Capitulo 1, 2 e 3_df59db63761d492940c759708b153686

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<p>CAPÍTULO I NOÇÕES PRELIMINARES Incluiremos sob o título acima a terminologia de conjuntos e as noções de função e relação de equivalência. Deixaremos como exercícios muitas propriedades elementares envolvendo essas noções básicas. Conjuntos Entenderemos por conjunto uma qualquer coleção de objetos os quais chamaremos de elementos do conjunto. conjunto vazio (isto é, o conjunto sem elementos) será denotado por . Usaremos letras maiusculas para simbolizar conjuntos e minusculas para simbolizar elementos (as exceções ficarão claras no contexto do livro). Se x é um elemento do conjunto A escreveremos XEA e leremos "x pertence a A". Caso contrário escreveremos A e leremos "x não pertence a Como primeiros exemplos de conjuntos podemos citar os con- juntos numéricos mais conhecidos, para os quais usaremos a seguinte nomenclatura: N = m, ...} (números naturais) = {..., - 1,0,1, m, } inteiros) { m, (números racionais) R = (números reais, isto é, números racionais e números irracionais) C = { a + bi : i a, b E R = } Sabemos, por exemplo, que mas Quando todo elemento de um conjunto A pertence a um con- junto B dizemos que A está contido em B ou A é subconjunto de B e denotamos por A B. Consideraremos o conjunto contido em qualquer conjunto (raciocine por absurdo). Dois conjuntos A e B são iguais se possuem os mesmos elemen- tos. Assim temos claramente que A = B se e somente se</p><p>2 Introdução à álgebra Se o conjunto A não está contido no conjunto B usaremos a notação A $ B. Em relação aos conjuntos numéricos acima temos O conjunto dos elementos que pertencem simultâneamente a um conjunto A e a um conjunto B será denotado por = e chamado de interseção de A e B. O conjunto dos elementos que pertencem a um conjunto A ou a um conjunto B será denotado por ou e chamado de união de A e B. Claramente temos, quaisquer que sejam os conjuntos A e B, as seguintes propriedades: Se A B também dizemos que B contém A e denotamos por EXERCÍCIOS 1. Prove que quaisquer que sejam os conjuntos A,B e C, tem-se: a) b) Se então c) Se então A = B. 2. Prove que quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, a) b) c) = A d) = e) se e somente se AUB=B se e somente se An 3. Sejam A, Definimos: A - B = Prove que: a) = B) = b) An = = c) A - d) = A</p><p>Noções preliminares 3 4. Sejam A,B e C U Demonstre as afirmações verdadeiras e dê contra-exemplos para as falsas: a) A C b) - B) = B c) A - - d) - e) 5. Dê, se possível, uma condição necessária e suficiente para que se- jam verdadeiras as seguintes afirmações: Se A,B são conjuntos então: a) - = B b) - = B 6. Se é um conjunto, definimos o conjunto das partes de por P(S) Calcule para os seguintes conjuntos abaixo: a) 7. Sejam X e Y conjuntos. Demonstre as afirmações verdadeiras e dê contra-exemplos para as falsas: a) Se X U Y então P(X) U P(Y) b) Se X U Y então = P(Y) - P(X). 8. Escreva os seguintes conjuntos A como união de intervalos: a) A = b) A = c) A = Sejam A, B e C conjuntos. É verdade em geral que a) b) An Justifique! 10. Calcule An B nos seguintes casos: a) Se AUB = então b) Se B = An C então B=C? §2 Funções Sejam A e B dois conjuntos. Chamamos de função do conjunto A no conjunto B a uma regra que a cada elemento de A associa um único elemento de B, e denotamos simbolicamente por</p><p>4 Introdução à álgebra onde para cada A está associado um único b B, através da regra que define f. Chamamos A de da função fe B de con- tra-domínio da função f. Se B denotamos por f(X) ao conjunto f(X) = = : U B o qual chamamos de imagem de X pela f. De- tamos por Im f ao conjunto f(A) o qual chamamos de Conjunto Ima- gem da f. Dizemos que a função f é sobrejetiva se Im Observem que duas funções coincidem se e somente se possuem os mesmos domínios, os mesmos contradomínios e as mesmas regras. Por exemplo, as seguintes funções abaixo definidas são distintas apesar de possuirem o mesmo domínio e a mesma regra. Apenas a segunda delas e sobrejetiva. f : R-R g: R R+ onde = Se f : A denotaremos por : X B a função cujo domínio é o conjunto X, cujo contra-domínio é o conjunto B e cuja regra é a mesma de f, isto é, flx(x) = f(x) qualquer que seja Chamaremos fx de restrição de f à X. Dizemos que uma função f : A B é injetiva se quaisquer que se- jam x, A, se x # y então f(x) # f(y) (ou equivalentemente, quais- quer que sejam se f(x) =f(y) então = y). Se f : A B é uma função simultaneamente injetiva e sobrejetiva dizemos que f é uma função bijetiva. Observe que das funções abaixo R+ R+ e h: R R apenas as duas últimas são bijetivas (desenhe o gráfico). Se f : A B é uma função e denotamos por f-1(x) ao