8. Progressão Geometrica

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<p>Matemática | Material de Apoio</p><p>Página 1</p><p>EXTENSIVO ON-LINE ::: AULA 08</p><p>A equação perfeita para sua aprovação</p><p>Matemática | Material de Apoio</p><p>Página 2</p><p>EXTENSIVO ON-LINE ::: AULA 08</p><p>A equação perfeita para sua aprovação</p><p>PROGRESSÃO GEOMÉTRICA</p><p>Questão 01</p><p>(ENEM_2020)</p><p>Livro 01 – Pág. 196 – Q. 08</p><p>O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou</p><p>belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes</p><p>tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das</p><p>imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma</p><p>obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de</p><p>infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros,</p><p>conforme indicado na figura.</p><p>O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O</p><p>segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio</p><p>da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado.</p><p>Essa sequência de construção se repete recursivamente.</p><p>Qual é a medida do lado do centésimo quadrado de acordo com</p><p>esse padrão?</p><p>A !!</p><p>"</p><p>"</p><p>!##</p><p>B !!</p><p>"</p><p>"</p><p>$$</p><p>C !!</p><p>"</p><p>"</p><p>$%</p><p>D !!</p><p>"</p><p>"</p><p>&$%</p><p>E !!</p><p>"</p><p>"</p><p>&$$</p><p>Matemática | Material de Apoio</p><p>Página 3</p><p>EXTENSIVO ON-LINE ::: AULA 08</p><p>A equação perfeita para sua aprovação</p><p>Questão 02</p><p>(ENEM_PPL)</p><p>Livro 01 – Pág. 196 – Q. 09</p><p>Uma maneira muito útil de se criar belas figuras</p><p>decorativas utilizando a matemática é pelo processo de</p><p>autossemelhança, uma forma de se criar fractais.</p><p>Informalmente, dizemos que uma figura é</p><p>autossemelhante se partes dessa figura são semelhantes à</p><p>figura vista como um todo. Um exemplo clássico é o</p><p>Carpete de Sierpinski, criado por um processo recursivo,</p><p>descrito a seguir:</p><p>- Passo 1: Considere um quadrado dividido em nove</p><p>quadrados idênticos (Figura 1). Inicia-se o processo</p><p>removendo o quadrado central, restando 8 quadrados</p><p>pretos (Figura 2).</p><p>- Passo 2: Repete-se o processo com cada um dos</p><p>quadrados restantes, ou seja, divide-se cada um deles em</p><p>9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de</p><p>cada um, restando apenas os quadrados pretos (Figura</p><p>3).</p><p>- Passo 3: Repete-se o passo 2.</p><p>Admita que esse processo seja executado 3 vezes, ou seja,</p><p>divide-se cada um dos quadrados pretos da Figura 3 em 9</p><p>quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de</p><p>cada um deles.</p><p>O número de quadrados pretos restantes nesse momento</p><p>é</p><p>A 64</p><p>B 512</p><p>C 568</p><p>D 576</p><p>E 648</p><p>Matemática | Material de Apoio</p><p>Página 4</p><p>EXTENSIVO ON-LINE ::: AULA 08</p><p>A equação perfeita para sua aprovação</p><p>Questão 03</p><p>(ENEM_Libras)</p><p>Livro 01 – Pág. 195 – Q. 03</p><p>Atualmente, a massa de uma mulher é 100 kg. Ela deseja diminuir,</p><p>a cada mês, 3% da massa que possuía no mês anterior. Suponha</p><p>que ela cumpra sua meta.</p><p>A sua massa, em quilograma, daqui a dois meses será</p><p>A 91,00.</p><p>B 94,00.</p><p>C 94,09.</p><p>D 94,33.</p><p>E 96,91.