ESTATISTICA - Distribuicao de Frequencia (4)

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DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
A tabela primitiva
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DE UM COLÉGIO (cm)
166
160
161
150
162
160
165
167
164
160
162
161
168
163
156
173
160
155
164
168
155
152
163
160
155
155
169
151
170
164
154
161
156
172
153
157
156
158
158
161
A tabela cujos elementos não foram numericamente organizados, dá-se o nome de tabela primitiva.
Ordenação
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DE UM COLÉGIO (cm)
150
154
155
157
160
161
162
164
166
169
151
155
156
158
160
161
162
164
167
170
152
155
156
158
160
161
163
164
168
172
153
155
156
160
160
161
163
165
168
173
A tabela obtida após a ordenação recebe o nome de ROL.
Assim fica fácil perceber:
Os limites da amostragem (150 a 173 cm);
Amplitude de variação (23 cm);
Existem poucos valores abaixo de 155cm e poucos acima de 170cm;
Distribuição de Frequência
Estat. (cm)
Frequência
150
1
151
1
152
1
153
1
154
1
155
4
156
3
157
1
Estat. (cm)
Frequência
158
2
160
5
161
4
162
2
163
2
164
3
165
1
166
1
Estat. (cm)
Frequência
167
1
168
2
169
1
170
1
172
1
173
1
TOTAL
40
Denomina-se FREQUÊNCIA o número de alunos que fica relacionado a um determinado valor variável. Obtemos assim, uma tabela que se chama Distribuição de Frequência.
Mas o processo dado ainda é inconveniente, já que ainda exige muito espaço quando a amostragem e o número de variáveis forem maiores.
Estat. (cm)
Frequência
150Ⱶ154
4
154Ⱶ158
9
158Ⱶ162
11
162Ⱶ166
8
166Ⱶ170
5
170Ⱶ174
3
Total
40
Quando a variável for contínua é possível fazer agrupamento em vários intervalos, chamados em Estatística de CLASSE.
Nota: 150 Ⱶ 154 significa que o intervalo varia de 150 inclusive a 154 exclusive.
Estat. (cm)
Frequência
150Ⱶ154
4
154Ⱶ158
9
158Ⱶ162
11
162Ⱶ166
8
166Ⱶ170
5
170Ⱶ174
3
Total
40
Ao agrupar os valores
teremos:
Maior simplicidade;
Pode-se verificar facilmente o intervalo mais frequente;
Menos informações sobre a amostragem;
Porém a estatística tem por finalidade específica analisar o conjunto de valores, desinteressando-se por casos isolados.
Elementos de uma Distribuição de Frequência
Classes de Frequência ou Classes
	As classes são representadas por i, sendo i=1,2,3,...,k (onde k é o número total de classes da distribuição).
	Assim, em nosso exemplo, o intervalo 154 a 158 define a segunda classe (i2). Como a distribuição é formada por 6 classes, podemos afirmar que k=6.
Elementos de uma Distribuição de Frequência
Limites de Classe
	Denominamos limites de classe os extremos de cada classe. (li e Li).
	Por exemplo, na segunda classe temos:
l2 =154 e L2=158
Elementos de uma Distribuição de Frequência
Amplitude de um Intervalo de Classe
	Ela é obtida através da diferença entre os limites superior e inferior dessa classe e indicada por hi:
hi = Li - li
	Por exemplo, na segunda classe temos:
h2 = L2 – l2 = 158-154 = 4cm
Elementos de uma Distribuição de Frequência
Amplitude Total da distribuição (AT)
	É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe.
AT= L(máx) – l(mín)
	Em nosso exemplo tempos:
AT=174-150=24 cm
Elementos de uma Distribuição de Frequência
Amplitude Amostral (AA)
	É a diferença entre o valor máximo e o mínimo da amostra.
AA= X(máx) – X(mín)
	Em nosso exemplo tempos:
AA=173-150= 23 cm
Elementos de uma Distribuição de Frequência
Ponto Médio de uma Classe (xi):
	Como o nome sugere, é o ponto que divide o intervalo de classe em partes iguais.
	
