Aula 01 - Tens, Def e Prop Mec dos Mat

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<p>Mecânica dos Sólidos 2</p><p>Professor Maurício P. Ferreira</p><p>Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc.</p><p>Pós-doutorando - Universidade de Brasília</p><p>Pesquisador - Universidade Federal do Pará</p><p>Universidade Federal do Pará</p><p>Instituto de Tecnologia</p><p>Departamento de Engenharia Civil</p><p>Conteúdo da Disciplina</p><p>1. Tensão, Deformação, Propriedades Mecânicas dos</p><p>Materiais;</p><p>2. Elementos Sob Carga Axial (Tração e</p><p>Compressão);</p><p>3. Torção;</p><p>4. Flexão;</p><p>5. Cisalhamento Transversal.</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>Livros de Referência</p><p>• HIBBELER, R. C., Resistência dos Materiais.</p><p>5ª ed. Pearson – Prentice Hall.</p><p>• GERE, J. M., Mecânica dos Materiais.</p><p>Thomson Learning, 2003.</p><p>• BEER et al., Mecânica dos Materiais, 5ª ed.</p><p>Beer & Johnston, McGraw-Hill, 2009.</p><p>• POPOV, E. P., Introdução à Mecânica dos</p><p>Sólidos. 1ª ed. Edgard Blucher.</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil</p><p>Objetivos da Disciplina</p><p>• Introduzir o futuro engenheiro no campo da Mecânica</p><p>dos Materiais, apresentando conceitos básicos de tensão</p><p>e deformação, além das propriedades mecânicas dos</p><p>materiais;</p><p>• Determinar a intensidade das tensões e deformações em</p><p>elementos solicitados à tração, compressão, torção,</p><p>flexão e cisalhamento.</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil</p><p>Avaliação</p><p>• 1 Prova dos Itens 1 e 2</p><p>• 1 Prova do Item 3;</p><p>• 1 Prova do Item 4;</p><p>• 1 Prova do Item 5.</p><p>MÉDIA FINAL (MF)</p><p>• Calculada desprezando-se a menor nota (a média é feita</p><p>considerando as 3 maiores notas obtidas);</p><p>• NÃO HAVERÁ 2ª chamada nem Prova Substitutiva.</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil</p><p>1. Introdução</p><p>• A Mecânica dos Sólidos estuda a relação entre as Forças Externas</p><p>aplicadas a um corpo deformável e os Efeitos Internos (Tensões e</p><p>Deformações) gerados por estas forças;</p><p>• A determinação das Forças Externas é feita através da Estática, que</p><p>é a parte da Mecânica que trata do Equilíbrio de Corpos em Repouso</p><p>ou em Movimento Uniforme (sem variação da aceleração);</p><p>• A origem da Mecânica dos Sólidos remete ao Século XVII, com</p><p>ensaios experimentais conduzidos por Galileu, mas as leis que regem</p><p>o comportamento dos materiais foram aprimoradas no Século</p><p>XVIII por pessoas como Hooke, Poisson, Saint-Venant, etc.</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>Galileu Galilei (1564 – 1642 d.C.)</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>1. Introdução</p><p>Robert Hooke (1635 – 1703)</p><p>•Cientista Inglês;</p><p>•Lei de Hooke (rege</p><p>os corpos elásticos).</p><p>Isaac Newton (1643 – 1727)</p><p>•Físico e Matemático Inglês;</p><p>•Sua obra é considerada uma</p><p>das mais influentes da ciência;</p><p>•3 Leis de Newton (Mecânica);</p><p>•Cálculo Diferencial e Integral.</p><p>Saint-Venant (1797 – 1886)</p><p>•Contribuição ao Estudo da</p><p>Flexão de Vigas;</p><p>•Princípio e condição de</p><p>compatibilidade de Saint-</p><p>Venant</p><p>Poisson (1781 – 1840)</p><p>•Coeficiente de Poisson</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>1. Introdução</p><p>1. Introdução</p><p>� Tipos de Forças</p><p>Forças de Superfície: causadas pelo</p><p>contato entre os corpos (podem ser</p><p>idealizadas como concentradas ou</p><p>distribuídas, em função da área de</p><p>contato</p><p>Forças de Corpo: ocorrem sem que</p><p>haja contato entre os corpos (ex.:</p><p>gravidade, campo eletromagnético)</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>� Reações de Apoio</p><p>Sãos as forças de superfície que ocorrem nos apoios ou nos</p><p>pontos de contato entre os corpos.