</p><p>Matemática | Material de Apoio</p><p>Página 5</p><p>EXTENSIVO ON-LINE ::: AULA 08</p><p>A equação perfeita para sua aprovação</p><p>Questão 04</p><p>(Ronaebson)</p><p>Livro 01 – Pág. 206 – Q. 50</p><p>No pentágono de Sierpinski, pentágonos maiores são</p><p>recursivamente divididos em cinco pentágonos menores (de cor)</p><p>com um sexto pentágono central branco. Observe os primeiros</p><p>quatro níveis do fractal resultante.</p><p>A tabela a seguir relaciona o nível da construção do fractal com o</p><p>número de pentágonos de cor (não brancos) e o número de</p><p>pentágonos brancos:</p><p>Nível Número de pentágonos</p><p>de cor</p><p>Número de pentágonos</p><p>brancos</p><p>0 1 0</p><p>1 5 1</p><p>2 25 5</p><p>3 125 25</p><p>⋮ ⋮ ⋮</p><p>O total de pentágonos (tanto os de cor como os brancos) presentes</p><p>no Nível 5 da construção do fractal é</p><p>A 625.</p><p>B 850.</p><p>C 1250.</p><p>D 3125.</p><p>E 3750.</p><p>Matemática | Material de Apoio</p><p>Página 6</p><p>EXTENSIVO ON-LINE ::: AULA 08</p><p>A equação perfeita para sua aprovação</p><p>Questão 05</p><p>(Unicamp)</p><p>Livro 01 – Pág. 195 – Q.07</p><p>A figura a seguir exibe um pentágono em que quatro lados</p><p>consecutivos têm comprimentos a, b, c e d.</p><p>Se a sequência (a, b, c, d) é uma progressão geométrica de razão</p><p>q>1, então 𝑡𝑎𝑛𝜃 é igual a</p><p>A</p><p>!</p><p>'</p><p>B 𝑞</p><p>C 𝑞"</p><p>D )𝑞</p><p>Matemática | Material de Apoio</p><p>Página 7</p><p>EXTENSIVO ON-LINE ::: AULA 08</p><p>A equação perfeita para sua aprovação</p><p>Questão 06</p><p>(ENEM_PPL)</p><p>Livro 01 – Pág. 200 – Q. 08</p><p>O abandono escolar no ensino médio é um dos principais</p><p>problemas da educação no Brasil. Reduzir as taxas de abandono</p><p>tem sido uma tarefa que exige persistência e ações continuadas</p><p>dos organismos responsáveis pela educação no país.</p><p>O gráfico apresentado a seguir mostra as taxas percentuais de</p><p>abandono no ensino médio, para todo o país, no período de 2007</p><p>a 2010, em que se percebe uma queda a partir de 2008. Com o</p><p>objetivo de reduzir de forma mais acentuada a evasão escolar são</p><p>investidos mais recursos e intensificadas as ações, para se chegar</p><p>a uma taxa em torno de 5,2% ao final do ano de 2013.</p><p>Qual a taxa de redução anual que deve ser obtida para que se</p><p>chegue ao patamar desejado para o final de 2013?</p><p>Considere (0,8)( ≅ 0,51.</p><p>A 10%</p><p>B 20%</p><p>C 41%</p><p>D 49%</p><p>E 51%</p><p>Matemática | Material de Apoio</p><p>Página 8</p><p>EXTENSIVO ON-LINE ::: AULA 08</p><p>A equação perfeita para sua aprovação</p><p>Questão 07</p><p>(UEL)</p><p>Livro 01 – Pág. 197 – Q. 10</p><p>Em uma população totalmente suscetível a uma doença infecciosa,</p><p>o número de novas infecções C(n), no instante de tempo n, cresce</p><p>em progressão geométrica de razão 𝑞 > 0. Isto é, 𝐶(𝑛) = 	𝐶) ∙ 𝑞*,</p><p>onde n é expresso em uma certa unidade de medida e 𝐶) é a</p><p>quantidade de infectados no instante inicial 𝑛 = 0. A seguir, é</p><p>apresentada uma tabela com exemplos.</p><p>Doença q Und de</p><p>medida</p><p>Sarampo 15 4 dias</p><p>Difteria 6 4 dias</p><p>SARS 5 10 dias</p><p>Influenza 3 7 dias</p><p>Ebola 2 2 semanas</p><p>(Adaptado de: . Acesso em: 25 maio 2017.)</p><p>Suponha que uma cidade totalmente suscetível, na Europa</p><p>medieval, tenha sido tomada pela Peste Negra, que se iniciou com</p><p>𝐶) = 15 infectados. Considerando que, em 8 dias, a soma de</p><p>infectados desde o início da infestação totalizou 195 pessoas e que</p><p>a unidade de medida seja de 4 dias, assinale a alternativa que</p><p>apresenta, corretamente, a razão q.