Cálculo de Áreas de Figuras Planas

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<p>Matemática</p><p>3o bimestre – Aula 31</p><p>Ensino Fundamental: Anos Finais</p><p>Calculando área de círculos,</p><p>quadriláteros e triângulos</p><p>● Área de figuras planas e</p><p>comprimento do círculo.</p><p>● Calcular a área de círculos por meio</p><p>de expressões em situações-</p><p>problema;</p><p>● Calcular a área de quadriláteros e</p><p>triângulos por meio de expressões</p><p>em situações-problema;</p><p>● Elaborar situações-problema que</p><p>envolvam o cálculo da área de</p><p>círculos por meio de expressões.</p><p>Olhe para as imagens ao</p><p>lado e discuta com a turma.</p><p>Você sabe qual é a diferença</p><p>entre circunferência e círculo?</p><p>5 MINUTOSTODOS</p><p>JUNTOS</p><p>Circunferência é a “linha”.</p><p>Círculo é a “região pintada”.</p><p>Formalmente:</p><p>Circunferência é o lugar geométrico</p><p>formado por infinitos pontos que</p><p>são equidistantes de um ponto fixo</p><p>O chamado centro.</p><p>Círculo (ou disco) é o conjunto de</p><p>todos os pontos de um plano cuja</p><p>distância a um ponto fixo O é menor</p><p>ou igual a uma distância r (raio)</p><p>dada.</p><p>Vamos relembrar as principais</p><p>fórmulas para calcular áreas de</p><p>figuras planas e verificar como</p><p>aplicá-las em situações-problema</p><p>que necessitem da utilização de</p><p>uma ou mais delas.</p><p>Áreas de figuras planas</p><p>CONTINUA</p><p>8 MINUTOS</p><p>O retângulo é um paralelogramo, ou seja, tem lados</p><p>opostos, paralelos e congruentes entre si. Seus lados</p><p>são chamados de comprimento (ou base) e largura (ou</p><p>altura). Além disso, apresenta os quatro ângulos retos</p><p>(90°).</p><p>Para calcular a área (A) de um retângulo, vamos</p><p>considerar:</p><p>b: comprimento (ou base)</p><p>h: largura (ou altura)</p><p>Área de uma superfície retangular</p><p>A = b · h</p><p>CONTINUA</p><p>O quadrado é um caso particular do retângulo, pois</p><p>apresenta todos os lados com medidas iguais (b = h).</p><p>Para calcular a área (A) de um quadrado, vamos</p><p>considerar:</p><p>L: medidas dos lados</p><p>Área de um quadrado</p><p>A = L²</p><p>CONTINUA</p><p>O losango também é um paralelogramo, como o</p><p>retângulo, porém seus lados sempre têm medidas</p><p>iguais e não necessariamente seus ângulos</p><p>internos são retos.</p><p>Observe que a área (A) de um losango equivale à</p><p>metade da área do retângulo. Note também que a</p><p>base b do retângulo equivale à diagonal maior do</p><p>losango, enquanto a altura h do retângulo equivale</p><p>à diagonal menor do losango. Vamos considerar:</p><p>D: diagonal maior</p><p>d: diagonal menor</p><p>Área de um losango</p><p>A =</p><p>D · d</p><p>𝟐</p><p>O paralelogramo é um quadrilátero que tem lados opostos paralelos e congruentes entre si.</p><p>Para calcular a área (A) de um paralelogramo, vamos considerar:</p><p>b: base (AB) h: altura (DH)</p><p>Observe que os lados AD e BC são congruentes. Deslocando o triângulo ADH como indicado</p><p>nas imagens a seguir, forma-se um retângulo.</p><p>Área de um paralelogramo</p><p>A = b · h</p><p>CONTINUA</p><p>Ao traçar a diagonal em um paralelogramo, teremos</p><p>dois triângulos congruentes entre si. Assim, concluímos</p><p>que a área (A) de um triângulo equivale à metade da</p><p>área de um paralelogramo.</p><p>Para calcular a área (A) de um triângulo, vamos</p><p>considerar:</p><p>b: medida da base AB</p><p>h: medida da altura DH</p><p>Área de um triângulo</p><p>A =</p><p>b · h</p><p>𝟐</p><p>O trapézio é um quadrilátero que tem dois lados paralelos.</p><p>Esses lados paralelos são conhecidos como bases do trapézio.</p><p>Na imagem ao lado, temos:</p><p>AB: base maior (B) CD: base menor (b) CH: altura (h)</p><p>Ao traçar a diagonal em um trapézio, teremos dois triângulos</p><p>com a mesma altura h. Assim, concluímos que a área (A) de</p><p>um trapézio equivale à soma das áreas desses triângulos.