</p><p>Apoio do 1º Gênero</p><p>Apoio do 3º Gênero</p><p>1. Introdução</p><p>Apoio do 2º Gênero</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>0F =∑</p><p>0M =∑</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>F</p><p>F</p><p>M</p><p> =</p><p></p><p>=</p><p></p><p>=</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>2D</p><p>� Equilíbrio</p><p>1. Introdução</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>� Diagrama de Corpo Livre</p><p>1. Introdução</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil</p><p>1. Introdução</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 1: Determinar a resultante das cargas que atuam na</p><p>seção transversal em c na viga abaixo</p><p>� O problema pode ser resolvido através da análise dos segmentos A-C ou C-B</p><p>da viga</p><p>� Analisando apenas o trecho C-B não é preciso calcular as reações de apoio</p><p>� É necessário traçar o diagrama de corpo livre</p><p>1. Introdução</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 1: Determinar a resultante das cargas que atuam na</p><p>seção transversal em c na viga abaixo</p><p>( )6 270270 9</p><p>180</p><p>6 9</p><p>c c</p><p>c</p><p>q q</p><p>q</p><p>⋅</p><p>= ∴ = ∴ = N/m</p><p>( )180 6</p><p>540</p><p>2</p><p>R RV V</p><p>⋅</p><p>= ∴ = N</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>x</p><p>c</p><p>c</p><p>F</p><p>N</p><p>N</p><p>=</p><p>− =</p><p>=</p><p>∑</p><p>+</p><p>+ 0</p><p>540 0</p><p>540</p><p>y</p><p>c</p><p>c</p><p>F</p><p>V</p><p>V</p><p>=</p><p>− =</p><p>=</p><p>∑</p><p>N</p><p>+</p><p>0</p><p>(540 2) 0</p><p>1080</p><p>c</p><p>c</p><p>c</p><p>M</p><p>M</p><p>M</p><p>=</p><p>+ ⋅ =</p><p>= −</p><p>∑</p><p>N.m</p><p>1. Introdução</p><p>1.1. Conceito de Tensão</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Hipóteses: Material deve ser CONTÍNUO (não possui vazios)</p><p>e COESO (não possui fissuras, separações ou outras falhas)</p><p>• Corpo submetido a forças externas (F1 e F2)</p><p>• Método das seções tem-se forças distribuídas na</p><p>superfície da seção</p><p>• Força ΔF (componentes tangenciais e normais)</p><p>agindo em uma área ΔA</p><p>• Se ΔA tende a zero (ponto), ΔF tende a zero, mas a</p><p>razão entre elas é finita</p><p>1.1. Conceito de Tensão</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>0</p><p>lim z</p><p>zz</p><p>A</p><p>F</p><p>A</p><p>σ</p><p>∆ →</p><p>∆</p><p>=</p><p>∆</p><p>tração</p><p>0</p><p>lim x</p><p>zx</p><p>A</p><p>F</p><p>A</p><p>τ</p><p>∆ →</p><p>∆</p><p>=</p><p>∆ 0</p><p>lim</p><p>y</p><p>zy</p><p>A</p><p>F</p><p>A</p><p>τ</p><p>∆ →</p><p>∆</p><p>=</p><p>∆</p><p>O 1º índice indica a direção perpendicular a face analisada, no caso “z”</p><p>O 2º índice indica a direção da componente de tensão</p><p>No caso de tensões normais os dois índices são iguais, então pode-se utilizar apenas um</p><p>• A razão entre força e área é chamada TENSÃO</p><p>• Tensão Normal: atua perpendicularmente a área ΔA</p><p>• Tensão Cisalhante: atua tangente a área ΔA</p><p>compressão</p><p>1.1. Conceito de Tensão</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>1.1. Conceito de Tensão</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>1.1. Conceito de Tensão</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>�Estado Geral de Tensões</p><p>Tensor das Tensões de Cauchy,</p><p>válido para pequenas</p><p>deformações</p><p>1.2. Tensão Normal em Barra com</p><p>Carga Axial</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• A maioria dos elementos estruturais</p><p>apresentam grande comprimento e</p><p>pequena seção transversal (elementos</p><p>delgados)</p><p>• Estruturalmente são normalmente</p><p>entendidos como elementos de barra</p><p>• Quando possuem rigidez a flexão</p><p>desprezível são submetidos a forças</p><p>axiais aplicadas em suas extremidades</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>1.2. Tensão Normal em Barra com</p><p>Carga Axial</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Seja uma barra submetida a uma</p><p>força externa de tração</p><p>• Quando seccionada, é necessário o</p><p>surgimento de forças internas cuja</p><p>resultante deve ser igual a força</p><p>externa</p><p>• Hipóteses: seção permanece plana,</p><p>material homogêneo e isotrópico</p><p>Relembrando</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Material Homogêneo é aquele que apresenta as mesmas propriedades físicas e</p><p>mecânicas em qualquer parte de sua extensão (seu volume);</p><p>• Material Isotrópico são aqueles que possuem as mesmas propriedades físicas e</p><p>mecânicas independente da direção considerada;</p><p>• Material Anisotrópico são aqueles</p><p>cujas propriedades variam de acordo com a</p><p>direção. Se estas direções forem ortogonais, o material é dito Ortotrópico.