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APS: Vibrações livres sem amortecimento 
1) 𝐾 = 500 𝑁/𝑚 
𝑥 = 2 𝑚 
�̇� = 14,14 𝑚/𝑠 
�̈� = −100 𝑚/𝑠2 
𝑡 = 5 𝑠 
a) 𝑚 =? 
�̈� = −𝜔𝑛2. 𝑥 
−100 = −𝜔𝑛2. 2 
−𝜔𝑛2 =
−100
2
 
−𝜔𝑛2 = −50 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (−1) 
𝜔𝑛2 = 50 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
𝜔𝑛 = √50 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
𝜔𝑛2 =
𝑘
𝑚
 
50 =
500
𝑚
 
𝑚 =
500
50
 
𝑚 = 10 𝑘𝑔 
 
b) 𝑥 =? 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 5 𝑠 
𝑡 = 0 {
𝑥 = 2𝑚
�̇� = 14,14 𝑚/𝑠
�̈� = −100 𝑚/𝑠2
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0, 𝑥 = 2 𝑚 
𝑥 = 𝑎. sin 𝜔𝑛 𝑡 + 𝑏. cos 𝜔𝑛 𝑡 
2 = 𝑎. 𝑠𝑒𝑛 0 + 𝑏. cos 0 
𝑏 = 2 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0, �̇� = 14,14 𝑚/𝑠 
�̇� = 𝑎. 𝜔𝑛. cos 𝜔𝑛 𝑡 − 𝑏. 𝜔𝑛. sin 𝜔𝑛 𝑡 
14,14 = 𝑎. √50. cos √50. 0 − 𝑏 . √50. sin √50. 0 
𝑎 =
14,14
√50
 
𝑎 = 2 
𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 5𝑠 
𝑥 = 2. sin √50 .5 + 2. cos √50. 5 
𝑥 = −1,43 − 1,4 
𝑥 = −2, 83 𝑚 
_______________________________________________________________ 
2) 𝑘𝑒𝑞 =? 
 
 
𝑘1 = 150 + 150 𝑘2 =
300.200
300+200
 
𝑘1 = 300 𝑁/𝑚 𝑘2 = 120 𝑁/𝑚 
 
 
 𝑘3 =
600.400
600+400
 𝑘4 =
800.200
800+200
 
𝑘3 = 240 𝑁/𝑚 𝑘4 = 160 𝑁/𝑚 
 
 
𝑘5 =
300.200
300+200
 𝑘6 = 40 + 240 + 160 
𝑘5 = 120 𝑁/𝑚 𝑘6 = 440 𝑁/𝑚 
 
 
 
𝑘7 = 120 + 120 𝑘𝑒𝑞 = 440 + 240 
𝑘7 = 240 𝑁/𝑚 𝑘𝑒𝑞 = 680 𝑁/𝑚 
 
𝜔𝑛 = √
𝑘𝑒𝑞
𝑚
 
𝜔𝑛 = √
680
20
 
𝜔𝑛 = 5,83 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
_______________________________________________________________ 
3)𝐺 = 8,275 . 1010 𝑁/𝑚2 𝐽1 = 1,13 𝑘𝑔. 𝑚2 𝐽2 = 2,26 𝑘𝑔. 𝑚2 
 
 
 
𝑖 =
𝑍2
𝑍1
 
𝑖 =
60
20
 
𝑖 = 3 
𝐽′2 =
𝐽2
𝑖2
 
𝐽′2 =
2,26
32
 
𝐽′2 = 0,25 𝑘𝑔. 𝑚2 
 
𝐼𝑝 =
π × 𝐷4
32
 
𝑘𝑡 =
𝐺 × 𝐼𝑝
𝑙
 
𝑘𝑡(2) =
82,75 . 109 × 𝜋 × (0,0125)4
32 × 0,254
 
𝑘𝑡(2) = 780,86 𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑 
 
𝑘𝑡(3) =
82,75. 109 × 𝜋 × (0,05)4
32 × 0,508
 
𝑘𝑡(3) = 99,95. 103 𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑 
 
𝑘𝑡𝑒𝑞 =
𝑘𝑡(3) × 𝑘𝑡(2)
𝑘𝑡(3) + 𝑘𝑡(2)
 
