Álgebra Booleana e Portas Lógicas

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<p>Álgebra Booleana e Portas Lógicas</p><p>Sistemas Digitais</p><p>Diretor Executivo</p><p>DAVID LIRA STEPHEN BARROS</p><p>Gerente Editorial</p><p>CRISTIANE SILVEIRA CESAR DE OLIVEIRA</p><p>Projeto Gráfico</p><p>TIAGO DA ROCHA</p><p>Autoria</p><p>DANYELLE GARCIA GUEDES</p><p>ALAN DE OLIVEIRA SANTANA</p><p>AUTORIA</p><p>Danyelle Garcia Guedes</p><p>Sou Mestranda pela Universidade Federal de Campina Grande em</p><p>Ciência e Engenharia de Materiais, Especialista pela Faculdade Campos</p><p>Elíseos em Docência do Ensino Superior e Bacharel pela Universidade</p><p>Federal de Campina Grande em Ciência e Engenharia de Materiais. Atuo</p><p>como membro e pesquisadora, no Laboratório de Desenvolvimento de</p><p>Biomateriais do Nordeste (Certbio), na pesquisa e no desenvolvimento</p><p>de dispositivos biossensores e biomateriais, bem como no Laboratório</p><p>de Tecnologia de Materiais da UFCG no desenvolvimento de materiais</p><p>cerâmicos e nanofibras. Atualmente, sou membro do Laboratório de</p><p>Materiais Cerâmicos e Avançados. Sou apaixonada pelo que faço e adoro</p><p>transmitir minha experiência de vida àqueles que estão iniciando em suas</p><p>profissões. Por isso, fui convidada pela Editora Telesapiens a integrar seu</p><p>elenco de autores independentes. Estou muito feliz em poder ajudar você</p><p>nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte comigo!</p><p>Alan de Oliveira Santana</p><p>Sou Mestre em Sistemas da Computação pela Universidade</p><p>Federal do Rio Grande do Norte (2017). Possuo graduação em Ciência</p><p>da Computação pela Universidade do Estado do Rio Grande do Norte,</p><p>Natal, RN (2016). Tenho experiência na área de Ciência da Computação,</p><p>com ênfase em Ciência da Computação, atuando, principalmente,</p><p>nos seguintes temas: Tutores virtuais, Chatbots e Jogos educativos.</p><p>Apaixonado pelo que faço, fui convidado pela Editora Telesapiens a</p><p>integrar seu elenco de autores independentes. Estou muito feliz em poder</p><p>ajudar você nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte comigo!</p><p>ICONOGRÁFICOS</p><p>Olá. Esses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez</p><p>que:</p><p>OBJETIVO:</p><p>para o início do</p><p>desenvolvimento de</p><p>uma nova compe-</p><p>tência;</p><p>DEFINIÇÃO:</p><p>houver necessidade</p><p>de se apresentar um</p><p>novo conceito;</p><p>NOTA:</p><p>quando forem</p><p>necessários obser-</p><p>vações ou comple-</p><p>mentações para o</p><p>seu conhecimento;</p><p>IMPORTANTE:</p><p>as observações</p><p>escritas tiveram que</p><p>ser priorizadas para</p><p>você;</p><p>EXPLICANDO</p><p>MELHOR:</p><p>algo precisa ser</p><p>melhor explicado ou</p><p>detalhado;</p><p>VOCÊ SABIA?</p><p>curiosidades e</p><p>indagações lúdicas</p><p>sobre o tema em</p><p>estudo, se forem</p><p>necessárias;</p><p>SAIBA MAIS:</p><p>textos, referências</p><p>bibliográficas e links</p><p>para aprofundamen-</p><p>to do seu conheci-</p><p>mento;</p><p>REFLITA:</p><p>se houver a neces-</p><p>sidade de chamar a</p><p>atenção sobre algo</p><p>a ser refletido ou dis-</p><p>cutido sobre;</p><p>ACESSE:</p><p>se for preciso aces-</p><p>sar um ou mais sites</p><p>para fazer download,</p><p>assistir vídeos, ler</p><p>textos, ouvir podcast;</p><p>RESUMINDO:</p><p>quando for preciso</p><p>se fazer um resumo</p><p>acumulativo das últi-</p><p>mas abordagens;</p><p>ATIVIDADES:</p><p>quando alguma</p><p>atividade de au-</p><p>toaprendizagem for</p><p>aplicada;</p><p>TESTANDO:</p><p>quando o desen-</p><p>volvimento de uma</p><p>competência for</p><p>concluído e questões</p><p>forem explicadas;</p><p>SUMÁRIO</p><p>Funções Booleanas e suas Propriedades ......................................... 10</p><p>Álgebra de Boole ............................................................................................................................ 10</p><p>Portas Lógicas ................................................................................................................................... 13</p><p>Propriedades da Álgebra de Boole ................................................................................... 16</p><p>Lei Cumulativa ................................................................................................................ 16</p><p>Lei Associativa ................................................................................................................ 17</p><p>Lei Distributiva ................................................................................................................ 18</p><p>Tabelas-Verdade e Mapa de Karnaugh ..............................................20</p><p>Avaliação de Circuitos Lógicos com Base na Álgebra Booleana ............... 20</p><p>Construção de Tabela-Verdade ............................................................................................ 21</p><p>Simplificação de Circuitos com Álgebra de Boole .................................................24</p><p>O Mapa de Karnaugh ....................................................................................................................26</p><p>Construindo os Diagrama de Karnaugh para 2 Variáveis ...............27</p><p>Portas Lógicas .............................................................................................. 33</p><p>Portas Lógicas ...................................................................................................................................33</p><p>Circuitos Lógicos Combinacionais ....................................................... 41</p><p>Circuitos Combinacionais .......................................................................................................... 41</p><p>Circuitos com Duas Variáveis .................................................................................................43</p><p>7</p><p>UNIDADE</p><p>03</p><p>Sistemas Digitais</p><p>8</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Os circuitos lógicos combinacionais são formados pela composição</p><p>de portas lógicas que implementam operações lógicas diversas para a</p><p>obtenção de soluções para problemas específicos a serem resolvidos,</p><p>por meio de um sistema digital. Toda a lógica matemática trabalhada</p><p>em um sistema digital se baseia na álgebra de Boole, a mesma rege</p><p>todas as operações que são desenvolvidas com as portas lógicas. Assim</p><p>o entendimento dos fundamentos em torno da álgebra de Boole, das</p><p>portas lógicas e de todas as leis e operações lógicas são essenciais</p><p>para a determinação de expressões que originam e baseiam os circuitos</p><p>lógicos combinacionais a serem implementados nos circuitos integrados.</p><p>Entendeu? Ao longo desta unidade letiva você vai mergulhar neste</p><p>universo!</p><p>Sistemas Digitais</p><p>9</p><p>OBJETIVOS</p><p>Olá. Seja muito bem-vindo à Unidade 3 - Álgebra Booleana e Portas</p><p>Lógicas. Nosso objetivo é auxiliar você no desenvolvimento das seguintes</p><p>competências profissionais até o término desta etapa de estudos:</p><p>1. Compreender o uso das funções Booleanas, suas propriedades</p><p>e aplicações na resolução de problemas envolvendo decisões</p><p>lógicas.</p><p>2. Aplicar as tabelas-verdade e o Mapa de Karnaugh na resolução de</p><p>problemas envolvendo decisões lógicas.</p><p>3. Resolver problemas por meio da aplicação das portas “AND”, “OR”,</p><p>“NOT AND”, “NOT OR” e outras.</p><p>4. Aplicar as funções Booleanas em circuitos combinacionais, com</p><p>vistas à realização de operações lógicas encadeadas.