MODELAGEM DE SISTEMAS dinamicos

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<p>MODELAGEM DEMODELAGEM DE</p><p>SISTEMASSISTEMAS</p><p>MODELAGEM DE SISTEMASMODELAGEM DE SISTEMAS</p><p>DINÂMICOSDINÂMICOS</p><p>Au to r ( a ) : M e . G u i l h e r m e A f o n s o B e n to M e l l o</p><p>R ev i s o r : Fa b i o J o s e R i c a rd o</p><p>Tempo de leitura do conteúdo estimado em 1 hora e 50 minutos.</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=cV… 1/61</p><p>Introdução</p><p>Olá, estudante! Vamos iniciar nosso estudo falando sobre os meios</p><p>existentes para realizar a modelagem de sistemas , visto que há diversas</p><p>formas de realizar a modelagem de um processo.</p><p>Nesta unidade, será apresentada a introdução à identi�cação , baseada em</p><p>mecanismos e métodos para realizar e reconhecer a modelagem de</p><p>sistemas, identi�car os sistemas pelo método relé , realizar a estimação de</p><p>parâmetros de controle através de métodos de otimização quadrática e</p><p>regressão linear e, por �m, utilizar softwares para realizar a simulação dos</p><p>processos.</p><p>Bons estudos!</p><p>Introdução à</p><p>identificação de</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=cV… 2/61</p><p>Prezado(a) estudante, você sabia que a modelagem consiste em uma</p><p>maneira de poder representar um sistema de forma �dedigna e com todas</p><p>as suas características ? Além disso, a modelagem permite compreender o</p><p>sistema como um todo, permite-se que sejam possíveis realizar melhorias ,</p><p>além disso, a representação do processo pode simpli�car a realidade.</p><p>O modelo selecionado para representar um sistema pode apresentar</p><p>diversos níveis de precisão e isso varia a partir do modelo que for utilizado ,</p><p>sendo que os modelos que estejam os mais próximos da realidade do</p><p>processo são considerados melhores, vale ressaltar que não existe apenas</p><p>um único modelo correto, mas várias formas de interpretar o sistema</p><p>(CALSAVARA, 2005).</p><p>É comum que a representação do sistema dependa do conhecimento de</p><p>especialistas, de engenheiros(as), para poder realizar a representação, como</p><p>as observadas a seguir.</p><p>Entretanto há ainda outras possibilidades que permitem a representação de</p><p>um sistema, baseadas na utilização ou puramente representativa , como ao</p><p>desenhar a mão um projeto, sem especi�cações. Pode ser representado por</p><p>meio de cadeias de hierarquia ou mesmo um esquema de funcionamento do</p><p>sistema.</p><p>Diferentes são as formas de representar um sistema, mas os(as)</p><p>engenheiros(as) devem sempre saber a hora de usar cada tipo de</p><p>modelagem, sendo que não há um único meio de representar um processo .</p><p>sistemas</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=cV… 3/61</p><p>Um modelo pode ser de�nido a partir de um conjunto de equações , que</p><p>representa um criterioso modelo matemático , o qual expressa os dados de</p><p>atributos das entradas e saídas do sistema, sendo estes obtidos por meio</p><p>de fenômenos previamente conhecidos.</p><p>A modelagem deve ser feita a partir de vários atributos, como substâncias ,</p><p>matérias-primas , propriedades químicas , dispositivos , equipamentos ,</p><p>controladores , bem como de todos os elementos que estejam associados a</p><p>um dispositivo que se queira modelar. Essa modelagem pode ser elaborada</p><p>de várias formas, as mais comuns são a representação por blocos e a</p><p>representação matemática.</p><p>Reconhecer modelos fenomenológicos,</p><p>empíricos e mistos</p><p>A modelagem matemática de sistemas representa um conjunto de</p><p>equações matemáticas, baseado no sistema real , que dispõe de uma ou</p><p>mais equações, utilizando-se das variáveis de entrada e saída , além de que</p><p>pode representar a presença , ou não , de perturbações do sistema. Deve-se</p><p>levar em consideração, também, os dispositivos que estão associados ao</p><p>sistema, como controladores , medidores , indicadores e, eventualmente ,</p><p>os tipos de operação que o operador realiza naquele equipamento. Essa</p><p>modelagem poderá ser originada por três meios:</p><p>fundamentais;</p><p>fenomenológicos;</p><p>empíricos.</p><p>Para Silva (2013), os modelos fundamentais também podem ser</p><p>denominados modelos teóricos ou fenômenos de transporte . Eles baseiam-</p><p>se no uso das leis da física e química, com o objetivo de descrever o</p><p>sistema , de tal forma que se obtenha os atributos de entrada e saída</p><p>mediante experimentação ou por meio da literatura existente para tais.</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=cV… 4/61</p><p>Os modelos fenomenológicos , assim como o nome sugere, consistem em</p><p>descrever os processos por meio dos fenômenos apresentados, utilizando-</p><p>se dos princípios da conservação de energia, Leis de Newton, Lei de Ohm,</p><p>equações diferenciais, variáveis com condições iniciais e condições de</p><p>contorno (PEREIRA, 2011).</p><p>Os fenomenológicos podem ser classi�cados de acordo com a natureza</p><p>(determinístico ou estocástico), dependência do tempo (estacionário ou</p><p>dinâmico) e equações resultantes (algébricas, equações diferenciais</p><p>ordinárias ou equações diferenciais parciais) (PEREIRA, 2011).</p><p>A modelagem empírica é oriunda da interação do homem com o sistema .</p><p>Esse modelo é bastante restrito , super�cial e pode ainda não representar</p><p>adequadamente o sistema (ADORNO; MARTINS; SILVA, 2013). Então,</p><p>necessita da utilização de técnicas para operacionalizar as variáveis com o</p><p>desempenho do processo.</p><p>Há, ainda, a modelagem híbrida ou mista , que correlaciona os tipos</p><p>existentes de modelagens.</p><p>Reconhecer as etapas de modelagem empírica</p><p>Nos modelos empíricos, devido à sua característica limitada e muitas vezes</p><p>super�cial , para realizar a modelagem de sistemas por esse método, é</p><p>necessário utilizar um conjunto de técnicas de regressão , a �m de que se</p><p>possa operacionalizar pelo método empírico (SILVA, 2013).</p><p>Para Pereira (2011), o modelo empírico é comumente identi�cado como</p><p>uma “ caixa-preta ”, da qual não se conhece quais foram os meios pelos</p><p>quais ela foi gerada/construída , entretanto devem-se utilizar técnicas que</p><p>permitam a relação entre as variáveis dependentes e as independentes,</p><p>através das funções de transferência .</p><p>A função de transferência apresenta a relação da saída do sistema com a</p><p>entrada , sendo que a saída do sistema é aquilo que se espera medir ou</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=cV… 5/61</p><p>avaliar , frequentemente são as variáveis que são mensuradas no processo,</p><p>como a pressão, o nível, a temperatura, a vazão, a velocidade etc.</p><p>Florêncio (2009, p. 14) descreve etapas para o desenvolvimento de</p><p>modelagem empírica por:</p><p>1.Especi�cação do modelo estatístico a ser utilizado;</p><p>2.Estimação dos parâmetros das variáveis;</p><p>3.Teste de especi�cação do modelo;</p><p>4.Veri�cação das violações das premissas da técnica selecionada;</p><p>5.Testes de hipóteses;</p><p>6.Identi�cação de pontos in�uenciantes;</p><p>7.Escolha da técnica.</p><p>Vale ressaltar que a especi�cação das variáveis do processo neste modelo</p><p>depende da escolha do pro�ssional, desde que a variável faça parte do</p><p>sistema . Para cada um dos elementos listados na modelagem empírica,</p><p>deve-se realizar um tipo de teste para a veri�cação dos pontos, como: teste</p><p>de normalidade Jarque-Bera; método dos mínimos quadrados; teste Reset</p><p>de Ramsey; teste de signi�cância parcial e geral de coe�cientes; teste sobre</p><p>os outliers etc. (FLORÊNCIO, 2009).</p><p>Um dos métodos para diagnosticar o modelo selecionado é a análise de</p><p>regressão linear . O método da regressão consiste em analisar a relação</p><p>entre duas ou mais variáveis do processo, de forma que se possa identi�car</p><p>e estimar outras a partir destas variáveis (ÁVILA; SILVA; RODRIGUES, 2020).</p><p>Um exemplo disso é determinar o número de tomadas em uma sala</p><p>baseado na área total do ambiente, ou, ainda, determinar a vazão de ar frio</p><p>de um condicionador de ar para resfriar um ambiente.</p><p>Para isso, geralmente, há a construção de um grá�co que apresenta a</p><p>relação entre duas variáveis</p><p>. Acesso em: 18 maio 2021.</p><p>PINTO, J. E. M. G. et al . Software baseado no método do relé para sintonia de</p><p>controladores PID a partir da identi�cação da dinâmica da malha. In: Congresso</p><p>Rio Automação, 1., 2015, Rio de Janeiro. Anais eletrônicos [...]