Força Cortante e Momento Fletor

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<p>Mecânica II</p><p>Profº José Mauro Marquez</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Viga é denominada por uma barra de eixo</p><p>reto, submetida a esforços contidos no plano</p><p>da estrutura.</p><p>• Tipos de Vigas:</p><p>• Simples</p><p>• Com Balanços</p><p>• Isostáticas</p><p>• Hiperestáticas</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Viga Simples: Caracteriza-se por ser articulada nas</p><p>duas extremidades.</p><p>• Vigas Simples com Balanços: Caracteriza-se por ser</p><p>simplesmente apoiada com prolongamentos além de</p><p>um ou de ambos os apoios.</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Vigas Isostáticas: Caracterizam-se por serem engastadas e</p><p>simplesmente apoiadas, com ou sem balanço.</p><p>• Vigas Hiperestáticas: Caracterizam-se por ter o número de</p><p>reações excede o das equações fornecidas pela estática.</p><p>Assim, leva-se em conta as equações de deformação da viga.</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Tipos de Carregamentos</p><p>– Dentre os diversos tipos de carregamentos</p><p>considera-se apenas os permanentes que podem</p><p>ser:</p><p>• Cargas concentradas</p><p>• Cargas distribuídas</p><p>– Cargas distribuídas são em geral expressas por</p><p>unidade de comprimento do eixo da viga.</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Exemplo:</p><p>– A viga abaixo tem um carregamento uniforme</p><p>variando triangularmente. As cargas distribuídas,</p><p>em geral, são expressas por unidade de</p><p>comprimento do eixo da viga.</p><p>– Assim, tem-se P [N/m]</p><p>– Ou seja: P=</p><p>𝑃</p><p>0</p><p>.𝑥</p><p>𝑙</p><p>– Onde:</p><p>• x é a distância do ponto considerado ao apoio</p><p>da esquerda</p><p>• L é o vão da viga</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Vigas ????</p><p>– Vigas são, geralmente, barras retas e prismáticas, o que</p><p>ocasiona maior resistência ao cisalhamento e flexão.</p><p>– Quando dispomos de um elemento estrutural projetado</p><p>para suportar diversas cargas em sua extensão, este</p><p>elemento recebe o nome de viga.</p><p>– Estas vigas são normalmente sujeitas a cargas dispostas</p><p>verticalmente, o que resultará em esforços de</p><p>cisalhamento e flexão.</p><p>– Quando cargas não verticais são aplicadas a estrutura,</p><p>surgirão forças axiais, o que tornará mais complexa a</p><p>análise estrutural.</p><p>– Resumindo, viga é uma estrutura formada por uma barra,</p><p>submetida a carregamentos contidos no plano da</p><p>estrutura.</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Quando se efetua o dimensionamento de uma</p><p>viga, seja ela de qualquer material como aço,</p><p>madeira, concreto, duas fases são definidas</p><p>distintamente.</p><p>– A primeira fase é o cálculo dos esforços da</p><p>estrutura, ou seja, o cálculo de momentos fletores</p><p>e forças cortantes, ao qual a viga esta submetida</p><p>aos vários tipos de carregamento.</p><p>– A segunda fase é o dimensionamento da peça</p><p>propriamente dito, onde é verificada qual as</p><p>dimensões necessárias da peça estrutural, que irá</p><p>resistir aos esforços solicitados.</p><p>• Esforços Internos:</p><p>– Quando se carrega uma viga aparecem esforços internos. No caso</p><p>particular da figura abaixo, deseja-se determinar os esforços que</p><p>estão solicitando a seção transversal “D”, distante “x” da</p><p>extremidade da esquerda.