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>10</p><p>Funções Booleanas e suas Propriedades</p><p>OBJETIVO:</p><p>Ao término deste capítulo, você será capaz de entender</p><p>como funcionam as operações booleanas e quais as suas</p><p>principais propriedades. Isso será fundamental para o</p><p>exercício de sua profissão. As operações fornecidas a partir</p><p>da Álgebra de Boole são imprescindíveis para os sistemas</p><p>digitais, pois fundamentam, por exemplo, as operações</p><p>que ocorrem na ULA de um CPU. E então, motivado para</p><p>desenvolver essa competência? Vamos lá, avante!</p><p>Álgebra de Boole</p><p>Você já sabe, através de nosso estudo até aqui, que os sistemas</p><p>digitais operam desenvolvendo seus cálculos matemáticos por meio</p><p>do uso dos sistemas de numeração binário ao longo dos seus circuitos</p><p>integrados.</p><p>Porém, é válido ressaltar que as operações de transformação</p><p>entre bases de diferentes sistemas numéricos são necessárias ao</p><p>desenvolvimento de atividades com sistemas digitais, por exemplo, com</p><p>sistemas hexadecimais e sistemas decimais.</p><p>O uso dos sistemas binários se sobressai à possibilidade de uso dos</p><p>demais sistemas numéricos por conta da forma com que o sinal opera</p><p>em dois estados, facilitando a operação dos transistores, componentes</p><p>indispensáveis dos circuitos integrados.</p><p>A Álgebra Booleana, nesse contexto, é identificada como</p><p>sendo</p><p>o mecanismo por meio do qual se estabelecem operações lógicas com</p><p>esse sistema de numeração. Ela consiste em um sistema simbólico da</p><p>lógica matemática que representa relações entre entidades como ideias</p><p>e objetos, por exemplo.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>11</p><p>ACESSE:</p><p>Conheça um pouco mais sobre o inventor da Álgebra</p><p>Booleana, acessando aqui.</p><p>Por volta do ano de 1847, o matemático irlandês George Boole, na</p><p>Inglaterra, desenvolveu as regras básicas desse sistema, em parceria com</p><p>outros pesquisadores que posteriormente refinaram a teoria aplicada à</p><p>teoria dos conjuntos.</p><p>Em 1854, Georg Boole publicou um trabalho intitulado</p><p>“Uma Investigação das leis do Pensamento, sobre as</p><p>quais são fundadas as teorias Matemáticas de Lógica e</p><p>Probabilidades” (Investigation of the Lawsof Thought, on</p><p>Which Are Founded the Mathematical Theoriesof Logic</p><p>AND Probabilities). Foi nessa publicação que uma “álgebra</p><p>lógica”, conhecida hojeem dia como álgebra Booleana, foi</p><p>formulada. A álgebra Booleana é uma forma conveniente e</p><p>sistemática de expressar e analisar a operação de circuitos</p><p>lógicos. (FLOYD, 2007, p. 199)</p><p>A ideia de Boole se baseou no desenvolvimento de um sistema</p><p>matemático destinado para as formulações de declarações de caráter</p><p>lógico, por meio do uso de símbolos para a resolução de problemas de</p><p>forma semelhante ao que se desenvolve na matemática comum.</p><p>A Álgebra Booleana atualmente assume significativo papel em</p><p>teorias matemáticas fundamentais como a teoria da probabilidade,</p><p>em geometria dos conjuntos e teoria da informação, além, claro, de</p><p>constituir um elemento básico para os projetos de circuitos utilizados em</p><p>computadores digitais eletrônicos.</p><p>As operações booleanas, nesse contexto, ocupam relevante</p><p>espaço, tendo em vista que são uma das operações desempenhadas em</p><p>componentes como a ULA, unidade aritmética e lógica de um processador</p><p>computacional. Além de executar operações orientadas pelos conjuntos</p><p>de instruções dos softwares, a ULA também realiza o processamento de</p><p>dados, executando operações booleanas, por exemplo. Assim, a ULA</p><p>Sistemas Digitais</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=kT8Ybww38AI</p><p>12</p><p>pode ser identificada como sendo um circuito lógico combinacional</p><p>que implementa operações booleanas sobre palavras armazenadas na</p><p>memória temporária, reunindo os seus resultados.</p><p>O trabalho desenvolvido por Boole foi primordial. De acordo com</p><p>Idoeta (1963), nos períodos iniciais do que ficou conhecido como “a era</p><p>da eletrônica”, todos os problemas eram solucionados por meio do uso</p><p>de sistemas analógicos, ou sistemas lineares. Em 1938, o engenheiro</p><p>americano Claude Elwood Shannon aplicou a teoria da álgebra de Boole</p><p>na resolução de problemas dos circuitos de comunicação via telefones</p><p>desenvolvidos com relés. Essa atitude deu início ao segmento tecnológico</p><p>da eletrônica digital.</p><p>Na eletrônica digital, os sistemas são empregados em um pequeno</p><p>grupo de circuitos fundamentais padrão, denominados como portas</p><p>lógicas. O autor Idoeta (1963) se atenta para a afirmação de que, por</p><p>meio da oportuna adoção das portas lógicas, é possível criar todas as</p><p>expressões que são originadas através da Álgebra Booleana, as quais,</p><p>por sua vez, constituem os elementos bases dos projetos dos sistemas</p><p>digitais.</p><p>Claude Shannon foi o primeiro a aplicar o trabalho de Boole</p><p>na análise e projeto de circuitos lógicos. Em 1938, Shannon</p><p>escreveu uma tese no MIT intitulada A Symbolic Analysis</p><p>of Relay and Switching Circuits. (FLOYD, 2007, p.199)</p><p>Assim, atualmente, pode-se afirmar que a Álgebra Booleana é</p><p>conhecida como sendo a matemática dos sistemas digitais. De acordo</p><p>com Tocci (2007), compreende um conhecimento indispensável para o</p><p>estudo e o trabalho com os circuitos lógicos.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>13</p><p>Portas Lógicas</p><p>A lógica em circuitos digitais é utilizada para implementação das</p><p>funções lógicas. Os componentes básicos que compõem os blocos</p><p>construtivos de sistemas digitais, em geral, são baseados nos variados</p><p>tipos de circuitos lógicos digitais.</p><p>Nesse sentido, é válido salientar que todos os símbolos lógicos</p><p>apresentados na representação das portas lógicas são padronizados de</p><p>acordo com a norma 91-1984 da ANSI/IEEE, que consiste em um padrão</p><p>adotado pela indústria privada e militar para aplicação em documentos</p><p>internas além de ser adotado na literatura publicada.</p><p>No contexto de funções lógicas, pode-se identificar três operações</p><p>lógicas fundamentais que baseiam as operações desenvolvidas em</p><p>sistemas digitais, são as operações conhecidas como: AND, OR e NOT.</p><p>Para o detalhamento implementado a seguir, no que tange à cada</p><p>uma dessas três portas lógicas básica, observe que as linhas conectadas</p><p>ao lado direito de cada simbologia representam as entradas de dados. As</p><p>linhas dispostas do lado esquerdo da simbologia, por sua vez, respectiva a</p><p>cada operação diz respeito às saídas que são produzidas após a aplicação</p><p>da operação lógica nos dados de entrada.</p><p>É válido identificar, ainda, que circuitos que desenvolvem operações</p><p>do tipo AND e OR são denominados como as conhecidas portas lógicas.</p><p>Além disso, é importante lembrar que para cada uma dessas portas lógicas</p><p>são necessárias no mínimo duas entradas de dados, podendo a partir</p><p>daí assumir uma quantidade qualquer de entradas (essa informação é</p><p>representada pela linha pontilhada nas portas lógicas aqui apresentadas).</p><p>Observe, na imagem a seguir, a representação simbólica para AND,</p><p>OR e NOT.</p><p>Figura 1 – As</p><p>NOT AND OR</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>Sistemas Digitais</p><p>14</p><p>Desse modo, podem ser atribuídos às operações lógicas</p><p>fundamentais dois requisitos, fazendo referência aos estados do sistema</p><p>de numeração binário. Assim, os requisitos verdadeiro e falso, ou alto e</p><p>baixo, respectivamente, podem ser utilizados para representar condições</p><p>de entrada lógica na portas e para cada uma das três operações, apenas</p><p>uma resposta pode ser determinada para um conjunto de requisitos.