudados, considerando -se suas propriedades, relações e o modo como se configuram historicamente. Um aspecto importante ao tratar de quantidades é o racio- cínio quantitativo. São componentes essenciais aqui o senso numérico, a compreensão da magnitude do número, o signi- ficado das operações, a representação dos números de várias formas. Ainda em relação ao raciocínio quantitativo, é preciso destacar a existência de diversas categorias numéricas criadas em função de diferentes problemas que a humanidade teve de enfrentar – números naturais, números inteiros positivos e negativos, números racionais (com representações fracionárias e decimais) e números irracionais. À medida que se deparam com novas situações -problema envolvendo as operações, os alunos aprimoram seu conceito de número. O trabalho a ser realizado com as operações deve ser ampliado nos últimos anos do Ensino Fundamental, concentrando -se na compreensão dos diferentes significados de cada uma, nas relações existentes entre elas e no estudo reflexivo do cálculo, contemplando seus diferentes tipos – exato e aproximado, mental e escrito –, e ainda no uso de diferentes campos numéricos. O trabalho deve ter continuidade no Ensino Médio, princi- palmente com a ampliação do estudo dos campos numéricos. Álgebra A unidade temática Álgebra, por sua vez, tem como finalidade o desenvolvimento de um tipo especial de pensamento – pensamento algébrico – que é essencial para utilizar modelos matemáticos na compreensão, representação e análise de relações quantitativas de gran- dezas e, também, de situações e estruturas matemáticas, fazendo uso de letras e outros símbolos. Para esse de- senvolvimento, é necessário que os alunos identifiquem regularidades e padrões de sequências numéricas e não numéricas, estabeleçam leis matemáticas que expressem a relação de interdependência entre grandezas em dife- rentes contextos, bem como criar, interpretar e transitar entre as diversas representações gráficas e simbólicas, para resolver problemas por meio de equações e inequa- ções, com compreensão dos procedimentos utilizados. As ideias matemáticas fundamentais vinculadas a essa unidade são: equivalência, variação, interdependência e proporcionalidade. Em síntese, essa unidade temática deve enfatizar o desenvolvimento de uma linguagem, o estabelecimento de generalizações, a análise da interde- pendência de grandezas e a resolução de problemas por meio de equações ou inequações. [...] No Ensino Fundamental – Anos Finais, os estudos de Álgebra retomam, aprofundam e ampliam o que foi traba- lhado no Ensino Fundamental – Anos Iniciais. Nessa fase, os alunos devem compreender os diferentes significados das variáveis numéricas em uma expressão, estabelecer uma generalização de uma propriedade, investigar a re- gularidade de uma sequência numérica, indicar um valor desconhecido em uma sentença algébrica e estabelecer a variação entre duas grandezas. É necessário, portanto, que os alunos estabeleçam conexões entre variável e fun- ção e entre incógnita e equação. As técnicas de resolução de equações e inequações, inclusive no plano cartesiano, devem ser desenvolvidas como uma maneira de repre- sentar e resolver determinados tipos de problema, e não como objetos de estudo em si mesmos. Outro aspecto a ser considerado é que a aprendizagem de Álgebra, como também aquelas relacionadas a outros campos da Matemática (Números, Geometria e Probabi- lidade e estatística), podem contribuir para o desenvolvi- mento do pensamento computacional dos alunos, tendo em vista que eles precisam ser capazes de traduzir uma situação dada em outras linguagens, como transformar situações-problema, apresentadas em língua materna, em fórmulas, tabelas e gráficos e vice-versa. Associado ao pensamento computacional, cumpre salientar a importância dos algoritmos e de seus fluxogra- mas, que podem ser objetos de estudo nas aulas de Mate- mática. Um algoritmo é uma sequência finita de procedi- mentos que permite resolver um determinado problema. Assim, o algoritmo é a decomposição de um procedimento complexo em suas partes mais simples, relacionando-as e ordenando-as, e pode ser representado graficamente por um fluxograma. A linguagem algorítmica tem