</p><p>A 2.</p><p>B 3.</p><p>C 5.</p><p>D 6.</p><p>E 10.</p><p>Matemática | Material de Apoio</p><p>Página 9</p><p>EXTENSIVO ON-LINE ::: AULA 08</p><p>A equação perfeita para sua aprovação</p><p>Questão 08</p><p>(UEL)</p><p>Livro 01 – Pág. 203 – Q. 36</p><p>A figura a seguir representa um modelo plano do desenvolvimento</p><p>vertical da raiz de uma planta do mangue. A partir do caule, surgem</p><p>duas ramificações da raiz e em cada uma delas surgem mais duas</p><p>ramificações e, assim, sucessivamente. O comprimento vertical de</p><p>uma ramificação, dado pela distância vertical reta do início ao fim</p><p>da mesma, é sempre a metade do comprimento da ramificação</p><p>anterior.</p><p>Sabendo que o comprimento vertical da primeira ramificação é de</p><p>ℎ! = 	1𝑚, qual o comprimento vertical total da raiz, em metros, até</p><p>ℎ!#?</p><p>A</p><p>!</p><p>"</p><p>!1 − !</p><p>"!"</p><p>"</p><p>B</p><p>!</p><p>"</p><p>!1 − !</p><p>"#</p><p>"</p><p>C 2 ∙ !1 − !</p><p>"!"</p><p>"</p><p>D 2 ∙ !1 − !</p><p>!#!"</p><p>"</p><p>E 2 ∙ !1 − !</p><p>"#</p><p>"</p><p>Matemática | Material de Apoio</p><p>Página 10</p><p>EXTENSIVO ON-LINE ::: AULA 08</p><p>A equação perfeita para sua aprovação</p><p>Questão 09</p><p>(Ronaebson)</p><p>Livro 01 – Pág. 207 – Q. 52</p><p>Abraão tirou a manhã para resolver as coisas da empresa do seu</p><p>pai. Primeiro ele foi ao banco, depois foi ao cartório, depois fez um</p><p>lanchinho e por fim foi comprar material para o escritório. Cada uma</p><p>dessas atividades, a partir da segunda, levou exatamente metade</p><p>do tempo que a anterior.</p><p>Sabendo que Abraão foi para banco às 8h e terminou de comprar</p><p>o material para o escritório às 12h, a que horas ele começou a fazer</p><p>o lanchinho?</p><p>A 8h 16min</p><p>B 8h 48min</p><p>C 10h 8min</p><p>D 11h 12min</p><p>E 11h 32 min</p><p>Matemática | Material de Apoio</p><p>Página 11</p><p>EXTENSIVO ON-LINE ::: AULA 08</p><p>A equação perfeita para sua aprovação</p><p>Questão 10</p><p>(Ronaebson)</p><p>Livro</p><p>01 – Pág. 205 – Q. 44</p><p>Samuel é um colecionador de bolinhas de borracha, dos mais</p><p>diversos modelos e cores. Todos os dias ele ganha uma dessas</p><p>bolinhas de alguém de sua família. Para guardar sua primeira bola,</p><p>ele fez uma caixinha que cabia apenas uma bola e nela escreveu</p><p>o número 1. Quando ganhou a segunda bolinha, Samuel fez uma</p><p>nova caixa que cabia exatamente duas bolinhas e nela escreveu o</p><p>número 2 e colocou as duas bolinhas que tinha dentro dessa caixa,</p><p>deixando assim a caixa 1 vazia. Para a terceira bola, Samuel</p><p>utilizou a caixa 1 que estava vazia e ficou com as duas caixas</p><p>cheias. Para a quarta bola ganha, Samuel fez uma nova caixa que</p><p>cabia exatamente quatro bolas e nela escreveu o número 4 e</p><p>colocou todas suas bolinhas nessa caixa, deixando as caixas com</p><p>os números 1 e 2 vazias. E assim foi fazendo. A cada nova bolinha</p><p>que ganhava ele utilizava as caixas que já tinha feito ou fazia uma</p><p>nova caixa que cabia exatamente o número de bolas que tinha no</p><p>momento e marcando essa caixa com tal número.</p><p>Antes que seja necessária a construção da 8ª caixa, Samuel deve</p><p>ter no máximo</p><p>A 63 bolinhas.</p><p>B 64 bolinhas.</p><p>C 127 bolinhas.</p><p>D 128 bolinhas.</p><p>E 255 bolinhas.