</p><p>Observe, a seguir, o detalhamento de cada uma dessas operações</p><p>lógicas básicas:</p><p>• NOT</p><p>A operação NOT indica que um nível lógico deve ser modificado para</p><p>a sua expressão oposta, assim, se a operação indicar que ela representa</p><p>um NOT e se o símbolo for ALTO, por exemplo, este na verdade deve ser</p><p>adotado como sendo BAIXO, o mesmo serve para o caso contrário.</p><p>Logo, quando a entrada for ALTO, ou 1, a saída será BAIXO, ou 0, e</p><p>quando a entrada for BAIXO, 0, a saída será ALTO, 1. Em ambos os casos,</p><p>a saída será o nível lógico oposto da entrada.</p><p>A saída OU é representada algebricamente por: , A barra ou</p><p>NÂO A.</p><p>A imagem a seguir representa a saída da operação NOT, também</p><p>conhecida como inversor.</p><p>Figura 2 –Operação NOT</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>• AND</p><p>A operação lógica AND, que significa E, em português, serve para</p><p>executar a operação de adição entre duas ou mais variáveis de entrada,</p><p>e assim processa em suas entradas a operação de adição dos elementos</p><p>lógicos.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>15</p><p>Por meio dela, pode ser gerado um nível lógico ALTO, se as entradas</p><p>forem todas de nível ALTO, bem como pode ser gerado um nível lógico</p><p>BAIXO, caso ao menos uma das entradas seja também de nível baixo.</p><p>Observe, na imagem a seguir, a operação de implementação da</p><p>operação AND por meio das portas lógicas AND.</p><p>Figura 3 –Operação AND</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>• OR</p><p>A operação OR, por sua vez, significa OU em português.</p><p>Por meio desta, uma saída gerada será identificada como ALTA, ou</p><p>1, quando uma ou mais entradas forem de nível ALTO. Ou uma saída será</p><p>identificada como BAIXA, 0, quando todas as entradas forem nível BAIXO,</p><p>0. Caso, ao menos, uma das entradas seja nível ALTO, 1, as saídas será</p><p>nível ALTO, 1.</p><p>Figura 4 –Operação OR</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>Observe, na imagem, a operação de implementação da operação</p><p>OR por meio das portas lógicas OR. Mediante</p><p>a essas portas lógicas é</p><p>que são implementados os diversos circuitos lógicos combinacionais</p><p>e sequenciais que originam os sistemas digitais para as mais diversas</p><p>aplicações e funções.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>16</p><p>Propriedades da Álgebra de Boole</p><p>De maneira similar ao que se visualiza nas áreas e conteúdos da</p><p>matemática, a Álgebra Booleana apresenta diversas propriedades básicas</p><p>e fundamentais para o desenvolvimento das suas operações.</p><p>Algumas regras e leis orientam o desenvolvimento e precisam ser</p><p>respeitadas no momento em que se deseja utilizar a álgebra booleana.</p><p>Você irá perceber que, de início, as leis básicas, as quais regem a Álgebra</p><p>de Boole são semelhantes às leis que são utilizadas na álgebra comum.</p><p>Lei Cumulativa</p><p>• Adição:</p><p>Por meio da lei cumulativa, defini-se que a operação de adição</p><p>entre duas variáveis ou mais pode ser descrita da seguinte forma:</p><p>A+B=B+A</p><p>Com isso, é possível afirmar que a ordem de operação com as</p><p>variáveis não interfere no resultado. No caso da Álgebra de Boole, a</p><p>operação de adição é equivalente à operação OR com circuitos lógicos.</p><p>Em outras palavras, independentemente da ordem com que as</p><p>entradas sejam aplicadas à porta OR, o resultado será o mesmo na saída</p><p>da operação.</p><p>Figura 5 – Cumulativa na adição</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>• Multiplicação:</p><p>A multiplicação também pode ser estabelecida pela Lei cumulativa,</p><p>assim:</p><p>AB=BA</p><p>Sistemas Digitais</p><p>17</p><p>Quando há mudança da ordem dos fatores, não há modificação</p><p>do resultado do produto final. Mediante essa lei, pode-se observar a</p><p>referência para a operação lógica desenvolvida na porta AND, em que,</p><p>independentemente da ordem de entrada dos dados, o resultado final</p><p>será o mesmo.</p><p>Figura 6 – Cumulativa na multiplicação</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>Lei Associativa</p><p>A lei associativa determina que, independentemente da ordem de</p><p>organização dos fatores em uma operação, o resultado final da respectiva</p><p>operação permanece invariável.</p><p>Observe a seguir como isso se desenvolve para a adição e para a</p><p>multiplicação com três variáveis.</p><p>• Adição:</p><p>No caso da operação de adição com três variáveis, apresentada a</p><p>seguir, pode-se observar que não faz diferença iniciar a soma dos dois</p><p>primeiros elementos para, então, fazer o somatório com os elementos</p><p>restantes.</p><p>Assim, na operação OR, com mais de duas variáveis o resultado da</p><p>operação é sempre o mesmo, mesmo alterando-se a forma de agrupar</p><p>as variáveis.</p><p>A+(B+C)=(A+B)+C</p><p>Observe a seguir a disposição das portas lógicas:</p><p>Figura 7 – Associativa na adição</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>Sistemas Digitais</p><p>18</p><p>• Multiplicação:</p><p>O pensamento segue a mesma linha para a operação de</p><p>multiplicação. Observe que, independentemente das variáveis por meio</p><p>das quais inicia-se o desenvolvimento de uma operação matemática, o</p><p>produto final será o mesmo.</p><p>A(BC)=(AB)C</p><p>Observando a disposição das portas lógicas apresentadas a seguir,</p><p>pode-se visualizar o comportamento dessa lei.</p><p>Figura 8 – As Associativa na multiplicação</p><p>Fonte: Tocci (2007)</p><p>Lei Distributiva</p><p>A propriedade distributiva, em termos gerais, afirma que, quando a</p><p>operação de multiplicação é reescrita, em termos de dois elementos, o</p><p>produto final não se altera.</p><p>A(B+C)=AB+AC</p><p>Em uma operação AND, nesse sentido, de apenas um variável, em</p><p>que o resultado de uma operação OR, aplicada em duas ou mais variáveis,</p><p>é correspondente a uma operação OR entre os resultados da operação</p><p>AND entre apenas uma variável e cada uma das duas ou mais variáveis.</p><p>Em termo de portas lógicas, é possível ilustrar o esquema a seguir:</p><p>Figura 9 –Distributiva na adição</p><p>Fonte: Tocci (2007)</p><p>Sistemas Digitais</p><p>19</p><p>Nos próximos capítulos, serão implementadas as operações com</p><p>cada um desses elementos visualizados até aqui.</p><p>RESUMINDO:</p><p>E então, gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo</p><p>tudinho? Agora, só para termos certeza de que você</p><p>realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo,</p><p>vamos resumir tudo o que vimos. Você deve ter aprendido</p><p>que as operações fornecidas a partir da álgebra de Boole</p><p>são imprescindíveis para os sistemas digitais. A Álgebra</p><p>Booleana é identificada como sendo o mecanismo, por meio</p><p>do qual se estabelecem operações lógicas com o sistema</p><p>binário. Na eletrônica digital, os sistemas são empregados</p><p>em um pequeno grupo de circuitos fundamentais padrão</p><p>denominados como portas lógicas. A lógica, em circuitos</p><p>digitais, é utilizada para implementação das funções</p><p>lógicas. Pode-se identificar três operações lógicas</p><p>fundamentais que baseiam as operações desenvolvidas</p><p>em sistemas digitais, são as operações conhecidas como:</p><p>AND, OR e NOT. De maneira similar ao que se visualiza nas</p><p>áreas e conteúdos da matemática, a Álgebra Booleana</p><p>apresenta diversas propriedades básicas e fundamentais</p><p>para o desenvolvimento das suas operações, assim podem</p><p>ser implementadas as leis cumulativas, distributiva e</p><p>associativa em operações lógicas por meio da Álgebra de</p><p>Boole.