pontos em comum com a linguagem algébrica, sobretudo em relação ao conceito de variável. Outra habilidade relativa à álgebra que mantém estreita relação com o pensamento compu- tacional é a identificação de padrões para se estabelecer generalizações, propriedades e algoritmos. (BRASIL. Base Nacional Comum Curricular, 2018, p. 268.) Geometria A Geometria envolve o estudo de um amplo conjunto de conceitos e procedimentos necessários para resolver problemas do mundo físico e de diferentes áreas do conhecimento. Assim, nessa unidade temática, estudar posição e deslocamentos no espaço, formas e relações entre elementos de figuras planas e espaciais pode desenvolver o pensamento geométrico dos alunos. Esse pensamento é necessário para investigar propriedades, fazer conjecturas e produzir argumentos geométricos convincentes. É impor- tante, também, considerar o aspecto funcional que deve estar presente no estudo da Geometria: as transformações geométricas, sobretudo as simetrias. As ideias matemáticas fundamentais associadas a essa temática são, principal- mente, construção, representação e interdependência. (BRASIL. Base Nacional Comum Curricular, 2018, p. 269.) XX X O trabalho com Geometria implica o desenvolvimento de um tipo especial de pensamento, que permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo onde vivemos. O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula a obser- var, perceber características comuns e diferenças, identificar regularidades e vice -versa. Além disso, esse trabalho é feito com base na exploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, permitin- do que os alunos estabeleçam conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. É preciso compreender as propriedades dos objetos, suas posições relativas, representações no plano, perspectivas etc. O trabalho com o espaço e as figuras geométri cas vem sen- do negligenciado no Ensino Funda mental e pouco explorado no Ensino Médio. Ele pode ser iniciado nos primeiros anos do Ensino Fundamental, com a exploração de macroespaços e de figuras tridimensionais. Deve ser continuamente desen- volvido e ampliado com o estudo de pro priedades de figuras geométricas, pequenos estu dos axiomáticos. No Ensino Médio, os estudos devem ser ampliados, in- cluindo noções de Geometria analítica. Grandezas e medidas As medidas quantificam grandezas do mundo físico e são fundamentais para a compreensão da realidade. As- sim, a unidade temática Grandezas e medidas, ao propor o estudo das medidas e das relações entre elas – ou seja, das relações métricas –, favorece a integração da Matemática a outras áreas de conhecimento, como Ciências (densidade, grandezas e escalas do Sistema Solar, energia elétrica etc.) ou Geografia (coordenadas geográficas, densidade demográ- fica, escalas de mapas e guias etc.). Essa unidade temática contribui ainda para a consolidação e ampliação da noção de número, a aplicação de noções geométricas e a construção do pensamento algébrico. (BRASIL. Base Nacional Comum Curricular, 2018, p. 271.) Essa unidade temática caracteriza -se por sua forte relevância social, com evidente caráter prático. Os temas desempenham papel importante no currículo, por mostrarem claramente aos alunos a utilidade do conhecimento matemático no cotidiano. Para isso, eles devem viven ciar, na sala de aula, a dimensão real de unidades de medida e os processos de medição. Vale a pena explorar as noções de grandeza e de medida relacionando -as com conceitos relativos ao espaço e às for- mas. As situações contextualizadas que envolvem grandezas e medidas são ricas para o trabalho com os significados dos números e das operações, com a ideia de proporcio nalidade e escala, e são um campo fértil para uma abordagem histórica. A complexidade dos fenômenos associados a grandezas e medidas exige múltiplas abordagens. Comparar superfícies para avaliar qual delas ocupa maior lugar é uma atividade hu- mana desenvolvida desde a Antiguidade. O aperfeiçoamento dessa operação levou o ser humano a desenvolver processos de medição da área de uma superfície. Na determinação da área, atribui -se um número a cada superfície plana, ou seja, constrói- -se uma função real (função área) com valores