con- junto qual chamamos de imagem inversa de pela f. Observe que se ye B então A se Im f então f-1(y) =</p><p>Noções preliminares 5 Se Y U B denotamos por ao conjunto e chamamos tal conjunto de imagem inversa de pela f. Observe que em nossa terminologia temos, se então Por exemplo, temos f-1(1) = 2 + 2kn : ke } e conjunto f-1 o é igual a: = : = + 2kn x = 6 + 2kn : ke } Se B e g:B C são duas funções denotamos por gof: A C a função definida por (gof)(x) = g(f(x)) qualquer que seja a qual chamamos de função composta de g e A função : A A definida pela regra = qualquer que seja XEA é de função identidade de A. Observe que se f : A B é uma função bijetiva então existe uma função g: B A definida por: se = x onde x é o único ele- mento de A tal que f(x) = y (o elemento x existe pois f é sobrejetiva e ele é único pois f é injetiva). É de fácil verificação as propriedades: e A função g com as propriedades acima é dita ser a função inversa (claro que ela é única) da função f, e será denotada (não confundir com imagem inversa) por A. Por exemplo, se onde então temos que f é bijetiva e mais f-1: R x log x com temos que f (uma reta) é bijetiva e mais R é tal que f-1(x) = a 1 b a</p><p>6 Introdução à álgebra EXERCÍCIOS Y uma função e sejam U X e B,B Y. Prove que: a) A A' B b) c) f é injetiva vale a igualdade f(An d) f) Se f é bijetiva 2. Sejam as funções, Y, g: Y W Então prove que: ho(gof)=(hog)of 3. Se Y é uma função bijetiva prove que existe uma única função g: Y X tal = 4. Seja f : X Y uma função. Prove que: a) f é injetiva se e somente se existe g: Y X tal que = (i.e., f é invertível à esquerda) b) f é sobrejetiva se e somente se existe h: Y X tal (i.e., f é invertível à direita). 5. Seja f: X Y uma função. Prove que: A qualquer que seja A X; f(f-1(B) U B, qual- quer que seja = A qualquer que seja A X se e somente se f injetiva. f(f-1(B)) = B qualquer que seja B U Y se e somente se f so- brejetiva. 6. então denotamos Os elementos de são também chamados de permutações de Prove que: é um conjunto contendo n! elementos. 7. Dê exemplos de funções f,g: R R tais que 8. função. Prove que: a) Se f injetiva então m</p><p>Noções preliminares 7 b) Se f sobrejetiva então c) Se f bijetiva então m = n. 9. Seja f uma função. Prove que: a) Se f injetiva então f sobrejetiva b) Se f sobrejetiva então f injetiva. Seja f: R R definida por: 2. Calcule: Seja R definida por: Dê exemplo de conjunto não vazio B R tal que: = . contém apenas um elemento. 12. Seja f: X Y uma função e Prove que: 13. Para cada uma das 8 leis abaixo especificadas explicite subcon- juntos não vazios de modo que: a) y = f(x) defina uma função f : X Y. b) = defina uma função f : X Y sobrejetiva. defina uma função f : X -> Y injetiva. defina uma função f : X Y bijetiva. onde as 8 leis são as seguintes: y = = y = e §3 Relação de equivalência Suponhamos que em um conjunto A esteja definida uma rela- ção entre pares de elementos de A. Se escreveremos</p><p>8 Introdução à álgebra se x estiver relacionado com x', e se x não estiver relacionado com Por exemplo, se A é o conjunto de retas do plano, ortogonalidade define uma relação R entre pares de elementos do conjunto A. Ana- logamente, paralelismo define uma relação no mesmo conjunto A. Vamos agora definir o que vem a ser uma relação de equiva- lência em um conjunto A. Seja A um conjunto e seja R uma relação entre pares de elementos de A. Dizemos que R é uma relação de equivalência em A se as se- guintes propriedades são verificadas quaisquer que sejam x, x' e x" E A. 1. xRx 2. Se então x' R 3. Se e então R As propriedades acima são chamadas, respectivamente, reflexiva, simétrica e transitiva. Observe que 1 não é reflexiva nem transitiva. Se consideramos duas retas coincidentes como paralelas então paralelismo define uma relação de equivalência no conjunto de retas do plano. Quando uma relação R em um conjunto A for de equivalência varnos em geral usar a notação ~ em vez de R. EXEMPLO 1. Seja f : A B uma função e vamos definir uma rela- ção de equivalência no domínio A da f, do seguinte modo: A relação acima definida é claramente uma relação de equiva- lência no domínio A da função f. Veremos mais adiante na Propo- sição 2 que qualquer relação de equivalência em um dado conjunto A é proveniente de uma certa função como no Exemplo 1. Seja ~ uma relação de equivalência em um conjunto A e seja Vamos definir agora o que chamamos por classe de equiva- lência do elemento x em relação a ~, a qual denotaremos por ~ x}. Antes de enunciarmos a proposição 1 vamos explicitar o signi- ficado de alguns dos símbolos matemáticos mais utilizados. 