. Rio de Janeiro:</p><p>IBP, 2015. Disponível em: https://bit.ly/3gVjjtb . Acesso em: 18 maio 2021.</p><p>PROBLEMAS de otimização. Rio de Janeiro: Universidade Federal do Rio de</p><p>Janeiro, 2007. Disponível em:</p><p>http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap1</p><p>. Acesso em: 18 maio 2021.</p><p>RAMIREZ, N. I. B. Dinâmica e modelagem de processos . Niterói: Universidade</p><p>Federal do Rio de Janeiro, 2009. Disponível em:</p><p>http://www.eq.ufrj.br/docentes/ninoska/docs_PDF/Aula_Modelagem_%20LADEQ_1sem</p><p>. Acesso em: 20 abr. 2021.</p><p>RESNICK, R.; HALLIDAY, D.; KRANE, K. S. Física 2 . 5. ed. Rio de Janeiro: LTC,</p><p>2007.</p><p>SANTOS, J. C. A. O método de Newton-Raphson na solução da equação</p><p>: uma motivação para o estudo da existência de logaritmo de números negativos.</p><p>=2x x2</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 59/61</p><p>http://www.dequi.eel.usp.br/~felix/MSP.pdf</p><p>http://www2.isa.uma.es/C12/Diapositivas/Document%20Library/Transformada%20de%20Laplace.pdf</p><p>https://repositorio.ufrn.br/jspui/bitstream/123456789/15507/1/JanEMGP_DISSERT.pdf</p><p>https://bit.ly/3gVjjtb</p><p>http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap101s4.html</p><p>http://www.eq.ufrj.br/docentes/ninoska/docs_PDF/Aula_Modelagem_%20LADEQ_1sem09.pdf</p><p>2018. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Goiás,</p><p>Catalão, 2018. Disponível em: https://bit.ly/2UzR6PQ . Acesso em: 24 maio 2021.</p><p>SANTOS, T. S.; MAGRO, F. V. G. Análise da resposta do método de sintonia dos</p><p>relés com Labview. Revista UNINGÁ Review , Maringá, v. 28, n. 3, p. 108-112,</p><p>2016. Disponível em:</p><p>https://www.mastereditora.com.br/periodico/20161204_230209.pdf . Acesso</p><p>em: 21 maio 2021.</p><p>SARAIVA, F. A. Métodos de sintonia em controladores PID . 2011. Trabalho de</p><p>Conclusão de Curso (Bacharel em Engenharia de Telecomunicações) – Centro</p><p>Universitário La Salle, Canoas, 2011. Disponível em:</p><p>https://silo.tips/download/felipe-de-andrade-saraiva-metodos-de-sintonia-em-</p><p>controladores-pid . Acesso em: 18 maio 2021.</p><p>SEIDEL, Á. R. Técnicas de projeto para o reator eletrônico auto-oscilante</p><p>empregando ferramentas de controle . 2004. Tese (Doutorado em Engenharia</p><p>Elétrica) – Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, 2004. Disponível</p><p>em: https://repositorio.ufsm.br/bitstream/handle/1/3695/alysson%20seidel.pdf .</p><p>Acesso em: 23 maio 2021.</p><p>SENAI – SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL. Fundamentos de</p><p>controle de processo . Vitória: SENAI/ES, 1999. Disponível em:</p><p>http://www.dequi.eel.usp.br/~felix/Controle.pdf . Acesso em: 18 maio 2021.</p><p>SILVA, A. C. Modelagem e simulação . Goiás: UFG, 2013. Disponível em:</p><p>https://�les.cercomp.ufg.br/weby/up/596/o/3_%20Modelagem%20e%20simulação.pd</p><p>. Acesso em: 10 maio 2021.</p><p>TOGNETTI, E. S.; FIORILLO, D. Controle de processos : representação de modelos.</p><p>Brasília: Universidade de Brasília, 2015. Disponível em:</p><p>http://www2.ene.unb.br/estognetti/�les/20151/5_Aula4-</p><p>Representacoes_modelos.pdf . Acesso em: 27 abr. 2021.</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 60/61</p><p>https://bit.ly/2UzR6PQ</p><p>https://www.mastereditora.com.br/periodico/20161204_230209.pdf</p><p>https://silo.tips/download/felipe-de-andrade-saraiva-metodos-de-sintonia-em-controladores-pid</p><p>https://silo.tips/download/felipe-de-andrade-saraiva-metodos-de-sintonia-em-controladores-pid</p><p>https://repositorio.ufsm.br/bitstream/handle/1/3695/alysson%20seidel.pdf</p><p>http://www.dequi.eel.usp.br/~felix/Controle.pdf</p><p>https://files.cercomp.ufg.br/weby/up/596/o/3_%20Modelagem%20e%20simula%C3%A7%C3%A3o.pdf</p><p>http://www2.ene.unb.br/estognetti/files/20151/5_Aula4-Representacoes_modelos.pdf</p><p>http://www2.ene.unb.br/estognetti/files/20151/5_Aula4-Representacoes_modelos.pdf</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 61/61</p><p>do processo, denominado grá�co de dispersão</p><p>. Através do diagrama de dispersão, é possível compreender melhor como</p><p>funciona a relação entre as variáveis do processo, permite um maior</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=cV… 6/61</p><p>rendimento , e�ciência , capacidade de melhorias do processo, a</p><p>identi�cação de possíveis problemas , dentre outros (PEREIRA, 2016).</p><p>Com o grá�co de dispersão, é possível determinar a correlação , que mede a</p><p>relação entre as variáveis, e, com a regressão, fornece uma função de reta</p><p>que relaciona as variáveis. O cálculo da correlação é dado na Equação 4.1.</p><p>Na Equação 4.1, ‘r’ é o coe�ciente de correlação de Pearson , um índice que</p><p>varia de -1 a +1 e que demonstra a intensidade de relação linear entre as</p><p>variáveis, sendo que:</p><p>r = -1 ou r = 1, correlação perfeita negativa ou positiva;</p><p>-1 r > 1, correlação muito forte, negativa ou</p><p>positiva;</p><p>-0,95 r > 0,95, correlação forte, negativa ou</p><p>positiva;</p><p>-0,65 r > 0,65, correlação moderada, negativa ou</p><p>positiva;</p><p>-0,35 r > 0,35, correlação fraca, negativa ou</p><p>positiva;</p><p>-0,03</p><p>12/61</p><p>Figura 4.3 - Exemplo de sistema em blocos</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>#PraCegoVer : foi apresentada uma �gura composta por E(s) com uma seta da</p><p>esquerda para direita apontando para o sinal de positivo de uma circunferência</p><p>à direita (bloco somador). O bloco somador é uma circunferência composta por</p><p>um sinal de positivo do lado esquerdo e por um sinal negativo na parte inferior.</p><p>À direita do bloco somador, há uma seta preta conectada a outro bloco, desta</p><p>vez, retangular, com a inscrição “s+3”. Saindo deste bloco, há uma seta preta</p><p>conectada a outro bloco retangular, com a equação “s” sobre “s mais 6”. Deste</p><p>bloco sai uma seta preta apontada para a direita, com a inscrição “Y(s)”, e sai</p><p>também uma seta que passa por debaixo dos outros dois blocos retangulares e</p><p>se conecta ao sinal negativo do bloco somador.</p><p>Para resolver esse sistema, deve-se conhecer a função de transferência do</p><p>sistema , promovendo a relação da saída Y(s) dividida pela entrada E(s).</p><p>Com a função de transferência, podemos identi�car a equação</p><p>característica do sistema, além de poder simular , assim, a resposta do</p><p>sistema no tempo e identi�car a resposta para possíveis interferências ;</p><p>com isso, projetar controladores para evitar estes problemas.</p><p>Equação 4.5 : =</p><p>Y (s)</p><p>E(s)</p><p>+ 3.ss2</p><p>+ 4.s+ 6s2</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 13/61</p><p>O primeiro passo para identi�car a estabilidade do sistema é encontrar os</p><p>zeros e polos da função de transferência, de tal forma que, quando os polos</p><p>e zeros, após a localização destes, estiverem no semipleno esquerdo</p><p>(relativo a todo plano de -∞ a 0 em relação ao eixo horizontal real), o sistema</p><p>está estável , caso contrário, poderá ser considerado não estável .</p><p>Como identi�car os polos e zeros? Igualar o numerador a zero e o fazer o</p><p>mesmo com o denominador (igualar a zero), sendo que os elementos que</p><p>zeram o numerador encontrarão os zeros da função de transferência; e, ao</p><p>igualar o denominador a zero, os polos serão encontrados.</p><p>Os zeros encontrados serão 0 e -3; enquanto os polos serão complexos,</p><p>sendo -2+1,414j e -2-1,414j. Observando os elementos, pode-se dizer que o</p><p>sistema é estável , uma vez que os elementos estão contidos no semiplano</p><p>esquerdo do sistema.</p><p>praticar</p><p>Vamos Praticar</p><p>A regressão linear corresponde a um método que permite identi�car a</p><p>relação entre duas variáveis. Esse tipo de mecanismo é uma estratégia</p><p>para testar conhecimentos empíricos, além de desenvolver sistemas que</p><p>podem realizar a conferência e a veri�cação de parâmetros em uma linha</p><p>industrial.</p><p>Equação 4.6 :   + 3.s = 0s2</p><p>Equação 4.7 :   + 4.s+ 6 = 0s2</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 14/61</p><p>Uma das aplicações é o desenvolvimento de próprias funções que</p><p>representam um sistema de refrigeração e variação de temperatura.</p><p>Sejam (0,1), (1,6), (-1,-1), (-2,-7) e (5,11) os pontos medidos em uma linha de</p><p>produção que avalia a relação de temperatura de dois cilindros</p><p>conectados, analise os pontos e calcule a correlação de Pearson e a reta</p><p>que representa a dispersão das variáveis de temperatura.