numéricos, de modo que comparar superfícies planas reduz -se a comparar os valores numéricos de área. Esse processo não é simples de ser com preendido pelos alunos, e o trabalho com cálculo de perímetros, áreas e volumes deve se estender ao Ensino Médio. Probabilidade e Estatística A incerteza e o tratamento de dados são estudados na unidade temática Probabilidade e Estatística. Ela propõe a abordagem de conceitos, fatos e procedimentos pre- sentes em muitas situações-problema da vida cotidiana, das ciências e da tecnologia. Assim, todos os cidadãos precisam desenvolver habilidades para coletar, organi- zar, representar, interpretar e analisar dados em uma variedade de contextos, de maneira a fazer julgamentos bem fundamentados e tomar as decisões adequadas. Isso inclui raciocinar e utilizar conceitos, representações e índices estatísticos para descrever, explicar e predizer fenômenos. Merece destaque o uso de tecnologias – como calcu- ladoras, para avaliar e comparar resultados, e planilhas eletrônicas, que ajudam na construção de gráficos e nos cálculos das medidas de tendência central. A consulta a páginas de institutos de pesquisa – como a do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) – pode oferecer contextos potencialmente ricos não apenas para aprender conceitos e procedimentos estatísticos, mas também para utilizá-los com o intuito de compreender a realidade. (BRASIL. Base Nacional Comum Curricular, 2018, p. 272.) Com relação à Estatística, a finalidade é construir procedi- mentos para coletar, organizar, comunicar e interpretar dados, por meio de tabelas, gráficos e representações que aparecem frequentemente no dia a dia. A Estatística não se restringe ao uso de fórmulas e à realização de cálculos matemáticos; ela requer certa sensibilidade do indivíduo que se aproxima de dados que envolvem a incerteza e a variabilidade. Incorporá- -la às aulas de Matemática, focalizando uma formação crítica, exige uma abordagem dos conhecimentos estatísticos na perspectiva da análise de dados coletados de um problema significativo para um grupo de alunos. O trabalho com gráficos exige a aprendizagem de lingua- gem gráfica. Apresenta -se aqui uma série de dificuldades que requerem atenção, pois é preciso um tratamento qualitativo paralelo ao quantitativo, já que a linguagem gráfica deve reve- lar seu valor instrumental e atribuir significado à informação a ser comunicada. Com relação à probabilidade, a principal finalidade é os alunos compreenderem que grande parte dos acontecimentos do cotidiano é de natureza aleatória e que é possível identifi- car alguns dos prováveis resultados desses acontecimentos. As noções de acaso e incerteza, que se manifestam intuiti- vamente, podem ser exploradas na escola, em situações nas quais os alunos realizam experimentos e observam eventos (em espaços equiprováveis). XI Níveis de conhecimento Este item descreve os três níveis de conhecimento que podem ser acionados em uma atividade matemática. Para promover uma diversidade de possibi lidades, é fundamental considerar o nível de conhecimento ativado na resolução de uma questão. Sugere -se como referência a classificação de Aline Robert, que, em seu artigo “Ferramen- tas de análise dos conteúdos matemáticos a ensinar” (1998), classifica o tipo de conheci mento acionado pelo aluno em três níveis: técnico, mobi lizável e disponível. Os alunos põem em funcionamento um conhecimento de nível técnico quando resolvem uma atividade simples que corresponde à aplicação imediata de um conhecimento. Em geral, há indicação do método a adotar. Os descritores principais são: reproduzir atividades já praticadas e realizar operações de rotina, como “resolva a equação”, “calcule a média aritmética”, “identifique as arestas do cubo”. No nível de funcionamento mobilizável, os conheci- mentos a serem utilizados estão bem identificados no enunciado da atividade, mas necessitam de alguma adap- tação ou de alguma reflexão antes de serem colocados em funcionamento. Os itens associados a esse nível de conhecimento reque- rem alguma evidência do conteúdo presente na tarefa, por exemplo: “Uma porção de alimento de 500 g custa R$ 12,00, e uma porção do mesmo alimento de 800 g custa R$ 15,00. Qual das duas porções de alimento tem o melhor preço pro- porcionalmente?”