</p><p>A = área ΔABC + área ΔACD</p><p>A =</p><p>b · h</p><p>2</p><p>+</p><p>b · h</p><p>2</p><p>=</p><p>B · h + b · h</p><p>2</p><p>=</p><p>(B + b) · h</p><p>2</p><p>Área de um trapézio</p><p>A =</p><p>(B + b) · h</p><p>𝟐</p><p>CONTINUA</p><p>=</p><p>B ⋅ h + b ⋅ h2B · h + b · h2</p><p>=</p><p>(B + b) ⋅ h2(B + b) · h2</p><p>Círculo (ou disco) é o conjunto de todos</p><p>os pontos de um plano cuja distância a</p><p>um ponto fixo O é menor ou igual a uma</p><p>distância r (raio) dada.</p><p>Para calcular a área (A) de um círculo:</p><p>Área de um círculo</p><p>Link para a página</p><p>Link para a página</p><p>Fonte: © Getty Images</p><p>A = π · r²</p><p>5 MINUTOS</p><p>https://escolakids.uol.com.br/matematica/area-circulo.htm</p><p>Carolina vai colocar grama em uma parte do</p><p>terreno de sua casa. A área a ser plantada</p><p>tem o formato e as medidas indicadas na</p><p>figura ao lado.</p><p>A quantidade de grama a ser plantada</p><p>equivale a uma área de quantos metros</p><p>quadrados?</p><p>5 MINUTOSFAÇA</p><p>AGORA</p><p>Atividade 1</p><p>Note que as regiões A e E equivalem a triângulos</p><p>retângulos com medidas iguais. O mesmo acontece com</p><p>os retângulos B e D. A região C equivale a um quadrado.</p><p>Assim:</p><p>A =</p><p>𝟐 · 𝟐</p><p>𝟐</p><p>→ A = E = 2 m²</p><p>B = 2 · 1 → B = D = 2 m²</p><p>C = 2 · 2 → C = 4 m²</p><p>Área total: 2 + 2 + 2 + 2 + 4 = 12 m²</p><p>Correção</p><p>A</p><p>B</p><p>C D</p><p>E</p><p>Uma apresentação teatral será realizada em um</p><p>colégio. Como o colégio não tem um teatro, a</p><p>direção resolveu contratar uma empresa para</p><p>construir um palco no ginásio de esportes. O</p><p>ginásio possui uma área delimitada por um</p><p>retângulo e o palco no qual será realizada a</p><p>apresentação terá o formato de um trapézio</p><p>conforme as medidas indicadas na figura ao</p><p>lado, sendo a medida da base menor do</p><p>trapézio equivalente a três vezes a sua altura.</p><p>Determine a medida equivalente à área</p><p>reservada à apresentação (palco).</p><p>5 MINUTOSMOSTRE-MEAtividade 2</p><p>A =</p><p>(B + b) · h</p><p>𝟐</p><p>Correção</p><p>Para calcular a área do trapézio:</p><p>B (base maior) = 18 m</p><p>b (base menor) = 3 ∙ 5 = 15 m</p><p>h (altura) = 5 m</p><p>Assim:</p><p>Portanto, a medida equivalente à área reservada à apresentação é de 82,5 m².</p><p>A =</p><p>(18 + 15) ∙ 5</p><p>2</p><p>A =</p><p>33 ∙ 5</p><p>2</p><p>A = 82,5</p><p>Um chafariz no formato circular de raio</p><p>igual a 4 m será construído no meio de</p><p>uma praça com formato de um losango</p><p>em que as diagonais medem 12 m e</p><p>18 m. Determine a medida da área</p><p>destinada à circulação de pessoas,</p><p>sabendo que elas podem circular</p><p>livremente na região da praça não</p><p>ocupada pelo chafariz.</p><p>Use π = 3,14.</p><p>Agora é com você!</p><p>5 MINUTOS</p><p>MOSTRE AS</p><p>ETAPAS</p><p>A área destinada à circulação de pessoas equivale à</p><p>diferença entre as áreas do losango e do círculo.</p><p>Cálculo da área do losango:</p><p>Sendo D a medida da diagonal maior</p><p>e d a medida da diagonal menor.</p><p>Assim: A =</p><p>18 · 12</p><p>2</p><p>→ A = 108</p><p>A =</p><p>D · d</p><p>𝟐</p><p>A = π · r²</p><p>Área destinada à circulação de pessoas:</p><p>Cálculo da área do</p><p>círculo:</p><p>Assim: A = π ∙ r²</p><p>A = 3,14 ∙ 4²</p><p>A = 50,24</p><p>Correção</p><p>108 – 50,24 = 57,76</p><p>Portanto, a área destinada à circulação de pessoas corresponde a 57,76 m².</p><p>(ENEM 2023) Na planta baixa de um clube, a piscina é representada por</p><p>um quadrado cuja área real mede 400 m². Ao redor dessa piscina, será</p><p>construída uma calçada, de largura constante igual a 5 m.</p><p>Qual é a medida da área, em metro quadrado,</p><p>ocupada pela calçada?</p><p>5 MINUTOS</p><p>A) 1 000</p><p>B) 900</p><p>C) 600</p><p>D) 500</p><p>E) 400</p><p>PUXE MAIS</p><p>(ENEM 2023) Na planta baixa de um clube, a piscina é</p><p>representada por um quadrado cuja área real mede 400 m².</p><p>Ao redor dessa piscina, será construída uma calçada, de</p><p>largura constante igual a 5 m.</p><p>Resolução:</p><p>Vamos calcular a área ocupada pela calçada fazendo a diferença</p><p>entre a área da planta baixa e a área da piscina.</p><p>1o) Como a piscina equivale a um quadrado de área igual a 400 m²,</p><p>é preciso conseguir descobrir a medida (L) do lado do quadrado.