</p><p>Aço é um exemplo de material homogêneo e isotrópico (exceção dos laminados à frio);</p><p>Madeira é um exemplo de material homogêneo mas ortotrópico, pois suas</p><p>propriedades variam em 3 direções perpendiculares (axial, radial e circunferencial);</p><p>Concreto é um exemplo de material heterogêneo e ortotrópico.</p><p>1.2. Tensão Normal em Barra com</p><p>Carga Axial</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Já que a barra está submetida a</p><p>deformação uniforme constante</p><p>• A tensão atuante pode ser</p><p>considerada uniforme e constante</p><p>0</p><p>lim med</p><p>A</p><p>F P</p><p>A A</p><p>σ σ</p><p>∆ →</p><p>∆</p><p>= =</p><p>∆</p><p>1.2. Tensão Normal em Barra com</p><p>Carga Axial</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Na realidade, especialmente em regiões</p><p>próximas a carga aplicada a tensão não é</p><p>constante, mas a resultante deve sempre</p><p>atender a equação abaixo</p><p>• A distribuição exata das tensões é</p><p>estaticamente indeterminada e não pode</p><p>ser obtida apenas com as leis da estática</p><p>med</p><p>A</p><p>P A dF dAσ σ= ⋅ = = ⋅∫ ∫</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>�Estado Uniaxial de Tensões</p><p>1.2. Tensão Normal em Barra com</p><p>Carga Axial</p><p>Importante!</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Uma distribuição uniforme das tensões ao longo de</p><p>uma seção deduz que a linha de ação da resultante</p><p>das forças internas passa pelo centróide desta seção</p><p>• Se um membro é carregado de</p><p>modo excêntrico, a distribuição das</p><p>tensões ao longo da seção não é</p><p>uniforme e a resultante dessas</p><p>tensões deve resultar em uma força</p><p>axial e um momento</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>Fotoelasticidade</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 2: A luminária de 80 kg é suportada por duas hastes AB e BC</p><p>como mostra a Figura abaixo. Se AB tem diâmetro de 10 mm e BC tem</p><p>diâmetro de 8 mm, determinar a tensão normal média em cada haste</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 2:</p><p>( )</p><p>0</p><p>44</p><p>cos60 0</p><p>5 5 cos 60</p><p>=</p><p>⋅ ⋅ − ⋅ = ∴ =  ⋅ </p><p>∑</p><p>�</p><p>�</p><p>x</p><p>BC</p><p>BC AB AB</p><p>F</p><p>F</p><p>F F F</p><p>+</p><p>+</p><p>( )</p><p>0</p><p>3</p><p>60 784,8 0</p><p>5</p><p>3 4</p><p>60 784,8</p><p>5 5 cos 60</p><p>395,2 N 632, 4 N</p><p>=</p><p> ⋅ + ⋅ − = </p><p> </p><p>⋅ ⋅   + ⋅ =   ⋅   </p><p>= ∴ =</p><p>∑</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>y</p><p>BC AB</p><p>BC BC</p><p>BC AB</p><p>F</p><p>F F sen</p><p>F F</p><p>sen</p><p>F F</p><p>2 2</p><p>632,4 4 395, 2 4</p><p>8,1MPa 7,9MPa</p><p>10 8</p><p>⋅ ⋅</p><p>= ∴ = = ∴ =</p><p>⋅ ⋅AB AB BC BCσ σ σ σ</p><p>π π</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 3: O bloco fundido mostrado na Figura abaixo é feito de</p><p>aço com peso específico de γaço = 490 lb/pé³. Determinar o esforço de</p><p>compressão médio que atua nos pontos A e B.</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 3: O bloco fundido mostrado na Figura abaixo é feito de</p><p>aço com peso específico de γaço = 490 lb/pé³. Determinar o esforço de</p><p>compressão médio que atua nos pontos A e B.</p><p>1.3. Tensão de Cisalhamento Média</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Definição: é a componente de tensão</p><p>que atua no plano da área seccionada.</p><p>• Efeito: tende a provocar o</p><p>deslizamento (corte) entre seções</p><p>subseqüentes.</p><p>• Limitações: casos de cisalhamento</p><p>simples ou direto, que ocorre em</p><p>ligações com pinos e parafusos.</p><p>méd</p><p>V</p><p>A</p><p>τ =</p><p>1.3. Tensão de Cisalhamento Média</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>� Cisalhamento Simples: o elemento é cortado em uma seção</p><p>V</p><p>méd</p><p>V P</p><p>V</p><p>A</p><p>τ</p><p>=</p><p>=</p><p>1.3. Tensão de Cisalhamento Média</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>� Ruptura por Cisalhamento Simples</p><p>• Ruptura por Tração</p><p>carga</p><p>carga</p><p>1.3. Tensão de Cisalhamento Média</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>� Cisalhamento Duplo: o elemento possui dois planos de corte</p><p>2</p><p>2</p><p>méd</p><p>P</p><p>V</p><p>V</p><p>A</p><p>τ</p><p>=</p><p>=</p><p>⋅</p><p>1.3. Tensão de Cisalhamento Média</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>� Cisalhamento Duplo</p><p>Pino de um trator Suspensão de um carro</p><p>1.3. Tensão de Cisalhamento Média</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>� Equilíbrio</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 4: A escora de madeira mostrada abaixo está suportada por uma haste</p><p>de aço de 10 mm de diâmetro presa na parede. Se a escora suporta uma carga vertical</p><p>de 5 kN, calcular a tensão de cisalhamento média da haste na parede e ao longo das</p><p>duas áreas sombreadas da escora, uma das quais está identificada como abcd.