</p><p>Os processos podem ser identi�cados baseados na sua complexidade e</p><p>nas suas funcionalidades , também podem ser discriminados conforme a</p><p>sua composição . Como mencionado anteriormente, um processo pode</p><p>sofrer interferências mediante perturbações , que podem ocorrer em</p><p>quaisquer elementos do processo. Algumas dessas interferências são</p><p>forçadas sobre os sistemas, a �m de veri�car a estabilidade dos processos.</p><p>Reconhecer um sistema em malha fechada</p><p>Identificação pelo</p><p>método relé</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 15/61</p><p>Os sistemas podem ser representados de duas formas: malha aberta</p><p>(Figura 4.4) e malha fechada (Figura 4.5). No sistema em malha aberta, a</p><p>saída a ser controlada depende apenas dos dados da planta , dos dados de</p><p>entrada do sistema e de possíveis perturbações que podem ocorrer no</p><p>processo; no sistema em malha fechada, a saída a ser controlada depende</p><p>da ação da própria saída para ser controlada, além do elemento de entrada,</p><p>é também chamada de sistema em realimentação ou sistema com feedback</p><p>(OGATA, 2010).</p><p>No sistema em malha aberta, observando a Figura 4.4, a saída depende</p><p>única e exclusivamente da natureza da entrada em relação ao elemento</p><p>“Planta”, ou seja, o impacto da saída é controlado apenas pela “Planta”, o</p><p>que pode representar uma condição de pouco ou nenhum controle,</p><p>dependendo do que há na entrada do processo. Nesse tipo de processo, a</p><p>variação da entrada, por exemplo, uma perturbação, pode interferir</p><p>completamente no resultado de saída. Já a Figura 4.5 representa um</p><p>sistema em malha fechada, na qual há uma realimentação no sistema.</p><p>Figura 4.4 - Representação em blocos de um sistema em malha aberta</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>#PraCegoVer : foram apresentados três blocos no sistema, sendo um diagrama</p><p>sequencial realimentado. No início, é informado um elemento denominado</p><p>“Entrada”; posteriormente, o bloco denominado “Planta”, que se refere ao</p><p>ambiente que será modelado; e, por �m, o indicativo de “Saída”.</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 16/61</p><p>Portanto, pode-se controlar o processo utilizando alguns mecanismos, como</p><p>o elemento somador, ou mesmo um bloco de controle por meio de análise</p><p>de variáveis (sensoriamento).</p><p>Figura 4.5 - Representação em blocos de um sistema em malha fechada</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>#PraCegoVer : foram apresentados três blocos no sistema, sendo um diagrama</p><p>sequencial realimentado. No início, é informado um elemento denominado</p><p>“Entrada”; a seguir, o bloco somador com dois ícones, apresentando adição e</p><p>subtração; posteriormente, o bloco denominado “Planta”, que se refere ao</p><p>ambiente que será modelado; e, por �m, o indicativo de “Saída”. Entre o bloco de</p><p>planta e a saída, há uma conexão que se liga até o bloco somador no sinal de</p><p>subtração.</p><p>Os sistemas em malha fechada comumente são utilizados para realizar um</p><p>controle de uma determinada variável desejada, como controlar a</p><p>quantidade de �uido dentro de um reservatório, ou mesmo controlar os</p><p>gastos de uma casa quanto ao consumo energético diário. Na verdade, o</p><p>controle em malha fechada possui inúmeras aplicações na área industrial.</p><p>Entretanto há outros métodos para determinar se um sistema é estável, ou</p><p>não. Identi�car os polos e zeros consiste no método do lugar das raízes (ou</p><p>root locus ); os critérios de Routh , de Jury e os diagramas de Bode e de</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 17/61</p><p>Nyquist podem ser utilizados também na avaliação de estabilidade de um</p><p>sistema (TOGNETTI; FIORILLO, 2015).</p><p>Reconhecer a resposta senoidal de um sistema</p><p>em malha fechada</p><p>As perturbações são interferências que podem acontecer em qualquer</p><p>momento de funcionamento de um sistema, há interferências passageiras e</p><p>há aquelas que causam dano e, de fato, impedem o correto funcionamento</p><p>do processo. Contudo há um conjunto de perturbações de testes , que são</p><p>utilizadas para simular e experimentar o funcionamento de um sistema</p><p>(RAMIREZ, 2009):</p><p>impulso;</p><p>degrau;</p><p>pulso;</p><p>rampa;</p><p>senoidal.</p><p>Essas perturbações são as mais comuns e são utilizadas em testes e</p><p>experimentos, a �m de analisar a resposta do sistema a interferências que</p><p>podem acontecer, como a troca de dados em um display de interface</p><p>homem-máquina (IHM), alteração de parâmetros de controladores lógicos</p><p>programáveis, inversores de frequência etc.</p><p>As perturbações podem ser quaisquer sinais que ocorrem e impactam o</p><p>funcionamento do sistema. Entretanto, essas variações podem ser</p><p>utilizadas para testar o bom funcionamento</p><p>e a qualidade do controlador do</p><p>processo.</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 18/61</p><p>Um exemplo de interferência senoidal são as harmônicas na rede de</p><p>distribuição de energia, comuns perturbações no ambiente industrial que</p><p>correspondem a composições do tipo seno na linha de energia. Tais</p><p>perturbações impactam diretamente, como com ruídos de períodos</p><p>indeterminados, que podem promover a leitura incorreta de sensores,</p><p>atuadores, odômetros etc.</p><p>Perturbação do tipo degrau : representa uma variação da</p><p>amplitude do sistema em um determinado instante que se</p><p>mantém por tempo indeterminado. Um exemplo disso é uma</p><p>mudança brusca na entrada do processo.</p><p>Perturbação do tipo impulso : representa algo instantâneo,</p><p>pode ser uma vibração ou variação do próprio sistema. A</p><p>vibração do tipo degrau representa uma alteração da</p><p>amplitude do sistema que se mantém constante até que seja</p><p>interrompida (momento em que se acaba a interferência, a</p><p>presença de novas interferências ou a ação de controladores</p><p>para minimizar ou eliminar a interferência) (RAMIREZ, 2009).</p><p>A interferência do tipo pulso corresponde a uma ação</p><p>semelhante ao degrau, contudo é passageira, ocorre em um</p><p>determinado período e se encerra.</p><p>Perturbação do tipo rampa : interfere gradativamente no</p><p>sistema, é comumente relacionada à alteração de valores de</p><p>setpoint ou valores de referência em sistemas supervisórios</p><p>e IHM; e, por �m, a perturbação do tipo senoidal, representa</p><p>uma alteração em forma de sinal de senoide, ou seja, uma</p><p>entrada seno ou cosseno no sistema.</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 19/61</p><p>É justamente a ação desta perturbação, a senoidal, que serão apresentadas</p><p>as seguintes considerações. As características de um sinal senoidal são</p><p>amplitude (A), comprimento de onda (λ) e frequência (f). E a representação</p><p>matemática é dada na Equação 4.8 (RESNICK; HALLIDAY; KRANE, 2007).</p><p>Para sinais elétricos ou a perturbação em si, deve-se levar em consideração</p><p>a contribuição angular e o impacto dela nos sistemas.</p><p>No caso das harmônicas , são as composições da Equação 4.9 apresentada</p><p>que interferem nos sinais, dispositivos, equipamentos e quaisquer outros</p><p>S A I B A M A I S</p><p>Uma harmônica consiste em um distúrbio em frequência de vibração que causa o</p><p>fenômeno de ressonância na rede elétrica, de forma similar à frequência</p><p>fundamental. Esse tipo de perturbação é comum em dispositivos que estejam</p><p>sujeitos à saturação magnética, como transformadores e motores elétricos.</p><p>Fontes chaveadas, como encontradas em computadores e outros dispositivos</p><p>eletrônicos, também são equipamentos que podem originar harmônicos nas</p><p>redes elétricas.</p><p>Saiba mais em:</p><p>https://www.dsce.fee.unicamp.br/~antenor/pd�les/qualidade/a5.pdf</p><p>Fonte: Deckmann e Pomilio (2020).</p><p>Equação 4.8 : y(θ) = A. sen(θ)</p><p>Equação 4.9 : v(t) = A. sen(2.π. f. t+ φ)</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 20/61</p><p>https://www.dsce.fee.unicamp.br/~antenor/pdffiles/qualidade/a5.pdf</p><p>equipamentos elétricos e eletroeletrônicos, mas que, infelizmente, as</p><p>interferências na composição da onda fundamental senoidal não apresenta</p><p>frequência de�nida (DECKMANN; POMILIO, 2020). A transformada de</p><p>Laplace para a função senoidal é dada por (PÉREZ, 2012).</p><p>A função senoidal também possui curva característica, apresentada na</p><p>Figura 4.6 a seguir. Como que uma função seno pode agir em um sistema?