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>20</p><p>Tabelas-Verdade e Mapa de Karnaugh</p><p>OBJETIVO:</p><p>Ao término deste capítulo, você será capaz de entender</p><p>como funciona a obtenção da expressão booleana de</p><p>um circuito lógico, a construção de uma tabela-verdade</p><p>e o Mapa de Karnaugh. Isso será fundamental para o</p><p>exercício de sua profissão. O conhecimento desses</p><p>conceitos é essencial para o entendimento do mecanismo</p><p>de operações booleanas com portas lógicas de um</p><p>circuito lógico. E então, motivado para desenvolver esta</p><p>competência? Vamos lá, avante!.</p><p>Avaliação de Circuitos Lógicos com Base</p><p>na Álgebra Booleana</p><p>As expressões provenientes da Álgebra Booleana fornecem</p><p>essenciais formatos para se representar operações de circuitos lógicos,</p><p>os quais são formados por associações com portas lógicas de maneira</p><p>que as saídas produzidas possam ser determinadas, por meio de uma</p><p>combinação de mais de um valor de entrada.</p><p>É possível implementar a descrição de circuitos lógicos por</p><p>intermédio de uma equação booleana. Para se desenvolver uma</p><p>expressão de um circuito lógico com base na Álgebra de Boole, se faz</p><p>necessário analisar as entradas, partindo-se da esquerda para a direita no</p><p>circuito, percorrendo até o final da saída, sendo descritas as expressões</p><p>respectivas de cada porta lógica.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>21</p><p>Observe o circuito apresentado a seguir:</p><p>Figura 10 – Circuito lógico</p><p>Fonte: Tocci (2007)</p><p>Nesse caso, a expressão será obtida iniciando-se a leitura, a partir</p><p>da porta lógica, localizada à esquerda onde estão as entradas C e D, as</p><p>quais formam uma porta AND e resultam na saída CD. A próxima porta,</p><p>a OR, é composta por uma entrada formada pela saída da porta AND</p><p>visualizada anteriormente com a entrada B, o que resulta na expressão de</p><p>saída: B + CD. Por fim, tem-se uma outra porta AND na qual suas entrada</p><p>são a última saída obtida mais a entrada A, resultando na saída do circuito</p><p>como um todo na expressão: A(B+CD).</p><p>Construção de Tabela-Verdade</p><p>Após a construção da expressão booleana do circuito lógico, é</p><p>possível produzir a respectiva tabela-verdade para o circuito lógico em</p><p>questão, por meio da qual são comportadas todos os valores de variáveis</p><p>de entrada, de forma que seja viável obter todos os valores possíveis de</p><p>saída a partir desses de entrada.</p><p>A tabela-verdade nada mais é que uma espécie de mapa em que</p><p>são dispostas todas as possibilidades de cenários de resultados para as</p><p>operações com as expressões booleanas e as opções de entradas do circuito.</p><p>Para construir a tabela-verdade, é necessário que a expressão</p><p>booleana para o circuito seja avaliada para todas as possíveis entradas</p><p>lógicas. Note que, para um circuito formado apenas com a porta lógica</p><p>AND, as entradas são definidas como A e B e saída S. Observe a tabela</p><p>a seguir: nas duas primeiras colunas, são apresentados os valores de</p><p>Sistemas Digitais</p><p>22</p><p>entrada com as combinações possíveis de valores das portas lógicas,</p><p>sabendo que as mesmas podem assumir os valores 1 ou 0.</p><p>Tabela 1 – Tabela-verdade porta AND com duas</p><p>variáveis</p><p>A B S</p><p>0 0 0</p><p>0 1 0</p><p>1 0 0</p><p>1 1 1</p><p>Fonte: Elaborado pelo autor (2021).</p><p>Se agora fosse construída a tabela-verdade da mesma porta AND,</p><p>só que, para três entradas de dados, seria obtida a seguinte tabela-</p><p>verdade:</p><p>Tabela 2 – Tabela-verdade porta AND com três variáveis</p><p>A B C S</p><p>0 0 0 0</p><p>0 0 1 0</p><p>0 1 0 0</p><p>0 1 1 0</p><p>1 0 0 0</p><p>1 0 1 0</p><p>1 1 0 0</p><p>1 1 1 1</p><p>Fonte: Elaborado pelo autor (2021).</p><p>Observe o circuito apresentado na figura 10. Nesse caso, o circuito</p><p>apresenta as 4 entradas: A, B, C e D. A quantidade de combinações</p><p>de valores possíveis é obtida por meio da expressão em que N é a</p><p>quantidade de valores de entrada, nesse caso: , assim, há 16</p><p>possibilidades de combinações de valores.</p><p>O cálculo da expressão A(B+CD) é determinado, inicialmente, pelos</p><p>valores de variáveis que resultam na expressão com valor igual a 1, assim:</p><p>A(B+CD)=1×1=1</p><p>Sistemas Digitais</p><p>23</p><p>Fazendo agora para quando o termo B+CD resulta em 1 B+CD=1</p><p>se B=1 ou se CD=1 ou se B e CD forem iguais a 1:</p><p>(B+CD)=1+0=1</p><p>(B+CD)=0+1=1</p><p>(B+CD)=1+1=1</p><p>Para CD, ele resulta em CD=1, se C=1 e se D=1, também.</p><p>No caso da construção da tabela-verdade, nesse caso é necessário</p><p>produzir uma listagem com todas as combinações de entradas possíveis de</p><p>0 e 1 para A, B, C e D. Posteriormente, na coluna de saídas, deve-se colocar</p><p>1 em cada combinação de entrada que se apresenta indicada na análise da</p><p>expressão realizada anteriormente. O 0 deve ser colocado nas demais.</p><p>Assim, tem-se, para o circuito da figura 10, a seguinte tabela-verdade:</p><p>Tabela 3 – Tabela-verdade para circuito da Figura 10</p><p>A B C D S</p><p>0 0 0 0 0</p><p>0 0 0 1 0</p><p>0 0 1 0 0</p><p>0 0 1 1 0</p><p>0 1 0 0 0</p><p>0 1 0 1 0</p><p>0 1 1 0 0</p><p>0 1 1 1 0</p><p>1 0 0 0 0</p><p>1 0 0 1 0</p><p>1 0 1 0 0</p><p>1 0 1 1 1</p><p>1 1 0 0 1</p><p>1 1 0 1 1</p><p>1 1 1 0 1</p><p>1 1 1 1 1</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>Sistemas Digitais</p><p>24</p><p>Observe que apenas as cinco últimas combinações de entradas</p><p>forneceram saída ALTA, igual a 1.</p><p>Simplificação de Circuitos com Álgebra de</p><p>Boole</p><p>É possível implementar simplificações em expressões de circuitos</p><p>lógicos de forma que sejam obtidas expressões mais simples, fáceis de</p><p>visualizar o comportamento e com menor quantidade de elementos,</p><p>que funcionam com a mesma lógica da expressão em seu formato mais</p><p>complexo.</p><p>IMPORTANTE:</p><p>O conhecimento de algumas regras básicas das operações</p><p>booleanas facilitam a implementação de processos de</p><p>simplificação, observe a seguir: A+0=A A+1=1</p><p>A.0=0A.1=A</p><p>A+A=AA+▁A=1</p><p>A.A=A A.▁A=0</p><p>A▁=AA+AB=A</p><p>A+▁A B=A+B(A+B)(A+C)=A+BC</p><p>Por meio da simplificação de uma expressão booleana, é obtida</p><p>uma outra expressão equivalente com reduzida quantidade de portas.</p><p>Observe a seguir a simplificação da expressão:</p><p>[A▁B (C+BD)+▁A ▁B]C</p><p>Sistemas Digitais</p><p>25</p><p>Inicialmente, deve-se analisar a expressão e visualizar os termos</p><p>que têm prioridade e quais são os tipos de operações que serão</p><p>implementadas, no caso: dentro dos parênteses e colchetes há operações</p><p>AND.</p><p>Assim, o primeiro passo consiste em aplicar a lei distributiva aos</p><p>termos dos colchetes:</p><p>Em seguida, devem ser desenvolvidas as operações dentro dos</p><p>parênteses:</p><p>E, por fim, aplica-se a lei distributiva:</p><p>Aplica a fatoração:</p><p>E finalmente, como ():</p><p>Obtém-se, por fim, a seguinte expressão equivalente:</p><p>É importante salientar que, da mesma forma que é possível obter</p><p>uma expressão booleana a partir de um circuito, pode-se também obter</p><p>um circuito a partir de uma expressão booleana, ou seja, é possível</p><p>construir um circuito, partindo da expressão pronta. Nesse caso, indica-se</p><p>optar pela forma mais simplificada da expressão booleana.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>26</p><p>O Mapa de Karnaugh</p><p>É possível desenvolver a simplificação de expressões booleanas,</p><p>por intermédio do uso de diagramas conhecidos, tal como o Diagrama de</p><p>Karnaugh.</p><p>Além de ser possível simplificar expressões booleanas por meio</p><p>de regras, propriedades e identidades da Álgebra de Boole, é possível</p><p>também fazer uso dos diagramas de Veitch-Karnaugh para o mesmo fim.</p><p>Nesses diagramas, as simplificações se tornam, em geral, mais</p><p>rápidas de serem implementadas.