</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 4:</p><p>Na haste</p><p>,</p><p>, 2</p><p>, 2</p><p>,</p><p>5000</p><p>(5)</p><p>63,7</p><p>méd h</p><p>méd h</p><p>méd h</p><p>méd h</p><p>V</p><p>A</p><p>V</p><p>r</p><p>τ</p><p>τ</p><p>π</p><p>τ</p><p>π</p><p>τ</p><p>=</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>= MPa</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 4:</p><p>Na escora</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>2500</p><p>40 20</p><p>3,12</p><p>méd e</p><p>méd e</p><p>méd e</p><p>méd e</p><p>V</p><p>A</p><p>V</p><p>h t</p><p>τ</p><p>τ</p><p>τ</p><p>τ</p><p>=</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>= MPa</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 5: O elemento inclinado da figura abaixo está submetido a uma força</p><p>de compressão de 600 lb. Determinar a tensão de compressão média ao longo das</p><p>áreas de contato planas definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao</p><p>longo do plano definido por EBD.</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 5:</p><p>1.4. Tensão Admissível</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>A Tensão nos elementos de uma estrutura deve ser restringida</p><p>a um nível seguro por diversas razões:</p><p>• A Carga de Projeto pode ser diferente da Carga Aplicada;</p><p>• Erros de fabricação ou montagem podem fazer com que as dimensões</p><p>dos elementos varie;</p><p>• É possível a ocorrência de efeitos não previstos na etapa de projeto,</p><p>como vibrações ou impactos;</p><p>• As propriedades mecânicas do material utilizado podem ser diferentes</p><p>das estimadas em projeto (concreto e madeira principalmente).</p><p>1.4. Tensão Admissível</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>� É comum na prática utilizar Fatores de Segurança (FS) para restringir a</p><p>tensão nos elementos estruturais a um nível considerado seguro;</p><p>� Nos casos onde σ é diretamente proporcional a F (σ = P/A e τmed = V/A)</p><p>� FS assume diferentes valores, em função do tipo de estrutura e material;</p><p>� Projeto de aviões ou veículos espaciais pode ser próximo a 1</p><p>� No caso de usinas de energia nuclear pode chegar a 3</p><p>rup</p><p>adm</p><p>FS</p><p>σ</p><p>σ</p><p>= rup</p><p>adm</p><p>FS</p><p>τ</p><p>τ</p><p>=</p><p>rup</p><p>adm</p><p>F</p><p>FS</p><p>F</p><p>=</p><p>1.4. Tensão Admissível</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>� Para o projeto de ligações simples podem ser utilizadas as equações</p><p>abaixo:</p><p>� Exemplos de situações onde isso pode ser aplicado:</p><p>adm</p><p>P</p><p>A</p><p>σ</p><p>=</p><p>adm</p><p>V</p><p>A</p><p>τ</p><p>=</p><p>Elemento sob Tração Axial</p><p>Ligação sob Cisalhamento</p><p>1.4. Tensão Admissível</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>Área da Base de uma Sapata Comprimento de Ancoragem de uma barra</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 6: O tirante mostrado na figura abaixo está apoiado em sua</p><p>extremidade por um disco fixo. Se a haste passa por um furo de 40 mm de diâmetro,</p><p>determinar o diâmetro mínimo requerido da haste e a espessura mínima do disco</p><p>necessários para suportar uma carga de 20 kN. A tensão admissível</p><p>da haste é σadm =</p><p>60 MPa e a tensão admissível de cisalhamento do disco é τadm = 35 MPa</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 6:</p><p>Diâmetro da Haste</p><p>adm</p><p>P</p><p>A</p><p>σ</p><p>=</p><p>20000</p><p>60</p><p>A =</p><p>333, 33A = mm²</p><p>N</p><p>N/mm²</p><p>4 A</p><p>d</p><p>π</p><p>⋅</p><p>=</p><p>20, 60d = mm</p><p>Espessura do Disco</p><p>adm</p><p>V</p><p>A</p><p>τ</p><p>=</p><p>20000</p><p>35</p><p>A =</p><p>571, 43A = mm²</p><p>N</p><p>N/mm²</p><p>A</p><p>t</p><p>dπ</p><p>=</p><p>⋅</p><p>4, 55t = mm</p><p>1.5. Deformação</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Deformação implica na mudança de forma e</p><p>de tamanho de um corpo (podem ser</p><p>perfeitamente visíveis ou imperceptíveis);</p><p>• Os limites de deformação variam de acordo</p><p>com o material empregado (borracha, aço, etc);</p><p>• A medida das deformações permite a</p><p>determinação do nível de tensão em um corpo;</p><p>• Muito importante para a verificação da</p><p>capacidade resistente de estruturas .