𝑘𝑡𝑒𝑞 =
780,86 × 99,95. 103 
99,95. 103 + 780,86
 
𝑘𝑡𝑒𝑞 = 774,8 𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑 
 
𝑘𝑡′𝑒𝑞 =
𝑘𝑡𝑒𝑞 
𝑖2
 
𝑘𝑡′𝑒𝑞 =
774,8 
32
 
𝑘𝑡′𝑒𝑞 = 86,08 𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑 
 
𝑘𝑡(1) =
82,75. 109 × 𝜋 × (0,025)4
32 × 0,762
 
𝑘𝑡(1) = 4.164,59 
 
𝑘𝑡𝑒𝑞(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) =
𝑘𝑡(1) × 𝑘𝑡′𝑒𝑞
𝑘𝑡(1) + 𝑘𝑡′𝑒𝑞
 
𝑘𝑡𝑒𝑞(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) =
4.164,59 × 86,08
4.164,59 + 86,08
 
𝑘𝑡𝑒𝑞(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) = 84,3368 𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑 
𝐽𝑒𝑞 =
𝐽1 × 𝐽′2
𝐽1 + 𝐽′2
 
𝐽𝑒𝑞 =
1,13 × 0,25
1,13 + 0,25
 
𝐽𝑒𝑞 = 0,2 𝑘𝑔. 𝑚2 
𝜔𝑛 = √
𝑘𝑡𝑒𝑞(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙)
𝐽𝑒𝑞
 
𝜔𝑛 = √
84,3368
0,2
 
𝜔𝑛 = 20,29 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
_______________________________________________________________ 
4) 𝜔𝑛 =? 𝑝𝑎𝑟𝑎 "𝑙" 
𝐷 = 𝑑 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 (𝑣𝑖𝑔𝑎) = 𝑏 
𝐸 = 𝐸 𝐿(𝑐𝑎𝑏𝑜) = "𝑙" 
𝐿(𝑣𝑖𝑔𝑎) = 𝑎 𝑃 = 𝑤 
 
𝑘(𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎) =
3𝐸 × 𝐼
𝑏³
 
𝑘(𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎) =
3𝐸
𝑏3
×
𝑎𝑡3
12
 
𝑘(𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎) =
𝐸𝑎𝑡³
4
 
 
𝑘(𝑐𝑎𝑏𝑜) =
𝐴 × 𝐸
𝑙
 
𝑘(𝑐𝑎𝑏𝑜) =
𝜋 × 𝑑2 × 𝐸
4𝑙
 
 
Molas em série, logo: 
𝑘𝑒𝑞 =
𝑘(𝑐𝑎𝑏𝑜) × 𝑘(𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎)
𝑘(𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎) + 𝑘(𝑐𝑎𝑏𝑜)
 
𝑘𝑒𝑞 =
(
𝐸𝑎𝑡3
4 ×
𝜋 × 𝑑2 × 𝐸
4𝑙 )
(
𝐸𝑎𝑡3
4 +
𝜋 × 𝑑2 × 𝐸
4𝑙 )
 
𝑘𝑒𝑞 = 
𝐸
4
(
𝜋𝑎𝑡3 × 𝑑2
𝜋𝑑2 + 𝑙𝑎𝑡3
) 
𝑤 = 𝑚 × 𝑔 
𝑚 =
𝑤
𝑔
 
𝜔𝑛 = √
𝑘𝑒𝑞
𝑚
 
𝜔𝑛 = √
𝐸
4 (
𝜋𝑎𝑡3 × 𝑑2
𝜋𝑑2 + 𝑙𝑎𝑡3)
𝑤
𝑔
 
 
5) os deltas gerados pela movimentação da massa serão diferente para ambas 
as molas, graças a uma parte de viga que está presa, sendo assim a constante 
elástica equivalente será em série ou matematicamente: 
𝑘𝑒𝑞 =
𝑘1 × 𝑘2
𝑘1 + 𝑘2
 