</p><p>Equação 4.10 : V (s) =</p><p>ω</p><p>+s2 ω2</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 21/61</p><p>Então, o impacto da função senoidal corresponde da mesma forma em</p><p>circuitos , assim como as composições da função senoidal (harmônicas).</p><p>De certo modo, pode-se dizer que a função senoidal “ reescreve ” a equação</p><p>Figura 4.6 - Sinal senoidal de uma fase da rede de energia elétrica</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>#PraCegoVer : foi apresentado um grá�co retangular, em que no eixo horizontal</p><p>mostra o tempo em segundos, que se inicia em 0 e �naliza em 0,05 segundos,</p><p>variando em 0,01 segundos; no eixo vertical, apresenta-se a tensão em Volts,</p><p>iniciando em -127 Volts e �nalizando em 127 Volts, apresentando outros valores,</p><p>como -100, -50, 0, 50 e 100 Volts. Cada item desse em cruzamento dos itens do</p><p>eixo horizontal com eixo vertical possui um tracejado ao fundo. Dentro do</p><p>grá�co, a curva característica em cor vermelha demonstra que, quando varia o</p><p>período (tempo), há alteração da curva com semiplanos positivos e semiplanos</p><p>negativos, sendo que há um semicírculo positivo conectado em um negativo, e</p><p>assim sucessivamente. Acima da �gura, há um título escrito “Sinal senoidal de</p><p>60 Hz”.</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 22/61</p><p>�nal, tal que sistemas que já possuem uma curva característica podem</p><p>sofrer danos irreversíveis , prejudicando o funcionamento, a leitura incorreta</p><p>dos sensores e dispositivos e, consequentemente, produz efeitos no</p><p>controle de alguns processos.</p><p>Um exemplo disso é o funcionamento inadequado de inversores de</p><p>frequência, que podem ser dependentes de entradas que sofreram danos</p><p>relativos à variação da entrada. Veja, a seguir, na Figura 4.7, a resposta no</p><p>domínio do tempo da Equação 4.5 e o impacto da função senoidal e</p><p>harmônica na Equação 4.5.</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 23/61</p><p>Figura 4.7 - a) Resposta no domínio do tempo para a Equação 4.5; b)</p><p>Resposta à entrada senoidal no domínio do tempo para a Equação 4.5; c)</p><p>Resposta à entrada de composição senoidal no domínio do tempo para a</p><p>Equação 4.5</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>#PraCegoVer : foram apresentados três grá�cos retangulares, em que, na</p><p>horizontal, há identi�cação de números crescentes, iniciando em 0,5 até 10,</p><p>variando em 0,5, com tempo em segundos; na vertical, escrito y (t), iniciando de</p><p>-1,2 até 0, variando em 0,1, crescente, amplitude dos sinais. Identi�cados os</p><p>grá�cos por a, b e c. Sendo “a” a “Resposta no domínio do tempo para a</p><p>Equação 4.5”, a resposta em azul inicia em y = -1.1, há uma curva suave com</p><p>pico para baixo que sobe exponencialmente até mais ou menos 2,8 segundos e</p><p>entre em modo de regime permanente; em b, há um sinal representado em y =</p><p>-0,4, resposta da Equação 4.5 à entrada senoidal, representado por vários</p><p>elementos senos com semiplanos positivos e semiplanos negativos, como se</p><p>fossem ondas na cor vermelha, acima, há identi�cação de “Resposta à entrada</p><p>senoidal de 5 rad/s”; em ‘c’ há a identi�cação de uma “Resposta a composição</p><p>senoidal”, em verde, com picos inde�nidos, porém arredondados, como na</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 24/61</p><p>senoidal, entretanto cada qual com picos diferentes, sem amplitude de�nida,</p><p>com início em y = -0,5.</p><p>Como é possível visualizar gra�camente, há uma grande diferença quando o</p><p>sistema sofre a entrada de senoides . Consequentemente, altera a equação</p><p>característica do sistema.</p><p>No caso das composições de senoides , como nas harmônicas , a tendência</p><p>do sistema é não estabilizar , deve-se, entretanto, sempre conhecer as</p><p>ações de cada uma das entradas ou poder prever quais tipos de entradas ou</p><p>quais tipos de in�uências o processo pode vir a sofrer com o passar do</p><p>tempo. É claro que isso varia de processo para processo e também depende</p><p>Equação4.11 : Y (s) = ⋅</p><p>+ 3.ss2</p><p>+ 4.s+ 6s2</p><p>ω</p><p>+s2 ω2</p><p>REFLITA</p><p>Observe que a entrada senoidal no sistema</p><p>provoca a entrada forçada de dois pólos iguais</p><p>em j⍵. Isso é capaz de tornar o sistema não</p><p>estável, tendo em vista que</p><p>a Equação 4.5 já</p><p>possui dois polos em -2+1,414j e -2-1,414j?</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 25/61</p><p>de inúmeras ações desde a tomada de decisões por parte de humanos,</p><p>assim como o processamento de informações por parte do próprio sistema.</p><p>Método de sintonia do relé</p><p>Como dito anteriormente, todo processo está sujeito a ocorrências de</p><p>perturbações e interferências , oriundas das mais diversas fontes , desde</p><p>vibrações de equipamentos devido à �xação incorreta do equipamento no</p><p>solo/piso até variações advindas da rede de energia, as quais podem</p><p>prejudicar a performance e o rendimento do sistema. Entretanto há métodos</p><p>de sintonia de parâmetros que permitem a simpli�cação , a redução e até a</p><p>eliminação destas imperfeições.</p><p>Obviamente, quando se busca realizar a sintonia do sistema, também se</p><p>objetiva encontrar meios que tornem o sistema mais estável ou que tenda</p><p>para estabilidade . Para Saraiva (2011), o critério do controle de um sistema</p><p>é a estabilidade e a medição do tempo morto , tendo como ponto de partida</p><p>a função de transferência do sistema.</p><p>O tempo morto consiste em um intervalo de tempo em que o sistema sofre</p><p>uma alteração de qualquer espécie e o tempo em que são identi�cados por</p><p>componentes do sistema. Pode-se associar ao momento em que o</p><p>equipamento entra em contato com o meio e o tempo que leva para dar</p><p>resposta , sendo que há vários métodos para realizar a sintonia de sistemas</p><p>(SENAI, 1999).</p><p>Tentativa e erro ou método de aproximação sucessiva.</p><p>Ziegler-Nichols em malha fechada.</p><p>Autossintonia.</p><p>Método de Chidambaram.</p><p>Método de Luyben.</p><p>Método dos relés em malha fechada.</p><p>Dentre outros.</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 26/61</p><p>O método dos relés em malha fechada, proposto por Åström e Hägglund, em</p><p>1994, indica impor oscilações de amplitude controlada , utilizando-se de</p><p>relés , com a �nalidade de obter a amplitude de oscilação e o período de</p><p>atuação do relé e, com isso, poder determinar o período último ( ) e o</p><p>ganho último ( ) do sistema; para utilizar a técnica do método relé na</p><p>sintonia de controladores, baseia-se na função descritiva dos relés (NEVES,</p><p>2009).</p><p>Na literatura, é possível encontrar o controle/sintonia pelo método dos relés</p><p>como controlador ON-OFF, de tempo morto reduzido e auto tuning de</p><p>Åström-Hägglung (SANTOS; MAGRO, 2016).</p><p>Para Seidel (2004), a função descritiva também pode ser utilizada para</p><p>representar sistemas não lineares, assim como em Pinto (2014, p. 28).</p><p>Na análise por função descritiva, supõe-se que apenas a</p><p>componente harmônica fundamental da saída é signi�cativa. Tal</p><p>suposição é frequentemente válida, uma vez que harmônicas</p><p>superiores de saída de um elemento não-linear são</p><p>frequentemente de menor amplitude do que a amplitude da</p><p>harmônica fundamental.</p><p>Conhecendo os parâmetros e a função descritiva do relé, é possível</p><p>determinar os parâmetros para sintonia de um controlador PID</p><p>(proporcional, integrador e derivativo), sendo que a função descritiva do relé</p><p>é dada na Equação 4.12.</p><p>Sendo “h” a amplitude atuado no relé e “a” a amplitude da oscilação. Dessa</p><p>forma, para uma entrada senoidal x(t), a saída pode ser expressa por (PINTO,</p><p>2014):</p><p>TU</p><p>KU</p><p>Equação 4.12 : N(a) =</p><p>4.h</p><p>a. π</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 27/61</p><p>A representação do método relé em malha fechada em blocos é dada pela</p><p>Figura 4.8 a seguir, vamos analisar seu conteúdo.</p><p>Figura 4.8 - Representação em blocos do sistema de sintonia pelo método</p><p>relé</p><p>Fonte: Adaptada de Pinto (2014).</p><p>#PraCegoVer : há uma representação em blocos do sistema, em que há um</p><p>“E(s)” com uma seta apontando para uma circunferência (bloco somador) no</p><p>sinal de positivo. À direita, há um bloco retangular em vermelho, escrito "Erro'' e</p><p>três retas paralelas, sendo, de baixo para cima, “-h”, sem identi�cação e “+h”, que</p><p>representa o bloco de sintonia do relé. À direita, há uma seta conectando outro</p><p>bloco retangular escrito “Planta”, à direita do bloco “Planta” há uma seta</p><p>apontando para Y(s) e também conectando o sinal de negativo do bloco</p><p>somador, passando por baixo dos blocos de sintonia do relé e da planta.