</p><p>1.5. Deformação</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>•A deformação de um corpo</p><p>não é uniforme em todo o seu</p><p>volume;</p><p>•Nas Figuras ao lado é possível</p><p>constatar que os segmentos de</p><p>reta se deformam de modo</p><p>diferente;</p><p>•A reta vertical alonga enquanto</p><p>que a reta horizontal contrai.</p><p>1.5.1. Deformação Normal</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• O alongamento ou contração de um segmento de reta</p><p>é denominado de Deformação Normal;</p><p>• Dados os pontos A e B no corpo não deformado ao</p><p>lado, quando deformado, os pontos A e B mudam</p><p>para as posições A’ e B’ e o segmento de reta que os</p><p>liga de comprimento ∆s passa a ser curvo e com</p><p>comprimento ∆s’ ;</p><p>'</p><p>'</p><p>∆ − ∆</p><p>=</p><p>∆</p><p>= ∆ − ∆</p><p>med</p><p>s s</p><p>s</p><p>s s</p><p>ε</p><p>δ ( )</p><p>'</p><p>lim</p><p>' 1</p><p>→</p><p>∆ − ∆</p><p>=</p><p>∆</p><p>∆ ≈ + ⋅ ∆</p><p>B A eixo n</p><p>s s</p><p>s</p><p>s s</p><p>ε</p><p>ε</p><p>1.5.1. Deformação Normal</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>1.5.2. Deformação de Cisalhamento</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Caracteriza-se pela mudança de ângulo entre dois</p><p>segmentos de reta, originalmente perpendiculares;</p><p>• Considere os segmentos de reta AC e AB</p><p>• Após a deformação as extremidades das retas são</p><p>deslocadas;</p><p>• As retas AC e AB passam a ser curvas;</p><p>• O ângulo entre as retas passa a ser θ’ < 90º.</p><p>1.5.2. Deformação de Cisalhamento</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• As deformações de cisalhamento alteram as dimensões de um corpo;</p><p>• Imagine que antes das duas faces acima começarem a se mover seja</p><p>traçada uma linha perpendicular entre elas;</p><p>• A medida que as faces deslizam a linha gira (e também alonga) e o</p><p>ângulo γ aumenta. No entanto, o ângulo γ nunca vai chegar a 90º a menos</p><p>que o deslizamento tenda ao infinito.</p><p>γ</p><p>γγ</p><p>1.5.2. Deformação de Cisalhamento</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• É possível definir a deformação</p><p>tangencial exatamente como foi feito para</p><p>as deformações normais;</p><p>• No caso da deformação tangencial</p><p>considera-se o deslocamento perpendicular</p><p>a uma determinada linha, em vez de</p><p>paralelamente ao mesmo;</p><p>• Como as estruturas civis estão no campo</p><p>dos pequenos deslocamentos, γ ≈ tan γ (rad).</p><p>Deslocamento</p><p>Comprimento</p><p>Inicial</p><p>D eslocamento</p><p>tan</p><p>C omp. O rig.</p><p>= =γ γ</p><p>Comprimento</p><p>Finalγ</p><p>1.5.2. Deformação de Cisalhamento</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Toda vez que um objeto é</p><p>deformado, ocorre cisalhamento. Por</p><p>exemplo, o bloco ao lado é deformado</p><p>sem que se altere a sua área.</p><p>Aparentemente a deformação é apenas</p><p>normal provocada por compressão;</p><p>• No entanto, se examinarmos as</p><p>diagonais do bloco, vemos que há, de</p><p>fato cisalhamento porque o ângulo</p><p>entre as diagonais mudanças.</p><p>1.5.2. Deformação de Cisalhamento</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Para o corpo ao lado, é possível ver que após a deformação de</p><p>cisalhamento, o comprimento de suas faces muda conforme indicado;</p><p>• Além disso, a geometria muda para a de losangos.</p><p>Campo das Pequenas Deformações</p><p>( ) ( ) ( )cos 1sen tgγ γ γ γ γ≈ ≈ ≈</p><p>1.5.2. Deformação de Cisalhamento</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 7: Uma força atua na alavanca de modo que provoca uma rotação</p><p>de θ = 0,002 rad na alavanca no sentido horário. Determinar a deformação média</p><p>no arame BC.</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 7:</p><p>Como θ é um ângulo muito pequeno, tan θ = θ.</p><p>Logo, BB’ igual a:</p><p>'</p><p>tan ' 0, 5</p><p>0, 5</p><p>' 0, 5 0, 002</p><p>' 0, 001 m</p><p>= ∴ = ⋅</p><p>= ⋅</p><p>=</p><p>BB</p><p>BB</p><p>BB</p><p>BB</p><p>θ θ</p><p>Assim, a deformação média de CB é:</p><p>' 0, 001</p><p>1</p><p>0, 001 m /m</p><p>= ∴ =</p><p>=</p><p>m éd m éd</p><p>m éd</p><p>BB</p><p>C B</p><p>ε ε</p><p>ε</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 8: As duas cordas são conectadas no ponto A. Se a força P faz</p><p>com que o ponto A se desloque horizontalmente 2 mm, determinar a deformação</p><p>axial em cada corda.