_______________________________________________________________ 
6)𝑙 = 0,5 𝑚 𝐸(𝑠𝑡𝑒𝑒𝑙) = 207. 109𝑃𝑎 𝐸(𝑎𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑢𝑚) = 83. 109 𝑃𝑎 
ℎ = 0,5 𝑐𝑚 𝑏 = 2 𝑐𝑚 
 
𝑠𝑎𝑏𝑒 − 𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒: 𝜎 =
𝐸 × 𝐴
𝑙
 
𝐴 = 0,002 × 0,0005 
𝐴 = 1. 10−4 𝑚² 
 
𝜎𝑆 =
207. 109 × 1. 10−4
0,5 
 
𝜎𝑆 = 41,4 × 106 
 
𝜎𝐴 =
83. 109 × 1. 10−4
0,5 
 
𝜎𝐴 = 16,6 × 106 
 
𝑘𝑒𝑞 = 𝜎𝑆 + 𝜎𝐴 
𝑘𝑒𝑞 = 16,6 × 106 + 41,4 × 106 
𝑘𝑒𝑞 = 58 × 106 
_______________________________________________________________ 
7) 𝑚 = 500 𝑘𝑔 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎(𝑏) = 1,2 𝑚 𝐸 = 2,06 × 1011 
𝑙 = 2 𝑚 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 (ℎ) = 0,1 𝑘 =? 𝑝𝑎𝑟𝑎 
𝜎(1)
3
 
 
𝑆𝑎𝑏𝑒 − 𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒: 𝜎 =
𝑃 × 𝑙3
48𝐸 × 𝐼
 
𝑃 = 5000 𝑁 
𝐼 =
𝑏 × ℎ³
12
 
𝐼 =
1,2 × (0,1)³
12
 
𝐼 = 1 × 10−4 
 
𝜎(1) =
5000 × 2³
48 × (2,06 × 1011) × (1 × 10−4)
 
𝜎(1) = 4,0453 × 10−5 
 
𝑘 =
𝑃
𝜎(2)
=
𝑃
𝜎(1)
3
=
𝑃 × 3
𝜎(1)
 
𝑘 =
5000 × 3
4,0453 × 10−5
 
𝑘 = 370,09 × 106 𝑁/𝑚 
_______________________________________________________________ 
8)𝑘𝑡𝑒𝑞 = ? 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐺 = 80 𝐺𝑝𝑎 
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 
 
𝑘𝑡(1,2) =
𝐺 × 𝐽(1,2)
𝑙(1,2)
=
𝐺 × 𝜋(𝐷4 − 𝑑4)
32 × 𝑙(1,2)
 
𝑘𝑡(1,2) =
80 × 109 × 𝜋(0,34 − 0,24)
32 × 2
 
𝑘𝑡(1,2) = 25,525 × 106 
 
𝑘𝑡(3,4) =
80 × 109 × 𝜋(0,254 − 0,154)
32 × 3
 
𝑘𝑡(3,4) = 8,9012 × 106 
 
𝑀𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑚 𝑠é𝑟𝑖𝑒, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
𝑘𝑡𝑒𝑞 =
𝑘𝑡1 × 𝑘𝑡2
𝑘𝑡1 + 𝑘𝑡2
 
𝑘𝑡𝑒𝑞 =
(25,525 × 106) × (8,9012 × 106)
(25,525 × 106 + 8,9012 × 106)
 
𝑘𝑡𝑒𝑞 = 6,5997 × 106 𝑁/𝑚 
 
b) 𝜔𝑛 =? 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐼 = 2000 𝑘𝑔. 𝑚? 
𝜔𝑛 = √
𝑘𝑡𝑒𝑞
𝐼
 
𝜔𝑛 = √
6,5997 × 106 
2000
 
𝜔𝑛 = 57,44 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
_______________________________________________________________ 
 
9) 𝜔𝑛 =? 
 