</p><p>– Para isso, suponha-se que se corte a viga em D. Observe que neste</p><p>instante aparece uma força cortante e um momento, tal como</p><p>indicado na figura à direita. A força Q e o momento M conservam o</p><p>trecho AD em equilíbrio junto com as forças R1, P1 e P2</p><p>x x</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>x</p><p>• O momento M da figura é chamado de momento</p><p>resistente na seção D. O módulo de M pode ser obtido</p><p>usando uma equação da estática que diz que:</p><p>• σ𝑴𝟎 = 𝑴 − 𝑹𝟏𝒙 + 𝑷𝟏 𝒙 − 𝒂 + 𝑷𝟐 𝒙 − 𝒃 = 𝟎 ou</p><p>• 𝑴 = 𝑹𝟏𝒙 − 𝑷𝟏 𝒙 − 𝒂 − 𝑷𝟐 𝒙 − 𝒃</p><p>• Portanto o Momento Resistente M é o momento no ponto</p><p>D produzido pelos momentos da reação em A e das forças</p><p>aplicadas P1 e P2.</p><p>• M é chamado também de momento fletor na seção D.</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• A força Q, mostrada na figura, é chamada força cortante resistente</p><p>na seção D.</p><p>σ𝑭𝑸 = 𝑹𝟏− 𝑷𝟏 − 𝑷𝟐 −𝑸 = 𝟎</p><p>ou</p><p>𝑸 = 𝑹𝟏− 𝑷𝟏− 𝑷𝟐</p><p>• A força Q também é chamada de Força Cortante na seção D.</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Convenção de Sinais</p><p>– A convenção usual de sinais para momento fletor e força</p><p>cortante são representadas abaixo:</p><p>– Assim, o momento fletor positivo tende a FLETIR a viga com</p><p>concavidade para cima e negativo com concavidade para baixo.</p><p>– A força cortante é positiva quando tende a deslocar, para cima,</p><p>a parte da viga que se situa à esquerda da seção considerada e</p><p>negativa em caso contrário.</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Expressões de Q(x) e M(x):</p><p>– As vezes há a necessidade determinar o momento fletor e a força</p><p>cortante em todas as seções da viga. Para isso, pode-se localizar as</p><p>diversas seções da viga por intermédio de suas abscissas x (distância</p><p>ao apoio da esquerda) e são expressas em Q(x) e M(x) em função de x.</p><p>• Diagramas de Q e M:</p><p>– A representação gráfica da função Q(x) tem o nome da diagrama das</p><p>forças cortantes. As abscissas representam as diversas seções da viga e</p><p>as ordenadas os valores da força cortante correspondente.</p><p>– A relação entre a força cortante Q e o momento fletor M é:</p><p>x</p><p>x</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Exercício 1:</p><p>– Determinar as expressões Q e M (em função de x)</p><p>da viga em balanço da figura abaixo. Traçar os</p><p>diagramas correspondentes.</p><p>5kN</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Na seção x, a força de 5kN tende a deslocar a parte da</p><p>esquerda para baixo, como indicado abaixo.</p><p>• Isto é, se a viga fosse cortada nessa seção x, a ação da força</p><p>seria a de produzir o movimento que se indica na figura.</p><p>• De acordo com a convenção de sinais, a força cortante é:</p><p>Q = - 5kN</p><p>• Consequentemente, o momento fletor M na seção x é:</p><p>M = - 5x [kN.m] (neste caso [kN.m])</p><p>5kN</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>5kN</p><p>- 5kN</p><p>- 5 kN.m</p><p>- 35kN.m</p><p>Q[N] (+)</p><p>(-)</p><p>M[N.m] (+)</p><p>(-)</p><p>• A força cortante é</p><p>constante ao longo da</p><p>viga não variando com x</p><p>e em todos os pontos</p><p>vale – 5 => Q = -5 kN</p><p>• A representação gráfica</p><p>de M é:</p><p>– Para x=0 => M=0.</p><p>– Para x=7m => M= -5x7=</p><p>M = - 35 kNm</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Exercício 2:</p><p>– A viga em balanço da figura está uniformente carregada</p><p>com q [N/m]. Determinar as expressões Q e M, assim</p><p>como os diagramas correspondentes.</p><p>• Para determinar a força cortante e o momento fletor</p><p>numa seção qualquer, definida pela abscissa x, pode-</p><p>se substituir a carga que atua à esquerda da seção A</p><p>pela sua resultante qx, aplicada no meio de OA.