N2 2_Simulado 3_Recorrencia_Com Soluções

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Simulado POTI – Álgebra – Ńıvel II
Problemas
Problema 1. (3 pontos) Seja {an} uma sequência definida pela
recorrência a1 = 1, a2 = 4 e an = 2an−1− an−2 para n ≥ 3. O
valor de a13 é:
(a) 33 (b) 37 (c) 41 (d) 45 (e) maior que 45
Problema 2. (3 pontos) Dadas duas progressões aritméticas
(2, 5, 8, 11, ..., a60) e (3, 5, 7, 9, ..., b50), qual o número de termos
em comum?
(a) 13 (b) 15 (c) 17 (d) 19 (e) 21
Problema 3. (4 pontos) Defina uma sequência {ak}, k ≥ 1, por
ak+2 = ak + 14, a1 = 12, a2 = 25. O número 2013 pertence a
essa sequência? Justifique sua resposta.
Soluções:
Problema 1 2
Resposta B C
Solução do Problema 1: Alternativa B
A sequência é uma P.A. de primeiro termo 1 e razão 3. Assim,
a13 = 1 + 12 · 3 = 37.
Solução do Problema 2: Alternativa C
Primeiro, veja que a60 = 2+59 ·3 = 179 e b50 = 3+49 ·2 = 101.
Os termos em comum formam uma P.A. cujo primeiro termo
é 5 e a razão é 3 · 2 = 6. O maior deles é 101 = 6 · 16 + 5 e,
portanto, são 17 termos no total.
Solução do Problema 3:
Os termos de ordem ı́mpar são todos pares: 12, 26, 40, ...
e, portanto, 2013 não pode ser um deles. Por outro lado,
2013 = 25+14 · 142, ou seja, 2013 pertence à sequência e é um
termo de ordem par.
Pontuação:
1. Mostra que 2013 = 25 + 14 · 142: 8 pontos
2. Conclui que 2013 pertence à sequência: 2 pontos
Pontuação Parcial (não acumulativa)
1. Mostra que os termos de ordem ı́mpar são pares: 4 pontos
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