3 - símbolo significando: "Existe" A - símbolo significando: "Para todo(s), "qualquer que seja" ou "quaisquer que sejam"</p><p>Noções preliminares 9 p q-símbolo significando: "Se a proposição p é verdadeira então a proposição q também o p q-símbolo significando: "A proposição p é verdadeira se e somente se a proposição q é verdadeira". PROPOSIÇÃO 1 Seja ~ uma relação de equivalência em um conjun- to A e sejam Então 1. 2. # y y = 3. U = A XEA Demonstração. 1.(=>): Sejam x, ye Aex = y. Vamos provar que ~ y. De fato, pela definição de classe de equivalência temos, e como vem imediatamente que ~ y. (</p><p>10 Introdução à álgebra Vamos definir uma relação de equivalência em do seguinte modo: é um multiplo inteiro de n. Claramente ~ define uma relação de equivalência em Essa relação de equivalência recebe o nome de congruência módulo n e é geralmente indicada por (mod n). Assim, x, x' E Z, x' (mod n) x - x' é um múltiplo inteiro de n. Vamos agora calcular a classe relativamente a III (mod n). Se (mod e x (mod n) a E Daí segue que: = Observe que se n = 0 temos que e que III (mod 0) nada mais é do que a relação de igualdade em e nesse caso existe um número infinito de classes = {x} em Z. Provaremos mais tarde que se n > 0 a relação III (mod n) nos fornece exatamente n classes dis- tintas quais sejam 1, n - 1. Assim, por exemplo, (mod 3) nos fornece exatamente as clas- ses , 1, 2 que são as classes dos números que deixam respectivamente restos zero, 1 e 2 na divisão por 3. Agora vamos definir a noção de conjunto quociente. Seja ~ uma relação de equivalência em um conjunto A. Cha- mamos de conjunto quociente de A pela relação de equivalência e denotamos por ao conjunto de todas as classes de equivalência relativamente a relação Assim, Na relação em Z temos = que também será representado por Zn = - 1}. Vamos enunciar agora o resultado que nos diz que toda relação de equivalência em um conjunto A é proveniente (como no Exemplo 1) de uma função. PROPOSIÇÃO 2. Seja ~ uma relação de equivalência em um conjun- to A e seja = o conjunto quociente de A por Seja A definida por = A é cha- mada de projeção canônica). Então a relação ~ é proveniente da função como no Exemplo 1.</p><p>Noções preliminares 11 Demonstração. De fato, basta observar pelo item 1 da Proposição 1 que se temos, = como demonstrar. §4 Produto cartesiano e operação binária em um conjunto Vamos iniciar esse parágrafo introduzindo a noção de produto cartesiano de dois conjuntos. Sejam A1 e A2 dois conjuntos não vazios. Definimos produto cartesiano dos conjuntos A1 e A2 como segue: A1 A2 = E onde, 1,2. Se = A denotamos por o produto Usando a noção acima podemos reinterpretar a noção de relação de equivalência em um conjunto A. Seja A um conjunto não vazio e seja R um subconjunto do pro- duto cartesiano R diz-se uma relação (binária) em A. Usando a definição: se a, b E A, "a está relacionado com b" (a, b) E R, podemos interpretar R como uma relação entre pares de elementos de A. Assim, para que a relação acima definida seja uma relação de equivalência é necessário e suficiente que: A a, b, E A 1) (a, a) E R (reflexividade) 2) (a, b) E R => (b, a) E R (simetria) 3) (a,b)E R, (b,c) E R E R (transitividade) a relação de igualdade no conjunto A, que é evidentemente uma relação de equivalência em A. Se A = R então a interpretação geométrica das propriedades 1. e 2. nos diz que: o subconjunto R do pleano R2 contém a reta y = e é simétrico em relação a essa mesma reta, diagonal dos 1.° e 3.° qua- drantes do plano. Vamos agora definir a noção de operação (binária) em um con- junto não vazio A. Chamamos de operação (binária) em A uma função A</p><p>12 Introdução à álgebra A operação diz-se associativa se A a, b, E A tem-se = = e diz-se comutativa se A tem-se aOb = Como exemplos de operações associativas e comutativas temos a soma e o produto nos conjuntos numéricos Z, Q, R e C. É de fácil verificação que a composição de funções define uma operação não co- mutativa no conjunto F (R) de todas as funções f R R. Existe um ramo de álgebra que se dedica ao estudo das estruturas algébricas não associativas porém ele foge inteiramente aos nossos propósitos. É fácil verificar que se A = {a,b} e é a operação definida por: aOb = bob = b e aOa = bOa = a então é uma operação em A não comutativa e não associativa. De modo análogo podemos introduzir a noção de produto car- tesiano de mais de dois conjuntos e deixamos isso por conta do leitor. EXERCÍCIOS 1. Seja A um conjunto não vazio e P(A) o conjunto das partes de A. Dizemos que um conjunto não vazio P U P(A) é uma par- tição do conjunto A se: (i) E P, # (ii) U B = A. Prove que: se x, y E A e definimos P tal que x, B, então ~ define uma relação de equivalência no conjunto A. Mais ainda, = P. 2. Seja A um conjunto não vazio e ~ uma relação de equivalência em A. Prove que A/~ é uma partição do conjunto A. 3. Sejam conjuntos. Definimos A1 A2 = an) : i = 1,2,...,n} onde, = = {1, E chamamos A1 ... An de produto cartesiano dos con- juntos An Se A = A1 = A2 = ... = An esse produto é denotado por A". Pergunta-se: É P(R R) P(R)? Justifique!