</p><p>Um mapa de Karnaugh provê um método sistemático</p><p>para simplificação de expressões Booleanas e, se usado</p><p>adequadamente, produz a expressão de soma-de-</p><p>produtos ou de produto-de-somas mais simples possível,</p><p>conhecida como expressão mínima. (TOCCI, 2007, p.226)</p><p>De forma semelhante às tabelas-verdade, os mapas de Karnaugh</p><p>apresentam todos os valores possíveis de variáveis de entrada e de saída</p><p>que resultam em um mesmo diagrama.</p><p>O principal objetivo deste mapa é simplificar expressões booleanas.</p><p>No caso do mapa, ao invés de colunas e linhas têm-se células</p><p>arranjadas, para as quais cada uma é representada por um valor de estado</p><p>binário de entrada.</p><p>O arranjo das células deve ser desenvolvido de maneira que a</p><p>expressão simplificada é obtida pelo agrupamento das células.</p><p>Nessa metodologia de simplificação, podem ser utilizadas duas,</p><p>três, quatro e cinco variáveis. A quantidade de células presentes no</p><p>diagrama de Karnaugh é igual ao número total de combinações possíveis</p><p>de variáveis de entrada, a qual é o mesmo valor da quantidade de linha da</p><p>tabela-verdade, assim, por exemplo, se há três variáveis há</p><p>Sistemas Digitais</p><p>27</p><p>Construindo os Diagrama de Karnaugh para 2</p><p>Variáveis</p><p>Observe a seguir como deve ser apresentado o diagrama para uso</p><p>com duas variáveis:</p><p>Observe que, por meio desse mapa, são possíveis as possibilidades</p><p>apresentadas pelas regiões demarcadas a seguir, entre as variáveis</p><p>A e B:Observe que, como há duas variáveis, é possível obter quatro</p><p>possibilidades</p><p>Sistemas Digitais</p><p>28</p><p>Tabela 4 – Tabela com as possibilidades</p><p>Fonte: Idoeta (1963).</p><p>Para o primeiro caso 0 apresentado, em que A=0 e B=0, tem-se que,</p><p>no diagrama de Karnaugh, o qual a região que abrange essa intersecção</p><p>é o apresentado a seguir:</p><p>Essa região identificada pode ser definida como região .</p><p>Agora para caso 1 apresentado onde A=0 e B=1, tem-se que no</p><p>diagrama de Karnaugh que a região que abrange essa intersecção é o</p><p>apresentado a seguir:</p><p>Essa região identificada pode ser definida como região .</p><p>Agora para o caso 2 apresentado, em que , tem-</p><p>se que, no diagrama de Karnaugh, a região que abrange essa intersecção</p><p>é a apresentada a seguir:</p><p>Sistemas Digitais</p><p>29</p><p>Essa região identificada pode ser definida como região .</p><p>Agora, para o caso 3 apresentado, em que A=1 e B=1, tem-se que,</p><p>no diagrama de Karnaugh, a região que abrange essa intersecção é a</p><p>apresentada a seguir:</p><p>Essa região identificada pode ser definida como região .</p><p>Assim, pode-se concluir que é possível distribuir as possibilidades</p><p>encontradas em um diagrama como o a seguir:</p><p>Observe que cada linha equivalente à tabela-verdade apresenta</p><p>uma região correspondente e própria no diagrama de Karnaugh. Para</p><p>cada região, tem-se os locais que devem ser distribuídos para os valores</p><p>que a expressão irá assumir ao longo de todas as diferentes possibilidades</p><p>obtidas, mediante às diversas combinações dos estados obtidos, por</p><p>meio das entradas do circuito.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>30</p><p>Observe a seguir que a tabela-verdade apresenta o resultado de</p><p>uma expressão que apresenta duas variáveis.</p><p>Tabela 5 – Tabela-verdade com duas variáveis</p><p>Fonte: Idoeta (1963).</p><p>A expressão característica correspondente a essa tabela verdade é:</p><p>Formulando a partir desses resultados, o diagrama de Karnaugh</p><p>fica da seguinte forma:</p><p>Agora que já foi estabelecido como ocorre a disposição dos valores</p><p>assumidos na tabela-verdade, em cada caso do diagrama de Karnaugh, é</p><p>possível implementar as simplificações.</p><p>Para tanto, inicia-se agrupando as regiões em que a saída é igual</p><p>a 1, S=1, no menor número possível de agrupamentos. Para os casos</p><p>em que S=1 não for possível fazer o agrupamento, devem ser tratados</p><p>isoladamente.</p><p>Quadras:</p><p>A quadra compreende o conjunto de 4 regiões para S=1. No caso de</p><p>2 variáveis, a quadra compreende o agrupamento máximo possível.</p><p>A expressão simplificada obtida é S=1.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>31</p><p>Pares:</p><p>Compreende o conjunto de duas regiões, em que S=1 possui um</p><p>lado em comum, são adjacentes. Observe a seguir, o par A que está</p><p>exclusivamente na região A e o par B que está exclusivamente na região B.</p><p>Termos isolados:</p><p>Compreende as regiões em que S=1 sem adjacentes para a</p><p>implementação de agrupamentos.</p><p>Descrevendo-se as expressões de cada um dos pares, ou seja, as</p><p>regiões que cada par ocupa no diagrama, tem-se que:</p><p>O par que está exclusivamente em A igual a 1 e o outro par que</p><p>ocupa a região B igual a 1 acarretam na expressão:</p><p>Sistemas Digitais</p><p>32</p><p>Pode-se, assim, perceber que a expressão compõe uma porta</p><p>lógica do tipo OU, OR, pois sua tabela-verdade é da porta OR.</p><p>RESUMINDO:</p><p>E então, Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo</p><p>tudinho? Agora, só para termos certeza de que você</p><p>realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo,</p><p>vamos resumir tudo o que vimos. Você deve ter aprendido</p><p>como funciona a obtenção da expressão booleana de</p><p>um circuito lógico, a construção de uma tabela-verdade</p><p>e o Mapa de Karnaugh. As expressões provenientes da</p><p>Álgebra Booleana fornecem essenciais formatos para</p><p>se representar operações de circuitos lógicos, os quais</p><p>são formados por associações com portas lógicas de</p><p>maneira que as saídas produzidas possam ser determinadas,</p><p>mediante uma combinação de mais de um valor de entrada.</p><p>Após a construção da expressão booleana do circuito lógico,</p><p>é possível produzir a respectiva tabela-verdade para o circuito</p><p>lógico em questão, por meio da qual são comportadas</p><p>todos os valores de variáveis de entrada, de forma que</p><p>seja viável obter todos os valores possíveis de saída a partir</p><p>desses de entrada. É possível, dessa maneira, implementar</p><p>simplificações em expressões de circuitos lógicos de forma</p><p>que sejam obtidas expressões mais simples, fáceis de</p><p>visualizar o comportamento e com menor quantidade de</p><p>elementos, que funcionam com a mesma lógica da expressão</p><p>em seu formato mais complexo. É possível desenvolver a</p><p>simplificação de expressões booleanas, por meio do uso de</p><p>diagramas conhecidos como Diagrama de Karnaugh.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>33</p><p>Portas Lógicas</p><p>OBJETIVO:</p><p>Ao término deste capítulo, você será capaz de entender e</p><p>resolver problemas, por meio da aplicação das portas “AND”,</p><p>“OR”, “NOT AND”, “NOT OR”, e outras. Isso será fundamental</p><p>para o exercício de sua profissão. E então, motivado para</p><p>desenvolver esta competência? Então, vamos lá. Avante!.</p><p>Portas Lógicas</p><p>Como visualizado no capítulo dois, toda a lógica existente em</p><p>circuitos digitais é desenvolvida para uso com funções lógicas. Nesse</p><p>contexto, todos os blocos construtivos são formados por sistemas digitais</p><p>fundamentados com uso de circuitos lógicos digitais.</p><p>Como visualizado, existem operações lógicas fundamentais, as</p><p>operações conhecidas como: AND, OR e NOT. Porém, existem outras além</p><p>dessas, como as funções: NAND, NOR, OR exclusivo e NOR exclusivo.</p><p>Da mesma forma em que ocorre para as operações básicas, para</p><p>o detalhamento das demais portas lógicas, também são utilizadas linhas</p><p>conectadas ao lado direito de cada simbologia para representar as</p><p>entradas de dados e linhas do lado esquerdo da simbologia respectiva</p><p>para identificar a saída fornecida após a operação lógica nos dados de</p><p>entrada.