</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Relembrando</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 8:</p><p>2 mm</p><p>150º</p><p>A</p><p>2 2300 2 2 300 2 cos150 301,7 mm</p><p>301,7 300</p><p>0,0058 mm/mm</p><p>300</p><p>= + − ⋅ ⋅ ⋅ ∴ =</p><p>−</p><p>= ∴ =</p><p>�A A</p><p>ε ε</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 9: A chapa é deformada até a forma representada nas linhas</p><p>tracejadas. Admitindo que os segmentos horizontais da chapa não deformam,</p><p>determinar: a) def. axial do lado AB; b) def. cisalhamento média da chapa.</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 9:</p><p>1.6. Propriedades dos Materiais</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• A resistência de um material está relacionada</p><p>com sua capacidade de suportar esforços sem</p><p>deformar excessivamente ou romper;</p><p>• É determinada experimentalmente através de</p><p>ensaios de tração ou compressão;</p><p>• A curva tensão deformação produzida nestes</p><p>ensaios permite acessar dados importantes</p><p>para o dimensionamento de estruturas.</p><p>1.6.1. Ensaio de Tração</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>•Utilizam-se corpos de prova com</p><p>dimensões padronizadas;</p><p>•As deformações no material são medidas</p><p>em uma região afastada das extremidades</p><p>do corpo de prova;</p><p>•A área da seção transversal (A0) e o</p><p>comprimento do corpo de prova (L0) são</p><p>medidos antes do ensaio;</p><p>•A carga é aplicada de forma lenta e contínua</p><p>e são medidas as tensões e deformações.</p><p>0L Lδ = −</p><p>ou</p><p>Extensômetro</p><p>1.6.1. Ensaio de Tração</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>Máquina Universal de Ensaios Ensaio de Tração em Barra de Aço A36</p><p>0</p><p>=</p><p>P</p><p>A</p><p>σ 0</p><p>0</p><p>−</p><p>=</p><p>L L</p><p>L</p><p>εO Ensaio de Tração permite o cálculo de: e</p><p>1.6.1. Ensaio de Tração</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>1.6.1. Ensaio de Tração</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>•Materiais Dúcteis: são aqueles que apresentam grandes deformações</p><p>antes da ruptura.</p><p>Exemplo: Aço de baixo carbono.</p><p>Nota: ideal para engenharia pois são capazes de absorver choque ou energia e</p><p>quando sobrecarregados exibem grandes deformações antes da ruptura.</p><p>•Materiais Frágeis: são aqueles que apresentam pouco ou nenhum</p><p>escoamento antes da ruptura.</p><p>Exemplo: Ferro fundido, concreto.</p><p>Nota: do ponto de vista da engenharia são perigosos pois podem romper de forma</p><p>repentina, sem avisos.</p><p>1.6.1. Ensaio de Tração</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia -</p><p>Departamento de Engenharia Civil</p><p>Liga de alumínioAço de baixo carbono</p><p>RupturaRuptura</p><p>escoamento</p><p>endurecimento</p><p>estricção</p><p>Ruptura</p><p>1.6.1. Ensaio de Tração</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>1.6.1. Ensaio de Tração</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>1.6.2. Ensaio de Compressão</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• As curvas para materiais em compressão</p><p>diferem daquelas para tração;</p><p>• Metais dúcteis (aço, alumínio, cobre)</p><p>apresentam resposta inicial e limite de</p><p>proporcionalidade muito semelhantes sob</p><p>tração ou compressão;</p><p>• Após o escoamento isso muda</p><p>significativamente;</p><p>• Sob tração o material tende a apresentar</p><p>estricção e romper;</p><p>• Sob compressão eventuais falhas e trincas</p><p>tendem a se fechar, e a resposta do material é</p><p>significativamente mais rígida</p><p>Curva σ-ε cobre sob compressão</p><p>1.6.2. Ensaio de Compressão</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>1.6.2. Ensaio de Compressão</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>1.7. Lei de Hooke</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• A maioria dos materiais de</p><p>engenharia apresenta relação linear</p><p>entre tensão e deformação na região</p><p>de elasticidade;</p><p>• Essa fato foi observado pela primeira</p><p>vez por Robert Hook em 1676;</p><p>• O módulo de elasticidade é a</p><p>inclinação da parte linear do</p><p>diagrama tensão – deformação;</p><p>= ⋅Eσ ε</p><p>1.7. Lei de Hooke</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• O limite de proporcionalidade e a</p><p>resistência de um aço dependem</p><p>dos componentes da liga;</p><p>• O teor de carbono é diretamente</p><p>proporcional ao valor do limite de</p><p>proporcionalidade e a resistência;</p><p>• No entanto, o módulo de</p><p>elasticidade é praticamente</p><p>constante e em torno de 200 GPa.