</p><p>Sendo sua curva característica semelhante a um conjunto de pulsos</p><p>retangulares de amplitude “h”, assim como demonstrada na Figura 4.9 a</p><p>seguir. Vamos analisá-la.</p><p>Equação4.13 : y(t) = + . sen(n.ω. t+ φ)A0 ∑</p><p>n=1</p><p>∞</p><p>Yn</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 28/61</p><p>Figura 4.9 - Saída do controlador pelo método relé</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>#PraCegoVer : há um grá�co retangular, em que, na horizontal, há a</p><p>identi�cação de números crescentes, iniciando em 0 até 30, variando em 5, com</p><p>tempo em segundos; na vertical, está escrito “Amplitude (V)”, iniciando em -100</p><p>até 100, apresentando outros valores de baixo para cima, -100 a 100, variando</p><p>em 25, crescente, amplitude dos sinais em Volts. No grá�co, há um sinal em</p><p>azul representando a amplitude da saída do controlador relé (com duas barras</p><p>uma em cada extremidade, delimitando a altura da amplitude com um “h”</p><p>escrito). Esse sinal azul retangular, iniciando em -50 Volts, sobe até +50 Volts,</p><p>mantém-se por T segundos e reinicia o processo.</p><p>Portanto, pode-se de�nir os parâmetros através do método do relé e,</p><p>utilizando os parâmetros de ganho do método de oscilação de Ziegler-</p><p>Nichols , con�gurar o controlador do método relé para sintonia de</p><p>controladores PID em malha fechada (NEVES, 2009).</p><p>Equação 4.14 : = 0, 6.N(a)KC</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 29/61</p><p>Considerando que o controlador PID possui a con�guração característica,</p><p>sendo:</p><p>Dessa forma, substituindo-se os valores das Equações 4.14, 4.15 e 4.16 na</p><p>equação característica do controlador PID, pode-se determinar a sintonia</p><p>pelo método do relé em malha fechada. Com isso, a resposta do sistema à</p><p>aplicação senoidal e à sintonia pelo método do relé, obtém-se a seguinte</p><p>leitura de saída, apresentada na Figura 4.10. Vamos analisá-la para entender</p><p>melhor esse conceito.</p><p>Equação 4.15 : =τI</p><p>TU</p><p>2</p><p>Equação 4.16 : =τD</p><p>TU</p><p>8</p><p>Equação4.17 : C(s) = .(1 + + .S)Kc</p><p>1</p><p>. sτI</p><p>τD</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 30/61</p><p>Uma vez determinados os valores apresentados nas Equações 4.14, 4.15 e</p><p>4.16, pode-se diminuir o coe�ciente de overshoot até 25%, o sistema</p><p>forçado por relé promove a oscilação com amplitude reduzida , e essa</p><p>amplitude pode ser controlada mediante alterações dos parâmetros de</p><p>entrada; tanto que esse processo pode ser aplicado a diversos sistemas</p><p>instáveis (SANTOS; MAGRO, 2016).</p><p>Figura 4.10 - Saída do controlador pelo método do relé</p><p>Fonte: Pinto et al. (2015, p. 4).</p><p>#PraCegoVer : na �gura, é apresentado um grá�co retangular, em que, na</p><p>horizontal, consta o tempo em segundos e, na vertical, a amplitude em Volts. No</p><p>interior do grá�co, há a representação do modo de pulsar do relé, como ciclos</p><p>retangulares em um instante semiplano positivo e semiplano negativo em outro</p><p>instante, como uma senoide, porém retangular de amplitude “h”. Mais ao centro</p><p>do grá�co, há a forma de onda resultante do sistema, ou resposta à sintonia do</p><p>método do relé, com a redução da amplitude do sinal de saída e com atenuação</p><p>dos picos, com formato de barbatana de tubarão, de amplitude “a” e período Tu.</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 31/61</p><p>Conhecimento</p><p>Teste seus Conhecimentos</p><p>(Atividade não pontuada)</p><p>A sintonia de sistemas serve como ferramenta para tornar</p><p>os processos</p><p>mais estáveis, processos que já são compostos por controladores, como do</p><p>tipo PID (proporcional, integrador e derivativo), que fazem o controle do</p><p>pico de resposta do sistema, controle de assentamento para regime</p><p>permanente e podem fazer com que a curva característica do sistema seja</p><p>amortizada.</p><p>Entretanto, quaisquer equipamentos estão sujeitos à instabilidade e a</p><p>incertezas, e o método dos relés em malha fechada possui objetivo de</p><p>impor oscilações com amplitude regulada, utilizando-se de relés (NEVES,</p><p>2009).</p><p>Considere que a função descritiva do relé é dada por:</p><p>E que os parâmetros do controlador PID são:</p><p>Determine o controlador PID, sabendo que a amplitude do relé é de 5</p><p>Volts, do sistema 2,5 Volts e período da oscilação em 0,5 segundos.</p><p>N(a) =</p><p>4.h</p><p>a. π</p><p>C(s) = .(1 + + .S)Kc</p><p>1</p><p>. sτI</p><p>τD</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 32/61</p><p>Considere ‘A’ para esse sistema hipotético igual a π.</p><p>Assinale a alternativa correta .</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>Prezado(a) estudante, você sabia que uma das grandes problemáticas da</p><p>estimação de parâmetros para sistemas é a necessidade computacional ?</p><p>C(s) = 0, 25.(1 + + 0, 0625.s)1</p><p>1,2.s</p><p>C(s) = 0, 5.(1 + + 0, 0625.s)1</p><p>0,25.s</p><p>C(s) = 1, 2.(1 + + 0, 0625.s)1</p><p>0,25.s</p><p>C(s) = 0, 5.(1 + + 0, 25.s)1</p><p>0,0625.s</p><p>C(s) = 2.(1 + + 0, 5.s)1</p><p>0,5.s</p><p>Estimação de</p><p>parâmetros pelos</p><p>mínimos</p><p>quadrados</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 33/61</p><p>As simulações requerem grande capacidade de memória do computador.</p><p>Ainda, o potencial do equipamento deve ser capaz de realizar um volume</p><p>enorme de informações simultaneamente. Então, pode-se dizer que o</p><p>gargalo da simulação está associado à capacidade computacional dos</p><p>dispositivos em poder gerar a resposta em espaço curto de tempo e com</p><p>precisão.</p><p>Na estimação de parâmetros de controladores não é diferente. Requer</p><p>seleção dos melhores métodos e também da modelagem adequada dos</p><p>sistemas, para poder apresentar valores �dedignos ao processo.</p><p>Regressão de modelos por otimização</p><p>quadrática</p><p>Antes de iniciar esta seção, deve-se entender exatamente do que se trata a</p><p>otimização quadrática .</p><p>A função quadrática é uma função polinomial de segundo grau , ou seja, é</p><p>representada por uma equação que seu maior grau é dois, como uma</p><p>parábola. Pode-se dizer que a parábola é um exemplo de função quadrática,</p><p>já que possui expoente 2 em f(x) = x2. Sua função característica é de�nida</p><p>por:</p><p>Segundo o Departamento de Métodos Matemáticos (2007), a otimização</p><p>busca identi�car os valores máximos e mínimos de uma função em um</p><p>determinado espaço de tempo . Comumente, requer conhecimentos de</p><p>cálculo diferencial, que, no entanto, podem ser reduzidos à carga massiva de</p><p>cálculos quando se utiliza funções quadráticas , porém a identi�cação da</p><p>função que representa o sistema nem sempre é tão fácil localizar ou</p><p>identi�car.</p><p>Nepomuceno (2015) descreve que, inicialmente, na antiguidade, por volta de</p><p>300 a.C., a otimização era relativa a resolver problemas geométricos . O</p><p>Equação 4.18 : f(x) = A. +B. x+ Cx2</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 34/61</p><p>autor considerou, também, que, nos séculos XVI e XVII, não houve um</p><p>grande aprimoramento da otimização, visto que ainda não havia avançado</p><p>no tema dos cálculos diferenciais. Sendo marcada a otimização no século</p><p>XIX, com o algoritmo criado pelos pesquisadores Hamilton e Jacobi.</p><p>Por meio da otimização, é possível identi�car os melhores parâmetros e as</p><p>soluções para cada situação . Eventualmente, a um sistema, pode haver</p><p>inúmeras formas de representá-lo ou resolvê-lo; na otimização, busca-se</p><p>identi�car estes melhores métodos para representar o sistema.</p><p>Então, conhecendo a Equação 4.18, pode-se determinar a extremidade</p><p>dessa função, que é também denominada de vértice do grá�co, que possui</p><p>coordenadas (x,y), sendo:</p><p>Os modelos de regressão são utilizados para diversas aplicações, de tal</p><p>forma que se apresenta uma relação entre o elemento de saída e o elemento</p><p>denominado de variável explicativa , assim como apresentado na Equação</p><p>4.18. Esta equação, entretanto, pode ser remodelada baseada na lei de</p><p>Mitscherlich (FIORENTIN, 2016).</p><p>Para Fiorentin (2016), as vantagens associadas a modelos não lineares</p><p>estão associadas ao conhecimento do sistema a ser modelado, sendo que</p><p>pode apresentar atributos de uso prático , conhecimento do diagrama de</p><p>dispersão , respostas mais satisfatórias e não haver restrições quanto à</p><p>forma da função.