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>34</p><p>Observe, na imagem a seguir, a representação simbólica para</p><p>NAND, NOR e EX-OR e EX-NOR.</p><p>Figura 11 – As operações lógicas NAND, NOR, EX-OR e EX-NOR respectivamente e seus</p><p>símbolos equivalentes</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>Foi visualizado, anteriormente, que as portas lógicas mais básicas</p><p>são as portas AND e OR. No caso da operação lógica, AND serve para a</p><p>execução da operação de adição entre duas ou mais variáveis de entrada</p><p>e a sua representação simbólica característica é a dada na imagem a</p><p>seguir.</p><p>Figura 12 – Operação AND</p><p>Fonte: Tocci (2007)</p><p>No caso da operação lógica OR, as entradas são submetidas ao</p><p>processo de comparação e se ao menos uma das entradas foi caracterizada</p><p>como ALTA ou 1 a saída gerada será identificada como ALTA, ou 1, como</p><p>pode ser visualizado na imagem a seguir:</p><p>Sistemas Digitais</p><p>35</p><p>Figura 13 – Operação OR</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>Dando continuidade ao que foi introduzido acerca das portas</p><p>lógicas representadas anteriormente, tem-se que as mesmas podem ser</p><p>utilizadas também em associação à porta lógica inversora ou porta NOT,</p><p>que é caracterizada por indicar que um nível lógico deve ser modificado</p><p>para a sua expressão oposta.</p><p>Assim, se for estabelecida a associação da porta NOT com as portas</p><p>AND e OR, é possível se implementar novas portas lógicas, observe a</p><p>seguir. A imagem a seguir representa a saída da operação NOT, também</p><p>conhecida como inversor.</p><p>Figura 14 – Operação NOT</p><p>Fonte: Tocci (2007)</p><p>No caso da associação da porta NOT com a porta AND, origina-se</p><p>a porta NAND. Caracterizada como uma porta universal, pois podem ser</p><p>utilizadas para a produção de qualquer tipo de função lógica (NOT, AND,</p><p>OR e NOR). Por exemplo, conectando-se todas as entradas do circuito</p><p>NAND, cria-se apenas uma única entrada e se forma um inversor.</p><p>Figura 15 – Operação NOT a partir da NAND</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>Sistemas Digitais</p><p>36</p><p>A função AND pode ser gerada a partir de porta NAND na</p><p>configuração apresentada na figura a seguir:</p><p>Figura 16 – Operação AND a partir da NAND</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>O mesmo é válido para a função OR:</p><p>Figura 17 – Operação OR a partir da NAND</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>A partir da porta NAND, é possível também obter a porta NOR,</p><p>observe:</p><p>Figura 18 – Operação NOR a partir da NAND</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>No caso da associação da porta NOT com a porta OR, origina-se</p><p>a porta NOR, a qual é também caracterizada como uma porta universal,</p><p>pois também é capaz de ser utilizada para a produção de qualquer outro</p><p>tipo de função lógica (NOT, NAND, OR e AND).</p><p>Por exemplo, conectando-se todas as entradas do circuito NOR</p><p>cria-se apenas uma única entrada e se forma um inversor.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>37</p><p>Figura 19 – Operação NOT a partir da NOR</p><p>Fonte: Tocci (2007)</p><p>A função AND pode ser gerada a partir da porta NOR na configuração</p><p>apresentada na figura a seguir:</p><p>Figura 20 – Operação OR a partir da NOR</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>O mesmo é válido para a função OR:</p><p>Figura 21 – Operação OR a partir da NOR</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>A partir da porta NOR, é possível também obter a porta NAND,</p><p>observe:</p><p>Figura 22 – Operação NAND a partir da NOR</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>Há também uma porta lógica definida como sendo a EX-OR ou</p><p>porta OR exclusiva. Essa porta lógica apresenta uma simbologia também</p><p>exclusiva, porém é composta por uma combinação de portas lógicas, nas</p><p>quais se destacam duas portas AND, uma porta OR, e dois inversores.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>38</p><p>Observe na imagem a seguir como é, na integra, uma porta EX-OR:</p><p>Figura 23 – Operação EX-OR</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>A simbologia, no entanto, de representação dessa porta lógica é a</p><p>apresentada a seguir:</p><p>Figura 24 – Operação EX-OR</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>A porta ou exclusivo é identificada de forma característica pela</p><p>expressão lógica:</p><p>Nesse caso, sua saída retorna um valor ALTO se as duas entradas</p><p>estiverem em níveis lógicos opostos. A tabela a seguir representa a tabela</p><p>verdade dessa porta lógica:</p><p>Tabela 6 – Tabela-verdade porta EX-OR com duas variáveis</p><p>Fonte: Elaborado pelos autores (2021).</p><p>Sistemas Digitais</p><p>39</p><p>Nesse caso, para identificar um operador de porta local ou exclusiva</p><p>deve-se utilizar a seguinte expressão:</p><p>Uma outra porta lógica importante é a EX-NOR, caracterizada por</p><p>ser uma porta complementar a porta EX-OR. Ela é especificada como</p><p>sendo a inversão dessa última.</p><p>Assim como a EX-OR, ela é composta por uma combinação de</p><p>portas lógicas, nas quais se destacam duas portas AND, uma porta OR,</p><p>mas três inversores. Além dessa, pode-se obter uma outra configuração</p><p>para essa composição de portas, essa porta lógica pode ser definida das</p><p>seguintes formas:</p><p>Observe, na imagem a seguir, como é,</p><p>na integra, uma porta EX-</p><p>NOR:</p><p>Figura 25 – Operação EX-NOR</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>A simbologia, no entanto, de representação dessa porta lógica é a</p><p>apresentada a seguir:</p><p>Figura 26 – Operação EX-OR</p><p>Fonte: Tocci (2007).</p><p>A porta EX-NOR é identificada de forma característica pelas</p><p>expressões lógicas:</p><p>Sistemas Digitais</p><p>40</p><p>Nesse caso, sua saída retorna um valor ALTO se as duas entradas</p><p>estiverem em níveis lógicos iguais. A tabela a seguir representa a tabela</p><p>verdade dessa porta lógica:</p><p>Tabela 7 – Tabela-verdade porta EX-NOR com duas variáveis</p><p>Fonte: Elaborado pelos autores (2021).</p><p>Por meio das funções lógicas visualizadas até aqui, é possível</p><p>implementar circuitos lógicos combinacionais para as mais diversas</p><p>finalidades. A associação das portas lógicas auxilia a resolução de diversos</p><p>problemas lógicos que possuem entradas variáveis.</p><p>RESUMINDO:</p><p>E então, gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo</p><p>tudinho? Agora, só para termos certeza de que você</p><p>realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, vamos</p><p>resumir tudo o que vimos. Você deve ter aprendido que as</p><p>portas lógicas na prática são utilizadas em combinações</p><p>mais complexas com outras portas de maneira que é</p><p>possível gerar complexas lógicas combinacionais para</p><p>definir um circuito combinacional. Como visualizado,</p><p>existem operações lógicas fundamentais, as operações</p><p>conhecidas como: AND, OR e NOT. Porém, existem outras</p><p>além dessas, como as funções: NAND, NOR, OR exclusivo</p><p>e NOR exclusivo. No caso da associação da porta NOT</p><p>com a porta AND, origina-se a porta NAND. Caracterizada</p><p>como uma porta universal, pois podem ser utilizadas para a</p><p>produção de qualquer tipo de função lógica (NOT, AND, OR</p><p>e NOR). No caso da associação da porta NOT com a porta</p><p>OR, origina-se a porta NOR. Esta é também caracterizada</p><p>como uma porta universal, pois também é capaz de ser</p><p>utilizada para a produção de qualquer outro tipo de função</p><p>lógica (NOT, NAND, OR e AND).