Encontrando o quanto a massa se movimenta 
2𝑥 +
1
3
× 2𝑥 +
1
3
× 2𝑥 +
1
6
× 2𝑥 
 
12𝑥 + 4𝑥 + 4𝑥 + 2𝑥
12
 
22𝑥
6
 
11𝑥
3
 
Colocando os valores nas equações da energia 
𝐸𝑐 =
1
2
× 𝑚 (
11�̇�
3
) ² 
𝐸𝑐 =
1
2
× 13,44𝑚�̇�² 
𝐸𝑝𝑒𝑙 =
1
2
× 𝑘𝑥² +
1
2
× 3𝑘 (
𝑥
3
) ² +
1
2
× 3𝑘 (
𝑥
3
) ² +
1
2
× 6𝑘 (
𝑥
6
) ² 
𝐸𝑝𝑒𝑙 =
1
2
× 𝑘𝑥² +
1
2
× 𝑘
𝑥²
3
+
1
2
× 𝑘
𝑥²
3
+
1
2
× 𝑘
𝑥²
6
 
𝐸𝑝𝑒𝑙 =
6𝑘𝑥² + 2𝑘𝑥² + 2𝑘𝑥² + 𝑘𝑥²
12
 
𝐸𝑝𝑒𝑙 =
11𝑘𝑥²
12
 
Somando as energias 
1
2
× 13,44𝑚�̇�² +
11𝑘𝑥²
12
= 𝐶𝑡𝑒 
Derivando 
1
2
× 13,44𝑚2�̇��̈� + 0,9166𝑘 × 2𝑥�̇� = 0 
Fazendo as simplificações teremos 
13,44𝑚�̇��̈� + 1,8332𝑘𝑥�̇� = 0 
Colocando a velocidade em evidência 
�̇�(13,44𝑚�̈� + 1,8332𝑘𝑥) = 0 
 
 
Encontrando 𝜔𝑛 
𝜔𝑛 = √
𝑘
𝑚
 
𝜔𝑛 = √
1,8332𝑘
13,44𝑚
 
_______________________________________________________________ 
10) 𝜔𝑛 =? 
 
 
𝑘𝑒𝑞(1) = 𝑘 + 𝑘 
𝑘𝑒𝑞(1) = 2𝑘 
 
𝑘𝑒𝑞(2) =
4𝑘 × 4𝑘
4𝑘 + 4𝑘
 
𝑘𝑒𝑞(2) =
16𝑘2
8𝑘
 
𝑘𝑒𝑞(2) = 2𝑘 
 
 
A massa se movimenta a um espaço de 4x pela polia, graças às molas que se 
anulam, utilizando a equação da energia para resolvermos teremos: 
𝐸𝑐 =
1
2
× 𝑚 × (4�̇�)² 
𝐸𝑝𝑒𝑙 =
1
2
× 2𝑘𝑥² +
1
2
× 2𝑘𝑥² 
 
1
2
× 𝑚 × (4�̇�)2 +
1
2
× 2𝑘𝑥² +
1
2
× 2𝑘𝑥² = 𝑐𝑡𝑒 
1
2
× 𝑚 × 16�̇�² +
1
2
× 2𝑘𝑥² +
1
2
× 2𝑘𝑥² = 𝑐𝑡𝑒 
Realizando a derivada teremos: 
1
2
× 𝑚 × 16 × 2�̇��̈� +
1
2
× 2𝑘2𝑥�̇� +
1
2
× 2𝑘2𝑥�̇� = 0 
Realizando as simplificações 
𝑚 × 16�̇��̈� + 2𝑘 𝑥�̇� + 2𝑘 𝑥�̇� = 0 
Colocando a velocidade em evidência 
�̇�(16𝑚�̈� + 4𝑘𝑥) = 0 
Encontrando a freqüência natural 
𝜔𝑛 = √
𝑘
𝑚
 
𝜔𝑛 = √
4𝑘
16𝑚
 
𝜔𝑛 = √
𝑘
4𝑚