</p><p>Através do método de completar quadrados, baseado na Equação 4.18,</p><p>divide-se pelo índice do elemento de maior grau, no caso, grau 2.</p><p>Equação 4.19 : x = −</p><p>b</p><p>2.a</p><p>Equação 4.20 : y = −</p><p>+ 4.a. cb2</p><p>4.a</p><p>Equação 4.21 : f(x) = a. [1 − ]e−b.(x−c)</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 35/61</p><p>Isolando-se a variável “x”, podem-se identi�car as raízes do sistema, através</p><p>da equação de Bhaskara , que também é uma das fórmulas quadráticas.</p><p>Por exemplo, seja um sistema cuja equação de carga em um capacitor</p><p>descrita por:</p><p>Baseado na Equação 4.24, pode-se identi�car que, no instante 0 , a carga no</p><p>capacitor será de -9 C (Coulomb). No caso de uma representação grá�ca,</p><p>apresentada na Figura 4.11, desta mesma equação, tem-se:</p><p>Equação 4.22 : + . x+ = 0x2</p><p>B</p><p>A</p><p>C</p><p>A</p><p>Equação 4.23 : x =</p><p>−B+</p><p>− − 4.A.CB2− −−−−−−−−−√</p><p>2.A</p><p>Equação 4.24 : y(t) = + 2.t− 9t2</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 36/61</p><p>Utilizando-se os parâmetros da Equação 4.19, identi�ca-se o ponto na</p><p>abscissa na qual a curva apresenta a extremidade da função, também</p><p>chamada de vértice , neste caso, em x = -1, neste ponto, y(-1) = -10.</p><p>Figura 4.11 - Representação da curva de carga no capacitor, utilizando Matlab</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>#PraCegoVer : foi apresentado um retângulo em que, na horizontal, há a</p><p>identi�cação de tempo em segundos, com valores crescentes iniciados em -6</p><p>até 4, variando em 1; na vertical, há a identi�cação da carga no capacitor em</p><p>Coulomb, com valores crescentes iniciados em -10 até 15, variando em 5. No</p><p>grá�co, as divisórias dos semiplanos positivo e negativo, esquerdo e direito, são</p><p>linhas espessas na cor preta. O grá�co que representa a carga do capacitor na</p><p>cor azul é uma parábola com o bocal voltado para cima, em que o vértice da</p><p>parábola está em (-1;-10), e os pontos que tocam o eixo das abscissas são: x =</p><p>-4,2 e x = 2,2, aproximadamente. Acima do retângulo, há a identi�cação de curva</p><p>de carga do capacitor com a função que representa f de tê = 1 vezes t ao</p><p>quadrado mais 2 vezes tê menos 9.</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 37/61</p><p>Entretanto, há diversos mecanismos para realizar uma otimização para</p><p>sistemas não lineares.</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 38/61</p><p>#PraCegoVer : o infográ�co estático está representado por uma imagem com</p><p>sete linhas horizontais em tons diferentes de cores, enumeradas de 1 a 7, de</p><p>cima para baixo. Os números estão em círculos de fundo branco, escritos na cor</p><p>que corresponde à cor da linha. O infográ�co apresenta essa estrutura, com o</p><p>título “Métodos para otimização de sistemas”, apresentando o seguinte texto, na</p><p>primeira linha, na cor vermelha, que corresponde ao número 1: “Espaço de</p><p>estados”. Na segunda linha, na cor salmão, que corresponde ao número 2,</p><p>apresenta o seguinte texto: “Transformada de Laplace”. Na terceira linha, na cor</p><p>azul ciano, que corresponde ao número 3, apresenta o seguinte texto:</p><p>“Linearização por séries de Taylor”. Na quarta linha, na cor azul-claro, que</p><p>corresponde ao número 4, apresenta o seguinte texto: “Identi�cação da função</p><p>de transferência”. Na quinta linha, na cor verde, que corresponde ao número 5,</p><p>apresenta o seguinte texto: “Newton-Raphson”. Na sexta linha, na cor azul-</p><p>piscina, que corresponde ao número 6, apresenta o seguinte texto: “Método de</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 39/61</p><p>O método de Newton-Raphson (de Isaac Newton e Joseph Raphson), por</p><p>exemplo, objetiva localizar e estimar as raízes de uma função, semelhante</p><p>ao caso da linearização por série de Taylor e ao método de Newton, por</p><p>meio de uma aproximação de parâmetros iniciais (ANDRADE, 1999).</p><p>Os parâmetros iniciais auxiliam na parametrização de diversos</p><p>componentes industriais, como controladores PID, inversores de frequência,</p><p>soft-starters, controle de chaveamento de circuitos eletrônicos,</p><p>parametrização de banco de capacitores e, consequentemente, podem</p><p>permitir a identi�cação de atributos de variáveis .</p><p>En�m, cabe ao especialista determinar qual é o melhor método para atingir</p><p>determinados objetivos, assim como compete ao especialista utilizar</p><p>softwares que permitam a redução da complicação algébrica, de tal forma</p><p>que este consiga aplicar os conhecimentos e os resultados na otimização e</p><p>sintonia de sistemas.</p><p>Modelar sistemas dinâmicos através dos</p><p>mínimos quadrados</p><p>O método dos mínimos quadrados (MMQ) corresponde a um procedimento</p><p>para realizar ajuste de curvas . Assim como em alguns tipos de otimização</p><p>utilizando funções quadráticas , inicialmente, baseou-se no estudo de</p><p>extremidades, valores mínimos e máximos . Todavia, como salientado, o</p><p>MMQ consiste em um mecanismo que, a partir de um conjunto de pontos</p><p>representativos , pode identi�car uma reta que melhor os representa,</p><p>semelhante ao processo de identi�cação da reta de dispersão (ALMEIDA,</p><p>2015).</p><p>Observe, por exemplo, os seguintes pontos com suas coordenadas x e y:</p><p>(1,3), (2,5), (3,1), (4,4), (5,6) e (6,7). Então, o objetivo deste método é</p><p>Han-Powell”. Na sétima e última linha, na cor roxa, que corresponde ao número</p><p>7, apresenta o seguinte texto: “Lugar das raízes (polos e zeros)”.</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 40/61</p><p>identi�car a “melhor” função que, a partir dos dados informados, representa</p><p>esse conjunto de pontos. Para tanto, é necessário realizar o ajuste linear</p><p>simples ou regressão linear sobre o conjunto de pontos informados.</p><p>A grosso modo, pode-se dizer que o MMQ corresponde a encontrar a</p><p>equação da reta na qual a soma das distâncias ao quadrado é mínima,</p><p>sendo apresentada na Equação 4.25.</p><p>Então, a equação que representa os 6 pontos propostos é:</p><p>Substituindo os valores dos “x” em relação às coordenadas, apresenta-se a</p><p>Equação 4.27:</p><p>Então, para identi�car A e B da equação da função, deve-se realizar as</p><p>derivadas parciais da Equação 4.27 em relação a “A”, depois em relação a</p><p>“B” e igualar a zero.</p><p>Equação 4.25 : d(A,B) = (∑</p><p>i=1</p><p>n</p><p>di)2</p><p>Equação 4.26 : d(A,B) = [(A. +B) − 3 + [(A. +B) − 5 + [(Ax1 ]2 x2 ]2</p><p>[(A. +B) − 4 + [(A. +B) − 6 + [(A. +B) − 7x4 ]2 x5 ]2 x6 ]2</p><p>Equação 4.27 : d(A,B) = [(A+B) − 3 + [(A.2 +B) − 5 + [(A.3 +]2 ]2</p><p>[(A.4 +B) − 4 + [(A.5 +B) − 6 + [(A.6 +B) − 7]2 ]2 ]2</p><p>Equação 4.28 : = 2.(A+B− 3).1 + 2.(2.A+B− 5).2 + 2.</p><p>dF(A,B)</p><p>dA</p><p>2.(4.A+B− 4).4 + 2.(5.A+B− 6).5 + 2.(6.A+B− 7).6 = 0</p><p>Equação 4.29 : = 182.A+ 42.B− 208 = 0</p><p>dF(A,B)</p><p>dA</p><p>Equação 4.30 : = 2.(A+B− 3) + 2.(2.A+B− 5) + 2.(3.A</p><p>dF(A,B)</p><p>dB</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 41/61</p><p>Dessa forma, obtêm-se duas Equações 4.29 e 4.31, com duas incógnitas.</p><p>Lembrando que a equação da reta é dada por y(x) = A.x + B. Simpli�cando as</p><p>equações dos sistemas lineares, obtém-se A = 0,7429 e B = 1,7333.</p><p>Portanto, a reta que melhor descreve os seis pontos apresentados é dada</p><p>por:</p><p>2.(4.A+B− 4) + 2.(5.A+B− 6) + 2.(6.A+B− 7) = 0</p><p>Equação 4.31 : = 42.A+ 12.B− 52 = 0</p><p>dF(A,B)</p><p>dB</p><p>Equação 4.32 : y(x) = 0, 7429.x+ 1, 7333</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 42/61</p><p>Vale ressaltar que a melhor função que descreve este sistema de</p><p>coordenadas é uma reta , entretanto, quando o sistema é representado</p><p>como uma função com ciclos positivos e negativos , deve-se levar em</p><p>consideração outras funções possíveis, como é o caso do seno e cosseno ,</p><p>exponencial e logarítmica , dentre outras. E caso fosse a situação, deverá</p><p>relacionar os pontos das coordenadas, posteriormente, realizar as derivas e</p><p>operacionalizar com sistemas lineares de primeira ordem.</p><p>Figura 4.12 - Representação do sistema de coordenadas com a reta que</p><p>melhor representa o conjunto de pontos</p><p>Fonte: Elaborada pelo autor.