</p><p>Sistemas Digitais</p><p>41</p><p>Circuitos Lógicos Combinacionais</p><p>OBJETIVO:</p><p>Ao término deste capítulo, você será capaz de entender</p><p>como aplicar as funções booleanas em circuitos</p><p>combinacionais, com vistas à realização de operações</p><p>lógicas encadeadas. Isso será fundamental para o exercício</p><p>de sua profissão. E então, motivado para desenvolver essa</p><p>competência? Vamos lá, avante!</p><p>Circuitos Combinacionais</p><p>Até o presente momento foram analisadas apenas as portas lógicas</p><p>de maneira particular com apenas algumas combinações simples, isto</p><p>é, apenas usos mais simples e gerais foram analisados. No entanto, as</p><p>portas lógicas na prática são utilizadas em combinações mais complexas</p><p>com outras portas de maneira que é possível gerar complexas lógicas</p><p>combinacionais.</p><p>Por meio da associação de portas lógicas para a formação de</p><p>circuitos combinacionais, é que se consegue compreender como</p><p>se desenvolvem as operações de circuitos somadores, subtratores,</p><p>codificadores, decodificadores e outros que são vastamente aplicados na</p><p>produção de estrutura de computadores e outros tantos sistemas digitais.</p><p>Em termos gerais, pode-se definir um circuito combinacional</p><p>como sendo um circuito em que há uma saída dependente, de maneira</p><p>exclusiva, das associações ou combinações entre os dados de entrada</p><p>do circuito.</p><p>De acordo com Tocci (2007):</p><p>Quando portas lógicas são interconectadas para produzir</p><p>uma saída especificada para certas combinações</p><p>das variáveis de entrada, sem o envolvimento de</p><p>armazenamento de dados, o circuito resultante está na</p><p>categoria de lógica combinacional. (TOCCI, 2007, p. 261)</p><p>Sistemas Digitais</p><p>42</p><p>Em outras palavras, na lógica combinacional, tem-se que os níveis</p><p>lógicos, os quais são fornecidos nas saídas, são dependentes a todo</p><p>momento das combinações estabelecidas entre os níveis lógicos das</p><p>variáveis de entrada.</p><p>Assim, os circuitos lógicos combinacionais podem ser aplicados para</p><p>o desenvolvimento de soluções para problemas em que se demandam</p><p>respostas associadas à ocorrência de situações específicas, as quais são</p><p>representadas pelas variáveis de entrada.</p><p>Os circuitos combinacionais, nesse sentido, podem ser construídos</p><p>para finalidades específicas, mas fazendo uso de suas respectivas</p><p>expressões características que são obtidas por suas tabelas-verdade.</p><p>A figura a seguir ilustra a sequência a ser seguida para a construção</p><p>de um circuito combinacional qualquer. Partindo-se, inicialmente, da</p><p>situação problema para a qual se precisa encontrar uma solução lógica,</p><p>monta-se a respectiva e adequada tabela-verdade para tal situação, a</p><p>partir daí, por meio de técnicas de simplificação, encontra-se o formato</p><p>mais simples da expressão para a situação problema e, com ela,</p><p>desenvolve-se o circuito adequado.</p><p>Figura 27 – Sequência do processo de construção do circuito combinacional</p><p>Situação Tabela da</p><p>verdade</p><p>Expressão</p><p>simplificada Circuito</p><p>Fonte: Idoeta (1963).</p><p>A partir desse momento, serão apresentadas resoluções de</p><p>problemas reais, de maneira simplificada, por meio do uso dos conceitos</p><p>de Eletrônica digital até aqui estudados.</p><p>Os problemas discutidos a seguir são adaptações de proposições</p><p>do autor Idoeta (1963) e servem para apresentar de uma forma prática</p><p>e didática o desenvolvimento e a aplicação da teoria de circuitos</p><p>lógicos na construção de sistemas digitais como circuitos integrados e</p><p>microprocessadores.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>43</p><p>Figura 28 –Circuito combinacional com várias entradas e saídas</p><p>Circuito lógico</p><p>Fonte: Idoeta (1963).</p><p>Um circuito lógico pode apresentar uma grande variedade de</p><p>entradas e uma ou mais de uma saídas de acordo com as propostas de</p><p>cada projeto de circuito.</p><p>Circuitos com Duas Variáveis</p><p>Observe o circuito da figura a seguir.</p><p>Figura 29 – Situação problema para circuito com duas variáveis de entrada</p><p>Fonte: Idoeta (1963).</p><p>A situação problema proposta para ilustrar um circuito combinacional</p><p>com duas variáveis compreende um sistema digital bastante comum</p><p>na sociedade atual. Observe que é representado um sistema de sinal</p><p>de trânsito em um cruzamento entre quatro vias, em que as ruas,</p><p>Sistemas Digitais</p><p>44</p><p>representadas por A e B, se cruzam e um ponto que será instalado um</p><p>sistema de sinalização automático.</p><p>SAIBA MAIS:</p><p>Para conhecer um pouco mais profundamente sobre a</p><p>eletrônica digital, leia o livro: Elementos de eletrônica</p><p>digital de Ivan Valeije Idoeta e Francisco Gabriel Capuano</p><p>publicado pela Saraiva Educação SA, 1993.</p><p>Os semáforos, como se sabe, são sistemas que são programados</p><p>para ativarem em tempos especificados as sinalizações luminosas que</p><p>indicam comandos e ações aos condutores dos veículos. Um semáforo</p><p>pode indicar sinal verde, em que o condutor pode circular, sinal amarelo,</p><p>para que o condutor se atente ao sinal, e sinal vermelho indicando a sua</p><p>parada obrigatória.</p><p>Esses sinais, por sua vez, precisam estar sincronizados entre as ruas</p><p>de maneira tal que o tráfego de uma rua não interfira no da outra, para</p><p>que todos os condutores consigam seguir o caminho sem que os veículos</p><p>colidam com os veículos que vêm da via adjacente.</p><p>Nesse caso, para a construção da situação problema do circuito,</p><p>serão estabelecidas algumas condições básicas:</p><p>1. Quando carros estiverem trafegando ao longo da rua B, o semáforo</p><p>representado pelo número 2 deve estar indicando o sinal verde.</p><p>2. Quando carros estiverem trafegando ao longo da rua A, o semáforo</p><p>representado pelo número 1 deve estar indicando o sinal verde.</p><p>3. Quando carros estiverem trafegando ao longo das ruas A e B, o</p><p>sinal deve preferencialmente ser verde na rua A.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>45</p><p>Um circuito lógico é capaz de resolver essa situação.</p><p>Para a montagem do circuito lógico, no entanto, é necessário, antes,</p><p>encontrar a expressão característica de tal circuito. Para tanto, deve-</p><p>se, inicialmente, obter-se a tabela-verdade do mesmo. A seguir serão</p><p>identificadas algumas condições básicas que nortearão essa construção,</p><p>observe:</p><p>• Caso haja carro na rua A → A=1.</p><p>• Caso não haja carro na rua A → A=0.</p><p>• Caso haja carro na rua B → B=1.</p><p>• Caso não haja carro na rua B → B=0.</p><p>• Sinal de 1 com verde aceso → V1=1.</p><p>• Sinal de 2 com verde aceso → V2=1.</p><p>• Quando V1=1 → sinal vermelho do semáforo 1 apagado → Vm1=0.</p><p>• → sinal verde do semáforo 2 apagado → V2=0.</p><p>• → sinal vermelho do semáforo 2 aceso → Vm2=1.</p><p>• Quando V2=1 → V1=0, Vm2=0 e Vm1=1.</p><p>Para a montagem da tabela-verdade específica para essa situação,</p><p>será implementada a tabela apresentada a seguir. Observe que, como</p><p>duas variáveis de entrada foram identificadas, as ruas A e B apenas, esse</p><p>circuito pode apresentar 22=4 combinações e que saídas para as variáveis</p><p>V1, Vm1, V2 e Vm2 deverão ser obtidas de maneira sintonizada. Isto é,</p><p>como essas variáveis são interdependentes, o resultado de uma interfere</p><p>no desenvolvimento do resultado da outra, por exemplo, não é possível</p><p>que o sinal verde das ruas A e B fique aceso ao mesmo tempo. Isso na vida</p><p>real causaria um grande problema no trânsito.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>46</p><p>Assim sendo, tem-se:</p><p>Tabela 8 –Construção da tabela-verdade</p><p>Situação A B V1 Vm1 V2 Vm2</p><p>0 0 0</p><p>1 0 1</p><p>2 1 0</p><p>3 1 1</p><p>Fonte: Idoeta (1963).