</p><p>q N/m q N/mx</p><p>x</p><p>x</p><p>qx N</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• As cargas à direita de A não contribuem para o cálculo dessa resultante. Essa força</p><p>tende a deslocar para baixo o trecho AO.</p><p>• A força cortante é a resultante das forças que atuam à esquerda da seção</p><p>considerada (x), logo:</p><p>Q = - q x [N]</p><p>Esta equação é linear e fornece:</p><p>Q = 0 para x = 0; Q = -ql para x = l</p><p>• O momento fletor na mesma seção x é a soma dos momentos das forças que se</p><p>situam à esquerda de A. Então:</p><p>M = - qx (</p><p>𝒙</p><p>𝟐</p><p>) = -</p><p>𝒒𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>• Seu sinal é negativo porque a resultante qx é sempre dirigida para baixo.</p><p>• A variação de M é parabólica e anula-se quando x = 0 e atinge o valor -</p><p>𝑞𝑙2</p><p>2</p><p>quando</p><p>x = l.</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Exercício 3:</p><p>– Determinar Q e M para a viga simplesmente</p><p>apoiada da figura abaixo.</p><p>40 kN</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Deve-se iniciar calculando as reações R1 e R2.</p><p>4 R2 – 40 x 1 = 0 ==> 4 R2 = 40 x 1; donde R2 = 10 kN</p><p>R1 + R2 – 40 = 0 ; donde R1 = 30 kN</p><p>• Para o cálculo da força cortante Q toma-se um trecho</p><p>à esquerda da força de 40 kN. Q portanto coincide</p><p>com a reação R1 = 30 kN para 0 < x < 1m.</p><p>• Para 1m < x < 4m, Q = 30 – 40, donde Q = – 10 kN</p><p>40 kN</p><p>30 kN</p><p>10 kN</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Na região à direita da carga de</p><p>40kN, segundo a convenção de</p><p>sinais, Q é negativo.</p><p>• O momento fletor à esquerda da</p><p>carga de 40kN é o momento de R1</p><p>em relação à x.</p><p>M = R1.x ➔M = 30x ; para 0 < x < 1m</p><p>Momento fletor positivo para a carga</p><p>dirigida para baixo</p><p>M = 30x – 40 (x – 1 ) ; para 1 < x < 4m</p><p>10 kN</p><p>40 kN</p><p>30 kN</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>- 30 kN.m</p><p>30 kN</p><p>- 10 kN</p><p>40 kN</p><p>30 kN 10 kN</p><p>A figura ao lado mostra</p><p>a representação gráfica</p><p>dessas funções, isto é,</p><p>os diagramas de Q e M,</p><p>respectivamente.</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Exercício 4:</p><p>– Uma viga AB biapoiada suporta um carregamento que</p><p>varia linearmente de zero a “q”. Determinar as expressões</p><p>de Q e M e construir os respectivos diagramas.</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Determine os diagramas de esforço cortante e</p><p>de momento fletor para a viga simplesmente</p><p>apoiada</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Exercício 5:</p><p>• Determinar as expressões Q e M e construir os respectivos</p><p>diagramas na viga biapoiada solicitada pelas cargas</p><p>concentradas representadas na figura.</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Exercício 6:</p><p>– Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos</p><p>diagramas na viga engastada solicitada pelas cargas concentradas,</p><p>representadas na figura abaixo. Exerc 9</p><p>( - )</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Exercício 7:</p><p>– Determinar as expressões de Q e M e construir os</p><p>respectivos diagramas na viga biapoiada carregada</p><p>conforme a figura. Exerc 10</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Exercício 8:</p><p>– Deternminar as expressões e os diagramas de Q e M para a</p><p>viga da figura abaixo.</p><p>Força Cortante e Momento Fletor</p><p>• Exercício 9:</p><p>– A viga da figura suporta a carga uniformente distribuída de</p><p>400 Nm e a carga de 3000 N. Determinar o diagrama de</p><p>forças cortantes e parceladamente, o diagrama de</p><p>momnetos fletores</p>