</p><p>Noções preliminares 13 4. Se A = {0,1} e B = {0,2,3}. Calcule P(A B) e P(A) X P(B). 5. Dê 3 exemplos de relações binárias no conjunto R dos números reais tais que no 1.° exemplo, a relação não seja reflexiva; no exemplo, não seja simétrica e no 3.° exemplo, não seja transitiva. 6. Seja f : X Y uma função. Prove que: E X, define uma relação de equivalência no conjunto X (Nesse caso dizemos que ~ é a relação de equivalência induzida por 7. Descreva as classes de equivalência e os conjuntos quocientes em relação a ~ induzida pelas seguintes funções: R x f(x) = 6 x f(x) + 10 (x,y) f(x,y) = y R = 8. Prove que define uma relação de equi- valência no conjunto onde - {0}. 9. Dê exemplo de relações de equivalência ~ em um conjunto X tais que: a) = {X} b) = X c) X seja um conjunto infinito e o conjunto contenha exata- mente 11 elementos. d) X seja um conjunto infinito e também seja um conjunto infinito. 10. Teste a validade das propriedades reflexiva, simétrica e transitiva para as relações binárias definidas através dos seguintes subcon- juntos (plano real): a) = b) : c) d) e) = região dos pontos do plano tais que</p><p>14 Introdução à álgebra 11. Uma relação entre pares de elementos de um conjunto A diz-se uma relação de ordem parcial em A se: (i) (ii) x Ax, (iii) x</p><p>CAPÍTULO II os NÚMEROS INTEIROS Neste capítulo apresentaremos uma visão algébrica dos números inteiros e para isso admitiremos conhecidas as propriedades elementares do conjunto §1 Propriedades elementares No conjunto II estão definidas as operações de soma e produto + : II e : (x,y) as quais gozam das seguintes propriedades: (i) da soma) (ii) tal que (existência do elemento neutro) tal que + (-x) (existência de in- verso aditivo de cada elemento (iv) (comutatividade da soma) (v) (associatividade do produto) (vi) tal que (existência da unidade em Z) (vii) do produto) (distributividade do produto em relação à soma) ou y=0 não possui divisores de zero) Veremos mais tarde estruturas algébricas que não satisfazem a propriedade (ix), isto é, estruturas com divisores de zero (que são elementos não nulos a e b tais que = 0). Usaremos a notação xy em vez de para simbolizar o produto dos elementos x e y em Por possuir essas 9 propriedades acima dizemos que munido da soma e produto é um domínio de Mais adiante essa noção será definida com toda a generalidade.</p><p>16 Introdução à álgebra §2 Boa ordenação e algoritmo da divisão Em II existem as noções de "ordem"</p><p>Os números inteiros 17 PROPOSIÇÃO 3 (Indução - forma). Suponhamos que seja dada uma afirmação a(n) depen- dendo de tal que: (i) a(0) é verdadeira. (ii) Para cada inteiro m a(m) é verdadeira sempre que a(k) for verdadeira para Então, a(n) é verdadeira Demonstração. Seja S o conjunto dos inteiros m E N tais que a(m) seja falsa e suponhamos que S é não vazio. Como acima, tal que e pela hipótese (i) > 0. Portanto, a(k) é verdadeira e (ii) nos dá uma contradição. Observe que as Proposições 2 e 3 poderiam ser enunciadas a partir do inteiro 1 em vez de zero e nesse caso a hipótese (i) seria a(1) é verdadeira. As mesmas demonstrações funcionam com as devidas modificações. TEOREMA 1 (Algoritmo da Divisão). Sejam n, de Ned > 0. Então existem únicos q, N, tais que Demonstração. Provaremos a existência usando indução forma) sobre n. Sen suficiente provarmos que r1 = r2 pois nesse caso teríamos q1d = q2d ou seja Suponhamos por absurdo que r1 # r2, por exemplo r1 Nesse caso teríamos = Mas também r2</p><p>18 Introdução à álgebra Observem que na demonstração do Teorema 1 a afirmação a(n) usada na indução foi a seguinte: tais que n = qd + r, onde 1 são inteiros: n = 4. Se x, Prove por indução sobre n que: = + 1 + ... + (Sugestão: Use o exercício 3) 5. Seja a # Definimos potencia não negativa de a do seguinte modo: m vezes</p><p>Os números inteiros 19 Prove que: a) am = b) = 6. Prove, por indução sobre n, que + 2n é sempre divisível por 3. 