</p><p>Observe que para a situação identificada por 0, em que A=B=0, é</p><p>evidenciado que não há presença de veículos ao longo das vias. Como não</p><p>há veículos, é irrelevante analisar o estado do sinal exibido no semáforo,</p><p>por estar aberto ou não, é um contexto irrelevante. Porém, como os</p><p>sinais de A e de B não podem adotar o mesmo estado ao mesmo tempo,</p><p>adotando-se que o sinal 2 está verde, tem-se a seguinte configuração na</p><p>tabela-verdade:</p><p>V2=1 → V1=0;</p><p>Vm1=1 e Vm2=0.</p><p>Situação A B V1 Vm1 V2 Vm2</p><p>0 0 0 0 1 1 0</p><p>Na situação indicada em 1, tem-se que A=0 e B=1, ou seja, a rua</p><p>A está sem tráfego de veículos enquanto a rua B está apresentando</p><p>circulação de veículos.</p><p>Nesse caso, o sinal da rua B deve estar indicado como verde para</p><p>possibilitar a circulação dos veículos ao longo do cruzamento. Assim:</p><p>V2=1 → V1=0;</p><p>Vm1=1 e Vm2=0.</p><p>Situação A B V1 Vm1 V2 Vm2</p><p>1 0 1 0 1 1 0</p><p>Sistemas Digitais</p><p>47</p><p>Na situação indicada em 2, tem-se A=1 e B=0. Isso quer dizer que há</p><p>veículos na rua A e não há veículos na rua B. O sinal verde, por sua vez,</p><p>deve ser aceso na rua A, onde há veículos.</p><p>V1=1 → V2=0;</p><p>Vm2=1 e Vm1=0.</p><p>Situação A B V1 Vm1 V2 Vm2</p><p>2 1 0 1 0 0 1</p><p>Por fim, tem-se a situação indicada por 3 em que A=1 e B=1. Isso</p><p>quer dizer que em ambas as ruas há presença de veículos em circulação.</p><p>Como foi pré-determinado que a rua A possui preferência, o sinal verde</p><p>deve estar aceso para ela. Assim:</p><p>V1=1 → Vm1=0;</p><p>V2=0 e Vm2=1.</p><p>Situação A B V1 Vm1 V2 Vm2</p><p>3 1 1 1 0 0 1</p><p>Fazendo o preenchimento completo da tabela-verdade respectiva</p><p>para essa situação problema de forma completa tem-se:</p><p>Tabela 9 –Tabela-verdade encontrada</p><p>Situação A B V1 Vm1 V2 Vm2</p><p>0 0 0 0 1 1 0</p><p>1 0 1 0 1 1 0</p><p>2 1 0 1 0 0 1</p><p>3 1 1 1 0 0 1</p><p>Fonte: Idoeta (1963).</p><p>Como se sabe, os Mapas de Karnaugh apresentam todos os valores</p><p>possíveis de variáveis de entrada e de saída que resultam em um mesmo</p><p>diagrama.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>48</p><p>Dessa maneira, é possível transformar o formato dos resultados</p><p>obtidos na tabela-verdade para os formatos de Mapa de Karnaugh e, a</p><p>partir daí, desenvolver os agrupamentos para que sejam obtidas saídas</p><p>simplificadas para V1, V2, Vm1 e Vm2.</p><p>Observe a seguir o comportamento identificado para o sinal de 1, V1:</p><p>Observe a seguir o comportamento identificado para o sinal de 2,</p><p>V2:</p><p>Observe a seguir o comportamento identificado para o sinal</p><p>vermelho de 1, Vm1:</p><p>Observe a seguir o comportamento identificado para o sinal</p><p>vermelho de 2, Vm2:</p><p>Sistemas Digitais</p><p>49</p><p>Por meio da tabela-verdade obtida e dos diagramas anteriormente</p><p>apresentados, percebe-se que as expressões associadas aos sinais</p><p>verdes e vermelho de 1 e de 2, respectivamente, correspondem ao mesmo</p><p>formato e verdade obtida e dos diagramas anteriormente apresentados.</p><p>Percebe-se ainda que as expressões associadas aos sinais verdes e</p><p>vermelho de 2 e de 1, respectivamente, também são correspondentes.</p><p>Dessa forma, pode-se expressar que:</p><p>V1=Vm2=A</p><p>e</p><p>É possível expressar as expressões anteriores por meio de uma</p><p>ilustração física do circuito, a qual é apresentada a seguir:</p><p>Figura 30 – Circuito para situação problema</p><p>A V1</p><p>Vm2</p><p>V2</p><p>Vm1</p><p>Fonte: Idoeta (1963).</p><p>Observe que, a partir das expressões que foram obtidas, pode-</p><p>se concluir que a presença de veículos na rua é preferencial. No caso A,</p><p>proporciona que o sinal verde do semáforo 1 seja acionado e que o sinal</p><p>vermelho da rua B seja acionado em paralelo. Isso se dá pela ação do</p><p>inversor do circuito ilustrado na figura anterior, ou seja, V2=Vm1=0.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>50</p><p>De forma similar, quando não há carros na rua A e A=0, a condição</p><p>contrária é satisfeita; assim, há a abertura da via que é considerada</p><p>secundária, no caso a rua B, V1=V2=0 e V2=Vm1=1.</p><p>A variável B é retirada das expressões, após o processo de</p><p>simplificação, tendo em vista que se torna desnecessária a função em</p><p>que as demais situações são consideradas.</p><p>RESUMINDO:</p><p>E então, gostou do que lhe mostramos? Aprendeu</p><p>mesmo tudinho? Agora, só para termos certeza de</p><p>que você realmente entendeu o tema de estudo deste</p><p>capítulo, vamos resumir tudo o que vimos. Você deve ter</p><p>aprendido que as portas lógicas na prática são utilizadas</p><p>em combinações mais complexas com outras portas</p><p>de maneira que é possível gerar complexas lógicas</p><p>combinacionais, definir um circuito combinacional como</p><p>sendo um circuito em há uma saída dependente, de</p><p>maneira exclusiva, das associações ou combinações entre</p><p>os dados de entrada do circuito. Quando portas lógicas</p><p>são interconectadas para produzir uma saída especificada</p><p>para certas combinações das variáveis de entrada, sem</p><p>o envolvimento de armazenamento de dados, o circuito</p><p>resultante está na categoria de lógica. Um circuito lógico</p><p>pode apresentar uma grande variedade de entradas e uma</p><p>ou mais de uma saídas de acordo com as propostas de</p><p>cada projeto de circuito.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>51</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>BOYLESTAD, R. L.; NASHELSKY, L. Dispositivos eletrônicos e teoria</p><p>de circuitos. São Paulo: Prentice-Hall do Brasil, 1984.</p><p>FERDJALLAH, M.  Introduction to Digital Systems: Modeling,</p><p>Synthesis, and Simulation Using VHDL. [s. l.] John Wiley& Sons, 2011.</p><p>FLOYD, T.  Sistemas digitais: fundamentos e aplicações. São</p><p>Paulo: Bookman Editora, 2007.</p><p>GOUVEA, M. O que são componentes ativos, passivos e</p><p>eletromecânicos. 2020. Disponível em: https://produza.ind.br/tecnologia/</p><p>componentes-passivos/. Acesso em: 20 set. de 2021.</p><p>IDOETA, I.V.; CAPUANO, F.G. Elementos de eletrônica digital. São</p><p>Paulo: Saraiva Educação SA, 1993.</p><p>JONHSON, S. What is digital code? 2021. Disponível em:https://</p><p>www.techwalla.com/articles/how-to-type-a-triangle-character-on-the-</p><p>pc-keyboard. Acesso em: 20 set. de 2021.</p><p>KAMAL, R.  Digital Systems: Principles and Design. India: Pearson</p><p>Education, 2009.</p><p>RIORDAN, M. Transistors. 2021. Disponível em: https://www.</p><p>britannica.com/technology/transistor. Acesso em: 20 set. de 2021.</p><p>SILVA, L.M.C. Sistemas de Numeração. 2021. Disponível em: https://</p><p>docs.ufpr.br/~marianakleina/Material2.pdf. Acesso em: 20 set. de 2021.</p><p>TANENBAUM, A. S.; ZUCCHI, W. L.  Organização estruturada de</p><p>computadores. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013.</p><p>TOCCI, R. J.; WIDMER, Neal S.; MOSS, Gregory L. Sistemas Digitais;</p><p>princípios e aplicações. São Paulo: Editora Pearson, 2019.</p><p>Sistemas Digitais</p><p>https://produza.ind.br/tecnologia/componentes-passivos/</p><p>https://produza.ind.br/tecnologia/componentes-passivos/</p><p>Funções Booleanas e suas Propriedades</p><p>Álgebra de Boole</p><p>Portas Lógicas</p><p>Propriedades da Álgebra de Boole</p><p>Lei Cumulativa</p><p>Lei Associativa</p><p>Lei Distributiva</p><p>Tabelas-Verdade e Mapa de Karnaugh</p><p>Avaliação de Circuitos Lógicos com Base na Álgebra Booleana</p><p>Construção de Tabela-Verdade</p><p>Simplificação de Circuitos com Álgebra de Boole</p><p>O Mapa de Karnaugh</p><p>Construindo os Diagrama</p><p>de Karnaugh para 2 Variáveis</p><p>Portas Lógicas</p><p>Portas Lógicas</p><p>Circuitos Lógicos Combinacionais</p><p>Circuitos Combinacionais</p><p>Circuitos com Duas Variáveis</p>