. O nível de funcionamento disponível corresponde a re- solver uma situação proposta sem nenhuma indicação ou sugestão em seu enunciado. É preciso achar os conhecimentos que favorecem a resolução, como: “Num campo de futebol de 100 m por 50 m, foi realizado um show. Todos os lugares cobertos foram vendidos, e muitos espectadores ficaram na parte descoberta. É possível estimar o número de pessoas que havia nesse show?”. Entendemos que para a aprendizagem acontecer de forma significativa o tipo de conhecimento acionado pelo aluno deve circular entre os três níveis, o técnico, o mobilizável e o disponível, dependendo do momento em que os conteúdos são explorados. Procuramos dosar isso nessa coleção. O processo de ensino -aprendizagem mediado pelas Tecnologias da Informação e Comunicação O uso de tecnologias nos ambientes escolares vem se desenvolvendo intensamente nos últimos anos, com a am- pliação de salas de informática e a capacitação de professo- res para atuar nessa área. Essa demanda está diretamente relacionada à velocidade das transformações tecnológicas vividas pela sociedade atual. A cada ano, as grandes em- presas de tecnologia, que dominam o mercado mundial, divulgam e comercializam equipamentos e softwares cada vez mais potentes, mais ágeis, mais leves, mais interativos e mais acessíveis. De acordo com a BNCC: Em decorrência do avanço e da multiplicação das tecnologias de informação e comunicação e do cres- cente acesso a elas pela maior disponibilidade de computadores, telefones celulares, tablets e afins, os estudantes estão dinamicamente inseridos nessa cultu- ra, não somente como consumidores. Os jovens têm se engajado cada vez mais como protagonistas da cultura digital, envolvendo-se diretamente em novas formas de interação multimidiática e multimodal e de atuação social em rede, que se realizam de modo cada vez mais ágil. Por sua vez, essa cultura também apresenta forte apelo emocional e induz ao imediatismo de respostas e à efemeridade das informações, privilegiando análises superficiais e o uso de imagens e formas de expressão mais sintéticas, diferentes dos modos de dizer e argu- mentar característicos da vida escolar. Todo esse quadro impõe à escola desafios ao cumprimento do seu papel em relação à formação das novas gerações. É importante que a instituição escolar preserve seu compromisso de estimular a reflexão e a análise aprofundada e contribua para o desenvolvimento, no estudante, de uma atitude crítica em relação ao conteúdo e à multiplicidade de ofertas midiáticas e digitais. Contudo, também é im- prescindível que a escola compreenda e incorpore mais as novas linguagens e seus modos de funcionamento, desvendando possibilidades de comunicação (e também de manipulação), e que eduque para usos mais demo- cráticos das tecnologias e para uma participação mais consciente na cultura digital. Ao aproveitar o potencial de comunicação do universo digital, a escola pode instituir novos modos de promover a aprendizagem, a interação e o compartilhamento de significados entre professores e estudantes. (BRASIL. Base Nacional Comum Curricular, 2018, p. 59.) Nesse novo cenário, o professor assume o papel de prota- gonista, pois cabe a ele criar novas atividades e maneiras de utilizar o conhecimento, tendo nos recursos digitais a possi- bilidade de ampliar seu campo de ação didática. Em relação à Matemática, o uso das tecnologias digitais é um facilitador, pois há inúmeros recursos disponíveis, como objetos de aprendizagem e softwares educativos, que podem auxiliar na construção de conhecimentos matemáticos. Nesta coleção, são propostas atividades que utilizam softwares de geometria e planilhas eletrônicas, além do uso da calculadora. Também são indicados jogos, vídeos e sites que complementam o processo de ensino-aprendizagem. XII XIIXII E R IC S O N G U IL H E R M E L U C IA N O XII Avaliação em Matemática A função da avaliação está ligada ao conceito de melhoria; não apenas das aprendizagens do aluno, mas da ação de ensinar. A avaliação é uma atividade valorativa e investigativa, que faci- lita a mudança educativa e o desenvolvimento profissional do professor. Mas não