7. Se A = {1,2,...,n} denotamos por P(A) o conjunto das partes de A, i.e., Prove que P(A) = onde X denota o número de elementos do conjunto X. 8. Se n é um natural Prove que - sempre divisível por 24. §3 Ideais e M.D.C. Neste parágrafo vamos provar a existência de Máximo Divisor Comum em Z e para isto vamos definir a noção de Ideal do domínio Seja J U Dizemos que J é um ideal de se as seguintes condi- ções são satisfeitas: (i) (ii) +yeJ (iii) XEJ - (iv) XEJ Observe que as condições (i), (ii) e (iii) poderiam ser substituidas pelas condições (i)' J # x, x - De fato, se então por (ii)'. Agora se XEJ então e finalmente se x, y E J temos x, - e daí segue + y = x - (-y)EJ como queríamos demonstrar. EXEMPLO 1. um número inteiro qualquer, então o conjunto de todos os múltiplos inteiros de n é um Ideal de De fato, seja J = {nk:keZ} o conjunto de todos os múltiplos inteiros de n. Então segue que: 0 = (ii)' x = nk, y = - (iv) rx = xr = Observe que no Exemplo 1, se n = 0 temos que = é um ideal de e se n = é também um ideal de Z. Esses ideais são chamados de ideais triviais de Se J é um ideal de tal que {0} # J #</p><p>20 Introdução à álgebra dizemos que J é um ideal próprio de Por exemplo J = = = é um ideal próprio de É usual a notação para o ideal dos múltiplos inteiros de n. EXEMPLO 2. Se N1, N2, são números inteiros quaisquer então o conjunto de todos os números inteiros da forma + ... + onde são inteiros, é um ideal de De fato, seja J = {n1r1 + ... + Então segue que: (i)' 0 = + ... (ii)' x = + ... + + ... + - = - ... = + ... + É usual a notação + ... + para o ideal J. Ideal dos múltiplos do inteiro n é também chamado de Ideal principal gerado por n, enquanto o ideal + ... + é chamado de ideal gerado pelos inteiros Antes de demonstrar a existência do Máximo divisor comum em provaremos o seguinte Teorema: TEOREMA 2 (Z é um domínio principal). Todo ideal de é principal. Demonstração. Seja J um ideal de Se J = {0} então J é um ideal principal gerado por 0. Suponhamos que J # {0}. Assim existe 0 # E J e pela proprie- dade (iii) temos - J e portanto x > 0, ou seja, o conjunto S dos inteiros > 0 pertencentes à J é não vazio. Pelo princípio da boa ordenação 3 J, tal que d é o menor inteiro > 0 em J. Vamos provar que = J. Claramente J pois se e então dr = por (iv). Assim é suficiente provarmos que J Seja J. Pela propriedade (iii) temos que x E J e pelo Algoritmo da divisão temos que tais que: onde</p><p>Os números inteiros 21 Daí segue que - Como xeq.deJ temos Pela minimalidade de d = portanto = e novamente por (iii) teremos (desde que é também um ideal), como queríamos demonstrar. TEOREMA 3 de M.D.C. em Z). inteiros não nulos e o ideal gerado por Se de II é tal que então são válidas as seguintes afirma- ções: (a) E Z tais (b) d é um divisor comum de (c) Se d' é um divisor comum qualquer de então d' é também um divisor de d. Demonstração. (a) Sai imediatamente da igualdade = + (b) Seja = + ... + então é claro que, ... ... = e portanto tal que isto é, d é um divisor de cada i = (c) Seja d' um divisor comum qualquer de Assim, = 1,2, ..., k tal que ou seja: {1,2,...,k} e daí segue imediatamente que: = e portanto: isto é, tal que d = e isto demonstra o item c) do Teorema. Um número satisfazendo as condições dos itens b) e c) do Teorema 3 diz-se um M.D.C. de nk em Observe que se d é um M.D.C. de N2, em então - d também o é pois d = claro também que em existe um único M.D.C. positivo de (e nesse caso dizemos o M.D.C. de N1,N2, o qual denotaremos por M.D.C. Assim, pelo item a) do Teorema 3 se d = M.D.C. então existem inteiro tais que d =</p><p>22 Introdução à álgebra dizemos que são relativa- mente primos em e pela observação anterior tal que: + ... EXERCÍCIOS 1. Definindo, N a se Prove que: a) b) c) d) 2. Dados Aplicando sucessivamente o algoritmo de Euclides temos: : como temos que existe um primeiro inteiro S tal que rs+1 Prove que = M.D.C. {a,b}. 3. Usando o exercício anterior. Calcule M.D.C. {180,252}. 4. Calcule reseZ tais que M.D.C. {a,b} = ra + sb nos seguintes casos: a) a = 21 ; b=35. b) a = b=15. c) a = 180; 5. Prove que se a,bez e 3r,se tais que ra + sb = 1 então M.D.C. 6. Prove que se a e então, 7. Demonstrar que: Se M.D.C. {a,n} = M.D.C.{a,m} = 1 então M.D.C. {a,mn} = 1.</p><p>Os números inteiros 23 8. Demonstrar o algoritmo da divisão quando o divisor d é negativo. Que nesse caso o resto r satisfaz 9. Quais dos seguintes subconjuntos I de II abaixo são ideais de Z: a) I = alguma potência de m é divisível por 64}. b) I = M.D.C. {7,m} = 1}. c) I = é um divisor de 24}. d) I = é um divisor de m}. e) I = e = é divisível por 9}. 10. Se são ideais de Prove que: a) é um ideal de ... + é um ideal de 11. Identifique q tal que 12. Se ...são ideais de Prove que: um ideal de r=1 13. Prove que: se J e J I onde I e J são ideais de II então I UJ não é um ideal de 14. Seja I um ideal de Prove que se então I = §4 Números primos e Ideais maximais Sejam d e n elementos de Dizemos que d é um divisor de n em e escrevemos dn, se 3be II tal que n = d b (nesse caso também dizemos que n é um multiplo de d). Dizemos que um inteiro p é um número primo de II se e os únicos divisores de p são + e + p. Observe que esta definição de número primo é equivalente a seguinte: é um número primo se p # + 1 e toda vez que p = ab, com a,be então a = +1 ou a = + p. Vamos agora provar duas proposições que nos serão úteis no próximo parágrafo. PROPOSIÇÃO 4. Se um número primo p não é um divisor de um número inteiro n, então 3 r, S E Z tais que rp + sh = 1.