</p><p>A = L² → 400 = L² → L = 20.</p><p>Portanto, o lado do quadrado mede 20 metros.</p><p>Correção</p><p>Qual é a medida da área, em metro quadrado,</p><p>ocupada pela calçada?</p><p>PUXE MAIS</p><p>CONTINUA</p><p>(ENEM 2023) Na planta baixa de um clube, a piscina é</p><p>representada por um quadrado cuja área real mede 400 m².</p><p>Ao redor dessa piscina, será construída uma calçada, de</p><p>largura constante igual a 5 m.</p><p>Qual é a medida da área, em metro quadrado,</p><p>ocupada pela calçada?</p><p>Resolução:</p><p>Vamos calcular a área ocupada pela calçada fazendo a diferença entre a área</p><p>da planta baixa e a área da piscina.</p><p>2o) A área da planta baixa equivale a um quadrado de lado L + 5 + 5, ou seja:</p><p>20 + 5 + 5 = 30 m. Assim: A = L² → A = 30² → A = 900</p><p>Portanto, a área da planta baixa equivale a 900 m².</p><p>CONTINUA</p><p>(ENEM 2023) Na planta baixa de um clube, a piscina é</p><p>representada por um quadrado cuja área real mede 400 m².</p><p>Ao redor dessa piscina, será construída uma</p><p>calçada, de</p><p>largura constante igual a 5 m.</p><p>Qual é a medida da área, em metro quadrado,</p><p>ocupada pela calçada?</p><p>A) 1 000</p><p>B) 900</p><p>C) 600</p><p>D) 500</p><p>E) 400</p><p>Resolução:</p><p>Vamos calcular a área ocupada pela calçada fazendo a diferença</p><p>entre a área da planta baixa e a área da piscina.</p><p>Assim: 900 – 400 = 500</p><p>A medida da área, em metros quadrados,</p><p>ocupada pela calçada é 900 m² – 400 m² = 500 m².</p><p>● Calculamos a área de círculos por meio de</p><p>expressões em situações-problema;</p><p>● Calculamos áreas de quadriláteros por meio de</p><p>expressões em situações-problema.</p><p>DANTE, L. R.; VIANA, F. Teláris Essencial [livro eletrônico]. Matemática: 9o ano. São Paulo: Ática, 2022.</p><p>ESCOLA KIDS. Área do círculo. Disponível em: https://escolakids.uol.com.br/matematica/area-circulo.htm.</p><p>INEP | Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Disponível em:</p><p>https://www.gov.br/inep/pt-br.</p><p>LEMOV, D. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2023.</p><p>PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA. Disponível em: https://www.puc-rio.br/index.html.</p><p>https://escolakids.uol.com.br/matematica/area-circulo.htm</p><p>https://www.gov.br/inep/pt-br</p><p>https://www.puc-rio.br/index.html</p><p>Lista de imagens e vídeos</p><p>Slide 1 – Imagem de capa: SEDUC</p><p>Slide 12 – © Getty Images</p><p>Slide 25 – © Getty Images</p><p>Slide 23 – © Pixabay</p><p>Slide 1</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3: Você sabe qual é a diferença entre circunferência e círculo?</p><p>Slide 4</p><p>Slide 5: Áreas de figuras planas</p><p>Slide 6: Área de uma superfície retangular</p><p>Slide 7: Área de um quadrado</p><p>Slide 8: Área de um losango</p><p>Slide 9: Área de um paralelogramo</p><p>Slide 10: Área de um triângulo</p><p>Slide 11: Área de um trapézio</p><p>Slide 12: Área de um círculo</p><p>Slide 13</p><p>Slide 14</p><p>Slide 15</p><p>Slide 16</p><p>Slide 17: Agora é com você!</p><p>Slide 18</p><p>Slide 19: (ENEM 2023) Na planta baixa de um clube, a piscina é representada por um quadrado cuja área real mede 400 m². Ao redor dessa piscina, será construída uma calçada, de largura constante igual a 5 m. Qual é a medida da área, em metro quadrado, oc</p><p>Slide 20: (ENEM 2023) Na planta baixa de um clube, a piscina é representada por um quadrado cuja área real mede 400 m². Ao redor dessa piscina, será construída uma calçada, de largura constante igual a 5 m.</p><p>Slide 21: (ENEM 2023) Na planta baixa de um clube, a piscina é representada por um quadrado cuja área real mede 400 m². Ao redor dessa piscina, será construída uma calçada, de largura constante igual a 5 m. Qual é a medida da área, em metro quadrado, oc</p><p>Slide 22: (ENEM 2023) Na planta baixa de um clube, a piscina é representada por um quadrado cuja área real mede 400 m². Ao redor dessa piscina, será construída uma calçada, de largura constante igual a 5 m. Qual é a medida da área, em metro quadrado, oc</p><p>Slide 23</p><p>Slide 24</p><p>Slide 25</p><p>Slide 26</p>