se pode esquecer que o objeto da avaliação é o conhecimento do aluno e não propriamente o aluno. A escola deve desenvolver capacidades de lidar com situações que exijam argumentar, sintetizar, planejar e organizar situações de aprendi- zagem. Essa função traz consequências diretas para a avaliação e é uma preocupação permanente dos professores. Nesse contexto, as propostas de trabalho nas aulas de Matemática devem ser adaptadas e modificadas. Uma das inquietações dos professores dessa área está na dificuldade de encontrar a melhor forma de avaliar questões como resolução de problemas, trabalhos em grupo, atividades com uso de tecnologias e de jogos etc. No entanto, apesar dessas preocupações, a avaliação em Matemática pouco modificou nos últimos anos, sendo ainda hoje centrada em provas que abordam exercícios e problemas. Há necessidade de refletir sobre o modo de avaliar atividades em que os alunos participam de forma mais ativa do processo de aprendizagem. Algumas atividades matemáticas os levam a produzir relatórios escritos ou a fazer apresentações orais. Em geral, na avaliação dessas atividades, considera -se muito mais o bom senso do que critérios mais detalhados que devem ser discutidos com os alunos. A seguir, são apresentadas algumas sugestões de avaliação. Avaliação de trabalhos em grupo Um trabalho em grupo pode ser avaliado sob três aspectos. Relatório individual Relatório em grupo Apresentação oral Trabalho em grupo Os três aspectos devem ser avaliados de forma equilibrada e merecem especial atenção do professor. Avaliação de relatórios escritos Os relatórios podem ser avaliados sob diferentes aspectos: com relação aos conteúdos desenvolvidos nas aulas de Matemá- tica, com relação ao relato dos processos vividos e com relação à comunicação de resultados. Alguns descritores podem servir para análise dos relatórios em cada uma dessas variáveis. Eles podem ainda ser agrupados em uma tabela por nível, do mais simples ao mais complexo, o que ajuda o professor a analisar com critérios mais objetivos os relatórios de seus alunos. Tabela de descritores para análise da escrita de relatórios Nível 0 1 2 3 4 Conteúdos matemáticos desenvolvidos O trabalho relatado é inadequado, irrelevante. Mostra compreender limitadamente os conceitos e princípios; usa termos inadequados; incorre em erros conceituais. Mostra compreender alguns conceitos; a resposta apresenta alguns erros; utiliza representações com algumas incorreções. Mostra compreender conceitos; usa a terminologia corretamente; usa representa ções corretas, mas nem sempre adequadas; os cálculos estão corretos, mas apresentam alguns erros. Mostra compreender conceitos e procedimentos; usa terminologia e notação apropriadas; utiliza representações adequadas; executa completamente a tarefa. Processos Desenvolve as ideias de forma ineficaz; às vezes, as ilustrações não representam satisfatoriamente a situação. Não identifica elementos importantes; o processo de procura de soluções é incompleto ou difícil de identificar. Identifica alguns elementos importantes, mas mostra poucas relações entre eles; a busca de soluções ainda é pouco sistematizada. Mostra compreender relações entre elementos importantes; formula questões que permitem investigação; formula conjecturas; a procura de soluções é sistemática. Formula questões que orientam estratégias de validação; a procura de soluções é feita de forma organizada e sistemática. Comunicação Mostra não compreender os conceitos e princípios da situação abordada. Apresenta elementos satisfatórios, mas omite partes significativas da resolução; os diagramas apresentam -se pouco claros ou de difícil interpretação; a descrição do processo não é clara. Apresenta resposta satisfatória, mas a descrição é pouco clara, os argumentos estão incompletos ou baseados em premissas pouco importantes. Apresenta resposta correta e explicação adequada; comunica de forma eficaz; apresenta argumentos contendo pequenas imperfeições. Apresenta resposta correta; comunica de forma eficaz; apresenta argumentos fortes e consistentes; inclui exemplos e contraexemplos. XIII Autoavaliação Além da avaliação realizada pelo professor, os alunos e o próprio professor podem elaborar e preencher