</p><p>24 Introdução à álgebra Demonstração. Seja d > 0 o M.D.C. de pen, isto é, d = M.D.C. {p,n}. Pela definição de M.D.C. temos que d é um divisor de e portanto d = 1 ou p. Mas como e p não divisor de n, temos que d = 1 e a proposição segue pois = + PROPOSIÇÃO 5. Todo número primo que divide um produto divide pelo menos um dos fatores. Demonstração. Suponhamos que p\ab e que p não é divisor de a e vamos provar que De fato, pela proposição 1 segue que E tais que, e multiplicando ambos os membros da igualdade por b, temos que, e portanto Vamos agora definir a noção de ideal maximal em II e relaciona-la com números primos. Um ideal M de II diz-se um ideal maximal em II se M # Zese J é um ideal de tal que então J = M ou Em outras palavras, ideal M # II de II é dito maximal se os únicos ideais de II contendo M são M e TEOREMA Se então as seguintes condições são equivalentes: (i) p é um número (ii) = é um ideal maximal em Demonstração. (i) (ii): Seja p um número primo e J = Vamos provar que J é um ideal maximal em De fato, seja I um ideal de tal que, Pelo Teorema 2 do parágrafo 3 temos que existem inteiros n tal que I =</p><p>Os números inteiros 25 Assim, pep C e daí segue p = para algum e portanto e teremos ou n = Se n = + 1 vem I I = J como demonstrar. (ii) (i). Suponhamos = um ideal maximal em e seja d um divisor de p, isto é, p = d.b onde b Vamos provar que d = + 1 ou d = Como J = # II segue que + 1. Agora, seja então é claro que se I teremos pel e Como J é maximal, por hipótese, segue que: ou Na primeira possibilidade de ou seja d = e daí segue que p = e como p # 0 segue = Assim, teremos que a = + 1, b = + 1, e isto finalmente nos diz que p. Na segunda possibilidade segue imediatamente que d = + 1. Assim acabamos de provar que os únicos divisores de p são isto é, p é um número primo. Fatorização única Antes de enunciarmos o teorema principal deste parágrafo, vamos fazer uma Seja { -1,1} e números primos positivos. Vamos usar a expressão de tal modo que incluiremos na mesma a possibilidade no caso de k = 0, e n = + P1 no caso de TEOREMA 5 é um Domínio Fatorial). Todo número inteiro não nulo n pode ser escrito na forma, ... Pk onde {-1,1} e P1 P2</p><p>26 Introdução à álgebra Demonstração. Claramente é suficiente provarmos o teorema para e nesse caso = 1 e a expressão se reduz a ... P2 ... Pk primos > 0. Vamos primeiramente provar que n pode ser escrito como acima, e a demonstração será por indução sobre n. Se temos que = 1 e k = 0. Vamos agora supor que todo número inteiro m, 1 m 0. De fato, seja n = ... P1 ... Pk primos positivos = ... primos positivos. Assim, = e Vamos agora provar que isto implica que k = = i = A demonstração será por indução sobre o inteiro k. Seja k = 1. Nesse caso teremos P1 = ... e isso nos diz que e como são primos positivos segue que P1 = e portanto =</p><p>Os números inteiros 27 Suponhamos agora verdadeira a unicidade toda vez que tivermos um produto de r fatores primos positivos onde vamos provar a unicidade para k fatores primos positivos. Temos, P1 P2 Pk = k > 2. Pela Proposição 5 do parágrafo anterior segue que S tal que e como são primos positivos segue que P1 = para algum j, S. De modo análogo = Pi para algum i, 1 Agora como P2 ... Pk e P'2 ... P's segue que P1 = Então teremos, = e segue pela hipótese de indução = k 1) que: k - 1 e P2 = Pk = e assim concluimos que k = S e mais = i = como demonstrar. É conveniente reunirmos os fatores primos iguais na expressão de um inteiro como produto de primos. Assim, se n > 1, n = P1 podemos reescrever a expressão acima e obtemos n = onde ... qr são os fatores primos distintos de n, e pelo Teorema 1 os números inteiros positivos são univocamente determinados pelo inteiro n. PROPOSIÇÃO 6. conjunto de números primos é infinito. Demonstração. É suficiente provarmos que o conjunto de números primos positivos é infinito. Suponhamos, por absurdo, que existem um número finito, de primos positivos. Se m = P1 + 1, existe pelo teorema 1, um primo p tal que divide m. Se p = Pi para algum i, então p divide 1, contradição. Seja n = pm onde são os primos divisores distintos de m, e cada > 0, i = Se d > 1 é um divisor de n, então é claro que os fatores primos de d pertencem ao conjunto Assim, convencionado = 1 para inteiro não nulo, podemos con- cluir que d pode ser escrito na forma d = onde 0 i =</p><p>28 Introdução à álgebra Desses argumentos acima podemos concluir imediatamente a seguinte PROPOSIÇÃO 7 número de divisores de um número inteiro não nulo é finito. EXERCÍCIOS 1. Sejam e = onde são números primos e são inteiros 0. Prove que M.D.C. {m,n} = 2. Sejam ideais de Z. Prove que: tal que = 3. Se Mostre que: ... 