</p><p>Matemática | Material de Apoio</p><p>Página 12</p><p>EXTENSIVO ON-LINE ::: AULA 08</p><p>A equação perfeita para sua aprovação</p><p>Questão 11</p><p>(ENEM)</p><p>Livro 01 – Pág. 194 – Q. 02</p><p>Torneios de tênis, em geral, são disputados em sistema de</p><p>eliminatória simples. Nesse sistema, são disputadas partidas entre</p><p>dois competidores, com a eliminação do perdedor e promoção do</p><p>vencedor para a fase seguinte. Dessa forma, se na 1ª fase o torneio</p><p>conta com 2n competidores, então na 2ª fase restarão n</p><p>competidores, e assim sucessivamente até a partida final.</p><p>Em um torneio de tênis, disputado nesse sistema, participam 128</p><p>tenistas.</p><p>Para se definir o campeão desse torneio, o número de partidas</p><p>necessárias é dado por</p><p>A 2 × 128</p><p>B 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2</p><p>C 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1</p><p>D 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2</p><p>E 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1</p><p>Matemática | Material de Apoio</p><p>Página 13</p><p>EXTENSIVO ON-LINE ::: AULA 08</p><p>A equação perfeita para sua aprovação</p><p>Questão 12</p><p>(Ronaebson)</p><p>Livro 01 – Pág. 204 – Q. 41</p><p>Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes,</p><p>cada uma das quais semelhantes ao objeto original. Em muitos</p><p>casos, um fractal é gerado pela repetição indefinida de um padrão.</p><p>A figura abaixo segue esse princípio. Para construí-la, inicia-se</p><p>com uma faixa de comprimento m na primeira linha. Para obter a</p><p>segunda linha, uma faixa de comprimento m é dividida em três</p><p>partes congruentes, suprimindo-se a parte do meio. Procede-se de</p><p>maneira análoga para a obtenção das demais linhas, conforme</p><p>indicado na figura.</p><p>Se, partindo de uma faixa de comprimento m, esse procedimento</p><p>for efetuado infinitas vezes, a soma das medidas dos</p><p>comprimentos de todas as faixas é</p><p>A 3m</p><p>B 4m</p><p>C 5m</p><p>D 6m</p><p>E 7m</p><p>Matemática | Material de Apoio</p><p>Página 14</p><p>EXTENSIVO ON-LINE ::: AULA 08</p><p>A equação perfeita para sua aprovação</p><p>Questão 13</p><p>(UFF)</p><p>Livro 01 – Pág. 204 – Q. 42</p><p>Com o objetivo de criticar os processos infinitos, utilizados em</p><p>demonstrações matemáticas de sua época, o filósofo Zenão de</p><p>Eleia (século V a.C.) propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga,</p><p>um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático.</p><p>Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor</p><p>argentino Jorge Luis Borges o apresenta da seguinte maneira:</p><p>Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo</p><p>de morosidade. Aquiles corre dez vezes mais rápido que a</p><p>tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre esses</p><p>dez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a</p><p>tartaruga corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a</p><p>tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a</p><p>tartaruga um milímetro; Aquiles corre esse milímetro, a tartaruga</p><p>um décimo de milímetro, e assim infinitamente, de modo que</p><p>Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la.</p><p>Fazendo a conversão para metros, a distância percorrida por</p><p>Aquiles nessa fábula é igual a</p><p>𝑑 = 10 + 1 + !</p><p>!#</p><p>+ !</p><p>!#$</p><p>+⋯ = 10 + ∑ ( !</p><p>!#</p><p>)*+</p><p>*,# .</p><p>É correto afirmar que</p><p>A 𝑑 = +∞</p><p>B 𝑑 = 11,11</p><p>C 𝑑 = $!</p><p>$</p><p>D 𝑑 = 12</p><p>E 𝑑 = !##</p><p>$</p>