Em nosso exemplo tempos:
Elementos de uma Distribuição de Frequência
Frequência Simples ou Absoluta
	Ou, simplesmente, frequência de uma classe: é o número de observações correspondentes a essa classe ou a esse valor.
	Simbolizada por fi (lemos f índice i ou frequencia da classe i).
	Em nosso exemplo: f1=4; f2=9; f3=11 ...
Frequência Simples ou Absoluta
A soma das frequências é dada por:
É evidente que:
Para a distribuição em estudo temos:
i
Estaturas (cm)
fi
1
150Ⱶ154
4
2
154Ⱶ158
9
3
158Ⱶ162
11
4
162Ⱶ166
8
5
166Ⱶ170
5
6
170Ⱶ174
3
Número de Classes
	Para determinar o número de classes a ser utilizado em uma amostragem faz-se uso da regra de Sturges, onde:
	Onde K é o número de classes e n o número total de dados.
	Há quem prefira:
Em nosso caso temos:
Ou..
	Usando a regra de Sturges podemos montar a seguinte tabela:
n
i
3 a 5
3
6 a 11
4
12 a 22
5
23 a 46
6
47 a 90
7
91 a 181
8
182 a 362
9
Intervalo de Classes
	Decidido o número de classes, resta agora determinar o intervalo de cada uma:
	Obs: Quando o resultado não é exato, arredondar sempre para mais.
Exercício 01:
As notas obtidas por 50 alunos de uma sala de aula foram:
Qual a amplitude amostral?
Qual a amplitude da distribuição?
Qual o número de classes da distribuição?
Faça a tabela de distribuição de frequência;
1
2
3
4
5
6
6
7
7
8
2
3
3
4
5
6
6
7
8
8
2
3
4
4
5
6
6
7
8
9
2
3
4
5
5
6
6
7
8
9
2
3
4
5
5
6
7
7
8
9
Tipos de Frequências
Frequência Simples ou absoluta (fi)
	Usada anteriormente na tabela;	
Frequência Relativa (fr)
	São os valores entre a frequência simples e a frequência total
i
Estaturas (cm)
fi
xi
fri
1
150Ⱶ154
4
152
0,100
2
154Ⱶ158
9
156
0,225
3
158Ⱶ162
11
160
0,275
4
162Ⱶ166
8
164
0,200
5
166Ⱶ170
5
168
0,125
6
170Ⱶ174
3
172
0,075
Esse conhecimento de tipos de frequência ajuda a responder muitas questões com relativa facilidade.
Distribuição de Frequência sem intervalos de classe
	Quando se trata de variável discreta (números inteiros), de variação relativamente pequena, cada valor pode ser tomado como um intervalo de classe, tomando se seguinte forma:
xi
fi
 x1
 f1
 x2
 f2
 ...
...
 xn
 fn
Exemplo:
	
	Seja x a variável “número de cômodos” das casas ocupadas por 20 famílias entrevistadas.
 i
 xi
 fi
fr
1
2
4
0,2
2
3
7
0,35
3
4
5
0,25
4
5
2
0,10
5
6
1
0,05
6
7
1
0,05
Exercício 02:
Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:
Forme uma distribuição de frequência sem intervalos de classe.
6
5
2
6
4
3
6
2
6
5
1
6
3
3
5
1
3
6
3
4
5
4
3
1
3
5
4
4
2
6
2
2
5
2
5
1
3
6
5
1
5
6
2
4
6
1
5
2
4
3
Representação gráfica de uma distribuição
	Uma distribuição de frequência pode ser representada graficamente:
Histograma;
Polígono de frequência;
	Usa-se como referência o sistema cartesiano (X;Y), onde no eixo horizontal coloca-se os valores das variáveis e no eixo vertical as frequências.
Histograma
i
Est. (cm)
fi
1
150Ⱶ154
4
2
154Ⱶ158
9
3
158Ⱶ162
11
4
162Ⱶ166
8
5
166Ⱶ170
5
6
170Ⱶ174
3
Notas:
 A área de um histograma é proporcional a soma das frequências;
 Também pode ser feito com frequência relativa;
 Ao comparar duas distribuições diferentes, sempre fazê-lo pelo histograma de frequências relativas;
Polígonos de Frequência
É um gráfico em linha, utilizando os pontos médios dos intervalos de classe (xi)
i
xi
fi
1
152
4
2
156
9
3
160
11
4
164
8
5
168
5
6
172
3
Curva de Frequência
	Com as amostras tornando-se cada vez mais amplas, temos que a linha poligonal tende a se transformar em uma curva.
	Essa curva chama-se Curva de Frequência, e nos dá a tendência dos dados.
Curva Polida
	
	Assim, após o traçado de um polígono de frequência pode-se fazer um polimento para mostrar como seria a frequência com um número maior de dados;
Onde:
Fci – Frequencia polida da classe considerada;
fi – Frequência simples das classes;
i
Estaturas (cm)
fi
fci
1
150Ⱶ154
4
4,2
2
154Ⱶ158
9
8,2
3
158Ⱶ162
11
9,8
4
162Ⱶ166
8
8,0
5
166Ⱶ170
5
5,2
6
170Ⱶ174
3
2,8
Est. (cm)
fci
150Ⱶ154
4,2
154Ⱶ158
8,2
158Ⱶ162
9,8
162Ⱶ166
8,0
166Ⱶ170
5,2
170Ⱶ174
2,8
Formas de Curvas de Frequência
	
	Curva em forma de Sino caracteriza-se por apresentarem o valor máximo centralizado.
	
Formas de Curvas de Frequência
	Curva assimétrica	
Ainda existem:
Curva em forma de J e J invertido;
		Dados extremamente assimétricos.
Curva em forma de U;
		Ordenadas máxima nos extremos.
Curva de Distribuição regular;
		Muito rara, apresenta todas as classes com a mesma frequência.
Exercício 03:
Considerando a distribuição de frequência abaixo, confeccione o histograma e o polígono de frequência e a curva polida;
 i
Pesos (kg)
fi
1
40Ⱶ44
2
2
44Ⱶ48
5
3
48Ⱶ52
9
4
52Ⱶ56
6
5
56Ⱶ60
4