</p><p>#PraCegoVer : foi apresentado, na �gura, um plano cartesiano xy. Na horizontal,</p><p>está identi�cado “x” com números crescentes de 0 a 8; na vertical, está</p><p>identi�cado “y” com números crescentes de 0 a 8. Na imagem, estão</p><p>identi�cados 6 pontos com as seguintes coordenadas (1,3), (2,5), (3,1), (4,4),</p><p>(5,6) e (6,7), com a cor azul e com início aproximado em (0;1,85) e término em</p><p>(8;7,8), uma reta na cor vermelha.</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 43/61</p><p>Conhecimento</p><p>Teste seus Conhecimentos</p><p>(Atividade não pontuada)</p><p>O método dos mínimos quadrados (MMQ) corresponde a um mecanismo</p><p>para realizar ajuste de curvas, seja qualquer função que o sistema</p><p>necessite. O desenvolvimento do método compete no ajuste linear simples</p><p>ou regressão linear, na qual se refere àquela função que melhor descreve</p><p>uma quantidade de pontos.</p><p>ALMEIDA, R. N. O método dos mínimos quadrados : estudo e aplicações</p><p>para o ensino médio. 2015. Dissertação (Mestrado em Matemática) –</p><p>Centro de Ciências e Tecnologia, Universidade Estadual do Norte</p><p>Fluminense Darcy Ribeiro, Campos dos Goytacazes, 2015. Disponível em:</p><p>https://uenf.br/posgraduacao/matematica/wp-</p><p>content/uploads/sites/14/2017/09/28052015Renato-Neves-de-Almeida.pdf</p><p>. Acesso em: 18 maio 2021.</p><p>Seja, por exemplo, os seguintes pontos com suas coordenadas x e y: (1,3),</p><p>(2,5) e (6,7). Calcule a equação da reta que melhor representa os pontos</p><p>apresentados.</p><p>Atente-se para a função característica do MMQ:</p><p>d(A,B) = (∑</p><p>i=1</p><p>n</p><p>di)2</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 44/61</p><p>https://uenf.br/posgraduacao/matematica/wp-content/uploads/sites/14/2017/09/28052015Renato-Neves-de-Almeida.pdf</p><p>https://uenf.br/posgraduacao/matematica/wp-content/uploads/sites/14/2017/09/28052015Renato-Neves-de-Almeida.pdf</p><p>Assinale a alternativa correta.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>Prezado(a) estudante, você sabia que os algoritmos são mecanismos que</p><p>podem ser utilizados para minimizar os problemas, assim como softwares</p><p>de computador? A seguir, veremos algoritmos para otimização e a utilização</p><p>de métodos para identi�cação de sistemas utilizando simulador.</p><p>y(x) = 9.x+ 15</p><p>y(x) = 82.x+ 18</p><p>y(s) = 3.A+ 1.B− 5</p><p>y(x) = 2, 86.x+ 0, 71</p><p>y(x) = 0, 71.x+ 2, 86</p><p>Algoritmos para</p><p>identificação de</p><p>sistemas com</p><p>simulador</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 45/61</p><p>Os algoritmos de otimização para sistemas de função quadrática possuem</p><p>solução com número �nito de passos , enquanto os sistemas não lineares</p><p>podem não haver, tal como a utilização de grande número ciclos de</p><p>veri�cação, entretanto, após a utilização dos algoritmos, espera-se que o</p><p>processo seja convergente (PEREIRA, 2002). Vale ressaltar que processos</p><p>que sejam divergentes também correspondem</p><p>a sistemas não estáveis , e</p><p>um dos fatores a se considerar em sistemas de otimização é facilitar ou</p><p>tornar o sistema estável , logo, convergente.</p><p>Os algoritmos em sistemas não lineares são procedimentos iterativos , de</p><p>tal forma que os pontos a serem gerados, partem de um ponto de referência</p><p>x0, pela Equação 4.33 (PEREIRA, 2002).</p><p>Sendo “t” o parâmetro escalar e “d” a direção de busca.</p><p>O método de Newton-Raphson utiliza-se da expansão das Séries de Taylor</p><p>para realizar a otimização do sistema. Vale ressaltar que as Séries de Taylor</p><p>(Equação 4.34), também são referências para realizar a otimização de</p><p>sistemas.</p><p>Equação 4.33 : x = + t. dx0</p><p>Equação 4.34 : T (x) = [ ]∑</p><p>i=0</p><p>∞ ( ). (x−f i x0 x0)i</p><p>i!</p><p>S A I B A M A I S</p><p>As séries de Taylor permitem uma aproximação do valor esperado, essa</p><p>aproximação compete a uma “qualidade” de poder otimizar funções, como é o</p><p>caso das equações diferenciais ordinárias (EDO). Permitindo transformar uma</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 46/61</p><p>Portanto, conhecendo as Séries de Taylor, é possível aplicar o método de</p><p>expansão de Newton, sendo a Equação 4.34 (PEREIRA, 2002; TOGNETTI;</p><p>FIORILLO, 2015).</p><p>Como “d” corresponde a um deslocamento da variável explicativa, neste</p><p>caso, tem-se “g” como vetor gradiente da função e “h” como a hessiana da</p><p>função em :</p><p>Substituindo na Equação 4.35, tem-se que:</p><p>No MatLab, por exemplo, caso queira localizar os valores máximos e</p><p>mínimos , pode-se aplicar as seguintes funções.</p><p>EDO de ordem n em função de uma única variável de expoente 1, simpli�cando</p><p>os cálculos, consequentemente, a resposta, na linearização das EDO.</p><p>Saiba mais acessando o link a seguir:</p><p>http://www2.ene.unb.br/estognetti/�les/20151/5_Aula4-</p><p>Representacoes_modelos.pdf</p><p>Fonte: Tognetti e Fiorillo (2015).</p><p>Equação 4.35 : f(x) = f( ) + ( )(x− ) + (x− . ( ). (x0 f ′ x0 x0</p><p>1</p><p>2</p><p>x0)t f ′′ x0</p><p>x0</p><p>Equação 4.36 : d = (x− ) → x = d+x0 x0</p><p>Equação 4.37 : g = ( )f ′ x0</p><p>Equação 4.38 : h = ( )f ′′ x0</p><p>Equação 4.39 : f(x) = f( ) + . g+ . h.x0 dt</p><p>1</p><p>2</p><p>dt+1</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 47/61</p><p>http://www2.ene.unb.br/estognetti/files/20151/5_Aula4-Representacoes_modelos.pdf</p><p>http://www2.ene.unb.br/estognetti/files/20151/5_Aula4-Representacoes_modelos.pdf</p><p>>> Máximo =</p><p>>> Mínimo =</p><p>Considerando a proximidade entre “ ” e “ ”, o método de Newton-Raphson</p><p>apresenta um método iterativo que pode ser representado por (ANDRADE,</p><p>1999):</p><p>Em que “n” é maior ou igual a zero. Observe que, este método, para localizar</p><p>o próximo valor (raiz) do sistema, necessita de dados anteriores , da</p><p>medição da função em um ponto e da divisão pela sua derivada primeira</p><p>neste ponto.</p><p>Sugere-se a resolução deste tipo de iteração em softwares , como Matlab,</p><p>Scilab, Octave ou semelhantes, devido à quantidade de operações</p><p>matemáticas. Para tanto, pode ser descrito no Matlab por:</p><p>>> syms f(x)</p><p>>> x(1) = x0;</p><p>>> for i = 1:n</p><p>>> x(i+1) = x(i) - f(i)/diff(f(i),x);</p><p>>> end</p><p>Observe que, quando “n” possui um valor muito grande, pode impossibilitar a</p><p>resolução manual, devido ao número de iterações.</p><p>Vale lembrar que se deve determinar os valores baseado na equação</p><p>característica da função que descreve o sistema.</p><p>max(f( ) + g. + ( ). h. )x0 dt 1</p><p>2 dt+1</p><p>min(f( ) + g. + ( ). h. t+ 1))x0 dt 1</p><p>2 d(</p><p>x x0</p><p>Equação 4.40 : = −xn+1 xn</p><p>f( )xn</p><p>( )f ′ xn</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 48/61</p><p>fonte: Wattana Langkapayom / 123RF.</p><p>Pode-se determinar também as raízes de um sistema via métodos</p><p>computacionais, visto que, geralmente, os sistemas industriais são bastante</p><p>complexos e detêm um grande número de variáveis. Essas raízes podem</p><p>servir para identi�car os zeros e os polos de um sistema, a �m de</p><p>determinar a estabilidade do mesmo, ou para auxiliar o pro�ssional a</p><p>identi�car a melhor forma de controlar o sistema.</p><p>Conhecendo o numerador e o denominador da função de transferência do</p><p>sistema, pode-se utilizar a função solve(x) para identi�car as raízes , ou seja,</p><p>é como se igualasse cada componente a zero e �zesse a redução linear até</p><p>que se encontre os parâmetros desejados.</p><p>Para elaboração da Figura 4.12, foi feita a aplicação de um algoritmo para</p><p>realizar a composição e a identi�cação dos parâmetros, conforme o MMQ:</p><p>>> x = [1 2 3 4 5 6];</p><p>Entretanto, como todos os dispositivos que envolvem sistemas computacionais, a resolução de</p><p>sistemas com múltiplas entradas e saídas requer equipamentos e dispositivos robustos para</p><p>que possa realizar a resolução e a simpli�cação destes. Para determinados processos, isso</p><p>pode tornar-se oneroso , tanto monetariamente quanto em tempo para aguardar a resposta do</p><p>sistema.</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 49/61</p><p>>> y = [3 5 1 4 6 7];</p><p>>> plot(x,y,'*b','MarkerSize',8);</p><p>>> syms a b m;</p><p>>> F = 0;</p><p>>> for i=1:length(x)</p><p>>> ;</p><p>>> end</p><p>>> dFa = diff(F,a);</p><p>>> dFb = diff(F,b);</p><p>>> B(1) = -1*subs(subs(dFa,a,0),b,0);</p><p>>> B(2) = -1*subs(subs(dFb,a,0),b,0);</p><p>>> K = subs(subs(dFa,b,0)+B(1),a,1);</p><p>>> L = subs(subs(dFb,b,0)+B(2),a,1);</p><p>>> M = subs(subs(dFa,a,0)+B(1),b,1);</p><p>>> N = subs(subs(dFb,a,0)+B(2),b,1);</p><p>>> S = [K M;L N];</p><p>>> Saida = inv(S)*(B')</p><p>>> fy = Saida(1)*m+Saida(2);</p><p>>> t = 0:0.01:8;</p><p>>> ffy = subs(fy,m,t);</p><p>F = F + (((a ∗ x(i) + b) − y(i)) ).2</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 50/61</p><p>>> plot(t,ffy,'r','LineWidth',2);</p><p>>> xlabel('x'); ylabel('y');</p><p>Para tanto, a utilização de softwares para simular , testar e con�gurar</p><p>parâmetros é sempre importante , além disso, recomenda-se, fortemente</p><p>que o estudante treine e se aperfeiçoe no uso de softwares , principalmente</p><p>os voltados para área de Engenharia, a �m de reduzir a mão de obra e o</p><p>tempo de execução das atividades.