</p><p>1.7. Lei de Hooke (Cisalhamento)</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Através de ensaios de torção em tubos (cisalhamento puro) é possível</p><p>traçar diagramas tensão-deformação de cisalhamento (τ - γ);</p><p>• Esses diagramas são geometricamente similares aos de σ - ε mas</p><p>diferentes em magnitude;</p><p>• É possível obter o limite de proporcionalidade, módulo de elasticidade,</p><p>tensão de escoamento e tensão máxima, sendo estes valores em</p><p>torno da metade dos obtidos nos ensaios de tração.</p><p>Gτ γ= ⋅Lei de Hooke em Cisalhamento: 2 (1 )</p><p>E</p><p>G</p><p>ν</p><p>=</p><p>⋅ +</p><p>G é o módulo de elasticidade para cisalhamento</p><p>1.8. Coeficiente de Poisson</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• No caso de barras esbeltas sob</p><p>tração, o alongamento na direção</p><p>x é seguido de uma contração</p><p>nas outras direções;</p><p>• O mesmo pode ser observado no</p><p>caso do bloco de borracha sob</p><p>compressão ao lado;</p><p>• O coeficiente de Poisson é por</p><p>definição:</p><p>lateral</p><p>axial</p><p>=</p><p>ε</p><p>ν</p><p>ε</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 10: Um aparelho de apoio como o mostrado abaixo está</p><p>submetido a uma força horizontal V. Obter a equação para a tensão de</p><p>cisalhamento média e o deslocamento horizontal do aparelho.</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 10: Um aparelho de apoio como o mostrado abaixo está</p><p>submetido a uma força horizontal V. Obter a equação para a tensão de</p><p>cisalhamento média e o deslocamento horizontal do aparelho.</p><p>Assumindo-se que as tensões cisalhantes distribuem-se</p><p>uniformemente no elemento, tem-se que</p><p>m éd</p><p>V V</p><p>A a b</p><p>τ = =</p><p>⋅</p><p>m éd</p><p>m éd</p><p>V</p><p>G</p><p>G a b G</p><p>τ</p><p>τ γ γ γ= ⋅ ∴ = ∴ =</p><p>⋅ ⋅</p><p>Usando a Lei de Hooke em Cisalhamento obtém-se a</p><p>deformação de cisalhamento</p><p>O deslocamento horizontal do aparelho de apoio é:</p><p>( ) V</p><p>d h tg h tg</p><p>a b G</p><p>γ  = ⋅ = ⋅  ⋅ ⋅ </p><p>h V</p><p>d h</p><p>a b G</p><p>γ</p><p>⋅</p><p>= ⋅ =</p><p>⋅ ⋅</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 11: Uma barra feita de aço A-36 tem as dimensões mostradas na</p><p>figura abaixo. Supondo que uma força axial de P = 80 kN seja aplicada a ela,</p><p>determinar as mudanças em seu comprimento e nas dimensões de sua seção</p><p>transversal depois de aplicada a carga. O material comporta-se elasticamente.</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 11</p><p>36 200AE − =</p><p>36 0, 32Aν − =</p><p>GPa</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 11</p><p>80.000</p><p>100 50</p><p>z</p><p>P</p><p>A</p><p>σ = =</p><p>⋅</p><p>16zσ = N/mm² = MPa</p><p>1. Determinar a tensão axial ou normal na barra</p><p>2. Determinar a deformação axial ou normal na barra</p><p>z</p><p>z z zE</p><p>E</p><p>σ</p><p>σ ε ε= ⋅ ∴ =</p><p>616</p><p>80 10</p><p>200.000</p><p>zε</p><p>−= = ⋅ μm/m</p><p>3. Determinar o alongamento da barra</p><p>z</p><p>z z z z</p><p>z</p><p>L</p><p>L</p><p>δ</p><p>ε δ ε= ∴ = ⋅</p><p>( )680 10 1, 5 120zδ</p><p>−= ⋅ ⋅ = μm</p><p>'D eformação lateral</p><p>D eformação axial</p><p>ε</p><p>ν</p><p>ε</p><p>= − = −</p><p>4. Determinar a deformação transversal</p><p>( )6</p><p>36 0, 32 80 10x y A zε ε ν ε −</p><p>−= = − ⋅ = − ⋅ ⋅</p><p>25, 6x yε ε= = − μm/m</p><p>5. Determinar o alongamento transversal</p><p>( )625, 6 10 0,1x x xLδ ε −= ⋅ = − ⋅ ⋅</p><p>2, 56xδ = − μm</p><p>( )625, 6 10 0, 05y y yLδ ε −= ⋅ = − ⋅ ⋅</p><p>1, 28yδ = − μm</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 12: O corpo de prova de alumínio mostrado abaixo tem diâmetro</p><p>d0 = 25 mm e comprimento de referência L0 = 250 mm. Supondo que uma força</p><p>de 165 kN alongue o comprimento de referência em 1,20 mm, determinar o</p><p>módulo de elasticidade do material. Determinar também quanto o diâmetro do</p><p>corpo de prova contrai supondo que Gal = 26 GPa e σy = 440 MPa.