fichas de autoavaliação. Em seguida, apresentamos uma ficha organizada com base em um contrato didático específico para o trabalho em equipe. A ficha sugerida foi pensada para ser preenchida por todos os alunos. Com base nela, cada aluno do grupo fará posteriormente a autoavaliação. Contrato didático de trabalho em equipe Trabalho sobre: Grupo: Data de início: Previsão de término: Onde vamos procurar a informação? O que temos? O que queremos saber? Quem vai procurar? O que já sabemos sobre o assunto? Como vamos organizar a informação recolhida? Como vamos comunicar o trabalho aos colegas? Quando apresentaremos? Quem apresentará? Fichas para acompanhamento A seguir, apresentamos alguns exemplos de fichas para auxiliar na avaliação. Ficha para acompanhamento da resolução de problemas Outra sugestão é fazer uma ficha para acompanhamento da resolução de problemas. Seguem exemplos de fichas que podem ser usadas durante as aulas em que se desenvolve o estudo da resolução de problemas. Ficha para acompanhamento da resolução de problemas Data: _____________ O aluno é capaz de: Sim Não Às vezes Explicitar o problema com suas palavras. “Enfrentar” a resolução do problema. Resolver o problema. Verificar se a solução é adequada. XIV Ficha para acompanhamento da resolução de problemas Data: _____________ O aluno é capaz de: Sim Não Às vezes Entender o contexto. Compreender o texto. Selecionar dados da questão. Fazer uso de calculadora. Esperar sua vez de jogar. Trabalhar em grupo. Ficha para acompanhamento do desenvolvimento de atitudes Uma ficha para acompanhar o desenvol vimento de atitudes também pode ser feita. Veja o exemplo a seguir. Ficha para acompanhamento do desenvolvimento de atitudes Data: _____________ Sobre o aluno , posso afirmar que: Sim Não Às vezes Gosta de resolver problemas. Ao enfrentar desafios, desiste rapidamente. Usa estratégias criativas. Demonstra autoconfiança. Espera ajuda do professor. Dessa forma, esperamos contribuir para uma discussão mais profunda sobre as perspectivas de um ensino de Matemática voltado à construção da cidadania e para uma reflexão sobre a avaliação em Matemática. XV Formação do professor Indicações de leitura para o desenvolvimento profissional do professor ALARCÃO, I. Ser professor reflexivo. In: ALARCÃO, I. (Org.). Forma- ção reflexiva de professores, estratégias de supervisão. Porto: Porto Editora, 1996. . Escola reflexiva e nova racionalidade. 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No mundo dos números. Trad. Lauro S. Blandy. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1989. p. 45-47. (Coleção Ciência.) Textos de aprofundamento CAPÍTULO 5 Números quebrados Dividindo as unidades De forma prática, a humanidade não podia suportar o reco- nhecimento de quaisquer limitações na divisão. Suponhamos que fosse necessário dividir duas maçãs entre quatro crianças. Não é preciso dizer que 2 não pode ser dividido por 4 porque não existe número na tábua de multiplicação que, quando multiplicado por 4, dê 2. O que a mão prática faz é dividir cada maçã em dois pedaços iguais, e depois dar a cada uma das quatro crianças que esperaram um pedaço de maçã (ou talvez suco de maçã). [...] Observemos como é útil a dúzia. Se tivermos uma dúzia de maçãs, podemos dividi-las igualmente em 2 grupos de 6 cada, 3 grupos de 4 cada, 4 grupos de 3 cada, 6 grupos de 2 cada ou 12 grupos de 1 cada. O importante é que não apenas 2 e 4 são fatores de 12, porém 3 também é. Então, do mesmo modo, um fabricante, vendendo por dú- zia, pode vender em grupos menores, sem muita dificuldade para ajustar os preços, porque existem tantas maneiras em que ele pode dividir a dúzia de modo uniforme. Existe também uma dúzia de dúzias, ou uma “grosa”, representando 12 8 12 ou 144 itens. Os fatores de 144 são 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48 e 72. A conveniência de tal fatoração é grande na Aritmética prática, e existe gente que desejaria que nós tivéssemos usado 12, como a base do nosso sistema numérico, em lugar de 10. O número 10 possui apenas 2 fatores, 2 e 5, e não pode ser divi- dido exatamente tanto por 3 como por 4. O único motivo para 10 ter sido preferido
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