4. Generalize o exercício 3 para primos p > 2. §6 Os anéis Se J = relação (mod n) pode também ser definida por, - e nesse caso usaremos a notação classe de equivalência de x em relação a (mod n). Usaremos também para simbolizar o conjunto quociente de II pela relação (mod n). PROPOSIÇÃO 8. Se - {0} então - é um conjunto contendo exatamente n classes de equiva- lência. Demonstração. Primeiramente vamos provar que se então # y. De fato, seja Pela Proposição 1 do parágrafo 3 do capítulo 1, algum</p><p>Os números inteiros 29 Agora como que y - x não pode ser múl- tiplo de n, ou seja, Assim - 1} é um conjunto contendo exatamente n elementos. Para provarmos a igualdade = - 1} é suficiente mostrarmos que: se então - 1}. Po- demos escolher k inteiro positivo suficientemente grande tal que seja não negativo. Mas é claro que (mod n), e daí segue que = Assim é bastante provarmos - Pelo algoritmo da divisão temos que, tais que onde Mas então x' - qn ou x' r (mod e portanto demonstrar. Observe que se n = 0 então III (mod 0) significa igualdade em e = é um conjunto infinito. Observe também que III (mod n) define a mesma relação que PROPOSIÇÃO 9. Seja Se (mod n) e y III y' (mod n), então: (mod n) (b) x (mod n) Demonstração. Por hipótese temos - x' = - y' = (a) y') = e portanto (b) = x'y' + (x's)n + (y'k)n + (ksn)n. Portanto, - = isto (mod n), como demonstrar. Como corolário imediato da Proposição 9 segue a seguinte pro- posição. PROPOSIÇÃO 10. Seja então: (a) (a classe da soma independe dos repre- sentantes das classes das parcelas) (a classe do produto independe dos repre- sentantes das classes dos fatores).</p><p>30 Introdução à álgebra TEOREMA 6. Seja n um número inteiro 2. (a) Zn e definem duas operações (denominadas soma e produto) no conjunto Zn = - 1}. (b) As. operações acima definidas gozam das propriedades de (i) até (viii) enunciadas no parágrafo 1 desse capítulo. Por isso dizemos que +, é um anél comutativo com unidade 1. (c) anel +, é um domínio de integridade (isto é, sem divi- sores de zero) n é um número primo. (d) Se n = p é um número primo então = - 1} [além das (IX) propriedades enunciadas no parágrafo 1 desse capítulo] goza da seguinte propriedade: (x) Se então tal que = 1 [isto é, os elementos diferentes de 0 possuem inverso multiplicativo]. Por isso dizemos que p - 1} é um corpo. Demonstração. (a) Pela Proposição 10, as regras: e definem operações no conjunto (b) Vamos provar que possui as seguintes 8 propriedades abaixo: sejam (i) associatividade da soma. Vamos desenvolver o primeiro membro da igualdade e então chegar no segundo membro, + e agora pela associatividade da soma em temos que (x + y) + = = + y) + ríamos demonstrar. (ii) Existência do elemento neutro para a soma. Claramente temos que e portanto 0 é o elemento neutro para a soma em (iii) Existência de inverso aditivo. Claramente, =</p><p>Os números inteiros 31 (iv) Comutatividade da soma. (v) Associatividade do produto. = (vi) Existência do elemento unidade. possui unidade 1. (vii) Comutatividade do produto. (viii) Distributividade. (c) Vamos provar agora que possui divisores de zero n é um número primo. (=>): Suponhamos que n não seja um número primo. Então sabemos que = onde 2 não for primo possui divisores de zero, ou equivalentemente mostramos a implicação (=>). (</p><p>32 Introdução à álgebra Observe que Q, +, ; R, + são exemplos de corpos pois são satisfeitas as propriedades de (i) até (x) para esses anéis, Aca- bamos de ver que existem também uma infinidade de exemplos de corpos finitos p primo > 2. É claro que todo corpo é um domínio de integridade, ou seja, a propriedade (x) implica na propriedade (ix). Assim todos os exemplos de corpos também são exemplos de domínio de integridade. Finalmente é um exemplo de domínio de integridade que não é corpo e quando n > 2 não é primo, é um exemplo de anel comutativo com unidade porém com divisores de zero, isto é, não são domínios de integridade. EXERCÍCIOS 1. Se p é um número primo 2. Prove que 2. Seja + e.em como segue: + (b + d) 2 2bd) Prove que: Z, a) a b) + satisfaz as propriedades (i), (ii), ..., (ix) e portanto é um domínio de integridade. c) Generalize o exercício para p primo 2. 