</p><p>165 kN 165 kN</p><p>d0</p><p>L0</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 12:</p><p>165 kN 165 kN</p><p>d0</p><p>L0</p><p>1. Módulo de Elasticidade</p><p>Lei de Hooke só é válida</p><p>porque σ < σy</p><p>2. Contração do Diâmetro</p><p>1.9. Carga Axial</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Conceito de tensão está associado a ideia de medir a distribuição</p><p>de forças no interior de um corpo;</p><p>• Conceito de deformação está associado a ideia de medir a</p><p>mudança de geometria de um corpo;</p><p>• A relação entre Tensões e Deformações depende do material</p><p>que compõe o corpo;</p><p>• No caso particular de materiais com comportamento linear-</p><p>elástico, a Lei de Hooke é válida e existe proporcionalidade linear</p><p>entre tensões e deformações (função do Módulo de Elasticidade).</p><p>1.9. Carga Axial</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>•Princípio de Saint-Venant</p><p>bw t</p><p><< bw < bw</p><p>≥ bw</p><p>1.9. Carga Axial</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>1.9. Carga Axial</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>•Princípio de Saint-Venant</p><p>1.9. Carga Axial</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• A Lei de Hooke e os conceitos de Tensão e Deformação geram uma</p><p>equação para determinar o deslocamento de barras sobre carga axial;</p><p>= ⋅Eσ ε =</p><p>P</p><p>A</p><p>σ =</p><p>L</p><p>δ</p><p>ε</p><p>• Para generalizar esse desenvolvimento, considerar a barra com seção</p><p>variável submetida a uma carga concentrada e a uma carga distribuída</p><p>oposta ao longo do seu eixo;</p><p>1.9. Carga Axial</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>1.9. Carga Axial</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>Na maioria das aplicações em engenharia a barra possui:</p><p>• seção transversal constante;</p><p>• carga constante;</p><p>• material homogêneo (E constante).</p><p>P L</p><p>A E</p><p>δ</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>1.9. Carga Axial</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>•Múltiplas cargas</p><p>•Seção Transversal Varia em Diferentes Segmentos</p><p>•Módulo de Elasticidade Varia em Cada Segmento</p><p>P L</p><p>A E</p><p>δ</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅∑</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 13: Uma viga rígida AB apóia-se sobre dois postes curtos como</p><p>mostrado abaixo. AC é feito de aço e tem diâmetro de 20 mm. BD é feito de</p><p>alumínio e tem diâmetro de 40 mm. Determinar o deslocamento do ponto F em AB</p><p>se for aplicada uma carga vertical de 90 kN nesse ponto. Admitir Eaço = 200 GPa e</p><p>Eal = 70 GPa.</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 13:</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 13:</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 14: A barra de aço A-36 é submetida aos carregamentos</p><p>indicados. Considerando que a barra tenha seção transversal com área de 50 mm²,</p><p>determinar o deslocamento na extremidade D. Desprezar o tamanho dos</p><p>acopladores em B, C e D.</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 14:</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅∑ i i</p><p>D</p><p>i i</p><p>P L</p><p>A E</p><p>δ</p><p>- Como a Área e o Módulo de Elasticidade são constantes ao longo da barra:</p><p>( )</p><p>( )</p><p>1</p><p>1</p><p>3000 1000 6000 1500 2000 1250</p><p>50 200000</p><p>0,85 mm</p><p>⋅</p><p>=</p><p>⋅</p><p>= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅</p><p>⋅</p><p>= ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅</p><p>⋅</p><p>=</p><p>∑ i i</p><p>D</p><p>i i</p><p>D AB AB BC BC CD CD</p><p>D</p><p>D</p><p>P L</p><p>A E</p><p>P L P L P L</p><p>A E</p><p>δ</p><p>δ</p><p>δ</p><p>δ</p><p>6 kNPAB</p><p>PBC</p><p>PCD</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 15: O pilar de concreto armado tem 6 barras verticais de 20 mm</p><p>como armadura. Determinar a tensão no concreto e nas barras de aço se o pilar for</p><p>submetido a uma carga axial de 900 kN. Assumir que Ec = 25 GPa e Est = 200 GPa.</p><p>Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Departamento de Engenharia Civil</p><p>• Exemplo 15:</p><p>- Assumindo aderência perfeita entre aço e concreto, tem-se:</p>