</p><p>praticar</p><p>Vamos Praticar</p><p>Como sabemos, o método de Newton-Raphson utiliza as séries de Taylor</p><p>para promover a otimização de sistemas. Entretanto, deve-se realizar a</p><p>escolha do ponto inicial do qual partirão as iterações. Para Santos (2018), a</p><p>escolha de um ponto muito afastado, ou sem qualquer critério, pode</p><p>incorrer na quantidade exacerbada de iterações, o que pode impactar</p><p>diretamente o tempo de resposta do processo, como apontado na</p><p>Equação 4.40:</p><p>Dessa forma, podemos identi�car as raízes de funções e encontrar os</p><p>pontos nos quais a curva/função atinge o eixo das abscissas (eixo x). Seja a</p><p>seguinte função f(x):</p><p>Equação 4.40 : = −xn+1 xn</p><p>f( )xn</p><p>( )f ′ xn</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 51/61</p><p>Comando da atividade prática: encontre as raízes da equação pelo método</p><p>de Newton-Raphson, nos intervalos de [-4 -3] e [1 e 2].</p><p>f(x) = + 2.x− 4x2</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 52/61</p><p>Material</p><p>Complementar</p><p>F I L M E</p><p>Jogador nº 1</p><p>Ano : 2018</p><p>Comentário : o �lme apresenta uma condição futurista na</p><p>qual a realidade virtual representa o que deveria ser a vida</p><p>real dos personagens. Possui características semelhantes</p><p>às do �lme Matrix, explorando o conceito de simulação e</p><p>aprendizado de máquina, inteligência arti�cial e nova</p><p>existência real. O processo de simulação da existência</p><p>corresponde à ação também de realizar o mesmo</p><p>procedimento em máquinas e dispositivos.</p><p>TRA I LER</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 53/61</p><p>L I V R O</p><p>Projetos, simulações e experiências de</p><p>laboratório em sistemas de controle</p><p>Editora : Interciência</p><p>Autores : Antonio Carlos Zambroni de Souza, Benedito</p><p>Isaias Lima Lopes, Carlos Alberto Murari Pinheiro e Paulo</p><p>Cesar Rosa.</p><p>ISBN : 9788571933491.</p><p>Comentário : esse livro apresenta conceitos fundamentais</p><p>sobre os sistemas de controle, bem como capítulos sobre</p><p>estabilidade de sistemas, utilização de controladores para</p><p>permitir essa estabilidade. Além disso, apresenta o</p><p>método do Lugar das Raízes, sendo um dos conceitos</p><p>fundamentais no controle e na modelagem de sistemas.</p><p>Outro elemento importante é o caso da sintonia de</p><p>sistemas, mediante o uso de técnicas como sistema on-</p><p>off , semelhante ao método dos relés, e especi�cação de</p><p>controle para processos.</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 54/61</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 55/61</p><p>Conclusão</p><p>Prezado(a) estudante, como você pôde observar durante nosso estudo, há</p><p>diversas ferramentas disponíveis para modelar um sistema . Pode-se realizar a</p><p>modelagem mediante os conhecimentos matemáticos , das leis da mecânica ,</p><p>física , química , e, inclusive, por conhecimentos empíricos . Estes necessitam</p><p>passar por métodos para realizar a con�rmação das hipóteses.</p><p>Os meios para realizar a aferição e testes de processos podem ser muito</p><p>custosos em relação ao tempo e ao dinheiro , portanto, deve-se promover o teste</p><p>e a simulação dos sistemas utilizando softwares especí�cos e, nesse caso,</p><p>softwares poderosos, como Matlab, Scilab e Octave.</p><p>Referências</p><p>ADORNO, W. T.; MARTINS, G. A. S.;</p><p>SILVA, W. G. Modelagem matemática</p><p>aplicada à transferência de massa em</p><p>alimentos. Enciclopédia Biosfera ,</p><p>Goiânia, v. 9, n. 16, p. 1465-1478, 2013.</p><p>Disponível em: https://bit.ly/3wWLeOK</p><p>. Acesso em: 13 maio 2021.</p><p>ALMEIDA, R. N. O método dos mínimos quadrados : estudo e aplicações para o</p><p>ensino médio. 2015. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Centro de</p><p>Ciências e Tecnologia, Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro,</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 56/61</p><p>https://bit.ly/3wWLeOK</p><p>Campos dos Goytacazes, 2015. Disponível em: https://bit.ly/3zTuDgF . Acesso</p><p>em: 18 maio 2021.</p><p>ANDRADE, D. O método de Newton-Raphson . Cálculo Diferencial e Integral: um</p><p>KIT de Sobrevivência. Maringá: Universidade Estadual de Maringá, 1999.</p><p>Disponível em: http://www.dma.uem.br/kit/calculo-numerico-2/copy_of_kit-</p><p>newtonraphson.pdf . Acesso em: 18 maio 2021.</p><p>ÁVILA, L.; SILVA, R.; RODRIGUES, W. Análise de regressão linear simples . Belo</p><p>Horizonte, 2020. Disponível em:</p><p>ftp://est.ufmg.br/pub/glaura/BioInfo/Apresentacoes/Regress%E3o%20Linear.pdf</p><p>. Acesso em: 13 maio 2021.</p><p>CALSAVARA, A. Introdução à modelagem . Curitiba: Pontifícia Universidade</p><p>Católica, 2005. Disponível em: https://bit.ly/2T7dyPI . Acesso em: 12 maio 2021.</p><p>DECKMANN, S. M.; POMILIO, J. A. Distúrbios em frequência: causas, efeitos,</p><p>soluções e normas. In : DECKMANN, S. M.; POMILIO, J. A. Avaliação da qualidade</p><p>da energia elétrica . Campinas: Universidade Estadual de Campinas, 2020.</p><p>Disponível em:</p><p>https://www.dsce.fee.unicamp.br/~antenor/pd�les/qualidade/a5.pdf . Acesso</p><p>em: 15 maio 2021.</p><p>FIORENTIN, L. D. Estratégias de regulação de povoamentos de Pinus ellottii e</p><p>Pinus taeda utilizando programação linear . 2016. Dissertação (Mestrado em</p><p>Engenharia Florestal) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Florestal –</p><p>Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2016. Disponível em:</p><p>http://www.�oresta.ufpr.br/pos-graduacao/defesas/pdf_ms/2016/d717.pdf .</p><p>Acesso em: 21 maio 2021.</p><p>FLORÊNCIO, L. A. Utilização do software (gratuito) R na engenharia de avaliações.</p><p>In: Congresso Brasileiro de Engenharia de Avaliação e Perícias, 15., 2009, São</p><p>Paulo. Anais eletrônicos [...]. São Paulo: Ibape, 2009. Disponível em:</p><p>http://www.mrcl.com.br/xvcobreap/65.pdf . Acesso em: 13 maio 2021.</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 57/61</p><p>https://bit.ly/3zTuDgF</p><p>http://www.dma.uem.br/kit/calculo-numerico-2/copy_of_kit-newtonraphson.pdf</p><p>http://www.dma.uem.br/kit/calculo-numerico-2/copy_of_kit-newtonraphson.pdf</p><p>ftp://est.ufmg.br/pub/glaura/BioInfo/Apresentacoes/Regress%E3o%20Linear.pdf</p><p>https://bit.ly/2T7dyPI</p><p>https://www.dsce.fee.unicamp.br/~antenor/pdffiles/qualidade/a5.pdf</p><p>http://www.floresta.ufpr.br/pos-graduacao/defesas/pdf_ms/2016/d717.pdf</p><p>http://www.mrcl.com.br/xvcobreap/65.pdf</p><p>JOGADOR Nº 1 - Trailer O�cial 1 (leg) [HD]. [ S. l.: s. n .], 2018. 1 vídeo (2 min 25 s).</p><p>Publicado pelo canal Warner Bros. Pictures Brasil. Disponível em:</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=q_1OJNcTld0 . Acesso em: 30 maio 2021.</p><p>NEPOMUCENO, E. G. Técnicas de otimização . 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Acesso</p><p>em: 13 maio 2021.</p><p>02/10/24, 20:44 E-book</p><p>https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=FEtH7e56rXgUx3uwkep%2fpQ%3d%3d&l=0MVTJ35RA4bws%2fdSrZDHlw%3d%3d&cd=c… 58/61</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=q_1OJNcTld0</p><p>https://www.ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/nepomuceno/aulaotimhist.pdf</p><p>https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/downloadFile/395139427475/Disserta%C3%A7%C3%A3o%20de%20Mestrado%20-%20Auto-tuning%20de%20Controladores%20PID%20pelo%20m%C3%A9todo%20Relay.pdf</p><p>https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/downloadFile/395139427475/Disserta%C3%A7%C3%A3o%20de%20Mestrado%20-%20Auto-tuning%20de%20Controladores%20PID%20pelo%20m%C3%A9todo%20Relay.pdf</p><p>https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/3332/3332_3.PDF</p><p>http://static.sapucaia.ifsul.edu.br/professores/eveline/EST.%20QUAL.%20-%20T%C3%89C.%20PL%C3%81ST/2%C2%B0Sem/7%20Diagrama%20de%20Dispers%C3%A3o.pdf</p><p>http://static.sapucaia.ifsul.edu.br/professores/eveline/EST.%20QUAL.%20-%20T%C3%89C.%20PL%C3%81ST/2%C2%B0Sem/7%20Diagrama%20de%20Dispers%C3%A3o.pdf</p><p>PEREIRA, F. 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