3. Seja = Defina + e de modo análogo ao Exercício 2 e prove que: b) +, satisfaz as propriedades (i), (x) e portanto é um corpo. c) Generalize o exercício para p primo 4. Se M.D.C. {a,m} = 1 prove que: ab ac (mod m) b III (mod m) 5. Se M.D.C. {a,m} = 1, prove que: 3 solução inteira x para a congruência: ax III b (mod Mais ainda, se é uma solução, prove que o conjunto de todas as soluções da congruência acima é dado por + Zm=</p><p>Os números inteiros 33 6. Ache todos os possíveis inteiros x satisfazendo as seguintes con- gruências: a) 3x III 2 ; b) 7x 4 (mod 10) c) 4x + 3 = 4 (mod 5) ; d) 6x + 3 = 1 (mod 10) e) 6x + 3 III 4 (mod 10) ; f) 243x + 17 III 101 (mod 725). 7. Prove que não existe inteiro x satisfazendo a congruência x2 III 8. Prove que tem-se m2 III 0 (mod 4) ou III 1 (mod 4). 9. Achar inteiro que satisfaz simultaneamente as congruências: ; 2 1 (mod (mod 5) 10. Sejam m, N tais que M.D.C. {m,n} = 1 e sejam a, be Mostre que existe inteiro x satisfazendo simultaneamente as congruências: 11. Seja p um primo inteiro. Mostre que: p). 12. Use o Exercício 11 e prove que: se p é um número primo, então: + p)</p><p>CAPÍTULO III ANÉIS, IDEAIS E HOMOMORFISMOS Definição e exemplos Seja A um conjunto não vazio onde estejam definidas duas ope- rações, as quais chamaremos de soma e produto em A e denotaremos (como em Z) por + Assim, + : A e . : A (a, b) no a+b (a,b) no Chamaremos A, anel se as seguintes 6 propriedades são verificadas quaisquer que sejam a, b, CEA. da soma) A2) A tal que a = a (existência de elemento neutro para a soma) A3) XEA existe um único denotado por y = - x, tal que (existência de inverso aditivo). A4) = b+ a (comutatividade da soma) A5) (associatividade do produto). A6) = (distributividade à esquerda e à direita). Se um anel A, , satisfaz a propriedade: A7) 3 E A, 0 # 1, tal que 1 = AXEA dizemos que A, é um anel com unidade 1. Se um anel A, +, satisfaz a propriedade: A8) A, dizemos que A, um anel comutativo. Se um anel A, +, satisfaz a propriedade: A9) x, A, x = que A, +, é um anel sem divisores de zero. Se A, +, . é um anel comutativo, com unidade e sem divisores de zero, dizemos que A, +, . é um domínio de Integridade.</p><p>Anéis, ideais e homomorfismos 35 E finalmente, se um domínio de Integridade A, +, satisfaz a propriedade: A10) x # 0, 3 tal que = = 1, dizemos que A, +, é um corpo. EXEMPLOS de Anéis Comutativos. No capítulo anterior vimos os seguintes exemplos de anéis: Q, R, C, Observe que todos esses anéis são comutativos e os únicos anéis dessa lista que não possuem unidade são os onde n 2. Por exemplo, A = (o anel dos inteiros pares) não possui unidade. Os únicos anéis que possuem divisores de zero da lista acima são os anéis A = onde n > 2 não é um número Por exemplo, no anel = {0, 1, 2, 3, 4, 5} temos que = 0, isto é, 2 e 3 são divisores de zero em Z6. = {a+b 2 : são exemplos de domínios de Integridade que não são corpos. E finalmente, Q, R, C, 2 e p primo são todos exemplos de corpos, sendo que os p pri- mos > 2, nos dão uma infinidade de exemplos de corpos finitos. É fácil verificarmos que se substituirmos o 2 por um primo p > 2 no exemplo construiremos uma infinidade de exemplos = {a + b de domínios de integridade que não são corpos. Analogamente, primo > 2, nos dão uma infinidade de exemplos de corpos p : a, Q} interme- diários entre Q e R. Por exemplo, p # 0 em Q p a b então 3 y = tal que a2 - - 1 C então II [i] = {a + é um domínio de integridade tal que C Q [i] = {a + é um corpo tal que Observe também que R [i] = {a + é tal que Em capítulos posteriores, veremos uma infinidade de exemplos de corpos K tais que Vamos ver agora mais um exemplo de anel comutativo com divi- sores de zero.</p><p>36 Introdução à álgebra Seja A = F (R) o conjunto de todas as funções f : R R. Vamos definir duas operações no conjunto A do seguinte modo: + : A , onde (f,g) : A , onde (f,g) Observe que a função constante zero é o elemento neutro (em re- lação a adição) de A, e a função constante 1 é o elemento unidade de A. As demais propriedades que definem um anel comutativo são clara- mente verificadas. Assim A=F (R), +, é um anel comutativo com unidade. Porém se f : R R é definida por 0 se f(x) = x e se g : R R é definida por se g 0 se teremos, denotando a função constante zero por 0, f # = Assim, o anel F (R) é um anel comutativo com unidade e com divisores de zero. Se denotarmos por C (R) (respectivamente D (R)) o conjunto de todas as funções contínuas (respectivamente deriváveis) f : R R, então de modo análogo ao anterior podemos definir as operações de + e no conjunto C (R) (respectivamente D (R)) e também teremos que C (R), +, , (respectivamente D (R), é uma anel comutativo com unidade e com divisores de zero. EXEMPLOS de Anéis não Comutativos. Seja A o conjunto de todas as matrizes reais 2 X 2, isto é, A = a d b a, b, c, d E R } . O quadro numérico de números reais diz-se uma matriz d real Dizemos que a d' b' (a = = d=d'</p>